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PROVAS DE APTIDÃO PEDAGÓGICA

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CAPACIDADE CIENTÍFICA

- Trabalho de Síntese -

SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO História, Teoria e Prática

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Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa 2004Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente Estagiário Geometria Descritiva

PROVAS DE APTIDÃO PEDAGÓGICA

E

CAPACIDADE CIENTÍFICA

- Trabalho de Síntese -

SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO História, Teoria e Prática

Este trabalho de síntese foi preparado e produzido entre Abril de 2001 e Setembro de 2004

paralelamente à actividade docente exercida como Assistente Estagiário no grupo de disciplinas de

Geometria da Área Científica Desenho e Comunicação afecta à Secção de Desenho/ Geometria/

CAD, Departamento de Arquitectura.

É realizado em cumprimento da alínea b) do nº 2 do artigo 58º do Estatuto da Carreira

Docente Universitária.

Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa 2004Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente Estagiário Geometria Descritiva

ÍNDICE GERAL Pág.

Introdução 1

Parte 1 SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO – História 4

1. Etimologia 5

2. Os primórdios 6

2.1. A tradição Ocidental 6

2.2. A tradição Oriental 8

3. O Ocidente – a partir do séc. XV 11

3.1. A Arquitectura Civil 11

3.2. A Arquitectura Militar 13

3.3. A Matemática (Geometria) 15

3.4. O desenho de máquinas 16

4. O século XIX 19

5. O século XX 21

6. O presente 24

Parte 2 SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO – Teoria 26

1. Conceitos e Definições 27

1.1. Sobre algumas figuras geométricas 27

1.2. Tipos de projecção 28

1.3. projecção cilíndrica de algumas figuras geométricas em quadro plano 29

1.4. Projecção cilíndrica e afinidade 29

1.5. Sistemas de Representação 32

2. Referencial tri-ortogonal e Sistema Axonométrico de Representação 34

3. Da projecção cilíndrica de um referencial tri-ortogonal 39

3.1. Três eixos coordenados oblíquos ao quadro 39

3.2. Um eixo coordenado paralelo ao quadro 43

3.3. Dois eixos coordenados paralelos ao quadro 45

4. Coeficientes e escalas 48

4.1. Coeficientes iguais, superiores e inferiores a 1 48

4.2. Coeficientes como função da inclinação dos eixos e da direcção de projecção 51

4.2.1 A axonometria ortogonal como caso particular 53

4.3. Isometria e anisometria 57

4.4. Monometria, dimetria e trimetria 57

4.4.1. A axonometria ortogonal como caso particular 64

5. Axonometrias afins 66

6. Determinação de referenciais 67

6.1. Dados os vértices do triângulo fundamental 73

6.2. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, e as inclinações dos eixos coordenados correspondentes 74

6.3. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, e as inclinações dos eixos coordenados y e z 76

6.4. Dados dois vértices do triângulo fundamental e as grandezas das projecções de três segmentos unitários, ux, uy e uz, e a direcção de projecção ortogonal ao quadro

78

6.5. Dois vértices do triângulo fundamental e os eixos axonométricos 79

6.5.1.Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, os eixos axonométricos, a projecção de um segmento unitário ux e a unidade U

81

6.5.2. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, os eixos coordenados, a projecção de um segmento unitário uz e a unidade U 82

6.6. Dados um vértice do triângulo fundamental, os eixos axonométricos e a direcção de projecção 85

6.7. Dados um vértice do triângulo fundamental, a direcção do eixo coordenado correspondente e os eixos axonométricos 88

6.8. Dados um vértice do triângulo fundamental, a direcção de um eixo coordenado não correspondente ao vértice dado e os eixos axonométricos 91

6.9. Dados um vértice do triãngulo fundamental, os eixos axonométricos, as projecções de dois segmentos unitários e a unidade U 93

6.10. Dados um vértice do triângulo fundamental, os eixos axonométricos, e as projecções de três segmentos unitários, ux, uy e uz (teorema de Pohlke-Schwarz)

94

7. Representação axonométrica das figuras geométricas elementares, ponto, recta e plano, através dos rebatimentos dos planos coordenados 98

7.1. O Ponto 99

7.2. A recta 101

7.3. O Plano 102

8. Restituição das grandezas inerentes ao ponto, recta e plano, dadas as suas 105

representações

8.1. O Ponto 105

8.2. A Recta 106

9.3. O Plano 107

9. Autonomia do sistema de representação 112

10. Quadro geral de classificação das Axonometrias 113

Parte 3 SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO – Prática 115

1. Generalidades 116

1.1. Sobre os modos de desenhar 116

2. Aplicação da Afinidade 119

2.1. Afinidade plana entre duas figuras - exemplos 119

2.2. Aplicação da afinidade plana ao desenho da elipse definida por dois diâmetros conjugados 123

2.3. Aplicação da afinidade plana à condução de rectas tangentes à elipse definida por dois diâmetros conjugados 125

2.4. Aplicação da afinidade espacial à determinação da orientação de uma circunferência dada a sua projecção cilíndrica e dada a direcção de projecção 127

3. O problema das escalas e dos coeficientes – Axonometrias Métricas e Axonometrias Convencionais 129

4. Representação axonométrica – considerações gerais 132

5. Representação em Axonometria Métrica 133




6. Representação em Axonometria Convencional 138




7. Axonometria Métrica ou Axonometria Convencional ? 143

8. Métodos para a representação axonométrica de objectos 144

Conclusão 150

Anexos

• Anexo da Parte 2 Cálculos relativos ao 4.2.1.

• Anexo da Parte 3 Exemplos de aplicação prátca da representação axonométrica

Bibliografia

Webgrafia

Fonte das figuras

1

Introdução

2

Esta investigação é, de alguma forma, um corolário da minha actividade docente como

Assistente Estagiário na Faculdade de Arquitectura, onde me formei como Arquitecto e onde venho

prestando serviço na disiciplina de Geometria Descritiva.

O que me propus fazer neste trabalho foi o estudo do sistema axonométrico de

representação. A escolha do tema deverá ser justificada, em parte, pelo interesse afectivo que me

move em relação ao assunto.

Por outro lado, as exposições que foi possível encontrar, sobre o tema, são, em geral,

parcelares.

Por exemplo, se se tratam de questões históricas, os aspectos técnicos não são referidos.

Se se tratam de questões práticas de representação, não há, em geral, enquadramento

histórico. É, por exemplo, o que se passa na maior parte dos livros de Geometria Descritiva

consultados

Outras vezes, nota-se um desiquilíbrio entre a teoria e a prática. Estas aparecem juntas,

sendo a prática sustentada por uma teoria excessiva para a prática que, supostamente, a justifica.

Esta situação é fruto de uma herança histórica do sec. XIX.

Resumindo, a afectividade, alguns descontentamentos, e a certeza da re-descoberta ao

aprofundar este tema, constituiram as motivações para a realização desta investigação.

Este trabalho está estruturado segundo três vectores que se traduzem em três partes.

Na primeira parte procurou fazer-se uma síntese dos aspectos históricos relacionados com a

representação axonométrica. Deve ser entendida como uma introdução alargada. Corresponde

essencialmente a uma recolha de informação com o objectivo de enquadramento.

Pretendeu recolher-se um conjunto de elementos que permitam um entendimento mínimo

sobre os contributos que os vários domínios da expressão técnica e artística do Homem ao longo dos

tempos deram à axonometria. Está a falar-se da pintura, da arquitectura, da indústria, etc.

Esta parte é de grande importância, pois dela se percebem muitos aspectos da teoria e da

prática. Na verdade, uma história deste tipo é sempre um percurso pelas práticas e pela construção

teórica ao longo dos tempos.

Na segunda parte são abordadas as questões teóricas, que apenas muito pontualmente se

justificam por razões práticas. Em geral, a motivação não é a da prática.

De alguma forma, pretende ser uma “re-construção” teórica actual, e pessoal, da axonometria,

obviamente iluminada pelo que se sabe da história.

Algumas das conclusões e propostas são introduzidas, tanto quanto se sabe, com novidade,

se assim me é permitido dizer!

3

Trata-se da distinção feita entre monometria e isometria, da generalização da questão dos

coeficientes de redução, da enumeração das condições que permitem definir um referencial, do

conceito de axonometrias afins, da generalização da representação em axonometrias métricas

oblíquas, e da inclusão de um quadro geral de classificação de axonometrias que inclui alguns sub-

sistemas que não são usualmente utilizados apesar de se verificar que são bastante práticos (mais

uma vez a herança histórica!).

Na terceira parte é feita uma “descida” da teoria à prática. Isto é, a partir do que foi exposto na

segunda parte, procurou seleccionar-se o mínimo de elementos que pudessem sustentar uma prática

consistente. Também nesta parte há questões que se pensa terem sido introduzidas com novidade. É

o caso da representação em sub-sistemas axonométricos em que um eixo coordenado é paralelo ao

quadro, e da generalização de um conjunto de métodos de representação a um único método que se

designou por método das vistas ortogonais.

Trata-se de uma reflexão sobre a prática da representação e as circunstâncias em que essa

prática pode se feita. Em cada circunstância colocam-se em evidência determinados aspectos da

teoria que podem variar consoante a natureza da circunstância.

Esta opção justifica-se numa altura em que há muitos modos de representar e em que o

tradicional suporte da folha de papel já não é único. Não se exclui que algumas das questões teóricas

expostas, que não são notadas nesta parte, possam vir a ser colocadas em relevo por uma qualquer

circunstância ou contexto de prática futura. Destas razões se percebe que a teoria deva constituir num

documento desta natureza, uma parte autónoma, distinta da prática. Não quer isto dizer que a prática

esteja dissociada da teoria. Com efeito, a prática é sempre teoria aplicada.

A segunda e terceira partes não correspondem a uma simples recolha de informação. São

também reflexão e proposta.

Espero que este documento possa servir de referência a todos os que se interessarem pelo

tema da representação axonométrica. Devo esclarecer que o objectivo não foi fazer um manual

prático de axonometria. Se assim tivesse sido muitas das partes integrantes deste documento seriam

dispensáveis e, porventura, outros elementos teriam de ser incluídos.

4

Parte 1 SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO - História

5

1. Etimologia

O termo Axonometria apareceu pela primeira vez em 1852 na obra Lehrbuch der

axonometrischen Projetkionslehre com os autores L. e H. Meyer.

Etimologicamente, este vocábulo deriva de dois termos gregos, αξων (axôn), que significa

eixo, e, το μετρν (metron), que significa medida1.

O primeiro sentido grego da palavra axôn significa o eixo de uma roda, o eixo do freio de um

cavalo, o eixo de um sólido de revolução2.

Daqui se pode depreender que a construção de qualquer axonometria começará com a

escolha do referencial e sua representação.

Contudo, a palavra axôn utilizada no plural (axones) designa, também, as leis dadas por

Sólon3 aos Atenienses, porque eram gravadas em prismas giratórios. O facto de serem gravadas em

prismas giratórios permitia que fossem lidas de todos os lados.

1 Jean Aubert, Axonométrie, p. 82 2 Op. Cit. (1), p. 82 3 Sólon (640-558 a.C.) foi legislador ateniense e poeta. Foi o fundador da democracia.

6

2. Os primórdios

Fazer uma abordagem histórica ao tema Axonometria não deverá, nem poderá, corresponder

a limitar inferiormente o intervalo de tempo do estudo à data 1852.

É necessário seguir um rol de acontecimentos históricos que conduziram ao facto particular

ocorrido em 1852. Efectivamente, esse facto nem sequer é dos mais significativos na história da

axonometria.

Fazer um percurso diacrónico corresponderá, em primeiro lugar, a olhar para a história das

representações gráficas.

Neste olhar procuram descobrir-se nas representações as características que hoje se

identificam como sendo da representação axonométrica. Entre estas encontram-se a preservação do

paralelismo e a preservação das proporções das medidas numa dada direcção.

Por uma questão de simplicação do discurso chamar-se-á, doravante, representação

axonométrica ou axonometria (identificando o sub-sistema nos termos actuais se assim se entender)4

a qualquer representação que evidencie estas características.

Há tradições históricas em que estas características são intencionais e outras em que são,

mais ou menos, acidentais.

Em todo o caso, este tipo de representação existiu um pouco por todo o lado.

2.1. A tradição Ocidental

Em geral, na tradição pictórica ocidental está presente um preconceito óptico da visão. Isto

manifesta-se desde a Grécia antiga, lugar em que a Óptica foi inventada, e culminou no séc. XV com

o estabelecimento das regras geométricas da Perspectiva por Leon Battista Alberti5.

O registo mais antigo que se conhece deste tipo de representação data do séc. IV a.C. e é

uma representação de um frontão num fragmento de cerâmica (fig. 1).

4 Poderão ser utilizadas as designações axonometria cavaleira (ou representação axonométrica cavaleira) e

axonometria militar (ou representação axonométrica militar) 5 Leon Battista Alberti (1404-1472) - Escultor, pintor, arquitecto, humanista e músico italiano.

7

Fig. 1

Pode encontrar-se este tipo de representação nos frescos de Pompeia retratando, por

exemplo, cenas de um bordel (fig. 2), ou decorando o interior de casas (fig. 3 - excerto de uma pintura

mural na Casa dos Vetti).

Fig. 2 Fig. 3

Note-se que neste último exemplo é procurada a perspectiva. Essa procura traduz-se na

conjugação de várias representações axonométricas. Na linha média vertical da pintura torna-se

evidente o desencontro das axonometrias.

Na pintura medieval também é possível encontrar representações axonométricas. Veja-se, por

exemplo o caso de Giotto6 (fig. 4 – Fresco na Igreja de Santa Croce, Florença, Itália). No seu caso, a

axonometria aparece como excepção, misturada com a perspectiva, isto é, com a convergência das

linhas, num contexto pré-renascentista.

Há ainda o exemplo de Ambrogio Lorenzetti7, cuja pintura faz lembrar as tendências de

alguma pintura do sec. XX (fig. 5 - tábua intitulada Cidade à Beira-Mar).

6 Giotto di Bondone (1266-1337) - Pintor e Arquitecto italiano, nascido em Vespignano, Florença. 7 Pietro Ambrogio Lorenzetti (1280-1384) - Pintor italiano.

8

Fig. 4 Fig. 5

2.1. A tradição Oriental

Na tradição oriental, sino-japonesa, bastante desenvolvida em álgebra, não se verifica o

preconceito óptico da tradição ocidental.

A gramática pictórica oriental permaneceu praticamente inalterada ao longo dos séculos,

correspondendo essencialmente à representação axonométrica.

Esta permanência dura, pelo menos, até ao séc. XIX.

Há, inclusivamente, um tratado de arquitectura chinês, da autoria de Le Ying Tsao Fa Shih,

datado de 1097. Neste, aparecem desenhos de encaixes de peças de madeira num tipo de

representação que actualmente se designa por axonometria cavaleira. Na figura 6 é dado outro

exemplo de uma representação do séc. XI.

Fig. 6

Mas é na pintura que existem mais testemunhos da representação axonométrica.

9

Veja-se, por exemplo, o quadro “Han XiZai dá um banquete” de Gu HongZhong8 (fig. 7) ainda

do primeiro milénio.

Fig. 7

Neste quadro, a perspectiva não procura a convergência. É pela conjugação de várias

axonometrias que se dá a ideia das orientações dos vários elementos constituintes da cena.

Aqui não há nenhuma tentativa forçada de articular as várias axonometrias que geraria

incongruências, que é precisamente o que acontece no quadro da figura 3.

Noutro exemplo do séc. XIV, de autoria atribuida ao pintor Wang Cheng-Ming, pode, mais

uma vez, verificar-se a estruturação do espaço do quadro através da representação axonométrica

cavaleira (fig. 8 - cópia datada do séc. XVII).

Fig. 8

A mesma tendência é observável no Japão, por influência da China.

8 Gu HongZhong (910-980 d.C.) - Pintor chinês

10

Veja-se o exemplo do quadro “Gaki Zoshi” do período Heian, sec. XII (fig. 9) ou de um quadro

do período Kamakura, sec. XIV (fig. 10).

Fig. 9 Fig. 10

Para verificar que a tendência se manteve, termina-se com dois quadros. O primeiro é da

autoria do pintor chinês Jiao BingZhen, do séc. XVIII (fig. 11). O segundo é da autoria do pintor

japonês Utagawa Yoshikazu, do séc. XIX (fig. 12).

Fig. 11 Fig. 12

Depois de todos estes exemplos, custa imaginar, embora se possa compreender, que não

tenha chegado aos nossos dias nenhuma literatura própria sobre as técnicas geométricas ou

algébricas de representação dos chineses ou dos japoneses9.

9 cf. Jan Krikke, “Axonometry: A matter of perspective”, p. 1 (vidé bibliografia)

11

3. O Ocidente – a partir do séc. XV

A partir do séc. XV muitos foram os caminhos que conduziram à axonometria.

Estes vários caminhos estão relacionados com a Arquitectura Civíl, a Arquitectrura Militar, a

Matemática (Geometria) e o desenho de máquinas.

3.1. A Arquitectura Civil

Os contributos que a arquitectura civil deu para o aparecimento da axonometria prendem-se,

obviamente, com as questões ligadas à representação.

No séc. XV, os textos de referência sobre a arquitectura são de Vitruvio, Alberti, e de Rafael10.

Segundo Vitruvio, o desenho arquitectónico comporta a planta, o alçado e a vista perspéctica.

Segundo Alberti, apenas as plantas e os alçados são úteis ao arquitecto, devendo ser

acompanhadas por uma maquete. A perspectiva “não pode senão introduzir a falsidade das

aparências na figuração arquitectural”11.

Segundo Rafael, há um compromisso entre as duas situações precedentes. Este admite a

perspectiva como modo de convencer o cliente, e introduz um novo elemento: o corte.

A maquete, por ser um meio pouco económico, suscitou a necessidade de encontrar meios

gráficos eficazes para responder ao problema da representação sintética do edifício.

As primeiras respostas a esta questão resultaram sobre a forma de um tipo de desenho que

se pode designar por proto-axonométrico12 . Na verdade, não se tratam de axonometrias, mas sim de

desenhos de perspectiva em que o ponto de fuga se afasta cada vez mais do centro da folha de

desenho, o observador “sobe” em relação ao objecto e afasta-se deste. O resultado são “quase”

axonometrias cavaleiras.

Este tipo de desenhos pode ser encontrado por exemplo em Leonardo da Vinci13 (fig. 13).

Há ainda os desenhos de Baldassare Peruzzi14. Veja-se o exemplo do desenho para um

projecto de São Pedro em Roma, de 1530 (fig. 14).

10 Yves Alain-Bois, “Avatars de l’axonométrie”, p. 131 (vidé bibliografia)

Rafael como autor do terceiro texto é uma conjectura. 11 Op. Cit. (10), p. 131 12 Op. Cit. (10), p. 132 13 Leonardo da Vinci (1452-1519) - Pintor, escultor, arquitecto e cientista italiano nascido em Vinci.

12

Fig. 13 Fig. 14

Mas é nos tratados de arquitectura que é mais visível este tipo de representação, sobretudo

para ilustrar pormenores.

No Codex Coner15 podem observar-se detalhes em corte perspectivado, em que o ângulo de

visão é inferior (fig. 15).

Também em Architecture16, de Philibert de l’Orme17 se podem encontrar detalhes em “quase”

axonometria cavaleira (fig. 16).

Fig. 15 Fig. 16

14 Baldassare Peruzzi (1481-1536) - Arquitecto italiano. 15 Tratado de arquitectura datado de 1515. 16 Tratado de Arquitectura datado de 1567. 17 Philibert de l’Orme (1500/15-1570) - Arquitecto francês.

13

Na obra Les plus excellents bâtiments de France18, Cerceau19 representa os edifícios vistos

lateralmente e de cima “como um homem a cavalo, um cavaleiro, que por virtude da sua elevada

altura pode observar atentamente tudo o que o rodeia”20 (fig. 17 - vista de conjunto do castelo de

Maulnes). Contudo, a representação não é muito constante e, por vezes, os desenhos aparecem um

pouco “toscos” como se pode ver no exemplo da figura 17. No entanto, há outros exemplos em que o

autor foi mais bem sucedido (fig. 18).

Fig. 17 Fig. 18

Na arquitectura civil houve sempre grande resistência à adopção da representação

axonométrica.

Por um lado, o carácter analítico do desenho arquitectónico teve eco no desenvolvmento de

métodos de articulação das representações em planta, corte e alçado, desde Durer21 até Monge22, e

mesmo, de Monge até ao princípio do do séc. XX.

Por outro lado, este tipo de representação foi sempre alvo de muitas críticas uma vez que, ao

contrário das plantas, cortes e alçados, não preserva a verdade geométrica dos edifícios dada pelas

plantas, corte e alçados23.

3.2. A Arquitectura Militar

A partir de meados do séc. XVI, a Arquitectura Militar deixou de constituir um sub-capítulo dos

tratados de arquitectura para passar a ter uma literatura própria.

18 Recolha e levantamento gráfico de edifícios franceses notáveis, datada de 1576-1579. 19 Jacques Androuet Du Cerceau (1510-1585) - Arquitecto teórico e gravador francês. 20 Massimo Scolari, “Elements for a History of Axonometry”, nota 14 (vidé bibliografia)

Esta terá sido a origem da designação Axonometria Cavaleira. 21 Albrecht Durer (1471-1528) - Desenhador, pintor, gravador e geómetra alemão. Inventou um método de articulação

de três vistas cuja designação se pode traduzir por “o transferidor”. 22 Gaspard Monge (1746-1818) - Engenheiro, Físico, Matemático e Geómetra francês. Fundou a Geometria Descritiva. 23 cf. Op. Cit. (10), p. 133

14

Nos tratados de Arquitectura Militar adoptou-se um sistema gráfico (que hoje se conhece

como axonometria militar dadas as suas origens) que permite eliminar da representação os ângulos

mortos e a redução gráfica com a profundidade dados pela perspectiva. Para além disso, permite

efectuar cálculos directamente sobre os desenhos.

Apareceram vários tratados sobre esta matéria colocando em contraste a perspectiva central

e a projecção paralela24.

Podem destacar-se, por exemplo, Della Fortificazione delle Citá (Veneza 1564) de Girolamo

Maggi e Jacomo Castriotto (fig. 19), On Military archithecture (Brescia 1599) de F. de Marchi (fig. 20),

Des Fortifications et artifices de architecture et perspective (Paris 1601) de J. Perret de Chamberry

(fig. 21), entre outros.

Fig. 19 Fig. 20 Fig. 21

Os desenhos pretendiam-se sintéticos e precisos pois “uma imperfeição numa linha pode

significar a perda de um exército”25.

No tratado de Maggi e Castriotto é clara a recusa da perspectiva central. Dizem: “Ninguém

deve esperar ver nestes trabalhos os métodos e as regras da perspectiva; primeiro, porque não faz

parte da profissão de soldado produzi-las, e segundo, porque a diminuição das distâncias envolvida

removeria muitos dos planos, os quais são a base destes trabalhos (..) será chamada perspectiva

soldatesca.”26

Outros tratados aparecem, destacando-se L’art de fortifier, de défendre et d’attaquer les

places (1677) de Millet Deschales, e Perspectiva militaris (1756) de Christian Rieger.

24 cf. Op. Cit. (20), p. 74 25 Op. Cit. (20), p. 74 26 Op. Cit. (20), p. 74

15

Este último, contém a primeira explicação geométrica da axonometria27.

Com a proliferação das guerras religiosas do séc. XVII, a escrita das obras sobre arquitectura

militar fica na mão dos Jesuítas.

O conhecimento que os jesuítas têm da axonometria terá sido trazido para a Europa pelos

missionários que regressavam do Oriente, em particular da China28. Estes não estariam muito

interessados nas qualidades estéticas da axonometria, mas sim no seu valor prático.

3.3. A Matemática (Geometria)

Outra origem possível para o desenvolvimento da axonometria prende-se com a Matemárica e

com a Geometria.

Luca Pacioli29 no seu tratado Divina Proportione (Veneza 1509) apresenta alguns desenhos

que podem ser reconhecidos como axonometrias cavaleiras (fig. 22).

Durer segue-lhe o exemplo em Underweysung Der Messung (1525). Também neste tratado

se podem encontrar desenhos que remetem para a representação cavaleira (fig. 23 - extraída da

tradução francesa).

Fig. 22 Fig. 23 Fig. 24 Fig. 25

A tendência manteve-se e pode encontrar-se a representação axonométrica por exemplo no

tratado de T. Luders de 1680, neste caso em axonometria militar (fig. 24).

27 Op. Cit. (10), p. 133 28 Op. Cit. (9), p. 1 29 Luca Pacioli (1445-1520) - Matemático italiano.

16

Mesmo Gaspard Monge, na sua Geométrie Descriptive (1798), ilustra os princípios do seu

método de representação através de dois desenhos em axonometria cavaleira (fig. 25).

Por outro lado, em 1551 Oronce Finé30 relacionou a questão das sombras com os problemas

da medição. Observou que se a luz solar incidir a 45º com a superfície da terra, então o comprimento

das sombras é igual à altura dos objectos.

Alguns anos mais tarde, Gemma Frizon31 explicou como se podia obter a altura de qualquer

objecto através das suas sombras.

O passo das sombras à axonometria corresponde a “iluminar a sombra e descobrir que se

trata de uma representação”32.

Ainda por outro lado, em contextos que não são da axonometria, podem encontrar-se

representações que para todos os efeitos o são. Veja-se, por exemplo, o desenho de Jean Cousin33

de representação da perspectiva de um cubo com uma diagonal espacial vertical (fig. 26).

Fig. 26

Com efeito, o desenho geometral do cubo, isto é, a projecção horizontal, não é mais do que

que a perspectiva isométrica do cubo que vai ser “inventada” dois séculos e meio mais tarde.

3.4. O desenho de máquinas

Não se querendo ser abusivo, pode fazer-se remontar o desenho de máquinas a Leonardo da

Vinci.

30 Oronce Finé (1494-1555) - Matemático e cartógrafo francês. 31 Gemma Frizon (Frisius ou Frisio) (1508-1555) – Matemático, médico e cartógrafo holandês. 32 Op. Cit. (20), p. 76 33 Jean Cousin (1495-1560) - Pintor francês.

17

Ao contrário dos seus desenhos de arquitectura, os desenhos das máquinas que idealizava

são produzidos em axonometria cavaleira (fig. 27 e 28).

É claro que não se trata de desenho de máquinas no sentido industrial.

Fig. 27 Fig. 28

Posteriormente, podem ver-se desenhos que correspondem a axonometrias, por exemplo, em

tratados de relojoaria (fig. 29).

Fig. 29

Nesta prancha de um tratado de relojoaria de 1741 pode observar-se, no centro da parte

superior da figura, uma representação axonométrica que ilustra a articulação dos vários componentes

do mecanismo. Provavelmente esse desenho serviria para auxiliar na montagem do engenho.

18

Foi precisamente com este espírito que William Farish34 publicou em 1822 um trabalho

intitulado “On isometrical Perspective”35.

O princípio do seu método de representação consistia em considerar um cubo em que as

arestas representariam as três direcções principais do espaço. Por meio de uma projecção ortogonal

do cubo segundo a direcção de uma diagonal espacial obtém-se na folha de desenho a representação

das três direcções do espaço com a mesma escala gráfica. Este mecanismo espacial acaba por

admitir a representação das três direcções principais do espaço com uma escala única qualquer.

Farish não dá explicações geométricas do seu método afirmando que para os geómetras

seriam supérfluas e para a pessoa comum seriam incompreensíveis.

Esta postura ilustra bem o sentido das suas intenções.

A ideia essencial era disponibilizar aos operários um meio gráfico que lhes permitisse

compreender a montagem e desmontagem das máquinas nas fábricas. Esta intenção e o valor do

método de representação para este efeito estão patentes na segunda figura do seu texto, em que é

mostrada uma perspectiva isométrica de uma máquina (fig. 30).

Fig. 30

Depois de Farish ter publicado o seu trabalho, alguns autores prosseguiram com as suas

ideias e objectivos. Por exemplo, em 1825 é publicado Mathematics for pratical men, em 1834 é

publicado A treatise on isometrical Drawing, etc.

Mas rapidamente este objectivo prático foi ultrapassado e o rumo que a axonometria iria

seguir seria outro.

34 William Farish (1759-1837) - Professor de Física na Universidade de Cambridge 35 Em Novembro de 1819 foi inaugurada em Cambridge a “Philsophical Society”. Em 1822 é publicado o primeiro

volume das “Transactions”, o qual abre com o texto de William Farish que nessa altura presidia à “Philsophical Society”.

19

4. O século XIX

O método apresentado por Farish depressa chamou a atenção da comunidade matemática.

Em pouco tempo começa a ser produzida literatura matemática sobre o tema, desvirtuando o

objectivo inicial deste tipo de representação.

Weisbach36 é o responsável pela generalização do método de Farish à axonometria ortogonal

em geral. O seu trabalho está presente na obra Die monodimetriche und axonometriche

Projectionsmethode. Aqui encontra-se a Geometria Descritiva bastante ligada à Geometria Analítica37.

Outro nome de referência nos avanços dados ao estudo da axonometria é Schlomilch38. Este

nota em 1856 que a axonometria é um método perfeitamente legítimo da Geometria Descritiva. É dele

a dedução da expressão 2222 2unml =++ , relativa à axonometria ortogonal, em que l , m e n

representam três segmentos que se tomam por projecção de três segmentos u iguais entre si e

perpendiculares entre si.

Em 1852 C. e H. Meyer publicam um tratado em que aparece pela primeira vez a palavra

axonometria.

Em 1853 Pohlke39 formula, sem apresentar nenhuma prova, aquele que viria a ser conhecido

como o teorema fundamental da axonometria. Diz que “um quadrângulo plano O’X’Y’Z’ pode sempre

tomar-se por projecção paralela de três segmentos OX, OY e OZ iguais, com um ponto O comum, e

dois a dois ortogonais”40.

Mais tarde, esta conjectura foi demonstrada pelo matemático Schwarz41. Posteriormente o

teorema foi generalizado a quaisquer três segmentos de qualquer comprimento e fazendo entre si

quaisquer ângulos.

De um modo geral, todos os desenvolvimentos analíticos da axonometria são de origem

anglo-saxónica.

