tesi paolo merged

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Simulazione del comportamento

meccanico-funzionale

di un centro di lavoro

Relatore: Ch.mo Prof. Michele MONNO

Correlatore: Dott. Ing. Giacomo BIANCHI

Tesi di Laurea di:

Paolo ALBERTELLI

Matr. 650078

Anno accademico 2003-2004

Simulazione del comportamento meccanico-funzionale di un centro di lavoro

Tesi di Laurea di Paolo Albertelli 1

INDICE

INDICE ............................................................................................................................................................ 1

INTRODUZIONE ........................................................................................................................................... 3

1 DESCRIZIONE DEL CENTRO DI LAVORO ......................................................................................... 6

1.1 GENERALITÀ............................................................................................................................................ 6

1.2 MACCHINA A MANDRINO VERTICALE .................................................................................................... 12

2 MODELLAZIONE .................................................................................................................................... 18

2.1 MODELLO COMPLESSIVO ....................................................................................................................... 19

2.2 MODELLO DELLA MACCHINA UTENSILE ................................................................................................ 20

2.2.1 Struttura meccanica ...................................................................................................................... 20

Aspetti modellati ................................................................................................................................................ 20

Modello Dymola della struttura.......................................................................................................................... 23

2.2.2 Catene cinematiche....................................................................................................................... 41

Aspetti modellati ................................................................................................................................................ 42

Modelli Dymola delle catene cinematiche ......................................................................................................... 47

2.3 MODELLO DELL’AZIONAMENTO ............................................................................................................ 61

Considerazioni.................................................................................................................................................... 61

Modello dell’azionamento.................................................................................................................................. 66

2.4 MODELLO DELL’UTENSILE..................................................................................................................... 73

2.5 MODELLO DEL “PEZZO-PROCESSO” ....................................................................................................... 76

3 DETERMINAZIONE DEI PARAMETRI............................................................................................... 82

3.1 PARAMETRI MECCANICI MACCHINA UTENSILE....................................................................................... 82

3.1.1 Premessa sulla determinazione dei valori di smorzamento .......................................................... 82

3.1.2 Struttura meccanica ...................................................................................................................... 84

3.1.3 Catene cinematiche....................................................................................................................... 96

3.2 VERIFICA PARAMETRI MECCANICI DELLA MACCHINA UTENSILE......................................................... 110

3.3 TARATURE AZIONAMENTI.................................................................................................................... 131



3.3.1 Considerazioni ............................................................................................................................ 131

Procedura di taratura nel tempo........................................................................................................................ 133

3.3.2 Taratura asse U .......................................................................................................................... 135

Taratura anello di velocità................................................................................................................................ 142

Taratura anello di posizione ............................................................................................................................. 167

3.3.3 Risultato tarature assi................................................................................................................. 177

4 PROCESSO DI TAGLIO ........................................................................................................................ 178

4.1 FRESATURA CON MECCANICA RIGIDA .................................................................................................. 178

4.2 STABILITÀ DEL PROCESSO DI TAGLIO................................................................................................... 184

5 VALIDAZIONE MODELLO.................................................................................................................. 189

5.1 ANALISI MECCANICA DELLA STRUTTURA ............................................................................................ 189

5.2 TARATURA ASSI ............................................................................................................................. 191

5.3 ESECUZIONE DI UNA TRAIETTORIA IMPOSTA............................................................................ 195

5.3.1 Attrito nelle guide ....................................................................................................................... 195

5.4 PROVE DI LAVORAZIONE .................................................................................................................. 202

6 SVILUPPI ................................................................................................................................................. 206

6.1 STRUTTURA DEFORMABILE.................................................................................................................. 206

7 CONCLUSIONI ....................................................................................................................................... 213

APPENDICI................................................................................................................................................. 216

1 CODICI MODELICA DEI MODELLI REALIZZATI ......................................................................................... 216

2 APPENDICE DYMOLA.............................................................................................................................. 223

2.1 Generalità su Dymola-Modelica.................................................................................................... 223

2.2 Terminali utilizzati nel modello della Macchine Utensili .............................................................. 227

2.3 Altri ambienti di simulazione ......................................................................................................... 229

BIBLIOGRAFIA......................................................................................................................................... 235



INTRODUZIONE

In questo lavoro di tesi si è realizzato un modello dinamico di un centro di lavoro, il cui

nome commerciale è “EVENT” ed è prodotto dall’azienda “EMMEOTTO”.

Successivamente si è simulato ed analizzato il comportamento del modello creato.

Il modello dinamico della macchina utensile è stato realizzato in ambiente Dymola,

acronimo di “Dynamics Modeling Laboratory” che sfrutta il linguaggio ad oggetti

“Modelica”(vedere appendice [1]). In Dymola vengono generalmente gestiti modelli a-

causali ovvero modelli che interagiscono tra loro solo attraverso terminali di connessione.

In questi modelli non vengono quindi definiti gli ingressi, le uscite e gli stati. Con questa

filosofia è possibile creare modelli semplicemente scrivendo le equazioni che descrivono

gli aspetti della realtà fisica che si vogliono modellare, facendo attenzione a specificare le

relazioni tra le variabili e le grandezze fisiche associate ai terminali di connessione. In

Dymola è piuttosto semplice modificare modelli o sostituirne alcuni con versioni più

dettagliate. Questo pacchetto software permette di modellare e far interagire tra loro

modelli appartenenti a domini differenti. In Dymola si ottengono modelli che, anche

all’apparenza, sono piuttosto aderenti alla realtà fisica.

Per ulteriori chiarimenti si faccia riferimento comunque all’appendice [1].

E’ proprio nel creare un modello di una macchina utensile che si sfrutta la possibilità di

una modellazione multidominio al fine di valutare il comportamento simulato del centro di

lavoro.

Nella tesi si sono modellati vari aspetti riguardanti una macchina utensile come quello

della struttura meccanica, delle catene cinematiche, quello relativo all’azionamento ed

inoltre, si sono trattati quelli associati all’utensile, al processo di taglio e al pezzo.

Si è deciso di modellare tutti gli aspetti elencati per avere un modello finale completo del

sistema centro di lavoro-processo-pezzo.

Relativamente alle considerazioni su ciò che si è modellato si propone lo schema

esplicativo di Figura 1.



Figura 1: Schema topologico degli aspetti modellati

Si è deciso di modellare, anche se in alcune parti molto semplicemente, tutti i blocchi dello

schema per ottenere una visione complessiva del problema trattato e per poter sfruttare la

principale caratteristica di Dymola ovvero l’estrema modularità dei suoi modelli.

In questo modo alcuni modelli del sistema potranno eventualmente essere sostituiti da altri

più complessi e dettagliati senza dover stravolgere l’intera architettura del sistema.

La filosofia dell’”analisi meccatronica” è quella di ottenere modelli numerici del sistema

reale che possano fornire , in fase di progettazione, informazioni significative sul

comportamento della macchina.

In questo lavoro di Tesi si è cercato di creare una sorta di libreria di componenti con la

quale modellare un centro di lavoro ed un ipotetico processo di lavorazione.

In definitiva, considerando il grado di dettaglio della modellazione, si sono ottenute dal

modello numerico le seguenti informazioni:

• Rigidezze statiche al mandrino relative alle direzione dei tre assi della parte

meccanica

AZIONAMENTO

CONTROLLO

ASSI

MACCHINA UTENSILE

PROCESSO DI TAGLIO

forze

pezzo-utensile

coppie motori

posizione

pezzo-utensile

segnale

sensori



• Caratterizzazione dinamica della parte meccanica con determinazione dei modi

principali di vibrare e relativi smorzamenti

• Si sono realizzate le tarature dei vari assi e se ne sono determinate le relative bande

passanti di velocità e di posizione

• Si è modellato il processo di taglio e se ne è individuato un possibile limite di

stabilità

• Si è simulato un processo di lavorazione di fresatura

• Si è simulato l’effettiva realizzazione di una traiettoria imposta.

Alcune di queste simulazioni sono state utilizzate, confrontandole opportunamente con i

dati relativi alla macchina reale, per validare il modello realizzato.

I risultati ottenuti, come del resto il grado di dettaglio dei modelli proposti e gli attuali

limiti, verranno illustrati nel corso della presentazione del lavoro e verranno riepilogati

nella parte conclusiva.



1 DESCRIZIONE DEL CENTRO DI LAVORO

1.1 GENERALITÀ

Event di Emmeotto è una macchina che abbina le caratteristiche di un centro di lavoro

orizzontale a quelle di uno verticale. Il prodotto di Emmeotto, essendo dotato di un asse

mandrino verticale, di uno orizzontale e di una tavola girevole, permette, senza effettuare

ulteriori posizionamenti, di lavorare un pezzo meccanico su cinque delle sue facce. La

filosofia progettuale descritta, grazie appunto alla riduzione dei riposizionamenti, permette

di aumentare notevolmente la precisione delle lavorazioni, di ottenere una discreta

flessibilità e di ridurre sensibilmente i tempi di ciclo con conseguente incremento della

produttività.

Figura 2: Fotografia Event



La struttura è di tipo modulare e i moduli sono identici sia per la testa verticale sia per

quella orizzontale. Entrambi i moduli poggiano su basamenti monolitici in acciaio

elettrosaldato con tutti gli alloggiamenti e le lavorazioni necessarie per supportare gli altri

gruppi. Su entrambi i basamenti elettrosaldati scorre un carro in ghisa che porta una testa in

cui è alloggiata la cartuccia mandrino dotata di attacco HSK 63.

I movimenti del carro avvengono mediante guide a ricircolo di rulli pre-caricati e

comandati attraverso viti a ricircolo di sfere. Su tutti gli assi sono montate righe ottiche

pressurizzate.

La parte verticale ed orizzontale della macchina possiedono lo stesso carrello in ghisa, la

stessa testa, lo stesso canotto, la stessa cartuccia mandrino. Sostanzialmente il medesimo

modulo può essere configurato sia verticalmente che orizzontalmente.

E’ importante sottolineare che la stabilità e la precisione del gruppo con mandrino verticale

è garantita proprio dalla struttura a portale

Figura 3: Configurazione orizzontale e verticale del medesimo modulo



Figura 4: Modulo configurabile

Nel basamento è ricavato direttamente l'alloggiamento per la tavola girevole .

La tavola non subisce movimenti di traslazione a croce poiché sono gli assi dei moduli che

vanno a posizionare il mandrino in corrispondenza dei punti voluti per la lavorazione del

pezzo.

La tavola girevole è costruita in fuso unico: motore, lettura di posizione, bloccaggio sono

tutti su un unico asse e non sono presenti trasmissioni al fine di eliminare le possibili

imprecisioni generate dalla meccanica.

La tavola ha la possibilità di esercitare una coppia di 1.000 Nm e può essere bloccata in

posizione da un freno a disco attraverso una coppia frenante massima di 4000 Nm.

II carico e il bloccaggio dei pallet avvengono idraulicamente mentre il mantenimento delle

prestazioni durante le lavorazioni è meccanico. Proprio in virtù di questo blocco

meccanico, durante la lavorazione, viene tolto il bloccaggio idraulico al fine di evitare di

mantenere fluidi in pressione.

Il sistema di raffreddamento della tavola girevole è realizzato attraverso un circuito

dedicato, in modo da avere un raffreddamento ad hoc per questo particolare.

Gli elettromandrini sono di progettazione Emmeotto. All'interno di ciascun mandrino sono

alloggiati un rotore e uno statore Siemens con un bloccaggio utensile HSK63,

espressamente sviluppato per l'alta velocità.

La velocità di rotazione può raggiungere i 12.000 giri/minuto.

Sono due le gamme di potenza dei mandrini disponibili sulla Event: 24 kW e 33 kW . E’

previsto inoltre il passaggio all'interno del mandrino del liquido refrigerante. II

condizionamento dei cuscinetti e dei motori è indipendente l'uno rispetto all'altro.

Questo permette di ottenere temperature ottimali su ciascuno dei particolari presi in

considerazione senza dover accettare che l’impianto sia costretto a mediare fra le esigenze

dei motori e quelle dei cuscinetti.



La tavola girevole, grazie alla capacità di raggiungere velocità di 200 giri al minuto e di

esercitare coppie elevate, può svolgere realmente lavorazioni di tornitura, in questo caso

sono i mandrini a svolgere la funzione di torrette porta-utensili. La lubrificazione

dell'utensile può avvenire sia in modo tradizionale che attraverso il mandrino.

Anche se la macchina possiede due mandrini, è presente un solo grande magazzino

utensili. II magazzino, posto nella parte posteriore della macchina , è a postazioni fisse. Un

manipolatore cartesiano provvede a prendere l'utensile e a metterlo a disposizione del

cambio utensile che provvederà a montarlo sul mandrino. II cambio utensile che è gestito

da un CN con un sistema ad asse controllato è inoltre in grado di trasferire un utensile da

un mandrino all'altro.

Il cambio utensile viene effettuato su un mandrino alla volta garantendo così la continuità

nelle operazioni di asportazione.

Il controllo d’integrità dell’utensile avviene in tempo mascherato tramite un sistema laser

posizionato all’interno del magazzino utensili.

La Event può essere caricata attraverso un cambio pallet (fino ad 8 posizioni) o attraverso

altri sistemi che per mettono l’integrazione in linea.

Tutta l’impiantistica della macchina è basata su un pacchetto Siemens: motori asse,

azionamenti, quadro elettrico.

La conformazione dell'area di lavoro con pareti quasi verticali e l’assenza di parti in

movimento permette una facile caduta del truciolo verso il trasportatore truciolo che è

alloggiato nella parte inferiore del basamento.

Per quanto riguarda il CNC, la Event adotta un Siemens 840D la cui logica di macchina è

stata sviluppata direttamente dalla Emmeotto.

La memoria dei CNC Siemens per stoccare i programmi è molto alta ed è dotata di una

serie di funzioni tecnologiche e quindi non servono sottoprogrammi. Questo CNC permette

di operare con due canali separati, i due mandrini sono così gestiti come due singole

macchine ma cercando di ottimizzare la contemporaneità delle lavorazioni sul medesimo

pezzo. E’ presente, inoltre un sistema di anticollisione



SCHEDA TECNICA

Modello Event

Tipologia Centro di lavoro orizzontale - verticale combinato

Costruttore Emmeotto Srl Ponte dell'Olio ( PC ) CARATTERISTICHE TECNICHE Asse X (mand. Oriz.) 720 mm Asse Y (mand. Oriz.) 620 mm Asse Z (mand. Oriz) 450 mm Asse U (mand. Vert.) 720 mm Asse W (mand. Vert.) 620 mm

Corse di lavoro

Asse V (mand. Vert.) 450 mm Divisioni standard 360000 posizioni Velocità max di rotazione 250 rpm Accelerazione 8 rad/sec^2 Coppia continua 700 N*m Coppia max 1000 N*m Coppia di frenatura 4000 N*m Tempo di posiz. 0 - 90° 0,4 sec Tempo di posiz. 0 - 180° 0,55 sec

Tavola girevole

Tempo di posiz. 0 - 180° con freno 1,4 sec Pallet 500 x 500 mm Pezzo max 600 x 600 x 600 mm Peso pezzo max 500 kg Diametro pezzo in rotazione 850 mm

Pallet

Tempo cambio pallet 20 sec Mandrino orizzontale / verticale HSK A63 Velocità max rotazione 12000 rpm Potenza cad. mandrino 24 / 33 kW Coppia continua 105 N*m

Mandrino

Coppia in S6 (25 %) 158 N*m Velocità rapida assi 45 m/min Accelerazione assi 8 m/sec^2 Spinta max assi 6000 N Sistema di misura Righe ottiche su tutti gli assi

Caratteristiche assi

Sistema di misura tavola Encoder toroidale Numero utensili (condivisi orizz - vert ) 60 / 200 Diametro utensili max 150 mm Lunghezza utensile max 280 mm

Magazzino utensili

Peso massimo 10 kg Precisione di pos. assi lineari 0,005 mm Precisione di pos. asse B +/- 3"

Precisione

Precisione di inversione 4 micron Tensione e frequenza 380 V 50 Hz Peso totale dell'impianto 25000 kg

Informazioni generali

Potenza installata 65 kW

Tabella1:Event



Figura 5:Layout Event



1.2 MACCHINA A MANDRINO VERTICALE

In questa tesi si è realizzato il modello dinamico del modulo a mandrino verticale.

In questo paragrafo verrà descritta con più attenzione l’architettura del centro di lavoro.

Nella figura sottostante viene definita la nomenclatura degli assi della configurazione

analizzata.

Figura 6:Modulo a mandrino verticale

Il basamento e la struttura a portale sono realizzati in acciaio elettrosaldato.

La movimentazione dei tre assi viene realizzata mediante un modulo costituito da un carro

in ghisa, da un supporto canotto e da un canotto che a sua volta alloggia una cartuccia per

il mandrino.

Nella figura che segue si evidenziano le parti funzionali, che traslando relativamente una

rispetto alle altre, permettono di realizzare i movimenti lungo i tre assi.

U

W

V



Figura 7:Elementi principali della parte mobile

Carro

Supporto canotto o testa

Canotto

Modulo completo

Figura 8: Realizzazione modulo completo

CARRO

SUPPORTO CANOTTO CANOTTO

CARTUCCIA MANDRINO



PATTINO

ROTAIA

Il movimento relativo di una parte rispetto alle altre è permesso da guide a ricircolo di rulli.

La traslazione lungo U è garantita dalla presenza di rotaie sulla struttura a portale e da

quattro pattini o slitte solidali al carro (RUE 45 DLFEW2).

Figura 9:Guida RUE 45 DLFEW2

Come del resto si può osservare dalla seguente immagine.

Figura 10: Disposizione dei pattini tra carro e portale

PATTINI

IN VISTA

ROTAIA



Si ha una situazione del tutto analoga anche per l’asse W. La traslazione tra il gruppo

supporto canotto-testa ed il carro è garantito da guide fissate al carro e da pattini solidali

con il supporto canotto (RUE 35 DHLFEW3).

