tÍnh ĐƠn ĐiỆu cỦa hÀm sỐ- cÓ gi i chi ti t a. ki n thỨc … filehỌc cÙng vietjack...

HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – Face/Instagram: xuantruong.teacher

Đăng ký học tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ- CÓ GIẢI CHI TIẾT

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một

đoạn.

Hàm số ( )y f x đồng biến (tăng) trên K nếu 1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x .

Hàm số ( )y f x nghịch biến (giảm) trên K nếu 1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số ( )y f x có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì 0,f x x K .

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì 0,f x x K .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số ( )y f x có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu 0,f x x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .

Nếu 0,f x x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .

Nếu 0,f x x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .

Chú ý.

Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số ( )y f x liên tục trên

đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn ;a b và có đạo

hàm 0,f x x K trên khoảng ;a b thì hàm số đồng biến trên đoạn ;a b .

Nếu 0,f x x K ( hoặc 0,f x x K ) và 0f x chỉ tại một số điểm hữu hạn của K

thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Xét tính đơn điệu của hàm số ( )y f x trên tập xác định

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm ( )y f x .

Bước 3. Tìm nghiệm của ( )f x hoặc những giá trị x làm cho ( )f x không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên.

Bước 5. Kết luận.

2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( )y f x đồng biến, nghịch biến trên khoảng ;a b cho

trước.

Cho hàm số ( , )y f x m có tập xác định D, khoảng ( ; ) a b D :

Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b ' 0, ( ; ) y x a b

Hàm số đồng biến trên ( ; )a b ' 0, ( ; ) y x a b

Chú ý: Riêng hàm số 1 1a x by

cx d

thì :

Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b ' 0, ( ; ) y x a b



Hàm số đồng biến trên ( ; )a b ' 0, ( ; ) y x a b

* Nhắc lại một số kiến thức liên quan:

Cho tam thức 2( ) ( 0) g x ax bx c a

a) 0

( ) 0,0

ag x x b)

0( ) 0,

0

ag x x

c) 0

( ) 0,0

ag x x d)

0( ) 0,

0

ag x x

Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b :

Bước 1: Đưa bất phương trình ( ) 0 f x (hoặc ( ) 0 f x ), ( ; ) x a b về dạng ( ) ( )g x h m

(hoặc ( ) ( )g x h m ), ( ; ) x a b .

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( )g x trên ( ; )a b .

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số

m.

3. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:

Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng ( ) f x m hoặc ( ) ( )f x g m , lập bảng biến thiên của ( )f x ,

dựa vào BBT suy ra kết luận.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số

1

1

xy

x. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 1; .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 1; .

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; .

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; .

Hướng dẫn

TXĐ: \ 1D . Ta có 2

2' 0, 1

(1 )

y x

x

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1) và (1; ) Chọn D.

Giải nhanh

Đối với hàm số 2

'( )

ax b ad bcy y

cx d cx d

Nếu ad – bc > 0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Nếu ad – bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

ở đây ad – bc = 1 +1 = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định → chọn D

Câu 2. Cho hàm số 3 23 3 2y x x x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?



A. Hàm số luôn nghịch biến trên .

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; .

D. Hàm số luôn đồng biến trên .

Hướng dẫn

TXĐ: D . Ta có 2 2' 3 6 3 3( 1) 0 , y x x x x Chọn A.

Giải nhanh

Đối với hàm bậc ba mà các em thấy hệ số a < 0 thì chỉ có hai khả năng là nghịch biến trên R (y’ = 0

vô nghiệm) hoặc nghịch ngoài khoảng nghiệm ;a và b; . Ngược lại

các em thấy hệ số a > 0 thì chỉ có hai khả năng là đồng biến trên R (y’ = 0 vô nghiệm)

hoặc đồng biến ngoài khoảng nghiệm ;a và b; .

Nhìn cái thấy ngay a = -1 < 0 nên loại ngay C, D

Còn A, B các em thử đáp án bằng cách thử y’(0) bằng máy tính casio ( tại sao thử tại vì x= 0 là sự

khác biệt giữa hai đáp án)

qyzQ)qd+3Q)dp3Q)+2$=

Vậy y’(0) = -3 < 0 → chọn A

Câu 3. Cho hàm số 4 24 10y x x và các khoảng sau:

(I): ; 2 ; (II): 2;0 ; (III): 0; 2 ;

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A. Chỉ (I). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (I) và (III).

Hướng dẫn

Thầy thấy bài này các em giải tự luận tìm y’ = 0 rồi xét dấu còn nhanh hơn dùng máy.

TXĐ: D . 3 2' 4 8 4 (2 )y x x x x . Giải

0' 0

2

xy

x

Trên các khoảng ; 2 và 0; 2 , ' 0y nên hàm số đồng biến. Chọn D.



