tmmob elektrİk mÜhendİslerİ odasi · 2010. 2. 8. · elde edilir. burada a-2 + zy, b-4a2-4,...

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI

TMMOBELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASIANKARA ŞUBESİ

ODTÜELEKTRİK -ELEKTRONİKMÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

-M

TÜBİTAK

ÖNSÖZ

TBMMO Elektrik Mühendisleri Odası Elektrik-Elektronik-Bilgisayar Mühendisliği 7Ulusal Kongresini ve Sergisini Orta Doğu Teknik Üniversitesi'nde gerçekleştirmişolmaktan onur ve sevinç duymaktayız. Üniversite olarak kongreye ikinci kez evsahipliğiyapmamız bizi fazlasıyla mutlu etmiştir, ama mutluluğumuz asıl geçen süre içindeOdamızın, meslek yaşamımızın ve Üniversitemizin ne kadar gelişmiş olduğunugözlemekten kaynaklanmaktadır.

Gerçekten de ilgi alanlarımızın çeşitlenmesi, bu alanlarda belli bir beceriye ulaşılmış olması,eskiden güçlü olduğumuz dallarda da gücümüzün sürmesi Elektrik-Elektronik veBilgisayar Mühendislerimizin ülke genelinde giderek daha fazla söz sahibi olmalarıolgusunu yaratmaktadır. Bireysel basanlarımızın kurumlarımızı da ülke ekonomisi vegelişmesi bakımdan güçlendirmekte olduğu açıktır. Nitekim bu sektörlerde faaliyetgösteren kuruluş sayısı hızla artmaktadır. Bu sayısal gelişmenin nitelik bakımından da aynıhızla sürdüğünü görmek sevindiricidir. Kongremiz ve sergimiz bunun en somut kanıtınıoluşturmaktadır.

2000'li yılların Türkiye'sinin ihtiyaçlarını yakahyabilmek için daha çok şeyler yapılmasıgerekmektedir. Endüstri-Eğitim Kurumlan ve Meslek Odalan arasındaki iletişim vekarşılıklı etkileşimi güçlendirmek gerekmektedir. Bu geçmişe oranla daha sevindirici birdüzeyde sürüyor da olsa henüz gelişmiş ülkelerdeki başarılı örneklerin uzağındadır.Önümüzdeki yıllarda bu konuda daha fazla çabaya ihtiyaç vardır.

Tüm katılımcılara Kongre ve Sergimize vermiş olduklan güç için teşekkür ediyorum.Sizleri Üniversitemizde görmenin kıvancıyla selamlıyor saygılarımı sunuyorum.

Prof. Dr. Fatik CanatanYürütme Kurulu Başkam

ELEKTRİK-ELEKTRONİK-BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ7. ULUSAL KONGRESİ

YÜRÜTME KURULU

Fatih CANATAN (Başkan, ODTÜ)

M. Mete BULUT (ODTÜ) M. Asım RASAN (EMO)Cengiz BEŞİKÇİ (ODTÜ) Cengiz GÖLTAŞ (EMO)Gönül SAYAN (ODTÜ) H. Ali YİĞİT (EMO)Cemil ARIKAN (TÜBİTAK) Kubilay ÖZBEK (EMO)M. Hacim KAMOY (ASELSAN) M. Sıtkı Çiğdem (EMO)Hüseyin ARABUL (BARMEK) Funda BAŞARAN (EMO)Aydın GÜRPINAR (ENERSİS) Mustafa ÖZTÜRK (EMO)

EDİTÖRLER

Fatih CANATAN Mehmet Mete BULUT

*?-' UIu4o! - f -/ -foo ( )~3^ 2)2)

KAPASİTİF YÜKLÜ ÜNİFORM RLC HATLARDA YÜKSELME VE GECİKMEZAMANI HESAPLAMALARI İÇİN PRATİK BİR YAKLAŞIM

Mahmut ÜN Baran TANDERİ.Ü. Mühendislik Fakültesi Elektronik Müh. Bölümü 34850 Avcılar İSTANBUL

Abstract:

İn this theoretical paper, simple explicitdelay and rise time expressions for RLC laddernetvvorks are presented. Derivation of theseexpressions are based on Elmore's definitions.Transfer function for an n - celi RLC laddernetwork with capacitive load is obtained by usingtransmission parameter matrix for each celi. İncalculation of transfer function, transmission line istreated as a lumped parameter ladder network.Explicit delay and rise time formulas are computedfrom transfer function using Elmore's definitions.Examples are included to exhibit the use of theformulations given for delay and rise times. As aspecial case proposed expressions are verifiedwith PSpice 5 Circuit Analysis Program for n -2,3,5 - celi ladder netv/orks loaded withcapacitance.

Giriş:

Bilindiği gibi dijital devrelerdeki bağlantıhatları gecikme zamanını belirleyen anaetkenlerden biridir. Bu nedenle, bir hat veya bir içbağlantı devresi için geçici proses ve gecikmezamanı hesaplamaları ile ilgili yayınlara literatürdeçok sık rastlanmaktadır [1] - [3]. Hatları

Z Z

yöntemler, ya toplu parametreli yaklaşımı ya dasınır değerler cinsinden gecikmelerin verilmesinitemel almaktadır. Bu çalışmada, toplu parametreliyaklaşım kullanılarak kapasitif yüklü üniform hatdurumunda, yükselme ve gecikme zamanları içiryaklaşık analitik çözümler verilmiştir. Çözüm,transfer fonksiyonu ve Elmore tanımlarını esasalmaktadır.

Üniform Dağılmış Hat Modeli:

Üniform dağılmış hat, n - hücreden oluşanmerdiven RLC devreleriyle modellenmiştir. Şekil 1'de gösterilen devrenin kapasitif yüklü olduğu vesinüsoidal gerilim kaynağıyla uyarıldığıvarsayılmıştır.

Frekans domeninde Şekil 1' de gösterilenempedans ve admitanslar: Z = R + sL, Y = sC veyük Y' - sC-ı olarak tanımlanmıştır. Yük kapasitesiC, = aC olarak seçilmiştir ve burada <•/ - 0. n, 2nolarak düşünülmüştür. Bir tek hücre içntransmisyon parametre matrisi

I + ZY Z~

Y 1

olarak bulunur, n hücrenin kaskat bağlı olduğu

U-Y'

Şekil 1: Üniform dağılmış hat modeli.

dağılmış parametreli elemanlarla veya topluparametreli merdiven devreleriyle modelleyençalışmalar bulunmaktadır [4] - [8]. Darbeyayılmasındaki gecikmeler büyük ölçekli devrelerinçalışma hızını sınırlar. Son yıllardaki çalışmalarda,iç bağlantıların üniform dağılmış RC hatlarıylamodellendiği RC ağaç devrelerinde sinyalgecikmesinin tahmini özetlenmiştir [9]. YüklenmişRC hatları bulunduran devrelerde sinyalgecikmelerinin hesabı için bilinen

düşünülerek, devrenin transmisyon matrisi T"olur. V ile yüklenmiş ve E ile uyarılmış bir devreiçin bu transmisyon matrisi kullanılarak,H - Vo / Etransfer fonksiyonu hesaplanırsa,

H =(a + b)" -(a-h)'

(2)

ELEKTRİK, ELEKTRONİK, BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ 7. ULUSAL KONGRESİ

elde edilir. Burada a-2 + ZY, b-4a2 -4,ZY(l + 2a)

ç = olarak tanımlanmıştır.b

Gecikme ve Yükselme ZamanlarınınHesabı:

Verilen bir filtre cevabından gecikme veyükselme zamanlarının bulunması genelde zordur.Bu hesaplamalar için daha klasik bir yöntemElmore tarafından önerilmiştir. Basamakcevabında aşım olmadığı veya ihmal edildiğidurumlarda Elmore tanımları geçerlidir. Gecikmeve yükselme zamanları sırasıyla,

= \th(t)dto

co

\rh(t)dt-rD

2

1/2

(3)

(4)

eşitlikleriyle tanımlanmıştır. Burada h(t) normalizedarbe cevabıdır. Transfer fonksiyonu bir güçserisine aşağıdaki gibi açılabilir:

H(s)=jh(tll-st-s'f

(5)

(3), (4) ve (5) eşitliklerinden aşağıdaki denklemelde edilir:

(6)

s = O noktası civarında H(s)' in Taylor serisineaçılımı,

s"

2!+'" ( 7 )

olur (5) ve (6) eşitlikleri karşılaştırılıra,rn = -H(0) (8)

o2)]'' ( 9 )elde edilir. (2) eşitliğinden H'(0) ve H"(0) değerleribulunarak, (8) ve (9)' da yerlerine konursa,

nRC

ayrı ayrı test edilmiştir, önce bu basit devreler içintransfer fonksiyonları hesaplanmış ve Elmoretanımları kullanılarak transfer fonksiyonlarındangecikme ve yükselme zamanları elde edilmiştir.Bu basit durumlar için bulunan gecikme veyükselme zamanlarının, önerilen genelformülasyondan elde edilen değerlerle aynı olduğugörülmüştür. Böylece önerilen formülasyondoğrulanmıştır.

Sayısal Örnekler:

Tablo 1: Teorik ve simüle edilmiş gecikmezamanı değerleri.

n

222333555

cL(nF)

020400

30600

50100

TD (ns)(Teorik)

0.30.71.10.61.52.41.54

6.5

TD (ns)(Simülasyon)

0.2950.5390.8240.4951.1201.7401.1502.9304.720

Tablo 2: Teorik ve simüle edilmiş yükselmezamanı değerleri.

n

222333555

cL(nF)

020400

30600

50100

TR (ns)(Teorik)

0.251.3492.3640.9543.2145.4712.9659.08915.329

TR (ns)(SimülasyonJ

0.3261.1772.0670.8162.7664.7462.4107.730

13.126

(n+ 1 + 2a) (10)

Çeşitli kapasitif yüklerle yüklenmiş 2,3 ve5 hücreli RLC merdiven devrelerinin basamakcevapları SPICE devre simülasyon programıylaelde edilmiştir. Devrelerin gecikme ve yükselmezamanları simülasyonla elde edilen basamak

C-R- 10

elde edilir. Yukarıda verilen formülasyonlara göre,gecikme zamanı n, R, C ve a parametrelerine;yükselme zamanı ise n, R, L, C ve aparametrelerine bağlıdır. Gecikme ve yükselmezamanları için önerilen genel formülasyon,n = 2, 3,4, 5 hücreli kapasitif yüklü daha basit devreler için

— | + 4n:a: | - LCrin + 1 + 2a) (11)

cevaplarından bulunmuştur. Aynı devreler içir,önerilen formülasyonla hesaplanan teorik gecikmeve yükselme cevaplarıyla simülasyonla bulunannümerik sonuçlar karşılaştırılmıştır. örnek olarakalınan RLC merdiven devresinin {R = 10 n, L = 1nH, C = 10 pF) n = 2, 3 ve 5 için basamak cevabı,


gecikme ve yükselme zamanları tablo 2 ve 3' degösterilmiştir.

Çeşitli yük ve hücre sayısı durumları içindüzenlenen tabloların incelenmesi sonucundagecikme zamanlarının doğruluklarının hücre sayısıve yük kapasitesi arttıkça azaldığı, yükselmezamanlarının doğruluklarının ise yük arttıkçaarttığı, hücre sayısı azaldıkça azalmakta olduğuyorumu yapılabilir.

Sonuçlar:

Bu çalışmada, en genel durumda kapasitifyüklü üniform dağılmış RLC merdivendevrelerinde gecikme ve yükselme zamanlarınınpratik hesaplamaları için basit açık formülasyonlarönerilmiştir. Formüllerin elde edilmesinde Elmoretanımları ve n - hücreli üniform dağılmış RLCmerdiven devresinin transfer fonksiyonukullanılmıştır. Transfer fonksiyonunun hesabında,devrenin transmisyon parametre matrisindenyararlanılmıştır. Gecikme ve yükselme zamanlarıiçin önerilen eşitlikler, hücre sayısı n ve R, L, Cdevre parametreleri ve yük kapasitesi cinsindenhesaplanabilmektedir. n = 2, 3, 5 özel durumlarıiçin önerilen formülasyonların doğruluğu ayrı ayrıtest edilmiştir. Gecikme zamanlarınındoğruluklarının hücre sayısı ve yük kapasitesiarttıkça azalmakta olduğu, yükselme zamanlarınındoğruluklarının ise yük arttıkça artarken hücresayısı arttıkça azalmakta olduğu gözlenmiştir.

Kaynaklar:

[1] R.C. Sarasvvat, F. Mohammadi "Effect ofScaling of Interconnection on the Time Delay ofVLSI Circuit", IEEE Trans. Electron Dev., Vol. ED -29, pp. 645-50, 1982,[2] H.B. Bakoğlu, J.D. Meindi, "OptimalInterconnection Circuit;* for VLSI", IEEE Trans.Electron Dev., Vol. ED - 32, pp. 903 - 909, 1985,[3] C.A. Marinov, P. Neittaanmaki, "MathematicalModels in Electrical Circuits: Theory andApplications", Boston, MA, Kluwer Academic,1991,[4] M. Cases, D.M. Quinn, "Transient Response ofUniformly Distributed RLC Transmission Lines",IEEE Trans. Circuits and Syst., Vol. 27, pp. 200 -207, 1980,[5] M.G. Harbour, J.M. Drake, "Calculation ofSignal Delay in Integrated Interconnections","IEEE Trans. Circuits and Syst., Vol. 36, pp. 272 -276,1989,[6] C.A. Marinov, "The Delay Time for a RCGLine", Int. J. of Circuit theory Appl., Vol. 15, pp. 79-83, 1987,[7] C.A. Marinov, P. Neittaanmaki, "A Theory ofElectrical Circuits with Resistively CoupledDistributed Structures Delay Time Predicting",

IEEE Trans. Circuits and Syst., Vol. 35, pp. 173183, 1S8S,[8] J. M. Zanade, T. Lin, "Eçuivalent DominantPole Approximation of Capacitively Loaded VLSIInterconnection", IEEE Trans. Circuits and Syst.,Vol. CAS - 34, pp. 205 - 207, 1987,[9] J. Rubinstein, P. Penfield Jr., MA Horowitz,"Signal Delay in RC Tree Netvvorks", IEEE Trans.Computer Aided Design, Vol. CAD - 2, pp. 202 -211,1983.


