La Regla de la Cadena

Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers

Introducción

Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t), ambas funciones derivables, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple:

dtdx

dxdy

dtdy

Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones:

Caso 1

Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que:

dtdy

yf

dtdx

xf

dtdz

Veamos esta fórmula de manera gráfica:

Caso 1

Z =f (x,y)

x y

t t

x

z

y

z

dt

dx

dt

dy xf

dtdz

dt

dx

yf

+dtdy

Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva

Ejemplo

42 xy3yx)y,x(T

sentyex t ;

T

x

y

t

t

xT

dtdT

dtdx

yT

+dtdy

yT

xT

dt

dx

dtdy

Continuamos…

Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces

0))0(),0((0))0(),0((0

tyxtyxt dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

dT

10cos10 0

0

edt

dT

t

)cos()12()32( 324 txyxeyxydt

dT t

Caso 1 ( General)

Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:

dtdx

xz

...dt

dx

xz

dtdx

xz

dtdx

xz

dtdz n

n

3

3

2

2

1

1

Caso 2

Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:

sy

yf

sx

xf

sz

ty

yf

tx

xf

tz

Caso 2

x y

t t

x

y

t

t

s s

s

s

sz

xf

sx

+yf

sy

tz

xf

tx

+y

f

ty

Z =f (x,y)

Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y , z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen. Entonces

sz

zf

sy

yf

sx

xf

sw

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tw

x y

t t

x

y

t

t

s s

s

s

z

t

t

s

s

z

w=f (x,y,z)

s

z

z

f

s

y

y

f

s

x

x

f

s

w

t

z

z

f

t

y

y

f

t

x

x

f

t

w

Ejemplo

Demuestre que

rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si

222

2

2

yf

xfz

r

1rz

x y

x

y

r r

r

r

Z =f (x,y)

Continuamos…

ry

yf

rx

xf

rz

senyf

cosxf

yyfx

xfz

cosryf

rsenxf

Se sigue que …

2

22cos

xf

rz

22

2 senyf

sencosyf

xf

22

22cosr

yfz

222

22 senrxf

sencosryf

xf

2

22

21

cosxfz

r

22

2 senyf

sencosyf

xf

Por lo tanto

22

222

2

2 1sencos

yf

xfz

rrz

.22

y

f

x

f

Segunda derivadaLa segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original.

Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)).

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo…

Muestre que cualquier función de la forma )atx(g)atx(fz Donde a es una constante, cumple con la ecuación:

2

22

2

2

x

za

t

z

Solución:Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces

)v(g)u(fz

xv

)v(gxu

)u(fx

)v(gx

)u(fxz

).()( vguf

)v(g)u(fxx

z

2

2

xv

dv)v(gd

xu

du)u(fd

).()( vguf

Calculemos ahora2

2

t

z

tv

)v(gtu

)u(ft

)v(gt

)u(ftz

)v(g)u(faa)v(ga)u(f

)v(g)u(ft

at

z

2

2

tv

dv)v(gd

tu

du)u(fd

a

)v(g)u(faa)v(ga)u(fa 2

2

222

2

2

x

za)v(g)u(fa

t

z

Ejemplo

rseny ,rcos xdonde y),f(x,z SiDemuestre que: 22

2

2

22

2

yf

xf

rz

r1z

r

1

r

z

senyf

cosxf

rz

Solución: Del ejemplo anterior, tenemos que

cosr

yf

rsenxfz

sen

yf

cosxf

rr

z2

2

senr

fcos

rf yx

cossenyf

cosxf xx

sensen

y

fcos

x

f yy

yy2

xyxx2 fsenfsencos2fcos

cosr

yf

rsenxfz

2

2

Por otra parte,

xf

rsenxf

cosr

yf

cosryf

rsen

xf

cosr

cosrfrsenfrsen xyxx

xf

yf

rsen

rsenfcosrfcosr yxyy

yf

Simplificando resulta,

xx22

yx2

2fsenrfrsenfcosr

z

yy22

yx fcosrfsencosr2

Así,

22

2

2

22

2

yf

xf

rz

r1z

r

1

r

z

COMPRUEBELO!!

Ecuación de Laplace

Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el Laplaciano de f

Y se denomina la ecuación de Laplace a:

2

2

2

22

y

f

x

ff

0y

f

x

f0f

2

2

2

22

Ejemplo

Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es,

0y

f

x

f2

2

2

2

Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace.Demostración:Lo que queremos probar es que:

0y

z

x

z2

2

2

2

Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces

u v

y y

u

v

y

y

x x

x

x

Z =f (u,v)

vf

2uf

xv

vf

xu

uf

xz

xv

uvf

xu

u

f

x

z 2

2

2

2

2

xv

v

fxu

vuf

22

22

2

22

2

2

2

2

v

f4

vuf

4u

f

x

z

vf

uf

2yv

vf

yu

uf

yz

yv

uvf

yu

u

f2

y

z 2

2

2

2

2

yv

v

fyu

vuf

2

22

2

22

2

2

2

2

v

fvuf

4u

f4

y

z

Entonces,

2

2

2

2

2

2

2

2

v

f5

u

f5

y

z

x

z

0v

f

u

f5

2

2

2

2

Ecuación de Laplace para f

Derivación Implícita

Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto:Tenemos la ecuación

0),( yxF

0 dx

)0(),( d

dx

yxdF

Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y .

0dxdy

yF

xF

0dxdy

yF

dxdx

xF

0)F( FF

yFxF

dxdy

yy

x

Supongamos que queremos calcular z/ x

0)z,y,x(F

0

x

)0(),,(

x

zyxF

0dxdz

zF

dxdy

yF

dxdx

xF

0dxdz

zF

xF

0)F( FF

zFxF

xz

zz

x

Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:

0).(

zz

y FF

F

zFyF

y

z

Ejercicio:

EjemploSupongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, esto es z=f(x,y). Calcular z/ x.Solución:Sean u=xy , v = z/y

0yxz

vF

yuF

0dxdv

vF

xu

uF

).0 (

2

v

F

vFuF

y

x

z