time value of money - reszka.edu.pl pieniadza w czasie.pdf · opracował marcin reszka nie zezwala...

Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu 03.2013 1

Opracował Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny nr 335

[email protected]

Zeszyt I

Wartość pieniądza w czasie (time value of money)

Wszystkie prawa zastrzeżone.

Nie zezwala się na kopiowania bez pisemnej zgody autora.

mailto:[email protected]


Jedna złotówka dzisiaj jest więcej warta niż ta sama złotówka w

przyszłości.

Powody :

- pieniądze mogą zostać zainwestowane, aby ich wartość wzrastała, np. odsetki, dywidendy.

/zakładając korzystną inwestycję, kwota 1000 zł po zainwestowaniu na pewien okres warta jest więcej niż 1000

zł/

- zmniejszenie siły nabywczej na skutek inflacji,

/oznacza to, że produkt, którego cena wynosi dziś 1000 zł za rok najprawdopodobniej będzie kosztować więcej

niż 1000 zł/

- możliwość skorzystania ze specjalnych okazji.

We wszystkich obliczeniach wartości pieniądza w czasie znane są trzy zmienne, a obliczamy czwartą

zmienną. Tymi czterema zmiennymi są:

1. Przepływy pieniężne, które mają zostać przeliczone na wartość w różnych punktach czasu.

2. Wartość przepływów pieniężnych po uwzględnieniu czasu.

3. Różnica czasu pomiędzy datą przepływów pieniężnych i datą wartości ekwiwalentnej.

4. Stopa procentowa, która będzie wykorzystywana do zamienienia przepływów pieniężnych na ich

wartość ekwiwalentną.

Oznaczenia zmiennych:

PV (Present Value) – wartość obecna; wartość w dniu dzisiejszym przyszłego przepływu środków pieniężnych

lub wielu przepływów środków pieniężnych zdyskontowanych według odpowiedniej stopy procentowej.

FV (Future Value) – wartość przyszła; wielkość do jakiej będzie rosnąć przepływ środków pieniężnych lub

wiele przepływów środków pieniężnych w danym okresie, kapitalizowanych określoną stopą procentową.

PMT - wartość raty kapitałowo-odsetkowej przy zadanym oprocentowaniu,

n (number) - liczba okresów pomiędzy wartością obecną i wartością przyszłą.

r (rate) – stopa procentowa dla danego okresu czasu. Na kalkulatorze TI BA II oznaczone jako [I/Y].

Podstawowe obliczenia.

Zainwestowałeś 100 PLN na rok. Oprocentowanie wynosi 5 %. Jaką sumą będziesz dysponował za rok ?

PV = 100

n=1

FV = 100 + 100 * 0,05 = 105


Obliczenia na kalkulatorze TI BA II

Przed każdym zadaniem na kalkulatorze polecam usunąć dane z pamięci.

Usuwanie danych: [2ND] [CLR WORK] [2ND] [CLR TVM]

Wpisujemy liczbę okresów: 1 [N] [ENTER]

Wpisujemy wartość początkową PV: - 100 [PV] [ENTER]

Wpisujemy oprocentowanie: 5 [I/Y] [ENTER]

Obliczamy wartość końcową FV: [CPT] [FV]

FV = 105

Zainwestowałeś 100 PLN na rok. Oprocentowanie wynosi 6 %. Jaką sumą będziesz dysponował za 3 lata, jeśli

odsetki co rok są kapitalizowane ?

Kapitalizacja odsetek – dopisywanie odsetek do kapitału.

Przed każdym zadaniem na kalkulatorze polecam usunąć dane z pamięci.

Usuwanie danych: [2ND] [CLR WORK] [2ND] [CLR TVM]


Wpisujemy wartość początkową PV: - 100 [PV] [ENTER]



FV = 119,1016

Wzór: F V = P V * ( 1 + r )n

Dyskontowanie - Nieznana wartość bieżąca.

W dyskontowaniu nie pytamy ile jedna zainwestowana złotówka będzie warta w przyszłości, ale ile

jest warta złotówka otrzymana w przyszłości jest warta dzisiaj.

Wartość przyszła składa się z wartości bieżącej (kwota inwestycji) i odsetek.

Zadanie

Twój chrześniak obchodzi 12 urodziny. Zdecydowałeś , ze chcesz jemu podarować na 18 urodziny 10 000 PLN.

Lokata bankowa 6 letnia oferuje Tobie 6,5 %, kapitalizowane rocznie. Ile powinieneś dzisiaj odłożyć, aby za 6

lat mieć 10 000 PLN ?


Rozwiązanie

Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora.


Wpisujemy wartość końcową FV: 10 000 [FV] [ENTER]

Wpisujemy oprocentowanie: 6,5 [I/Y] [ENTER]

Obliczamy wartość początkową: [CPT] [PV]

PV = - 6 853,34

Musiałbyś odłożyć dzisiaj 6 853,34 PLN.

Wiele osób pyta mnie o to, kiedy stosować znak „+”, a kiedy „-„ przy wpisywaniu PV, FV czy PMT.

