texto teor_a de decisiones (1)_2

TEORADE DECISIONES

:

INGENIERA DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

Digitalizado por Liz Zambrano para www.admycontuna.mforos.com


www.

admy

contu

na.m

foros

.com

305

TEORADE DECISIONES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTACARACAS - VENEZUELA



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Universidad Nacional AbiertaApartado Postal N 2096Caracas 1.010 A, Carmelitas, Venezuela

Copyright @ UNA 1993

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccin total o parcialpor cualquier medio grfico, audiovisual o computarizado, sin previaautorizacin escrita.

CAVHD69 Teora de decisiones i (Mara Luisa PanaD4T4 de Carrera, Enzo Pittari Paolino, Pedro1993 Carrera Brano). - Caracas : UNA, 1993.

366 p. : U. ; 30 cm."Estudios Profesionales IV"En la cubierta : Ingeniera de sistemas.

L Teora de decisiones. 2. Toma de decisiones.3. Educacin a distancia -- Mdulos de estudio.I. Parra de Carrera, Mara Luisa. II. PittariPaolino, Enzo. III. Carrera Brano, Pedro. IV.Universidad Nacional Abierta (Caracas).

Primera edicin 1982 Primera reimpresin 1992

ISBN 980-236-446-0

Segunda reimpresin, 1993

Registro de Publicaciones de laUniversidad Nacional Abierta

N UNA-EP4-82-0103

Diseo de la portada:Valentina Carrosquel U.



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

UNIVERSIDADNACIONALABIERTA

TEORA DE DECISIONES

ESTUDIOS PROFESIONALES IV

Mara Luisa Pana de Carrera, MC., IngEnzo Pittari Pacuno, MC., IngPedro Caneca Brano, MC., Ing

ESPECIALISTA EN EVALUACINBeatriz Tancredi, Lie. UNA

DISEO 1% INSTRUCCINRamn Escontreia, Lie. UNA

REVISIN DE CONTENIDOS

UbaWo Garca Palomares, PHD, USBMara A. Prez de Ovalles, Ing UNA

COORDINADOR DE INGENIERA DE SISTEMA

Gustavo A. Mrquez M., Ing UNA



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

NDICE

INTRODUCCIN 11MODULO I; FUNDAMENTOS Y ELEMENTOS BSICOS 13

Objetm* 13Introduccin 13

Unidad 1: El Anlisis de Decisiones, Importancia y Delimitacin . . 15

Autoevaluacin 25

Unidad 2: Conceptos Bsicos de Probabilidades 33

Autoevaluacin 41

Unidad 3: Informacin y Asignacin de Probabilidades 47

Autoevaluacin 61

Unidad 4: Metodologa de Asignacin de Probabilidades 69

Autoevaluacin 87

Unidad 5: Arboles de Decisin 93

Autoevaluacin 123

MODULO II: LAS PREFERENCIAS DEL DECISOR Y SU ACTITUDEL RIESGO 139

Objetivos 139Introduccin 141

Unidad 6; Las Preferencias del Decisor 143

Autoevaluacin 169

Unidad 7: La Actitud del Decisor ante el Riesgo 179

Autoevaluacin 205

Unidad 8: Criterios de Decisin 217

Autoevaluacin 235

Unidad 9: El Valor de la Informacin 245

Autoevaluacin 267

MODULO O: METODOLOGA DEL ANLISIS DE DECISIONES > . . 283Objetivos 283Introduccin 283

Unidad 10: El Ciclo y las Fases del Anlisis de Decisiones 285

Autoevaluacin ^ . . . . . . . . . . . . . .. 337



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

INTRODUCCINEl propsito fundamental de este Curso es presentar una metodologa para

el anlisis de problemas de decisin en condiciones de incertidumbre.

Aunque tradkionalmente se ha utilizado la expresin Teora de Decisionespara designar este campo del conocimiento, hoy en da se prefiere usar el trmi-no Anlisis de Decisiones para establecer una diferencia entre la Teora de Deci-siones Aplicada y la Teora de Decisiones Clsica o Pura, que se ha dedicado,como su nombre indica y como posteriormente explicaremos, al estudio deproblemas tericos y de difcil aplicacin a situaciones reales. En base a estaaclaratoria preferimos utilizaba lo largo de este Curso, el trmino Anlisis de Deci-siones significando con ello que estamos interesados en Ciencia Aplicada y no enCiencia Pura.

La metodologa del Anlisis de Decisiones ataca con xito el tipo de proble-mas que las personas que toman decisiones enfrentan cada da. problemas que secaracterizan por la incertidumbre de las variables involucradas, por la poca infor-macin disponible, por el monto de los recursos en juego y por su trascendenciae impacto.

Todo esto indica la necesidad que tienen las organizaciones modernas de dis-poner de un instrumento o metodologa la cual facilite el proceso de tomar deci-siones.

No es la intencin del Curso presentar una teora descriptiva del comporta-miento real de una persona que toma decisiones, ante un problema o situacin dedecisiones sino que por el contrario, el objetivo es presentar una teora normativade lo que un individuo normal, enfrentado con un problema de decisiones, deberhacer para seleccionar un curso de accin que sea consistente con las conviccionesy preferencias suyas o de su organizacin.

La metodologa expuesta en este texto es producto del estudio, recopilaciny seleccin de material existente sobre el tema, resaltando y adoptando lo que ajuicio de los autores constituye lo ms relevante, prctico e importante para unCurso de esta naturaleza.

"El texto ha sido dividido en tres mdulos. En los Mdulos I y II se propor-cionan al alumno los conocimientos bsicos necesarios y se le prepara para elmanejo de la metodologa del Anlisis de Decisiones. En el Mdulo m se presentala metodologa del Anlisis de Decisiones utilizando e integrando los conoci-mientos y las tcnicas adquiridas en los Mdulos I y II,

11



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

ODULO I

ANLISIS DE DECISIONESFUNDAMENTOS Y

ELEMENTOS BSICOS

Lista de unidades

Unidad 1. El Anlisis de Decisiones, importancia y delimitacin.

Unidad 2. Conceptos bsicos de Probabilidad.

Unidad 3. Informacin y asignacin de probabilidades.

Unidad 4. Metodologa de asignacin de probabilidades.

Unidad 5. Arboles de decisin.

ObjetivosAl finalizar el estudio del Mdulo I, el estudiante deber estar en capacidad

de:

Distinguir un problema de decisiones

Identificar los elementos de un problema de decisiones

Estructurar y evaluar rboles de decisiones.

Introduccin

Antes de iniciar el estudio de tcnicas y procedimientos para estructurar yresolver problemas de decisiones, es necesario comprender qu se entiende poruna situacin o problema de decisiones, examinar los elementos que conformanun problema de decisiones y distinguir los tipos de situaciones o problemas de de-cisin.

Habiendo realizado estoa estaremos en capacidad de pasar a estudiar el pri-mer instrumento bsico para el anlisis de un problema de decisiones, como es laTeora de las Probabilidades que prepara al alumno para la estructuracin del pro-blema de decisin.

Finalmente, se introduce el manejo del rbol de decisiones que constituyeel instrumento fundamental para estructurar un problema de decisiones.

13



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

actitud ante el riesgo de ia persona que toma las decisiones. El instrumento bsicopara cumplir este objetivo es la Teona de la Utilidad/

Utilizando estos instrumentos el Anlisis de Decisiones desarrolla un procedi-miento, llamado Ciclo del Anlisis de Decisiones, que en tres etapas o fases permiteconducir el anlisis de un problema de decisiones.

La capacidad para interpretar y cuanticar factores.tan subjetivos como laspreferencias y la actitud ahT"eTriesgo, es lo que ha hecho del Anlisis de Decisio-nes una metodologa tan exitosa.

1.2. ORIGEN DEL ANLISIS DE DECISIONES

Tal como hemos mencionado anteriormente el Anlisis de_J)ecisiones consti-tuye el ltimo logro de una larga cadena de avances en el desarrpUo_de_metodolo-gas y procedimientos, FoT cualesjhan'srgicb para el estudio del problema generalde toma de decisiones y asignacin de recursos.

Veamos en qu forma se produjo esta evolucin y a partir de cules ciencias.

La primera actividad cientfica organizada para el anlisis de los procesos dela tomHe decisiones fue la Investigacin de Operaciones. Esta se desarroll por laaplicacin de mtodos cientficos para la solucin de problemas militares durantela Segunda Guerra Mundial. Finalizada sta se busco la aplicacin de los procedi-mientos de la Investigacin de Operaciones a problemas civiles, especialmente los de_tipt--gerencjjl. La transicin de la aplicacin de la Investigacin de Opera-ciones de problemas militares a problemas civiles mostr sus limitaciones. Enefecto, el paso al medio civil confirm la utilidad de la Investigacin de Operacio-

, nes en problemas determinsticos y repetitivos, caractersticos de los niveles geren-. 5 ciales medios de las organizaciones, como son control de inventarios, control de^ produccin, planificacin de operaciones de transporte y distribucin. Sin embar-J go, y debido a la misma naturaleza de los problemas de alta gerencia, raramente

\ pudo emplearse la Investigacin de Operaciones para resolver tales problemas; la. razn de esas limitaciones es que la Investigacin de Operaciones careca de las

^s herramientas para manejar adecuadamente los factores que caracterizan los^N problemas tpicos de la alta gerencia, como son la incertidumbre acerca de las^J variables involucradas, la insuficiencia o dispersin de la informacin, las preferen-

cias de las personas que toman las decisiones y sus actitudes ante el riesgo.

^^ Posteriormente, a partir de los aos 50, se desarrollaron nuevas disciplinasrelacionadas con los problemas de toma de decisiones; una de stas es la conocidacomo Ciencia Gerencial, la cual se desarroll como respuesta a la preocupa-

^ * cin por los problemas que la investigacin de Operaciones no haba podido resol-^V ver. Desafortunadamente, este nuevo campo creci enfatizando ms el aspecto\Q terico que las aplicaciones prcticas; de tal manera que se ha considerado que las"X. Ciencias Gerenciales han mostrado ms inters en aquellos problemas sujetos a un

-^ complejo tratamiento matemtico, que a problemas prcticos y reales, los cualesN ?~^ por la carencia de instrumentos adecuados resultaban de difcil cuantificacin.

