1

Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate

Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan hiukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa hiukkanen on aina jossain määrätyssä avaruuden pisteesssä ja sen liike voidaan kuvata tyhjentävästi nopeuden kolmen komponentin avulla. Atomaarisessa maailmassa kuvailun pitää olla toinen, sillä muutoin hiukkasten dualistista luonnetta – hiukkas- ja aalto-ominaisuuksia – ei voi selittää ja ymmärtää. Hiukkasten käyttäytymistä kuvaillaan todennäköisyyksien avulla.

Diffraktio kapeasta raosta

Ammutaan elektroneja kapean raon läpi. Oletetaan, että elektronien aineaaltojen aallonpituus on paljon pienempi kuin raon leveys a. Olkoon 1 pääintensiteettimaksimin ja ensimmäisen minimin välinen kulma. Diffraktiokaavasta (ks. ed. luento) saadaan (kulma on pieni radiaaneissa)

Luento 7

,a

11sin

2

Koe voidaan järjestää niin, että elektroneilla on hyvin tarkasti sama suunta ja sama nopeus, siis myös sama de Broglien aallonpituus.

Suurin osa elektroneista päätyy ilmaisimessa päämaksimin alueelle, mutta osa diffraktoituu voimakkaammin sivusuuntaan eri sivumaksimien kohdalle. Kuvio on odotetun kaltainen, jos elektronit ovat aaltoja, mutta se on vaikea ymmärtää, jos elektroneja ajatellaan hiukkasina. Miksi elektronit eivät kaikki kulje samaa reittiä pitkin, vaikka ne ovat kaikki alun perin samanlaisia?

Luonnon perusluonteeksi on paljastunut, että yksittäisen hiukkasen alkutila ei kerro, mitä rataa hiukkanen tulee liikkumaan. Voidaan vain sanoa, että suurin osa elektroneista päätyy tietylle kohtaa ilmaisinta, pienempi osa jonnekin muualle jne. Fysiikka antaa vain todennäköisyyden osua jollekin ilmaisimen alueelle.

Diffraktiokuvion vähittäinen muodostuminen.

3

Kaksoisrakokokeessa hiukkasuihku ammutaan levyyn,Jossa on kaksi lähellä toisiaan olevaa kapeaa rakoa. Thomas Young teki tämän kokeen valolle 1800 ja osoitti valon interferenssi-ilmiön: eri rakojen kautta tulevat valot vahvistivat tai heikensivät toisiaan riippuen siitä, missä vaiheessa ne olivat toisiinsa kohdatessaan.

Sama koe on toistettu elektroneilla eli elektronin aineaalloilla ja tuloskin on sama eli myös aineaallot interferoivat.

Jos varjostimelle lisättäisiin laite, joka rekisteröisin sen, minkä reiän kautta kukin yksittäinen elektroni kulkee, interferenssiä ei syntyisi.

4

Epämääräisyysperiaate

Aaltohiukkasdualismin ohella toinen atomiatson ilmiöissä ilmenevä peruspiirre on suureiden epämääräisyys. Koska sattuma näyttelee osaa, liittyy suureiden arvoihin epämääräisyyttä: ne poikkeavat keskimääräisen arvon molemmin puolin. Poikkeamisen mittana käytetään tilastotieteessä ns standardipoikkeamaa. Niinpä esimerkiksi liikemäärän px arvoilla on standardipoikkeama

keskiarvosta eli epämääräisyys px ja hiukkasen paikalla x

epämääräisyys x.

Werner Heisenberg esitti 1927 epämäärärisyysperiaatteen, jonka mukaan eräiden suureparien epämääräisyydet ovat yhteydessä toisiinsa, esim.

. xpx

Tässä on merkitty

).viiva"-h(" sJ 10(18) 1.05457168 2

34- h

Epämääräisyysperiaatteen mukaan hiukkasen paikkaa eikä liikemäärää voi tietää mielivaltaisen tarkasti, toisin kuin klassisessa mekaniikassa. Se, miten tarkasti toinen voidaan tietää, riippuu siitä, miten tarkasti toinen tunnetaan. Mitä tarkemmin esimerkiksi paikka tiedetään, sitä epämääräisempi on tieto liikemäärästä.

