titova-stud.narod.rutitova-stud.narod.ru/mechnicspart2.pdf · 1 Федеральное...

1

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.Л.МЕЛКОНЯН, А.А.ЧЕРНЫШ

От авторов Уважаемые студенты!

О замеченных ошибках и опечатках просим сообщать своему преподавателю.

Если вы заметили ошибку, значит, вы понимаете материал. Спасибо.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Часть 2

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Утверждено советом университета В качестве учебного пособия

Санкт-Петербург 2013

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1-2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ................................................... 4

1.1. ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4

1.1.1. Основные положения .............................................................................................................. 4

1.1.2. Структура сил ......................................................................................................................... 4

1.2. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА ......... 6

1.2.1. Законы динамики точки......................................................................................................... 6

1.2.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. ................................ 7

1.2.3. Две основные задачи динамики точки ................................................................................ 8

1.3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ МЕТОДОМ

ЭЙЛЕРА ...................................................................................................................... 17

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ........................................................................ 18

ЛЕКЦИЯ 3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ..................................................................................................................................... 20

3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ......... 20

3.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ. ................................................................................................. 21

3.3. УСЛОВИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПОКОЯ. ......................................................................... 22


ЛЕКЦИЯ 4. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС ........................................................................................ 27

4.1. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ..................................................... 27

4.2. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ................................... 28


ЛЕКЦИЯ 5. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ .................................................................................................................... 36

5.1. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ................. 36

5.2. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ...................................................... 36


ЛЕКЦИЯ 6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГО ЦЕНТРА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ ................... 42

6.1. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ................................................... 42

6.2. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГО

ЦЕНТРА. ...................................................................................................................... 44

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. 48


ЛЕКЦИЯ 7. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЦЕНТРА И ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ

3

СИСТЕМЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА .......................................................................................................... 51

7.1. ВЫРАЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В НЕПОДВИЖНОЙ И

ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. ................................................................................... 51

7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ... 53


ЛЕКЦИЯ 8. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ .......................... 59

8.1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. .................................................... 59

8.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ........................................................................... 60

8.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК .. 62


ЛЕКЦИЯ 9. ТЕОРИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА .................................. 70

9.1. ПОНЯТИЯ О ПОЛЯРНЫХ, ОСЕВЫХ И ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТАХ ИНЕРЦИИ. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ, ГЛАВНЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ .......................................................................... 70

9.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ .......................................................................... 71

9.2.1. Момент инерции одного цилиндра ................................................................................... 71

9.2.2. Использование типовых элементов для вычисления моментов инерции ................ 71

9.2.3. Экспериментальное определение осевых моментов инерции .................................... 73

9.3. Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат ..................................................... 79

9.3.1. Моменты инерции относительно параллельных осей ................................................ 79

9.3.2. Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат, и составляющей с осями zyx ,, углы ;; соответственно. ............................................... 79

9.3.3. Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси ............................ 79


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................................ 82

4

Лекция 1-2. Динамика материальной точки

1.1. Введение

1.1.1. Основные положения

В динамике изучается механическое движение материальных (обладаю-щих массой) тел под действием сил, т.е. перемещения таких тел в про-странстве с течением времени. В некоторых задачах динамики материального тела размеры и форма не имеют значения: в этих случаях моделью тела служит материальная точ-ка. В классической механике масса тела полагается величиной постоянной (не зависит от кинематических характеристик движения); пространство считается трехмерным, евклидовым, его свойства не зависят от движу-щихся в нем материальных объектов; время протекает одинаково во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Выбор системы отсчета в каждом случае подсказывается соображениями удобства. Для систем отсчета, в которых справедливы первый и второй закон Нью-тона (инерциальные системы отсчета), часто пользуются условным терми-ном «неподвижная система отсчета». Принятое в статике представление сил в виде векторов сохраняется и в динамике, но в динамических задачах эти векторы, как правило, перемен-ны во времени и по модулю и (или) по направлению. В одних задачах пе-ременная сила, действующая на материальную точку, является заданной функцией времени; в других задачах изменение силы определяется изме-нением иных параметров (например, положения материальной точки, ее скорости или ускорения).

1.1.2. Структура сил

Зависимость силы от подлинно управляющих аргументов (времени, коор-динат, скорости, и т.д.) называется ее структурой (иногда используется термин «закон силы»). Знание структуры силы – непременное полноты по-становки любой конкретной задачи механики, так как без этого невозможно составить уравнения (математическую модель) процесса движения. Структура силы устанавливается путем непосредственного обобщения ре-зультатов опыта (по наблюдаемому движению). Примером может служить вывод Ньютоном закона всемирного тяготения из экспериментально уста-новленных Кеплером кинематических законов движения планет. Остановимся на некоторых, наиболее часто встречающихся структурах сил. Постоянная сила – сила тяжести при движении тела вблизи поверхности Земли; архимедова сила для тела, полностью погруженного в однородную жидкость, и т.п.

5

Сила, известным образом изменяющаяся во времени: сила, втяги-вающая (выталкивающая) намагниченный сердечник в катушку, по обмот-ке которой течет переменный электрический ток; силы, действующие на опорные подшипники, в которых не вполне уравновешенный ротор враща-ется с заданной угловой скоростью и т.п. В последнем случае при посто-янной угловой скорости ротора вертикальная (горизонтальная) проекции главного вектора сил реакций подшипников может быть представлена формулой

)sin(2 teMQ , (1)

где M - масса ротора; e - величина ее эксцентриситета; - угловая скорость вращения; - начальная фаза. Сила, зависящая от положения точки в пространстве (позиционная сила): сила взаимодействия с пружиной; архимедова сила при частичном погружении в жидкость тела, моделируемого материальной точкой; грави-тационная сила притяжения к другим материальным точкам и т.п. Так, для понтонов со шпангоутами прямоугольной и треугольной форм, изображен-ных на рис.1, архимедовы силы поддержания следующим образом зависят от их осадки z (крен и дифферент отсутствуют):

Рис.1

C C

B )(zB

z z

zz

1F

2F

a б

LBzzF )(1 ; (2.a)

2

22

)( zLtgzF

, (2.б)

здесь - удельный вес воды; L - длина понтона; B - его ширина; - угол килеватости. Сила, зависящая от скорости:

сила трения Кулона (хотя ее модуль остается неизменным, направ-ление силы противоположно скорости тела; таким образом, для про-

6

екции силы трения на касательную к траектории справедлива форму-

ла: signVFF

);

сила сопротивления движению в жидкости, обусловленная ее вязко-стью – такая сила противоположна по направлению скорости точки, а модуль силы зависит (иногда линейно) от значения скорости и т.п.

Сила, линейно зависящая от ускорения. В гидромеханике установлено, что при поступательном прямолинейном неравномерном движении тела в жидкости дополнительно к его вязкому сопротивлению возникает сила со-

противления, пропорциональная ускорению W :

WF

. (3)

Коэффициент , имеющий размерность массы, называется «присоединен-ной массой» жидкости (он зависит от размеров и формы тела; методика его расчета, а так же коэффициента силы вязкого сопротивления излага-ется в курсе гидромеханики). Сила, зависящая от нескольких управляющих аргументов: сила полного сопротивления жидкости (аргументы – скорость и ускорение), сила сопро-тивления воздуха при движении сквозь атмосферу (аргументы – скорость и высота подъема) и.т.п. Ряд задач механики посвящен управлению различными объектами, при этом сигнал, подающийся на исполнительные органы, формируется нуж-ным образом. С целью управления искусственно организуются силы, зави-сящие от любых параметров, поддающихся замеру либо вычислению. Так, при отклонении судна от заданного курса, авторулевой формирует сигнал, управляющий приводом руля, по данным об этом угле и скорости его из-менения.

1.2. Движение свободной материальной точки в инерциальной сис-теме отсчета

1.2.1. Законы динамики точки.

Первый закон: существуют системы отсчета, в которых изолированная ма-териальная точка движется равномерно и прямолинейно (в частном слу-чае – покоится). Такие системы называются инерциальными системами отсчета. Система отсчета, двигающаяся поступательно и равномерно от-носительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной (это вытекает из равенства нулю ускорений изолированной материальной точки в обеих системах). Второй закон: ускорение в инерциальной системе отсчета, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, пропорционально этой силе и направлено так же, как и сила. Часто этот закон называют основным, так как он вскрывает причинно – следственную связь процесса движения материальной точки. Математи-

7

ческим выражением этого закона является основное уравнение динамики точки:

FWm

, (4.а)

где F

- равнодействующая сил, приложенных к точке, W

- ее ускорение, m - масса точки. Если уравнение (4.а) используется для несвободной материальной точки, то в состав приложенных сил следует включить не только задаваемые (ак-тивные) силы, но и реакции связей. Существует альтернативная форма записи основного уравнения динамики точки, называемая принципом Даламбера. Она имеет вид уравнения рав-новесия:

0ФF

, (4.б)

где WmФ

- называется силой инерции материальной точки. В действи-тельности такая сила действует не на рассматриваемую точку, а на мате-

риальные объекты, которые вызывают движение точки с ускорением W

. Третий закон: если две материальные точки находятся в силовом взаимо-действии, то они действуют друг на друга с одинаковыми по величине си-лами, направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны. Если одну из этих сил назвать действием, то другую естественно назвать противодействием. Следует обратить внимание, что закон действия и противодействия спра-ведлив в любой системе отсчета, в то время, как первые два закона – только в инерциальных системах.

1.2.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

В соответствии с кинематическими соотношениями

dt

rdV

и dt

VdW

можно записать основной закон динамики в виде

F

dt

rdm

2

2

, (5.а)

или в виде

F

dt

Vdm

. (5.б)

Векторные уравнения (5) позволяют получить скалярные дифференциаль-ные уравнения движения точки в различных координатных системах, для этого следует спроецировать обе части уравнения на оси выбранной сис-темы. Так, для декартовой координатной системы xyz :

8

qF

dt

qdm

2

2

; ,,, zyxq (6)

где qW

dt

qd

2

2

и qF- соответствующие проекции ускорения и силы.

В естественной координатной системе

F

dt

dVm

; nF

Vm

2

; bF0 , (7)

где bn,, - касательная, главная нормаль и бинормаль к траектории точки; - радиус кривизны этой траектории (на рис.2 изображен естественный трехгранник [3] траектории в точке М и его оси, векторы скорости и ускоре-ния точки).

1П

2П

3П

M

n

b

Рис.2

V

W

nW

W

F

Если свободная материальная точка движется в плоскости, то е положе-ние может быть определено двумя координатами; в этом случае формулы (6) – (7) будут включать в себя по два уравнения. Если точка движется по прямой, то ее положение может быть определено одной координатой, а движение описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка (либо двумя уравнениями первого порядка). Сказанное справедливо и для несвободной точки при ее движении по за-данной поверхности или по заданной кривой.

1.2.3. Две основные задачи динамики точки

В механике принято различать две задачи динамики точки: 1) дано (известно) движение материальной точки, требуется найти равно-действующую сил, на нее действующих (прямая задача);

9

2) даны (известны) силы, действующие на материальную точку, как функ-ции параметров движения, а так же начальные либо граничные условия; требуется найти ее движение (обратная задача – основная задача дина-мики). Остановимся сначала на решении первой задачи, как наиболее простой. Как уже было рассмотрено в курсе кинематики, задание движения свобод-ной точки требует знания законов изменения во времени ее координат. В этом случае для каждого момента времени могут быть вычислены соот-ветствующие составляющие ускорения. Если в рамках 1-й задачи для сво-бодной материальной точки требуется определить величину и направле-ние силы, вызывающей это движение, то решение получить достаточно просто: найденные составляющие ускорения следует домножить на массу точки. Полученные выражения и представляют собой проекции силы на оси выбранной координатной системы. После этого нахождение модуля силы и ее направляющих косинусов трудностей не вызывает. ПРИМЕР 1 (задача 26.13 из[2]): Поршень двигателя внутреннего сгорания

совершает горизонтальные колебания согласно закону )2cos

4(cos t

l

rtrx

см, где r - длина кривошипа, l - длина шатуна, - постоянная по величине угловая скорость вала. Определить наибольшее значение силы, дейст-вующей на поршень, если масса последнего m . РЕШЕНИЕ. Спроецируем дифференциальное уравнение движения порш-ня на горизонтальную прямую:

FmW ,

где xW - ускорение поршня, а F - проекция на горизонталь сил, обуслав-ливающих его движение. Ускорение поршня при движении по горизонтальной прямой получим, два-жды продифференцировав по времени закон его движения. Тогда

)2cos(cos2 t

l

rtrx

.

Умножая ускорение на массу поршня, получим искомую силу как функцию времени

)2cos(cos2 t

l

rtmrF

.

Очевидно, что наибольшее значение сила имеет в моменты времени, ко-гда косинусы одновременно достигают наибольшей величины

)1(2

l

rmrF

.

Если на материальную точку наложены связи, то, используя их уравнения, из найденной равнодействующей может быть выделена равнодействую-щая реакций связей. В таком случае дополнительно следует решать зада-

10

чу о разложении известной силы на ее составляющие (например на оси естественной координатной системы, так как в курсе кинематики были по-лучены формулы для соответствующих проекций ускорения). ПРИМЕР 2. Судно массой m , двигаясь с постоянной по модулю скоростью V , совершает циркуляцию радиуса R (см. рис.3.а). Зная метацентриче-

скую высоту h , кратчайшее

расстояние d от центра тяжести G до линии действия равнодействующей

CF

сил бокового давления (рис.3.б) и присоединенную массу жидкости при боковом движении судна, определить угол крена судна. Развалом бор-тов и углом дифферента пренебречь.

