title: wybrane ćwiczenia rachunkowe i laboratoryjne z ... filetitle: wybrane ćwiczenia rachunkowe...

Click here to load reader

Post on 01-Mar-2019

222 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Title: Wybrane wiczenia rachunkowe i laboratoryjne z zakresu fizyki Ziemi

Author: Maciej Jan Mendecki, Arlena Kowalska

Citation style: Mendecki Maciej Jan, Kowalska Arlena. (2010). Wybrane wiczenia rachunkowe i laboratoryjne z zakresu fizyki Ziemi. Katowice : Uniwersytet lski : Wydzia Nauk o Ziemi

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

UNIWERSYTET LSKI WYDZIA NAUK O ZIEMI

KATEDRA GEOLOGII STOSOWANEJ ZAKAD FIZYKI ZIEMI

Wybrane wiczenia rachunkowe

i laboratoryjne

z zakresu fizyki Ziemi

Maciej Jan Mendecki Arlena Kowalska

Recenzent: Prof. dr hab. in. Wacaw M. Zuberek

KATOWICE 2010

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

2

Spis treci

1. Ukad Soneczny ..........................................................................................................................3

1.1. Prawo Titiusa-Bodego ..........................................................................................................3

2. Sejsmologia .................................................................................................................................6

2.1. Obcity rozkad Gutenberga-Richtera ................................................................................6

2.2. Reguy opisujce sekwencj wstrzsw wtrnych .......................................................... 10

2.3. Wyznaczanie parametrw stacjonarnego hazardu sejsmicznego ................................. 13

2.4. Rwnanie propagacyjne GMPE ........................................................................................ 16

2.5. Moduy sprystoci ........................................................................................................... 19

3. Pole cieplne Ziemi i promieniotwrczo naturalna ............................................................... 23

3.1. Gsto powierzchniowego strumienia cieplnego dla otworu wiertniczego .................. 23

3.2. Parametry cieplne ska ....................................................................................................... 27

3.3. Geochronologia .................................................................................................................. 31

4. Paleomagnetyzm....................................................................................................................... 35

4.1. Wyznaczanie miejsca powstania skay w oparciu o pomiary kta deklinacji i inklinacji

pola paleomagnetycznego ............................................................................................................ 35

5. Pole grawitacyjne Ziemi ............................................................................................................ 38

5.1. Normalna sia cikoci i wybrane modele elipsoidy Ziemi ............................................ 38

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

3

1. Ukad Soneczny

1.1. Prawo Titiusa-Bodego

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest zapoznanie si z prawem Titiusa-Bodego oraz wyznaczenie wspczynnikw liczbowych dla dwch typw rwna: wykadniczego i eksponencjalnego. Podrzdnym celem jest opanowanie techniki najmniejszych kwadratw w celu dopasowania zalenoci liniowej do punktw pomiarowych. Umiejtno ta, bdzie przydatna do oblicze w dalszej czci wicze.

Wprowadzenie do wiczenia

Ponad dwiecie trzydzieci lat temu Johann Daniel Titius i Johann Bode opublikowali metod wyznaczenia redniego pooenia planet od soca. Zaproponowana formua miaa pierwotn posta:

n

nr 23,04,0 (1)

(1)

gdzie rn jest redni odlegoci planety od Soca w jednostkach astronomicznych, n = dla Merkurego, 0 dla Wenus, 1 dla Ziemi itd. Prawo zastosowano do wczenie znanych 6 planet (Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn). Wiliam Herschel,

wykorzystujc zaproponowan przez Titiusa regu, odkry sidm planet Ukadu Sonecznego Uran. Dokadno prawa Titusa-Bodego potwierdzio odnalezienie Pasa Asteroid pomidzy Marsem, a Jowiszem, gdzie prawdopodobnie powstaaby planeta, jednak siy oddziaywania grawitacyjnego Jowisza uniemoliwi koncentracj materii. Prawo to nie spenio jednak oczekiwa w przypadku Neptuna i Plutona.

Wspczenie proponuj si zapis rwnania Titiusa-Bodego pod dwiema postaciami, jako rwnie wykadnicze oraz eksponencjalne.

Prawo wykadnicze

k

k prr 0 , (2)

gdzie rk jest redni odlegoci planety od Soca w jednostkach astronomicznych, r0 i p to wspczynniki liczbowe, k = 0, 1, 2...

Rys.1.1. Ukad soneczny

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

4

Prawo eksponencjalne

kd

k cer , (3)

gdzie rk jest redni odlegoci planety od Soca w jednostkach astronomicznych, c i d to wspczynniki liczbowe, k = 0, 1, 2..., e jest podstaw logarytmu naturalnego (Basano &

Hughes 1979, Louise 1981, Patton 1988, Lynch 2003, Kotliarov 2008, Poveda & Lara 2008).

Rys.1.2. Wykres prezentujcy redni odlego planet od Soca w zalenoci od numeru planety k.

Wykonanie oblicze i opracowanie wynikw

1. Na podstawie udostpnionych danych wykona wykres zalenoci rk = f(k), gdzie k to

kolejne numeracje planet k = 0, 1, 2, . Na wykres nanie niepewnoci pooenia

planet.

2. Zapisa oba rwnania (2) i (3) w postaci zlogarytmowanej w celu uzyskania liniowej

zalenoci funkcyjnej y = ax + b.

3. Wykona wykresy plogarytmiczne log(rk) = f(k) i ln(rk) = f(k). W tym celu obliczy

odpowiednio logarytm dziesitny i logarytm naturalny z wartoci rk oraz wyznaczy

ich niepewno metod rniczki zupenej. Wyniki oblicze zestawi w tabeli.

4. Obliczy metod regresji liniowej waonej (metoda najmniejszych kwadratw)

wartoci parametrw a i b w rwnaniu prostej y = ax + b oraz ich niepewnoci:

21

12

1

12

21

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

1

kN

i i

ikN

i i

ikN

i i

kN

i i

ikN

i i

ikN

i i

iikN

i i

xx

yxyx

a

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

5

21

12

1

12

21

12

1

12

1

12

1

12

1

12

2

1 kN

i i

ikN

i i

ikN

i i

kN

i i

iikN

i i

ikN

i i

ikN

i i

i

xx

yxxyx

b

21

12

1

12

21

12

1

121

1

2

1

1

)(2

1

kN

i i

ikN

i i

ikN

i i

kN

i ikN

i

ii

xxaxby

na

1

12

1

1

2

1kN

i i

kN

i

ix

ab

5. Na podstawie wyznaczonych wartoci parametrw zlogarytmowanych rwna naley

przej do postaci wykadniczej i zapisa prawa Titiusa-Bodego w postaci

wykadniczej/ekspotencjalnej oraz oszacowa niepewnoci parametrw odpowiednio

dla obu typw rwna bcpr ,,,0

6. Wykona wykresy zawierajce punkty pomiarowe i krzywe wyznaczonych funkcji

prawa Titiusa-Bodego oraz wyliczy na podstawie opracowanych wzorw wartoci

teoretyczne. Wyniki zestawi w tabeli, porwna z danymi literaturowymi.

7. Wyjani, na czym polega rnica midzy obojgiem wzorw, jeeli wzory daj te

same wyniki, znale przeksztacenie midzy nimi.

8. Wyznaczy osobne zalenoci prawa Titiusa-Bodego dla planet wewntrznych

(MerkuryCeres) i planet zewntrznych (JowiszPluton) tymi samymi metodami.

Literatura

Basano L., Hughes D.W. (1979) A Modified Titius-Bode Law for Planetary Orbits, Il Nuovo

Cimento, 2C, 5, 505-510. Kotliarov I. (2008) The Titius-Bode Law Revisited but Not Revived, opublikowane na stronie

internetowej: http://arxiv.org/abs/0806.3532v1 Louise R. (1982) A Postulate Leading to the Titius-Bode Law, The Moon and the Planets 26,

93-96. Lynch P. (2003) On the Significance of the Titius-Bode Law for the Distribution of the

Planets, Mon. Not. R. Astron. Soc., 341, 1174-1178 Patton J. (1988) On the Dynamical Derivation of the Titius-Bode Law, Celestial Machanics,

44, 365-391. Poveda A., Lara P. (2008) The Exo-Planetary System of 55 Cancari and the Titius-Bode

Law, Revista Mexicana de Astronomia y Astrofisica, 44, 243-246.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

6

2. Sejsmologia

2.1. Obcity rozkad Gutenberga-Richtera

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest zapoznanie si z dwiema prostymi metodami wyznaczania parametrw obcitego rozkadu Gutenberga-Richtera w oparciu o katalogi wstrzsw sejsmicznych rejestrowanych na wiatowych stacjach sejsmologicznych. W wiczeniu zaproponowano za S. Wiemerem i M. Wyssem (2002) metod szacowania prawdopodobiestwa wstpienia trzsienia ziemi o wybranej magnitudzie docelowe j.

Wprowadzenie do wiczenia

Wielkoci opisujc rozmiar trzsienia ziemi jest magnituda. Z definicji, jak zaproponowa Richter magnituda to logarytm maksymalnej amplitudy, liczonej w mikrometrach, na zapisach standardowego sejsmografu Wooda-Anedersona, ktry znajduje si 100 km od epicentrum. Ograniczeniem tej definicji jest to, e sprawdza si tylko dla Kalifornii (wstrzsw bliskich) i dla tego jednego modelu sejsmografu. Nastpnie wsplnie Richter i Gutenberg opracowywali magnitudy na innych przyrzdach oraz w innych warunkach. Magnitud, bdc wielko bezwymiarow, definiuje si jako:

)(

)(log)(log)(log

0

0RA

RARARAM , (1)

gdzie A to amplituda maksymalna zarejestrowana przez sejsmograf, A0 jest magnitud referencyjn, R odlego epicentralna. Obecnie wyznacza si magnitud uwzgldniajc

dodatkowo okres drgania fali, poprawki na odlego epicentraln i gboko ogniska oraz poprawk stacji, odpowiadajc lokalnym warunkom gruntu i poprawk regionaln, rna dla rnych rejonw trzsie ziemi (Shearer 2009).