36 Julius Ludwig Weisbach (1806-1871) - Matemático alemão. A axonometria oritogonal é a que resulta de uma projeção

ortogonal do referencial. 37 Gino Loria, Storia della Geometria Descrittiva, p. 414 (vidé bibliografia) 38 Oscar Schlomilch (1823-1901) - Matemático natural de França. Contudo estudou e trabalhou na Alemanha. 39 Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) - Matemático, pintor e professor de Geometria Descritiva alemão. 40 Op. Cit. (37), p. 429 41 Karl Herman Amandus Schwarz (1843-1921) - Matemático polaco.

20

Em França, registam-se com particular evidência os tratados de Geometria Descritiva de Jules

de La Gournerie42 e de Amédée Mannheim43, com particular destaque para o primeiro.

De La Gournerie, no livro IV do seu Traité de géometrie Descriptive, trata da perspectiva

axonométrica e cavaleira. A esta última, apelida-a de perspectiva rápida.

De La Gournerie conhecia os trabalhos de Farish, de Weibach e de Schlomilch.

Ao primeiro faz referência explícita, do segundo utiliza as designações “perpective

monodimétrique” e “perspective axonométrique”44 e do terceiro é utilizada a expressão 2222 2unml =++ atrás referida.

Em todo o caso, embora se verifiquem alguns prelúdios algébricos, a axonometria é sempre

tratada por meio de casos práticos e concretos (fig. 31 - nicho esférico em isometria, e fig. 32. - nicho

esférico em perspectiva cavaleira). Para evitar equívocos na leitura dos desenhos axonométricos, que

permitem o que se pode chamar por reversibilidade do espaço, é feita a recomendação da utilização

das sombras.

Fig. 31 Fig. 32

Choisy45, aluno de La Gournerie, adoptou a representação axonométrica para documentar

uma série de obras literárias. São estas L’Art de construire chez les Romains (1868), L’Art de

construire chez les Byzantins (1876), L’Art de bâtir chez les Égyptiens (1904) e L’Histoire de

l’Architecture (1899).

Vejam-se alguns desses desenhos nas figuras 33 (de L’Histoire de l’Architecture) , 34 (de

L’Histoire de l’Architecture) e 35 (de L’Art de construire chez les Romains).

42 Jules de La Gournerie (1814-1883) - Professor de Geometria Descritiva na École Polytechnique. 43 Victor Mayer Amédée Mannheim (1831-1906) - Oficial da artilharia francesa. 44 A diferença de designações Projectionsmethode e Perspective ilustra bem a diferença entre o carácter matemático

dos alemães e o carácter prático dos franceses. Sobre esta questão (e outras) sugere-se a leitura do artigo “O ensino do desenho técnico” de Lino Cabezas (vidé bibliografia).

45 Auguste Choisy (1841-1909) - Engenheiro de pontes e calçadas. Também foi professor na École Polytechnique.

21

Fig. 33 Fig. 34 Fig. 35

5. O século XX

Jan Krikke46 aponta como raiz da “Revolução Modernista no Ocidente (entre 1860 e 1920)” a

descoberta da arte oriental (chinesa e japonesa) por parte da comunidade artística europeia, em

particular francesa, e americana. Este movimento de re-descoberta da arte oriental ficou conhecido

por Japonismo.

Curiosamente, a reversibilidade do espaço, que poderá ser apontada como o “calcanhar de

Aquiles” da representação axonométrica, é enaltecida pelo pintor Malevitch (1878-1935): “rompe com

a terra”47.

A partir de 1919, o pintor suprematista russo El Lissitzky (1890-1941) defende a axonometria

como modo de representar um novo espaço:

“A perspectiva central que se aplicava e se desenvolveu no Renascimento representou o cubo

com um plano colocado paralelo ao observador. É uma concepção de fachada, a profundidade de um

palco, por isso a perspectiva estava tão ligada à cenografia... inseriu o mundo num cubo, e este foi

transformado de tal modo que no plano dá uma pirâmide [...]” os artistas modernos ”...não quiseram

estar mais defronte do objecto, mas nele. Decompuseram o único centro da perspectiva em

fragmentos”... “O suprematismo deslocou para o infinito o vértice da pirâmide óptica da perspectiva.”48

No desenho para o Abstract Cabinet (1927-28), Lissitsky explora a ambiguidade do desenho

axonométrico (fig. 36).

46 Jan Krikke, “China, Japan and the Birth of Modernism” (vidé bibliografia) 47 Malevitch, citação in Op. Cit. (10) , p. 134 (vidé bibliografia) 48 El Lissitzky, citação in Victor Consiglieri, A Morfologia da Arquitectura, vol I, p. 51 (vidé bibliografia),.

22

Fig. 36

Segundo Yves Alain-Bois o nascimento moderno da axonometria teve lugar em 1923 na

exposição De Stijl em Paris49.

Importada da pintura, a axonometria vem revelar-se como forma adequada de representar o

espaço da nova arquitectura moderna, de volumes paralelepipédicos.

Na exposição De Stijl, Theo van Doesburg (1883-1931) disse:

“Já então se demonstra o novo princípio de uma nova arquitectura espacial e funcional

desenhada segundo o método axonométrico. Este método de representação permite a leitura

simultânea de todas as partes da casa, vista nas suas justas proporções, isto é, sem pontos de fuga

perspécticos. Ao contrário, segundo a representação bidimensional, o desenho é imediatamente

percebido sob o perfil volumétrico, na sua dimensão cúbica. A planta desaparece e dá lugar a um

sistema de leitura em que se poderão ter claramente quer as medidas quer as estruturas necessárias.

Compreende-se que todo o projecto, dos alicerces ao tecto, deverá ser também elaborado

axonometricamente.”50

Vejam-se os desenhos de Theo van Doesburg e Cor van Eesteren (1897-1988) para uma

casa particular (1923) (fig. 37).

Fig. 37

49 Op. Cit. (10) 50 Theo van Doesburg, citação in Op. Cit. (42), vol I, pp. 50 e 51

23

Outro entusiasta da axonometria é o arquitecto Alberto Sartoris (1901-1998).

Este, enaltece a axonometria afirmando que:

“dois desenhos tomados de ângulos opostos são suficientes para ilustrar completamente um

projecto; permite facilmente entrar no desenho rigoroso, praticamente sem realizar esboços;

facilmente compreendida pelos executantes da obra, que desde o princípio podem ter uma visão de

conjunto do edifício”51.

Veja-se um desenho do projecto de Alberto Sartoris para a Villa du Dr. Roman Brum à

Lausanne (1934) (fig. 38).

Fig. 38 Fig. 39

O arquitecto americano John Hejduk (1999-2000) adoptou um tipo de representação que

acabou por ser baptizada como axonometria de Hejduk. Esta não é mais que um caso particular da

axonometria cavaleira e já era utilizada por Du Cerceau no sec. XVI.

Veja-se por exemplo o desenho do projecto para La Máscara de la Medusa (1998 – Buenos

Aires) (fig. 39).

Fora de um contexto conceptual, em 1938 Eckhart apresenta o método dos cortes para a

representação axonométrica ortogonal. Este método corresponde a considerar o rebatimento dos

planos coordenados do referencial tri-ortogonal para o plano da representação seguidos de

translacções. O objectivo das translacções é o de não sobrepor as figuras rebatidas às figuras em

projecção.

51 Alberto Sartoris, citação in Manuel Couceiro, Perspectiva e Arquitectura, tese de doutoramento, p. 121 (vidé

bibliografia)

24

6. O presente Actualmente, a representação axonométrica está banalizada.

Certas tradições permanecem.

Por exemplo, os textos de matemática continuam a adoptar a representação axonométrica

para ilustrar problemas (fig. 40), na física pode ser utilizada para ilustrar conceitos (fig. 41 -

axonometria do espaço-tempo), etc.

Fig. 40 Fig. 41

Na arquitectura também continua a ser utilizada. Por exemplo, para desenvolver uma ideia

através de um esquiço (fig. 42 - esquiço do arquitecto Siza Vieira), ilustrar um modo ou sequência de

construção (fig. 43 - desenho de um projecto do arquitecto Renzo Piano) ou para ilustrar um pormenor

construtivo (fig. 44).

Fig. 42 Fig. 43 Fig. 44

No tempo actual a novidade histórica ao nível da representação axonométrica vem através do

desenho computacional.

Com efeito, a axonometria constitui o principal interface visual entre os operadores

informáticos e os softwares de desenho, em particular os softwares de modelação tridimensional.

Estes softwares são utilizados em muitos domínios, desde a Física, Matemática, Arquitectura,

Engenharia, Design, Medicina, etc, e são um poderoso instrumento de investigação.

25

Pelo facto de permitirem fazer cálculos em pouco tempo, admitem a possibilidade de tratar

problemas de grande complexidade que de outra forma seriam humanamente impossíveis de resolver.

Vejam-se as seguintes figuras (fig. 45 - display em axonometria, aplicação ao design; fig. 46 -

display em axonometria, aplicação à medicina).

Fig. 45 Fig. 46

Também ligado à tecnologia informática têm-se os jogos de computador. Alguns destes

apresentam o espaço em representação axonométrica. Este tipo de representação permite o

movimento das personagens do jogo mantendo as direcções gráficas do cenário ao arrastá-lo. Isto

porque o ponto de vista está situado no infinito.

Vejam-se os exemplos das figuras 47 (imagem do jogo SimCity 4) e 48 (imagem do jogo

Zeus).

Fig. 47 Fig. 48

Longe de ser uma curiosidade arqueológica, a axonometria e suas aplicações não deixarão

morrer a sua história no presente.

Seguramente este é um domínio com perspectivas de desenvolvimento para o futuro.

26

Parte 2 SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO - Teoria

27

1. Conceitos e Definições

Parte-se do princípio que alguns conceitos e definições são conhecidos e se assumem

quando se inicia um trabalho desta natureza.

Aqueles que aqui são expostos são os fundamentais para que se explicitem as bases e os

termos de um discurso.

No entanto far-se-á referência ao que é suposto estar adquirido e que servirá de base para o

que se segue.

O Espaço que se considera é o Espaço Euclidiano clássico, a três dimensões, estendido até

ao infinito. É um Espaço Projectivo1. Em todo o caso, nesse espaço considera-se a métrica euclidiana.

Assume-se que, pelo menos, são conhecidas as condições de pertença entre pontos, rectas e

planos.

Devem ser conhecidas as posições relativas entre rectas e planos.

Devem ser conhecidos os conceitos de perpendicularidade, ortogonalidade, obliquidade, viés

e paralelismo.

Também se supõem conhecidas figuras como o triângulo, quadrilátero, circunferência, elipse,

parábola, hipérbole, pirâmide, prisma, cone, cilíndro, esfera, bem como as propriedades das

tranformações: rotação (e rebatimento), translacção, simetria e homotetia.

Quando alguma questão for menos evidente, far-se-ão as referências que se entenderem

necessárias nos momentos julgados oportunos. Os termos dessas referências são os expostos e as

abordagens podem ser sintéticas, algébricas ou mistas.

1.1. Sobre algumas figuras geométricas

O PONTO é uma entidade sem dimensão, isto é, adimensional.

A LINHA é uma entidade unidimensional gerada pelo movimento contínuo do ponto.

As linhas podem ser CURVAS ou não curvas; às linhas não curvas dá-se o nome de

RECTAS.

Cada linha recta tem uma DIRECÇÃO; direcção é a propriedade comum a uma família de

rectas paralelas entre si.

Cada linha recta contém um PONTO IMPRÓPRIO, isto é, um ponto situado no infinito. 1 A postulação de que uma recta contém um ponto situado no infinito, que um plano contém uma recta no infinito e que

o espaço contém um plano no infinito, é o que distingue a geometria euclidiana da geometria projectiva. Para uma introdução à Geometria Projectiva sugere-se a leitura do livro Fundamental Concepts of Geometry de Bruce Meserve (vidé bibiografia). Neste livro, o autor faz uma “descida” da geometria mais geral, a Topologia, até chegar à geometria Euclidiana. Neste processo, as diversas geometrias vão sendo consideradas como casos particulares umas das outras.

28

A cada direcção de rectas corresponde apenas um ponto impróprio, isto é, todas as rectas

paralelas entre si têm o mesmo ponto do infinito, daí dizer-se que rectas paralelas são rectas

concorrentes no infinito.

A SUPERFÍCIE é uma entidade bidimensional gerada pelo movimento contínuo da linha.

A GERATRIZ é a linha, deformável ou indeformável, que se move no espaço para gerar a

superfície.

A DIRECTRIZ é a linha ou superfície, em que se apoia a geratriz no seu movimento.

Quando uma geratriz recta se move continuamente no espaço, conservando a direcção,

apoiada numa directriz recta, com uma direcção diferente da sua, é gerado o PLANO.

Cada plano tem uma ORIENTAÇÃO2; orientação é a propriedade comum a uma família de

planos paralelos entre si.

Cada plano tem uma RECTA IMPRÓPRIA, isto é, uma recta situada no infinito.

A cada orientação de planos corresponde apenas uma recta imprópria, isto é, todos os planos

paralelos entre si têm a mesma recta do infinito, daí dizer-se que planos paralelos se intersectam no

infinito.

Uma orientação contém uma infinidade de direcções.

O lugar geométrico de todos os pontos impróprios e de todas as rectas impróprias é o PLANO

IMPRÓPRIO, isto é, o plano do infinito.

Uma figura geométrica3 é um qualquer sistema de pontos, rectas ou planos.

A um sistema plano de rectas concorrentes dá-se o nome de FEIXE DE RECTAS, e ao ponto

comum a todas as rectas dá-se o nome de CENTRO do feixe de rectas.

A um sistema espacial de rectas concorrentes dá-se o nome de ESTELA DE RECTAS.

A um sistema de planos com uma recta em comum dá-se o nome de FEIXE DE PLANOS, e à

recta comum aos planos dá-se o nome de EIXO do feixe de planos.

A um sistema de planos com um ponto em comum dá-se o nome de ESTELA DE PLANOS.

Ao ponto comum a todos os planos de uma estela dá-se o nome de CENTRO da estela.

1.2. Tipos de projecção

A PROJECÇÃO de um ponto A , numa superfície [ ]α , é um ponto 'A que resulta da

intersecção, com a superfície [ ]α , de uma RECTA PROJECTANTE passante por A . A projecção de

uma recta a , numa superfície [ ]α , é uma linha 'a que resulta da intersecção, com a superfície [ ]α ,

2 O conceito de Orientação é o equivalente para planos ao conceito de Direcção para rectas. 3 Luís Porfírio da Motta Pegado, Curso de Geometria Descritiva da Escola Polytechnica, p. 3 (vidé bibliografia).

29

de um PLANO PROJECTANTE passante por a . À superfície de projecção, em geral plana, dá-se o

nome de QUADRO (no discurso que se segue supõe-se o quadro plano).

O ponto comum a todas as rectas e planos projectantes pode ser próprio ou impróprio e

designa-se por CENTRO DE PROJECÇÃO.

Se o centro de projecção for próprio, o TIPO DE PROJECÇÃO diz-se CENTRAL ou CÓNICA.

Se o centro de projecção for impróprio, o tipo de projecção diz-se PARALELA ou

CILÍNDRICA.

A projecção paralela pode subdividir-se em OBLÍQUA e ORTOGONAL consoante as

projectantes sejam oblíquas ao quadro ou perpendiculares ao quadro.

1.3. Projecção cilíndrica de algumas figuras geométricas em quadro plano

Qualquer figura contida no quadro tem projecção coincidente consigo própria.

A projecção de um ponto é um ponto próprio ou impróprio consoante a projectante intersecte

ou seja paralela ao quadro.

A projecção de uma recta pode ser um ponto (se esta tiver a direcção das projectantes) ou

uma recta.

A projecção de um plano pode ser uma recta (se a orientação do plano contiver a direcção

das projectantes) ou coincidir com o plano de projecção.

A projecção de um feixe de rectas pode ser um conjunto de pontos (se o centro do feixe for

impróprio e coincidir com o centro de projecção), uma recta (se a orientação do plano do feixe contiver

a direcção das projectantes) ou um feixe de rectas.

A projecção de uma estela de rectas pode ser um conjunto de pontos (se o centro da estela

for impróprio e coincidir com o centro de projecção) ou um feixe de rectas.

1.4. Projecção cilíndrica e afinidade

A AFINIDADE é uma transformação geométrica que deriva directamente da projecção

cilíndrica. É um caso particular da HOMOLOGIA4, quando o centro da tranformação é impróprio.

4 Para introdução ao estudo da homologia e da afinidade aconselha-se a leitura do anexo ao livro Geometria

Descritiva - Método de Monge de Guilherme Ricca (vidé bibliografia).

Para aprofundamento do estudo da afinidade aconselha-se a leitura do Capítulo II das Lições de Geometria Descritiva de Augusto Queiróz (vidé bibliografia).

Também se pode encontrar uma aplicação da homologia ao estudo das linhas cónicas no capítulo I do livro Geometría Descriptiva y sus aplicaciones, Tomo I, de Angel Taibo Fernadez (vidé bibliografia).

30

Uma AFINIDADE ESPACIAL é a tranformação geométrica que permite fazer corresponder as

figuras de dois planos α e β . O meio de fazer a correspondência consiste em tomar as figuras como

projecções cilíndricas umas das outras segundo uma direcção, d , não contida nas orientações dos

planos α e β . A direcção de projecção designa-se por DIRECÇÃO DE AFINIDADE. A recta i ,

comum aos planos α e β , designa-se EIXO DA AFINIDADE. Duas figuras que se correspondem

dizem-se AFINS. Os pontos do eixo da afinidade auto-correspondem-se e dizem-se PONTOS

DUPLOS. O eixo da afinidade é uma RECTA DUPLA. Duas rectas afins têm sempre um ponto duplo.

Uma afinidade espacial fica definida dados os planos α e β e a direcção d .

Se se projectar a afinidade espacial, entre os planos α e β , num plano δ (sem excluir que

o plano δ possa coincidir com um dos planos, α ou β ), obtém-se uma AFINIDADE PLANA. A recta

'i , projecção da recta i comum aos planos α e β , é o eixo da afinidade plana. A direcção 'd ,

projecção da direcção d da afinidade espacial, consiste na direcção da afinidade plana. A projecção

de duas figuras afins, entre os planos α e β , consiste em duas figuras afins no plano δ . Os pontos

do eixo da afinidade são duplos. O eixo da afinidade é uma recta dupla. Numa afinidade plana, as

rectas com a direcção 'd são duplas. Uma afinidade plana fica definida dados o eixo 'i e dois pontos

afins, A e 1A .

Um caso particular da afinidade plana é a que se pode obter da afinidade espacial pelo

rebatimento de um dos planos sobre o outro.

O objectivo deste trabalho não é desenvolver as propriedades desta transformação

geométrica, pelo que apenas se citam algumas propriedades e resultados que serão utilizadas

adiante:

1) Invariância5 do paralelismo – duas rectas paralelas têm como rectas afins duas rectas

igualmente paralelas.

2) Invariância das razões entre comprimentos – duas medidas A e B , tais que KBA= , têm

como afins duas medidas, 1A e 1B , tais que KBA

=1

1 .

5 Em 1872, o matemático alemão Felix Klein expôs a ideia de que uma geometria consiste no estudo das propriedades

das figuras que permanecem INVARIANTES sob a acção de um determinado grupo de transformações no respectivo espaço.

Sugere-se a consulta do livro A History of Mathematics de Victor J. Katz, pp. 790 e 791 (vidé bibliografia).

31

3) Não preservação da perpendicularidade – em geral, uma afinidade não preserva a

perpendicularidade.

4) Invariância da incidência – se um ponto P pertence a uma recta a , então o ponto 1P , afim

de P , pertence à recta 1a , afim de a . Se o ponto P for impróprio, o ponto 1P também é impróprio.

5) Se for dado um triângulo [ ]',',' CBA como sendo projecção cilíndrica de um triângulo

[ ]CBA ,, , do qual apenas se conhecem as proporções, é possível construir uma infinidade de

afinidades planas entre o triângulo [ ]',',' CBA e qualquer triângulo [ ]',',' 111 CBA com as proporções

do triângulo [ ]CBA ,, (fig. 1).

A'=A ''1

B'=B ''1

C'

C ''1 D'=D ''1

E'=E ''1

C '1

B '1

A '1

E '1

D '1

1

2

e

m

n

d d d d dC A D B E

3 3 Fig. 1

Seja dado o triângulo [ ]',',' CBA .

Com lado '' BA comum construa-se um triângulo [ ]'','','' 111 CBA com as proporções

conhecidas. Este triângulo é afim do triângulo dado. O eixo da afinidade é a recta ''.BA e a direcção

da afinidade é dada pela recta '''. 1CC .

Pelo ponto ''1C conduza-se uma perpendicular à recta ''.BA , determinando nesta o ponto

''' 1DD ≡ . Com centro no ponto 'D , descreva-se um arco de circunferência de raio ''' 1CD . Este

arco intersecta a recta ''.BA no ponto ''' 1EE ≡ .

32

Pelos pontos 'C , 'D e 'E conduzam-se três rectas quaisquer paralelas entre si, com

direcção d , respectivamente, Cd , Dd e Ed

Na recta Dd , fixe-se arbitrariamente um ponto '1D . Pelo ponto '1D conduza-se uma recta

perpendicular à recta Cd , determinando nesta o ponto m . Com centro no ponto '1D e raio mD '1

descreva-se um arco de circunferência que intersecta a recta Dd no ponto n (apenas se considera

um dos pontos de intersecção).

Pelo ponto n conduza-se uma recta perpendicular a Ed , determinando nesta recta o ponto

'1E .

Com centro no ponto '1D e raio '' 11 ED , descreva-se um arco de circunferência que

intersecta a recta Cd no ponto '1C (apenas se considera um dos pontos de intersecção).

Conduzam-se pelos pontos 'A e 'B as rectas Ad e Bd que intersectam a recta ''. 11 ED nos

pontos '1A e '1B , respectivamente.

O triângulo [ ]',',' 111 CBA tem as proporções dadas e é afim do triângulo [ ]',',' CBA .

Prolongando os segmentos [ ]'' BC e [ ]'' 11 BC , determina-se o ponto 1; analogamente,

determinam-se os pontos 2 e 3 (este ponto não está representado na figura). Os pontos 1 e 2

definem o eixo da afinidade, e .

Este resultado pode ser generalizado a qualquer figura.

6) A afinidade de uma cónica é uma cónica do mesmo tipo – uma elipse (ou circunferência) só

pode ser afim de uma elipse ou circunferência, uma parábola só pode ser afim de uma parábola, e

uma hipérbole só pode ser afim de uma hipérbole.

1.5. Sistemas de representação

Um SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO é um articulado de superfícies de projecção e tipos de

projecção com uma determinada lógica operativa.

Existem vários sistemas de representação:

SISTEMA DA DUPLA PROJECÇÃO ORTOGONAL

SISTEMA DA MÚLTIPLA PROJECÇÃO ORTOGONAL

SISTEMA DAS PROJECÇÕES COTADAS

33

SISTEMA CÓNICO (PERSPECTIVA LINEAR)

SISTEMA AXONOMÉTRICO

(outros)

34

2. Referencial tri-ortogonal e Sistema Axonométrico de Representação

Um REFERENCIAL TRI-ORTOGONAL é composto por três rectas perpendiculares entre si e

concorrentes num ponto.

Cada uma das rectas designa-se por EIXO COORDENADO. Identificam-se os eixos

coordenados por x , y e z (fig. 2).

z

x

yO

U

U

U

O'

u

z'

y'

x'

QUADRO

z

u y

u x

Fig. 2

Cada eixo coordenado tem dois sentidos. Um dos sentidos considera-se POSITIVO e o outro

NEGATIVO.

O ponto de intersecção dos três eixos coordenados é a ORIGEM DO REFERENCIAL e

identifica-se por O .

Cada par de eixos coordenados define um PLANO COORDENADO. Identificam-se por: plano

coordenado α (plano definido pelos eixos coordenados x e y ), plano coordenado β (plano

definido pelos eixos coordenados x e z ) e plano coordenado δ (plano definido pelos eixos

coordenados y e z ).

Os três planos coordenados dividem o espaço em octantes. Cada octante corresponde a um

triedro tri-rectângulo.

35

O SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO tem como base operativa a projecção

cilíndrica do referencial tri-ortogonal sobre um plano de projecção. Identifica-se o plano de projecção

por QUADRO, embora também se possa designar por PLANO AXONOMÉTRICO.

As projecções dos eixos coordenados no quadro designam-se por EIXOS

AXONOMÉTRICOS. Identificam-se por: eixo axonométrico 'x , eixo axonométrico 'y , e eixo

axonométrico 'z , respectivamente projecções dos eixos coordenados x , y e z . Cada eixo

axonométrico tem dois sentidos, um positivo e outro negativo, respectivamente projecções dos

sentidos positivo e negativo de cada eixo coordenado.

Os ângulos que fazem, entre si, os semi-eixos axonométricos positivos designam-se por

ÂNGULOS AXONOMÉTRICOS. Cada ângulo axonométrico é projecção de um ângulo recto.

Identificam-se por: ângulo axonométrico α̂ , ângulo axonométrico β̂ e ângulo axonométrico δ̂ ,

respectivamente projecções dos ângulos rectos contidos nos planos coordenados homónimos.

Uma AXONOMETRIA é o conjunto das projecções do referencial tri-ortogonal e dos objectos

orientados relativamente a este.

Se a direcção de projecção for ortogonal ao quadro tem-se uma AXONOMETRIA

ORTOGONAL.

Se a direcção de projecção for oblíqua ao quadro tem-se uma AXONOMETRIA CLINOGONAL

ou OBLÍQUA.

Cada eixo coordenado intersecta o quadro num ponto próprio ou impróprio. Identificam-se

esses pontos por X , Y e Z , repectivamente traços dos eixos coordenados x , y e z (fig. 3).

O

z

x

yX

Y

Z

t

tt

QUADRO

Fig. 3

36

Cada plano coordenado intersecta o quadro segundo uma recta própria ou imprópria.

Identificam-se essas rectas por αt , βt e δt , respectivamente traços dos planos coordenados α , β

e δ .

Note-se que: os pontos X e Y pertencem a αt , os pontos X e Z pertencem a βt e os

pontos Y e Z pertencem a δt .

O triângulo [ ]ZYX ,, designa-se por TRIÂNGULO FUNDAMENTAL DA AXONOMETRIA.

Considerando fixo o referencial e fazendo deslocar o quadro, mantendo a sua orientação,

outros triângulos fundamentais se obtêm. Todos os triângulos fundamentais assim obtidos são

homotéticos. O centro da homotetia é a origem do referencial.

Se um dos eixos coordenados for paralelo ao quadro, os traços dos planos coordenados que

o contêm ser-lhe-ão paralelos e simultaneamente perpendiculares ao traço do plano coordenado que

não contém o eixo paralelo ao quadro. Por exemplo, se o eixo coordenado z for paralelo ao quadro,

os traços βt e δt são paralelos ao eixo coordenado z e perpendiculares ao traço αt . Neste caso, o

plano coordenado α é perpendicular ao quadro.

Se dois eixos coordenados forem paralelos ao quadro, o traço no quadro, do plano

coordenado que os contém, será impróprio. Neste caso, os outros dois planos coordenados serão

perpendiculares ao quadro e os seus traços, no quadro, serão perpendiculares entre si. Por exemplo,

se os eixos coordenados z e x forem paralelos ao quadro, os planos coordenados α e δ serão

perpendiculares ao quadro e os seus traços, no quadro, αt e δt , serão perpendiculares entre si; a

recta βt será imprópria. Neste caso o eixo coordenado y é perpendicular ao quadro.

Verifica-se ainda que qualquer triângulo fundamental (na condição dos três vértices serem

próprios) é acutângulo.

Considerem-se, por exemplo, os pontos X e Y como traços dos eixos coordenados x e y ,

respectivamente (fig. 4).

37

XY t

[c ]

t

Z'

Z

a db

c

Z''

e

XtY

Fig. 4

Sabe-se que os eixos coordenados são perpendiculares entre si, pelo que a origem do

referencial estará contida na superfície esférica [ ]α de diâmetro XY . A superfície esférica [ ]α

intersecta o quadro segundo a circunferência [ ]αc . Sendo o eixo coordenado z perpendicular ao

plano coordenado α , é obrigatoriamente tangente à superfície esférica [ ]α pelo que apenas poderá

intersectar o quadro fora do círculo delimitado por [ ]αc .

Notando que o eixo coordenado z é ortogonal ao traço αt , o seu traço no quadro tem de

estar situado entre as rectas yt e xt , tangentes à circunferência [ ]αc nos pontos Y e X ,

respectivamente.

Conclui-se assim que o ponto Z apenas poderá estar situado entre as rectas yt e xt e fora

do círculo de [ ]αc .

Qualquer ponto nestas condições define com Y e X um triângulo acutângulo como se irá

demonstrar:

Sejam a , b e c os ângulos internos do triângulo [ ]ZYX ,, nos pontos X , Y e Z ,

respectivamente.

O segmento [ ]ZY intersecta a circunferência [ ]αc nos pontos Y e 'Z .

O segmento [ ]ZX intersecta a circunferência [ ]αc nos pontos X e ''Z .

Note-se que os pontos 'Z e ''Z são distintos (não coincidentes com os pontos Y nem X ),

logo, estando o ponto ''Z entre os pontos 'Z e X , o ângulo ea > .

De modo análogo, o ângulo db > .

38

A soma dos três ângulos internos de um triângulo é º180 pelo que:

(1) )(º180º180 baccba +−=⇔=++

e:

(2) º180<+ ba

Como o ponto 'Z pertence à circunferência [ ]αc e os pontos X e Y definem um diâmetro

desta, então o triângulo [ ]XZY ,', é rectângulo no vértice 'Z , logo º90=+ da .

Analogamente º90=+ be

Como os pontos 'Z e ''Z não coincidem com os pontos X nem Y , então os ângulos a , b ,

c e d são maiores que º0 e menores que º90 .

Como o ângulo db > e o ângulo ea > , então:

(3) º90>+ ba .

Logo, pode concluír-se, a partir de (1) e considerando (2) e (3), que º90)(180 <+− ba , isto

é, o ângulo º90<c .

Tal como se pretendia concluir: º90<a , º90<b e º90<c , isto é, o triângulo [ ]ZYX ,, é

acutângulo.