Рис.3

а б

О

М

С

R

nW

n

n

V

b

gm

AF

h

d

CF

G

G

РЕШЕНИЕ. Введем связанную с судном естественную координатную сис-

тему bn,, так, как показано на рис.3. Постоянство при циркуляции угла крена и осадки позволяет записать уравнения равновесия:

Ab FmgF 0 ;

sin0 hFdFM ACG ,

где AF - архимедова сила поддержания; mg - вес судна; - угол крена. Решив систему уравнений относительно угла крена, получим

)arcsin(mgh

dFC

.

Величину неизвестной силы CF можно определить, если спроецировать основное уравнение динамики точки на ось n :

Cn FR

VmWm

2

)()( .

11

После подстановки выражения для силы CF в формулу для угла крена имеем

])(

[arcsin2

mghR

dVm

.

Заметим, что если центр тяжести G судна расположен ниже линии дейст-

вия силы CF

, то крен судна будет на противоположный борт. Перейдем к решению основной задачи динамики точки. В этом случае следует выбрать координатную систему, нанести на чертеж точку с дейст-вующими на нее силами и записать дифференциальные уравнения дви-жения в выбранной координатной системе. Полученную систему из трех (в общем случае – совместных) дифференциальных уравнений второго по-рядка следует дважды проинтегрировать. При этом необходимо ввести шесть постоянных интегрирования. Они могут быть определены, если из-вестны, например, положение и скорость точки в начальный момент вре-мени. В таком случае, если говорить языком математики, решается задача Коши (начальная задача, эволюционная задача). Выбор начального момента времени определяется соображениями удоб-ства решения; при этом начальные условия отражают влияние на движе-ние точки сил, действовавших до избранного начального момента време-ни. Поэтому в зависимости от начальных условий под действием одной и той же совокупности сил точка может совершать различные движения. Определение постоянных интегрирования может быть выполнено и в том случае, если для двух моментов времени известны положения точки. В та-кой постановке прямая задача динамики точки решается как краевая. За-метим, что краевая задача, в отличие от начальной, может иметь неодно-значное решение. В случае движения точки по поверхности (положение задается двумя обобщенными координатами) число постоянных интегрирования сокраща-ется до четырех; при движении вдоль заданной линии – до двух. В тех случаях, когда в дифференциальном уравнении возможно разделе-ние переменных с последующим приведением его правой и левой частей к табличным подынтегральным выражениям, интегрирование позволяет по-лучить аналитические зависимости между параметрами движения. В некоторых задачах на основании имеемого опыта можно предположить вид искомого решения. Проверка такого предположения осуществляется его подстановкой в исходное дифференциальное уравнение. Очевидно, что при выполнении последнего предполагаемое решение является пра-вильным; в противном случае следует искать другой вид решения. При невозможности получения решения в форме аналитических зависи-мостей могут быть сделаны некоторые предположения, позволяющие по-лучить приближенные зависимости. Естественно, что точность полученных решений будет зависеть от корректности принятых допущений.

12

Если получение параметров движения в аналитической форме не пред-ставляется возможным, следует использовать численное моделирование процесса движения. Результаты расчетов сводятся в таблицы либо по ним строятся соответствующие графики. ПРИМЕР 3. Подводный аппарат (ПА), получив небольшую отрицательную плавучесть p , начинает погружаться по вертикали. Зная массу ПА m и

присоединенную массу жидкости при его движении по вертикали , найти зависимость глубины погружения от времени. Силу вязкого сопротивления воды при малых скоростях движения полагать пропорциональной первой степени скорости (коэффициент пропорциональности n ).

Рис.4

О

G

z

zAFCF

РЕШЕНИЕ. На ПА при его поступательном движении по вертикали дейст-

вуют вес G

, архимедова сила поддержания AF

и сила сопротивления

VnFC

(см. рис. 4).

Запишем дифференциальное уравнение движения ПА по вертикали:

.)( nVpFFGdt

dVm CA

Разделим переменные и выполним интегрирование левой и правой частей равенства:

dtCdV

nVp

m1

, тогда

tCnVpn

m

1ln

.

Для определения постоянной интегрирования 1C используем второе из на-

чальных условий: при ;0t ;0z 00 V ,

pn

mC ln1

.

С учетом этого найдем

m

nt

nVp

pln

.

13

Отсюда следует, что

)1(t

m

n

en

pV

.

Заметим, что с увеличением времени скорость погружения стремиться к

значению npV /max .

Учитывая, что dt

dzV

, разделим переменные в полученном для V уравне-нии и выполним интегрирование:

22

)(Ce

n

mpt

n

pz

tm

n

.

Постоянную интегрирования 2C найдем из первого начального условия

pn

mC

22

.

Окончательное выражение для z примет вид

)]1([t

m

n

en

mt

n

pz

.

Полученная зависимость изображена на рис.5. Уравнение прямой к кото-рой приближается с ростом времени найденное решение

)(n

mt

n

pz

.

Рис.5

z

t

)(tz

)(tz

2

)(

n

pm

ПРИМЕР 4. Судно движется по прямой с постоянной скоростью 0V . В неко-торый момент времени двигатель судна был остановлен. Определить

время t , за которое скорость движения уменьшилась до величины 1V , а

так же путь S , который пройдет судно за это время. Известно, что масса

14

судна (вместе с присоединенной массой жидкости) m , а сила вязкого со-

противления воды VkVFC

, где k - заданный эмпирический коэффици-

ент, а VV

.

РЕШЕНИЕ. На рисунке 6 изображено судно с действующей на него силой сопротивления воды.

Рис.6

О x

x

CF

Составим дифференциальное уравнение движения судна вдоль оси x :

2kVdt

dVm

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:

tV

V

dtV

dV

k

m

0

2

1

0 , тогда

)11

(01 VVk

mt

.

Для определения пройденного пути перейдем в исходном дифференци-альном уравнении к переменной x . Для этого воспользуемся заменой

Vdx

dV

dt

dx

dx

dV

dt

dV

.

Тогда исходное уравнение можно записать как

2kVVdx

dVm

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих час-тей уравнения:

SV

V

dxV

dV

k

m

0

1

0 .

Тогда 1

0lnV

V

k

mS

.

15

ПРИМЕР 5. В результате воздушного взрыва корабль получил вертикаль-

ную скорость 0v . Найти период и амплитуду вертикальной качки корабля,

если известны площадь его ватерлинии S , водоизмещение D и присоеди-

ненная масса жидкости в вертикальном направлении . Развалом бортов и сопротивлением воды пренебречь. РЕШЕНИЕ. Обозначим вертикальное перемещение корабля y (см.рис.7).

y

G

Рис.7

0W0L

D

С

apxF

y

Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний кораб-ля, спроецировав на вертикаль силы, на него действующие (сила веса и

архимедова сила поддержания): SyDSyVDFy

g

D арх )()( 0

;

где - удельный вес воды, 0V - объем подводной части корабля в равно-весном состоянии. При записи уравнения учтено, что в равновесном положении водоизмеще-ние корабля и сила поддержания равны и противоположно направлены. Приведем полученное уравнение к виду

02 yky , здесь

gD

Sgk

2

. Будем предполагать, что решение должно иметь вид гармонических коле-баний

)sin( tAy , где A , и - неизвестные амплитуда, частота и начальная фаза. Если наше предположение верно, то оно не должно нарушить исходное

дифференциальное уравнение. Найдем выражение для y и подставим

выражения для y и y в исходное дифференциальное уравнение. Тогда 0))(sin( 22 ktA .

Равенство имеет место при k . Это означает, что сделанное предпо-ложение о гармонических колебаниях верно при любых амплитуде и на-

чальной фазе, если частота гармонических колебаний

gD

Sgk

.

16

Зная частоту, найдем период вертикальных колебаний Sg

gD

kT

2

2

. Запишем выражение для скорости колебательного движения

)cos( tAyv .

Подставив в выражения для y и y начальные условия, получим систему уравнений, позволяющих найти амплитуду и начальную фазу вертикаль-ных колебаний как

;00

Sg

gDv

k

vA

00 arctg .

При решении прямой задачи динамики для несвободной материальной точки часть действующих на нее сил, а именно все реакции связей, зара-нее не известны. Если их необходимо определить, то в процессе решения задачи следует воспользоваться уравнениями связей. Дифференциаль-ные уравнения и уравнения связей должны образовать замкнутую систему (число неизвестных равно числу уравнений); при этом уравнения записы-ваются в той координатной системе, которая наиболее удобна. В общей постановке задача достаточно сложна (см., например [1]) и в рамках на-стоящего курса ее решение не обсуждается. В некоторых случаях, когда рациональный выбор координатной системы позволяет исключить неизвестные реакции из дифференциального урав-нения, решение задачи существенно упрощается. Так, для математическо-го маятника (рис.8) использование естественной координатной системы и угла отклонения в качестве обобщенной координаты позволяет получить систему дифференциальных уравнений, в которой неизвестная сила на-тяжения нити входит только во второе уравнение системы

sinmgmlmW ;

cos2 mgNmlmWn .

17

Рис.8

О

x

y

l

n

N

gm

Отмеченная особенность позволяет сначала решить первое уравнение и определить закон движения маятника, а затем воспользоваться вторым

уравнением для определения силы N натяжения нити.

1.3. Численное моделирование процесса движения материальной точки методом Эйлера

При достаточно простой структуре силы F

уравнения (6) или (7) могут быть проинтегрированы в квадратурах и получено аналитическое решение задачи (см. примеры 3 и 4). В более сложных случаях следует воспользо-ваться средствами вычислительной техники. В качестве примера рассмотрим применение метода численного интегри-рования Эйлера для решения указанной задачи. Напомним суть метода численного интегрирования Эйлера: если при не-

котором значении аргумента t1 известны значение функции f f t1 1 ( ) и зна-

чение ее первой производной 1)(

dt

df

, то в момент времени t t t2 1 значе-

ние f f t2 2 ( ) может быть приближенно вычислено, как:

)()()( 121122 ttdt

dffftf . (8)

Графическая интерпретация сказанного приведена на рисунке 9, где эле-

мент кривой на отрезке изменения аргумента от t1 до t2 заменяется эле-ментом прямой с углом наклона, равным углу наклона касательной в точке t1 . Очевидно, что чем меньше изменение аргумента (шага интегрирования

по времени t ), тем меньше отличается приближенное значение 2€f от

точного решения f 2 .

18

1tt

2t

2f̂

f

2f

1f)(tf

Рис.9

1)(dt

df

Более подробно о методе численного интегрирования Эйлера и особенно-стях его применения для моделирования процесса движения можно про-читать, например, в [4]. Перепишем уравнение основного закона динамики материальной точки (1.5) в виде

dtF

mVd

1

; dtVrd

. (9)

Из (9) следует, что основной закон определяет приращения Vd

и rd вели-

чин V и r

за промежуток времени dt , т.е. характеризует изменение во

времени параметров состояния движения (положение и скорость) матери-

альной точки под действием приложенной к ней силы );...;;;( VrtFF

. Есте-

ственно, что начальные условия )( 00 trr

и )( 00 tVV

должны быть заданы.

Заменив в (9) бесконечно малые приращения rd, Vd

и dt на малые, но ко-

нечные приращения r

, V

и t , получим соотношения

ttVtrtF

mtVtVtVtV iiiiiii ]);...;();(;[

1)()()()( 1

;

ttVtrtrtrtr iiiii )()()()()( 1

; (10)

ttt ii 1 .

Зависимости (10) носят рекуррентный характер и позволяют последова-тельно находить (разумеется, приближенно) положение и скорость точки, идя от ее начального положения.

Точность решения повышается с уменьшением шага t по времени. Рас-чет целесообразно повторять с уменьшением шага до тех пор, пока разли-чие результатов двух последовательных расчетов не окажется в пределах требуемой точности.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какие модели используются в классической механике для пространства, времени, объектов и их взаимодействия?

19

2. Что такое структура силы? Приведите примеры наиболее часто встре-чающихся структур сил.

3. Сформулируйте законы классической механики. В каких системах от-счета они справедливы? Какая система отсчета называется инерциаль-ной?

4. Запишите проекции основного закона классической механики на оси де-картовой координатной системы и на оси естественной координатной системы.

5. Достаточно ли знания структуры силы, действующей на точку известной массы, чтобы найти закон ее движения?

6. Можно ли судить о структуре силы, действующей на точку заданной массы, если известны ее траектория и закон движения по ней?

7. Какие пути решения дифференциального уравнения движения матери-альной точки вам известны?

8. Напишите векторную форму дифференциального уравнения движения несвободной материальной точки. О каких путях решения этого уравне-ния вам известно?

9. Почему метод численного интегрирования Эйлера удобен при модели-ровании движения свободной материальной точки?