Figura 11: Guida RUE 35 DHLFEW3

Per quanto riguarda la disposizione spaziale dei pattini, si può fare riferimento alla

seguente immagine tratta dal modello solido della macchina.

Figura 12: Disposizione dei pattini tra testa e carro

PATTINO

ROTAIA

PATTINI

IN VISTA

ROTAIE



PATTINI AD “X”

PATTINI RUS

Le cose sono leggermente differenti per la traslazione verticale V. In questo caso, infatti, il

canotto è supportato da due guide disposte ad “X” e da due guide con pattini

unidirezionali.

Le guide disposte ad “X” sono le RUE 35 DFEW2 mentre quelle con pattini unidirezionali

sono le guide RUS.

Figura 13:Guida RUE 35 DFEW2 GuidaRUS

La disposizione delle guide descritte può essere dedotta dalla seguente figura.

Figura 14:Disposizione guide tra canotto e relativo supporto

PATTINO

ROTAIA

PATTINO

ROTAIA



Dopo aver descritto sommariamente la struttura del centro di lavoro ad asse verticale,

mettendone in evidenza gli elementi strutturali costitutivi ed i relativi accoppiamenti, è

indispensabile, almeno a livello introduttivo anche in questo paragrafo, descrivere come

questi componenti sono movimentati.

Per ogni asse esiste una catena cinematica, ovvero una trasmissione in grado di spostare un

elemento rispetto agli altri.

Sostanzialmente, nella EVENT, esistono due tipologie differenti di catene cinematiche,

una chiamata “ a vite fissa” e l’altra soprannominata “a vite rotante”.

La tipologia “a vite fissa” è utilizzata per movimentare sia l’asse U che l’asse W, mentre

quella a “vite rotante” è impiegata per l’asse verticale V.

E’ importante osservare che entrambi i tipi di trasmissioni adottate sono fondamentalmente

caratterizzate da una trasmissione a cinghia, da una vite a ricircolo e dai relativi supporti,

quello che le differenzia è il fatto che nei due casi la trasformazione del moto rotatorio a

quello traslatorio avviene in posizioni differenti.

Nel caso della trasmissione a “vite fissa”: il motore trasmette,essendo solidale alla puleggia

motrice della trasmissione a cinghia, il moto alla puleggia condotta che a sua volta,

essendo fissata alla chiocciola, mette in rotazione la chiocciola stessa facendo avanzare

opportunamente la vite e di conseguenza l’elemento che deve essere movimentato.

Per quanto riguarda la trasmissione a “vite rotante” invece, è la vite ad essere messa in

rotazione, attraverso la cinghia, dal motore. La rotazione della vite viene trasformata in

traslazione dalla chiocciola fissata all’elemento da movimentare.

Ulteriori dettagli relativi alle tipologie di trasmissioni verranno illustrati nella sezione

relativa alla loro modellazione.

I motori utilizzati per movimentare i vari assi sono dei motori brushless sinusoidali trifase

della Siemens.

Per l’asse U e per l’asse V viene utilizzato un motore 1FT6086 mentre per l’asse W un

motore 1FT6082 [21].

Come è già stato anticipato nel paragrafo precedente, la macchina è equipaggiata con un

azionamento Siemens 840D [4].



2 MODELLAZIONE

Come è già stato anticipato nel capitolo introduttivo, in questa Tesi si è affrontato il

problema della modellazione dei seguenti aspetti: struttura meccanica della macchina con

relative catene cinematiche, azionamenti, utensile, pezzo e processo di taglio.

Per alcuni di questi “settori” si sono proposti modelli relativamente semplici ma si è

pensato, grazie alla modularità di Dymola, possano essere sostituiti in futuro da modelli

più dettagliati.

L’obiettivo di questo lavoro è comunque quello di proporre modelli per le varie parti, per i

diversi componenti ed analizzare, simulando il comportamento dell’intero sistema, come

questi interagiscono determinando le prestazioni globali della macchina utensile.

Un aspetto piuttosto importante e cruciale nella fase di modellazione è quello di decidere,

per ogni componente o per ogni campo applicativo trattato, quali aspetti della realtà

modellare, ciò equivale a fissare il grado di dettaglio del modello. Queste scelte devono

essere fatte tenendo in considerazione il dettaglio dell’intero modello. Sovente non è

significativo proporre modelli particolarmente accurati di parti del sistema quando altri

sottomodelli, per il loro livello di dettaglio, non ne sono influenzati.

Un approccio significativo, se non si deve obbligatoriamente studiare un fenomeno

specifico, è sicuramente quello di proporre modelli relativamente semplici dei vari

componenti per poi, dopo aver analizzato e verificato le simulazioni numeriche, andare ad

incrementarne il dettaglio al fine di valutare quali informazioni vengono introdotte con la

modellazione di aspetti fisici prima non considerati. Questa è la strada che si è cercato di

seguire in questo lavoro di Tesi.

Nel caso in cui si debba andare ad analizzare un particolare tipo di fenomeno, è essenziale

stabilire a priori il dettaglio da utilizzare nella modellazione del sistema.

In questo capitolo verranno presentati gli aspetti della realtà effettivamente modellati

illustrandone l’implementazione in Dymola.



2.1 MODELLO COMPLESSIVO

Prima ancora di descrivere i differenti sottomodelli, in Figura 15 viene riportato il modello

dell’intero sistema analizzato.

Figura 15: Modello Dymola completo

MECCANICA MU

AZIONAMENTO



2.2 MODELLO DELLA MACCHINA UTENSILE

In Figura 16 viene riportato il modello della parte meccanica ovvero della struttura e delle

catene cinematiche.

Figura 16: Modello Dymola parte meccanica( struttura +catene cinematiche)

2.2.1 Struttura meccanica

Aspetti modellati

Per quanto riguarda la parte strutturale della macchina utensile si è pensato, rispetto a

lavori precedenti [13] nei quali questa parte era modellata da corpi rigidi, di creare un

modello che considerasse, secondo un approccio a parametri concentrati, anche la

cedevolezza strutturale delle guide.

Nel modello proposto si sono considerate quindi le cedevolezze delle guide che permettono

la movimentazione dei tre assi

Si è scelto di modellare la cedevolezza delle guide nonostante, in generale in questo tipo di

macchine, le cedevolezze siano principalmente concentrate nelle trasmissioni, per ottenere



un modello che possa fornire comunque informazioni utili al progettista della macchina (ad

esempio i dati relativi ai cedimenti statici al mandrino).

Un’altra importante ragione per la quale si è scelto di considerare almeno la cedevolezza

delle guide è che le prestazioni delle catene cinematiche, in termini di rigidezza, stanno

rapidamente migliorando e quindi non è più così corretto considerare solo le cedevolezze

concentrate nelle trasmissioni.

Una volta specificato ciò che si vuole considerare nella modellazione della struttura è

necessario illustrare come il modello è stato implementato in ambiente Dymola.

Sostanzialmente il modello è costituito da corpi rigidi collegati fra loro, ovviamente

considerando la reale collocazione spaziale, da guide cedevoli ovvero da elementi elastici.

Gli elementi che saranno collegati elasticamente l’uno all’altro sono rappresentati nella

tabella sottostante:

Figura 17:Elementi collegati elasticamente tra loro.

La struttura a portale è collegata a terra. Supponiamo di considerare questo collegamento

rigido.

Nel modello della struttura si è pensato inoltre di includere il modello della riga ottica che

effettua la lettura di posizione.

E’ necessario spiegare, dal punto di vista teorico, come modellare le guide: si è pensato di

considerarle come delle molle che agiscono perpendicolarmente alla traslazione da loro

permessa. Queste molle agiscono come vincoli cedevoli bilateri.



Le considerazioni fatte valgono per entrambe le tipologie di guide “RUE”, mentre per il

tipo “RUS” si è pensato di proporre come modello quello di una molla unidirezionale.

Un’altra importante osservazione da fare è che la guida “RUS” traduce l’azione di un

vincolo unilatero.

Nella figura sottostante sono evidenziati gli aspetti elastici dei diversi tipi di guide.

RUE 35 DHLFEW3

Guida RUE 35 DFEW2

RUE 45 DLFEW2

RUS

Figura 18: Modellazione guide,aspetti elastici

Ovviamente l’aspetto elastico associato alle guide non è il solo a dover essere modellato,

infatti, è necessario considerare anche quello relativo alle dissipazioni energetiche. Per

semplicità di trattazione si è utilizzato uno smorzamento viscoso equivalente. L’utilizzo di

smorzamenti viscosi equivalenti verrà sfruttato nell’intera fase di modellazione del

sistema.



Modello Dymola della struttura

In ambiente Dymola si è implementato quanto descritto.

Figura 19:Modello Dymola della struttura meccanica con guide cedevoli

Il modello Dymola è realizzato in ambiente Multi-Body ovvero in ambiente

tridimensionale nel quale è necessario rappresentare i corpi rigidi con le relative proprietà

inerziali (massa e tensore d’inerzia).

Come si può facilmente osservare dalla figura precedente, nel modello sono presenti

fondamentalmente tre blocchi principali corrispondenti alle parti attraverso le quali sono

realizzate le relative traslazioni.

In ogni modello sono incluse anche le connessioni elastiche con il “Body” che supporta il

corpo considerato.

Si vedrà in seguito, esplorando i diversi sottomodelli, come sono state realizzate le

connessioni elastiche nei diversi casi.

Nella seguente tabella si illustra più dettagliatamente quale elemento o “Body” della

macchina utensile è rappresentato nel relativo modello Dymola.



MODELLO DEL CARRO

CARRO

MODELLO DEL SUPPORTO

CANOTTO

SUPPORTO CANOTTO

MODELLO DEL CANOTTO

CANOTTO

Figura 20:Modellazione Multi-Body, modello- realtà



Come si può facilmente osservare dallo schema in Dymola, il modello del carro è collegato

direttamente ad un elemento inerziale (ground), questo perché, si è considerato il portale

rigido e collegato rigidamente a terra

E’ importante sottolineare come questo modello si relaziona con il resto del sistema. Le

flange a sinistra rappresentano i terminali di collegamento con le trasmissioni meccaniche

che, possiamo anticipare, sono state modellate non in ambiente Multi-Body (Appendice

[1]).

Per quanto riguarda le flange di destra, le tre più in basso rappresentano le letture fornite

dalle righe ottiche mentre quella più in alto è un terminale di collegamento meccanico

tridimensionale e rappresenta il naso-mandrino del centro di lavoro.

Ora si passeranno in rassegna i vari sottomodelli Dymola utilizzati specificandone le

funzioni e come sono stati connessi per ottenere il modello precedentemente presentato.

“Inertial System”

Figura 21:Componente Sistema di riferimento inerziale

Il blocco chiamato “Inertial System” non fa altro che definire la direzione nello spazio del

vettore accelerazione di gravità e fornisce un frame (sistema di riferimento) per le

grandezze cinematiche.

Come si può notare in Figura 20, in Dymola si sono realizzati due modelli differenti in

relazione a come il generico corpo rigido è supportato, mediante le guide, al corpo che lo

sostiene.



Sia l’assieme “carrello” che quello “supporto canotto” sono “vincolati”, ognuno rispetto

alla struttura che li supporta, da quattro pattini di tipo “RUE”, mentre l’assieme “canotto” è

vincolato mediante quattro pattini “RUE” e da quattro guide unilatere “RUS”.

Modello tipo Carro o Supporto Canotto

Si analizza prima la tipologia di modello corrispondente al sistema carro e al sistema

supporto canotto.

E’ abbastanza chiaro, anche alla luce di quanto spiegato in appendice [1], il ruolo svolto

dalle flange del sottomodello.

Le due flange meccaniche Multi-Body servono per il collegamento del generico Body al

corpo che lo sostiene e a quello che andrà a supportare.



Figura 22: Modello per “carro” e “supporto canotto”



Continuando ad elencare i componenti utilizzati:

“Prismatic”

Figura 23:Componente Prismatic

Questo componente di libreria non è altro che un giunto prismatico spaziale che permette

la traslazione relativa, secondo una determinata direzione, tra le due flange meccaniche

della libreria Multi-Body.

Per specificare lungo quale asse può avvenire la traslazione viene utilizzato un vettore r

come parametro(viene specificato un “1” quando è permesso il grado di libertà relativo ad

un determinato asse del frame_a).

La prerogativa di tale componente è che il suo funzionamento può essere pilotato da flange

meccaniche traslazionali.

(Per ulteriori chiarimenti sulle flange utilizzate si faccia comunque sempre riferimento

alla relativa appendice).



“Revolute”

Figura 24:Componente Multi-Body Revolute

E’ un componente della libreria Multi-Body duale rispetto al precedente nel senso che

permette la rotazione relativa tra due flange in relazione ad un vettore r, usato come

parametro. Anche in questo caso si ha la possibilità di comandare il componente con delle

flange meccaniche rotazionali.

“Frame Traslation”

Figura 25: Componente Multi-Body Frame Traslatino

E’ un componente della libreria la cui funzione principale è quella di collegare rigidamente

le due flange mediante un vettore r usato come parametro.

Il vettore rappresenta appunto la posizione della flangia_b (frame_b) rispetto al frame_a

valutata nella sistema di riferimento frame_a.



Body2

Figura 26:Componente Multi-Body Body2

Questo componente della libreria modella un corpo rigido. Il suo comportamento è

ovviamente descritto dalle due equazioni cardinali della dinamica. Le equazioni del

componente, seguendo la tipica filosofia di Dymola, sono scritte in funzione delle

grandezze (quantità cinematiche e dinamiche) presenti sulle flange meccaniche 3D.

I parametri da fornire al modello sono:

m massa del corpo rigido

I tensore d’inerzia baricentrale

CMr coordinate del centro di massa rispetto alla flangia_a valutate proprio nella

terna in frame_a

r posizione del frame_b rispetto al frame_a (sempre con la medesima

convenzione).

Spring Damper 3D (Guide RUE)

Figura 27: Componente Spring-Damper 3D(Guide RUE)



Questo è un componente che è stato creato per modellare le guide cedevoli di tipo “RUE”.

Sostanzialmente è in grado di imporre alle proprie flange una forza visco-elastica. La

componente elastica dipende dalla posizione relativa tra le due flange mentre quella

viscosa dipende dalla velocità relativa. Più precisamente, sia le forze elastiche che quelle

viscose sono calcolate in funzione delle componenti degli spostamenti e delle velocità

lungo le tre direzioni.

E’ un componente le cui coppie sulle flange sono identicamente nulle.

I parametri fondamentali che lo caratterizzano sono:

K1

K2 Sono le rigidezze relative alle tre direzioni ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mN

K3

D1

D2 Sono gli smorzamenti nelle tre direzioni ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡sm

N

D3

La porzione di codice associata a tale componente è riportata in Appendice

Lettura riga

Figura 28:Componente lettura riga



Questo componente è stato creato per effettuare una misura di posizione.

In uscita viene fornita la coordinata relativa della posizione del frame_b rispetto al frame_a

valutato in sistema di riferimento “a” .

Un vettore parametro GDL viene utilizzato per stabilire quale componente dello

spostamento relativo viene imposto come segnale d’uscita (Codice riportato in appendice).

Dopo aver descritto sommariamente i vari componenti utilizzati nel sottomodello è

importante evidenziare come è stato ideato lo schema di Figura 22.

Figura 29:Modello Dymola del carro e del supporto canotto

5

2

1

4

N

BODY

RIGIDO

GDL comandato



Per capire effettivamente come è stato implementato il modello del corpo rigido supportato

da guide cedevoli rappresentato nella figura sopra, è indispensabile introdurre un esempio

specifico da associare direttamente al modello.

Si può prendere in esame l’assieme “carro”.

Figura 30:Parallelismo tra modello e realtà fisica.

Come si può facilmente osservare dalla Figura 29 del sottomodello, solo una porzione

(quella tratteggiata in rosso) si riferisce al corpo rigido. La parte rimanente fa riferimento

al collegamento elastico del corpo con ciò che lo supporta (nel caso specifico, il modello è

collegato direttamente a terra per le ragioni già citate in precedenza). L’effetto del

collegamento elastico (tralasciando l’effetto viscoso) è quello di esercitare delle forze, in

corrispondenza dei pattini, dovute alla cedevolezza delle guide stesse. Il corpo rigido, per

quanto riguarda la traslazione consentita, è comandato dalla catena cinematica. Il

movimento del corpo rigido nello spazio, relativamente agli altri cinque gradi di libertà

(secondo le equazioni cardinali della dinamica), dipenderà ovviamente dalle reazioni delle

guide, dalle forze e coppie applicate (peso, forze e coppie inerziali), dal collegamento con

CM5

1

2

3

4

N

GDL



il body supportato(vengono trasferite altre forze e coppie) e dalle caratteristiche inerziali

del corpo stesso. Il collegamento con un’altra struttura del tutto analoga può essere

eseguito mediante la flangia che si è denominata N.

La reale forma del corpo viene tenuta in considerazione dai vettori (frame_traslation)

tratteggiati di colore rosso.

Si riporta anche il modello relativo all’assieme “canotto”

Figura 31: Modello Dymola del canotto



La filosofia con la quale è stato realizzato è del tutto analoga a quella usata per il modello

dell’assieme carro e dell’assieme supporto canotto.

In questo modello sono presenti dei sottomodelli che non sono ancora stati descritti. Sono

stati creati per riuscire a modellare due differenti aspetti:

La presenza di guide inclinate disposte ad “X”

La presenza delle guide “RUS” unilatere.

Spring-Damper 3D (RUE disposte ad “X”)

Figura 32:Modelli delle guide “RUE” disposte ad “X”.(a 45° e a 135°)

Questi componenti sono stati creati perché in generale, per le guide, vengono fornite le

rigidezze assiali e trasversali. Per le tipologie di guide già analizzate le rigidezze assiali e

trasversali coincidono con quelle relative ai tre assi del sistema di riferimento locale, cosa

che non si verifica per questo tipo di guida.