Trzsienia ziemi wykazuj znaczn zoono w czasie i przestrzeni, ale rwnie obecne s silne regularnoci. K. Wadati w 1932 roku zaadoptowa prawo potgowe dla energii trzsie ziemi:

dEEdEEn m)( , (2)

gdzie n jest liczb wstrzsw w przedziale energii E+dE, m jest parametrem rozkadu,

przyjmujcym wartoci z przedziau 1,7-3,0 lub mniejsze. Wprowadzajc do rwnania (2) zaproponowan przez Gutenberga i Richtera w 1956 roku zaleno energii E (wyraonej w erg) od magnitudy M wyniesie:

dMcElog , (3)

gdzie c, d wspczynnik liczbowe. Po przeksztaceniach rwna (2) i (3) otrzymuje

popularn zaleno opisujca relacj midzy rozmiarem trzsie ziemi a ich czstotliwoci prawo Gutenberga-Richtera (Pisarenko & Sornette 2004). Relacj t w postaci wykadniczej mona zapisa jako:

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

7

bMaN 10 (4)

lub w postaci zlogarytmowanej:

bMaN10log , (5)

gdzie N to liczba wstrzsw lub skumulowana liczba wstrzsw o magnitudzie > M, a parametr zwizany z sejsmicznoci, b parametr nachylenia rozkadu, ktry opisuje wzgldny rozmiar rozkadu zdarze (Rys.2.1). Warto staej a zaley od okresu obserwacji, wielkoci rejonu i poziomu aktywnoci sejsmicznej. Warto wspczynnika b (zwanego

wspczynnikiem Gutenberga) zaley od stosunku liczby trzsie w grupach o niskiej oraz wysokiej magnitudzie i charakteryzuje wzgldny rozmiar rozkadu trzsie. Przewanie warto parametru b zmienia si w zakresie od 0,7 do 1,2 (Zuberek 1983, Rabinovitch et al.

2001, Utsu 2002, Wiemer & Wyss 2002).

Rys.2.1. Skumulowana liczba trzsie ziemi opracowana dla katalogu wstrzsw z Chin w roku 2008. Linia prosta prezentuje wynik dopasowania relacji Gutenberga-

Richtera metod najmniejszych kwadratw.

Warto parametru b zaley rwnie od kompletnoci katalogu. Dla rnych sieci sejsmologicznych istnieje pewien prg, poniej ktrego stacje sejsmologiczne nie s zdolne do rejestracji wszystkich wstrzsw. Skutkiem tego cz danych o magnitudzie mniejszej, ni magnituda kompletnoci (zwana te magnitud minimaln) jest tracony. Magnituda minimalna ogranicza, wic rozkad Gutenberga-Richtera od dou (Wiemer & Wyss 2002). Na Rys.2.1 magnituda minimalna (kompletnoci) wynosi 4,1. Jednym z sposobw jej wyznaczenia, to odnalezienie na histogramie logN = f(M) magnitudy

(lub przedziau magnitud) o najwikszej liczbie zdarze.

Chocia w wikszoci przypadkw rozkad Gutenberga-Richtera dopasowuje si do dobrze do danych, to znane s przypadki, e dla silnych wstrzsw relacja przestaje by liniowa, poniewa rozkad zwykle zakrzywia si gwatownie w d. Zaproponowano wiele

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

8

modyfikacji rozkadu czsto zdarzemagnituda uwzgldniajcy ten efekt. Stosowano wyrazy zakrzywiajce rozkad Gutenberga-Richtera lub ograniczono go od gry wprowadzajc magnitud maksymaln Mmax.

max

max

100

logMM

MMbMaN . (6)

Taki rozkad nazywany jest rozkadem obcitym (od gry) (Utsu 2002). Magnitud maksymaln definiuje si jako grn granic magnitud dla danej strefy sejsmogenicznej lub jako najwiksz moliw magnitud trzsienia ziemi. Obecnie stosowan metod wyznaczenia magnitudy maksymalnej jest jej estymacja za pomoc rwnania zaproponowanego przez Kijko (2004):

max

min

maxmax )]([

M

M

n

M

obs dmmFmM , (7)

gdzie obsmmax to maksymalna magnituda obserwowana, FM(m) dystrybuanta magnitudy,

n liczba zdarze. Z racje tego, e wzr (7) jest cak uwikan, rozwizuje si go

numerycznie. Przyblion warto magnitudy maksymalnej mona otrzyma z zalenoci:

obsobs mmM 1maxmaxmax 2 , (8)

gdzie obsm 1max to przedostatnia z obserwowanych magnitud.

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw:

1. Wykona na podstawie katalogu wstrzsw histogram logN = f(M) dla N bdcego

liczb wstrzsw o danej magnitudzie (wykres 1) oraz dla N bdcego skumulowan

liczb wstrzsw (wykres 2).

2. Obliczy warto magnitudy maksymalnej Mmax zgodnie z rwnaniem (8).

3. Obliczy warto parametru b rozkadu Gutenberga-Richtera metoda najwikszej

wiarygodnoci (maximum likelihood metod - wicej o samej metodzie patrz w. 2.3).

a. Oszacowa warto magnitudy minimalnej Mmin w oparciu o wykres 1.

b. Obliczy redni magnitud i jej odchylenie standardowe dla magnitud

z przedziau :

n

MM

i

sr , (9)

)1(

)( 2

nn

MMM

sri

sr . (10)

c. Obliczy warto parametru b i jego niepewno ze wzorw:

misrMM

eb

log, (11)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

9

srMbb 23,2 . (12)

d. Oszacowa warto parametru a i jego niepewno a.

4. Metod najmniejszych kwadratw MNK (regresja liniowa) wyznaczy wartoci

parametrw rwnania prostej a i b wraz z ich niepewnoci (skorzysta z wykresu 2,

zakres danych to przedzia midzy magnitud minimaln a najwiksz obserwowan

magnitud).

5. Wykreli obcite rozkady Gutenberga-Richtera z wyznaczonymi rwnaniami

prostych uzyskanych obiema metodami. Porwna i skomentowa wyniki uzyskane

obiema metodami. Rozway, dlaczego nie stosuje si w tym wypadku metody MNK.

6. Na podstawie obu wyznaczonych relacji obliczy lokalny czas powrotu TL dla zakresu

magnitud docelowych od 0 do Mmax (krok co 0,2). Czas powrotu zdarzenia o zadanej

magnitudzie docelowej zapisuje si jako:

arg10 t

bMaL

TT , (13)

gdzie T to okres obserwacji. Wyniki oblicze zestawi na wykresie TL = f(M)

(Wiemer & Wyss 2002).

7. Wyznaczy prawdopodobiestwo wystpienia trzsienia ziemi dla zakresu magnitud

od 0 do Mmax ze wzoru:

AT

PL

L

1, (14)

gdzie A to powierzchnia badanego obszaru (Wiemer & Wyss 2002). Wyniki oblicze

zestawi na wykresie PL = f(M).

Literatura

Kijko A. (2004) Estimation of the Maximum Earthquake Magnitude, mmax, Pure and Applied

Geophysics, 161, 16551681. Pisarenko V.F., Sornette D. (2004) Statistical Detection and Characterization of a Deviation

from the Gutenberg-Richter Distribution above Magnitude 8, Pure and Applied Geophysics, 161, 839-864.

Shearer P.M. (2009) Introduction to seismology, Wydanie drugie, Cambridge University

Press. Utsu T. (2002) Statistical Features of Seismicity, in: International Handbook of Earthquake

and Engineering Seismology edited by W.Lee, H.Kanamori, P.Jennings, C.Kisslinger, International Association of Seismology and Physics of the Earths Interior, A, 43, 719-732.

Wiemer S., Wyss M. (2002) Mapping Spatial Variability of the Frequency-Magnitude Distribution of Earthquakes, in: Advances in Geophysics, 45, 259-302.

Zuberek W.M. (1983) Probabilistic interpretation of the frequency-energy distribution of seismic activity and of the amplitude distribution of seismoacoustic activity, Acta

Geophysica Polonica, 31, 4, 343-354.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

10

2.2. Reguy opisujce sekwencj wstrzsw wtrnych

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest wyznaczenie parametrw prawa Omoriego, opisujcego czasow dystrybucj wstrzsw wtrnych, oraz sprawdzenie, czy wystpuje wrd aftershockw zaleno Bthego. Istotne w tym wiczeniu jest rwnie zapoznanie si z technik regresji nieliniowej powszechnie stosowanej do rozwizywania wielu problemw wystpujcych w naturze.

Wprowadzenie do wiczenia

W roku 1894 Fusakichi Omori opublikowa swoje badania, w ktrych poda relac je opisujc regularny spadek wstrzsw wtrnych (aftershocki) w czasie od momentu wystpienia wstrzsu gwnego. Swoje wnioski opar o badania trzsienia Ziemi, jakie wystpio w 1891 roku w Nobi (M = 8,0) i liczb odczuwanych wstrzsw wtrnych

przypadajcych na kady dzie.

Rys.2.2. Zaleno liczby wstrzsw od czasu oraz magnitudy od czasu.

Wspczenie stosuje zmodyfikowane prawo Omoriego, ktre zazwyczaj zapisuje si jako:

pct

Ktn

)()( , (1)

gdzie n(t) to liczba wstrzsw, K, c, p to stae parametry, t czas mierzony od momentu wystpienia wstrzsu gwnego. Parametr K w zmodyfikowanym prawie Omoriego silnie zaley od wielkoci magnitudy progowej, zwanej te magnitud kompletnoci (patrz w. 2.1). Natomiast parametr p jest niezaleny od magnitudy progowej i wynika z stabilnoci wartoci

redniej magnitudy (lub wartoci wspczynnika b w relacji Gutenberga-Richtera) wystpujcej w sekwencji aftershockw. Z kolei parametr c czsto przejawia siln zaleno wzgldem wartoci magnitudy kompletnoci, poniewa sabe wstrzsy wtrne nakadaj si na zapisach sejsmografw i informacja o nich jest tracona (Utsu 2002, Wiemer & Wyss 2002, Kagan & Houston 2005, Shearer 2009).