20

Лекция 3. Динамика относительного движения материальной

точки

3.1. Дифференциальное уравнение динамики относительного дви-

жения точки

Запишем сначала дифференциальное уравнение динамики точки в инер-циальной системе отсчета

NFWm

(11)

где F

- равнодействующая всех задаваемых сил, N

- равнодействующая сил реакций. Формула, связывающая ускорения точки в неподвижной и подвижной сис-темах отсчета, была получена в курсе кинематики:

rec WWWW

, (12)

где rec VW

2 - ускорение Кориолиса; e

- угловая скорость вращения под-

вижной системы относительно неподвижной; eW

- ускорение точки подвиж-ной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает рассматри-

ваемая точка (переносное ускорение); rr WV

; - скорость и ускорение точки в подвижной системе отсчета (относительные скорость и ускорение). Поскольку неподвижная система отсчета инерциальная, подставим (12) в (11) и запишем дифференциальное уравнение в виде

cer FFNFWm

. (13)

Слагаемые ee WmF

и cc WmF

называются, соответственно, переносной силой инерции и силой инерции Кориолиса. Уравнение (13) представляет собой основное уравнение динамики материальной точки, записанное в системе отсчета, движение которой по отношению к неподвижной (инер-циальной) системе отсчета известно. Ниже такие системы отсчета будем называть неинерциальными. Сопоставление уравнений (11) и (13) показывает, что в инерциальной сис-теме отсчета ускорение материальной точки является результатом дейст-вия приложенных к ней сил, т.е. взаимодействия с другими материальны-ми телами; в неинерциальной системе ускорение материальной точки яв-ляется как результатом действия на нее сил, так и результатом движения самой системы. Если действие сил является динамической причиной дви-жения точки с некоторым ускорением, то движение системы отсчета по от-ношению к инерциальной системе можно назвать кинематической причи-ной появления ускорения.

Силы инерции eF

и cF

можно рассматривать как поправки к закону Ньюто-на на неинерциальность подвижной системы отсчета. Если в рамках кон-

21

кретной задачи их величинами можно пренебречь по сравнению с осталь-ными действующими на материальную точку силами, то рассматриваемую подвижную систему отсчета полагают инерциальной. Так, например, по-ступают при изучении движения тел с малыми скоростями относительно Земли. Но при скорости 1000м/с и выше (с которыми движутся снаряды, самолеты и ракеты) введение в основное уравнение динамики слагаемых

eF

и cF

является обязательным.

Если движение происходит длительное время, то влияние сил инерции eF

и cF

(особенно силы инерции Кориолиса) становится так же заметным и их следует учитывать. В частности, действием силы инерции Кориолиса объ-ясняются следующие явления в северном полушарии Земли:

размывание реками правых берегов (закон Бэра);

отклонение вправо морских течений и дрейфующих льдов;

отклонение вправо ветров постоянного направления;

отклонение снарядов и ракет вправо от плоскости стрельбы;

больший износ правого рельса по сравнению с левым на двухколей-ных железных дорогах;

отклонение падающих тел к востоку.

3.2. Частные случаи.

Движение подвижной системы отсчета (переносное движение материаль-ной точки) определяет вид основного уравнения динамики относительного движения материальной точки. Так, если переносное движение – поступательное (в общем случае – кри-

волинейное), то 0cW (т.к. 0e ), а

e

n

ee WWW

, где ;2

en

e

VW

dt

dVW e

e .

Тогда уравнение (1.23) принимает вид

n

eer FFNFWm

. (14)

В том случае, когда переносное движение поступательное ( 0e ) и пря-

молинейное ( ), в полученном уравнении будет отсутствовать послед-

нее слагаемое, т.е.

er FNFWm

. (15)

Если переносное движение будет поступательным, прямолинейным и рав-

номерным ( 0dt

dVe ), будут равны нулю все силы инерции; при этом вид

уравнения аналогичен (11), т.е.

NFWm r

(16)

22

В этом случае подвижная система отсчета так же, как и неподвижная, бу-дет инерциальной. Очевидно, что сделанный вывод позволяет в преды-дущих рассуждениях заменить термин неподвижная система отсчета на более общий термин инерциальная. Отсутствие принципиальной возможности каким-либо механическим опы-том, основанным на наблюдении за движением материальных тел, отли-чить одну инерциальную систему отсчета от другой лежит в основе прин-ципа относительности классической механики. Этот принцип утвер-ждает: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково; либо - никаким механическим опытом нель-зя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении. Если переносно движение – вращение вокруг неподвижной оси, то

bp

e

oc

ee FFF

; где )( rmF ee

oc

e

; rmF e

bp

e

;

rec VmF

2 , а уравнение

(13) принимает вид

reeeer VmrmrmNFWm

2)( (17)

Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью e

, то четвер-

тое слагаемое в правой части (17) будет равно нулю.

3.3. Условие относительного покоя.

В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю, следовательно, равна нулю и сила инерции Кориолиса. Тогда уравнение относительного покоя будет иметь вид

eFNF

0 . (18)

ПРИМЕР 6. Призма движется по плоскости с постоянным ускорением W

. На гладкой наклонной плоскости призмы находится груз М. Найти угол , при котором груз будет неподвижен относительно призмы.

0fW

Рис.10

N

gm

eF

x

М

1x

1y y

1O

O

РЕШЕНИЕ. Свяжем с плоскостью неподвижную координатную систему

111 yxO , а подвижную координатную систему Oxy - с призмой. Тогда движе-

23

ние груза по призме будет его относительным движением, а поступатель-

ное вместе с призмой (с ускорением W

) – переносным.

На рис.10 изобразим призму, груз и силы, на него действующие ( вес gm,

реакция гладкой поверхности N

и сила инерции переносного поступатель-

ного прямолинейного движения WmFe

).

Спроецировав слагаемые уравнения относительного покоя (18) на ось x , получим

)cossin(cossin0 WgmFmg e .

Отсюда величина искомого угла будет

)(g

Warctg

.

ПРИМЕР 7 (задача 33.4 из [2]). Железнодорожный поезд идет со скоро-стью 15 м/сек по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т. Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в

данный момент северную широту 060 .

Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в том же месте с севера на юг.

РЕШЕНИЕ. Для определения бокового давления поезда на рельсы необ-ходимо учесть вращение Земли вокруг своей оси с угловой скоростью

секрад /1027.7360024

2 5

.

На рисунке 11.а нанесены естественная координатная система nbM и ки-нематические характеристики, необходимые для вычисления действую-

щих сил. Здесь секмV r /15 - скорость относительного движения поезда, 02 60cosRWW n

ee - нормальное ускорение в переносном движении, 060sin2 r

c VW - ускорение Кориолиса.

24

N

S

n

b 060

rV

n

eW

cW

Рис.11.а

М

R

На рисунке 11.б - изображена схема сил, действующих на поезд.

N

S

n

b060

Рис.11.б

М

прF трF

тF

gm

бокN

вN

cФ

eФ

Здесь тF

и трF

- сила тяги и сила трения, прF

- сила притяжения, еФ

и сФ

-

силы инерции переносного движения и Кориолиса, вN

и бокN

-вертикальная и боковая составляющие силы нормального давления на рельсы. Проецируя силы на бинормаль к траектории, получим

сбок ФN 0 .

Откуда )(7.377860sin2 0 нVmmWФN r

cсбок Боковое давление поезда на правый рельс обусловлено силой инерции Кориолиса (см. рис.11.б).

25

ПРИМЕР 8 (задача 33.10 из [2]). Горизонтальная трубка СD равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью . Внутри

трубки находится шар М. Определить скорость

rV шара относительно

трубки в момент его вылета, если в начальный момент 00 ;0 yyVr , длина трубки L . Трением пренебречь. РЕШЕНИЕ. Свяжем с неподвижными опорами и землей неподвижную

инерциальную систему 111 zyAx . С трубкой свяжем подвижную координатную

систему Cxyz и для некоторого промежуточного момента времени изобра-зим (см. рис.12) трубку и шарик с действующими на него силами (включая силы инерции).

С

D

A

B

y

z

xx

0y

y

gm

n

eF

2N

1N

cF

M

1y

1xРис.12

Движение шарика по трубке примем за относительное движение, а враще-ние вместе с трубкой – за переносное. Воспользовавшись формулами кинематики, будем иметь

yW n

e

2 ; 0eW ; rc VW 2 .

Вычислим соответствующие силы инерции n

eF

и cF

и приложим их к шари-

ку. Добавим вертикальную 1N

и горизонтальную 2N

составляющие силы нормального давления со стороны трубки. Спроецировав соответствую-щие члены уравнения (1.23) на ось y , получим дифференциальное урав-нение:

ymFdt

dVm n

er 2

.

Воспользуемся заменой r

rrr Vdy

dV

dt

dy

dy

dV

dt

dV

и разделим переменные. Возь-мем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:

L

y

V

rr ydymdVVr

0

2

0

.

26

Окончательно имеем: )( 2

0

2 yLmVr .

Заметим, что проецирование действующих сил на ось z позволяет опре-

делить вертикальную составляющую реакции mgN 1 , а проецирование на

ось x - горизонтальную как rVmN 22 .


1. Чем отличаются дифференциальные уравнения движения материаль-ной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

2. Запишите условие покоя материальной точки в неинерциальной систе-ме отсчета.

3. Чем обусловлено в северном полушарии отклонение морских течений и воздушных потоков вправо?

4. При каком движении подвижной системы отсчета можно воспользовать-ся выражением второго закона Ньютона для расчете параметров дви-жения материальной точки?

5. В каком случае можно допустить использование второго закона Ньюто-на при расчете параметров движения материальной точки в подвижной системе отсчета?

27

Лекция 4. Введение в динамику механической системы.

Теорема о движении центра масс

4.1. Введение в динамику механической системы

Механической системой называют любую выделенную для анализа со-вокупность материальных точек. Такой системой является, в частности, твердое тело, если рассматривать его как совокупность достаточно малых частиц, на которые это тело может быть мысленно разделено при сохра-нении основных свойств тела в каждой из этих частиц. Так же, как и в случае твердого тела, принято разделять механические системы на свободные и несвободные. Механическая система называется несвободной, если извне на нее наложены внешние связи. Наличие внут-ренних связей здесь не оговаривается – они могут быть, а могут и отсутст-вовать. К этому типу механических систем относятся, например, практиче-ски все механизмы и машины. Свободные механические системы – это системы, на которые внешние связи не наложены. Примерами таких систем являются летящие самолеты и ракеты, а так же подводные лодки и глубоководные аппараты в погру-женном положении. Принцип освобождения от связей позволяет считать свободной любую не-свободную систему; представив систему в виде совокупности взаимодей-ствующих частей, можно каждую из этих частей, в свою очередь, считать свободной механической системой. Последовательно увеличивая число частей, в конце концов, любую механическую систему можно свести к сис-теме свободных материальных точек. При анализе механической системы полезно разделить силы, действую-

щие на любую k -ю точку, на внешние и внутренние. Внешними называют силы, действующие на точки механической системы со стороны тех точек или тел, которые в нее не входят. Внутренними называют силы взаимодействия между точками, входящими в состав рассматриваемой механической системы. На рис.13 показаны си-

лы взаимодействия i

klF

и i

lkF

между точками l и k системы; согласно треть-ему закону Ньютона

i

lk

i

kl FF

. (19)

28

Рис.13

О

lk

lr

kr

klF

lkF

klu

Отсюда следует первое свойство внутренних сил – равенство нулю глав-

ного вектора iV

внутренних сил для любой механической системы, т.е.

0

1 1

n

l

n

k

i

kl

i FV

, где 0i

kkF

. (20)

Вычислим также главный момент ),(0 lkM i

относительно произвольно вы-

бранного центра О, создаваемый внутренними силами i

klF

и i

lkF

взаимодей-ствия между теми же двумя точками системы (см. рис.13):

0)(0 i

kllk

i

kllk

i

lkl

i

klk

i FuFrrFrFrM

. (21)

Последнее произведение векторов в (21) равно нулю, так как они коллине-

арны ( lku

II i

klF

). Из условия (21) следует второе важное свойство внутренних сил – равен-ство нулю главного момента этих сил относительно произвольно выбран-ного центра приведения.

4.2. Теорема о движении центра масс механической системы

Центром масс С механической системы называется точка, радиус – вектор которой определяется из соотношения

M

rm

m

rm

r

n

k

kk

n

k

k

n

k

kk

C

1

1

1

, (22.а)

где km и kr

- масса и радиус – вектор k - ой материальной точки ( nk ,...,2,1 ) соответственно, а M - масса механической системы. В случае выбора декартовой координатной системы zyx ,, , векторное ра-венство (22-2.4.а) позволяет получить выражения для проекций радиуса – вектора центра масс С:

29

M

xm

x

n

k

kk

C

1

; M

ym

y

n

k

kk

C

1

; M

zm

z

n

k

kk

C

1

. (22.б)

Формально для твердого тела центр тяжести и центр масс совпадают, хотя в принципе эти понятия различны. В основе понятия о центре тяжести ле-жит нахождение точки приложения равнодействующей параллельных сил тяжести. При нахождении положения центра масс вообще не говорится о действующих силах. Это понятие представляет собой одну из характери-стик распределения масс в механической системе. В инерциальной системе отсчета для точек механической системы можно записать дифференциальные уравнения движения:

i

k

e

k

n

l

i

kl

e

kkk FFFFWm

1 ; nlk ,...,2,1, (23)

здесь

n

l

i

kl

i

k FF1

- равнодействующая внутренних сил, действующих на k - ую точку. После суммирования этих уравнений для всех точек механической систе-мы получим

eien

l

i

k

n

k

e

k

n

k

kk VVVFFWm

111 ,

где

n

k

e

k

e FV1

и 0

1 1

n

k

n

l

i

kl

i FV

- главные векторы внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы. Если теперь рассматривать только механические системы постоянного со-става, состоящие из одних и тех же материальных точек с неизменными во

времени массами km , и дважды продифференцировать по времени фор-мулы (22), то получим:

C

n

k

kk WMWm

1 .

