· thermodynamicmethods tkp4175 this document is the β-edition of the solutions to my ﬁnal...

ThermodynamicMethodsTKP 4175This document is the β-edition of the solutions to my final exams in thermodynamicsfor the period 1993–2016. The contents of the course has gradually matured dur-ing this period, from my very first lectures in HIT2395, via the interim TMT4140,to the contemporary TKP4175. At the same time the syllabus has undergone a fewchanges — from originally being somewhat closer to physical chemistry whilst thefocus has now been shifted a little more towards numerics and programming. Thephysico-mathematical notation has also matured, but the changes have been system-atic and the notation is (still) uniform throughout the entire document!

Please report to the author any calculation errors, grammatical errors, and unclearproblem formulations you might find.

Send email with “subject: TKP4175” to [email protected] and explain the casebriefly.

Thanks for the help!

PS. Please do not ask questions by email. My ability to respond adequately to longand detailed questions without pen and pencil is limited.

c© Tore Haug -WarbergIKP/NTNU (2017)

Norges teknisk–naturvitenskapelige universitet

Institutt for kjemisk prosessteknologi

Side 1 av 6

Bokmål

Faglig kontakt under eksamen:

Tore Haug-Warberg (913-63-586)

FORKUNNSKAPER I MATEMATIKKK (TKP4175)

d ∈ [1, 31] m ∈ [1, 12] y ∈ [2012,∞〉

Tidspunkt: 08:15 – 16:00

Hjelpemidler:

Ingen

Sensur:

Senest n ∈ [0,∞〉 dager etter eksamen

Denne prøven er en uformell test på dine ferdigheter i anvendt matematikk. Du burde, ide-

elt sett, kunne klare å løse de fleste av oppgavene i løpet av et par, tre dager. Dette kravet

fremstår som viktig fordi oppgavene reflekterer den delen av matematikkpensumet som

også inngår i termodynamikkstudiet. Meningen er ikke å stille urealistiske eller overvel-

dende krav til studentene, men snarere peke på hvilke forutsetninger som faktisk gjelder.

Dessuten er kravet til forkunnskaper omtrent det samme for alle ingeniør- og fysikkstu-

denter. Oppgaver som er vektet med ÷÷ er de enkleste. En manglende forståelse av disse

grunnleggende problemstillingene vil ha en negativ virkning på dine ferdigheter innen

termodynamikk. De av oppgavene som er vektet med ++ er fortsatt innenfor matematikk-

pensumet, men de er mer (arbeids)krevende. Vektingen ble drøftet med en gruppe av våre

5. årskurs studenter i 2012 og bør kunne sies å reflektere den virkelige studiesituasjonen i

sivilingeniørutdanningen ved NTNU. Ha en god fornøyelse!

Oppgave 1 Kalkulus:

÷÷ p a) Finn differensialet av f med hensyn på x:

f (x; a, b, c, cn) = a ln x + becx+

2∑

n=−2

cnxn

Side 2 av 6

÷÷ p b) Finn den deriverte av c0 med hensyn på c1 under antagelse av konstant x, cn<0,1 og f :

f (x; cn) =

2∑

n=−2

cnxn

÷÷ p c) Bestem den antideriverte f gitt ved:

f (x; a, b, c, cn) =

∫

(a ln x + becx+

2∑

n=−2

cnxn) dx

÷÷ p d) Finn den deriverte av f med hensyn på a, b og c:

f (a, b, c) =

b∫

a

(ln x + cex)︸︷︷︸

g(x)

dx

÷ p e) Regn ut den deriverte av y med hensyn på x for de to (uavhengige) likningene:

x − y ln y = 0 (1)

y − x ln x = 0 (2)

Vi forutsetter at x og y er relle størrelser og at (x, y) er et konvergert punkt på løsnings-

manifoldet til (en vilkårlig av) likningene. Det samme gjelder for den deriverte. Bestem

definsjonsområdet til x slik at y ∈ R i hvert tilfelle.

Oppgave 2 Multivariabel kalkulus:

÷÷ p a) Identifiser (alle elementene i) vektorene c og x:

cTx =

2∑

n=−2

cnxn

÷ p b) Finn den deriverte (det vil si gradientvektoren) av f med hensyn på x:

f (x) = ‖x‖

Side 3 av 6

+ p c) Bestem den andrederiverte av f med hensyn på x og c. Denne matrisen er også kjent

som Jacobi-matrisen til (∂ f /∂x). Finn de kryssderiverte (∂2 f /∂xi∂c j) først:

f (x; c) = cTJx

Oppgave 3 Lineær algebra:

÷÷ p a) Regn ut:

A =

1 0 1

0 2 1

1 1 0

0 1 0

1 0 0

0 0 2

÷÷ p b) Løs med hensyn på x:

1 2 3

2 4 5

3 5 6

x =

14

25

31

÷÷ p c) Regn ut nullrommet av matrisen A:

A =

(

1 2 3

4 5 6

)

÷ p d) Løs med hensyn på x:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

x =

14

32

50

+ p e) Regn ut egenverdiene til matrisen A gitt:

A =

1 1 0

1 1 0

0 0 1

++ p f) Regn ut diagonaliseringen av A = SΛS-1 gitt:

A =

(

0 1

−c 0

)

Side 4 av 6

Oppgave 4 Numeriske metoder:

÷÷ p a) Løs π(τ, ν) = π med hensyn på ν der π = 8τ/(3ν − 1) − 3/ν2. Anta for eksempel

π = 0.1 og τ = 0.8. Bruk direktesubstitusjon: ν(k+1)= f (π, ν

(k)). Velg f slik at iterasjo-

nen er stabil for ν(0) → ∞.

÷ p b) Gitt de to funksjonene:

π =8τρ

3 − ρ− 3ρ2

µ = c(τ) + τ ln

(

8τρ

3 − ρ

)

+τρ

3 − ρ−

9ρ

4

Løs likningene π(ρ1) = π(ρ2) og µ(ρ1) = µ(ρ2) for to forskjellige verdier av ρ hvor

ρ1 ∈ 〈0, 1〉 og ρ2 ∈ 〈1, 3〉. La parameteren τ ∈ 〈0, 1〉. Anta for eksempel verdien τ = 0.7.

Bruk Newton–Raphson iterasjon.

++ p c) Gitt de samme to funksjonene som i oppgave b. Løs likningene π(ρ1, τ) = π(ρ2, τ)

og µ(ρ1, τ) = µ(ρ2, τ) som parametriserte funksjoner av τ. Du skal med andre ord finne

løsningen av

f =

(

∆π(τ)

∆µ(τ)

)

= 0

hvor τ inngår som parameter. La τ ∈ [0.3, 0.9999]. Start “integrasjonen” i τ(0)= 0.7.

Gå først i retning av τ = 0.9999 — snu integrasjonsretningen — og gå deretter tilbake

i retning av τ = 0.3. Bruk Newton–Raphson iterasjon som indre løkke i et korrektor–

prediktor-skjema. Du må selv finne en passende steglengde for τ.

+ p d) Løs likningen 1/x = ǫ ved iterasjon av x for ǫ ≪ 1. Bruk formelen for direktesub-

stitusjon: x(k+1)= x(k)

+ 1/x(k) − ǫ. Anta at startpunktet for iterasjonen er x = 1. Vis at

metoden er absolutt konvergent. Regn deretter ut hvor mange iterasjoner som trengs for å

oppnå n siffers presisjon i løsningen. Sagt med andre ord: bestem N slik at 1−x(N)ǫ = 10–n

hvor N er det antallet iterasjoner som trengs.

Oppgave 5 Ordinære differensiallikninger:

÷÷ p a) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x = xt=0:

(

dx

dt

)

= −c(x − a)

Side 5 av 6

++ p b) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsen x = xt=0:

x =

(

0 1

−c 0

)

x ; c > 0

++ p c) Løs differensiallikningen nedenfor gitt initialbetingelsene x = xt=0 og x = (dx / dt)t=0:

(

d2x

dt2

)

= −cx

Oppgave 6 Analyse:

÷÷ p a) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z:

f (x, y, z) = x2+ y2+ z2+ 1x + 2y + 3z

÷ p b) Regn ut minimumsverdien av f med hensyn på x, y og z:

f (x, y, z) = x2+ y2+ z2

gitt beskrankningene:

x + y + z = 0

y − z = 1

+ p c) Gitt observasjonene:

x 0 1 2 3

y 0.1 1 2 3.35

Regn ut minste-kvadratsums-estimatoren c i henhold til:

min ‖ y(x; c) − y ‖

med utgangspunkt i den lineære modellen y = c1 + c2x.

Side 6 av 6

+ p d) Gitt følgende variabeltransformasjon for omregning av polar-koordinater (R, θ) til

kartesiske koordinater (x, y):

x = Rcosθ

y = R sin θ

Vis at de partiellderiverte av (R, θ) med hensyn på (x, y) tilfredsstiller betingelsen

(

(∂R/∂x)y (∂R/∂y)x

(∂θ/∂x)y (∂θ/∂y)x

)

≡ J-1

hvor J er Jacobianen til den angitte variabeltransformasjonen.

++ p e) Gitt de parametriske funksjonene:

x = R cos θ

y = R sin θ

R = cθ

Regn ut de deriverte dx / ds og dy / ds hvor s er buelengden langs y(x)-manifoldet (kall

det en funksjonsgraf om du vil).



Side 1 av 4

Bokmål



EKSAMEN I TERMODYNAMISKE METODER (TKP4175)

23. mai 2017

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:

Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside

Sensur:

Senest 3 uker etter eksamen

I noen av oppgavene trenger du termodynamiske størrelser eller fysikalske data fra SI

Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende

verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte.

Oppgave 1

6p a) Funksjonen U(S ,V,N) blir i litteraturen omtalt som et termodynamisk energipotensi-

al. Hvordan fortolker du dette begrepet? Vær mest mulig presis i formuleringen.

6p b) Gi eksempler på andre termodynamiske energipotensialer som du måtte kjenne til.

Gode forklaringer og utledninger verdsettes høyt.

6p c) Fins det termodynamiske potensialer som har en annen benevning enn “energi”?

6p d) I praksis trenger vi gjerne U på formen U(T,V,N) eller U(T, p,N). Ofte som im-

plisitte relasjoner. Er det da slik å forstå at U(S ,V,N), U(T,V,N) og U(T, p,N) er tre

termodynamiske potensialer? Hvis svaret er negativt må du begrunne hvorfor.

Side 2 av 4

Oppgave 2 Et termodynamisk kontrollvolum har indre energi U(S ,V,N), konstant mas-

se men ikke nødvendigvis konstant moltall, og et gitt men ikke nødvendigvis konstant

volum.

8p a) Kontrollvolumet gjennomgår en tilstandsendring ved konstant moltall N og konstant

indre energi U. Utled tre (generelle) differensiallikninger som beskriver tilstandsutviklin-

gen i systemet som funksjoner av henholdsvis:

1. S og V

2. T og V

3. T og p

6p b) Ved kjemisk analyse får du vite at N = NA + NB hvor A og B er to kjemiske kompo-

nenter som inngår i likevekts-reaksjonen:

A⇔ B

I hvilken grad påvirker denne opplysningen dine svar i deloppgave a)?

Kontrollvolumet er knyttet til et reservoar med temperatur T. Varmeovergangen til reser-

voaret er gitt ved:~Q = −UA(T − T)

Varmeovergangstallet UA er konstant i dette tilfellet. Utover varmeovergangen skjer det

ingen andre tilstandsendringer av betydning. Det betyr at moltallet er konstant uavhengig

av diskusjonen i deloppgave b).

6p c) Bruk termodynamikkens 1. lov til å beskrive energibalansen for kontrollvolumet. Start

med en generell energibalanse som du forenkler så langt råd er.

6p d) Utled et uttrykk for tidskonstanten forbundet med oppvarming og nedkjøling av kon-

trollvolumet. Gjør de antagelsene som er nødvendige for å komme frem til et analytisk

resultat.

6p e) Anta at det er mulig å gjøre en endring i kontrollvolumets fysiske volum uten at dette

påvirker varmeovergangstallet. Vil en slik endring kunne påvirke tidskonstanten dersom

temperaturen ved oppstart er den samme som før?

Side 3 av 4

Oppgave 3 Du skal løse den kjemiske likevekten gitt i oppgave 2b. Anta at A og B

utgjør en ideell gassblanding med totalt 1 mol av de to komponentene. Standard kjemisk

potensial av B er slik at:

µB = µ

A + RT

Tilleggsopplysninger: T = 1000 K og V = 1 m3 (ved behov).

6p a) Utled det termodynamiske likevektskriteriet for kontrollvolumet. Finn en analytisk

løsning av problemet i henhold til oppgaveteksten.

8p b) Løs likevektsproblemet på nytt ved hjelp av Newton–Raphson iterasjon. Alle liknin-

gene skal løses simultant. Bruk startverdiene NA = NB = 0.5. Hvis du ikke har svart på

deloppgave a) eller du mener at svaret er feil kan du alternativt løse følgende matematiske

problem (med redusert uttelling under sensuren):

1 = ln

(

NART

pV

)

− ln

(

NBRT

pV

)

1 = NA + NB

6p c) Temperaturen i blandingen endres 1 K. Hvordan påvirker dette likevekten? Forklar

årsak–virkning.

Oppgave 4 I en TV2-reklame høsten 2016 ble det fremholdt at energiinnholdet i én

halvliters aluminiumsboks er nok til å drive én snøkanon i 2 minutter. Du skal vurdere om

denne reklamen er sann eller usann. Balanselikningen for entropiproduksjon som er gitt

nedenfor gjelder for hele oppgaven, men spørsmålene er utformet slik at det kun trengs

elementær prosessteknikk for å regne ut de riktige tallsvarene. For å få full poengsum må

du imidlertid bruke likningen i henhold til oppgaveksten.

Termodynamiske data: Bruk SI Chemical Data. Anta T = 0 C og p = 1 bar.

Entropiproduksjon:dU

dt= Hınn − Hut +

∫

Ω

(1 − TT-1) δ~Q − ~Ws − TS ırr .

Tekniske data: En Al-boks veier 15 g. En snøkanon forbruker 24 kW el-kraft1.

Luft: xO2= 0.2 og xN2

= 0.8.

6p a) De beste aluminiumverkene i verden elektrolyserer aluminium metall med en energi-

kostnad tilsvarende 12.5 kWh kg-1,2. Regn dette tallet om til de enhetene som er brukt i

oppgaveteksten. Kommenter svaret med henblikk på reklamen.

1Emelie Eriksson, Resursanvändning vid snötillverkning: En jämförelse av energi- och vattenförbruk-

ningen vid snötillverkning med olika snökanoner, Mittuniversitetet (Sverige), s. 1–31 (tabell 2), 2015–06–

17.2IEA ETSAP, Technology Brief 10, www.etsap.org, mars 2012.

Side 4 av 4

6p b) Anta at det er mulig å omsette aluminiumet i boksen med luft til ren aluminiumoksid

(alumina) i en satsvis, kjemisk reaktor. Reaktoren har fri tilgang til luft. Dette eliminerer

endringer i kjemisk energi forbundet med endringer i luftens sammensetning før og etter

at reaksjonen har funnet sted. Vis at −∆rxG(T, p) for oksidasjonprosessen representerer

en øvre grense for det arbeidet som kan utføres. Regn ut Wmax = Ws.

Hint: det er 2 uavhengige kjemiske elementer som tar del i reaksjonen (Al og O) slik at

du trenger 2 referansepotensialer — ett for hvert av elementene.

6p c) Omsetningen kan alternativt skje i en stasjonær stempelstrømsreaktor. Aluminium og

luft fødes inn som reaktanter og aluminiumoksid (alumina) og ren nitrogen tas ut som

produkter. Vis at −∆H(T, p) representerer den øvre grensen for det arbeidet som kan

utføres. Regn ut ~Wmax =~Ws.

6p d) En tredje mulighet er å forbrenne boksen i et termisk kraftverk og produsere meka-

nisk arbeid i en dampturbinsyklus. Anta at turbinen er en Carnot-maskin som opererer ved

1000 K. Bruk samme prosessmodell som i deloppgave c) med unntak av et produktene nå

forlater prosessen i varm tilstand. Regn ut ~Ws =~WCarnot.

Oppgave 5 Helt til slutt en ekstraordinær oppgave for dem som føler at de brenner

inne med relevant kunnskap. Merk at besvarelsen vil bli sensurert strengere enn resten av

oppgavesettet. . .

++6p a) I oppgave 3 er det spurt etter kjemisk likevekt for en ideell gassblanding. Hva trengs

av modeller og teori for å kunne generalisere likevektsproblemet slik at det også gjelder

for en ikke-ideell gassblanding?



Side 1 av 4

Bokmål




09. august 2016

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:




verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Utdrag fra JANAF-tabellene

fins som vedlegg.

Oppgave 1

5p a) For et termodynamisk system med én kjemisk komponent gjelder:

(

∂p

∂T

)

V,N

=

(

∂S

∂V

)

T,N

Forklar hva som ligger til grunn for denne relasjonen.

6p b) Vis at det fins en tilsvarende relasjon som gjør uttrykket nedenfor gyldig:

(

∂V

∂µ

)

S ,p

= −

(

∂x

∂y

)

S ,µ

Bestem x og y.

Side 2 av 4

6p c) Gitt funksjonen:

f (x, y) = y exp

(

αx

y

)

+ x ln

(

βy

x

)

der α og β er parametre. Vis at:

f =∑

i

xi

(

∂ f

∂xi

)

6p d) La fx = (∂ f /∂x) og fy = (∂ f /∂y). Kan du på bakgrunn av den (samlede) informasjo-

nen som du nå har avgjøre om likningen

x · d fx + y · d fy = 0

er oppfylt eller ikke?

6p e) I termodynamikken støter man ofte på begrepet minimum Gibbs energi. Gi en mate-

matisk fortolkning av dette begrepet anvendt på de to spesialtilfellene:

• Faselikevekt for 2 komponenter A og B som er fordelt mellom 2 faser.

• Kjemisk likevekt mellom 3 komponenter A, B og AB hvor reaksjonen foregår i

homogen fase (en ekte blanding med andre ord).

6p f) Anta at forutsetningene i den siste deloppgaven blir endret slik at A, B og AB nå be-

finner seg i 3 forskjellige rene termodynamiske faser. Hvilken betydning vil dette ha for

svaret på den siste deloppgaven?

Oppgave 2 Forbrenning av kull og hydrokarboner danner ryggraden i dagens teknolo-

giske samfunn. For produksjon av elektrisk energi er fullstendig forbrenning å foretrekke

mens ved produksjon av kjemikalier (spesielt ammoniakk) er partiell oksidasjon nødven-

dig. På denne måten blir CO fremstilt i industriell målestokk — som et verdifullt mellom-

produkt for produksjon av hydrogengass, som igjen brukes i ammoniakkproduksjonen.

Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle betraktninger av partiell oksidasjon av C til

CO og videre til CO2:

Luft 25 C

Kull 25 CC+ 1

2O2 ⇒ CO

~Q1

Luft 25 C

1451 K CO+ 12

O2 ⇒ CO2

~Q2

2377 K

Side 3 av 4

6p a) Regn ut ~Q1 og ~Q2 i henhold til figuren i oppgaveteksten. Anta perfekt reaksjonsstø-

kiometri i hvert trinn. Luftens sammensetning er tilnærmet 20 mol-% O2 og 80 mol-%

N2. Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Bruk 1 mol C som basis for beregningene.

6p b) Det første trinnet i prosessen er i virkeligheten et likevektstrinn — styrt av Boudouard-

reaksjonen:

CO2 +C⇔ 2 CO

Bruk denne likevekten til å utlede et 3 × 3 sett av likninger som tilsammen beskriver

likevektssammensetningen av utløpsgassen fra det første trinnet underforstått at det er

overskudd av fast C i reaktoren. Skriv likningene som funksjoner av de ekstensive variab-

lene NCO, NCO2og N (totalt antall mol gass). La 1 mol O være basis for massebalansene.

Du kan anta ideell gassblanding. Temperatur og trykk i gassen er foreløpig ubestemt.

4p c) Regn ut likvektskonstanten for reaksjonen. For å spare tid i tabelloppslagene kan du

bruke T = 1500 K — istedenfor 1451 K slik figuren angir.

6p d) Skriv ned en formel for Newton–Raphson-iterasjon av likningssettet slik det er defi-

nert i delspørsmål b — eller for et fritt valgt 3×3 likningssystem dersom du ikke har svart

på dette delspørsmålet. Anta at p er lik standardtrykket p i henhold til JANAF-tabellene

(vedlagt).

Bonus: bruk startverdiene NCO = 1, NCO2= 0 og N = 3 til å løse likningssettet, men kun

hvis du er ferdig med de andre oppgavene!

Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse for et termodynamisk kon-

trollvolum med én innløpsstrøm og én utløpsstrøm er gitt ved likningen:

dU

dt= Hınn − Hut +

∫

Ω

(1 − TT-1) δ~Q − ~Ws − TS ırr

Eksergiraten er definert ved:

H = (T − T)~S + (µ − µ)~N

De andre størrelsene må du definere selv.

6p a) I tillegg til de fysikalske størrelsene som er nevnt i oppgaveteksten fins det et begrep

kalt “tapt arbeid”. Kan du gi en beskrivelse av hva dette begrepet innebærer og forklare

hvilken kobling det har til eksergilikningen ovenfor?

6p b) Bruk den oppgitte likningen til å beskrive entropiproduksjonen for en dampkjel som

produserer damp ved 100 C. Kjelen får levert 2000 W elektrisk effekt hvorav 20% går

bort som diffust varmetap. En stadig tilførsel av friskt matevann gjør at kjelen er i stasjo-

nær tilstand. Tegn et prosessflytskjema som knytter de ulike størrelsene i likningen opp

mot informasjonen gitt i oppgaveteksten.

Side 4 av 4

6p c) Regn ut entropiproduksjonen til dampkjelen når trykket i dampstrømmen er 1 atm og

matevannet holder 10 C. La µ = 0 i den sistnevnte tilstanden (som altså definerer omgi-

velsene for prosessen).

6p d) Matevannstilførselen blir stengt slik at dampkjelen plutselig inntar en dynamisk (tids-

avhengig) tilstand. Hvilken betydning har denne prosessendringen for entropiproduksjo-

nen til dampkjelen? Kvantifiser svaret.

Oppgave 4 Se oppgave 3, NTNU-eksamen 04. august 2008 og oppgave 1, NTNU-

eksamen 20. august 2011.



Side 1 av 3

Bokmål




09. juni 2016

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:



Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende ver-

diene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte.

Tre av oppgavene er merket med ++ i venstre marg. Disse er noe vanskeligere enn gjen-

nomsnittet. Men, hele eksamenssettet summerer til 114 poeng slik at du ikke trenger å

løse alle oppgavene for å oppnå toppkarakter.

Oppgave 1

6p a) Gjør rede for din forståelse av begrepet “kanoniske variable”.

6p b) I hvilke(n) sammenheng(er) kan man si at H, A, U, G, etc. er likeverdige størrelser?

6p c) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi et par relevante eksempler.

++6p d) Vis at (∂CP/∂p)T,n = −T (∂2V/∂T∂T )p,n er en (utvidet) Maxwell-relasjon.

Side 2 av 3

6p e) Begrepet inkompressibilitet innebærer at volumet av et stoff ikke endrer seg med tryk-

ket. En annen ytterlighet er at volumet ikke endrer seg med temperaturen. I det sistnevnte

tilfellet vil entropien fremstå som uavhengig av trykket. Bruk differensialregning til å un-

derbygge denne påstanden.

Merk: dette punktet er ikke bare av prinsipiell art. Det gir i tillegg informasjon som er

viktig for andre deler av oppgavesettet. Du skal henvise til denne oppgaven hvis du sene-

re velger å bruke informasjonen slik den er gitt i oppgaveteksten.

Oppgave 2 I en prosjekteringsoppgave utført ved IKP våren 2016 skulle studentene

vurdere to ulike prosessalternativer for konservering av vannholdige næringsmidler:

1. Oppvarming fra 20 C til 100 C ved normalt trykk 1 bar

2. Kompresjon fra 1 bar til 6000 bar ved normal temperatur 20 C

Vi skal her utvide studiet med en termodynamisk analyse av problemstillingen. Det for-

utsettes at prosessene er i stasjonær tilstand og at de følger den samme, grunnleggende

energilikningen:

∆h + ∆ek + ∆ep = q − ws

Det strømmende mediet har samme fysikalske egenskaper som rent vann bortsett fra at det

spesifikke volumet kan antas å være uavhengig av både trykk og temperatur. Oppvarming

og kompresjon foregår uten varmetap til omgivelsene.

6p a) Regn ut tilført varme [J g-1] for prosessalternativ 1.

6p b) Regn ut tilført arbeid [J g-1] for prosessalternativ 2.

6p c) Bestem endringen i indre energi [J g-1] for prosesstrømmene — målt som forskjellen

mellom inntil utløp.

6p d) Den naive forestillingen om konstant spesifikt volum, slik den ble fremsatt i opp-

gaveteksten, er feil. La oss utvide problemstillingen ved å anta at vannet følger Taits

tilstandslikning1:

−

1

v

(

∂v

∂p

)

T,n

=C

p + B(T )

Parametrene v, B og C er materialkonstanter. B er i tillegg avhengig av temperaturen.

Bruk dette til å bestemme v(T, p). La p = 0 være nedre integrasjonsgrense.

1P. G. Tait, Physics and Chemistry of the Voyage of H.M.S. Challenger, Vol. 11, Part IV, 1888 S.P. LXI.

Side 3 av 3

++6p e) Herav følger det at s(T, p) vil være på formen

s(T, p) = f (T ) + g(T )p − vCB ′ ln

(

p + B

B

)

hvor B ′ = (∂B/∂T ). Vis at dette uttrykket er konsistent med tilstandslikningen til Tait.

Det vil si at den ene likningen kan avledes fra den andre. Du kan betrakte f (T ) og g(T )

som generelle temperaturfunksjoner (som lar seg bestemme) men som er uviktige i denne

sammenhengen.

Oppgave 3 En kombinert masse-, energi- og entropibalanse av prosessalternativene i

oppgave 2 gir følgende uttrykk for den tilgjengelige energien til kontrollvolumet:

dU

dt= Hınn − Hut +

∫

Ω

(1 − TT-1) δ~Q − ~Ws − TS ırr

Eksergiraten er definert ved:

H = (T − T)~S + (µ − µ)~N

I vårt tilfelle kan T og µ settes til henholdsvis temperaturen og det kjemiske potensialet

i innløpsstrømmen. De andre symbolene må du definere selv. Likningene forutsetter at

det er kun én kjemisk komponent tilstede i systemet.

6p a) Eksergien kan alternativt oppfattes som en spesifikk størrelse:

h = (T − T)s + (µ − µ)

Gjø rede for overgangen fra rate til spesifikk form.

6p b) Under forutsetning av konstante egenskaper cp og v for det strømmende mediet, fås:

h = cp

[

(T − T) − T ln

(

T

T

)]

+ v(p − p)

Vis dette.

6p c) Regn ut h [J g-1] for utløpsstrømmen i prosessalternativ 1 fra oppgave 2.

6p d) Gjenta beregningen for prosessalternativ 2.

6p e) Regn deretter ut entropiproduksjonen for hvert av prosessalternativene. Bruk Tut for

temperaturen på varm side i varmeveksleren.

Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 24. mai 2011.



Side 1 av 1

Bokmål




07. august 2015

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:





Oppgave 1 Se oppgave 1, HIT-eksamen 06. juni 2000.






Side 1 av 5

Bokmål




28. mai 2015

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:




verdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte. Oppgavesettet inneholder

også enkelte oppgaver som gir bonuspoeng (angitt som for eksempel ++5p). For å løse

disse må du ha løst de andre oppgavene først. Bruk ikke tiden din her med mindre du er

trygg på at du får utelling for innsatsen. Du trenger ikke løse disse ekstraoppgavene for å

oppnå 100 poeng til eksamen.

