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TEXTBOOK
- Lines and surfaces -
Text supporting the course Geometrical and Generative Modelling
FA.ULisboa – Academic Year 2019/2020 – 1st semester
Professor Luís Mateus ([email protected])
(version 0.10)
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TABLE OF CONTENTS
1. GENERAL NOTES ON LINES AND SURFACES .......................................................................... 4
2. PLANAR LINES ........................................................................................................................ 5
2.1. Conic lines ..................................................................................................................... 5
2.1.1. Ellipse .................................................................................................................... 6
2.1.2. Parabola ................................................................................................................ 7
2.1.3. Hyperbola .............................................................................................................. 8
2.1.4. Free curves ............................................................................................................ 8
2.2. Splines ........................................................................................................................... 9
2.2.1. Curva de Bézier ...................................................................................................... 9
2.2.2. B-Splines .............................................................................................................. 11
2.2.3. NURBS Lines ........................................................................................................ 14
3. SPATIAL LINES AND SURFACES ............................................................................................ 16
3.1. Noções gerais sobre linhas e superfícies ..................................................................... 16
3.1.1. Condições de pertença ........................................................................................ 16
3.1.2. Recta tangente .................................................................................................... 16
3.1.3. Curvaturas ........................................................................................................... 17
3.1.4. Continuidade entre curvas ...................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.5. Plano tangente a uma superfície ......................................................................... 19
3.1.6. Recta normal e plano normal .............................................................................. 20
3.1.7. Curvatura de uma superfície ............................................................................... 20
3.1.7.1. Curvatura Média.............................................................................................. 21
3.1.7.2. Curvatura Gaussiana ....................................................................................... 21
3.1.8. Intersecção de superfícies ................................................................................... 22
3.1.9. Recta tangente à linha de intersecção ................................................................ 23
3.1.10. Concordância entre superfícies (tipos de continuidade) .................................... 24
3.1.11. Contorno aparente .................................................. Error! Bookmark not defined.
3.1.12. Distinção entre superfície e sólido ...................................................................... 26
3.2. Classificação de superfícies quanto ao tipo de geratriz .............................................. 26
3.2.1. Superfícies poliédricas ......................................................................................... 26
3.2.1.1. Poliedros regulares .......................................................................................... 26
3.2.1.2. Poliedros semi-regulares ................................................................................. 27
2
3.2.1.3. Poliedros irregulares ....................................................................................... 28
3.2.2. Superfícies de revolução ..................................................................................... 28
3.2.2.1. Superfície esférica ........................................................................................... 29
3.2.2.2. Esferóide .......................................................................................................... 29
3.2.2.3. Superfície tórica .............................................................................................. 30
3.2.2.4. Hiperbolóide de revolução de uma folha ........................................................ 30
3.2.2.5. Hiperbolóide de revolução de duas folhas ...................................................... 31
3.2.2.6. Hiperbolóide de revolução de duas folhas ...................................................... 31
3.2.3. Superfícies planificáveis ...................................................................................... 32
3.2.3.1. Superfície cónica, cilíndrica, piramidal e prismática ....................................... 32
3.2.3.2. Convoluta e Superfície tangencial ................................................................... 33
3.2.3.3. Helicóide tangencial ........................................................................................ 33
3.2.3.4. Planificação (método gráfico) ......................................................................... 34
3.2.3.5. Planificação da superfície do cilindro e do cone de revolução ....................... 35
3.2.3.6. Planificação da superfície do cilindro e do cone oblíquo ................................ 36
3.2.3.7. Planificação da superfície do helicóide tangencial.......................................... 37
3.2.4. Superfícies regradas não planificáveis (empenadas) .......................................... 37
3.2.4.1. Hiperbolóide de revolução de uma folha ........................................................ 39
3.2.4.2. Hiperbolóide empenado escaleno .................................................................. 41
3.2.4.3. Parabolóide hiperbólico .................................................................................. 42
3.2.4.4. Helicóides regrados ......................................................................................... 46
3.2.4.5. Superfícies de conóide .................................................................................... 47
3.2.4.6. Superfícies de cilindróide ................................................................................ 48
3.2.4.7. Superfícies de arco enviesado ......................................................................... 49
3.2.4.8. Plano tangente a uma superfície simplesmente regrada ............................... 50
3.2.4.9. Plano tangente a uma superfície duplamente regrada................................... 51
3.2.4.10. Feixe de planos tangentes ao longo de uma geratriz ..................................... 51
3.2.4.11. Hiperbolóide de revolução (planos tangentes) ............................................... 53
3.2.4.12. Parabolóide Hiperbólico (planos tangentes) ................................................... 55
3.2.4.13. Conóide (planos tangentes) ............................................................................ 56
3.2.4.14. Corno de vaca (planos tangentes) ................................................................... 57
3.2.4.15. Concordâncias como composição de superfícies ............................................ 58
3.2.4.16. Linhas e Superfícies NURBS no espaço............................................................ 58
3.3. Lógicas de geração de superfícies ............................................................................... 61
3
3.3.1. Polígonos ............................................................................................................. 61
3.3.2. Superfícies de revolução (revolve) ...................................................................... 61
3.3.3. Superfícies de “revolução” (rail revolve) ............................................................. 61
3.3.4. Deslocamento da geratriz apoiada numa directriz (sweep 1 rail) ...................... 62
3.3.5. Deslocamento da geratriz apoiada em duas directrizes (sweep 2 rails) ............. 62
3.3.6. Superfície gerada por extrusão (extrude) ........................................................... 63
3.3.7. Superfície gerada por interpolação de sequência de curvas (loft) ..................... 63
3.3.8. Interpolação de uma rede espacial de curvas (curve network) .......................... 64
3.3.9. Superfície dados quatro vértices (corner points) ................................................ 64
3.3.10. Superfície dadas linhas de contorno (edge curves) ............................................ 65
3.3.11. Superfície passante por um conjunto de linhas (patch) ..................................... 65
3.3.12. Superfície gerada por panejamento sobre superfícies dadas (drape) ................ 66
3.3.13. Superfície complexas ........................................................................................... 66
3.4. Linhas a partir de superfícies ...................................................................................... 67
4. SÓLIDOS ............................................................................................................................... 68
4.1. Operações booleanas entre sólidos ............................................................................ 68
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1. GENERAL NOTES ON LINES AND SURFACES
The POINT is a geometrical entity without dimension.
The LINE is a one-dimensional entity generated by the continuous movement of the point.
Lines can be CURVED or non-curved; non-curved lines are called STRAIGHT LINES.
Each straight line has a DIRECTION; Direction is the common property of a family of parallel
lines.
Each straight line contains an IMPROPER POINT, that is, a point at infinity. To each direction of
lines corresponds only one improper point, that is, all parallel lines to each other have the
same point of infinity, hence it is said that parallel lines are lines that intersect each other at
infinity.
SURFACE is a two-dimensional entity generated by the continuous movement of the line.
The GENERATRIX is the line, deformable or undeformable, that moves in space to generate the
surface.
The DIRECTRIX is the line or surface on which the generatrix rests in its movement.
If the directrix is a surface, then the generated surface is said to have a CORE.
When a straight generatrix moves continuously in space, retaining the direction, supported by
a straight directrix with a direction different from its own, the PLAN is generated.
Each plan has an ORIENTATION; orientation is the common property of a family of parallel
planes.
Each plane contains an IMPROPER LINE, that is, a line at infinity.
To each orientation of planes corresponds only one improper line, that is, all planes parallel to
each other have the same line of infinity, hence it is said that parallel planes intersect at
infinity.
An orientation contains a multitude of directions.
The locus of all improper points and all improper lines is the IMPROPER PLAN, that is, the plane
of infinity.