Окончательное выражение примет вид

e

C VWM

; (24.а)

При выборе декартовой координатной системы ему будут соответствовать три скалярных выражения:

;e

xCCx VxMMW

;e

yCCy VyMMW (24.б)

.e

zCCz VzMMW

30

Формула (24) есть запись теоремы: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей меха-нической системы, под действием силы, равной главному вектору дейст-вующих на эту систему внешних сил. Заметим, что формулы (24) не содержат внутренних сил, какими бы свой-ствами не обладала механическая система (жидкость, газ, упругое тело или твердое). Отмеченное обстоятельство существенно упрощает реше-ние задач, так как позволяет исключить из рассмотрения обычно неиз-вестные внутренние силы. С другой стороны, отсутствие влияния на дви-жение механической системы внутренних сил вызывает у студентов недо-умение – ведь момент от двигателя, вращающий колеса автомобиля, есть внутреннее усилие, и, по сформулированной теореме, не может оказывать влияние на его движение! Рассуждения, вносящие ясность в этот вопрос, достаточно просты – на абсолютно гладкой поверхности (например, на льду) отсутствует сила сцепления и независимо от создаваемого мотором момента, вращающего ведущие колеса, автомобиль остается на месте. Если поверхность шероховатая, в выражение (24) должны войти силы сцепления, которые для автомобиля являются внешними. Очевидно, что при отсутствии момента, стремящегося вращать колеса автомобиля (дви-гатель не работает либо нажата педаль сцепления), эти силы возникать не будут и автомобиль никуда не уедет. Таким образом, хотя внутренние си-лы непосредственно в формулы (24) не входят, они могут вызвать внеш-ние силы, которые в эти формулы должны войти. Из формулы (24.а) следует, что если главный вектор внешних сил окажет-ся равным нулю, то должно быть равно нулю ускорение точки С. В этом случае в процессе движения механической системы скорость ее центра масс будет сохранять величину и направление. Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного вектора внешних сил, то проекция на эту ось скорости центра масс будет постоянной.

ПРИМЕР 9. На судне водоизмещением D груз А весом 1P судовой грузо-

вой стрелой перемещен в корму на расстояние 1l . Затем для частичного

устранения возникшего дифферента жидкий балласт В весом 2P переме-

щен из кормовой цистерны в носовую на расстояние 2l . Определить про-

дольное перемещение l судна из состояния покоя, считая сопротивление воды пренебрежимо малым. РЕШЕНИЕ. На рис.14 изобразим механическую систему (судно, груз А и балласт В) в исходном положении, а так же внешние силы, на нее дейст-вующие.

31

Рис.14

О

А

В

x

z a 1lapxF

l 2lb

0x D

1P

2P

При отсутствии сопротивления воды проекция на горизонтальную ось x главного вектора внешних сил равна нулю, следовательно равна нулю го-ризонтальная составляющая ускорения центра масс. В этом случае гори-зонтальная составляющая скорости центра масс механической системы должна быть неизменной в процессе грузовой операции. Поскольку в начальный момент времени судно находилось в покое (т.е.

0CV ), то абсцисса Cx центра масс механической системы в процессе гру-зовой операции должна сохранять свою величину. Приравняв абсциссы центра масс для начального и конечного момента грузовой операции, по-

лучим уравнение для определения перемещения l судна. Для начального положения механической системы

D

bPlaPxPPDxC

211021 )()(

,

где 0x - абсцисса центра масс судна в начальный момент времени. Для конечного состояния системы

D

llbPlaPlxPPDxC

)()())(( 221021

.

Приравнивая полученные выражения, найдем

D

lPlPl 2211

.

ПРИМЕР 10. Электрический мотор массы 1m установлен без креплений на гладкой горизонтальной плоскости; на валу мотора под прямым углом за-

креплен одним концом стержень lOM , на другой конец стержня насажен

точечный груз массы 2m ; угловая скорость вращения вала равна . Определить закон изменения во времени горизонтального смещения мо-тора, если до включения мотор был неподвижен. Массой стержня ОМ пре-небречь.

32

x

y

gm

2

gm

1

1x

1y0f

Рис.15

N

O

1O

t

M

0y

РЕШЕНИЕ. На рисунке 15 изображена механическая система (мотор и груз) в отклоненном положении. Нанесем внешние силы – силы веса и ре-акцию гладкой опоры, действующие на точки механической системы. Спроецируем векторное уравнение теоремы о движении центра масс на горизонталь:

0)( 21 внеш

xCx VWmm .

В таком случае горизонтальная составляющая ускорения центра масс так же равняется нулю, что говорит о постоянстве горизонтальной состав-ляющей скорости центра масс. Поскольку в начальный момент времени мотор был неподвижен, эта составляющая оказывается равной нулю, что свидетельствует о постоянстве горизонтального отстояния центра масс от начала отсчета. Пусть в начальный момент стержень ОМ занимал верхнее вертикальное положения. Очевидно, что в этом положении центр масс механической системы так же расположен на этой вертикали. Приняв ее за ось y , полу-чаем, что горизонтальное смещение центра масс в начальный момент равно нулю (а так же и во все последующие моменты времени). Найдем это смещение, воспользовавшись формулой (22.б):

21

1211 )sin(0

mm

lxmxmxC

.

Отсюда t

mm

lmx sin

21

21

. Найденное выражение показывает, что корпус мотора, установленный на гладком полу, после включения совершает го-ризонтальные гармонические колебания. ПРИМЕР 11. В рамках предыдущей задачи найти силу давления мотора на горизонтальную поверхность.

33

РЕШЕНИЕ. Спроецируем векторное уравнение теоремы о движении цен-тра масс на вертикаль:

gmgmNVWmm внеш

yCy 2121 )( .

Найдем вертикальное смещение центра масс, воспользовавшись форму-лой (22.б):

21

0211 )cos(

mm

tlymymyC

.

Дважды продифференцировав это выражение, найдем вертикальную со-ставляющую ускорения центра масс:

tmm

lmyW CCy

cos

21

2

2

.

(при дифференцировании учтено постоянство величин 0y и 1y ). Теперь запишем выражение для расчета силы нормального давления

tlmgmgmN cos2

221 .

Анализ выражения показывает, что максимальная величина силы нор-мального давления будет иметь место при прохождении груза через ниж-нее положение, а минимальная – через верхнее; при этом

2

221minmax lmgmgmN

.

Полученное выражение позволяет найти величину критической угловой скорости, при которой мотор начинает «подпрыгивать». В этом случае мо-тор теряет контакт с поверхностью, а сила нормального давления обра-щается в нуль. Тогда

lm

mmgкр

2

21 )(

.

В том случае, когда мотор стоит на шероховатой поверхности, в системе

дополнительно действует сила сухого трения, равная fNF . Ее действие не только уменьшает амплитуду горизонтальных колебаний, но и, при движении груза вниз (силы нормального давления и трения возрастают), уменьшает амплитуду колебаний, а при движении груза вверх – увеличи-вает. В результате работающий мотор будет вибрируя смещаться в на-правлении вращения. ПРИМЕР 12. В условиях предыдущей задачи определить наибольшее го-

ризонтальное усилие xR , действующее на болты, если ими мотор будет прикреплен к основанию (см. рис.16).

34

x

y

gm

2

gm

1

Рис.16

N

O

1O

t

M

xR

РЕШЕНИЕ. Спроецируем векторное уравнение теоремы о движении цен-тра масс на горизонталь:

x

внеш

xCx RVWmm )( 21 .

Найдем горизонтальное смещение центра масс, воспользовавшись фор-мулой (22.б):

tmm

lm

mm

tlmmxC

sin

sin0

21

2

21

21

.

Дважды продифференцировав это выражение, найдем горизонтальную составляющую ускорения центра масс:

tmm

lmxW CCx

sin

21

2

2

.

Теперь запишем выражение для расчета горизонтального усилия

tlmRx sin2

2 .


1. Какие свойства внутренних сил вам известны? 2. Напишите формулу для нахождения положения центра масс механиче-

ской системы. 3. Почему понятие «центра масс» шире понятия «центр тяжести»? 4. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической систе-

мы. 5. Как движется центр масс механической системы, если главный вектор

внешних сил равен нулю? 6. аково движение центра масс, если равна нулю одна из проекций глав-

ного вектора внешних сил?

35

7. Влияют ли внутренние силы на движение центра масс механической системы, если влияют, то каким образом?

36

Лекция 5. Теорема об изменении количества движения

механической системы

5.1. Количество движения материальной точки и механической

системы

Количеством движения q материальной точки называют вектор, равный

произведению массы m точки на ее скорость V:

Vmq

. (25)

Количеством движения механической системы Q называется главный век-

тор количеств движения ее точек

C

n

k

kk

n

k

k VMVmqQ

11

. (26)

При выводе формулы учтен результат дифференцирования по времени формулы (22.а). В качестве примера вычислим количество движения однородного диска массы M , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости,

если известна скорость СV

его центра С. При качении диск совершает

плоскопараллельное движение, которое можно представить в виде суммы

поступательного движения со скоростью СV

и вращения вокруг центра С.

Нетрудно видеть, что в силу осевой симметрии диска, составляющая главного вектора количеств движения, обусловленная вращением, будет

отсутствовать. Общий результат вычислений CVMQ

полностью согласу-

ется с (26). Анализ решения показывает, что главный вектор количеств движения механической системы есть векторная мера ее поступательного движения вместе с центром масс.

Элементарным импульсом силы Sd называется вектор, равный произве-

дению силы F

на элементарный промежуток времени dt , т.е.

dtFSd

. (27)

Интегрируя (27) на интервале времени от нуля до t , получим формулу для вычисления импульса силы:

t

dtFS0

.

5.2. Теорема об изменении количества движения

Перепишем формулу (23) в виде

i

k

e

kk

k FFdt

Vdm

; nk ,...,2,1 ,

37

и просуммируем. Изменив порядок суммирования и дифференцирования, получим

n

k

i

k

n

k

e

k

n

k

kk FFVmdt

d

111

.

С учетом (2.8) и свойства внутренних сил, имеем

eVdt

Qd

или ee SddtVQd

(28а)

или в интегральной форме

e

t

e SdtVQQ 01

0

01

1 . (28.б)

Полученные выражения есть запись теоремы об изменении количест-ва движения механической системы: приращение количества движе-ния механической системы на заданном интервале времени (элементар-

ном dt или конечном ];0[ 1t ) равно импульсу внешних сил за тот же проме-

жуток времени. Из формул (28) следует, что если главный вектор внешних сил окажется равным нулю, то на рассматриваемом интервале времени количество движения механической системы не изменяется. Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного вектора внешних сил, то будет постоянной проекция на эту ось главного вектора количеств движения. Заметим, что формулы (24.а) и (28.а), в сущности, эквивалентны; выбор применяемой теоремы определяется соображениями удобства получения решения конкретной задачи.

ПРИМЕР 13. При разгоне буксир водоизмещением 1D , набрав скорость 0V ,

натянул буксирный трос, связанный с первоначально неподвижной баржей

водоизмещением 2D . Найти общую скорость CV состава буксир – баржа,

считая, что силы сопротивления воды его движению и сила упора гребных винтов уравновешиваются. РЕШЕНИЕ. Равенство сил упора гребных винтов и сил сопротивления обуславливает равенство нулю горизонтальной составляющей главного вектора внешних сил и, как следствие, соответствующей составляющей ускорения центра масс состава. В таком случае горизонтальная состав-ляющая главного вектора количеств движения должна быть постоянной. Запишем соответствующие выражения для начального и конечного мо-ментов времени и приравняем их:

)( 2101 DDVQVDQ C

кон

x

нач

x .

Отсюда 21

01

DD

VDVC

.

38

ПРИМЕР 14. Торпедный катер (см. рис.17), двигающийся по прямой со

скоростью 0V , произвел залп двумя торпедами. Зная массу катера с уче-

том присоединенной массы жидкости M , массу каждой из торпед m , ско-рость выхода из торпеды из торпедного аппарата u

и ее угол с диамет-

ральной плоскостью катера, найти скорость катера после залпа.

Рис.17

c

xR

T

M

m

uxVV

x

y

При решении учесть, что при движении катера, во-первых, его боковое со-

противление значительно больше его продольного сопротивления c

x

c

y RR ,

и, во-вторых, во время залпа сохраняется равенство силы продольного

сопротивления воды c

xR и силы упора гребных винтов T .

РЕШЕНИЕ. Первое указание позволяет пренебречь боковой составляю-

щей скорости катера ( 0yV ). В таком случае можно полагать, что скорость

катера после залпа приблизительно равной своей продольной состав-

ляющей, т.е. xVV

. На рис.17 изображена механическая система (катер и

две торпеды), а так же внешние силы, на нее действующие. Спроецируем выражение (28.а) на ось x :

0 c

x

e

xx RTV

dt

dQ

здесь T - сила упора гребных винтов, а c

xR - продольная составляющая си-

лы сопротивления. В этом случае проекция на ось x количества движения

механической системы за время залпа не должно изменяться, т.е. K

xx QQ 0 ,

где 0

xQ ; K

xQ - соответствующие проекции в начальный и конечный момент

залпа. Составим выражения для этих проекций:

0

0 MVQx ;

39

)cos(2)2( uVmVmMQ xx

K

x .

Приравняв выражения, найдем

M

muV

M

muMVVV x

cos2cos20

0

.

ПРИМЕР 15. Определить горизонтальную составляющую xR силы, возни-

кающей на опоре прямоугольного колена трубы переменного сечения при движении по ней воды. Диаметр трубы на входе в колено D , скорость во-

ды 0v , диаметр колена на выходе d .

РЕШЕНИЕ. Выделим сечениями aa и bb механическую систему, со-стоящую из частиц воды в колене трубы (см. рис.18).