Heisenbergin epämääräisyysperiaate

5

Pätee myös

. zy pzpy ,

Huomaa, että Bohrin atomimalli ei ole sopusoinnussa epämääräisyysperiaatteen kanssa, sillä Bohrin mallissa sekä etäisyys origosta että liikemäärä ovat tarkasti määrättyjä eli r = 0 ja pr = 0, vaikka pitäisi olla rpr . Bohrin ennustukset vetyatomin energioille ovat kuitenkin onnekkaasti oikeat.

Tarkastellaan sivun 1 rakokoetta. Koska raon leveys on a, on rakoon tulleen hiukkasen paikan epämääräisyys y-suunnassay = a. Epämääräisyysperiaatteen mukaan hiukkasen liikemäärää y-suunnassa ei voida tarkasti tietää, vaan sillä on epämääräisyys

.ay

py

Tämä epämääräisyys merkitsee myös, että hiukkasen diffraktiokulma tiedetään epätarkasti; se on jossain nollan ja arvon

aap

h

app

py

2

1

2

välillä.

Epämääräisyysperiaatteella ei ole mitään tekemistä mittaustarkkuuden kanssa. Vaikka olisi kuinka tarkka mittalaite tai –menetelmä tahansa, paikkaa ja liikemäärää ei voi saman aikaisesti määrittää mielivaltaisen tarkasti.

6

Energian epämääräisyys

Myös energiaan liittyy epämääräisyys. Tilan energian epämääräisyys E riippuu siitä ajasta t, jonka systeemi on tässä tilassa:

. tE

Jos systeemi pysyy pitkään (t suuri) metastabiilissa tilassa, systeemin energia melko tarkasti määrätty (E pieni).

Esimerkki

Elektroni on pakotettu liikkumaan alueella, jonka leveys on 1.0·10-10 m. Laske elektronin liikemäärän pienin epämääräisyys. Mikä on elektronin liike-energia, jos sillä on tämän epämääräisyyden mukainen liikemäärä?

Tiedämme elektronin olevan jossakin kohtaa annetulla välillä, mutta emme sen tarkemmin, joten x = 1.0·10-10 m. Täten

m/s.kg 1011m 1001

sJ 100551 2410

34

min

..

.

xpx

7

Liike-energiaksi tulee tällä liikemäärällä

eV. 83J 10162

192

..

m

pK

Annettu liikkuma-alue oli suunnilleen atomin kokoa ja saatu liike-energia on samaa luokkaa kuin elektronin energia atomeissa. Epämääräisyysperiaate siis on oleellinen atomin mittaluokan ilmiöissä.

Huomaa, että hiukkanen, jonka liike on rajoitettu tietylle alueelle, ei voi epämääräisyysperiaatteen mukaan olla koskaan levossa. Levossa oleminen tarkoittaisi, että p = 0, mutta silloin pitäisi x eli hiukkasen pitäisi saada olla missä päin maailmaa tahansa, myös laatikon ulkopuolella.

Esimerkki

Tarkastellaan pientä pölyhiukkasta (halkaisija 1.0 m, massa 10-15 kg), joka on suljettu 10 m pitkään laatikkoon. Onko mahdollista tietää, onko hiukkanen laatikossa paikallaa? Jos ei, niin minkä suuruinen hiukkasen nopeus todennäköisesti olisi?

Jos tietäisimme, että hiukkanen on paikallaan, niin silloin p = 0 ja niin muodoin x . Vaikka kuinka yrittäisimme mittauksillamme osoittaa, että hiukkanen on paikallaan, jää liikemäärän arvoon epämääräisyys

Lxpx

Nopeudessa tämä vastaa epämääräisyyttä

m/s. 1001 13

.mLm

pv xx

Hiukkasen voi sanoa olevan käytännössä levossa.

8

Aaltofunktiot ja Schrödingerin yhtälö

Mekaniikassa poikittain värähtelevän jousen poikkeamaa tasapainoasemasta kohdassa x ja hetkellä t merkittiin aaltofunktiolla y(x,t). Tämä kertoo kaiken ko. värähtelystä. Harmonisen värähtelyn tapauksessa aaltofunktio on sinimuotoinen funktio. Vastaavalla tavalla voidaan kuvata sähkömagneettisia aaltoja antamalla sähkökenttä ja magneettikenttä kussakin avaruuden pisteessä ja kullakin hetkellä.