Najlepiej jest postawić się postawić jako jedna ze stron transakcji.

Np. Klient bierze kredyt 1000 PLN. Oddaje przez 4 lata, co rocznie 300zł. Oblicz stopę procentową kredytu.

Stawiam się w roli klienta:

PV = + 1000 (bo dostaje 1000 zł od banku)

PMT = - 300 (bo co roku płacę 300 zł)

n = 4

To i = ....

Jeśli postawisz się w roli banku to znaki będą przeciwne. Wynik wyjdzie identyczny.

Ilość okresów pomiędzy wartością bieżącą i przyszłą nie jest znana.

Obliczenie to wykorzystujemy do ustalania ile okresów potrzeba , aby przy określonej stopie procentowej,

znana wartość bieżąca stała się znaną wartością przyszłą.

Zadanie

Masz do oddania dług w wysokości 80 000 PLN. Na koncie posiadasz 61 000 PLN i chciałbyś tylko z tych

środków spłacić ten dług. Twój bank oferuje Tobie lokatę 7 %, kapitalizowaną rocznie. Po ilu latach będziesz w

stanie spłacić dług ?


Rozwiązanie


Wpisujemy wartość przepływu: 5 000 [PMT] [ENTER]

Wpisujemy ilość okresów: 15 [N] [ENTER]

Wpisujemy oprocentowanie: 6 [I/Y][ENTER]

Obliczamy wartość końcową [CPT] [FV]

FV = -116 379,85

Zadanie

Posiadasz na koncie 50 000 PLN. Co roku masz zamiar odkładać 10 000 PLN. Konto bankowe jest o

oprocentowaniu 5 %. Ile będziesz miał pieniędzy na koniec 25 roku ?

Rozwiązanie


Wpisujemy wartość początkową: 50 000 [PV][ENTER]




Obliczamy wartość końcową [CPT] [FV]

FV = -646 588,74 PLN

Wzór na wartość przyszłą płatności annuitetowych:

Zadanie

Kupujesz Nowe Porsche Cabrio. Dealer proponuje Tobie dwa rozwiązania. Zapłata gotówką 300 000 PLN, bądź

wpłatę 100 000 PLN i przez 10 lat co roku wpłacać 28 000 PLN. Z lokaty w banku możesz uzyskać 8 % rocznie.

Która możliwość jest bardziej opłacalna ?

Rozwiązanie

Obliczmy ile oprocentowany jest kredyt u dealera .

Wpisujemy wartość początkową: -200 000 [PV][ENTER]

r

rPMTFV

n 1)1(




Obliczamy oprocentowanie: [CPT][I/Y]

i = 6,64 %

Jeżeli dysponujemy gotówką to bardziej opłacalna jest wpłata 100 000 PLN dealerowi, a 200 000 PLN odłożyć

na lokatę.

Zadanie

Otrzymałeś spadek w wysokości 5 000 000 PLN. Obecnie kapitał ten zarabia 10 % rocznie. Gdybyś

zrezygnował z pracy i chciał utrzymywać się z tego spadku, wydając 600 000 PLN rocznie. Ile lat mógłbyś się

utrzymywać, zakładając, że kapitał nadal będzie zarabiał 10 % ?

Rozwiązanie

Wpisujemy wartość początkową: 5 000 000 [PV][ENTER]

Wpisujemy wartość przepływu: -600 000 [PMT] [ENTER]


Obliczamy ilość okresów: [CPT] [N]

N = 18,8

Będziesz mógł się utrzymywać ze spadku 18,8 roku.

Renta z góry

Płatności występują na początku każdego roku, a nie tak jak w rencie z dołu na końcu każdego roku.

Wartość przyszła renty z góry jest większa niż wartość przyszła tych samych płatności występujących

na końcu każdego okresu. Kapitał pracuje dodatkowy rok.

Wzór na wartość przyszłą płatności annuitetowych, gdy płatności są na początku okresu:

Obliczanie zadań, w których mamy do czynienia z rentą z góry wymaga zmiany ustawienia kalkulatora

finansowego.

Ustawienie renty z góry: [2ND] [BGN] [2ND][ENTER]

Po ustawieniu renty z góry mamy u góry wyświetlacza „BGN”.

Po skończeniu pracy z zadaniem wracamy do ustawień podstawowych, czyli renty z dołu.

r

rrPMTFV

n 1)1()1(


Po obliczeniu zadania zmieniamy ustawienia kalkulatora na rentę z dołu: [2ND] [BGN] [2ND][ENTER]

Zadanie

Chcesz kupić mały, czteroosobowy samolot na potrzeby Twojej firmy. Masz do wyboru: 430 000 euro, bądź

przez 12 lat płacić co roku 60 000 euro na początku każdego roku. Którą opcje wybierzesz jeżeli stopa

dyskontowa wynosi 10 % ?