ÇOK DEĞİŞKENLİ SİSTEMLERDE KARESEL İNDİRGEMEN. KARAYILANOĞLU , A. URAZ

Hacettepe Üniversitesi

Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü

06532 Beytepe - ANKARA

ABSTRACT

The aim of this work is to obtain the desiredsquared down plants in multi input multi outputcontrol systems. İn order to square down non - sçuaresystems, post and pre compensators are introducedsuch that the resulting system has an equal number ofinputs and outputs. The first design techniçue that isused in this work, is based on the iterativeconstruction of a special coordinate basis (SCB)which involves a certain regrouping of the input-output vahables by defining new state variables.By using SCB method; dynamic, asymptoticallystable compensators can be designed. The seconddesign technique that is used in this work, is based onrational rnatm greatest common divisors (GCD). Byusing this method, it is possible to design stableminumum - phase squaring down compensators formultivariable plants.

SİMGELER

tR ; gerçel sayılar alanı,R ; rasyonel s işlevlerinin bir halkası,Rp ; rasyonel s işlevlerinin bir alt halkası,RpU ; karmaşık s-düzleminin Ll bölgesinde, rasyonels işlevlerinden oluşan Rp' nin bir alt halkası,

) ; öğeleri RpU' a ait olan matrisler kümesi,) ; öğeleri Rpü ünimodüler matrislerinden oluşan)' nın alt kümesi,

Uzun (geniş) matris ; satır (sütun) sayısı sütun (satır)sayısından fazla olan matris,A '; A matrisinin devriği,X(A) ; A matrisinin özdeğerleri kümesi,I ; birim matris,D, ; D matrisinin dikdüzgün tümler matrisi olarak

tanımlanmıştır.

1. GİRİŞ

Çok girişli çok çıkışlı denetim sistemlerinde kareselbir yapının olmayışı denetleç tasarımında zorluklaryaratmaktadır.Kareselleştirme şu şekilde açıklanabilir;çok değişkenli sistemlerde ölçülen çıkış değişkenleridenetim girişlerinin sayısından fazla ise veya denetimgirişlerinin sayısı çıkış değişkenlerinden fazla ise; yaçıkışları birleştirip yeni bir çıkışlar kümesi oluşturulurve bu kümedeki çıkışların sayısı da denetimgirişlerine eşit tutulur ya da denetim girişlerininsayısını azaltacak şekilde düzelteçler tasarlanabilirBöylece kareselleştirme yapılmış sistemler, yaygınkullanılan geri beslemeli tasarım yöntemlerine uygunhale getirilmiş olur.

Karesel indirgeme probleminin duruk (static) ön vearka düzelteçler ile çözümü birçok araştırmacıtarafından irdelenmiştir. Bunlar arasında Davison [6],Karcanias ve Giannakopoulos [71, Kouvaritakis veMacFarlane 181 ve Vardulakis [9] sayılabilir. Kareselindirgenmiş bir sistemde, özgün sistemde var olansonlu sıfırlar yanında, eklenen birtakım sıfırlar kümesisöz konusudur. Eklenen bu sıfırlar ön ve arkadüzelteçler aracılığıyla açık sol yarı karmaşıks-düzleminde istenilen yerlere yerleştirilir. Ancak buişlemi gerçekleştirmek, duruk düzelteçlerkullanıldığında her zaman olanaklı değildir. Solevrilebilir sistemlerde Vardulakis (91, sağ evrilebilirsistemlerde Davison [61, duruk düzelteçler kullanılarakelde edilen karesel indirgenmiş sistemlerin istem dışıolarak en küçük evreli (nonminumum phase)olmadıklarını göstermişlerdir.

Bu çalışmada Matlab ortamına uygun olarak ön vearka devingen (dynamic) düzelteçler tasarlanmış vesistemin karesel yapıya getirilmesi sağlanmıştır, ilktasarım tekniği olarak, Saberi ve Sannuti' nin M, 21,önerdikleri özel koordinat tabanlı dönüşümler (SCB)kullanılarak, önce sistem alt sistemlere ayrılmaktadır.Bu alt sistemlerde ise, çıkış geri beslemesikullanılarak kutup yerleştirme işlemi yerini eklenensıfırların karesel indirgenmiş sisteme yerleştirilmesinebırakmaktadır. Arkasından karesel indirgemesorununun çözümü için ön ve arka düzelteçlertasarlanmakta ve böylece eklenen sonlu sıfırlar açıksol yarı karmaşık s-düzlemine yerleştirilmişolmaktadır, ikinci tasarım tekniği olarak, Safonov veLe'nin [111 çalışmaları temel alınarak, rasyonelaktarım matrislerinin rasyonel matris en büyük ortakböleni (GCD) için durum uzayı yapısı verilmiştir.Ayrıca GCD sonuçlarının çok değişkenli sistemlerdekararlı ve en küçük evreli karesel indirgemedüzelteçlerinin tasarımı probleminin çözümünde nasılkullanıldığı da gösterilmiştir. Bu tür düzelteçler için biruygulama olarak, Hr; denetim problemleri verilebilir.Matris GCD'nin sistem teoremindeki önemi daha önceRosenbrock [31, VVolovich [41, ve Kailath'ın [51çalışmalarında vurgulanmış olmasına karşın bütünyararlılıkları ve tasarım yaklaşımlarındaki rolütanıtılmamıştır. Bu durumun olası nedeni matrisGCD'nin hesaplanabileceği güvenilir bir algoritmanıneksikliğidir. Yazında var olan algoritmalar, çokterimlimatrislerin basit satır ve sütun işlemleri temelinedayanmaktadır. Bu algoritmalar ise bilgisayarortamında uygulanması zor olan algoritmalardır.


2. TASARIM YÖNTEMLERİ

2.1 Özel Koordinat Tabanlı Sistemlerde Kareselİndirgeme

Bir î sistemi ele alınsın;

v = .İv + Bû , y C i

Burada x e « n , y e W r , u e t t m , B ve C ise dolukerteye (full rank) sahip matrislerdir. C£el koordinattabanlı sistemlere göre bu gösterimin yeni dönüşümüaşağıdaki gibi olur [1, 2J;

x = (;, .V V ( i . y'r , .!•; , û = (J,[H'., v'l

xb = Abbxb + i-hj-y/

Yukarıdaki eşitliklerde G1: G2, G3 tekil olmayan (non

singular) dönüşüm matrisleridir. Burada, xa ei'î"a ,

y h e W

olarak tanımlıdır.

Yeni giriş ve çıkış değişkenleri u, e W q \ y ] t e^ i 1 ' 1 ,

y l h e v.'îr' ve yeni durum değişkenleri xlf ve x ıb şu

şekilde verilebilir;

X f - < X V . X 2 f . ~ - X v y • -V, =(.x]b .*•„ r\hr,

> • / = (y'ır • y ' 2 f >%• >' < yh " (v'ib • y'jh ••••< yi* >'.

" "• C") . ıı2 "i / . -v(/- -"- (x'h_, , .r;,,., x'l0 )' ,

x,b :" C-Vh;/-; • -vfc3-? xh,o )

Burada,j=1, 2 i olmak üzere x,M es.Hq" , x b j M e'.'i'1

olarak verilmiştir, k < n oian bir artı tamsayı, q, ve r,

ise i = 1,2 k olmak üzere tamsayı indeksleridir.

Sol Evrilebilir Sistemler

Ele alınan £ sistemi, SCB sistem yapısına uygunhale getirilmektedir. Bir sistemin sol evrilebilir olmasıiçin xc durumunun ve v girişinin sistemde olmamasıgerekir, böyle bir sistem ise bozulmamış(nondegenerate) sistem olarak tanımlanır. Busistemlerde çıkış değişkenlerinin sayısı denetimgirişlerinin sayısından fazladır. Burada, çıkışdeğişkenlerini karesel indirgeyebilmek için devingen'A ı ; A/ arka düzelteçleri tasarlanmaktadır.

Yukarıda verilen kararlılaştırılabilir (stabilizable) vealgılanabilir (detectable) bir sistem ele alınsın,u = -Fx + u0 istenilen durum geri besleme denetimkuralıdır ve A(A-BF) sol yarı s-düzleminde yeralmaktadır. Burada u0 yeni açık döngü denetimidir.Bu durumda en küçük dereceli gözetleç;„• e>„>»/>> "_\ ei'î'""'° '" '".M e-X(" r)''' matrisleri

ile gösterilebilir. Şu eşitlikler sağlanırsa;

i- WA - /vW+ MC

ii- kerte(W C) = n ,

iii- ).(N) sol yarı s-düzleminde olmalı,

arka düzelteç eşitlikleri [o\,/] =[/c ( " ] ' / •

üzere aşağıdaki gibi olur [1];olmak

y - y r + J + G:

Sol evrilebilir , kararlılaştırılabilir ve algılanabilir

sistem İ ve aktarım işlevi //(.v) elimizde iken

karesel indirgenmiş sisteme Z»,,,p ve aktarım işlevine

Hkılte{s) denirse, Hkarc(s) şu şekilde elde edilir;nk«,As) ~ ^,,,*,,(s) / /(v) v e ^k«,c

s u özellikleri taşır;

i- Zt.,,,(, evrilebilirdir,

ü- Tkt,ıc' in değişmeyen sıfırları = f;1 indeğişmeyen sıfırları + A(N) + A(Ahh - Lh/F) ' dir. Budurumda Z(ı,,,,' in değişmeyen sıfırlarının sayısına + 2nb -pb olur,

iii- ! , . „ , , ' in devingen derecesi n + nb - pb 'dir,

iv- I ; ( P c.' in kutupları = X' in kutupları+ /.(A/)' dir.

Devingen düzelteç tasarımı için e = W xb - z,

xn ~[xl,-x'h•'"'] olarak seçilirse, yukarıda verileneşitlikler kullanılarak Y.ktve için aşağıdaki devingendenklemler yazılabilir;

ve burada

O O

T/...1/-,„• =

0

olmaktadır.

Sağ Evrilebilir Sistemler

Sağ evrilebilir sistemlerde, xb ve yh sistemde yeralmaz Bu sistemlerde denetim girişlerinin sayısı çıkışdeğişkenlerinden fazladır. Bu çalışmada denetimgirişlerini karesel indirgeyebilmek için 'Koıı' öndüzelteçleri tasarlanmıştır, iki ayrı sorun olan, sağevrilebilir sistemler için ön ve sol evrilebilir sistemleriçin arka düzelteç tasarlamak, cebirsel olarak


birbirinin çiftesi olan işlemlerdir. K6n tasarlanırken şubasamaklar uygulanır;

i - sağ evrilebilir sistemin çiftesi alınır,ii - çifteş sistem SCB sistemlere uygun hale

getirilir,iii - (Abb , Lbf

çiftesi tasarlanır vetasarlanmış olur.

Cb)' nin çiftesi ile A"devriği alınır, böylece

arka nınK

2.2 Rasyonel Matris GCD ve Karesel İndirgemeDüzeltecinin Durum Uzayı Gösterimi KullanılarakTasarımı

Bir sistem için verilen durum uzayı yapısı; uzun, dolukerte, ka.arlılaştırılabilir, rasyonel ve uygun biraktarım matrisi G{s) e M(RPQ)' e sahip olsun. Enküçük boyutlu olması gerekmeyen bu sistem,aşağıdaki gibi gösterilebilir;

G(.v)=|

Burada A e\H

-si

C

B

B

D

yrn , D e «p >m' dir. Bu sistemlerde, çıkış değişkenlerinin sayısıdenetim girişlerinden fazladır. G(s) dolu kerte, D isedikdüzgün sütunlara sahip matrisler olmalıdır. G(s)sistemine çıkış geri beslemesi D' ve denetlenebilirve gözlenebilir özbiçim dönüşüm matrisi Tuygulandıktan sonra elde edilen yeni sistem aşağıdakigibi olmaktadır;

-si + ,1

C

B

D

-si + T(A-BD'C)TA

TB

D D'CT' D

Bu çalışmada G(s) gerçekleştirmesi, Hankel modelindirgeme yöntemi kullanılarak en küçük evreli,denetlenebilir ve gözlenebilir bir alt gerçekleştirmeyeindirgenmektedir [10]. Yeni sistem (Ân.B, .?, .D);

F, e W durum geri beslemesi, H, e s.H n| ''

çıkış içeri atması (output injection) olmak üzere,A(ÂU B,F,) ve /HÂn-f-^C,), sol yarı karmaşıks-düzleminde yer alacak şekilde tasarlanmıştır [ 1 1 ] .

Karesel indirgeme sorununun çözümü için tasarlanandevingen karesel indirgeme arka düzelteci U Q (s),aşağıdaki özelliklere sahiptir;

i- Uü(s) kararlı ve en küçük evrelidir,

İi-Karesel indirgenmiş sistem G(s) = UQ(s)G(s)'

in, sağ yan karmaşık düzlemde sıfırları yoktur.iii- Karesel indirgenmiş sistem G(s), özgün

sistem G(s) ile aynı A matrisine sahiptir.

Bunun sonucu olarak, devingen derecesi ve özdenklemi aynıdır.

Tasarlanacak arka düzelteç aşağıdaki gibi verilmişolsun;

r-si + A - H C \ B IV +H D D'

İl II: I 111

-iy c

D'

D'

Yukarıda verilen gerçekleştirme, D,; (s) arkadüzeltecinin en küçük gerçekleştirmesidir. Aktarımmatrisi D a (s) ,/?/)Q-ünimodülerdir.Karesel indirgenmiş

sistem Ğ(s), G(s) sisteminin Uo(s) arka düzelteci ileardarda bağlanması sonucu aşağıda görüldüğü gibielde edilmektedir;

-si + A

I

Burada, T, Hankel model indirgemesinde kullanılan,

tekil olmayan dönüşüm matrisidir. G(s) kare birsistemdir ve G(s) sisteminin en büyük ortak sağbölenidir (GCRD). Böylece özgün sistem, kareselindirgenmiş en küçük evreli sistem haline gelmiş olur.Geniş matrislerde karesel indirgeme konusu da, uzunmatrislerin çiftesi olan işlemlerdir.