Рис.18

d

x

l

3Q

v

xR

xR

0l

1Q

0v

yD

Внешними силами, действующими на частицы воды, являются силы веса и силы реакции со стороны поверхности трубы. Воспользуемся теоремой об изменении количества движения за небольшой промежуток времени t и спроецируем выражение (2.10.б) на ось x :

пов

x

об

01 S xxxx SQQQ ,

здесь 0об

xS - проекция на ось x главного импульса вертикальных сил веса,

а tRxпов

xS - проекция на горизонтальную ось главного вектора поверхно-

стных сил, которая равна проекции равнодействующей поверхностных сил

xx RR , умноженной на промежуток времени t .

За указанный промежуток времени сечение aa переместится на расстоя-

ние tvl 00 и займет положение aa , а сечение bb переместится на рас-

стояние tvl (здесь v -скорость воды на выходе из колена трубы) и зай-мет положение bb .

40

Для вычисления величины xQ рассмотрим частицы воды в трех объемах:

между сечениями aa и aa ; между сечениями aa и bb , и между се-чениями bb и bb . Частицы воды во втором объеме участвуют в формировании как началь-ного, так и конечного количества движения, поэтому их следует исключить

их механической системы при вычислении величины Q

. Количество дви-

жения частиц воды в первом объеме есть произведение их суммарной массы на скорость воды при входе в колено; однако проекция на ось x это-го вектора равна нулю. Количество движения частиц воды в третьем объ-

еме равно массе выходящей воды tvd

m 4

2 , умноженной на ее скорость

v (здесь - плотность воды). С учетом сделанных рассуждений можно за-

писать, что tRtvd

x22

4

.

Тогда 22

4v

dRx

.

Учтем, что объем воды, входящий в колено, должен быть равен выходя-

щему объему, т.е. tvd

tvD

44

2

0

2 .

Окончательно получим 2

02

4

4v

d

DRR xx

.


1. Чему равно количество движения материальной точки? 2. Какие способы нахождения главного вектора количеств движения меха-

нической системы вам известны? 3. Что характеризует главный вектор количеств движения механической

системы? 4. Однородный диск массы M и радиуса R вращается с постоянной угло-

вой скоростью вокруг вертикальной оси ВД, проходящей через точку О диска. В точке А к диску жестко прикреплен точечный груз массы m . Получите выражение для величины главного вектора количеств движе-ния этой механической системы.

m

IRM ;;

А

В

Д

С

О

41

5. Напишите теорему об изменении главного вектора количеств движения механической системы в дифференциальной форме.

6. Напишите теорему об изменении главного вектора количеств движения механической системы в интегральной форме.

7. Какие следствия из этой теоремы вам известны? 8. Влияют ли внутренние силы на изменение количества движения меха-

нической системы?

42

Лекция 6. Теорема об изменении кинетического момента

относительно неподвижного центра. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси

6.1. Кинетический момент механической системы.

Момент количества движения материальной точки относительно выбран-ного центра называется ее кинетическим моментом

VmrqrKO

, (29)

здесь r - радиус – вектор точки относительно неподвижного центра О.

V

OK

q

m

Рис.1 9

О

Мr

Кинетическим моментом OK

механической системы относительно центра

О называется геометрическая сумма (главный момент) количеств движе-ния составляющих эту систему материальных точек относительно этого же центра О:

n

k

kkk

n

k

kkO VmrqrK11

. (30)

Проецируя (30) на оси неподвижной декартовой системы координат Oxyz ,

получим выражения для соответствующих проекций (иногда их называют моментами количеств движения относительно соответствующих осей):

zyxO KkKjKiK

;

n

k

kykkzkkx VzVymK1

);(

n

k

kzkkxkky VxVzmK1

);( (31а)

n

k

kxkkykkz VyVxmK1

)( .

43

Для механических систем с непрерывным распределением массы в выра-жениях (30) и (31а) суммирование следует заменить интегрированием. Кинетический момент системы, вычисленный относительно неподвижного центра О (его проекция на ось, проходящую через точку О), является век-торной мерой, характеризующей вращение механической системы относи-тельно неподвижного центра (оси). В качестве примера вычислим кинетический момент тела при его враще-нии вокруг неподвижной точки и вокруг неподвижной оси. Выделим в твердом теле в окрестности точки, положение которой опреде-ляется радиусом – вектором r

(рис.20), элементарный объем d ,

масса которого ddm так же элементарна ( - плотность материала в

окрестности выбранной точки).

Тогда кинетический момент OK

тела относительно неподвижной точки О

определиться интегралом по занимаемой телом области пространства

drrdmVrKm

O )(

. (31б)

y

x

z

o

x

y

z

Рис.20

k

r

i

j

ddm

В декартовой координатной системе zkyjxir

. Если теперь применить

правило векторного перемножения

zyx

kji

r zyx

, то для кинетического момента

OK

получим

dyxzyzxk

yzzxyxj

xzxyzyiK

zyx

zyx

zyxO

)])((

))((

))(([

22

22

22

(32)

44

В сжатом виде это выражение обычно записывают так:

)(

)(

)(

zzzyzyxzx

zyzyyyxyx

zxzyxyxxxO

IIIk

IIIj

IIIiK

(33)

Величины

dzyxzyI xx ),,()( 22 ;

dzyxzxI yy ),,()( 22 ;

dzyxyxI zz ),,()( 22

называются моментами инерции тела относительно осей x , y и z , соот-

ветственно, а

dzyxxyII yxxy ),,( ,

dzyxxzII zxxz ),,( ,

dzyxyzII zyyz ),,( - центробежными моментами инерции твердого тела.

Все эти величины характеризуют инерционные свойства тела при враще-нии. Они являются характеристиками распределения массы в твердом те-

ле. Для однородных тел, у которых плотность постоянна, соотношения

между моментами инерции определяются только формой тела и располо-жением координатных осей Oxyz . Более подробные сведения о моментах

инерции изложены в главе 6 настоящего пособия. Из шести моментов инерции составляют симметричную матрицу

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

,

которую называют тензором инерции. С помощью тензора I компонен-

ты zyx KKK ,, вектора OO KK

выражаются через компоненты zyx ,,

вектора

в очень простой форме:

IKO . (34)

В частном случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси Oz и zyx ;0 , кинетический момент тела определяется выражением

)( zzyzxzO IkIjIiK

. (35)

6.2. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра.

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек с массами

km , радиусы – векторы, скорости и ускорения которых в инерциальной

системе отсчета с центром О равны kr

, kk rV

и kkk rVW

, nk ,...,2,1 , соот-

ветственно.

Выражение (23) умножим векторно на kr

слева

45

i

kk

e

kkkkk FrFrWmr

и просуммируем для всех точек механической сис-

темы. Получим

n

k

i

kk

n

k

e

kk

n

k

kkk FrFrWmr111

.

Первое слагаемое в правой части представляет собой главный момент

n

k

e

O

e

kk MFr1

внешних сил, действующих на точки механической системы,

вычисленный относительно неподвижного центра О. Второе слагаемое

01

i

O

n

k

i

kk MFr

было рассмотрено выше; оно представляет собой равный

нулю главный момент внутренних сил. Стоящая в левой части равенства сумма преобразуется к виду

dt

KdVrm

dt

dVr

dt

dmWmr O

n

k

kkk

n

k

kkk

n

k

kkk

111

)( .

Окончательно получится следующий результат

e

OO M

dt

Kd

, (36)

являющийся математической записью теоремы об изменении кинетиче-ского момента механической системы относительно неподвижного центра О: производная по времени от кинетического момента механической сис-темы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил относительно этого центра. Проецируя (36) на оси декартовой координатной системы Oxyz , получим

e

xx M

dt

dK , e

y

yM

dt

dK , e

zz M

dt

dK . (37)

Из формулы (36) следует, что если главный момент внешних сил окажется равным нулю, то на рассматриваемом интервале времени кинетический момент механической системы не изменяется. Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного момента внешних сил, то будет постоянной проекция на эту ось вектора кинетического момента механической системы. ПРИМЕР 16 (задача 37.52 из [2]). Круглая горизонтальная платформа (см. рис.21) может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси z , проходящей через ее центр О; по платформе на неизменном рас-стоянии от оси z , равном r , идет с постоянной относительной скоростью

U человек, масса которого равна 1m . С какой угловой скоростью будет

при этом вращаться платформа вокруг оси, если массу ее 2m можно счи-

тать равномерно распределенной по площади круга радиуса R , а в на-чальный момент платформа и человек имели скорость, равную нулю.

46

Рис.21

z

A

B

OM

BX

AX

BY

AY

AZ

UV r

gm

1

gm

2

Rr

РЕШЕНИЕ. Нанесем на рисунок внешние силы, действующие на механи-ческую систему, включающую платформу и человека; - ими являются силы веса и опорные реакции в подшипниках. Все эти силы не создают момен-тов относительно оси вращения. В таком случае

0 e

zz M

dt

dK

и проекция кинетического момента механической системы на ось враще-ния должна сохранять свою величину неизменной. Запишем соответст-вующее выражение и приравняем его к нулю, так как в начальный момент времени механическая система покоилась:

0)(5.0 1

2

21 rrUmRmVrmIK z

Полученное уравнение позволяет найти угловую скорость платформы:

2

1

2

2

1

5.0 rmRm

Urm

.

Знак «минус» показывает, что платформа начинает вращение в направле-нии, противоположном движению человека. Заметим, что решение аналогично выполненному в примере 9. ПРИМЕР 17 (задача 37.58 из [2]). Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью V относительно стрелы (см. рис.22).

47

Рис.22А

В

x

x

bpM

V

Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный bpM . Определить угловую скорость вращения крана в зависимости от рас-стояния x тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом рав-на m , I - момент инерции крана (без тележки) относительно оси враще-ния; вращение начинается в момент, когда тележка находилась на рас-

стоянии 0x от оси АВ.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим механическую систему, состоящую из поворотного крана и тележки. Внешними усилиями, действующими на нее, являются силы веса, силы реакций в опорных подшипниках А и В, момент bpM , пово-рачивающий кран. Заметим, что все перечисленные силы не создают мо-ментов относительно оси вращения, так как либо параллельны ей либо ее пересекают. Составим для рассматриваемой механической системы последнее выра-жение из (2.20):

constMMdt

dK bpe

zz .

Разделим переменные и выполним интегрирование. Тогда

tMKK bp

zz 0 , где 00 zK .

Составим выражение для кинетического момента системы 2mxIK z , выразим время t через скорость движения тележки V и ее

перемещение вдоль стрелы крана как V

xxt 0 и учтем эти выражения в

результатах интегрирования. Окончательно получим

)(

)(2

0

mxIV

xxM bp

.

48

6.3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z ; закон измене-

ния во времени угла поворота (t) задан. Из (35) найдем проекцию век-

тора кинетического момента на ось вращения zzzzz IIK и подставим

ее в третье уравнение из (2.20). Окончательно имеем:

e

zzzzz MIdt

dI

или e

zzz Mdt

dI

, (38)

где и - угловое ускорение и угловая скорость вращения. Выражение (38) является дифференциальным уравнением первого порядка относи-тельно угловой скорости вращения, либо дифференциальным уравнением второго порядка относительно угла поворота тела. Заметим, что структура формулы (38) совпадает (изоморфна) со структурами основного закона динамики точки (5) и теоремы о движении центра масс (24.а); отмеченная особенность позволяет при решении задач этого параграфа применять математические приемы, используемые ранее. ПРИМЕР 18 (задача 37.9 из [2]). Шарик А, находящийся в сосуде с жидко-стью и прикрепленный к концу стержня АВ длины l , приводится во враще-

ние вокруг вертикальной оси СD с начальной угловой скоростью 0 (см.

рис.23).

l

Рис.23

А

В

С

D

Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости враще-ния: mR , где m - масса шарика, - коэффициент пропорционально-сти. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вра-щения станет в два раза меньше начальной, а так же число оборотов n , которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренеб-речь. РЕШЕНИЕ. Рассмотрим твердое тело в виде оси СD и стержня АВ , масса m которого сосредоточена в точке А. Силы, приложенные к этому телу, это сила тяжести, силы реакций в опорных подшипниках С и D, сила сопро-

тивления движению R. Заметим, что момент относительно оси вращения

49

создает только сила сопротивления. Запишем для рассматриваемого тела дифференциальное уравнение вращательного движения:

lmlRdt

dI .

Разделим переменные и возьмем от обеих частей равенства определен-ные интегралы

0

2

0

0

dtd

ml

I .

Окончательно для искомого промежутка времени получим выражение

2lnml

I

.

Для нахождения сделанного числа оборотов вернемся к исходному диф-ференциальному уравнению. Выполним замену переменных, умножив и

разделив его левую часть на d .

lm

d

dI

dtd

ddI .

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих час-тей равенства:

k

ddml

I

0

2

0

0

.

Окончательно для числа оборотов получим выражение

ml

In k

42

0 .

Заметим, что ход решения не отличается от выполненного в примере 4.


1. Чему равен момент количества движения материальной точки? 2. Как найти главный момент количеств движения механической системы? 3. Что характеризует главный момент количеств движения механической

системы? 4. Чему равна проекция главного момента количеств движения твердого

тела на его ось вращения? 5. Как вычисляется и что характеризует осевой момент инерции масс

твердого тела? 6. Однородный диск массы M и радиуса R вращается с постоянной угло-

вой скоростью вокруг вертикальной оси ВД, проходящей через точку О диска. В точке А к диску жестко прикреплен точечный груз массы m .