When a surface can be generated by moving a straight line it is said to be RULED.
When a surface cannot be generated by moving a straight line, it is said to be CURVED.
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The ORDER1 of an algebraic surface, that is, the order or degree of the polynomial that defines
it, can be interpreted as the maximum number of points at which a line can intersect it. For
example, the plane is a 1st order surface and a spherical surface is a 2nd order surface.
When a ruled surface can be “unrolled” to a plane without causing “folds” or “tears” the
surface is said to be DEVELOPABLE; only ruled surfaces can be developable, although not all
ruled surfaces are.
2. PLANAR LINES
There is no single criterion for classifying lines as flat or spatial. However, several criteria can
be used to group them in families. Different criteria can lead to identical lines in different
families. Or a one may lead to the exclusion of specific lines.
2.1. Conic lines
A CONICAL line results from the intersection produced by a plane on a conical surface (Figure
1) and can be represented by a second degree polynomial2 as follows:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 +𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1)
figure 1: Conic line according to the relative position of the sectioning plane and the conical surface.
The conic lines are of three types: ellipse, parabola and hyperbola.
The ellipse is produced when the plane intersects all the generatrices of the conical surface.
The parabola is produced when the plane is parallel to one generatrix of the conical surface.
1 Note that this definition of order is not the same as will be discussed later when it comes to Splines 2 This expression can be generalized to higher degrees giving rise to other types of lines (cubic, quartic,…).
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The hyperbola is produced when the plane is parallel to two generatrices of the conical
surface.
2.1.1. Ellipse
The ellipse (of which the circumference is a particular case) is defined as the flat curve in which
all points meet the condition that their summed distances to two fixed points called foci is
constant.
figure 2: Definition, tangent and normal (left). Tangent line from an exterior point (right).
The ellipse can be obtained by an affine transformation of a circumference (figure 4), and is
defined by two conjugated diameters (corresponding to a circumscribed parallelogram tangent
to the ellipse at the midpoints of the sides). When two diameters are conjugated, one bisects
all chords parallel to the other and vice versa.
figure 3: Tangent with a given direction (left). Ellipse defined by two conjugated diameters d1 and d2 (right).
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figure 4: Affine transformation between ellipse and circumference with the determination of the principal axis.
2.1.2. Parabola
A parabola is a flat curve that is defined by the condition that for any point on the curve, the
distance to a fixed point, called focus, and the distance to a fixed line, called directrix, is equal.
figure 5: Definiton, tangent and normal (left). Tangent from a given point.
The parabola can be defined by two tangents and the respective points of tangency as it can
be seen in the next figure. In that case the points of the parabola can be defined recursively.
Parabola defined by two tangent lines and the corresponding tangent points.
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2.1.3. Hyperbola
The hyperbola is a flat curve that is defined similarly to the ellipse, but with the distinction that
the difference of the distances from a point on the curve to the foci is constant.
figure 6: Definition (left). Tangent from a point on the curve, tangent and normal (right).
2.1.4. Free curves
From a practical point of view, it is important to have a type of line that can represent those
lines that can be called free lines. Free lines are those that result from a spontaneous drawing
gesture. These lines do not have a geometric definition a priori. However, when representing
them on a computer, it is necessary to rationalize them in some way. The simplest way to
rationalize them, although usually resulting in unattractive practical result, is to represent
them through a sequence of ARCS OF CIRCUMFERENCE, as shown in figure 7. This way of
rationalizing a free line originates from the analogical drawing as it can be understood by the
implicit economy of means.
figure 7: Rationalizing a line trough a sequence of arcs of circumference.
9
2.2. Splines
One way to designate freeform lines is by using the term SPLINE. This term goes back to the
use of wooden strips that were bent and curved to generate molds for aeronautical
construction3. In geometric terms, a spline is a smooth curve based on the joining of one or
more curves defined by polynomial functions that are adjacent at points called INTERNAL
KNOTS (K) 4. The endpoints of a spline are also called KNOTS..
2.2.1. Curva de Bézier
The simplest spline is the BÉZIER CURVE5. A Bezier curve is a B-spline (see next section) without
Internal Knots (K). A Bézier curve is defined by CONTROL POINTS (C) which are in precise
relationship with its DEGREE (D):
𝐶 = 𝐷 + 1 (2)
In figure 8 we have three Bézier curves, with degree 2, 3 and 4, from left to right, respectively.
Note that a degree 1 Bezier curve is no more than a STRAIGHT LINE SEGMENT.
figure 8: Bézier curves of degree 2, 3 and 4.
In the curves shown in figure 8, the knot vectors are, respectively, K={0.0,0.0,1.0,1.0},
K={0.0,0.0,0.0,1.0,1.0,1.0} and K={0.0,0.0, 0.0.0.01.0,1.0,1.0,1.0}. Note that the number of
3 See Wikipedia article (http://en.wikipedia.org/wiki/Spline_%28mathematics%29).
4 The internal knots correspond to the points at which the various polynomial curves are adjacent in geometric space. Spline knots correspond to a knot vector in parametric space. When speaking of uniform node spacing, in the designation of uniform B-Splines, reference is made to spacing in parametric space rather than geometric space. In this regard see the article on B-Splines at Wolfram MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/B-Spline.html). 5 See Wikipedia article (http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve).
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knots is twice the degree of the curve. Another important rule is that the first geometric point
of the curve corresponds to the node whose index equals the degree. For example, on grade
two curve the second node is 0.0 and this node corresponds to the first endpoint of the curve.
Similarly, if we follow the knot vector in reverse order, we identify the knot corresponding to
the second endpoint of the curve. Still as an example, in a Bézier of degree 2, the geometric
points of the curve correspond, in the parametric space, to the values between parameter K2
and K3, that is, between 0.0 and 1.0. It is further important to note that equal spacing in
parametric space does not correspond to equal spacing in geometric space.
Another important concept is the ORDER (O) of the curve. By definition:
𝑂 = 𝐷 + 1 (3)
De Casteljau's algorithm allows us to understand the graphical construction of a Bézier curve
whatever its degree. In figure 9 one can see the logic of the graphical construction of a Bezier
curve of degree 3. It is important to realize that this logic can be generalized to any degree.
figure 9: De Casteljau algorithm for the construction of a Bézier curve of degree 3.
The figure illustrates the construction of a point given by the parameter t = 0.75. The
parameter range for the construction of the Bézier curve is in this case given by the interval
[0.0,1.0] since this is the interval corresponding to nodes K3 and K4. Parameter point 0.0 is
point K3 and parameter point 1.0 is point K4, which coincides with the first point and last
control point, respectively. Since the degree is 3, the algorithm implies 3 subdivision levels for
constructing curve points. The number of subdivision levels is equal to the degree of the curve.
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An interesting point to notice is that a Bézier curve of degree 2 is a parabola, ie, it is a
particular case of a conic line. Another interesting aspect to notice about the degree of the
Bezier curve is that it is also related to the number of possible inflections in it. Thus, the
number of possible inflections (I) is equal to:
𝐼 = 𝐷 − 2 (4)
It is important to note that a Bézier curve cannot be used for the representation of conics in
general, only parabolas.
2.2.2. B-Splines
One way to expand the use of Bézier curves is by using B-SPLINES (Basis Spline). In practice, a
B-Spline is a smooth arrangement of Bézier curves. In other words, at the transition points
(corresponding to the internal knots), the Bezier curves share the same tangent lines. A B-
Spline can be defined in two ways: through control points or through point interpolation.
When a B-Spline is defined using control points, the curve does not pass through those points
(although the knot vector can be defined so that the curve passes through the endpoints).