Hiukkasten aineaaltojen kuvailemiseen tarvitaan myös aaltofunktio. Sitä on tapana merkitä kirjaimella ”psi”:

io.aaltofunkt riippuva paikasta zy,x,

io,aaltofunkt riippuva paikasta ja ajasta

tzyx ,,,

Kvanttimekaniikka kertoo, miten aaltofunktio määrää hiukkasen keskimääräisen paikan, nopeuden, liikemäärän, energian ja liikemäärämomentin.

Aaltofunktiot eivät esitä missään väliaineessa etenevää aaltoa, niillä ei ole mitään aineellista sisältöä. Ne vain liittyvät eräisiin hiukkasia koskeviin havaintosuureisiin, eivät mihinkään muuhun.

Osoittautuu, että aaltofunktiot ovat kompleksisia:

. Im Re i

Koska mitattavat suureet ovat tavallisia lukuja, sellaisenaan kerro mistään mitattavasta seikasta, ainoastaan itseisarvon neliö

9

.*

22

2

Im Re

Im Re Im Re

ii

Jos hiukkanen, jota aaltofunktio kuvaa, liikkuu kolmessa ulottuvuudessa, silloin

Vtzyx d 2

,,,

on todennäköisyys sille, että hiukkanen on pistettä (x,y,z) ympäröivässä tilavuusalkiossa hetkellä t.

Koska hiukkanen löytyy varmasti jostain, pitää olla

.,,, 1 d2

tzyxV

2 tzyx ,,,

Suuretta

kutsutaan todennäköisyystiheydeksi pisteessä (x,y,z) hetkellä t.

10

Stationääriset tilat

Todennäköisyystiheys ||2 riippuu yleensä ajasta, mutta ei aina. Jos hiukkasen energia on vakio, tn-tiheys on ajan suhteen vakio, esimerkiksi elektroni atomin energiatasolla. Tällaisia tiloja kutsutaan stationäärisiksi tiloiksi.

Hiukkanen voi olla muuussakin tilassa kuin stationäärisessä tilassa, mutta silloin sen energialla ei ole mitään määrättyä arvoa. Tällainenkin tila voidaan kuitenkin aina esittää stationääristen tilojen avulla. Stationääriset tilat muodostavat ikään kuin (ääretönulotteisen) koordinaatiston kantavektorit, joiden avulla kaikki avaruuden vektorit (tilat) voidaan esittää.

Kvanttimekaniikan mukaan stationäärisessä tilassa, joka vastaa energiaa E, aaltofunktio on muotoa

.,,,,, / iEtezyxtzyx Stationäärisen tilan aaltofunktio

Koska

,

*

,,,,,,*,,,//

2

2

zy,x,

zy,x, zy,x,

iEtiEt ee

tzyxtzyxtzyx

on stationäärisen tilan todennäköisyystiheys ajasta riippumaton.

11

Schrödingerin yhtälö

Miten stationääristen tilojen energiat ja aaltofunktiot saa sitten selville? Klassisessa mekaniikassa kappleen rata saadaan Newtonin toisesta yhtälöstä, sähkömagnetismissa ovat käytössä Maxwellin yhtälöt. Kvantti-ilmiöissä nämä yhtälöt eivät toimi, sillä atomaariset ilmiöt eivät noudata klassisen fysiikan sääntöjä, kuten olemme huomanneet.

Erwin Schrödinger keksi yhtälön, jonka ratkaisuina saadaan sekä energiat että aaltofunktiot. Yhtälöä ei voi johtaa mistään, se piti keksiä. Schrödingerin yhtälö on

).()()()(

xExxUdx

xd

m

2

22

2

Yksiulotteinen Schrödingerin yhtälö

Tässä U(x) on hiukkasen potentiaalienergia ja E on vakio. Hiukkaseen vaikuttava voima on oletettu konservatiiviseksi, jolloin sen vaikutus voidaan kuvata potentiaalienergian avulla.

Mistä tietää, että tämä yhtälö on oikea? Siitä, että se toimii!

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x) = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p2/2m. Määritellään”kulmataajuus” ja ”aaltoluku” k mekaniikan aaltoliikkeen tapaan:

12

Esimerkki