Rozwiązanie:

Zadanie możemy obliczyć na kilka sposobów

Sposób pierwszy:

Dyskontujemy każdą z 12 płatności, pamiętając, ze pierwsza płatność następuje w chwili zakupu. Po

zdyskontowaniu płatności, sumujemy je i otrzymujemy wartość bieżącą.

( )

( )

( )

Wartość bieżąca przepływów annuitetowych jest wyższa niż cena 430 000 euro. Racjonalną decyzją będzie

zapłata gotówką za samolot.

Sposób drugi:

Posłużenie się wzorem ogólnym na wartość bieżącą strumienia płatności annuitetowych, gdzie przepływy

pieniężne występują na początku każdego z n okresów.

Sposób trzeci (według mnie najszybszy i nie wymagający znajomości wzoru):

Obliczenie na kalkulatorze finansowym.


Zmieniamy ustawienie domyślne kalkulatora z renty z dołu na rentę z góry.

Ustawienie renty z góry: [2ND] [BGN] [2ND][ENTER]

Po ustawieniu renty z góry mamy u góry wyświetlacza „BGN”.



Wpisuje wartość płatności rocznej: 60 000 [PMT] [ENTER]

Obliczam wartość bieżącą rocznych płatności: [CPT] [PV]

PMT = - 449 703,66

r

rPMTPMTPV

n 1)1(

11


Zadanie

Jaką stopę oprocentowania muszę uzyskać od 15 lokat rocznych po 9 000 PLN każda wpłacana na początku

roku, aby otrzymać 252 000 PLN na koniec 15 roku ?

Rozwiązanie


Zmieniamy ustawienie domyślne kalkulatora z renty z dołu na rentę z góry.


Wpisuje wartość płatności rocznej: - 9 000 [PMT] [ENTER]

Wpisujemy oczekiwany kapitał na koniec 15 roku: 252 000 [FV][ENTER]

Obliczamy oprocentowanie: [CPT][I/Y]

i = 7,47 %

Renta wieczysta

Renta wieczysta - Strumień równych płatności, mający trwać przez nieskończony okres.

Wzór na wartość bieżącą renty wieczystej:

PMT- strumień płatności renty rozpoczynający się pod koniec pierwszego okresu.

PV – wartość bieżąca renty wieczystej

r – stopa zwrotu

Zadanie

Z obligacji wieczystej możemy uzyskać stały coroczny kupon w wysokości 420 PLN. Wymagana stopa zwrotu

wynosi 6 %. Jaka jest wartość obligacji dzisiaj ?

Obligacje wieczyste zwane konsolami nie są nigdy wykupywane, a ich posiadacz otrzymuje

nieskończony strumień odsetek, zwany rentą wieczystą.

Rozwiązanie

PV = PMT / r = 420 / 0,06 = 7 000 PLN


Zaoferowano Tobie udział w spółce XY. Ostatni przepływ pieniężny wynosił 150 000 PLN i właśnie został

wypłacony udziałowcom. Z roku na rok ta kwota będzie rosła o 2 %. Stopa dyskontowa wynosi 9 %. Ile jest

warta ta spółka ?

( )

Zadanie

Zamierzasz kupić akcje firmy, od której się oczekuje, że wypłaci za rok dywidendę w wysokości 3,5 PLN na

jedną akcję. Dywidenda ma rosnąć 5 %. Jeżeli Twoja wymagana stopa zwrotu z inwestycji wynosi 16 %. Oblicz

ile wart są dla Ciebie te akcje.

Rozwiązanie

W liczniku nie mnożymy dywidendy przez (1+stopa wzrostu dywidendy) bo podana dywidenda zostanie

wypłacona za rok. Jeśli byłaby to dywidenda wypłacona wczoraj, bądź tak jak piszą w zadaniach – w okresie

zerowym to byśmy tak robili.

Płatności rosnące

Płatności rosnące są to przepływy pieniężne, które zwiększają się w stałym tempie przez określony czas.

( ) ⌊

( )

( )

⌋

PMT – wartość bieżąca płatności

g – oczekiwana stopa wzrostu płatności

r – stopa dyskontowa

Niestety nie da się tego obliczyć przy użyciu którejś z funkcji kalkulatora i najszybciej obliczać przy

pomocy wzoru. Jeżeli zapomnimy wzoru to możemy wprowadzić płatności z poszczególnych lat w

arkusz [CF], a następnie obliczyć wartość bieżącą tych płatności. Przy większej ilości okresów może

być to bardzo pracochłonne.


Zadanie

Chcesz wynająć pomieszczenie na halę produkcyjną. Za obecny rok czynsz wynosi 100 000 PLN. W umowie

wynajmu uwzględniono inflację. Właściciel nieruchomości ma prawo podnosić czynsz w tempie oczekiwanej

inflacji (4 % rocznie). Stopa dyskontowa wynosi 8 %.

Oblicz wartość bieżąca wynajmu przez następne 4 lata.