Innym prawem odnoszcym si do wstrzsw wtrnych jest prawo Btha, ktre mwi, e warto magnitudy midzy wstrzsem gwnym a najsilniejszym wstrzsem wtrnym jest w przyblieniu staa, co zapisa mona jako:

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

11

constMMMaftermain

. (2)

Wedug obserwacji Btha rnica ta wynosi w przyblieniu 1,2. Obecne badania pokazuj, e warto ta zmienia si w szerokim zakresie od 0 do 3 (Utsu 2002).

Podstawy regresji nieliniowej wprowadzenie do wyznaczenia parametrw prawa Omoriego.

Rwnanie (1) przedstawia zalenoci funkcyjn:

niepcKtfn iii ,...,1),,;( , (3)

gdzie ni jest to zaobserwowana warto zmiennej objanianej, czyli liczba wstrzsw w i-tym przedziale czasu, f(ti, K, c, p) jest funkcj zmiennej objaniajcej ti i niezalenych staych parametrw prawa Omoriego K, c, p oraz ei to bd. Rozwizanie problemu polega na minimalizacji sumy kwadratw residuw R(K, c, p):

n

i

ii pcKtfnpcKR1

2)),,;((),,( . (4)

W oparciu o metod najmniejszych kwadratw dla regresji liniowej zaoy mona, e Kj, cj, pj s przyblieniami rzeczywistych wartoci K, c oraz p na pocztku j-tego kroku. W celu linearyzacji funkcji f rozwijamy j w szereg Taylora w otoczeniu punku (Kj, cj, pj) i zakadamy,

e wysze czony s pomijalnie mae.

p

p

pcKtfc

c

pcKtf

KK

pcKtfpcKtfpcKtf

ijij

ij

ijij

),,;(),,;(

),,;(),,;(),,;(1

, (5)

gdzie naley pamita, e

jjjjjjpppcccKKK 111 ,, . (6)

Zastosowanie linearyzacji daje w konsekwencji model liniowy:

iijijij

iji epp

pcKtfc

c

pcKtfK

K

pcKtfpcKtfn

),,;(),,;(),,;(),,;( . (7)

Stosujc zapis macierzowy, rwnanie (7) przyjmie posta:

EPJR , (8)

gdzie R to wektor rezyduw, J macierz pochodnych, P wektor przyrostw parametrw, E wektor bdw. Zastosowanie do rwnania (8) metody Gaussa Newtona pozwoli otrzyma ukad rwna normalnych, ktry rozwizuje si ze wzgldu na P:

RJJJP TT 1)( , (9)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

12

Obliczenia powtarza si, a dokadno dopasowania spadnie poniej zadanej dokadnoci (przyj 10%). Kryterium zatrzymania procesu regresji nieliniowej zapisa mona jako:

1

1

1

1

1

1,,min

j

jj

j

jj

j

jj

Kcpp

pp

c

cc

K

KK, (10)

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw

1. Na podstawie otrzymanych katalogw wstrzsw wykreli histogram liczby trzsie

ziemi w funkcji czasu n = f(t) oraz wykres zalenoci magnitudy w funkcji czasu

M = f(t).

2. Porwna oba wykresy z pkt 1. ze sob i wybra przedzia czasu

z obserwowanym wstrzsem gwnym i seri wstrzsw wtrnych.

3. Dla wybranego przedziau czasu zawierajcego wstrzs gwny i seri wstrzsw

wtrnych oszacowa technik Gaussa Newtona parametry prawa Omoriego:

a. Stworzy model startowy i zaproponowa teoretyczne wartoci parametrw

prawa Omoriego.

b. Obliczy wartoci teoretyczne n(t) i wyznaczy wektor rezyduw R,

c. Obliczy macierz pochodnych (Jakobian),

d. Rozwiza ukady rwna normalnych technik Gaussa-Newtona (9)

e. Poprawi parametry modelu startowego,

f. Obliczenia prowadzi a spenione zostanie kryterium zatrzymania oblicze

(10)

4. Na wsplnym wykresie zamieci teoretyczn krzyw reprezentujc prawo

Omoriego wraz z punktami eksperymentalnymi wyznaczonymi z katalogu wstrzsw.

5. Sprawdzi prawo Btha (2) dla otrzymanych danych i skomentowa uzyskane wyniki.

Literatura

Kagan Y.Y., Houston H. (2005) Relation Between Mainshock Rapture Process and Omoris Law for Aftershock Moment Release Rate, Geophys J. Int., 163, 1039-1048.

Shearer P.M. (2009) Introduction to seismology, Wydanie drugie, Cambridge, Cambridge

University Press. Utsu T. (2002) Statistical Features of Seismicity, in: International Handbook of Earthquake

and Engineering Seismology edited by W.Lee, H.Kanamori, P.Jennings, C.Kisslinger, International Association of Seismology and Physics of the Earths Interior, A, 43, 719-732.

Wiemer S., Wyss M. (2002) Mapping Spatial Variability of the Frequency-Magnitude Distribution of Earthquakes, in: Advances in Geophysics, 45, 259-302.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

13

2.3. Wyznaczanie parametrw stacjonarnego hazardu

sejsmicznego

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest zapoznanie z podstawowymi metodami wyznaczania parametrw hazardu sejsmicznego: prawdopodobiestwa przewyszenia, redniego czasu pomidzy zdarzeniami, maksymalnej magnitudy spodziewanej w okrelonym przedziale czasu.

Wprowadzenie do wiczenia

Stacjonarny hazard sejsmiczny okrelany jest przy zaoeniu, e proces sejsmiczny jest stacjonarny (niezaleny od czasu) i wewntrznie nieskorelowany, czyli nie zaley od historii sejsmicznej. W oglnoci przez proces sejsmiczny naley rozumie proces wystpienia trzsienia ziemi, ktry opisywany jest przez szereg parametrw.

Prawdopodobiestwo empiryczne wstpienia wstrzsw o pewnej magnitudzie okreli mona jako:

tot

mn

mNmR

)()( , (1)

gdzie N(m) to skumulowana liczba wstrzsw o danej magnitudzie m, ntot to cakowita

liczba wstrzsw zawarta w przedziale od magnitudy kompletnoci do maksymalnej magnitudy obserwowanej. Zastpujc wartoci czstoci zdarze rozkadem Gutenberga-Richtera otrzyma si nastpujc zaleno:

)()( minmin

min

1010

10)()(

mmmmb

bma

bma

tot

m en

mNmR . (2)

W rwnaniu (2) parametr zdefiniowany jest jako:

10lnlog

be

b. (3)

Funkcje przewyszenia zapisa mona jako dopenienie Rm(m):

)( min1);(1);(

mm

mm emRmF . (4)

Z kolei funkcja gstoci prawdopodobiestwa wynosi:

)( min

);();(

mmmm e

d

mdFmf . (5)

Dla zbioru magnitud {m1,,mn} zapisa mona zgodnie z metod najwikszej wiarygodnoci funkcj L():

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

14

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

mmn

i

im

mmnmm

emfL i

1

min

1

min

1

1

)(

1

)][(ln)]([ln

]ln[);(ln)( min

. (6)

Poszukuje si minimum funkcji L():

01

01

01

01)(

min

min

1

min

1

1

min

1

mm

mn

m

nmmn

mmnd

dL

sr

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

(7)

Parametr moe by estymowany jako:

min

1

mmsr

(8)

Wyprowadzone zalenoci (4) i (8) posu szacowaniu parametrw hazardu sejsmicznego. Prawdopodobiestwo przewyszenia magnitudy R(mp; t) to prawdopodobiestwo wystpienia zdarzenia sejsmicznego o magnitudzie mp lub wikszym w przecigu okresu t:

))](1(exp[1);0Pr();( pmpp mFttNmmtmR , (9)

gdzie to rednia czsto zdarze w okresie t, Fm(mp) to funkcja przewyszenia

zdefiniowana we wzorze (4).

redni czas pomidzy zdarzeniami o magnitudzie mp lub wikszymi definiuje si jako:

))(1(

1)(

pm

pmF

mT . (10)

Maksymalna magnituda mx spodziewana w okresie t spenia zaleno:

tmF

mxm

x))(1(

1: , (11)

gdzie to rednia czsto zdarze w okresie t, Fm(mx) jest funkcj przewyszenia zdefiniowana we wzorze (4) dla magnitudy mx (McGuire 1993, Kijko & Funk 1994, Kijko & Graham 1998, Kijko et al. 2001a, Kijko et al. 2001b, Lasocki 2001, Lasocki & Orlecka-Sikora 2002) .

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

15

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw

1. Na podstawie danych z katalogu sejsmicznego wykona histogram czstoci zdarze

od magnitudy (przedziau magnitud) i wyznaczy warto magnitudy redniej oraz

magnitud kompletnoci (patrz w. 2.1).

2. Obliczy estymator parametru

ze wzoru (8).

3. Wyznaczy redni czsto zdarze w wybranym okresie t.

4. W oparciu o wzr (4) obliczy wartoci funkcji przewyszenia dla przedziau magnitud

5,9;pp mm , z krokiem co 0,25. Wyniki oblicze zamieci na wykresie.

5. Korzystajc ze wzoru (9) wyznaczy prawdopodobiestwo przewyszenia dowolnej

magnitudy (wikszej ni prg kompletnoci) dla rnych okresw t. Wyniki

przedstawi graficznie.

6. Wyznaczy redni czas powrotu dla zdarze (10) z przedziau magnitud

5,9;pp mm , wyniki oblicze zobrazowa na wykresie.

7. Wykreli wykres zalenoci mx od t korzystajc z zalenoci (11).

8. Skomentowa uzyskane wyniki pod ktem oceny hazardu sejsmicznego dla

badanego obszaru

Literatura

Kijko A., Funk C.W. (1994) The assessment of seismic hazard in mines, J. South Afr. Inst.