3.ÖRNEKLER

3.1 SCB Tasarımı

4 durumlu,1 girişli, 2 çıkışlı aşağıda verilen sistem elealınsın;

x =

0

I

0

0

0

0

I0

0

0

0

1

o"0

0

0

-t +

r0

0

0

f() 0 1 öl 10• [ı o o ıj [o

Bu sistem sol evrilebilir, denetlenebilir, gözlenebilir veen küçük evreli bir sistemdir. Eğer eklenecek sıfırlar{-1, -2. -3, -4, -5) olarak girilirse ve

I! =- 2 O 1

•3 1 Oseçilirse tasarlanan arka düzelteç ve

karesel indirgenmiş sistem aşağıdaki gibi elde edilir;

+ 3s + 2s' + 15.v + 120 -6 l.r + 388.V + 449

ELEKTRİK, ELEKTRONİK, BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ 7 ULUSAL KONGRESİ

0

-47

-1

0

0

1

-12

0

0

0

0

60

0

0

0

0

-59

0

0

1

0

12

0

-2

_3

xa +

0

0.5774

0

0

0

jy=[-873 -168 1247 -1247 \0l]xa + u

y=yf-6lyb+[U2 21 -102 102 -2l]xfl

3.2 GCD Tasarımı

Yukarıda verilen örneğin çiftesi (dual) olan sistem elealınsın [6];Bu sistem sağ evrilebilir, denetlenebilir, gözlenebilirve en küçük evreli, geniş bir sistemdir. Durum geribeslemesinin kutupları {-2.5, -4, -5); çıkış içeriatmasının kutupları {-2.75, -3, -3.5) olarak girilirse,tasarlanan ön düzelteç ve karesel indirgenmiş sistemaşağıdaki gibi elde edilir;

-5+16.9393 -29.2299 16.0702

17.7299 -.v- 28.4393 16.0702

1.3774 -1.3774 -s

-12.5846

-0.4591

-j 1 0

0 -5 1

0 0

.0

0

20.9333 -11.3333

0.4591 0.0000

111.2585

112 3475

7.3750

-79.2083

0.0417

-5

.0...

o

0

0

1

—s.

0

0.0417 "

0

-79.2083

...0,04.17..

0

Görüldüğü gibi, Davison [6] tarafından durukdüzelteçler ile karesel yapıya indirgenemeyen busistem, devingen düzelteçler ile karesel yapıyakavuşturulmuştur.

4. SONUÇ

Her iki yöntemde de karesel indirgeme problemi,sonuç olarak kutup yerleştirme probleminedönüşmüştür, ikisi de son derece verimliyöntemlerdir. Her iki yöntemde de en küçük evreli,kararlılsştınlabilir ve algılanabilir sistemler eldeedilmiştir. Ancak Saberi ve Sannuti' nin ilk olarakçalıştıkları özel koordinat tabanlı sistemlerde özgünsistemin giriş çıkış değişkenleri belli yeni gruplaraayrılıp, yeni değişkenleı tanımlanmaktadır. Bunedenle anlaşılması ve uygulanması biraz daha zorolarak yorumlanabilir. Ayrıca SCB yöntemindesistemin derecesi artmaktadır. GCD yöntemi isesistemin derecesi ve öz denklemi aynı kalmaktadır.

Teşekkür: Yazarlar, SCB Toolbox' ını sağlamasındandolayı Doç. Dr. Kurtuluş Özçetin' e teşekkür ederler.

5. KAYNAKÇA

[I] A.Saberi ve P.Sannuti , " Squaring Down by Staticand Dynamic Compensators," IEEE Trans.Auto.Contr., vol.33, no.4, pp.358-365, 1988.(2] H.K.Özçetin, A.Saberi ve P.Sannuti "Specialcoordinate basis for order reduction of linear..."Int.J.Contr., vol.52, no.1, pp.191-226, 1990.[3] H.H.Rosenbrock, "State space and MultivariableTheory." London, U.K.: Nelson, 1970.[4] W.Wolovich, "Linear Multivariable Control ." NewYork:Springer-Verlag, 1974.[5] T.Kailath, "Linear Systems." Englevvood Cliffs, NJ:Prentice-Hall, 1980.[6] E.J.Davison, " Some properties of minumıımphase systems and 'squared-down' systems," IEEETrans.Auto. Contr.,vol.AC-28, pp.221-222, 1983.[7] N.Karcanias ve C. Giannakopoulos, "Grassmaninvariants, almost zeros and the determinantal zero,...", lnt.J.Contr.,vol.40, no.5, pp. 673-698, 1984.[8] B. Kouvaritakis ve A.G.J.MacFarlane , "Geometricapproach to analysis and synthesis of systemzeros:Part 2, Nonsquare systems" lnt.J.Contr.,vol.23,pp. 167-181, 1976.[9] A.I.G.Vardulakis, " Zero placement and the'squaring down' problem : A polynomial matrixapproach," Int.J.Contr., vol.31, pp. 821-832, 1980.[10] R.Y.Chiang , M.G.Safonov , " Robust ControlToolbox," South Natick , MA: Mathworks,1988[II] Viet X. Le ve Michael G. Safonov, " RationalMatrix GCD's and the Design of Squaring DownCompensators - A State Space Theory - ," IEEETrans.Auto. Contr., vol.37,no.3, pp.384-391, 1992.

Nida KARAYILANOĞLU, 1990' da HacettepeÜniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliğibölümüne girdi. 1994' de bu bölümden elektronikmühendisi olarak mezun oldu. Aynı yıl aynı bölümearaştırma görevlisi olarak alındı. Halen aynı bölümündenetim sistemleri anabilim dalında yüksek lisansyapmakta ve araştırma görevlisi olarak görevinedevam etmektedir.

Alper URAZ , 1965-1975 yılları arasında İngiltere' deSalford Üniversitesi'nde mühendislik ve lisansüstüöğrenimi gördü. 1970' de elektronik mühendisi, 1971'de elektronik denetim dalında yüksek mühendis ve1973' de ise denetim sistemleri dalında doktoraunvanlarını aldı. 1973-1975 arası Salford Üniversitesi'nde araştırma uzmanı olarak doktora sonrasıçalışmalarda bulundu. 1976'da öğretim görevlisiolarak girdiği Hacettepe Üniversitesi' nde 1979 ' dadevreler ve sistemler dalında doçent oldu. 1984-1991yılları arasında Malezya Teknoloji Üniversitesi' ndeöğretim üyesi olarak çalıştı. 1988 'de profesör oldu.1991'de yurda dönerek yine Hacettepe Üniversitesi,Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü' ne katıldı.Ulusal ve uluslararası dergilerde yayınlanmış vebilimsel toplantılarda sunulmuş 40' in üzerindebilimsel eseri bulunmaktadır.


Yeni Bir Anahtar Tanımlı Bond Graf Modelini Kullanarak

Lineer Olmayan Sistemlerin Analizi

Mustafa POYRAZ, Yakup DEMİR ve Arif GÜLTEN

Fırat Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü

23279-ELAZIĞ

ABSTRACT

İn this article, the analysis of nonlinear systems are

presented by using the bond graph model with a new

switch definition. For this purpose, the computer

program BONDAN is vvritten. The most important

feature of this study is that a new svvitch definition

which is more simple and more appropriate to the

physical system, is used.

1. Giriş

Bond graf tekniği sistemlerin modellenmesi amacıyla

geliştirilen son yöntemlerden birisidir [1,2]. Klasik

anlamda bilinen graVıT ile bond graf tekniği arasında

sıkı bir benzerlik vardır. Bond graf tekniğinin klasik

topolojik düzlemsel graflarla yapılan sistem analizine

göre üstünlüğü, herhangi bir karmaşık yapılı fiziksel

sistemin modelinin geometrik ve gözleme dayanan bir

yolla doğrudan sisteme bakılarak elde edilebilmesidir.

Ayrıca enerji kapılarının bir başka kapı ile kontrol

edilmesi durumunda da bond graf yöntemi

avantajlıdır. Bond graf tekniğinin en önemli

özelliklerinden birisi de, bond graf modelinin elde

edilmesi ile değişik enerji modundaki sistemlerin

(karmaşık yapılı sistemler) tek bir modele dönüşmesi

ve bu model üzerinde işlem görmeleridir. Ayrıca

sistemdeki enerji alış verişi model üzerinde ilk bakışta

açıkça görülür, bu da tasarımcıya kolaylıklar sağlar.

Son yıllarda bir çok yazar bond graf metodunu

kullanarak elektrik devrelerinin ve sistemlerin analizi

için çalıştı [3-4].

Elektrik devrelerinin ve sistemlerin analizi için bir çok

yöntem vardır [5-7]. Günümüzde anahtarlar özellikle

elektronik ve güç elektroniği endüstrisinde oldukça

fazla kullanılan devre elemanlarından birisidir

Özellikle lineer olmayan sistemlerin, parça-parça

lineerlik yaklaşımı yapılarak lineer sistemlere

dönüştürülmesi sonucu ve son yıllarda bu yaklaşımın

öneminin artması nedeniyle anahtarlar vazgeçilmez

devre elemanlarından birisi olmuştur [8,9]. Bond graf

tekniğinde anahtar tanımı MTF (Modula-

TransFormator)1 ye seri bağlı bir dirençle yapılır. Bu

tanım anahtarların açık ve kapalı durumları için farklı

direnç değerleri gerektirmektedir. Bazı yazarlar bond

graf tekniğinde anahtarı, ideal akım (anahtar açık) ve

gerilim (anahtar kapalı) kaynağı kullanarak

modellemişlerdir, fakat bazı elemanların kozalitelerini

garanti etmek için ilave bir 0-kapısı ve bu kapıya bağlı

ilave bir direnç eklemek zorunda kalmışlardır [10].

Dolayısıyla bu ilaveler modeli daha karmaşık hale

getirmektedir. Yukarıdaki tanıma göre, modelleme ve

simulasyonda anahtarla-rın farklı her pozisyonu için

farklı bond graf modeli kullanılması zorunludur.

Bunların sonucu olarak hem bigisayar zamanı

artmaktadır hem de bellek gereksiz yere işgal

edilmektedir.

Bond graf modelinde hem modeli karmaşıklaştırma-

yan hem de formulasyon ve çözüm aşamasında

bilgisayar belleği ve zamanının ekonomik biçimde

kullanılmasını sağlayan yeni bir anahtar tanımı ve

anahtarlar içeren sistemlerin formulasyonu [11]' de

verilmiştir. Bu amaçla hazırlanan bilgisayar yazılımına


ilişkin bilgiler ve akış diyagramı [12]' de, bu

yaklaşımın güç elektroniği devrelerine uygulanması

da [13]' de ele alınmıştır. Bu bildiride yukarıda

bahsolunan bond graf modelinde yeni anahtar tanımı

kullanılarak lineer olmayan sistemlerin analizi ele

alınmıştır. Bu amaçla hazırlanan BONDAN isimli

bilgisayar programına ait bazı sonuçlar verilmiştir.

2. Modelleme, Formülasyon ve Çözüm

Bu çalışmada anahtarlar, ilave bir 0-kapısı ve bu

kapıya bağlı ilave bir direnç eklemeksizin değerleri

sıfır olan ideal akım ve gerilim kaynağı kullanılarak

modellendi [11]. Anahtarlara ilişkin bond graf modeli,

anahtarların açık ve kapalı pozisyonları için Şekil: 1

'de verilmiştir, sistemin bond graf modeli sistemdeki

anahtarların hepsinin açık olduğu tek bir sistem

durumu için elde edilir. BONDAN programı SDAP

(Sistem Durumu-Anahtar Pozisyonu) matrisini

kullanarak ilk bond graf modelinden, anahtarların

konum değiştirmesi ile oluşan diğer bond graf

modellerine geçişi sağlar. Kozaliteler formülasyon

aşamasında program ,'çerisinde göz önüne alınır

(a)

Sdsf)

(b) (c)ŞEKİL: 1"a) Anahtarlı bir elektrik devresi ve bond graf

modelleri; b) anahtar açık, c) anahtar kapalı"

Bond graf modeli bilinen metodlar kullanılarak elde

edilir [12]. Elde edilen bond graf modelinde O-kapıları

numaralandırılır. Bond graf modeli oluşturulduktan ve

numaralandırma yapıldıktan sonra bu modele

bakarak hazırlanan programa data olarak girilecek

değişkenlerin tanımı [11,12]' de verilmiştir. Bildin

uzunluğunun sınırlı tutulması nedeniyle anılan

değişkenlere ilişkin daha açık bazı bilgiler Bolum 3'

deki örnekte verilecektir.

Bond graf modelinde 0 ve 1 kapıları ve bunlara bağlı

elemanlar bulunmaktadır. Programın mantığı; 0-

kapılarındakı elemanları ve geri kalan 1-kapılarındaki

elemanlarında her birini bağımsız birer 0-kapısı

varsayan bir tanımlamayla düğümler matrisi

oluşturmaktadır. Bu oluşumda N eleman sayısı, ND

yukarıdaki tanımlamaya göre program içerisinde elde

edilen ve sistemdeki bağımsız düğüm sayısına karşı

düşmek üzere 0-kapısı sayısı ise satır sayısı ND ve

kolon sayısı N olan düğümler matrisi:

şeklinde yazılır ve aşağıdaki gibi tarif edilir.

I. /. eleman i A) — kapısına htii.li ve sc çilmrş ener/i

akış yoniiiA) - kapısından gnltyt/r.scıI- I. j. eleman i.O — kapısına haili ve se çılııııs ener/ı

akif yöniıiA) ~ kapısına geliyorsa0. ı.elemanıA) ~ kapısınahtia.litlea.il.se

Böylece bond graf modelinden süreklilik matrisine

geçiş gerçekleştirilir. Süreklilik matrisi, elemanlara

ilişkin tanım bağıntıları ve istenilen çıkışlara ilişkin

tanımlar kullanılarak durum ve çıkış denklemlerine

geçiş [12]' de verildiği gibi olup

N+İ D,

d' , ,u

dt ' J

şeklinde elde edilir.

Durum ve çıkış denklemleri 4-adımlı Runge-Kutta

metodu kullanılarak çözdürülür. Çözümde SDAP

matrisindeki sistem durumu sırası gözönüne alınır.