39

3. Da projecção cilíndrica de um referencial tri-ortogonal

Neste capítulo abordam-se as condições em que um referencial tri-ortogonal pode ser

projectado num plano.

Consideram-se três casos: os três eixos coordenados são oblíquos ao quadro, um dos eixos

coordenados é paralelo ao quadro, e, por fim, dois eixos coordenados são paralelos ao quadro. Estes

três casos também podem ser interpretados como situações limite uns dos outros.

3.1 Três eixos coordenados oblíquos ao quadro

Considerem-se os pontos X , Y e Z , vértices de um triângulo fundamental.

Considerem-se os traços αt , βt e δt .

Considerem-se os eixos coordenados x , y e z oblíquos ao quadro (fig. 5).

Xt

Y

Z

t

t

C

[c ]

[c ][c ]

X

Z

Y [c ]

ZXM

XYM

YZM

E'

1

1

1

Fig. 5

Neste caso todos os eixos coordenados intersectam o quadro.

Identifique-se a projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal no quadro por 'O .

40

A circunferência [ ]αc é o traço, no quadro, de uma superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e

centro no ponto XYM (ponto médio do segmento [ ]XY ). Esta superfície esférica contém a origem O .

A circunferência [ ]βc é o traço, no quadro, de uma superfície esférica [ ]β de diâmetro XZ e

centro no ponto XZM (ponto médio do segmento [ ]XZ ). Esta superfície esférica contém a origem O .

A circunferência [ ]δc é o traço, no quadro, de uma superfície esférica [ ]δ de diâmetro ZY e

centro no ponto ZYM (ponto médio do segmento [ ]ZY ). Esta superfície esférica contém a origem O .

As superfícies esféricas [ ]α , [ ]β e [ ]δ intersectam-se duas a duas segundo circunferências

contidas em planos perpendiculares ao quadro.

A superfície esférica [ ]α intersecta a superfície esférica [ ]β segundo uma circunferência cuja

projecção ortogonal, no quadro, é o segmento [ ]1XX perpendicular à recta δt .

A superfície esférica [ ]α intersecta a superfície esférica [ ]δ segundo uma circunferência cuja

projecção ortogonal, no quadro, é o segmento [ ]1YY perpendicular à recta βt .

As duas circunferências, por pertencerem ambas à superfície esférica [ ]α , intersectam-se em

dois pontos, O e 1O , cujas projecções ortogonais, no quadro, coincidem com o ponto C , o ortocentro

do triângulo [ ]ZYX ,, .

Estes dois pontos, O e 1O , por pertencerem simultaneamente à superfície esférica [ ]β e à

superfície esférica [ ]δ , pertencerão obrigatoriamente à circunferência de intersecção entre as duas

superfícies esféricas.

As superfícies esféricas [ ]β e [ ]δ intersectam-se segundo uma circunferência, cuja

projecção ortogonal, no quadro, é o segmento [ ]1ZZ . Como esta circunferência tem de conter os

pontos O e 1O , então o segmento [ ]1ZZ passa pelo ponto C .

Concluindo, dados os vértices de um triângulo fundamental, apenas existem duas posições

possíveis para a origem do referencial tri-ortogonal, O e 1O . Note-se que O e 1O são simétricos

relativamente ao quadro. Logo, um triângulo fundamental corresponde a dois referenciais (no entanto

para as explicações seguintes faz-se referência apenas a um).

41

A circunferência [ ]πc é o traço, no quadro, de uma superfície esférica [ ]π definida pelos

pontos X , Y , Z e O . O centro desta superfície esférica é o ponto E , cuja projecção ortogonal, no

quadro, é o ponto 'E , circuncentro do triângulo fundamental.

Quanto à projecção do referencial pode enunciar-se o seguinte:

1) Se direcção das projectantes estiver contida na orientação do quadro:

• então os eixos axonométricos serão paralelos entre si e com a direcção das projectantes

(neste caso, o ponto 'O é impróprio);

• e for ortogonal ao traço αt , então os eixos axonométricos serão todos perpendiculares ao

traço αt ;

• e for ortogonal ao traço βt , então os eixos axonométricos serão todos perpendiculares ao

traço βt ;

• e for ortogonal ao traço δt , então os eixos axonométricos serão todos perpendiculares ao

traço δt .

No entanto, note-se que os pontos dos eixos axonométricos não podem verdadeiramente ser

tomados como projecção dos pontos dos eixos coordenados. Na verdade, qualquer ponto de qualquer

eixo coordenado tem projecção imprópria e coincidente com o ponto 'O . Esta é uma situação

destituída de qualquer interesse prático.

2) Se a direcção de projecção for ortogonal ao quadro, então o ponto 'O coincide com o

ortocentro C do triângulo fundamental e os eixos axonométricos coincidem com as perpendiculares

aos lados do triângulo fundamental conduzidas pelos vértices que lhes são opostos. Isto é, o eixo

axonométrico 'x passa pelo ponto X e é perpendicular ao traço δt , o eixo axonométrico 'y passa

pelo ponto Y e é perpendicular ao traço βt , e o eixo axonométrico 'z passa pelo ponto Z e é

perpendicular ao traço αt .

3) Se a direcção de projecção for oblíqua ao quadro, qualquer ponto próprio do quadro,

excepto o ortocentro do triângulo fundamental, pode ser considerado como 'O . Os eixos

axonométricos 'x , 'y e 'z serão as rectas passantes pelo ponto 'O e pelos pontos X , Y e Z ,

respectivamente. Nesta situação, em que a direcção de projecção é oblíqua ao quadro, várias são as

particularizações que podem ser feitas:

• Se a direcção de projecção estiver contida na orientação de um plano coordenado, então os

eixos coordenados, com direcções contidas na orientação referida, têm projecção sobre o traço do

42

plano coordenado cuja orientação contém a direcção de projecção. Por exemplo, se a direcção da

projecção estiver contida na orientação do plano coordenado α , então os eixos axonométricos 'x e

'y coincidem com o traço αt .

• Se a direcção de projecção for a mesma de algum dos eixos coordenados, então o eixo

axonométrico correspondente fica reduzido ao traço do eixo coordenado que tem a direcção da

projecção. Os outros dois eixos axonométricos coincidem com os traços dos planos coordenados que

se intersectam segundo o eixo com a direcção da projecção. Por exemplo, se o eixo coordenado y

tiver a direcção da projecção, então: o eixo axonométrico 'y reduz-se ao ponto Y (traço do eixo

coordenado y no quadro), o eixo coordenado 'x coincide com o traço αt e o eixo coordenado 'z

coincide com o traço δt .

• Se o ponto 'O estiver contido na circunferência [ ]αc (excluindo os pontos X e Y ), então

os eixos axonométricos 'x e 'y serão perpendiculares entre si.

• Se o ponto 'O estiver contido na circunferência [ ]βc (excluindo os pontos X e Z ), então

os eixos axonométricos 'x e 'z serão perpendiculares entre si.

• Se o ponto 'O , estiver contido na circunferência [ ]δc (excluindo os pontos Y e Z ), então

os eixos axonométricos 'y e 'z serão perpendiculares entre si.

• Se o ponto 'O coincidir com o ponto 1Z , então os eixos axonométricos 'x e 'y são

coincidentes com o traço αt e perpendiculares ao eixo axonométrico 'z .

• Se o ponto 'O coincidir com o ponto 1Y , então os eixos axonométricos 'x e 'z são

coincidentes com o traço βt e perpendiculares ao eixo axonométrico 'y .

• Se o ponto 'O coincidir com o ponto 1X , então os eixos axonométricos 'y e 'z são

coincidentes com o traço δt e perpendiculares ao eixo axonométrico 'x .

4) Se a direcção de projecção for ortogonal:

• ao traço αt (exceptuando a direcção do eixo coordenado z ), então o eixo axonométrico 'z

é perpendicular ao traço αt ;

• ao traço δt (exceptuando a direcção do eixo coordenado x ), então o eixo axonométrico 'x

é perpendicular ao traço δt ;

• ao traço βt (exceptuando a direcção do eixo coordenado x ), então o eixo axonométrico 'y

é perpendicular ao traço βt .

43

3.2. Um eixo coordenado paralelo ao quadro

Considerem-se os pontos X e Y (traços dos eixos coordenados x e y no quadro)


Considerem-se os eixos coordenados x , y e z (paralelo ao quadro)

Considere-se a projecção ortogonal da origem do referencial tri-ortogonal no quadro, C ,

contida no traço αt (fig. 6).

Xt

Y

[c ]

tt

C XYM

Fig. 6

Neste caso, apenas dois eixos coordenados intersectam o quadro em pontos próprios

Identifique-se a projecção da origem,O , do referencial tri-ortogonal no quadro por 'O .

A circunferência [ ]αc é o traço, no quadro, de uma superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e

centro XYM (ponto médio do segmento [ ]XY ). Esta superfície esférica contém a origem do

referencial tri-ortogonal, O .

Neste caso, o plano coordenado α é perpendicular ao quadro e intersecta a superfície

esférica [ ]α segundo uma circunferência, cuja projecção ortogonal no quadro coincide com o

segmento [ ]XY . Esta circunferência contém dois pontos, O e 1O , cujas projecções ortogonais no

quadro coincidem com o ponto O . Isto é, sendo dados os pontos X , Y e C , existem duas

hipóteses possíveis para a origem do referencial tri-ortogonal. Mais uma vez, O e 1O são simétricos

relativamente ao quadro (para as explicações seguintes apenas se considera um referencial).

Ainda neste caso, os traços βt e δt são paralelos ao eixo coordenado z e perpendiculares à

recta αt .

44



• então os eixos axonométricos 'x e 'y serão paralelos entre si e com a direcção das

projectantes, isto é, o eixo axonométrico 'z é impróprio (neste caso o ponto 'O é impróprio);

• e for ortogonal ao traço αt , então os eixos axonométricos 'x e 'y serão perpendiculares ao

traço αt ;

• e for ortogonal ao eixo coordenado z , então os eixos axonométricos 'x e 'y serão

perpendiculares aos traços βt e δt .

No entanto, note-se que os pontos dos eixos axonométricos não podem verdadeiramente ser

tomados como projecção dos pontos dos eixos coordenados. Na verdade, qualquer ponto de qualquer

eixo coordenado tem projecção imprópria e coincidente com o ponto 'O . Esta é uma situação

destituída de qualquer interesse prático.

2) Se a direcção de projecção for ortogonal ao quadro, então o ponto 'O coincide com o

ponto C (neste caso não faz sentido referir este ponto como ortocentro do triângulo fundamental), os

eixos axonométricos 'x e 'y coincidem com o traço αt e o eixo axonométrico 'z é perpendicular ao

traço αt contendo o ponto C .


excepto o ponto C , pode ser considerado como ponto 'O . Os eixos axonométricos 'x , 'y e 'z serão

as rectas passantes pelo ponto 'O e pelos pontos X , Y e Z (impróprio), isto é, o eixo axonométrico

'z é sempre perpendicular ao traço αt . Nesta situação, em que a direcção de projecção é oblíqua ao

quadro, várias são as particularizações que podem ser feitas:

• Se a direcção de projecção estiver contida na orientação de um plano coordenado, então os

eixos coordenados com direcções contidas na orientação referida têm projecção sobre o traço do


projecção estiver contida na orientação do plano coordenado α , então os eixos axonométricos 'x e

'y coincidem com o traço αt .

• Se a direcção de projecção for a mesma de algum dos eixos coordenados, então o eixo

axonométrico correspondente fica reduzido ao traço do eixo coordenado que tem a direcção da

projecção. Os outros dois eixos axonométricos coincidem com os traços dos planos coordenados que

se intersectam segundo o eixo com a direcção da projecção. Por exemplo, se o eixo coordenado y

45

tiver a direcção da projecção, então o eixo axonométrico 'y reduz-se ao ponto Y , o eixo

axonométrico 'x coincide com o traço αt e o eixo axonométrico 'z coincide com o traço δt .

• Se o ponto 'O estiver contido na circunferência [ ]αc (excluindo os pontos X e Y ), então

os eixos axonométricos 'x e 'y serão perpendiculares entre si.

• Se o ponto 'O estiver contido no traço αt , então os eixos axonométricos 'x e 'y serão

coincidentes e perpendiculares ao eixo axonométrico 'z .

4) O eixo axonométrico 'z é sempre perpendicular ao traço αt .

5) Se a direcção de projecção for ortogonal às rectas βt e δt , então os eixos axonométricos

'x e 'y são coincidentes e perpendiculares aos traços βt e δt .

Note-se que poderia ser outro eixo paralelo ao quadro, pelo que, para as conclusões se

manterem válidas, devem sofrer as devidas permutações.

3.3. Dois eixos coordenados paralelos ao quadro

Considere-se o ponto Y (traço do eixo coordenado y no quadro)

Considerem-se os traços αt e δt .

Considerem-se os eixos coordenados x e y (paralelos ao quadro), e z (perpendicular ao

quadro) (fig. 7).

Y

t

t

Fig. 7

Identifique-se a projecção da origem do referencial tri-ortogonal no quadro por 'O .

São conhecidas as direcções dos eixos coordenados x e y .

46

Os traços αt e δt são perpendiculares entre si e passam pelo ponto Y .

Os pontos Z e X (traços dos eixos coordenados z e x no quadro) são impróprios tal

como o traço βt (traço do plano coordenado β no quadro).

Os planos coordenados α e δ são perpendiculares ao quadro.

O plano coordenado β é paralelo ao quadro.



• então o eixo axonométrico 'y terá a direcção das projectantes, logo os eixos axonométricos

'x e 'z serão coincidentes e impróprios (neste caso, o ponto 'O é impróprio);

• e for ortogonal ao eixo coordenado x , então o eixo axonométrico 'y será perpendicular ao

traço αt ;

• e for ortogonal ao eixo coordenado z , então o eixo axonométrico 'y será perpendicular ao

traço βt .

No entanto, note-se que os pontos do eixo axonométrico 'y não podem verdadeiramente ser

tomados como projecção dos pontos do eixo coordenado y . Na verdade, qualquer ponto de qualquer

eixo coordenado tem projecção imprópria e coincidente com o ponto 'O . Esta é, mais uma vez, uma

situação destituída de qualquer interesse prático.

2) Se a direcção de projecção for ortogonal ao quadro então o ponto 'O coincide com o ponto

Y , o eixo axonométrico 'y reduz-se ao ponto Y , o eixo axonométrico 'x coincide com o traço αt e o

eixo axonométrico 'z coincide com o traço δt .


excepto o ponto Y , pode ser considerado como ponto 'O . Os eixos axonométricos 'x e 'z serão

sempre perpendiculares entre si, no ponto Y , e paralelos aos traços αt e δt , respectivamente. O eixo

axonométrico 'y será a recta passante pelos pontos 'O e Y .

4) Se a direcção de projecção estiver contida na orientação de um plano coordenado, então

os eixos coordenados com direcções contidas na orientação referida têm projecção sobre o traço do


47

projecção estiver contida na orientação do plano coordenado β , então os eixos axonométricos 'x e

'z coincidem com o traço βt (que neste caso é impróprio).

Note-se que poderia ser outro plano coordenado paralelo ao quadro, pelo que, para as

conclusões se manterem válidas, devem sofrer as devidas permutações.

48

4. Coeficientes e escalas

Se forem considerados, em cada eixo coordenado, um segmento unitário U e as suas

projecções (no quadro) zu , yu e xu (consoante o segmento U pertença ao eixo coordenado z , y

ou x ) podem escrever-se as seguintes razões: Uuz ;

Uuy ;

Uux (fig 2).

Cada uma destas razões traduz um COEFICIENTE AXONOMÉTRICO, isto é, um coeficiente

segundo uma direcção axonométrica. Notar-se-ão os coeficientes dos eixos axonométricos 'x , 'y e

'z por xC , yC e zC , respectivamente.

Cada coficiente pode ser inferior, igual ou superior à unidade.

Se um coeficiente axonométrico for inferior a 1 diz-se COEFICIENTE DE REDUÇÃO. Um coeficiente axonométrico é uma razão entre a projecção de uma medida (paralela a um

eixo coordenado) e a sua verdadeira grandeza.

Neste sentido, um coeficiente axonométrico expressa uma ESCALA AXONOMÉTRICA.

Quando as escalas axonométricas coincidem com os coeficientes de redução, a ESCALA DA

AXONOMETRIA é 1.

A noção de escala axonométrica pode ser alargada.

Suponha-se que à Axonometria se aplica uma homotetia. Neste caso, a escala da

axonometria deixa de ser 1 para passar a ser superior ou inferior a 1.

Designe-se por Δ o factor da homotetia.

A escala da axonometria passará a ser Δ e cada medida, xu , yu e zu , passará a valer

xuΔ , yuΔ e zuΔ .

As razões UuzΔ

; UuyΔ

; UuxΔ

também se designam por Escalas Axonométricas.

À semelhança dos coeficientes axonométricos, as escalas axonométricas podem ser iguais,

superiores ou inferiores a 1.

Designar-se-ão as escalas axonométricas dos eixos axonométricos 'x , 'y e 'z por xE , yE e

zE , respectivamente.

4.1. Coeficientes iguais, superiores e inferiores a 1

Quando um eixo coordenado é paralelo ao quadro, o coeficiente axonométrico

correspondente é sempre 1.

49

Contudo, é possível que, mesmo que o eixo coordenado seja oblíquo ao quadro, o coeficiente

axonométrico seja igual a 1.



Considerem-se os eixos coordenados x , y e z (fig. 8).

X

t

Y

Z

t

t

C

[x]

[y]

[z]

[c ]

[c ]

[c ]

O

OO

O

O

O

X

Z

Y

1

1

1

r

r

r

r

r

r

ZXM

XYM

YZM

Fig. 8

Identifique-se a projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal no quadro por 'O .

Notar-se-ão, no rebatimento dum plano α , as posições possíveis para a figura A rebatida

por αrA e 'αrA .

Tome-se o traço αt como charneira de dois rebatimentos do plano α para o quadro.

Nos movimentos de rebatimento, o ponto O descreve arcos de circunferência contidos num

plano perpendicular à charneira αt . Notando que a projecção ortogonal do ponto O sobre o quadro

coincide com o ortocentro do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, , o traço no quadro, do plano que

contém os arcos coincide, com a recta perpendicular ao traço αt conduzida pelo ponto Z . Esta recta

contém os pontos αrO e 'αrO .

50

Sabendo que os eixos coordenados x e y são perpendiculares entre si no ponto O , então

as rectas αrx e ray (não representadas) também deverão ser perpendiculares entre si no ponto αrO

ou 'αrO (dependendo do sentido do rebatimento), logo os pontos αrO e 'αrO devem estar contidos

na circunferência [ ]αc de diâmetro XY e centro XYM (ponto médio do segmento [ ]XY .

Logo, os pontos αrO e 'αrO estarão na intersecção da circunferência [ ]αc com a recta

perpendicular à recta αt conduzida pelo ponto Z .

De modo semelhante se procede para obter os pontos βrO e 'βrO , e, δrO e 'δrO .

Note-se que, por exemplo, a distância OYYOr =α .

Se o ponto 'O coincidir com o ponto αrO , então o coeficiente axonométrico 1=yC .

Se com centro no ponto Y e raio YOrα se descrever a circunferência [ ]y , determina-se o

lugar geométrico que o ponto 'O pode ocupar para que seja 1=yC .

Procedendo de modo semelhante, obtêm-se as circunferências [ ]x e [ ]z que são os lugares

geométricos que o ponto 'O pode ocupar para que sejam as escalas axonométricas 1=xC e

1=zC , respectivamente.

Se o ponto 'O estiver contido no círculo delimitado pela circunferência [ ]y , então o

coeficiente axonométrico 1<yC , logo é um coeficiente de redução.

Se o ponto 'O for exterior ao círculo delimitado pela circunferência [ ]y , então o coeficiente

axonométrico 1>yC .

Se o ponto 'O estiver contido no círculo delimitado pela circunferência [ ]x , então o

coeficiente axonométrico 1<xC , logo é um coeficiente de redução.

Se o ponto 'O for exterior ao círculo delimitado pela circunferência [ ]x , então o coeficiente

axonométrico 1>xC .

51

Se o ponto 'O estiver contido no círculo delimitado pela circunferência [ ]z , então o

coeficiente axonométrico 1<zC , logo é um coeficiente de redução.

Se o ponto 'O for exterior ao círculo delimitado pela circunferência [ ]z , então o coeficiente

axonométrico 1>zC .

4.2. Coeficientes como função da inclinação dos eixos e da direcção de projecção



Considerem-se os eixos coordenados x , y e z (fig. 9)

X

t

Y

Z

t t

C O'

Z

Y

X

1

1

1

Fig. 9

Sejam:

C o ortocentro do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, ;

O a origem do referencial tri-ortogonal;

'O a projecção da origem do referencial tri-ortogonal;

κ , ε e ϕ as inclinações dos eixos coordenados y , x e z , respectivamente;

τ a inclinação da direcção de projecção;

ν , σ e λ os ângulos que as projecções ortogonais dos eixos no quadro fazem com o

segmento [ ]'CO .

A soma de quaisquer duas inclinações de dois eixos coordenados, relativamente ao quadro, é

sempre inferior a º90 , atingindo os º90 se o plano que contiver os eixos for perpendicular ao quadro.

52

Este facto pode ser facilmente compreendido se se notar, por exemplo, que a soma dos

ângulos que os eixos coordenados x e y fazem com o traço αt é º90 e que sendo 1XZXC > e

1YZYC > , então os ângulos ε e κ são menores que os ângulos que os eixos coordenados x e y

fazem com a recta αt , respectivamente. Logo º90<+κε .

Se o plano α for perpendicular ao quadro, então as inclinações dos eixos coordenados x e

y com o quadro coincidem com os ângulos ε e κ , pelo que º90=+κε .

Considere-se, agora, o coeficiente axonométrico yC .

Para efeitos de simplificação de cálculo vai considerar-se a medida 1=OY .

Podem escrever-se as seguintes igualdades:

(1) 22 ''

1'' YOCYOYO

OYYOC yy =⇔===

(2) κcos=YC

(3) κsin=OC

(4) τκ

tansin' =CO

(5) νcos.'..2''222

COYCCOYCYO −+=

Substituindo os valores de (2), (3) e (4) em (5) vem:

ντκκ

τκκ cos

tansincos2

tansincos' 2

222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=YO

Substituindo YO' por yC vem:

53

ντκκ

τκκ cos

tansincos2

tansincos 2

222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=yC

Procedendo de forma semelhante para xC e zC tem-se:

στεε

τεε cos

tansincos2

tansincos 2

222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=xC

λτϕϕ

τϕϕ cos

tansincos2

tansincos 2

222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=zC

4.2.1. A axonometria ortogonal como caso particular

Se o ângulo º90=τ , então ∞=τtan , donde:

κcos=yC

εcos=xC

ϕcos=zC

Neste caso (mas não só neste caso) todos os coeficientes são de redução, isto é, todos os

coeficientes são inferiores a 1.

Verifica-se que, sendo o ângulo º90=τ , isto é, sendo a Axonometria Ortogonal, os

coeficientes de redução não são independentes uns dos outros.

Podem escrever-se as seguintes igualdades:

(1) ( ) ( )κκκ −−=−== 90cos190sincos 2222yC

(2) ( ) ( )εεε −−=−== 90cos190sincos 2222xC

(3) ( ) ( )ϕϕϕ −−=−== 90cos190sincos 2222zC

54

Somando ordenadamente as três igualdades (1), (2) e (3) tem-se:

(4) ( ) ( ) ( )( )ϕεκ −+−+−−=++ 90cos90cos90cos3 222222zxy CCC

Notando que ( )κ−90 , ( )ε−90 e ( )ϕ−90 são os ângulos que a recta CO. faz com os

eixos coordenados e sabendo que a soma dos quadrados dos cosenos dos ângulos que uma recta faz

com os eixos de um referencial tri-ortogonal é igual a 1, da expressão (4) resulta que:

(5) 2222 =++ zxy CCC

Desta expressão pode entender-se que dados dois coeficientes de redução o terceiro não é

independente. Também se pode concluir que a soma dos quadrados de dois coeficientes de redução

nunca pode ser igual ou superior a dois.

Sendo 1<yC , 1<xC e 1<zC resulta que: 12 <yC , 12 <xC e 12 <zC , logo se deduz que,

para que a expressão (5) possa corresponder a um triângulo fundamental, a soma dos quadrados de

quaisquer dois coeficientes de redução deverá ser sempre superior a 1 e, por conseguinte, deverá ser

sempre superior ao quadrado do terceiro. Esta condição fica automaticamente verificada se a soma

dos quadrados dos dois coeficientes menores for superior a 1.

Da mesma forma, na axonometria ortogonal, não são independentes os valores xu , yu e zu

(fig.1).

Recorde-se que:

(6) Uu

C yy =

(7) UuC x

x =

(8) UuC z

z =

55

Substituindo os valores de (6), (7) e (8) em (5) tem-se:

(7) ( ) 2222

2

222

22 UuuuU

uuuzxy

zxy =++⇔=++

Recordando que para os valores das escalas axonométricas se tem:

Uu

E yy

Δ=

UuE x

xΔ

=

UuE z

zΔ

=

Donde resulta que:

(8) Δ

=UE

u yy

(9) Δ

=UEu x

x

(10) Δ

=UEu z

z

Substituindo os valores de (8), (9) e (10) em (7) tem-se:

2222 2Δ=++ zxy EEE

Podem ainda expressar-se os valores dos coeficientes de redução como função dos ângulos

axonométricos α̂ , β̂ e δ̂ , e como função dos lados do triângulo fundamental XYA = , XZB = e

YZC = (fig. 10).

56

Dada a extensão dos cálculos, estes são apresentados em anexo.

X

t

Y

Z

tt

O'

A

BC

x'

z'

y'

y

z

x

O

O

O

r

r

r

r

r

r

z r

x ryr

Fig. 10

Como função dos ângulos axonométricos tem-se:

βδα

coscos.cos1

1

−=yC

δαβ

coscos.cos1

1

−=xC

αβδ

coscos.cos1

1

−=zC

Como função dos lados do triângulo fundamental tem-se:

( )( )222222

222

42

ACBABCBABCy+−−

+−=

( )( )222222

222

42

ACBCBCBABCy−+−

+−=

( )( )222222

222

42

BACBCACBCCx+−−

+−=

( )( )222222

222

42

BACACACBCCx−+−

+−=

( )( )222222

222

42

CBACABACACz+−−

+−=

( )( )222222

222

42

CBABABACACz−+−

+−=

Os resultados da segunda coluna são obtidos dos da primeira por permutação cíclica parcial.

57

4.3. Isometria6 e anisometria

Se as três escalas axonométricas forem iguais a 1, ou os três coeficientes axonométricos

forem iguais a 1, identificar-se-á o sistema por SISTEMA AXONOMÉTRICO ISOMÉTRICO.

Se o facto anterior não se verificar identificar-se-á o sistema por SISTEMA AXONOMÉTRICO

ANISOMÉTRICO.

4.4. Monometria, dimetria e trimetria

Identifica-se por SISTEMA AXONOMÉTRICO MONOMÉTRICO aquele em que todos os

coeficientes ou escalas axonométricos são iguais, por SISTEMA AXONOMÉTRICO DIMÉTRICO

aquele em que dois coeficientes ou escalas axonométricos são iguais e diferentes do terceiro e por

SISTEMA AXONOMÉTRICO TRIMÉTRICO aquele em que todos os coeficientes ou escalas

axonométricos são diferentes. De uma forma mais simples, podem identificar-se as axonometrias por

MONOMETRIA, DIMETRIA ou TRIMETRIA.

Uma isometria é sempre uma monometria. Uma monometria nem sempre é uma isometria.

Em geral, o sistema axonométrico é trimétrico.

Para que o sistema seja dimétrico, dois coeficientes axonométricos devem ser iguais.

Considerem-se, por exemplo, os pontos X (traço do eixo coordenado x no quadro), Y

(traço do eixo coordenado y no quadro) e recta αt (traço do plano coordenado α no quadro).

Designe-se por 'O a projecção da origem do referencial tri-ortogonal no quadro, e esta por O

(fig.11).

X t = xY

yO'

D d

a XO'

YO'(X ,Y )O' O'

(a,0)(0,0)

Fig. 11

6 Neste texto a definição de Isometria será sempre utilizada no sentido de caracterizar um sub-sistema axonométrico

em que os coeficientes ou escalas são todos iguais a 1. Em geral utilizam-se os termos Isometria e Monometria com o mesmo sentido. Aqui opta-se por distinguir os significados. Esta opção é da responsabilidade do autor.

58

Associe-se ao quadro um referencial cartesiano yx. (não confundir com x e y do

referencial tri-ortogonal), fazendo coincidir o eixo x com a recta αt e ponto Y com a origem.

Para que sejam yx CC = , deverão ser Uu

Uu yx = (fig. 2)

Perante isto coloca-se a questão de saber qual o lugar geométrico a que o ponto 'O pode

pertencer para que se verifique yx CC = .

Do exposto, pode deduzir-se:

YO

OXUuC x

x '== e

YOOY

Uu

C yy '

==

Para que yx CC = , deve ser:

XOYO

OXOYXOOYYOOX

YOOY

XOOX

'''.'.

''=⇔=⇔=

Sendo constantes OY e OX , pode escrever-se:

KXOYO

=''

Isto é, o lugar geométrico a que o ponto 'O pode pertencer é tal que a razão das suas

distâncias aos pontos fixos X e Y é um valor constante igual a K .

Escreva-se DYO =' , dXO =' e aYX = , donde KdD= , o que equivale a:

(1) 2

22

dDK =

59

Da figura 11 pode deduzir-se:

(2) 2'

2'

2OO YXD +=

(3) ( ) 2'

2'

2OO YaXd +−=

Desenvolvendo a razão (1) substituindo nela os valores de (2) e (3) tem-se:

( )( ) ( ) 0211 22

'22

'22

'2

2'

2'

2'

2'2 =−+−+−⇔

+−+

= KaXaKYKXKYaX

YXK OOOOO

OO

A equação do segundo membro da equivalência é do tipo 022 =+++ baxyx que

representa uma circunferência com centro no eixo x .