Oppgave 1

5p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk ut-

trykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær

nøye med symbolbruken.

6p b) I hvilken grad endres dG dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar

med dette overgangen fra totalt differensial dG til det partielle differensialet (dG)T,V .

5p c) Det partielle differensialet (dA)T,V er nært beslektet med det ovenstående. Gi en fysi-

kalsk forklaring på forskjeller og likheter mellom (dG)T,V og (dA)T,V .

Side 2 av 5

Oppgave 2 En brusflaske med volum Vtot = 1.5 dm3 er fylt med V lıq = 1 dm3 vann

og resten luft. Væsken (vannet) har konstant tetthet ρ = 1 kg dm-3. Luften er tilnærmet

ideell gass med initiell tilstand T = 10 C og p = 11 bar. Trykket i omgivelsene er p =

1 atm. En prinsippskisse av oppsettet er vist nedenfor. De stiplede rektanglene viser to

forskjellige valg av kontrollvolum for flasken.

υmaxp

V lıq

p,Vgas

Oppgaven er å bestemme tilstanden til systemet ved varierende mengde av væske i flas-

ken. Det vil ikke bli stilt spørsmål om hva som skjer når flasken er tom for væske og

gassen begynner å strømme ut.

5p a) Forskjellen i trykk fra innsiden av flasken til atmosfæren på utsiden skyver væsken

ut i friluft. Bruk det innerste kontrollvolumet til å sette opp en energibalanse for denne

prosessen. Anta at trykket og temperaturen i gassen ikke er påvirket av (ut)strømningen.

Vis at det totale arbeidet som gassen utøver på væsken er W ≈ 1100 J. I figuren er litt av

væsken på utsiden av kontrollvolumet. Ignorer dette og anta at alt er på innsiden ved t = 0.

5p b) Bernoullis likning gir en god tilstandsbeskrivelse av væsken som strømmer ut av flas-

ken. Regn ut υmax i det trangeste tverrsnittet for strømningen, som ifølge figuren er ved

utløpet av flasken.

6p c) Sett opp en energibalanse for det ytterste kontrollvolumet og vis at resultatet for W

blir det samme som i punkt a).

6p d) Arbeidet som blir tilført væsken må tas fra den indre energien til gassen og den opp-

rinnelige antagelsen om konstant temperatur og trykk kan umulig være helt korrekt. Tiden

er inne for å avgjøre hvor god eller dårlig denne antagelsen er. Bruk én av energibalansene

ovenfor til å regne ut et estimat for temperaturfallet i gassen. Kommenter svaret.

Side 3 av 5

6p e) I et virkelig forsøk vil gassen ekspandere så hurtig at entropien ikke rekker å endre seg

nevneverdig før flasken er gått tom for væske. Regn ut W basert på denne (nye) antagelsen.

Følgende to formler er gitt:

Wıg

S=

NRT1

γ − 1·

[

1 −(

V2

V1

)1−γ]

, ~Wıg

S= ~NRTınn ·

γ

γ − 1·

[

1 −(

put

pınn

)γ−1γ

]

++5p f) En fullstendig utledning av den (korrekte) isentropiske formelen i punkt e) gir bonus-

poeng. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på fremgangsmåten.

Oppgave 3 Residual Helmholtz energi til en ren gass, uttrykt som funksjon av tempe-

ratur, volum og antall mol av gassen, er for anledningen gitt ved

Ar,v(T,V,N) = NRT (bρ + 12

cρ2)

der ρ = N/V . I oppgavene nedenfor skal du bruke denne funksjonen til å bestemme andre

tilstandsfunksjoner som for eksempel trykk og indre energi for gassen.

6p a) Hvilket residualtrykk pr,v(T,V,N) gir opphav til Helmholtz-residualet ovenfor?

6p b) Vis hvordan du kan bestemme Ur,v fra Ar,v. Bruk samme notasjon og samme fri vari-

able som i oppgaveteksten.

8p c) Vi skal nå fokusere på beskrivelsen av den virkelige tilstanden til gassen. Regn ut p

og U for gassen ved T = 128 K, V = 0.007 m3 og N = 7 mol. Koeffisientene b og c har

verdiene:

b

[cm3 mol-1]= 40.286

− 9.3378 · 103·

(

T[K]

)-1− 1.4164 · 106

·

(

T[K]

)-2

+ 6.1253 · 107·

(

T[K]

)-3− 2.7198 · 109

·

(

T[K]

)-4

c

[cm6 mol-2]= 0

Varmekapasiteten til gassen er konstant cv = 30 J mol-1 K-1. Referansepunktet for den

indre energien til gassen (i ideell tilstand) settes til U ıg = 0 ved T = 0 K. Hvis du ikke har

svart på de to foregående oppgavene skal du bruke funksjonene

pr,v = bRTρ2

Ur,v = −b′NRT 2ρ

som utgangspunkt for beregningene. Det er underforstått at b′ = (∂b/∂T ).

Side 4 av 5

8p d) For å kunne løse det motsatte problemet, det vil si bestemme T og V som funksjoner

av p og U ved konstant N, må vi ty til iterasjon. Sett opp likningene for Newton–Raphson-

iterasjon gitt at problemet er skrevet på formen

p(T,V,N) = p

U(T,V,N) = U

hvor p og U er (konstante) spesifikasjoner. Merk: siden N er konstant kan vi velge å

iterere med hensyn på ρ istedenfor V . Dette valget forenkler beregningen av de partiellde-

riverte, men det er også mulig å bruke V som fri variabel. Det viktigste er at likningssettet

er klappet og klart for numerisk løsning — hvilket innebærer at det må være komplett,

løsbart og skrevet på matriseform.

++5p e) Iterasjon av Newton–Raphson-likningene gir bonuspoeng. Det er tilstrekkelig med

3 iterasjoner. Rapporter svaret med minst 5 gjeldende siffer. Bruk startverdiene T (0) =

298.15 K og ρ(0) = 1 mol m-3. Ikke svar på denne oppgaven dersom du er usikker på

gjennomføringen.

Oppgave 4 Et termodynamisk likevektssystem består av følgende kjemiske forbindel-

ser: N2, NH3, H2O, N2O, NO, NO2, N2O4.

4p a) Sett opp forekomstmatrisen A (også kalt atommatrisen) for denne blandingen. Vis at

A ∈ RC×N der C er antallet atomer i systemet og N er antallet forbindelser.

6p b) Bruk Gauss-eliminasjon av radene i A til å bestemme nullrommet N slik at AN =

0. Av dette skal du utlede et sett av uavhengige kjemiske reaksjoner for blandingen.

Skriv det endelige svaret klart og tydelig ved hjelp av kjemiske formler. Unngå unødig

omregning av koeffisientene (det gjør sensuren tidkrevende). Merk: Utfallet av Gauss-

eliminasjonen avhenger av rekkefølgen til forbindelsene. Bruk den rekkefølgen som er

angitt i oppgaveteksten.

4p c) Skriv ned de likevektslikningene som du mener gjelder for blandingen. Det trengs in-

gen utledning her. Det skjer i neste oppgave. Anta at temperaturen, volumet og den totale

sammensetningen av systemet er kjent.

6p d) Gjør et forsøk på å utlede de likningene som du skrev ned i den forrige oppgaven. Jo

flere detaljer i utledningen desto bedre — inntil et visst punkt selvfølgelig.

Side 5 av 5

8p e) Du får til sist vite at blandingen er en ideell gassblanding og at likevektstilstanden er

blitt beregnet til:

T

[1000 K]= 3 ,

V

[cm3]= 2.212 ,

n

[mol]=

2.55833

5.18753 · 10-7

2.50000

0.03552

1.16011

2.57594

0.03812

Legg nøye merke til enhetene! Du skal avgjøre om dette er en mulig likevektstilstand.

Nødvendige termodynamiske data finner du i vedlegget. For å løse denne oppgaven må

du verifisere at likevektskriteriene er innfridd. Dette krever et argument av typen 0 ≡ 0,

men avrundingseffekter gjør at du ikke kan teste et slikt uttrykk helt ukritisk. Et visst

skjønn er påkrevd. Gjør kort rede for argumentene dine. Bruk R = 8.3145 J mol-1 K-1.



Side 1 av 4

Bokmål




05. august 2014

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:





Oppgave 1 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 04. juni 2004.

Oppgave 2

5p a) Sett opp en generell energibalanse for et fysisk objekt (ikke et fluidelement) som tar

hensyn til systemets hastighet og posisjon i tyngdefeltet. Den indre energien til systemet

er konstant under forflytningen.

5p b) Bruk energibalansen i forrige oppgave til å regne ut tapet i den potensielle energien

til en bil som triller av egen tyngde i en jevn utforbakke med 4% helning. Bilens masse er

1500 kg og den triller med en stasjonær hastighet lik 90 km h-1. Angi svaret som P [kW].

Merk: 4% helning innebærer at høydeendringen utgjør 4 m per 100 m tilbakelagt vei (slik

den er registrert av fartsmåleren). Tyngdens akselerasjon g = 9.8065 m s-2.

Side 2 av 4

5p c) Tapet av den potensielle energien går i sin helhet med til å overvinne luft- og rulle-

motstanden til bilen. I sum utgjør disse friksjonsleddene P [kW] = Cυ2 hvor C er frik-

sjonskoeffisienten (antatt konstant) og υ er hastigheten til bilen. Hva blir effektbehovet

ved kjøring på flat vei (0% helning) i 80 km h-1?

7p d) Bensinforbruket ved kjøring på flat vei i 80 km h-1 er målt til 6 liter h-1. Den mekaniske

effekten som trengs for å holde jevn fart er den samme som i oppgave c). Bruk verdien

P = 12 kW dersom du ikke har svart på dette spørsmålet. Regn ut den totale (effektive)

virkningsgraden til motor og drivverk ved disse kjørebetingelsene. Bruk nedre brennverdi

(vann i dampform) som referanse for energiforbruket. Bensin kan regnes som ren n-C8H18.

Fysikalske verdier fra SI Chemical Data er gjengitt i tabellen nedenfor.

Egenskap Verdi Kommentar

∆vH 43 kJ mol-1 Fordampning av H2O

∆cH −5464 kJ mol-1 Forbrenning av n-C8H18 (vann i væskeform)

ρ 0.698 g cm-3 Væske

Mw 114.2 g mol-1 –

5p e) Den termodynamiske virkningsgraden til bilmotoren, som ideelt sett er en rektangulær

syklus i S ,V-koordinater det vil si en Otto-syklus, kan skrives som ηıg

Otto= (Th − Tc)/Th.

Gi en fysikalsk forklaring på symbolene i denne likningen. Forklar med utgangspunkt i

arbeids- og varmeintegralene til syklusen.

6p f) Den termodynamiske virkningsgraden kan også skrives som ηıg

Otto= 1 − (V2/V1)(1−γ).

For den aktuelle motoren er kompresjonsforholdet 10 : 1. Dette er et annet enn i figuren.

Regn ut den termodynamiske virkningsgraden til motoren basert på antagelsen om ideell

gass. Bruk fysikalske data for luft.

Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven gjøre noen enkle likevektsbetraktninger av eta-

nol og luft i blanding. Utgangspunktet er flytende etanol som blir oppbevart i en lukket

beholder med luft tilstede. Likevektskonsentrasjonen av etanol i luften (og ditto for luft i

etanolen) blir da (kun) en funksjon av temperaturen. Det samme gjelder likevektstrykket

i beholderen.

7p a) Gi en termodynamisk utledning av kriteriene for damp–væskelikevekten i beholderen.

Luften kan oppfattes som én kjemisk komponent i dette tilfellet, det vil si at vi ser bort fra

en mulig separasjon av nitrogen og oksygen. Du kan gå ut ifra at total Helmholtz energi

for systemet er minimert ved likevekt.

Side 3 av 4

5p b) Ved å innføre et par fysikalske forenklinger kan likevektslikningene i oppgave a)

skrives på formen:

p ·N

vap

C2H5OH

Nvap

C2H5OH + Nvap

luft

= psatC2H5OH(T )

hvor:

p =(N

vap

C2H5OH+ N

vap

luft)RT

V− v

lıq

C2H5OHNlıq

C2H5OH

Hvilken tilleggsinformasjon — i form av spesifikasjoner og ekstra likninger — må være

kjent for at du skal kunne løse likevektsproblemet på den oppgitte formen?

6p c) Utled et Newton–Raphson iterasjonsskjema som gjør det mulig å finne en numerisk

løsning på likevektsproblemet i oppgave b). Temperaturen T forutsettes kjent.

7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volumprosent

ved 1 bar totaltrykk. Med 19 volumprosent etanol er det et kraftig oksygenunderskudd i

systemet og det vil dannes en lang rekke av reaksjonsprodukter — ikke bare H2O og CO2.

Men, la oss anta at forbrenningen foregår slik at den favoriserer dannelsen av CO, H2O,

H2 og CO2 i nevnte rekkefølge. Bruk denne regelen til å sette opp en balansert reaksjons-

likning for forbrenningen. Anta at luften består av 21 volumprosent O2 og 79 volumpro-

sent N2. Beregn deretter den adiabatiske temperaturstigningen på basis av den foreslåtte

reaksjonslikningen. Reaksjonsproduktene har en effektiv varmekapasitet lik 1 kJ kg-1 K-1.

Entalpiverdier finner du i SI Chemical Data.

Oppgave 4 I et forskningsarbeide fra 19751 er det foreslått å bruke Tumlirz’ tilstands-

likning for å beskrive p, v, T -egenskapene til vann og sjøvann:

v

[cm3 g-1]= V

∞− K1S +

λ

P+ K2S +

p

[bar]

I den foreslåtte likningen er V∞

og λ temperaturavhengige parametre, mens K1 og K2 er

parametre med konstante verdier. Vi trenger ikke å kjenne noen av parameterverdiene for

å løse oppgavene som er gitt nedenfor.

S [g kg-1] er saltinnholdet i [g] salt per [kg] løsning. Vi skal anta at saltet er ren NaCl. Det

betyr at væsken er en binær blanding av H2O og NaCl. Med andre ord: hvis S har en gitt

verdi så er konsentrasjonene (molbrøkene) av H2O og NaCl også bestemt. Et matematisk

uttrykk for saltinnholdet er:

S

1000=

MNaCl

MH2O + MNaCl

=Mw,2N2

Mw,1N1 + Mw,2N2

=Mw,2x2

Mw,1x1 + Mw,2x2

For å rydde all tvil til side: konstant S innebærer konstant x = ( x1 x2 ).

1F. H. Fisher and O. E. Dial, Jr., Equation of State of Pure Water and Sea Water, Marine Phys. Lab.

Scripps Inst. Oceanography, Univ. of California, San Diego, Report No. SIO Reference 75-28 (1975).

Side 4 av 4

6p a) Bruk Tumlirz’ likning til å finne et analytisk uttrykk for spesifikk Gibbs energi defi-

nert som ∆g = g(T, p, S ) − g(T, 0, S ). Hint: (∂g/∂p)T,S = v.

5p b) Bruk resultatet ovenfor til å bestemme ∆G = G(T, p, S ,N) − G(T, 0, S ,N) hvor N er

totalt antall mol for blandingen. Hvis du ikke har gjort den siste oppgaven skal du forklare

hvordan man i prinsippet kan bestemme ∆G fra et kjent uttrykk for ∆g.

6p c) Finn et uttrykk for det kjemiske potensialet ∆µH2O = µH2O(T, p, S ) − µH2O(T, 0, S ).

5p d) Størrelsen (∂∆µH2O/∂p)T,p,S kan uttrykkes på en alternativ måte ved hjelp av en Maxwell-

relasjon. Hvilken? Finn et matematisk uttrykk for denne størrelsen innsatt for Tumlirz’

likning.



Side 1 av 5

Bokmål




07. juni 2014

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:



Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglende ver-

diene selv. Gjør rede for alle antagelser. Oppgavesettet inneholder også enkelte oppgaver

som gir bonuspoeng (angitt med et dobbelt pluss-tegn i margen; for eksempel ++5p). Jeg

anbefaler at du løser disse oppgavene sist. Merk: du trenger ikke å ha løst noen av dem for

å oppnå 100 poeng til eksamen.

Oppgave 1

5p a) Finn minst 3 feil i differensialene:

(dH)n = T dS + p dV

dS =CV

TdT −

(

∂V

∂T

)

p,n

dp −∑

i

(

∂µi

∂T

)

p,n

dNi

(dV)n = −p-1 dU + p-1T -1 dS

7p b) For systemer med kun én kjemisk komponent gjelder du = T ds − p dv. Vis at denne

formelen er korrekt. Bruk funksjonen U(S ,V,N) som utgangspunkt. Merk definisjonene

u = U/N, s = S/N og v = V/N.

Side 2 av 5

5p c) Du har i forelesningene lært at Gibbs energi er en Euler-homogen funksjon av grad én i

sammensetningsvariablene Ni for systemet. Vis at dette gir opphav til (∂2G/∂N∂N)T,p = 0.

Forsøk deg ikke på et generelt argument, men bruk ideell gass med kun én kjemisk kom-

ponent som eksempel. Hint: µıg

i= µi + RT ln[NiRT/(pV)].

++5p d) Det tilsvarende kriteriet for en multikomponent blanding er | (∂2G/∂Ni∂N j)T,p| = 0.

Det vil si at determinanten til Hesse-matrisen av Gibbs energi er null. Vis at formelen i

det minste gjelder for ideell gass. Du kan komme til å trenge argumenter hentet fra lineær

algebra.

Oppgave 2 Du skal i denne oppgaven beregne utløpstilstanden til en ikke-ideell turbin

ved iterasjon basert på direkte substitusjon. Du vil også bli bedt om å utlede likningene

for Newton–Raphson iterasjon. Utløpsbetingelsene er: put = p = 1 bar og sut = 1.15sınn

hvor sınn er den molare entropien til innløpsstrømmen:

pınn, ~S ınn

put, ~S ut

~Ws

~Q = 0

Den termodynamiske tilstanden i innløpet til turbinen er spesifisert ved temperaturen

T = 700 K og det molare volumet v = 5b. Parameteren b refererer til hardkulevolumet i

Van der Waals tilstandslikning. Følgende er oppgitt:

p =NRT

V − Nb−

N2a

V2, S r,v

= −NR ln(

V

V − Nb

)

, Hr,v= NRT

Nb

(V − Nb)−

2aN2

V.

Andre likninger som du trenger for å løse oppgaven må du utlede selv. Parametrene i

tilstandslikningen har verdiene: a = 0.55 J m3 mol-2 og b = 3 · 10–5 m3 mol-1. Verdien til

gasskonstanten er: R = 8.3145 J mol-1 K-1.

7p a) For å tydeliggjøre problemets art er det i oppgaveteksten angitt tre relasjoner for be-

regning av henholdsvis: p, S r,v og Hr,v. I hvilken grad er disse størrelsene matematisk

uavhengige, eller sagt på en annen måte: er formlene uavhengige, eller er de relatert slik

at det ene uttrykket fører til de andre to (eventuelt motsatt)?

10p b) Regn ut den molare entropien til gassen i innløpet til turbinen. Som tilleggsinforma-

sjon blir du fortalt at: sıg = 203.3 J mol-1 K-1 og c

ıg

p= 29.1 J mol-1 K-1, målt i referansetil-

standen T = 298.15 K og p = 1 bar.

Side 3 av 5

10p c) Vi skal nå løse likningene for trykk og entropi som bestemmer tilstanden i utløpet av

turbinen. For å løse dette problemet må du egentlig invertere pVdW(v) til vVdW(p), men det-

te kompliserer beregningen i betydelig grad. Du skal derfor bruke ideell gass tilnærming

av v-2-leddet i Van der Waals likning. Dette impliserer ikke at gassen i utløpet er en ideell

gass — det er kun leddet a/v2 ≈ ap2/(RT )2 som du kan approksimere på denne måten.

Approksimasjonen resulterer i én likning med én ukjent. Hvilken likning? Løs likningen

ved hjelp av direkte substitusjon. Benytt startverdien T (0)= 700 K.

5p d) For å kunne linearisere utløpstilstanden til turbinen må du ha kjennskap til alle de

partiellderiverte av s, p med hensyn på T, v, nemlig:

J =

∂

(

s

p

)

∂(

T v) =

∂s

∂T

∂s

∂v∂p

∂T

∂p

∂v

Innsatt for Van der Waals likning (gitt i oppgaveteksten) blir denne matrisen symmetrisk.

Er dette en generell egenskap for problemer av denne typen, eller avhenger resultatet av

tilstandslikningen? Kan du isåfall forklare hvorfor?

7p e) Still deretter opp et iterasjonsskjema som gjør det mulig å bestemme den hele og fulle

utløpstilstanden ved hjelp av Newton–Raphson-iterasjon. Skjemaet skal være komplett og

det skal ha alle beregningsdetaljer på plass.

++5p f) Beregn utløpstilstanden i oppgave c) én gang til. Anvend Newton–Raphson-algoritmen

som du utledet i oppgave e). Bruk startverdiene T (0)= 298.15 K og v(0)

= RT (0)/p. Utfør

2–3 iterasjoner. Det er tilstrekkelig.

Oppgave 3

5p a) Hva kan du si om begrepene entropibalanse og entropiproduksjon, sammenliknet med

de nærliggende begrepene energibalanse og energiproduksjon?

10p b) Sett opp en energibalanse for turbinen i oppgave 2. Regn deretter ut akselarbeidet

[J mol-1] som turbinen leverer forutsatt adiabatiske forhold, null hastighetsendring for gas-

sen og uendret høydepotensial. Dersom du ikke har svart på oppgave 2c) skal du anta at

utløpstemperaturen er 298.15 K og at gassen på utløpssiden er en ideell gass.

Side 4 av 5

5p c) Vi kan uttrykke entropibalansen til turbinen ved å gjøre rede for varme- og arbeids-

leddene og deretter kombinere disse med de tilhørende masse- og energibalansene. Bruk

denne balanselikningen, slik den er gjengitt nedenfor, til å beregne termodynamisk tapt

arbeid [J mol-1] (eng. lost work) for turbinen.

TS ırr = (~H − T~S − µ~N)ınn

− (~H − T~S − µ~N)ut

+

(

1 −T

T

)

~Q

− ~Ws

Oppgave 4

7p a) Den generelle formuleringen av termodynamisk likevekt mellom to vilkårlige faser α

og β er:

Tα = T β

pα = pβ

µαi = µβi

Anvendt på damp–væskelikevekter (spesielt vanlig i kjemiteknisk litteratur) blir kriteriet

omskrevet til

yi = Ki xi

hvor yi og xi er molbrøkene til komponent i målt i henholdsvis damp- og væskefase. For-

klar sammenhengen mellom de to ulike kriteriene under forutsetning av at formuleringene

er likeverdige. Anta at både damp- og væskefase lar seg beskrive ved hjelp av én og sam-

me tilstandslikning.

5p b) En praktisk forenkling av faselikevektskriteriet yi = Ki xi følger som et resultat av

Raoults lov:

yi =psat

i

pxi

Gjør rede for de fysikalske forutsetningene som ligger til grunn for denne enkle lovmes-

sigheten. Bruk utgangspunktet:

yiϕi(T, p, y)p = xiγi(T, p, x)ϕsati (T )psat

i (T ) exp

∫ p

psati

vi(T, π) dπ

RT

Bestem til slutt et analytisk uttrykk for p forutsatt at væskesammensetningen er kjent.

Side 5 av 5

5p c) Ved interpolasjon av tabulerte damptrykk får man et mer presist resultat ved å anta

ln(p) = f1(1/T ) enn ved å anta ln(p) = f2(T ) eller p = f3(T ). Gi en teoretisk forklaring

på denne observasjonen.

7p d) Nedre og øvre flammepunkt for etanol i luft er henholdsvis 3.3 og 19 volum prosent

ved 1 bar totaltrykk. Innenfor disse grensene er etanol–luft brannfarlig. I områdene uten-

for vil ikke blandingen kunne antennes. Bruk Clausius–Clapeyrons likning til å finne det

“brannfarlige” temperaturområdet for etanol som er i kontakt med luft. Du kan anta like-

vekt mellom etanol i flytende fase og dampfase. Løseligheten av luft i flytende etanol er

neglisjerbar. Gjør rede for alle andre antagelser som er nødvendige for å løse oppgaven.

Clausius–Clapeyrons likning:(

dln p

d 1T

)

eq

= −∆vh

R

Fysikalske data for etanol er gitt i tabellen nedenfor:

Egenskap Verdi Tilstand

T sat 351.5 K 101325 Pa

∆vh 38.56 kJ mol-1 351.5 K, 101325 Pa



Side 1 av 2

Bokmål




08. august 2013

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:





Oppgave 1 Se oppgave 1, NTNU-eksamen 20. august 2011. I tillegg kommer ett ekstra

punkt gitt nedenfor:

5p c) Vis at: Gr,p= Ar,v

− NRT ln(z) + NRT (z − 1) hvor z = pV/(NRT ). Regn ut Gr,p gitt de

samme betingelsene som i oppgave 1 ovenfor.

Oppgave 2 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 20. august 2011.


Oppgave 4 Se oppgave 2, NTNU-eksamen 16. august 2010. I tillegg kommer ett ekstra

punkt gitt nedenfor:

Side 2 av 2

4p d) Hvordan endres problemstillingen dersom antagelsene om: ideell gass, fullstendig

forbrenning og konstant cp,i

for hver av komponentene — ikke holder? Spesifiser et (fritt

valgt) sett av fri variable og et tilhørende sett av likninger som må løses, eller foreligge

eksplisitt, i det generelle tilfellet.



Side 1 av 3

Bokmål

Faglig kontakt under eksamen:Tore Haug-Warberg (913-63-586)


08. juni 2013Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:Kalkulator, SI Chemical Data, én (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside

Sensur:Senest 3 uker etter eksamen


Chemical Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere de manglendeverdiene selv. Gjør rede for alle antagelser på en klar måte.

Oppgave 1 Du får oppgitt 3 funksjoner:

f = (x + y) ln(

x

y

)

g = ln(

x

y

)

+

x + y

x

h =1y+

1x

4p a) Hvilke(n) av disse funksjonene kan sies å være “Euler-homogene” funksjoner? Gi enmatematisk begrunnelse.

2p b) Vær nøye med å angi homogenitetsgraden k ∈ Z for hver av funksjonene du fant ipunkt a).

4p c) Én av funksjonene f , g, h kan uttrykkes som F =∑

i (∂F/∂Xi) Xi. Hvilken? Gi minstto eksempler fra termodynamikken hvor denne formelen kommer til anvendelse.

Side 2 av 3

++5p d) Euler-homogene funksjoner av grad én er også kjent som ekstensive størrelser i termo-dynamikken. Skriv ned minst 10 eksempler! Riktig svar gir +1

2 poeng, galt svar gir −12

poeng.

3p e) Gi et eksempel på en termodynamisk funksjon som er homogen av -1. orden. Brukideell gasslov til å verifisere at svaret er rett.

Oppgave 2 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. juni 1994.

Oppgave 3 Det mekaniske arbeidet forbundet med isentropisk kompresjon av en ideellgass kan skrives på to forskjellige måter avhengig av om vi betrakter et lukket eller etåpent system:

Lukket system: Wıg

S=

NRT

γ − 1·

[

1 −(

V1

V2

)γ−1]

Åpent system: ~W ıg

S= ~NRTınn ·

γ

γ − 1·

[

1 −(

put

pınn

)γ−1γ

]

5p a) Vis først og fremst at den isentropiske tilstandsendringen til en ideell gass er beskrevetav (V1/V2)S = (p2/p1)1/γ. Merk: du kan komme til å trenge denne informasjonen senere ioppgaven.