When it is defined by point interpolation the curve passes through those points. Note that the
interpolated points are not the internal nodes. In practice, B-Splines give us a way to construct
Bézier curves that smoothly articulate with each other. B-Splines contain internal knots, that is,
points at which two consecutive Bezier curves contact each other. If a B-Spline contains an
internal knot, it means that it is composed of two Bezier curves, and so on.
Let us return to the question of the knot vector, and its relation to the curve configuration,
through examples.
In figure 10 we have a B-Spline of degree 3 whose knot vector is
K={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,7.0,8.0}. Since the degree is three, the first endpoint corresponds
to knot K3=2.0 and the last endpoint corresponds to node K7=6.0. This knot vector has all
elements equally spaced and so is called UNIFORM. If the elements of the vector are not
equally spaced, it is said NOT UNIFORM. However, it turns out that the endpoints of the curve
do not coincide with the first and last control points. Analysing the internal knots, we find that
this curve is, in practice, an arrangement of 4 Bezier curves "glued" at the points
corresponding to K4, K5 and K6.
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figure 10: B-Spline of degree 3 whose knot vector is K={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,7.0,8.0}.
In any case, the number of elements (N) of the knot vector is given by the expression:
𝑁 = 𝐶 + 𝑂 − 2 (5)
In the example of figure 11, we have B-Spline of degree 3 whose knot vector is
K={0.0,0.0,0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0}. In this case, it is found that the first endpoint of the
curve coincides with the first control point. Also this curve is an arrangement of 4 Bézier
curves.
figure 11: B-Spline of degree 3 whose knot vector is K={0.0,0.0,0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0}.
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In Figure 12 we have a B-Spline of degree 3 whose node vector is
K={0.0,0.0,0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,4.0,4.0}. In this case it turns out that the endpoints of the curve
coincide with the first point and last control point. This corresponds to the most commonly B-
Splines used.
figure 12: B-Spline of degree 3 whose node vector is K={0.0,0.0,0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,4.0,4.0}.
Both Bézier curves and their generalization given by B-Splines are INVARIANT UNDER AFFINE
TRANSFORMATION, that is, if we subject the control points of a B-Spline to an affine
transformation, the transformed points are control the points of a B -Spline affine to the first
one as illustrated in figure 13.
figure 13: Two affine B-SPLINES.
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It should be recalled that an affine transformation transforms a parallelogram [ABCD] into
another parallelogram [A'B'C'D’]. Note that the point P1' is related to the point P1, and it lies in
the B-Spline affine to the first one.
2.2.3. NURBS Lines
However, B-Splines are not invariant under a PROJECTIVE TRANSFORMATION. That is,
subjecting the control points of a B-Spline to a projective transformation, the homologous
points of the control points are control points of a B-Spline which is not affine with the first B-
Spline, as shown in figure 14.
figure 14: The two homologous curves (in continuous). The dot line is a B-Spline with control points C1’, C2’, C3’,
C4’ and C5’.
It should be remembered that a projective transformation transforms any quadrilateral [ABCD]
into any quadrilateral [A'B'C'D’]. In the transformation illustrated in figure 14, homologous
control point points could be used as control points for a new B-Spline (dotted in figure 14 on
the right). But this line does not correspond to the projective transformation of the B-Spline
given in the left figure. The transformed curve is the black curve in the right figure.
What line is this?
This new line is called NURBS (Non-Uniform Rational Basis Spline). The designation Non-
Uniform refers to the fact that the elements of the knot vector may not be uniform (as we had
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already observed in B-Splines) and to a new parameter which is the definition of a weight
associated with the control points whose effect is to pull or push the curve towards that point
according to the higher or lower value associated with it. In a B-Spline all weights have a value
of 1. In a NURBS, weights may be different from 1. If the weight of a control point is bigger
than 1, the curve is drawn to the control point. If the weight of a control point is less than 1,
the curve is moved away from the control point. This effect can be seen in figure 15. In this
figure, a black B-Spline of degree 3 is drawn. By changing the weight of control point C5, there
was an effect on the internal knots that were under the effect of that control point. Note the
interesting fact that the internal knots have moved towards the control point; approached
when weight was set to greater than 1 (green NURBS) and moved away when weight was set
to less than 1 (blue NURBS).
figure 15: The effect of the weight of a control point.
Since only the weight of a control point changed, the internal knots influenced by it moved in a
straight line. However, if we change the weight in more than one control point, the attracting
effect is combined at those points that are under the influence of more than one control point,
as shown in figure 16.
figure 16: Changing the weight of multiple control points.
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A very interesting aspect about NURBS is that, considering the degree 2, and with the
appropriate choice of weights, they can represent any conic line. Interestingly, therefore, the
configuration illustrated in figure 7 is a particular case of a NURBS line.
3. SPATIAL LINES AND SURFACES
A spatial line is a line that doesn’t lie in a plane.
A surface can be conceptually defined as the continuous movement of a line in space,
deformable or not, subject to a certain law. As has been said for lines, there is no single surface
classification criterion either.
A line can result from the intersection of two surfaces. In this case it will usually be a spatial
line. However, in particular cases it may be a flat line.
3.1. General notions on lines and surfaces
3.1.1. Incidence conditions
If the point P lies on the line d and the line d lies to the surface , then the point P
belongs to the surface .
figure 17: Incidence condition of a point on a surface.
3.1.2. Tangent (straight) line
The point A lies on the line m and the line m lies on the surface .
The line At , tangent to the line m at the point A , corresponds to the limit position of the
secant line s ,when the point X tends to the point A .
P[d]
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If line At is tangent to the line m , it is also tangent to the surface .
figure 18: A (straight) line tangent to a surface.
3.1.3. Curvature
A flat curved line is always contained in a plane. Other than the circumference, the
CURVATURE (K) of the lines varies. The curvature of a line at a point is the inverse of the
RADIUS OF CURVATURE (R) of the line at that point. And the radius of curvature of the line at
one point is the radius of the OSCULATING CIRCUMFERENCE of the curve at that point. The
centre of this, the point C in the figure below, can be considered as the limiting position of
the intersection of two normal lines on the curve when the arc, defined by the points common
to the curve and the normal, tends to zero, as shown in the following figure.
figure 19: Centre of curvature of a curve at a point T.
In the figure, it can be seen that we can assign a rectangular coordinate system associated with
the straight lines t and n , and of origin T , where, as the curve is flat, it is contained in its
plane. The third axis of this coordinate system is a line passing through the point T which is
simultaneously perpendicular to the lines t and n which is called the BI-NORMAL line to the
curve at the point T .
AX
t A
s[m]
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These concepts can be extended to SPATIAL CURVES, that is, to non-flat curves.
Two points infinitely close to a point T , on a spatial curve define an OSCULATING PLAN, which
contains the osculating circumference c , the line tangent to the curve, t , and the normal line
to the curve, n , at the point T . Similarly, the bi-normal line b , passes through the point T
and is perpendicular to the plane of the osculating circumference.
figure 20: Local frame associated with a curve at a point T.
In a spatial curve, the bi-normal rotates around the tangent as the point T moves on the
curve. The higher or lower rotation rate of the bi-normal is called TORSION.
3.1.4. Continuity between curves
Between curves various types of continuity can be established. In the curves of figure 21 there
is only CONTINUITY OF POSITION between the curves a and b , that is, there is a vertex V
in the transition between the curves.
figure 21: Continuity of position.
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In the curves of figure 22 there is CONTINUITY OF TANGENCY between the two curves a and
b , that is, at the transition point between the curves, both admit the same tangent line t .
However, there is no continuity of curvatures, as can be seen from the graphs that illustrate
the curvatures.
figure 22: Tangency continuity between to lines.
If, at the point V , the curvatures of both lines are the same and the lines are tangent, then the
lines are said to have CURVATURE CONTINUITY.