Supponiamo per semplicità di ragionare nel piano. Questa semplificazione permette di

illustrare con più chiarezza la situazione da un punto di vista geometrico ed inoltre i

componenti creati sono stati modellati effettivamente per esercitare una forza visco-elastica

in un piano.



I parametri da inserire nel modello sono:

Ka

Kt Sono le rigidezze relative alle tre direzioni ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mN

K3

Da

Dt Sono gli smorzamenti nelle tre direzioni ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡sm

N

D3

La direzione “3” è quella perpendicolare alle direzioni t e a (fare riferimento alla Figura 1).

Supponiamo che il frame_a abbia l’orientamento del sistema di riferimento in verde.

2

1

2

1

Figura 33: Disposizione delle guide ad “X”, guida a 45°

α a

t



Le guide esercitano delle forze visco-elastiche secondo la direzione assiale a e secondo la

direzione tangenziale t.

Le direzioni 1 e 2 sono quelle del sistema di riferimento associato ai terminali Dymola.

Supponiamo per ora di ragionare solo in termini elastici.

Facendo riferimento alla figura seguente, si può osservare che il componente Spring-

Damper genera due componenti di forza dirette appunto lungo le direzioni assiale e

tangenziale.

Queste componenti possono essere calcolate dalle classiche relazioni:

tKttFaaKaaFa

∆⋅−=∆⋅−=

.

.

ed in forma matriciale:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ta

KtKa

tFaaFa

00

..

Si è introdotto questo sistema di coordinate perché, in Dymola, è necessario esprimere tutte

le grandezze relativamente alle flange di connessione e quindi relativamente ai sistemi di

riferimento del terminale a e del terminale b.

Si devono quindi calcolare le componenti delle forze Fa.a e Fa.t lungo gli assi del frame_a.

La determinazione delle stesse Fa.a e le Fa.t deve essere fatta esplicitando le coordinate dei

sistemi di riferimento associate alle flange (in questo caso 1 e 2).



Andando ad ingrandire la parte tratteggiata della figura precedente.

2

1

Figura 34:Sistema di riferimento per la scrittura delle equazioni dei due componenti Spring-Damper

Si può quindi scrivere le seguenti relazioni introducendo delle matrici che effettuano i

relativi cambi di sistemi di riferimento:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

21

)2

sin()sin(

)2

cos()cos(

απα

απα

ta

e per quanto riguarda le forze:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡tFaaFa

FaFa

..

)2

sin(sin

)2

cos(cos

2.1.

απα

απα

t

Fb.a

Fb.t

a

t

a

Fa.a

Fa.tα



unendo le varie espressioni:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡21

)2

sin()sin(

)2

cos()cos(

00

)2

sin(sin

)2

cos(cos

2.1.

απα

απα

απα

απα

KtKa

FaFa

Ovviamente le relazioni generiche riportate sopra si semplificano assumendo α=45° e

α=135°.

Ad esempio per la guida 45° si ottiene la seguente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

2)(

2

22)(

2.1.

KtKaKtKa

KtKaKtKa

FaFa

Nel modello si è introdotta anche la componente della viscosa.

Il codice Modelica associato al componente si trova nella seguente appendice.

Per quanto riguarda la guida a 135° si ha:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

2)(

2

22)(

2.1.

KtKaKaKt

KaKtKtKa

FaFa

e quindi, introducendo anche gli smorzamenti:



Spring-Damper unilatero (RUS)

Figura 35: Spring-Damper unilatero

Questo componente è stato realizzato per modellare le guide unilatere “RUS”.

L’idea di base, attraverso la quale si è implementato il comportamento della guida, è che

quest’ultima deve fornire una reazione vincolare solo nel caso in cui il relativo cedimento o

la stessa forza abbiano un verso preciso.

I codici Modelica relativi ai componenti realizzati sono riportati nella relativa appendice.



VITE ROTANTE

VITE FISSA

2.2.2 Catene cinematiche

Figura 36:Modello Dymola delle catene cinematiche

Questo modello si relaziona con gli altri attraverso tre flange meccaniche rotazionali, tre

flange traslazionali e tre flange di segnale.

Come verrà illustrato più avanti, a seguito della spiegazione degli aspetti modellati, le

flange di segnale servono per impostare una lunghezza iniziale al componente vite mentre i

terminali meccanici per collegare tale sottomodello alla struttura e all’azionamento.



Aspetti modellati

Prima di andare ad illustrare l’implementazione dei vari componenti in Dymola è

necessario presentare più dettagliatamente come sono costituite le catene cinematiche e

quali aspetti sono stati modellati.

Come già anticipato nel capitolo introduttivo sulla macchina, esistono due differenti

tipologie di catene cinematiche.

E’ importante sottolineare che entrambe le tipologie sono costituite sostanzialmente dai

medesimi componenti: trasmissione a cinghia e trasmissione a vite a ricircolo di sfere,

ovviamente con i relativi supporti.

Nelle pagine seguenti verranno riportate le caratteristiche delle due tipologie di

trasmissioni.



Catena cinematica “vite fissa”

Figura 37: Disegno della trasmissione “vite fissa”

Il motore mette in rotazione la puleggia motrice della trasmissione a cinghia la quale

trasferisce il moto a quella condotta. Alla puleggia condotta è resa solidale la chiocciola

che ruotando, attraverso il contatto volvente filetti-sfere, fa avanzare la vite.

L’estremità della vite viene collegata all’elemento che deve essere movimentato.

Nella Figura 37 si riporta un disegno che illustra come viene realizzato questo

collegamento.

Questo tipo di trasmissione viene utilizzato per movimentare l’assieme carrello e l’assieme

supporto canotto.

CUSCINETTI

VITE

PULEGGIA MOTRICEPULEGGIA CONDOTTA

CHIOCCIOLA

SUPPORTO MOTORE

MOTORE



Figura 38:Collegamento della vite con elemento da movimentare

Catena cinematica “vite rotante”

Figura 39:Disegno della trasmissione “vite rotante

MOTORE

CUSCINETTI

VITE

CHIOCCIOLA

PULEGGIA CONDOTTA

PULEGGIA MOTRICE



Quello che caratterizza questa tipologia di catena cinematica, differentemente da quella a

“vite fissa”, è che in questo caso la chiocciola è collegata all’elemento da movimentare.

I componenti sono sostanzialmente identici a parte la tipologia di cuscinetti e le dimensioni

geometriche della trasmissione a cinghia.

Prima di procedere nella descrizione del modello Dymola è fondamentale sottolineare

quali aspetti delle catene cinematiche si sono voluti modellare nella realizzazione dei

relativi modelli.

In entrambe le tipologie si sono considerati:

• gli aspetti visco-elastici della trasmissione a cinghia dovuti fondamentalmente alla

cedevolezza dei rami della cinghia stessa

• gli aspetti visco-elastici della vite(sia assiali che torsionali in funzione della

lunghezza della vite)

• gli aspetti visco-elastici della chiocciola

• gli aspetti visco-elastici dei supporti (cuscinetti)

Gli smorzamenti associati ad ogni componente sono stati assunti come viscosi

considerandone appunto un effetto equivalente.

Nella modellazione si sono supposti rigidi gli elementi di collegamento della vite o della

chiocciola con le parti da movimentare.

Per entrambe le trasmissioni possiamo rappresentare, con un approccio a parametri

concentrati, gli aspetti elastici modellati associandoli ai relativi componenti.



Figura 40:Localizzazione delle cedevolezze

Per capire come sono state combinate le varie rigidezze è indispensabile fare riferimento ai

modelli Dymola realizzati.



Modelli Dymola delle catene cinematiche

“Vite Fissa”

Figura 41:Realizzazione della trasmissione “vite fissa”

Nel modello della trasmissione a vite fissa si è incluso, oltre alla cinghia e alla trasmissione

a vite, anche l’inerzia del rotore del motore. Questa scelta, come vedremo nel prosieguo

dell’esposizione del lavoro, è da attribuire a come si è deciso di modellare i motori e

l’azionamento.



Si possono ora presentare i vari sottomodelli:

“Inertia”

Figura 42: Componente Dymola Inertia

Questo componente standard di libreria modella l’inerzia rotazionale.

Il parametro da assegnare al modello è il momento d’inerzia J

Cinghia

Prima di presentare il sottomodello Dymola creato per modellare tale componente si può

spiegare in che modo si è pensato di introdurre le cedevolezze dei rami della cinghia.

Questo componente è stato sviluppato a partire da un lavoro precedente [13].

La trasmissione a cinghia è fondamentalmente costituita da due pulegge collegate

elasticamente da una vera e propria cinghia.

Nel modello proposto si è supposto che la cedevolezza complessiva sia attribuibile

solamente a quella dei due rami di lunghezza L e non dall’intero sviluppo della cinghia.

Lo schema seguente è particolarmente significativo in relazione alla successiva

implementazione.



TT ∆+

TT ∆+

TT ∆−

TT ∆−

Figura 43:Schema della cinghia

L’idea di base per scrivere le equazioni in Modelica del sistema è che le due pulegge si

muovano indipendentemente l’una rispetto all’atra in relazione ai due gradi di libertà,

questo provoca un allungamento o un accorciamento dei due rami della cinghia. Vengono

così generate delle componenti visco-elastiche T∆ associate agli allungamenti e alle

velocità di allungamento dei rami della cinghia. Queste forze vengono applicate alle due

pulegge, si deve quindi imporre un equilibrio alla rotazione e un equilibrio alla traslazione

dei rami della cinghia. Si può anticipare che gli equilibri scritti per le pulegge e i rami sono

statici questo perché gli aspetti dinamici sono considerati in altri due componenti (lo si

vedrà nella spiegazione dettagliata del modello) . E’ importante sottolineare che la

componente legata al pretensionamento della cinghia non influisce sulla scrittura delle

equazioni di equilibrio.

Questo schema è utile inoltre per ricavare le relazioni geometriche esistenti tra i raggi delle

pulegge, l’interasse e la lunghezza dei due rami della cinghia

Come si osserverà nella Figura 44 il modello Dymola della cinghia è a sua volta costituito

da due componenti “Inertia” e da un componente “cinghia_e_c”.

Il componente “cinghia_e_c” modella i legami visco-elastici e cinematici mentre i due

componenti”Inertia” introducono gli aspetti dinamici non implementati nelle equazioni di

“cinghia_e_c”.

L

rm

rc

α

i



Figura 44:Realizzazione del componente Cinghia

“Cinghia_e_c”

Figura 45:Componente Dymola

Questo componente è stato creato per descrivere i legami cinematici e di equilibrio statico

dello schema che modella la cinghia.

I parametri da inserire nel modello sono:



rc,rm: raggio della puleggia condotta e della puleggia motrice

i: interasse tra le pulegge

k_spec: rigidezza specifica del ramo di cinghia

d_cinghia: smorzamento viscoso equivalente associato al ramo di cinghia

Ovviamente le equazioni sono state scritte mettendo in evidenza le variabili associate ai

terminali di collegamento.

Fare riferimento alla relativa appendice per i codici Modelica del componente.



Trasmissione a vite a ricircolo di sfere

Questo componente considera le altre cedevolezze della catena cinematica ovvero la

cedevolezza della vite, della chiocciola e dei cuscinetti.

La cedevolezza assiale equivalente della vite considera sia la cedevolezza assiale che

quella torsionale, in particolare, si vedrà come la rigidezza torsionale viene trasformata in

una equivalente assiale e viene composta con quella assiale vera e propria.

Nel modello Dymola si mette in evidenza la composizione delle varie rigidezze

(ovviamente sono stati introdotti anche degli smorzamenti viscosi equivalenti)

Figura 46:Modello Dymola della vite a ricircolo di sfere



Come si può facilmente osservare, le rigidezze assiali della chiocciola, dei cuscinetti ed

assiale equivalente della vite vengono composte secondo uno schema di tipo serie.

Si è modellata l’inerzia della chiocciola con il relativo “Inertial”

Andando a descrivere i vari sottomodelli:

“Ideal Gear”

Figura 47:Componente Ideal Gear

Il componente standard della libreria meccanica permette di trasformare una rotazione

della flangia rotazionale in una traslazione della flangia traslazionale secondo un rapporto

di trasmissione usato come parametro (ratio).

Questo componente serve per modellare una trasmissione ideale completamente rigida.

Le rigidezze sono introdotte successivamente con i relativi sottomodelli.

“Spring-Damper_1D”

Figura 48: Componente Dymola Spring-Damper traslazionale



Questo è il componente standard della libreria traslazionale che modella fenomeni visco-

elastici fornendo una forza elastica proporzionale all’allungamento e una viscosa

proporzionale alla velocità relativa tra le due flange meccaniche alle sue estremità.

Ovviamente i parametri da inserire sono:

c: rigidezza

d: smorzamento

“Position Sensor”

Figura 49:Componente Dymola Position Sensor

E’ un componente standard della libreria che permette di ottenere come segnale d’uscita la

posizione associata alla flangia meccanica.

Questo sottomodello è stato utilizzato per introdurre il fatto che la vite modifica la sua

lunghezza al variare della posizione angolare della flangia rotazionale di “Ideal Gear”,

questo si verifica durante la movimentazione dell’asse.

“Spring-Damper_vite_assiale_totale”

Figura 50:Componente Spring-Damper associato alla vite



E’ un componente che è stato creato per modellare gli aspetti visco-elastici assiali della

vite.

La rigidezza associata è quella assiale equivalente cioè quella ottenuta dalla serie di due

rigidezze assiali: quella assiale vera e propria e quella assiale equivalente a quella

torsionale.

Essendo la rigidezza assiale equivalente funzione della lunghezza di vite caricata, sono

presenti due terminali d’ingresso per poter determinare la lunghezza caricata della

vite(lunghezza iniziale più allungamento).

Per il calcolo delle rigidezze:

Per la rigidezza assiale si è utilizzata la seguente relazione usata per aste caricate

assialmente [24].

lAE

K nASS

⋅=

dove:

E: modulo di Young [N/mm^2](si è scelto valore tipico per acciaio)

An: sezione di nocciolo della vite

l: lunghezza di vite caricata

mentre per la rigidezza torsionale:

lJGK P

tors⋅

=

dove:

Jp: è il momento polare d’inerzia(per sezioni circolari 32

4dJ P⋅

=π )

G: modulo di elasticità tangenziale[N/mm^2] ( si è scelto valore tipico per acciaio)

l: lunghezza caricata di vite



E’ necessario trasformare la rigidezza torsionale in una assiale equivalente.

Supponendo di chiamare:

dm: diametro medio dei filetti della vite

p: passo della vite

λ : angolo di inclinazione dell’elica

f: coefficiente di attrito vite chiocciola(in questo caso il contatto è mediato dalle

sfere, si è assunto un coefficiente di attrito volvente pari a f=0.0015)

αn :angolo di inclinazione del pane del filetto(si è supposto di prendere circa 30°)

E supponendo di avere la seguente situazione:

W

Mt

Figura 51:Schema: Vite che solleva un carico

dove :

Mt: momento torcente per sollevare carico W

W: carico assiale

E’ possibile scrivere

2m

td

TM ⋅=

dove T è la forza tangenziale.

Chiocciola

Vite



e dove:

mdptg⋅

=π

λ

Secondo la relazione [15]

22coscos mm

nm

nm dAW

dpfd

pdfWT ⋅⋅=⋅

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅=απ

απ

avendo il legame tra T e W è possibile ricavare la relazione tra rigidezza torsionale e quella

equivalente assiale seguendo lo schema riportato sotto.

dove:

Kt_ass: rigidezza assiale equivalente a quella torsionale

ratio: rapporto di trasmissione

∆l: spostamento assiale

Imponendo il medesimo ∆l seguendo le due strade differenti è possibile ricavare la

relazione cercata.

Esplicitando la rigidezza assiale equivalente a quella torsionale:

risulta:

pdAKtorsassKtm ⋅⋅⋅⋅

=π4_

T Ktors

ratio ∆l W Kt_ass



“Vite Rotante”

Figura 52: Modello Dymola Trasmissione a vite rotante

Sostanzialmente questa tipologia di catena cinematica è costituita dai medesimi

componenti di quella già analizzata.

Tratteremo quindi solo le differenze tra i due modelli.

L’unica differenza esiste nella realizzazione del modello della vite a ricircolo di sfere.



Figura 53: Modello vite a ricircolo di sfere

Le uniche differenze rispetto al caso precedente sono dovute ad una diversa disposizione

degli elementi elastici e del significato da attribuire al componente “Inertia”.

Gli elementi elastici sono stati disposti differentemente per mantenere il parallelismo con

la realtà fisica.

Per quanto riguarda il componente “Inertia”, in questo caso modella l’inerzia della vite e

non quella della chiocciola.



Osservazioni

Si è deciso di modellare le trasmissione in ambiente monodimensionale così che le flange

meccaniche traslazionali delle catene cinematiche andranno collegate alle flange di

comando dei giunti della struttura.

Questi collegamenti non faranno che imporre la medesima posizione ad entrambe le flange

e trasferire una forza.

Nella realtà fisica, invece, la trasmissione trasferirà all’elemento da movimentare anche un

momento torcente.

Supponiamo di accettare questa leggera semplificazione.

Nella modellazione della struttura in ambiente Multi-Body non si sono considerate le

reazioni scaricate dalle trasmissione sugli elementi che le supportano ma solamente quelle

che vengono applicate agli elementi da movimentare

Un’altra semplificazione è stata introdotta nella modellazione delle viti a ricircolo di sfere.

Si sono modellate le cedevolezze dei cuscinetti, chiocciola e viti come elementi elastici

connessi in serie. E’ necessario segnalare che nei modelli proposti non si considera la

massa della chiocciola che si sposta a causa delle cedevolezze.

Supponiamo di accettare anche questa semplificazione.