Jf Igualmente por estos aos se desarroll el campo conocido como Teora de>^ Decisiones, que se ocupaba de definir el comportamiento racionalSla persona

que toma decisiones ante una situacin incierta. Sin embargo, este campo proveauna teora para decisiones de estructura sencilla y ciertamente muy lejos de lassituaciones reales, complejas y tpicas de las organizaciones de hoy.

17



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Paralelamente y gracias al advenimiento del computador, hemos presenciadotambin el desarrollo del campo conocido como Anlisis de Sistemas, que proveea metodologa para el tratamiento y modelaje de las estructuras complejas y din-micas de los sistemas modernos.

En la bsqueda de una solucin integral al problema de toma de decisiones,durante la dcada del 60 se desarroll la nueva disciplina del Anlisis de Decisio-nes, a cual naci para llenar los vacos dejados por las otras ciencias que estudia-ron el proceso de tomar decisiones.

1.3. CAMPO DE ACCIN DEL ANLISIS DE DECISIONES

El campo de accin del Anlisis de Decisiones abarca la Industria, la Banca,el Comercio y el Gobierno.

El grado de complejidad de los problemas tratados cubre un amplio rango,pudiendo ser tan sencillo como el flujo de caja asociado a un proyecto, hasta elmodelo macroeconmico de un pas.

A continuacin indicaremos algunos de los problemas donde el Anlisis deDecisiones se ha aplicado exitosamente:

1. Introduccin de nuevos productos.

2. Planificacin de estrategias de mercado

3. Presupuesto de inversiones.

4. Portafolio de inversiones.

5. Exploracin y explotacin de recursos naturales no renovables.

6. Desarrollo de nuevas fuentes energticas.

7. Planificacin Social.

8. impacto Ecolgico de Desarrollos Industriales.

La figura No. 1-1 maestra los problemas tpicos de cada rea o campo deaccin, en base a la lista anterior.

REAIndustriaBarcaComercio

Gobierno

PROBLEMA

1XXX

2 3XXXvA

XX

v/v

4

XX

X

5X

X

6

X

7 8X

X i X

Fig. 1-1

Campo de Accin del Anlisis de Decisiones

18



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

EL ANLISIS DE DECISIONESIMPORTANCIA Y DELIMITACIN

Al finalizar el estudio" de esta Unidad usted deber estar en capacidad de:

1) Identificar la importancia del Anlisis de Decisiones y delimitar su campode accin.

2) Distinguir los conceptos de Buena Decisin y Buen Resultado.

3) Distinguir entre situaciones o problemas de decisin bajo certeza y bajo in-certidumbre.

4) Dada una situacin de decisiones en condiciones de ineertidumbre, identi-ficar los elementos que conforman el problema de decisiones.

ESQUEMA DE CONTENIDO pg1.1. Importancia del Anlisis de Decisiones , 16

1.2. Origen del Anlisis de Decisiones. 17

1.3. Campo de Accin del Anlisis de Decisiones 18

1.4. Definicin de Decisin 19

1.5. Distincin entre Buenas Decisiones y Buenos Resultados 19

1.6. Elementos de un Problema de Decisiones 20

1.6.1. E Decisor 201.6.2. Las Alternativas 201.6.3. Los Estados de la Naturaleza. 201.6.4. Los Resultados 211.6.5. Ejemplo 21

1.7. Clasificacin de las Situaciones o Problemas de Decisin 22

1.7.1. Situaciones o Problemas de Decisin en Condiciones deCerteza 22

1.7.2. Situaciones o Problemas de Decisin en Condiciones deIneertidumbre 23

Autoevaluacn........... ,..... 25

Solucin de la Autoevaluacin * , , . * . , . , , _ , _ . , 29



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

1.1. IMPORTANCIA DEL ANLISIS DE DECISIONESTornar decisiones es una actividad de cada da, cuando escogemos qu ruta

seguirjpara_ir_al trabajo etamos, tomando una decisin; lo mismo hacemos cuandoseleccionamos cul ropa usar o cual pelcula vamos a ver. Estas decisiones se to-man sin mayores complicaciones, sin ijiucho esfuerzo y sin profundizar demasia-do. Esto puede hacerse porque la decisip en cuestin no es lo suficientementeimportante para ameritar un anlisis exhaustivo o simplemente porque la mejoralternativa".saltaja, Ja vista,J5in embargo, no siempre es as. Frecuentemente, lapersona que toma la decisin se encuentra ante situaciones complejas, dondeforzosamente hay que dedicar tiempo y esfuerzo a razonar y analizar el problemaantes de tomar una decisin. En esos momentos es cuando un esquema o procedi-miento para analizar un problema de decisiones sera especialmente til. Una he-rramienta de tal tipo sera de vital ayuda a un gerente que deba decidir la intro-duccin de un nuevo producto, o una compaa petrolera que deba decidir la ex-ploracin de un rea petrolfera, o un laboratorio farmacutico que desea de-sarrollar ima nueva droga, o un inversionista que desea diversificar su cartera deinversiones. Este tipo de problemas no son ni sencillos ni intrascendentes y ameri-tan un anlisis exhaustivo, sistemtico y bien estructurado. De all la importanciadel Anlisis de Decisiones puesto que provee un esquema metodolgico para orga-nizar y sistematizar el estudio y resolucin de un problema de decisin-

Histricamente el Anlisis de Decisiones representa ei ltimo eslabn de unalarga cadena de avances en el campo del estudio cientfico de la Asignacin pti-ma de Recursos y Toma de Decisiones. De manera que el Anlisis de Decisiones haresultado de combinar diferentes aspectos de varias ciencias principalmente delAnlisis de Sistemas y Teora de Decisiones. El Anlisis de Sistemas se desarrollcomo una rama de la Ingeniera que estudiaba, con la ayuda del computador, lasinteracciones y el comportamiento dinmico de situaciones complejas mientrasque la Teora de Decisiones estudiaba cmo ser lgico en situaciones simples deincertidumbre. A}, unir los conceptos de estas dos ciencias se pudo atacar, con to-da lgica, los jiroblemas de decisiones caracterizados por situaciones de incerti-dumbre compleja, y dinmica, lo que constituye ei campo natural de accin delAnlisis de Decisiones.^

La metodologa de trabajo del Anlisis de Decisieiones c^msiste,J)sicarnente,^n reducir los factores confusos del problema de decisin a una forma elemental y (de fcil manipulacin mediante la utilizacin del rbol de Decisiones. Para laestructuracin del rbol de Decisiones se requieren como parmetros de entradaLas probabilidades que cuantifican la informacin disponible, acerca de los eve^tos jriert06lis como tambin las asignaciones numricas que cuantificanja.acti-tud del decisor o la poltica de la organizacin hacia el riesgo. Los parmetros desalida del modelo d decisin Incluyen Ja identificacin de la alternativa que se de-be preferir bajo las premisas del modelo del Decisor.

La elaboracin y manipulacin del modelo de decisin es posible porque lametodologa provee mtodos conceptuales y prcticos, para medir y utilizar cual-quier informacin disponible en relacin a la incertidumbre que rodea al proble-ma. La herramienta bsica para cumplir este objetivo es la Teora de la Probabili-dad en su enfoque subjetivo.

La metodologa proporciona igualmente los procedimientos para cuantificarpreferencias, establecer la deseabilidad de los varios resultados posibles y la

16



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

1.4. DEFINICIN DE DECISINIntuitivamente todos tenemos idea de lo que significa el trmino decisin.

Comnmente se entiende que una decisin es la conclusin de un_proceso deanMsjor parte de Ja^gTson~^ue decideTTSsto quiere tjecir que, antes de quejia persona tomtTuna decisin, efecta _un_, anlisis, racional jle la tuacion-pro-,ma considerado. Cuando una persona toma una decisin quiere lograr algo, esdecir, alcanzar una situacin diferente a la de su estado previo. Adems, estapersona selecciona una cierta manera de actuar, de acuerdo a sus preferenciasporque piensa que sa es la forma que ms le ayudar a conseguir las metas queespecific de antemano. Adicionalmente su actuacin est limitada a la utilizacinde una serie de recursos generalmente escasos.

A esta altura podemos formalizar ya una definicin de decisin.

Una decisin es una asignacin irrevocable de recursos, producto de unanlisis de objetivos, alternativas y preferencias

El trmino irrevocable se refiere al hecho de que una vez tomada una deci-sin, se han comprometido de manera irreversible recursos, uno de los cuales es eltiempo.

iLo anterior no contradice el hecho de que la mayora de las decisiones en

realidad conllevan una serie de decisiones secuenciales, algunas de las cuales pue-den ser modificadas en el tiempo; sino que se refieren al carcter irreversible dela decisin inicial, la cual compromete siempre, al menos algn recurso.

1.5. DISTINCIN ENTRE BUENAS DECISIONES Y BUENOS RESULTADOSComnmente se confunde una buena decisin con un buen resultado, o vice-

versa. Para clarificar la diferencia entre estas dos expresiones, utilicemos el siguien-te ejemplo:

La Junta Directiva de una empresa decide invertir en la construccin de unaplanta pasteurizadora de leche. Inmediatamente a la puesta en servicio de laplanta, se produce en el pas un cambio de normas de produccin que obligan aun nuevo tipo de proceso, lo que representa grandes prdidas para la empresa.

Puede decirse entonces que la decisin de inversin en una planta pasteuri-zadora fue una mala decisin, porque el resultado fue desfavorable...? No necesa-riamente, ya que los elementos de juicio de que dispona la Junta Directiva de laempresa, en el momento de la decisin (informacin disponible) no contemplabael cambio que se produjo.

Para resumir, podemos decir que una buena decisin es aquella que es lgicayjH^ajk.en4a informacin, erutos valores y -en las preferencias de la persona quelajoma. Por-ora parte, un buen resultado es el que resulta beneficioso, deseable ovalioso. En pocas palabras, un buen resultado es el que uno deseara que ocurriera.