Min. Metall., 179-185. Kijko A., Graham G. (1998) Parametric-historic procedure for probabilistic seismic hazard

analysis. Part I: Estimation of maximum regional magnitude mmax, Pure Appl. Geophys.,

152, 413-442. Kijko A., Lasocki S., Graham G. (2001a) Nonparametric seismic hazard analysis in mines,

Pure Appl. Geophys., 158, 1655-1676. Kijko A., Lasocki, S., Graham, G., Retief S.J.P. (2001b) Non-parametric seismic hazard

analysis in mines, In 5th Int. Symp. Rockbursts and Seismicity in Mines "Dynamic rock

mass response to mining", Magalisberg, 17-20 September 2001 (eds. G. van Aswegen, R.J. Durrheim, W.D. Ortlepp) SAIMM S27, Johannesburg, South Africa, 493-500.

Lasocki S. (2001) Quantitative evidences of complexity of magnitude distribution in mining-induced seismicity: Implications for hazard evaluation, The Fifth International Symposium on Rockbursts and Seismicity in Mines "Dynamic rock mass response to mining" (G. van Aswegen, R.J. Durrheim, W.D. Ortlepp, eds.) SAIMM S27, Johannesburg, 543-550.

Lasocki S., Orlecka-Sikora B. (2002) Prognoza drga gruntu na terenie miasta Polkowice dla okresu 2001-2013, Mat. XXV Zimowej Szkoy Mech. Grotw. Geotechnika i Budownictwo Specjalne 2002, (D. Flisiak, red.), Wyd. Katedry Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki AGH, Krakw, 369-384.

McGuire, R.K. (1993) Computations of seismic hazard, Annali di Geofisica, 36, 181-200.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

16

2.4. Rwnanie propagacyjne GMPE

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest wyznaczenie parametrw rwnania predykcji drga podoa (Ground Motion Prediction Equation, GMPE) okrelanego rwnie relacj tumienia. Parametry rwnania obliczane s metod regresji wielorakiej.

Wprowadzenie do wiczenia

Amplituda drga A (szczytowa warto przypieszenia PGA, warto szczytowa

przypieszenia poziomego PHA, szczytowa warto prdkoci PGV, szczytowa warto przemieszczenia PGD) jest potgowo zalena od energii rda E podniesionej do potgi , co zapisa mona jako:

EA . (1)

W sytuacji, gdy wykadnik wynosi 0,5, to drgania propaguj jako fala paska. Amplituda na swojej drodze doznaje rwnie rozpraszania geometrycznego i maleje wraz z odlegoci r, zgodnie z proporcj:

rAA 0 , (2)

gdzie A0 jest amplitud pocztkow, wspczynnikiem. Jeeli wspczynnik wynosi 1, to drgania s fal wgbn, natomiast dla = 0,5 fala jest powierzchniowa. W orodku

geologicznym zachodzi rwnie tumienie nieelastyczne:

reAA 0 , (3)

gdzie parametr jest liniowym wspczynnikiem tumienia zalenym od czstotliwoci.

Rwnanie propagacyjne uwzgldniajce relacje (1), (2) i (3) przedstawi mona jako:

rerEA . (4)

W uzasadnionych wypadkach do rwnania (4) wprowadza si dodatkowy wyraz s(x0, y0), uwzgldniajcy wpyw warstwy przypowierzchniowej na propagacj fali w otoczeniu sejsmometru (x0, y0). Czynnik ten okrela si amplifikacj lokaln lub

osabieniem lokalnym w zalenoci od jego wartoci. Pen posta rwnania propagacyjnego GMPE w postaci zlogarytmowanej przedstawia relacja:

),(logloglog),(log 0000 yxsrrEyxA . (5)

Dla maych odlegoci epicentralnych dominujcy jest wyraz opisujcy zaniku amplitudy z odlegoci (2), a wyraz zwizany z tumieniem (3) jest pomijalnie may. W przypadku duych odlegoci r relacja ta si odwraca i dominujce staje si tumienie (3) (Campbell 2002, Lasocki 2002, Boore & Atkinson 2008, Sokolov et al. 2008).

W rwnaniu propagacyjnym uwzgldnia si czasami parametr h, ktry jest wolnym

parametrem poprawiajcy dopasowanie GMPE do danych (Lasocki 2002):

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

17

2/220 )( hrAA . (6)

Regresja wieloraka

Dla potrzeb wiczenia przyjty prosty model relacji tumienia. Zakada on, e w rwnaniu nie wystpuje parametr h. Do oblicze udostpnione zostan dane

z obszaru grniczego, charakteryzujcego si bliskimi odlegociami epicentralnymi, a wic pomija si czynnik odpowiedzialny za tumienie. Jednake uwzgldniono amplifikacj

),(log 00 yxs . Uproszczon relacj (5) zapisa mona jako:

rEyxA loglog),(log 00 . (7)

Operujc na wektorach danych relacj (7) zapisa mona w postaci:

322110 bXbXbbY , (8)

gdzie Y, X1, X2 pochodz z n pomiarw, natomiast wspczynniki bi, gdzie i = 0,1,2,3 to

parametry GMPE. Rwnanie (8) w zapisie macierzowym prezentuje si nastpujco:

XbY , (9)

......loglog1

...

...loglog1

...loglog1

log

...

log

log

11

11

11

2

1

kikik

ikik

ikik

n CCrE

CCrE

CCrE

A

A

A

, (10)

gdzie Cik przyjmuje wartoci 0 lub 1 w zalenoci dla jakiej k-tej stacji zarejestrowany zosta i-ty wstrzs.

W notacji macierzowej estymator modelu rwnania propagacyjnego sprowadza si do postaci:

bXY , (11)

gdzie Y to estymator zmiennej zalenej, b estymator parametrw modelu, X macierz zmiennych niezalenych, reszta.

Celem regresji wielorakiej jest estymacja parametrw modelu b :

YXXXb TT 1)( , (12)

Jako uzyskanego modelu regresyjnego ocenia si wykonujc analiz reszt. W tym celu

naley obliczy wartoci teoretyczne Y na podstawie otrzymanej relacji tumienia, a nastpnie wyznaczy wartoci rezyduw:

bXYYY , (13)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

18

ktre zestawia si na histogramie. Jeeli histogram reszt posiada rozkad normalny, to model rwnania propagacyjnego jest dobry. W przeciwnym wypadku naley zmieni model. Si zwizku pomidzy zmiennymi zalenymi i nie zalenymi ocenia si obliczajc wspczynnik determinacji i bd standardowy odchylenia.

Wspczynnik determinacji R2 definiuje si jako:

i

sri

i

sri

YY

YY

R2

2

2

)(

)(

, (14)

gdzie Ysr to warto rednia zmiennej zalenej. Wspczynnik ten okrela procent

wyjanienia przez regresj dla danej liczby obserwacji, im wiksza jego warto tym silniejszy zwizek midzy zmiennym.

Bd standardowy odchylenia SEE dla n obserwacji wyznacza si z relacji:

2

)( 2

n

YY

SEE iii

. (15)

Wybiera si ten model regresyjny, dla ktrego SEE jest najmniejszy.

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw

1. Z otrzymanych katalogw wstrzsw wybra wartoci maksymalnych amplitud drga,

energii rda i odlegoci epicentralnych.

2. Wybrane wielkoci zlogarytmowa

3. Metod regresji wielorakiej (12) obliczy parametry rwnania propagacyjnego wraz z

uwzgldnieniem amplifikacji lokalnej.

4. Wyznaczy amplifikacj wzgldn 10-ref.

5. Wykona analiz reszt i oceni model regresyjny.

6. Skomentowa uzyskane wyniki

Literatura

Campbell K.W. (2002) Strong-Motion Attenuation Relations, in: International Handbook of Earthquake and Engineering Seismology edited by W.Lee, H.Kanamori, P.Jennings, C.Kisslinger, International Association of Seismology and Physics of the Earths Interior, B, 69, 1003-1013.

Lasocki S. (2002) Relacja tumienia wartoci szczytowej skadowej poziomej przypieszenia drga gruntu w pamie czstotliwoci od 10 Hz dla rejonu miasta Polkowice, Publs. Inst.

Geophys., Pol. Acad. Sc., M-27, 352, 79-90. Sokolov V., Bonjer K.P., Wenzel F., Grecu B., Radulian M. (2008) Ground-motion prediction

equations for the intermediate depth Vrancea (Romania) earthquakes, Bull Earthquake

Eng., 6, 367-388. Boore D., Atkinson G.M. (2008) Ground-Motion Prediction Equations for the Average

Horizontal Component of PGA, PGV, and 5%-Damped PSA at Spectral Periods between 0,01 s and 10,0 s, Earthquake Spectra, 24, 1, 99-138.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

19

2.5. Moduy sprystoci

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest zapoznanie si z sposobem wyznaczania prdkoci fal P i S oraz parametrw petrofizycznych prb skalnych jakimi s moduy sprystoci.

Wprowadzenie do wiczenia

Zmienna w czasie sia zewntrzna, ktra moe by wywoana przez przemieszczenie mas skalnych w rdle trzsienia ziemi lub sztuczne wzbudzona przez aparatur, bdzie powodowaa powstanie w orodku sprystym odksztace. Zgodnie z prawem Hookea odksztacenia te s take zmienne w czasie oraz zwizane s z przemieszczeniem czstek orodka. Prawo Hookea stosowa mona jedynie w pewnym oddaleniu od rda wibracji. Uoglnione prawo Hookea przy zaoeniu, e orodek jest izotropowy, zapisuje si jako:

ijkkijij ee 2 , 3,2,1, ji , (1)

gdzie ij jest tensorem napre, , s odpowiednio sta Lamego i moduem cinania,

ije jest tensorem odksztace, ij to delta Kroneckera:

ji

jiij

1

0. (2)

Naley zauway, e odksztacenie zapisane jako kke jest ladem macierzy ][ ijkk etre .