2.3 MODELLO DELL’AZIONAMENTO

Considerazioni

L’architettura dell’azionamento dipende fondamentalmente da come è si è deciso di

modellare il motore.

Sulla Event sono montati dei motori Brushless trifase.

Per questa tipologia di motore è possibile proporre, per ogni asse, tre tipi di modelli in

relazione al grado di dettaglio che si vuole ottenere:

1) Modello trifase [13]

2) Modello monofase equivalente

3) Modello del primo o secondo ordine dell’insieme motore-controllo di corrente.

1) Un modello trifase implica sicuramente un modello più accurato di tutto

l’azionamento: è necessario modellare anche il controllo vettoriale di corrente basato sulla

trasformata di Park [1].

Con questo tipo di modello ad esempio è possibile modellare, come è stato fatto nel lavoro

di Tesi [13], una tipologia di ripple di coppia (dei disturbi di coppia) associato alle non

perfette forme d’onda generate dal controllo vettoriale di corrente (dinamiche dell’anello di

corrente).

La logica del controllo vettoriale si rifà al seguente schema:

Figura 54:Schema controllo vettoriale di corrente

-

-

T(α)T

T(α)

I_d=0

I_q

Motore

Trifase

Regol.

I

Regol.

I

Vd

Vq

IdIq

tensioni

α(angolo)

correnti fase

VSI



Dove:

T(α) e T(α)T effettuano la trasformata di Park diretta ed inversa

VSI: rappresenta un inverter comandato in tensione

Si può dimostrare che la regolazione della coppia dipende solamente dalla corrente I_q

quindi, per ridurre al minimo la potenza elettrica assorbita, a parità di coppia generata è

necessario imporre I_d=0.

Quindi al fine della generazione della coppia è come se si facesse riferimento ad un

circuito monofase associato all’asse “in quadratura”.

E’ per questo che è possibile modellare il brushless trifase sinusoidale mediante uno

schema monofase tipico di un motore a corrente continua.

2) Un modello monofase equivalente si rifà al seguente schema:

V

E Cm

Figura 55: Schema equivalente monofase

R L

Kt, Ke

E=Ke*ω

Cm=Kt*Iq

I_q



In uno schema di questo tipo ovviamente non vengono considerate le dinamiche del

controllo vettoriale di corrente ma si modellano comunque le dinamiche elettriche e

meccaniche del motore a causa della presenza dell’induttore e del blocco che genera la

forza controelettromotrice.

Lo schema monofase può essere ricondotto al seguente schema a blocchi nel dominio di

Laplace, supponendo sia nulla la coppia resistente e la meccanica rigida(Jeq):

V )1(

1

RLsR ⋅+⋅

Kt sJeq ⋅

1

Ke

Figura 56: Schema a blocchi modello monofase del motore

E controllando in corrente il sistema di Figura 56, si può considerare la retroazione

naturale come un disturbo dello stesso anello di corrente, quindi si può ipotizzare di

trascurarla perché si suppone di ottenere una buona reiezione di questo disturbo [12].

Irif

Figura 57: Anello di corrente

-

I ωmCm

Regolatore

Corrente

ωm

-



Dopo aver regolato opportunamente il regolatore di corrente si può pensare di

approssimarlo con un modello del primo ordine o del secondo ordine.

La scelta di un tipo di approssimazione piuttosto che dell’altro è vincolata all’ottenimento

di un modello con un comportamento il più possibile aderente a quello all’anello di

corrente della macchina.

Si ottiene, introducendo la meccanica non rigida il seguente schema:

Figura 58: Approssimazione del primo ordine dell’anello di corrente

Dove τ rappresenta il polo del regolatore nel caso di approssimazione del primo ordine.

ω e D rappresentano pulsazione caratteristica e smorzamento dell’approssimazione del

secondo ordine.

Nel lavoro di Tesi si è inizialmente approssimato il regolatore di corrente con un modello

del primo ordine e successivamente, avendo la possibilità di disporre della FRF

dell’azionamento reale, si è deciso di utilizzare un modello del secondo ordine sicuramente

più aderente alla realtà sperimentale.

E’ quindi possibile aggiungere al sistema di Figura 58 il controllo proporzionale

integrativo (PI) di velocità:

mω

irif

Cm

motore-Reg. corrente

tK

m

m

Cω

12)s(

1 o 1

12 +++

ωωτ sDs



Figura 59:Schema dell’anello di velocità

Si può inserire a sua volta l’anello di velocità in quello di posizione:

Figura 60:Schema dell’anello di posizione

E’ facile osservare la struttura a cascata dell’azionamento.

Ogni anello introduce un tempo di ritardo equivalente per l’anello superiore, eventuali

variazioni delle grandezze di comando vengono quindi percepite più lentamente.

L’anello di regolazione più interno fissa la dinamica della grandezza di comando

dell’intera struttura.

E’ possibile inoltre aggiungere dei precomandi di velocità (feed-forward) per compensare

quanto detto in precedenza e per migliorare la risposta [1],[2].

ωmRegolatore PI

velocità

ωm_rif I_rif

-

Kv

Reg.Posiz

Anello di velocità

Trasmissione

X_rif X ωm

-

ωm_rich



Questo precomando di velocità non è altro che la derivata del riferimento di posizione e

può essere inserito come nello schema seguente:

Figura 61: Aggiunta feed-forward di velocità

Modello dell’azionamento

Si è già spiegato quale tipologia, tra le varie proposte, è stata scelta per implementare il

sistema “azionamento”.

Si è deciso di modellare l’azionamento di tutti gli assi utilizzando un sistema del secondo

ordine che approssima il comportamento del motore e del controllo di corrente.

Sicuramente la scelta di approssimare, più o meno dettagliatamente, il comportamento

dinamico del motore e del regolatore di corrente è giustificata dal fatto che, ai fini

dell’analisi del controllo del movimento, le dinamiche legate al controllo di corrente

possono essere trascurate in quanto molto più rapide [1]. Questo scelta non impedisce lo

sviluppo futuro di un eventuale modello più dettagliato.

Nello schema seguente sono rappresentati gli azionamenti dei tre assi.

+

-

Kv

Reg.Posiz

Trasmissione X_rif

X ωm

s

- ωm



Figura 62: Azionamenti

Questo modello Dymola si relaziona con il modello della “macchina utensile” costituita

dalle catene cinematiche e dalla struttura attraverso le flange meccaniche traslazionali e

attraverso i segnali forniti dalle righe ottiche modellate appunto nella struttura.

Per quanto riguarda i segnali forniti nella parte sinistra del modello, sono associati ai

riferimenti di posizione.

Letture righe



Figura 63: Modello Dymola di un azionamento relativo ad uno degli assi

Nel modello rappresentato dalla figura precedente sono state evidenziate le varie parti già

descritte nel paragrafo precedente.

Questo modello di azionamento è stato realizzato per poter effettuare, mediante un

opportuno “settaggio” di determinati parametri logici, contemporaneamente sia la

regolazione dell’anello di velocità che quello di posizione.

Esiste inoltre la possibilità di disattivare l’azione di anticipo di velocità.

feed-forward

anello corrente+motore

anello velocità

anello posizione

Step1

startTi...

Spe...

PIA...

tar_vel...

k=...

Gai...

-Fee...

Add1

+1

+1Add1

++1

+1

feed_...Deriva...

k={1} k=Kf_...

Gain2

k={(2*...

Gain3

k={1/...

Gain4

k={(2*...

Gain5



I parametri significativi da ricavare tramite la taratura(che verrà illustrata nell’apposita

sezione del lavoro) sono tre:

Kv: guadagno proporzionale dell’anello di posizione

Kpv: guadagno proporzionale dell’anello di velocità

Ti: costante di tempo integrale del regolatore proporzionale-integrale di velocità

E’ necessario ora descrivere, anche se in questo caso il formalismo del modello Dymola è

particolarmente chiaro, quali sono i componenti più significativi del modello:

“Motore-controllo di corrente”

Figura 64:Modello del primo ordine del motore-regolatore di corrente

Questo sottomodello è caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento nel dominio

di Laplace:

motore del coppia di costante la :Kt e

ordine 2 del modello del ticacaratteris pulsazione la e

osmorzament lo è D

dove

1)(2)( 2

°

+⋅+=

è

sDsKt

iC

rif

m

ω

ωω

Torque1

tau

SecondOrder1

P...

w ={w c}



I parametri da fissare sono ovviamente la pulsazione caratteristica e la costante di coppia.

Per la Kt si farà riferimento a [21].

Regolatore PI dell’anello di velocità

Figura 65:Modello Dymola di un regolatore Proporzionale-Integrale

Questo componente permette di ottenere in uscita il seguente segnale:

integrale tempodi costante :T

K dove

)()(

I

I

0

eT

K

dtteKteKpvOut

I

PV

t

I

=

⋅+⋅= ∫

Ovviamente i parametri da attribuire al modello sono Kpv e Ti.



“Speed-Sensor”

Figura 66: Modello Dymola dello Speed-Sensor

E’ un componente che fornisce in uscita il valore della coordinata angolare sulla flangia

meccanica rotazionale in ingresso.

Elencheremo anche gli altri componenti anche se la loro funzione è ben comprensibile

dallo schema:

Componente Nome Funzione

Gain Moltiplica l’ingresso per una costante K

Der Derivata Analitica del segnale d’ingresso

Derivative Derivata approssimata del segnale d’ingresso

(nell’eventualità che si verifichino problemi

d’integrazione numerica)



Mux 2_1 Componente che impone, secondo il valore di

un parametro logico, uno dei due ingressi in

uscita

Add Esegue la somma dei segnali d’ingresso

Interruttore In relazione ad un parametro, pone o meno il

segnale d’ingresso in uscita

Figura 67:Tabella con i principali componenti utilizzati nel modello dell’azionamento

Il modello è stato realizzato in modo tale da decidere quale tipologia di blocco derivativo

utilizzare(nel caso in cui segnali d’ingresso determinino derivate infinite).

Esistono alcuni blocchi “Gain” che servono per rendere omogenee le grandezze trattate e

per esplicitare, nella corretta unità di misura, i parametri dei regolatori da tarare.



2.4 MODELLO DELL’UTENSILE

Per quanto riguarda l’utensile, la sua modellazione dipende essenzialmente dal fatto di

considerare o meno la sua cedevolezza e da come si decide di modellare il sistema

“processo di taglio-pezzo”.

In questo lavoro si è deciso di considerare l’utensile completamente rigido.

Ovviamente per un centro di lavoro di questo tipo ha senso ricondursi ad una lavorazione

di fresatura.

Decidendo di modellare il processo-pezzo in modo da simulare l’azione dei denti della

fresa sul pezzo è necessario considerare, nella sua modellazione, la posizione effettiva dei

taglienti.

Ad esempio si può considerare il seguente modello dell’utensile:

Figura 68: Modello di un utensile di fresatura a quattro taglienti

Se ipotizziamo ad esempio di considerare quattro taglienti, si può proporre il modello

Dymola di Figura 69.

Si può osservare, oltre ai terminali Multi-Body rappresentanti i quattro taglienti, anche la

presenza di una flangia per imporre al modello una determinata velocità di rotazione.

Il modello presentato, infatti, considera anche il fatto che l’utensile, in realtà, è mantenuto

in rotazione dal mandrino.

Sostanzialmente si pensa di poterlo collegare al modello del “pezzo-processo” attraverso i

quattro terminali Multi-Body in basso e a quello della macchina utensile grazie al

terminale posizionato nella parte alta della Figura 69.



Figura 69: Modello Dymola di un utensile per fresatura a quattro taglienti

Per realizzare il modello di Figura 69 si è creato un componente in grado di poter disporre i

sistemi di riferimento dei terminali Multi-Body proprio in corrispondenza dei taglienti, che

a loro volta, almeno idealmente, sono posizionati su una circonferenza di raggio pari a

quello della fresa.

Frame-RotationMOD

Il componente creato è in grado, mediante l’assegnazione dei parametri alfa e r, di disporre

il sistema di riferimento del terminale_b secondo una determinata posizione angolare su

una circonferenza di raggio r. Il componente effettua la roto-traslazione planare del sistema

di riferimento_b rispetto a quello del terminale_a (Figura 71).

corpo utensile



Figura 70: Modello Dymola del Frame-RotationMOD

Figura 71: Roto-traslazione del sistema di riferimento realizzata dal componente Frame-RotationMOD

alfa r

a

b

1a

2a

1b

2b



workpiece_process_zForze posizioni

terminali da collegare all’utensile

riferimento posizione pezzo

2.5 MODELLO DEL “PEZZO-PROCESSO”

Prima di procedere con la descrizione del modello Dymola realizzato per la modellazione

del pezzo-processo è necessario accennare quali aspetti del problema sono stati tenuti in

considerazione.

Per quanto riguarda il processo, si è deciso di considerare l’azione di ogni singolo tagliente

della fresa in modo che vada ad asportare materiale e a generare la relativa superficie

lavorata. L’azione di ogni singolo dente influenza così l’asportazione del dente successivo.

Con un modello che considera questi aspetti è quindi possibile osservare fenomeni di

instabilità dovuta al processo di taglio (chatter rigenerativo [9],[10],[11]). Ovviamente si è

in grado di osservare fenomeni d’instabilità nel caso in cui venga simulato il processo di

taglio includendo anche il comportamento dinamico della macchina utensile.

Per quanto riguarda la modellazione del pezzo si è deciso di considerarlo completamente

rigido.

Figura 72: Modello Dymola del "pezzo-processo" nel caso di un utensile con 7 taglienti

In Figura 72 è rappresentato il modello Dymola del “pezzo-processo”.



Il modello si relaziona con quello dell’utensile grazie a sette terminali (in questo caso

specifico), che verranno opportunamente collegati a quelli rappresentanti i taglienti del

modello dell’utensile.

L’altro terminale serve per fornire al pezzo una collocazione spaziale rispetto a al

riferimento assoluto.

In definitiva, i terminali Multi-Body nel lato alto della figura rappresentano idealmente i

taglienti della fresa.

Il numero di terminali, come verrà illustrato successivamente, può essere facilmente

modificato.

L’idea di base, sfruttata per la realizzazione del modello di Figura 72, è quella di far

acquisire ai terminali del modello le posizioni dei taglienti e calcolare, ovviamente se la

fresa è in presa, le forze che si generano dall’asportazione di materiale.

Le forze di taglio andranno a determinare dinamicamente, se si pensa di collegare

l’utensile ad una macchina utensile “non rigida” , la posizione dei taglienti stessi.

Il calcolo delle forze, secondo le coordinate radiale, tangenziale e assiale, è ottenuto

mediante le seguenti relazioni:

izsiizz

itsiitt

irsiirr

bKbhKFbKbhKFbKbhKF

⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=

Dove hi è lo spessore del truciolo e bi è la profondità di passata.

Kr, Kt e Kz sono le pressioni specifiche di taglio secondo le tre direzioni in N/(mm^2).

Krs, Kts, Kzs sono i coefficienti che permettono di contemplare l’attrito tra il tagliente ed il

truciolo.

E’ importante osservare che le tre componenti risultanti delle forze di taglio sono costituite

dalla somma di due termini: il primo calcola le forze di taglio in funzione della sezione

istantanea di truciolo mentre il secondo considera l’attrito tra i taglienti e la superficie

lavorata.

Per il calcolo delle forze di taglio risulta così cruciale la determinazione dello spessore

istantaneo del truciolo.

Si può pensare di determinare lo spessore del truciolo come la differenza tra la coordinata

attuale di ogni singolo tagliente e la posizione assunta dal tagliente precedente quando era



nella medesima posizione angolare, questa ultima informazione è memorizzata attraverso

un elemento di ritardo.

Il valore dell’intervallo di tempo di ritardo dipende ovviamente dalla velocità di rotazione

ed è pari a:

tn⋅⋅

=ω

πτ 2

dove ω è la velocità di rotazione della fresa e nt il numero di denti.

Il problema può così essere così scomposto in sottomodelli rappresentanti l’azione di ogni

singolo tagliente.

A livello concettuale il modello rappresentante la porzione di pezzo-processo associata ad

un generico tagliente è ben schematizzato dalla Figura 73.

Figura 73: Schema concettuale del modello "pezzo-processo" associato al singolo tagliente i.

La verifica della condizione di taglio consiste nell’accertare che il singolo tagliente sia nel

pezzo e che sia effettivamente in una fase di lavoro.

Ti Ti_prec

CALCOLO FORZE

TAGLIO tagliente i-esimo (sezione truciolo

istantanea) izsiizz

itsiitt

irsiirr

bKbhKFbKbhKFbKbhKF

⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=

PPEEZZZZOO__PPRROOCCEESSSSOO ii

Verifica

condizione

taglio

Posizione attuale Forze Ti

ritardo

Posizione attuale



La verifica della fase di lavorazione è stata implementata introducendo una condizione

sullo spessore istantaneo di truciolo (hi positivo).

In Figura 74 è illustrata la modalità di connessione dei sottomodelli relativi ad un singolo

tagliente. Ognuno di questi sottomodelli viene collegato al terminale dell’utensile

contenente le informazioni del corrispettivo tagliente e a quello contenente le informazioni

relative al tagliente precedente( E’ necessario per il calcolo della sezione istantanea di

truciolo).

Figura 74: Modalità di connessione tra i sottomodelli relativi al pezzo-processo di un singolo tagliente

Dopo aver spiegato a livello concettuale la modellazione del “pezzo-processo” si può

illustrare la relativa implementazione in ambiente Dymola.

i-1 i i+1

PPEEZZZZOO__PPRROOCCEESSSSOO

ii


ii++11


ii--11

i i-1

PEZZO PROCESSO



Figura 75: Modello della porzione del processo di taglio associato ad un singolo tagliente(pezzo-

processo i)

Nel modello di Figura 75, avendo considerato l’utensile rigido, vengono solo introdotte

informazioni relative alla dimensione e alla collocazione spaziale del pezzo da lavorare.