Sistem durumları arasındaki geçiş zamanlan TM

vektörü ile, ilk sistem durumuna ilişkin başlangıç

değerleride BD vektörü ile girilir. Çözüm esnasında

bir önceki sistem durumunun son değerleri BD' de


depolanır ve bir sonraki sistem durumuna başlangıç

değerleri olarak aktarılır. Anılan değişkenlere ilişkin

daha açık bilgiler Bölüm 3' deki örnekte verilecektir,

istenilen çıkış değişkenleri GRAPHER alt programı

kullanılarak zamanın fonksiyonu olarak çizdirilir

3. Örnek

Bu örnekte Şekil: 2 a ve b' de görülen devre ve bond

graf modeli ele alınmıştır. Burada R,=1 ohm, R2=2

ohm, 0=0.05 F., L=0.5 H. ve V,=6 V.' dur. Bond graf

modelinden girilen datalar ve tanımları aşağıdakiler

gibidir

,o VW-

'1 IY3

w—

L

Rn L

(b)ŞEKİL 2: "a) örnek devre ve b) bond graf modeli"

N10 (=5): 1 ve O-kapılarının toplam sayısıdır. V10

(=/1, O, 1, 1, 01): 1 ve O-ların depolandığı vektördür.

NV10 (=/3, O, 2, 1, 21): 1 ve O-lara bağlı eleman

sayılarıdır. ET (=/VK, S, R, S, C, R, L, SI): Eleman

tiplerinin depolandığı vektördür. ED (=/0, O, 1,0, 0.05,

2, 0.5, 0/): Eleman değerlerinin girildiği vektördür.

NOB (=/0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 21): ET deki elemanları

tanımlayan bondun bağlı olduğu önceki numaradır.

NSB (=/1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 0/): ET deki elemanları

tanımlayan bondun bağlı olduğu sonraki numaradır.

NOB ve NSB vektörleri oluşturulurken elemanları

tanımlayan bondun boşta kalan uçlarının numarası

(0) kabul edilir. NC (=121): Çıkış değişkenlerinin

(DSDAP=(2)

(3)

"l

0

0

0

1

0

0""

0

1

, TM=

"12"

03

35

sayısıdır. YC (=/VÇ, İÇ/): Çıkış değişkenlerinin

isminin depolandığı vektördür. Çıkış değişkenlerine

ilişkin tanım denklemlerindeki terim sayılarının (YKS),

ilgili katsayıların (YTD) ve değişkenlerin (XYY)

depolandığı vektörlerde sırasıyla; YKS=/2, 21,

YTD=/1 ,-1,1,-1/, XYY=A/Ç, VC, İÇ, İL/ dir.

SDAP matrisi, TM ve BD vektörleride aşağıdaki

gibidir:

, IV=[5 0]

Burada, SDAP; Sistem durumlarına göre anahtar

pozisyonlarını gösterir. Elemanları 1 (anahtar kapalı)

ve 0 (anahtar açık) dır. Burada (1) nolu sistem

durumunda sadece S,, (2)' de sadece S2 ve (3)' de

sadece S3 kapalıdır. TM; Sistem durumlarındaki

bekleme sürelerini gösterir. Burada (1)' de kalma

süresi 1.2 s., (2)' de 0.3 s. ve (3)' de 3.5 s.' dir. BD; ilk

sistem durumuna ilişkin başlangıç değerlerinin girildiği

vektördür. Bu örnekte Vc(0)= 5 V., lL(0)=0' dır.

Bildiri uzunluğunun sınırlı tutulması nedeniyle

program tarafından elde edilen durum ve çıkış

denklemleri burada verilmemiştir. Kondansatör

gerilimi (Vc) ve indüktans akımı (IL)' nin zamana göre

değişimleri Şekil:3' deki gibidir.

4. Sonuçlar

Bu çalışmada lineer olmayan sistemlerin analizi, yeni

bir anahtar tanımli bond graf modelinden

yararlanılarak verilmiştir. Bu çalışmanın ve BONDAN

isimli programın en önemli özelliği, özellikle anahtara

yapılan daha basit ve fiziksel sisteme daha uygun

olan yeni bir tanım,n K.Jianılmasıdır. Dolayısıyla bu

tanım bond graf moa^lin.n daha karmaşık olmasını

önlemektedir. Ayrıca sisteme ilişkin tek bir bond graf

modelinin elde edilmesi yeterli olmaktadır. Oluşacak


0.0-

-4.0-

Vr(V)

ir (A)

t(s)

0.0 2.0 4.0 6.0

ŞEKİL 3: "Kondansatör gerilimi ve indüktans akımı"

diğer bond graf modellerine geçişler yazılım içerisinde

SDAP matrisi kullanılarak yapılmaktadır ve kozaliteler

yazılım içerisinde göz önüne alınmaktadır. Bunların

sonucunda formülasyon ve çözüm aşamalarında hem

bilgisayar zamanının hemde belleğinin daha

ekonomik kullanılması sağlanmaktadır. Ayrıca

BONDAN programı her sistem durumuna ilişkin

durum ve çıkış denklemlerini elde etmektedir ve

program istenildiği zaman bu denklemlerin başka

amaçlar için kullanılmasınada imkan verebilecek

şekilde hazırlanmıştır .

Ayrıca bond graf modelinin simulasyonu için yazılmış

ENPORT ve TUTSIM programlarıda vardır [14,15].

Ancak bu programlarda anahtara ilişkin bir tanım

verilmemiştir

Kaynaklar

[1] HM. Paynter, "Analysis and design of engineer-

ing systems", M.I.T. Press, Cambridge, 1961.

[2] A. Blundell, Bond graphs for modelling engineâr-

ing systems, Ellis Horvvood Lim., England, 1982.

[3] A. Castelain, J.P. Ducreux, G. Dauphin-Tanguy

and C. Rombaut, "Modelling and analysis of povver

electronic networks by bond graphs", IMACS-TCI 90

Nancy., pp. 405-410, France, 1990.

[4] D. Karnopp and R.C. Rosenberg, "Introduction to

physıcal system dynamics", Mc Graw-HİII, New York,

1983.

[5] L.O. Chua, C.A Desoer and ES Kuh, "Lınearand

non-linear circuits, Mc Graw H/7/., Systems Analysis

Volume I, 1987.

[6] A. Dervişoğlu., "State equations and inıtial values

in active RLC netvvork", IEEE Trans. Circuits Theory

(Corresp), Vol. CT-18: 544-547, 1971.

[7] B.C. Kuo, "Automatic control systems", Prentice

Hail Int., U. S. A., 1991.

[8] M. Koksal, "A fast convergent method for the

analysis of nonlinear systems with periodic

excitations", IEEE Int. Symp. On Circuit and Syst.

Proc, Vol 3-3:1362-1364, Montreal-Canada, 1984.

[9] M. Koksal and Y. Tokad, "On the solution of

linear circuits containing periodically operated

switches", Proc. European Conf. On Circuits Theory

and Design., Vol1:77-82, 1976.

[10] J. Buisson, "Analysis of svvitching devices with

bond graphs", Journal of the Franklin Institute, Vol.

330, No. 6, pp1165-1175, England, 1993.

[11] Y. Demir, M. Poyraz and M Koksal, "Derivation

of state and output equations for systems containing

Svvitches and a novel definition of a switch using the

bond graph model", Journal of the Franklin Institute.,

Vol 334 B, No. 2, pp. 191-197, England, 1997.

[12] M. Poyraz, Y. Demir and M. Koksal, "Lineer ol-

mayan sistemlerin bond graf modelinden yararlanarak

durum ve çıkış denklemlerini veren bir algoritma", 4.

Bilgisayar-Haberleşme Sempozyumu, Bursa, 1996.

[13] M. Poyraz, Y. Demir and M. Koksal, "Modelling of

povver electronic circuits using the bond graph

method vvith a novel svvitch definition", EPMC 97

Congress, İsrail, 1997.

[14] R.C. Rosenberg, "A user's guide to Enport-4",

John VVilley and Sons, U S A . , 1974.

[15] TUTSIM User's Manuel for IBM PC Computers,

'Version 6.5', Meerman Automation P.O. Box 154-

7160 AC Neede, Netherlands. 1983.


COLPİTTS OSİLATÖRLERİNİN KARARLILIĞI

Yakup ÖZKAZANÇElektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü

Hacettepe ÜniversitesiBeytepe, 06532 Ankara

ABSTRACT

İn this paper, the stability of oscillations of Colpittsoscillators is investigated. A nonlinear dynamicalmodel of Colpitts oscillators is analyzed first bylinearizing it to determine the conditions ofoscillations. Then, the same dynamical equations arestudied by using the method of harmonic balancevvhich gives estimates not only of the frequency butalso of the amplitude of the possible oscillations.Finally, Colpitts oscillators are analysed by using avariant of Hopf Bifurcation Theorem vvhich yieldsrigorous conditions for the existence and stability ofthe nonlinear oscillations.

Ancak, daha yüksek boyutlu dinamik sistemlerde, nelimit döngülerin varlığını tespit etmek ne de buperiyodik çözümlerin kararlılığını belirlemek basit biriştir. Limit döngülerin varlığı ve kararlılığı ile ilgili engüçlü yaklaşımlardan biri Hopf Çatallanmateoremidir[4,5,6]. Bu çalışmada, Colpittsosilatörlerinin oluşturduğu salınımların nitelikleri öncedoğrusallaştırma ve harmonik dengeleme yöntemleriile ele alınmış ardından Colpitts osilasyonlannınkararlılığı için yeterli bir dizi koşul Hopf teoremiaracılığıyla elde edilmiştir, ilk iki yöntemin yaklaşıklıktabanlı yaklaşımlar olmasına karşın, Hopf teoremiherhangi bir yaklaşıklık içermemekte ve kesinsonuçlar vermektedir.

GİRİŞ

Colpitts osilatörleri sinüs benzeri sinyaller üretmekiçin yaygın olarak kullanılan elektronik osilatöryapılarından biridir[1]. Elektronik osilatör yapılarınındinamik analizinde ve kararlılık etüdlerinde sıkçakullanılan yaklaşımlar; Barkhausen kıstası ilesonuçlanan doğrusal çözümleme yöntemi[1] ve dahakapsamlı bir yaklaştırma yöntemi olan harmonikdengeleme (tanımlayıcı fonksiyon / describingfunction) yaklaşımıdır[2,3]. Her iki yaklaşım da,Colpitts osilatörlerinin kararlılığını incelemek içinkullanılabilir. Nitekim, elektronik osilatör tasarımındaher iki yönteme dayanılarak çıkarılmış tasarım ilkelerikullanılmaktadır. Ancak, gözden kaçırılmamasıgereken nokta; bu yaklaşımların yaklaşıklık temelliyöntemler olduğu ve dolayısıyla bu yöntemlerleyapılacak osilatör tasarımlarının çalışmasının kesinolarak garanti edilemediğidir. Bunun nedeni, Colpittsosilatörlerinin, tüm diğer osilatörler gibi, özündenoniineer bir yapıya sahip olması ve osilatörlerindoğurduğu salınımların kararlılığını sağlayan unsurunnoniineer yapının kendisinden kaynaklanmasıdır. Bukonu, ilk bakışta sıradan bir karalılık analizi problemiolarak algılanabilir. Ancak, söz konusu olan; birdenge noktasının değil, bir osilasyonun kararlılığıdır.Dinamik sistem yaklaşımı ile formüle edersek; birelektronik osilatörün salınımlarının kararlılığı, durumuzayında bir sınır döngünün (limit cycle) kararlılığınakarşılık gelir, iki boyutlu (iki durum değişkenli)sistemlerde oluşabilecek sınır döngülerin kararlılığıüzerine geliştirilmiş bazı temel teoremler vardır[2,3].

COLPİTTS OSİLATÖRÜ

Sinüs sinyali benzeri osilasyonlar üretmek için yaygınolarak kullanılan osilatör mimarilerinden birisi deColpitts osilatörüdür. Biz bu çalışmada, Colpittsosilatörüne yönelik tüm çözümlemelerimizdeaşağıdaki generik modeli esas alacağız.

C ,

ŞEKİL1 Colpitts Osilatörü

Buradaki transistorun aktif çalışma kipinde çalışacakşekilde öngerilimlendirildiği varsayılmış, ancaköngerilimleme devresi modele dahil edilmemiştir.Öngerilimleme devresinin modele dahil edilmesi,Hopf yaklaşımı ile Colpitts osilatörünüçözümlememizi engelleyici hatta zorlaştırıcı bir rolesahip değildir. Bu osilatör modelini analiz etmek için,transistor için tek bir bağımlı akım kaynağındanoluşmuş basit bir model esas alınmıştır. Bu yapıda bir


modelin Colpitts osilatörlerinin analizinde yeterliolduğu bilinmektedir[7].

ŞEKİL: 2 Osilatörün Elektriksel Devre Modeli

Bu devredeki bağımlı akım kaynağı nonlineer olarakalınmış ve aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

1/6

Kısacası, f(0) = 0 olarak alınmış ve f fonksiyonununn. türevinin sıfırda aldığı değer an ile gösterilmiştir.Böylece, Colpitts osilatörünün tanımlayan türevseldenklemler kolayca yazılabilir:

(1)(2)(3)

CıV, =C2v2 =L l L =

İL-f(Vv2

0 - İ L- V, - RİL

Görüldüğü gibi Colpitts osilatörü üç değişkenlinonlineer bir dinamik sistem olarak ortaya çıkmıştır.Bu denklem setinin periodik çözümleri Colpittsosilatörünün kalıcı durum salınımlarıdır. Osilatörtasarımında esas problem, bu dinamik sisteminparametrelerinin, sistemin belirli bir sıklıkda kararlıperiodik çözümleri olması için belirlenmesidir. Bağımlıakım kaynağının nonlineeritesinden dolayı,oluşabilecek periodik çözümler saf sinüs sinyallerişeklinde olmayacaktır. Ancak, osilatörparametrelerinin uygun seçimi ile yüksek harmoniklerbelirli ölçülerde bastırılabilir ve Colpitts osilatörü sinüsbenzeri sinyaller üretmek için kullanılabilir.

noktası olarak aldığı kolaylıkla gözlenebilir. Budinamik sistemi, anılan sfır denge noktası etrafındadoğrusallaştıralım. Bu işlem, f ile gösterdiğimizdoğrusal olmayan fonksiyonu f = a,v, ile verilendoğrusal bir fonksiyon ile yaklaştırmaya karşılıkgelmektedir. Böylece, Colpitts osilatörü için doğrusalbir model elde ederiz:

(4)(5)(6)

Vı

\

= (1/C,)iL

= -(aı/C2)v= -(1/L)v,

1 - ( 1 / C+(1/L)v2

2)İL

- (R/L)İL

Bu lineer sistemde, özdeğer çözümlemesi yaparsak,a, = (R/L)(d + C2) olarak seçilmek koşulu ile;özdeğerler s, = jco, s2 = -jm, s3 = -(R/L) olarakbulunur. Burada, m2 = (1/L)((C, + C2)/(C,C2)) dir.Görüldüğü gibi, devre çok özel bir kazanç değeri için,belirli bir frekansda salınımlar yapabilir. Ancak, a,parametresinin transistorun doğrusal kazancı olduğuve bunun da kesin olarak yukarıdaki gibi seçmeninimkansızlığı göz önüne alınırsa; bu doğrusal modelinosilatörün çalışmasını tam olarak açıklayamayacağıortaya çıkar, aı parametresi yukarıdaki değerdenbüyük olursa, sanal eksen üzerindeki kökler karmaşıkdüzlemin sağ tarafına çekilir, doğrusal model kararsızhale gelir ve sinyaller büyüyüp giderler. at

parametersinin anılan değerden küçük olmasıdurumunda ise, sanal eksen üzerindeki köklerkarmaşık düzlemde sola kayarlar, doğrusal sistemasimptotik anlamda kararlılaşır ve sinyaller zamanlasönerler. Kısacası, a-ı parametresinin yalnızca çoközel bir değeri için kalıcı salınımlar mümkündür.Ayrıca, bu doğrusal çözümleme, oluşabileceksalınımların genliği hakkında bir kestirim yapmamızada olanak tanımamaktadır. Tüm bunlar, doğrusal birmodelin Colpitts osilatörünün çalışmasını tam olarakaçıklayamadığını bize gösterir. Elektronikliteratüründe karşılaştığımız açıklama; sinyalleringenliğinin büyümesi durumunda transistorun efektifkazancının azalması ve sinyallerin genliğininküçülmesi durumunda kazancın büyümesine yol açansatürasyon nonlineeritesidir. Bu açıklama nitelikselolarak doğrudur, ancak bu iddayı kesin ve net birşekilde ifade etmek gerekmektedir.

