tk1-predavanje_3.pdf

7/21/2019 TK1-Predavanje_3.pdf

1/35

DEFORMACII NA STATI^KIOPREDELENI SISTEMI


2/35

VIDOVI DEFORMACII liniski deformacii -pomestuvawe Pomestuvawata se

izrazuvaat vo dimenzii na dol`ina (metar) i naj~esto seozna~uvaat so gr~kata bukva i

agolni deformacii rotacija, rotaciite pak se izrazuvaatvo dimenzii na agol (radijani) i se ozna~uvaat so.

Vo prodol`enie, kakva i da bilo deformacija, nezavisno odkoj tip e, }e se ozna~uva so .

liniska deformacijapomestuvawe

agolna deformacija

rotacija


3/35

OSNOVNI PRETPOSTAVKI Edna od najzna~ajnite pretpostavki se odnesuva na materijalotod koj se napraveni konstrukciite, a toa e pretpostavkata zanegovata homogenost i izotropnost.

Deformaciite {to kontrukciite gi doìvuvaat od razli~nitevlijanija moàt da bidat elasti~ni ili plasti~ni. Elasti~ni seonie deformacii koi po otstranuvaweto na dejstvoto se gubat,t.e. konstrukcijata od deformiranata polo`ba se vra]a voprvobitnata sostojba. Za razlika od niv, plasti~nitedeformacii se trajni, {to zna~i deka ostanuvaat i po

prestanuvaweto na dejstvoto na vlijanieto koe gi predizvikalo.Zna~itelnite nesigurnosti povrzani so predviduvaweto naplasti~niot odgovor na konstrukciite dovele do {iroka primenana konceptot na proektirawe, spored koj za nivo na o~ekuvanitovari konstrukcijata se odnesuva elasti~no(dimenzionirawe

spored dozvolenite napregawa). Elasti~nite deformacii se linearni(vaì Hook-oviot zakon). Vo vrskite i vo leì{tata na konstrukciite ne se javuva triewe. Vo celost vaì zakonot za superpozicija na vlijanijata. Ramnite presecipred i po deformacijata ostanuvaat ramni.


4/35

PRINCIP NA VIRTUELNA RABOTA

Ako na telo koe se nao|a vo ramnote`a pod dejstvo nasistem od sili se prilo`i set od vozmo`ni

(kompatibilni) deformacii, toga{ virtuelnata rabota nasistemot od sili po tie deformacii e nula.

P2P1

R

Ri

ii RP

iii 0P


5/35

PRINCIP NA VIRTUELNA RABOTA

Razgleduvame edna tovarenakonstrukcija: bidej}itaa se nao|a vo ramnote`a, toa zna~i deka nanadvore{niot tovar se sprotivstavuvaat drugivlijanija. Toa se vnatre{nite sili koipretstavuvaat odgovor na materijalot nadeformaciite predizvikani od nadvore{niottovar. Ottuka,zakonot za virtuelna rabota,postaven za konstrukcija, se dobiva so suma narabotata na nadvore{nite i na vnatre{nite sili:

T e vkupnata rabota na nadvore{nite sili, dodeka Ve rabotata na vnatre{nite sili.

VT0VT


6/35

RABOTA NA NADVORE[NITE SILIStvarnata rabota e rabota {to nadvore{nite sili javr{at po deformaciite od niv predizvikani

Pk

kk

Izrazot za deformacijata kk e nadopolnet so dva indeksaod koj prviot go ozna~uva mestoto i pravecot na

deformacijata, dodeka vtoriot indeks ja definira silatakoja ja predizvikala deformacijata


7/35

RABOTA NA NADVORE[NITE SILI

P

Pk

kk

d

P P+dPkkk

P21T

kkk0

2

kk

k

0kk

k

0 kk

k

0

P2

1

2

Pd

Pd

PPdT

kk

kkkkk

d)dPP(dT

0dPd dPdT


8/35

RABOTA NA NADVORE[NITE SILIPri dejstvo na pove}e tovari na edna konstrukcija,vodej}i smetka za usvoenata pretpostavka zasuperpozicija na vlijanijata, vkupnata rabota na tiesili e ednakva na:

Pi

i

P1 P2 Pn

12 n

i

ii

2

PT


9/35

RABOTA NA NADVORE[NITE SILIRabotata na odreden sistem sili, opredelena podeformaciite predizvikani od drug sistem na sili,pretstavuva virtuelna rabota na nadvore{nite sili.