Lo importante es tener claro que:

Una buena decisin puede conducir a un mal resultado y un buen> :; v:b cuede derivarse de una mala decisin.

19



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

- La nica manera de evaluar la calidad de una decisin es exami-nando si ella es consistente con los valores, informacin y prefe-rencia del que toma la decisin.

- Tomar buenas decisiones es la nica manera de asegurar mayorposibilidad de buenos resultados.

- Es cierto que todo el mundo prefiere un buen resultado a unomalo, pero slo el acto de decidir est bajo el control de quiendecide, y no los resultados.

Tomar una decisin correcta no es garanta de obtener un buenresultado.

Un buen resultado es el que logra el objetivo deseado por eldecisor.

1.6. ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE DECISIONES

En cualquier problema de decisiones, independientemente del tipo de organi-zacin o del nivel en que se presente, concurren varios elementos, que describenplenamente el problema de decisiones. Estos son:

1.6.1. El decisorPersona u organismo responsable de la toma de decisiones, quien secaracteriza por tener objetivos, preferencias e informacin, acerca delproblema y su contexto. El decisor es el individuo que tiene el poderpara comprometer los recursos de su organizacin.

,/ 1.6.1.1. Los objetivos describen las metas del decisor.S

/ 1.6.1.2. Las preferencias describen la actitud del decisor ante elriesgo, y reflejan su escala de valores.

''A 1.6.1.3. La informacin representa el grado de conocimiento queposee el decisor sobre los estados de la naturaleza, cuyaocurrencia es incierta.

1.6.2. Las alternativasEl conjunto de diversos cursos de accin factibles, de los cuales eldecisor escoger el ms adecuado.

1.6.3. Los estados de la naturalezaLos cuales describen el contexto del problema, y que pueden serdefinidos por un conjunto de eventos o factores que afectan el logrode los objetivos y cuya ocurrencia se encuentra fuera del control deldecisci.

Existe un grado de incertidumbre relacionado con la ocurrencia delos estados de la naturaleza y por lo tanto relacionado con la escogen-cia de la alternativa ms ventajosa.

20



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

.b,4. U* resultadosEl conjunto de consecuencias derivadas de la combinacin de diver-sos cursos de accin factibles (alternativas) y de la ocurrencia de unoo ms eventos (estados naturales).

El diagrama de la figura 1-2, indica la relacin entre los elementos deun problema de decisin.

Objetivos

Estados de lanaturaleza

Informacin

Preferencias Alternativas

FSg. 1-2

E3em5ioe de un problema de Decisin

1.6.5. EjemploCon la explicacin anterior estamos en capacidad de identificar loselementos de un problema de decisiones. Para ilustrarlo examinemosel siguiente problema:

Un industrial debe decidk la construccin de una planta para la fabri-cacin de un nuevo producto que desea introducir al mercado. Lademanda del producto es incierta, por tratarse de algo nuevo por loque no se dispone de mayor informacin ai respecto. El industrialsabe que si ia demanda resulta elevada, la inversin ser altamenterentable, mientras que si la demanda es baja apenas podr cubrir loscostos de montaje de la planta.

Como empresario, l est interesado en obtener el mayor beneficiode su inversin al menor riesgo posible.

El producto es muy novedoso y ha tenido gran aceptacin en otrospases, por lo que el industrial espera correr con la misma suerte.

Con la anterior descripcin podemos identificar los elementos delproblema de decisiones.

1. El Decisor: el Industrial

Siendo sus:

Objetivos: Obtener el mayor beneficio econmico.21



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Preferencias: Arriesgar lo menos posible.

Informacin: El producto ha resultado un xito en otros pases,

2. Las alternativas;

a) Construir la plantab) No construir la planta

3. Los estados de la Naturaleza

a) Demanda altab) Demanda baja

El comportamiento de la demanda es desconocido.

4. Los resultados:

a) Construir la planta y que la demanda resulte ser alta.b) Construir la planta y que la demanda resulte ser baja.c) No construir la planta.

Ntese que el resultado (c) No construir la planta, incluye enrealidad dos (2) resultados:

No construir la planta y que la demanda resulte ser baja.

No construir la planta y que la demanda resulte ser alta.

1.7. CLASIFICACIN DE LAS SITUACIONES O PROBLEMAS DE DECISIN

El grado de incertidmbre acerca de la ocurrencia de un evento depende,lgicamente, del grado de informacin disponible en relacin al evento.

El grado de incertidmbre acerca de una situacin de decisiones permiterealizar una clasificacin de ellas en:

Situaciones o problemas de decisin en Condiciones de Certeza o Certi-dumbre.

Situaciones o problemas de decisin en Condiciones de Incertidmbre.

La clasificacin se basa en el grado de informacin que se encuentra alalcance del decisor, con respecto a la-prbabilidad de ocurrencia de los estadosnaturales.

1.7.1. Situaciones o Problemas de Decisin en Condiciones de CertezaSe dice que se est ante una situacin de decisin en condiciones decerteza o certidumbre, cuando se conoce a ciencia cierta la ocurren-cia del estado de la naturaleza.

22.



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

En una situacin de certidumbre, el decisor conoce el conjunto dealternativas posibles; tambin conoce los resultados correspondientesa cada una de las estrategias posibles e igualmente sus preferenciaspor ios diferentes resultados.

Por lo tanto, a cada alternativa le corresponde un nico resultadoposible.

A primera vista este tipo de problemas, tambin conocidos con eltrmino de^pmDTln^^determinsticsJ puede parecer trivial, pero nolo son, de rhanera'algna. Drteclu^numerosos y complicados pro-blemas industriales son de este tipo. Ejemplos tpicos son:

Transporte ptimo de productosAlmacenaje y distribucin ptima de productosSeries ptimas de produccinMezcla ptima de productosCarga ptima de maquinarias

Este tipo de problemas constituyen el campo de trabajo y han sidoexitosamente resueltos por la Investigacin de Operaciones, pero suconsideracin y tratamiento escapa a este Curso, debindose referir elestudiante a los cursos de Investigacin de Operaciones de esta mismacarrera de Ingeniera de Sistemas.

1.7.2. Situaciones o Problemas de Decisin en Condiciones deIncertidumbreSe dice que se est ante una situacin de Decisin en Condiciones deIncertidumbre cuando la ocurrencia de los estados de la naturaleza esdesconocida.

En una situacin de incertidumbre el decisor conoce el conjunto deAlternativas y los posibles resultados asociados a cada una de ellas. Delos estados de la naturaleza posee un conocimiento incierto, determi-nado por su estado de informacin, ignorando cul de ellos ocurrir.

Las situaciones de decisin bajo incertidumbre constituyen precisa-mente el tipo de problemas de decisin ms comunes y frecuentes enlos niveles altos de una organizacin.

Ejemplos tpicos son:~ La introduccin al mercado de nuevos productos La estimacin de la demanda de bienes o servicios Introduccin de cambios tecnolgicos Diversificacin de portafolio de inversiones, etc.

Tal como se ha mencionado anteriormente, ste es el tipo de proble-mas donde el Anlisis de Decisiones ha probado ser especialmenteeficaz.

La condicin de certidumbre o de incertidumbre asociada a un problema dedecisin en particular, corresponde, como hemos visto, al grado de informacinacerca de la ocurrencia de los estados de la naturaleza. A travs de un ejemplopodemos estudiar corno un mismo problema o situacin puede ser clasificado

23



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

como problema de decisin bajo certidumbre o problema de decisin bajo incerti-dumbre, segn las consideraciones que se realicen, el en ioque que se adopte a lassimplificaciones que se hagan al estudiar el problema.

Tomemos el siguiente ejemplo.

Problema de Transporte

Una compaa fabricante y distribuidora de productos de consumo masivoposee tres plantas A, B y C donde se encuentra almacenada la totalidad de la pro-duccin del mes anterior de un cierto producto.

Ella cuenta con cuatro almacenes, o centros de distribucin, 1, 2, 3 y 4,respectivamente, cada uno de los cuales maneja o requiere un cierto volumen delproducto.

Los costos de transporte se estiman, lgicaanente, en base a la distancia enkilmetros entre las plantas y los centros de distribucin.

Se desea programar el transporte del producto de tal manera que su costototal sea el mnimo as como estimar el costo total.

Comentario

Dada la informacin con que ha sido planteado el problema, y si los volme-nes de inventario del producto, la demanda de cada centro de distribucin y lasdistancias entre plantas y centros de distribucin, son perfectamente conocidos,estamos en presencia de un problema de decisiones en condiciones de certeza ocertidumbre.

Por el contrario, si como consecuencia de una catstrofe natural, guerra opor cualquier otra razn, las demandas de los centros de distribucin son inciertas,o si las distancias entre plantas y centros de distribucin estn sujetas a cambios y.por lo tanto, no se les puede establecer con certeza, estamos en presencia de unproblema de decisiones en condiciones de incertidumbre.

El problema, bsicamente, continua siendo el mismo pero las condicionesentre los factores que intervienen son distintas; en un caso, tenemos conocimientocierto acerca de las variables; en el otro debemos estimar los probables valores delas variables.

24



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

AUTOE VALUACINInstrucciones

PRIMERA PARTE: A continuacin se le presentan distintas situaciones segui-das de alternativas de respuesta. Slo una de las alterna-tivas es correcta para cada situacin. Seleccione la queconsidere que es correcta y selela, encerrando en uncirculo la letra que la identifica.

1. El Anlisis de Decisiones tiene como uno de sus instrumentos bsicos, a laTeora de la Probabilidad; la razn de esto es que dicha teora permite:

(9B

' C

D

Codificar la informacin referente a eventos

Identificar los elementos de un problema de decisin

Codificar la actitud ante el riesgo del decisor

Clasificar los problemas de decisin

2. La metodologa del Anlisis de Decisiones ha sido especialmente eficaz en eltratamiento de:

A

7TSL*2c

D

Problemas de carga de maquinarias

Problemas bajo incertidumbre

Problemas determ msticos

Problemas de inventario y almacenaje de productos

Una persona X, la cual desea obtener el mayor rendimiento para su dinero,est pensando en invertir en depsitos a plazo fijo, por considerar que es sumejor opcin disponible, cuando lee en el peridico que las tasas de intersactualmente vigentes no sern revisadas y, por lo tanto, permanecern fijasdurante los prximos seis meses. Esa misma semana decide invertir a plazofijo al 15 por ciento anual a ciento ochenta das. No han pasado ocho dascuando, como consecuencia de un alza de intereses en el exterior, se anunciaque las tasas en el pas subirn al 18 por ciento para depsitos a cientoochenta das y al 16 por ciento para depsitos a noventa das.