DOĞRUSALLAŞTIRMA

Doğrusal olmayan bir sistemin analizindebaşvurabileceğimiz ilk yöntem doğrusallaştırmadır.Doğrusal olmayan bir sistemde dinamik değişkenlerinküçük olduğu çalışma koşullarında, sistemin doğrusalolmayan unsurlarının yaklaşık olarak doğrusal olarakdavranacağı ilkesinden hareketle elde edilen doğrusalmodeller ve bu modellere dayanılarak yapılananalizler doğrusal olmayan sistemin bazı özellikleriniele verebilirler. (1),(2),(3) denklemleri ile verilennonlinear dinamik sistemin, tüm elektrikseldeğişkenlerin sıfır olduğu çalışma noktasını bir denge

HARMONIK DENGELEME ANALİZİ

Genliğe bağımlı kazanç fikri sistem literatüründetanımlayıcı fonksiyon (describing function) kavramınayol açmıştır[2,3]. Doğrusal olmayan statik birelemanın girişine sinüsoid bir sinyal uygulanırsa,elemanın çıkışındaki sinyal yine periodik olur, ancakbu saf bir sinüs sinyali değildir. Çıkıştaki bu periodiksinyalin ilk harmoniğini belirler ve bu ilk harmoniğingenliği ile giriş sinyalinin genliğini oranlayacakolursak, doğrusal olmayan elemanı genliğe bağlıolarak değişen bir kazanç ile yaklaştırmış oluruz.Sistemdeki diğer dinamiklerin yüksek harmonikleri


bastıracağını varsayarsnk, yapdığımız yaklaşımanlam kazanır ve sistemdeki salınımın birinciharmoniklerini eşitlemeye çalışarak, doğrusalolmayan bir sistemde oluşabilecek salınımlarınsıklığını ve genliğini kestirebiliriz. Ayrıca, tanımlıyıcıfonksiyon yardımı ile olası osiiasyonlarmkararlılıklarını da bazı doğrusal kararlılıkyöntemleriyle kestirmek olasıdır. Kontrolmühendisliğinde kullanılan harmonik dengelemeyöntemi, Colpitts osilatörüne de kolaylıklauygulanabilir. Bunun için, Colpitts osilatöründe yeralan f nonlineeritesini bir tanımlayıcı fonksiyon(describing function) ile yaklaştırılması ve Standardbir harmonik dengeleme analizi yapılması gerekir.Osilatör devresinde doğrusal olmayan elemanıtanımlayan f fonksiyonunun tek (odd) bir fonksiyonolduğu varsayılmış ve Standard bir çözümleme ilekalıcı osilasyonların varlığı ve kararlılığı içinaşağıdaki koşullar elde edilmiştir.

(7)(8) a3

> (R/L)(d + C2)< 0.

Birinci koşul, osilatörün kapalı döngü kazancınınbirden büyük olması anlamına gelir ve Barkhausenkıstasından elde edeceğimiz koşul ile aynıdır. İkincikoşul ise, transistorun efektif kazancının genlikarttıkça azalması gerektiğini (satürasyon) ima eder.Harmonik dengeleme çözümlemesi, bu iki koşulunsağlanmasının Colpitts osilatörünün kararlı birsalınımı için yeterli olacağını bize söyler. Ayrıca, aynıyöntem ile oluşabilecek kararlı salınımların genlği Ave sıklığı m aşağıdaki gibi kestirilir:

(9) A = ((8/a3) ((R/L)(d + C2) - a,))05

(10) o>= C2)/(dC2))) 05

Görüldüğü gibi, sıklık için harmonik dengelemeyöntemi ile elde edilen kestirim doğrusallaştırmayöntemiyle elde ettiğimiz kestirimin aynısıdır. Kararlısalınımların varlığı ve kararlılığı ile ilgili koşullar (7,8)sağlansa bile; bu bize kesin olarak böyle salınımlarınoluşacağını garantilemez. Çünkü harmonikdengeleme yöntemi de özünde bir yaklaşıklıkyaklaşımına dayanmaktadır.

Bir aşamada, Colpitts osilatörlerinin kalıcı durumsalınımlarının kararlılığını incelemededoğrusallaştırmanın ve harmonik dengelemeyönteminin bize kesin sonuçlar veremediği ortayaçıkmıştır. Doğrusal olmayan sistemlerin oluşturduğusalınımları ve bunların kararlılıklarını etüd etmek içingeliştirilmiş en güçlü araç Hopf çatallanma teoremidir.

HOPF ÇATALLANMA ANALİZİ

Dinamik bir sistemde, bir parametrenin kritik birdeğeri aşması ile sistemin davranışının niteliğinin

değişmesi çatallanma (bifurcation) olarak adlandırılır.Colpitts osilatörünün doğrusal analizinde; yalnızcakritik bir kazanç değeri için kalıcı salınımlar olması,bu kritik değerden uzaklaşınca sistemin çözümlerininniteliğinin değişmesi: kararsız ya da asimptotik olarakkararlı olması bir çatallanma olarak algılanabilir.Çözümlememizde belirttiğimiz gibi; kritik kazançdeğerinden hemen önce doğrusal sisteminözdeğerleri sanal eksenin sağında iken, kritik değeraşıldığında karmaşık düzlemin soluna kaymışlardı. Vekritik kazanç değerinde özdeğerler sanal eksenüzerinde eşlenik bir çift olarak dururlar. Kısacası, aıparametresi artarken, doğrusal sistemin iki özdeğerikarmaşık düzlemin sol tarafından sağ tarafınakaymışlardır. Dinamik sistem literatüründe, bu durumHopf çatallanması diye adlandırılır. Hopf çatallanmateoremi ise, böyle bir çatallanma durumunda ortayaçıkabilecek periyodik çözümlerin varlığına vekararlılığına ilişkindir[4,5,6],

Hopf teoremi ve uygulamaları detaylı olarak [4]'desunulmuştur. Ancak, Hopf teoreminin periodikçözümlerin kararlılığını test etmek için kullanılmasıçok uzun ve karmaşık cebirsel işlemlergerektirmektedir ve özgün formu ile ikinci mertebedenyüksek sistemelere uygulanması pratik değildir. Belkide bu nedenle Hopf teoreminin kararlılık etüdlerindekikullanımı sınırlı kalmıştır. Hopf teoremi, [5] ve [6] dahem genelleştirilmiş hem de özellikle sistem ve devreproblemlerine uygulanması kolay bir biçimedönüştürülmüştür. Bizim burada Colpitts osilatörüneuygulayacağımız Hopf çözümlemesi, anılan bukaynaklardan kaynaklanmaktadır. Doğrusal olmayanbir sistemde Hopf çözümlemesi yapabilmemiz için,sistemin aşağıda verilen yapıda verimiş olmasıgerekmektedir.

<r

ŞEKİL3 Hopf Teoremi için Nonlineer Yapı

Doğrusal bir sistem ve bu sisteme doğrusal olmayanbir geribeslemeden oluşmuş bu yapı aslında, hiç de,kısıtlayıcı değildir. Herhangi bir dinamik sistemkolayca bu yapıda ifade edilebilir. Dikkat edilecekolursa bu yapı G(s) = C(sl - A) "1 B olmak üzere

(11) x = Ax + Bg(-Cx)


olarak da yazılabilir. Bu sistemin denge noktalarıy = Cx olmak üzere

(12) G(0)g(-y) = y

eşitliğini sağlarlar. Şimdi bu yapının hem doğrusalkısmı olan G(s) aktarım işlevinin, hem de statik gnonlinearitesinin reel bir p parametresi ile parametrizeedildiğini ve kritik bir p değeri için sistemin dengenoktası etrafındaki doğrusallaştırılmasının bir çiftsanal özdeğere sahip olduğunu varsayalım. Hopfçatallanma teoremi, böyle bir durumda kritik pdeğerinden çok az farklı parametre değerlerinde de,ortaya periodik çözümler çıkabileceğini söyler.Oluşabilecek periyodik çözümlerin kararlılığının isetek bir büyüklüğün artı veya eksi olması ilebelirlenebileceğini gösterir. Hopf teoremini bizim içinilgi çekici kılan; (1),(2),(3) ile verilen Colpittsosilatörünün şekil 3'de verilen yapıda formüleedilebilir olmasıdır. Sistemin doğrusal kısmı

(13) G(s)= n0 (s3 + d2s2 + d ^ ) 1

(14) n0 = 1/(LdC2)(15) d2 = R/L(16) d, = (1/L)((C, + C2)/(C1C2))

olarak alınırsa, y = -Vı g = f kabu! edilirse veçatallanma parametresi olarak a^ alınırsa, Colpittsosilatör modelinin istenilen yapıda olduğu ortayaçıkar. Hopf teoreminin Mees ve Chua tarafındangeliştirilen varyantı[6] bu yapıdaki sistemlerde kararlıosilasyonların varolması için gerekli koşullarınNyquist benzeri bir grafiksel çözümleme ilebelirlenebileceğini bize söyler. Gerek bu teoremindetaylarının sunulmasının, gerekse bu modeleuygulanmasının fazla yer tutması nedeni ile, buradayalnızca sonucu vurgulamakla yetineceğiz. Hopfkararlılık teoreminin, yukarıda verilen formülasyonuile Colpitts osilatör modeline uygulanması bize ikikoşul getirir:

(17)(18)

(R/L)(da3

Birinci koşul, tanımlayıcı fonksiyon analizinden eldeettiğimiz koşulun aynısıdır ve osilatörün kapalı döngüdoğrusal kazancının birden büyük olması gerektiğineeşdeğerdir, ikinci koşul ise, kararlı osilasyonlar için,transistorun satürasyonunun "yeterince" olmasıkoşulunu nicelemektedir. Bu iki koşulun sağlanması,Hopf çatallanma teoremi uyarınca, bu koşullar altındaColpitts osilatörlerinin kararlı salınımları olacağını imaeder. Bilgisayarda gerçekleştirdiğimiz simulasyonlar,ikinci koşulun "conservative" olduğunu göstermiştir.Bu, Hopf teoreminin özünde bir Lyapunov analizinedayanması nedeni ile, şaşırtıcı değildir.

SONUÇ

Colpitts osilatörlerinin kararlılığı için Hopf yaklaşımıile elde ettiğimiz yukarıdaki koşullar, bildiğimiz kadarıile, hem Hopf analizinin gerçek elektronik osilatörlereilk uygulamasıdır, hem de Colpitts osilatörlerininsalınımlarının kararlılığı için, yaklaşım yöntemlerinedayanmayan ilk sonuçtur.

KAYNAKLAR

[1] K. K. Clarke, D. T. Hess, Communication Curcuits:Analysis and Design, Addison-vVesley PublishingCompany, 1971.

[2] H.K. Khalil, Nonlinear Systems,Publishing Company, 1992.

MacMillan

[3] DP. Atherton, H.T. Dorrah, "A Survey on Non-Linear Oscillations", Int. J. Control, Vol. 31, No. 6, pp.1041-1105, 1980.

[4] J. Marsden, M. McCracken, The Hopf BifurcationTheorem and its Applications, Springer-Verlag, 1976.

[5] A l . Mees, Dynamics of Feedback Systems, JohnVVİley and Sons, 1981.

[6] A l . Mees, L.O. Chua, "The Hopf BifurcationTheorem and İts Applications to NonlinearOscillations in Circuits and Systems", IEEE Trans.Circuit and Systems, Vol. 26, No. 4, pp. 235-254,1979.

[7] G. Sarafian, B.-Z. Kaplan, "A New Approach tothe Modelling of the Dynamics of RF VCO's andSome of its Applications", IEEE Trans.Circuits andSystems-1: Fundamental Theory and Appl., Vol. 40,No. 12, pp. 895-901, 1993.

[8] M. Kontorovich, Nonlinear Oscillations in RadioEngineering, Mir Publishers, 1976.


Doğrusal Olmayan SistemlerdeGiriş Doğrusal/aştırması

Murat DOĞRUELMarmara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi

Göztepe, istanbul, [email protected]

Fax: (90)216-348 0293

ABSTRACT

Input lınearization of a general kind of nonlinearsystem can be achieved by adding a pulse vvıdth(modulated) control block prior to the nonlinearsystem. Therefore the combined system from thepulse width control input to the nonlinear systemoutput behaves as a lınear in control system. By thisway a complex and cumbersome nonlinear systemmodel can be easily transformed to a much sımplerlınear in control form. Relatıons with Slidıng ModeControl ana a generalızation of pulse width controlare also studıed.