Sử Dụng Máy Tính Casio

Nếu dùng máy thì các em thử đáp án thôi, tính y’(-3), y’(-1), y’(1) đây chính là các giá trị đặc

trưng của các đáp án I, II, III mà chỉ một đáp án có đáp án còn lại không có.

qyzQ)^4$+4Q)d+10$z3=

> 0

Vậy (I) đúng tương tự các em thử nốt ra đáp án D

Câu 4. Cho hàm số3 1

4 2

xy

x

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên .

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; .

Hướng dẫn

TXĐ: \ 2D . Ta có2

10' 0,

( 4 2 )y x D

x

. Chọn B.

Giải nhanh

ad – bc = -10 < 0 nên chọn ngay B

Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ?

A. 4 2( ) 4 4h x x x . B. 3 2( ) 3 10 1g x x x x .

C. 5 34 4( )

5 3f x x x x . D. 3 2( ) 10 cosk x x x x .

Hướng dẫn

Ta có: 4 2 2 2'( ) 4 4 1 (2 1) 0,f x x x x x . Chọn C.

Giải nhanh

A, B, D các em loại luôn vì hệ số a của cả ba hàm đều > 0 nên nó không thể nghịch biến trên

a; nên không thể nghịch biến trên R còn lại đáp án C

Câu 6. Hỏi hàm số 2 3 5

1

x xy

x

nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. ( ; 4) và (2; ) . B. 4;2 .

C. ; 1 và 1; . D. 4; 1 và 1;2 .



Hướng dẫn

TXĐ: \ 1 D . 2

2

2 8'

( 1)

x xy

x

. Giải

22

' 0 2 8 04

xy x x

x

'y không xác định khi 1x . Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1 và 1;2 Chọn D.

Giải nhanh

Ngó thấy hệ số của 2x là a = 1 > 0 nên A, C bị loại vì không thể nghịch biến tại a;

Đáp án B bị loại vì chứa -1 nên còn lại đáp án D

Câu 7. Hỏi hàm số 3

23 5 23

xy x x nghịch biến trên khoảng nào?

A. (5; ) B. 2;3 C. ;1 D. 1;5

Hướng dẫn

TXĐ: D . 2

1' 6 5 0

5

xy x x

x

Trên khoảng 1;5 , ' 0y nên hàm số nghịch biến chọn D


Ngó thấy hệ số a = 1

3> 0 nên loại ngay A, C.

Thử đáp án y’(4)

Tại sao thầy lại thử y’(4) vì nguyên tắc thử đáp án là các em tìm giá trị đặc trưng của đáp án này mà

đáp án khác không có. Thầy thử x = 4 vì ở đáp án D chứa x =4 còn đáp án B thì không có

qyQ)qdP3p3Q)d+5Q)p2$4=

< 0 → chọn D

Không thích thì các em thử tại y’(2.5) để xem B có thỏa mãn không

Câu 8. Hỏi hàm số 5 4 333 4 2

5y x x x đồng biến trên khoảng nào?

– –



A. ( ;0) . B. . C. (0;2) . D. (2; ) .

Hướng dẫn

TXĐ: D . 4 3 2 2 2' 3 12 12 3 ( 2) 0 , y x x x x x x Chọn B.


Thầy nghĩ làm tự luân nhanh hơn là thử đáp án. Nếu thử thì các em thử như sau

Tính y’(10)

qya3R5$Q)^5$p3Q)^4$+

Q)qdp2$z10=

>0 nhận A

Tính y’(1) oo1=

>0 nhận C

Tính y’(10) !o0=

>0 nhận D

Hàm này không bị gián đoạn nên chọn B

Câu 9. Cho hàm số 3 23 9 15y x x x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 .

B. Hàm số đồng biến trên .

C. Hàm số đồng biến trên 9; 5 .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; .

Hướng dẫn

TXĐ: D . Do 2' 3 6 9 3( 1)( 3)y x x x x nên hàm số không thể đồng biến trên .

Chọn B.

Tư duy giải nhanh:

Đối với hàm bậc ba 3 2y ax bx cx d thì 2' 3 2y ax bx c có 2' 3b ac

Nếu 2' 3 0b ac → hàm số đồng biến ( a>0) hoặc nghịch biến (a<0) trên R



Nếu 2' 3 0b ac → hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng biến, nghịch biến trên các khoảng

xác định

Trong bài này ngó thấy a và c trái dấu nên chắc chắn 2' 3 0b ac nên hàm số này không thể

đồng biến hay nghịch biến trên R.

Tất nhiên các em có thể thử đáp án y’(0) < 0 cũng ra ngay nhưng nếu các em nhớ được công thức

đơn giản kia thì thầy nghĩ chỉ mất khoảng 10s để làm bài này.

Câu 10. Cho hàm số 2 33y x x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 .

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 .

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3 .

Hướng dẫn

HSXĐ:2 33 0 3x x x suy ra D ( ;3] .

2

2 3

6 3'

2 3

x xy

x x

, ;3 x .

