Testul nr. 16

Problema 1 (30 puncte = 3x10 puncte)

a) Să se calculeze ( )81 3 300 49 7 4+ × − × − .

b) Să se determine numărul natural a din egalitatea:

( ) ( ){ }3 12 13 81 3 300 49 7 4 : 41 15a× × + + + × − × − = .

c) Să se determine cel mai mic număr de 8 cifre cu proprietatea că suma oricăror 4 cifre alăturate este 14. Problema 2 (20 puncte = 2x10 puncte)

Suma a două numere este de 9 ori mai mare decât diferența lor, dar dacă se micșorează suma cu 45 și se mărește diferența cu 45, atunci aceasta din urmă ar fi de trei ori mai mică decât noua sumă. Să se determine: a) Suma inițială. b) Cele două numere. Problema 3 (20 puncte = 2x10 puncte)

Un ogar urmărește un iepure care are în față un avans de 240 sărituri (sărituri de iepure). Ogarul face 4 sărituri într-o secundă, iar iepurele face 6 sărituri pe secundă, dar 18 sărituri de-ale ogarului fac cât 32 sărituri de-ale iepurelui. Să se determine: a) În câte secunde prinde ogarul iepurele; b) Numărul minim de sărituri pe care trebuie să le aibă avans iepurele pentru a nu fi prins de ogar în 3 minute. Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Se consideră șirul: 1, 4, 7, 10, 11, 14, 17, 40, 41, 44, 47, 70, 71, 74, 77, 100, 101, 104, 107, 110, ........

a) Să se completeze cu următorii trei termeni; b) Să se determine câte numere de cinci cifre conține șirul ; c) Să se determine al 1015-lea termen al șirului.

test elaborat de prof. MIHAI TOTOLICI Rezolvarea testului. Rezolvări prezentate de prof. ROMEO ZAMFIR

Problema 1 (30 puncte = 3x10 puncte)

a) Avem că

( )

( )

( )

81 3 300 49 7 4

81 3 300 49 3

81 3 300 147

81 3 153

81 459

540

+ × − × −

= + × − ×

= + × − =

= + × =

= + =

=

b)

( ) ( ){ }( )

( )

( )

( )

( )

3 12 13 81 3 300 49 7 4 : 41 15

3 12 13 540 : 41 15

3 12 13 540 15 41

3 12 13 540 615

3 12 13 615 540

3 12 13 75

12 13 75 :3

12 13 25

12 25 13

12 12

12 :12

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

× × + + + × − × − =

× × + + =

× × + + = ×

× × + + =

× × + = −

× × + =

× + =

× + =

× = −

× =

=

=

c) Numărul căutat este de forma: abcdxyzt . Avem că 14a b c d+ + + = . Cum numărul trebuie să fie cel mai mic posibil obținem 1, 0, 4, 9a b c d= = = = . Mai departe, din egalitățile 14, 14, 14b c d x c d x y d x y z+ + + = + + + = + + + = și 14x y z t+ + + = obținem 1, 0, 4, 9x y z t= = = = . Numărul căutat este 10491049 . Problema 2 (20 puncte = 2x10 puncte) Notăm cu d diferența celor două numere și s suma celor două numere. ”Suma a două numere este de 9 ori mai mare decât diferența lor” Desenul corespunzător este:

”….dacă se micșorează suma cu 45 și se mărește diferența cu 45, atunci aceasta din urmă ar fi de trei ori mai mică decât noua sumă…” Desenul corespunzător este:

Comparând cele două desene deducem:

Deci, 6 segmente 135 + 45= 6 segmente 180= 1 segment 180:6= 1 segment 30= Obținem că 30d = și 9 30 270s = × = . Notăm cu a și b cele două numere. Avem că 30d a b= − = și 270s a b= + = . Desenul corespunzător este:

Obținem că ( )270 30 : 2b = −

240 : 2b = 120b = 30 120 30 150a b= + = + = . Răspunsuri: a) 270 b) 150a = și 120b =

Problema 3. a) Avansul ogarului este de 240 sărituri (de iepure Distanță: 18 sărituri ale ogarului ………………………………….… 32 sărituri ale iepurelui Timp: 4 sărituri face ogarul ……………………………………….. 6 sărituri face iepurele Este în interesul nostru să lucrăm cu numere cât mai mici și din acest motiv împărțim linia cu timp la 2. Obținem: Distanță: 18 sărituri ale ogarului …………………………………....… 32 sărituri ale iepurelui Timp: 2 sărituri face ogarul ……………………………………….. 3 sărituri face iepurele Înmulțind a doua relație cu 9 (cea cu timp) obținem:

Distanță: 18 sărituri ale ogarului ……………………………………….… 32 sărituri ale iepurelui Timp: 18 sărituri face ogarul …………………………………… …... 27 sărituri face iepurele În concluzie, la fiecare 18 sărituri efectuate de ogar el recuperează 32 27 5− = sărituri ale iepurelui. 240 : 5 48= grupe de sărituri trebuie efectuate. 48 18 864× = sărituri face ogarul până când prinde iepurele 48 27 1296× = face iepurele până când este prins de ogar. 864 : 4 216= secunde are nevoie orarul ca să prindă iepurele. b) Ogarul recuperează 240 sărituri de iepure în 216 secunde (împărțim la 12), deci ogarul recuperează 20 sărituri de iepure în 18 secunde (înmulțim cu 10), de unde obținem că 200 sărituri de iepure recuperează ogarul în 180 secunde = 3 minute. Răspunsuri: a) 216 secunde

b) 201 sărituri.

Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Șirul de numere din problemă este șirul crescător format din toate numerele naturale nenule care se pot scrie numai cu cifrele 0, 1, 4 și 7. a) Următorii trei termeni sunt: 111, 113, 117. b) Se folosește regula produsului. Pentru prima cifră avem 3 posibilități de completare (cu cifrele 1, 4 și 7), iar pentru fiecare din următoarele patru cifre avem 4 posibilități de completare (cu cifrele 0, 1, 4 și 7). Prin urmare, sunt 3 4 4 4 4 768× × × × = de numere de cinci cifre. c) Determinăm câte numere sunt cu cel mult 5 cifre. Avem 3 numere de o cifră 3 4 12× = numere de două cifre 3 4 4 48× × = numere de trei cifre 3 4 4 4 192× × × = numere de patru cifre 3 4 4 4 4 768× × × × = de numere de cinci cifre, deci sunt 3 12 48 192 76 1023+ + + + = numere cu cel mult 5 cifre. Ordinea descrescătoare a numerelor de 5 cifre este 77777, 77774, 77771, 77770, 77747, 77744, 77741, 77740, 77717, 77714, …… Deci, al 1015-lea termen este 77717. Notă. Inițial în carte, dintr-o eroare, s-a cerut al 105-lea termen. Și acest termen se poate afla folosnd metoda de mai sus. Avem 3 12 48 63+ + = de numere cu cel mult trei cifre. Trecând la numerele de 4

cifre avem 4 4 16× = de numere de patru cifre de forma 10ab , 4 4 16× = de numere de patru cifre de

forma 11ab și 4 4 16× = de numere de patru cifre de forma 14ab . Prin urmare, numărul 1477 este al 63 16 16 16 111+ + + = -lea număr din șir. Ordinea descrescătoare a numerelor este 1477, 1474, 1471, 1470, 1447, 1444, 1441, 1440, 1177, 1174, 1171, 1170, 1147,… . Deci, al 105-lea termen al șirului este 1441. Răspunsuri: a) 111, 114, 117

b) 768 c) 77717