Figura 76: Implementazione Dymola del modello concettuale di Figura 73

generico tagliente tagliente precedente

posizione pezzo riferimento assoluto

dentro _pezzo?

Ti-1

(del

ay)_

rif_A

1

Forze_i_postta...1

32

• calcolo forze di taglio

• verifica condizione su h elemento ritardo

verifica condizione:

tagliente nel pezzo



Il modello di Figura 76, grazie anche all’elemento di ritardo, calcola la sezione istantanea

di truciolo, effettua la verifica della condizione di taglio e calcola le forze istantanee.

Figura 77:Implementazione Dymola modello di Figura 72 e collegamento dei sottomodelli(Figura 74)

In Appendice è riportato il codice Modelica del modello evidenziato in Figura 76 che calcola le

forze di taglio.

workpiece_process_z

r=p.

..po

...



3 DETERMINAZIONE DEI PARAMETRI

Questa è sicuramente una fase critica del lavoro, infatti la corretta determinazione dei

parametri da inserire nel modello permette sia di verificarne la correttezza in fase di

debugging sia di utilizzare le simulazioni per estrapolare informazioni sul funzionamento

della macchina.

3.1 PARAMETRI MECCANICI MACCHINA UTENSILE

3.1.1 Premessa sulla determinazione dei valori di smorzamento

Prima di presentare i valori dei parametri inseriti nel modello è necessario fare una

premessa sulla determinazione degli smorzamenti viscosi.

E’ difficile avere indicazioni su questa tipologia di parametro, occorrerebbero prove di

laboratorio per ogni componente.

Dopo aver modellato un elemento, in generale, si tende a prendere come smorzamento un

valore modale che va dal 2% al 4%.

In questo lavoro di Tesi è impossibile operare come descritto in quanto Dymola non

permette di effettuare analisi in frequenza in coordinate modali.

Si è deciso allora di ragionare in termini molto pragmatici.

Prendendo in esame un generico componente visco-elastico si può dire che, se è in grado di

esercitare una forza elastica elevata(componente molto rigido) sarà in grado di esercitare

anche una forza viscosa elevata.

In realtà la componente viscosa della forza varia linearmente in funzione della velocità

ovvero in funzione della pulsazione, come si può vedere nel diagramma di Figura 78:



Figura 78: Andamenti forze elastiche e viscose

Come si può facilmente osservare, ω_star è la pulsazione per cui la componente viscosa

della forza eguaglia quella elastica.

Per esprimere quanto detto precedentemente si può pensare di fissare a priori per, ogni

tipologia di componente, una ω_star e da questa calcolarne lo smorzamento.

E’ possibile quindi scrivere :

starKcstarxcxKFF vel _

_ω

ω =⇒⋅⋅=⋅⇒=

Componenti molto rigidi avranno una ω_star elevata.

Una volta fissate tutte le ω_star dei componenti, sarà necessario eseguire prove che

possano validare i valori ipotizzati o che comunque dimostrare la loro fondatezza.

Fe/Fv

ω

ω_star

Fe

Fv



3.1.2 Struttura meccanica

In questo paragrafo si spiegherà quali sono e come sono stati determinati i principali

parametri della struttura meccanica.

Figura 79:Modello Dymola della struttura meccanica con guide cedevoli

Per ogni sottomodello della struttura, descritto nel capitolo relativo alla modellazione, si

sono determinate fondamentalmente le seguenti informazioni:

1) Massa

2) Matrice d’inerzia baricentrale

3) Informazioni geometriche (da associare ai vari“frame traslation”)

4) Rigidezze delle guide.

5) Smorzamenti (si vedrà successivamente che valori sono stati attribuiti alle ω_star)



Masse-matrici d’inerzia ed informazioni geometriche

Per quanto riguarda le masse, le matrici d’inerzia e le informazioni geometriche, queste

sono state determinate mediante CAD 3D.

Per realizzare il modello solido di tutta la macchina è stato utilizzato il software Solid

Edge.

Rigidezze

Le rigidezze delle guide sono state determinate dalle indicazioni dei costruttori, sono state

inoltre verificate con un modello ad elementi finiti nel lavoro di Tesi [14]

I grafici carico-deformazione forniti dai costruttori delle guide mostrano andamenti non

lineari.

Si è reso quindi necessario valutare la zona in cui il componente lavora per poter

linearizzare e calcolare la rigidezza con la seguente relazione:

δFK =

dove F è la reazione vincolare e δ il relativo cedimento.

Nel modello ad elementi finiti si sono vincolati i punti di contatto in prossimità dei pattini e

si sono caricati i modelli con la relativa forza peso.

E’ importante comunque osservare, come si vedrà in seguito, che tutte le guide lavorano

nella zona lineare dei diagrammi.



Di seguito si riportano i risultati ottenuti:

CARICO ASSIALE

CARICO TRASVERSALE

POSIZIONE DESIGNAZIONE RIGIDEZZA ASSIALE [KN/µm]

CARRO-PORTALE RUE 45 DLFEW2 2,6

TESTA-CARRO RUE 35 DHLFEW3 1,87

TESTA-CANOTTO RUS 0,5

TESTA-CANOTTO RUE 35 DFEW2 1,5

POSIZIONE DESIGNAZIONE RIGIDEZZA TRASVERSALE [KN/µm]

CARRO-PORTALE RUE 45 DLFEW2 1,72

TESTA-CARRO RUE 35 DHLFEW3 1,8

TESTA-CANOTTO RUE 35 DFEW2 1,18

Di seguito si riportano i diagrammi delle diverse tipologie di pattini.



Pattini tra canotto e testa

Le reazioni vincolari del canotto hanno come modulo massimo il valore 1216 N. Questa

forza è stata scomposta nelle due direzioni: quella normale e quella tangenziale al pattino.

Le due componenti sono uguali poiché l’angolo di inclinazione del pattino rispetto agli assi

del modello FEM è di 45°.

Si ottengono quindi:

Fx =1216*cos45 = 860 N

Fy =1216*cos45 = 860 N

Entrando nelle ordinate dei grafici sottostanti con questi valori di forza si possono

calcolare le cedevolezze e, di conseguenza, la rigidezze assiale e quella trasversale.

Figura 80:Grafici rigidezze unità a ricircolazione di rulli RUE 35D. Nel grafico di sinistra carico di

compressione, in quello a destra carico laterale.[20].



Figura 81:Grafico di trazione a sinistra e particolare della zona d’interesse a destra [20]

ed usando la seguente:

δFK =

COMPRESSIONE: F = 0,86 KN δ = 0,57 µm KA = F/δ = 1,5 KN/µm

CARICO LATERALE: F= 0,86 KN δ = 0,73 µm KT = F/δ = 1,18 KN/µm

Nella parte superiore del canotto, con la sola funzione d’appoggio, sono montati dei pattini

a ricircolazione di rulli chiamati in gergo (“carri armati”) che scorrono su guide piane. Per

queste unità ha senso solo parlare di rigidezza assiale. Come si vede dal grafico la

relazione che lega i carichi alle deformazioni di tali pattini è strettamente lineare per cui la

rigidezza è costante e vale:

KA = F/δ = 0,5 KN/µm



Pattini tra testa e carro

Per ricavare correttamente le reazioni vincolari che agiscono su questo elemento è stato

necessario inserire i dati di massa del canotto nel modello solido della testa.

Figura 82: Andamenti delle rigidezze

Carico laterale(da INA) Carico di trazione(da INA ).

Calcolo della rigidezza assiale:

F = 0,2 KN δ = 0,106 µm KA = F/δ = 1,87 KN/µm

Calcolo della rigidezza trasversale:

F = 1,3 KN δ = 0,72 µm KA = F/δ = 1,8 KN/µm



Pattini tra carro e portale

Analogamente a quanto fatto per i pattini tra testa e carro si sono aggiunti al modello solido

del carro le masse riguardanti la testa e al canotto fissate con dei collegamenti rigidi.

Figura 83: Carico laterale Compressione

COMPRESSIONE: F = 3,2 KN δ = 1,23 µm KA = F/δ = 2,6 KN/µm

CARICO LATERALE : F = 0,1 KN δ = 0,05 µm KT = F/δ = 1,72 KN/µm



Maschere riassuntive per l’inserimento parametri meccanici in Dymola

E’ importante segnalare la presenza di un parametro rid_k che implementa una riduzione

delle rigidezze delle guide.

Questo parametro è stato inserito per tenere in considerazione, anche se in maniera

piuttosto pragmatica, la mancata modellazione della cedevolezza vera e propria della

struttura.



Figura 84:Parametri inseriti nel modello dell’assieme carro



Figura 85: Parametri inseriti nel modello dell’assieme “supporto canotto”



Figura 86:Parametri dell’assieme canotto



3.1.3 Catene cinematiche

Facendo riferimento sempre al medesimo modello presentato in precedenza:

Figura 87:Modello delle catene cinematiche

Ogni singola trasmissione può essere modellata nel seguente modo:

Figura 88:Modelli dei componenti contenuti in ogni catena cinematica



Quindi per ogni singolo modello si sono definiti i seguenti parametri:

1) J_motore: momento d’inerzia del motore

2) Parametri trasmissione a cinghia

a) dm, dc : diametro puleggia motrice e condotta

b) Jm, Jc :momento d’inerzia puleggia motrice e condotta

c) i: interasse tra le pulegge

d) k_spec: rigidezza specifica percentuale del ramo della cinghia

e) w_star_cinghia: per determinare smorzamento

3) Parametri trasmissione a vite a ricircolo di sfere:

a) Jc o Jv: momento d’inerzia chiocciola o vite in relazione alla tipologia di

trasmissione

b) Kn: rigidezza chiocciola

c) Kb:rigidezza cuscinetti

d) dn, dm :diametro nocciolo e medio della vite

e) p:passo vite

f) w_star_cuscinetti,w_star_chiocciola: per determinare smorzamento

cuscinetti e chiocciola

g) w_star_vite: per determinare smorzamento vite.

I valori di ω_star per la determinazione degli smorzamenti dei vari componenti verranno

illustrati in seguito.



Motori

I momenti d’inerzia dei motori sono stati determinati dai data-sheet dei motori [21]

Figura 89: Motori FT8082



Figura 90:Motore FT 8086



Trasmissione a cinghia

I valori dei momenti d’inerzia delle pulegge,i relativi raggi e l’interasse sono stati

determinati dai modelli solidi e dai disegni tecnici degli stessi componenti .

La rigidezza specifica è stata calcolata dai cataloghi dei costruttori di

cinghie(Poggi:trasmissioni meccaniche):

Figura 91: Diagramma per il calcolo della rigidezza specifica della cinghia

Si usa la stessa cinghia per entrambe le tipologie di catene cinematiche.

L rigidezza specifica può essere calcolata con la seguente:

100⋅∆

=

llFK spec

che non è altro che la pendenza della retta evidenziata nella figura sopra.



Vite a ricircolo di sfere

I momenti d’inerzia Jv o Jc ed i diametri della vite sono stati determinati dai disegni

costruttivi e dai modelli solidi dei componenti (basandosi sulle indicazioni del costruttore).

In modo analogo è stato determinato il passo della vite.

Per quanto riguarda la rigidezza della chiocciola: è stata determinata dalle indicazione dei

relativi a [17].

Figura 92: Dati rigidezza chiocciola



Anche le rigidezze dei cuscinetti sono state determinate da cataloghi:

Figura 93: Rigidezza cuscinetti "vite fissa"

Figura 94: Rigidezza cuscinetti "vite rotante"



I valori delle lunghezze iniziali delle viti sono state determinate da CAD 3D(relativamente

alla configurazione analizzata della macchina)

Si possono elencare i parametri inseriti con la presentazione delle maschere Dymola( la

presentazione delle maschere rispetta l’ordine gerarchico di modellazione ):

In questa fase si può vedere come i parametri possano essere “propagati” da un modello ad

un sottomodello di livello inferiore.

Trasmissione a “vite fissa”

Per” Carro”

Figura 95:Maschera per inserimento parametri: “vite fissa”



e quindi per la trasmissione a cinghia:

Figura 96:Maschera per inserimento parametri nella trasmissione a cinghia della “vite fissa”



e per quella a ricircolo di sfere:

Figura 97:Maschera per l’introduzione dei parametri nella vite a ricircolo della “chiocciola girevole”



Per “Supporto canotto”

La trasmissione ha i medesimi parametri di quella che movimenta il carro eccetto per il

momento d’inerzia del motore.

Figura 98:Maschera per l’inserimento parametri “vite fissa”

trasmissione vite fissa

momento d’inerzia motore asse W



Trasmissione a “vite rotante”

Questo tipo di catena cinematica viene utilizzata solo per la movimentazione del canotto

ovvero dell’asse verticale.

Figura 99:Maschera per inserimento parametri: “vite rotante”

vite rotante

vite rotante



Figura 100:Maschera per inserimento parametri nella trasmissione a cinghia della “vite rotante”

cinghia tras parametri vite rotante

cinghia tras parametri vite rotante



Figura 101:Maschera per l’introduzione dei parametri nella vite a ricircolo della “vite rotante”

vite ricircolo vite rotante

vite ricircolo vite rotante



3.2 VERIFICA PARAMETRI MECCANICI DELLA MACCHINA UTENSILE

In questo paragrafo vengono fissati i valori da attribuire alle varie ω_star per la

determinazione degli smorzamenti viscosi da associare ai relativi componenti.

Si procede nel verificare sia la correttezza del modello sia che questi parametri permettano

al sistema “Macchina utensile” di comportarsi coerentemente con la macchina reale.

E’ necessario approfondire meglio questo aspetto.

Le macchine utensili possiedono infiniti modi di vibrare ovvero, se sollecitate, rispondono

vibrando cioè muovendo alcune sue parti. Questa vibrazione è composta da vibrazioni a

diversa frequenza e le diverse componenti si chiamano appunto “modi di vibrare”.

Ovviamente anche il modello avrà dei modi di vibrare ad esso associati. Il numero

complessivo dei modi di vibrare dipende dal dettaglio con cui si è modellato il sistema,

ovvero dai gradi di libertà che si sono considerati.

In generale, sia nella macchina reale che nel modello, i modi caratterizzati dalle frequenze

più basse sono sicuramente quelli più interessanti e significativi.

Per andare ad analizzare questi modi di vibrare occorrerà eccitare la struttura ad esempio

con un gradino di forza.

Essendo una macchina con un piano di simmetria, esisteranno dei modi di vibrare associati

a queste direzioni preferenziali.

Si è pensato di analizzare il comportamento della risposta del modello della macchina ad

un gradino di forza applicato al naso mandrino della macchina utensile.

Il gradino di forza è stato applicato nelle tre direzioni principali.

Per ogni caso si sono analizzati gli andamenti temporali appunto delle tre coordinate

principali cercando di ricavare le frequenze dei primi modi di vibrare, i relativi

smorzamenti ed i cedimenti statici associati al gradino di forza.

I parametri di smorzamento inseriti per ogni modello di componente andranno ad

influenzare lo smorzamento dei modi di vibrare della macchina.

L’idea di base è quella di assegnare determinati valori di ω_star per i componenti al fine di

ottenere un comportamento altrettanto ragionevole del modello in relazione alla tipologia

di macchina utensile studiata.

Per valutare il comportamento della macchina utensile si sono effettuate delle simulazioni,

si sono succesivamente analizzati le simulazioni numeriche dele risposte temporali.



E’ però piuttosto difficile analizzare risposte temporali soprattutto in relazione alla

determinazione delle frequenze dei modi di vibrare e dei relativi smorzamenti.

Si è deciso di effettuare quindi delle analisi in frequenza in ambiente Matlab-Simulink.

Per poter convertire i modelli Dymola, per definizione a-causali, in un formato “Matlab-

Simulink” si è reso necessario modificarli esplicitando i segnali d’ingresso ed uscita.

Questa operazione permette di definire una sorta di causalità se si pensa di considerare il

modello come un semplice “blocco” dotato di input ed output.

Nei differenti modelli studiati, sono stati scelti come ingressi ed uscite, a seconda dei

risultati a cui si era interessati, le variabili opportune.

In appendice[1.2] sono spiegate le procedure per trasformare modelli Dymola in modelli

sfruttabili da Matlab-Simulink.

Dopo aver effettuato alcune analisi, si è deciso di assegnare il valore agli smorzamenti dei

componenti mediante la definizione delle seguenti:

• ω_star_pattini=9000rad/s

• ω_star_cuscinetti= ω_star_chiocciola= ω_star_vite=7000rad/s

• ω_star_cinghia=5500rad/s.

Le simulazioni delle risposte della macchina utensile, ovvero della struttura con le catene

cinematiche, a gradini di forza sono state ottenute pensando di “bloccare” i rotori dei tre

motori.

Per meglio comprendere quanto si è fatto è necessario rifarsi al modello di

Figura 102:



Figura 102: Modello Dymola per analizzare le simulazioni delle risposte al gradino

Esplicitando gli ingressi e le uscite è possibile ottenere un modello Dymola che può essere

convertito in uno adatto alle analisi in frequenza.

In ingresso si ha il segnale forza mentre in uscita le tre coordinate del naso-mandrino.

Figura 103:Modello Dymola convertibile in un blocco Simulink



Figura 104:Equivalente Simulink del modello Dymola.

Con a disposizione il modello convertito sono possibili una serie di analisi supplementari.

E’ possibile ad esempio linearizzare il modello ed ottenerlo in forma State-Space:

[ ] { } [ ] { }

{ } [ ] { } [ ] { }uDxCy

uBxAx

⋅+⋅=

⋅+⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ •

dove x sono gli stati del sistema, u gli ingressi e y le uscite del sistema.

Si può ottenere il sistema nella forma dello spazio degli stati attraverso il comando Matlab

“linmod” [5].