3.1.5. Tangent plane to a surface
Let two lines, a and b belonging to the surface , be incident at the point P .
Let at and bt be the lines tangent to the lines a and b , respectively, at the point P .
The plane , defined by the lines at and at , is the plane tangent to the surface at the
point P .
From the tangent plane to a surface it is said to be the OSCULATING PLANE.
figure 23: Tangent plane to a surface at a point.
[a]
[b]
P
t a
t b
20
3.1.6. Normal (straight) line and normal plane
Let the plane be tangent to the surface at the point P .
Be n a line perpendicular to the plane at the point P .
The line n is said to be the NORMAL LINE to the surface at the point P .
From a plane containing the line n it is said to be a NORMAL PLANE to the surface at the
point P .
figure 24: Normal line to a surface at a point P.
3.1.7. Surface curvature
Let n be a normal line to the surface at the point P .
Let and be the normal planes to the surface at the point P .
Let c (result of the intersection of the plane with the surface ) be the line of
maximum curvature of the surface at the point P .
Let d (result of the intersection of the plane with the surface ) be the line of
minimum curvature of the surface at the point P .
The planes containing the maximum and minimum curvature lines at a point are found to be
perpendicular to each other.
P
n
21
figure 25: Principal normal planes and principal normal sections to a surface at a point P.
If the tangent plane to the surface at the point P divides the surface into four regions,
two “up” from the plane and two “down”, then the surface has DOUBLE CURVATURE OF
OPPOSITE SENSES at the point P . The surface is ANTICLASTIC at P .
If the tangent plane to the surface at the point P only contains P in its vicinity, then the
surface has DOUBLE CURVATURE WITH THE SAME SENSE at the point P . The surface is
SYNCLASTIC.
If the tangent plane to the surface at the point P has in common with only one
passing line through P , then the surface has SIMPLE CURVATURE at the point P .
3.1.7.1. Mean curvature
The MEAN CURVATURE (Km) of the surface at the point P is the average of the maximum
and minimum curvatures.
3.1.7.2. Gaussian curvature
GAUSSIAN CURVATURE (Kg) of the surface at the point P is the product of the maximum
and minimum curvature.
A developable surface has zero Gaussian curvature at all points.
22
3.1.8. Surfaces intersection
If two surfaces and intersect on a line i , then there is at least one surface that
intersects the surface on a line a , intersects the surface on a line b , such that the
line a intersects the line b at a point I on the line i .
figure 26: Intersection between surfaces.
According to the intersection line, intersections can be classified in three ways. If the
intersection line is single and closed there is a ONE PART INTERSECTION.
One part Intersection.
If the intersection line has a double point, the it is a curve with a SINGULAR POINT.
Singular point intersection.
[i]
[a][b]I
23
It there are two intersection lines then there is a TWO PARTS INTERSECTION6.
Two parts intersection.
3.1.9. Line tangent to the intersection line
Let i be the line of intersection between surfaces and .
Be P a point of the line i , therefore a common point between e .
Let the plane be tangent to the surface at the point P .
Let the plane be tangent to the surface at the point P .
The line t , intersecting of the planes and , is the line tangent to the line i at the point
P .
figure 27: Tangent line as the result of the intersection of tangent planes.
6 See https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_curve .
[i]
P
t
24
3.1.10. Tangency between surfaces
If two surfaces and admit the same tangent plane s at all points P of the line
common to both, then the two surfaces are said to tangent along the line c . Meeting this
condition ensures the “visually smooth transition” between surfaces, which is called G1
continuity. However, there may be discontinuity at the curvature level. If there is continuity
between surfaces at curvature level, it is said that there is continuity G2. A common test for
assessing the type of continuity between surfaces is ZEBRA analysis.
figure 28: Two surfaces tangent along a common line.
If two surfaces and are tangent along a line i , then there is at least one surface
that intersects the surfaces and along the lines b and a , respectively, such that
the lines b and a are tangent to each other at a point I on the line i .
figure 29: Tangent surfaces and tangent lines.
[c]
P
[i]
I
[b]
[a]
25
If two surfaces and are tangent along a line i and are both tangent to a surface
along the lines a and b , respectively, such that a and b intersect at point I on the line
i , then the two lines a and b are tangent to each other at the point I .
figure 30: Tangent surfaces and tangent lines.
The same discussion of continuity about lines can be transposed to surfaces.
3.1.11. Silhouette
The silhouette of a surface for an “observer” O (projection centre) is the line of tangency
c between the surface and a conical surface with vertex O .
If the observer is at infinity, then is a cylindrical surface.
figure 31: Silhouette of a surface seen from a viewpoint O.
[i]
[a] [b]
I
O[c]
26
3.1.12. Distinction between surface and solid
Uma superfície é a entidade que delimita o volume do sólido.
3.2. C Surface classification by type of generatrix
SURFACE CLASSIFICATION BY GENERATRIX TYPE examples
POLYEDRIC SURFACES regular, semi-regular, irregular polyhedral meshes
RULED (generated by straight lines)
DEVELOPABLE
PLANAR SURFACE llane
defined by 1 POINT and 1 DIRECTRIX conical; cylindrical; prismatic; pyramidal
defined by 2 DIRECTRICES Convoluted surfaces; surfaces of constant slope
TANGENTIAL SURFACES tangential helicoid
other surfaces
NON DEVELOPABLE
defined by 3 DIRECTRICES hyperbolic paraboloid; hyperboloid of revolution; cylindroid; conoid; ruled helicoids; skewed arc surfaces
Other surfaces single face ruled surface
CURVED (not generated by straight lines)
REVOLUTION SURFACES7 spherical; toric; ellipsoidal; others
Others serpentine; minimal surfaces; NURBS 8
Tabela 1: Classification of surfaces.
3.2.1. Polyedric surfaces
The relationship between the number of edges (A), vertices (V) and faces (F) of any polyhedron
topologically equivalent to a sphere is given by Euler's formula:
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 (6)
A polyhedron whose vertices are the centers of the faces of another polyhedron is called DUAL
of that one.
3.2.1.1. Regular polyhedra
All faces are regular polygons of only one type, all vertices belong to a spherical surface, they
are the "Platonic Solids".
figure 32: The five regular polyhedra
7 Note that there are surfaces of revolution that are developable (conical and cylindrical). Note that the surface of the hyperboloid of revolution can also be defined by three straight generatrices. 8 Note that NURBS surfaces can be used as a representation of many other surfaces used in the table.
27
3.2.1.2. Semi-regular polyhedra
All faces are regular polygons of two or more types with constant edge length; all vertices
belong to a spherical surface. They are also referred to as “Archimedes Solids”. All edges and
vertices are congruent and can be obtained from regular polyhedra by some process of
geometric transformation. This category may also include regular prisms and regular anti-
prisms although this is not normally common.
figure 33: The thirteen Archimedean Solids (in http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html)
28
3.2.1.3. Irregular polyhedra
Faces are polygons of various types. Vertices may or may not belong to a spherical surface. The
length of the edges is not constant. Examples of irregular polyhedra are pyramids, bipyramids,
trunks of pyramid, prisms, trunks of prism. A bipyramid is a solid generated by the “sum” of a
pyramid with its symmetrical relative to the base plane. Other types of irregular polyhedra are
antiprisms, antipyramids, trunk of antiprisms and antiprismoids.
An antiprismoid has two opposite faces which are polygons with different number of sides.
In an antipyramid one of the polygons is replaced with an edge.
An antiprism has two opposite faces which are polygons with the same number of sides.
A trunk of antiprism has two opposite faces which are polygons with the same number of sides
but in non-parallel planes.
figure 34: Examples of irregular polyhedra.