++5p b) Uttrykkene for Wıg

Sog ~W ıg

Sgir forskjellige tallsvar selv om de tar utgangspunkt i den

samme start- og sluttilstanden. Argumenter hvorfor dette er tilfelle. Du får bonuspoenghvis du klarer å sette opp et regnestykke som forklarer forskjellen.

5p c)

α

~W ınn

~M1

~M2 ~M3

~M4

~M5

I et virkelig kompressoranlegg blir litt av utløpsstrømmen fra kompressoren resirkulertslik tegningen viser. La oss anta at en konstant fraksjon α av gasstrømmen blir resirkulert.Massebalansen til kompressoren tar da formen:

~M4 = α~M2 ∧ ~M1 + ~M4 = ~M5 ∧ ~M2 = ~M5

Eliminerer ~M4 og ~M5:

~M1 + α~M2 = ~M2 ⇒ ~M2 =~M1

1 − α

Sett opp en tilhørende energibalanse for kompressorenheten. Vis at den leder frem til re-sultatet: h2 = h1 + wınn/(1 − α).

Side 3 av 3

++5p d) I praksis må ikke resirkulasjonen bli for stor. Kompressoren vil åpenbart kunne akku-mulere mekanisk energi helt til den brenner opp dersom α→ 1. Finn største α som gir enendelig utløpstemperatur når put/pınn = 10. Anta ideell gass med konstant varmekapasitetc

ıg

p=

72 R. Du vil også kunne få bruk for T5 = αT4 + (1− α)T1. Du får bonuspoeng hvis du

velger å utlede denne formelen selv.

Oppgave 4 Se oppgave 3, HiT-eksamen 14. januar 1998.



Side 1 av 1

Bokmål




09. august 2012

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:











Side 1 av 3

Bokmål




21. mai 2012

Tidspunkt: 15:00 – 19:00

Hjelpemidler:


Sensur:






Oppgave 2

5p a) Lufttrykket i atmosfæren synker med tiltagende høyde i henhold til den hydrosta-

tiske trykkgradienten dp / dz = −ρg hvor ρ [kg m-3] er massetettheten til luften og g =

9.8065 m s-2 er tyngdens akselerasjon.

I klarvær og ved rolige vindforhold vil temperaturen i troposfæren (de første 50 km av

atmosfæren) også synke med tiltagende høyde som følge av at luften undergår en adiaba-

tisk (og isentropisk) ekspansjon idet den stiger fra lavere til høyere luftlag.

Regn ut temperaturfallet dT / dz [K m-1] i troposfæren gitt: cp,luft= 29 J mol-1 K-1, samt

den adiabatiske relasjonen:(

∂ ln T

∂ ln p

)ıg

s

=γ − 1

γ

Hint: som du kanskje vet fra før så er svaret i nærheten av −0.01 K m-1.

Side 2 av 3

z

5p b) Figuren ovenfor viser et fotografi av Kilimanjaro, også kjent som Afrikas tak, i nord-

østre Tanzania. Det laveste punktet i landskapet er z≈ 1300 m. o. h. Lufttemperaturen

på dette punktet er 30 C. Anslå høyden z [m. o. h.] til toppen av fjellet når du får vite

at trykk–temperaturprofilen til atmosfæren følger den isentropiske tilstandsbeskrivelsen i

punkt a). Hint: beregn snøgrensen først.

Merk: de neste to spørsmålene er uavhengige av både punkt a) og punkt b).

I de to foregående deloppgavene er det gjort noen betraktninger som forutsetter at luft er

en tørr gass. I virkeligheten er atmosfæren mer kompleks enn som så, spesielt med tanke

på vanndamp som kan kondensere til regn. Du skal i denne oppgaven redegjøre for den

ikke-ideelle blandingen av luft (forenklet til nitrogen) og vanndamp. Den nevnte luftblan-

dingen er godt beskrevet av 2. virialkoeffisientene Bi, j [cm3 mol-1] målt ved 273.15 K:

V2.vır=

NRT

p+ B

NB =∑

i

∑

j

NiN jBi, j

BH2O,H2O = −1299

BH2O,N2= −47.2

BN2,H2O = −47.2

BN2,N2= −10.3

8p c) Finn et uttrykk for µr,p,2.vır

1= (∂Gr,p,2.vır/∂N1)T,p,N2

basert på informasjonen gitt ovenfor.

Skriv uttrykket som en funksjon av p, x1 og x2 (molbrøker). Hint: det er enklere å gjøre

utledningene i moltall og så konvertere til molbrøk enn motsatt.

Side 3 av 3

7p d) Beregn fugasitetskoeffisienten til vanndamp ved T = 273.15 K, p = 1 bar og xH2O =

0.006 (duggpunktsbetingelse). Hva kan du si om ikke-idealiteten til vanndamp blandet

med luft?





Side 1 av 2

Bokmål




20. august 2011

Tidspunkt: 09:00 – 10:00

Hjelpemidler:

Kalkulator

Sensur:

Senest 1 dag etter eksamen

Oppgave 1 Berthelots tilstandslikning (1899) på molar form kan skrives:

RT =

(

p +a

Tv2

)

(v − b)

Ved det kritiske punktet gjelder:

∂p

∂v

∣

∣

∣

∣

∣

T=Tc

= 0 ;∂2 p

∂v2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

T=Tc

= 0 ,

som gir:

a = 3Tc pcv2c

; b =vc

3;

pcvc

RTc

=3

8.

10p a) Regn ut totalt Helmholtz-residual for 8 mol gass ved T = Tc og V = Vc gitt definisjo-

nen:

Ar,v= −

V∫

∞

(

p −NRT

ν

)

dν

Skriv resultatet som en enkel funksjon av Tc. Merk: den greske bokstaven “ny” er brukt

som integrator.

Side 2 av 2

5p b) Finn grensen: limV→∞ Ar,v. Hva betyr denne grensen i praksis?

Oppgave 2 Bernoullis likning for tapsfri strømning (friksjonsfri og uten temperaturgra-

dienter) kan skrives:12ρ∆υ2

+ ρg∆z + ∆p = 0

5p a) Forklar alle størrelsene som inngår i denne likningen. Bruk et konsistent sett av enhe-

ter. Angi spesielt hvilken enhet(er) som gjelder for tallet “0” på høyresiden av likningen.

25p b) Utled Bernoullis likning fra en termodynamisk betraktning av masse- og energiba-

lansene til et åpent kontrollvolum. Forklar hvert trinn i utledningen som leder frem til

likningen slik den er gitt ovenfor.

6p c) p

p

Et vannbasseng tømmes gjennom en rørledning slik figuren ovenfor viser. Atmosfære-

trykket p er det samme ved inn- og utløp av røret. Høyden av rørbendet over vannflaten

kan neglisjeres. Hva er den maksimale strømningshastigheten i røret?

3p d) Hva er den minste fallhøyden som trengs for å oppnå den hastigheten du regnet ut i

forrige punkt?

3p e) Hva skjer hvis fallhøyden økes ytterligere?

Oppgave 3 Se oppgave 4e, NTNU-eksamen 26. mai 2008.



Side 1 av 3

Bokmål




24. may 2011

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:

Kalkulator, SI Chemical Data, en (1) håndskrevet A4-side med godkjent forside

Sensur:


I noen av oppgavene trenger du termodynamiske eller fysikalske data fra SI Chemical

Data. I tilfelle du har glemt tabellsamlingen må du estimere disse verdiene selv. Gjør rede

for alle antagelser på en klar måte. Pensum er litt utvidet i år og det er to nye problem-

stillinger (1d og 2e) med tanke på dem som tar faget på nytt, men det er ikke nødvendig å

gjøre noen av disse oppgavene for å oppnå 100 poeng.

Oppgave 1 Van der Waals tilstandslikning kan skrives på formen:

pVdW=

RT

v − b−

a

v2

hvor a og b er parametre relatert til stoffegenskapene hos systemet og sammensetningen

av blandingen.

5p a) Finn først et uttrykk for residualvolumet vr,p= vVdW

− vıg. Beregn deretter grensever-

dien B = limp→0 vr,p.

5p b) B et mål for det effektive volumet til molekylene i gassen. Hva kalles denne størrel-

sen? Eller for å si det med andre ord: hvilken fysikalsk størrelse snakker vi om og hvilke

egenskaper har denne som funksjon av temperatur, volum og sammensetning? Tegn en

graf som illustrerer temperaturavhengigheten.

Side 2 av 3

5p c) Finn et uttrykk for residual Gibbs energi Gr,p som er gyldig ved lave trykk. Bruk

B = limp→0 vr,p fra oppgavene a og b). Hvis du ikke har svart på disse oppgavene skal du

anta at B = b.

++5p d) Bestem residual Helmholtz energi Ar,p med utgangspunkt i punkt c). Hint: Sett inn for

G = A + pV .

Oppgave 2

5p a) Bruk massebalanseprinsippet til å utlede et sett av uavhengige reaksjonslikninger som

beskriver likevekt i systemet CH4, C2H6, C3H8, H2. Prøving og feiling godtas ikke som

fullverdig svar. Bruk matriseregning.

5p b) Hvor mange ulike valg av reaksjonslikninger er det i punkt a)? Forsøk å gi en mate-

matisk forklaring.

5p c) Skriv ned de likevektslikningene som må løses hvis reaksjonen(e) foregår i et lukket

rom ved bestemt temperatur og trykk. Gi en kort men presis forklaring.

10p d) Til slutt kommer det store spørsmålet om hvordan man best kan løse disse likninge-

ne. Et konkret forslag er linearisering av likevektsuttrykkene med etterfølgende Newton–

Raphson-iterasjon. Skriv ned de likningene som trengs for å gjøre én slik iterasjon fra

k → k + 1. Det er ikke meningen at alle likningene skal skrives i hver minste detalj (det

gjør sensureringen vanskelig), men det skal være enkelt for sensor å se at prinsippet om

løsbarhet er innfridd. Påse derfor at likningssystemet er kvadratisk — det vil si løsbart.

Dersom du føler at Newton–Raphson skjemaet er utenfor rekkevidde skal du alterna-

tivt fortelle hvilke, og hvor mange uavhengige, iterasjonsvariable som trengs for å løse

problemet.

++5p e) Gjenta prosedyren i punkt a) for systemet C2H4D2, C3H6D2, C4H8D2 og D2. Forklar

hvilken (ny) utfordring du møter her.

Oppgave 3 En luftstrøm med strømningsrate 13 kmol h-1 ekspanderer adiabatisk gjen-

nom en ventil (eller en annen strømningsrestriksjon). Friksjonen mot rørveggen kan neg-

lisjeres og gasshastigheten inn på ventilen er liten i forhold til utløpshastigheten. Anta at

luften er tilnærmet ideell gass.

5p a) Sett opp en energibalanse for tilstanden i det trangeste tverrsnittet til strømningen.

Anta at strømningen er reversibel. Vis at svaret kan skrives på en form som er uavhengig

av strømningsraten det vil si intensiv form.

10p b) Beregn temperaturen i det trangeste tverrsnittet gitt at luften holder 400 K og 30 bar

ved innløpet. Trykket i det trangeste tverrsnittet er det samme som trykket ved utløpet, lik

20 bar. Bruk SI Chemical Data.

Side 3 av 3

5p c) Beregn strømningshastigheten i det trangeste tverrsnittet.

5p d) Gjør en forenkling av energibalansen slik at den gjelder for en (nedstrøms) tilstand

langt vekk fra det trangeste tverrsnittet av strømningen. Anta fullstendig irreversibel strøm-

ning og at utstrømningshastigheten er neglisjerbar. Hva blir utløpstemperaturen i dette

tilfellet?

5p e) Beregn det “tapte arbeidet” (eng. lost work) for den adiabatiske strømningen i punkt d).

Angi svaret i kW for totalstrømmen. Temperaturen til omgivelsene er 280 K. Eksergilik-

ningen for et stasjonært kontrollvolum er for anledningen gitt som:

0 = (~H − T~S − µ~N)ınn − (~H − T~S − µ~N)ut

+

∫

Ω

(1 − TT-1) δ~Q − ~Ws − TS ırr

5p f) Forklar hvordan det “tapte arbeidet” i punkt e) kunne vært realisert uten å endre ut-

løpstilstanden. Hint: anta reversibel varmeoverføring fra omgivelsene.

Oppgave 4

10p a) Den isoterme kompressibiliteten til et fluid som holder konstant sammensetning er

definert ved:

β = −v-1 (∂v/∂p)T,n

Den er enkel å måle eksperimentelt og er mye brukt for å avgjøre hvorvidt et fluid har

typiske væskeegenskaper eller ikke. Bruk implisitt derivasjon av Van der Waals likning i

oppgave 1 til å finne et uttrykk for βVdW.

5p b) Tegn p,V-diagrammet for en forbindelse som følger Van der Waals likning. Diagram-

met skal klart vise asymptotene ved v = b og v = ∞, plasseringen av det kritiske punktet,

samt utstrekningen av to-faseområdet inklusivt Maxwells arealregel (for en av isoterme-

ne). Hva er de termodynamiske likevektsbetingelsene i dette tilfellet?

10p c) I beskrivelsen av multikomponente faselikevekter er det vanlig å ta i bruk såkalte

K-verdier:

yi = Ki xi

Gi en termodynamisk forklaring på dette konseptet. Har du et forslag til hvordan Ki kan

beregnes? Merk: det fins flere alternativer.



Side 1 av 2

Bokmål




16. august 2010

Tidspunkt: 10:00 – 11:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Oppgave 1

25p a) Gi en termodynamisk fortolkning av integralet:

F =

p∫

0

(

V −NRT

π

)

dπ

Vet du om andre, nært beslektede, funksjoner? Forklar bruken av disse funksjonene i

termodynamikken. Gi noen eksempler.

Oppgave 2

25p a) En lukket beholder med konstant (gitt) volum inneholder en støkiometrisk blanding av

butan og luft. Regn ut energitettheten [J cm-3] relativt til de antatte forbrenningsproduk-

tene CO2 og H2O ved 25 C. Det initielle trykket i beholderen er 1 atm. Anta ideell gass.

Bruk følgende data gitt i enhetene [kJ mol-1]: ∆fh

C4H10= −125.79, ∆fh

CO2= −393.51 og

∆fh

H2O = −241.814.

Side 2 av 2

25p b) Butan : luft-forholdet i punkt a) endres slik at blandingen får et luftoverskudd. Hvilken

betydning har dette for (hoved)reaksjonene i systemet? Sagt på en annen måte: skjer det

nye reaksjoner (av betydning) i systemet? Blir svaret et annet dersom blandingen brenner

med luftunderskudd? Utled alle relevante reaksjonslikninger i hvert av tilfellene.

25p c) Blandingen i punkt a) antennes. Finn et estimat for eksplosjonstemperaturen. Føl-

gende varmekapasiteter med enheter [J mol-1 K-1] er oppgitt: cp,O2= 32, c

p,N2= 32,

cp,C4H10

= 180, cp,CO2

= 40 og cp,H2O = 50.



Side 1 av 3

Bokmål




25. mai 2010

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Noen av oppgavene krever tallbehandling. Bruk fysikalske data fra SI Chemical Data eller

anslå fornuftige verdier hvis ingenting annet er oppgitt. Det forventes i denne sammen-

hengen at studentene har grunnleggende kunnskaper om for eksempel tettheten av vann,

molekylmassen til hydrogen, oksygen, nitrogen og karbon, den universelle gasskonstan-

ten og omregning fra Kelvin til Celsius. Alle tallsvar skal angis med to (2) streker under

svaret. Alt annet blir betraktet som mellomregninger.

Oppgave 1

9p a) 1 mol flytende vann blir varmet opp ∆T = 1 K og trykksatt ∆p = 38.74 bar fra

utgangstilstanden T = 298.15 K og p = 1 bar. Beregn den tilhørende endringen i det

kjemiske potensialet. Anta konstante fysikalske egenskaper i hele prosessforløpet.

7p b) Prosessen i oppgave 1a) blir gjentatt for 1 kg H2O. Hva blir endringen i kjemisk po-

tensial denne gangen?

Side 2 av 3

9p c) En (ikke nærmere angitt) fysikalsk problemstilling gir differensialet:

V

T(dp)n +

1

T(dU)n

Vis at dette differensialet er et eksakt differensial for en ideell gass, det vil si at differen-

sialet i dette tilfellet leder frem til en Maxwell-relasjon. Spørsmålet er hvilken?

Hint: regn ut(

∂(V/T )

∂U

)ıg

p,nog

(

∂(1/T )

∂p

)ıg

U,n.

++10p d) Er differensialet eksakt også i det generelle tilfellet? Gi en matematisk forklaring.

Ikke svar på denne oppgaven med mindre du har tid til overs.

Oppgave 2 Clausius–Clapeyrons damptrykkslikning kan skrives på formen:

ln

(

psat

p

)

= a −b

T

5p a) Utled Clausius–Clapeyrons likning med utgangspunkt i likevektsbetingelsen: µvap

i=

µlıq

i.

5p b) Angi på en klar måte hva som er forutsetningene for utledningen i oppgave 2a). Der-

som du ikke har svart på dette delspørsmålet skal du gi en forklaring på likningen slik den

er gitt i oppgaveteksten.

5p c) Parameteren b i Clausius–Clapeyrons likning har en klar fysikalsk betydning. Hvil-

ken? For å stille spørsmålet litt annerledes: hvordan kan du bruke et oppslagsverk som for

eksempel SI Chemical Data til å bestemme en verdi for b?

10p d) Kokepunktet til vann er målt på 3 forskjellige steder i den nære omegn av Trondheim.

Målingene er utført på en og samme dag slik at lufttemperaturen er den samme (0 C) i

alle tilfellene. Den eneste uavhengige variabelen i forsøket er målepunktenes plassering

(det vil si høyde) over havet:

z [m] ptot [mmHg] θsat [C]

40 787.3 100.20

190 775.5 99.68

436 755.4 98.84

Anta at Clausius–Clapeyrons likning gjelder for målingene og at totaltrykket i atmosfæren

følger formelen:

ln

(

ptot

760 mmHg

)

= −zMwg

RT

Her er Mw [kg mol-1] gjennomsnittlig molekylmasse for luft (78% N2, 21% O2 og 1% Ar),

g = 9.8 m s-2 er tyngdens akselerasjon, z [m] er høyden over havet og T er temperaturen

i luften. Bruk alle opplysningene i denne oppgaven til å finne et best mulig estimat av

kokepunktet (θsat) til vann på Mount Everest (8848 m. o. h.). Millimeterpapir er vedlagt.

Side 3 av 3

Oppgave 3 En tradisjonell 4-takts bensinmotor har flere arbeidsoperasjoner: innsuging

(drivstoff), kompresjon, antenning, eksplosjon, ekspansjon og utlufting (eksos). En termo-

dynamisk beskrivelse av en slik motor krever en ganske omfattende matematisk modell,

men ved å neglisjere betydningen av drivstoff og eksos på egenskapene til arbeidsmediet

(luft) kan motoren betraktes som en Otto-syklus med S ,V som naturlige variable. Vi skal

i resten av oppgaven anta at arbeidsmediet er en ideell gass med sammensetning 80% N2

og 20% O2. Varmekapasiteten til gassen er konstant.

5p a) Beskriv de ulike delprosessene til Otto-syklusen. Tegn gjerne en skisse som illustrerer

arbeidsprinsippet. Forklar i hvilke(t) henseende Otto-syklusen avviker fra bensinmotoren.

5p b) Otto-syklusen er én representant for det som med en fellesnevner kalles varmekraft-

maskiner. Hva ligger i begrepet varmekraft? Forklar med utgangspunkt i varme- og ar-

beidsintegralene til syklusen. Husk å angi hva som er positiv og negativ integrasjonsret-

ning (for eksempel “med” eller “mot” urviseren).

7p c) Finn et analytisk uttrykk for virkningsgraden til Otto-syklusen. Svaret skal være på

likningsform slik at det i prinsippet kan regnes ut ved innsetting av de temperaturer og

trykk (eller volum) som beskriver syklusen. Et generelt uttrykk basert på integralene i

punkt b) godkjennes ikke som endelig svar.

8p d) Beregn virkningsgraden til Otto-syklusen når kompresjonsforholdet er 12 : 1 og den

laveste temperaturen i syklusen er Tc = 283 K. Bruk resultatet fra punkt c) som utgangs-

punkt eller bruk formelen η = (Th−Tc)/Th hvor Th er temperaturen etter endt kompresjon.

Oppgave 4

8p a) Et reagerende system (lukket system i gassfase) består av forbindelsene A, B, AB,

AB2 og A2B. Utled en generell massebalanse for systemet. Bruk matrise/vektornotasjon

hvis du føler deg trygg på dette. Hvis ikke bruker du summasjonsform.

8p b) Vis at reaksjonene

A + B⇔ AB

AB + A⇔ A2B

AB + B⇔ AB2

er uavhengige og at de utgjør en basis for alle reaksjonene i systemet (som betyr at det

ikke er flere uavhengige reaksjoner enn disse 3). Bruk matematiske argumenter.

9p c) Likevektene skal løses ved gitt T, p og deretter ved gitt T,V . Du skal ikke utføre bereg-

ningene, men gjøre klar for en numerisk løsning. Sett opp et tilstrekkelig antall likninger

i hvert tilfelle og angi tydelig hvilke variable som er iterasjonsvariable. Forklar også hva

som er (hoved)forskjellen på de to tilfellene i løsningssammenheng.



Side 1 av 1

Bokmål


Tore Haug-Warberg


03. august 2009

Tidspunkt: 09:00 – 10:00

Hjelpemidler:

Kalkulator

Sensur:


Oppgave 1

15p a) Vis sammenhengen mellom U og H. Utled de totale differensialene av funksjonene.

15p b) Skriv termodynamikkens 1. lov på likningsform. Forklar symbolene som er brukt.

Hvis systemet ikke utfører arbeid eller utveksler varme, hvilken fysisk realisering kan du

da tenke deg?

30p c) Utled energibalansen for et åpent, stasjonært og adiabatisk system. Hva blir effektbe-

hovet for en isentropisk pumpe som har en reell gass som arbeidsmedium? Anta at gassen

er karakterisert ved viriallikningen: pV = RT + bp.

10p d) Hvilke (termodynamiske) koordinater er de naturlige variablene for henholdsvis en

Otto- og en gassturbin-prosess? Forklar forskjellene.

30p e) Utled betingelsen for kjemisk likevekt med reaksjonen N2 +O2 = 2 NO som ek-

sempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt

T og p. Hvilken innvirkning har p på likevekten? Hvilken innvirkning har T på likevek-

ten når reaksjonen oppgis å være endoterm? Hvorfor er dannelsen av NO favorisert i en

Otto-prosess relativt til en gassturbinprosess? Forklar.



Side 1 av 2

Bokmål


Bjørn Tore Løvfall (93 28 78 24)


15. mai 2009

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:

En håndskrevet side med godkjent forside, kalkulator, SI Chemical Data

Sensur:

Senest tre uker etter eksamen

Oppgave 1

4p a) Still opp kravene til termodynamisk faselikevekt for et 2-fase system med kun én (1)

kjemisk forbindelse tilstede.

5p b) Utled Clausius–Clapeyrons likning (den deriverte av likevektstrykket med hensyn på

temperaturen) fra kravene til termodynamisk faselikevekt i punkt a.

4p c) Hva innebærer det at Joule–Thomson-koeffisienten er negativ for en gass som blir

strupet i en ventil (irreversibel trykkreduksjon)?

4p d) Hva er den typiske verdien til Joule–Thomson-koeffisienten dersom gassen følger lik-

ningen pV = NRT?

6p e) En dypvanns gassbrønn blir brukt som føde til et landbasert gasskraftanlegg. Lag en

energibalanse for systemet med 3 kontrollvolum for henholdsvis gassbrønn, transport-

ledning og gasskraftverk. Anta at gasstransporten er stasjonær. Vær nøye med å notere

eventuelle andre antagelser.

Side 2 av 2

Oppgave 2 I denne oppgaven trenger du å utlede uttrykk for indre energi og entropi.

Hint: utled først et uttrykk for ideell gassbidraget og deretter for residualbidraget. Følgen-

de opplysninger er gitt:

pVdW=

NRT

V−Nb−

aN2

V2

Cıg

P= A + BT + CT 2

+ DT 3

CP − CV = −T

(

∂p

∂T

)2

V,N

(

∂p

∂V

)-1

T,N

a =27(RTc)2

64pc

b = RTc

8pc

3p a) Hvilke variable finner du naturlig å velge som fri variable i denne oppgaven? Begrunn

svaret.

6p b) Utled ideell-gass bidraget til indre energi.

6p c) Bestem residualbidraget til indre energi.

Hint: Ur,v= −

aN2

V.

6p d) Beregn indre energi for 1 mol N2 (gas) for tilstanden T = 300 K, V = 200Nb. Kri-

tiske data for nitrogen: Tc = 126.19 K og pc = 3.3978 MPa. Andre stoffdata gitt i SI-

enheter: A = 31 J mol-1 K-1, B = −1.36 · 10-2 J mol-1 K-2, C = 2.68 · 10-5 J mol-1 K-3,

D = −1.17 · 10-8 J mol-1 K-4 og R = 8.3145 J mol-1 K-1.

6p e) Utled ideell-gass bidraget til entropi.




Side 1 av 2

Bokmål


Tore Haug-Warberg (73 59 41 08)


04. august 2008

Tidspunkt: 09:00 – 10:00

Hjelpemidler:

Ingen

Sensur:

Senest én dag etter eksamen

Oppgave 1

10p a) Gammeldagse bensinmotorer (fra før ca. 1990) arbeider etter det såkalte Otto-prinsippet.

Ideelt sett kan denne syklusen beskrives på følgende vis: A) adiabatisk kompresjon, B)

temperaturøkning ved konstant volum, C) adiabatisk ekspansjon og D) nedkjøling ved

konstant volum. Tegn varme- og arbeidsdiagrammene for syklusen. Forklar hvor i dia-

grammene de fire tilstandsendringene finner sted.

10p b) Forklar hvordan virkningsgraden til motoren kan beregnes på bakgrunn av diagram-

mene. Bruk tekst, figurer og likninger.

10p c) For adiabatisk kompresjon gjelder (T2/T1)ıg

s = (v2/v1)1−γs . Utled denne likningen. Fins

det andre begrensninger enn ideell gass?

10p d) Kompresjonsforholdet til motoren er 10 : 1 på volumbasis. Regn ut temperaturen etter

endt kompresjon når luften holder 20 C ved oppstart. Bruk cıg

p= 3.5R.

Oppgave 2 For alminnelig faselikevekt i et tofase-system gjelder µαi= µ

β

i. I tillegg må

temperatur og trykk være like i de to fasene.

Side 2 av 2

10p a) Det er i oppgaveteksten ikke sagt noe om hva i, α og β står for. Gi en kort forklaring.

Hvilke begrensninger gjelder for likevektsuttrykket?

20p b) Forklar hvordan likevektslikningene kan løses i praksis. Hint: beskriv for eksempel

K-verdi metoden eller Newton–Raphsons metode. Det kreves heller ikke en fullstendig

algoritme, men du skal kunne forklare prinsippet i likningsløsningen.

Oppgave 3

10p a) Bruk relasjonen −p = (∂A/∂V)T,n til å definere residual Helmholtz energi Ar,v for en

gass(blanding). La Ar,v være definert som avviket mellom Helmholtz energi til fluidet, og

ideell gass ved samme temperatur, volum og sammensetning.

20p b) Regn ut Ar,v for et fluid som følger Redlich–Kwongs tilstandslikning:

p =NRT

V − B−

A

V(V + B)√

T



Side 1 av 4

Bokmål


Tore Haug-Warberg (735-94108)


26. mai 2008

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Oppgave 1

5p a) Regn ut forskjellen i indre energi (∆U) mellom de to tilstandene T = 300 K, V =

0.01 m3 og T = 900 K, V = 0.05 m3 for 7 mol ideell gass. Du får oppgitt at cıg

p=

50 − 106/T 2 J mol-1 K-1.