Rozwiązanie

( ) ⌊

( )

( )

⌋

Inny sposób obliczeń, gdy nie pamiętamy wzoru:

Oczekiwana płatność za rok = 100 000 * 1,04 = 104 000

Oczekiwana płatność za dwa lata = 100 000 * 1,04^2 = 108 160

Oczekiwana płatność za trzy lata = 100 000 * 1,04^3 = 112 486,4

Oczekiwana płatność za cztery lata = 100 000 * 1,04^4 = 116 985,86

Wpisujemy te wartości w arkusz Cash Flow w kalkulatorze finansowym.


[CF]

CF0 = 0 [Enter] [↓]

C01 = 104 000 [Enter] [↓] F01=1 [Enter] [↓]

(F – to określenie liczby okresów, przez które występuje ta płatność)

C02 = 108 160 [Enter] [↓] F02=1 [Enter] [↓]

C03 = 112 486,4 [Enter] [↓] F03=1 [Enter] [↓]

C04 =116 985,86 [Enter] [↓] F04=1 [Enter] [↓]

Obliczamy wartość bieżącą powyższych przepływów.

[NPV]

I= 8 [Enter] [↓]

[CPT] NPV =364 309,49

Metoda dosyć pracochłonna, a przy większej liczbie okresów była jeszcze bardziej długotrwała.


Rozwiązanie

Obliczamy wartość bieżącą na koniec roku trzeciego.

Przypominam wzór: ( )

PMT – wartość bieżąca płatności g – stałe tempo wzrostu renty r – stopa dyskontowa

( )

Obliczam wartość bieżącą przepływów z trzech pierwszych lat i wartości końcowej na koniec roku trzeciego.

Obliczenie na kalkulatorze w formularzu Cash Flow.


[CF]

CF0 = 0 [Enter] [↓]

C01 = 50 000 000 [Enter] [↓] F01=1 [Enter] [↓]

C02 =70 000 000 [Enter] [↓] F02=1 [Enter] [↓]

C03 = 75 000 000 + 965 625 000 = 1 040 625 000 [Enter] [↓] F03=1 [Enter] [↓]


[NPV]

I= 11 [Enter] [↓]

[CPT] NPV = 862 754 646,5

Wartość obecna przepływów pieniężnych jest niższa niż koszt inwestycji. Inwestycji nie należy podejmować.

Stopy procentowe

W poprzednich przykładach zmienna „n” oznaczała liczbę lat, a stopa procentowa była stopą roczną. Płatności

odsetkowe i dochody były obliczane za okresy roczne. Czasami jednak odsetki są naliczane częściej, na

przykład co miesiąc, bądź co kwartał. Wówczas wartość bieżąca i przyszła mogą być znaczącą inne niż dla

kalkulacji w skali roku.


Rodzaje stóp procentowych

Nominalna stopa procentowa – jest to stopa, która nie jest bezpośrednio stosowana do obliczania odsetek, ale

służy jako podstawa do obliczania stopy oprocentowania, która może zostać do tego wykorzystana.

Przykład

Bank podaje stopę procentową dla lokat – 8 % kapitalizacja miesięczna.

Efektywna stopa procentowa – to stopa, która uwzględnia sposób naliczania odsetek. Gdy odsetki naliczane są

raz w roku to stopa ta równa się stopie nominalnej.

Stopa ta może być używana do obliczania odsetek, oraz podsumowuje wynik stopy procentowej zastosowanej w

danym okresie.

Przykład

Bank podaje stopę procentową dla lokat – 8 % kapitalizacja miesięczna.

Oznacza to, że efektywna stopa miesięczna wynosi 8% / 12 miesięcy = 0,66666%

Odsetki są doliczane co miesiąc i co miesiąc wartość kapitału do obliczeń jest wyższa o te odsetki.

( ) (

)

p – częstotliwość kapitalizacji odsetek w ciągu roku,

i – nominalna stopa roczna

(

)

Zadanie

Cztery różne bank płacą odsetki o stopie nominalnej równej 12 %. W banku A kapitalizacja jest półroczna, w

banku B kwartalna, w C miesięczna, a w D dzienna. Oblicz efektywne stopy roczne. Załóż, że rok ma 365 dni.

Rozwiązanie

(

)

(

)


(

)

(

)

Zadanie

Bank płaci odsetki w wysokości 12 % przy kapitalizacji rocznej. Jakie oprocentowanie można uzyskać z lokaty

kwartalnej i lokaty półrocznej ?

Rozwiązanie

Podana stopa 12 % jest jednocześnie stopą nominalną i efektywną roczną.

Lokata półroczna : t = ½ = 0,5

efektywne oprocentowanie półroczne ( )

Jeżeli zainwestujemy 1000 PLN to po pół roku otrzymamy: 1000 * 1,058301 = 1058,301

Lokata kwartalna: t=1/4 = 0,25

efektywne oprocentowanie kwartalne ( )

Jeżeli zainwestujemy 1000 PLN to po 3 miesiącach otrzymamy: 1000 * 1,028734 = 1028,737

Zadanie

Jeśli płacisz co miesiąc 1 % odsetek, to jaka jest efektywna roczna stopa oprocentowania ?