Utilizando nicamente la informacin suministrada, indique cmo calificarausted la decisin y el correspondiente resultado.

Buena Decisin Buen Resultado

Buena Decisin Mal Resultado

c

D

Mala Decisin

Mala E'ecisin Mal Resultado25



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

4. En un problema de dimisiones en condiciones de incertidumbre, el decisor:

A

B

C

5

Co loce la ocurrencia de los estados de la naturaleza

Desconoce los cursos de accin posibles

Desconoce el conjunto de resultados posibleDesconoce qu resultado ocurrir

SEGUNDA PARTE: Dadas las situaciones de Decisin en Condiciones de Incer-tidumbre propuestas, identifique los elementos que seiican al final del problema.

Su'hijo de 10 aos e edad acaba de ser mordido por un perro callejero alvolver del colegio. Usted est confuso acerca de si debe o no vacunarlo, pues

.ha odo rumores en contra de la aplicacin de la vacuna, por los efectossecundarios, pero, por otra parte, siente angustia ai pensar que el perro puedaestar rabioso.

A

B

C

D

.0

Los estados de la Naturaleza f^

6. Un industrial debe decidir la construccin de una planta para la fabricacinde un nuevo producto que desea introducir en el mercado. La demanda esincierta por tratarse de algo nuevo, por lo que no se dispone de mayor infor-macin al respecto.

El industrial sabe que si la demanda resulta elevada, la inversin ser altamen-te rentable, mientras que si es baja apenas podr cubrir los costos de montajede la planta. Como empresario, el industrial est interesado en obtener elmayor beneficio de su inversin con el menor riesgo posible. El producto esmuy novedoso y ha tenido gran aceptacin en otros pases, por lo que elindustrial espera correr con la misma suerte.

El y sus dos socios se plantean la decisin en trminos de cul debe ser eltamao de la planta, ms conveniente a construir. La decisin es de granimportancia pues si se construye de alta capacidad y la demanda resulta serbaja, las prdidas y el lucro cesante seran muy elevados, mientras que si lademanda resulta alta, los beneficios seran muy altos. Por otra parte, si seconstruye una planta de baja capacidad y la demanda resulta ser alta, seperdera la oportunidad de hacer un buen negocio.

Suponga 3mativa de no construir la planta esta excluida.

26



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

AB

C

D

El decisor (^ ^jjfy9&

Las alternativas ,-. ivVV- , ;C_^ ,-vjr . --'

Los estados de la naturaleza_

Los resultados \; J A

' r, - ; vA->W -1 ^

. - , - , . , r 'i L r ' ' 1 v '

^ c_l .:-'; Llif. ' ' 57!

_^;

27



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

PREGUNTA

1

2

3

4

5

6

CLAVE

A

B

AD

Ver Claverazonada

Ver Claverazonada

OBJETIVO EVALUADO

1

1

2

3

4

4

SECCINREFERENCIA

1.1

1.3

1.6

1.7

1.6

1.6

Clave Razonada

Pregunta 1

A. Correcto. La teora de la probabilidad permite utilizar la informacindisponible, al asignar probabilidad a un evento incierto.

B. Incorrecto. No es necesario conocer la Teora de la Probabilidad paraidentificar los elementos de un problema de decisin.

C. Incorrecto. La actitud del decisor ante el riesgo se codifica en base a laTeora de la Utilidad.

D. Incorrecto. Los problemas de decisin se pueden clasificar en base a laincertidumbre respecto a la ocurrencia de los estados naturales.

Pregunta 2

A. Incorrecto. Los problemas de carga de maquinarias se consideran de tipodeterminstico y son estudiados e.n Investigaciones de Operaciones.

B. Correcto. El Anlisis de Decisiones es una metodologa, bsicamente parael tratamiento de problemas de decisin bajo incertidumbre.

C. Incorrecto. Por la razn en b.

D. Incorrecto. Por una razn similar a.

29



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Pregunta 3

A. Incorrecto. La decisin fue buena y el resultado no result bueno.

B. Correcto. La decisin fue buena aunque el resultado fue desfavorable.

C. Incorrecto. La decisin fue buena dada la informacin disponible.

D. Incorrecto. Igual que c.

Pregunta 4

A. Incorrecto. La ocurrencia de los estados de la naturaleza es un eventoincierto.

B. Incorrecto. Si el problema de decisin ha sido correctamente estructura-do, el decisor conoce los cursos de accin posibles.

C. Incorrecto. Si el problema de decisin ha sido correctamente estructura-do, el decisor conoce el conjunto de resultados posibles.

D. Correcto. El decisor conoce los cursos de accin posibles y el conjuntode resultados, posibles, pero desconoce qu resultado ocurrir.

Preguntas

No existe una sola respuesta vlida, pues depende de los eventos que se consi-deren en el anlisis. A manera de ilustracin, se suministran dos tipos derespuestas.

Respuesta A

A. Usted

B. VacunarNo vacunar

C. Perro rabiosoPerro no rabioso

D. Vacunar y perro rabiosoVacunar y perro no rabioso

, No vacunar y perro rabiosoNo vacunar y perro no rabioso

Respuesta B

A. Usted

B. VacunarNo vacunar

30



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

C. Perro con rabiaPerro sin rabiaVacuna produce efectos secundariosVacuna no produce efectos secundarios

D. Vacunar, no efectos secundarios y perro rabiosoVacunar, no efectos secundarios y perro no rabiosoVacunar, efectos secundarios y perro rabiosoVacunar, efectos secundarios y perro no rabiosoNo vacunar y perro rabiosoNo vacunar y perro no rabioso

Pregunta 6

No existe una nica respuesta, por las mismas razones indicadas en la pregun-ta 5.

Una respuesta vlida sera:

A. Los tres socios

B. Planta alta capacidadPlanta baja capacidad

C. Demanda altaDemanda baja

D. Planta alta capacidad y demanda altaPlanta alta capacidad y demanda bajaPlanta baja capacidad y demanda altaPlanta baja capacidad y demanda baja

31



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

UNIDAD S

CONCEPTOS BSICOS OE PROBABILIDAD

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deber estar en capacidad de:

5) Aplicar, en situaciones dadas, las definiciones y axiomas de la Teora deProbabilidades necesarias al Anlisis de Decisiones.

6) Distinguir las diferentes definiciones de probabilidad.

ESQUEMA DE CONTENIDOPag.

2.1. Experimento y evento / aleatorios. 34

2.2. La definicin de probabilidad 37

2.2.1. La definicin clsica 372.2.2. La definicin frecuencial. 372.2.3. La concepcin subjetiva de la probabilidad 38

2.3. Axiomas de probabilidad 39

Autoevaluacin 41

Solucin de la Autoevaluacin 45

33



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

2.1. EXPERIMENTO Y EVENTO ALEATORIOS

Un experimento aleatorio es aquel que a la vista de un observador (decisor)produce resultados fortuitos. As por ejemplo, son experimentos o pruebas alea-torias la perforacin de un pozo petrolero, el lanzamiento de un nuevo productoal mercado, o simplemente el lanzamiento de una moneda o un dado.

Un evento aleatorio es uno de los posibles resultados de un experimentoaleatorio.

En la perforacin de un pozo petrolero podemos proponer como posiblesestados d la naturaleza los siguientes:

6 : pozo seco

6: petrleo a los 1.000 metros, o antes

O : petrleo despus de los 1.000 metros

cualquiera de los estados 61, 62 f? 3 , constituye un evento aleatorio asociado alexperimento aleatorio "perforacin del pozo petrolero".

Decimos que un evento aleatorio es elemental, cuando no puede expresarseen trminos de otros eventos sencillos. Se habla tambin de evento aleatoriocompuesto, para designar a aquel que puede expresarse en trminos de otroseventos ms sencillos.

En el caso del lanzamiento de un dado, el que el resultado del lanzamientosea cuatro, constituye un evento elemental, mientras que si proponemos el even-to: "el resultado del lanzamiento es mayor o igual que cuatro" se trata entoncesde un evento compuesto, ya que el mismo se verifica si el resultado del lanzamien-to es 4, 5 6. Un evento compuesto se asocia a ms de un resultado del experi-mento aleatorio considerado. Decimos que dos eventos son mutuamente exclu-yentes, si la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro. Por ejemplo, silanzamos una moneda al aire los eventos resultantes, cara o sello (eventos elemen-tales) son mutuamente excluyentes. Tomemos otro ejemplo:

En el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado, dis-tinguimos los siguientes eventos:

El resultado del lanzamiento es un nmero par"

A2 = "El resultado del lanzamiento es un nmero impar"

A3 = "El resultado del lanzamiento es menor o igual que cuatro".

A! , A2 y A3 son eventos compuestos. Observemos que de acuerdo a la defini-cin, A! y A2 son mutuamente excluyentes; mientras que Al y A3 no lo son,ya que si el resultado de! lanzamiento es dos, se estarn verificando ambos even-tos, algo similar ocurre con A2 y A3.

34



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

A la totalidad de eventos aleatorios elementales lo llamamos Espacio deEventos. Cuando nos referimos a la "totalidad" queremos indicar que no es posi-ble la ocurrencia de ningn otro evento elemental distinto a los que hemos descri-to o que la descripcin de los eventos realizada es exhaustiva. Diremos que unconjunto de eventos es colectivamente exhaustivo si contempla todos los posiblesestados de la naturaleza resultantes de un experimento aleatorio dado.