Con il comando Matlab damp(A) o eig(A) è possibile determinare gli autovalori della

matrice A che corrispondono ai poli della funzione di trasferimento tra gli stati e

l’ingresso.

La matrice A è quella che descrive la dinamica del sistema infatti la dinamica libera e

descritta dalla seguente equazione nello spazio degli stati:



[ ] { }xAx ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ •

Che può essere ricavata dalla formulazione classica che descrive un sistema dinamico:

[ ] [ ] [ ] { }

[ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] { }zAz

MKR

C

MM

B

zCzB

x

xz

xMxM

xKxRxM

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⋅+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧•

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅

=⋅+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅

•

•

•

••

•••

ottiene si e0

00

dove

0

risulta

ponendo e

identità seguente dalla e

0

Con il comando bode(A,B,C,D) è inoltre possibile tracciare i diagrammi di Bode delle

funzioni di trasferimento tra le uscite e gli ingressi (Non si sono tracciati per questo caso

specifico).

E’ significativo anche diagrammare su un piano complesso i poli del sistema.

Per il modello analizzato si hanno i seguenti poli, (nell’elenco si riportano solo i poli a

frequenza più bassa):

Autovalori Damping Freq. (rad/s) -8.07e+000 + 3.35e+002i 2.41e-002 3.35e+002 1)

-8.07e+000 - 3.35e+002i 2.41e-002 3.35e+002

-1.47e+001 + 4.54e+002i 3.24e-002 4.54e+002 2)



-1.47e+001 - 4.54e+002i 3.24e-002 4.54e+002

-2.56e+001 + 5.99e+002i 4.27e-002 6.00e+002 3)

-2.56e+001 - 5.99e+002i 4.27e-002 6.00e+002

-5.03e+001 + 8.94e+002i 5.62e-002 8.95e+002

-5.03e+001 - 8.94e+002i 5.62e-002 8.95e+002

-5.97e+001 + 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003

-5.97e+001 - 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003

-1.01e+002 + 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003

-1.01e+002 - 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003

-2.02e+002 + 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003

-2.02e+002 - 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003

……. -6.41e+002 + 2.63e+003i 2.37e-001 2.71e+003

-6.41e+002 - 2.63e+003i 2.37e-001 2.71e+003

7.58e+002 + 2.83e+003i 2.59e-001 2.93e+003

-7.58e+002 - 2.83e+003i 2.59e-001 2.93e+003

-7.66e+002 + 2.82e+003i 2.62e-001 2.92e+003

-7.66e+002 - 2.82e+003i 2.62e-001 2.92e+003

…….

Come si vedrà nel proseguo della trattazione i poli più significativi per l’analisi delle

risposte ai gradini di forza sono sicuramente quelli evidenziati.

I poli sono stai inoltre rappresentati su un piano complesso(Figura 105).



-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

Poli del modello MU a rotori bloccati

Figura 105:Rappresentazione su un piano complesso dei poli del sistema(struttura+catene cinematiche a rotori bloccati)



-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Modi principali

(1,2,3)

Figura 106: Poli associati ai modi principali (zoom)



E’ importante sottolineare che le frequenze associate ai primi modi di vibrare sono relative

alla configurazione a rotori bloccati.

E’ possibile inoltre analizzare più dettagliatamente il significato fisico dei singoli poli del

sistema.

Questo può essere fatto tipicamente con un’analisi agli autovalori-autovettori.

Si è già anticipato che gli autovalori della matrice A rappresentano i poli del sistema.

Ad ogni autovalore è associato un autovettore che fornisce informazioni sulle ampiezze dei

gradi di liberta del sistema (definiti a meno di una costante) in corrispondenza del modo di

vibrare associato appunto al polo considerato.

In questa particolare applicazione, dovendo convertire i modelli Dymola in ambiente

Matlab-Simulink, è necessario ricondurre gli autovettori effettivamente a delle uscite

fisiche (quelle eventualmente esplicitate nei modelli Dymola adattati alla conversione).

Questo può essere fatto con la seguente relazione:

{ } [ ] [ ]VCy ⋅=

dove C è la matrice denominata trasformazione d’uscita e V è il generico autovettore.

Ricavando i moduli dei vari componenti del vettore { }y si ha a disposizione, ovviamente

definita a meno di una costante, la deformata del sistema in corrispondenza della frequenza

associata al relativo autovalore.



Figura 107:Dettaglio del diagramma complesso dei poli

-4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Trasmissioni a cinghia



OUTPUT

INPUT

xy

ExtLin...

Catene cine...

ExtLin...

ExtLin...

Machining...UGRADINI FORZA

LETTURA RIGHE

Cons...

k={6...

Cons...

k={6...

Con

sta.

..

k={3

65}

CATENE CINEMATICHE

cinghia_tr...Inertia_motore

J=J_motore/10000 vite

AngleS...

AngleS...

1 2 3 4 5 6

SCHEMA TRASMISSIONE

USCITE SINGOLA TRASMISSIONE

USCITE TRASMISSIONI



Figura 108: Modello Dymola per analisi in ambiente Simulink

In Figura 108 è rappresentato un modello Dymola della struttura e delle trasmissioni creato

appositamente per effettuare analisi (autovalori-autovettori) in ambiente Matlab-Simulink.

Come è già stato anticipato si sono esplicitate come ingressi ed uscite opportune grandezze

associate ad alcuni terminali.

Sostanzialmente in questo modello, come segnali d’uscita, si hanno le letture delle righe

ottiche e alcune altre grandezze cinematiche relative ad ogni singola trasmissione.

Per tutte le trasmissioni sono state esplicitate alcune grandezze:

n° Grandezza Unità di misura

1 Rotazione puleggia motore (frame_a cinghia) [rad]

2 Rotazione puleggia motore (frame_a cinghia) [rad]

3 Traslazione cuscinetti(frame_a) [m]

4 Traslazione cuscinetti(frame_b) [m]

5 Traslazione chiocciola(frame_b) [m]

6 Traslazione vite(frame_b) [m]

E’ possibile quindi conoscere, in corrispondenza delle pulsazioni di alcuni poli, come si

deformano gli elementi delle catene cinematiche. Per ottenere tale indicazioni è necessario

calcolare i cedimenti come differenza tra il valore della grandezza sul terminale b e quello

sul terminale a.



modo a (2.93E03rad/s)

-0.0000006

-0.0000004

-0.0000002

0

0.0000002

0.0000004

0.0000006

0.0000008

0.000001

0.0000012

cingh

ia u

cusc

inetti

u

chioc

ciola

uvit

e u

cingh

ia w

cusc

inetti

w

chioc

ciola

wvit

e w

chioc

ciola

vvit

e v

cusc

inetti

v

cingh

ia v

componenti

ampi

ezze

ced

imen

ti m

odo

cinghia ucuscinetti uchiocciola uvite ucinghia wcuscinetti wchiocciola wvite wchiocciola vvite vcuscinetti vcinghia v

Figura 109: Ampiezza cedimenti modo a 2.93E3 rad/s

modo a (2.92E03 rad/s)

-0.0000008

-0.0000006

-0.0000004

-0.0000002

0

0.0000002

0.0000004

0.0000006

0.0000008

0.000001

0.0000012

cingh

ia u

cusc

inetti

u

chioc

ciola

uvit

e u

cingh

ia w

cusc

inetti

w

chioc

ciola

wvit

e w

chioc

ciola

vvit

e v

cusc

inetti

v

cingh

ia v

componenti

ampi

ezze

ced

imen

ti m

odo


Figura 110: Ampiezze cedimenti modo a 2.92E3 rad/s



modo a 2.71E03rad/s

-0.0000006

-0.0000004

-0.0000002

0

0.0000002

0.0000004

0.0000006

0.0000008

0.000001

0.0000012

0.0000014

cingh

ia u

cusc

inetti

u

chioc

ciola

uvit

e u

cingh

ia w

cusc

inetti

w

chioc

ciola

wvit

e w

chioc

ciola

vvit

e v

cusc

inetti

v

cingh

ia v

componenti

ampi

ezze

ced

imen

nti m

odo


Figura 111:Ampiezze cedimenti modo a 2.71E3 rad/s

Come si può facilmente osservare dalla Figura 109, Figura 110, Figura 111, in

corrispondenza dei poli evidenziati in Figura 107 sono le tre cinghie a vibrare

maggiormente.

La disposizione dei poli del sistema sul piano complesso è in un certo modo figlia della

scelta della procedura di calcolo dello smorzamento:

Nel nostro caso si è utilizzata la seguente:

∗=ωKc

con ∗ω maggiore per componenti più rigidi.

In Figura 112 si è messo in evidenza come potrebbe cambiare la disposizione dei poli del

sistema in relazione alla determinazione degli smorzamenti dei vari componenti.

La scelta dei valori di ∗ω per le diverse tipologie di componenti meccanici è stata fatta

cercando di rispettare le seguenti condizioni:

• smorzamenti dei modi principali inferiori a circa 5%



• disposizione dei poli del sistema più o meno coerente con l’andamento raffigurato

in Figura 112. Si è cercato di evitare poli che si scostassero eccessivamente e cioè

poli che fossero eccessivamente o troppo poco smorzati.

Il risultato è quello rappresentato in Figura 105.

Figura 112: disposizione poli del sistema meccanico sul diagramma complesso

Im

Re

smorzamento modale costante

∗=ωKc



Si passa ora ad analizzare le risposte temporali al gradino di forza nelle varie direzioni.

In tutti i casi si è applicato un gradino di forza di 1000N applicato all’istante t=0.5s.

E’ necessario premettere la presenza di un transitorio iniziale dovuto all’applicazione,

all’intera struttura, della forza peso all’istante iniziale t=0s. Si ha una sorta di

“assestamento”.

GRADINO U (diretto secondo la coordinata U)

Risposta coordinata U

Figura 113:Andamento temporale coordinata U

E’ possibile valutare il cedimento statico lungo la coordinata U e calcolarne la rigidezza la

quale risulta:

Ku_u=77 N/µm

Si può inoltre stimare in maniera approssimativa, dall’analisi del diagramma temporale, la

frequenza del “modo” dominante della risposta libera (circa 54Hz circa 339rad/s).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0....

+4...

+8...

+1...

+1...

+2...

+2...

struttura_MU1.naso_mandrino.r0[1]

[m]

[sec]

0.000013mm



Come si può facilmente osservare dalla lista dei poli, il modo individuato nella risposta

temporale corrisponde alla coppia di poli complessa coniugata evidenziata e contrassegnata

dal numero 1 (a 335 rad/s).

E’ quindi noto anche il relativo smorzamento che è pari a ζ=2.41%.(smorzamento

dimensionale percentuale h)

Questi smorzamenti possono essere determinati anche nel tempo con la tecnica del

decremento logaritmico [22], lo si è fatto solo come verifica.

Si analizzano ora anche le risposte nelle altre due direzioni:

Risposta coordinata W

Figura 114:Risposta temporale coordinata W

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25+0...

+2...

+4...

+6...

+8...

+1...

+1...

+1...

+1...

+1...struttura_MU1.naso_mandrino.r0[2]

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1+0...

+2...

+4...

+6...

+8...

+1...

+1...

+1...

+1...

+1...

+2...struttura_MU1.naso_mandrino.r0[2]

[m]

[sec]

2E-08m



Si può facilmente osservare che il gradino di forza applicato al naso mandrino lungo U

influenza pochissimo la coordinata W. La rigidezza che ne consegue è molto più elevata

della Ku_u.

Analogamente anche per l’ultima coordinata rimasta valgono le medesime considerazioni

fatte per la coordinata W. Si evita di riportare gli andamenti temporali della risposta.

GRADINO W (diretto secondo la coordinata W)

Risposta coordinata W

Figura 115:Andamento temporale coordinata W

E’ possibile valutare il cedimento statico lungo la coordinata W e calcolarne la rigidezza la

quale risulta:

Kw_w=77.5 N/µm

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7+0...

+2...

+4...

+6...

+8...

+1...

+1...

+1...

+1...

+1...

+2...

+2... struttura_MU1.naso_mandrino.r0[2]

0.0129mm

[m]

[sec]




frequenza del “modo” dominante della risposta libera (circa 71,43 Hz pari a 448 rad/s). Si

nota la presenza di un modo a frequenza più elevata ma sicuramente più smorzato.




E’ quindi noto anche il relativo smorzamento che è pari a ζ=3.24%.(smorzamento

dimensionale percentuale h)

Risposta coordinata U

Figura 116:Andamento temporale coordinata U(sonopresenti anche disturbi numerici)

Anche in questo caso il cedimento statico è molto inferiore e così la rigidezza molto

superiore a Kw_w.

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55-0....

+2...

+4...

+6...

+8...

+1...

+1...

+1...


[m]

[sec]

3E-08m



Risposta coordinata V

Figura 117:Risposta temporale coordinata V

Si possono fare le medesime considerazioni che per la coordinata U.

GRADINO V (diretto secondo la coordinata V)

Risposta coordinata V

Figura 118:Risposta temporale coordinata V.

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75-0....

+2...

+4...

+6...

+8...

+1...

+1...

+1... struttura_MU1.naso_mandrino.r0[3]

[m]

[sec]

6.3E-6m

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8-0....

+1...

+2...

+3...

+4...

+5...

+6...


[m]

[sec]

1.1E-6m



E’ possibile valutare il cedimento statico lungo la coordinata V e calcolarne la rigidezza la

quale risulta:

Kv_v=159 N/µm

In questa direzione si ottiene un valore di rigidezza leggermente più elevato.


frequenza del “modo” dominante della risposta libera (circa 95.3 Hz pari a circa 598rad/s).




E’ quindi noto anche il relativo smorzamento che è pari a ζ=4.27%.

I poli associati ai modi principali sono evidenziati inFigura 106

Dopo aver analizzato i casi proposti, si può affermare che il comportamento simulato della

macchina è ragionevole sia in termini di smorzamenti che in termini di cedimenti statici.

I valori di rigidezza statica e di smorzamento dei modi principali sono coerenti con quelli

di una macchina della medesima tipologia.



m rad rad/s

feed-forward

anello corrente+motore

anello velocità

anello posizione

Step1

startTi...

Spe...

PIA...

tar_vel...

k=...

Gai...

-Fee...

Add1

+1

+1Add1

++1

+1

feed_...Deriva...

k={1} k=Kf_...

Gain2

k={(2*...

Gain3

k={1/...

Gain4

k={(2*...

Gain5

3.3 TARATURE AZIONAMENTI

3.3.1 Considerazioni

Ci si può riferire fondamentalmente al medesimo schema valido per tutti gli assi della

macchina.

Questo modello è stato ottenuto semplificando gli schemi degli usuali azionamenti

industriali [4].

Figura 119: Schema dell’azionamento

Sostanzialmente è necessario determinare i seguenti parametri:

• Kv (guadagno proporzionale di posizione)

• Kpv (guadagno proporzionale dell’anello di velocità)

• Ti (costante di tempo integrale dell’anello di velocità)



Per quanto riguarda la pulsazione ωc, associata al modello del secondo ordine

rappresentante l’anello di corrente, si è deciso di assumere ωc=5026.5 rad/s(800Hz)e

smorzamento relativo del 70%.

Questa semplificazione è adatta a studiare casi con banda di corrente non troppo elevata o

quando non interessano saturazioni di corrente o tensione.

La taratura viene effettuata partendo dagli anelli più interni fino ad arrivare a quelli più

esterni.

Nel caso in esame è necessario prima tarare l’anello di velocità, determinando Kpv e Ti, e

solo successivamente effettuare la taratura dell’anello di posizione ricavando un valore per

il parametro Kv.

Le procedure ed i criteri di taratura sono quelli estratti dalla consuetudine industriale

E’ importante sottolineare il valore assunto dal guadagno Gain5 il quale permette di

esprimere coerentemente le unità di misura dei segnali e di assegnare al Kv il significato di

banda passante di posizione(spiegato nel paragrafo relativo alle tarature).

m

cgain r

rp

K ⋅⋅

=

1000

25

π

Questo guadagno non rappresenta altro che il rapporto di trasmissione dell’intera catena

cinematica, ovvero il rapporto di trasmissione complessivo realizzato da cinghia e vite a

ricircolo di sfere.

Prima di procedere con la taratura vera e propria è indispensabile premettere i concetti sui

quali si basa la regolazione di un qualsiasi anello.

La taratura ha lo scopo di ottenere un buon compromesso tra un sistema pronto e un

sistema non troppo smorzato. Aumentando i guadagni d’anello si ottiene un sistema

controllato sempre più pronto a seguire i segnali di riferimento (si aumenta la banda

passante BP tra riferimento e grandezza controllata) ma è necessario evitare di ottenere un

sistema troppo poco smorzato [12].



La taratura può essere fatta in modo equivalente sia nel dominio delle frequenze (attuali

CN) che in quello temporale.

In questo caso, avendo a disposizione uno strumento come Dymola, si è costretti ad

effettuare la taratura analizzando le risposte del sistema nel tempo.

Grazie alla possibilità di convertire modelli Dymola in modelli adatti all’ambiente

Simulink, si sono rese possibili analisi in frequenza relative ai sistemi precedentemente

tarati.

Si riportano i diagrammi di Bode delle risposte in frequenza e le risposte temporali degli

anelli di velocità e posizione di un asse.

Si potranno così effettuare considerazioni su come il sistema modifica il suo

comportamento quando viene controllato.

Per quanto riguarda gli altri assi, si riporteranno solamente i risultati ottenuti.

Procedura di taratura nel tempo

La taratura, come già anticipato in precedenza, serve per ottenere un compromesso ideale

tra:

• prontezza di risposta

• smorzamento delle oscillazioni

• nessuna sovraelongazione nei posizionamenti.

Questo viene ottenuto seguendo i passi successivi.

Taratura anello di velocità:

1) Si impone un gradino di velocità all’ingresso.

2) Si annulla inizialmente l’effetto dell’integratore ponendo Ti ad un valore molto

alto.