1. GİRİŞ

Bu çalışmada genel bir doğrusal olmayan sistemindarbe genişlik modülasyonlu bir kontrol ile giriştedoğrusal hale getirilmesi işlenmiştir. Girişte doğrusalsistemler aşağıdaki sistem durum denklemi formunusağlarlar

x'(t) = a(x(t))+b(x(t))u(t).

Burada x(t) durum değişkeni vektörünü, u(t) ise girişvektörünü göstermektedir. Genel bir doğrusalolmayan sistem ise aşağıdaki formdadır,

x'(t) = f(x(t),u(t)).

Doğrusal olmayan sistemler için birçok kotrol tasarımteknikleri geliştirilmiştir. Bunlar arasında geribeslemedoğrusallaştırması, kayan kipli kontrol, lyapunovkontrol, fuzzy kontrol, adaptif kontrol sayılabilir. Butür metodların birçoğunda sistemin girişte doğrusalolduğu varsayılmaktadır.

Bu çalışmada genel bir doğrusal olmayan sisteminbir ön blok yardımıyla girişte doğrusal hale getirilmesiüzerinde durulmuştur. Böyle bir işleme girişdoğrusallaştırması adı verilebilir. Çalışma sonuçlarıgöstermektedir ki darbe genişlik modülasyonlukontrol bloğu kullanılarak giriş doğrusallaştırmasısağlanabilmektedir Darbe genişlik kontrolündesistem girişi belli maksimum ve minimum değerlerarasında sürekli değişir. Kontrol parametresi ise

uygulanan maksimum ve minimum değerlerlerin sürefarkları yada oranlarıdır. İki değerin toplam uygulamasüresi olan darbe peryodunun sabit olduğu varsayılır.Bu periyodun yeterince küçük olduğu durumlardadarbe genişlik kontrol bloğu ile doğrusal olmayanardışık sistem bloğu yaklaşık olarak girişte doğrusalbir sistem gibi davranmaktadır Peryodun sıfıra doğrugitmesi durumunda ise ardışık blok tam bir giriştedoğrusal sistem olmaktadır. Böylece istenilenyaklaşıklık perıyod azaltılarak sağlanabilmektedir.

Bu sayede girişte doğrusal sistemler için tasarlananbirçok kontrol tekniği genel doğrusal olmayansistemlere kolaylıkla adapte edilebilir. Ayrıcakarmaşık bir doğrusal olmayan sistem modelikolaylıkla girişte doğrusal forma indirgenerek sistemmodelinde bir basitlik sağlanabilir.

Darbe genişlik modülasyonlu kontrol özellikle servosistemler için çokça bilinen bir yötemdir (bakınız[1,2]). Bu tür bir kontrol sisteminin pratikteuygulaması da kolay ve ucuzdur çünkü kontrol edengiriş sadece iki farklı değer alabildiğinden, kontrolmekanizması sadece entegre devreler ve güçtransistorları kullanılarak tasarlanabilir. Bu tür kontrolsistemleri ile ilgili birçok araştırma sonucu Sira-Ramirez tarafından verilmiştir ([3-10]).

2. DARBE GENİŞLİK MODÜLASYONU VE GİRİŞDOĞRUSALLAŞTIRMASI

Genel bir doğrusal olamayan zamanla değişmeyensistem durum denklemi modelini ele alalım

d(D

Burada x(t) e Rn , u(t) e Rr , ve f öyle özelliktedir kisistemin tek ve sürekli bir çözümü vardır Sistem (1)için u m a x ve u m ı n (e Rr) diye iki giriş değen seçelim.Darbe genişlik modülasyonlu kontrolde umax ve um i n inuygulandığı süreler ile sistemin davranışı kontroledilir. um a x ve um ı n in uygulandığı toplam periyodsüresinin (Tp) Şekil 1 de gösterildiği gibi sabitolduğunu varsayalım. Burada Tm u m a x m uygulandığı


sureyi göstermektedir ve O < Tm < Tp dır umın ise Tp-Tm zaman diliminde uygulanır

tu(t)

u,,,,,

i.,,

-• t

T,.Şekil 1. Darbe genişlik kontrol girişi.

Eğer TD yeterince küçük ise Euler yaklaşımıkullanılarak sistem (1) için aşağıdaki yaklaşıklıklaryazılabilir.

x(t+Tm) = x(t) + Tm f(x(t), umax)x(t+Tp) = x(t+Tm) + (TP-TJ f(x(t+Tm), umm)

- x(t+TJ + fTp-TJ f(x(t). umın)= x(t) +Tm f(x(t). umax)+(Tp-Tm) f(x(t+Tm), umm)= x(t) + Tp((Tm/Tp)f(x(t), umax)

+ (1-TmfTp)f(x(t+Tm),umın) (2)

Burada Tm değeri ilgili periyod değerine bağlıolduğundan zamanla değişir ve kontrol sistem girişinitemsil eder. Aşağıdaki tanımları yapalım:

/„„„(-*) = /(*.'<„„„).T -T 12

u (/) =Trl2

Denklem (2) kullanılarak

xf f+f p j = x(t) + TJ (fmn(x)+ fmM(x))/2+ u (t) (fmın(x)+fmax(x))/2)

yazılabilir ve buradan da yine Euler yaklaşımıyla

(3)

umax ve u = -1 olduğunda u = umın olacaktır u = 0olduğunda ise Tm = Tp/2 olacak ve u. uma, üre umn

arasında eşit olarak salınacaktır Böylece gerçeksistem girişi u yerine, yapay bir giriş u kullanılacaktırBöylece doğrusal olmayan sistem (1) yerine giriştedoğrusal olan sistem (4) modeli kullanılabilecektir Buda kontrol problemini çok daha basitleştirecektir

Sistem modeli denklemleri (1) ve (4) u kontrolaçısından karşılaştırırsak herbır (u ) ve (x) değeri içinbirer durum değişkeni yönü bulunacaktır Olası yönlerŞekil 2 de gösterilmiştir. Bu yön vektörleri (durumdeğişkeni türevleri) her iki durum da da O(TP

2)hatasıyla birbirine eşit olacaklardır Böylecetasarlanacak kontrol edici sistem (u) ı kullanarak heriki sistem için de neredeyse aynı davranacaktırBöylece yaklaşık sistem denklemi (4) orta Tp

değerleri için bile güzel bir yaklaşıklık sağlayacaktırEğer bu yaklaşım yeterli olmuyor ise Tp değeriazaltılabilir.

>• SiMcnulıımnıunuııizleyebileceği yönler.

. . '-+ u -1

Şekil 2. Yaklaşık sistem durum değişkeni yolu

Eğer u sistem kontrolünde yeterli değil ise yeni umax

ve umm değerlen sistem kontrolü için denenebilir

2.1. Darbe Genişlik Kontrolü Sisteminin tasarımı

Bir darbe genişlik kontrol işareti Şekil 3 te gösterildiğigibi elde edilebilir. Burada fp=1/Tp örneklemefrekansıdır.

(4)

h(x)

elde edilir. Sonuç olarak sistem (1), girişte doğrusalolan sistem (4) tarafından yaklaşık olarak temsiledilmiş olmaktadır Burada Euler yaklaşımındanbilindiği gibi denklem (3) de yaklaşım hatası O(TP

2)ve x(t) deki toplam hata O(TP) dir (örneğin [13,14] yebakınız) Böylece Tp 0 a gittiğinde sistem (4) sistem(1) i tam olarak temsil edecektir.

Yukarıdaki tanımdan görüldüğü gibi u ancak -1 ile 1arasında değer alabilmektedir u = 1 olduğunda u =

r

• [ Doğrusal"]-'-J Olmayan ı L.»

Teslefedişı IşarelÜreteci

Darbe Genişlik (Modülasyonlu) Konlrol

Darbe Genişlik Kontrollü Sistem (Girişte Doğrusal)

Şekil 3. Darbe Genişlik Kontrollü Sistem

Testeredişı işareti Şekil 4 te gösterilmiştir Böylece u-1 ile 1 arasında olduğunda kontrol işareti istenen

IUKTRİK, ILIKTRONİK, BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ 7. ULUSAL KONGRESİ

şekilde elde edilecektir u > 1 ise u = uma<. ve u < -1ise u = um ı n elde edilecektir

' k -*

Figüre 4 Testeredişi işareti.

Örnek 1. Giriş doğrusallaştırması ve bir sisteminkontrolü

Aşağıda denklemi verilen doğrusal olmayan birsistemi ele alalım

x,' = (\ı+x2)u2 + sın(7ru/2) ,x2' = X1COS(,TU) - x2 + u .

um,n=-1 ve umax=1 seçerek bu sisteme yukarıdaanlatılan giriş doğrusallaştırmasını uygulayalım.Burada önce

r A-, + A : + 1

- A ' , - A, +

V, + A, - 1 ]

- A, - A, -

bulunur Böylce yaklaşık sistem denklemleri

x , '= x, + x2 + u ,x2' = -x, - x2 + u .

şeklinde elde edilir Görüldüğü gibi bu örnektesadece girişte doğrusal değil tam doğrusal bir sistemelde edilmiştir

Bu sistemin iki özdeğerinin de 0 olduğugözükmektedir Özdeğerleri ^,=-0.5 ve X2=-0.6 yaçekmek için (x) den (u ) a bir geribesleme aşağıdakişekilde elde edilir

u = - 0 . 6 2 5 x , -0.475 x 2 .

Böylce doğrusal olmayan sistem çevresindeki çevrimtamamlanmış olacaktır örnekleme periyodunuTp=0.025 s. seçerek gerçek doğrusal olmayansistem ve yaklaşık sistem simüle edildiğinde Şekil 5deki sonuçlar elde edilir. Görüldüğü gibi iki sistemdavranışı da hemen hemen aynıdır. Bugöstermektedir ki örnekteki doğrusal olmayan sistemdoğrusal bir sistem gibi davranmaktadır ilgili girişişaretlen u ve u Şekil 6 de verilmiştir

DOÜIUN.1»! nlın,ı\,ın Sisli-

Dı'fni'-.ıl SINIL'Mı

•0 51

-:5ı0 0 5 ' ~ " i " " ' T '

Şekil 5. Doğrusal olmayan ve doğrusal sistemdavranışları

u ( t )

Şekil 6. örnek 1 deki giriş işaretlen.

3. DARBE GENİŞLİKGENELLEŞTİRİLMESİ

KONTROLÜNÜN

Standart darbe genişlik kontrolünde iki giriş vektördeğeri kullanılmaktadır Sistem kontrolü için bu yeterlideğil ise Şekil 7 da gösterildiği gibi k tane ayrık girişdeğeri kullanılarak da bir kontrol işareti oluşturulabilir

fu(t)

-• t

4 M M •

T \ T , ••• T \

Şekil 7. Genelleştirilmiş bir darbe genişlik kontrolişareti.

Bu durumda yine sistem (1) i ele alalım ve toplamdarbelerin uygulandığı periyod Tp yi sabit kabuledelim. Bu durum da giriş değeri u, (t R') T, kadar


uygulanmaktadır Böylece T1+T2+. .+Tk=Tp olur.Örneğin r=2 ve k-4 giriş vektör değerleri

II, =

1-111, -

0.5

" L°

veya

IL -1

il.L°J

;/, = "-1

0

0I. " l =

1

011

şeklinde seçilebilecektir.Öncekine benzer şekilde Tp

nın yeterince küçük olduğunu varsayarak,

T,

elde edilir ve buradan da

(5)

yazılabilir, u, = T,/Tpolarak tanımlanırsa u, +...+ uk =1 olduğu görülür. Böylece Uı - uk.ı sistem içinbağımsız kontrol girişleri olarak düşünülebilir.Böylece

.V S (*•».) M," = /(.V.Ht

(6)

elde edilir. Aşağıdaki tanımlar kullanalım:

a(x)= f ( x . u t ) .

b(x) = [ ( f ( x . u i ) ~ , / ( . Y . « ,

r M,'

(/(.Y.M,

1/ =

Burada a(x) n boyutlu vektör, b(x) nx(k-1) matris veu (k-1) boyutlu bir vektördür, u, değerleri ancak 0 ile1 arasında olabilir ve u, +...+ uk.ı < 1 dır. Böylece rgiriş değişkenli n boyutlu doğrusal olmayan sistem(1). (k-1) giriş değişkenli n boyutlu

x = b(x)u' (7)

şeklindeki girişte doğrusal bir sistem ile temsiledilebilecektir

REFERENCES

[I] R. A Skoog and G L Blankenshıp"Generalızed pulse-modulated-feedback systemsnorms, gaıns, Lipshıtz constants and stabılity." IEEETrans Autom Control, v. 15. p 300. 1970

[2] Y Z. Tsypkın, Re/ay Control Systems,Cambrıdge, 1984

[3] H Sira-Ramırez. "Periodic Slıdıng Motions."IEEE Trans. Autom Control, v 33, n 12. pp 1191-1194, Dec. 1988

[4] H Sira-Ramırez, "A Geometric Approach toPulse-VVİdth Modulated Control in NonlınearDynamıcal Systems, IEEE Trans Autom Control, v34, n. 2, pp. 184-187. Feb 1989

[5] H. Sıra-Ramirez, Nonlınear VarıableStructure Systems in Slidıng Mode: The GeneralCase," IEEE Trans Autom. Control v 34, n 11. pp.1186-1188, Dec. 1989

[6] H. Sira-Ramırez, "Pseudolınearızatıon inDC-to-DC power supplıes," Int J. Systems Ser. v. 20.n. 8, pp 1387-1394 1989

[7] H Sira-Ramırez, Invarıance conditıons innon-lınear PWM controlled systems," Int J SystemsScı, v. 20, n. 9, pp. 1679-1690. 1989.

[8] H. Sıra-Ramirez, "Slıdıng regımes in generalnon-linear systems: a relatıve degree approach," Int.J. Control, v. 50, n 4, pp. 1487-1506, 1989

[9] H. Sira-Ramirez, M. Zribı, and S Ahmad,"Pulse width modulated control of roboticmanipulators," Int J. Systems Ser, v 24, n. 8, pp.1423-1437. 1993

[10] H. Sira-Ramırez and M. T Prada-Rızzo,"Pulse width modulated control of the full bridge buckconverter," Int. J. Systems Scı, v. 25, n. 4, pp. 651-667, 1994.