Es importante notar que en la practica, cuando es imposible hacer una des-cripcin de todos y cada uno de los eventos elementales resultantes de un experi-mento aleatorio, se puede lograr sealar un conjunto de eventos compuestos queabarque la totalidad de los eventos elementales, de manera tal que aquellos seancolectivamente exhaustivos. El ejemplo de la perforacin del pozo petroleroreportado al inicio, brinda una muestra clara de lo que acabamos de decir; ioseventos o estados de la naturaleza dl; 82 y #3 abarcan la totalidad de los posi-bles resultados del experimento aleatorio considerado; por lo tanto, constituyenun conjunto de eventos colectivamente exhaustivos y conforman a su vez un espa-cio de eventos.

La Teora de Conjuntos nos brinda una estructura formal sencilla dndeapoyar estos conceptos que acabamos de ver:

Asociaremos al espacio de eventos el conjunto universal denotado con elsmbolo 2 , Cada uno de los subconjuntos At de elementos de este conjuntoM, representar un evento aleatorio resultado del experimento aleatorio conside-rado, ya sea un evento elemental o compuesto.

La figura 2.1. ilustra lo que acabamos de decir:

Fig. 2.1.

Si se cumple que la unin de todos los A considerados igual a 2, entoncesdiremos que los At son colectivamente exhaustivos, valiendo tambin la afirma-cin recproca:

(2.1.) u i

Los Aj son colectivamente exhaustivos.



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

FIG. 2.2.

En la figura 2.2. se cumple que AI U A2 U A3 = 2

AI , A2 y A3 son colectivamente exhaustivos.

Diremos que un conjunto de eventos A son mutuamente excluyentes si lainterseccin de los A es vaca, valiendo tambin la afirmacin recproca.

(2.2.) f^ A -i 1

Los A son mutuamente excluyentes.

:A,=

FIG, 2.3.

En la figura 2.3 se cumple que A n A2 = n A3 = 0 y A2 n A3 =por lo que los eventos Al , A2 y A3 son mutuamente excluyentes. Obsrvese queen la figura 2.2 no es vlida esta afirmacin.

Las definiciones que acabamos de ver permiten afirmar que un conjunto deeventos, son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes, si estn con-templados en el conjunto todos los estados de la naturaleza factibles y si laocurrencia de uno de los estados implica la no ocurrencia de cualquiera de losrestantes.

36



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

La figura 2.3. ejemplifica la situacin.

Tomemos otro ejemplo para fijar estas ideas.

oo

En la figura 2.4 aparece una caja quecontiene tres bolas negras y dos bolasblancas. Realicemos el experimentos queconsiste en extraer al azar dos bolas de lacaja. El espacio de eventos est constituido por:

Fig. 2.4.

A = "bola blanca bola negra"

A2= "bola blanca bola blanca"A

A3= "bola negra bola negra"

Estos eventos son mutuamente excluyentes porque la ocurrencia de uno deellos obliga a la no ocurrencia del otro y colectivamente exhaustivos, porque slostos pueden ocurrir.

2.2. LA DEFINICIN DE PROBABILIDAD

Dado que la irocinjlejHoJ)al^ intu"tiva, ha sido j>bjeto de numerosas interpretaciones por parte de ma^mticos dedistintas pocas, en. el intento de formalizar e investirla del rigor caracterstico de.todos los desarrollos de la matemtica. A continuacin veremos las distintas con-cepciones que hay al respecto:

2.2.1. LA DEFINICIN CLASICATambin denominada probabilidad[combinatoria,Lconcibe la proba-bilidad de un evento aleatorio como el cociente entre. eEnSmerp^ de_resultados del expenm^ totalde resultados posibles e igualmente probables.

Esta definicin, aparte de que hace uso de la palabra "probable" quean no se ha definido (tautologa), posee dos limitaciones en cuantoa su aplicacin:

a) no siempre es factible enumerar exhaustivamente los resulta-dos de un experimento

b) La suposicin de que todos los resultados puedan ser igualmen-te probables, no siempre es vlida.

2.2.2 LA DEFINICIN FRECUENCIAL

Esta es una definicin que se basa en la relacin intuitiva que existeentre probabilidad y frecuencia; segn ella, la probabilidad, de unevento es la frecuencia relativa de dicho evento en n intentos repeti-

37



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

dos de un experimento aleatorio, cuando n tiende a infinito. Si m esel nmero de veces en que se verifica el evento A. en n intentos repe-tidos de un experimento aleatorio dado, entonces la probabilidad deA se designa por

(2.3) P ( A ) = lim ~o -> oo

Esta concepcin de la probabilidad es generalmente adoptada por losestadsticos, y resulta de utilidad en el Anlisis de Decisiones cuandose tratan situaciones que poseen una serie histrica de datos, suficien-temente larga y en las que se puede suponer, sin cometer grandeserrores, que las condiciones en las cuales se repite el experimento semantienen invariables. Por ejemplo, cuando se hacen pronsticos delestado del tiempo o de la intensidad de las precipitaciones, general-mente se toman en consideracin series de datos muy largas, produc-to de muchos aos de observacin.

La concepcin frecuencial de la probabilidad no admite ningunainfluencia personal en su determinacin; supone la probabilidadcomo una cualidad especfica de un objeto (como pudiera ser el peso,el volumen o la dureza) razn por la cual a la probabilidad concebidaas se le designa tambin como probabilidad objetiva. Sin embargo,en los ltimos aos ha cobrado cada vez ms fuerza una concepcinque establece que la probabilidad es ms el producto de un "estadomental" que de un estado de cosas, dicindose que la probabilidadmide el estado de conocimiento de una persona, acerca de un fen-meno, ms que al fenmeno mismo. Esto nos lleva a una terceradefinicin.

2.2.3. LA CONCEPCIN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDADLa concepcin subjetiva define la probabilidad de un evento como elgrado de confianza que una persona posee en la factibilidad de eseevento. En otras palabras, la probabilidad de un evento puede conce-birse como un valor numrico, el cual no es ms que un ndice de laopinin de una persona racional sobre las posibilidades que tiene eseevento de producirse en el futuro.

Segn esta definicin, entonces, la probabilidad de un evento varasegn la persona que lo est considerando y, tambin, para la mismapersona, segn el momento y circunstancias en los cuales asigna aprobabilidad. Esto hace pensar que tal forma de evaluar la probabili-dad es un tanto arbitraria; al contrario, es una evaluacin que est deltodo de acuerdo con las reglas lgicas. Veamos, si dos personas racio-nales proceden de experiencias similares, si sus juicios personalesprovienen ms o menos de las mismas bases, entonces ellas determi-narn, aproximadamente, ios mismos valores de probabilidad paraun mismo evento; sin embargo, la concepcin subjetiva de la probabi-lidad admite que dos personas racionales con experiencias distintas,puedan escoger dos valores numricamente distintos para presentar aprobabilidad de un evento, lo cual es un hecho de suma importanciadentro del Anlisis de Decisiones, porque incorpora el conocimientodel especialista al proceso del Anlisis de Decisiones.

38



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

2.3. AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Las definiciones de probabilidad examinadas anteriormente, distintas encuanto a concepcin, coinciden todas en que sta es una medida numrica asocia-da a cada uno de los eventos que constituye el espacio de eventos.

Debido a la necesidad de que el conjunto de probabilidades asignadas bajouna u otra concepcin, sea coherente y exento de contradicciones, se ha estableci-do una serie de axiomas que sealaremos a continuacin, los cuales logran, entreotras cosas, darle al clculo de probabilidades una estructura matemtica formal,la cual facilita cualquier desarrollo que vaya ms all de la mera definicin.

Sea 2 el espacio de eventos correspondientes a un determinado experimentoaleatorio; sea A un evento perteneciente a 2 y P (A) la probabilidad asociada a eseevento; entonces, se satisfacen los siguientes axiomas:

1. P ( 2 ) = 12. P (A) > O para todo A C 23. P(A! U A2 U A3U ) -P (AJ + P (A2) + P'(A3) +

si Aj n A = 0 para todo i i= i

A partir de las axiomas anteriores se pueden demostrar las siguientes propie-dades:

a) P (0) = O cualquiera que sea 2 (2.4.)b) P(A') - l-P(A) donde (A' U A) - 2 (2.5.)c) P(A) < 1 (2.6.)

sin dificultad tambin se puede demostrar que, tratndose de eventos no exclu-yentes, eventos cuya interseccin es no vaca, se cumple que:

P(A.u A.) = P(A) + (P(A.) -P(A n A.)' (2.7)

Es importante sealar que ni los tres axiomas mencionados ni cualquiera delas propiedades que de ellos se puedan derivar, conducen a una asignacin nica yespecfica de la probabilidad de un evento; los axiomas, simplemente clarifican lasrelaciones entre probabilidades que nosotros asignamos, de manera tal de garanti-zar que seamos consistentes con nuestra nocin intuitiva de probabilidad. Porejemplo, si consideramos el diseo de una nave para llevar un hombre a la luna, elexperimento que consiste en hacer que esta nave tripulada alcance la luna puedetener dos resultados: xito o fracaso. Por xito entendemos que el hombre lleguesano y salvo a la luna: por fracaso cualquier otra cosa

Los axiomas ya enunciados no implican que la probabilidad del evento"xito" deba ser 1/2, 3/4 0,998, o cualquier otro valor en particular; si denota-mos esta probabilidad con P, ellos nos implicarn que O < P < 1 y que la proba-bilidad del evento "fracaso" es 1 P, una asignacin o especificacin real delvalor de P debe provenir de un anlisis concienzudo del experiment, y del meca-nismo que est detrs de l, de las condiciones ambientales, de los datos disponi-bles de realizaciones anteriores de experimentos iguales o similares, y de la expe-riencia de quien hace la asignacin.

39



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

En el Anlisis de Decisiones la consideracin de esta serie de axiomas es deutilidad porque permite que de una forma coherente sea posible:

a) Asignar las medidas de probabilidad a los eventos elementales inte-grantes del espacio de eventos. Si tomamos nuevamente nuestroejemplo de la perforacin del pozo petrolero, donde los posibleseventos considerados eran: Q^ = "pozo seco", 02 = "petrleo alos 1000 metros o antes" y 03 = "petrleo despus de los 1000metros" y suponemos que asignamos a estos eventos los siguientesvalores de probabilidad:

? ( < 9 j ) = 0,5; P ( 0 2 ) = 0,4; P (0 3 ) = 0,8 vemos que siendo 6l,92 y

AUTOE VALUACIN

Instrucciones

A continuacin se le presentan distintas situaciones seguidas de alternativasde respuesta. Slo una de las alternativas es correcta para cada situacin.