Another interesting type of polyhedron are Johnson's solids. These are polyhedra in which all
faces are regular of more than one type, but are not regular, semi-regular, regular prisms, or
regular anti-prisms. There are 92 in all.
3.2.2. Surfaces of revolution
Nestas, é conveniente definir alguns elementos notáveis.
O EIXO é a recta em torno da qual roda a linha (geratriz) que gera a superfície.
Um PARALELO é uma intersecção produzida na superfície por um plano perpendicular ao eixo.
Um MERIDIANO é uma intersecção produzida na superfície por um plano complanar com o
eixo.
Se um paralelo é o maior na sua vizinhança designa-se EQUADOR.
Se um paralelo é o menor na sua vizinhança designa-se CÍRCULO DE GOLA.
Se a superfície admite planos tangentes perpendiculares ao eixo nos pontos que este tem em
comum com aquela, então estes pontos designam-se PÓLOS.
29
Se a superfície admite planos tangentes perpendiculares ao eixo ao longo de paralelos, estes
designam-se CÍRCULOS POLARES.
Figura 35
3.2.2.1. Superfície esférica
A superfície esférica pode ser conceptualmente concebida como o resultado da rotação de
uma circunferência em torno de um diâmetro.
Figura 36
3.2.2.2. Esferóide
O esferóide, ou elipsóide de revolução, é superfície que se gera pela rotação de uma elipse em
torno de um dos seus eixos principais. Diz-se que é alongado se a rotação for feita em torno do
eixo maior, e diz-se achatado se a rotação for feita em torno do eixo menor.
30
Figura 37
3.2.2.3. Superfície tórica
A superfície tórica fica gerada pela rotação de circunferência em torno de um eixo contido no
seu plano. Considera-se que o eixo não intersecta a circunferência.
Figura 38
3.2.2.4. Hiperbolóide de revolução de uma folha
O hiperbolóide de revolução de uma folha, que adiante se verá que também é uma superfície
regrada, é gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo conjugado ou não
transverso.
31
Figura 39
3.2.2.5. Hiperbolóide de revolução de duas folhas
O hiperbolóide de revolução de duas folhas é a superfície gerada pela rotação da hipérbole em
torno do seu eixo real ou transverso.
Figura 40
3.2.2.6. Hiperbolóide de revolução de duas folhas
O parabolóide de revolução é a superfície gerada pela rotação da parábola em torno do seu
eixo.
32
Figura 41
3.2.3. Superfícies planificáveis
Para que uma superfície seja planificável deve ser regrada. Mas esta condição só por si não
implica que a superfície seja planificável. Para além de ser regrada deve ainda acontecer que
cada para de geratrizes infinitamente próximas entre si sejam concorrentes, isto é
complanares. Do enunciado resulta que uma superfície planificável apenas admite um plano
tangente por cada geratriz. A planificação corresponde ao “desenrolar” da superfície até que
esta coincida com uma dos planos tangentes. Nesta operação a superfície não “estica” nem
“encolhe”, não se “rasga” nem adquire “pregas”. Nesta operação preservam-se os
comprimentos e os ângulos. A resolução de problemas concretos depende, obviamente, do
tipo particular de superfície que se tem em presença. Assim, diferentes métodos serão
utilizados para planificar superfícies cónicas ou cilíndricas de revolução, cónicas ou cilíndricas
oblíquas, convolutas, tangenciais, etc.
Tal como já foi atrás referido, uma superfície planificável tem curvatura Gaussiana, em todos
os seus pontos, igual a zero.
3.2.3.1. Superfície cónica, cilíndrica, piramidal e prismática
As superfícies planificáveis mais comuns são as superfícies cónicas, cilíndricas, piramidais e
prismáticas.
33
Figura 42
3.2.3.2. Convoluta e Superfície tangencial
Outro tipo de superfícies planificáveis são as que se seguem. A convoluta fica definida pelo
lugar geométrico das rectas que resultam dos pontos de tangência de um par de rectas
complanares tangentes a duas linhas curvas espaciais, que se deslocam no espaço mantendo
aquelas condições (tangência e complanaridade).
As superfícies tangenciais ficam definidas pelo lugar geométrico das rectas tangentes a uma
linha torsa.
Figura 43
3.2.3.3. Helicóide tangencial
O helicóide tangencial é uma caso particular de uma superfície tangencial. Neste caso a linha
directriz é uma hélice cilíndrica.
34
Figura 44
3.2.3.4. Planificação (método gráfico)
A planificação de uma superfície consiste no “desenrolar” da mesma para um plano. Uma
aproximação a esse processo é a definição da superfície por meio de uma triangulação e de
seguida proceder ao ajuste desses triângulos no plano. Este processo acaba por ser válido para
a “planificação” de superfícies não planificáveis uma vez que todas as superfícies podem ser
aproximadas por uma triangulação.
Figura 45
35
Algumas ferramentas de modelação 3D implementam funções de planificação de superfícies,
como é o caso do software Rhinoceros. Porém, verifica-se que os resultados não são correctos
quando se procura generalizar a superfície.
3.2.3.5. Planificação da superfície do cilindro e do cone de revolução
Porém, há figuras cuja planificação é bastante simples. Trata-se da planificação da superfície
do cilindro de revolução, que resulta num rectângulo, e a planificação do cone de revolução
que resulta num sector circular.
Figura 46
Figura 47
36
3.2.3.6. Planificação da superfície do cilindro e do cone oblíquo
A planificação do cilindro oblíquo pode fazer-se por meio da aproximação da sua superfície à
de um prisma, e a planificação do cone oblíquo pode fazer-se meio da aproximação da sua
superfície à de uma pirâmide. O resultado é tanto melhor quanto mais refinada for a
aproximação.
Figura 48
Figura 49
37
3.2.3.7. Planificação da superfície do helicóide tangencial
Pela sua regularidade, o cálculo da planificação da superfície do helicóide tangencial também é
relativamente simples, como ilustrado na figura.
Figura 50
3.2.4. Superfícies regradas não planificáveis (empenadas)
Uma superfície regrada não é planificável se duas geratrizes infinitamente próximas não se
intersectarem. Esta condição é em geral cumprida quando a superfície é definida por três
directrizes quaisquer. Contudo, há posições específicas que as directrizes podem assumir que
não permitem gerar nenhuma superfície regrada ou em que esta degenera numa superfície
planificável.
Figura 51
A
[c]
[b][a]
A
A
1
2
n
B1
2B
Bn
C1
nCC2
1g
2g
ng
38
A condição que se impõe para que as rectas 1g , 2g , ng definam uma superfície regrada
é a de serem tangentes às superfícies directrizes , e simultaneamente. Isto é, a
superfície deve ser simultaneamente concordante com as superfícies , e
segundo linhas a , b e c , respectivamente.
O conjunto das rectas 1g , 2g , ng designa-se por SISTEMA DE GERATRIZES.
Se uma das superfícies directrizes for substituída por uma linha directriz, então as geratrizes
devem intersectá-la.
Se a superfície possuir apenas um sistema de geratrizes rectas 1g , 2g , ng , então diz-se
que é SIMPLESMENTE REGRADA.
Se a superfície possuir dois sistemas de geratrizes rectas 1g , 2g , ng e 1j , 2j , nj , então
diz-se que é DUPLAMENTE REGRADA.
Quando uma superfície é duplamente regrada, todas as geratrizes de um sistema intersectam
todas as geratrizes do outro sistema.
Se uma directriz recta for imprópria (situada no infinito) isto equivale a dizer que todas as
geratrizes 1g , 2g , ng são paralelas a uma orientação. Neste caso diz-se que a superfície é de
PLANO DIRECTOR.