5p b) Regn ut forskjellen i entropi mellom de samme to tilstandene som i punkt a).

10p c) Du får opplyst at gassen i punkt a) består av 7 mol NO2 som dimeriserer i henhold

til reaksjonen 2 NO2 ⇔ N2O4. I hvilken grad vil denne opplysningen påvirke resultatet

av beregningen? Det kreves ikke et eksakt tallsvar, men argumentasjonen du fører må

være riktig og kunne fortelle om energiforskjellen blir større eller mindre enn i punkt a).

NB! Hvis du gjennomfører en eksakt beregning vil dette bli belønnet med inntil 10 bo-

nuspoeng. Følgende informasjon er gitt ved T = 298.15 K og p = 1 bar: ∆fh

NO2=

33180 J mol-1, ∆fh

N2O4= 9079 J mol-1, sNO2

= 239 J mol-1 K-1, sN2O4= 304 J mol-1 K-1,

cp,N2O4

= 2cp,NO2

.

Side 2 av 4

Oppgave 2 Van der Waals likning kan skrives:

pVdW=

NRT

V − Nb−

N2a

V2.

Residual entalpi for et fluid som følger denne likningen er gitt ved:

Hr,v= NRT

Nb

(V − Nb)−

2aN2

V.

10p a) Vis hvordan Hr,v kan utledes fra residual Helmholtz energi Ar,v=

∫ V

∞

(

NRTν− p(ν)

)

dν.

Sett inn for Van der Waals likning og sjekk at uttrykket stemmer med det som er gitt i

oppgaveteksten.

10p b) For metan gjelder følgende fysikalske data: Tc = 190.564 K, pc = 45.99 bar og cp =

36 J mol-1 K-1. Sett inn for R = 8.3145 J mol-1 K-1, a = 27(RTc)2/(64pc) og b = RTc/(8pc)

i Van der Waals likning, og bestem temperaturfallet ved adiabatisk trykkreduksjon (i en

ventil) av metan(gassen) fra innløpstilstanden T = 250 K og V = 2Nb til utløpstrykket

p = 1 bar. Hvilken tilnærmelse kan du med rimelighet gjøre slik at beregningen blir enk-

lest mulig, men fortsatt realistisk?

5p c) Fra statistisk–mekanisk teori kan viriallikningen til en gass skrives som en Taylor-

rekke av z = pv/RT i molar tetthet ρ = N/V det vil si

pV

NRT= 1 + Bρ +Cρ2

+ · · · ,

der B er 2. virialkoeffisient, C er 3. virialkoeffisient, o.s.v. Vis at en rekkeutvikling av

Van der Waals likning i tilstanden ρ → 0 gir opphav til BVdW= b − a/RT . Diskuter

temperaturforløpet til BVdW sammenliknet med det mer generelle uttrykket B = c1 +

c2T -1+ c3T -3

+ c4T -8+ c5T -9 som er brukt i den annerkjente DIPPR-databasen. Koef-

fisientene til metan har verdiene c1 = 0.051075 m3 kmol-1, c2 = −25.181 m3 kmol-1 K,

c3 = −256010.0 m3 kmol-1 K3, c4 = 5.9777 · 1015 m3 kmol-1 K8 and c5 = −5.7697 ·

1017 m3 kmol-1 K9.

Oppgave 3 Et varmekraftverk består av én kompressor, én turbin og to varmeveksle-

re slik figuren nedenfor viser. Det antas at begge maskinene arbeider isentropisk og at

varmeoverføringen fra omgivelsene er reversibel. Det er ingen høydeforskjell i anlegget

og den kinetiske energien til gassen kan neglisjeres.

Side 3 av 4

~Wut

∆~S = 0

C

~Qc

D

~W ınn

∆~S = 0

A

~Qh

B

5p a) Vis forløpet av den termodynamiske syklusen i et dertil egnet (x, y)-koordinatsystem.

Velg de aksevariablene som er mest hensiktsmessige, men husk å angi tilstandene A, B, C

og D i figuren. Bruk tilstandslikning for ideell gass og en fritt valgt referanse for entropi

dersom du finner dette nødvendig.

5p b) Vis forløpet av syklusen i tilhørende T, s– og p, v–diagrammer. Forklar hvordan du

kan definere tilført varme og avgitt arbeid ved hjelp av disse diagrammene.

5p c) Fins det noen termodynamisk sammenheng mellom T, s- og p, v-diagrammene i punkt c?

Forklar.

15p d) Den termodynamiske virkningsgraden til syklusen er definert som η = W/Qh = (Qh−

Qc)/Qh. Regn ut η gitt at Th = 900 K, Tc = 300 K, p2 = 10 bar og p1 = 3 bar. Tilstandene

Th, p2 og Tc, p1 er henholdsvis høyeste og laveste temperatur og trykk i syklusen. Anta at

arbeidsmediet er en ideell gass med varmekapasitet cp = 3.5R der R = 8.3145 J mol-1 K-1.

Hvis du ikke har gjort oppgavene 3a–3c) skal du regne ut temperatur og trykk i tilstandene

A, B, C og D, se figur i oppgaveteksten.

Oppgave 4 Svar på 3 av følgende 6 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel pre-

sise forklaringer. Korrekt besvarelse av flere enn 3 spørsmål gir bonuspoeng, men feil

besvarelse gir en tilsvarende trekk i poengsummen. Svar derfor på maksimalt 3 spørsmål

dersom du føler deg usikker. Merk at punkt e) har størst arbeidsbyrde og er derfor tillagt

ekstra vekt (bonuspoeng).

8.33p a) Hvilke fysikalske forutsetninger ligger til grunn for Bernoullis likning?

8.33p b) Forklar sammenhengen mellom Bernoullis likning og termodynamikkens 1. lov.

8.33p c) Hva er sammenhengen mellom fugasitetskoeffisienten ϕi og Gr,p og i hvilken tilstand

vil, generelt sett, ϕi = 1.0?

8.33p d) Hvor mange energifunksjoner kan avledes fra U(S ,V,N) ved Legendre-transformasjon?

Forklar hvilket variabelsett som er naturlig (kanonisk) for hver enkelt av funksjonene.

Side 4 av 4

16.66p e) Utled likevektslikningen

yiϕi p = xiγiϕsati psat

i exp

(

vsati

(p − psati

)

RT

)

.

Gjør rede for eventuelle antagelser som ligger til grunn for denne likningen. Bruk ut-

gangspunktet µαi= µβi ,∀i ∈ [1, n].

8.33p f) Utled likevektskriteriet for et lukket system med følgende kjemiske reaksjoner:

N2 +O2 = 2 NO

2 NO+O2 = 2 NO2

2 H2 +O2 = 2 H2O

Anta at systemet har en bestemt temperatur og et bestemt trykk (forhåndsbestemte verdier

med andre ord).



Side 1 av 2

Bokmål


Tore Haug-Warberg (1,2,3)

Terje Østvold (4)

EKSAMEN I ANVENDT TERMODYNAMIKK (TMT4140)

24. mai 2007

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:

Klasse C (spesielle)

Sensur:


Oppgave 1

30p a) For Gibbs energi er det vanlig å bruke funksjonsbeskrivelsen G = G(T, p, n). Bestem

det totale differensialet til G når du får oppgitt at dU = T dS − p dV +∑

i=1 µi dNi. Du må

selv utlede funksjonssammenhengen mellom G og U.

40p b) For systemer som har kun en (1) kjemisk komponent kan beskrivelsen forenkles til

G = G(T, p,N). Funksjonen har da til sammen 9 andrederiverte som vist nedenfor:

(

∂2G

∂(T, p,N)∂(T, p,N)

)

=

(

∂2G

∂T∂T

) (

∂2G

∂T∂p

) (

∂2G

∂T∂N

)

(

∂2G

∂p∂T

) (

∂2G

∂p∂p

) (

∂2G

∂p∂N

)

(

∂2G

∂N∂T

) (

∂2G

∂N∂p

) (

∂2G

∂N∂N

)

=

−CP

Tu v

w(

∂V∂p

)

x

y z(

∂µ

∂N

)

Sett på plass manglende derivasjonsindekser for diagonalelementene i den høyre matrisen

og bestem størrelsene u, v, w, x, y, z som partiellderiverte funksjoner av T , p, µ, S , V og

N. Hvor mange av disse størrelsene vil du si er uavhengige?

Side 2 av 2

30p c) En av de andrederiverte i punkt b) viser seg å være null (0) uavhengig av hvilken

tilstandsmodell som brukes til å beskrive systemet. Hvilken av de deriverte er dette? Gi

en fyldestgjørende forklaring.

Oppgave 2

30p a) En gassblanding består av komponentene NO, NO2, N2O, N2O4 og N2O3. Gi en kort

forklaring på hva det innebærer at reaksjonene

NO2 +NO = N2O3

NO2 +N2O = 3 NO

er uavhengige. Finn deretter ut om det forekommer flere uavhengige reaksjoner i syste-

met. Bruk fullverdige matematiske argumenter basert på massebevaringsprinsippet (prø-

ving og feiling godtas ikke).

30p b) Under bestemte forhold opptrer komponentene NO, N2O og N2O3 som inerte forbin-

delser. Skriv ned de termodynamiske likevektskriteriene som nå gjelder for blandingen i

punkt a). Du må gjerne utlede likevektskriteriene fra prinsippet om energiminimalisering

(bonuspoeng). Anta i så fall at temperatur og trykk holdes konstant i blandingen.

40p c) Finn likevektsammensetningen i blandingen b) gitt at temperaturen er 400 K, trykket

er 3 bar, og startmengden av alle komponentene er 1 mol. Termodynamiske data er gitt i

vedlegg.

Oppgave 3

40p a) En konstant produksjonsrate av NO tilsvarende 30, 000 kmol = 3 · 107 mol per døgn

skal komprimeres fra 1 bar til 10 bar. Innløpstemperaturen er 300 K. Beregn kompressor-

effekten [MW] ved antatt isentropisk kompresjonen av ideell gass:

wıg

s =γ

γ − 1RT

1 −

(

p

p

)γ−1γ

Termodynamiske data er gitt i vedlegg.

60p b) Finn et uttrykk for den isentropiske temperaturstigningen i punkt a) som funksjon av

trykkøkningen. Regn ut utløpstemperaturen fra kompressoren basert på dette uttrykket.

Bruk en energibalanse over kompressoren til å verifisere at du har regnet riktig.



Side 1 av 2

Bokmål


Tore Haug-Warberg (1)

Terje Østvold (2,3)


03. juni 2006

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Oppgave 1

16p a) Et termodynamisk system har 6 frihetsgrader gitt i form av 3 ekstensive variable X, Y

og Z (for eksempel S , V og N1) og 3 intensive variable a, b og c (for eksempel µ2, µ3 og

µ4). Til sammen utgjør disse variablene et kanonisk variabelsett for den ekstensive funk-

sjonen F. Sett opp et uttrykk for den integrale funksjonsverdien av F med utgangspunkt i

den informasjonen du nå har. Beskriv med ord hvilke forutsetninger som gjelder.

17p b) For Van der Waals tilstandslikning gjelder pVdW= RT/(v − b) − a/v2 hvor a og b er

uavhengige av temperaturen. Finn et uttrykk for Hr,v når Ar,v=

∫ V

∞

(NRT/ν− p(ν)) dν. Hva

kalles Hr,v og hvilken (termodynamisk) betydning har denne størrelsen? Hvilken verdi tar

limp→0 Hr,v?

17p c) Et viktig mellomtrinn ved fremstilling av salpetersyre er forbrenning av ammoniakk

over en platinakatalysator. Finn et sett av uavhengige reaksjonslikninger når gassblandin-

gen består av komponentene NO, NO2, N2O, N2, O2, NH3 og H2O. Gi et (matematisk)

argument for at reaksjonslikningene er uavhengige.

Side 2 av 2

17p d) Skriv ned likevektskriteriene som gjelder for systemet i punkt c). Hva blir endringen

i Gibbs energi for systemet hvis mengden av NH3 fluktuerer med en liten størrelse dNNH3

omkring likevektspunktet? Det skjer ingen ekstern tilsats av masse til systemet. Hint: du

trenger ikke å løse likevektslikningene for å klare denne oppgaven.

17p e) Anta at NH3 reagerer (forbrenner selektivt) med en støkiometrisk mengde O2 (i luft)

til produktene NO og H2O. Finn et uttrykk for den adiabatiske forbrenningstemperaturen

som funksjon av innløpsbetingelsene til reaktoren. Anta ideell gass. Finn et tallsvar når

innløpstemperaturen er 25 C. Termodynamiske data er gitt i vedlegg.

16p f) For en antatt irreversibel strømningsprosess (uten varig akselerasjon av fluidet) gjel-

der:

(

∂T

∂p

)

H,n

=

T

(

∂p

∂T

)

V,n

+ V

(

∂p

∂V

)

T,n

T

(

∂p

∂T

)2

V,n

−CV

(

∂p

∂V

)

T,n

Hva kalles denne størrelsen? Gi eksempler på enhetsoperasjoner som følger denne beskri-

velsen. Hvordan blir funksjonsuttrykket hvis prosesstrømmen er en ideell gass? Hvilket

fortegn tror du den (funksjonen) har for ren CO2 ved 100 bar og 400 K?



Side 1 av 1

Bokmål


Tore Haug-Warberg (1,2)



17. august 2005

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:






Side 1 av 2

Bokmål





11. juni 2005

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Oppgave 1 Enkelte kuldeanlegg bruker propan som arbeidsmedium. Til et slikt an-

legg trengs en kompressor, en Joule–Thomson ekspansjonsventil og to varmevekslere.

Målet med denne oppgaven er å betrakte kompressoren som et enkelt termodynamisk

kontrollvolum. Det antas at innløpsbetingelsene (T1, etc.) er kjent og at utløpsbetingel-

sene (T2, etc.) skal beregnes. Følgende data gjelder for propan: a = 27(RTc)2/(64pc),

b = RTc/(8pc), Tc = 369.83 K, pc = 42.48 bar og R = 8.3145 J mol-1 K-1. I ett av spørs-

målene nedenfor trengs residualet av Helmholtz energi som er definert ved

Ar,v=

∫ V

∞

(

pıg− p)

dν

der V er det totale volumet av systemet og dν er den tilhørende integrasjonsvariabelen.

10p a) For å beregne utløpstilstanden T2, p2, ~N2 og effektbehovet ~W trengs det 4 uavhengige

likninger. Anta at utløpstrykket p2 er spesifisert og skriv ned de øvrige balanselikningene

som gjelder for en tapsfri (isentropisk og adiabatisk) kompressor. Begrunn svaret. Anta

at kontrollvolumet er stasjonært, men la muligheten for kjemiske likevektsreaksjoner stå

åpen (se bort fra det faktum at propan er valgt som arbeidsmedium).

Side 2 av 2

20p b) Med propan som arbeidsmedium skjer det ingen kjemiske reaksjoner i kontrollvolu-

met i punkt a) og det er derfor tilstrekkelig å løse likningen s2(T2, p2) = s1(T1, p1) for å

finne utløpstemperaturen fra kompressoren (hvor s2 og s1 er molare entropier). Argumen-

ter for dette. Bruk svaret i punkt a) som utgangspunkt, eventuelt et frittstående argument

basert på antall uavhengige intensive tilstander. Det kan forutsettes at T1, p1 og p2 er kjen-

te størrelser.

10p c) I neste oppgave vil du trenge en (hyppig forekommende) Maxwell-relasjon. Forklar

hva en slik relasjon innenbærer i termodynamisk forstand. Gi 3 praktiske eksempler.

20p d) Finn temperaturen ved utløpet av kompressoren (med propan som arbeidsmedium)

når T1 = 258.9 K, V1 = 11Nb og V2 = 6Nb og entropien til gassen følger likningen

S (T,V) = S ıg+ S r,v der S r,v

= −NR ln(V/(V − Nb)). Du må selv utlede et egnet ut-

trykk for S ıg. Varmekapasiteten for det ideelle gassbidraget er konstant og valgt slik at

γ = cıg

p/c

ıg

v= 1.2.

20p e) Vis at S r,v i punkt d) er forenlig med Van der Waals likning pVdW= RT/ (v − b)−a/v2.

10p f) Regn ut trykket ved innløpet av kompressoren i punkt d). Bruk den samme tilstands-

likningen som i punkt e).




Side 1 av 2

Bokmål





02. august 2004

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Oppgave 1

10p a) For Van der Waals tilstandslikning gjelder:

cVdWp− cVdW

v

R=

1

1 −(3vr−1)2

4Trv3r

hvor Tr = T/Tc og vr = v/vc. Tegn en skisse som viser funksjonens oppførsel for Tr = 1.2

og Tr = 5. Bruk vr ∈ 〈0.333, 10〉 som fri variabel. Gi en fysikalsk forklaring på forskjellen

mellom de to isotermene. Hint: den kaldeste isotermen har et tydelig maksimum mens

den varmeste isotermen er tilnærmet flat.

Side 2 av 2

20p b) Forsøk om du kan utlede varmekapasitetsuttrykket i punkt a). Det holder at du finner

et uttrykk som den gir samme funksjonsverdien, ikke bruk for mye tid på å vise at de er

matematisk identiske. Oppgitt:

cp − cv = −T

(

∂p

∂T

)2

v,n

(

∂p

∂v

)-1

T,n

hvor pVdWr = 8Tr/(3vr − 1) − 3/v2

r og pcvc/(RTc) = 3/8.

20p c) Anta at du har en beskrivelse av Helmholtz energi for et fluid. Angi de termodyna-

miske kriteriene som gjelder for damp–væskelikevekt ved gitt temperatur T , volum V og

moltall N1,N2, · · · Ta utgangspunkt i minV,n(A)T . Hva blir kriteriene dersom blandingen

av en eller annen utenforliggende årsak skulle komme til å bestå av to faste eller to fly-

tende faser? Svaret skal gis på kanonisk form (kompliserte uttrykk med aktivitet- eller

fugasitetskoeffisienter er uønsket).

40p d) En 50:50 blanding av H2O og H2 med temperatur Tınn og trykk pınn ekspanderer

adiabatisk i en ventil til put. Utled en likning for temperaturendringen over ventilen når

hr,p/p = −100 J mol-1 bar-1. Merk deg hvilke enheter som er brukt for residual entalpi.

Gjør rede for alle antagelser. Regn til slutt ut et tallsvar for prosessbetingelsene Tınn =

420 K, pınn = 10 bar og put = 1 bar. Bruk CP-data fra SI Chemical Data eller estimer

fornuftige verdier på annet vis.




Side 1 av 3

Bokmål





04. juni 2004

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Oppgave 1 Deloppgavene a–d) er obligatoriske. Velg deretter én av deloppgavene e)

eller f). Dersom du har nok tid løser du begge (bonus). For residual Gibbs energi gjelder:

Gr,p =∫ p

0(V − NRT/π) dπ.

10p a) Hvilken referansetilstand gjelder for Gr,p (det vil si i hvilken tilstand er Gr,p = 0)?

20p b) Vis at Gr,p,2.vır = Bp hvor pV2.vır = NRT + Bp.

10p c) Generelt gjelder H = G + TS hvor S = − (∂G/∂T ). Hvilke variable skal holdes

konstant for at denne derivasjonen skal være gyldig? Skriv den deriverte med standard

notasjon.

20p d) Finn et analytisk uttrykk for Hr,p,2.vır. Gjør rede for hvert steg i utledningen.

Side 2 av 3

17p e) Regn ut Hr,p,2.vır for en blanding av 300 mol H2O og 700 mol H2 ved 420 K og 10 bar.

Hvis du ikke klarer dette skal du istedet regne ut B2.vır og T · (∂B2.vır/∂T ). Bruk følgende

likninger:

B2.vır

N=

∑

i

∑

j

Bi jxix j ; Bi j = B ji

BH2,H2

[m3 kmol]= 0.02376 − 2.653

(

T

[K]

)-1

BH2O,H2O

[m3 kmol]= 0.02222 − 26.38

(

T

[K]

)-1

− 1.675 · 107

(

T

[K]

)-3

− 3.894 · 1019

(

T

[K]

)-8

BH2,H2O

[m3 kmol]= −0.008 + 3 · 10-5

(

T

[K]

)

20p f) Blandingen fra punkt e) ekspanderes adiabatisk i en ventil til utløpstrykket put ≪ 1 bar.

Estimer temperaturendringen over ventilen (du må først sette opp en energibalanse). Bruk

CP-data fra SI Chemical Data eller estimer en fornuftig verdi på annet vis. Dersom du ikke

har svart på spørsmålet i punkt e) skal du bruke hr,p,2.vırınn = 122 J mol-1 som en representativ

verdi for residualet av entalpi. Gjør nøye rede for alle andre antagelser. Er temperaturend-

ringen større eller mindre enn forventet?

Oppgave 2 Det er i denne oppgaven gitt 8 likninger & ulikheter som beskriver for-

skjellige termodynamiske tilstander, tilstandsendringer eller prosessbetingelser. Uttrykke-

ne har varierende grad av gyldighet og du skal i hvert enkelt tilfelle avgjøre om likningen,

eller ulikheten, har følgende egenskaper:

• Er termodynamisk konsistent

• Inneholder en fortegnsfeil

• Krever ideell gass

• Gjelder kun ved konstant T og p

• Har andre fysiske begrensninger

Beskriv også i hvilken fysisk sammenheng likningen/ulikheten er gyldig. For eksempel

ved stasjonær tilstand, adiabatisk tilstandsendring, likevekt, o.s.v. Gi kortfattede og enty-

dige svar. Tre (3) av svarene skal gis med støtte i en mer detaljert utledning.

12.5p a) Tilstandsendring: dG = −S dT + V dp

12.5p b) Tilstand: CP = CV + NR

Side 3 av 3

12.5p c) Tilstand: (∂V/∂p)T = 0

12.5p d) Tilstand: (∂p/∂V)T = 0 ∧ (∂2 p/∂V2)T = 0

12.5p e) Tilstand: (∂S/∂p)T,N1,N2,...= (∂V/∂T )p,N1,N2,...

12.5p f) Tilstandsendering: S dT − V dp +∑

i Ni dµi = 0

12.5p g) Prosessbetingelse: ~Hınn = ~Hut med enheter [J s-1]

12.5p h) Prosessbetingelse: hınn = hut med enheter [J mol-1]



Side 1 av 1

Bokmål





09. mai 2003

Tidspunkt: 09:00 – 13:00

Hjelpemidler:


Sensur:




Høgskolen i Telemark

Institutt for miljøteknologi

Side 1 av 3

BokmålFaglig kontakt under eksamen:Tore Haug-Warberg

EKSAMEN I TEKNISK TERMODYNAMIKK (F2395)

05. juni 2001Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:Kalkulator, SI Chemical Data

Sensur:Senest 3 uker etter eksamen

Merknad: ingen

Oppgave 1

6p a) Vis at totalt differensial av S kan skrives

dS =CV

TdT +

(

∂p

∂T

)

V,n

dV +

n∑

i=1

(

∂S

∂Ni

)

T,V,N j,i

dNi

Angi alle definisjoner, identiteter og forutsetninger som trengs i utledningen.

6p b) Differensialet i punkt a) skal integreres for å finne ∆S for en lukket syklus i T,V-planet. Syklusen har form av et rektangel med følgende hjørnekoordinater: (400 K, 1 m3),(600 K, 1 m3), (600 K, 5 m3) og (400 K, 5 m3). Det er totalt 4 mol med kjemiske forbindel-ser i blandingen.

Integrer over koordinatene i samme rekkefølge som i oppgaveteksten. La start- og sluttil-standen for integrasjonen være gitt ved punktet (400 K, 1 m3). Anta ideell gassoppførselmed konstant varmekapasitet c

ıg

v= 30 J mol-1 K-1.

Side 2 av 3

6p c) Bruk svaret i punkt b) til å argumentere for — eller mot — at S er en mulig tilstands-funksjon. Dersom du ikke har besvart oppgaven ovenfor kan du benytte ∆S = 0 J K-1 somunderlag for vurderingen.

7p d) Regn ut S [J K-1] for hver av hjørnekoordinatene (T,V) i punkt b). Bruk tabellverdien192 J mol-1 K-1, målt ved T = 298.15 K og p = 1 bar, som referanse.

Oppgave 2

6p a) Van der Waals likning kan skrives

pVdW=

NRT

V − Nb−

N2a

V2

Tegn noen utvalgte isotermer i et p,V–diagram og angi de områdene der du finner:

• Én-fase gass eller væske.

• To-fase damp og væske i likevekt.

• Tilnærmet ideell gassoppførsel.

• Kritisk punkt.

Bruk tydelige aksepåskrifter og vær nøye med å angi eventuelle assymptoter. Angi spesi-elt hva som kjennetegner den termodynamiske tilstanden i det kritiske punktet.

6p b) Du får oppgitt at 8vcpc = 3RTc, 3b = vc og a = 3pcv2c. Eksperimentelle verdier for

nitrogen er pc = 34.000 bar og Tc = 126.2 K. Bruk disse verdiene til å beregne pVdW ien 40 l nitrogenbeholder som inneholder 500 mol gass ved 300 K. Sammenlikn med pıg

beregnet for den samme tilstanden. Kommenter avviket.

6p c) For Helmholtz energi gjelder (dA)T,n = −p dV . Vis at dette differensialet kan integre-res til

Ar,v ≡ AVdW(T,V, n) − Aıg(T,V, n) = NRT ln(

V

V − Nb

)

−N2a

V

hvor Ar,v uttrykker forskjellen i Helmholtz energi mellom Van der Waals fluidet og ideellgass ved temperaturen T og volumet V . Hint: gå veien om V = ∞. Hva kan du si om AVdW

og Aıg i denne tilstanden?

7p d) Regn ut Ar,v(300 K, 1 bar) for 1 mol nitrogen. Bruk a og b fra punkt b). Kommen-ter svaret. Hint: du må løse den implisitte likningen p − f (T,V) = 0 numerisk i denneoppgaven.

10p e) Finn et uttrykk for kjemisk potensial av Van der Waals fluidet som inkluderer både etresidual- og et ideell gassbidrag. Bruk dette resultatet til å stadfeste et nødvendig antallkriterier for damp–væeskelikevekt i systemet.

Side 3 av 3

Oppgave 3 En (antatt) ideell gass skal komprimeres fra 1 bar til 250 bar. For å spareelektrisk effekt er det valgt å utføre kompresjonen i flere trinn (et kompressortog), medmulighet for kjøling mellom trinnene. Effektbehovet ved reversibel og adiabatisk kom-presjon er oppgitt til:

~Wıg

i,i+1 =γ

γ − 1~NRTi

1 −

(

pi+1

pi

)γ−1γ

; i ∈ 0, 1, 2, . . .

Varmekapasiteten til gassen er cp= 35 J mol-1 K-1 og innløpstemperaturen er 280 K.

Strømningsraten er 13000 kmol h-1 (tretten tusen kilomol per time).

6p a) Regn først ut effektbehovet ved ett-trinns kompresjon, det vil si når kompresjonenskjer uten mellomkjøling. Angi svaret i MW.

7p b) Regn deretter ut det teoretisk minste effektbehovet ved to-trinns kompresjon forutsattat gassen mellomkjøles til 280 K. Angi svaret i MW. Hint: bestem det optimale mellom-trykket p1 ved å minimalisere ~W tot =

~W0,1 +~W1,2.

6p c) Sett opp en kombinert energi- og massebalanse for kompressortoget (inkludert mel-lomkjøling) under forutsetning av at strømningen er stasjonær. Skriv balansen på intensivform hut = . . .

6p d) Bruk energibalansen i punkt c) til å bestemme utløpstemperaturen fra to-trinnskom-pressoren i punkt b). Hvis du ikke har svart på noen av de tidligere deloppgavene kan duanta at kompressorarbeidet (for hver av kompressorene) utgjør 10 kJ mol-1.