[II] M. Doğruel, S Drakunov and Ü özgüner,"Sliding Mode Control in Discrete State and HybridSystems," IEEE Transactıons on Automatic Control.Mar 1996

[12] A. F. Fılippov, Differentıal Equations withDiscontinuous Rıghthand Sıdes. Kluvver AcademicPublishers, 1988

[13] K. E. Atkınson, An Introductıon to NumerlcalAnalysıs, VVilley, 1989.

[14] J. R. Rıce, Numerlcal Methods, Software,and Analysıs, McGraw-Hill, 1983


BAND GEÇİREN BESSEL FİLTRELERİN TASARIMI İÇİN YENİ BİR YÖNTEM

Serdar E. HAMAMCI, Muhammet KOKSAL

İnönü Üniversitesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü

44100-MALATYA

ABSTRACT

İt is not suitable to use traditional transformation

formulations during the design, normalization and

denormalization of band-pass Bessel filters. Because

attenuation characteristics of the filter initially agree

with the required characteristics, but the delay

characteristics do not conform. İn this study, new

transformation formulas of Bessel approximation

which give correct results for both analog and digital

band-pass filters are given.

1. GİRİŞ

Genel olarak, band geçiren filtrelerin

tasarımında filtre karakteristikleri önce alçak geçiren

filtre karakteristiklerine dönüştürülür, daha sonra filtre

devresi seçilen yaklaşıklık metoduna göre elde edilir.

İstenen karakteristiklere sahip filtrenin doğru olarak

tasarlanabilmesi, yapılacak olan dönüşüm işlemini

önemli kılmaktadır.

Band geçiren filtrelerde gecikme karakteristiği

merkez frekansı civarında idealde düz karakteristik

(flat delay) göstermelidir [1]. Pratikte ise Buttervvorth,

Chebyshev ve Eliptik vb. yaklaşıklık metodlarında

gecikme karakteristiği düz değildir. Buna karşın

idealdeki karakteristiğe en yakın sonucu, Bessel

metodu vermektedir.

Gecikme karakteristiğinin önemli olmadığı

yaklaşıklık metodlarında (Buttervvorth, Chebyshev ve

Eliptik vb.) dönüşüm işlemi, w gerçek frekans (r/s) ve

il ise normalize edilmiş frekans olmak üzere;

n =2 2

WQ - W

Bw (1)

ile verilir. Burada 6 = ws2 - ws1 ve w0 = ws1.ws2

olup, ws1 ve ws2 durdurma bandının köşe

frekanslarıdır [2]. Başlangıçta düz olan bir gecikme

karakteristiği bu dönüşüm işlemi sonucunda artık düz

değildir. Bu nedenle Eşitlik (1)' de verilen dönüşüm

formülleri Bessel yaklaşıklık metodu için

uygulandığında görülecektir ki, istenen genlik ve

kayıp karakteristikleri sağlanmakta, ancak gecikme

karakteristiği sağlanmamaktâdır. Dolayısıyla, yeni

dönüşüm formüllerinin geliştirilmesine ihtiyaç

duyulmuştur. Genel olarak tasarım için band geçiren

bir filtrenin özellikleri Şekil 1'de de görüldüğü gibi,

geçirme bandı köşe frekansları (wp1, wp2) ile bu

banttaki maksimum kayıp (AM) ve durdurma bandı

köşe frekansları (ws1, ws2) ile alt ve üst durdurma

bandlarındaki minimum kayıp (sırası ile Amı ve Am2)

belirlenerek tanımlanır [3]. Şekil 2'de ise dönüşüm

sonucu elde edilen normalize alçakgeçiren filtre

karakteristiği verilmiştir. Bu tebliğde, band geçiren

Bessel tipi bir filtrenin tasarımında bu koşullara ek

olarak gecikme zamanı (t0) ve geçirme bandının köşe

frekanslarından herhangi birinin yüzde gecikme hatası

(tp) sağlanması gerekli özellikler olarak

tanımlanmıştır; Böylece hem frekans, hem de zaman


gecikme özelliklerini istenildiği şekilde gerçekleştiren

bir band geçiren Bessel filtre tasarımı önerilmiştir.

A(w)

A m 1

Y.B

Y.B

A M

-A m2

Y.B

w s 1 w p 1 w p 2 w s 2-s» w(r/s)

sahiptir. Bu değer merkez frekansında 1 olmaktadır

Diğer terim olan di2 / dw ise, frekansla asıl değişen

kısım olup, gecikmede istenmeyen değişimi sağlayan

terimdir.

Tasarımlanacak Bessel filtresi için merkez

frekansı göz önüne alınarak yapılacak olan en uygun

dönüşüm:

w i - w*i2 - (3)

Şekil 1. Genel bir band geçiren filtreye ait zayıflama

karakteristiği.

A(w)

Y.B

A M

•A m

Y.B

- w(r/s)

Şekil 2. Dönüşüm işlemi sonucu elde edilen normali-

ze alçak geçiren filtreye ait zayıflama karak-

teristiği (Am=max{Am1,Am2}).

2. NORMALİZASYON VE DENORMALİZASYON

İÇİN YENİ FORMÜLASYON

Eşitlik (1)' de payda kısmında bulunan B

yerine x0' a bağlı öyle bir ifade gelmelidir ki, filtrenin

kayıp karakteristiği bozulmadan, gecikme

karakteristiği istenildiği gibi sağlansın. Band geçiren

bir filtrenin gecikme karakteristiği;

D ( w ) = .dw dn dw

şeklinde verilir. Bu ifadede d®(Q) / df2, normalize

alçak geçiren filtrenin gecikmesidir ve sabit bir değere

olarak tespit edilmiştir [4]. Burada S = wp2 - wp1 ve

w0

2 = wp1.wp2 'dir. Daha önceki klasik formülasyon

sonucunda Qp=max{Qp1, ilp2} ve İ2S=1 şeklinde

dönüşürken yeni formülasyona göre £.2p=£2p1=£2p2 ve

Qs={i2sı ve as :'den hangisi daha büyük n (filtrenin

derecesi) gerektiriyorsa} şeklinde dönüşmektedir.

Ancak tasarımda bu formül tek başına kullanıldığında

yeterli olmamaktadır. Bunun yanı sıra dikkat edilmesi

gereken husus. Eşitlik (1) ve (3) karşılaştırıldığında

görüleceği gibi 2/T0 ile B' nin uyumlu olmasıdır. Bu

ise, TO parametresinin 2/B civarında değerler alması

ile mümkün olmaktadır. x0, 2/B' ye yaklaştıkça

dd)(f2)/df2, 1' e yakın değerler almakta ve

di2/dw' nın değeri T0' a çok yakın değerlere

yaklaşmakta ve değişimi çok yavaş olmaktadır. Bu

durum filtrenin derecesinin küçülmesine neden olur.

Buna karşın x0, 2/B' den uzaklaştıkça d(/>(f2)/df>, V

den daha uzak değerler almakta ve di2 / dw ' nın

değişimi büyümektedir. Bu da filtrenin derecesinin

büyümesine neden olur. Tespit edilen bir başka husus

ise, yüzde gecikme hatası başlangıçta wp l için 0.5(1-

(wp2/wpı)) veya wp2 için 0.5(1 -(wp1/wp:)) değerlerinden

daha küçük olarak seçilirse filtrenin derecesi tespit

edilememekte ve tasarım mümkün olmamaktadır.

Yani,

wp1 için yüzde gecikme hatası>0.5[1-(wp2/wp1)] veya,

wP2 için yüzde gecikme hatası>0.5[1-(wp1/wp2)]

olmalıdır.

İLEKTRİK, ELEKTRONİK, BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ 7. ULUSAL KONGRESİ

Dönüşüm işlemi sonucu elde edilen normalize

alçak geçiren filtre karakteristikleri yardımı ile bilinen

şekilde filtrenin derecesi tespit edilir ve transfer

fonksiyonu oluşturulur. Bulunan normalize alçak

geçiren transfer fonksiyonu;

s =(2/TO)S

(4)

ile gerçek transfer fonksiyonuna dönüştürülür ve

bilinen gerçekleştirme metodlarından uygun biri ile

filtre devresi gerçekleştirilir.

3. TASARIM ÖRNEĞİ

RL=1 kn dirençle sonlandırılmış ve gerilim

kaynağı ile beslenen Bessel tipi bir band geçiren filtre

tasarımı yapılması istenmektedir. Filtrenin geçiş

karakteristikleri; wp1= 251.2 krad/s, wp2= 276.3 krad/s,

ws1= 219.9 krad/s, ws2= 345.4 krad/s, AM= 3 dB, Am1=

15 dB, Am2= 20 dB, xo = 110 ^s ve 251.2 krad/s köşe

frekansı için en çok %6 gecikme hatası olarak

verilmiştir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda filtrenin

derecesi 6 olarak tespit edilmiş ve buna göre

tasarımlanan filtreye ait zayıflama ve gecikme

karakteristikleri Şekil 3'de gösterilmiştir.

4. SONUÇ

Yapılan bu çalışmada band geçiren Bessel

filtrelerin tasarımı için kullanılan klasik dönüşüm

formülü sonucu sağlanamayan istenilen istenilen

gecikme karakteristiklerinin gerçekleştirilmesi

sağlanmıştır. Geliştirilen dönüşüm formülü ile yapılan

düzenlemede genlik karakteristiği bozulmadan

dönüşüm işlemi doğru bir şekilde yapılmakta ve filtre

tasarımlanabilmektedir

34 5

276

20 7

138

69

A(dB)

205 236 3?9 360 (krad)

(a)

1136

909

68.2

45 5

22 7

I (esn)

00 103 6 207 3 3111 414 7 518 4 0 ^

(b)

Şekil 3. Örnek band geçiren Bessel filtre tasarım

çalışması için; a) Kayıp karakteristiği , b)

Gecikme karakteristiği.

REFERANSLAR

1. Schaumann, R., Ghausi, MS., Laker, K.R., Design

of analog filters: passive, active RC and svvitched

capacitor, Prentice Hail, New Jersey, 1990.

2. Antoniou, A, Digital Filters: Analysis and Design,

McGravv Hill, New Delphi, 1979.

3. Lam, H.Y-F., Analog and Dijital Filters: Design and

Realization, Prentice-Hall, New Jersey, 1979.

4. Hamamcı, S.E..Yüksek lisans Tezi, Elazığ. 1997.


Uyarlamalı, Doğrusal, Sonlu Dürtü Cevaplı Süzgeçler İçin Yeni BirStokastik Kontrol Algoritması

Osman Hilmi KOCAListanbul Teknik Üniversitesi

Elektrik - Elektronik Fakültesi80626 Maslak, İstanbul

e-mail : [email protected]

ABSTRACT

A new stochastic control algorithm to be used foradaptive FIR filters is proposed. The algorithm isbased on iterative solution methods which is used forthe solution of linear equations. This algorithmprovides an unbaised estimator for optimum Wienersolution. The new algorithm has the convergencerate and computational complexity advantages ,compared to the least mean square (LMS) algorithmand the recursive least squares (RLS) algorithm,respectively. Although the new algorithm is an O(ivf)algorithm, O(.) indicating the order of thecomputational complexity, the number of madpr(multiplication and division per recursion) is smallerthan the fast recursive least squares (FRLS) algorithmup to M=7, where M is the number of the adjustableweights in the algorithm (dimension of the tap-weightvector). On the other hand, the new methodcombines desirable convergence characteristics ofRLS when the eigenvalue spread (ratio of themaximum eigenvalue to minimum eigenvalue)of thecorrelation matrix of the input signal is not large.

Bilindiği gibi uyarlamalı, doğrusal, sonlu dürtücevaplı süzgeçlerde kullanılan kontrol algoritmaları,gradient tabanlı algoritmalar ve ardışıl algoritmalarolmak üzere iki ana sınıfta toplanabilir [1], Gradienttabanlı algoritmalarda ilgilenilen amaç ölçütününgradient vektörü kullanılır ve yakınsama hızı özilişkimatrisinin yapısına bağımlıdır. Çok kullanılan birgradient tabanlı algoritma LMS (least-mean-square)algoritmasıdır. Ardışıl algoritmalarda özilişkimatrisinin tersi her adımda ardışıl olarak hesaplanırve yakınsama hızı özilişki matrisinin yapısındanbağımsızdır. Bunun sonucu olarak yakınsama hızıgradient tabanlı algoritmalara göre çok dahabüyüktür. İyi bilinen bir ardışıl algoritma RLS(recursive least square) algoritmasıdır. Bu çalışmadaönerilen yöntem dayandığı matematik temelbakımından yukarıda belirtilmiş olan algoritmalardanfarklıdır. Yeni yöntemin temelini, doğrusal denklemsistemlerin ardışıl çözümünde kullanılan algoritmalaroluşturmaktadır. Bilindiği gibi , optimum süzgeçkatsayı vektörünün elde edildiği VVİener-Hopfdenklemleri de bir doğrusal denklem sistemidir.

Süzgeç giriş vektörü u(n) , r,üzgeç çıkış sinyalininizlemesi istenen sinyal d(n) . giriş vektörünün özilişkimatrisi R ve giriş vektörü ile istenen sinyal d(n)arasındaki çapraz-ilişki vektörü p olmak üzereVViener-Hopf denklemleri aşağıdaki gibi yazılır:

Rw0 = p (1)

Yukarıdaki eşitlikte w0 Mx1 boyutlarında optimumsüzgeç katsayı vektörüdür. E[.] işlemcisi matematikselortalamayı göstermek üzere (1) eşitliğindeki MxMboyutlu R matrisi ve Mx1 boyutlu p vektörü,u(n) ve d(n) cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

R= E[u(n)u(n)T

p = E[ u(n)d(n) ]

(2)

(3)

(2) ve (3) eşitliklerindeki Mx1 boyutlarındaki u(n)vektörü , n anındaki süzgeç giriş sinyali u(n) veayrık zaman domenindeki ötelenmiş değerlericinsinden aşağıdaki gibi tanımlıdır.

u(n) = [ u(n) u(n-2) u(n-M+1)]T(4)

(1) eşitliğindeki w0 optimumkatsayı vektörü , özilişkimatrisinin tersi alınarak hesaplanabileceği gibi ,doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde kullanılanardışıl yöntemler uygulanarak da elde edilebilir.Genellikle , doğrusal denklemler için ardışıl yöntemler(İterative Methods For Linear Systems) büyükboyutlu matris sistemlerinin çözümünde uygun biryaklaşım olarak bilinmektedirler [2],[3],[4]. Uyarlamalısüzgeçlerde karşılaşılan matris boyutları göz önündebulundurulduğunda bu yöntemlerin kullanılması ilkbakışta uygun görülmeyebilir. Ancak, bu yöntemlerkullanılarak elde edilen algoritmaların bilinen diğeralgoritmalara göre yakınsama hızı ve işlemkarmaşıklığı bakımından üstünlük sağladığıanlaşılmıştır. İyi bilinen ardışıl çözüm yöntemlerindenbiri Jacobi algoritmasıdır [2],[3],[4], Bu çalışmadaJacobi algoritması , süzgeç katsayı vektörünü ardışılolarak hesaplamak amacıyal (1) eşitliğindeki


Wiener-Hopf denklemlerine uygulanmış ve aşağıdakisonuca varılmıştır.