( )

Kapitalizacja ciągła

W skrajnych przypadkach bank może kapitalizować odsetki dosłownie co chwilę – wówczas

kapitalizacja odsetek jest ciągła.

Funkcja wykładnicza exp oznacza liczbę e podniesiona do danej potęgi. Liczba e jest to liczba Eulera, która w

przybliżeniu wynosi 2,718281828. Liczba e jest używana w wielu wzorach w matematyce finansowej. Na

szczęście wartość tą mamy w naszym kalkulatorze finansowym i nie ma potrzeby pamiętać przybliżenia

W przykładzie powyżej efektywna stopa procentowa przy nominalnej stopie rocznej 12 % i kapitalizacji ciągłej

byłaby następująca:


Najtańszą pożyczką jest pożyczka Y.

Zadanie

Wartość przyszła kwoty 1000 zł po 0,5 roku przy kapitalizacji ciągłej wyniosła 1050 zł. Oblicz roczną stopę

nominalną.

Rozwiązanie

1050/1000 =

ln 1,05 = x * 0,5

0,04879 = x * 0,5

x = 0,09758 = 9,758 %

Zadania złożone

Zadanie

Zamierzasz kupić mieszkanie. Zaciągasz pożyczkę na 10 lat w wysokości 350 000 PLN o nominalnej stopie

oprocentowania 12 %. Pożyczka ma być spłaca płatnościami o jednakowej wielkości pod koniec każdego

miesiąca.

Oblicz ile wynosi każda płatność.

Rozwiązanie

Liczba okresów = 120 miesięcy ( 10 lat x 12 miesięcy)

Efektywna stopa oprocentowani skali miesiąca = 12 % / 12 = 1 %



Wpisujemy wartość kredytu PV: - 350 000 [PV] [ENTER]


Obliczamy wartość płatności miesięcznej: [CPT] [PMT]

PMT = 5 021,48

Zadanie

Wpłacasz na rachunek kwotę 20 000 PLN. Ile będziesz miał na rachunku po 20 latach, jeżeli stopa będzie

wynosiła 5 %, a odsetki będą kapitalizowane co miesiąc ?


Rozwiązanie

Liczba okresów = 240 miesięcy ( 20 lat x 12 miesięcy)

Efektywna stopa oprocentowani skali miesiąca = 5 % / 12 = 0,41667 %



Wpisujemy wartość lokaty PV: - 20 000 [PV] [ENTER]

Wpisujemy oprocentowanie: 0,41667 [I/Y] [ENTER]


FV = 54 252,81

Zadanie

Bank udzielił rocznego kredytu w wysokości 67 500 PLN, który ma być spłacany w 6 równych ratach płatności

kredytu po 12 460,31 PLN, płatnych na koniec każdego dwumiesięcznego okresu spłaty (każda rata zawiera

spłatę kapitału i odsetki). Jaka jest efektywna roczna stopa oprocentowania dla tego kredytu ?

Rozwiązanie


Wpisujemy liczbę okresów: 6 [N] [ENTER] ( Jest 6 okresów 2-miesięcznych.)

Wpisujemy wartość kredytu PV: - 67 500 [PV] [ENTER]

Wpisujemy wartość płatności PMT: 12 460,31 [PMT] [ENTER]

Obliczamy oprocentowanie: [I/Y] [FV]

I = 3 %

3 % jest to oprocentowanie efektywne w skali 2 miesięcy. Zamieniamy je na efektywne w skali roku.

( )

Zadanie

Ile warta jest dzisiaj obietnica otrzymania następującego strumienia przychodów: 3 500 PLN na końcu

pierwszego roku, 6 700 PLN na końcu drugiego roku oraz 1 778 PLN na końcu każdego następnego roku (renta

wieczysta) ? Zakładamy, ze roczna stopa procentowa jest stała i wynosi 7 %.

Rozwiązanie

Obliczam wartość bieżąca renty wieczystej na koniec drugiego roku.

Wzór na wartość bieżącą renty wieczystej:


= 1 778/ 0,07 = 25 400

Korzystamy z arkuszu Cash Flow w kalkulatorze finansowym i wpisujemy przepływy oczekiwane za rok, za

dwa lata i wartość bieżącą renty wieczystej na koniec roku drugiego.


[CF]

CF0 = 0 [Enter] [↓]

C01 =3 500 [Enter] [↓] F01=1 [Enter] [↓]

C02 = 6 700 + 25 400 = 32 100 [Enter] [↓] F02=1 [Enter]


[NPV]

I= 7 [Enter] [↓]

[CPT] NPV =31 308,41

Zadanie

Inwestor chce wpłacać na rachunek bankowy taka samą kwotę na koniec każdego kwartału. Proszę podać, jaka

musi być wartość każdej z tych wpłat aby po 6 latach zgromadzić na rachunek kwotę 100 000 PLN. Efektywna

stopa procentowa w skali roku wynosi 8,2432 %

Rozwiązanie

Obliczam efektywną stopę procentową w skali kwartalnej:

( )


Wpisujemy liczbę okresów: 24 [N] [ENTER] (6 lat x 4 kwartały)

Wpisujemy oczekiwaną wartość końcową: 100 000 [FV] [ENTER]


Obliczamy co kwartalna wpłatę PMT: [CPT][PMT]

PMT = -3 287,11

Zadanie

Pan Jan zamierza za cztery lata zakupić samochód. Obecna cena samochodu jest równa 40 000 zł. Oczekuje się,

że w kolejnych latach cena samochodu będzie rosła w tempie 2% rocznie.