Pk

kk

Pm

mmkm

mk

k

k

m

m

mkmmk PT

rabotata na silataPk podeformacijata

km predizvikana

od silataPm

kmkkm PT

rabotata na silataPm podeformacijata mk predizvikana

od silataPk


10/35

RABOTA NA VNATRE[NITE SILI

So cel da se opredeli stvarnatarabota na vnatre{nite sili serazgleduva elementaren del odgreden element so dol`ina ds, na

nego deluvaat vnatre{nite sili;aksijalnata sila N,

transverzalnata sila Q imomentot M


11/35

RABOTA NA VNATRE[NITE SILIVnatre{na rabota na aksijalnata sila

2

dsNdV

N

dsEF

Nds

dsEF

N

2

1ds

EF

N

2

NdV

2

N


12/35

RABOTA NA VNATRE[NITE SILIVnatre{na rabota na

2

dMdV

M

dsEJ

Md

dsEJ

M

2

1ds

EJ

M

2

MdV

2

M


13/35

RABOTA NA VNATRE[NITE SILIVnatre{na rabota na

2

TdsdV

Q

dsGA

Tds

dsGA

T

2

1ds

GA

T

2

TdV

2

Q


14/35

RABOTA NA VNATRE[NITE SILI

i

2

i

2

i

2

dsGA

T

2

1

dsEJ

M

2

1

dsEF

N

2

1

V


15/35

RABOTA NA VNATRE[NITE SILIAnalogno na virtuelnata rabota na nadvore{nite sili irabotata {to ja vr{at vnatre{nite sili od edna

sostojba po deformaciite od druga sostojba pretstavuvavirtuelna rabota.

mkmkmkkm dsTdMdsNV

i

mk

i

mk

i

mkkm ds

GATTds

EJMMds

EFNNV


16/35

BETTIEVA TEOREMA ZA VZAEMNOST

NA RABOTITE

i

m

ki

m

ki

m

kkmk dsGA

T

TdsEJ

M

MdsEF

N

NP

i

k

mi

k

mi

k

mmkm ds

GA

TTds

EJ

MMds

EF

NNP

mkmkmk PP

Virtuelnata rabota na eden sistem od sili podeformaciite predizvikani od drug sistem na sili eednakva na virtuelnata rabota na drugiot sistem nasili po deformaciite predizvikani od prviot sistem


17/35

MAXWELL-OVA TEOREMA ZA

VZAEMNOST NA DEFORMACIITE

mkkmmkkm 11

Dokolku dva tovara koi deluvaat na edna konstrukcija

se ednakvi po svojot intenzitet toga{ i deformacijatavo pravec na prviot tovar predizvikana od vtoriot

tovar }e bide ednakva so deformacijata predizvikanaod prviot tovar vo pravec na vtoriot


18/35

OP[T IZRAZ ZA ANALITI^KO

OPREDELUVAWE NA DEFORMACIITE

(MORR-MAXWELL)

i

m

ki

m

ki

m

kkm ds

GA

TTds

EJ

MMds

EF

NN1

kade: se vnatre{ni sili predizvikani osedine~niot tovar, dodeka se vnatre{ni

sili predizvikani od proizvolen sistem na tovari

kkk T,M,N

mmm T,M,N


19/35

KARAKTERISTI^NI EDINE^NI TOVARI VOZAVISNOST OD BARANATA DEFORMACIJA

Pomestuvawe - za opredeluvawe na pomestuvawetovo proizvolen presek, vo toj presek se nanesuvaedine~na koncentrirana silavo pravec nabaranoto pomestuvawe

Zavrtuvawe - za opredeluvawe na zavrtuvaweto voproizvolen presek, vo toj presek se nanesuvaedine~en moment


20/35

KARAKTERISTI^NI EDINE^NI TOVARI VO

ZAVISNOST OD BARANATA DEFORMACIJA

Vzaemno pomestuvawe na dva preseka - zaopredeluvawe na vzaemnoto pomestuvaweto pome|u dva

presek, vo pravec koj gi povrzuva dvata preseka sezadavaat dve edine~ni koncentrirani silisosprotivna nasoka.