Se uma directriz curva for imprópria (situada no infinito), isto equivale a dizer que todas as
geratrizes 1g , 2g , ng são paralelas às geratrizes 1d , 2d , nd de uma superfície cónica. Neste
caso, diz-se que a superfície é de CONE DIRECTOR ou de SUPERFÍCIE CÓNICA DIRECTRIZ.
Contudo, deve notar-se que mesmo que a superfície seja definida por 3 directrizes próprias ela
gozará obrigatoriamente da propriedade de ser de plano director ou de cone director, uma vez
que todas as rectas têm pontos impróprios. Em todo o caso, em termos de classificação quanto
à directriz, é conveniente distinguir as que são de plano director ou cone director e as
ORDINÁRIAS.
Como consequência, apresenta-se o seguinte quadro de classificação de superfícies regradas
não planificáveis (empenadas) definidas por três directrizes.
SUP
ERFÍ
CI
ES
REG
RA
DA
S
EMP
ENA
DA
S
DEF
INID
AS
PO
R 3
DIR
ECTR
IZES
(lin
has
e/o
u
sup
erfí
cie
s)
R (
rect
a) ;
C (
curv
a) ;
S (s
up
erfí
cie
) ; R
(r
ecta
im
pró
pri
a
) ; C
(c
urv
a im
pró
pri
a
)
TIPO DIRECTRIZES exemplos
OR
DIN
ÁR
IA R R R Hiperbolóide empenado escaleno; Hiperbolóide de revolução de uma folha
R R C
R C C Superfícies de arco enviesado (corno de vaca; arriere-voussure)
39
C C C
R R S
R C S
C C S
R S S
C S S
S S S D
E P
LAN
O
DIR
ECTO
R
R R R Parabolóide hiperbólico
R R C Superfícies de conóide; Superfícies helicoidais
R C C Superfícies de cilindróide
R R S Superfícies de conóide com um núcleo
R C S Superfícies de cilindróide com um núcleo; Superfícies helicoidais com núcleo
R S S Superfícies de cilindróide com dois núcleos
DE
CO
NE
DIR
ECTO
R
C R R Tetraedróide
C C R Superfícies helicoidais
C C C Hiperbolóide de revolução de uma folha
C R S
C C S Superfícies helicoidais com núcleo
C S S
Tabela 2
3.2.4.1. Hiperbolóide de revolução de uma folha
O hiperbolóide de revolução de uma folha acumula a dupla condição de ser superfície de
revolução e superfície regrada. Com efeito, a mesma superfície pode ser gerada pela rotação
de uma hipérbole pela rotação de uma recta enviesada ao eixo.
Figura 52
40
Figura 53
Uma das propriedades interessantes do hiperbolóide de revolução de uma folha é o facto de
as suas geratrizes serem paralelas às geratrizes de uma família de superfícies cónicas de
revolução, os designados cones directores.
Figura 54
As intersecções que é possível produzir nesta superfície são do mesmo tipo que as que se
podem produzir numa superfície cónica de revolução, isto é, são linhas cónicas. Planos com
uma determinada orientação produzem intersecções do mesmo tipo das produzidas nos cones
directores.
41
Figura 55
Figura 56
Uma propriedade interessante desta superfície é o facto de ser duplamente regrada, isto é, a
mesma superfície pode ser gerada de dois modos distintos pela rotação de uma recta. Assim,
esta superfície admite dois sistemas de geratrizes, ou dito de outra forma, a superfície pode
ser concebida como uma rede de linhas rectas no espaço que se intersectam.
3.2.4.2. Hiperbolóide empenado escaleno
O hiperbolóide empenado escaleno pode obter-se do anterior por meio de uma transformação
afim, e goza de propriedades muito semelhantes àquele.
42
Figura 57
Porém, outra forma de gerar o hiperbolóide empanado escaleno é a que se ilustra na figura
seguinte. Das três rectas enviesadas quaisquer (directrizes), a superfície é gerada pelo
movimento de uma quarta recta (geratriz) que se desloca no espaço apoiada naquelas três.
Geratrizes desta superfície podem ser facilmente obtidas através da intersecção de um feixe
de planos com duas directrizes, tendo por base a outra geratriz.
Figura 58
3.2.4.3. Parabolóide hiperbólico
O parabolóide hiperbólico também pode ser gerado de vários modos distintos. Na figura
seguinte, ilustra-se a sua geração por deslocamento de uma parábola (que preserva a
orientação) apoiada noutra parábola.
43
Figura 59
Figura 60
Trata-se também de uma superfície duplamente regrada. Isto é, também pode ser considerado
gerado de dois modos distintos pelo movimento de uma recta no espaço apoiada sobre três
rectas enviesadas. Embora neste caso uma das rectas seja imprópria. Isto quer dizer, na
prática, que a geratriz se desloca mantendo-se apoiada em duas directrizes enviesadas e
conservando o paralelismo a um plano (orientação de planos), designado plano director. Face
às propriedades descritas, verifica-se que o parabolóide hiperbólico admite duas orientações
de planos directores.
44
Figura 61
A forma mais simples de definir um parabolóide hiperbólico é através de um quadrilátero
enviesado. As direcções de dois lados opostos definem a orientação do plano director daquela
família de geratrizes, e as direcções dos outros dois lados definem a orientação do plano
director da outra família de geratrizes.
Figura 62
Para se definir o parabolóide hiperbólico dadas três geratrizes da mesma família, deve impor-
se a condição de que as direcções destas rectas estejam contidas numa única orientação (a
orientação do plano director daquela família de geratrizes).
45
Figura 63
O parabolóide hiperbólico admite dois tipos de secções cónicas. Se um plano contiver a
direcção comum aos dois planos directores, então a intersecção é do tipo parábola. Caso
contrário é do tipo hipérbole.
Figura 64
46
Claro está, que não se está aqui a considerar os casos dos planos osculantes, em que as
secções degeneram num par de rectas, rectas essas que se cruzam no ponto de tangência do
plano com a superfície.
3.2.4.4. Helicóides regrados
Os helicóides regrados são uma família particular de superfícies regradas empenadas, que têm
por directriz uma hélice cilíndrica. Podem ser de cone director ou de plano director. Podem ter
núcleo central ou ser axiais.
Figura 65
Quando se diz que o helicóide é axial, quer-se dizer que as geratrizes (consideradas
extensíveis) são concorrentes com o eixo. Na outra situação, as geratrizes são tangentes à
superfície de um cilindro de revolução co-axial com o helicóide. Quando são de plano director,
as geratrizes conservam uma direcção contida numa orientação, em geral ortogonal ao eixo da
superfície. Quando são de cone director, mantêm um ângulo constante com o eixo, com a
particularidade desse ângulo nunca ser 90o.
47
Figura 66
Figura 67
3.2.4.5. Superfícies de conóide
As superfícies de conóide podem ser geradas pelo deslocamento de uma recta (geratriz) que
se apoia numa recta e numa curva, conservando o paralelismo relativamente a uma orientação
de planos. Isto é, trata-se uma superfície simplesmente regrada de plano director.
48
Figura 68
Figura 69
3.2.4.6. Superfícies de cilindróide
A superfície de cilindróide é em tudo semelhante à anterior, porém a geratriz apoia-se em
duas curvas.
49
Figura 70
Figura 71
3.2.4.7. Superfícies de arco enviesado
As superfícies de arco enviesado são geradas pelas rectas definidas pelas intersecções
sucessivas de um feixe de planos relativamente a duas curvas ou uma curva e uma recta.
50
Figura 72
Figura 73
3.2.4.8. Plano tangente a uma superfície simplesmente regrada
Numa superfície empenada simplesmente regrada o plano , tangente a num ponto
T , contém a geratriz recta g que por ele passa. Este plano intersecta a superfície segundo a
recta g e segundo uma linha a . O plano contém a recta t tangente à linha a no ponto
T .