3) Si aumenta progressivamente il valore di Kpv fino ad ottenere delle

sovraelongazioni della velocità che vanno dal 15 al 20% del valore di riferimento.

Questo equivale, ragionando nel dominio delle frequenze, a fissare un margine di



fase o di guadagno per non avere un sistema controllato troppo oscillante e ovvero

troppo poco smorzato.

4) Una volta fissato il Kpv, si ritorna a far diminuire Ti fino a che la sovraelongazione

di velocità non riprende a crescere.

In generale si può affermare che il guadagno Kpv dell’anello di velocità è limitato, oltre

che dalla banda passante dell’anello di corrente, dalla flessibilità strutturale e dai picchi di

risonanza del sistema.

Taratura anello di posizione:

1) Con i valori di Kpv e Ti ricavati si impone al riferimento di posizione un

segnale a rampa

2) Si aumenta progressivamente il guadagno di posizione fino al massimo valore

che non genera oscillazioni. Per un anello di posizione è preferibile ottenere un

sistema meno pronto ma che non generi oscillazioni che andrebbero

inevitabilmente a peggiorare la qualità dei pezzi lavorati.

3) A questo punto si può inserire l’anticipo di velocità (feed-forward).

Il guadagno Kv sarà limitato dalla banda passante dell’anello di velocità e da eventuali

risonanze delle catene cinematiche.

Per quanto riguarda la rampa da utilizzare come riferimento di posizione, si è creato un

segnale che avesse accelerazioni limitate. Questo segnale è stato ottenuto imponendo un

profilo trapezoidale alla velocità, la posizione è stata ottenuta integrando la velocità stessa.

Un segnale così descritto è sicuramente più aderente, ai fini della valutazione delle

risposte, ad una situazione reale.



3.3.2 Taratura asse U

Per prima cosa è necessario analizzare il comportamento dell’asse U non a rotore bloccato.

Si può fare quindi riferimento allo schema Dymola di :

Figura 120: Modello Dymola per la determinazione della FRF ω /Cm

Convertendo il sistema in un modello Matlab-Simulink è possibile ricavare la FRF tra la

velocità angolare ω e la coppia motrice Cm.

La FRF fornisce informazioni sulla caratteristica meccanica dell’asse U.

E’ interessante conoscere questa risposta in frequenza anche per poterla successivamente

confrontare , nella fase di validazione del modello, con quella ricavata dall’azionamento

840D della macchina utensile reale.



Figura 121:FRF ω /Cm asse U

100 101 102-45-35-25-15

-55

15253545556575

units

: dB

; OPVEL U.M1&2; AXIS: U;

100 101 102-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

grad

i

Hz

. 7.1 -45.0

Modello w/Cm [(rad/s)/(Nm)]

meccanica rigida

prima risonanza asse U



Figura 122: Disposizione poli sistema di Figura 120

-7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

w star pattini=9000rad/s w star chiocciola=7000(rad/s) w star cuscinetti=7000 (rad/s)w star vite=7000(rad/s) w star cinghia=5500(rad/s)



Figura 123: Zoom

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

w star pattini=9000rad/s w star chiocciola=7000(rad/s) w star cuscinetti=7000 (rad/s)w star vite=7000(rad/s) w star cinghia=5500(rad/s)

poli nell’origine



E’ possibile notare la presenza di una risonanza e di una anti-risonanza (Figura 121).

La frequenza associata allo zero dovrebbe corrispondere alla pulsazione del primo modo di

vibrare dell’asse a rotore bloccato(circa 335 rad/s).

Come si può facilmente osservare la frequenza del polo associato al primo modo dell’asse

U è in linea con le indicazioni fornite dalla risposta in frequenza di Figura 121

Si riportano alcuni poli del sistema

smorz. pulsazione[rad/s] 5.00e-003 -1.00e+000 5.00e-003

8.63e-008 + 6.98e-003i -1.24e-005 6.98e-003

8.63e-008 - 6.98e-003i -1.24e-005 6.98e-003

-5.00e-003 1.00e+000 5.00e-003

-1.37e+001 + 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002 Primo modo di vibrare dell’asse U

-1.37e+001 - 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002

-2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

…..

…..

Come si può facilmente notare, i poli nell’origine evidenziati sono associati al fatto che

l’asse U e l’asse W non hanno il rotore bloccato e non sono controllati in velocità e

posizione.

Ovviamente anche la pulsazione dei due modi a frequenza minore è sensibilmente

differente da quella del sistema a rotori bloccati di Figura 103.

Si può procedere ora con la taratura degli anelli di posizione e velocità dell’asse U.

Si effettua prima la taratura nel tempo sfruttando le simulazioni in Dymola, poi si

verificano le stesse con opportune analisi in frequenza (FRF in anello chiuso ed aperto)

realizzate in ambiente Matlab-Simulink operando sui modelli convertiti.



Per la taratura dell’asse “U” si fa riferimento al modello di Figura 124:

Figura 124: Modello Dymola utilizzato per la taratura dell’asse U

Per la taratura dell’asse U si è bloccato il rotore della catena cinematica che comanda

l’asse verticale mentre l’asse W è stato lasciato “libero”.

Le tarature degli anelli di velocità e posizione sono state realizzate seguendo le procedure

descritte precedentemente.

Con lo schema riportato sopra è possibile aprire e chiudere i diversi anelli semplicemente

imponendo determinati valori ad opportuni parametri logici.

La maschera Dymola con la quale si possono inserire i parametri per effettuare la taratura è

riportata in Figura 125:



Figura 125: Maschera Dymola per inserimento parametri nei regolatori



Taratura anello di velocità

Riportiamo ora i risultati della taratura dell’anello di velocità dell’asse U:

Secondo la procedura precedentemente descritta si sono ottenuti i seguenti risultati:

Figura 126:Risposta temporale ad un gradino di velocità (Kpv=5Nm/(rad/s))

Si è inizialmente disabilitato l’azione integrale dell’anello di velocità (Figura 126).

La risposta al gradino con azione integrale è riportata in Figura 127.

Figura 127:Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms

12.5%

s

rad/s

29%

s

rad/s



Diminuendo progressivamente la costante di tempo Ti si è arrivati ad ottenere un

overshooting compatibile con i criteri di taratura elencati precedentemente.

Inizialmente la taratura è stata fatta nel tempo, solo successivamente si sono analizzati i

risultati corrispondenti.

E’ interessante analizzare cosa succede al sistema, ed in particolare ai poli e alle FRF,

quando si retroaziona il segnale di velocità e ed eventualmente quando si fanno variare i

guadagni.

Figura 128: Anello aperto di velocità asse u (con azionamento e Kpv=1Nm/(rad/s))

Nella figura sopra, al sistema meccanico, è stato aggiunto il regolatore P di velocità e il

modello dell’azionamento. L’anello di velocità è aperto.

Inizialmente il guadagno proporzionale di velocità è stato preso pari a Kpv=1Nm/(rad/s).

I...x

y

trasmissionsU

V

Fixed1=0Machining_str...

U

VW

VEL_A...

Spe...

k=Kpv/...

Gain1



Figura 129: Poli del sistema di Figura 128.

-8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

Poli anello aperto velocità (con azionamento) Kpv=1Nm/(rad/s)

poli azionamento



Ovviamente nel diagramma di Figura 129 sono evidenziati i poli complessi coniugati del

modello del secondo ordine che approssima il sistema motore-regolatore di corrente.

In Figura 130 si riporta il modello Dymola dell’anello chiuso di velocità:nel sistema è

quindi presente un regolatore PI

Figura 130: Anello chiuso di velocità con regolatore PI

Di seguito si riporta la disposizione dei poli del sistema di Figura 130 con i seguenti valori

del regolatore PI di velocità:

I...x

y

trasmissionsU

V

Fixed1=0

V...

Machining_str...

U

VW

Spe...

PIA...



• Kpv=1Nm/(rad/s)

• Tiv molto grande in modo da annullare l’effetto integrativo

Alcuni poli del sistema

Smorz. Freq.[rad/s] 8.36e-009 + 5.08e-003i -1.65e-006 5.08e-003 1)

8.36e-009 - 5.08e-003i -1.65e-006 5.08e-003 2)

7.52e-009 -1.00e+000 7.52e-009 3)

8.96e-012 -1.00e+000 8.96e-012 4)

-2.40e+001 + 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002

-2.40e+001 - 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002

-2.60e+001 + 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002

-2.60e+001 - 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002

……

……

-3.45e+003 + 3.52e+003i 7.00e-001 4.93e+003 5)

-3.45e+003 - 3.52e+003i 7.00e-001 4.93e+003 6)

……

-6.11e+001 1.00e+000 6.11e+001 7)

……

I poli 1) e 2) nell’origine sono quelli legati al fatto che l’asse W è lasciato libero.

Il polo 3) è dovuto al fatto che l’asse U è controllato solo in velocità ma non in posizione.

Il polo 4) nell’origine è associato all’integratore del regolatore di velocità.

I poli contrassegnati dal 5) e dal 6) sono effettivamente i poli associati al modello del

secondo ordine dell’azionamento. La loro pulsazione caratteristica è di circa 800Hz e il

loro smorzamento del 70%

In Figura 131 e Figura 132 sono riportati rispettivamente i poli del sistema e la FRF in

anello chiuso.

In Figura 133 è mostrato come si spostano alcuni poli del sistema meccanico(struttura

meccanica+ trasmissioni) quando si chiude l’anello di velocità.



Figura 131: Alcuni poli del sistema di Figura 130 con Kpv=1Nm(rad/S) e Ti molto grande

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10-3

Anello chiuso di velocitàKpv=1 Nm/(rad/s), Ti grande



Figura 132: Diagrami di Bode anello chiuso di velocità

100 101 102 103-40

-30

-20

-10

0

w [rad/s]

w/w

rich

[dB

]

100 101 102 103-200

-150

-100

-50

0

50

100

w [rad/s]

grad

iAnello chiuso di velocità

Kpv=1Nm/(rad/s)Ti grande

BP

-3dB

-45°



Figura 133: Confronto poli sistema Figura 128 con sistema in anello chiuso

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000 w star pattini=9000rad/s w star chiocciola=7000(rad/s) w star cuscinetti=7000 (rad/s)w star vite=7000(rad/s) w star cinghia=5500(rad/s)

Anello chiuso di velocitàKpv=1 Nm/(rad/s), Ti grande



Ovviamente chiudendo l’anello di velocità si può facilmente notare l’insorgere di un polo

reale(7) che rappresenta appunto la banda passante del sistema regolato in velocità.

L’indicazione della banda passante ricavata dal polo reale 7) è del tutto aderente a quella

ricavabile dai diagrammi di Bode di modulo e fase di Figura 132.

Con questa taratura il sistema potrebbe essere ben approssimato da un sistema del primo

ordine.

Si può inoltre notare che alcuni poli hanno spostato leggermente la loro posizione

aumentando il relativo smorzamento (è l’effetto della chiusura dell’anello di velocità).

E’ interessante vedere come si modificano i poli del sistemi al variare dei parametri del

regolatore di velocità ovvero al variare della taratura.

Ad esempio aumentando ancora il guadagno proporzionale di velocità:

• Kpv=5Nm/(rad/s)

• Tiv grande

Smorz. Freq[rad /s] -9.91e-011 1.00e+000 9.91e-011 Poli nell’origine

-4.49e-008 1.00e+000 4.49e-008

-5.08e-008 + 5.07e-003i 1.00e-005 5.07e-003

-5.08e-008 - 5.07e-003i 1.00e-005 5.07e-003

-2.40e+001 + 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002

-2.40e+001 - 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002

-2.60e+001 + 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002

-2.60e+001 - 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002

…..

-4.74e+002 1.00e+000 4.74e+002 Polo reale legato alla banda passante

…..

E’ facile osservare che la pulsazione associata al polo reale è cresciuta, in questo modo la

banda passante del sistema regolato si è innalzata sensibilmente rispetto al caso precedente.

Il sistema è sicuramente molto più pronto a seguire riferimenti di velocità.

In Figura 134 sono riportate due differenti risposte in frequenza al variare del guadagno

proporzionale di velocità.



100 101 102 103-40

-30

-20

-10

0

w [rad/s]

w/w

rich

[dB

]

100 101 102 103-200

-150

-100

-50

0

50

100

w [rad/s]

grad

i

Anello chiuso di velocità

Kpv=1Nm/(rad/s)Ti grande Kpv=5Nm/(rad/s)Ti grande

Figura 134: Confronto FRF in anello chiuso di velocità con diversi valori di taratura



Si prova ora ad aumentare l’effetto integrativo diminuendo la costante di tempo integrale:

• Kpv=5Nm/(rad/s)

• Ti=100ms;

In Figura 135 si mettono in evidenza gli spostamenti dei poli al variare dei parametri del

regolatore, in particolare si può osservare il fatto che diminuendo la costante di tempo

integrale il polo associato all’integratore si sposta verso valori reali sempre più negativi.

Alcuni poli del sistema:

Smorz. Freq[rad/s] 1.63e-009 + 5.06e-003i -3.22e-007 5.06e-003

1.63e-009 - 5.06e-003i -3.22e-007 5.06e-003

-8.23e-013 1.00e+000 8.23e-013

-1.63e+001 1.00e+000 1.63e+001 Polo reale associato all’integratore

-2.40e+001 + 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002

-2.40e+001 - 5.84e+002i 4.12e-002 5.84e+002

-2.60e+001 + 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002

-2.60e+001 - 6.02e+002i 4.31e-002 6.03e+002

…….

-4.47e+002 1.00e+000 4.47e+002 Polo reale

…….

E’ sicuramente interessante analizzare anche cosa succede ai poli e alle risposte in

frequenza del sistema con i valori estratti della taratura realizzata nel tempo secondo i

criteri comuni nella pratica industriale descritta precedentemente.

• Kpv=5Nm/(rad/s)

• Ti=20ms

In Figura 136, Figura 137 sono riportati il diagramma e la risposta in frequenza del sistema

regolato e con i parametri della taratura ricavati da quella fatta nel tempo seguendo quanto

si faceva in anni passati nella procedura industriale.



Figura 135: Disposizione poli con diverse tarature del regolatore

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000 Anello chiuso di velocità Kpv=1 Nm/(rad/s), Ti grande

Poli anello chiuso di velocitàKpv=5Nm/(rad/s)Ti=100ms

Anello chiuso velocità

spostamento polo reale

spostamento polo dell’integratore



Figura 136: Disposizione poli Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms

-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Poli anello chiuso di velocitàKpv=5Nm/(rad/s)Ti=100ms

poli:

BP+integratore

Poli anello chiuso di velocità

Kpv=5Nm/(rad/s)

Ti=20ms



Figura 137: FRF in anello chiuso di velocità(differenti tarature)

100 101 102 103-40

-30

-20

-10

0

w [rad/s]

w/w

rich

[dB

]

100 101 102 103-200

-150

-100

-50

0

50

100

w [rad/s]

grad

iAnello chiuso di velocità

Kpv=1Nm/(rad/s)Ti grande Kpv=5Nm/(rad/s)Ti grande

Kpv=5Nm/(rad/s)Ti=20ms

BP



smorz. pulsaz[rad/s]

1.67e-009 + 5.04e-003i -3.31e-007 5.04e-003

1.67e-009 - 5.04e-003i -3.31e-007 5.04e-003

0.00e+000 -1.00e+000 0.00e+000

….

-1.26e+002 1.00e+000 1.26e+002

-2.86e+002 1.00e+000 2.86e+002

......

…..

Come si può vedere, i poli reali, spingendosi, con i parametri del regolatore, verso una

taratura più spinta, cominciano a influenzarsi.

Alzando ancora i guadagni si può notare che i poli reali si avvicinano sempre di più

interagendo fino a diventare una coppia di poli complessi coniugati. Questo corrispondere

ad avere un sistema sicuramente più pronto ma anche più oscillante.

La banda passante di velocità, limitata dalle risonanze del sistema controllato, può essere

anche calcolata in modo approssimativo sfruttando il seguente schema a blocchi

semplificato che considera la meccanica rigida.

Nello schema sono trascurate anche le dinamiche dell’anello di corrente.

-

Figura 138: Diagrammi a blocchi meccanica rigida

Dove Jeq è il momento d’inerzia equivalente di tutta la meccanica.

Il momento d’inerzia è stato ricavato semplicemente simulando il comportamento della

macchina ad una coppia costante applicata al rotore del motore. Si è ricavata

l’accelerazione a regime e quindi anche il momento d’inerzia equivalente.

Si può dimostrare, sfruttando lo schema precedente, che la banda passante di velocità può

essere calcolata con la seguente relazione:

eq

pvvel J

KBP =

Kpv 1/(Jeq*s) ωrich ω



Nel caso in esame si è ricavato:

con Kpv=5 Nm/(rad/s)

Jeq=0.0169 Kgm^2

e quindi BPvel=296rad/s.

Si può concludere che questo valore approssimato è in linea con il valore deducibile dal

diagramma di Bode.

E’ possibile ora, sfruttando il modello di Figura 139, confrontare le risposte in frequenza

ω/Cm all’utensile, al motore e alla riga ottica (Figura 140). InertialS

ystem1

xy

Fixed1=0

C_m

v el_riga...

Machining_st...

U

VWTorque1

tau

k={42...

Gain1Der1d...

v el_ute...

k={42...

Gain2Der2d...

pul_mot1

pul_cond1

spost_rig1

cuscine...

chioccio...

vite_u1

pul_mot2

pul_cond2

spost_rig2

cuscine...

chioccio...

vite_u2

chio

ccio

...

vite

1

cusc

ine.

..

spos

_ri..

.

pul_

cond

3

pul_

mot

3

Catene cinematic...