Vzaemna rotacija na dva preseka - za opredeluvawe navzaemnata rotacija pome\u dva presek, vo dvata preseka

se zadavaat dva edine~ni momenti so sprotivna nasoka

P=1

P=1

A

C

M=1

M=1

A

C


21/35

IZRAZI ZA OPREDELUVAWE NA

DEFORMACII KAJ LINISKI ELEMENTI IKONSTRUKCII

Kaj re{etkastite nosa~i poradi tipot na elementite od koise sostaveni, (stapovi) koi pak se isklu~ivo aksijalno

tovareni, izrazot za opredeluvawe na deformaciite go imasledniot oblik

i

mk

i

m

kkm s

EF

NNds

EF

NN

Kaj grednite nosa~i koi se sostaveni od pravi elementi,dominantno e vlijanieto na momentite na svitkuvawe {toovozmo`uva vo op{tiot izraz za opredeluvawe na

deformaciite da se zanemari vlijanieto odtransverzalnite i aksijalnite sili

i

m

kkm ds

EI

MM


22/35

ic

mkkm

i

m

kkm dsJ

J

MMEIdsEI

M

M

6

0 gr

c

xx

3

0 st

c

yy

hirz

Bc dx

J

JMMdy

J

JMMEJ

1111

dx216.06

x3x25x33.5890dy)y()y30(

6

0

23

0

3

0

6

0

322 dx216.0)x833.0x39.21x33.133330(dyy30

6

0

4323

0

3

)4

x833.03x39.21

2x33.133x330(216.0

3y30

6.453850216.0270

m032.01075.6101.2

6.453

EJ

6.45347

c

hor

B

Da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe vo potporataB?


23/35

stap

s

U1 0 0 4 1 0

U2 90 0.5 4 1 180

U3 90 0.5 4 1 180

U4 0 0 4 1 0

O1 -90 -0.5 4 0.833 150

O2 -120 -1.0 4 0.833 400

O3 -120 -1.0 4 0.833 400

O4 -90 -0.5 4 0.833 150

V1 -120 -0.5 4 0.833 200

V2 -90 -0.5 4 1.25 225

V3 -60 0 4 1.25 0

V4 -90 -0.5 4 1.25 225

V5 -120 -0.5 4 0.833 200

D1 127.30 0.707 5.66 1 509.40

D2 42.43 0.707 5.66 1.25 212.23

D3 42.43 0.707 5.66 1.25 212.23

D4 127.30 0.707 5.66 1 509.40

3753.26

)N( p )N( FFc

FFsNN c

p

2cEF

Da se opredeli vertikalno pomestuvawe vo jazolot 2 ?

i

mk

i

m

kkm s

EF

NNds

EF

NN

F

FsNNEF c

p

ver

2c


24/35

PRESMETUVAWE NA INTEGRALITE VO

OP[TIOT IZRAZ ZA DEFORMACII

xo

x

MokMk

dx

Mm

A B

A B

m

n

a

b

Te`i[te

dF

Metoda na Vere{~aginVo ovaa metoda se poa|a od faktot deka iako momentnata

linija od proizvolen tovar vo najop{t slu~aj e krivalinija,liniite na momentite od edine~ni silisekoga{ se pravi


25/35



xo

x

MokMk

dx

Mm

A B

A B

m

n

a

bTe`i[te

dF

tgxMk

xdxEJ

Mtgdx

EJ

MM

B

A

mB

A

m

kkm

B

A

mkm dxMx

EJ

tg

mno`itelot pretstavuva elementarna povr{ina oddijagramot na moneti od nadvore{en tovar, dodeka celiotproizvod go dava stati~kiot moment na elemntarnata povr{inavo odnos na to~kata 0.

dxMm

dFx

dF


26/35



tgxMook

xo

x

MokMk

dx

Mm

A B

A B

m

n

a

bTe`i[te

dF

i

okm

kmEI

MA

om

B

A

km xA

EJ

tgdFx

EJ

tg

Pri presmetuvawe na deformaciite spored gornite izrazi znakotna oddelnite proizvodi zavisi dali soodvetnite dijagrami se odista ili razli~na strana na nosa~ot. Taka za dijagrami od ista

strana od oskata na nosa~ot znakot na proizvodot e pozitivin, voslu~aj dijagramite da se od razli~na strana znakot e negativen.


