Vương Hoàng Vân. Trần Quốc Văn. Trương Công Vinh. Võ Hoàng Tuấn. Trần Quốc Vương. Lê Phạm Anh Tuấn. Phạm Minh Tuấn. Đỗ Văn Tâm. Bùi Nguyên Thanh Tùng. Nguyễn Tấn Vũ. Nguyễn Thành Trung. Mai Công Toàn.

Nhóm 2 học phần Cấu trúc rời rạcGồm các thành viên:

Chương 2: TẬP HỢP

VÀ ÁNH XẠ

Tập hợp (set) là một khái niệm cơ bản (basic) của toán học, ko đc định nghĩa một cách hình thức dựa trên các khái niệm toán học khác.Những vật, đối tượng toán học,... đc tụ tập theo một tính chất chung nào đó tạo thành những tập hợp.

VD, tập hợp các nguyên âm trong tiếng Anh, tập hợp các số tự nhiên, số nguyên,...

2.1: KHÁI NIỆM TẬP HỢP

{ | ||

Lý thuyết tập hợp

Georg Cantor

, . . . Mọi tập hợp là tập con của chính nó. Tập là con của mọi tập hợp.

Định nghĩa 2.1.1: Tập hợp con

Nếu Định Lý 2.1.1:

Định nghĩa 2.2.1: Phép toán hợp.

VD:

2.2: CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ TẬP HỢP

Biểu đồ Venn: Hợp của 2 tập hợp A và B

Định nghĩa 2.2.2: Phép toán giao

VD:

2.2: CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ TẬP HỢP

Giao của 2 tập hợp

Định nghĩa 2.2.3: Phần bù

2.2: CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ TẬP HỢP

Phần bù của tập A trong vũ trụ U

Định nghĩa 2.2.4: Phép toán trừ

VD:

2.2: CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ TẬP HỢP

Hiệu của 2 tập hợp A và B

Định lý 2.3.1:

1. Luật đồng nhất: A A

2 .Luật thống trị: A A

3. Luật lũy đẳng: A A 4. Luật bù:

2.3: TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN HỢP

5.Luật giao hoán:

6.Luật kết hợp: 7.Luật phân bổ: 8.Luật De Morgan:

2.3: TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN HỢP

Định nghĩa 2.4.1: Ánh xạ : : A x

2.4: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ

xy=f(x)

A Bf

Hình 2.4.1: Ánh xạ f từ tập hợp A vào tập hợp B

Định nghĩa 2.4.2: -Hai ánh xạ bằng nhau: , nếu

Định nghĩa 2.4.3: Giả sử là 1 ánh xạ, tập hợp con của bao gồm các cặp với được gọi là đồ thị ( graph ) của ánh xạ

2.4: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ

Định nghĩa 2.4.4:1. ( hay .

2. .

2.4: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ

Định lý 2.4.1:1. 2.

Định lý 2.4.2:1. 2. 3. 4.

2.4: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ

Định nghĩa 2.4.5:- Giả sử là 2 tập hợp khác rỗng, một ánh xạ xác định một họ ( family ) các phần tử được đánh số bởi .Ví dụ 2.4.4:Cho khi đó .Ta định nghĩa ánh xạ với:1 2 3 Thì xác định một họ ( gồm trong đó

2.4: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ

Định nghĩa 2.5.1: Ánh xạ được gọi là đơn ánh (injunction)

nếu với mọi thì .Một đơn ánh còn được gọi là ánh xạ một

đối một ( one-to-one ).

Ví dụ 2.5.1: 1. Ánh xạ từ với là 1 đơn ánh.

2.5: ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH

Định nghĩa 2.5.2: Ánh xạ (surjection) nếu , nói cách khác nếu với mọi có ít nhất một sao cho . Một toàn ánh còn được gọi là một ánh xạ từ A lên (onto) B.

Ví dụ 2.5.2:1. Ánh xạ từ được xác định bởi là một toàn ánh.

2.5: ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH

Định nghĩa 2.6.1: Giả sử f là một song ánh từ tập hợp A vào tập hợp B, ánh xạ ngược của f là ánh xạ đặt tương ứng mỗi y B với một phần tử duy nhất x A sao cho f(x)= y. Ánh xạ ngược của f được kí hiệu là f’ Ví dụ: 1. Xét song ánh từ {a,b,c} đến {1,2,3} sao cho f(a)= 2, f(b)=3 và f(c)=1. Ánh xạ ngược f’ từ {1,2,3} đến {a,b,c} là f’(1)=c,f’(2)=a và f’(3)=c 2. Xét ánh xạ f(x)= x3 + 1 từ R đến R. Theo VD 2.5.3 f là 1 song ánh. Dễ dàng xác định được ánh xạ ngược của f là f’(y) =