Veja-se agora, na figura 12, como definir graficamente a circunferência, identificada por

[ ]xyd , para o que são necessários três pontos:

Xt

Y

Z

[c ]

C

X

Y

Z

t

t

X'

X''

M

1

[d ]

O

Or

r

1

1

1

xy

Fig. 12

60

Tal como enunciado, para que yx CC = , deve ser KOXOY

XOYO

==''

Quando o ponto 'O coincide com um dos pontos αrO ou 'αrO (posições possíveis para o

rebatimento da origem do referencial tri-ortogonal para o quadro) tem-se KOXOY

XOYO

==''

, logo a

circunferência [ ]xyd passa pelos pontos αrO e 'αrO (note-se que nestes casos 1== yx CC ).

Determinar-se-á, agora, um ponto ''X sobre o traço αt , de modo a que se verifique

KXXYX

=''''

, isto é, de modo a que ''X pertença à circunferência [ ]xyd .

Considere-se o segmento [ ]αrYO e, no seu prolongamento, o segmento [ ]'XOrα tal que

XOXO rr αα =' .

Pelo ponto αrO conduz-se a recta ''.XOrα paralela à recta XX '. .

A recta ''.XOrα intersecta a recta αt no ponto ''X por onde passa [ ]xyd .

Este facto verifica-se se se demonstrar que KXXYX

=''''

.

Sendo OYYOr =α , OXXOXO rr == αα ' verifica-se que KOXOY

XOYO

r

r =='α

α

Sendo homotéticos os triângulos [ ]αrOXY ,'', e [ ]',, XXY tem-se XXYX

XOYO

r

r

''''

'=

α

α , donde

resulta que KXXYX

=''''

, como se queria demonstrar.

A circunferência [ ]xyd passa pelos pontos αrO , 'αrO e ''X . O centro da

circunferência [ ]xyd é o ponto 1 de intersecção da mediatriz do segmento [ ]''XOrα com a recta αt .

61

Concluindo, se o ponto 'O pertencer à circunferência [ ]xyd tem-se yx CC = .

Pode proceder-se de igual modo para os restantes pares de eixos de modo a obter as

circunferências [ ]yzd e [ ]zxd de centros nos pontos 3 e 2 pertencentes às rectas βt (traço do plano

coordenado β no quadro) e δt (traço do plano coordenado δ no quadro), respectivamente.

Se o ponto 'O pertencer à circunferência [ ]yzd tem-se zy CC = .

Se o ponto 'O pertencer à circunferência [ ]zxd tem-se yz CC = .

A figura 13 representa a síntese desse procedimento para o caso em que os três eixos

coordenados são oblíquos ao quadro.

t

t

t

XY

Z

1

3

II'C

X''

Z''

2

Y''

Or

Or

O

Or

r

Or

Or

[d ]xy

[d ]zx

[d ]yz

Fig.13

Verifica-se que os pontos 1, 3 e 2 , centros das três circunferências [ ]xyd , [ ]yzd e [ ]zxd ,

respectivamente, são colineares.

62

Note-se:

Suponham-se determinadas, por exemplo, a circunferência [ ]xyd , de centro no ponto 1, e a

circunferência [ ]yzd , de centro no ponto 3 . Estas duas circunferências intersectam-se

obrigatoriamente em dois pontos, I e 'I (note-se que o ortocentro do triângulo fundamental, ,C é

um ponto sempre contido nos círculos delimitados por estas circunferências) simétricos relativamente

à recta 2.1 . Se o ponto 'O coincidir com um destes pontos, I ou 'I , o sistema axonométrico é

monométrico, isto é, OZ

ZOOY

YOOX

XO '''== .

Sendo OZ

ZOOX

XO ''= , então os pontos I e 'I pertencem à circunferência [ ]zxd .

Como o ponto 2 , centro da circunferência [ ]zxd , pertence ao traço δt e a recta 3.1 é a

mediatriz do segmento [ ]'II , então o ponto 2 é o resultado da intersecção entre a recta 3.1 e o traço

δt .

Logo, tal como se queria verificar os pontos 1, 3 e 2 são colineares.

Veja-se, agora, o que sucede no caso em que um eixo coordenado é paralelo ao

quadro. Considere-se, por exemplo, que o eixo coordenado z é paralelo ao quadro (fig. 14).

X=2Y=3C

1 X''

tt

t

[d ]yz

[d ]zx

[d ]xy

O =Ir

O =I'r

O r O rO rO r

Fig. 14

Neste caso, os três centros 1, 3 e 2 das circunferências [ ]xyd , [ ]yzd e [ ]zxd estão contidos

na recta αt . Note-se que esta é uma situação limite da anterior quando o ponto Z tende para o

infinito.

63

Os pontos I e 'I coincidem com os pontos αrO e 'αrO .

Quando um eixo é paralelo ao quadro, as monometrias são sempre de coeficientes

axonométricos iguais a 1, isto é, são isometrias.

Note-se que pode ser outro eixo paralelo ao quadro, pelo que, com as devidas permutações,

as conclusões serão as mesmas.

Considere-se agora, por exemplo, que os eixos coordenados x e z são paralelos ao quadro

(fig. 15).

Y = C

[i]

t

t O r O r

Or

Or

Fig. 15

Supõe-se conhecida a distância do ponto O ao quadro, que se traduz no raio da

circunferência [ ]i que mede OC .

Nesta situação só é possível ter sistemas axonométricos dimétricos ou isométricos.

Como um dos planos coordenados é paralelo ao quadro, os coeficientes axonométricos

correspondentes são iguais a 1, neste caso, 1=xC e 1=zC .

Se o ponto 'O estiver contido na circunferência [ ]i , então o coeficiente axonométrico 1=yC ,

logo o sistema axonométrico é monométrico. Isto é, a inclinação da projecção relativamente ao quadro

é º45 .

64

Se a inclinação for superior a º45 , então o coeficiente 1<yC , e se a inclinação for inferior a

º45 então o coeficiente 1>yC . Nestes casos o sistema axonométrico é dimétrico.

Mais uma vez se adverte que pode ser outro o plano coordenado paralelo ao quadro, pelo que

a validade das conclusões deve considerar as devidas permutações.

4.4.1. A axonometria ortogonal como caso particular

Na axonometria ortogonal, o ponto 'O (projecção da origem do referencial tri-ortogonal no

quadro) coincide sempre com o ortocentro C do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, .

Se o triângulo fundamental for escaleno, então a axonometria obtida é trimétrica (fig. 13). Os

três ângulos axonométricos são diferentes. As inclinações dos eixos coordenados, relativamente ao

quadro, são diferentes.

Se o triângulo fundamental for isósceles, então a axonometria obtida é dimétrica.

Como exemplo, suponha-se, na figura 13, que as medidas ZXZY = . Neste caso, a

circunferência [ ]xyd degenera na recta perpendicular ao traço αt , passante pelo ponto Z . Esta recta

passa pelo ponto C . Ainda neste caso, são iguais os ângulos axonométricos δ̂ (ângulo axonométrico

oposto ao segmento [ ]ZY ) e β̂ (ângulo axonométrico oposto ao segmento [ ]ZX ) e são iguais as

inclinações, κ e ε , relativamente ao quadro, dos eixos coordenados y e x , e por consequência o

coeficiente xy CC = .

Se o triângulo fundamental for equilátero, então a axonometria obtida é monométrica.

Suponha-se, na figura 13, que as medidas XYZXZY == . Neste caso, as circunferências

[ ]yzd , [ ]zxd e [ ]xyd degeneram em rectas que passam pelos pontos X , Y e Z , respectivamente, e

são perpendiculares aos traços δt , βt e αt , respectivamente. Estas rectas passam todas pelo ponto

C . Nesta situação, os três ângulos axonométricos são iguais a 120º, as inclinações, relativamente ao

quadro, dos eixos coordenados são iguais, e, por consequência o coeficiente zxy CCC == .

Em todos os casos, os ângulos axonométricos estão sempre compreendidos entre o ângulo

recto e o ângulo raso.

65

No caso em que um eixo é paralelo ao plano de projecção, o plano coordenado que lhe é

perpendicular tem representação reduzida a uma recta.

No caso particular em que um eixo coordenado é perpendicular ao plano de projecção, os

planos coordenados que nele incidem têm representação reduzida a rectas.

66

5. Axonometrias afins7

Considerem-se dados um referencial tri-ortogonal, uma direcção de projecção e um quadro.

O resultado da projecção do referencial no quadro são os eixos axonométricos.

Fixe-se uma recta qualquer no quadro. Tome-se a referida recta como eixo de um feixe de

planos. Em cada plano do feixe pode obter-se uma projecção do referencial, considerando a direcção

de projecção dada.

Todas as projecções do referencial assim obtidas são afins umas das outras, isto é, todas as

axonometrias assim obtidas são afins umas das outras.

O eixo de cada afinidade é o eixo do feixe de planos e a direcção de cada afinidade é a

direcção de projecção.

Se rebatermos todos os planos do feixe para o quadro, todas as projecções do referencial,

rebatidas, continuarão a ser afins umas das outras.

O eixo de cada afinidade continua a ser eixo do feixe.

Cada afinidade tem a sua direcção própria que pode ser obtida unindo um ponto do quadro ao

ponto rebatido que lhe é afim.

Resumindo, duas axonometrias que possam ser consideradas como projecção uma da outra

dizem-se AXONOMETRIAS AFINS.

Se uma das axonometrias for rebatida para o plano da outra, as axonometrias continuam a

ser afins.

7 O conceito de axonometrias afins é introduzido pelo autor.

67

6. Determinação de referenciais

Um referencial pode ser determinado em posição ou em orientação (determinando apenas as

direcções dos eixos e não fixando as suas posições no espaço). Em geral, em termos práticos, é

suficiente conhecer a orientação do referencial podendo a posição permanecer indeterminada ou

podendo ser arbitrada.

Contudo, neste capítulo, enunciam-se as condições segundo as quais é possível determinar a

posição de um referencial, ou, pelo menos, de um número finito de referenciais. É de notar que a

determinação de um referencial em posição passa muitas vezes pela determinação do referencial em

orientação que depois, por meio de uma translacção, se coloca em posição.

Antes de se avançar para as questões concretas relativas a este capítulo, convém explicitar

alguns factos geométricos que serão utilizados adiante.

F1)

Considere-se uma superfície esférica [ ]α dada pela sua projecção ortogonal no quadro, [ ] ''α

(fig. 16). O círculo [ ] ''α é delimitado pela circunferência [ ]αc , intersecção da superfície [ ]α com o

quadro.

V=V =(e)''

g''=(h )=(h )

[c]''

e

g

A

A''

[c ]''

A =A[c] r

1 1rr

rr

rr

r

r

r

r

r

Fig. 16

Considere-se, ainda, uma superfíce cónica de eixo e tangente à superfície esférica [ ]α num

ponto V pertencente ao quadro. O ponto V é o vértice da superfície cónica. O eixo e é

perpendicular ao quadro. As geratrizes da superfície cónica fazem com o eixo e um ângulo constante

ϕ .

68

Considere-se uma geratriz g qualquer da superfície cónica, dada pela sua projecção

ortogonal no quadro ''g . A recta ''g intersecta a circunferência [ ]αc nos pontos V e 1A . Qualquer

geratriz g da superfície cónica mantém um ângulo ϕ constante com o eixo e e intersecta a

superfície esférica [ ]α em dois pontos, V e A . Para qualquer geratriz g , o ponto V é fixo.

O plano definido por g e ''g é o plano π que intersecta o quadro segundo a recta ''gh ≡π .

O plano π intersecta a superfície esférica [ ]α segundo uma circunferência [ ]c de diâmetro

1VA e passante pelos pontos V e 1A .

Para representar, na figura, o ângulo ϕ , considera-se o rebatimento do plano π para o

quadro em torno da recta rhh ππ ≡ . Com esta operação representa-se a recta rg (a geratriz g

rebatida), a circunferência [ ]rc (a circunferência [ ]c redatida), o ponto rA (o ponto A rebatido) na

intersecção da circunferência [ ]rc com a recta rg , o que permite representar ''A (projecção

ortogonal do ponto A no quadro).

Analisando:

Para qualquer geratriz g , e respectivo plano π , obtém-se um triângulo [ ]1,, AAV .

Para o triângulo [ ]1,, AAV pode escrever-se a razão 1

''VAVA

.

Como o ângulo ϕ é constante, todos os triângulos [ ]1,, AAV são semelhantes, pelo que a

razão KVAVA

=1

'', donde 1.'' VAKVA = .

Como o ponto V é fixo, a igualdade 1.'' VAKVA = expressa uma homotetia de centro V .

Os pontos ''A são homotéticos dos pontos 1A .

Como os pontos 1A pertencem a uma circunferência [ ]αc , então os pontos ''A pertencem a

uma circunferência8 homotética desta. Ambas as circunferências são tangentes entre si no ponto V .

8 O Professor Augusto Queiróz nas suas Lições de Geometria Descritiva (vidé bibliografia), pp. 161 e 162, designa

esta circunferência por círculo de redução.

69

F2)

Considere-se uma circunferência [ ]c com centro na origem de um referencial cartesiano

plano rectangular yx. , de origem O , e uma recta s qualquer (fig. 17).

X

P

d

d

D

D

D

ra

y

CO

E

1

2

3

4

s

b

F

TT ZZ1

1

1

112 2

(X,Y)

P(X,Y)

[c]

Fig.17

A cirunferência [ ]c intersecta o eixo x nos pontos 1T e 2T .

Identifique-se por F o ponto de intersecção da recta s com o eixo y e por b o afastamento

do ponto F .

Identifique-se por m o declive da recta s .

Por um ponto X qualquer (exterior à circunferência [ ]c e contido no eixo x ) conduza-se

uma recta paralela ao eixo y . Esta recta intersecta a recta s . Identifique-se por 1d a distância de X

ao ponto de intersecção com s e por X a sua abcissa.

Pelo ponto X conduzam-se as rectas tangentes à circunferência [ ]c . Identifique-se por a a

distância do ponto X aos pontos de tangência (na figura apenas está representada uma tangente).

70

Conduza-se o raio r da circunferência [ ]c pelo ponto de tangência e, no seu prolongamento

para o exterior da circunferência [ ]c , marque-se a distância 1dd = . Una-se o extremo (oposto ao

ponto de tangência) deste prolongamento ao ponto X , definindo o segmento D .

Os segmentos D , a e d são os lados de um triângulo, rectângulo no ponto de tangência do

segmento a com a circunferência [ ]c .

Sobre a paralela ao eixo y passante pelo ponto X marque-se, a partir do ponto X , no

sentido positivo e no sentido negativo, a distância DD =1 . Os pontos P são os extremos dos

segmentos que marcam estas distâncias.

Para qualquer ponto X (exterior a [ ]c ) pertencente ao eixo x , qual o lugar geométrico que

os pontos P podem ocupar?

Se o ponto X coincidir com o ponto 1T ou 2T , os pontos P coincidem com os pontos 1 e 2 ,

ou 3 e 4 , uma vez que nestes casos 0=a e Dd = .

No caso geral pode escrever-se:

(1) 222 daD +=

(2) 222222 rXaarX −=⇔+=

Relativamente à recta s pode-se representá-la por:

(3) bmXY +=

Para a recta s o valor ddY == 1 , donde:

(4) bmXd +=

Substituindo em (1) os resultados (2) e (4), tem-se:

(5) ( )2222 bmXrXD ++−=

71

Como D corresponde ao afastamento de P , pode escrever-se (fazendo DY = ):

( )2222 bmXrXY ++−=

que desenvolvido vem:

(6) ( ) ( ) 22222 21 rbbmXmXY −+++=

o que representa uma hipérbole com centro no eixo x .

Esta hipérbole intersecta o eixo x nos pontos 1Z e 2Z .

Verifica-se que a recta perpendicular à recta s conduzida pelo ponto O intersecta a recta s

num ponto E , pelo qual passa uma recta paralela ao eixo y que intersecta o eixo x no centro C da

hipérbole.

Demonstrando:

Em 1º lugar:

determina-se a abcissa do centro da hipérbole.

Se em (6) se fizer 0=Y , podem determinar-se as abcissas dos pontos 1Z e 2Z , o que se

traduz em:

12

2222

++−±−

=m

rbrmbmX

Determinando o ponto médio entre estas duas coordenadas tem-se:

(7) 12 +

−=

mbmX

que corresponde à abcissa do centro da hipérbole.

Em 2º lugar:

se se conduzir pelo ponto O uma recta perpendicular à recta s , pode-se representá-la por:

72

(8) Xm

Y 1−=

Para determinar a abcissa do ponto E de intersecção desta recta com a recta s , substitui-se

o primeiro membro de (8) pelo segundo membro de (3), o que resulta em:

Xm

bmX 1−=+

o que desenvolvido vem:

(9) 12 +

−=

mbmX

Notando que a abcissa do ponto E é igual à abcissa do ponto C , esta está assim

determinada.

Como (7) e (9) expressam a mesma igualdade verifica-se que o ponto C é o centro da

hipérbole.

As assímptotas da hipérbole podem ser determinadas graficamente por meio de uma

homologia.

F3) Qualquer elipse pode ser considerada como projecção cilíndrica de uma circunferência cujo

diâmetro esteja compreendido entre as medidas do eixo menor e do eixo maior, inclusivé.

F4) Qualquer elipse pode ser considerada como projecção cilíndrica de uma esfera cujo diâmetro

é igual ao eixo menor da elipse.

Após se explicitarem estes factos geométricos, passar-se-á para as questões concretas

relativas a este capítulo, isto é, as condições segundo as quais é possível determinar a posição de um

referencial.

73

6.1. Dados os vértices do triângulo fundamental

Esta questão já foi discutida em sub-capítulos anteriores.

Sejam dados os pontos X , Y e Z , vértices do triângulo fundamental (fig. 18).

X

t

Y

C

X

Y

t

Z

O

d

t

[c]

1

1

r

r r

Fig. 18

Tal como já foi visto, a projecção ortogonal no quadro da origem O do referencial tri-ortogonal

coincide com o ortocentro do triângulo fundamental, C .

Para determinar o ponto C é suficiente conduzir, por dois vértices do triângulo, rectas

perpendiculares aos lados opostos. Neste caso, pelo vértice Y conduziu-se uma recta perpendicular

ao traço βt , de pé 1Y , e pelo vértice X conduziu-se uma recta perpendicular ao traço δt , de pé 1X .

Estas duas rectas intersectam-se no ponto C .

Sabe-se que cada eixo coordenado é perpendicular, no ponto O , ao plano definido pelos

outros dois. Por exemplo, o eixo coordenado x é perpendicular ao plano coordenado δ . Logo,

qualquer recta do plano δ passante pelo ponto O é perpendicular ao eixo coordenado x .

Se se considerar o plano perpendicular ao quadro passante pelo eixo coordenado x , este

intersecta o plano δ segundo a recta 1.XO perpendicular ao eixo coordenado x . Rebatendo este

plano para o quadro (a charneira é o seu traço no quadro e coincide com a recta 1.XX ) pode

determinar-se a distância d da origem do referencial ao quadro. Considerando a referida operação de

rebatimento obtem-se rd ( d rebatido).

É, mais uma vez, de notar que o ponto O pode ser considerado “acima” ou “abaixo” do

quadro.

74

6.2. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, e as inclinações dos eixos coordenados correspondentes

Sejam dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y , e ε e κ , respectivamente as

inclinações dos eixos coordendados x e y com o quadro (fig. 19).

X=(e )''=X

t

Y=(e )''=Y r r

12

1''2''

C

C

[c ]=[c]

[a]''[b]''

Z

Y1X1

t t

e e

XYM

r

rr

1

Y r rX

Yr Xr

Fig. 19

Considere-se a superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e centro no ponto XYM (ponto médio

do segmento [ ]XY ). Esta superfície esférica contém o ponto O (origem do referencial tri-ortogonal) e

intersecta o quadro segundo a circunferência [ ]αc .

Pelo ponto Y passa o eixo coordenado y . É conhecida a inclinação κ com o quadro.

O eixo coordenado y deverá ser uma geratriz de uma superfície cónica de revolução, de

vértice Y e eixo ye perpendicular ao quadro, cujas geratrizes fazem ºκ com o quadro. O ponto O

deverá ser um ponto da linha [ ]a de intersecção da superfície cónica com a superfície esférica [ ]α .

Analogamente, o ponto O deverá ser um ponto da linha [ ]b de intersecção da superfície

cónica de vértice X , eixo xe perpendicular ao quadro, cujas geratrizes fazem ºε , com a superfície

esférica [ ]α .

75

Isto é, as possíveis origens do referencial correspondem aos pontos comuns às linhas [ ]a e

[ ]b .

Para determinar a linha [ ]a procede-se do seguinte modo:

Considera-se um plano passante pelo eixo ye da superfície cónica que contém o eixo

coordenado y (neste caso é conveniente considerar um plano passante pelos eixos das duas

superfícies cónicas, ye e xe , por uma questão de economia de traçado). Este plano intersecta o

quadro segundo o traço αt .

Este plano, passante pelo eixo ye , intersecta a superfície cónica (com este eixo) segundo

duas geratrizes, uma das quais é a a recta 1.Y (representada em rebatimento por rrY 1. ), e intersecta

a superfície esférica [ ]α segundo uma circunferência [ ]c (representada em rebatimento por

[ ] [ ]αcc r ≡ ).

A geratriz 1.Y intersecta a circunferência [ ]c no ponto 1 (determinado em rebatimento pela

intersecção da circunferência [ ]rc com a recta rrY 1. ). O ponto 1, tal como o ponto Y , pertence à

linha [ ]a . Como já se verificou (pelo facto geométrico F1), a projecção ortogonal da linha [ ]a no

quadro, isto é [ ] ''a , é uma circunferência de diâmetro ''1Y passante pelos pontos Y e ''1 (sendo o

ponto ''1 a projecção ortogonal no quadro do ponto 1).

Para determinar a linha [ ]b , o procedimento é semelhante.

As posições possíveis para o ortocentro do triângulo fundamental correspondem à intersecção

das duas circunferências [ ] ''a e [ ] ''b , isto é, os pontos C e 1C . Deve recordar-se que, para que

estes pontos existam, deve ser º90<+κε .

Neste caso há quatro posições possíveis para a origem do referencial.

Opta por considerar-se apenas as duas que correspondem ao ponto C .

Tendo determinado o ponto C , a determinação do vértice Z , do triângulo fundamental é

imediata e consiste em conduzir pelo ponto Y uma recta perpendicular à recta CX . e por X uma

recta perpendicular à recta CY . . O ponto de intersecção destas duas rectas é o ponto Z .

Tendo todos os vértices do triângulo fundamental, a questão reduz-se à enunciada em 6.1.

76

6.3. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, e as inclinações dos eixos coordenados y e z

Sejam dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y , e as inclinações κ e ϕ dos

eixos coordenados y e z , respectivamente. Deve ser º90<+ϕκ (fig. 20).

t =e

Y=Y =(e )'' Xr

1r

1''

[a]''

r

y''

y ''

C

C

i

[c]''

g

E''E

S''S h''T'' U''

[c ]

Yr1

r

r

r

(t )=e =i ''=g''Yr

r Y

1

1

r

r

MXY

Fig. 20

Tal como em 6.2, será considerada uma superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e centro no

ponto XYM (ponto médio do segmento [ ]XY ). Esta superfície esférica contém o ponto O (origem do

referencial tri-ortogonal) e intersecta o quadro segundo a circunferência [ ]αc .

Pelo ponto Y passa o eixo coordenado y . É conhecida a sua a inclinação κ com o quadro.

O eixo coordenado y deverá ser uma geratriz de uma superfície cónica de revolução, de

vértice Y e eixo ye perpendicular ao quadro, cujas geratrizes fazem ºκ com o quadro. O ponto O

deverá ser um ponto da linha [ ]a de intersecção da superfície cónica com a superfície esférica [ ]α .

O plano coordenado α , que contém os eixos coordenados x e y , tem uma inclinação com o

quadro que é complementar de ϕ , isto é, o plano α faz ( )ϕ−º90 com o quadro. Note-se que há

duas posições possíveis para o plano α , embora, para efeitos da explicação, apenas se considere

uma.

77

A intersecção do plano α com a superfície cónica corresponderá às posições possíveis que o

eixo coordenado y poderá ocupar. Para um plano α haverá duas posições possíveis para o eixo

coordenado y .

Na intersecção do eixo coordenado y com a linha [ ]a tem-se a origem do referencial tri-

ortogonal, O .

A determinação da linha [ ]a e consequentemente da linha [ ] ''a faz-se como em 6.2.

Para determinar a intersecção do plano coordenado α com a superfície cónica utiliza-se um

plano auxiliar qualquer paralelo ao quadro. Este plano intersecta a superfície cónica segundo uma

circunferência [ ]c , de projecção ortogonal no quadro [ ] ''c .

Se se considerar o plano π tangente à superfície esférica [ ]α no ponto Y (note-se que este

plano contém o eixo ye da superfície cónica) verifica-se que este intersecta a superfície cónica

segundo uma geratriz g , de projecção ortogonal no quadro ''g . A geratriz g intersecta a

circunferência [ ]c no ponto E .

O plano π intersecta o plano coordenado α segundo a recta αi , de projecção ortogonal no

quadro ''αi . A recta αi intersecta o plano da circunferência [ ]c no ponto S . Pelo ponto S passa a

recta h paralela ao traço αt (intersecção do plano coordenadoα com o quadro) que corresponde à

intersecção do plano coordenado α com o plano da circunferência [ ]c .

A recta h intersecta a circunferência [ ]c nos pontos T e U por onde passam as rectas y e

1y que correspondem, considerado o plano coordenado α , às posições possíveis do eixo

coordenado y .

Para determinar graficamente estes pontos procede-se do seguinte modo:

Considera-se o rebatimento do plano π para o quadro. Com esta operação, conhecido o

valor de κ , pode representar-se a recta rg (geratriz g rebatida) que encontra a recta perpendicular

a ( )πt , conduzida pelo ponto ''E (projecção ortogonal do ponto E no quadro), no ponto rE (ponto

E rebatido). Pelo ponto rE conduz-se a recta rr SE . que encontra a recta riα (recta αi rebatida para

o quadro) no ponto rS (ponto S rebatido para o quadro). Pelo ponto rS conduz-se a recta ''h

78

(projecção ortogonal da recta h no quadro) paralela ao traço αt . A recta ''h intersecta a

circunferência [ ] ''c nos pontos ''T e ''U e intersecta a recta ''αi no ponto ''S .

Após determinado o eixo coordenado y , dado pela sua projecção ortogonal no quadro ''y

(apenas se está a considerar uma das soluções), é imediata a determinação do ponto C , ortocentro

do triângulo fundamental, e do ponto Z .

Determinado o ponto C , o problema reduz-se ao enunciado em 6.2.

6.4. Dados dois vértices do triângulo fundamental e as grandezas das projecções de três segmentos unitários, ux, uy e uz, e a direcção de projecção ortogonal ao quadro

Sejam dados os vértices do triângulo fundamental, X e Y , e as grandezas das projecções

de três segmentos unitários xu , yu e zu , e a direcção de projecção ortogonal ao quadro (fig. 21)9.

u

U

A B

C

D

MADE

U

Y X

t

[a]

[c]

x

uy

uz

uy ux

ux

uy

uz

Fig. 21

Nestas condições verifica-se:

2222 2Uuuu zyx =++

Recorde-se que, em função dos dados, deverá verificar-se a desigualdade:

222zyx uuu >+

9 Pode ser encontrado outro modo de resolver este problema no livro geometría descriptiva de F. Izquierdo Asenci,

pp. 172 e 173 (vidé bibliografia). Nessa resolução faz-se uso do teorema de Scholomilch e Weisbach, cujo enunciado pode aí ser encontrado.

79

Na construção indicada (à direita na figura) tem-se:

2222zyx uuuAD ++= donde 22

2UAD = .

A verificação da desigualdade 222zyx uuu >+ é feita através da circunferência [ ]a de centro no

ponto C e raio igual a AC . Como o ponto D pertence ao círculo delimitado por esta circunferência,

verifica-se a desigualdade.

Para construir U considera-se a semi-circunferência [ ]c , de diâmetro AD , passante pelos

pontos A e D . Conduz-se a mediatriz do segmento [ ]AD que intersecta a semi-circunferência [ ]c

no ponto E . Desta construção resulta que UEDAE == , uma vez que 222

ADEDAE =+ .

Determinada a unidade U podem determinar-se as inclinações ε e κ dos eixos

coordenados x e y . Para o efeito, considera-se uma semi-circunferência qualquer de diâmetro U .

Nesta inscrevem-se os segmentos xu e yu (nos termos da figura). Os ângulos que xu e yu fazem

com U são ε e κ , respectivamente.

Após determinados os ângulos ε e κ , a determinação do referencial é feita como em 6.2.

6.5. Dados dois vértices do triângulo fundamental e os eixos axonométricos

Sejam dados os vértices do triângulo fundamental, X e Y , e os eixos axonométricos 'x , 'y

e 'z concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal) (fig. 22).

XY t

A

BO'

y'

x'

z'

t t

[c ]

MXY

Y X

Fig. 22

80

Considere-se uma superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e centro no ponto XYM (ponto

médio do segmento [ ]XY . Esta superfície esférica contém o ponto O e intersecta o quadro segundo

a circunferência [ ]αc .

O eixo coordendado z passa pelo ponto O , é ortogonal à recta αt (traço do plano

coordenado α no quadro), é tangente à superfície esférica [ ]α , e intersecta o eixo axonométrico 'z

num ponto Z .

Considerem-se as rectas, Yt e Xt , tangentes à circunferência [ ]αc nos pontos X e Y ,

respectivamente. Estas rectas intersectam o eixo axonométrico 'z nos pontos A e B ,

respectivamente.

Como o eixo coordenado z é ortogonal ao traço αt , a sua projecção ortogonal no quadro é

perpendicular ao traço αt .

Sendo o eixo coordenado z tangente à superfície esférica [ ]α , a sua projecção ortogonal no

quadro está compreendida entre as rectas Yt e Xt . Logo o vértice Z do triângulo fundamental está

compreendido entre os pontos A e B .

Não sendo impostas mais condições, existe uma infinidade de posições possíveis que o eixo

coordenado z pode ocupar.

As posições possíveis que o eixo coordenado z pode ocupar correspondem às rectas

tangentes à superfície esférica [ ]α conduzidas pelos pontos da recta 'z (compreendidos entre os

pontos A e B ) e contidas em planos perpendiculares à recta αt (exceptuam-se as rectas Yt e Xt ).