Rwnanie (1) w postaci tensorowej przyjmie posta:

333231

232221

131211

2][22

22][2

222][

eetree

eeetre

eeeetr

. (3)

Zapis tensorowy stosuje si, poniewa zmiany napre zachodz w rnych kierunkach. Na przektnej znajduj si wartoci napre normalnych, poza ni stycznych. Jak wynika z relacji (3) zmianom napre odpowiadaj odksztacenia we waciwych kierunkach. Czstki orodka, znajdujce si w rnych odlegociach od punktu wzbudzenia, kolejno zaczynaj drga. Wibracje przenoszone s w coraz to wikszej objtoci przez orodek przebiega fala sprysta (Gurwicz 1958, Udias 1999, Marcak & Zuberek 1994, Shearer 2009).

W orodku jednorodnym i izotropowym prdko propagacji fal sprystych (sejsmicznych) zaley od moduw sprystoci orodka i jego gstoci. Fale sejsmiczne rozchodz si w gbi Ziemi w postaci dwch typw fal: fali podunej P (odksztacenie objtoci) i fali poprzecznej S (odksztacenie postaci). Fale P propaguj z wiksza prdkoci ni fale S. Prdkoci tych fal mona zapisa odpowiednio:

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

20

2PV , (4)

SV , (5)

gdzie to staa Lamego, - modu cinania, - gsto. W skaach obserwuje si

zblione wartoci obu parametrw , wic stosunek prdkoci fal P i S wynosi

w przyblieniu (Gurwicz 1958, Crawford 1972, Masters & Shearer 1995, Shearer 2009):

332

S

P

V

V. (6)

Tabela 2.1. Zestawienie zalenoci midzy moduami sprystoci dla orodka izotropowego (Masters & Shearer 1995, Shearer 2009).

ukad / staa

vE, ,E , ,v ,K vK, inne

E [Pa]

- -

)23(

)1(2 v

K

K

3

9 )63( vK -

v - 12

E

)(2 - )3(2

23

K

K

- K

EK

6

3

[Pa] )1(2 v

E - - - - )1(2

)21(3

v

vK

2

)(3 K

K

[Pa] )21(3 v

E )3(3 E

E

32 )21(3

)1(2

v

v

- - -

[Pa] )21)(1( vv

Ev

E

E

3

)2(

- v

v

21

2 3

2K - -

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

21

Aparatura

Schemat ukadu pomiarowego przedstawia Rys.2.3. rdem drga jest ultradzwikowy defektoskop, ktry przekazuje wibracje o zadanych czstotliwociach na gowice nadawcz. Fale sejsmoakustyczne propaguj przez prbk skalna, a nastpnie s odbieranie przez gowic odbiorcz. Z kolei ona przesya sygna spowrotem do defektoskopu, ktry przekazuje go na wywietlacz oscyloskopu. Gowice zawieraj dwa wejcia/wyjcia. Jedno z nich odbiera fale podune, a drugie poprzeczne, co naley uwzgldni w czasie pomiaru.

Rys.2.3. Ukad pomiarowy.

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw

1. Na podstawie dziesiciu pomiarw suwmiark wyznaczy rednie wartoci wymiarw

prbek skalnych i ich odchylenie standardowe. Grubo pytki h bdzie jednoczenie

drog po jakiej propaguj fale P i S (w sprawozdaniu zamieci szkic prby skalnej).

2. Oszacowa gsto prb wraz z ich bdem w oparciu o zmierzon mas i wyliczon

objto.

3. Przygotowa ukad laboratoryjny wg Rys.2.3.

4. Ustawi odpowiedni podstaw czasu i wysoko amplitudy na oscyloskopie.

5. Wyznaczy czas przejcia fali przez gowice bez prby dla fal P t0P i dla fal S t0S.

6. Zainstalowa badan prb skaln midzy gowicami wraz z substancj poprawiajc

kontakt.

7. Zaobserwowa na oscyloskopie czasy pierwszych wej fal P tP oraz fal S tS dla

odpowiednio dobranej czstotliwoci drga [dB]. Odczytan najmniejsz podziak na

skali oscyloskopu przyj jako bd pomiaru. Czas wejcia odczytuje si

z oscyloskopu tak jak to zostao przedstawione na Rys.2.4

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

22

Rys.2.4. Obraz wyznaczenia czasu pierwszych wej dla fali P. Impulsy analogicznie prezentuj si dla fali S.

8. Pomiary powtrzy dla kolejnych prb skalnych.

9. Wyznaczy prdko fali podunej i poprzecznej [w ms-1] ze wzorw:

0PPP

tt

hV , (7)

0SSS

tt

hV , (8)

10. Oszacowa niepewnoci prdkoci.

11. Sprawdzi warto stosunku prdkoci fal wg wzoru (6)

12. Wyznaczy sta Lamego [w GPa] i modu cinania ze wzorw [w GPa] (4) i (5) oraz

obliczy wartoci dla wspczynnika Poissona, moduu ciliwoci [w GPa] i staej

Lamego [w GPa] korzytajc z tabeli 2.1.

13. Oszacowa metod rniczki zupenej wartoci bdw moduw.

14. Na podstawie wyznaczonej gstoci i prdkoci fal P i S okreli, jaki rodzaj ska

poddany zosta badaniom oraz skomentowa uzyskane wyniki.

Literatura

Gurwicz I.I. (1958) Badania sejsmiczne, Warszawa, Wydawnictwa geologicznie. Marcak H., Zuberek W.M. (1994) Geofizyka grnicza, Katowice, lskie Wydawnictwa

Techniczne. Masters T.G., Shearer P.M. (1995) Seismic Models of the Earth: Elastic and Anelastic, W:

Ahrens T.J (red.), Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants AGU

Reference Shelf 1 Shearer P.M. (2009) Introduction to seismology, Wydanie drugie, Cambridge, Cambridge

University Press. Udias A. (1999) Principles of seismology, Cambridge, Cambridge University Press. Crawford F.S. (1972) Fale, Warszawa, PWN.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

23

3. Pole cieplne Ziemi i promieniotwrczo naturalna

3.1. Gsto powierzchniowego strumienia cieplnego dla

otworu wiertniczego

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest wyznaczenie gstoci powierzchniowego strumienia cieplnego w oparciu o pomiary temperatury w otworach wiertniczych.

Wprowadzenie do wiczenia

Rozkad pola cieplnego Ziemi w zewntrznej strefie Ziemi zaley od temperatury powierzchni Ziemi, gradientu i stopnia geotermicznego oraz gstoci strumienia cieplnego Ziemi.

Temperatura powierzchni ziemi ksztatuje si pod wpywem promieniowania sonecznego, zatem zaley od iloci energii sonecznej padajcej i pochanianej przez Ziemi. Temperatura powierzchni Ziemi i powietrza znajdujcego si nad ni charakteryzuje si cyklami dobowymi i rocznymi. W umiarkowanych szerokociach geograficznych mona przyj, e dobowe zmiany temperatury zanikaj na gbokoci okoo 1m, natomiast roczne na gbokoci okoo 20m i stref tych zmian nazywamy stref niestacjonarnego pola cieplnego Ziemi. Strefa stacjonarnego pola cieplnego wystpuje poniej.

W celu wyznaczenia gstoci powierzchniowego strumienia cieplnego Ziemi dla danego otworu wiertniczego musimy zapozna si z pojciami: Gradient geotermiczny G jest to wzrost temperatury T wraz z gbokoci z. Matematycznie

mona zapisa jako:

]/[ mKnn

TgradTG

, (1)

gdzie n/ - gradient wzdu normalnej zewntrznej n

. Poniewa zmiana nastpuje wzdu

promienia Ziemi do oblicze stosuje si przyblienie zawierajce skoczone przyrosty temperatury T i gbokoci h:

h

T

hh

hThTG

minmax

minmax )()( (2)

Stopie geotermiczny to przyrost gbokoci h, dla ktrego temperatura zmienia si o 1K.

K

m

T

h

GH

1 (3)

K Kelwin, jednostka temperatury w ukadzie SI

273,15][][ CK o

tT (4)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

24

Gradient geotermiczny i jego odwrotno stopie geotermiczny zmieniaj si w zalenoci od warunkw lokalnych (rodzaju ska).

Strumie cieplny Ziemi mierzony przy przepywie przez powierzchni nazywamy strumieniem powierzchniowym. Pole cieplne Ziemi przy jej powierzchni stanowi sumaryczny efekt rnych rde ciepa oraz rnych, skomplikowanych warunkw jego transportu (Plewa, 1994). Kademu stanowi rwnowagi cieplnej, scharakteryzowanemu pewnym polem temperatury, odpowiada okrelony rozkad gstoci strumienia cieplnego. Gsto strumienia cieplnego to strumie ciepa pyncy z gbi Ziemi ku jej powierzchni odniesiony do jednostki powierzchni i czasu. W orodku jednorodnym i izotropowym kierunek wektora gstoci strumienia cieplnego pokrywa si z kierunkiem normalnej do powierzchni

izotermicznej, przechodzcej przez dany punkt. Wielko strumienia cieplnego q

w takim

orodku (przepyw stacjonarny, brak wewntrznych rde ciepa) okrela prawo Fouriera:

]/[ 2mWnn

TgradTq

, (5)

gdzie: ][11KWm - wspczynnik przewodnoci cieplnej (okrela zdolno skay do

przewodzenia ciepa), n/ - gradient wzdu normalnej zewntrznej n

, T - temperatura

(Plewa & Plewa 1992, Karwasiecka 2001, Plewa 2001, Karwasiecka 2002, Kdzior & Drobczyk 2006). Na potrzeby wiczenia uproszczono form rwnania (5):

]/[2mWGQq

. (6)

rednia warto strumienia cieplnego Ziemi wynosi ]/[0,2872mmW , dla kontynentw

]/[6,165 2mmW natomiast dla oceanw ]/[2,21012mmW (Stein 1995).