Oppgave 4 Sølvacetylid (Ag2C2) er et hvitt, krystallinsk pulver som lages ved å bobleacetylengass (C2H2) gjennom en vandig løsning av et sølvsalt. Gitt de rette betingelseneeksploderer (detonerer) sølvacetylid kraftig i henhold til reaksjonslikningen:

Ag2C2(sol) = 2 Ag(sol) + 2 C(sol)

20p a) Sett opp en energibalanse for eksplosjonen. Anta at volumet holdes konstant. Gjøreventuelt andre antagelser du finner nødvendig.

20p b) Beregn adiabatisk eksplosjonstemperatur (ved konstant volum). Gjør rede for de an-tagelsene du finner nødvendig. Gitt: ∆fh

Ag2C2(sol) = 364 kJ mol-1; cp,Ag(sol) = 3R; pluss data

i vedlegget.

10p c) Den beregnede eksplosjonstemperaturen til sølvacetylid er mye høyere enn den tilsva-rende flammetemperaturen til acetylen (forutsatt forbrenning i luft ved konstant trykk),dette til tross for at de to forbindelsene har isomorfe kjemiske strukturer. Du behøverikke å etterprøve dette resultatet, men du skal allikevel kunne gi en teoretisk forklaring påhvorfor vi ser denne forskjellen. Tror du at forskjellen er synlig også i praksis? Hint: Deter 3 fysialske forhold som du må ta hensyn til i dette spørsmålet. Følgende informasjoner gitt: ∆fh

C2H2(gas) = 227 kJ mol-1, i tillegg til data gitt i vedlegget.



Side 1 av 3

BokmålFaglig kontakt under eksamen:

Tore Haug-Warberg


12. januar 2001

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:

Kalkulator, SI Chemical Data

Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

6p a) Utled totalt differensial av G(T, p, n). Ta utgangspunkt i et generelt, matematisk ut-

trykk og innfør de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær


6p b) I hvilken grad endres dG dersom temperaturen og volumet holdes konstant? Forklar

med dette overgangen fra totalt differensial dG til det partielle differensialet (dG)T,V .

8p c) Se oppgave 1c, HiT-eksamen 7. juni 1999.

Side 2 av 3

Oppgave 2 En dampmaskin helt uten bevegelige mekaniske deler ble i sin tid patentert

som fremdriftsmaskineri for båter og selges fortsatt under tilnavnet toc-toc boats i mange

leketøysbutikker. I korte trekk kan oppfinnelsen beskrives som en svingende vannsøyle

drevet av trykkvariasjonene i en dampkjel. Enheten består av en liten dampkjel koblet til

2 parallelle rør som er fylt med vann, og som munner ut like under vannlinjen bakerst i

båten. Varmetilførselen fra brennkammeret gjør at vannet i kjelen fordamper. Dette skaper

et overtrykk som støter ut mye av det vannet som fins i rørene. Rørene er nå fylt med damp

som kondenserer idet dampen treffer det omgivende vannet. Dette skaper et undertrykk i

systemet som suger friskt vann tilbake til dampkjelen, og som gir starten på en ny syklus.

±υ(

dM

dt

)

Luft/avgasser

Varmetap

Som drivstoff for dampkjelen holder det med et vanlig stearinlys. En full beskrivelse av det

termodynamiske systemet er utenfor vår rekkevidde, men noen målte og/eller estimerte

data for fremdriftsenheten er gitt nedenfor:

Dampkjelens volum lite i forhold til rørvolumet

Syklusens frekvens 4 Hz

Indre rørdiameter 3 mm

Rørlengde 100 mm

Brennstofforbruk 5 g h-1 stearin

Termodynamiske data for stearin med antatt bruttoformel CH3(CH2)16COOH er gitt neden-

for. Andre termodynamiske data er gitt i vedlegget.

∆fhıg = −808 kJ mol-1 sıg = 1061 J mol-1 K-1

∆fhsol = −850 kJ mol-1 ssol = 170 J mol-1 K-1

vsol = 0.333 dm3 mol-1

Side 3 av 3

8p a) Sett opp en energibalanse for det stiplete kontrollvolumet — integrert over en hel peri-

ode av syklusen. Balansen skal inkludere symboler for kinetisk, termisk og kjemisk ener-

gi. Det antas at periodene for inn- og utstrømning er like, og at det ikke er noen dødtid

forbundet ved overgangen fra inntil utstrømning, og tilsvarende fra ut- til innstrømning.

Strømningen i rørene er konstant (men motsatt rettet) i hver halvperiode. Båten kan antas

å ha neglisjerbar hastighet.

7p b) Stearinet forbrenner fullstendig med en støkiometrisk mengde luft til karbondioksid

og vanndamp. Sett opp en balansert reaksjonslikning for forbrenningsreaksjonen når luf-

tens sammensetning er 80 mol% N2 og 20 mol% O2. Hint: inkluder N2 på begge sider av

reaksjonslikningen — da blir sjansen før å gjøre en regnefeil i neste oppgave mindre.

10p c) Beregn eksergivirkningsgraden til enheten når denne er definert som:

η =

−

τ∫

0

~EK(t) dt

τ ·(

dMdt

)

· (∆h − T∆s)

Her er τ perioden for syklusen og ~EK er (raten av) den kinetiske energien til vannstrømmen

som til enhver tid krysser systemgrensen. Du kan anta at alt vannet i rørene blir skiftet ut

i løpet av én syklus. ∆h og ∆s er endringer i henholdsvis spesifikk entalpi og spesifikk en-

tropi for reaksjonen i punkt b). Omgivelsestemperaturen er 25 C. Termodynamiske data

fins i oppgaveteksten og i vedlegget.

Oppgave 3

10p a) Sett opp en energibalanse for stearinbrenneren beskrevet i oppgave 2. Anta adiabatiske

forhold, det vil si at du skal utelate dampkjelen fra balansen. Nevn deretter de forenklin-

gene du må gjøre for at balanselikningen skal ta formen:(

dU

dt

)

= ∆~H

10p b) Bruk energibalansen ovenfor til å finne et estimat på temperaturen til forbrenningsgas-

sen før den kommer i kontakt med dampkjelen. Anta at reaksjonen er fullstendig forskjø-

vet i retning av reaksjonsproduktene. Termodynamiske data er delvis gitt i oppgaveteksten

og i vedlegget.

10p c) Er antagelsen om fullstendig forbrenning riktig? For å svare tilfredsstillende på dette

spørsmålet må du beregne likevektskonsentrasjonen av stearin i forbrenningsgassen. Anta

ideell gassblanding. Bruk verdien R = 8.3145 J mol-1 K-1 for gasskonstanten.




Side 1 av 4


Tore Haug-Warberg


6. juni 2000

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1 Denne oppgaven omhandler P,V, T -egenskaper hos alminnelige gasser og

fluider. En alminnelig kjent tilstandsbeskrivelse er Van der Waals likning som kan skrives

p = RTv−b−

a

v2 , hvor a og b er stoffavhengige parametre.

5p a) Tegn funksjonen p = p(v, T ) for tre isotermer som oppfyller betingelsene: T1 < Tc,

T2 = Tc og T3 > Tc. Angi alle asymptoter med fysikalsk tolkning. Vis også plasseringen

av det kritiske punktet og angi hvilke betingelser som råder der. Bruk presise matematiske

formuleringer i den grad det er mulig.

5p b) Beregn endringen i indre energi ∆U = T 2∫

(∂(p/T )/∂T )V,n dV for 3 mol nitrogengass

som komprimeres fra V1 = ∞ til V2 = 3 · 10-4 m3 ved T = 250 K. Bruk følgende stoff-

egenskaper: a = 0.14 Pa m6 mol-2 og b = 4 · 10-5 m3 mol-1.

Side 2 av 4

Oppgave 2 Ved distribusjon av naturgass er det viktig at duggpunktet (av vann) i den

ferdig behandlete gassen ligger betryggende under den laveste temperaturen som kan opp-

stå i distribusjonsnettet. En måte å oppnå dette på er å kjøle gassen til en lav temperatur og

skille ut det kondenserte vannet før gassen slippes inn på rørledningen. I en mulig tørke-

prosess utviklet av nederlandske Shell blir gassen først ekspandert (det vil si aksellerert) i

en dyse, og eventuelle vanndråper fjernet, før gassen går til trykkgjenvinning i en diffusor.

Rørdiameteren ved innløpet er den samme som ved utløpet:

vann

gass inn gass ut

6p a) Energibalansen for enheten, slik denne er blitt beskrevet i en salgsbrosjyre som omta-

ler patentet, er antatt å være:~EK = −∆

~H

Forklar den fysikalsk–matematiske opprinnelsen til de tre symbolene ~EK, ∆ og ~H, slik de

forekommer i denne likningen.

6p b) Forklar hvilke forutsetninger som må være innfridd for at energibalansen skal ta den

(enkle) formen i punkt a). Forutsetningene skal angis i form av likninger med støttetekst.

6p c) Finn et uttrykk for den laveste temperaturen Tmın som teoretisk sett kan oppstå i en-

heten, angitt ved trykkforholdet p/pınn hvor p er trykket i et vilkårlig punkt langs strøm-

ningsretningen. Anta null varmetap og ideell gassoppførsel.

6p d) Anta at Tınn = 80 C og pınn = 120 bar. Hva blir Tmın dersom gassen består av tilnær-

met ren metan og arealet i det trangeste tverrsnittet er valgt slik at trykket her er 60 bar?

Termodynamiske data er gitt i vedlegget. Gjør rede for eventuelle forenklinger du måtte

foreta underveis. Gjør bruk av likningen ln(T/T) =

γ−1

γln(p/p

) dersom du ikke har klart

punkt c).

6p e) Skisser temperatur-, trykk- og hastighetsprofilene til gassen mellom inn- og utløpet.

Fins det en nedre eller øvre grense for den hastigheten som gassen kan innta i et punkt

langs strømningsretningen? Forklar.

6p f) Beregn lydhastigheten til metan ved innløpsbetingelsene i punkt d). Hint: ta utgangs-

punkt i likningen υ2⋆ =

v2

Mw

(

∂p

∂v

)

s,n.

Oppgave 3 En enkel iskrem-maskin er laget av en isolert boks med en innvendig be-

holder for fløte og godsaker samt et røreverk, omgitt av en kuldeblanding bestående av

natriumklorid og is for å fryse fløten:

Side 3 av 4

NaCl(sol) + H2O(sol)

Fløte

6p a) Sett opp et generelt uttrykk for entropiproduksjonen per tidsenhet i systemet, det vil

si for kuldeblandingen og iskremen sett under ett. Anta at fløten og kuldeblandingen hver

for seg har uniforme temperaturer, og at massen av den indre beholderen er neglisjerbar.

Hint: dS = δQrev /T .

6p b) Regn ut entropiproduksjonen når 1 kg fløte fryser til is under stasjonære forhold. Anta

at fløten er forhåndskjølt til frysepunktet. Fløten består av 65 vektprosent vann og har det

samme frysepunktet som rent vann. Fettet i fløten forblir flytende i prosessen. Kuldeblan-

dingen holder konstant −18 C og smeltevarmen til vannet er 6000 J mol-1.

6p c) Eksergibalansen til et stasjonært kontrollvolum som har kun ett inn- og ett utløp, og

som er omgitt av en varmevekslerflate med en konstant temperatur T på innsiden og T

på utsiden, kan skrives på formen:

TS ırr = (~H − T

~S − µ

~N)ınn

− (~H − T~S − µ

~N)ut

+

(

1 −T

T

)

~Q

− ~Ws

Hvilke tre balanselikninger ligger til grunn for denne likningen? Gi en kort forklaring på

hvordan eksergilikningen fremkommer.

6p d) Gi en kort forklaring på symbolene i punkt c). Vær spesielt nøye med å angi korrekte

enheter.

6p e) Saltbaserte kuldeblandinger er forbeholdt småskaladrift og husholdninger. I industri-

ell målestokk blir dette for dyrt og man tyr istedet til mekaniske kjølemaskiner. Regn ut

det teoretisk minste arbeidet som trengs for å fryse fløten i punkt b) gitt at maskinen ope-

rerer reversibelt mot omgivelsestemperaturen til ismaskinen som er 290 K.

Oppgave 4 Et lukket termodynamisk likevektssystem består av komponentene: O2, N2,

NO, NO2, N2O3 og N2O4. Du skal i denne oppgaven uttale deg om reaksjonslikninger,

likevektsrelasjoner og støkiometriske omsetninger i systemet.

Side 4 av 4

6p a) Finn et sett av uavhengige reaksjonslikninger for systemet. Bruk matrisealgebra i ut-

ledningen.

5p b) Ved t = 0 er det kun NO2 og N2 som er tilstede i gassblandingen. Mengden av de

to forbindelsene er henholdsvis NNO2= 3 mol og NN2

= 1 mol. Sett opp et uttrykk som

beskriver alle mulige sammensetninger av systemet for t > 0. Bruk uavhengige reaksjons-

omfang (eng. extent of reaction) som fri variable i uttrykket. Dette er kun et spørsmaål

om støkiometri — ikke likevektssammensetning.

3p c) Reaksjonskinetikken er en begrensende faktor i punkt b) slik at N2O4 er det eneste

reaksjonsproduktet som kan dannes. Hvilke uavhengige reaksjonslikninger har du nå?

5p d) Termodynamisk reaksjonslikevekt ved gitt T og p er beskrevet ved 2µNO2= µN2O4

.

Vis gyldigheten av denne likningen med utgangspunkt i minimum Gibbs energi for like-

vektssystemet.

6p e) Beregn likevektsfordelingen av NO2 og N2O4 ved T = 400 K og p = 2 bar. Benytt de

samme initialbetingelsene som i punkt b). Termodynamiske data er gitt i vedlegget.



Side 1 av 1


Tore Haug-Warberg


14. januar 2000

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1 Se oppgave 1, HiT-eksamen 17. august 1994.






Side 1 av 3


Tore Haug-Warberg


07. juni 1999

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

6p a) Sett opp det totale differensialet av A(T,V, n). Ta utgangspunkt i et generelt uttrykk

og innfør deretter de definisjoner/symboler som normalt brukes i termodynamikken. Vær


7p b) Hva blir differensialet i punkt a) dersom temperatur og trykk er konstante størrelser?

7p c) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold γ = cp/cv gjelder:

(

T2

T1

)

S ,n

=

(

p2

p1

)(γ−1)/γ

Vis gyldigheten av denne relasjonen.

Oppgave 2

Side 2 av 3

10p a) Brayton-prosessen beskriver en lukket, rektangulær termodynamisk syklus i S , p-

planet. Vi skal her benytte ideell gass med konstant varmekapasitet som arbeidsmedium.

Vis at den termodynamiske virkningsgraden til syklusen kan skrives som

η =Ws

Qh

= 1 −T4 − T1

T3 − T2

hvor temperaturene T1, T2, T3 og T4 har klare fysikalske tolkninger. Illustrer syklusen i

henholdsvis et T, S -diagram og et p,V-diagram. Benytt indeksene 1, 2, 3 og 4 for å angi

de fire hjørnene i syklusen.

10p b) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold gjelder (jevnfør oppgave 1c):

(

T2

T1

)

S ,n

=

(

p2

p1

)(γ−1)/γ

S ,n

Bruk denne relasjonen til å regne ut virkningsgraden η gitt at den laveste temperaturen i

syklusen er 250 C og at trykkforholdet p2 : p1 er 20 : 1. Bruk termodynamiske data for

luft bestående av 79% N2 og 21% O2 med en antatt gjennomsnittstemperatur T = 900 K

i utregningen. Hint: Beregningen forenkles betraktelig ved først å skrive virkningsgraden

på formen η = η(T1, T2).

Oppgave 3

6p a) Diesel, som vi skal anta har bruttoformelen C10H22, forbrennes med luft i et brenn-

kammer som holder konstant trykk. Luft : diesel–forholdet er 2 ganger det som kreves

for støkiometrisk forbrenning til karbondioksid og vanndamp (luft er med andre ord i

overskudd). Sett opp en balansert reaksjonslikning som beskriver forbrenningen. Luftens

sammensetning kan for enkelthets skyld settes til 20% O2 og 80% N2.

6p b) Utled deretter en generell energibalanse for brenneren. Hvilke forenklinger gjelder i

denne sammenhengen? Skriv til slutt balansen på enklest mulig form.

6p c) Bruk energibalansen ovenfor til å finne et estimat av temperaturen til forbrennings-

gassen. Anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre, det vil si at dieselen blir

fullstendig omsatt i forbrenningsprosessen. Temperaturen til dieselen er 25 C. Forbren-

ningsluften som pumpes inn i brennkammeret er forvarmet til 800 K. Trykket er regulert

til 50 bar. Gassblandingen antas å være ideell.

6p d) Luft : diesel-forholdet blir ved en feiltagelse endret til 0.8 som betyr at luften er i

underskudd. Dieselen blir fortsatt brukt opp, men forbrenningsproduktene er nå C(sol),

CO(gas), CO2(gas) og H2O(gas). Dette systemet har én uavhengig reaksjonslikning.

Hvilken? Bruk denne reaksjonen til å utlede en termodynamisk beskrivelse av den (nye)

likevektstilstanden til forbrenningsgassen. Det kjemiske potensialet til C(sol) kan antas å

være uavhengig av trykket og av sammensetningen til gassfasen.

Side 3 av 3

6p e) Løs likevektslikningen(e) i punkt d) gitt at trykket i brennkammeret er 40 bar og tem-

peraturen er 1000 K.

Oppgave 4

5p a) Van der Waals tilstandslikning skrives gjerne på formen:

pVdW(T, v, x) =RT

v − b(x)−

a(x)

v2

Angi konsistente enheter (for eksempel SI-enheter) for de ulike symbolene som inngår i

denne likningen. Har parametrene a og b noen fysikalsk tolkning?

5p b) Skisser funksjonsforløpet til Van der Waals-likningen i et p,V-diagram. Sørg for at

det kritiske punktet er inkludert i illustrasjonen. Angi asymptotene til grafen på en presis

måte.

8p c) Du får vite differensialet (dU)n = CV dT+[

T (∂p/∂T )V,n − p]

dV. Sett inn for Van der Waals

tilstandslikning og bruk deretter differensialet til å beregne endringen i indre energi for

3 mol H2O(gas) når tilstanden endres fra 25 C og 0 bar til 100 C og 2 bar. Gjør rede

for eventuelle antagelser som inngår i beregningen. Egenskapene til H2O(gas) er: a =

5.47 atm dm6 mol-2, b = 0.03 dm3 mol-1, cıg

p(300 K)ıg = 33.596 J mol-1 K-1 og c

ıg

p(400 K)ıg =

34.262 J mol-1 K-1. Generelt gjelder: R = 8.3145 J mol-1 K-1 og 1 atm = 101325 Pa.

7p d) Van der Waals tilstandslikning kan skrives på dimensjonsløs form ved å dra nytte av

relasjonene pcvc/RTc = 3/8, vc = 3b og 3pcv2c = a. Hvilken form er dette? Kritiske ver-

dier for metan er Tc = 190.6 K og pc = 46 bar. Anta at 100 mol metangass oppbevares

i en beholder som rommer 10 dm3. Regn ut trykket i beholderen når temperaturen er 25 C.



Side 1 av 3


Tore Haug-Warberg


13. januar 1999

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

4p a) Sett opp det totale differensialet av U(T,V, n). Merk deg det angitte variabelsettet og

vær nøye med symbolbruken.

4p b) Se oppgave 1c, HiT-eksamen 21. mai 1997.

4p c) Se oppgave 1d, HiT-eksamen 14. januar 1998.

4p d) Se oppgave 1f, HiT-eksamen 14. januar 1998.

4p e) Et enkelt, åpent kontrollvolum har ett innløp og ett utløp som tillater masseutveksling

med omgivelsene, slik denne figuren antyder:

Den kjemiske sammensetningen av inn-strømmen er konstant (tidsuavhengig). Sett opp

en likning som beskriver temperaturutviklingen i volumet. Du kan se bort fra kinetiske og

potensielle energibidrag.

Side 2 av 3


Oppgave 3

4p a) Ammoniakk omsettes selektivt med luft til produktene vann og nitrogenmonoksid i

nærvær av en platina-katalysator (Ostwald-prosessen) etter følgende skjema:

a NH3 +b O2 = c H2O+d NO

Balanser reaksjonslikningen det vil si bestem koeffisientene a, b, c og d.

4p b) Anta at reaksjonen i punkt a) forløper i gassfase på en slik måte at både temperatur og

trykk holdes konstant. Sett opp et tilstrekkelig antall likninger som beskriver den termo-

dynamiske likevekten for reaksjonen. Ta utgangspunkt i størrelsen kjemisk potensial og

argumenter kort for hvordan likningen(e) fremkommer.

5p c) Gassblandingen i punkt b) betraktes som ideell. Vis at likevektsuttrykket kan omfor-

mes til:y4

NOy6H2O

y4NH3

y5O2

·

(

p

p

)

= exp

(

−∆rxG

RT

)

= K; R = 8.3145 J mol-1 K-1

5p d) Trykket i prosessen endres. Vil denne endringen påvirke størrelsen K i punkt c)? Hva

skjer med likevektskonsentrasjonene? Gi en kort forklaring.

6p e) I en virkelig ammoniakk-prosess foregår ammoniakkoksidasjonen ved 1200 K og

5 bar. Ammoniakk : luft-forholdet inn på brenneren er 4 : 30. Luftens sammensetning

er ca. 80% N2 og 20% O2. Alle mengdeangivelser er på volumbasis. Beregn likevekts-

konsentrasjonene. Nødvendige termodynamiske data er gitt i vedlegg.

6p f) Beregn den adiabatiske flammetemperaturen til Ostwald-prosessen. Innløpsbetingel-

sene settes til 298.15 K og 5 bar. Det kreves ikke en eksakt løsning av problemet, men en

øvre og en nedre temperaturskranke skal angis (±100 K). Dersom du ikke har funnet noe

svar på punkt e) skal du anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot høyre.

Oppgave 4

6p a) Se oppgave 4b, HiT-eksamen 5. juni 1998.

6p b) Utnyttelse av industriell spillvarme er et aktuelt energisparetiltak i bynære samfunn.

I en patentert prosess kjøles industrielt spillvann fra 100 C til 30 C ved et konstant

trykk lik 1 bar. All varmeveksling skjer fra en prosessflate som holder 30 C til en kjøle-

vannsstrøm som holder 10 C. Beregn entropiproduksjonen for prosessen uttrykt i enheten

kJ tonn-1H2O K-1.

Side 3 av 3

7p c) Oppfinneren påstår at prosessen kan levere elektrisk effekt tilsvarende 30 MJ tonn-1H2O

uten å endre på noen av betingelsene i punkt b). Avgjør om den patenterte prosessen er

mulig.

6p d) Blir svaret i punkt c) et annet dersom spillvannet erstattes med 100 C spilldamp? De

øvrige betingelsene forblir uendret.



Side 1 av 5


Tore Haug-Warberg


05. juni 1998

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

4p a) Nevn de fire mest brukte energifunksjonene i termodynamikken. Gi en anvisning på

klassiske bruksområder for disse funksjonene. Forklar hvilke fri variable som er naturlige

(kanoniske) i hvert enkelt tilfelle.

6p b) Vis sammenhengen mellom U og H på både differensiell form og integral form.

5p c) Avgjør hvorvidt følgende sammenhenger er gyldige eller ikke:

(

∂S

∂p

)

T,n

= −

(

∂V

∂T

)

p,n(

∂S

∂V

)

T,n

=

(

∂p

∂T

)

V,n

10p d) Regn ut h(T, p) og s(T, p) for ett mol mettet vanndamp ved 373.15 K og 1.01325 bar.

Ta utgangspunkt i følgende termodynamiske størrelser:

Side 2 av 5

Størrelse T [K] p [bar] Fase Verdi Enhet

∆fh 298.15 1 lıq −285000 J mol-1

s 298.15 1 lıq 70 J mol-1 K-1

cp 298.15 1 lıq 75 J mol-1 K-1

cp 298.15 1 ıg 34 J mol-1 K-1

∆vh 298.15 0.03168 lıq, vap 44010 J mol-1

∆vh 373.15 1.01325 lıq, vap 40670 J mol-1

Hint: Svaret kan regnes ut på iallfall to forskjellige måter og du står fritt i å velge den

termodynamiske ruten du finner mest hensiktsmessig. Anta at fordampning av væske skjer

til en mettet dampfase med tilnærmet ideell gassoppførsel.

Oppgave 2

8p a) Otto-prosessen er en lukket (rektangulær) termodynamisk syklus i S ,V-planet. Vis at

virkningsgraden til denne syklusen kan skrives:

ηOtto =W

Qh

= 1 −T4 − T1

T3 − T2

Hvilke antagelser ligger til grunn for denne likningen og hvilken betydning kan man til-

legge de fysikalske temperaturene T1, T2, T3 og T4? Forklar med støtte i p, v- og T, s-

diagrammet til syklusen.

9p b) For en ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold gjelder følgende relasjon:

(

T2

T1

)

S ,n

=

(

V2

V1

)1−γ

S ,n

Bruk denne relasjonen til å regne ut ηOtto i punkt a) gitt at den laveste temperaturen i syk-

lusen er 25 C og at kompresjonsforholdet V1 : V2 = 8. Du kan bruke (gjennomsnittlige)

termodynamiske egenskaper for luft (79% N2 og 21% O2) beregnet ved T = 500 K (se

vedlegg) i utregningen. Merk: virkningsgraden er uavhengig(!) av maksimaltemperaturen

i syklusen.

8p c) Virkningsgraden til Otto-syklusen kan i prinsippet forbedres ved å utnytte spillvarmen

på den kalde siden i syklusen til å drive en Carnot-maskin. Hva blir det optimale bidra-

get fra en slik maskin uttrykt ved hjelp av temperaturene T1, . . . , T4? Gi svaret på formen

ηtot = (WOtto + WCarnot)/Qh. Anta at det fins tilgjengelig et eksternt varmereservoar som

holder den samme temperaturen som den laveste temperaturen i syklusen. Beskjed: hvis

du ikke har svart på punkt a) skal du bruke temperaturene T1 og T4 = 2×T1 for henholds-

vis den laveste og den høyeste temperaturen i Carnot-syklusen.

Side 3 av 5

Oppgave 3 Forbrenning av svartkrutt skjer etter følgende omtrentlige brutto omset-

ningsreaksjon:

12 KNO3(sol) + 20 C(sol) + 5 S(sol)

=

a C(sol) + b K2S(lıq)

+

c KO(gas) + d SO2(gas) + e N2(gas) + f CO(gas) + g CO2(gas)

8p a) Bestem et fullstendig sett av uavhengige reaksjonslikninger for produktene. Reaktan-

tene skal ikke inngå i disse likningene. Kaliumnitrat og svovel forbrennes med andre ord

fullstendig.

5p b) Utled et fullstendig sett av reaksjonslikevekter for produktblandingen som i prinsip-

pet kan løses (numerisk) for å bestemme verdiene av koeffisientene a, b, c, . . ., g. Still

likningene opp på kjemisk potensialform. Du skal ikke forsøke å løse likningene, men du

må kunne forklare fremgangsmåten i likevektsberegningene.

7p c) Vi skal nå se bort fra de omfattende reaksjonslikevektene i punkt b). Istedet antar vi

at reaksjonen følger nettolikningen:

12 KNO3(sol) + 20 C(sol) + 5 S(sol)

=

5 K2S(lıq) + 2 KO(gas) + 6 CO(gas) + 14 CO2(gas) + 6 N2(gas)

Bestem en øvre og en nedre skranke for eksplosjonstemperaturen, og det tilhørende eks-

plosjonstrykket, forutsatt at forbrenningen er adiabatisk og foregår i et lukket rom med

konstant volum (isokor prosess). Volumet til produktblandingen er slik at det akkurat gir

plass til reaktantene, som alle er i fast fase. Bruk ideell gasslov for produktene (unntatt

K2S som er i væskeform). Gjør nøye rede for alle andre antagelser. Termodynamiske data

er gitt nedenfor, og som vedlegg.