Determine la alternativa correcta y selela encerrando en un crculo la letraque la identifica.

1. Identifique la grfica en la cual se presentan los eventos A y B, mutuamenteexcluyentes.

A)

B)

C)

D)

0

41



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

2. Dado , los eventos A, B, C, D son colectivamente exhaustivos.

B)

C) D

D)B

3. Teniendo una empresa a su disposicin las estadsticas de ventas de autom-viles de los ltimos cuatro aos, afirmar que la probabilidad de que esasventas para el ao prximo suban en un 20 por ciento es de 0,25, responde auna concepcin de la probabilidad esencialmente.

(A\

C

Frecuencial

Subjetiva

Clsica

42



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

4. Despus ce un conjunto de pruebas debidamente especificadas, el Departa-mento de Control de Calidad de una empresa fabricante de lmparas incan-descentes afirma que la probabilidad de que una de sus lmparas falle antesde las 1,000 horas es de 0,05. Esta afirmacin responde a una concepcin dela probabilidad esencialmente.

Frecuencial

B

C

Subjetiva

En una ciudad desorganizada y congestionada como Caracas, decir que laprobabilidad de que una persona que sale de su casa a las 7 a.m., llegue a suoficina, distante 10 km, entre las 7:25 a.m. y las 7:35 es de 0,4, responde auna concepcin.

A Frecuencial

B Subjetiva

C Clsica

El que las probabilidades de cada uno de los eventos excluyentes que consti-tuyen exhaustivamente un espacio de eventos sumen 1, significa que dichasprobabilidades.

A Han sido asignadas bajo una concepcin subjetivaB Responden a la definicin frecuencial

Se ajustan a los axiomas 1 y 3

Cuando a los eventos mutuamente excluyentes que constituyen exhaustiva-mente un espacio, se les asigna probabilidades bajo una concepcin subjetiva,la suma de las probabilidades asignadas.

A Es siempre mayor que 1

B

trNo necesariamente es 1

Es

43



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

SOLUCIN DE LA AUTOEVALUACION

PREGUNTA

1234567

PT A1\jL\

r1!

CBAC

AVE

Br1!

cBAC

OBJETIVO EVALUADO

5566655

SECCIN DEREFERENCIA

2.12.1.2.22.22.22.32.3

Clave razonada

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Los nicos eventos cuya interseccin es vaca son los de la situa-cin "B"

L situacin en la cual A U B u C u D = 2esla "A".

a probabilidad asignada es producto de la observacin de unasie histica de datos, que iaidican una determinada tendencia.

Las pruebas efectuadas a las lmparas consisten en el someti-miento de un lote de las mismas a un proceso de "envejecimien-to" rpido, durante e cual se hace un conteo de las que vanfallando. La probabilidad es un cociente entre el nmero deii^pai'ss qua fallan antes de un determinado tiempo y el nme-ro total de las sometidas a prueba. Vale la pena aclarar que si laasignacin de probabilidad es hecha tomando en consideracinlos resultados de "muchas" pruebas, estar involucrando unconcepto estadstico y por io tanto entra en juego la concep-

Es claro que lo ms importante en la asignacin de probabilidadque se hace, en este caso es la experiencia de quin la hace y porsupuesto las circunstancias en que la hace. Son tantos los facto-res no determinados que entran en juego, que la probabilidadque pueda asignar una persona que no conozca la ciudad serseguramente bien distinta de la que asigne un caraqueo, some-

Son los axiomas los que especifican coherentemente las relacio-nes entre las medidas de probabilidad de los eventos de un expe-rimento aleatorio dado y no la concepcin misma de la probabi-

La misma razn de la pregunta 6.

45



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

UNIDAD 3

INFORMACIN Y ASIGNACIN DEPROBABILIDADES

Al finalizar el estudio de esta Unidad usted deber estar en capacidad de:

7) Relacionar el problema de la asignacin de probabilidades con la disponibi-lidad de informacin.

8) Aplicar el clculo de probabilidades para la incorporacin de informacin enla asignacin de la probabilidad de un evento.

ESQUEMA DE CONTENIDOPag.

3.1. Asignacin de probabilidades e informacin * 48

3.2. Probabilidad condicional 50

3.3. Independencia de eventos 55

3.4. El teorema de Bayes 5

Autoevaluacin 61

Solucin de la Autoevaluacin . 65

47



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

8.1. ASIGNACIN DE PROBABILIDADES E INFORMACIN

Cada una de las definiciones de probabilidad que analizamos en la Unidad 2encierra, en cierta forma, un modo de asignar la probabilidad de un evento aleato-rio que es realizacin de una prueba o experimento tambin aleatorio.

Para los efectos del Anlisis de Decisiones, aunque existe una tendencia oinclinacin que hace que la asignacin de la probabilidad de un evento sea sugeri-da por una concepcin subjetiva, es difcil establecer una norma que sea capaz deabarcar todas, o ni siquiera una parte, de las situaciones de decisin imaginables.Esencialmente, la probabilidad que podamos asignarle a un determinado evento oestado de la naturaleza est relacionado con el grado de informacin que posea-mos respecto a la ocurrencia de dicho evento y con nuestra propia capacidad deinterpretar (valorar) esa informacin.

Supongamos por ejemplo el lanzamiento de un par de dados "idnticos" y elproblema de asignar la probabilidad del evento "el resultado del lanzamiento es

Si previo al lanzamiento no se nos permite examinar los dados y por endesuponemos que se trata de un par legal, bien construido, si adems desconocemoslos resultados de cualquier otra prueba anterior realizada con ese mismo par dedados, entonces el problema de asignar la probabilidad al evento considerado selimitar, solamente, a determinar el nmero de los posibles resultados del lanza-miento, el nmero de los resultados favorables al evento y a efectuar el cociente.Veamos: los posibles resultados son (1,1); (1,2), (1,3), (1,4); (1,5); (1,6); (2,1);(2,2); ..; (6,5); (6,6), y hacen un total de 36. Si partimos de que cualquiesa deestos 36 posibles resultados es igualmente probable, lgicamente asignaremos alevento "(1,1)" 1a probabilidad p = 1/36. Para hacer esta asignacin no dispusimosde ninguna informacin especial acerca del experimento y de sus posibles realiza-ciones, simplemente aplicamos la definicin clsica de probabilidad, por ser laque ms se ajustaba a la situacin planteada.

Supongamos ahora que seguimos sinvez alcanzamos a obtener una tabla deobservados despus de haber realisado 1dados en cuestin (tabla 3.1).

Tabla 3.1.* Resultados de mfl lanzamientosconsecutivos de un per de dados.

poder examinar los dados pero que estavalores donde aparecen los resultados

lanzamientos consecutivos del par de

Evento(i,D(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)

No. de veces que severific el evento

598485747679234541444324464641264443204017

1000 [

En estas condiciones es lgico pen-sar que si el "comportamiento" delpar de dados ha sido el que describela tabla para 1,000 realizacionesconsecutivas, para la realizacin No.1001 ese "comportamiento" semantenga. Esto es un raciociniotpico de la Estadstica; de la tablade valores que en definitiva es unainformacin podemos asignarle alevento "(1,1)" la probabilidad de59/1000.

Este procedimiento de asignacin esel que se desprende de la concep-cin frecuencia! u objetiva, de laprobabilidad.

48



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Por ltimo, supongamos que no disponemos de la tabla de valores anterior,sino que en cambio tenemos la posibilidad de tomar en nuestras manos el par dedados.

Examinndolos cuidadosamente notamos, aun sin disponer de algn instru-mento de medicin, que mientras a la vista ambos dados son iguales, uno de lostiene un peso distinto y que, adems, ese peso parece estar concentrado casiexclusivamente sobre la cara opuesta al "uno"; esto nos advierte, obviamente, quepara ese dado el resultado "uno" es particularmente favorecido, a tal punto dequ en el lanzamiento del par de dados es "altamente probable" el que al menosuno de ellos resulte "uno"; de esta manera no sera muy arbitrario si, por ejemplo,hiciramos la asignacin 1/18 a la probabilidad de que se realice el evento "(1,1)".Veamos que siendo esta asignacin nuevamente subjetiva, no procede puramen-te del capricho de quien lo hace, sino que es el producto de haber tenido conoci-miento de una situacin y racionalmente haber hecho una estimacin de las po-sibilidades de realizacin de un evento futuro.

Un ejemplo reportado en la bibliografa es el del astronauta que va a serlanzado al espacio en una misin de circunvalacin a la tierra. Cuando se estintroduciendo en la cpsula pregunta al Supervisor de Lanzamiento: "Por curiosi-dad cul es la confiabilidad de este cohete?" El Supervisor responde: "Noventa ynueve por ciento; estimamos que en cien lanzamientos slo un cohete puedefallar". El astronauta confa pero an tiene ciertas reservas sobre el xito de lamisin y pregunta de nuevo: "Esos cohetes que estn all cerca, son del mismotipo del que voy a usar yo?" El Supervisor responde: "Son idnticos". El astro-nauta sugiere: "Por qu no se lanzan unos cuantos antes que el mo para assentirme algo ms seguro?"

Se lanza un primer cohete tripulado por un piloto artificial. Cae en elocano. Fracaso total. El Supervisor comenta: "Resultado desafortunado, tratare-mos de nuevo". El segundo cohete explot en el aire. Lanzan un tercer cohete conel resultado desastroso de desintegrarse antes del lanzamiento. Llegado estemomento, el astronauta resignado es enviado a casa. Nada podr convencerle quela confiabilidad es del 99% -

Pero en realidad, qu es lo que ha cambiado? Su cohete no puede serafectado fsicamente por la falla de otro; el sistema de pilotaje, el motor, todoest exactamente en las mismas condiciones que antes de efectuar las anteriorespruebas. Si considerramos la probabilidad como un "estado de cosas", la confia-bilidad del cohete debera continuar siendo 99% . Pero, por supuesto no es as.Despus de observar la falla del primer cohete, el astronauta ha podido evaluar laconfiabilidad del suyo, digamos que en un 90 %> despus de la segunda falla, en un70% y finalmente, despus de la tercera digamos que a lo sumo en un 30%. Loque ha sucedido *s que su estado de conocimiento sobre su propio cohete ha sidoinfluido por lo que le ha sucedido a los cohetes gemelos de donde, l estima que laprobabilidad debe decrecer. Es tan baja la confiabilidad estimada que sin duda noarriesgar la vida.