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw:

1. Z otrzymanych danych z otworu wiertniczego: gboko h [m], temperatur T [C]

oraz wspczynnik przewodnoci cieplnej ][11KWm wybra informacje

o temperaturze T, ktra jest podana w [C] i przeliczy j na jednostk temperatury

ukadu SI Kelwin wedug wzoru (4).

2. Wykreli zaleno gbokoci h od temperatury T (Rys.3.1).

Rys.3.1. Wykres zalenoci gbokoci h od temperatury T.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

25

3. Na wykresie oznaczy segmenty o rnym wspczynniku przewodnoci

temperaturowej w oparciu o charakterystyczne zmiany trendu na wykresie (Rys.3.2).

Rys.3.2. Wykres zalenoci temperatury T od gbokoci h wraz z wybranymi obszarami

o rnej wartoci wspczynnika

4. Obliczy gradient i stopie geotermiczny dla kadego z segmentw wedug wzorw

(2) i (3).

5. Majc podane wartoci wspczynnikw przewodnoci cieplnej dla kadego

segmentu obliczy warto gstoci strumienia cieplnego w kadym z nich wg wzoru

(6). Wynik wyrazi w mW/m2 i w HFU Heat Flow Unit (1 HFU = 42 mW/m2)

6. Obliczy strumie ciepa dla caego otworu na podstawie wzoru (7). Warto redniej

gstoci strumienia cieplnego wyznacza si z redniej waonej, gdzie jako wagi wi

przyjmuje si procentowy udzia danego segmentu w caym otworze (stosunek

miszoci segmentu do gbokoci cakowitej otworu przemnoona przez 100%).

redni waona liczona dla n segmentw:

]/[

1

1 CmW

w

wq

qn

i

i

n

i

ii

sr . (7)

7. Okreli obszar, w jakim dokonano wiercenia i pomiaru temperatury na podstawie

Rys.3.3. Skomentowa uzyskane wyniki.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

26

Literatura

Karwasiecka M. (2001) Nowe wyniki bada gstoci powierzchniowego strumienia cieplnego Ziemi na obszarze Grnolskiego Zagbia Wglowego, W: Plewa S. (red.), Rozpoznanie pola cieplnego Ziemi w obszarze Grnolskiego Zagbia Wglowego dla potrzeb grnictwa i ciepownictwa, Studia Rozprawy Monografie nr 90, Wyd. IGSMiE

PAN, Krakw. Karwasiecka M. (2002) Pole cieplne Grnolskiego Zagbia Wglowego, Prace Wydziau

Nauk o Ziemi Uniwersytetu lskiego nr 17, Sosnowiec. Kdzior S. i Drobczyk W. (2006) Characterization of Rock Temperature Changeability in the

Halemba Coal Mine Deposit, Publs. Inst. Geophys. Pol. Acad. Sc., M-29 (395). Plewa M. i Plewa S. (1992) Petrofizyka, Wydawnictwa geologiczne. Plewa S, (red.) (2001) Rozpoznanie pola cieplnego Ziemi w obszarze Grnolskiego

Zagbia Wglowego dla potrzeb grnictwa i ciepownictwa, Studia Rozprawy Monografie nr 90, Wydawnictwo Instytutu Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energi PAN, Krakw.

Stein C.A. (1995) Heat Flow of the Earth, W: Ahrens T.J (red.), Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants AGU Reference Shelf 1

Rys.3.3. Mapa gstoci powierzchniowego strumienia cieplnego na obszarze Grnolskiego Zagbia Wglowego. Izolinie strumienia w mW/m

2

(Karwasiecka, 2002).

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

27

3.2. Parametry cieplne ska Cel wiczenia

W wiczeniu stosuje si metod krtkotrwaego, liniowego impulsu cieplnego w celu zbadanie wasnoci cieplnych prb skalnych: przewodnoci temperaturowej, wspczynnika przewodnoci temperaturowej, pojemnoci cieplnej waciwej i wspczynnika przewodnoci cieplnej.

Wprowadzenie do wiczenia

Metoda krtkotrwaego impulsu liniowego rda ciepa oparta jest na teorii rozchodzenia

si ciepa w ciaach staych drog przewodnictwa cieplnego i suy do wyznaczania

termicznych wasnoci ska.

Do gwnych parametrw termicznych ska zaliczamy:

- wspczynnik przewodnoci cieplnej , lub jego odwrotno ciepln oporno waciw,

- ciepln pojemno waciwa Cwl

- wspczynnik przewodnoci temperaturowej .

Skay przewodz ciepo w zalenoci od ich cech naturalnych, a mianowicie: struktury,

tekstury, skadu mineralnego, porowatoci, stopnia wypenienia porw mediami, cinienia,

anizotropii cieplnej. Zmienno tych cech wywouje rnice w przepywie energii cieplnej.

Zdolno skay do przewodzenia ciepa okrelona jest wspczynnikiem przewodnoci

cieplnej i opisana prawem Fouriera (patrz w. 3.1). Wspczynnik przewodnoci cieplnej

charakteryzuje intensywno przemiany ciepa drog przewodnictwa cieplnego i okrelany

jest iloci ciepa [J], przechodzcego w czasie 1 sekundy przez powierzchni 1m2

w kierunku prostopadym do tej powierzchni, przy gradiencie temperatury 1K/m. Warto

wspczynnika przewodnoci cieplnej jest wielkoci charakterystyczn dla danej skay,

w danym stanie jej nasycenia wod i danym stanie termicznym:

Km

WCwl , (1)

gdzie - wspczynnik przewodnoci cieplnej; wlC - waciwa pojemno cieplna; -

wspczynnik przewodnoci temperaturowej; - gsto objtociowa. Wspczynnik

przewodnoci temperaturowej okrela zdolno jednostki objtoci orodka do zmian

temperatury w jednostce czasu, w trakcie wymiany ciepa:

s

m

Cwl

2

. (2)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

28

Pojemno ciepln c orodka w oglnym przypadku okrela si stosunkiem iloci ciepa Q,

dostarczanego w jakim procesie, do wywoanej tym procesem zmiany temperatury T:

c = Q/ T. (3)

Pojemno cieplna odniesiona do jednostki masy orodka nosi nazw waciwej pojemnoci

cieplnej Cwl. Pojemno cieplna odniesiona do jednostki objtoci orodka jest nazywana

objtociow waciw pojemnoci ciepln cv. Pojemno cieplna zaley w duym stopniu

od temperatury, dlatego kad warto Cwl naley odnosi do okrelonej temperatury lub

przedziau temperaturowego:

Tm

QCwl

Kkg

J (4)

Na parametry termiczne ska terygenicznych ma wpyw nasycenie i stopie przeobraenia

tych ska. W piaskowcach zmienia si wspczynnik przewodnoci cieplnej wraz ze zmian

stopnia lityfikacji, std przedzia zmian jest bardzo duy. Wysz przewodnoci ciepln

charakteryzuj si piaskowce o spoiwie krzemionkowym (Halliday et al. 2008, Plewa &

Plewa 1992, Plewa 1994, Stein 1995).

Aparatura

Badanie przeprowadza si na aparaturze pomiarowej, ktrej schemat blokowy

przedstawiono poniej.

Rys.3.4. Schemat aparatury pomiarowej.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

29

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw

1. Zmontowa ukad pomiarowy wedug schematu (Rys.3.4).

2. Zbada prbk skay makroskopowo, okreli rodzaj skay i odczyta warto jej

gstoci z tablic w [kg/m3].

3. Zmierzy grubo badanej prbki za pomoc suwmiarki w 10 miejscach wyznaczajc

przy tym redni grubo prbki i jej odchylenie standardowe.

4. Odczyta istotne informacje:

L - dugo grzaki [m], tg - czas grzania [s], r - odlego [m] midzy grzak,

a termopar (odlego midzy otworami w prbce), I - natenie prdu [A],

U - napicie [V]

5. Znajc natenie i napicie wyznaczy opr R, wiedzc, e I

UR

6. Zaznaczy na wykresie otrzymanym w wyniku pomiaru:

tpg - pocztek grzania, tkg - koniec grzania, to - poowa odcinka tkg - tpg.

7. W oparciu o analiz wykresu wyznaczy:

maxT - maksymalna temperatura [oC], tmax - czas [s] osignicia maksymalnej

temperatury.

8. Obliczy przewodno temperaturow (ciepln) Q w oparciu o dane pomiarowe

stosujc wzr:

L

tRIQ

g2

m

J, (5)

gdzie: I natenie prdu [A], R - opr grzaki [], tg - czas trwania impulsu rda

ciepa [s], L - dugo grzaki [m].

9. Obliczy wspczynnik przewodnoci temperaturowej, patrz wzr (2) i (6).

max

2

4t

r

s

m2, (6)

gdzie: maxt - czas [s] do osignicia temperatury maksymalnej [K], r - odlego

midzy termopar i grzak [m].

10. Obliczy ciepln pojemno waciwa. Patrz wzr (4) i (7).

max

2

1

Tr

eQCwl

Ckg

J, (7)

gdzie: Q - przewodno temperaturowa ]/[ mJ , - gsto orodka [kg/m3],

r - odlego midzy otworami [m], maxT - maksymalna temperatura [oC].

11. Obliczy wspczynnik przewodnoci cieplnej wedug wzoru (1).

12. Zestawi dane w tabeli (Tabela 3.1):

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

30

Tabela 3.1. Prezentacja wynikw

Nr prby

L tg r I U R T

maxT

tmax Q Cwl

[m] [s] [m] 3m

kg

[A] [V] ][ [oC] [oC] [s] m

J

s

m2

Ckg

J

Km

W

1.

2.

Literatura

Halliday D., Resnick R., Walker J. (2008) Podstawy fizyki: Mechanika, drgania i fale, termodynamika, tom 2, PWN, Warszawa.

Plewa M. i Plewa S. (1992) Petrofizyka, Wydawnictwa geologiczne.