Forbindelse Faseρ

[kg m-3]

∆fh(298.15 K,1 bar)

[kJ mol-1]

S sol 2100 0

KNO3 sol 2100 −493.0

C sol 2300 0

K2S lıq 1800 −346.506

Atommasser: Mw,K = 39.10, Mw,N = 14.01, Mw,O = 16.00, Mw,C = 12.01 og Mw,S = 32.06.

Side 4 av 5

5p d) Under normale forhold brenner kruttet med en betydelig karbonrest. Med fritt karbon

tilstede vil likevektsfordelingen av karbonmonoksid og karbondioksid følge likningen:

y2CO

yCO2

· g(p) = K(T )

Bestem funksjonsverdiene av g(1000 bar) og K(1600 K). Benytt termodynamiske data fra

vedlegget.

Oppgave 4

5p a) Hva innebærer begrepet “tilgjengelig energi” (eng. available energy), til forskjell fra

“eksergi” (eng. exergy)?

5p b) Gjør rede for de størrelsene som inngår i uttrykket nedenfor. Merk at det kjemiske

potensialet i referansetilstanden er formelt sett lik null, det vil si µ = 0. Du kan fatte deg

i korthet, men husk å angi korrekte enheter.

T~S ırr = (~H − T

~S )ınn − (~H − T~S )ut +

(

1 −T

T

)

~Q − ~W s

5p c) En oppfinner ønsker å patentere en ny type dampturbin. På oppfordring blir følgende

flytskjema overlevert patentingeniøren:

~S ınn = 134.3 J K-1 s-1

~Hınn = 64048 J s-1

~S ut = 132.3 J K-1 s-1

~Hut = 48648 J s-1

~Ws = 14200 W

~Q = −1200 W

Referansetilstandene for entalpi og entropi (gitt som molare verdier i figuren) er flytende

vann ved trippelpunktet (273.16 K, 0.0061 bar). Det er benyttet vanlig fortegnskonvensjon

for varme og arbeid, det vil si at tilført varme og utført arbeid er positive størrelser (målt

som overført energi per mol strømmende fluid). Det er med andre ord snakk om et positivt

varmetap i denne prosessen.

Spørsmål: er oppfinnelsen mulig med utgangspunkt i en analyse basert på termodynamik-

kens 1. lov?

Side 5 av 5

5p d) Som en tilleggsopplysning får du vite at spillvarmen fra maskinen blir hentet ut fra en

overflate med temperatur T = 560 K. Omgivelsestemperaturen T var under uttestingen

lik 280 K. Hva vil du nå si om realiserbarheten av oppfinnelsen? Bruk termodynamikkens

2. lov.

5p e) Anta at T endres fra 280 K til 350 K. Endrer dette svaret i punkt d) på noe vis?

Oppfinneren sier at varmevekslingen med omgivelsene er proporsjonal med temperatur-

differansen T − T. Eventuelle forandringer i det produserte arbeidet er ikke spesifisert.



Side 1 av 3


Tore Haug-Warberg (1, 2, 3)

Are Mjaavatten (4)


14. januar 1998

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

4p a) Utled sammenhengen mellom energifunksjonene U(S ,V, n), A(T,V, n) og G(T, p, n).

Gi svarene på integral form (du blir spurt om differensialene i punkt b).

4p b) Utled de totale differensialene av funksjonene i punkt a).

4p c) Vis at (∂T/∂V)S ,n = − (∂p/∂S )V,n. Bruk U(S ,V, n) som utgangspunkt.

4p d) Du får oppgitt følgende differensial: d f = S dT −V dp+∑

i Ni dµi. Bestem funksjonen

f .

4p e) Et kontrollvolum har én inn- og én utgang for masseutveksling med omgivelsene, som

antydet i denne figuren:

Side 2 av 3

Sett opp en dynamisk energibalanse for systemet som inkluderer kinetisk energi i tillegg

til indre energi.

4p f) Regn ut høyresiden av d f i punkt d) for en ideell binær blanding ved antatt konstant

trykk og temperatur. De to komponentene utgjør tilsammen 1 mol.

Oppgave 2

6p a) Vis at følgende uttrykk gjelder for ideell gass:

(

∂p

∂V

)ıg

T,n

= −NRT

V2

(

∂p

∂V

)ıg

S ,n

= −NRT

V2·

CP

CV

6p b) Forklar hvorfor

(

∂p

∂V

)

T,n

>

(

∂p

∂V

)

S ,n

i punkt a).

6p c) Carnot-syklusen er en lukket termodynamisk syklus i T, S -planet. Skisser forløpet av

syklusen i T, S -diagrammet og et tilhørende p,V-diagram. Anta ideell gass som arbeids-

medium. Det forlanges ikke at diagrammene tegnes i skala, men stigningen på kurvene

skal være kvalitativt korrekt. Kommenter figurene på en slik måte at dette budskapet kom-

mer klart frem. Nummerer også kurvegrenene slik at de to diagrammene kan sammenhol-

des.

6p d) Den termodynamiske virkningsgraden til en varmekraftmaskin er definert som η =

W/Qh. Bestem η for Carnot-syklusen slik den er beskrevet i punkt c).

6p e) I punkt d) er det forutsatt at ideell gass benyttes som arbeidsmedium. Blir svaret et

annet dersom den ideelle gassen byttes ut med et annet arbeidsmedium, for eksempel en

komprimert gass eller en væske? Gi en kort forklaring.

Oppgave 3

4p a) Urea kan omsettes med oksygen og danne vann, karbondioksid og nitrogen etter føl-

gende reaksjonsskjema:

a (NH2)2CO+b O2 = c H2O+d CO2 +e N2

Omvendt kan det tenkes at urea dannes ved den motsatte reaksjonen. Balanser reaksjons-

likningen, det vil si bestem koeffisientene a, b, c, d og e. Vis at svaret tilfredsstiller atom-

balansene til systemet.

Side 3 av 3

5p b) Vi antar at reaksjonen i punkt a) forløper i gassfase, med unntak av urea som foreligger

i fast form. Sett opp et fullstendig sett av likninger som bestemmer den termodynamiske

likevekten i systemet. Forklar i korte trekk hvordan likningene fremkommer. Merk: dette

er et heterogent likevektssystem.

5p c) Gassblandingen i punkt b) betraktes som ideell. Dersom temperaturen og trykket til

systemet er kjent kan den kjemiske likevekten skrives som:

y4H2Oy2

CO2y2

N2

y2(NH2)2CO

y3O2

·

(

p

p

)3

= exp

(

−∆rxG

RT

)

= K

R = 8.3145 J mol-1 K-1

Vis hvordan likningen fremkommer. Merk at (NH2)2CO nå inngår som en ny (hypotetisk)

komponent i gassfasen. Men, denne utgjør kun en mikroskopisk andel av den urea som

fins fordi mesteparten vil foreligge i fast fase. Situasjonen slik den er beskrevet før er

derfor i store trekk uendret.

4p d) Anta at temperaturen, eller trykket, eller eventuelt sammensetningen av systemet

endres. I hvilken grad vil disse endringene påvirke K i punkt c)? Gi en kort men pre-

sis forklaring.

6p e) Sammensetningen av tørr luft i volum% er ca. 79% N2, 20% O2, 1% Ar og 0.03%

CO2. Vanninnholdet i luften varierer kraftig, men kan for vårt formål settes til 1% H2O.

Regn ut konsentrasjonen av urea (i luft) ved T = 25 C og p = 1 atm = 1.01325 bar. Gi

en vurdering av muligheten for at urea dannes ved gassfasereaksjon i atmosfæren.

∆fh

(NH2)2CO = −246000 J mol-1

∆sh(NH2)2CO = 88000 J mol-1 (sublimasjon)

s(NH2)2CO = 249 J mol-1 K-1

Andre termodynamiske data er gitt i vedlegget.

6p f) Hva blir den adiabatiske flammetemperaturen ved forbrenning av fast urea i luft når

reaksjonsproduktene er som beskrevet i punkt a)? Det kreves ikke en eksakt løsning av

problemet, men en øvre og nedre temperaturskranke skal angis (±100 K). Dersom du ikke

har funnet noe svar på punkt e) kan du anta at reaksjonen er fullstendig forskjøvet mot

høyre.



Side 1 av 3


Tore Haug-Warberg (1, 2, 3)

Are Mjaavatten (4)


21. mai 1997

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

4p a) Utled sammenhengen mellom energifunksjonene U(S ,V, n), H(S , p, n) og G(T, p, n).

Gi svarene på integral form (du blir spurt om differensialene i punkt b).

4p b) Utled de totale differensialene av funksjonene i punkt a).

4p c) Vis at (∂S/∂p)T,n = − (∂V/∂T )p,n. Bruk G(T, p, n) som utgangspunkt.

4p d) Hva er en termodynamisk Maxwell-relasjon? Gi minst 3 eksempler.

4p e) Et kontrollvolum har én inn- og én utgang for masseutveksling med omgivelsene, som

antydet i denne figuren:

Side 2 av 3

Sett opp en dynamisk energibalanse for systemet som inkluderer potensiell energi og ind-

re energi, men ikke kinetisk energi.

4p f) Se oppgave 3b, HiT-eksamen 16. august 1993.

Oppgave 2 Lenoir-syklusen beskriver virkemåten til en såkalt ram-jet flymotor. Ideelt

sett kan den betraktes som en lukket termodynamisk syklus. Syklusen ser omtrent slik ut

i p, v-koordinater:

Konstant entropi

p0, p2

p1

v0, v1 v2

4p a) Skisser T, s-diagrammet til Lenoir-syklusen på bakgrunn av det oppgitte p, v-diagrammet.

Vær spesielt nøye med å få en kvalitativt korrekt helning av kurvene.

4p b) Fins det noen eksakt sammenheng mellom arealene i p, v-diagrammet og T, s-diagrammet

for en lukket termodynamisk syklus? Forklar.

4p c) Den termodynamiske virkningsgraden til en varmekraftmaskin er definert som η =

Ws/Qh. Gi en grafisk tolkning av η ved hjelp av diagrammene i punkt b).

8p d) Finn et analytisk uttrykk for virkningsgraden til Lenoir-syklusen. Anta at arbeidsme-

diet er en ideell gass med temperaturuavhengig varmekapasitet.

4p e) Regn ut virkningsgraden til Lenoir-syklusen gitt at v2/v1 = 3 og cv = 30 J mol-1 K-1.

Hvis du ikke har ferdigstilt punkt d) kan du gjøre bruk av η = 1 − γ(r − 1)/(rγ − 1), hvor

r = v2/v1.

Side 3 av 3

Oppgave 3 Lystgass (N2O) er et kraftig oksidasjonsmiddel som benyttes istedenfor luft

for blant annet å oppnå økt motoreffekt under konkurransekjøring. I denne oppgaven skal

du svare på endel spørsmål vedrørende forbrenning av nitrometan (CH3NO2) i lystgass.

Termodynamiske data for CH3NO2(lıq) ved T = 298.15 K og p = 1 bar er gitt nedenfor:

∆fh = −115 kJ mol-1

s = 173 J mol-1 K-1

cp = 100 J mol-1 K-1

Andre relevante termodynamiske data er gitt i bilag.

4p a) Balanser forbrenningsreaksjonen:

a CH3NO2 +b N2O = c CO2 +d H2O+e N2

8p b) Hva blir den adiabatiske flammetemperaturen ved støkiometrisk forbrenning av nitro-

metan i lystgass når reaksjonsproduktene er som beskrevet i punkt a)? Det kreves ikke en

eksakt løsning av problemet, men øvre og nedre temperaturskranker skal angis (±100 K).

4p c) En mer realistisk beregning av flammetemperaturen krever at det tas hensyn til mi-

noritetskomponenter og fri radikaler som for eksempel CO, H og OH. Forklar hvordan

tilstedeværelsen av disse forbindelsene påvirker beregningsresultatet.

6p d) Sett opp et nødvendig og tilstrekkelig antall likninger som beskriver den termodyna-

miske likevekten i forbrenningsgassene. Anta at reaksjonsproduktene er CO2, H2O, N2,

CO, H og OH. Likningene skal ikke løses.



Side 1 av 3


Tore Haug-Warberg


17. august 1994

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

10p a) I tabellen nedenfor er det gitt 7 utsagn som alle har 4 alternative svar:

1. Alltid oppfylt

2. Kun for ideell gass

3. Krever konstant T og p

4. Ikke sant eller fysikalsk umulig

Angi rett svar i tabellen (kun ett svar for hvert utsagn). Feil svar gir minuspoeng, rett svar

gir plusspoeng og intet svar gir null poeng.

Side 2 av 3

Utsagn Betingelse

CV < 0

CP − CV = R

CP > CV(

∂V

∂p

)

T,n

< 0

dH = CP dT +∑

i hi dNi(

∂S

∂p

)

T,n

=

(

∂V

∂T

)

p,n

∑

i Ni dµi = 0

Oppgave 2 Utgangspunktet for denne oppgaven er to identiske lagertanker som av-

spennes på to ulike måter slik figuren nedenfor antyder. Det forutsettes fullstendig varme-

veksling mellom det avspente fluidet og fluidet som fortsatt er i tanken. Varmetapet fra

fluid til tank/omgivelser skal neglisjeres.

a) b)∆~S = 0 ∆~H = 0

~Q~Q~W

5p a) Hvilket avspenningsalternativ gir lavest sluttemperatur? Begrunn svaret. Hint: Ta i

bruk størrelsene (∂T/∂p)s,n = −(T/cp) (∂s/∂p)T,n og (∂T/∂p)h,n = −[T (∂s/∂p)T,n + v]/cp

om nødvendig.

5p b) Sett opp energibalansen(e) for lagertankene i figur a) og b). Vis at du kan bruke den

prinsipielt samme energibalansen i de to tilfellene. Kinetisk og potensiell energi skal ute-

lates.

Side 3 av 3

10p c) Finn et uttrykk for sluttemperaturen i tank b) når det forutsettes at fluidet er en

ideell gass med konstant varmekapasitetsforhold γ = cp/cv. Svaret skal gis på formen

T2/T1 = f (γ, p2, p1). Hint: Bestem først temperaturfallet over ventilen når fluidet er en

ideell gass.

10p d) Regn ut temperaturfallet over ventilen i tank b) forutsatt at fluidet er en naturgass som

oppfyller viriallikningen gitt nedenfor:

pV

NRT= 1 + B(T )p

B

B= 0.175

(

T

T

)

− 59000

(

T

T

)3

For likningen ovenfor gjelder: cp = 5R, B = 1 bar-1 og T = 1 K. Gassen forutsettes å ha

et innløpstrykk på 100 bar og en innløpstemperatur på 350 K. Utløpstrykket kan settes til

20 bar. Følgende tilleggsinformasjon er gitt:

(

∂T

∂p

)

H,n

=1

CP

T

(

∂V

∂T

)

p,n

− V

Oppgave 3 Se oppgave 2, HiT-eksamen 21. mai 1993.

Oppgave 4

6p a) Utled en generell betingelse for kjemisk likevekt med reaksjonen N2 +O2 ⇔ 2 NO

som eksempel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved

gitt T og p.

6p b) Vis at svaret i punkt a) kan skrives på formen f (yNO, yN2, yO2

) = ∆rxG/RT . Anta ideell

gass.

6p c) Hvilken innvirkning har p på likevekten i punkt a)?

6p d) Hvilken innvirkning har T på likevekten i punkt a) når reaksjonen oppgis å være

endoterm?

6p e) Regn ut likevektskonsentrasjonen av NO i luft ved 1500 K. Anta at luft er en ideell

gass med sammensetning yN2= 0.79 og yO2

= 0.21. Bruk vedlagte data fra JANAF-

tabellene.



Side 1 av 2


Tore Haug-Warberg


01. august 1994

Tidspunkt: 09:00 – 10:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

15p a) Vis sammenhengen mellom energifunksjonene U og H. Hva blir de totale differen-

sialene av disse to funksjonene? Er differensialene entydige eller fins det flere likeverdige

former?

15p b) Skriv ned en definisjon på termodynamikkens 1. lov. I det tilfellet at systemet ikke

utfører arbeid eller utveksler varme, hvilke fysiske realiseringer kan du da tenke deg?

30p c) Utled energibalansen for et åpent, stasjonært og adiabatisk system. Finn effektbehovet

for en isentropisk pumpe som har en reell gass som arbeidsmedium. Gassen er karakteri-

sert ved viriallikningen: pV = RT + bp.

10p d) Hvilke termodynamiske koordinater er best egnet for å beskrive: a) en bensinmotor

(Otto-syklus) og b) en gassturbin (Brayton-syklus)?

Side 2 av 2

30p e) Utled betingelsen for kjemisk likevekt med reaksjonen N2 +O2 = 2 NO som eksem-

pel. Ta som utgangspunkt at Gibbs energi for systemet skal være minimert ved gitt T og

p. Hvilken innvirkning har p på likevekten? Hvilken innvirkning har T på likevekten når

reaksjonen oppgis å være endoterm? Vil dannelsen av NO favoriseres i en Otto-prosess,

mer enn i en gassturbinprosess?



Side 1 av 4


Tore Haug-Warberg


14. juni 1994

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1 Du skal svare på 1 ut av følgende 4 spørsmål. Forsøk å gi en kort, men

allikevel presis forklaring.

10p a) Utled alle Maxwell-relasjoner som har Gibbs energi som basisfunksjon?

10p b) Utled Gibbs faselov for et ikke-reagerende system.

10p c) Hvilke energifunksjoner kan avledes fra U ved hjelp av Legendre-transformasjon?

Angi det naturlige variabelsettet i hvert tilfelle.

10p d) Finn et uttrykk for (∂A/∂Ni)T,p,N j,ibasert på kjemisk potensial µi = (∂A/∂Ni)T,V,N j,i

og

partielt molart volum vi = (∂V/∂Ni)T,p,N j,i.

Oppgave 2

20p a) Utled et likevektsuttrykk for reaksjonen 3 H2 +N2 = 2 NH3 basert på kjemisk po-

tensial av de enkelte komponentene. Bruk minimum Gibbs energi for reaksjonen som

utgangspunkt for utledningen.

Side 2 av 4

40p b) Anta at H2, N2 og NH3 utgjør en ideell blanding ved 500 K og 300 bar, det vil si

at µi = µ∗

i + RT ln(yi) hvor µ∗i er det kjemiske (referanse)potensialet for en kjemisk ren

komponent i ved aktuell T og p. Referansepotensialet µ∗i

til hver av komponentene er gitt

av integralet

Ii =

∫ p

0

(

vi −RT

p

)

dp

og av

Ji =

∫ 300·p

p

vi dp

der R = 8.3145 J mol-1 K-1 og p= 1 bar. De komponentspesifikke verdiene til Ii og Ji er

som følger:

Ii [J mol-1] Ji [J mol-1]

H2 3 24545

N2 2 24423

NH3 -3 22954

Hint: for å unngå enhver misforståelse bør du ta utgangspunkt i likningen:

µ∗i (T, p) = µıg

i(T, p

) +

∫ 0

p

vıg

idp +

∫ p

0

vi dp

Øvrig informasjon av termodynamisk opprinnelse er gitt i bilag. Bruk elementene i deres

stabile form ved T= 298.15 K og p

= 1 bar som standardtilstand.

30p c) Beregn likevektsfordelingen mellom H2, N2 og NH3 ved 500 K og 300 bar. Anta stø-

kiometrisk fordeling mellom H2 og N2. Bruk enten referansepotensialene fra punkt b)

eller du kan eventuelt bruke µ∗i = −3000 J mol-1 dersom du ikke har gjort denne oppgaven

ennå.

10p d) Vil likevekten i punkt c) forskyves mot høyre eller venstre ved økende trykk? Gi en

kort begrunnelse.

Oppgave 3

5p a) Du får oppgitt likevektslikningen:

yiϕi p ≈ xiγiϕsati psat

i exp

(

vi(p − psati

)

RT

)

Hvilke forenklinger ligger til grunn for denne likningen? Gi en detaljert forklaring. En

full utledning av likevektslikningen er ikke påkrevd.

Side 3 av 4

8p b) Anta at NH3 følger viriallikningen pV = NRT + NBp, hvor B = B(T ) er 2. virialko-

effisient. Bruk denne likningen til å beregne både ϕNH3ved 10 C og 300 bar og ϕsat

NH3ved

10 C. Gitt: B = −0.25 dm3 mol-1 og damptrykket til NH3 er 6.1 bar.

Hint: µr,p

i=

p∫

0

(

vi −RT

π

)

dπ

5p c) Hvilke forenklinger kan innføres i likevektslikningen i punkt a) dersom systemet be-

står av kun én kjemisk komponent? Hva blir likevektsbetingelsen i dette tilfellet?

7p d) Ved industriell fremstilling av ammoniakk må den produserte ammoniakken separe-

res fra syntesegassen i en høytrykks væskeutskiller. Beregn duggpunktskonsentrasjonen

av NH3 i en blanding av H2, N2 og NH3 ved 10 C og 300 bar. Anta at løseligheten av H2

og N2 i flytende NH3 er ubetydelig. Anta videre at fugasitetskoeffisienten for NH3 er kun

en funksjon av temperatur og trykk, det vil si at ϕNH3(T, p, y) = ϕ⋆NH3

(T, p) ved yNH3= 1.

Bruk resultatene som du oppnådde i punkt b) eller bruk eventuelt ϕNH3= ϕsat

NH3= 0.7

dersom du ikke har svart på denne oppgaven. Tettheten av flytende NH3 er 610 kg m-3.

Nødvendige molekylmasser finner du i SI Chemical Data.

5p e) Det forenklede likningsoppsettet i forrige oppgave fungerer som en overslagsbereg-

ning, men i det generelle tilfellet må vi kunne løse likevektsproblemet uten ekstra anta-

gelser. Beskriv en algoritme som løser likevektsproblemet iterativt ved gitt temperatur og

trykk og for et gitt antall mol av hver av komponentene, med utgangspunkt i to mate-

matiske modeller for Gibbs energi av henholdsvis damp- og væskefasen. Illustrer frem-

gangsmåten du ville ha valgt ved bruk av Newton–Raphson-iterasjon.

Hint: du trenger ikke iterere på likevektslikningen i punkt a). Det er enklere å ta utgangs-

punkt i et uttrykk basert på kjemisk potensial.

Oppgave 4

6p a) Vis at energibalansen til et fluid som strømmer gjennom en ventil er tilnærmet beskre-

vet ved ∆h = 0. Anta at strømningen er én-dimensjonal og stasjonær. Angi hvilke andre

forutsetninger som må være oppfylt for at energilikningen skal ta denne enkle formen.

5p b) Utled et uttrykk for (∂T/∂p)H,n. Forsøk om du kan skrive svaret ved hjelp av enk-

le fysikalske størrelser som: temperatur, trykk, volum, varmekapasitet, ekspansivitet og

kompressibilitet. Du skal med andre ord unngå vilkårlige termodynamiske partiellderi-

verte i størst mulig grad.

3p c) Hvilken verdi tar Joule–Thomson-koeffisienten ved struping av ideell gass?

5p d) Utled et uttrykk for (∂T/∂p)S ,n. Bruk samme skrivemåte som i punkt b).

Side 4 av 4

3p e) Har størrelsen i forrige oppgave noen praktisk interesse? Nevn noen eksempler.

8p f) Flytende NH3 skal overføres fra utskilleren i punkt 3d), som opererer ved 300 bar, til

en lagertank ved 10 bar. Man vurderer i denne sammenhengen å innstallere en turbin for

elektrisk kraftproduksjon. Hva blir effekten av en denne maskinen dersom døgnproduk-

sjonen er 1000 tonn NH3 og turbinen arbeider isentropisk? Tettheten av ammoniakk er

610 kg m-3. Gjør rede for alle (andre) antagelser i beregningen.



Side 1 av 4


Tore Haug-Warberg


16. august 1993

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1 Du skal svare på 2 ut av følgende 4 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allike-

vel presise forklaringer.

10p a) Se oppgave 2a, HiT-eksamen 21. mai 1993.

10p b) Skriv ned den gjeldende definisjonen for fugasitetskoeffisienten ϕi. Forklar med ord i

tillegg.

10p c) Gi en detaljert forklaring på den funksjonelle sammenhengen mellom A og G.

10p d) Finn et uttrykk for (∂A/∂Ni)T,p,N j,ibasert på kjemisk potensial µi = (∂A/∂Ni)T,V,N j,i

og

partielt molart volum vi = (∂V/∂Ni)T,p,N j,i.

Oppgave 2 I denne oppgaven inngår det endel tallbehandling som enten krever nume-

risk innsats eller grafisk løsning av én bestemt ikke-lineær likning. Bruk vedlagte milli-

meterpapir dersom du ønsker å løse problemene grafisk. Svaret blir mindre nøyaktig enn

den numeriske løsningen, men det er allikevel fullt tilstrekkelig i denne sammenhengen.

Side 2 av 4

7.5p a) Utled Clausius–Clapeyrons likning for et én-komponent system, hvilket vil si å finne

et uttrykk for (dT / dp)eq = f (sα, sβ, vα, vβ). Bruk likevektslikningen µα = µβ som et ut-

gangspunkt for utledningen. α og β representerer to vilkårlige likevektsfaser.

7.5p b) Vis at Clausius–Clapeyrons likning kan integreres til ln(p/p) = a+ bT -1 såfremt den

ene fasen er en ideell gass. Forklar hvilke andre forutsetninger som også må være oppfylt.

7.5p c) Ved produksjon av flytende nitrogen (samproduksjon ved ammoniakksyntese) kan det

fryse ut fast metan i anlegget hvis denne får lov til å akkumulere i prosesstrømmen. Du

har oppgitt følgende damptrykksdata for CH4 fra Gas Encyclopedie L’Air Liquid. Vær

oppmerksom på at målepunktene ikke er helt konsistente:

Faser T [K] p [mbar]

sol, vap 84.67 47.6

" 86.49 62.2

" 89.16 94.6

" 90.16 82.2

sol, lıq, vap 90.68 117

lıq, vap 94.00 177

" 98.00 279

" 102.0 423

Du skal estimere sammensetningsområdet for utfrysing av CH4 fra en N2–CH4 gassblan-

ding når temperaturen er T = 90 K og trykket er p = 1.5 bar. Fugasitetskoeffisienten er

ϕCH4= 0.93. Anse denne som uavhengig av temperaturen, trykket og sammensetningen

av gassen. Hvilke andre antagelser må du (strengt tatt) gjøre for å kunne svare tilfredsstil-

lende på oppgaven?

7.5p d) Estimer smeltevarmen til CH4 med utgangspunkt i damptrykktabellen fra forrige

punkt c).

Oppgave 3 En detaljert termodynamisk prosessimulering av ammoniakkfabrikken på

Herøya ga følgende resultat for et av blandepunktene. Alle komponentene er i gassfase

og det molare blandingsforholdet av H2O : H2 = 1 : 1. Beregningene er verifisert av

målinger gjort i fabrikken:

H2O (260 C, 40 bar)

H2 (240 C, 40 bar)

H2O /H2 (230 C, 40 bar)

Side 3 av 4

7p a) Utled termodynamikkens 1. lov (det vil si energibalansen) for blandeprosessen.

7p b) Forklar hvorfor den påståtte temperaturendringen er uforenlig med en antatt blanding

av ideelle gasser.

8p c) Vis at den påståtte temperaturendringen er mulig for en gassblanding som følger vi-

riallikningen pV = NRT + Bp. Utled de nødvendige temperaturegenskapene til B. Hint:

følgende relasjoner kan være nyttige:

Gr,p =

p∫

0

(

V −NRT

π

)

dπ

−S r,p =

(

∂Gr,p

∂T

)

p,n

Hr,p = Gr,p + TS r,p

8p d) Estimer utløpstemperaturen når trykket endres til p = 10 bar. Bruk resultatet fra

punkt c). Suppler om nødvendig med tilleggsdata fra SI Chemical Data.