Giải 0

' 0 2

xy

x

. 'y không xác định khi

0

3

x

x

.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến ( ;0) và (2;3) . Hàm số đồng biến (0;2) chọn B


Đọc đề thấy hai đáp án B, C đối lập nhau nên chắc chắn hai anh này có một anh sai. Giờ các em thử

ngay y’(-1) là sẽ qys3Q)dpQ)qd$$z1=

y’(-1) = -2.25 < 0 nên hàm nghịch biến trên khoảng đang xét → Chọn B

Câu 11. Cho hàm số 2sin , 0;2

xy x x . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A. 7 11

0; ;12 12

và

. B. 7 11

;12 12

.

0 2

|| 0 ||

0

0



C.

7 7 110; ;

12 12 12và

. D. 7 11 11

; ;12 12 12

và

.

Hướng dẫn

TXĐ: D . 1

' sin 22

y x . Giải 1 12

' 0 sin 272

12

x k

y x

x k

, k

Vì 0;x nên có 2 giá trị 7

12x

và

11

12x

thỏa mãn điều kiện.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến 7

0;12

và 11

;12

chọn A


Thử ngay y’(0.1) xem A, C có đúng không

CqyQ)P2+(jQ)))d$0.1=

> 0

Nhận A hoặc C. Nếu để ý các em sẽ thấy hàm không bị gián đoạn tại chỗ nào nên loại ngay C vì

đáp án C cho hàm bị gián đoạn tại 7

12

. Nếu thử thì các em lấy giá trị đặc trưng của A hoặc C.

Giờ thử tiếp y’(0.99 ) !oo99qK=

> 0 → nhận đáp án A.

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2

1

x my

x

giảm trên các khoảng mà

nó xác định ?

A. 3m . B. 3m . C. 1m . D. 1m .

Hướng dẫn

|| 0 0 ||



Tập xác định: \ 1D . Ta có

2

1

1

my

x

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định 0, 1 1 y x m

Giải nhanh

Để thỏa mãn điều kiện thì 0ac bd 0 tức là: 1 1( 2) 0 1m m → chọn D

Nếu thử đáp án các em thử đáp án thì B, C bị loại vì có dầu bằng

Đáp án D rộng hơn đáp án A mà để bài nói tìm tất cả nên các em cho đại m = 0.

Giờ các em xét y’(1) với m = 0

qyaQ)p0+2RQ)+1$$1=

< 0 nên hàm nghịch biến → đáp án D

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên ?

3 21(2 3) 2

3y x mx m x m

A. 3 1m . B. 1m . C. 3 1m . D. 3; 1m m .

Hướng dẫn

Tập xác định: D . Ta có 2 2 2 3 y x mx m . Để hàm số nghịch biến trên thì

00,

0

yay x

2

1 0 ( )3 1

2 3 0

hnm

m m

Giải nhanh

Nhớ 2' 3 0b ac hàm số đồng biến ( a>0) hoặc nghịch biến (a<0) trên R

Áp dụng vào 2 21' 3 (2 3) 0 2 3 0 3 1

3m m m m m

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số ( 3) (2 1)cos y m x m x luôn

nghịch biến trên ?

A. 2

43

m . B. 2m . C. 3

1

m

m

. D. 2m .

Hướng dẫn

Tập xác định: D . Ta có: ' 3 (2 1)siny m m x

Hàm số nghịch biến trên ' 0, (2 1)sin 3 ,y x m x m x



Trường hợp 1: 1

2m ta có

0 £

7

2,"x Î . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên .


2m ta có

3 3sin , 1

2 1 2 1

m mx x

m m

3 2 1 4m m m


2m ta có:

3 3sin , 1

2 1 2 1

m mx x

m m

23 2 1

3m m m . Vậy

24;

3

m

Chọn A

Sử dụng máy tính Casio

' 3 (2 1)siny m m x

Hàm số nghịch biến trên ' 0,y x tức là ' 0y với x =1

Các em coi m là Y sử dụng tính năng CACL của máy tính các em nhập biểu thức y’ rồi dựa vào

đáp án chọn giá trị của Y cho hợp lý.

Qnp3+(2Qn+1)jQ))

tiên CACL với Y = 4, X = 1

r4=1=

Vậy đáp án B, C sai vì y’(1) > 0 với m=4 → loại được B, C

Giờ CACL với Y = 1, X = 1

r1=1=

Như vậy là đáp án D cũng sai rồi vì m =1 thì y’(1) > 0 → chọn A

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên ?

3 22 3( 2) 6( 1) 3 5y x m x m x m

A. 0. B. –1 . C. 2. D. 1.



Hướng dẫn

Tính nhanh, ta có 2 1( ) 0 6 6 2 6 1 0

1

xf x x m x m

x m

Phương trình ( ) 0 f x có nghiệm kép khi 0m , suy ra hàm số luôn đồng biến trên .

Trường hợp 0m , phương trình ( ) 0 f x có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu bài

toán).

Chọn A

Giải nhanh:

2' 3 0b ac → 2 29( 2) 3.2.6( 1) 0 9m 0 0m m m → Chọn A

tÍnh ĐƠn ĐiỆu cỦa hÀm sỐ- cÓ gi i chi ti t a. ki n thỨc … filehỌc cÙng vietjack...

Documents