Os pontos de tangência obtidos correspondem às posições possíveis para a origem do

referencial.

Concluindo, dados os eixos axonométricos e arbitrando os traços de dois eixos

coordenadados existe uma infinidade de referenciais tri-ortogonais que podem ser considerados como

tendo aquela projecção. Para limitar esta questão a um número finito de referenciais, outras condições

têm de ser impostas.

81

6.5.1. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, os eixos axonométricos, a projecção de um segmento unitário ux e a unidade U

Sejam dados os vértices do triângulo fundamental, X e Y , os eixos axonométricos 'x , 'y e

'z concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal), a projecção de

um segmento unitário xu e a unidade U (fig. 23).

t

O'

x' [x]

X

Y

y'

z'

Z

u

[c ]

MXY

Or

Or

x

Fig. 23

Considere-se uma superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e centro no ponto XYM (ponto

médio do segmento [ ]XY ). Esta superfície esférica contém o ponto O e intersecta o quadro segundo

a circunferência [ ]αc .

Por outro lado, a origem O do referencial tri-ortogonal está contida na superfície esférica de

raio U e centro X . Esta superfície intersecta o quadro segundo a circunferência [ ]x .

A origem, O , pertence à intersecção das duas superfícies esféricas.

Estas duas superfíces esféricas intersectam-se segundo uma circunferência cuja projecção

ortogonal no quadro coincide com o segmento [ ]'αα rr OO . Como este segmento é perpendicular ao

traço αt , está contido na projecção ortogonal do eixo coordenado z no quadro. Como tal, na

intersecção do prolongamento de [ ]'αα rr OO com o eixo axonométrico 'z tem-se o ponto Z , isto é, o

vértice do triângulo fundamental que se procurava.

Tendo os três vértices do triângulo fundamental, a questão reduz-se à enunciada em 6.1.

82

6.5.2. Dados dois vértices do triângulo fundamental, X e Y, os eixos coordenados, a projecção de um segmento unitário uz e a unidade U

Sejam dados os vértices do triângulo fundamental, X e Y , os eixos axonométricos 'x , 'y e

'z , a projecção de um segmento unitário zu e a unidade U (fig. 24). O ponto 'O comum aos três

eixos axonométricos é a projecção, no quadro, da origem, O , do referencial tri-ortogonal.

MXY

y' x'

Y X

m

e

x'

O' O'

Z

Y XX

t

t

M1=M S=S

u

1 2

3 4B

A

DD z'

[z ]

M XY

X

MX1Y1 M X1Y1

X M X2Y2

z '' =m

Y

[h]

i1

i2i

i 1

Z1

i

1

1 1i i 1

1i

i1i

i

i

ii

Fig. 24

Aparentemente semelhante à questão anterior, esta é de resolução mais complexa.

Conhecendo os pontos X e Y , isto é, a recta αt (traço do plano coordenado α no quadro),

é igualmente conhecida a direcção da projecção ortogonal do eixo coordenado z no quadro. Isto é,

''z (não representado na figura) é perpendicular à recta αt .

Considere-se uma translacção do referencial tri-ortogonal de modo que o vértice Z do

triângulo fundamental (não dado) coincida com o extremo 1Z (oposto ao ponto 'O ) do segmento zu .

83

Com centro no ponto 1Z , considera-se uma superfície esférica [ ]π de raio U . Esta superfície

esférica contém o ponto 1O e intersecta o quadro segundo a circunferência [ ]1z .

Nesta translacção o plano α passa à posição 1α ; a origem do referencial, O , passa à

posição 1O ; os eixos coordenados x , y e z passam às posições 1x , 1y e 1z , respectivamente; os

planos coordenados α , β e δ passam às posições 1α , 1β e 1δ , respectivamente. Os planos 1α ,

1β e 1δ intersectam o quadro segundo as rectas 1αt , 1βt e 1δt , respectivamente paralelas aos traços

αt , βt e δt .

O paralelismo mantém-se.

Considerada a translacção pode identificar-se a projecção ortogonal do eixo 1z no quadro,

isto é, a recta ''1z . A recta ''1z passa pelo ponto 1Z e é perpendicular ao traço αt .

Como a origem 1O pertence à superfície esférica [ ]π e ao eixo 1z , conclui-se que deverá

pertencer à circunferência [ ]c (contida na superfície esférica [ ]π ), cuja projecção ortogonal no quadro

coincide com o segmento [ ]AB (passante pelo ponto 1Z ).

Daqui resulta que o plano 1α deve ser tangente à superfíce esférica [ ]π num ponto da

circunferência [ ]c .

Para determinar o plano 1α devem determinar-se os pontos 1X e 1Y (traços dos eixos 1x e

1y no quadro) de tal modo que as distâncias do ponto 11YXM (ponto médio do segmento [ ]11YX ) aos

pontos 1X e 1Y sejam iguais à distância do ponto 11YXM ao ponto de tangência do plano 1α com a

superfície esférica [ ]π . Isto é, de tal modo que uma circunferência [ ]1c de diâmetro 11YX e centro

11YXM passe pelo ponto comum ao plano 1α e à circunferência [ ]c .

Para quaisquer pontos 1X e 1Y pertencentes aos eixos axonométricos 'x e 'y , o lugar

geométrico dos pontos 11YXM é a recta m passante pelos pontos 'O e XYM (ponto médio do

segmento [ ]XY ).

A recta m intersecta a recta ''1z no ponto iMM 11 ≡ .

84

Pelo ponto iMM 11 ≡ conduza-se a recta e perpendicular à recta ''1z .

A recta e intersecta o eixo axonométrico 'x no ponto iSS ≡ .

Considere-se a recta e como eixo de uma afinidade de direcção e .

Os pontos que pertencem à recta e são pontos duplos.

Esta afinidade transforma o ponto 'O no ponto iO' , a recta m na recta ''1zmi ≡ e o eixo

axonométrico 'x na recta ix' .

Para qualquer ponto 11YXM (ponto médio de um segmento [ ]11YX ) considerado na recta m ,

a sua distância ao ponto 1O (ponto de tangência do plano 1α com a superfície esférica [ ]π ) é a

hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetos são os segmentos [ ]iYXYX MM 1111 e [ ]111 OM iYX .

Marcado o valor desta hipotenusa sobre a recta 1αt a partir de iYXM11

(nos dois sentidos), o

lugar geométrico dos pontos iX1 e iY1 (extremos dos segmentos marcados) é a hipérbole [ ]ih , de

centro iD , passante pelos pontos 1, 2 , 3 e 4 (facto geométrico F2).

Pode determinar-se o ponto iX1 na intersecção da hipérbole [ ]ih com a recta ix' .

A recta perpendicular a ''1zmi ≡ passante pelo ponto iX1 é a recta 1αt .

Na interseccção da recta 1αt com o eixo axonométrico 'x tem-se o ponto 1X afim do ponto

iX1 .

Na interseccção da recta 1αt com o eixo axonométrico 'y tem-se o ponto 1Y .

Com efeito, a hipérbole [ ]ih , de centro no ponto iD , é afim de uma hipérbole [ ]h , de centro

no ponto iD afim do ponto D .

Note-se que, se o ponto de intersecção da recta ix' com a hipérbole [ ]ih pertencer à porção

de [ ]ih que está a traço-interrompido (na figura), a esse ponto não corresponde nenhuma solução. É

o caso do ponto iX 2 . Neste caso a recta 2αt , intersecta a circunferência [ ]1z , pelo que não é

possível haver um plano 2α tangente à superfície esférica [ ]π .

O triângulo [ ]111 ,, ZYX é homotético do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, , pelo que a

determinação deste último é directa.

85

Determinados os pontos X , Y e Z , a questão reduz-se à enunciada em 6.1.

6.6. Dados um vértice do triângulo fundamental, os eixos axonométricos e a direcção de projecção

Sejam dados o vértice Y do triângulo fundamental, os eixos axonométricos 'x , 'y e 'z

concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal), e a direcção 1d de

projecção (dada pela sua projecção ortogonal no quadro ''1d e pelo ângulo λ de inclinação com o

quadro; note-se que deste modo há duas direcções possíveis, pelo que se considera que os pontos

representados de rd1 - correspondendo rd1 ao rebatimento do plano definido por 1d e ''1d -

correspondem a pontos de 1d que estão “para cá” do quadro) (fig. 25).

d ''

d

Y=Y

O'

z'

y'

x'

r

d''//d ''d //d

r

O ''

X ''

t ''

D

D

O

C

t

X

Z

t

1=1

2=2

3=3

I

i

[c]

W t ''

1

1r

1

r 1r

r1 ra

r

r

r

r

1 r O ''1 r

Z ''1 r

z ''1 r

x ''1 r

t ''r

r

r

r

Fig. 25

Conduza-se pelo ponto Y um plano π perpendicular à recta 1d . Este plano intersecta o

quadro segundo a recta t .

A recta t é perpendicular à recta ''1d .

A recta t intersecta os eixos axonométricos 'x , 'y e 'z nos pontos 1, Y e 2 ,

respectivamente.

86

No plano π é produzida uma projecção ortogonal do referencial tri-ortogonal. O resultado

desta projecção corresponde aos eixos ''1x , ''1y e ''1z concorrentes no ponto ''1O (projecção da

origem, O , do referencial tri-ortogonal no plano π ).

Estes eixos axonométricos são afins dos eixos axonométricos dados. O eixo da afinidade é a

recta t e a direcção da afinidade é a da recta 1d . O triângulo fundamental da axonometria produzida

no plano π é afim do triângulo fundamental da axonometria, [ ]ZYX ,, , produzida no quadro.

Os eixos coordenados x , y e z intersectam o plano π nos pontos ''1X , Y e ''1Z ,

respectivamente.

Os planos coordenados α , β e δ intersectam o plano π segundo as rectas ''αt , ''βt e

''δt , respectivamente. A recta YXt '.''' 1≡α , a recta '''.''' 11 ZXt ≡β e a recta ''.'' 1ZYt ≡δ .

No plano π , eixos ''1x , ''1y e ''1z são perpendiculares às rectas ''δt , ''βt e ''αt ,

respectivamente, e passam pelos pontos 1, Y e 2 , respectivamente.

Para determinar o triângulo fundamental [ ]'',,'' 11 ZYX no plano π procede-se à seguinte

construção no espaço:

Pelo ponto 'O conduz-se uma recta d com a direcção de projecção.

A intersecção da recta d com o plano π corresponde ao ponto ''1O , ortocentro do triângulo

[ ]'',,'' 11 ZYX .

É de notar que se o ponto ''1O for exterior ao triângulo [ ]'',,'' 11 ZYX , a direcção de projecção

dada não pode ser admitida.

Pelos pontos 1 e 2 conduzem-se as rectas ''1x e ''1z , respectivamente.

Pelo ponto Y conduzem-se as rectas ''δt e ''αt perpendiculares a ''1x e a ''1z ,

respectivamente.

A recta ''δt intersecta a recta ''1z no ponto ''1Z .

A recta ''αt intersecta a recta ''1x no ponto ''1X .

Pelos pontos ''1Z e ''1X passa a recta ''βt que intersecta a recta t no ponto 3 .

87

A determinação gráfica destes pontos pressupõe o rebatimento do plano π para o quadro em

torno da recta t . Determinando o ponto rO ''1 (ponto ''1O rebatido para o quadro) e notando que

r11≡ , r22 ≡ e rYY ≡ , a construção no quadro segue-se pela ordem indicada.

Para determinar o ponto rO ''1 , considera-se um rebatimento auxiliar do plano ''.dd para o

quadro em torno da recta ''d .

O plano ''.dd intersecta o plano π segundo uma recta i perpendicular à recta d . A recta i

intersecta a recta t no ponto I .

No rebatimento do plano ''.dd tem-se rOO ''≡ e rII ≡ .

Por rOO ''≡ passa a recta rd (recta d rebatida) que faz ºλ com ''d .

Por rII ≡ passa a recta rai (recta i rebatida) perpendicular à recta rd .

As rectas rd e rai intersectam-se no ponto raO ''1 (ponto ''1O rebatido para o quadro em

torno da charneira ''d ).

Com centro no ponto rII ≡ e raio igual a αrIO ''1 descreve-se um arco de circunferência

que intersecta a recta rid ≡'' (sendo ri o rebatimento da recta i para o quadro, em torno da

charneira t ) no ponto rO ''1 (note-se que há duas posições possíveis para este ponto consoante o

sentido do rebatimento).

Construído o triângulo [ ]rr ZYX '',,'' 11 (triângulo [ ]'',,'' 11 ZYX rebatido para o quadro em

torno da charneira t ), é possível determinar a distância, D , da origem, O , do referencial tri-ortogonal

ao plano π , por meio da circunferência [ ]c , de diâmetro WZ r''1 , passante pelos pontos rZ ''1 e W

(esta construção faz-se como em 6.1.).

Marque-se a distância D , a partir do ponto raO ''1 , sobre a recta rd (considera-se a

marcação apenas para um dos lados) de modo a obter o ponto raO (rebatimento do ponto O para o

quadro em torno da charneira ''d ).

Pelo ponto raO conduz-se uma recta perpendicular à recta ''d que a intersecta no ponto C ,

ortocentro do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, . Note-se que COrα corresponde à distância da origem,

O , ao quadro.

88

Pelo ponto C conduz-se a recta CY . .

Pelo ponto 3 conduz-se a recta βt (traço do plano coordenado β no quadro) perpendicular

à recta CY . .

A recta βt intersecta os eixos axonométricos 'x e 'z nos pontos X e Z , respectivamente.

Conhecendo os vértices do triângulo fundamental X , Y e Z e a distância da origem, O ,

do referencial tri-ortogonal ao quadro, fica determinado o referencial.

6.7. Dados um vértice do triângulo fundamental, a direcção do eixo coordenado correspondente e os eixos axonométricos

Sejam dados o vértice Z do triângulo fundamental, os eixos axonométricos 'x , 'y e 'z

concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal) e a posição do eixo

coordenado z (dada pela sua projecção ortogonal no quadro, ''z , e pelo ângulo ϕ de inclinação com

o quadro; rz é o rebatimento do eixo coordenado z em torno da charneira ''z ; neste caso,

considera-se a origem O do referencial tri-ortogonal “para cá” do quadro). Note-se que, dar o ponto

Z e a direcção do eixo z , equivale a dar a posição de z (fig. 26).

z''z

O'

Z

[c]

t

z'

x'y'

t Y X

Y XI

I

OO''

O ''

P

M X1Y1

E

SE''

S''

j''

g''

i''

i

F=F

P

P''

r

1 r

1 1

1

r

1

r

ra

r

r

r

r

r

Fig. 26

89

Sendo conhecida a posição do eixo coordenado z , é também conhecida a orientação do

plano coordenado α , donde resulta que a recta αt (traço do plano coordenado α no quadro) é

perpendicular à recta ''z .

A recta αt deverá ser determinada de tal modo que pelos pontos X e Y (traços dos eixos

coordenados x e y no quadro, respectivamente) passe uma circunferência [ ]c (não representada na

figura), contida no plano coordenado α , que intersecte o eixo coordenado z . O ponto de intersecção

do eixo coordenado z com a circunferência [ ]c será a origem, O , do referencial tri-ortogonal.

Para quaisquer pontos 1X e 1Y pertencentes aos eixos axonométricos 'x e 'y ,

respectivamente, existe uma circunferência [ ]1c de diâmetro 11YX e centro no ponto 11YXM (ponto

médio do segmento [ ]11YX ) orientada segundo o plano α . O lugar geométrico de todas as

circunferências [ ]1c é uma superfíce cónica [ ]π de vértice no ponto 'O .

Os pontos de intersecção do eixo coordenado z com a superfície cónica [ ]π correspondem

às posições possíveis que a origem do referencial, O , pode ocupar.

Para os determinar, conduz-se um plano auxiliar pelo eixo coordenado z (neste caso é

conveniente considerar o plano que contém eixo coordenado 'z , designado doravante por plano

'.zz ).

O plano '.zz intersecta a superfície cónica [ ]π segundo duas geratrizes g e j .

As geratrizes g e j intersectam o eixo coordenado z nos pontos O e 1O (posições

possíveis para a origem do referencial tri-ortogonal).

Para a determinação gráfica procede-se do seguinte modo:

Conduz-se um plano 1α qualquer com a orientação α .

O plano 1α intersecta o quadro segundo a recta 1αt perpendicular à recta ''z .

A recta 1αt intersecta os eixos axonométricos 'x e 'y nos pontos 1X e 1Y , respectivamente.

Pelos pontos 1X e 1Y passa a circunferência [ ]1c contida no plano 1α . Esta circunferência

está representada pela circunferência [ ]rc1 (circunferência [ ]1c rebatida para o quadro em torno da

charneira 1αt ).

90

O plano definido pelas rectas ''z e z intersecta o plano 1α segundo uma recta a .

A recta a vem representada pela sua projecção ortogonal no quadro, '''' za ≡ , e pelo seu

rebatimento para o quadro, raa , em torno da charneira ''z . A recta raa é perpendicular à recta rz

porque o plano 1α é perpendicular ao eixo coordenado z .

A recta a intersecta as rectas ''z e 1αt no ponto rII ≡ .

O ponto comum às rectas a e z é o ponto P (dado pelo seu rebatimento para o quadro,

raP , em torno da recta ''z , o que permite determinar a sua projecção ortogonal no quadro, ''P ).

O plano '.zz intersecta o plano 1α segundo uma recta i .

A recta i passa pelo ponto rFF ≡ (ponto de intersecção do eixo axonométrico 'z com a

recta 1αt ; no rebatimento do plano 1α para o quadro, este ponto é fixo) e pelo ponto P .

A recta ri (recta i rebatida para o quadro em torno da charneira 1αt ) passa pelo ponto

rFF ≡ e pelo ponto rP (ponto P rebatido para o quadro em torno da charneira 1αt ; note-se que há

duas posições possíveis para este ponto consoante o sentido do rebatimento).

A projecção ortogonal da recta i no quadro, ''i , passa pelos pontos rFF ≡ e ''P .

A recta i intersecta a circunferência [ ]1c nos pontos E e S .

Pelos pontos E e S passam as geratrizes g e j resultantes da intersecção do plano '.zz

com a superfície cónica [ ]π .

A recta ri intersecta a circunferência [ ]rc1 nos pontos rE e rS (pontos E e S rebatidos

para o quadro em torno da charneira 1αt ).

A partir dos pontos rE e rS podem determinar-se os pontos ''E e ''S sobre a recta ''i .

Pelo ponto 'O e pelos pontos ''E e ''S passam as rectas ''g e ''j , respectivamente.

As rectas ''g e ''j intersectam a recta ''z nos pontos ''O e ''1O (projecções verticais dos

pontos O e 1O ; apenas considera o ponto O ).

Pelo ponto ''O conduz-se uma recta paralela à recta raPP '.' .

Esta recta intersecta a recta rz no ponto rO (ponto O rebatido para o quadro em torno da

charneira ''z ). A distância ''OOr é a distância da origem do referencial ao quadro, e o ponto ''O é o

ortocentro do triângulo fundamental.

91

Pelo ponto rO conduz-se uma recta rab paralela à recta raa .

Esta recta intersecta a recta ''z no ponto I .

Pelo ponto I passa a recta αt (traço do plano coordenado α no quadro) paralela à recta

1αt .

A recta αt intersecta os eixos axonométricos 'x e 'y nos pontos X e Y , respectivamente.

Determinados os pontos X , Y , Z e O , o referencial fica definido.

6.8. Dados um vértice do triângulo fundamental, a direcção de um eixo

coordenado não correspondente ao vértice dado, e os eixos axonométricos

Seja dado o vértice Y do triângulo fundamental, os eixos axonométricos 'x , 'y e 'z

concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal), e a direcção do eixo

coordenado z (dada pela projecção ortogonal no quadro de uma recta 1z paralela ao eixo

coordenado z , ''1z , e pelo ângulo ϕ de inclinação com o quadro; rz1 é o rebatimento da recta 1z

para o quadro em torno da charneira ''1z ; neste caso consideraremos a origem O do referencial tri-

ortogonal “para cá” do quadro) (fig. 27).

y'

t Y X

x'

z ''

z

r

O'

z'

Z

Zzz ''

P

P'

ii

[c ]

[e]'

MXY I

1r

1

1r

12 2r

r

2r

Fig. 27

Sendo dada a direcção do eixo coordenado z , é conhecida a orientação do plano

coordenado α . Como tal, pode conduzir-se pelo ponto dado, Y , a recta αt (traço do plano

92

coordenado α no quadro) perpendicular à recta ''1z . A recta αt intersecta o eixo axonométrico 'x no

ponto X .

Pelos pontos X e Y passa uma superfície esférica [ ]α de diâmetro XY e centro no ponto

XYM (ponto médio do segmento [ ]XY ).

A superfície esférica [ ]α contém o ponto O e intersecta o quadro segundo a circunferência

[ ]αc de diâmetro XY passante pelos pontos X e Y .

O plano coordenado α intersecta a superfície esférica [ ]α segundo uma circunferência [ ]e

(não representada na figura).

O ponto O pertence à circunferência [ ]e .

A projecção da circunferência [ ]e , no quadro, segundo a direcção do eixo coordenado z

corresponde a uma elipse [ ]'e que intersecta o eixo axonométrico 'z no vértice Z do triângulo

fundamental.

Para determinar o ponto Z procede-se do seguinte modo:

O plano coordenado α intersecta o plano definido pelas rectas 1z e ''1z (doravante

designado plano ''. 11 zz ) segundo uma recta 1i perpendicular à recta 1z .

Conduza-se pelo ponto XYM um plano paralelo ao plano ''. 11 zz , designado por plano ''. 22 zz

(sendo 2z e ''2z rectas paralelas às rectas 1z e ''1z , respectivamente).

O plano ''. 22 zz intersecta o plano coordenado α segundo uma recta 2i paralela à recta 1i .

A recta 2i passa pelo ponto XYM e intersecta a superfície esférica [ ]α num ponto P da

circunferência [ ]e . Note-se que a recta tangente à circunferência [ ]e , no ponto P , é paralela à recta

αt e perpendicular à recta 2i . Daqui resulta que a projecção do ponto P no quadro, isto é, 'P ,

segundo a direcção do eixo coordenado z , é um extremo do eixo maior da elipse [ ]'e , donde o

segmento [ ]XY é o seu eixo menor.

Para a determinação gráfica:

Conduz-se pelo ponto XYM uma recta ri2 (recta 2i rebatida para o quadro em torno da recta

''2z ).

93

A recta ri2 intersecta a circunferência [ ]αc no ponto rP (ponto P rebatido para o quadro em

torno da recta ''2z ).

Pelo ponto rP conduz-se a recta rz2 (recta 2z rebatida para o quadro em torno da recta

''2z ).

A recta rz2 intersecta a recta ''2z no ponto 'P .

Determinado o ponto 'P pode conduzir-se a elipse [ ]'e .

A elipse [ ]'e intersecta o eixo axonométrico 'z nos pontos Z e 1Z .

Os pontos Z e 1Z são os pontos possíveis para a intersecção do eixo coordenado z com o

quadro (apenas é considerado o ponto Z ).

Determinados os pontos X , Y e Z esta questão reduz-se à enunciada em 6.1.

6.9. Dados um vértice do triângulo fundamental, os eixos axonométricos, as projecções de dois segmentos unitários, e a unidade U

Sejam dados um vértice do triângulo fundamental, Y , os eixos axonométricos 'x , 'y e 'z

concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal), as projecções de

dois segmentos unitários, xu e yu , e a unidade U (fig. 28). Para efeitos de simplificação da

resolução, considera-se o ponto Y no extremo do segmento yu . Contudo é de notar que, sendo dado

o ponto Y não coincidente com o extremo de yu , a resolução é em tudo similar.

O'

uu

Y

z'

X

y'x'

A B

C

D[u]

t

[c]'

y

x

Fig. 28

Os segmentos xu e yu são projecções de dois segmentos unitários U que fazem º90 entre

si no ponto O . Pelos extremos dos segmentos unitários xu e yu passa uma circunferência [ ]c de

94

centro O contida no plano coordenado α . Os segmentos unitários U são semidiâmetros

conjugados da circunferência [ ]c .

Os segmentos xu e yu são semi-diâmetros conjugados de uma elipse [ ]'c . A elipse [ ]'c

pode ser considerada como projecção cilíndrica da circunferência [ ]c desde que a medida de U

esteja compreendida entre as medidas dos eixos menor e maior da elipse [ ]'c (facto geométrico F3).

Com centro no ponto 'O considere-se a circunferência [ ]u de raio U contida no quadro.

Como a circunferência [ ]u intersecta a elipse [ ]'c nos pontos A , B , C e D , os diâmetros

[ ]AB e [ ]CD podem ser considerados (de dois modos diferentes) como projecção do diâmetro de

[ ]c paralelo ao quadro (para desenvolvimento da questão considera-se apenas o segmento [ ]AB ).

A direcção do diâmetro [ ]AB é, portanto, a direcção da recta αt (traço do plano coordenado

α no quadro).

Pelo ponto Y conduz-se a recta αt , com a direcção de [ ]AB , determinando o ponto X no

eixo axonométrico 'x .

Neste momento a questão reduz-se à enunciada em 6.5.1.

A questão não sofre alterações significativas se for dado o ponto Z em alternativa ao ponto

Y . Pode sempre considerar-se um ponto 1Y no extremo do segmento yu , o que permite determinar

um ponto 1X no eixo axonométrico 'x . O triângulo [ ]111 ,, ZYX que se obtém deste modo é

homotético do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, .

6.10. Dados um vértice do triângulo fundamental, os eixos axonométricos, e as projecções de três segmentos unitários ux, uy e uz (teorema de Pohlke-Schwarz)

Sejam dados um vértice do triângulo fundamental, Y , os eixos axonométricos, 'x , 'y e 'z ,

concorrentes no ponto 'O (projecção da origem, O , do referencial tri-ortogonal), e as projecções de

três segmentos unitários, xu , yu e zu (fig. 29).

95

u

u

u

u

u u

A

B

C

Di

B

A

D

z'[e]'

m

M

N

n

[u]

O'

O'e

d

T

[c]'Y

y'

x'

U

1

y

z

x

xi

i

i

ziyi

i

1r

i

i

i

Fig. 29

À semelhança da situação anterior, cada par de segmentos pode ser considerado como semi-

diâmetros conjugados de elipses que são projecção de circunferências de raio U . Cada uma das

circunferências está contida num plano coordenado e todas têm centro na origem do referencial O .

As três circunferências estão contidas numa superfície esférica [ ]π de centro O e raio U .

A questão resume-se a determinar a elipse [ ]'e de centro no ponto 'O que resulta da

projecção da superfície esférica [ ]π e que é tangente às três elipses referidas anteriormente.

O eixo menor desta elipse corresponderá à unidade U , isto é, ao raio da esfera [ ]π (facto

geométrico F4).

Para determinar a elipse [ ]'e procede-se, por exemplo, do seguinte modo:

Conduz-se pelo extremo do segmento xu , oposto ao ponto 'O , uma recta e paralela ao eixo

axonométrico 'y .

A recta e vai ser tomada como eixo de uma afinidade que transforma a elipse [ ]'c (não

representada na figura) de semi-diâmetros conjugados xu e yu na circunferência [ ] ic ' , de semi-

96

diâmetros conjugados xiu e yiu , nos termos da figura 29. A direcção da afinidade é dada pela recta

d que passa pelos pontos 'O e iO' .

Nesta transformação geométrica, os segmentos xu , yu e zu são tranformados nos

segmentos xiu , yiu e ziu (de extremos iO' e 1), respectivamente.

As elipses [ ]'b , de semi-diâmetros conjugados xu e zu , e [ ]'a , de semi-diâmetros

conjugados yu e zu , são tranformadas nas elipses [ ] ib ' de semi-diâmetros conjugados xiu e ziu , e

[ ] ia ' , de semi-diâmetros conjugados yiu e ziu , respectivamente (nenhuma destas elipses está

representada na figura).

A elipse [ ]'e é transformada na elipse [ ] ie ' .

Independentemente da afinidade, também a elipse [ ] ie ' pode ser considerada como projecção

de uma superfície esférica [ ]1π , de raio 1U e centro num ponto 1O .

As elipses [ ] ia ' , [ ] ib ' e a circunferência [ ] ic ' podem ser consideradas como projecção de

três circunferências [ ]1a , [ ]1b , e [ ]1c contidas na superfície esférica [ ]1π , todas com centro no ponto

1O e contidas em planos perpendiculares entre si.

Como [ ] ic ' é uma circunferência, pode considerar-se a circunferência [ ]1c contida num plano

paralelo ao quadro.

Neste caso, 1U é igual aos comprimentos de xiu e yiu , uma vez que estes são semi-

diâmetros conjugados da circunferência [ ] ic ' .

Daqui resulta que ziu pode ser considerado como projecção de um segmento 1U

perpendicular ao quadro.

A direcção da projecção da superfíce esférica [ ]1π segundo a elipse [ ] ie ' tem projecção

ortogonal no quadro com a direcção de ziu .

O eixo menor da elipse [ ] ie ' é o segmento [ ]ii BA , passante pelo ponto iO' , e perpendicular

ao segmento ziu . Os pontos iA e iB pertencem à circunferência [ ] ic ' .

Os extremos do eixo maior situam-se, obviamente, no prolongamento da recta que contém o

segmento ziu . Rebatendo o plano perpendicular ao quadro que passa por ziu , pode identificar-se o

ângulo π da projecção de [ ]1π no quadro. Este plano intersecta a superfície esférica [ ]1π segundo

uma circunferência cujo rebatimento pode ser considerado coincidente com [ ] ic ' . Conduzindo uma

97

recta tangente à circunferência [ ] ic ' , com a direcção de 1.iA , determina-se o ponto iC . O ponto iC

é um dos extremos do eixo maior da elipse [ ] ie ' (não representada no desenho). O outro extremo do

eixo maior é o ponto iD .

Voltando a considerar a afinidade, os eixos maior, [ ]ii DC , e menor, [ ]ii BA , da elipse [ ] ie '

são afins de dois diâmetros conjugados da elipse [ ]'e .

O eixo-menor desta elipse , [ ]mn , corresponde ao diâmetro da superfície esférica [ ]π .

O eixo-maior desta elipse, [ ]MN , corresponde à direcção da projecção ortogonal no quadro

da direcção de projecção da superfície esférica [ ]π .