De nuevo colocamos en realce la influencia que tiene el grado de informacinque se posee para la asignacin de la probabilidad. Este grado de informacin,claro est, dependiendo de las situaciones y circunstancias, puede variar en un ran-

49



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

go muy extenso; hay situaciones de las que se tiene un conocimiento slido, pro-ducto de muchos aos de experiencia, as como otras de las que se poseen simple-mente algunos indicios o una vaga idea proveniente de unos cuantos datos. Es porolio que resulta difcil establecer un procedimiento que permita, en forma simple,eficiente y ms o menos precisa, hacer asignaciones de probabilidad.

En la prctica, cuando los problemas conciernen a una organizacin, empresao institucin, las variables involucradas en ei proceso de decisin, que representanestados de la naturaleza cuya probabilidad hay que asignar, se clasifican por espe-cialidades y se designa dentro de la organiacin a la(s) persona(s) que mayor cono-cimiento tiene(n) sobre cada grupo de variables, para realizar las respectivas asig-naciones; as, las variables tecnolgicas se asignan al Departamento de Tecnologa,las variables de mercadeo al Departamento de Mercadeo, etc

Sin duda, que en este proceso de asignacin intervienen mecanismos psicol-gicos particulares; entre otras cosas, por ejemplo, cuando el especialista es interro-gado por su conocimiento sobre cierta materia, puede creer que se est tratandode evaluar su persona y no su conocimiento. Es por ello que han sido diseadosprocedimientos que permiten salvar, en una cierta medida, ste y otros obstculosy que se han demostrado bastante eficaces en la prctica.

Esencialmente, para la asignacin de la probabilidad de un evento dado esnecesario observar conjuntamente los aspectos siguientes:

a) Las caractersticas fsicas inherentes al evento

b) La rata de ocurrencia del evento en situaciones pasadas (si existieron)

c) Las relaciones entre el evento y otros posibles

d) La opinin de los especialistas

e) Cualquier informacin disponible relacionada con el evento, que seconsidere confiable

Claro est, que segn sea la naturaleza del evento, cada uno de los puntosanteriores tendr mayor o menor importancia. Por ejemplo, en la asignacin de laprobabilidad de falla de una turbina de avin a reaccin, son de especial importan-cia la consideracin de los aspectos fsicos, la tecnologa empleada en la fabrica-cin y la observacin de las estadsticas referentes a las pruebas efectuadas previa-mente. Mientras que en la asignacin de la probabilidad de que los precios deventa del petrleo, para el segundo semestre del ao prximo estn por debajo delos treinta dlares el barril, es fundamental la opinin de los expertos en lamateria, la relacin del evento con acontecimientos polticos, blicos, etc., y todainformacin colateral que tenga algo que ver.

En la Unidad 4, cuando tratemos la Metodologa de la Asignacin, volvere-mos sobre este punto ms extensamente; por ahora continuaremos con otrosconceptos que son imprescindibles para el estudio de tal metodologa.

3.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Como ya se ha hecho resaltar, la probabilidad que asignamos a un evento estsujeta a cambios, segn vara nuestro grado de informacin respecto al fenmenoanalizado y su entorno.



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Supongamos por ejemplo, que hemos comprado un nmero de una rifa demil boletos; en el momento de la adquisicin estimamos obviamente que la proba-bilidad de resultar favorecidos con e premio es 1/1.000, Un da antes del sorteonos enteramos que al promotor de la rifa logr colocar solamente 935 boletos yque los no vendidos no vau a concurso. Con esta informacin resulta claro que laprobabilidad de obtener el premio se eleva a 1/935.

Este ejemplo ilustra, en forma sencilla, lo antes dicho en referencias que laprobabilidad asignada a un evento est condicionada al grado de informacindisponible.

Hasta e! momento no hemos formalizado una notacin que indique clara-mente este condicionamiento, lo que haremos a continuacin:

Sea E un evento o estado de la naturaleza cualquiera, cuya probabilidaddebemos asignar y sea C otro evento o estado de la naturaleza.

Denotamos por P (E/C) a la probabilidad de que E ocurra bajo el hecho deque C se ha verificado.

De esta manera, la ocurrencia de C es considerada por el decisor como unainformacin, P (E) es la probabilidad asignada al evento E antes de recibir lainformacin, tambin llamada probabilidad inicial o probabilidad a priori, mien-tras que la probabilidad P (E/C) es la probabilidad asignada a E, despus de haberrecibido la informacin llamada probabilidad final o a posteriori.

A P (E/C) comnmente se le designa como probabilidad condicional delevento E respecto a C, o simplemente la probabilidad de E dado C,

Esta probabilidad condicional P (E/C), corrientemente se define como elcociente entre P (E O C) y P (C) siempre que P (C) * O

P(En C)(3.1.) P ( E/C) = ' ; P (C) * O

Veamos ahora el siguiente ejemplo.

Supongamos que e condominio de un edificio realiza peridicamente laadquisicin de lmparas incandescentes en un establecimiento comercial que a suvez se surte de dos proveedores. El primero (A) suministra el 70% del total delmparas y el segundo (B) el 30% restante.

En promedio, slo son normales * 85 lmparas de cada 1UU vendidas por elproveedor (A) y 65 de cada 100 vendidas por el proveedor (B).

Todos estos datos son ignorados por el condominio, quien posee como nicainformacin, producto de observar los resultados de compras anteriores, que decada 100 lmparas adquiridas slo setenta y nueve son normales; condicin bajola cual, si tuviera que asignar una probabilidad al evento "comprar una lmparanormal" dim:

79

Se consideran normales aquellas lmparas cuya vida mnima es de setecientas horas deencendido.

51



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Supongamos ahora, una ocasin en que el condominio va a realizar la comprade un lote de lmparas y recibe la siguiente confidencia de uno de los empleadosdel establecimiento:

"La existencia actual de lmparas es enteramente suministrada por el provee-: A, cuya proporcin de lmparas normales es de 85 %"

Bajo esta condicin, la asignacin de probabilidad para el evento "compraruna lampan 3onn^r' ser lgicamente

100 - 0,85

La diferencia entre esta asignacin y la anterior radica en que se produjo uncambio en las condiciones en que se realizaba la adquisicin de las lmparas. Unmismo evento: "La compra de una lmpara normal" tiene asignadas dos probabi-lidades distintas, pero en condiciones (estados de informacin) tambin distintas.

Si designamos c 10 E el evento "compra de una lmpara normal" y C elevento "fue suministrada por el fabricante (A)", entonces, P (E) designa la proba-bilidad incondicional de evento E y P (E/C) la probabilidad del mismo eventopero suponiendo que C se ha producido previamente. Tendremos pues:

P (E) - 0,79 P (E/C) = 0,85

Viene al caso hrcer n.otar que, en rigor, cada probabilidad es condicional: enel verdadero sentido ie la palabra, no existe una probabilidad no-condicional. Enla mayora de los problemas concretos hallamos que todas las operaciones yestados de la naturaleza examinados se basan en un sistema o conjunto de condi-ciones, que se acepta como hiptesis previa a cualquier anlisis. Si en la asignaciny clculo de las probabilidades no se toma en cuenta ninguna otra condicin ajenaa tal conjunto o sistema, entonces las probabilidades consideradas son no-condi-cionales. En nuestro ejemplo, el conjunto de condiciones que tcitamente acepta-mos como hiptesis previa, es que las lmparas incandescentes consideradas sonproducidas de acuerdo a normas y especificaciones comerciales de calidad comn-mente aceptadas y prefijadas.

Si adems de tal conjunto de condiciones aceptado tcitamente, existe otroque siendo ajeno a aqul, se toma en particular consideracin en el momento derealizar la asignacin de probabilidad, entonces, tal asignacin est condicionada ya ese oonJr.^r-o lo denominaremos "Evento condicionante". AI espacio de eventooriginal,, modificado por la informacin aportada por el evento condicionante, lodenominaremos "Espacio condicional de eventos".

Consideremos al conjunto de even-tos elementales que constituyen elespacio representado en la figura3.1.; siendo las probabilidadesasignadas a cada una de ellos, res-pectivamente, P (e t), P (e2), P (e3),P (64) Y P (es), se debe cumplir que

i 1



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Supongamos ahora que recibimos informacin adicional sobre el experimen-to, la cual nos indica con certeza que los eventos e2 y e4 no ocurrirn; esta infor-macin constituye el evento condicionante O "no ocurre e2 y no ocurre e " y serefleja en la figura 3.2. En estas condiciones, los nicos eventos posibles son e ,

fig. 3.2.

e3 y es de tal forma que la informacin obtenida (evento condicionante) permiteubicarnos en un nuevo espacio de eventos representado en la figura 3.3. que es elespacio condicional de eventos.

Este nuevo espacio debe satisfacer los axiomas de probabilidad, de tal formaque P (e,/C) + P (e3/C) + P (es/C) - 1

Veamos el ejemplo siguiente:Tomemos dos cajas idnticas, representadas en la figura 3.4. con la siguiente

composicin: caja 1, cuatro pelotas negras y una blanca; caja 2, tres pelotasblancas y dos negras.

Supongamos que al azar extrque sea negra? Cul ser la

una pelota, cul ser la probabilidad deidad de que sea blanca?

