Giải Tích 12CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Vấn đề 1: Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm SốTa thực hiện theo các bước:Bước 1: Miền xác định.Bước 2: Tính đạo hàm y′, rồi tìm các điểm giới hạn (thông thường việc giải phương trình y′ = 0).Bước 3: Tính các giới hạn (nếu cần).Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Ví dụ: khảo sát sự biến thiên của hàm số:     ☺Giải:Miền xác định:

Đạo hàm:

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Vấn đề 2: Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Tham Số.Ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Miền xác định.Bước 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm giới hạn (thông thường là việc giải biện luận phương trình y'=0).Bước 3: Tính các giới hạn (nếu cần).Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Ví dụ: Tùy theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số: 

☺Giải:Miền xác định: .Đạo hàm: 

, (1)Ta đi xét 3 trường hợp:►Trường hợp 1: Nếu  .a. Với   Hàm số là hàm hằng.b. Với  Hàm số luôn luôn đồng biến.Giới hạn: 

Bảng biến thiên:

►Trường hợp 2: Nếu  .

Khi đó phương trình (1) có nghiệm .

Giới hạn:  .

Bảng biến thiên:

Trong đó:

             

►Trường hợp 3: Nếu  .

Khi đó phương trình (1) có nghiệm  .

Giới hạn:  .

Bảng biến thiên:

*Nhận xét:1. Như vậy, với àm đa thức bậc hai, trong trường hợp này y' là hàm bậc nhất, giả sử có dạng:

do đó cần xét ba trường hợp:a.    a = 0.b.    a < 0.c.    a > 0.2. Đối với hàm đa thức bậc ba, trong trường hợp này y' là hàm bậc hai, giả sử có dạng:

              do đó cần xét hai trường hợp:a. Với a = 0.b. Với a ≠ 0, ta lập bảng xét dấu của a và ∆, từ đó có được các trường hợp riêng lẻ.

Vấn đề 3: Sự Biến Thiên Của Hàm Số Trên Một MiềnCâu hỏi thường đặt ra “Tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên tập I”, khi đó ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Miền xác định.Bước 2: Đạo hàm y’Bước 3: Hàm số đơn điệu trên tập I (giả sử đồng biến trên I)

Bài toán được chuyển về dấu của nhị tức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai hoặc sử dụng phương pháp hàm số.Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: cho hàm số:

Tìm m để hàm số đồng biến với:a. Mọi x.

b. Mọi .

c. Mọi .☺GiảiMiền xác định: Đạo hàm:

a. Hàm số đồng biến với mọi với mọi x.

Vậy, với hàm số đồng biến với mọi x.

b. Hàm số đồng biến với mọi

Vậy, với hàm số đồng biến với mọi

c. Hàm số đồng biến với mọi

Vậy, với hàm số đồng biến với mọi *Chú ý: Với nhị thức bậc nhất ta có:

(1). và

(2). và

(3). và

(4). và

Vấn đề 4: Chứng Minh Bất Đẳng ThứcBằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:

a. Nếu hàm số đồng biến trên b. Nếu hàm số nghịch biến trên

Ví dụ: Cho . Chứng minh rằng:

a. b.☺Giải

a. Xét hàm số với .

Đạo hàm:

với hàm số nghịch biến trên .

Do đó:

với với với .

b. Xét hàm số với .

Đạo hàm:

với hàm số đồng biến trên

Do đó:

với với với .

*Chú ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng , (hoặc ,

), ví dụ như hàm số với ta có rõ ràng không thể

khẳng định được gì với , trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x.

Khtn.tkKienthuckhtn.blogspot.com