Oppgave 4 Thomas Newcomens atmosfæriske dampmaskin kan i termodynamisk for-

stand oppfattes som en rektangulær syklus i T,V-planet, slik det er vist i figuren nedenfor:

Th

Tc

v1 v2

A B

CD

A: Vann på kokepunktet.

B: Mettet damp.

C: Delvis kondensert vann/damp.

D: Kondensert vann med litt damp.

Side 4 av 4

For resten av oppgaven gjelder: Th = 373.15 K og Tc = 293.15 K. Dampen har tilnær-

melsesvis de samme egenskapene som en ideell gass og det molare volumet til vannet

vH2O = 18 · 10-6 m3 mol-1 er omtrent uavhengig av både trykk og temperatur. Mengden av

vann + damp i sylinderen settes til 1 mol.

6p a) Skisser p,V- og T, S -diagrammene for syklusen. Angi konkrete akseverdier for alle

hjørnepunktene. Nødvendig tilleggsinformasjon fins i SI Chemical Data. Anta konstant

varmekapasitet for damp og væske.

6p b) Er det noen sammenheng mellom arealene (av den lukkede syklusen) i p,V- og T, S -

diagrammene? Gi en kort forklaring.

6p c) Hva er den termodynamiske virkningsgraden η = Ws/Qh for Newcomen’s dampmaskin?

6p d) Hva er den tilsvarende virkningsgraden for en ideell Carnot-maskin?

6p e) Vi skal nå forlate den sykliske dampmaskinen og istedet betrakte en mettet dampstrøm

ved Th = 373.15 K som totalkondenseres og kjøles ned til Tc = 293.15 K i en kontinuer-

lig, stasjonær prosess. Du har til rådighet én eneste Carnot-maskin som arbeider optimalt

innenfor det angitte temperaturområdet. Sett opp et uttrykk for den maksimalt oppnåelige

termodynamiske virkningsgraden av denne prosessen. Anta konstant varmekapasitet for

damp og væske. Trykket er konstant p = 101325 Pa i hele prosessen.



Side 1 av 4


Tore Haug-Warberg


21. mai 1993

Tidspunkt: 09:00 – 14:00

Hjelpemidler:


Sensur:


Merknad: ingen

Oppgave 1

5p a) Diskuter den eksakte sammenhengen mellom de fire energifunksjonene U, H, A og

G.

5p b) Angi det naturlige variabelsettet for hver enkelt av funksjonene i punkt a.

5p c) Utled de 1. deriverte av funksjonene i punkt a med hensyn på de respektives naturlige

variabelsett.

5p d) Hva er en Maxwell-relasjon? Gi en kort forklaring.

5p e) Finn alle Maxwell-relasjonene knyttet til funksjonene i punkt a. Anta for enkelthets

skyld at systemet har konstant sammensetning.

5p f) Vis at (∂U/∂p)S ,n = βV pCVC-1P

hvor β = −V -1 (∂V/∂p)T,n og CV = (∂U/∂T )V,n og

CP = T (∂S/∂T )p,n. Hint: finn enklest mulige uttrykk for (dU)S ,n og (dp)S ,n og regn deret-

ter ut brøken (dU / dp)S ,n.

Side 2 av 4

Oppgave 2 Damp–væske likevekter ved moderate trykk kan enkelt beskrives ved føl-

gende likning:

yiϕi p = xiγiϕsat

i psat

i exp

1

RT

∫ p

psat

i

vi dπ

3p a) Identifiser alle symbolene som inngår i likningen ovenfor. Angi hvilke av størrelsene

som kan tilskrives henholdsvis dampfasen, væskefasen og standardtilstanden til kompo-

nent i.

9p b) Avvik fra idealitet i flytende N2–O2 lar seg beskrive ved følgende blandingsfunksjon;

Gex

NRT= x1x2

(

0.03696 + 15.928T

T

)

hvor xi er molbrøk av komponent i, T er temperaturen i Kelvin og N er det totale antallet

mol av komponentene i blandingen. Finn først et uttrykk for γi og beregn deretter p, x, y–

fasediagrammet ved 100 K. Det holder med 4–5 punkter og det er tilstrekkelig med én

iterasjon for å bestemme p. Alternativt kan du foreta en rekkeutvikling av likevektslik-

ningen og beholde kun ledd av 1. orden. Anta at ϕi ≈ ϕsat

i. Annen nødvendig informasjon

er gitt nedenfor (p= 1 bar, ρ

= 1 kg m-3 og T

= 1 K):

ln(psat

N2/p) = 45.5293 − 1072.49(T/T

)-1+ 0.0424613(T/T

) − 8.03398 ln(T/T

)

ln(psat

O2/p) = 43.7928 − 1248.15(T/T

)-1+ 0.0320326(T/T

) − 7.29219 ln(T/T

)

ρsat

N2/ρ= 732.9 + 6.305(T/T

) − 0.06767(T/T

)2

ρsat

O2/ρ= 1451.0 − 1.762(T/T

) − 0.01848(T/T

)2

9p c) Bestem Hex og S ex for blandingen i punkt b.

9p d) Regn ut temperaturendringen som inntrer når N2 og O2 blandes i forholdet 1 : 1

ved 100 K. Anta at p > psat slik at blandeprosessen i sin helhet foregår i væskeform. Se

bort fra eventuell trykkavhengighet i Hex. Varmekapasiteten til blandingen kan settes til

cp = 60 J mol-1 K-1.

Oppgave 3 Sentralvarmeanlegget som er vist i figuren nedenfor består av en fyrkjel og

en radiator plassert med en innbyrdes høydeforskjell på 10 m. En sirkulasjonspumpe sør-

ger for at hastigheten til vannet er konstant lik 1 m s-1 i hele anlegget. Trykkfallet over

kretsen, som er lik trykkøkningen over pumpen, er uten betydning i denne sammenhen-

gen. Strømningen kan antas å følge Bernoullis likning: 12ρ dυ2

+ ρg dz + dp = 0.

Side 3 av 4~Qut

~Qınn

z = 10 m∆p ≈ 0

5p a) Hvordan vil trykket variere langs rørstrekket? Ta utgangspunkt i Bernoullis likning og

kombiner den med de opplysningene som er gitt i oppgaveteksten. La g = 9.8065 m s-2.

5p b) Anta at det sirkulerer rent vann i kretsen. Hvor høyt må trykket i fyrkjelen være for å

hindre koking i radiatoren hvis vanntemperaturen er 80 C? Bruk tilleggsdata fra SI Che-

mical Data.

5p c) Hvor høyt må trykket i fyrkjelen være dersom vannet tilsettes så mye frostvæske

(etylenglykol) at aktiviteten synker til aH2O = 0.1? Damptrykket til etylenglykol er negli-

sjerbart i denne sammenhengen.

5p d) Hvordan lyder termodynamikkens 1. lov for et lukket system med konstant sammen-

setning (uten kjemiske reaksjoner), når du tar med kinetiske og potensielle bidrag i tillegg

til indre energi? Skriv likningen på differensiell form og kommenter de enkelte leddene.

5p e) Ved plutselig avstengning av anlegget (ventilen er ikke inntegnet) vil det oppstå et

trykkstøt på grunn av retardasjonen av det sirkulerende vannet. Hvordan lyder energiba-

lansen (1. lov) for et slikt trykkstøt når det forutsettes isentropiske forhold?

5p f) Finn et uttrykk for den maksimale trykkøkningen (gitt av trykkstøtet) i punkt e. Bruk

opplysningene som er gitt i oppgaveteksten og suppler med annen informasjon fra SI

Chemical Data. Nødvendig tilleggsinformasjon er: V -1 (∂V/∂T )p,n ≈ 2.35 · 10-4 K-1 og

−V -1 (∂V/∂p)T,n ≈ 4.60 · 10-10 Pa-1. Hint: svaret på denne oppgaven henger sammen med

et delresultat fra en av de tidligere oppgavene.

Oppgave 4 Svar på ett ut av følgende 6 spørsmål. Forsøk å gi korte, men allikevel

presise forklaringer. Korrekt besvarelse av flere enn ett spørsmål gir bonuspoeng, men

feil besvarelse av mer enn ett spørsmål gir en tilsvarende trekk i poengsummen. Svar

derfor på kun ett spørsmål dersom du føler deg usikker.

10p a) Hvilke forutsetninger ligger til grunn for Bernoullis likning?

Side 4 av 4

10p b) Forklar sammenhengen mellom Bernoullis likning og termodynamikkens 1. lov.

10p c) Hva er definisjonen på aktivitetskoeffisienten γi og i hvilken tilstand vil, normalt sett,

γi = 1.0?

10p d) Hvor mange energifunksjoner kan avledes fra U i tillegg til dem som er omtalt i opp-

gave 1a? Angi også det naturlige variabelsettet for hver enkelt av funksjonene.

10p e) Utled likevektslikningen gitt i oppgave 2.

10p f) Utled Gibbs faselov for et vilkårlig ikke-reagerende kjemisk system.

JANAFThermochemical Tables

J. Phys. Chem. Ref. DataVol 14, Suppl.1 (1995)

C [s] GRAPHITE (SOLID) 12.011

T CP

S −(G − H298)/T H H − H298 G ∆fH ∆fG ln K

K J K-1 mol-1 kJ mol-1 [-]