Neste momento a questão reduz-se à enunciada em 6.9.

Este resultado é equivalente ao enunciado de um teorema fundamental da axonometria que

se passa a citar:

Teorema de Pohlke-Schwarz: Três segmentos ux, uy e uz com um extremo comum, e tais que não estejam os três alinhados, mas

sem excluir que dois estejam alinhados ou sejam coincidentes, podem sempre considerar-se, em

geral de quatro modos diferentes, como projecção de três segmentos unitários, iguais,

perpendiculares entre si e com um extremo em comum, a posição dos quais é determinada por meio

de uma translacção arbitrária na direcção de projecção.10

Com efeito, existem duas direcções de projecção, simétricas relativamente ao quadro. Para

cada direcção de projecção existem duas orientações de referencial possíveis, simétricas

relativamente à orientação ortogonal à direcção de projecção.

10 Tradução adaptada do enunciado do Teorema de Pohlke presente em FONDAMENTI GEOMETRICI DELLA

RAPPRESENTAZIONE PROGETTUALE E TECNICA DELL’ ARCHITETTURA, p. 72 (vidé bibliografia).

98

7. Representação axonométrica das figuras geométricas elementares, ponto, recta e plano, através dos rebatimentos dos planos coordenados

Neste capítulo consideram-se as designações atrás adoptadas, pelo que aqui não serão

especificadas.

Em todo o caso, antes de passar às questões da representação, é conveniente fazer algumas

considerações no que concerne à disposição do referencial, bem como a algumas convenções e

simplificação de notação.

Neste trabalho, sempre que se representar em axonometria, consideram-se:

a) a origem do referencial “para lá” do quadro;

b) os vértices do triângulo fundamental como estando contidos nos semi-eixos coordenados

positivos;

c) a recta αt paralela à margem inferior da folha de desenho;

d) o ponto Y à esquerda do pontos X e Z , e acima da recta αt ;

e) o sentido positivo dos eixos axonométricos notado por uma seta no limite dos segmentos

que os representam;

f) a designação dos eixos axonométricos apenas referida por x , y e z ;

g) a designação da projecção da origem do referencial por O (e não por 'O , por uma questão

de simplificação de notação);

h) o plano coordenado α associado à orientação HORIZONTAL e o eixo coordenado z

associado à direcção VERTICAL;

i) o semi-eixo coordenado y positivo fica à esquerda do semi-eixo coordenado x positivo

quando “observados” a partir de um ponto do semi-eixo coordenado z positivo;

j) um ponto A ou uma recta a rebatidos para o quadro, pelo rebatimento de um plano π ,

notados por πrA ou πra ;

k) a projecção ortogonal no plano coordenado α designada por PROJECÇÃO HORIZONTAL

e será notada por ‘ ;

l) a projecção ortogonal no plano coordenado β designada por PROJECÇÃO VERTICAL e

será notada por ‘’ ;

m) a projecção ortogonal no plano coordenado δ designada por PROJECÇÃO LATERAL e

será notada por ‘’’ .

99

É de notar que, em geral, se a axonometria for ortogonal, alguns traçados ficam mais

simplificados. Esses traçados podem ser deduzidos directamente dos traçados efectuados, pelo que

não serão aqui considerados.

Sejam dados um triângulo fundamental [ ]ZYX ,, e os eixos axonométricos.

7.1. O Ponto

• Um ponto qualquer fica definido pelas distâncias aos planos coordenados. Estas distâncias

designam-se por COORDENADAS DO PONTO e podem ser POSITIVAS ou NEGATIVAS consoante

os sentidos dos eixos coordenados.

As coordenadas de um ponto são dadas por um conjunto de três números reais colocados

entre parêntesis e separados por vírgula.

O primeiro valor corresponde à distância do ponto ao plano coordenado δ e designa-se por

COORDENADA X do ponto, ou ABCISSA.

Analogamente, têm-se a COORDENADA Y, ou AFASTAMENTO, e a COORDENADA Z, ou

COTA.

Genericamente, as coordenadas de um ponto P vêm dadas por ( )PPP ZYX ,, em índice, isto

é, ( )PPP ZYXP ,,

• Para representar um ponto ( )PPP ZYXP ,, recorre-se aos rebatimentos dos planos coordenados

(fig. 30).

Y=Y X=X =X

Z=Z

xy

z

O

yx

O

t =t

Y

P'

t =tO

z

P''P'''

P

C

p

p

1=1

q

2=2

q

t

P

X P

Z P

Y P

X P

Z P

MXY

ZXMYZM

[c ]

[c ]

r

r

r

rr

r

r

r

rr

r

r

r

r

r

r

r

Fig. 30

100

Para representar as coordenadas PX e PY recorre-se ao rebatimento do plano coordenado

α para o quadro. Neste rebatimento, a origem do referencial descreve um arco de circunferência

contido num plano perpendicular à charneira αt , e, por conseguinte, perpendicular ao quadro. Este

plano intersecta o quadro segundo a recta αrp , perpendicular à recta αt , conduzida pelo ponto Z

(esta recta contém o ponto C , ortocentro do triângulo fundamental, e intersecta a recta αt no ponto

1), e intersecta o plano coordenado α segundo a recta p (perpendicular

ao traço αt ).

Logo, a recta αrp deverá conter o ponto αrO .

Por outro lado, os eixos coordenados x e y são perpendiculares entre si na Origem do

referencial, pelo que as rectas αrx e αry deverão ser perpendiculares no ponto αrO .

Como os pontos X e Y são pontos fixos do rebatimento, porque pertencem à charneira,

tem-se que αrXX ≡ e αrYY ≡ . Por estes pontos passam as rectas αrx e αry .

Portanto, o ponto αrO deverá estar contido na circunferência [ ]αc de diâmetro XY e centro

no ponto XYM (apenas está representada uma semi-circunferência).

O ponto αrO resulta da intersecção da recta αrp com a circunferência [ ]αc (note-se que há

duas posições possíveis para αrO consoante o sentido do rebatimento).

Tendo as rectas αrx e αry , podem marcar-se sobre estas, as coordenadas αPrX e αPrY ,

respectivamente. As projecções destas coordenadas deverão estar contidas nos eixos axonométricos

x e y . Para as obter conduzem-se pelos pontos αPrX e αPrY rectas paralelas à recta αrp . Pelos

pontos de intersecção destas com a recta αt conduzem-se rectas paralelas à recta p . Na

intersecção destas com x e y têm-se, respectivamente, PX e PY .

Para determinar PZ procede-se de forma análoga.

Pelo ponto PX conduz-se uma recta paralela ao eixo y . Pelo ponto PY conduz-se uma recta

paralela ao eixo x . Estas duas rectas intersectam-se no ponto 'P .

Analogamente obtêm-se ''P e '''P .

101

Pelo ponto 'P conduz-se uma recta paralela ao eixo z .

Pelo ponto ''P conduz-se uma recta paralela ao eixo y .

Pelo ponto '''P conduz-se uma recta paralela ao eixo x .

Estas rectas intersectam-se no ponto P .

O paralelepípedo [ ]PPZPXPYO PPP ,''',,'',,',, designa-se por PARALELEPÍPEDO DAS

COORDENADAS DE P.

7.2. A Recta

• Uma recta fica definida por dois pontos.

Sejam dados dois pontos P e Q (fig, 31). Neste caso consideram-se apenas as suas

projecções horizontais.

Y X

Z

xy

O

t

P'

PQ'

Qa

a'=i'

H=H'

V'=2'

V=V'' W=W'''

W'

N

N'

1=1'

2=2''

i

t

t

Fig.31

Os pontos P e Q definem a recta a . A sua projecção horizontal, 'a , passa pelos pontos 'P

e 'Q .

Podem determinar-se os PONTOS NOTÁVEIS da recta a , isto é, os pontos de intersecção da

recta com os planos coordenados e com o quadro.

102

Designam-se por H , V , W e N os pontos de intersecção da recta a com os planos

coordenados α , β e δ , e com o quadro, respectivamente.

H é o TRAÇO HORIZONTAL, V é o TRAÇO VERTICAL, W é o TRAÇO LATERAL e N é

o TRAÇO NATURAL.

Para determinar H , ponto de cota 0, é suficiente intersectar a recta a com a sua projecção

horizontal 'a .

Para determinar V , ponto de afastamento 0, intersecta-se a recta 'a com o eixo x

determinando o ponto 'V . Por 'V conduz-se uma recta paralela ao eixo z que intersecta a recta a

no ponto V .

Para determinar W , ponto de abcissa 0, intersecta-se 'a com o eixo y determinando o

ponto 'W . Por 'W conduz-se uma recta paralela ao eixo z que intersecta a recta a no ponto W .

Para determinar N , considera-se a recta i , de intersecção do plano '.aa com o quadro. A

recta i intersecta a recta a no ponto N .

• As rectas podem ser classificadas segundo as suas direcções relativamente aos eixos e

planos coordenados. Assim tem-se:

RECTAS DE FRENTE (rectas paralelas ao plano coordenado β )

RECTAS DE NÍVEL (rectas paralelas ao plano coordenado α )

RECTAS DE PERFIL (rectas paralelas ao plano coordenado δ )

RECTAS VERTICAIS (rectas paralelas ao eixo coordenado z )

RECTAS DE TOPO (rectas paralelas ao eixo coordenado y )

RECTAS FRONTO-HORIZONTAIS (rectas paralelas ao eixo coordenado x )

RECTAS OBLÍQUAS (rectas oblíquas aos três eixos e planos coordenados)

7.3. O Plano

• Um plano fica definido por três pontos. Três pontos permitem definir rectas do plano.

Considere-se um plano π definido por duas rectas, a e b , concorrentes num ponto P (fig. 32).

103

YX

Z

xy

O

t

t

t

v

h

w

b'

b

a

a'

P'

P

n

X

Y

Z

2

1

N

N

a

b

Fig. 32

Pelos pontos notáveis das rectas a e b passam as RECTAS NOTÁVEIS do plano π , isto é,

as rectas de intersecção do plano π com os planos coordenados e com o quadro.

Designam-se por πh , πv , πw e πn os traços do plano π nos planos coordenados α , β e

δ , e no quadro, respectivamente.

πh é o TRAÇO HORIZONTAL, πv é o TRAÇO VERTICAL, πw é o TRAÇO LATERAL e πn é

o TRAÇO NATURAL.

O traço πh , recta de cota 0, fica definida pelos traços horizontais de a e b .

O traço πv , recta de afastamento 0, fica definida pelos traços verticais de a e b .

O traço πw , recta de abcissa 0, fica definida pelos traços laterais de a e b .

O traço πn , recta do quadro, passa pelos pontos 1, 2 e 3 . O ponto 1 resulta da intersecção

dos traços αt e πh . O ponto 2 resulta da intersecção dos traços βt e πv . O ponto 3 (não

representado) resulta da intersecção dos traços δt e πw . A recta πn passa pelos traços naturais das

rectas a e b , os pontos aN e bN , respectivamente.

104

• Os planos podem ser classificados segundo as suas orientações relativamente aos eixos e

planos coordenados. Assim tem-se:

PLANOS DE FRENTE (planos paralelos ao plano coordenado β )

PLANOS DE NÍVEL (planos paralelos ao plano coordenado α )

PLANOS DE PERFIL (planos paralelos ao plano coordenado δ )

PLANOS VERTICAIS (planos paralelos ao eixo coordenado z )

PLANOS DE TOPO (planos paralelos ao eixo coordenado y )

PLANOS DE RAMPA (planos paralelos ao eixo coordenado x )

PLANOS OBLÍQUOS (planos oblíquos aos três eixos e planos coordenados)

105

8. Restituição das grandezas inerentes ao ponto, recta e plano, dadas as suas representações

Embora se tenha feito a opção de separar as questões da representação e da restituição por

razões metodológicas, é facto que na restituição também se representa. Por isso é fácil perceber que

os traçados inerentes à restituição também servem para representar. Por exemplo, o rebatimento de

um plano permite a representação de uma figura nele contida pela operação inversa, isto é, pelo

contra-rebatimento.

À semelhança do capítulo anterior, se a axonometria for ortogonal, alguns traçados ficam mais

simplificados.

Sejam dados um triângulo fundamental [ ]ZYX ,, , e os eixos axonométricos.

8.1. O Ponto

Seja dada a representação de um ponto P (dada por P , 'P , ''P e '''P ) (fig. 33)

Y

Z

xy

z

O

t

X

Y

P'

Z

P''

P'''

P

X

t

t

P

t

t

t

P

3

21

6

5 4X

X

Y

Y

Z

1 P1 1

1 12

2

1

r

1P

P

Fig. 33

• Determinar as coordenadas do ponto P a partir da sua representação corresponde a

executar, pela ordem inversa, os traçados respeitantes à marcação do ponto dadas as suas

coordenadas. Nesse sentido pode seguir-se o exposto na figura 30, pelo que não se farão mais

considerações.

106

• Acrescenta-se a determinação da distância do ponto P ao quadro.

Pelo ponto P conduzem-se os planos 1α , 1β e 1δ paralelos aos planos coordenados α , β

e δ , respectivamente.

O plano 1α intersecta o quadro segundo a recta αα tt //1 (passante pelos pontos 4 e 5 ).

O plano 1β intersecta o quadro segundo a recta ββ tt //1 (passante pelos pontos 2 e 3 ).

O plano 1δ intersecta o quadro segundo a recta δδ tt //1 (passante pelos pontos 1 e 6 ).

O ortocentro do triângulo [ ]111 ,, ZYX , isto é, o ponto 1P , é a projecção ortogonal do ponto P

no quadro.

Por exemplo, através do rebatimento, para o quadro, do plano perpendicular ao quadro

passante pelos pontos P e 1X (plano que contém a distância 1PP ) pode determinar-se a verdadeira

grandeza da distância de P ao quadro dada pelo segmento [ ]rPP (este traçado é, em tudo, similar

ao efectuado em 6.1.).

8.2. A Recta

Seja dada a representação de uma recta a (dada por a e 'a ).

• Determinar as coordenadas de pontos da recta reduz-se ao que já foi enunciado

anteriormente.

Determinando, por exemplo, as coordenadas X e Y de dois pontos da recta, pelo

rebatimento do plano coordenado α , pode determinar-se o ângulo que a sua projecção horizontal faz

com os eixos coordenados x e y .

De forma análoga, podem determinar-se os ângulos da projecção vertical com os eixos

coordenados x e z , e da projecção lateral com os eixos coordenados y e z .

• Acrescenta-se a isto a determinação dos ângulos que medem as inclinações da recta

relativamente aos planos coordenados.

Isto remete-nos para a utilização do plano, pelo que será tratado em 8.3.

107

8.3. O Plano

Começa por determinar-se, por exemplo, o ângulo μ , que mede a inclinação da recta

relativamente ao plano coordenado α (fig. 34).

Z

xy

z

O

a

1=1 =1

t

t

Y=Y X=X t =t

O

x

3

3

2=2

3

v

h =a'=n'

h =a'

v

n =n

F=F

Hr

H

I=I

r

r

r

r

r

r

r

rr

r

r

r

r

r r

r

r

ar

Fig. 34

Conduz-se pela recta um plano vertical π (note-se que este plano contém o ângulo μ , que é

o ângulo que recta a faz com a sua projecção horizontal 'a ).

De seguida, determina-se o traço natural, πn , do plano π . A recta πn será a charneira do

rebatimento, do plano π para o quadro, que permitirá colocar μ em verdadeira grandeza.

A recta πn passa pelo ponto 1 (intersecção das rectas πh e αt ) e pelo ponto 2 (intersecção

das rectas πv e βt ).

Como o plano π é vertical, então o traço πv é perpendicular ao traço πh no ponto 3

(intersecção dos dois traços). Logo, o ponto πr3 pertence a uma circunferência de diâmetro 12

passante pelos pontos 1 e 2 (apenas está representada uma semi-circunferência; note-se que

existem duas posições possíveis para o ponto πr3 consoante o sentido do rebatimento).

Para determinar o ponto πr3 é necessário conhecer a verdadeira grandeza do segmento [ ]31

(ou [ ]32 ), o que pode ser determinado pelo rebatimento do plano coordenado α . Neste rebatimento

os pontos αr11≡ e αr3 pertencem à recta αrx .

108

Com centro no ponto πα rr 11 ≡ , descreve-se o arco πα rr 33 . Este intersecta a semi-

circunferência de diâmetro 12 no ponto πr3 .

Os pontos πr3 e πr1 definem a recta ππrh .

Oo pontos πr3 e πr2 definem a recta ππrv .

A recta a intersecta a recta πππ rnn ≡ num ponto πrFF ≡ .

Pelo ponto H conduz-se um recta paralela à recta πr3.3 que intersecta a recta ππrh no

ponto πrH .

Os pontos πrH e πrFF ≡ definem a recta πra .

O ângulo πμr que a recta ππrh faz com a recta πra é a verdadeira grandeza do ângulo μ .

Para determinar as inclinações da recta a relativamente aos planos coordenados β e δ

procede-se de forma análoga.

• A determinação da inclinação da recta a relativamente ao quadro passa por conduzir por

um ponto aP∈ qualquer uma recta p perpendicular ao quadro (na verdade este procedimento é

geral quer se trate do quadro ou de outro plano qualquer) (fig. 35), isto é, conduz-se pela recta a um

plano perpendicular ao quadro (ou perpendicular a outro plano se for caso disso).

Y X

Z

xy

O

t

t

t

p '

p '''

P

P'

P''' p'''

p'p

a'

a

Z

X

1

1

1

1

Fig. 35

109

O ângulo que a recta a faz com a recta p é complementar do ângulo pretendido.

Pode determinar-se a recta de intersecção, i , do plano pa. com o quadro (ou com outro

plano se for caso disso). O ângulo que a recta a faz com a recta i é o ângulo pretendido (a recta i

não está representada na figura).

Para conduzir a recta p faz-se uso do teorema segundo o qual:

“Se uma recta a é perpendicular a um plano α, a sua projecção ortogonal num plano β é perpendicular

à recta comum a α e β”.

A recta 1p , de projecção horizontal '1p , e de projecção lateral '''p , é uma recta

perpendicular ao quadro conduzida pelo ponto O .

Assim sendo, a recta 'p é paralela à recta '1p e a recta '''p é paralela à recta '''1p (se se

tratasse de outro plano, poderia conduzir-se, por exemplo, 'p através do rebatimento do plano

coordenado α ).

Conhecidas as projecções 'p e '''p pode conduzir-se a recta p .

A determinação do ângulo entre as rectas a e p faz-se através do rebatimento do plano

pa. .

Para não tornar a figura 35 ilegível, tratar-se-á do rebatimento do plano noutra figura.

• Trate-se agora do rebatimento de um plano.

Embora esta questão tenha sido suscitada pela anterior, será resolvida de forma

independente.

Aproveita-se generalizar a operação REBATIMENTO11 a qualquer tipo de plano.

Seja dado um plano π através dos seus traços, πh , πv , πw e πn . O traço πn é a charneira

do rebatimento do plano π para o quadro (fig. 36).

11 Recorde-se que o movimento de rebatimento pressupõe a existência de dois planos não paralelos entre si.

O rebatimento é o movimento que um deles descreve, em torno da recta comum aos dois, até ficar coincidente com o outro. Neste movimento todos os pontos descrevem arcos de circunferência contidos em planos perpendiculares à charneira, isto é, em planos simultâneamente perpendiculares aos dois planos dados.

110

Y

X

Z=Z =Z

xy

z

O

t

t =t

t v

h

w

n =n

X

Y Z

Z

1=1 =1

O

Z

2=2 =2

Z

O

t =t v w

rr

r

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r r

r

Fig. 36

O traço πw intersecta a recta δt no ponto 2 .

O traço πv intersecta a recta βt no ponto 1.

O traço πn passa pelos pontos 1 e 2 , pelo que πr11≡ e πr22 ≡ .

Para determinar o rebatimento do plano π é suficiente determinar o rebatimento de um ponto,

por exemplo o ponto πZ (ponto de intersecção dos traços πw e πv ).

Para determinar ππrZ é preciso conhecer a verdadeira grandeza dos segmentos [ ]πZ1 e

[ ]πZ2 , que podem ser determinadas pelos rebatimentos dos planos coordenados β e δ ,

respectivamente.

111

O ponto ππrZ está na intersecção dos arcos de centro nos pontos βπ rr 11 ≡ e δπ rr 22 ≡ e

raios iguais a βπrZ1 e δπrZ2 , respectivamente.

Estando determinado o ponto ππrZ , é possível conduzir as rectas ππrv (passante pelo ponto

βπ rr 11 ≡ ) e ππrw (passante pelo ponto δπ rr 22 ≡ ).

Não se conduziu a recta ππrh para não tornar a figura ilegível.

112

9. Autonomia do sistema de representação12

A autonomia de um sistema de representação assenta em duas hipóteses:

1) É possível representar, sem sair do sistema, qualquer entidade geometricamente definida.

Esta questão pode reduzir-se à possibilidade de representar: um ponto qualquer dadas as suas

coordenadas, uma recta qualquer dados dois pontos, um plano qualquer dados três pontos.

2) É possível deduzir, sem sair do sistema, qualquer grandeza geométrica inerente a uma

entidade representada. Esta questão pode reduzir-se à possibilidade de determinar: a grandeza das

coordenadas de um ponto representado, a distância entre dois pontos, o ângulo entre duas rectas

(note-se que a inclinação entre uma recta e um plano e o diedro entre dois semi-planos são sempre

dados pelo ângulo entre duas rectas).

Em suma, se o sistema for autónomo, pode ser considerado como um sistema de

representação geométrico-descritivo.

Tendo sido verificadas as duas hipóteses enunciadas acima, verifica-se que o Sistema

Axonométrico de Representação é autónomo.

12 Gaspard Monge, no séc. XVIII, formulou o conceito de Geometria Descritiva e enunciou os seus objectivos. Deve

entender-se o termo Descritiva num sentido positivista que corresponde ao contexto cultural da época.

Segundo Monge, a Geometria Descritiva têm dois objectivos: 1) dar métodos para representar sobre uma folha de desenho, que não tem mais de duas dimensões, a saber, largura e comprimento, todos os corpos da natureza, que têm três, lagura, comprimento e altura, desde que estes corpos possam ser determinados rigorosamente; 2) dar os modos de reconhecer por meio de uma exacta descrição das formas e dos corpos as verdades geométricas que delas resultam.

Se um sistema de representação permitir cumprir estes dois objectivos pode-se considerá-lo como geométrico-descritivo (no sentido das palavras de Monge).

O conceito de autonomia advém da possibilidade de se cumprirem os objectivos enunciados.

113

10. Quadro geral de classificação das axonometrias

Do que tem sido dito até agora, surgem várias pistas quanto aos modos de classificar as

axonometrias.

Opta por distinguir-se, embora em geral não seja feito, o termo MONOMETRIA do termo

ISOMETRIA, considerando que o primeiro se refere à igualdade entre todos os coeficientes ou

escalas axonométricas e que o segundo se refere a que todos os coeficientes ou escalas

axonométricas são iguais a 1.

Introduz-se agora a noção de SUB-SISTEMA AXONOMÉTRICO. Um sub-sistema

axonométrico corresponde a uma disposição tipo do referencial articulada com um tipo de projecção.

Nas designações dos sub-sistemas empregam-se os termos por que são comummente

designados e cuja lógica se pode compreender pela leitura da parte 1 deste trabalho.

Assim sendo, no quadro seguinte, tem-se:

QUADRO GERAL DE CLASSIFICAÇÃO DAS AXONOMETRIAS

TIPO DE PROJECÇÃO COEFICIENTES RELAÇÃO REFERENCIAL/QUADRO SUB-SISTEMA

3 eixos oblíquos ao quadro monometria oblíqua

1 eixo paralelo ao quadro monometria oblíqua isométrica (3) cavaleira isométrica militar isométrica

Monometria (2)

2 eixos paralelos ao quadro de Hejduk isométrica

3 eixos oblíquos ao quadro dimetria oblíqua (4) 1 eixo paralelo ao quadro dimetria oblíqua (5)

cavaleira dimétrica militar dimétrica

Dimetria 2 eixos paralelos ao quadro

de Hejduk dimétrica 3 eixos oblíquos ao quadro trimetria oblíqua (6)

Axonometrias Oblíquas

Trimetria 1 eixo paralelo ao quadro trimetria oblíqua (7) Monometria (2) 3 eixos com igual inclinação monometria ortogonal

Dimetria 2 eixos com igual inclinação dimetria ortogonal Axonometrias Ortogonais (1) Trimetria 3 eixos com inclinações

diferentes trimetria ortogonal

AXONOMETRIA MILITAR (caso em que, sendo oblíqua a direcção de projecção, o plano

coordenado α é paralelo ao quadro)

AXONOMETRIA CAVALEIRA (caso em que, sendo oblíqua a direcção de projecção, o plano

coordenado β ou δ é paralelo ao quadro).

AXONOMETRIA DE HEJDUK (caso particular da axonometria cavaleira ou militar em que dois

eixos axonométricos ficam coincidentes)

114

(1) Das axonometrias ortogonais excluem-se os casos em que um ou dois planos coordenados são

perpendiculares ao quadro.

(2) Uma monometria de coeficientes, ou escalas, axonométricos iguais a 1 designa-se por isometria.

(3) Os resultados obtidos deste modo confundem-se com os obtidos na situação em que dois eixos são

paralelos ao quadro pelo que se poderiam designar por “falsa cavaleira isométrica” ou “falsa militar

isométrica”.

(4) Se dois coeficientes axonométricos forem iguais a 1, os resultados obtidos deste modo confundem-

se com os obtidos na situação em que dois eixos são paralelos ao quadro pelo, que poderiam

designar-se os sub-sistemas axonométricos por “falsa cavaleira dimétrica” ou “falsa militar dimétrica”.

(5) Nesta situação podem distinguir-se dois resultados possíveis: dois coeficientes axonométricos são

iguais a 1; dois coeficientes axonométricos são iguais e diferentes de 1.

(6) Nesta situação podem distinguir-se dois resultados possíveis: um dos coeficientes axonométricos é

igual a 1; os três coeficientes axonométricos são diferentes de 1.

(7) Nesta situação um dos coeficientes axonométricos é sempre igual a 1, pelo que esta situação pode

confundir-se com a primeira do caso anterior.

115

Parte 3 SISTEMA AXONOMÉTRICO DE REPRESENTAÇÃO - Prática

116

1. Generalidades

Tal como se viu na parte 2 deste trabalho, o Sistema Axonométrico de Representação é

autónomo, e, por isso, é um sistema de representação geométrico-descritivo.

Contudo, a principal vocação deste sistema de representação é a de permitir representações

de carácter perspéctico da volumetria dos objectos. No entanto, este sistema de representação

privilegia “o que se conhece do objecto” relativamente ao modo “como se vê o objecto”. Isto é, linhas

que se sabe serem paralelas são representadas paralelas, distâncias iguais entre si numa direcção

são representadas por distâncias iguais entre si, e, em alguns casos, há ângulos que são

preservados.

Os objectos em causa podem ser de qualquer tipo, tamanho ou natureza. Podem ser reais ou

imaginários. Podem ser uma ideia ou um conceito.

As circunstâncias e os objectivos da representação podem estar relacionados com a fase

conceptual de um processo criativo, com a necessidade de informar terceiros sobre as características

de um objecto a construir ou do seu modo de funcionamento, com a necessidade de representar ou

documentar um objecto existente (por exemplo, em arquitectura, design, engenharia, etc), com a

necessidade de ilustrar um conceito (por exemplo, em Física ou Matemática), com a necessidade de

comunicação imediata, etc.

1.1. Sobre os modos de desenhar

“ Gràficamente, uma recta dum plano que se imagina ser o da fôlha de desenho é dada por

um traço desenhado a lápis ou a tira-linhas por meio de uma régua, o qual, por meio da régua, se

pode sempre prolongar até aos limites da folha de desenho e, para além dêstes limites, se deve

imaginar como estendendo-se indefinidamente; um ponto é determinado por um pequeno sinal feito a

lápis ou à pena, ou melhor pela intercepção de duas rectas (...) “ 1

“ Não sabemos ainda representar scientìficamente na folha de desenho entidades que

estejam fora do plano desta fôlha; os pontos, as rectas e os planos do espaço somente podem ser

imaginados ou apresentados por corpos sólidos. Um dos fins da geometria descritiva é precisamente

dar meios de se poder fazer de tais entidades, também, uma representação plana.” 2

“ Não se ocupa a geometria descritiva de todos os meios de que a sciência se serve para

representar num plano as figuras espaciais. Estuda apenas os métodos de representação que têm,

como base, a teoria da projecção paralela – em especial ortogonal – e central. Dentro, porém, da

1 Augusto Queiróz, Licções de Geometria Descritiva, pp. 23 e 24 (vidé bibliografia) 2 Op. Cit. (1), p. 24

117

teoria da projecção paralela ou central, não devem ser impostas restrições ao seu campo de acção.

De outra forma, aparecerá uma geometria descritiva mutilada, rigida e desarmónica, sem as

características que deve possuir uma sciência matemática. Não queiramos reduzir a geometria

descritiva a um estudo de métodos rígidos de representação. Consideremo-la como sciência que

ensina a arte do desenho e da representação, cuja cultura interessa, não sòmente às escolas

técnicas, mas também às escolas de belas artes.” 3

A realidade que é apresentada no primeiro texto já não corresponde inteiramente à que se

vive na actualidade. Os meios de desenho evoluiram. As “folhas” evoluiram, assim como os

instrumentos de traço.

Hoje, com a proliferação dos meios informáticos, que permitem novas abordagens ao

desenho, é preciso reflectir sobre os modos de aplicar a “sciência que ensina a arte do desenho e da

representação”.

Consoante os modos como se desenha, determinados aspectos desta “sciência” são

colocados em evidência. Note-se, ainda, que alguns modos de desenhar colocam em particular

evidência as propriedades geométricas das relações entre ”os pontos, as rectas e os planos do

espaço” relativamente às propriedades geométricas dos sistemas de representação.

Quando se desenha à mão livre, o sujeito dispõe apenas de uma folha de desenho (por

exemplo de papel), de um istrumento de traço (por exemplo uma lapiseira) e, talvez, de uma borracha.