50

Получите выражение для величины проекции главного момента коли-честв движения этой механической системы на ось вращения..

m

IRM ;;

А

В

Д

С

О

7. Напишите теорему об изменении главного вектора количеств движения

механической системы в дифференциальной форме. 8. Какие следствия из этой теоремы вам известны? 9. Напишите дифференциальное уравнение вращения твердого тела во-

круг неподвижной оси.

51

Лекция 7. Теорема об изменении кинетического момента от-

носительно движущегося центра и центра масс механиче-ской системы. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

7.1. Выражение кинетического момента механической системы в

неподвижной и подвижной системах отсчета.

На рис.24 показаны неподвижная координатная система 1111 zyxO и движу-

щаяся поступательно по отношению к ней координатная система Oxyz

(скорость OV

и ускорение OW

начала координат О известны).

Рис.24

O

1O

kM z

y

x

1x

1y

1z

kr

Or

k

Для наблюдателя в подвижной системе отсчета кинетический момент от-

носительно центра O будет

n

k

r

kkk

r

O VmK1

. (39)

Для наблюдателя в неподвижной системе отсчета 1111 zyxO кинетический

момент будет

n

k

kkkO VmrK1

1

.

Связь между векторами kV

, r

kV

, kr

и k

имеет вид

r

kOk VVV

; kOk rr

. (40)

Подставим (40) в (39), тогда

52

r

kk

n

k

k

n

k

r

kkOO

n

k

kk

n

k

n

k

kOO

r

kOkOkO

VmVmrVm

mVrVVrmK

111

1 1

)()(

)()()(1

Здесь Mmn

k

k 1

; Ck

n

k

k Mm

1

; r

C

r

k

n

k

k VMVm

1

; r

O

r

kk

n

k

k KVm

1

, где M - масса

механической системы, а C

и r

CV

- радиус-вектор центра масс и его ско-

рость в подвижной системе отсчета. Окончательно получаем:

r

O

r

COOCOOO KVMrVMVMrK

1

. (41)

В том случае, когда начало подвижной системы О совпадает с центром

масс С механической системы, 0;0 r

CC V

и выражение (41) приобретает

более постой вид

r

CCCO KVMrK

1

. (42)

Подставим (42) в (36) и учтем, что при изменении центра приведения О на

центр масс С главный момент системы внешних сил будет e

C

e

CO VrMM

1

.

Тогда (36) примет вид

e

C

e

C

r

СCC VrMdt

KVMrd

)(

.

Последнее соотношение при учете, что

e

CCCCC VrWMr

dt

VrdM

)(

Приводится к выражению

e

С

r

С Mdt

Kd

. (43)

Проецируя (43) на оси подвижной системы Cxyz , получим

e

xС

r

xС Mdt

dK ; e

yС

r

yСM

dt

dK ; e

zС

r

zС Mdt

dK .

Математические записи теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра О в инерци-альной системе отсчета и относительно центра масс С в системе отсчета, поступательно движущейся вместе с центром масс, совпадают. Такое сов-падение говорит о том, что движение механической системы относительно центра масс происходит так же, как если бы последний был неподвижен. Это движение не зависит от внутренних свойств механической системы (внутренних сил).

53

7.2. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

В [3] было показано, что плоскопараллельное движение твердого тела эк-вивалентно движению плоской фигуры в ее плоскости. Последнее по ме-тоду полюса может быть разложено на переносное (поступательное дви-жение вместе с кинематическими характеристиками точки, принятой за по-люс), и относительное (вращение вокруг полюса). Первое из них опреде-ляется изменением во времени двух координат полюса, а второе – изме-нением во времени угла поворота. В задачах динамики в качестве полюса удобно выбирать центр масс тела С. Для осуществления плоского движения свободного твердого тела необхо-димо выполнение следующих условий (см. формулы (28.а) и (43)): масса тела должна быть распределена симметрично относительно плоскости движения, проходящей через центр масс; начальные скорости точек тела должны быть расположены в плоскостях, параллельных плоскости движе-ния; главный вектор внешних сил должен лежать в этой плоскости, а глав-ный момент - быть перпендикулярным к ней. Для несвободного тела движение может быть плоским и в силу наложен-ных на него связей. Задачи динамики плоского движения тела аналогичны задачам динамики материальной точки: либо по заданным силам требуется найти законы из-менения во времени координат полюса и угла поворота, либо найти силы, вызывающие заданное плоское движение твердого тела.

Пусть система координат 22 yCx , имеющая начало в центре масс тела, дви-

жется поступательно относительно неподвижной координатной системы

111 yxO . Систему координат Oxy жестко свяжем с телом S (рис. 25).

1y 2yy

Cy1

x

1x

2x

Cx1

C

О

Рис.2 5

S

2F

1F

nF

Для описания поступательного движения тела применим теорему о дви-жении центра масс; в проекциях на неподвижные оси получим

;11

1

1

e

x

n

k

e

kxC VFxM

54

e

y

n

k

e

kyC VFyM11

1

1

. (44)

Дифференциальное уравнение вращения получим, применив теорему об изменении кинетического момента относительно оси z , проходящей через центра масс С перпендикулярно плоскости движения. Тогда можно запи-сать

e

zС

n

k

e

k

e

kzСzzzz MFMdt

dI

dt

dI

1

)(

. (45)

Уравнения (44) и (45) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного (или плоского) движения твердого тела. Если тело совершает несвободное движение, то в число действующих сил

необходимо включить реакции связей kR

. В таком случае уравнения плоского движения примут вид

n

k

kx

n

k

e

kxC RFxM11

1 11

;

n

k

ky

n

k

e

kyC RFyM11

1 11

; (46)

n

k

R

kzС

n

k

e

kzСzz MMdt

dI

11

.

Для получения решения задачи систему дифференциальных уравнений (46) следует дополнить уравнениями связей, наложенных на механиче-скую систему. ПРИМЕР 19. Однородный тяжелый цилиндр радиусом r отпущен без на-чальной скорости и катится без скольжения по плоскости, наклоненной под углом к горизонту. Найти уравнения движения цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Цилиндр движется под действием сил тяжести gmP

, трения

(сцепления) TPF

и нормальной реакции N

плоскости (см. рис.26).

Рис.26

y

C

xTPF

P

N

O

55

Введем систему координат Oxy , начало О которой соответствует началь-

ному положению центра масс С цилиндра. Запишем дифференциальные уравнения движения цилиндра:

TP

C Fmgxm sin ;

cosmgNym C ;

rFmr TP

2

2

.

Добавим к ним уравнения связей, наложенных на цилиндр. Во-первых, при его качении без отрыва от наклонной плоскости 0 constyC , т.к. в процес-

се движения расстояние от центра масс С до наклонной плоскости не ме-няется и равно r . Во-вторых, совпадение мгновенного центра скоростей цилиндра с точкой его контакта с неподвижной плоскостью позволяет свя-

зать скорость его центра масс с угловой скоростью вращения: rVC или

rxC .

Первое уравнение связи следует продифференцировать по времени два-жды, второе – один раз. Решив полученную систему дифференциальных уравнений относительно ускорения центра масс, получим

sin3

2gxC ; 0Cy .

Интегрируя это выражение с учетом нулевых начальных условий, получим

sin3

1 2gtxC ; 0Cy .

Замечание: можно выяснить, при каких значениях угла осуществляется предполагаемое выше движение - качение без скольжения. Для этого вы-числим отношение

tg

mg

mg

N

F TP

3

1

cos

sin

3

1 .

Поскольку условие отсутствия скольжения есть fNF TP (здесь f - коэф-

фициент трения скольжения), качение без скольжения будет иметь место при ftg 3 .

ПРИМЕР 20. Для механической системы, изображенной на рис.27, и со-стоящей из груза 1, прикрепленного к земле пружиной, двух соосных (на-саженных неподвижно на единую ось) блоков и однородного диска, соста-вить замкнутую систему дифференциальных уравнений движения. Жест-

кость пружины 1c , вес груза 1P , вес блоков 2P , их радиусы R и r , а так же

осевой момент инерции 2I , вес диска 3P и его радиус 3r известны.

56

1s

Рис.2 7

1c

Rr

yF1

cF

xR

yR

N

1T

3P

2P

3

2

3s

1P

1T

2T

2T

3r

РЕШЕНИЕ. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы (см.рис.27). Для описания движения тел зададим соответ-ствующие оси координат и запишем дифференциальные уравнения дви-жения. Уравнение для первого груза:

11111 TFPs

g

Py ;

уравнения для соосных блоков:

rTRTI 2122 ; cos0 2TRx ; 221 sin0 PTTRy ;

уравнения для диска:

2333 sin TFPs

g

Pc ;

cos0 3PN ;

3323

2

3333

2rFrT

g

rPI c .

Полагая, что в начале координат пружины были не напряжены, для силы

упругости можно записать выражение 111 scF y ;.

57

Уравнения кинематических связей будут:

RV 21 или Rs 21 ;

332 2rr или 332 2rr ;

333 rV или 333 rs .

В итоге получена замкнутая система из одиннадцати уравнений с одинна-дцатью неизвестными. ПРИМЕР 21. Для механической системы, отличающейся от обсуждаемой в предыдущем примере упругостью одной из нитей (см. рис.28), получить замкнутую математическую модель для описания ее движения. Жесткость

пружины 2c так же является известной величиной.

1s

Рис.28

1c

Rr

yF1

cF

xR

yR

N

1T

3P

2P

2c

3

2

3s

1P

1T

2T

2T

3r

РЕШЕНИЕ. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы (см.рис.28). Для описания движения тел зададим соответ-ствующие оси координат и запишем дифференциальные уравнения дви-жения. Очевидно, что они будут совпадать с полученными в предыдущем примере.

Полагая, что в начале координат пружины были не напряжены, дополни-тельно для силы упругости нити можно записать выражение

)2( 3222 srcT .

58

Уравнения кинематических связей не будут включать второго уравнения. В итоге вновь получена замкнутая система из одиннадцати уравнений с одиннадцатью неизвестными. Заметим, что рассмотренная механическая система обладает двумя сте-пенями свободы, т.е. из четырех введенных координат независимыми яв-ляются только две. Рассмотренный подход оказывается универсальным, так как позволяет решать задачи о движении механических систем, состоящих из любого числа тел и обладающих любым числом степеней свободы.


1. Какая общая теорема механики позволяет описать поступательную часть плоского движения твердого тела, если за полюс принят его центр масс?

2. Какая общая теорема механики позволяет описать вращательную часть плоского движения твердого тела, если за полюс принят его центр масс?

3. Из каких типов уравнений обычно состоит математическая модель для описания динамики механической системы?

4. Имеется ли ограничение на число элементов механической системы при получении математической модели для анализа ее движения?

5. Имеется ли ограничение на число степеней свободы механической сис-темы при получении математической модели для анализа ее движения?

6. Как из математической модели для анализа движения получить систему уравнений для анализа равновесия механической системы?

59

Лекция 8. Теорема об изменении кинетической энергии

8.1. Кинетическая энергия механической системы.

Кинетической энергией T материальной точки массы m , движущейся со скоростью V , называют величину

2

2mVT . (47)

Кинетической энергией механической системы называют сумму кинетиче-ских энергий включенных в эту систему материальных точек:

n

k

kmVT

1

2

2 . (48)

В тех случаях, когда масса системы распределена непрерывно, суммиро-вание в выражении (48) заменяют интегрированием по области распреде-ления. Найдем связь между значениями кинетической энергии механической сис-темы в двух системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая дви-

жется поступательно со скоростью AV

. В этом случае скорость kV

точки в

неподвижной координатной системе и относительная скорость r

kV

связаны

соотношением

r

kAk VVV

.

Тогда вместо (48) получим

rr

CAA TVVM

MVT

2

2

. (49)

Здесь M

VmV

r

kkr

C

- относительная скорость центра масс;

n

k

r

kkr VmT

1

2

2

)( -

кинетическая энергия механической системы в подвижной системе коор-динат. Если за начало координат подвижной системы принимается центр масс механической системы С, то выражение (49) упрощается (теорема Кенига):

rC TMV

T 2

2

. (50)

Использование выражений (48) и (50) позволяет сформулировать сле-дующие правила вычисления кинетической энергии твердого тела:

при поступательном движении тела массой M со скоростью V

2

2MVT ; (51)

при вращении с угловой скоростью вокруг неподвижной оси z тела с моментом инерции zI

60

2

2zIT

; (52)

при плоскопараллельном движении твердого тела с угловой скоро-стью при значении центрального момента инерции CzI относитель-

но оси, перпендикулярной плоскости движения, и значении PzI момен-

та инерции относительно мгновенной оси вращения

222

222 PzCzC IIMVT ; (53)

при сферическом движении с угловой скоростью вращения и зна-

чении момента инерции тела I относительно мгновенной оси враще-

ния

2

2IT ; (54)

в общем случае движения твердого тела

22

22 CCIMV

T . (55)

Здесь момент инерции CI вычисляется относительно мгновенной оси

C такого сферического движения тела, которое оно совершает в системе

осей, перемещающихся поступательно вместе с центром масс С. В качестве примера вычислим кинетическую энергию механической систе-мы, изображенной на рис.28, как сумму кинетических энергий тел ее фор-мирующих. В этом случае

2222

2

33

2

33

2

22

2

11331

I

g

sPI

g

sPTTTTT врпоствр

бл

пост .

С учетом уравнений кинематических связей Rs 1 и 333 rs выражение

для кинетической энергии рассматриваемой механической системы с дву-мя степенями свободы может быть записано через любые две перемен-ные, принятые за независимые. Например, если полагать независимыми

1s и 2s , то выражение для кинетической энергии примет вид

g

Ps

gR

IRPsT

4

3

2

)( 3

2

2

2

2

1

2

1

.