51
Figura 74
3.2.4.9. Plano tangente a uma superfície duplamente regrada
Numa superfície empenada duplamente regrada, , o plano , tangente a num ponto
T , fica definido pelas duas geratrizes rectas, g e j , que nele se intersectam. É o caso do
parabolóide hiperbólico, do hiperbolóide escaleno e do hiperbolóide de revolução de uma
folha.
Figura 75
3.2.4.10. Feixe de planos tangentes ao longo de uma geratriz
Considere-se a superfície empenada regrada definida pelas directrizes a , b e c .
Seja g uma geratriz recta, da superfície , que contém os pontos A , B e C pertencentes
às directrizes a , b e c , respectivamente.
Os planos A , B e C tangentes à superfície nos pontos A , B e C , respectivamente,
ficam definidos pela geratriz g e pelas rectas At , Bt e Ct , respectivamente tangentes a a
em A , a b em B e a c em C .
T
g
[a]
t
T
g
j
52
Figura 76
Figura 77
Na sequência do exposto para a Figura 76 tem-se:
Se se intersectar o plano A com um plano A qualquer (passante pelo ponto A ), o plano
B com um plano B qualquer (passante pelo ponto B ), e o plano C com um plano C
qualquer (passante pelo ponto C ), obtêm-se, respectivamente, as rectas Aj , Bj e Cj
tangentes à superfície regrada empenada nos pontos A , B e C , respectivamente.
As três rectas definem um hiperbolóide escaleno de concordância com a superfície ao
longo da geratriz g .
Como os planos A , B e C podem assumir uma infinidade de orientações, existe uma
infinidade de hiperbolóides escalenos concordantes com a superfície ao longo da geratriz
g .
A
B
C
[a]
[b]
[c]
A
B
C
t
t
t
g
C
B
A
B
g 1
A
B
C
j C
C
2gg
Aj
Aj B
TTj
T
2
1
A
B
C
53
Se os três planos A , B e C forem paralelos entre si, a superfície de concordância é um
parabolóide hiperbólico.
Mais uma vez, existe uma infinidade de parabolóides hiperbólicos concordantes com a
superfície ao longo da geratriz g .
Determinar o plano T , tangente à superfície num ponto T qualquer da geratriz g ,
consiste em determinar a geratriz Tj (do sistema contrário ao de g e concorrente com g no
pontoT ) do hiperbolóide escaleno ou do parabolóide hiperbólico, consoante o caso.
3.2.4.11. Hiperbolóide de revolução (planos tangentes)
Como a superfície do hiperbolóide de revolução é duplamente regrada, o plano tangente fica
definido pelas duas geratrizes, de sistemas contrários, que se intersectam no ponto de
tangência.
Figura 78
Porém, tal como para qualquer superfície, o plano pode ser definido por um par de rectas
tangentes a duas secções que se cruzam, no ponto de tangência.
54
Figura 79
Dado um ponto exterior, é possível conduzir uma infinidade de planos tangentes à superfície.
Uma forma de restringir o número de soluções é seleccionar uma linha da superfície (em
princípio recta) sobre a qual se determina o plano tangente. Deste modo o número de
soluções fica restringido a uma na generalidade dos casos.
Figura 80
Conduzir o plano tangente paralelo a uma recta implica conduzir por uma geratriz qualquer, de
um dos sistemas de geratrizes, uma recta concorrente com a direcção dada. O ponto de
tangência determina-se identificando a geratriz do outro sistema contida no plano.
55
Figura 81
Para verificar se é possível conduzir um plano tangente paralelo a um plano dado, verifica-se
se existem, num cone director, direcções comuns com o plano. Em caso afirmativo, o plano
tangente fica definido pelas duas geratrizes com aquelas direcções, isto é, as geratrizes
paralelas ao plano dado.
3.2.4.12. Parabolóide Hiperbólico (planos tangentes)
Figura 82
56
Também com o parabolóide hiperbólico, por ser uma superfície duplamente regrada, o plano
tangente num ponto da superfície fica definido pelas duas geratrizes de sistemas contrários
que se cruzam no ponto de tangência.
Figura 83
Determinar o plano tangente paralelo a uma recta ou paralelo a um plano dado é em tudo
semelhante ao que foi referido para o hiperbolóide regrado. A diferença agora é a necessidade
de nos referirmos ao plano director em vez do cone director.
3.2.4.13. Conóide (planos tangentes)
Tal como referido em 3.2.4.8, o plano tangente a uma superfície simplesmente regrada,
conduzido por um ponto da superfície, contém a geratriz recta da superfície que passa no
ponto. Uma outra recta pode ser obtida através da condução, no ponto em causa, de uma
recta tangente a uma curva passante pelo ponto de tangência. Ou, então pode ser
determinado, procurando conduzir aquela recta como geratriz de uma superfície duplamente
regrada concordante com a superfície inicial, pois como já foi referido, duas superfícies
concordantes, partilham os mesmos planos tangentes ao longo da linha de concordância.
57
Figura 84
3.2.4.14. Corno de vaca (planos tangentes)
Esta superfície aparece-nos aqui por curiosidade. Com efeito, o modo de a tratar é em tudo
idêntico ao caso anterior.
Figura 85
58
3.2.4.15. Concordâncias como composição de superfícies
É possível passar suavemente de uma superfície para outra, se elas forem concordantes, isto é,
se ao longo da linha comum a ambas, os planos tangentes forem os mesmos. Nas duas figuras
dadas abaixo, apresentam-se concordâncias entre várias superfícies e o parabolóide
hiperbólico.
Figura 86
Figura 87
3.2.4.16. Linhas e Superfícies NURBS no espaço
Tudo aquilo que se referiu relativamente às linhas de Bézier, B-splines e NURBS no plano, pode
ser facilmente expandido para o espaço tridimensional. Por exemplo, os segmentos de recta
do polígono de controlo de uma curva de Bézier de grau três não têm de estar todos no
mesmo plano. E o mesmo se aplica às B-Splines e às NURBS. Esta é uma forma de generalizar a
representação de curvas no espaço.
59
Estas curvas, quer sejam planas ou não, colocadas espacialmente podem servir de directrizes
para a geração de superfícies NURBS.
No ponto anterior, descriminou-se toda uma série de superfícies. Curiosamente,
provavelmente não se encontrarão muitas delas como primitivas geométricas em muitas
ferramentas de modelação 3D. Uma forma de representação daquelas superfícies é por
aproximação através de superfícies NURBS. Note-se porém que, as superfícies NURBS, com os
pesos adequados atribuídos aos pontos de controlo, permitem representar de forma rigorosa
(geometricamente rigorosa) esferas, parabolóides, etc. Nas duas figuras seguintes pode-se
observar o efeito de alterar o peso dos vértices da rede de controlo das superfícies.
Figura 88
Figura 89
Em relação à figura central (em que se representa uma superfície esférica) foram aumentados
os pesos relativos aos vértices do “cubo” de controlo (à esquerda) e diminuídos os pesos dos
mesmos vértices (à direita). Isto é possível, porque a superfície está representada como uma
NURBS.
Genericamente, uma superfície NURBS fica definida por uma grelha de pontos de controlo, e
respectivos pesos associados, e pelo grau (e ordem) das suas geratrizes nas duas direcções
paramétricas de desenvolvimento da superfície. Estas duas direcções paramétricas,
usualmente notadas pelas letras U e V, podem ser visualmente representadas através de uma
grelha de curvas ISOPARAMÉTRICAS.
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Figura 90
Uma curva isoparamétrica é uma curva que, numa das direcções paramétricas, corresponde a
um valor constante de um parâmetro, no espaço paramétrico (que é distinto do espaço
geométrico).