2.6 : ÁNH XẠ NGƯỢC VÀ ÁNH XẠ HỢP

Định nghĩa 2.6.2: Cho 2 ánh xạ f: A B và g: BC. Ánh xạ h: A C x | h(x)=g(f(x)) Được gọi là ánh xạ hợp (tích) của f và g, kí hiệu là gof VD : 1.Giả sử f là ánh xạ từ tập hợp {a,b,c} vào chính nó f(a)=b, f(b)=c và f(c)=a và g là ánh xạ từ {a,b,c} vào {1,2,3} sao cho g(a)=3, g(b)=2 và g(c)=1. Khi đó hàm hợp gof được xác định (gof)(a)=g(f(a))=g(b)=2, (gof)(b)=g(f(b))=g(c)=1 và (gof)(c)=g(f(c))=g(a)=32. giả sử f(x)= 3x + 2 và g(x)= 2x +3 là hai ánh xạ từ tập hợp các số nguyên Z. Thì (gof)(x)=g(f(x))=g(3x+2) +3 = 6x +7

Định nghĩa 2.7.1Giả sử f và g là hai hàm số với đối số x là các số thực.chúng ta nói rằng f(x) là o(g(x)),và kí hiệu f(x)=o(g(x)),nếu có hằng số dương c và số thực k sao cho |f(x)|<= C|g(x)| với mọi x >k. Cg(x)

f(x)

g(x)

hình 2.7.1:f(x) là O(g(x))

2.7: ĐỘ TĂNG GIẢM CỦA HÀM

Ví dụ 2.7.1Hàm số f(X)=x^2+2x+1 có độ tăng không quá hàm số g(x)=x^2.Thật vậy, khi X>=0 thì x<=x^2. suy ra ,0<=x^2+2x+1<=x^2+2x^2+X^2=4X^2 với mọi x>=1.vì vậy nếu chọn c=4 và k=1,thì theo định nghĩa 2.7.1 ta có f(x)=x^2+2x+1=o(x^2).

Định lí 2.7.1 giả sử f1(x) là O(g1(x)) và f2(x) là O(g2(x)),thì (f1+f2)(x) là O(max(|g1(x)|,|g2(x)|)).

Chứng minh:từ định nghĩa 2.7.1 ta có các hằng số C1 C1 dương và k1 k2 sao cho |f1(x)|<=C1|g1(x)| khi x>k1 và |f2(x)|<= C2|g2(x) |khi x>= k2. Đặt C=C1+C2 và g(x)=max(|g1(x)|,|g2(x)|) và k=max(k1,k2) thì với mọi x>=k ta có:

|(f1+f2)(x)=|f1(x)+f2(x) <=|f1(x)|+|f2(x)| <= C1|g1(x)| + C2|g2(x)|

<=C1|g(x)| +C2|g(x)|=(C1+C2)|g(x)|=C|g(x)|,Vì vậy (f1+f2)(x) là :O(max(|g1(x)|,|g2(x)|)).

Định lí 2.7.2 Giả sử f1(x) là O(g1(x)) và f2(x) là O(g2(x)) thì (f1f2(x)) là

O(g1(x)g2(x)). Chứng minh :Từ định nghĩa 2.7.1 ta có các hằng số C1,C2 dương và k1,k2 sao cho|f1(x)|<=C1|g1(x)| khi x>=k1 và |f2(x)|<=C2|g2(x)| khi x>=k2. đặt C=C1C2 và k=max(k1,k2).thì với mọi x>=k ta có:

|(f1f2)(x)|=|f1(x)f2(x)||f1(x)||f2(x)|<=C1|g1(x)| C2|g2(x)|

=C1C2|g1(x)g2(x)=c|g1(x)g2(x)|

Vì vậy (f1f2)(x) là O(g1(x)g2(x)).

Ví dụ 2.7.2 Xét hàm f(n)=3nlog2(n!)+(n^2+3 log2 n,với đối số n

nguyên. Dể thấy 3n=O(n) và (n^2+3)=On^2,tù ví dụ 2.7.1 ta có log2(n!)=O(nlog2 n). Từ đó theo định lí 2.7.2 ta có 3nlog2(n!)=O(n^2log2 n) và (n^2+3) log2 n

=O(n^2log2 n). Vì vậy theo định ói 2.7.1 ta được f(n)=3nlog2(n!)+(n^2+3)Log2 n=O(max(n^2log2n,n^2 log2n)=O(n^2log2 n).

Định nghĩa 2.7.2 Giả sử f và g là hai hàm số . Chúng ta nói rằng f(x)

là …g(x),và kí hiệu f(x)=…g(x),nếu có hằng số dương C và số thực K sao cho |f(X)|>=C|g(x)| với mọi x>=k.

Khi f(x) là …g(x) ta nói f(x) có độ tăng itd nhất là g(x) hay nói f(x) có bậc ít nhất là g(x).

Định nghĩa 2.7.3 giả sử f và g là hai hàm số. Chúng ta nói rằng f(x) là …g(x) và kí hiệu f(x)=…g(x), nếu f(X)=O(g(X)) và f(x)=…g(x).

Khi )(f(x) là …g(x) ta nói f(x) có độ tăng là g(x) hay nói f(x) có bậc là g(x).

Ví dụ 2.7.3 1.Từ các ví du 2.7.1 và 2.7.2 chúng ta suy ra

f(x)=x^2+2x+1=..x^2

2.