Este tipo de desenho apresenta alguma flexibilidade no que respeita ao rigor gráfico, permite algum

nível de incerteza no conhecimento do objecto a representar, e funciona como método de procura, de

definição, etc. As “réguas” e os “compassos” reduzem-se à mão e seu adestramento, e à capacidade

de observação. Se este tipo de desenho for de natureza científica, é tanto melhor produzido quanto

melhor o sujeito conheça as “geometrias” implicadas. Neste sentido é um tipo de desenho de elevada

exigência.

No desenho manual rigoroso, de natureza científica, as “réguas” e os “compassos são

materializados, isto é, são instrumentos físicos e concretos. É com o auxílio destes que se traça no

papel uma recta “a direito” e uma circunferência com curvatura constante. Este tipo de desenho

pretende-se o mais rigoroso possível do ponto de vista gráfico e não admite incertezas. É em geral

utilizado para representar objectos que já se conhecem, que já estão determinados e definidos. Exige

um profundo conhecimento das propriedades geométricas derivadas da “ teoria da projecção paralela

– em especial ortogonal – e central”, bem como, um elevado nível de conhecimentos de geometria do

espaço.

3 Op. Cit. (1), p. 13

118

Fruto dos tempos em que se vive, este tipo de desenho está cada vez mais a cair em desuso.

Isto é consequência do desenho assistido por computador que apresenta determinado tipo de

vantagens.

O desenho assistido por computador permite ultrapassar algumas limitações do desenho

manual rigoroso na medida em que é mais dinâmico (permite mover, rodar, copiar, escalar partes ou a

totalidade do desenho), permite melhor gestão da informação (neste sentido admite maior

complexidade gráfica) e permite maior e melhor rigor gráfico. A “folha” é em primeiro lugar um monitor

de computador e o desenho nela disposto não apresenta sempre a mesma escala. O registo em papel

é automático. Dir-se-ia que o nível de conhecimentos de geometria que é preciso ter para operar com

este tipo de desenho (quando a folha de papel é substituída por uma folha digital) é idêntico ao que é

necessário ter quando se opera em desenho manual rigoroso.

Contudo, pode especular-se se o facto de no desenho manual rigoroso os instrumentos

auxiliares de traço serem concretos tem ou não alguma implicação no colocar em evidência algumas

propriedades geométricas que de outro modo ficam “invísiveis”. Esta poderá ser uma preocupação de

ordem pedagógica.

Há uma vertente do desenho assistido por computador que se identifica, por uma questão de

distinção, por modelação tridimensional. Este tipo de desenho introduz diferenças assinaláveis

relativamente ao desenho clássico (seja sobre uma folha de papel ou sobre uma folha digital). Coloca

em segundo plano a “teoria da projecção paralela – em especial ortogonal – e central” no sentido em

que praticamente não é necessário ter conhecimentos sobre os sistemas de representação para

operar. Este modo de desenhar coloca em evidência as propriedade geométricas intrínsecas aos

objectos que se representam, desenrolando-se a representação gráfica de modo automático. As

únicas opções que se têm de tomar relativamente à questão da representação gráfica prendem-se

com a escolha do “ponto de vista” segundo o qual se intervém sobre a “maquete digital”. Em todo o

caso, quanto melhor se quiser controlar o “display”, mais é preciso conhecer as propriedades dos

sistemas de representação.

Esta parte do trabalho é dedicada às questões práticas da representação gráfica relacionadas

com o sistema axonométrico de representação. Estas questões podem evidenciar-se mais ou menos

consoante o tipo de desenho utilizado. Cabe a cada um conseguir perceber a pertinência da aplicação

deste ou daquele método de desenho.

119

2. Aplicação da Afinidade

Na Parte 2 expuseram-se algumas propriedades da afinidade que agora vão ser úteis.

Uma vez que o sistema axonométrico de representação é subsidiário da projecção cilíndrica,

a quase totalidade dos problemas relacionados com a representação resolve-se com a transformação

afim. Mesmo os problemas relacionados com os rebatimentos devem ser notados graficamente como

sendo afinidades.

Neste sentido, irá aplicar-se a afinidade à resolução de alguns problemas que serão

colocados em evidência, posteriormente, na representação axonométrica.

Com particular incidência, serão tratadas a circunferência e a elipse.

Recorde-se que a afinidade plana fica definida pelo eixo e por um par de pontos afins (desde

que não sejam coincidentes), e que a afinidade espacial fica definida por dois planos e pela direcção

da afinidade.

2.1. Afinidade plana entre duas figuras - exemplos

• Considere-se uma figura poligonal qualquer, um eixo de afinidade e e um ponto 1A afim de

um ponto A . Os pontos A e 1A definem a direcção d da afinidade (fig. 1).

e

A

A 1

d

BB 1

CC1

E

E 1

D

D1

Fig. 1

120

Para determinar a figura afim da figura dada, pode proceder-se do seguinte modo: prolonga-

se a recta BA. até esta intersectar o eixo e . O ponto de intersecção com o eixo e é um ponto duplo

e por ele passa a recta 11.BA . Para determinar o ponto 1B , conduz-se pelo ponto B uma recta com a

direcção d . A intersecção desta recta com a recta 11.BA é o ponto 1B .

Pode, agora, prolongar-se a recta EA. até esta intersectar o eixo e . Pelo ponto de

intersecção passa a recta 11.EA .

Analogamente, determina-se a recta 11.EB . As rectas 11.EA e 11.EB intersectam-se no ponto

1E .

Para os restantes pontos procede-se de forma semelhante.

• Se a figura for, por exemplo, uma linha curva qualquer pode considerar-se uma grelha

rectangular, ou não, cujas linhas passem por pontos notáveis da curva. Determina-se a grelha afim

desta e nesta inscreve-se a figura afim da figura dada (fig. 2).

e

d

b

b1

i

i 1

B

A

A 1

B 1

C=C1a

a1

D=D1

Fig. 2

É de notar que qualquer ponto afim de um ponto dado pode ser determinado nos termos da

situação anterior. Neste caso, a apresentação da grelha prende-se simplesmente com uma questão

metodológica de desenho.

121

• Como colocar em posição afim uma circuferência [ ]1e e uma elipse [ ]e , de centro O , dados

os diâmetros conjugados da elipse, [ ]12 e [ ]34 , e um eixo qualquer de afinidade, e (fig. 3)?

1

3

4

e

O 2

O1

O '1

d

d'

A

X=X1

Y=Y1

MXY

B=B1

P

Q

[c]

a

a '1

a 1

Fig. 3

Pelo ponto 3 conduz-se uma recta paralela ao segmento [ ]12 .

Pelo ponto 2 conduz-se uma recta paralela ao segmento [ ]34 .

Estas duas rectas intersectam-se no ponto A .

Os pontos A e O definem a recta a .

A recta a intersecta o eixo e no ponto 1BB ≡ .

A recta 1a afim da recta a deverá fazer com as rectas 11 4.3 e 11 2.1 (afins das rectas 4.3 e

2.1 , respectivamente) ângulos de º45 no ponto afim de O , uma vez que deverão ser 1111 214.3 = .

Por outro lado, as rectas 11 4.3 e 11 2.1 deverão ser perpendiculares entre si no ponto afim de

O .

Prolongam-se as rectas 4.3 e 2.1 até intersectarem o eixo e .

A rectas 2.1 e 4.3 intersectam o eixo e nos pontos 1YY ≡ e 1XX ≡ , respectivamente.

Pelos pontos 1XX ≡ e 1YY ≡ passarão as rectas 11 4.3 e 11 2.1 , respectivamente.

122

Como as rectas 11 4.3 e 11 2.1 deverão ser perpendiculares entre si no ponto afim de O ,

então, o ponto afim de O deverá pertencer à circunferência [ ]c de centro XYM e diâmetro XY .

A recta AOa .≡ intersecta o eixo e no ponto 1BB ≡ .

A mediatriz do segmento [ ]XY intersecta a circunferência [ ]c nos pontos P e Q .

Pelos pontos P e 1BB ≡ conduz-se a recta 1a que intersecta a circunferência [ ]c no ponto

1O .

Pelos pontos Q e 1BB ≡ conduz-se a recta '1a que intersecta a circunferência [ ]c no ponto

'1O .

Verifica-se que as rectas 1a e '1a correspondem às possíveis rectas afins da recta a ,

considerando o eixo e , de tal modo que se verifique que 1111 214.3 = . Isto é, de tal modo que os

ângulos que a recta 1a (ou '1a ) faz com as rectas 11 4.3 e 11 2.1 sejam de º45 , e que, assim sendo, o

pontos 1O e '1O correspondem aos possíveis pontos afins do ponto O considerando o eixo e .

Demonstrando:

Considerem-se as rectas 11.XO e 11.YO .

Como o ângulo que a recta XYMX .1 faz com a recta PM XY . é de º90 , então o ângulo que a

recta 11.XO faz com a recta PO .1 é de º45 .

Analogamente, o ângulo que a recta PO .1 faz com a recta 11.YO é de º45 .

Isto porque, 1X , 1Y , P e 1O são pontos da mesma circunferência [ ]c de centro XYM .

Logo, as rectas 11.XO e 11.YO coincidem com as rectas 11 4.3 e 11 2.1 , respectivamente.

O mesmo raciocínio pode ser utilizado considerando as rectas 11 '.XO e 11 '.YO

Pelo exposto, a afinidade de eixo e e direcção 1.OO transforma a elipse [ ]e de centro O e

diâmetros conjugados [ ]12 e [ ]34 na circunferência [ ]1e e de centro 1O e diâmetros conjugados

[ ]11 2.1 e [ ]11 4.3 , respectivamente.

123

O mesmo é válido para a afinidade com o mesmo eixo e direcção '. 1OO .

2.2. Aplicação da afinidade plana ao desenho da elipse definida por dois diâmetros conjugados

Considere-se uma elipse de centro O definida por dois diâmetros conjugados [ ]12 e [ ]34

(fig. 4).

e

D=D1

C=C1

B

A

A 1

B 1

O

O1

1

2=21

11

3

4

31

41

Fig. 4

• Esta elipse está inscrita num paralelogramo [ ]DCBA ,,, . Os lados [ ]AB , [ ]BC , [ ]CD e

[ ]DA do paralelogramo têm como pontos médios os pontos 1, 4 , 2 e 3 , respectivamente.

Tome-se, por exemplo, a recta DC. como eixo e de uma afinidade plana que transforma o

paralelogramo [ ]DCBA ,,, no quadrado [ ]1111 ,,, DCBA .

Nesta afinidade, os pontos C , D e 2 são duplos, isto é, 1CC ≡ , 1DD ≡ e 122 ≡ .

A direcção d da afinidade fica definida pela recta 1.OO .

Os pontos da elipse inscrita no paralelogramo serão afins dos pontos da circunferência

inscrita no quadrado.

124

Por exemplo, os pontos comuns à circunferência e às diagonais do quadrado são afins dos

pontos comuns à elipse e às diagonais do paralelogramo. Para os determinar podem conduzir-se

pelos pontos da circunferência rectas com direcção 11.DA que se sabe serem afins de rectas com a

direcção AD. . Os pontos fixos destas rectas situam-se, obviamente, no eixo e .

Outra possibilidade para a determinação destes pontos da elipse consiste em conduzir pelos

pontos da circunferência rectas com a direcção da afinidade.

Quaisquer outros pontos podem ser determinados de forma análoga.

• Na sequência do traçado atrás referido, podem determinar-se os pontos notáveis da elipse,

isto é, os extremos dos eixos maior e menor, e os focos (fig. 5).

D=D1

C=C1

B

A

A 1

B 1

O

O1

X=X 1

Y=Y1

Z=Z 1

d

e

F' F''M N

P

Q

M1

N1

P 1

Q1

1

2=21

11

3

4

31

41

MOO1

[c]

Fig. 5

Considere-se a mediatriz do segmento [ ]1OO . Esta recta intersecta o eixo e no ponto X .

Com centro no ponto X , conduz-se uma circunferência [ ]c passante pelos pontos O e 1O

(note-se que 1XOXO = ). Esta circunferência intersecta o eixo e nos pontos Y e Z .

Note-se que, por pertencerem ao eixo e , os pontos X , Y e Z são duplos, isto é 1XX ≡ ,

1YY ≡ e 1ZZ ≡ .

As rectas OY . e OZ. são afins das rectas 11.OY e 11.OZ , respectivamente.

125

Como os pontos O e 1O pertencem à circunferência [ ]c de diâmetro [ ]XY , então as rectas

OY . e OZ. são perpendiculares entre si no ponto O . Similarmente, as rectas 11.OY e 11.OZ são

perpendiculares entre si no ponto 1O . Isto é, dois diâmetros conjugados, [ ]11NM e [ ]11QP , da

circunferência são afins de dois diâmetros conjugados, [ ]MN e [ ]PQ , da elipse perpendiculares

entre si. Logo, [ ]MN e [ ]PQ são os eixos principais da elipse.

Para determinar os pontos M , N , P e Q , conduzem-se pelos pontos 1M , 1N , 1P e 1Q

rectas com a direcção da afinidade. As rectas que passam pelos pontos M e N intersectam a recta

OZ . nos pontos 1M e 1N . As rectas que passam pelos pontos 1P e 1Q intersectam a recta OY .

nos pontos 1P e 1Q .

Com raio igual ao semi-eixo maior e centro num extremo do eixo menor, conduz-se uma

circunferência que intersecta o eixo maior da elipse nos pontos 'F e ''F , os focos da elipse.

2.3. Aplicação da afinidade plana à condução de rectas tangentes à elipse definida por dois diâmetros conjugados

Considere-se uma elipse definida por dois diâmetros conjugados [ ]12 e [ ]34 .

Prescinde-se do desenho da elipse.

Em todos os casos considera-se apenas o desenho de uma circunferência afim da elipse, nos

termos das figuras 4 e 5.

• Vai conduzir-se uma recta tangente à elipse por um ponto T que lhe pertence (fig. 6).

O

O1

1

2=21

11

3

4

31

41

e T1

T

t 1

t

r 1

r

F=F1

R=R1

a1

a

Fig. 6

126

Considere-se o ponto T da elipse determinado nos termos das figuras precedentes.

Pelo ponto 1T afim de T conduz-se a recta 1t tangente à circunferência. A recta 1t intersecta

o eixo e da afinidade num ponto duplo 1FF ≡ .

Pelos pontos 1FF ≡ e T passa a recta t , afim da recta 1t , tangente à elipse no ponto T .

• Vai, agora, conduzir-se uma tangente à elipse por um ponto P que lhe é exterior (fig. 7).

O

O1

1

2=21

11

3

4

31

41

e

T1

T

t 1

t

F=F1

a1

a

P

P1

c1

c

bb1

Fig. 7

Em primeiro lugar, determina-se o ponto 1P afim do ponto P .

Não será dada nenhuma explicação, uma vez que este traçado já foi múltiplas vezes referido.

Pelo ponto 1P conduz-se uma recta 1t tangente à circunferência afim da elipse.

A recta 1t é tangente à circunferência no ponto 1T .

A recta 1t intersecta o eixo e da afinidade num ponto duplo 1FF ≡ .

Pelos pontos 1FF ≡ e P passa a recta t , afim da recta 1t , tangente à elipse no ponto T .

A determinação do ponto T faz-se de modo inverso à determinação do ponto 1P .

• A determinação de uma recta tangente à elipse paralela a uma recta dada é em tudo

semelhante ao que foi exposto para o caso do ponto exterior. É de notar que esta situação

corresponde a considerar o ponto exterior como sendo impróprio.

127

2.4. Aplicação da afinidade espacial à determinação da orientação de uma circunferência dada a sua projecção cilíndrica e dada a direcção de projecção

Veja-se esta aplicação recorrendo a um mínimo de elementos gráficos.

Considere-se uma elipse [ ]e de centro O e diâmetros conjugados [ ]12 e [ ]34 como

projecção de uma circunferência [ ]c , e uma direcção de projecção p da qual está representada a

projecção ortogonal no plano da elipse, ''p (fig. 8).

1

3

4

2

O

p''

Fig. 8

Note-se que está em questão a determinação da orientação da circunferência e não uma

posição específica. Determinada a orientação, por meio de uma translacção segundo a direcção de

projecção, pode colocar-se a circunferência na posição que se pretenda.

Considere-se um plano π qualquer ortogonal à direcção p .

Pelos pontos 1, 2 , 3 , 4 e O conduzam-se rectas com a direcção p , isto é, rectas

projectantes. Estas rectas intersectam o plano π nos pontos '1 , '2 , '3 , '4 e 'O , respectivamente.

Os segmentos [ ]'2'1 e [ ]'4'3 são diâmetros conjugados de uma elipse [ ]'e de centro no ponto

'O contida no plano π .

A elipse [ ]'e é a projecção ortogonal da circunferência [ ]c no plano π .

Determinem-se os eixos maior e menor da elipse [ ]'e . Identificar-se-á o eixo maior por [ ]AB e

o eixo menor por [ ]CD .

A direcção do eixo maior está contida na orientação do plano que contém a circunferência

[ ]c , e a medida de AB é igual ao seu diâmetro.

128

Considere-se o plano δ definido por [ ]CD e pela direcção de projecção p .

No plano δ , com centro num ponto I qualquer da recta projectante do ponto O , descreve-

se uma circunferência [ ]a de diâmetro igual a AB .

A circunferência [ ]a intersecta a recta projectante do ponto C nos pontos X e 1X .

As orientações possíveis para a circunferência [ ]c ficam definidas pelas direcções das rectas

BA. e XI . , e das rectas BA. e 1.XI .

Na figura 9 apresenta-se uma perspectiva do resultado final.

3

4

2

1

O

p

p

p

p

p

[e]

p

[e]'

O'

3'

2'

4'

1'

A

B

C

D

[a]

X

X1

I

Fig. 9

129

3. O problema das escalas e dos coeficientes – Axonometrias Métricas e Axonometrias Convencionais

Considere-se um desenho axonométrico produzido a uma determinada escala, por exemplo

1001

.

A esta representação correspondem determinados coeficientes axonométricos. Por hipótese,

considere-se que o coeficiente 9.0=zC .

Considere-se, ainda, uma medida a paralela ao eixo coordenado z .

No desenho, a medida a está sujeita à escala do desenho, isto é, a medida a é

representada por uma medida 100a

.

Sabendo que a medida a tem a direcção do eixo coordenado z , a projecção de a , isto é,

'a , vem multiplicada pelo coeficiente zC .

Resumindo, no desenho a medida 'a traduz-se por zCa⎟⎠⎞

⎜⎝⎛100

.

Numa situação deste tipo, em que todas as medidas no desenho resultam simplesmente de

uma projecção e da escala do desenho, tem-se uma AXONOMETRIA MÉTRICA.

Considere-se agora a aplicação de uma homotetia de factor Δ à axonometria, isto é, a

ampliação ou redução (não interessa considerar o caso em que 1=Δ ) da axonometria mantendo as

proporções da representação.

Nesta situação a medida 'a ficará traduzida por 'aΔ , isto é, zCa⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ100

.

O que sucedeu ao desenho?

Na prática apenas aconteceu que o desenho ficou maior ou menor. Contudo, este resultado

pode ser lido de vários modos.

130

Por um lado, pode dizer-se que a escala do desenho passou de 100

1 para

1001

Δ e que a

medida a se manteve.

Por outro lado, pode dizer-se que a escala se manteve 100

1 e que a medida a passou para

aΔ , isto é, o objecto da representação aumentou ou diminuiu.

Em ambos os casos continuam a ter-se axonometrias métricas.

Porém, se se convencionar que a escala do desenho se manteve 100

1 e que a medida a não

aumentou nem diminuiu, então o coefieciente zC passa a ser substituído por zCΔ , isto é, por uma

escala axonométrica zE .

Neste caso a medida 'a vem representada por 100aEz .

No fundo, opera-se com a escala axonométrica como se se tratasse de um coeficiente.

Numa situação deste tipo, em que todas as medidas no desenho resultam do produto de uma

projecção por uma homotetia (isto é, de uma escala axonométrica diferente do coeficiente

axonométrico), e, da escala do desenho, tem-se uma AXONOMETRIA CONVENCIONAL.

Por vezes, é conveniente operar com escalas axonométricas diferentes dos coeficientes

axonométricos, isto é, operar com axonometrias convencionais, como se irá verificar adiante através

de uma situação prática.

Suponha-se uma axonometria em que, por exemplo, 75.0=zC , 75.0=yC e 5.0=xC

(para esta explicação não se farão quaisquer referências à escala do desenho).

Nesta situação, uma medida a vem representada por 43a se for paralela ao eixo coordenado

z ou y , ou por 21a se for paralela ao eixo coordenado x .

131

Considere-se uma homotetia que transforma 75.0=zC em 1=zE . O factor da homotetia

pode escrever-se

431

=Δ , isto é, 34

=Δ . Neste caso, a escala xE será dada por 21

Δ , isto é,

32

=xE .

Com a homotetia passa a ter-se uma axonometria em que 1=zE , 1=yE e 32

=zE .

Nesta situação, uma medida a vem representada por a se for paralela aos eixos

coordenados z e y , ou por 32a se for paralela ao eixo coordenado x .

Em termos práticos, em geral, torna-se mais simples representar em axonometria

convencional. Na prática, tal como já foi dito, tratam-se as escalas como se fossem coeficientes,.

Com efeito, para que a axonometria convencional seja expedita em termos operativos, deve

notar-se que é conveniente reduzir o maior dos coeficientes axonométricos a uma escala

axonométrica igual a 1.

Esta é uma consideração prática que tem forte eco quando relacionada com as questões da

representação de objectos.

Caberá a cada um optar pela situação mais vantajosa consoante o tipo de problema de

representação que tiver em presença.

132

4. Representação Axonométrica – considerações gerais

Esta parte do trabalho será orientada em função da representação de objectos.

Antes de começar a representar um objecto qualquer, é preciso que o sujeito tenha uma certa

capacidade de previsão e antecipação dos resultados. É preciso ter a noção dos objectivos da

representação. Só assim se pode escolher “o bom ângulo de visão”, o que se traduz imediatamente

na escolha do sub-sistema axonométrico.

Este é um esforço que cada um deve fazer antes de iniciar qualquer representação.

Se houver o objectivo de que as representações não resultem desproporcionadas

relativamente aos objectos representados, é conveniente que os coeficientes ou as escalas

axonométricos não ultrapassem o valor 1 e não sejam muito diferentes uns dos outros. Para o efeito,

a sensibilidade do sujeito que representa é soberana.

Admite-se contudo que o objectivo da representação seja outro e que esta restrição não se

coloque.

A posição dos referenciais pode ser determinada (se forem dadas as condições que permitem

obter todos os vértices do triângulo fundamental) ou indeterminada. Neste último caso, podem ser

dados elementos que apenas permitam determinar a orientação do referencial ou não (esta situação

não serve para a representação; para que sirva, devem ser arbitrados os elementos que permitam,

pelo menos, a determinação da orientação do referencial).

Em muitos casos é perfeitamente possível representar objectos sem conhecer a posição ou a

orientação do referencial (não quer isto dizer que a orientação não possa ser determinada). É o caso

das axonometrias convencionais.

Nos dois capítulos seguintes (5 e 6) resolver-se-á o exercício da representação de um cubo.

O objectivo é avaliar a complexidade da representação em função das premissas, no sentido de

verificar quais os sub-sistemas com operatividade mais expedita.

133

5. Representação em Axonometria Métrica

Operar com axonometrias métricas pressupõe que se conheça o referencial em posição

(determinados os vértices do triângulo fundamental) ou em orientação. No caso de se conhecer

apenas a orientação, é necessário arbitrar uma posição. Note-se que os coeficientes axonométricos

não são, em princípio, dados à partida e são função da inclinação dos eixos e da direcção de

projecção.

Para as explicações dadas em seguida, consideram-se referenciais dados em posição pelos

vértices do triângulo fundamental. Recorde-se que a determinação da posição de um referencial pode

ser feita em função de determinados dados, de acordo com o exposto no capítulo 6 da Parte 2 deste

trabalho.

5.1. Três eixos coordenados oblíquos ao quadro

Nesta situação existem três casos possíveis: os três eixos têm inclinações diferentes com o

quadro (triângulo fundamental escaleno), dois eixos têm inclinações iguais relativamente ao quadro

(triângulo fundamental isósceles) e os três eixos têm inclinações iguais relativamente ao quadro

(triângulo fundamental equilátero).

Para que os coeficientes axonométricos sejam menores ou iguais a 1, a projecção da origem

O do referencial tri-ortogonal deverá estar contida no porção de quadro comum aos círculos [ ]x , [ ]y

e [ ]z , de centros nos pontos X , Y e Z (vértices do triângulo fundamental) e raios iguais a XO ,

YO e ZO , respectivamente (ver fig. 8 – Parte 2).

Y X

Z

CI

[y]

[dx.y]

[dy.z]

[dz.x] [z]

[x]

Fig. 10

134

Cumulativamente com a condição anterior, para que haja dimetria, a projecção da origem O

deverá estar contida numa porção de uma das circunferências [ ]XYd , [ ]zxd ou [ ]yzd (determinadas

nos termos das figuras 12 e 13 da Parte 2), e para que haja monometria, a projecção do ponto O

deverá coincidir com o ponto I comum às circunferências [ ]XYd , [ ]zxd ou [ ]yzd .

Após estas considerações, veja-se representação do cubo.

Apresentam-se apenas os resultados fazendo notar que a representação é feita nos termos

do que foi exposto no capítulo 7 da Parte 2, isto é, a representação é obtida por meio dos

rebatimentos dos planos coordenados para o quadro. Note-se, no entanto, que se algum dos

coeficientes for igual a 1 a marcação das medidas na direcção correspondente é feita de forma directa

sem passar pelo rebatimento (fig. 11).

YX

Z

O

Or

Or

Y X

Z

O

Or

[dx.y]

z

xyxr

zr

yrxr

zr

xy

z

Y X

Z

O

Or

[dx.y]

[dz.x]

x

xry

Y X

Z

O

Or

Or

xr

zr

yry

x

z z

XY

Z

xy

zr

xr

Or

O O

z

Or

xy Y X

Z

Fig. 11

Na 1ª linha da figura 11 considerou-se um triângulo fundamental escaleno (os traçados seriam

semelhantes se fossem considerados triângulos isósceles ou equiláteros).

Da esquerda para a direita, tem-se a axonometria do cubo em trimetria oblíqua, dimetria

oblíqua e monometria oblíqua (considerando que os coeficientes axonométricos devem ser inferiores

ou iguais a 1) .Não é possível produzir uma monometria oblíqua se o triângulo fundamental for

equilátero.

Na 2ª linha da figura 11 considerou-se a direcção de projecção ortogonal ao quadro.

135

Da esquerda para a direita, tem-se uma trimetria ortogonal (triângulo fundamental escaleno),

uma dimetria ortogonal (triângulo fundamental isósceles) e uma monometria ortogonal (triângulo

fundamental equilátero). Isto é, se a projecção for ortogonal, o triângulo fundamental condiciona o tipo

de axonometria. Assim sendo, é oportuno recordar que nas axonometrias ortogonais, à trimetria

correspondem ângulos axonométricos diferentes, à dimetria correspondem dois ângulos

axonométricos iguais e à monometria correspondem ângulos axonométricos iguais.


Neste caso não se considera a projecção ortogonal ao quadro.

Considere-se o eixo coordenado z paralelo ao quadro. A projecção ortogonal da origem O

no quadro coincide com o ponto C (fig. 12).

XY

[dz.y][dz.x]

[dx.y]

C

I

I'

Fig. 12

Neste caso, seja qual for a direcção de projecção, o coeficiente axonométrico zC é sempre

igual a 1.

Para que os coefientes axonométricos xC e yC sejam menores ou iguais a 1, a projecção da

origem O do referencial tri-ortogonal deverá estar contida no porção de quadro comum aos círculos

[ ]zxd e [ ]yzd , de centros nos pontos X e Y e raios iguais a XO e YO , respectivamente (ver fig. 14

da Parte 2).

Cumulativamente à condição anterior, para que haja dimetria, a projecção de O deverá estar

contida numa porção de uma das circunferências [ ]XYd , [ ]zxd ou [ ]yzd (determinadas nos termos

das figuras 12 e 14 da Parte 2), e para que haja monometria, a projecção de O deverá coincidir com

o ponto I ou 'I .

136

Após estas considerações, veja-se a representação do cubo.

Também neste caso se apresentam apenas os resultados, uma vez que a representação

corresponde a um caso particular do que foi exposto anteriormente.

Apenas se recorre aos rebatimentos nos casos em que os coeficientes axonométricos são

inferiores a 1. Nos casos em que os coeficientes são iguais a 1, a marcação das medidas é directa

(fig.13).

XY

Or

O

z

y x

xr

yr

XY

Or

O

z

y x

xr

yr

XY

Or

O

z

y x

xr

[dx.y]

XY

Or

z

y x

[dz.x]

yr

XY

Or

O

z

y x

xr

C C C

C C

Fig. 13

Na 1ª linha da figura 13 tem-se (da esquerda para a direita) a axonometria do cubo em

trimetria oblíqua, dimetria oblíqua (é 1≠= yx CC ) e dimetria oblíqua (é 1== zx CC ).

Na 2ª linha da figura 13 foi considerada a direcção de projecção ortogonal ao traço YX . .

No primeiro caso foi produzida uma trimetria. No segundo caso, para que fosse produzida

uma dimetria ( yx CC = ), considerou-se que os eixos coordenados x e y estão igualmente

inclinados relativamente ao quadro. Como consequência, C é o ponto médio do segmento [ ]XY .

Neste caso não foram consideradas as monometrias, uma vez que o resultado gráfico da

projecção equivale à situação em que dois eixos coordenados são paralelos ao quadro.

137


Esta situação, pela sua simplicidade, não carece dos desenvolvimentos explicitados para as

anteriores.

Com efeito, consideraram-se três casos (fig. 14).

O

y

zCz=1Cx=1Cy<1

x O

y

z

x

Cy=1Cx=1Cz<1

O

z

x

y

Cx=1Cz=1 e Cy<1

ouCy=1 e Cz<1

Fig. 14

Para efeitos de simplificação do discurso, pode considerar-se a origem do referencial tri-

ortogonal contida no quadro.

No primeiro caso tem-se o plano coordenado β paralelo ao quadro. O ângulo axonométrico

β̂ é de º90 . Os outros dois ângulos axonométricos podem variar livremente desde que

º360ˆˆˆ =++ δαβ .

Tem-se 1== xz CC .