53



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

Consideremos el espacio de eventos 3 = Al, A2 , A3 , A4 representado en lafigura 3.5. donde A! , A2 , A3 y A4 son:

A j ; "la pelota es negra y provienede la caja 1"A2 : "la pelota es blanca y provienede la caja 1"A3: "la pelota es blanca y provienede la caja 2"A4: "la pelota es negra y provienede la caja 2"

Se cumplen

fig. 3.5.U A= y

i 1

4n

Consideremos: N = "extraer una pelota negra"

B - "extraer una pelota blanca"

supongamos que ocurre el evento condicionante

Cj ~ "la oelota procede de la caja 1*'(que equivale decir que la pelota no podr provenir de la caja 2). Nuestro espaciocondicional de eventos estar representado en la figura por la parte punteada; endicho espacio se cumple:

i = l/5

P(N/C t) + P(B/C1) = 1

s por el contrario ocurre

C2 = "la pelota procede de la caja 2", nuestro espacio condicional de eventoses el que representa la parte rayada de la figura y en el mismo se cumple

P(N/C2) - 2/5 y P(B/C2) - 3/5

P(N/C2) + P(B/C2) - 1

si consideramos ahora P (A! = N n C , = N C ,A4 = N n C2 - N C2

54

P (C2) = 1/2 vemos quey



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

3.1. podemos determinar

- P(N/C t ) P ( C , ) = 4/5 1/2P(Ai) = 4/10P(A 4 ) - P ( N C 2 ) - P(N/C2) P (C 2 )= 2/5 1/2P(A4) = 2/10

de la figura 3.5 queda claro que N = Al U A4 , as como tambin B = A2 U A3 demodo tal que gracias al axioma 3 podemos escribir P (N) = P (Aj ) 4- P (A4), o sea,P (N) = 4/10 4- 2/10 = 6/10. En forma similar se puede determinar P (B), el cualdebe ser 4/10.

3.3. INDEPENDENCIA DE EVENTOS

Consideramos de nuevo los eventos E y C de la seccin anterior. Supongamosque en forma separada tratarnos, por un lado de asignar la probabilidad al eventoE antes de recibir la informacin de que ha ocurrido el evento C (o suponiendoque C no ha ocurrido) y por otro, de asignar la probabilidad al mismo evento E,paro partiendo de la ocurrencia de C. Si despus de hechas estas asignacionesencontramos que

P (E) - P (E / C)

podemos inmediatamente deducir que la ocurrencia de C no tiene influenciaalguna en la probabilidad de ocurrencia del evento E, es decir, que E es indepen-diente de C. Es fcil notar que si E es independiente de C, se cumple

P ( E n C ) = P(E) - P(C) (3.

Ilustraremos la definicin mediante un ejemplo.Un caraqueo desea ir a pasar el fin de semana al Litoral y sin duda que la

pregunta obligada ser la de si habr o no buen tiempo en la playa. Consideremoslos eventos o estados de la naturaleza siguiente:

0 "habr sol radiante en la playa"0 "hay mal tiempo en Caracas"

supongamos ahora que nuestra vacacionista decida hacer una asignacin de proba-bilidad para los eventos 6 1 y Q , / 02sean estas asignaciones

PM -0,9y

P ( 0 i / 0 2 ) = 0,9

55



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

de ellas se desprende que los eventos 61 y 02 son independientes. Observemosque, aunque a primera vista parezca ilgica la asignacin de probabilidades hechapor el vacacionista, es posible que est fundamentada en algn reporte meteorol-gico que l considera muy confiable, el cual "asegura" que durante el fin de sema-na en cuestin, aun cuando se prevn seras amenazas de lluvia en la ciudad, en elLitoral habr casi ciertamente, un esplndido sol.

3.4. EL TEOREMA DE BAYES

Tomemos de nuevo el ejemplo de las lmparas incandescentes de la seccin3.2.; podemos deducir del enunciado del mismo, que los eventos

Cj : '"la lmpara es de las suministradas por el primer proveedor"y

C2 : "la lmpara es de las suministradas por el segundo proveedor"

son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, esdecir^rlo4100 de ellos tiene necesariamente que ocurrir y ningn otro es factible. TenemostarrBln^uVlas probabilidades iniciales son

Pd) = 0,70P ( C 2 ) = 0,30

adems, designando con E el evento

E: "la lmpara comprada es normal"

tenemos que

P(E/C,) - 0,85P(E/C2) = 0,65

si nos referimos a las figura 3.4. que representa la situacin en cuestin, vemosclaramente que:

E= (E n C, ) U (E o C3),gracias al axioma 3 podemos escribir:

P (E) = P (E O C,) + P (E D C 2 )C2 |

fiiZ.3.4,

la cual usando la ec. (3.1) se convierte en

P(E) = P(E/C,) +P(E/C 2 ) (3.3)

esta ecuacin es la llamada Ley de las probabilidades totales y en su forma msgeneral se escribe:

-- PE/OJ) P(C)i1

(3.4)

56



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

sustituyendo valores en la (3.3.) tenemos.

P (E)-0,85 0.70 + 0.65 0.30P (E) = 0,79

Es interesante observar que si bien anteriormente habamos dado el valor deP(E) como una asignacin hecha por el condominio, despus de una larga y pococomn observacin de las compras anteriores, tal valor de probabilidad puede serfcilmente calculado, como acabamos de hacer, siempre que se disponga de losvalores de P (C), P (C2), P (E/Cj), P (E/C2) que supusimos ignorados por el con-dominio.

Supongamos ahora que estamos interesados en determinar la proveniencia dela lmpara, sabiendo previamente que se trata de una lmpara normal, o sea,supongamos que queremos determinar los valores

P((VE) y P(C2/E)

tambin llamadas probabilidades finales.

Si escribimos

P(C! n E) = FfCi/E) P(E)

y su simtrica

P(E n CJ-PE/CJ - P(C,)

dado que

E n d) = (Cl H E ) vale entoncesPCi/E) - P(E) = P(E/C,) P ( C j )

de donde

P(C,/E) =t i I \^l /U I P(E)que es la expresin del Teorema de Bayes cuya forma generalizada se escribe:

P(E/C,) P (C j ) . _ , . /oc,P (C,/E) - 3 = 1 k (3-6J

3 P(E)

o haciendo uso de la 3.4

P(Cj /E)= _ j = 1 k (3.7)

2 P(E/C P(C^i = i

57



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

de esta forma, para nuestro ejemplo,

P(C!/E)=

P(Cj/E) =

P(C1/E) =

F(C2 /E) -

P(C2 /E) -

P(E/C,) - P ( c t )P(E)

0..85 0,700,79

0,75

P(E/C2) P (C 2 )P(E)

J3,6b 0,300,79

P(C,/E) - 0,25

stas son las probabilidades finales o o posterion que no son ms que las prooabi-lidades a pnon corregidas o modificadas por la informacin contenida en el hechode que la lmpara comprada ha resultado normal.

En sste i es oportuno detenerse ante el hecho siguiente:

Tanto P (Cj/E) como P (E/C.) son probabilidades condicionales que son sus-ceptiles de ser evaluadas en foi-ma autnoma,, aplicando cualquiera de los crite-trios de asignacin discutidos anteriormente; sin embargo, en cuanto a dificultad,existe una gran diferencia entre asignar la probabilidad P (C./E) y asignar la pro-babilidad P (E/C.). Notemos que mientras la evaluacin de P (E/C.) es un procesoque va de lo general a lo particular, ia evaluacin de P (C-/E) implica un procesoinverso; se puede decir, prcticamente, que la diferencia entre un proceso y otroes la misma diferencia que existe entre el proceso de interpolacin de un valordentro de una tabla de valores y el proceso de extrapolacin. Indudablemsn-te que lo primero es mucho ms simple y menos riesgoso que lo segundo.

En el ejemplo de las lmparas incandescentes que acabamos de examinar, elevaluar, P (E/C t ) es un proceso que est exclusivamente ligado al conocimientode los estndar de calidad del proveedor No. 1, o sea, bajo el estado de conoci-miento de que la lmpara proviene de tal proveedor, la probabilidad de que dichalmpara sea o no defectuosa es una mera consecuencia de los estndares de calidadde dicho fabricante. Mientras, en la evaluacin de P (Cl /E) pretendernos conocerque la lmpara proviene de tal o cual fabricante, partiendo del simple hecho deque la misma es normal. Esto es evidentemente mucho ms difcil que lo primero,y de all se desprende precisamente la importancia del Teorema ds Bayes, porquepartiendo de las probabilidades a priori o iniciales.

,k

58



www.

admy

contu

na.m

foros

.com

y de las verosilimitudes como tambin son" llamadas las

P(E/Cj)} i = l , . . . -

permite determinar mediante la ec. 3.7, las nrobabilidades a posteriori, o finales

P (C/E), j = 1 ...... , k

Para fijar las ideas examinemos un segundo ejemplo.

Pongamos el caso de una empresa fabricante de bienes de consumo masivoque ha desarrollado un nuevo producto.

Los analistas de la empresa han determinado que la fabricacin de este pro-ducto entra dentro de los cnones aceptables de rentabilidad, slo si del mismo seproduce un volumen no inferior a las 1000 unidades mensuales, a partir del cuallos precios de venta comienzan a ser competitivos en el mercado,

Actualmente la empresa ha establecido una lnea de produccin experimen-tal que puede arrojar un mximo de 10 unidades semanales.

El problema consiste en determinar la conveniencia o no de implantar unalnea de produccin definitiva, capaz de permitir la colocacin en el mercado de,por lo menos, 1000 unidades.

Entre las etapas importantes en el anlisis de la decisin est la de evaluar oestimar la probabilidad de que ese mercado pueda o no absorber un mnimo de1000 unidades.

Con la intencin de hacer una exploracin antes de tomar cualquier decisindefinitiva, se procede a lanzar el producto dentro de un segmento restringido delmercado, aprovechando la capacidad de produccin de la lnea experimental. (Laconveniencia o no de esta exploracin est relacionada con el costo de la informa-cin, que es un concepto que estudiaremos en el Mdulo II).

Como estados de la naturaleza para el mercado global podemos tomar:

0^ : "El mercado global es favorable, se venden 1000 o ms unidades delproducto por m

texto teor_a de decisiones (1)_2

Documents

liz zambrano

teorade decisiones

toma de decisiones

parra de carrera

pedro1993 carrera brano

metodologa de asignacin

asignacin de probabilidades

primera reimpresin