Plewa S. (1994) Rozkad parametrw geotermalnych na obszarze Polski, Wydawnictwo

Centrum Podstawowych Problemw Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energi PAN,

Krakw.

Stein C.A. (1995) Heat Flow of the Earth, W: Ahrens T.J (red.), Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants AGU Reference Shelf 1

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

31

3.3. Geochronologia

Cel wiczenia

Cel wiczenia polega na zapoznaniu si z metod datowania prb skalnych. W oparciu o mierzone stosunki izotopowe wyznacza si rwnanie izochrony, z ktrego moliwe jest obliczenie czasu powstania skay (zamknicia systemu).

Wprowadzenie do wiczenia

Jeeli zaoymy, e prawdopodobiestwo rozpadu na jednostk czasu dla jednego jdra atomowego jest stae, niezalene od czynnikw zewntrznych oraz od historii rozpadajcego si jdra, to ich ubytek n w czasie dt wynosi:

ndt

dn, (1)

gdzie jest sta rozpadu. Rozwizujc rwnanie rniczkowe (1):

,00

tN

N

dtn

dn

),0()ln()ln( 0 tNN

,)ln(0

tN

N

,0

teN

N

otrzyma si znan posta prawa rozpadu:

teNtN 0)( . (2)

Prawo (2) opisuje zaleno spontanicznych przemian jdrowych w czasie t przy zaoeniu pocztkowej liczby N0. Ze zjawiskiem rozpadu promieniotwrczego wie si

pojcie czasu poowicznego zaniku (pokres rozpadu). Jest to okres, po jakim liczba jder danego izotopu zmniejszy si o poow. Warto pokresu rozpadu T1/2 mona wyznaczy z prawa rozpadu (2) zakadajc, e N = N0/2:

.

20

0 teNN

(3)

Po prostych przeksztaceniach czas poowicznego zaniku definiuje si jako:

.

)2ln(2/1T

(4)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

32

Znajc liczb jder potomnych D, wyznaczy mona rwnanie izochrony. Liczba jder D zapisa mona jako rnic midzy pocztkow liczb radionuklidw N0 i ich aktualn liczb w prbie N po upywie czasu t:

).1()( 00

teNtNND

(5)

Dzielc liczb jder D(t) przez N(t):

,1

)1(

)(

)(

0

0 t

t

t

eeN

eN

tN

tD

(6)

otrzyma si oglne rwnanie izochrony:

.]1)[()( tetNtD

(7)

W rwnaniu (7), ktre jest rwnaniem kierunkowym prostej, D(t) odgrywa rol zmiennej

zalenej, N(t) zmiennej niezalenej. Wyraz ]1)[exp( t jest wspczynnikiem nachylenia

prostej. Rozwizujc relacj (6) wzgldem t:

,1ln

1

N

Dt

(8)

otrzyma rwnanie wyznaczajce czas t w przecigu ktrego powstao D atomw potomnych (Burchart 1971).

Podstaw geochronologii izotopowej jest przekonanie o niezmienniczoci tempa rozpadu promieniotwrczego, co oznacza, e ekstremalne warunki fizykochemiczne nie zmieniaj przebiegu procesu. Naley pamita, e wyznaczony czas, w ktrym rozpada si liczba jder D, zaley od tzw. zamknicia systemu (np. powstania skay, przeobraenia skay).

Jeeli pobrana prba pochodzi od skay krystalicznej, ktra nie ulega np. procesowi wietrzenia, to czas t bdzie oznacza ile jednostek lat temu doszo do krystalizacji. Jednak, gdy w historii skay zostaa ona poddana procesom, ktre usuny z niej pewn liczb jder D (ale take i N), to obliczony wiek prby bdzie faszywy (Burchart 1971, Christensen et al.

1996, Sutkowska & Ptak 2007).

Metoda rubidowo-strontowa datowania mineraw i ska oparta jest na zjawisku naturalnego rozpadu - promieniotwrczego. Radioaktywny izotop 87Rb rozpada si do

stabilnego izotopu 87Sr (Rys.3.5). Reakcja przebiega zgodnie z rwnaniem:

QveSrRb~87

38

87

37 , (9)

gdzie: e- - elektron, v~ - antyneutrino elektronowe, Q energia rozpadu 283 keV (ciepo

reakcji). Czas poowicznego rozpadu rubidu 87Rb wynosi 4,75*1010 lat.

Datowanie metod Rb-Sr opiera si na wyznaczeniu odpowiednich stosunkach koncentracji izotopw w badanych prbach. Metod spektrometrii masowej uzyskano wartoci stenia nuklidw znormalizowanego wzgldem stabilnego izotopu: 87Sr/86Sr,

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

33

87Rb/86Sr. Z wyznaczonych stosunkw spektrometrycznych konstruuje si ich graficzn reprezentacj w postaci wykresu zalenoci 87Sr/86Sr od 87Rb/86Sr. Nastpnie wykrela si zaleno zwan izochron. Rwnanie opisujce izochron Rb-Sr jest rwnaniem prostej o postaci kierunkowej:

)1( 0

0

86

87

86

87

86

87t

ttt

eSr

Rb

Sr

Sr

Sr

Sr, (10)

gdzie poszczeglne stosunki izotopowe strontu i rubidu odnosz si do: t - czas obecny,

t0 czas inicjalny (czas powstania zoa), - staa rozpadu (Burchart 1971, Christensen et al. 1996, Sutkowska & Ptak 2007).

Rys.3.5. Schemat rozpadu rubidu (Firestone et al. 1996).

Wykonania wiczenia i opracowanie wynikw

1. Na podstawie udostpnionych wartoci stosunkw izotopowych 87Sr/86Sr oraz 87Rb/86Sr skonstruowa ich graficzn reprezentacj w postaci wykresu zalenoci

stosunku 87Sr/86Sr od stosunku 87Rb/86Sr. Dane pochodz z prb sfalerytowych

pobranych ze z w poudniowej Polsce.

2. Metod regresji liniowej dopasowa prost dla wszystkich punktw pomiarowych oraz

po inspekcji wizualnej wyinterpretowa dodatkowe izochrony (np.: dla inkluzji - L,

sfalerytu miodowego H, sfalerytu ciemnobrzowego DB lub odnale inne

relacje).

3. Wyznaczy wspczynnik nachylenia prostej i jego niepewno oraz parametr

przecicia si z osi rzdnych wraz z jego niepewnoci dla kadej

wyinterpretowanej izochrony. Omwi, czym s parametry kierunkowe prostej a i b.

4. Wyznaczy warto staej rozpadu .

5. Wyznaczy czas powstania zoa t0 w oparciu o wzr (8) i/lub czasy powstania

mineraw na podstawie wyinterpretowanych izochron.

6. Metod rniczki zupenej wyznaczy bd czasu powstania zoa i/lub mineraw.

7. Skomentowa uzyskany wynik pod wzgldem genezy sfalerytu i odnie si do

wiedzy z zakresu geologii historycznej.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

34

Literatura

Burchart J. (1971) Geochronologia bezwzgldna stan i kierunki rozwoju, Postpy Nauk

Geologicznych, 3, 5 60. Christensen J.N., Halliday A.N., Kesler S.E. (1996) Rb-Sr dating of sphalerite and ages of

Mississippi-valley-type Pb-Zn deposits, Society of Economic Geology, Special Publication,

4, 527-535. Firestone R. B., Shirley V. S., Baglin C. M., Chu S. Y. F., Zipkin J. (1996) Table of Isotopes,

John Wiley & Sons, Inc. Sutkowska K., Ptak A. (2007) Zastosowanie Rb-Sr metody izotopowej do datowania

sfalerytw, Geo-Sympozjum Modych Badaczy Silesia 2007, Wspczesne trendy

w naukach o Ziemi, Prace WNoZ U, 191-200.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

35

4. Paleomagnetyzm

4.1. Wyznaczanie miejsca powstania skay w oparciu o

pomiary kta deklinacji i inklinacji pola paleomagnetycznego

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest wyznaczenie w prosty sposb wsprzdnych miejsca powstania skay w oparciu o pomiary kta deklinacji i inklinacji.

Wprowadzenie do wiczenia

Skadowe wektora natenia pola magnetycznego T przedstawia Rys.4.1.

Wyrni mona wsprzdne ukadu kartezjaskiego opisujce wektor natenia pola magnetycznego Ziemi T:

- skadowa pnocna X

- skadowa wschodnia Y

- skadowa pionowa Z

- skadowa pozioma H, gdzie 22 YXH

- deklinacja = kt (X,H)

- inklinacja I = kt (H,T),

gdzie wsprzdne sferyczne to: T,,I. Konwersj wsprzdnych danego punktu z ukadu sferycznego do ukadu kartezjaskiego okrelaj relacje:

ITZ

ITY

ITX

sin

cossin

coscos

(1)

Wyniki pomiarw kadej ze skadowych pola magnetycznego przedstawia si na mapie jako izolinie. Mapy izolinii inklinacji to izokliny. Mapy izolinii deklinacji to izogony, a mapy izolinii skadowych x, y, z to izodynamy. Izogona zerowa, to agona. Izogony biegiem przypominaj ksztat poudnikw, poza wschodni Azj, gdzie maj ksztat zamknity. Izogony schodz si w 4 punktach, np. w obszarach biegunw magnetycznych, gdzie deklinacja nie jest moliwa do wyznaczenia. Izoklina zerowa zwana rwnikiem magnetycznym obejmuje kul ziemsk przechodzc w pobliu rwnika. Po obu stronach rwnika inklinacja wzrasta od 0 do 90 st. Punkty gdzie inklinacja wynosi 90 stopni to bieguny magnetyczne. Jednake wyrnia si dwa typy biegunw: geomagnetyczny (naturalny), ktry znajduje si w miejscu przecicia si dipola magnetycznego z powierzchni ziemi oraz magnetyczny (wyliczony), czyli obszar gdzie inklinacja wynosi 90 stopni. Bieguny te si nie pokrywaj (Mortimer 2004).