8.2. Энергетические характеристики

К энергетическим характеристикам силы относят ее мощность, работу и потенциальную энергию.

Мощностью N силы F

, точка приложения которой движется со скоро-

стью V, называют величину

VFN

. (56)

61

Работа силы A на элементарном интервале времени dt и соответст-вующем этому промежутку времени элементарному смещению rd

точки

приложения определяется по правилу

rdFdtVFNdtA

. (57)

Работой A силы на конечном интервале времени [0; t ] и соответст-

вующем изменении радиуса – вектора точки приложения этой силы от 0r

до r называют величину

r

r

t

rdFNdtA

00

. (58)

Работа момента пары сил вычисляется аналогично. Потенциальная энергия П определена только в тех случаях, когда выра-жение (57) представляет собой полный дифференциал П :

dПA . (59)

При выполнении условия (59) говорят, что сила потенциальна. Сопостав-ление формул (57) и (59) позволяет записать соотношения, связывающие проекции силы на оси выбранной координатной системы с функцией П :

x

ПFx

;

y

ПFy

;

z

ПFz

. (60)

Если точка приложения силы переместилась из положения );;( 1111 zyxM в

положение );;( 2222 zyxM , то путем интегрирования (59) можно получить

);;();;( 22211112

2

1

zyxПzyxПdПA

M

M

. (61)

Заметим (см. формулы (57), (60) и (61)), что потенциальная энергия опре-делена с точностью до постоянного слагаемого; отмеченная особенность позволяет полагать потенциальную энергию равной нулю в выбираемой нами точке (например, в начале координат). В последнем случае формула (61) принимает вид

);;(0

1

10 zyxПdПA

M

M

. (62)

Иными словами – потенциальная энергия равна работе сил по переводу системы из отклоненного положения в начальное. В том случае, когда для совокупности сил, действующих на механическую систему, можно записать выражение потенциальной энергии П , механи-ческую систему называют консервативной. Такие механические системы обладают важными особенностями – работа действующих сил не зависит от вида траектории и закона движения по ней; работа при движении по замкнутому контуру равна нулю (см. (61)). Из (60) легко получить условия, при выполнении которых существует функция П :

62

x

F

y

F yx

;

x

F

z

F zx

;

z

F

y

F yz

. (63)

В качестве примера вычислим потенциальную энергию для трех частных, но важных для технических приложений, случаев: действуют сила тяжести, центральная сила и сила упругости пружины.

Для силы тяжести PkjiP

00 выполняются критерии (63); тогда, в соот-

ветствии с формулами (58) и (62), имеем

PzdzPdzFdyFdxFAПzz

zyx

00

10 )()( . (64)

Для центральной силы r

rrFF

)( , модуль которой зависит от расстояния

r до начала координат, так же выполняются критерии (63), поэтому

00

)()(10

r

r

r

r

drrFrdr

rrFAП

. (65)

Силу упругости пружины можно считать центральной силой, направленной к началу координат; в случае прямой пропорциональности между величи-ной силы xF и удлинением x пружины имеем cxFx . В этом случае

0 20

102

)(xx

x

cxdxcxdxFAП . (66)

При определении энергетических характеристик системы сил суммируют соответствующие характеристики для всех сил, действующих на механи-ческую систему.

8.3. Теорема об изменении кинетической энергии для системы ма-териальных точек

Умножим уравнения (2.5) скалярно на скорость kV

и сложим.

ien

k

k

i

k

n

k

k

e

k

n

k

kk

k NNVFVFVdt

Vdm

111

,

где eN и iN - мощности внешних и внутренних сил, действующих на меха-ническую систему. Заметим, что если связи между телами, формирующими систему, допус-кают деформацию (см. пружину жесткостью 2c в примере 21), то точки

приложения равных и противоположно направленных внутренних сил 2T

имеют различные скорости, вследствие чего их суммарная мощность не будет равной нулю. Изменив порядок суммирования и дифференцирования в левой части ра-венства, ее можно привести к виду

63

dt

dTVm

dt

dVm

dt

dV

dt

Vdm

n

k

kkn

k

kkn

k

kk

k 1

2

1

2

1 22

.

Окончательно имеем запись теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

ie NNdt

dT . (67)

- производная по времени от кинетической энергии механической системы равна мощности всех действующих сил. В дифференциальной форме, основанной на понятии работы силы за элементарный промежуток времени, получим

ieie AAdtNNdT )( . (68)

Интегрируя (68) на интервале времени [0; t ], получим интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии

ie AATT 01 , (69)

где )(1 tTT ; )0(0 TT ; t

ee dtNA0

; t

ii dtNA0

.

В частном случае, когда для совокупности внешних и внутренних сил сис-темы можно записать выражение потенциальной энергии

dПAA ie ,

вместо (68) имеем соотношение

0)( ПTd . (70)

В такой системе выполняется закон сохранения полной механической энергии

constПT ,

а сама система называется консервативной. ПРИМЕР 22 (задача 38.24 из [2]). На рисунке 29 изображен подъемный механизм лебедки. Груз А, массой 1m поднимается посредством троса, пе-

реброшенного через блок С и навитого на барабан В радиуса R массы 2m .

К барабану приложен вращающий момент, который с момента включения

пропорционален квадрату угла поворота барабана: 2aM , где a - по-

стоянный коэффициент. Определить скорость груза А в момент, когда он поднимется на высоту x . Массу барабана В считать равномерно распре-

деленной по его ободу. Блок С – сплошной диск массы 3m . Массой троса

пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

64

x

3

3m

gm

1

2

22; RmIm 2aM

Рис.29

А

В

Сr

R

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме

ie AATT 01 ,

где 00 T , так как в начальный момент система покоилась, и 0iA , так как

трос не растяжим (система с геометрически неизменяемыми связями). Составим выражение для кинетической энергии механической системы

222

2

22

2

33

2

1 IIVmТТTT вр

В

вр

С

пост

A .

Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свобо-

ды, поэтому возможно выразить 2 и 3 через скорость груза V . Для этого

запишем уравнения кинематических связей RrV 23 ;

Тогда выражение для кинетической энергии может быть приведено к виду

)22(4

)11

2(

2231

2

2

2

22

2

3

1

2

mmmV

RRm

r

rmm

VT .

Теперь получим выражение для работы внешних усилий, действующих на точки механической системы

xgmR

axxgmMdxAe 13

3

10 3

)(

.

При записи учтено, во-первых, что связи рассматриваемой механической системы идеальны, а во-вторых, что интегрирование уравнения кинемати-

ческих связей позволяет выразить через x .

Окончательно имеем

231 22

)(2

mmm

xAV

e

.

65

ПРИМЕР 23. При посадке самолета на палубу его посадочная скорость 0V

совпадает с направлением скорости равномерного прямолинейного дви-

жения авианосца U

. Улавливающее и тормозящее устройство (аэрофи-нишер) состоит из нерастяжимого троса, охватывающего безынерционные

расположенные на расстоянии b2 друг от друга блоки 1O и 2O . Трос нагру-

жен постоянной по модулю силой P (см. рис.30). В момент посадки он за-

хватывается специальным устройством самолета и далее вытягивается

симметрично, как показано на рисунке. Найти значение силы P, при кото-

рой пробег самолета массы m до полной остановки на палубе не превысит l .

Рис.30

P

P

U

l

bb

1O2O

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме

ie AATT 01 ,

где 01 T , так как в конечный момент механическая система (самолет –

трос) покоится, и 0iA , так как трос не растяжим. Составим выражение для кинетической энергии механической системы

2

)( 2

0

0

UVmT

.

66

Работа постоянных внешних сил P равна *2PlAe , где перемещение каж-

дого из концов троса bbll 22

*.

Приравняв выражения для работы и кинетической энергии, найдем, что

)(4

)(

22

2

0

bbl

UVmP

.

Заметим, что если силы P обеспечиваются не постоянными грузами, а уп-

ругими элементами, то величина этих сил в процессе торможения самоле-та будет переменной и равной

)( xcP , где c - жесткость упругого элемента, - его предварительное

растяжение, а x - дополнительное растяжение, обусловленное вытяжкой троса в процессе посадки. В таком случае может быть поставлена задача о нахождении величины предварительного растяжения упругого элемента, обеспечивающего заданный пробег самолета по палубе. При этом выражение для работы сил упругих элементов будет

**

22

* )2(222

)(ll

cclcAe

Приравняв выражения для работы и кинетической энергии, найдем, что

*

2

*

2

0

2

)(

cl

clUVm .

ПРИМЕР 24. Для механической системы, описанной в примере 20, полу-чить дифференциальное уравнение движения груза. РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (67). Мысленно осво-бодимся от связей, приложив к телам механической системы соответст-вующие реакции (см.рис.31). Составим выражение для кинетической энергии механической системы:

2222

2

33

2

33

2

22

2

113321

I

g

sPI

g

sPTTTTT врпостврпост .

67

1s

Рис.31

1c

Rr

yF

cF

xR

yR

N

1P

3P

2P

3s

3

2

3r

Запишем уравнения кинематических связей:

RV 21 или Rs 21 ;

332 2rr или 332 2 rr ;

333 rV или 333 rs .

При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью. В формулу для кинетической энергии подставим угловые скорости враще-ния соосных блоков, диска и скорость центра масс диска, выраженные че-рез скорость первого груза; тогда

)8

3(

2 2

2

3

2

1

2

1

gR

rP

R

I

g

PsT

.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородно-

го диска g

rPI

2

2

33

3 .

Продифференцировав выражение для кинетической энергии по времени, получим левую часть равенства (67):

)8

3(

2

2

3

2

111

gR

rP

R

I

g

Pss

dt

dT .

68

Отметим, что в рассматриваемой системе внутренние связи не деформи-руемы, поэтому мощность внутренних сил должна быть равна нулю. За-пишем выражение для мощности внешних сил:

331111133111 sinsin sPsscsPsPsFsPN y

e ,

при записи учтено, что сила упругости 11scFy , а мощность силы сцепле-

ния, приложенной в мгновенном центре скоростей, равна нулю. В выражение для мощности подставим скорость центра диска, выражен-ную через скорость первого груза; тогда

)sin2

( 31111 R

rPscPsN e .

Приравняем выражения для левой и правой частей равенства (67) и со-

кратим их на 1s . Перенесем переменные величины в левую часть равенст-

ва и поделим все слагаемые на постоянный коэффициент при ускорении первого груза. Окончательный вид искомого дифференциального уравне-ния будет

Rm

rPRPs

m

cs

2

sin2 31

11

1

,

где 2

2

3

2

1

8

3

gR

rP

R

I

g

Pm .

Полученное неоднородное дифференциальное уравнение описывает гар-

монические колебания с частотой m

ck 1 около смещенного на величину

CT положения (положения статического равновесия механической систе-

мы), т.е.

CTktAs )sin(01 ,

где 1

31

2

sin2

Rc

rPRPCT

, а постоянные амплитуда 0A и начальная фаза оп-

ределяются из начальных условий движения.


1. Как вычислить кинетическую энергию материальной точки и механиче-ской системы?

2. Как вычислить кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг не-подвижной оси?

3. Как формулируется теорема Кенига? 4. Как вычислить кинетическую энергию тела при его плоском движении? 5. Как вычислить работу и мощность постоянной силы на линейном пере-

мещении? Как связаны эти величины?

69

6. Как вычислить работу и мощность постоянного момента силы на угло-вом перемещении?

7. Чему равна работа и мощность внутренних сил в механической систе-ме, если наложенные связи геометрически неизменяемы?

8. Чему равна работа и мощность реакций в механической системе, если наложенные связи идеальные?

9. Запишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.

10. Запишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме.

70

Лекция 9. Теория моментов инерции твердого тела

9.1. Понятия о полярных, осевых и центробежных моментах инер-

ции. Тензор инерции, главные и центральные оси инерции

В параграфе 6.2 для выражения векторной меры вращательного движения механической системы были введены моменты инерции. Рассмотрим бо-лее подробно их вычисление для частного случая, когда механическая система представляет из себя твердое тело. Полярным моментом инерции твердого тела называется величина

dzyxzyxIO ),,()( 222 , (71)

где О – точка, принятая за начало декартовой координатной системы,

),,( zyx - плотность тела в точке с координатами zyx ,, , а - объем тела.

Величины

dzyxzyI xx ),,()( 22 ;

dzyxzxI yy ),,()( 22 ;

dzyxyxI zz ),,()( 22 (72)

называются моментами инерции тела относительно осей x , y и z ,

соответственно, а

dzyxxyII yxxy ),,( ,

dzyxxzII zxxz ),,( ,

dzyxyzII zyyz ),,( (73)

- центробежными моментами инерции твердого тела. Все эти величины характеризуют инерционные свойства тела и являются характеристиками распределения массы в твердом теле. Для однородных тел, у которых плотность постоянна, соотношения между моментами

инерции определяются только формой тела и расположением координат-ных осей Oxyz .

Радиусом инерции тела относительно оси называют расстояние , на

котором следует расположить массу, равную массе тела m , чтобы величи-

на 2mI была равна моменту инерции тела относительно этой оси.

Полярные и осевые моменты инерции всегда положительны, центробеж-ные моменты инерции могут иметь любой знак и даже равняться нулю. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индек-

сов, т.е. zyyzzxxzyxxy IIIIII ;; .

Если, например, 0;0 yzxz II , то ось z - главная ось инерции твердого тела.