Figura 91
Se uma superfície NURBS for gerada por curvas de graus diferentes numa das direcções
paramétricas, em geral é assumido o maior grau para a geração da superfície nessa direcção.
Nas duas figuras anteriores, fica ilustrado esse facto. As linhas de entrada para a geração da
NURBS tinham grau 2 e 4 numas das direcções paramétricas, e 3 e 5 na outra direcção
paramétrica. Assim, na primeira direcção foi assumido o grau 4 para a primeira direcção
paramétrica e o grau 5 para a outra direcção paramétrica. Isto deve-se ao facto de ser possível
aumentar o grau de uma curva sem lhe alterar a forma, mas não ser possível o contrário.
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3.3. Lógicas de geração de superfícies
As lógicas de modelação podem ser variadas.
Neste ponto apresentam-se algumas lógicas de modelação implementadas no software
Rhinoceros. Porém, outras aplicações podem implementar outras lógicas. Recomenda-se uma
leitura cruzada deste ponto com o que está referido nas tabelas das páginas 26 e 39, relativas
à classificação de superfícies. As várias lógicas contêm variantes. Aqui apenas se apresentam as
ideias gerais procurando transmitir de que modo as funções implementadas naquela aplicação
podem ser utilizadas de modo mais ou menos directo para a representação de superfícies.
3.3.1. Polígonos
Os polígonos podem ser gerados de vários modos. Um rectângulo pode ser desenhado através
da função Plane, um polígono qualquer, de n lados, pode ser gerado definindo as curvas planas
que o delimitam (função PlanarSrf).
3.3.2. Superfícies de revolução (revolve)
Em relação a este tipo de superfícies, veja-se o que foi dito no parágrafo 3.2.2.
Figura 92
3.3.3. Superfícies de “revolução” (rail revolve)
Estas superfícies baseiam-se na ideia de revolução, porém não são verdadeiramente
superfícies de revolução. A geratriz roda em torno de um eixo, no entanto deforma-se nessa
rotação em função das distâncias dos pontos de uma nova linha (rail) em relação ao eixo. Essas
sucessivas deformações são, na prática, transformações afins da geratriz em direcções
ortogonais ao eixo.
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Figura 93
3.3.4. Deslocamento da geratriz apoiada numa directriz (sweep 1 rail)
Estas superfícies baseiam-se no deslocamento da linha geratriz ao longo de uma directriz com
a restrição de se manter o ângulo entre ambas em todo o movimento.
Figura 94
3.3.5. Deslocamento da geratriz apoiada em duas directrizes (sweep 2 rails)
Neste exemplo foram dadas duas directrizes horizontais (rails) ao longo das quais a geratriz se
moveu, e as posições extremas de uma geratriz, que sendo diferentes, supõem que a geratriz é
deformável. No exemplo da figura seguinte, a geratriz começa por ser um arco de
semicircunferência para terminar num arco de semi-elipse. Nas posições intermédias, o rácio
entre eixo menor e eixo maior vai variando pelas situações intermédias às dos dois extremos
das posições da geratriz.
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Figura 95
É possível definir mais que duas posições (e geometrias) para a geratriz que condicionarão a
geração da superfície de modo a que a elas se adapte.
3.3.6. Superfície gerada por extrusão (extrude)
A ideia base de uma extrusão consiste na definição de uma geratriz que se desloca segundo
uma directriz. Neste deslocamento a geratriz mantém a orientação.
Figura 96
Há no entanto outros tipos de extrusão, podendo a geratriz alterar a sua dimensão e
proporções
3.3.7. Superfície gerada por interpolação de sequência de curvas (loft)
Consideradas várias curvas dadas espacialmente numa determinada sequência, a superfície é
gerada ajustando-se às mesmas.
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Figura 97
3.3.8. Interpolação de uma rede espacial de curvas (curve network)
À semelhança do caso anterior, a superfície é gerada por interpolação. No entanto, neste caso,
é dada uma rede de curvas no espaço que informam sobre o “esqueleto” da superfície.
Figura 98
Um modo idêntico de gerar superfícies é através da definição de uma rede espacial de pontos
(função SrtPtGrid). Cada linha de pontos corresponde, na prática, a uma linha geratriz da
superfície numa das direcções paramétricas da mesma.
3.3.9. Superfície dados quatro vértices (corner points)
A superfície gerada deste modo é o parabolóide hiperbólico.
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Figura 99
3.3.10. Superfície dadas linhas de contorno (edge curves)
Neste caso, a superfíce pode ser definida por 2, 3 ou 4 linhas. Idealmente essas devem linhas
do contorno para melhor controlo do resultado
Figura 100
3.3.11. Superfície passante por um conjunto de linhas (patch)
Neste caso, as linhas também podem ser limites de superfícies. E assim sendo, pode ser
controlada a tangência relativamente a essas superfícies.
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Figura 101
3.3.12. Superfície gerada por panejamento sobre superfícies dadas (drape)
A metáfora para a geração deste tipo de superfície é a de cobrir um conjunto de superfícies
dadas com uma nova superfície como se fossem cobertas com um pano ou com uma rede
elástica. É importante notar que, no software Rhinoceros este tipo de superfície é sempre
gerada considerando a vista corrente. É também importante notar que o controlo da
profundidade da superfície é função do ponto mais próximo e do ponto mais afastado da
câmara na vista corrente.
Figura 102
3.3.13. Superfície complexas
Com os recursos dados pela computação, podem ser representadas, no limite, quaisquer
superfícies. Através da figura seguinte, ilustra-se como, através da escolha adequada de linhas
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e pontos como elementos directores, podemos representar um leque alargado de superfícies
mais ou menos complexas articuladas de modo a gerar modelos de elevada elaboração.
Figura 103 (in http://www.3dprinter.net/rhino-3d-review)
3.4. Linhas a partir de superfícies
Se por um lado, as linhas são o que dá origem às superfícies através do seu movimento no
espaço, também é facto que podem ser geradas a partir das superfícies.
De uma superfície limitada podem ser extraídos esses limites. De uma superfície NURBS
podem ser extraídas linhas isoparamétricas. É possível mapear linhas em superfícies através de
diferentes tipos de transformação (projecção paralela, projecção normal à superfície,
correspondência paramétrica, etc.).
Porém o modo mais popular de gerar linhas através de superfícies é através da intersecção,
conforme se ilustra na figura seguinte.
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Figura 104
4. SÓLIDOS Qualquer configuração de superfícies no espaço que encerre um volume, pode ser,
conceptualmente associada a um sólido. As arestas desse sólido (não necessariamente rectas)
serão as linhas de intersecção das várias superfícies, e estas linhas delimitarão as faces do
sólido (não necessariamente planas).
4.1. Operações booleanas entre sólidos
As operações booleanas são de três tipos: a) união, b) subtracção, e c) intersecção.
A operação união corresponde a considerar tudo o que é comum e não comum aos sólidos
base.
A operação subtracção corresponde à diferença entre os sólidos base, isto é, aquilo que dos
vários sólidos base é comum ao primeiro, é subtraído a este.
A operação de intersecção corresponde a considerar apenas a porção de volume comum aos
sólidos base.
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Figura 105
Em todos os casos, as arestas dos sólidos finais resulta sempre da intersecção das superfícies
dos sólidos base.
Para além desta classificação das intersecções, é possível considerar outras, em particular no
que concerne às características das linhas de intersecção entre as superfícies. Destas interessa-
nos colocar particular relevo numa situação designada por BEIJAMENTO uma vez que o seu
controlo é mais exigente. A condição que deve ser cumprida para que exista um ponto duplo
na linha de intersecção entre duas superfícies é a de existir um plano tangente comum a
ambas.