Rys.4.1. Skadowe pola magnetycznego Ziemi

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

36

Namagnesowanie to wielko fizyczna okrelajca wytwarzane przez materia pole magnetyczne, definiuje si j przez okrelenie momentw magnetycznych wytworzonych w jednostce objtoci. Namagnesowanie J jest wprost proporcjonalne do wektora natenia pola magnetycznego zewntrznego H, a wspczynnikiem proporcjonalnoci jest podatno magnetyczna (Halliday & Resnick 1998, Mortimer 2004).

HJ . (2)

Histereza magnetyczna to opnienie zmian wartoci namagnesowania, a tym samym indukcji pola w stosunku do zmian natenia zewntrznego pola magnetycznego. Krzywa zalenoci namagnesowania od natenia pola magnetycznego nosi nazw ptli histerezy (Rys.4.2).

Gdy nie istnieje zewntrzne pole magnetyczne to w skale wykazujcej wasnoci magnetyczne obecna jest pewna pozostao magnetyczna nazywana namagnesowaniem szcztkowym lub resztkowym.

Namagnesowanie szcztkowe prbek skalnych nazywa si naturaln pozostaoci magnetyczn NRM (ang. Natural Remanent Magnetization)

Namagnesowanie szcztkowe zapamituje kierunek pola magnetycznego w momencie, gdy skaa krystalizowaa. Fakt ten umoliwia wyznaczy pierwotne pooenie prbki skalnej (Mortimer 2004).

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw:

1. Uwaga wstpna: wszystkie obliczenia wykona w radianach i ostateczny wynik

przeliczy na stopnie!

2. W toku prac laboratoryjnych otrzymano wartoci kta deklinacji i oraz inklinacji i dla

10 prbek skalnych (i = 1,2, ,10).

3. Znane jest pooenie paleobieguna ( dugo geograficzna, - szeroko

geograficzna). Przyjmuje si wsprzdne = 11,8o W, = 46,6o S

4. Naley przej z ukadu sferycznego do ukadu kartezjaskiego. W oparciu o n

pomiarw wyznaczy rednie wartoci skadowych wektora natenia pola X, Y i Z na

podstawie wzorw:

n

i

i

n

i

ii

n

i

iin

Zn

Yn

X111

sin1

,cossin1

,coscos1

(3)

Rys.4.2. Ptla histerezy magnetycznej

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

37

5. Obliczy redni deklinacj D oraz inklinacj I wszystkich prbek:

X

YarctgD (4)

22 YX

ZarctgI (5)

6. Wyznaczy odlego biegunow (dopenienie szerokoci) p:

2

90tgI

arctgp o (6)

7. Szeroko geograficzn miejsca powstania skay obliczy wg wzoru:

2

tgIarctg (7)

8. Dugo geograficzn miejsca powstania skay obliczy wg wzoru:

'cos

sinsinarcsin'

Dp (8)

Sprawdzenie poprawnoci oblicze poprzez wyznaczenie oczekiwanego kierunku pola (deklinacji D1 i inklinacji I1) w danym punkcie na podstawie znajomoci pooenia paleobieguna:

9. Wyznaczy warto oczekiwan inklinacji:

))90(2(1 ptgarctgIo

(9)

10. Wyznaczy warto oczekiwan deklinacji

p

Dsin

'cos)'sin(arcsin1 (10)

11. Odnale na mapie miejsce powstania skay i skomentowa wyniki wyznaczonych

wartoci deklinacji i inklinacji obliczonych z wartociami oczekiwanymi.

Literatura

Halliday D., Resnick R. (1998) Fizyka 2, wyd. 10, tom 2, PWN, Warszawa. Mortimer Z. (2004) Zarys Fizyki Ziemi, Wydanie drugie poprawione i uzupenione, Krakw,

Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne.

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

38

5. Pole grawitacyjne Ziemi

5.1. Normalna sia cikoci i wybrane modele elipsoidy

Ziemi

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest wyznaczenie normalnej siy cikoci w oparciu o wzory opisujce rne modele elipsoidy Ziemi. Obliczenia wykonuje si dla wybranych miejscowoci na globie.

Wprowadzenie do wiczenia

Sia cikoci G to wypadkowa sia grawitacji i siy odrodkowej wynikajcej z obrotu

Ziemi w wasnej osi (Rys.5.1):

odg FFG . (1)

Rys.5.1. Sia cikoci

Na rwniku sia cikoci jest najmniejsza (dua sia odrodkowa), na biegunach sia cikoci jest rwna sile przycigania newtonowskiego. Sia grawitacji Fg opisana jest wzorem:

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

39

r

r

r

mMGFg 2 , (2)

gdzie G to staa grawitacji 6,67*10-11 Nm2/kg2, m masa ciaa przyciganego, M masa Ziemi, r odlego midzy masami. Si odrodkow Fod wynikajc z ruchu obrotowego

Ziemi zapisa mona jako:

hmh

h

h

mvFod

22

(3)

gdzie m to masa na powierzchni Ziemi, v prdko liniowa, prdko ktowa, h wektor promienia od osi obrotu Ziemi do punktu, w ktrym znajduje si masa m (Cazenave 1995, Telford et al. 1990).

Nateniem siy cikoci dla punktu w bezporednim ssiedztwie powierzchni Ziemi nazywamy wypadkow natenia siy newtonowskiego przycigania i natenia siy odrodkowej. rednia warto to 9,81 [N/kg = m/s2 = 10-5 mGal]. Natenie siy cikoci jest si dziaajc na mas jednostkow, liczbowo rwne jest ono przypieszeniu ziemskiemu w tym punkcie i ma ten sam wymiar. Natenie siy cikoci mona zdefiniowa rwnie jako:

hr

r

r

dmGg

z

2

2. (4)

Kada sia jest charakteryzowana przez jej potencja. Potencja siy cikoci jest sum potencjau newtonowskiego V caej masy Ziemi i potencjau siy odrodkowej U:

hr

dmGUVW

V

2

2

1)( . (5)

Geoida to powierzchnia ekwipotencjalna potencjau siy cikoci (powierzchnia odniesienia)

constzyxW ),,( , ktra pokrywa si ze rednim poziomem mrz i oceanw (ich

powierzchni swobodn). Geoida odzwierciedla wasnoci fizycznej budowy Ziemi, niecigoci jej krzywizny odpowiadaj niecigociom w rozkadzie mas we wntrzu Ziemi. Ksztatem zbliona jest do elipsoidy obrotowej (Rys.5.2) o rnych parametrach a i c, na podstawie, ktrej stworzone modele powierzchni odniesienia (Cazenave 1995, Kamela et al. 1993, Telford et al. 1990).

Teoretyczna warto siy cikoci wynikajca z potencjau normalnego na powierzchni

odniesienia nosi nazw wartoci normalnej siy cikoci 0 [Gal]. Oglny wzr opisujcy

rozkad wartoci normalnych siy cikoci na powierzchni sferoidy uwzgldniajcy warto

normaln siy cikoci na rwniku a oraz szeroko geograficzn [rad] wynosi

)2sinsin1( 212

0 a , (6)

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

40

gdzie - spaszczenie grawitacyjne, 1 - wspczynnik spaszczenia grawitacyjnego

obliczony drog teoretyczn. Wartoci 0 i wyznacza si na podstawie pomiarw

grawimetrycznych.

Rys.5.2. Elipsoida obrotowa

Pierwszy wzr jaki zastosowano do obliczenia wartoci normalnych siy cikoci to wzr Helmerta (1884) dla elipsoidy lokalnej Bessela. Dokadniejszy wzr opracowano w 1930 roku wzr Cassinisa dla elipsoidy Hayforda. Obowizywa on do roku 1975. Obecnie stosuje si GRS80, ktry zosta przyjty zgodnie z uchwa Midzynarodowej Unii Geodezyjno Geofizycznej.

Helmert

)2sin000007,0sin005302,01(030,978 220 (7)

Cassinis

)2sin0000059,0sin0052884,01(043,978 220 (8)

GRS80

)2sin0000058,0sin0053024,01(0327,978 220 (9)

Warto normalnej siy cikoci jest najwiksza na biegunie i wynosi 9,83 m/s2, a najmniejsza na rwniku 9,78 m/s2 (Kamela et al. 1993).

Wykonanie wiczenia i opracowanie wynikw

1. Dla wybranych zestaww zawierajcych wsprzdne geograficzne czterech miejsc

na wiecie przeliczy wsprzdne podane w stopniach, minutach i sekundach na

stopnie i uamek dziesitny stopnia (1=60=3600). Nastpnie przeliczy szeroko

geograficzn na radiany.

2. Korzystajc ze wzorw Helmerta (7), Cassinisa (8) i GRS80 (9) obliczy wartoci

normalne siy cikoci [w Gal i ms-2].

UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet lski w Katowicach, ul. Bankowa 12, 40-007 Katowice, http://www.us.edu.pl

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

41

3. Wyniki oblicze zestawi w tabeli. Wartoci wyrazi w mGalach.

Miejsce I Miejsce II Miejsce III Miejsce IV

Helmert

Cassinis

GRS80

4. Sporzdzi wykresy (Rys.5.3) przedstawiajce zaleno szerokoci geograficznej

od siy cikoci. Na wykres nanie nazwy miejscowoci.

Rys.5.3. Zmiana wartoci normalnej siy cikoci wraz z szerokoci geograficzn.

5. Skomentowa uzyskane wyniki.

Literatura

Cazenave A. (1995) Geoid, Topograph and Distribution of Landform, W: Ahrens T.J (red.), Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants AGU Reference Shelf 1

Kamela C., Warchaowski E., Woczewski F., Wyrzykowski T., (1993), Teoria geometrycznej niwelacji precyzyjnej, w: Niwelacja precyzyjna, pod red. I. Laudyn, wyd. drugie zmienione i uzupenione, PPWK, Warszawa.

Telford W.M., Geldart L.P., Sheriff R.E., (1990), Applied Geophysics, wyd. drugie,

Cambridge University Press.

MendeckiMendecki