27/35

ic

mkkmi

m

kkm dsJ

J

MMEIdsEI

M

M

6

0 gr

c

xx

3

0 st

c

yy

hirz

Bc dx

J

JMMdy

J

JMMEJ

1111

m032.01075.6101.2

6.453

EJ

6.45347

c

hor

B

Da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe vo potporataB?

216.0623453

122360232110

6

13903

3

1EJ hirz

Bc

6.4536.183270EJ hirzBc


28/35

Dokolku elementite od konstrukciite se izloèni napromena na temperaturata taka da istite ramnomerno poceliot elemnt ja menuvaat temperaturata, toga{ vo zavisnost

od toa dali se zagrevaat ili ladat tie doìvuvaatizdolùvawe ili skratuvawe . Vo drug slu~aj koga nadvore{niot i vnatre{niot kraj na

elemntite e izloèn na razli~na temperatura kakorezultata na toa {to poedini vlakna od elemntot se

izdolùvaat a drugi se skratuvaat popre~niot presek naelemntot se deformira taka da negovata polo`ba ezarotirana vo odnos na prvobitnata polo`ba za nekoj agol

h

tg

td

td

DEFORMACII OD TEMPERATURNI PROMENI


29/35


Pk=1

kt

Deformaciite koi se rezultaat na temperaturnite promeniednostavno mo`at da se opredelat so primena na zakonot zavirtuelna rabota. Imeno se razgleduva virtuelnata rabota

na edine~na sila vo pravec na baranata deformacija podeformaciite predizvikani od temperaturata


30/35

tktkkt dMdsN

kade izdil`uvaweto na srednoto vlakno e ednakvo na:

dstds2

ttds

srt

dg

tt

dodeka zavrtuvaweto na presekot e :

ds

h

tds

h

ttd

t

dg

tt

dsh

tMdstN

tksrtkkt



31/35

za slu~aj na konstanten popre~en presek po dol`inata naelementot:

pri toa integralite vo ovoj izraz pretstavuvaat povr{inina dijagramite na akijalni sili odnosno momentipredizvikani od edine~niot tovar


dsMh

tdsNt ktksrtkt

M

k

N

ksrtkt A

h

tAt


32/35


Dokolku aksijalnata sila predizvikuva pritisokvo elementot, ~lenot se zema so negativen znak,

soodvetno sostojbata na zategawe se ozna~uva sopozitiven znak

Pri opredeluvaweto na prirastot nadeformacijata predizvikan od sovivawe, sopozitiven znak se zema ~lenot koj se odnesuva napovr{ina od dijagramot na momenti koj se nao|a od

stranata na pogolemata temperatura i obratno

Za konstrukcijata dadena na slikata da se opredeli


33/35

MkNksrtkt A

h

tAt

19615.1636

11826

1

5.0

262

23

3.0

3

2

33t

t

B

m0010125.0)25.101(10 5tB

Za konstrukcijata dadena na slikata da se opredelihorizontalnoto pomestuvawe vo potporata B, od vlijanie natemperatura.


34/35

DEFORMACII OD POPU[TAWE NA POTPORITE

Pk=1

k

A B

Zakonot za virtuelna rabota sepostavuva za rabotata naedine~na nadvore{na sila vo

pravec na baranatadeformacija i reakciitepredizvikani od taa sila podeformaciite predizvikani odpopu{taweto na potporata, za

primerot na slikata:

0R1BBkk

BBkk R

iiikk

R


35/35

Za konstrukcijata dadena na slikata da se opredeli

horizontalnoto pomestuvawe vo potporata B, odpopu{tawe na potporite.

i

iikk R

)AAAA(VyHxB

m107)018.06

101.00.1( 3B

tk1-predavanje_3.pdf

Documents