W celu zgromadzenia odpowiednich środków pan Jan zamierza dokonywać regularnych wpłat w wysokości 5

000 zł rocznie na rachunek oszczędnościowy. Pierwsza wpłata została dokonana w momencie zerowym, a


następne cztery wpłaty na koniec kolejnych lat od pierwszego do czwartego roku. Oprocentowanie tych

oszczędności wynosi 4% rocznie. Przewiduje się, że środki z tych oszczędności będą niewystarczające do

zakupu samochodu. Dlatego też, dealer samochodowy zaoferował Panu Janowi pożyczkę w wysokości

brakujących środków. Zostanie ona zaciągnięta w momencie kupna samochodu. Jej oprocentowanie jest równe

6% rocznie. Spłata będzie prowadzona w czterech stałych ratach, tj. suma odsetek i raty kapitałowej jest stała w

okresie spłaty. Pierwsza płatność ma być dokonana w rok po zakupie samochodu. Oblicz wielkość rocznej

płatności pożyczki zaciągniętej u dealera samochodowego.

Rozwiązanie

Obliczmy cenę samochodu za 4 lata, czyli wtedy kiedy Pan Jan chce go nabyć

Teraz obliczmy ile będzie miał na rachunku Pan Jan po 4 latach:

Wpisujemy wartość początkową(pierwszą wpłatę): -5 000 [PV] [ENTER]

Wpisujemy liczbę okresów: 4 [N] [ENTER

Wpisujemy wpłatę roczną: - 5 000[PMT] [ENTER]

Podajemy oprocentowanie: 4 [I/Y] [ENTER]

Obliczamy wartość końcową: [CPT][FV]

FV= 27 081,61

Obliczmy ile zabraknie panu Janowi po 4 latach na kupno samochodu.

43 297,29 - 27 081,61 = 16 215,67

U dealera Pan Jan pożyczy 16 215,67, które będzie spłacał prze 4 lata w równych ratach całkowitych.

Obliczmy wysokość tej raty:


Wpisujemy wartość zaciągniętego kredytu: -16 215,67 [PV] [ENTER]

Wpisujemy liczbę okresów: 4 [N] [ENTER

Podajemy oprocentowanie: 6 [I/Y] [ENTER]

Obliczamy wartość rocznej raty : [CPT][PMT]

PMT =4679,71 PLN

Zadanie

Pan Stanisław planuje co pół roku lokować pewną stałą kwotę w ciągu najbliższych 20 lat, tj. do momentu

swojego przejścia na emeryturę. W tym czasie, tj. w okresie najbliższych 20 lat nominalne oprocentowanie tej

lokaty wyniesie 6% rocznie przy kapitalizacji półrocznej. W momencie przejścia na emeryturę zgromadzony w


Ile wynosi różnica pomiędzy kwotą uzyskaną po 20 latach oszczędzania przez pana Kowalskiego i pana

Iksińskiego ?

Rozwiązanie

Jest to zadanie egzaminacyjne. Komisja pisząc o lokatach miesięcznych ma na myśli oprocentowanie o

kapitalizacji miesięcznej. Podatek odejmujemy od oprocentowania.

Pan Kowalski

Pan Kowalski wpłaca z góry - w kalkulatorze ustawiamy wpłaty z góry.

[2ND] BGN [2ND] [SET] - ustawiam BGN. Na górnym pasku kalkulatora powinien nam się pokazać

symbol BGN. Po dokonaniu obliczeń pamiętajmy o ustawienie z powrotem na END.

Wpłaty miesięczne N = 20 * 12 = 240

i = 5 % / 12 - 19% = 0,3375

PMT = wpłaty miesięczne =- 100

Fv = 37008,76

Pan Iksiński

Czyścimy pamięć w kalkulatorze. Ustawiamy płatność z dołu END.

Fundusze - oprocentowanie kapitalizowane rocznie - czyli kwartalne efektywne oprocentowanie wynosi:

( ) %

I =

N= 20 * 4 = 80

PMT = - 300

to FV = 40415,5669

Następnie musimy odjąć od zysku podatek.

Zysk = kwota końcowa - kwota zainwestowana = 40415,57 - ( 300 * 80) = 16 415,57

Podatek wynosi 16 415,57 * 19 % = 3 118,96

Pan Iksiński po zapłaceniu podatku uzyskuje 40415,57 - 3118,97 = 37 296,61

Odpowiedź : Pan iksiński zaoszczędzi 287,85 PLN więcej od Pana Kowalskiego.