100 1.674 0.952 – – -0.991 – 0 – –

200 5.006 3.082 – – -0.665 – 0 – –

250 6.816 4.394 – – -0.369 – 0 – –

298.15 8.517 5.740 – – 0 – 0 – –

300 8.581 5.793 – – 0.016 – 0 – –

350 10.241 7.242 – – 0.487 – 0 – –

400 11.817 8.713 – – 1.039 – 0 – –

450 13.289 10.191 – – 1.667 – 0 – –

500 14.623 11.662 – – 2.365 – 0 – –

600 16.844 14.533 – – 3.943 – 0 – –

700 18.537 17.263 – – 5.716 – 0 – –

800 19.827 19.826 – – 7.637 – 0 – –

900 20.824 22.221 – – 9.672 – 0 – –

1000 21.610 24.457 – – 11.795 – 0 – –

1100 22.244 26.548 – – 13.989 – 0 – –

1200 22.766 28.506 – – 16.240 – 0 – –

1300 23.204 30.346 – – 18.539 – 0 – –

1400 23.578 32.080 – – 20.879 – 0 – –

1500 23.904 33.718 – – 23.253 – 0 – –

1600 24.191 35.270 – – 25.658 – 0 – –

1700 24.448 36.744 – – 28.090 – 0 – –

1800 24.681 38.149 – – 30.547 – 0 – –

1900 24.895 39.489 – – 33.026 – 0 – –

2000 25.094 40.771 – – 35.525 – 0 – –

2100 25.278 42.000 – – 38.044 – 0 – –

2200 25.453 43.180 – – 40.581 – 0 – –

2300 25.618 44.315 – – 43.134 – 0 – –

2400 25.775 45.408 – – 45.704 – 0 – –

2500 25.926 46.464 – – 48.289 – 0 – –

2600 26.071 47.483 – – 50.889 – 0 – –

2700 26.212 48.470 – – 53.503 – 0 – –

2800 26.348 49.426 – – 56.131 – 0 – –

2900 26.481 50.353 – – 58.773 – 0 – –

3000 26.611 51.253 – – 61.427 – 0 – –

3100 26.738 52.127 – – 64.095 – 0 – –

3200 26.863 52.978 – – 66.775 – 0 – –

3300 26.986 53.807 – – 69.467 – 0 – –

3400 27.106 54.614 – – 72.172 – 0 – –

3500 27.225 55.401 – – 74.889 – 0 – –

CH4 [g] METHANE (GAS) 16.043

T CP



100 33.258 149.500 – – -6.698 – -69.644 – –

200 33.473 172.577 – – -3.368 – -72.027 – –

250 34.216 180.113 – – -1.679 – -73.426 – –

298.15 35.639 186.251 – – 0 – -74.873 – –

300 35.708 186.472 – – 0.066 – -74.929 – –

350 37.874 192.131 – – 1.903 – -76.461 – –

400 40.500 197.356 – – 3.861 – -77.969 – –

450 43.374 202.291 – – 5.957 – -79.422 – –

500 46.342 207.014 – – 8.200 – -80.802 – –

600 52.227 215.987 – – 13.130 – -83.308 – –

700 57.794 224.461 – – 18.635 – -85.452 – –

800 62.932 232.518 – – 24.675 – -87.238 – –

900 67.601 240.205 – – 31.205 – -88.692 – –

1000 71.795 247.549 – – 38.179 – -89.849 – –

1100 75.529 254.570 – – 45.549 – -90.750 – –

1200 78.833 261.287 – – 53.270 – -91.437 – –

1300 81.744 267.714 – – 61.302 – -91.945 – –

1400 84.305 273.868 – – 69.608 – -92.308 – –

1500 86.556 279.763 – – 78.153 – -92.553 – –

1600 88.537 285.413 – – 86.910 – -92.703 – –

1700 90.283 290.834 – – 95.853 – -92.780 – –

1800 91.824 296.039 – – 104.960 – -92.797 – –

1900 93.188 301.041 – – 114.212 – -92.770 – –

2000 94.399 305.853 – – 123.592 – -92.709 – –

2100 95.477 310.485 – – 133.087 – -92.624 – –

2200 96.439 314.949 – – 142.684 – -92.521 – –

2300 97.301 319.255 – – 152.371 – -92.409 – –

2400 98.075 323.413 – – 162.141 – -92.291 – –

2500 98.772 327.431 – – 171.984 – -92.174 – –

2600 99.401 331.317 – – 181.893 – -92.060 – –

2700 99.971 335.080 – – 191.862 – -91.954 – –

2800 100.489 338.725 – – 201.885 – -91.857 – –

2900 100.960 342.260 – – 211.958 – -91.773 – –

3000 101.389 345.690 – – 222.076 – -91.705 – –

3100 101.782 349.021 – – 232.235 – -91.653 – –

3200 102.143 352.258 – – 242.431 – -91.621 – –

3300 102.474 355.406 – – 252.662 – -91.609 – –

3400 102.778 358.470 – – 262.925 – -91.619 – –

3500 103.060 361.453 – – 273.217 – -91.654 – –

C2H2 [g] ETHYNE (GAS) 26.03788

T CP



100 29.347 163.294 234.338 – -7.104 – 227.078 221.011 -115.444

200 35.585 185.097 204.720 – -3.925 – 226.911 215.006 -56.154

298.15 44.095 200.958 200.958 – 0.000 – 226.731 209.200 -36.651

300 44.229 201.231 200.959 – 0.082 – 226.728 209.092 -36.406

400 50.480 214.856 202.774 – 4.833 – 226.527 203.242 -26.541

500 54.869 226.610 206.393 – 10.108 – 226.227 197.452 -20.628

600 58.287 236.924 210.640 – 15.771 – 225.804 191.735 -16.692

700 61.149 246.127 215.064 – 21.745 – 225.294 186.097 -13.887

800 63.760 254.466 219.476 – 27.992 – 224.747 180.534 -11.788

900 66.111 262.113 223.794 – 34.487 – 224.198 175.041 -10.159

1000 68.275 269.192 227.984 – 41.208 – 223.669 169.607 -8.859

1100 70.245 275.793 232.034 – 48.136 – 223.170 164.226 -7.798

1200 72.053 281.984 235.941 – 55.252 – 222.705 158.888 -6.916

1300 73.693 287.817 239.709 – 62.540 – 222.275 153.588 -6.171

1400 75.178 293.334 243.344 – 69.985 – 221.877 148.319 -5.534

1500 76.530 298.567 246.853 – 77.572 – 221.506 143.078 -4.982

1600 77.747 303.546 250.242 – 85.286 – 221.160 137.861 -4.501

1700 78.847 308.293 253.518 – 93.117 – 220.833 132.665 -4.076

1800 79.852 312.829 256.688 – 101.053 – 220.521 127.487 -3.700

1900 80.760 317.171 259.758 – 109.084 – 220.222 122.327 -3.363

2000 81.605 321.335 262.733 – 117.203 – 219.931 117.182 -3.060

2100 82.362 325.335 265.620 – 125.401 – 219.647 112.052 -2.787

2200 83.065 329.183 268.422 – 133.673 – 219.367 106.935 -2.539

2300 83.712 332.890 271.145 – 142.012 – 219.088 101.830 -2.313

2400 84.312 336.465 273.793 – 150.414 – 218.809 96.738 -2.105

2500 84.858 339.918 276.369 – 158.873 – 218.527 91.658 -1.915

2600 85.370 343.256 278.878 – 167.384 – 218.242 86.589 -1.740

2700 85.846 346.487 281.322 – 175.945 – 217.950 81.530 -1.577

2800 86.295 349.618 283.706 – 184.553 – 217.652 76.483 -1.427

2900 86.713 352.653 286.031 – 193.203 – 217.346 71.447 -1.287

3000 87.111 355.600 288.301 – 201.895 – 217.030 66.421 -1.157

3100 87.474 358.462 290.519 – 210.624 – 216.705 61.406 -1.035

3200 87.825 361.245 292.686 – 219.389 – 216.368 56.402 -.921

3300 88.164 363.952 294.804 – 228.189 – 216.019 51.409 -.814

3400 88.491 366.589 296.877 – 237.022 – 215.658 46.426 -.713

3500 88.805 369.159 298.906 – 245.886 – 215.285 41.454 -.619

C2H4 [g] ETHENE (GAS) 28.05376

T CP



100 33.270 180.542 252.466 – -7.192 – 58.194 60.476 -31.589

200 35.359 203.955 222.975 – -3.804 – 55.542 63.749 -16.649

250 38.645 212.172 220.011 – -1.960 – 54.002 65.976 -13.785

298.15 42.886 219.330 219.330 – 0. – 52.467 68.421 -11.987

300 43.063 219.596 219.331 – 0.079 – 52.408 68.521 -11.930

350 48.013 226.602 219.873 – 2.355 – 50.844 71.330 -10.645

400 53.048 233.343 221.138 – 4.882 – 49.354 74.360 -9.710

450 57.907 239.874 222.858 – 7.657 – 47.951 77.571 -9.004

500 62.477 246.215 224.879 – 10.668 – 46.641 80.933 -8.455

600 70.663 258.348 229.456 – 17.335 – 44.294 88.017 -7.663

700 77.714 269.783 234.408 – 24.763 – 42.300 95.467 -7.124

800 83.840 280.570 239.511 – 32.847 – 40.637 103.180 -6.737

900 89.200 290.761 244.644 – 41.505 – 39.277 111.082 -6.447

1000 93.899 300.408 249.742 – 50.665 – 38.183 119.122 -6.222

1100 98.018 309.555 254.768 – 60.266 – 37.318 127.259 -6.043

1200 101.626 318.242 259.698 – 70.252 – 36.645 135.467 -5.897

1300 104.784 326.504 264.522 – 80.576 – 36.129 143.724 -5.775

1400 107.550 334.372 269.233 – 91.196 – 35.742 152.016 -5.672

1500 109.974 341.877 273.827 – 102.074 – 35.456 160.331 -5.583

1600 112.103 349.044 278.306 – 113.181 – 35.249 168.663 -5.506

1700 113.976 355.898 282.670 – 124.486 – 35.104 177.007 -5.439

1800 115.628 362.460 286.922 – 135.968 – 35.005 185.357 -5.379

1900 117.089 368.752 291.064 – 147.606 – 34.938 193.712 -5.326

2000 118.386 374.791 295.101 – 159.381 – 34.894 202.070 -5.278

2100 119.540 380.596 299.035 – 171.278 – 34.864 210.429 -5.234

2200 120.569 386.181 302.870 – 183.284 – 34.839 218.790 -5.195

2300 121.491 391.561 306.610 – 195.388 – 34.814 227.152 -5.159

2400 122.319 396.750 310.258 – 207.580 – 34.783 235.515 -5.126

2500 123.064 401.758 313.818 – 219.849 – 34.743 243.880 -5.096

2600 123.738 406.598 317.294 – 232.190 – 34.688 252.246 -5.068

2700 124.347 411.280 320.689 – 244.595 – 34.616 260.615 -5.042

2800 124.901 415.812 324.006 – 257.058 – 34.524 268.987 -5.018

2900 125.404 420.204 327.248 – 269.573 – 34.409 277.363 -4.996

3000 125.864 424.463 330.418 – 282.137 – 34.269 285.743 -4.975

3100 126.284 428.597 333.518 – 294.745 – 34.102 294.128 -4.956

3200 126.670 432.613 336.553 – 307.393 – 33.906 302.518 -4.938

3300 127.024 436.516 339.523 – 320.078 – 33.679 310.916 -4.921

3400 127.350 440.313 342.432 – 332.797 – 33.420 319.321 -4.906

3500 127.650 444.009 345.281 – 345.547 – 33.127 327.734 -4.891

CO [g] CARBONMONOXIDE (GAS) 28.010

T CP



100 29.104 165.850 – – -5.769 – -112.415 – –

200 29.108 186.025 – – -2.858 – -111.286 – –

298.15 29.142 197.653 – – 0 – -110.527 – –

300 29.142 197.833 – – 0.054 – -110.516 – –

400 29.342 206.238 – – 2.976 – -110.102 – –

500 29.794 212.831 – – 5.931 – -110.003 – –

600 30.443 218.319 – – 8.942 – -110.150 – –

700 31.171 223.066 – – 12.023 – -110.469 – –

800 31.899 227.277 – – 15.177 – -110.905 – –

900 32.577 231.074 – – 18.401 – -111.418 – –

1000 33.183 234.538 – – 21.690 – -111.983 – –

1100 33.710 237.726 – – 25.035 – -112.586 – –

1200 34.175 240.679 – – 28.430 – -113.217 – –

1300 34.572 243.431 – – 31.868 – -113.870 – –

1400 34.920 246.006 – – 35.343 – -114.541 – –

1500 35.217 248.426 – – 38.850 – -115.229 – –

1600 35.480 250.707 – – 42.385 – -115.933 – –

1700 35.710 252.865 – – 45.945 – -116.651 – –

1800 35.911 254.912 – – 49.526 – -117.384 – –

1900 36.091 256.859 – – 53.126 – -118.133 – –

2000 36.250 258.714 – – 56.744 – -118.896 – –

2100 36.392 260.486 – – 60.376 – -119.675 – –

2200 36.518 262.182 – – 64.021 – -120.470 – –

2300 36.635 263.808 – – 67.679 – -121.282 – –

2400 36.740 265.369 – – 71.348 – -122.109 – –

2500 36.836 266.871 – – 75.027 – -122.953 – –

2600 36.924 268.318 – – 78.715 – -123.813 – –

2700 37.003 269.713 – – 82.411 – -124.689 – –

2800 37.083 271.060 – – 86.116 – -125.582 – –

2900 37.150 272.362 – – 89.827 – -126.490 – –

3000 37.217 273.623 – – 93.546 – -127.415 – –

3100 37.279 274.844 – – 97.271 – -128.356 – –

3200 37.338 276.029 – – 101.001 – -129.312 – –

3300 37.392 277.178 – – 104.738 – -130.283 – –

3400 37.443 278.295 – – 108.480 – -131.270 – –

3500 37.493 279.382 – – 112.227 – -132.271 – –

CO2 [g] CARBONDIOXIDE (GAS) 44.010

T CP



100 29.208 179.009 – – -6.456 – -393.208 – –

200 32.359 199.975 – – -3.414 – -393.404 – –

298.15 37.129 213.795 – – 0 – -393.522 – –

300 37.221 214.025 – – 0.069 – -393.523 – –

400 41.325 225.314 – – 4.003 – -393.583 – –

500 44.627 234.901 – – 8.305 – -393.666 – –

600 47.321 243.283 – – 12.907 – -393.803 – –

700 49.564 250.750 – – 17.754 – -393.983 – –

800 51.434 257.494 – – 22.806 – -394.188 – –

900 52.999 263.645 – – 28.030 – -394.405 – –

1000 54.308 269.299 – – 33.397 – -394.623 – –

1100 55.409 274.528 – – 38.884 – -394.838 – –

1200 56.342 279.390 – – 44.473 – -395.050 – –

1300 57.137 283.932 – – 50.148 – -395.257 – –

1400 57.802 288.191 – – 55.896 – -395.462 – –

1500 58.379 292.199 – – 61.705 – -395.668 – –

1600 58.886 295.983 – – 67.569 – -395.876 – –

1700 59.317 299.566 – – 73.480 – -396.090 – –

1800 59.701 302.968 – – 79.431 – -396.311 – –

1900 60.049 306.205 – – 85.419 – -396.542 – –

2000 60.350 309.293 – – 91.439 – -396.784 – –

2100 60.622 312.244 – – 97.408 – -397.039 – –

2200 60.865 315.070 – – 103.562 – -397.309 – –

2300 61.086 317.781 – – 109.660 – -397.596 – –

2400 61.287 320.385 – – 115.779 – -397.900 – –

2500 61.471 322.890 – – 121.917 – -398.222 – –

2600 61.647 325.305 – – 128.073 – -398.562 – –

2700 61.802 327.634 – – 134.246 – -398.921 – –

2800 61.952 329.885 – – 140.433 – -399.299 – –

2900 62.095 332.061 – – 146.636 – -399.695 – –

3000 62.229 334.169 – – 152.852 – -400.111 – –

3100 62.347 336.211 – – 159.081 – -400.545 – –

3200 62.462 338.192 – – 165.321 – -400.998 – –

3300 62.573 340.116 – – 171.573 – -401.470 – –

3400 62.681 341.986 – – 177.836 – -401.960 – –

3500 62.785 343.804 – – 184.109 – -402.467 – –

H2 [g] HYDROGEN (GAS) 2.016

T CP



298.15 28.836 130.680 130.680 0 0 -38.962 0 – –

300 28.849 130.858 130.681 0.053 0.053 -39.204 0 – –

400 29.182 139.216 131.818 2.959 2.959 -52.727 0 – –

500 29.260 145.737 133.974 5.882 5.882 -66.987 0 – –

600 29.326 151.077 136.393 8.811 8.811 -81.836 0 – –

700 29.442 155.606 138.822 11.749 11.749 -97.175 0 – –

800 29.625 159.549 141.172 14.702 14.702 -112.937 0 – –

900 29.880 163.052 143.412 17.676 17.676 -129.070 0 – –

1000 30.205 166.216 145.536 20.680 20.680 -145.536 0 – –

1100 30.579 169.112 147.550 23.719 23.719 -162.305 0 – –

1200 30.992 171.790 149.460 26.797 26.797 -179.352 0 – –

1300 31.424 174.288 151.275 29.918 29.918 -196.657 0 – –

1400 31.863 176.633 153.003 33.082 33.082 -214.204 0 – –

1500 32.298 178.846 154.653 36.290 36.290 -231.979 0 – –

1600 32.725 180.944 156.231 39.541 39.541 -249.970 0 – –

1700 33.138 182.941 157.744 42.835 42.835 -268.165 0 – –

1800 33.536 184.846 159.197 46.168 46.168 -286.555 0 – –

1900 33.916 186.670 160.595 49.541 49.541 -305.131 0 – –

2000 34.279 188.419 161.943 52.951 52.951 -323.886 0 – –

2100 34.625 190.100 163.244 56.396 56.396 -342.813 0 – –

2200 34.953 191.718 164.502 59.875 59.875 -361.904 0 – –

2300 35.264 193.279 165.719 63.386 63.386 -381.154 0 – –

2400 35.560 194.786 166.899 66.928 66.928 -400.558 0 – –

2500 35.842 196.243 168.044 70.498 70.498 -420.110 0 – –

2600 36.111 197.654 169.156 74.096 74.096 -439.805 0 – –

2700 36.369 199.022 170.237 77.720 77.720 -459.639 0 – –

2800 36.616 200.349 171.289 81.369 81.369 -479.608 0 – –

2900 36.856 201.638 172.313 85.043 85.043 -499.708 0 – –

3000 37.089 202.891 173.311 88.740 88.740 -519.934 0 – –

H2O [g] WATER (GAS) 18.015

T CP



298.15 33.590 188.834 – – 0 – -241.826 – –

300 33.596 189.042 – – 0.062 – -241.844 – –

400 34.262 198.788 – – 3.452 – -242.846 – –

500 35.226 206.534 – – 6.925 – -243.826 – –

600 36.325 213.052 – – 10.501 – -244.758 – –

700 37.495 218.739 – – 14.192 – -245.632 – –

800 38.721 223.825 – – 18.002 – -246.443 – –

900 39.987 228.459 – – 21.938 – -247.185 – –

1000 41.268 232.738 – – 26.000 – -247.857 – –

1100 42.536 236.731 – – 30.191 – -248.460 – –

1200 43.768 240.485 – – 34.506 – -248.997 – –

1300 44.945 244.035 – – 38.942 – -249.473 – –

1400 46.054 247.407 – – 43.493 – -249.894 – –

1500 47.090 250.620 – – 48.151 – -250.265 – –

1600 48.050 253.690 – – 52.908 – -250.592 – –

1700 48.935 256.630 – – 57.758 – -250.881 – –

1800 49.749 259.451 – – 62.693 – -251.138 – –

1900 50.496 262.161 – – 67.706 – -251.368 – –

2000 51.180 264.769 – – 72.790 – -251.575 – –

2100 51.823 267.282 – – 77.941 – -251.762 – –

2200 52.408 269.706 – – 83.153 – -251.934 – –

2300 52.941 272.048 – – 88.421 – -252.092 – –

2400 53.444 274.312 – – 93.741 – -252.239 – –

2500 53.904 276.503 – – 99.108 – -252.379 – –

2600 54.329 278.625 – – 104.520 – -252.513 – –

2700 54.723 280.683 – – 109.973 – -252.643 – –

2800 55.089 282.680 – – 115.464 – -252.771 – –

2900 55.430 284.619 – – 120.990 – -252.897 – –

3000 55.748 286.504 – – 126.549 – -253.024 – –

NH3 [g] AMMONIA (GAS) 17.013

T CP



298.15 35.650 192.778 192.779 -45.940 0.000 -103.417 -45.940 – –

300 35.699 192.999 192.779 -45.874 0.066 -103.774 -45.981 – –

400 38.741 203.673 194.214 -42.157 3.783 -123.626 -48.081 – –

500 42.026 212.670 197.027 -38.118 7.822 -144.453 -49.897 – –

600 45.259 220.620 200.308 -33.753 12.187 -166.125 -51.417 – –

700 48.349 227.830 203.732 -29.071 16.869 -188.553 -52.663 – –

800 51.260 234.479 207.165 -24.089 21.851 -211.672 -53.665 – –

900 53.984 240.675 210.548 -18.826 27.114 -235.433 -54.451 – –

1000 56.519 246.496 213.855 -13.299 32.641 -259.795 -55.050 – –

1100 58.867 251.994 217.070 -7.528 38.412 -284.722 -55.486 – –

1200 61.035 257.211 220.204 -1.532 44.408 -310.184 -55.781 – –

1300 63.031 262.176 223.243 4.673 50.613 -336.156 -55.955 – –

1400 64.861 266.915 226.194 11.069 57.009 -362.612 -56.022 – –

1500 66.535 271.448 229.061 17.640 63.580 -389.532 -55.997 – –

1600 68.060 275.792 231.847 24.371 70.311 -416.895 -55.893 – –

1700 69.446 279.960 234.555 31.248 77.188 -444.684 -55.719 – –

1800 70.702 283.966 237.190 38.256 84.196 -472.882 -55.486 – –

1900 71.836 287.819 239.754 45.384 91.324 -501.472 -55.202 – –

2000 72.858 291.530 242.250 52.619 98.559 -530.441 -54.876 – –

2100 73.777 295.108 244.683 59.952 105.892 -559.774 -54.513 – –

2200 74.602 298.559 247.054 67.372 113.312 -589.458 -54.122 – –

2300 75.343 301.892 249.366 74.870 120.810 -619.482 -53.707 – –

2400 76.008 305.113 251.622 82.438 128.378 -649.833 -53.274 – –

2500 76.608 308.228 253.824 90.069 136.009 -680.501 -52.826 – –

2600 77.150 311.243 255.975 97.758 143.698 -711.475 -52.368 – –

2700 77.645 314.164 258.076 105.498 151.438 -742.746 -51.902 – –

2800 78.102 316.997 260.130 113.285 159.225 -774.305 -51.430 – –

2900 78.529 319.745 262.139 121.117 167.057 -806.143 -50.955 – –

3000 78.938 322.414 264.104 128.990 174.930 -838.251 -50.477 – –

KO [g] POTASSIUMMONOXIDE (GAS) 55.0977

T CP



100 30.583 201.486 268.756 – -6.727 – 72.640 64.717 -33.805

200 34.332 223.966 241.275 – -3.462 – 71.855 57.109 -14.915

250 35.340 231.744 238.616 – -1.718 – 71.496 53.464 -11.171

298.15 35.981 238.027 238.027 – 0. – 71.128 50.024 -8.764

300 36.001 238.249 238.028 – 0.067 – 71.113 49.893 -8.687

350 36.455 243.835 238.468 – 1.879 – 68.295 46.487 -6.938

400 36.782 248.725 239.451 – 3.710 – 67.792 43.407 -5.668

450 37.029 253.073 240.727 – 5.555 – 67.315 40.387 -4.688

500 37.223 256.984 242.160 – 7.412 – 66.857 37.420 -3.909

600 37.514 263.798 245.215 – 11.150 – 65.976 31.616 -2.752

700 37.731 269.598 248.295 – 14.912 – 65.115 25.957 -1.937

800 37.906 274.648 251.280 – 18.694 – 64.252 20.422 -1.333

900 38.056 279.121 254.130 – 22.493 – 63.365 14.996 -0.870

1000 38.191 283.138 256.833 – 26.305 – 62.433 9.671 -0.505

1100 38.316 286.784 259.393 – 30.130 – -17.515 9.053 -0.430

1200 38.433 290.123 261.816 – 33.968 – -17.530 11.469 -0.499

1300 38.546 293.204 264.114 – 37.817 – -17.552 13.886 -0.558

1400 38.655 296.064 266.295 – 41.677 – -17.577 16.305 -0.608

1500 38.761 298.735 268.370 – 45.548 – -17.607 18.727 -0.652

1600 38.865 301.240 270.347 – 49.429 – -17.640 21.150 -0.690

1700 38.968 303.599 272.234 – 53.321 – -17.676 23.575 -0.724

1800 39.070 305.829 274.039 – 57.223 – -17.717 26.003 -0.755

1900 39.170 307.944 275.768 – 61.135 – -17.764 28.433 -0.782

2000 39.270 309.956 277.428 – 65.057 – -17.818 30.866 -0.806

2100 39.369 311.874 279.023 – 68.989 – -17.880 33.302 -0.828

2200 39.467 313.708 280.558 – 72.930 – -17.953 35.741 -0.849

2300 39.565 315.465 282.038 – 76.882 – -18.038 38.183 -0.867

2400 39.663 317.151 283.466 – 80.843 – -18.139 40.629 -0.884

2500 39.760 318.772 284.846 – 84.815 – -18.256 43.080 -0.900

2600 39.857 320.333 286.181 – 88.795 – -18.394 45.536 -0.915

2700 39.954 321.839 287.474 – 92.786 – -18.555 47.998 -0.929

2800 40.050 323.294 288.727 – 96.786 – -18.741 50.467 -0.941

2900 40.147 324.701 289.944 – 100.796 – -18.955 52.942 -0.954

3000 40.243 326.064 291.125 – 104.815 – -19.201 55.425 -0.965

3100 40.339 327.385 292.274 – 108.845 – -19.481 57.918 -0.976

3200 40.435 328.667 293.391 – 112.883 – -19.800 60.419 -0.986

3300 40.531 329.913 294.479 – 116.932 – -20.151 62.930 -0.996

3400 40.627 331.124 295.539 – 120.990 – -20.552 65.454 -1.006

3500 40.723 332.303 296.573 – 125.057 – -20.999 67.990 -1.015

K2S [liq] POTASSIUMSULPHIDE (LIQUID) 110.2566

T CP



100 – – – – – – – – –

200 – – – – – – – – –

298.15 74.684 141.172 – – 0 – -346.506 – –

300 74.726 141.634 – – 0.138 – -346.519 – –

400 77.320 163.487 – – 7.741 – -354.470 – –

500 79.914 181.019 – – 15.602 – -356.752 – –

600 82.508 195.819 – – 23.723 – -358.295 – –

700 85.144 208.734 – – 32.105 – -359.252 – –

800 87.738 220.273 – – 40.749 – -359.773 – –

900 100.960 231.844 – – 50.586 – -412.158 – –

1000 100.960 242.481 – – 60.682 – -409.944 – –

1100 100.960 252.103 – – 70.778 – -565.757 – –

1200 100.960 260.888 – – 80.874 – -561.705 – –

1300 100.960 268.969 – – 90.970 – -557.669 – –

1400 100.960 276.451 – – 101.066 – -553.649 – –

1500 100.960 283.417 – – 111.162 – -549.646 – –

1600 100.960 289.932 – – 121.258 – -545.660 – –

1700 100.960 296.053 – – 131.354 – -541.691 – –

1800 100.960 301.824 – – 141.450 – -537.742 – –

1900 100.960 307.282 – – 151.546 – -533.813 – –

2000 100.960 312.461 – – 161.642 – -529.907 – –

2100 100.960 317.387 – – 171.738 – -626.026 – –

2200 100.960 322.083 – – 181.834 – -522.174 – –

2300 100.960 326.571 – – 191.930 – -518.353 – –

2400 100.960 330.868 – – 202.026 – -514.569 – –

2500 100.960 334.990 – – 212.122 – -510.825 – –

2600 100.960 338.949 – – 222.218 – -507.125 – –

2700 100.960 342.760 – – 232.314 – -503.476 – –

2800 100.960 346.431 – – 242.410 – -499.882 – –

2900 100.960 349.974 – – 252.506 – -496.350 – –

3000 100.960 353.297 – – 262.602 – -492.887 – –

N2 [g] NITROGEN (GAS) 28.013

T CP



100 29.104 159.811 217.490 -5.768 -5.768 – 0 – –

200 29.107 179.985 194.272 -2.857 -2.857 – 0 – –

298.15 29.123 191.609 191.609 0 0 -57.128 0 – –

300 29.125 191.789 191.610 0.054 0.054 -57.483 0 – –

400 29.246 200.181 192.753 2.971 2.971 -77.101 0 – –

500 29.583 206.739 194.918 5.911 5.911 -97.459 0 – –

600 30.113 212.177 197.353 8.894 8.894 -118.412 0 – –

700 30.752 216.866 199.814 11.937 11.937 -139.869 0 – –

800 31.430 221.017 202.209 15.046 15.046 -161.767 0 – –

900 32.094 224.757 204.510 18.222 18.222 -184.059 0 – –

1000 32.696 228.171 206.708 21.463 21.463 -206.708 0 – –

1100 33.240 231.313 208.804 24.760 24.760 -229.684 0 – –

1200 33.723 234.226 210.803 28.109 28.109 -252.963 0 – –

1300 34.148 236.943 212.710 31.503 31.503 -276.523 0 – –

1400 34.519 239.487 214.533 34.936 34.936 -300.346 0 – –

1500 34.844 241.880 216.277 38.405 38.405 -324.416 0 – –

1600 35.128 244.138 217.948 41.904 41.904 -348.718 0 – –

1700 35.378 246.276 219.552 45.429 45.429 -373.239 0 – –

1800 35.598 248.304 221.094 48.978 48.978 -397.969 0 – –

1900 35.794 250.234 222.577 52.548 52.548 -422.897 0 – –

2000 35.969 252.075 224.006 56.137 56.137 -448.013 0 – –

2100 36.126 253.834 225.385 59.742 59.742 -473.309 0 – –

2200 36.267 255.517 226.717 63.361 63.361 -498.777 0 – –

2300 36.395 257.132 228.004 66.994 66.994 -524.410 0 – –

2400 36.511 258.684 229.251 70.640 70.640 -550.201 0 – –

2500 36.616 260.176 230.458 74.296 74.296 -576.145 0 – –

2600 36.713 261.615 231.629 77.963 77.963 -602.235 0 – –

2700 36.802 263.002 232.765 81.639 81.639 -628.466 0 – –

2800 36.884 264.342 233.869 85.323 85.323 -654.834 0 – –

2900 36.961 265.637 234.942 89.015 89.015 -681.333 0 – –

3000 37.031 266.892 235.987 92.715 92.715 -707.960 0 – –

3100 37.097 268.107 237.003 96.421 96.421 -734.710 0 – –

3200 37.159 269.286 237.994 100.134 100.134 -761.580 0 – –

3300 37.217 270.430 238.959 103.853 103.853 -788.566 0 – –

3400 37.272 271.542 239.901 107.578 107.578 -815.665 0 – –

3500 37.324 272.623 240.821 111.307 111.307 -842.873 0 – –

N2O [g] DINITROGEN OXIDE (GAS) 44.0128

T CP



100 29.349 184.150 – – -6.668 – 84.038 90.269 –

200 33.610 205.571 – – -3.553 – 82.787 97.018 –

298.15 38.617 219.957 – – 0 – 82.048 104.179 –

300 38.701 220.196 – – 0.072 – 82.039 104.316 –

350 40.817 226.324 – – 2.061 – 81.832 108.046 –

400 42.680 231.899 – – 4.149 – 81.713 111.800 –

450 44.338 237.023 – – 6.325 – 81.665 115.565 –

500 45.826 241.773 – – 8.580 – 81.675 119.331 –

600 48.389 250.363 – – 13.295 – 81.827 126.851 –

700 50.500 257.986 – – 18.243 – 82.105 134.334 –

800 52.241 264.846 – – 23.383 – 82.467 141.772 –

900 53.678 271.085 – – 28.681 – 82.886 149.160 –

1000 54.865 276.804 – – 34.110 – 83.344 156.500 –

1100 55.848 282.081 – – 39.647 – 83.829 163.792 –

1200 56.665 286.976 – – 45.274 – 84.333 171.039 –

1300 57.349 291.540 – – 50.978 – 84.849 178.244 –

1400 57.924 295.811 – – 56.740 – 85.373 185.408 –

1500 58.410 299.825 – – 62.557 – 85.902 192.535 –

1600 58.825 303.608 – – 68.420 – 86.432 199.627 –

1700 59.180 307.185 – – 74.320 – 86.961 206.685 –

1800 59.486 310.577 – – 80.254 – 87.488 213.713 –

1900 59.752 313.800 – – 86.216 – 88.010 220.711 –

2000 59.983 316.871 – – 92.203 – 88.527 227.682 –

2100 60.186 319.803 – – 98.212 – 89.038 234.627 –

2200 60.385 322.607 – – 104.240 – 89.542 241.548 –

2300 60.523 325.294 – – 110.289 – 90.038 248.446 –

2400 60.663 327.873 – – 116.344 – 90.526 255.323 –

2500 60.788 330.352 – – 122.417 – 91.005 262.179 –

2600 60.900 332.738 – – 128.501 – 91.474 269.017 –

2700 61.001 335.038 – – 134.596 – 91.935 275.837 –

2800 61.091 337.258 – – 140.701 – 92.387 282.640 –

2900 61.173 339.404 – – 146.814 – 92.829 289.417 –

3000 61.248 341.479 – – 152.935 – 93.262 296.199 –

N2O3 [g] DINITROGEN TRIOXIDE (GAS) 76.0116

T CP



100 43.290 249.899 – – -11.040 – 86.239 103.226 –

200 56.497 284.180 – – -6.018 – 83.984 121.191 –

298.15 65.615 308.539 – – 0 – 82.843 139.727 –

300 65.761 308.946 – – 0.122 – 82.829 140.080 –

350 69.450 319.386 – – 3.504 – 82.540 149.647 –

400 72.738 328.858 – – 7.080 – 82.394 159.246 –

450 75.898 337.599 – – 10.772 – 82.385 168.855 –

500 78.370 345.715 – – 14.625 – 82.431 178.462 –

600 82.931 360.422 – – 22.698 – 82.781 197.640 –

700 86.579 373.481 – – 31.181 – 83.339 216.741 –

800 89.478 385.248 – – 39.989 – 84.033 235.752 –

900 91.780 395.925 – – 49.056 – 84.815 254.671 –

1000 93.617 405.694 – – 58.330 – 85.656 273.499 –

1100 95.095 414.888 – – 67.768 – 86.533 292.242 –

1200 96.294 423.018 – – 77.339 – 87.432 310.903 –

1300 97.276 430.764 – – 87.019 – 88.344 329.489 –

1400 98.087 438.003 – – 96.789 – 89.259 348.004 –

1500 98.784 444.794 – – 106.632 – 90.173 366.453 –

1600 99.333 451.187 – – 116.538 – 91.079 384.843 –

1700 99.816 457.224 – – 126.496 – 91.974 403.175 –

1800 100.228 462.941 – – 136.499 – 92.854 421.455 –

1900 100.583 468.370 – – 146.540 – 93.716 439.688 –

2000 100.890 473.537 – – 156.614 – 94.557 457.875 –

2100 101.157 478.468 – – 166.716 – 95.377 476.021 –

2200 101.391 483.178 – – 176.844 – 96.172 494.129 –

2300 101.598 487.689 – – 186.994 – 96.943 512.200 –

2400 101.780 492.017 – – 197.163 – 97.687 530.238 –

2500 101.942 496.175 – – 207.349 – 98.405 548.246 –

2600 102.087 500.177 – – 217.551 – 99.095 566.226 –

2700 102.218 504.032 – – 227.766 – 99.759 584.180 –

2800 102.333 507.751 – – 237.993 – 100.398 602.110 –

2900 102.438 511.334 – – 248.232 – 101.006 620.017 –

3000 102.533 514.819 – – 258.481 – 101.589 637.904 –

N2O4 [g] DINITROGEN TETRAOXIDE (GAS) 92.011

T CP



100 46.262 239.166 – – -12.393 – 14.011 40.737 –

200 63.206 276.398 – – -6.923 – 10.749 68.860 –

298.15 77.256 304.376 – – 0 – 9.079 97.787 –

300 77.487 304.854 – – 0.143 – 9.060 98.338 –

350 83.340 317.248 – – 4.167 – 8.673 113.251 –

400 88.521 328.722 – – 8.466 – 8.523 128.204 –

450 93.121 339.419 – – 13.009 – 8.567 143.163 –

500 97.204 349.446 – – 17.769 – 8.769 158.109 –

600 104.012 367.795 – – 27.844 – 9.542 187.911 –

700 109.314 384.244 – – 38.522 – 10.667 217.555 –

800 113.439 399.122 – – 49.668 – 12.030 247.019 –

900 116.665 412.677 – – 61.180 – 13.554 276.303 –

1000 119.208 425.106 – – 72.978 – 15.189 305.410 –

1100 121.235 436.566 – – 85.004 – 16.899 334.350 –

1200 122.867 447.187 – – 97.212 – 18.661 363.132 –

1300 124.196 457.076 – – 109.567 – 20.456 391.765 –

1400 125.290 466.321 – – 122.044 – 22.272 420.259 –

1500 126.198 474.997 – – 134.619 – 24.097 448.623 –

1600 126.959 483.167 – – 147.278 – 25.922 476.865 –

1700 127.603 490.884 – – 160.007 – 27.742 504.999 –

1800 128.152 498.193 – – 172.796 – 29.550 533.014 –

1900 128.623 505.135 – – 185.635 – 31.340 560.936 –

2000 129.030 511.743 – – 198.518 – 33.110 588.764 –

2100 129.385 518.047 – – 211.439 – 34.855 616.503 –

2200 129.694 524.074 – – 224.394 – 36.573 644.162 –

2300 129.967 529.845 – – 237.377 – 38.262 671.741 –

2400 130.208 535.381 – – 250.386 – 39.920 699.247 –

2500 130.421 540.701 – – 263.418 – 41.545 726.685 –

2600 130.612 545.820 – – 276.469 – 43.138 754.059 –

2700 130.783 550.753 – – 289.539 – 44.698 781.373 –

2800 130.936 555.512 – – 302.625 – 46.224 808.630 –

2900 131.074 560.109 – – 315.726 – 47.718 835.831 –

3000 131.200 564.555 – – 328.840 – 49.178 862.983 –

NO [g] NITROGEN OXIDE (GAS) 30.010

T CP



100 32.302 177.031 – – -6.073 – 89.991 – –

200 30.420 198.747 – – -2.951 – 90.202 – –

298.15 29.845 210.758 – – 0 – 90.291 – –

300 29.841 210.943 – – 0.055 – 90.292 – –

400 29.944 219.529 – – 3.040 – 90.332 – –

500 30.486 226.263 – – 6.059 – 90.352 – –

600 31.238 231.886 – – 9.144 – 90.368 – –

700 32.028 236.761 – – 12.307 – 90.381 – –

800 32.787 241.087 – – 15.548 – 90.398 – –

900 33.422 244.985 – – 18.858 – 90.417 – –

1000 33.987 248.536 – – 22.229 – 90.437 – –

1100 34.468 251.799 – – 25.653 – 90.457 – –

1200 34.877 254.816 – – 29.120 – 90.478 – –

1300 35.228 257.621 – – 32.628 – 90.493 – –

1400 35.524 260.243 – – 36.164 – 90.508 – –

1500 35.780 262.703 – – 39.729 – 90.518 – –

1600 36.002 265.019 – – 43.319 – 90.525 – –

1700 36.195 267.208 – – 46.929 – 90.528 – –

1800 36.364 269.282 – – 50.557 – 90.522 – –

1900 36.514 271.252 – – 54.201 – 90.511 – –

2000 36.647 273.128 – – 57.859 – 90.494 – –

2100 36.767 274.919 – – 61.530 – 90.469 – –

2200 36.874 276.632 – – 65.212 – 90.438 – –

2300 36.971 278.273 – – 68.904 – 90.398 – –

2400 37.060 279.849 – – 72.606 – 90.350 – –

2500 37.141 281.363 – – 76.316 – 90.295 – –

2600 37.216 282.822 – – 80.034 – 90.231 – –

2700 37.285 284.227 – – 83.759 – 90.160 – –

2800 37.350 285.585 – – 87.491 – 90.081 – –

2900 37.410 286.896 – – 91.229 – 89.994 – –

3000 37.466 288.165 – – 94.973 – 89.899 – –

NO2 [g] NITROGEN DIOXIDE (GAS) 46.0055

T CP



100 33.276 202.563 – – -6.861 – 34.898 39.963 –

200 34.385 225.852 – – -3.495 – 33.897 45.422 –

298.15 36.974 240.034 – – 0 – 33.095 51.258 –

300 37.029 240.262 – – 0.068 – 33.083 51.371 –

350 38.583 246.086 – – 1.958 – 32.768 54.445 –

400 40.171 251.342 – – 3.927 – 32.512 57.560 –

450 41.728 256.164 – – 5.975 – 32.310 60.703 –

500 43.208 260.638 – – 8.099 – 32.154 63.867 –

600 45.834 268.755 – – 12.555 – 31.959 70.230 –

700 47.988 275.988 – – 17.250 – 31.878 76.616 –

800 49.708 282.512 – – 22.138 – 31.874 83.008 –

900 51.078 288.449 – – 27.179 – 31.923 89.397 –

1000 52.188 293.889 – – 32.344 – 32.005 95.779 –

1100 53.041 298.903 – – 37.605 – 32.109 102.152 –

1200 53.748 303.550 – – 42.946 – 32.228 108.514 –

1300 54.328 307.878 – – 48.351 – 32.351 114.867 –

1400 54.803 311.920 – – 53.808 – 32.478 121.209 –

1500 55.200 315.715 – – 59.309 – 32.603 127.543 –

1600 55.533 319.288 – – 64.846 – 32.724 133.868 –

1700 55.815 322.663 – – 70.414 – 32.837 140.186 –

1800 56.055 325.881 – – 76.007 – 32.940 146.497 –

1900 56.262 328.897 – – 81.624 – 33.032 152.804 –

2000 56.441 331.788 – – 87.259 – 33.111 159.106 –

2100 56.598 334.545 – – 92.911 – 33.175 165.404 –

2200 56.732 337.181 – – 98.577 – 33.223 171.700 –

2300 56.852 339.708 – – 104.257 – 33.255 177.993 –

2400 56.958 342.128 – – 109.947 – 33.270 184.285 –

2500 57.052 344.455 – – 115.648 – 33.268 190.577 –

2600 57.138 346.694 – – 121.357 – 33.248 196.870 –

2700 57.211 348.862 – – 127.075 – 33.210 203.164 –

2800 57.278 350.934 – – 132.799 – 33.155 209.460 –

2900 57.339 352.945 – – 138.530 – 33.082 215.757 –

3000 57.394 354.889 – – 144.267 – 32.992 222.058 –

O2 [g] OXYGEN (GAS) 32.000

T CP



100 29.106 173.307 231.094 – -5.779 – 0 – –

200 29.126 193.485 207.823 – -2.868 – 0 – –

250 29.201 199.990 205.630 – -1.410 – 0 – –

298.15 29.376 205.147 205.147 – 0 – 0 – –

300 29.385 205.329 205.148 – 0.054 – 0 – –

350 29.694 209.880 205.506 – 1.531 – 0 – –

400 30.106 213.871 206.308 – 3.025 – 0 – –

450 30.584 217.445 207.350 – 4.543 – 0 – –

500 31.091 220.893 208.524 – 6.084 – 0 – –

600 32.090 226.451 211.044 – 9.244 – 0 – –

700 32.981 231.468 213.611 – 12.499 – 0 – –

800 33.733 235.921 216.126 – 15.835 – 0 – –

900 34.355 239.931 218.552 – 19.241 – 0 – –

1000 34.870 243.578 220.875 – 22.703 – 0 – –

1100 35.300 246.922 223.093 – 26.212 – 0 – –

1200 35.667 250.010 225.209 – 29.761 – 0 – –

1300 35.988 252.878 227.229 – 33.344 – 0 – –

1400 36.277 255.558 229.158 – 36.957 – 0 – –

1500 36.544 258.068 231.002 – 40.589 – 0 – –

1600 36.798 260.434 232.768 – 44.266 – 0 – –

1700 37.040 262.672 234.482 – 47.958 – 0 – –

1800 37.277 264.798 236.089 – 51.673 – 0 – –

1900 37.510 266.818 237.653 – 55.413 – 0 – –

2000 37.741 268.748 239.160 – 59.175 – 0 – –

2100 37.969 270.595 240.613 – 62.961 – 0 – –

2200 38.195 272.366 242.017 – 66.769 – 0 – –

2300 38.419 274.069 243.374 – 70.600 – 0 – –

2400 38.639 275.709 244.687 – 74.453 – 0 – –

2500 38.856 277.290 245.959 – 78.328 – 0 – –

2600 39.068 278.819 247.194 – 82.224 – 0 – –

2700 39.276 280.297 248.393 – 86.141 – 0 – –

2800 39.478 281.729 249.558 – 90.079 – 0 – –

2900 39.674 283.118 250.691 – 94.038 – 0 – –

3000 39.864 284.466 251.795 – 98.013 – 0 – –

ThermodynamicMethodsTKP 4175

H1

H2

H3

H4

Hi = Ui −

(

∂Ui

∂Vi

)

Vi

= Ui + piVi

U1 U2 U3 U4

V1V2 V3 V4

Exam aids:1) Calculator

2) SI Chemical Data

3) Handwritten notes on the back of this sheet

· thermodynamicmethods tkp4175 this document is the β-edition of the solutions to my ﬁnal...

Documents