= -RD"1(R L +Ru)w(n) RD (5)

(5) eşitliğindeki MxM boyutlu RD , RL, Ru

matrisleri sırasıyal köşegen , altüçgen , üstüçgenözilişki matrisleridir. (5) eşitliğindeki matrisformundaki fark denkleminin optimum süzgeç katsayıvektörü w0 çözümüne yakınsaması için aşağıdakikoşulun sağlanması gerekmektedir.

0 < 1/r0 < 2/Ârr (6)

(6) eşitsizliğinde r0 , süzgeç giriş sinyali u(n) 'invaryansı aynı zamanda özilişki matrisi R' ninköşegen elemanı , Âmax özilişki matrisinin enbüyüközdeğeridir.Sayısal örnekler üzerinde (6) eşitsizliğininher özilişki matrisi için sağlanmayacağı görülebilir.Bu durumlarda (5) eşitliğinde kararlılığı sağlamakamacıyla , LMS algoritmasındaki adım parametresinebenzer bir "m" çarpanı eklenerek aşağıdakidüzenleme yapılabilir.

= -mRD

1 ( RL w(n) +mR D

1 p (7)

(7) eşitliğinde verilmiş olan matris formundaki farkdenkleminin çözüme yakınsaması için r0 , Âmax , marasında :

0 < m/r0 < 2Am a x (8)

koşulunun sağlanması gerektiği açıktır. Yukarıdakieşitsizlikteki "m" parametresi için geçerli olankısıtlama , algoritma açısından bir sakıncadır. LMSalgoritmasında da adım parametresi (step sizeparameter) için buna benzer bir kısıtlama vardır.Wiener-Hopf denklemlerini çözmek için, doğrusaldenklem sistemlerinin çözümünde kullanılanalgoritmalardan olan Gauss-Seidel yöntemindenyararlanılırsa , yukarıda söz edilen sakınca ortadankalkmaktadır. Gauss-Seidel algoritması , VViener-Hopf denklemlerine uygulanarak, süzgeç katsayıvektörünün ardışıl olarak hesaplanması için aşağıdakieşitlik elde edilir.

w(n+l) = -( Rı.+ Rn )"' Ru w(n) +( R, + R,,)"' p (9)

Gauss-Seidel algoritmasının, bu uygulama açısından,çok önemli bir özelliği, pozitif tanımlı simetrikmatrisler için daima yakınsamasıdır[2],[3],[4]. Özilişkimatrisi de pozitif tanımlı simetrik bir matris olduğunagöre (9) eşitliğindeki algoritma optimum katsayıvektörüne yakınsayacaktır.

Buraya kadar yapılan incelemede özilişki matrisive çapraz ilişki vektörünün bilindiği varsayılmaktadır.Uyarlamalı sinyal işlemede olduğu gibi , özilişkimatrisi ve çapraz-ilişki vektörüyle ilgili informasyonuntam olarak bilinmediği durumda bir kestireç olan

örnek ortalamaları kullanılabilir. Özilişki matrisi veçapraz-ilişki vektörü örnek ortalamaları (10) ve (11)eşitlikleriyle tanımlanmıştır. Bu eşitliklerde "n" ayrıkzaman değişkeni veya örnek boyutudur.

R(n) = 1/n

p(n)=

k = lu(k).

u(k).d(k)

(10)

( 1 1 )

Wiener-Hopf denklemlerine, Gauss-Seidel algoritmasıuygulanarak elde edilmiş olan (9) eşitliği , (10) ve (11)eşitliklerindeki örnek ortalamaları kullanılarak yenidenyazılırsa:

= -( RL(n) + RD(n) )"1 Ry(n) w(n)

+(RL(n)+RD(n))"1p(n) (12)

sonucuna varılır. Süzgeç giriş sinyali u(n) stokastikbir süreç olduğundan , n anındaki örnekortalamaları olan R(n) matrisi ve p(n) vektörü birerraslantı matrisi ve vektörüdür. Bunların kullanıldığı(12) eşitliğindeki w(n) vektörüde bir raslantı vektörüolacaktır. Bu durum göz önünde bulundurulduğunda(12) eşitliğindeki algoritma Stokastik Gauss-Seidelalgoritması olarak adlandırılabilir. (10) eşitliğindekiörnek özilişki matrisinin elemanları olan örnek özilişkikatsayılarının ortalama ve Standard sapma gibidağılım parametreleri için, örnek boyutunun n >500olduğu durumlarda aşağıdaki varsayımlar yapılabilir[5].

E| r(n)l = r (13)

r(n) = (1-r2(n))2/n (14)

(13) ve (14) eşitliklerine göre herhangi bir örneközilişki katsayısı , r(n), ortalaması r olan ve Standardsapması örnek boyutu büyüdükçe sıfıra yaklaşan birraslantı değişkenidir. Büyük "n" değerleri için r(n)raslantı değişkeni değeri "r" olan bir sabit olarakyorumlanabilir. Bu durumda (12) eşitliğindeki , örneközilişki katsayılarından oluşan örnek özilişki matrisi ilesüzgeç katsayı vektörünün istatistiksel olarak ilişkisizoldukları varsayımı yapılabilir. Bu varsayım altında(12) eşitliğinin her iki tarafının ortalaması alınırsa;

E[w(n+1)| = E[-(RL(n)+RD(n) )1 Ru(n)|E[w(n)| +

El(RL(n)+R D (n))" ı |E|p(n)|

E[w(n+1)] = -( RL + RD )"1 Ru E|w(n)| +( RL + RD )"V

(15)


sonucuna varılır. (9) ve (15) eşitlikleri incelendiğinde,n->«> için;

E[w(n)| = w0 (16)

eşitliğinin sağlandığı, başka bir deyişle StokastikGauss-Seidel algoritması tarafından üretilen katsayıvektörünün , optimum süzgeç katsayı vektörü içinyansız bir kestireç oluğu görülür. (15) eşitliğindeyapılmış olan varsayım deneysel sonuçlar üzerindede doğrulanmıştır [6], [7].

Algoritmaların karşılaştırılmasında kullanılanölçütlerden önemli bir tanesi , iterasyon adımındakiçarpma ve bölme işlemi sayısı (madpt) dır.Stokasatik Gauss-Seidel algoritması işlem sayısıbakımından RLS algoritmasına göre her durum, hızlırekürsif algoritmalara (FRLS) göre, süzgeç uzunluğuM olmak üzere, M<7 olduğu durumlarda üstünlükgöstermektedir. Bilindiğigibi RLS için madpr = 3M2

+11M + 8 ve FRLS için madpr = 7M+16 dır [1].Stokastik Gauss-Seidel algoritması her bir süzgeçkatsayısı wk için skaler formda yazılırsa [6],[7], birkatsayının hesaplanmasında M tane çarpma işlemiyapılması gerektiği görülür. M tane katsayı olduğunagöre, bir iterasyonda bütün katsayıların hesaplanmasıiçin M2 çarpma işlemine gerek vardır. Stokastikdurumda özilişki ve çapraz ilişki katsayılarının yenidurumlarına uyarlanması için 2M çarpma işlemigerekmektedir. Bu inceleme sonucu StokasatikGauss-Seidel algoritması için madpr sayısının:

madpr = M2 + 2M (17)

olduğu görülür. Algoritmaların karşılaştırılmasındakullanılan ölçütlerden bir diğeri yakınsama hızıdır. Buçalışmada LMS, RLS ve Stokastik Gauss-Seidelalgoritmalarının yakınsama hızları farklı özdeğersaçılımına sahip özilişki matrisleri üzerindenkarşılaştırılmıştır. LMS, RLS ve Stokastik Gauss-Seidel algoritmaları

u(n) = w,u(n-1) + w2u(n-2) + v(n) (18)

eşitliğindeki ikinci dereceden AR sürecin katsayılarınıuyarlamalı olarak kestirmek için kullanılmışlardır. (18)eşitliğindeki v(n) süreci beyaz gauss gürültüsüdür.Her bir algoritma uygulanarak elde edilen w,(n) vew2(n) katsayıları kullanılarak kestirim hatasının karesi:

e2(n) = ( u(n) - w,(n)u(n-1) - w2u(n-2) (19)

eşitliğiyle hesaplanmıştır. (19) eşitliğindeki kareselhatanın, 200 bağımsız deneme üzerindenortalamasının değişimi , özdeğer saçılımı S(R) = 100,S(R) = 10, S(R) = 3 değerleri için sırasıyla Sekili.Şekil2., Şekil 3. de verilmiştir. LMS algoritmasındaadım parametresi |I için, yakınsama hızı bakımındanen uygun değerler seçilmiştir.

550

ŞEKİL :1 " Hatanın karesel ortalaması, S(R)=100 ,w1=1.9114 , w2=-0.95, u L M S = 0.03 "

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

00 T 5 0

ŞEKİL:2 " Hatanın karesel ortalaması, S(R)=10 ,w1 =1.5955 , w2=-0.95 , u L M S = 0.15 "

0.08

750

ŞEKİL3 ' Hatanın karesel ortalaması, S(R)=3,w1 =0.9750 ,w2=-0.95 , u L M S = 0.25 "


Özdeğer saçılımının farklı üç değeri için, Şekil 1,2,3den görüleceği gibi, Stokastik Gauss-Seidelalgoritması , LMS algoritmasına göre çok daha hızlıyakısarken , RLS algoritmasına göre yakınsamahızının yaklaşık aynı olduğu söylenebilir. Özdeğersaçılımı küçüldükçe RLS ve Stokastik Gauss-Seidelalgoritmalarının yakınsama hızları arasındaki fark daküçülmektedir. Yakınsama hızı bakımından RLS veStokastik Gauss-Seidel algoritmaları arasında önemlibir fark olmamasına rağmen, işlem karmaşıklığıbakımından yeni önerilen yöntemin RLSalgoritmasına göre büyük bir üstünlük sağladığıaçıktır.

Sonuç

Bu çalışmada uyarlamalı, doğrusal, sonlu dürtücevaplı süzgeçler için tabanını doğrusal denklemsistemlerinin çözümünde kullanılan ardışılyöntemlerin oluşturduğu yeni bir stokastik kontrolalgoritması önerilmiştir. Yeni algoritma dayandığımatematiksel temel bakımından , gradient tabanlı veardışıl algoritmalardan farklıdır. Optimum süzgeçkatsayılarının elde edildiği VViener-Hopfdenklemlerine Jacobi ve Gauss-Seidel algoritmalarıuygulanarak süzgeç katsayılarını ardışıl olarakhesaplayan iki yöntem geliştirilmiştir. Jacobialgoritması kullanılarak bulunan yöntemin kararlıolması için gradient tabanlı algoritmalarda kararlılıkbakımından sağlanması gereken koşula benzer birkoşulun sağlanması gerektiği görülmüştür. Gauss-Seidel algoritması içeren yöntemin bir koşulgerektirmeden yakınsayacağı anlaşılmıştır. Buyöntemde özilişki matrisi ve çapraz ilişki vektörüyerine bunların öngörü değerleri olan örnekortalamaları kullanılarak yeni bir stokastik kontrolalgoritması elde edilmiştir. Özilişki katsayılarınınolasılık yoğunluk fonksiyonundaki dağılımparametreleri üzerinde yapılan varsayımlardanyararlanarak yeni stokastik kontrol algoritmasıyardımıyla öngörülen süzgeç katsayı vektörününoptimum katsayı vektörü için yansız bir kestireçolduğu analitik olarak gösterilmiştir. Yeni algoritmanınLMS ve RLS algoritmalarıyla yakınsama hızıkarşılaştırmaları yapılmıştır. Yakınsama hızı özilişkimatrisinin özdeğer saçılımına bağımlı olsa da, LMSalgoritmasından çok daha hızlıdır. Bunun sebebiözilişki matrisi ve çapraz-ilişki vektörü öngörüdeğerleri olarak , RLS algoritmasında olduğu gibiörnek ortalamalarının kullanılmasıdır. Yakınsamahızı , özilişki matrisinin özdeğer saçılımının çok büyükolmadığı durumlarda RLS algoritmasının yakınsamahızı ile yaklaşık aynıdır. işlem karmaşıklığıbakımından ise, yeni yöntem RLS algoritmasına göresüzgeç uzunluğu M'in her değeri için. FRLSalgoritmasına göre de M<7 olduğu durumlardaönemli bir üstünlük sağlamaktadır.

KAYNAKLAR

|1] HAYKIN, S.Hail, 1991.

Adaptive Filter Theory, Prentice

|2| BURDEN.R.L. ,FAIRES,J.D. , Numerical Analysis,PWS Publishers,pp.424-430 , 1985.

[3]DAHLOUIST,G. .BJÖRCK.A. , NumericalMethods, McGravv Hill , pp.188-193 , 1974.

|4| VARGA.R.S. , Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, pp.322-327. 1962.

[5] FISZ.M. . Probability Theory and MathematicalStatistics, John Wiley and Sons. Inc.,pp.358-363 ,1963.

[6] KOCAL, O.H. , Uyarlamalı Süzgeçler için Yeni BirStokastik Kontrol Algoritması ve Sistem TanılamaUygulaması, Doktora Tezi, i.T.Ü,1997.

[7| KOCAL, O.H. , A New Method For Adaptive FIRFiltering : Stochastic Gauss-Seidel Algorithm,submitted to AEÜ, Int. J. of Electronics and Com. , onFebruary , 1997.


tmmob elektrİk mÜhendİslerİ odasi · 2010. 2. 8. · elde edilir. burada a-2 + zy, b-4a2-4,...

Documents