Если эта ось проходит через центр масс тела – ось главная центральная. Так, если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости будет главной осью инерции. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной цен-тральной осью инерции. Из шести моментов инерции составляют симметричную матрицу

71

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

,

которую называют тензором инерции. Тензор инерции характеризует рас-пределение масс тела относительно выбранной координатной системы.

9.2. Вычисление моментов инерции

9.2.1. Момент инерции одного цилиндра

В качестве примера рассмотрим вычисление момента инерции однородно-го цилиндра массы m , радиуса R и высоты H относительно оси вращения z (рис.36).

Рис.32

R H

r

z

Мысленно выделим цилиндрическую трубку радиуса Rr и толщиной dr . За элемент массы dmвозьмем массу этой трубки. Тогда объем трубки бу-дет rHdrd 2 , а масса ddm , где - плотность материала цилиндра.

Объем всего цилиндра HR2 , а масса HRm 2 .

Умножим элемент на квадрат расстояния до оси z и возьмем соответст-вующий интеграл

2422

24

0

3

0

2 mRRHdrHrdmrI

RR

z .

Удачный выбор элемента позволил избежать записи тройного интеграла по объему; в общем случае это сделать не удается.

9.2.2. Использование типовых элементов для вычисления моментов инерции

Использование типовых элементов, для каждого из которых в справочной литературе приведены формулы для вычисления объема, координат цен-

72

тра тяжести, а так же моментов инерции относительно осей, проходящих через его центр масс, оказывается очень удобным, когда рассматривае-мое тело может быть представлено состоящим из таких элементов. В этом случае при вычислении соответствующих моментов инерции можно заме-нить интегрирование суммированием. Заметим, что как и при нахождении центра тяжести, отверстия трактуются как типовые элементы отрицатель-ной массы. Ниже приводится таблица для некоторых типовых элементов. Таблица 9.1

Тело Моменты инерции

l C

mx

стержень

2

12

1mlI xC

m

Cx

y

a2

b2

Прямоугольная пластина

;3

1 2mbI x ;3

1 2maI y

)(3

1 22 bamI zC

m

Cx

y

a2

b2

Эллиптическая пластина

;4

1 2mbI x ;4

1 2maI y

)(4

1 22 bamI zC

73

Тело Моменты инерции

a2

b2

m

Cy

x

z

c2

Прямоугольный

параллелепипед

);(3

1 22 bcmI x

);(3

1 22 camI y

)(3

1 22 bamI z

zx

yC

H

R

Прямой круглый

цилиндр

);3

1(

4

1 22 RHmII yx

2

2

1mRI z

Прямой круглый

конус

z

x

yCH

R

);4

1(

30

1 22 RHmII yx

2

10

3mRI z

m

C

x

y

Эллипсоид

z

a

b

c

);(5

1 22 cbmI x

);(5

1 22 camI y

)(5

1 22 bamI z

9.2.3. Экспериментальное определение осевых моментов инерции

Экспериментальное определение осевых моментов инерции применяется в случаях, когда форма тела оказывается достаточно сложной (зубчатое колесо, шатун, ротор электродвигателя, корпус модели судна и т.п.).

74

В [6] достаточно подробно обсуждены методы, использование которых по-зволяет получить осевые моменты инерции таких тел (метод крутильных колебаний, метод качаний, метод падающего груза, использование бифи-лярного подвеса). Ниже приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти методы.

ПРИМЕР 25. Для определения момента инерции zzI тела А относительно

вертикальной оси z его прикрепили к упругому вертикальному стержню

1OO , закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг вертикальной оси на

малый угол 0 и отпустили; период возникших колебаний оказался равным

T . Момент сил упругости относительно оси z равен cM упр , где коэф-

фициент упругости c получен тарировкой.

Рис.33

А

O

1O

0

z

упрM

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение вращения тела А во-круг вертикальной оси z

cMI упрzz .

Приведем его к стандартному виду 02 k , где zzI

ck .

Общеизвестно, что решением полученного уравнения являются гармони-

ческие колебания с периодом c

I

kT zz

2

2 .

Отсюда 2

2

4

cTI zz .

Заметим, что при наличии еще одного тела, момент инерции которого этI

известен (такое тело называется эталоном; им может служить, напри-мер, однородный диск), можно обойтись без выполнения тарировки для определения жесткости стержня c . Очевидно, что для эталона можно вы-

75

полнить аналогичный эксперимент и получить значение периода его коле-

баний этT . При этом для него так же справедлива формула 2

2

4

эт

эт

cTI .

Поделив выражения для моментов инерции тела и эталон друг на друга, получим соотношение для вычисления момента инерции тела, не содер-жащее жесткости стержня c :

2

2

T

TII эт

этzz .

При рассмотрении задачи предполагалось, что инерционностью крепления стержня к телу можно было пренебречь. Если это предположение не под-тверждается, то найденное значение zzI включает момент инерции креп-

ления крI . Для их раздельного вычисления следует выполнить опыт с еще

одним эталоном и получить соотношение

2

1

2

2

2

1

T

T

II

II

кр

кр

, где индекс «1» присвоен моменту инерции первого эталона и

его периоду колебаний, а индекс «2» - соответствующим величинам для второго эталона.

Отсюда 2

1

2

2

2

22

2

11

TT

TITII кр

.

ПРИМЕР 26. Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев ось через втулку цапфы (см. рис.34.а). Для определения расстояния между центром тяжести шатуна С и осью качания О шатун располагают горизонтально, оперев на две точеч-ные опоры; одну располагают под осью качания О, а другую, оснащенную датчиком, под точкой В (см. рис.34.б). Зная массу шатуна m , расстояние

lOB , показание датчика усилия N и период качаний T получить выраже-ние для расчета моментов инерции шатуна относительно оси качания и параллельной ей оси, проходящей через центр масс шатуна.

Рис.34

б

ОС

В

gm

Nz z

а

О

С

В

lh

gm

x

y

РЕШЕНИЕ. Сначала рассчитаем отстояние центра тяжести шатуна от оси качания, составив сумму моментов относительно точки О шатуна в его двуопорном положении (см. рис.34.б)

76

NlmghM 00.

Отсюда mg

NlhOC .

Теперь составим дифференциальное уравнение вращательного движения шатуна относительно оси качания Oz , предполагая, что углы отклонения шатуна малы. В этом случае

mglmglI z sin0 .

Приведем полученное дифференциальное уравнение к стандартному виду

02 k , где zI

mglk

0

.

Общеизвестно, что решением полученного уравнения являются гармони-

ческие колебания с периодом zI

mgl

kT

0

22

.

Отсюда 2

2

0

4

T

mglI z

.

Момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс шатуна, можно получить, воспользовавшись формулой (74)

)4

( 2

2

22

0 hT

glmmhII zcz

.

ПРИМЕР 27 (задача 37.44 из [2]). Для определения момента инерции zI 0

махового колеса А радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой нитью, к которой привязали гирю В массы

1m и наблюдали продолжительность 1T опускания гири с высоты h . Для ис-

ключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы 2m ,

причем продолжительность опускания оказалась равной 2T при прежней

высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы

гири, вычислить момент инерции колеса zI 0 .

77

Рис.35

О

h

R

gm

трM

РЕШЕНИЕ. Составим дифференциальное уравнение вращения колеса во-круг оси О

трzz MgRmI 1 .

При постоянном угловом ускорении 1

1

zz

тр

I

MgRm и нулевых начальных

условиях, решение уравнения общеизвестно: 2

2

1

t .

Тогда, зная высоту h и радиус колеса R , можно получить выражение

zz

тр

I

MgRmTT

R

h

2

)(

2

1

2

12

11

, содержащее две неизвестные величины zzI и

трM .

Проделав опыт со второй массой, получим аналогичное выражение

zz

тр

I

MgRmT

R

h

2

)( 2

2

2 .

Исключив из них трM , получим выражение для расчета момента инерции

махового колеса

)(2

))((2

1

2

2

2

2121

TTh

TRTmmgI zz

.

Заметим, что особенно удобен этот способ для определения момента инерции для ротора, ось которого проходит сквозь корпус статора. Если насадить на ось ротора колесо, можно воспользоваться описанным выше методом падающего груза.

78

ПРИМЕР 28. Модель судна подвешена с помощью двухнитевого (бифи-лярного) подвеса так, что бы вертикальная ось вращения z проходила че-рез центр тяжести С модели (см. рис.36). Нити бифилярного подвеса в первоначальном положении параллельны оси z и находятся на одинако-вом удалении a от центра тяжести модели. Модель отклонили в горизон-

тальной плоскости на небольшой угол и отпустили; модель стала со-

вершать колебания вокруг вертикальной оси z с периодом колебаний, равным . Зная длину нитей l бифилярного подвеса и массу модели m найти ее момент инерции масс относительно оси z .

Рис.36

СА

В

gm

T T

aa

l

z

x

x

A

B

РЕШЕНИЕ. Запишем дифференциальное уравнение вращения модели во-круг вертикальной оси z

sin2aTI zz , где sinT - проекция силы натяжения нити на горизонталь-

ную плоскость. Сделаем допущение о малости углов и , оно позволит, во-первых, по-

лучить соотношение для связи этих углов как alAA ; и во-вторых,

считать силу натяжения каждой нити как mgT 5.0 . С учетом сделанного

допущения перепишем уравнение колебаний в виде

02 k , где

2

lI

mgak

zz

.

Отсюда l

mgaI zz 2

22

4

.

79

Замечание: способ удобен для тел, подвес которых за одну точку вызыва-ет конструктивные трудности.

9.3. Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат

Приведем без доказательства формулы, позволяющие вычислять элемен-ты тензора инерции при переходе от одних координатных осей к другим.

9.3.1. Моменты инерции относительно параллельных осей

Связь между осевыми моментами инерции, вычисленными относительно параллельных осей, одна из которых является центральной, дается тео-ремой Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I тела, вычисленный от-носительно некоторой оси, равен сумме момента инерции CI тела относи-

тельно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произ-ведения массы m тела на квадрат расстояния между осями:

2mdII C , (74)

где d - кратчайшее расстояние между осями.

9.3.2. Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат, и составляющей с осями zyx ,, углы ;; соответственно.

Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат,

и составляющей с осями zyx ,, углы ;; соответственно, вычисляется как

coscos2coscos2coscos2coscoscos 222

xzyzxyzyx IIIIIII (75)

При этом углы ;; связаны известным соотношением

1coscoscos 222 .

9.3.3. Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси

Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси осущест-вляется комбинированием формул (74) и (75). ПРИМЕР 29. Для ротора в виде тонкого однородного диска массы m и ра-диуса R определить момент инерции относительно оси вращения z если

а) ось вращения 1z перпендикулярна плоскости диска, но центр масс С на-

ходится на расстоянии e от оси вращения (рис.37). Из таблицы 9.1 для ротора в виде диска осевой момент инерции относи-

тельно центральной оси zC будет 2

2mRI zC .

80

Рис.37

e

1;xx

y

1y

1zO

Cz

По (74) для этого случая имеем )2

( 22

2 eR

mmeII zCzO .

б) ось вращения 1z является центральной и составляет с осью z диска угол

(рис.38). При этом угол с осью x будет (2

), а с осью y будет

2

.

Рис.38

1x

1; yy

1zC

z

x

Тогда по (75) для этого случая имеем

)cos1(4

cos2

sin4

cos)2

(cos)2

(cos

22

22

22

222

mRmRmR

IIII zCyCxCzC

в) ось вращения 1z составляет с осью z диска угол ; при этом центр масс

С находится на расстоянии ОС=e от оси вращения (рис.39). Очевидно, что последний случай можно представить как совокупность

двух предыдущих, т.е. 2)cos( emII zCzO ,

где zCI - осевой момент относительно центральной оси 2z , вычисленный в

предыдущем случае. Тогда

22

22

2222

cos)4

(4

cos)cos1(4

Rlm

mRml

mRI zO

81

Рис.39

1x

y

1z

C

z

x

1y

O

2z


1. Запишите формулы для вычисления полярного, осевых и центробеж-ных моментов инерции твердого тела.

2. Какой из моментов инерции является мерой инерции твердого тела при его вращении вокруг оси?

3. Что такое радиус инерции твердого тела и что он характеризует? Как выглядит тензор инерции в общем случае?

4. Как выглядит тензор инерции, если оси координат – главные оси инер-ции?

5. Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера о вычислении осевого момента относительно параллельной оси.

6. Как вычислить момент инерции твердого тела относительно оси, если она проходит через начало координат (углы между нею и осями коорди-нат, а так же все элементы тензора инерции твердого тела заданы)?

7. Как вычислить моменты инерции твердого тела, если его можно мыс-ленно разделить на типовые элементы?

8. Какие экспериментальные методы определения осевых моментов инерции вам известны? Каков алгоритм действий в каждом из них?

82

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р., Курс теоретической механики, Т.2, Наука, Москва, 1971 г.

2. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. Лань, Москва, 2002 г.

3. Мелконян А.Л. Черныш А.А. Теоретическая механика. Кинематика. Учебное пособие., Издательский центр СПбГМТУ, 2009 г.

4. Плотников А.М., Чувиковский В.С. Численные методы и ЭВМ в механике для судостроителей., Учебное пособие, ЛКИ, Л. 1987г.

5. Матлах А.П., Мелконян А.Л., Плотников А.М., Черныш А.А. Моменты инерции твердого тела. Методические указания к лабораторным рабо-там, Издательство ЛКИ, Ленинград, 1989 г.

titova-stud.narod.rutitova-stud.narod.ru/mechnicspart2.pdf · 1 Федеральное...

Documents