Zadanie

Projekt inwestycyjny o niezerowym ryzyku charakteryzuje się następującym strumieniem Cash Flow w

wartościach realnych:


Rok Cash Flow

0 -240

1 120

2 80

3 120

Właściwa dla wyceny projektu nominalna stopa dyskontowa wynosi 15,5%, zaś stopa inflacji 10%. Jaka jest

wartość bieżąca netto (NPV) tego projektu?

Rozwiązanie

Jeżeli przepływy mamy podane w wartościach realnych to stopę dyskontową także musimy zastosować w

wartościach realnych.

Dalszych obliczeń najwygodniej dokonać na kalkulatorze w formularzu Cash Flow.


[CF]

CF0 = - 240 [Enter] [↓]

C01 = 120 [Enter] [↓] F01=1 [Enter] [↓]

C02 =80 [Enter] [↓] F02=1 [Enter] [↓]

C03 = 120 [Enter] [↓] F03=1 [Enter] [↓]


[NPV]

I= 5 [Enter] [↓]

[CPT] NPV = 50,51

Zadania dla Ciebie

(Rozwiązania i wyjaśnienia w zeszycie: „Wartość pieniądza w czasie. Rozwiązania zadań.”)


Poziom podstawowy

1. Masz dzisiaj 100 000 PLN. Możesz otrzymać odsetki w wysokości 9 %, kapitalizowane rocznie. Jaka będzie

ich wartość za 7 lat ?

2. Za 18 lat masz otrzymać 1 000 000 PLN. Jaką wartość ma ta suma dla mnie dzisiaj, jeżeli mogę otrzymać

odsetki w wysokości 4,3 % rocznie ?

3. Po ilu latach 45 000 PLN zwiększy się do 60 000 PLN, jeżeli możesz otrzymywać odsetki w wysokości 10

% rocznie ?

4. Zamierzasz zaciągnąć pożyczkę 100 000 PLN. Po 7 latach kwota do oddania wraz z odsetkami będzie

wynosiła 130 000 PLN. Jakie jest oprocentowanie roczne pożyczki ?

5. Rozważasz złożenie depozytu w Banku Zbożowym, który oferuje stopę oprocentowania w wysokości

12,6% rocznie przy kapitalizacji miesięcznej oraz w CramerBanku, oferującym 12,0% przy kapitalizacji

dziennej (załóż 365 dni w roku). Który z banków oferuje wyższą efektywną roczną stopę zwrotu?

6. Oblicz wartość przyszłą po dwóch latach kwoty 1000 zł jeśli nominalna roczna stopa procentowa wynosi

10%, a odsetki są kapitalizowane w sposób ciągły.

7. Na inwestycje 3-letnią musimy przeznaczyć 1000 PLN. Stopa zwrotu wynosi 10 %. Oblicz wartość

końcową jeśli założymy kapitalizację:

a) prostą,

b) roczna,

c) kwartalną,

d) ciągłą.

8. Rozważana jest inwestycja która daje za 3 lata 20000 zł. Ile ta inwestycja jest warta dzisiaj ? Wymagana

stopa zwrotu jest 8 % przy:

a) kapitalizacji kwartalnej,

b) kapitalizacji ciągłej.

9. Zgodnie z umową zawartą ze swoimi dłużnikami będziesz otrzymywał od nich 2100 PLN rocznie przez

najbliższe 12 lat, ostatnia płatności będzie większa o 5 000 PLN. Jaka jest wartość bieżąca strumienia tych

płatności, jeżeli stopa procentowa wynosi 8 % rocznie ?

10. Klient zaciągnął w banku pięcioletnią pożyczkę w wysokości 12 000 PLN, spłacaną w równych rocznych

ratach, zawierających odsetki i ratę kapitałową. Ile wynosi roczna rata przy stopie procentowej 11 %

rocznie.


11. Akcje uprzywilejowane firmy AD dają roczna dywidendę 7 PLN. Następna dywidenda jest oczekiwana za

rok. Jaka jest dla Ciebie wartość akcji, jeżeli wymagana stopa zwrotu wynosi 14 % ?

12. Twoje oszczędności wynoszą 300 000 PLN i chcesz przejść dzisiaj na emeryturę. Przez ile lat możesz

wyjmować 29 000 PLN na początku każdego roku, jeżeli będziesz otrzymywać odsetki roczne w wysokości

8 % ?

13. Dokonaj ponownego obliczenia do zadanie 12 zakładając, ze kwoty są pobierane na koniec każdego roku.

14. Jeżeli zainwestowałeś 20 000 PLN przy oprocentowaniu 7 % z kapitalizacją ciągłą, to jaką kwoty możesz

się spodziewać po okresie:

a) 1 miesiąca,

b) 4 lat.