Para que o coeficiente 1≤yC , deve considerar-se que a inclinação de projecção

relativamente ao quadro é maior ou igual a º45 . Esta consideração faz-se por meio da livre escolha

do coeficiente yC . Note-se que yC corresponde à co-tangente do ângulo que mede a inclinação da

projecção.

138

Este sub-sistema axonométrico designa-se por axonometria cavaleira (pode ser o plano

coordenado δ paralelo ao quadro). À esquerda na figura 14 estão representados 3 cubos em

axonometria cavaleira. O primeiro cubo está em isometria e os restantes em dimetria.

No segundo caso, tem-se o plano coordenado α paralelo ao quadro. O ângulo axonométrico

α̂ é de º90 . Os outros dois ângulos axonométricos podem variar livremente desde que

º360ˆˆˆ =++ δαβ .

Tem-se 1== xy CC .

As considerações explicitadas no caso anterior para o coeficiente yC são válidas, neste caso,

para o coeficiente zC .

Este sub-sistema axonométrico designa-se axonometria militar. Ao centro na figura 14 estão

representados 2 cubos em axonometria militar. O primeiro cubo está em isometria e o outro em

dimetria.

O terceiro caso (à direita na figura 14) corresponde a uma situação limite dos anteriores,

quando dois eixos axonométricos coincidem. Este sub-sistema axonométrico designa-se por

axonometria de Hejduk (ou cavaleira-militar).

139

6. Representação em Axonometria Convencional

Neste caso não é, em geral, necessário conhecer a posição nem a orientação do referencial.

Considera-se que se está a operar com axonometrias convencionais sempre que se arbitrar a

posição dos eixos axonométricos e se impuser a estes as escalas axonométricas que se tomem como

mais convenientes para a representação.

Fruto do teorema de Polhke-Schwarz, podem impor-se sobre três eixos axonométricos

quaisquer três segmentos xu , yu e zu quaisquer, tais que podem ser considerados como projecção

cilíndrica de três segmentos unitários U perpendiculares entre si (ver 6.10 – Parte 2). Logicamente, a

cada direcção axonométrica corresponde um coeficiente axonométrico.

Tal como se viu no capítulo 3, é possível reduzir os coeficientes axonométricos a escalas

axonométricas que correspondam a valores mais cómodos do ponto de vista operativo.

Destas considerações resulta que é legítimo impor directamente às direcções axonométricas

as escalas axonométricas que se pretender. Essa imposição pode ser gráfica, resultando da relação

entre os comprimentos de três segmentos. Mais uma vez se nota que é conveniente que ao maior dos

segmentos deve corresponder a escala axonométrica 1.

Daqui resulta que não há nenhuma vantagem prática em utilizar as axonometrias

normalizadas4.

6.1. Três eixos coordenados oblíquos ao quadro

No sentido em que se podem impor directamente aos eixos axonométricos as escalas que se

entender, a resolução do exercício de representação do cubo é directa (fig. 15).

O

x

y

z Ez=1Ex=1Ey=1

O

x

z

y

Ez=1Ex=1Ey<1

O

x

z

y

Ez=1Ex<1Ey<1Ex=Ey

O

z

xy

Ez=1Ex=1Ey=1

Fig. 15

4 As axonometrias normalizadas correspondem a um conjunto de sub-sistemas axonométricos definidos pela norma

ISO 5456-3 com vista à uniformização internacional da representação. A estes sub-sistemas correspondem ângulos axonométricos específicos e escalas axonométricas específicas para cada sub-sistema. Com efeito, nas axonometrias ortogonais normalizadas os ângulos axonométricos podem ser determinados fazendo uso do que foi expresso no sub-capítulo 6.4.1. da Parte 1 deste trabalho. Em todo o caso, como se pretendem obter escalas de fácil operatividade, as determinações gráficas dos ângulos axonométricos introduzem sempre um mínimo de erro. Pelo exposto, se se for inteiramente rigoroso do ponto de vista matemático, estas axonometrias são “quase” ortogonais. A única que se mantém rigorosamente ortogonal é a Isometria.

140

Da esquerda para a direita, tem-se: trimetria oblíqua, dimetria oblíqua, isometria oblíqua, e

isometria ortogonal (os ângulos axonométricos são de 120º).

Se forem dados os comprimentos dos segmentos xu , yu e zu , e se se impuser que a

direcção de projecção seja ortogonal, então procede-se nos termos do 6.4. da Parte 2.


Sejam dados os eixos axonométricos impondo que o eixo coordenado z seja paralelo ao

quadro (pode impor-se que seja outro eixo paralelo ao quadro), isto é, 1== yx EE .

Vai subdividir-se esta situação em dois casos.

No primeiro caso, arbitram-se nos eixos axonométricos x e y dois segmentos xu e yu que

correspondem a dois segmentos unitários U perpendiculares entre si (fig.16).

Ez=1Ex<1Ey<1Ex=Ey

z

xy

O uxuy

Y X

yr xr

Ez=1Ex<1Ey<1Ex=Ey

z

xy

O uxuy

YX

yr xr

Or

Or

Fig. 16

À esquerda na figura 16 tem-se uma trimetria oblíqua ( yx uu ≠ ) e à direita tem-se uma

dimetria oblíqua ( yx uu = ).

Arbitra-se o traço YX . do plano coordenado α sabendo que deve ser perpendicular ao eixo

axonométrico z .

141

Tomando xu e yu como semi-diâmetros conjugados de uma elipse de centro na projecção da

origem O , o ponto αrO determina-se nos termos em que se determinam os pontos 1O e '1O na

figura 3.

No segundo caso, arbitram-se dois segmentos Uuz = e xu que correspondem a projecções

de segmentos unitários U perpendiculares entre si (fig. 17).

Ez=1Ex<1Ey<1Ex=Ey

z

xy

O uxY

X

yr xr

Or

A

uz

Ez=1Ex=1Ey<1

z

xy

OY X

yr

Or

Fig. 17

À esquerda na figura 17 tem-se uma trimetria oblíqua.

Arbitra-se o traço YX . do plano coordenado α sabendo que deve ser perpendicular ao eixo

axonométrico z .

Pelo ponto X conduz-se uma recta paralela à recta que passa pelos extremos dos

segmentos xu e zu . Esta recta intersecta o eixo axonométrico z no ponto A .

A distância OA deverá ser igual à distância αrXO (note-se que sobre o eixo axonométrico z

as medidas estão em verdadeira grandeza).

Obtido o ponto αrO sobre a semi-circunferência de diâmetro [ ]XY , a face do cubo contida no

plano coordenado α é representada pelo seu contra-rebatimento.

À direita na figura 17 tem-se uma dimetria oblíqua em que 1== xz EE . Logo, arbitrado o

traço YX . , a distância OX deverá ser igual a αrXO .

142

Obtido o ponto αrO sobre a semi-circunferência de diâmetro [ ]XY , a representação do cubo

faz-se como no caso anterior. Note-se que sobre o eixo axonométrico x podem marcar-se

directamente as medidas.

Embora nestes casos se tenham imposto sobre os eixos axonométricos determinadas

grandezas que vão implicar determinadas escalas, é um facto que, sendo sempre 1== zz CE ,

também xx CE = e yy CE = . Deste modo, estas axonometrias acabam por não deixar de ser

métricas, embora se tenham convencionado as escalas.


Pode considerar-se que as axonometrias cavaleira, militar e de Hejduk são simultaneamente

métricas e convencionais. São convencionais porque se pode convencionar a escala que se desejar

para o eixo axonométrico correspondente ao eixo coordenado perpendicular ao quadro; são métricas

porque a essa escala corresponde um coeficiente axonométrico igual.

143

7. Axonometria Métrica ou Axonometria Convencional ?

Em função da resolução do exercício de representação do cubo, aplicando o que se pode

designar como o método geral para a representação, fica-se habilitado a fazer uma selecção daqueles

sub-sistemas que parecem de operatividade mais prática e expedita.

Sobre esses sub-sistemas serão expostos alguns métodos práticos para a representação de

objectos.

A escolha do método e do sub-sistema adequado a cada caso depende das circunstâncias e

dos objectivos em que se desenvolve a representação e caberá a cada individuo fazer essa opção.

Obviamente, admite-se a utilização de qualquer sub-sistema aqui não eleito.

Das axonometrias métricas elegem-se:

• (três eixos coordenados oblíquos ao quadro) - axonometrias ortogonais

• (um eixo coordenado z paralelo ao quadro) - axonometrias com a direcção de projecção

ortogonal ao traço YX . 5

• dois eixos paralelos ao quadro) - axonometria cavaleira e axonometria militar

Das axonometrias convencionais elege-se:

• (três eixos oblíquos ao quadro) - axonometrias oblíquas e isometria ortogonal

Uma conclusão parece clara.

Com as axonometrias convencionais é mais fácil escolher o “bom ângulo de visão” e é

igualmente mais fácil e directo exercer um controlo sobre as proporções das representações. Sem

mais nada, dir-se-ia que sempre que possível se deve optar pela representação axonométrica

convencional, uma vez que aligeira a carga gráfica dos desenhos.

Contudo, pedagogicamente, pode questionar-se se este é o caminho mais correcto. É que se

em termos práticos é muito mais fácil a representação, já o entendimento profundo do sistema de

representação se torna mais difícil, por exemplo, quando comparado com as axonometrias ortogonais

em que a operatividade é um pouco mais complexa.

5 Obviamente que pode ser qualquer outro eixo paralelo ao quadro pelo que a direcção de projecção pode ser

ortogonal aos traços ZX . ou ZY . .

Este tipo de axonometria, tanto quanto é possível conhecer, não é utilizada. Tal facto causa espanto, sobretudo porque a sua utilização prática é de extrema simplicidade. Com efeito, é mais simples que algumas axonometrias que são normalmente utilizadas.

144

8. Métodos para a representação axonométrica de objectos

Propositadamente, o objecto que se elege para a exposição dos métodos não apresenta

superfícies curvas. Faz-se aqui a chamada de atenção que sempre que os objectos a representar

apresentem curvas, as representações dessas curvas podem ser feitas aplicando uma afinidade (que

pode coincidir com a afinidade do rebatimento, se for caso disso). Recomenda-se, pois, que se

consulte o que foi exposto no capítulo 2.

Considere-se um objecto dado por três vistas ortogonais (fig. 18).

ALÇADO FRONTAL ALÇADO LATERAL ESQUERDO

PLANTA

ALÇADO FRONTAL ALÇADO LATERAL ESQUERDO

PLANTA

y

y

z z

x

(x) (y)

x

(z)

Fig. 18

O primeiro passo da representação consiste em associar os eixos do referencial ao objecto..

Esta operação denomina-se ORIENTAR O OBJECTO relativamente ao referencial.

Na prática, esta operação pode traduzir-se na representação dos eixos nas vistas (à direita na

figura 18).

Após esta operação e definidos os eixos axonométricos pode produzir-se a axonometria.

Distingam-se, agora, alguns métodos para a representação de objectos:

MÉTODO DO PARALELEPÍPEDO ENVOLVENTE – Sempre que o objecto a representar

possa ser inscrito num paralelepípedo, é conveniente representá-lo primeiro e desenvolver o resto da

representação depois. Deste modo, assegura-se maior rigor gráfico e economia de traçado. A

representação do paralelepípedo faz-se como indicado para os cubos nos capítulos 5 e 6.

145

MÉTODO DAS COORDENADAS POLARES – Utiliza-se este método quando os pontos a

representar estão referidos a um sistema de coordenadas polares. Por exemplo, é dado um ponto P

pela distância à Origem do referencial, pelo azimute (ângulo que a projecção horizontal da distância

faz com o eixo coordenado x ) e pela altura (inclinação da distância relativamente ao plano

coordenado α ). Não é, contudo, um sistema de utilização muito frequente.

MÉTODO DAS COORDENADAS RECTANGULARES – Utiliza-se este método quando os

pontos a representar podem ser referidos a um sistema de coordenadas rectangulares. Normalmente

o sistema de coordenadas está associado ao referencial da axonometria.

MÉTODO DAS VISTAS ORTOGONAIS6 – Este método corresponde a dispor no desenho, de

forma conveniente, as vistas ortogonais do objecto a representar, de tal modo que se possam extrair

delas directamente medidas para a axonometria. É de utilização conveniente sempre que a

quantidade de traçados não prejudique o desenho.

Veja-se em confronto a representação axonométrica através do método das coordenadas (à

esquerda) e através do método das vistas ortogonais (à direita) em alguns sub-sistemas

axonométricos.

• axonometria ortogonal métrica (fig. 19).

z

xy

xr

yr

zr

O

Or

Or

z

xy

xr'yr'

O

Or'

Or'

zr'

xr'

Fig. 19

6 A designação MÉTODO DAS VISTAS ORTOGONAIS foi a que se encontrou para englobar um conjunto de métodos

que normalmente são apresentados de forma distinta. São estes, o método dos cortes, o método do falso rebatimento e o método das plantas independentes. Como todos correspondem graficamente a afinidades, pode-se generalizar o método.

Estes métodos podem ser encontrados no livro geometría descriptiva de F. Izquierdo Asenci, pp. 186 e 196. Este autor designa o método dos cortes por método da translacção paralela.

146

Neste caso, ambos os métodos utilizam os rebatimentos dos planos coordenados.

No primeiro caso (à esquerda na figura 19), são marcados sobre os eixos rebatidos as

verdadeiras grandezas das coordenadas dos pontos, das quais, por meio do contra-rebatimento, se

encontram as projecções. Encontradas as projecções das coordenadas sobre os eixos axonométricos,

a axonometria é construída por meio de translacções e paralelismo.

No segundo caso (à direita na figura 19), os rebatimentos dos planos coordenados são

efectuados no sentido contrário ao utilizado no método anterior (para que a disposição das vistas fique

de acordo com os dados) aos quais acrescem translacções (segundo a direcção dos eixos

axonométricos; por exemplo, α rebatido sofre uma translacção segundo o eixo axonométrico z ) para

que a disposição das vistas não se sobreponha à axonometria. A axonometria é produzida pelo

cruzamento da informação das duas vistas (podem utilizar-se três vistas).

• axonometria oblíqua métrica com o eixo coordenado z paralelo ao quadro e direcção de

projecção ortogonal ao traço YX . (fig. 20).

z

xy

xr

yr

O

Or

z

xy

O

xr'yr'

Or'

zr'

xr'

Fig. 20

No método à esquerda na figura 20, apenas é necessário rebater o plano coordenado α .

Uma vez que o eixo coordenado z é paralelo ao quadro, tem-se 1=zC pelo que se podem marcar

directamente as medidas segundo a direcção axonométrica z .

No método à direita na figura 20, passa-se o mesmo que no caso anterior. É oportuno notar

que se tomou o eixo coordenado z como charneira do rebatimento do plano coordenado β , que

depois sofreu uma translacção segundo o eixo axonométrico y .

147

• axonometria militar (fig. 21)

y

x

z

zr

O

y

x

z

O

z'

zr'

xr'

Fig. 21

Em ambos os métodos, a representação desenvolve-se a partir da planta que fica em

verdadeira grandeza (se fosse a axonometria cavaleira, a representação desenvolver-se-ia a partir de

um alçado).

No método à esquerda na figura 21, considera-se rz qualquer (eixo coordenado z rebatido

para o quadro; note-se que se pode arbitrar que o quadro coincide com o plano coordenado α ).

No método à direita na figura 21, considera-se o rebatimento do plano 'β (translacção do

plano coordenado β segundo a direcção do eixo axonométrico y ) em torno da recta 'x (translacção

do eixo axonométrico x ). As cotas são colocadas sobre 'z (translacção do eixo axonométrico z ) por

meio de uma afinidade estabelecida com a recta rz' (eixo coordenado 'z rebatido), e por meio de

uma translacção segundo a direcção do eixo axonométrico y são colocadas no eixo axonométrico

z .

A afinidade é definida em função do coeficiente zC .

• axonometria oblíqua convencional (fig. 22)

z

O

x

y

az

O

x

y

z'

x'

y'

z'

Fig. 22

148

Em ambos os métodos considera-se que a escala axonométrica 1=zE .

No método à esquerda na figura 22, marcam-se directamente as medidas paralelas a z .

Para as medidas segundo x e y , consideram-se duas afinidades com uma recta a qualquer

passante pelo ponto O (nos termos da figura) definidas em função das escalas yE e xE .

As verdadeiras grandezas das coordenadas segundo x e y são marcadas na recta a , e por

meio das afinidades são transportadas para as projecções dos eixos.

No método à direita na figura 22, considera-se, por exemplo, uma translacção dos eixos

axonométricos x e z segundo a direcção do eixo axonométrico y (determinando as rectas 'x e 'z ,

respectivamente), de tal modo que não fiquem sobrepostos à axonometria a produzir.

Alinhada com 'z , coloca-se a vista lateral esquerda que é colocada em posição afim

relativamente às rectas 'x e 'z . O eixo da afinidade é a recta 'z e a direcção da afinidade é

estabelecida em função da escala xE .

Procede-se de forma análoga com a vista frontal.

A axonometria é produzida cruzando a informação resultante das duas afinidades.

Há, contudo, um procedimento que permite unificar o método das vistas ortogonais. Porém,

esse procedimento implica uma ampliação, ou redução, das vistas consoante determinados critérios

(fig. 23).

z

O

x

y

A

A

B

B

uz

ux

u y

O

C

D

D

C

O

Fig. 23

149

Tem a vantagem de poder ser aplicado indiscriminadamente a qualquer axonometria

convencional.

Considerem-se os segmentos xu , yu e zu marcados sobre os eixos axonométricos x , y e

z a partir de O . Os segmentos xu , yu e zu correspondem à imposição das escalas axonométricas

xE , yE e zE , donde xu , yu e zu corresponderem à mesma medida unitária U que se conhece

sobre o objecto a representar.

Conduzam-se rectas paralelas a y pelos extremos dos segmentos zu e xu .

Por um ponto βO qualquer do prolongamento do eixo axonométrico y , conduz-se uma recta

perpendicular a y . Esta recta intersecta as rectas paralelas a y conduzidas pelos extremos de zu e

xu definindo duas medidas A e B , respectivamente.

Pelo extremo da medida A (oposto ao ponto βO ), na direcção de y , marque-se a medida

B .

Pelo extremo da medida B (oposto ao ponto βO ), na direcção de y , marque-se a medida

A no mesmo sentido em que se marcou a medida B .

As medidas A e B definem, duas a duas, triângulos rectângulos, cujas hipotenusas são

iguais e perpendiculares entre si.

Alinhe-se a vista lateral esquerda do objecto com as duas hipotenusas ampliando-a ou

reduzindo-a de tal forma que a a medida U corresponda à medida das hipotenusas.

Para a vista frontal, ou para a planta, procede-se de forma análoga.

A axonometria é produzida pelo cruzamento da informação das duas (ou três) vistas

ampliadas ou reduzidas.

150

Conclusão

151

Neste trabalho, embora se tenha procurado produzir um discurso global e actual sobre o tema

da representação axonométrica, fica o sentimento de que muitos aspectos foram apenas

superficialmente abordados.

Na Parte 1 foram expostos apenas os tópicos que permitem fazer uma leitura geral da história

da axonometria. Qualquer um dos capítulos desta parte permite maior desenvolvimento.

O capítulo 4 da Parte 2 permite um desenvolvimento exaustivo que se poderia constituir como

um trabalho independente.

É possível abordar a generalidade das questões enunciadas na Parte 2 através de outros

métodos algébricos que permitem, por exemplo, uma conexão com as questões da programação

informática. Neste sentido, pode colocar-se a questão da programação com vista a produzir softwares

que permitam a generalização das visualizações axonométricas.

A Parte 3 pode ser mais desenvolvida através da aplicação dos métodos de representação a

uma variedade maior de objectos de representação, explorando exaustivamente a aplicação da

afinidade.

É possível, a partir da Parte 3, desenvolver trabalhos independentes sobre a representação

axonométrica, por exemplo, em desenho à mão livre, ou em desenho assistido por computador.

Com efeito, penso que este trabalho permitiu a organização de um conjunto sólido de pistas

de trabalho para investigações futuras.

Se de alguma forma se abordou o tema com o intuito de produzir um discurso relativamente

fechado e acabado sobre a representação Axonométrica, verificou-se precisamente o contrário. Isto é,

verifica-se que este trabalho é “uma narrativa aberta”.

Bibliografia

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Fonte das figuras

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• Fig. 14 Bois, Yve-Alain; “Avatars de l’áxonométrie”, p. 131 (vidé bibliografia)

• Fig. 15 Op. Cit. (fig. 6), p. 126

• Fig. 16 ANU – Australian National University, 2003, disponível em:

http://rubens.anu.edu.au/htdocs/bytype/arch.sources/philibert/23869.JPG

• Fig. 17 Op. Cit. (fig. 6), p. 142

• Fig. 18 Desenhos de Arquitectura, 2003, disponível em:

http://o2.epandemic.com/fernando.lisboa/Cronologias/_Tempos/_1521-1616/_1521-1616.html

• Fig. 19 Op. Cit. (fig. 1), p. 78

• Fig. 20 Op. Cit. (fig. 1), p. 77

• Fig. 21 Op. Cit. (fig. 1), p. 77

• Fig. 22 Op. Cit. (fig. 1), p. 74

• Fig. 23 Durer, Albrecht; Instruction sur la manière de mesurer, p. 132 (vidé bibliografia)

• Fig. 24 Op. Cit. (fig. 1), p. 76

• Fig. 25 Monge, Gaspard; Geometría Descriptiva, prancha 1 (vidé bibliografia)

• Fig. 26 Op. Cit. (fig. 1), p. 75

• Fig. 27 idem (fig. 13)


• Fig. 29 Deforge, Yves; Le Graphisme Technique, p.69 (vidé bibliografia)

• Fig. 30 Farish, William; “On isometrical drawing”, prancha 2 (vidé bibliografia)

• Fig. 31 Gournerie, Jules de la; Traité de géometrie descriptive, pl. XLIX (vidé bibiografia)

• Fig. 32 Op. Cit. (fig. 31), pl. LII

• Fig. 33 Op. Cit. (fig. 6), p. 110

• Fig. 34 Op. Cit. (fig. 6), p. 116

• Fig. 35 Op. Cit. (fig. 6), p. 109

• Fig. 36 El Lissitsky, 2003, disponível em:

http://www.getty.edu/research/conducting_research/digitized_collections/ lissitzky/8_architecture/index.html

• Fig. 37 Estudo axonométrico de uma casa particular, 2003, disponível em:

http://o2.epandemic.com/fernando.lisboa/Cronologias/_Tempos/_1922-1996/_1922_vanDoesburg/_1922_vandoesburg.html

• Fig. 38 L’ouvre d’Alberto Sartoris, 2003, disponível em:

http://www.athenaeum.ch/oeuvre.htm

• Fig. 39 Fundación Proa, 2003, disponível em:

http://www.proa.org/exhibicion/hejduk/dibujos/hejduk-19.html

• Fig. 40 Anton, Howard; Calculus, Wiley, 6ª Edição, p.1066

• Fig. 41 Hawking, Stephen; O Universo numa Casca de Noz, Gradiva, p. 36

• Fig. 42 arcspace.com, 2003, disponível em:

www.arcspace.com/studio/ siza/pages/siza10_gif.htm

• Fig. 43 Buchanan, Peter; Renzo Piano building workshop, Vol. I, Phaidon, p.137

• Fig. 44 Op. Cit. (fig. 44), Vol. 4, p. 106

• Fig. 45 Konica Minolta, 2003, disponível em:

http://www.w3d.fr/scan3d/Vi%20910.htm


• Fig. 47 Jogo de computador SimCity4, 2003, disponível em:

www.gamingbliss.com/ simcity4pc.html

• Fig. 48 Jogo de computador Zeus, 2003, disponível em:

http://timebot.info/games/

Figuras da Parte 2 e da Parte 3

Todas as figuras das partes 2 e 3 destre trabalho foram produzidas pelo autor.

Anexos

i

Anexo da Parte 2

Cálculos relativos ao 4.2.1.

Considere-se a figura 10, do texto, que aqui é reproduzida com a inclusão de alguns elementos que

serão notados no decurso dos cálculos.

X

t =x

Y

Z

tt

O'

A

BC

x

z

y

y

z

x

O

O

O

r

r

r

r

r

r

z r

x ryr

(X ,Y )O' O'

(A,0 )(0,0 )

(X ,Y )1 1

Sejam: O a origem do referencial tri-ortogonal, 'O a sua projecção ortogonal no quadro, α̂ , β̂ e δ̂

os ângulos axonométricos, A , B e C os lados do triângulo fundamental [ ]ZYX ,, , e π o ângulo

que C faz com A .

Da figura, pode escrever-se:

YOyr = e 'YOy =

XOxr = e 'XOx =

ZOzr = e 'ZOz =

ii

• Começam por calcular-se os coeficientes de redução em função dos ângulos axonométricos,

isto é:

( )δβα ,,fyyCr

y ==

( )δβα ,,fxxCr

x ==

( )δβα ,,fzzCr

z ==

Tome-se como ponto de partida o cálculo do coeficiente yC .

Da figura podem extrair-se as seguintes igualdades expressas e desenvolvidas no sistema de

equações:

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−+=

−−+=

−

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

−+=+

−+=+

−+=+

2222

2222

2222

2222

2222

cos2

cos2

coscoscoscos

cos2

cos2

cos2

rr

rr

rr

rr

rr

zxzzxx

yzyyzz

zyxy

xzzxzx

zyyzyz

yxxyxy

β

δ

βαβδ

β

δ

α

( )⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−+−−+=

−−

⇔ 222222 cos2cos2 rr yzyyzxzzxx δβ

⇔

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

++−−=

−−

⇔

βαβδ

δβ

coscos

coscos

cos2cos2 2222

yz

yx

yzyyxzxx rr

iii

⇔

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

⇔ 222

2

2222

coscoscos2cos

coscos

coscos2

coscos

coscoscos2

coscos

rr

rz

yyyyyyyx

yyyyxy

δβαβ

βα

βδ

βδ

αβδ

βδ

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

+−=

−

−+=+−+

⇔βδ

βαδ

βδ

βδ

2

22222

22

222

2

22222

coscos

coscoscos2

coscos

coscos

yyyx

yyyyyyy

rr

rr

Desenvolvendo agora a 1ª equação do sistema tem-se:

yr

rr C

yy

yyyyy =

−=⇔−=⇔−=

βαδβ

αδβαδ

coscoscos1

1cos

coscos1cos

coscos222 2

2222

Determinado o coeficiente yC , podem, apenas por rotação de δ , α e β no segundo

membro da equação, determinar-se os coeficientes xC e zC . Os resultados estão indicados no texto.

iv

• Passa-se agora ao cálculo dos coeficientes de redução em função dos lados do triângulo

fundamental, isto é:

( )CBAfyyCr

y ,,==

( )CBAfxxCr

x ,,==

( )CBAfzzCr

z ,,==

Tome-se como ponto de partida o cálculo do coeficiente zC .

Da figura podem extrair-se as seguintes igualdades expressas e desenvolvidas no sistema de

equações:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−=+−⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=+−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

=+ 22222

222

2222

222

222

222

222

222rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr zCzBA

zCy

yzBAzBx

yAx

Cyz

Bzx

Axy

Daqui resulta:

(1) 2

2222 CABzr

+−=

Associe-se à figura um referencial cartesiano rectangular plano em que a recta αt coincide

com o eixo x , e Y coincide com a origem. Neste sistema de coordenadas tem-se:

( )'' ,'

OO YXO

( )11 ,YXZ

( )0,AA

v

em que:

(2) πcos'1 CXX o ==

(3) πsin1 CY =

Podem escrever-se as seguintes igualdades

(4) ππ 22 cos1sin −=

(5) CA

BCA2

cos222 −+

=π

O declive da recta passante pelo lado B do triângulo é dado por:

AX

Ym−

=1

1

A representação algébrica da recta passante pelo segmento y (que é perpendicular ao lado

B do triângulo), será:

(6) XY

XAY1

1−=

Como o ponto 'O pertence a esta recta, pode escrever-se:

(7) '1

1' OO X

YXAY −

=

A distância 'ZO , notada por z , pode ser expressa pela diferença de afastamentos entre os

pontos Z e 'O . Daqui resulta:

(8) '1 OYYz −=

vi

Substituindo (7) em (8) tem-se:

(9) '1

11 OX

YXAYz −

−=

Substituindo (2) e (3) em (9) vem:

ππππ cos

sincossin C

CCACz −

−=

que desenvolvido resulta em:

(12) ( )

ππ

ππ

2

22

sincos

sincos ACzACz −

=⇔−

=


(13) ( )

ππ

2

22

cos1cos

−−

=ACz


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

=

CABCA

CABCAAC

z

21

2222

2222

2

que desenvolvido fica:

(14) 2222

2222

2

21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=

CACBA

CBAC

z

vii

O coeficiente pode ser obtido dividindo ordenadamente (14) por (1):

2

21

2

222

2222

2222

2

2

CABCA

CBA

CBAC

zz

r +−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=

Desenvolvendo esta expressão tem-se:

( )222222

222

4)(2CBACA

BACAzzCr

z+−−

+−==

Por permutação cíclica parcial dos valores B e C , o coeficiente zC pode ser expresso por:

( )222222

222

4)(2CBABA

BACAzzCr

z−+−

+−==

Os coeficientes xC e yC , os quais estão expressos no texto, podem ser obtidos por rotação

dos valores A , B e C .

i

Anexo da Parte 3

Exemplos de aplicação prática da representação axonométrica

Expor-se-ão neste anexo alguns exemplos de aplicações práticas de representações axonométricas

relacionadas com o contexto académico e com o contexto da prática da arquitectura.

• Desenhos de alunos da Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa

Fig. 1 – aluno Luís Mateus Fig. 2 – aluno Luís Mateus

Fig. 3 – aluna Marlene Roque Fig. 4 – aluna Sofia Daniela

ii

Fig. 5 – aluna Filipa Beirão Fig. 6 – aluna Ariana Figueiras

Fig. 7 – aluno Sidel Lima

iii

• Desenhos no contexto de prática da Arquitectura

Fig. 8 – esquiço Fig. 9 – esquiço

Fig. 10 – visualização informática Fig. 11 – visualização informática

Fig. 12 – excerto de desenho para construção Fig. 13 – desenho para construção

provas de aptidÃo pedagÓgica e capacidade...

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