15. Oblicz wartość bieżącą (na dzisiaj) następujących strumieni gotówki przy oprocentowaniu 6 %.

Rok Strumień A Strumień B

1 1000 2000

2 2000 3000

3 2500 2500

4 2000 2000

5 3000 2000

16. Posiadasz dzisiaj 50 000 PLN. Ile czasu zajmie Tobie podwojenie tej kwoty, jeżeli zainwestujesz te

pieniądze przy następującym oprocentowaniu:

a) 5 %

b) 12 %

17. Zainwestowałeś 1000 PLN, po półtora roku otrzymasz 1159,69 PLN. Odsetki są kapitalizowane co kwartał.

Oblicz roczną efektywną stopę zwrotu.

Poziom zaawansowany

1. Inwestycja 2500 PLN jest używana do wypłat 750 PLN pod koniec każdego roku, tak długo jak jest to

możliwe z mniejszą ostatnią wypłatą. Stopa procentowa wynosi 12 %. Oblicz ilość wypłat i wartość ostatniej

wypłaty (mniejszej niż 750 PLN).


2. Oszczędzasz na opłacenie studiów. Będziesz musiał dokonać pięciu płatności rocznych, każda po 16 000

PLN. Pierwsza wpłata zostanie dokonana dokładnie za 4 lata od dnia dzisiejszego. W tym czasie możesz

uzyskać 9 % zwrot od pieniędzy, które zainwestujesz.

a) Jeżeli chciałbyś sfinansować studia jedną lokatą ryczałtową dzisiaj, to jaka to byłaby suma?

b) Jeżeli miałbyś sfinansować studia przy pomocy czterech jednakowych płatności rocznych, przy

czym pierwsza płatności miałby mieć miejsce dzisiaj, to ile powinna wynosić pierwsza płatność ?

c) Jeżeli chcesz sfinansować studia przy pomocy 6 jednakowych rocznych płatności, kończących się

w tym samym czasie co ostatnia płatność w szkole, to ile powinna wynosić każda płatność ?

3. Pan Stanisław planuje co pół roku lokować pewną stałą kwotę w ciągu najbliższych 20 lat, tj. do momentu

swojego przejścia na emeryturę. W tym czasie, tj. w okresie najbliższych 20 lat nominalne oprocentowanie tej

lokaty wyniesie 6% rocznie przy kapitalizacji półrocznej. W momencie przejścia na emeryturę zgromadzony w

ten sposób "fundusz emerytalny" planuje zainwestować ponownie ze stopą zwrotu równą 4% rocznie, aby przez

okres kolejnych 15 lat otrzymywać (on lub po jego śmierci rodzina) kwotę 48 000 zł rocznie.

Załóż, że wpłaty i wypłaty dokonywane, będą na koniec odpowiednich okresów. Jaka powinna być wielkość

"stałych" półrocznych wpłat dokonywanych przez 20 lat przed przejściem na emeryturę, aby zapewnić

możliwość otrzymania wypłat w wysokości 48 000 zł rocznie przez okres kolejnych 15 lat (po przejściu na

emeryturę)?

4. Pan Jan planuje co kwartał lokować kwotę 3 000 PLN przez okres najbliższych 15 lat, tj. do momentu

swojego przejścia na emeryturę. W tym czasie, tj. w okresie najbliższych 15 lat nominalne roczne

oprocentowanie tej lokaty wyniesie 8% przy kapitalizacji kwartalnej. W momencie przejścia na emeryturę

zgromadzony w ten sposób "fundusz emerytalny" planuje zainwestować ponownie, aby przez okres kolejnych 25

lat otrzymywać (on lub po jego śmierci rodzina) kwotę 36 000 PLN rocznie.

Załóż, że wpłaty i wypłaty dokonywane będą na koniec odpowiednich okresów. Jaka powinna być roczna stopa

zwrotu z zainwestowanego za 15 lat "funduszu emerytalnego", aby zapewnić możliwość otrzymania wypłat w

wysokości 36 000 PLN rocznie przez okres 25 lat?

5. Nominalna stopa zwrotu w skali roku wynosi 15%. Przy kapitalizacji miesięcznej proszę obliczyć jakim

kapitałem trzeba dysponować obecnie, aby przez okres 20 lat co miesiąc, począwszy od pierwszego miesiąca

następującego po upływie pierwszych dwudziestu lat, otrzymywać co miesiąc rentę w wysokości 1000 PLN

6.Wartość bieżąca przedstawionych poniżej przepływów pieniężnych wynosi 5.979 zł.

Rok Rok 1 Rok 2 Rok 3 Rok 4

CF (PLN) 1.000 ? 2.000 2.000

Przepływy te dyskontowane są 12% roczną stopą. Oblicz ile wynosi wartość nominalna przepływu pieniężnego

dla roku 2 (CF2) ?


7. Oblicz ile wynosi efektywna stopa procentowa kredytu, gdy w momencie zakupu na raty należy zapłacić 52%

ceny towaru w gotówce, zaś przez kolejne pięć miesięcy będzie trzeba zapłacić co miesiąc po 10% ceny towaru.

time value of money - reszka.edu.pl pieniadza w czasie.pdf · opracował marcin reszka nie zezwala...

Documents