SpeedSe...

w

vel_m

Figura 139:Modello per la determinazione delle FRF w(utensile, motore, riga)/Cm



Figura 140: Risposte in frequenza w/Cm in anello aperto

100 101 102 103-80

-60

-40

-20

0

20

40

100 101 102 103-500

-400

-300

-200

-100

0

FRF w/Cm

Utensilem

rad/s

dB

gradi

Motore

Rigam zero

risonanza



100 101 102 103-120

-100

-80

-60

-40

100 101 102 103-400

-350

-300

-250

-200

-150

(tetau-tetam)/Cm

rad/s

dB

gradi

Figura 141: FRF mCθ∆



100 101 102 103

-150

-100

-50

0

50

100 101 102 103-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

tetau/Cmtetam/Cm

rad/s

dB

gradi

FRF teta/Cm

Figura 142: FRF grandezze angolari/Cm



Analizzando opportunamente le risposte in frequenza è possibile dedurre come si comporta

il sistema e soprattutto, grazie alla Figura 141 , si evince che la catena cinematica si

deforma maggiormente in corrispondenza della risonanza a circa 438rad/s.

La FRF di Figura 142 ci permette di capire in che modo oscilla il sistema osservando il lato

motore e il lato utensile. Il modulo delle oscillazioni è prossimo ad essere identico ma si ha

uno sfasamento relativo di circa 180° tra le due coordinate, motore e utensile(carico) sono

quindi in opposizione di fase.

Se si pensa di considerare solo il lato motore e il lato utensile(a meno di una costante):

Figura 143: Modo di vibrare del motore e dell'utensile un corrispondenza della risonanza

Per la FRF di Figura 142 si può scrivere:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m

u

m

m

m

u LOGC

LOGC

LOGθθθθ

202020

quindi in corrispondenza dello zero si ha

182520 ≈⇒≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m

u

m

u dBLOGθθ

θθ

m

u



Figura 144:Modo di vibrare motore ed utensile alla frequenza dello zero

Un discorso analogo a quello di Figura 144 può essere fatto anche per le velocità in

corrispondenza della pulsazione dello zero. Si può affermare che il motore sia praticamente

fermo rispetto all’utensile.

E’ possibile pensare di individuare, tra gli elementi meccanici della trasmissione, quelli che

si deformano maggiormente in corrispondenza della frequenza della risonanza.

Alcuni poli del sistema in esame:

...... Smorz. Pulsazione[rad/s] -1.37e+001 + 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002 Risonanza

-1.37e+001 - 4.38e+002i 3.14e-002 4.38e+002

-2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

…..

Con il solito approccio agli autovalori-autovettori è possibile ottenere i risultati di Figura

145.

Il componente della trasmissione che si deforma maggiormente in corrispondenza della

frequenza della risonanza è la vite

m

u



modo a 438rad/s

-0.000003

-0.000002

-0.000001

0

0.000001

0.000002

0.000003

0.000004

0.000005

cinghia_u cuscinetti_u chiocciola_u vite_u

elementi

ampi

ezze

mod

o

cinghia_ucuscinetti_uchiocciola_uvite_u

Figura 145: Ampiezze oscillazioni elementi catena cinematica alla frequenza di risonanza

Si riportano di seguito le risposte in frequenza in anello chiuso di velocità all’utensile.

InertialSystem1

xy

Fixed1=0

v el_riga...

Machining_st...

U

VW

k={42...

Gain1Der1d...

v el_ute...

k={42...

Gain2Der2

d...

pul_mot1

pul_cond1

spost_rig1

cuscine...

chioccio...

vite_u1

pul_mot2

pul_cond2

spost_rig2

cuscine...

chioccio...

vite_u2

chio

ccio

...

vite

1

cusc

ine.

..

spos

_ri..

.

pul_

cond

3

pul_

mot

3

Catene cinematic...

vel_rich

v el_mot...

Figura 146:Modello Dymola per la determinazione delle FRF in anello chiuso di velocità



Smorz. Pulsazione[rad/s] 1.62e-009 + 4.98e-003i -3.25e-007 4.98e-003

1.62e-009 - 4.98e-003i -3.25e-007 4.98e-003

-8.53e-014 1.00e+000 8.53e-014

-2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

-1.00e+002 + 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002

-1.00e+002 - 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002

-1.26e+002 1.00e+000 1.26e+002

-2.87e+002 1.00e+000 2.87e+002

modo a 379 rad/S

-5E-10

0

5E-10

0.000000001

1.5E-09

0.000000002

2.5E-09

0.000000003

cinghia_u cuscinetti_u chiocciola_u vite_u

componenti asse U

ampi

ezze

mod

i

cinghia_ucuscinetti_uchiocciola_uvite_u

Figura 147:Ampiezze vibrazione del modo a 379rad/s(anello chiuso di velocità)

In corrispondenza dello zero la FRF in anello chiuso al motore presenta brusco

decadimento, in corrispondenza di tale frequenza la velocità del motore è molto piccola

rispetto a quella dell’utensile che a sua volta è paragonabile a quella di riferimento.

Analizzando le FRF di Figura 149, relative alle coordinate angolari di utensile e motore, si

può evincere che si ha la massima deformazione della trasmissione in corrispondenza della

frequenza della coppia di poli complessi coniugati a 379rad/s.

Il componente della trasmissione che contribuisce maggiormente al cedimento

complessivo è sempre la vite.



100 101 102 103-80

-60

-40

-20

0

20

40

100 101 102 103-500

-400

-300

-200

-100

0

Utensilem

FRF anello chiuso velocità

rad/s

dB

gradi

Motore

Kpv=5Nm/(rad/s)

Ti=20ms

Rigam

Figura 148: FRF in anello chiuso di velocità(utensile,riga,motore)



100 101 102 103

-150

-100

-50

0

100 101 102 103-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

tetau/wr

rad/s

dB

gradi

tetam/wr

(tetau-tetam)/wr

Figura 149:FRF anello chiuso di velocità



Taratura anello di posizione

In questa sezione ripresentano i risultati della taratura dell’anello di posizione.

Il valore del guadagno proporzionale di corrente è stato ricavato effettuando una taratura

nel dominio del tempo secondo i criteri precedentemente illustrati: si è cercato, visto

l’importanza del posizionamento nelle macchine utensili, di limitare il Kv a valori tali da

non innescare delle oscillazioni nella risposta alla rampa di riferimento.

Come si è già anticipato, il segnale di riferimento presenta accelerazioni limitate per porsi

in una condizione sicuramente più vicina alla realtà.

Figura 150: Risposta temporale a rampa di posizione ad accelerazione limitata

(Kv=4.8m/(mm1')=80rad/s,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms)

E’ comunque significativo, come è stato fatto per l’anello di velocità, analizzare i risultati

ottenuti anche nel dominio delle frequenze.

Nelle figure seguenti si riportano infatti i diagrammi di Bode delle risposte in frequenza

dell’anello di posizione evidenziando cosa accade quando si chiude in retroazione il

segnale di posizione.

s

m



In Figura 154 si presentano le disposizioni dei poli del sistema sia in anello chiuso che in

anello aperto.

In Figura 153 vengono presentate le FRF di anello senza feed-forward e con lo stesso

anticipo di velocità attivato.

L’attivazione dell’anticipo di velocità non comporta cambiamenti nei poli del sistema in

esame.

A questo punto sarebbe interessante cercare di capire cosa limita il guadagno proporzionale

di posizione Kv.

Rifacendosi allo schema semplificato di Figura 151:

Figura 151: Schema semplificato controllo di posizione

Affinché l’anello sia tarato correttamente, secondo le teorie del controllo, è necessario un

certo margine di guadagno in corrispondenza di uno sfasamento di 180° nella fase della

risposta in frequenza del sistema controllato, questo si traduce appunto nel non far

innescare oscillazioni nel dominio del tempo.

Il guadano dell’anello di posizione è limitato dalla coppia di poli raffigurata in Figura 155

(introduce sfasamento):

E’ ora necessario individuare, analizzando il sistema controllato in velocità, quali sono i

poli in esame:

…… Smorz. Pulsazione[rad/s] -1.00e+002 + 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002

-1.00e+002 - 3.66e+002i 2.65e-001 3.79e+002

…..

s1 Kv

-

pos_rif

+

rif

riga

ωω

pos_riga



E’ sicuramente significativo cercare di capire quale componente della trasmissione si

deforma maggiormente in corrispondenza della frequenza associata alla coppia di poli

complessi coniugati riportata sopra.

La banda passante dell’anello di velocità è quindi limitata maggiormente da tale

componente.

Questo genere d’indagine può essere fatta analizzando gli autovalori-autovettori del

sistema controllato.

Il componente che si deforma maggiormente è la vite della vite a ricircolo di sfere(analisi

già effettuata in Figura 147).

Quindi per migliorare le prestazioni dinamiche dell’asse bisognerebbe migliorare le

caratteristiche del componente vite.



Bode Diagrams

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

101

102

103

104

-500

-400

-300

-200

-100

0

To: Y

(1)

Anello aperto posizione Kv=1rad/s Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20msAnello aperto posizione Kv=80rad/s Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms

dB

gradi

Anello chiuso di posizione Kv=80rad/S,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms

Figura 152: FRF Chiusura anello di posizione



Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-200

-150

-100

-50

0

From: U(1)

100

101

102

103

104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

To: Y

(1)

Anello chiuso di posizione Kv=80rad/S,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms Anello chiuso di posizione Kv=80rad/S,Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms ff=on

Figura 153: FRF anello chiuso di posizione(feed-forward on-off)



-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000Poli anello chiuso di posizione Kv=4.8m/(mm*min),Kv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms "O" Poli anello aperto di posizione Kv=4.8m/(mm*min),Kv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms "*"

Figura 154:Disposizione dei poli anello aperto-anello chiuso



Figura 155:FRF anello chiuso di velocità(velocità riga/velocità riferimento)

100 101 102 103-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

100 101 102 103

-400

-300

-200

-100

0rad/s

dB

gradi

w rigam/w rif

Anello chiuso di velocità

coppia poli 379rad/s



E’ possibile, analogamente a quanto fatto per l’anello di velocità, verificare la banda

passante.

Per la determinazione indicativa della banda passante dell’anelo di velocità è possibile

sfruttare il seguente schema semplificato dove si trascurano le dinamiche dell’anello di

velocità.

Figura 156: Schema semplificato controllo posizione

Si può dimostrare che la banda passante, per il sistema rappresentato dallo schema, è pari

a: BPpos=Kv.

Per ottenere questa indicazione dal Kv è necessario esprimere appunto il Kv nell’unità di

misura corretta ed è indispensabile non dimenticare di considerare i “guadagni” associati

alle trasmissioni ovvero i rapporti di trasmissione.

Si ha Kv=80rad/s

Il polo reale del sistema vale invece:

Alcuni poli del sistema:

Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)

…. -2.35e+001 + 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.35e+001 - 5.77e+002i 4.07e-002 5.77e+002

-2.58e+001 + 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

-2.58e+001 - 6.01e+002i 4.30e-002 6.02e+002

-5.05e+001 + 8.95e+002i 5.64e-002 8.96e+002

-5.05e+001 - 8.95e+002i 5.64e-002 8.96e+002

-5.44e+001 1.00e+000 5.44e+001 Polo reale

-5.97e+001 + 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003

-5.97e+001 - 1.04e+003i 5.76e-002 1.04e+003

Kv 1/s pos_rich pos



-6.59e+001 + 3.11e+002i 2.08e-001 3.18e+002

-6.59e+001 - 3.11e+002i 2.08e-001 3.18e+002

-1.01e+002 + 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003

-1.01e+002 - 1.34e+003i 7.51e-002 1.35e+003

-2.02e+002 + 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003

-2.02e+002 - 1.85e+003i 1.09e-001 1.86e+003

-2.14e+002 + 1.74e+002i 7.76e-001 2.76e+002

-2.14e+002 - 1.74e+002i 7.76e-001 2.76e+002

….

Le indicazioni differenti fornite dal polo reale e dal Kv dipendono dal fatto che si vuole

approssimare la banda passante del sistema con un sistema del primo ordine.

In realtà la FRF, rappresenta in Figura 157, mostra come non possa essere facilmente

approssimata da un modello del primo ordine.

Le indicazioni della banda passante fornite dal polo reale, dal Kv e dai diagrammi di Bode

sono in generale tutte differenti.



Figura 157:Dettagli FRF anello chiuso di posizione

100 101 102 103-50

-40

-30

-20

-10

0

10

100 101 102 103

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Anello chiuso di posizione

pos. riga/pos. richiesta

rad/s

dB

gradi

polo reale 54.4rad/s coppia complessa coniugata



3.3.3 Risultato tarature assi

In questo paragrafo verranno riproposti sinteticamente i risultati delle tarature dei vari assi.

Parametro/asse Asse U Asse W Asse V

Kpv[Nm/(rad/s)] 4 4 4

Ti[ms] 20 20 15

Kv[m/(mm*1’)] 4.8 5.5 5

Tabella 2: Parametri di taratura dei vari assi

E’ necessario sottolineare che, per quanto riguarda il valore del guadagno proporzionale di

posizione, si è assunto, per ogni asse, il valore più basso tra quelli determinati attraverso il

processo di taratura. Questo serve per non avere comportamenti dinamici differenti, per

quanto riguarda il controllo della posizione, nelle differenti direzioni quando si fanno

lavorare i diversi assi in interpolazione.



4 PROCESSO DI TAGLIO

In questo capitolo del lavoro di Tesi si riportano i risultati delle simulazioni relative alla

modellazione del processo di taglio.

Sostanzialmente vengono effettuate due tipologie di simulazioni: la prima considera una

lavorazione in cui l’utensile si sposta rigidamente mentre la seconda, considerando la

cedevolezza della macchina, è atta ad “individuare”, variando un parametro di taglio, il

limite di stabilità del processo e a rilevare fenomeni vibratori associati ad un eventuale

instabilità.

4.1 FRESATURA CON MECCANICA RIGIDA

L’analisi di questa simulazione serve anche in fase di debugging del modello, in altre

parole per assicurarsi che nei risultati compaiano essenzialmente tutti gli aspetti modellati.

Per verificare la correttezza del modello si sono confrontati i risultati ottenuti con quelli,

per la medesima lavorazione, forniti da CUTPRO (programma per la simulazione di

processi di taglio) [10],[11],[8].

Figura 158:Modello per simulare un'operazione di fresatura con meccanica rigida



Si sono considerati i seguenti parametri di taglio, riferendosi ad una lavorazione

dell’alluminio:

• ω_n=1500 giri/min (velocità di rotazione della fresa)

• b=25.4 mm (larghezza pezzo)

• v_a=1 (mm/(giro dente)) (velocità di avanzamento)

• Kr=200 N/mm^2, Kt=796 N/mm^2 e Kz=0 N/mm^2

• d=50 mm (diametro fresa)

I valori sono stati inseriti nel modello, unitamente alle informazioni sulla posizione del

pezzo e alle sue dimensioni, mediante la seguente maschera Dymola:

Figura 159: Maschera per inserimento parametri di taglio



Si è imposto,come riferimento per l’asse U, una rampa di posizione ad accelerazioni

limitate che presenta, nel tratto a velocità costante, la velocità di avanzamento imposta

come parametro di taglio.

Si riportano i risultati delle simulazioni:

Figura 160: Andamento della forza radiale per il tagliente i-esimo

Figura 161: Andamento della forza tangenziale per il tagliente i-esimo

[N]

[sec]

N

sec



Si possono riportati anche gli andamenti temporali delle forze di taglio risultanti misurate

in corrispondenza del terminale dell’utensile e scomposte lungo gli assi U e W.

Figura 162:Andamento forze al mandrino(direzione U o X)

Figura 163:Andamento forza al mandrino(direzione W o Y)

[N]

[sec]

[N]

[sec]



In Figura 164 si riportano i risultati delle simulazioni relative al medesimo processo

effettuate con CUTPRO.

Le simulazioni sono del tutto analoghe a quelli ottenute con Dymola.

Figura 164: Simulazioni ottenute con CUTPRO

Figura 165:Simulazioni effettuate con CUTPRO



La particolarità delle simulazioni effettuate con Dymola è che è possibile analizzare gli

andamenti delle forze nelle zone di transizione, ad esempio quando la fresa si appresta ad

uscire completamente dal pezzo. In una prima fase, quando il generico tagliente in

lavorazione esce dal pezzo, la forza di taglio ad esso associata si annulla, ma quando il

tagliente rientra nel pezzo e ricomincia a lavorare viene ovviamente ripristinata anche la

forza di taglio.

Figura 166:Andamento delle forze durante il transitorio d'uscita della fresa dal pezzo

[N]

[sec]



4.2 STABILITÀ DEL PROCESSO DI TAGLIO

Con il modello del processo di taglio proposto in questo lavoro di Tesi è possibile, se ci

riferisce ad un modello non rigido della macchina, osservare l’insorgere di fenomeni di

instabilità da chatter [10].

Il limite di stabilità del processo viene principalmente influenzato dal parametro di taglio p

ovvero dalla profondità di passata della fresatura.

In questa sezione si riportano i risultati delle simulazioni effettuate aumentando

progressivamente la profondità di passata.

Per gli altri parametri di taglio, si fa riferimento a quelli utilizzati nel paragrafo precedente.

Per le simulazioni ci si riferisce allo schema di Figura 167:

Figura 167: Modello Dymola complessivo per valutazione stabilità del processo

MECCANICA MU

AZIONAMENTO



Nella Figura 167, inoltre, sono state evidenziate le parti che costituiscono il modello

complessivo del sistema considerato in questo lavoro di Tesi.

Si riportano ora i risultati delle simulazioni:

a) p=5mm

Figura 168: Andamento temporale coordinata U del centro della fresa

Figura 169: Andamento temporale coordinata W del centro della fresa

[m]

[sec]

[m]

[sec]



Si può osservare, in corrispondenza dell’inizio del taglio, l’insorgere di vibrazioni con una

semi-ampiezza massima di circa 1.5 E-5 m. Questi fenomeni vibratori sono ovviamente

causati dalle forze di taglio e vanno ad influenzare la qualità delle lavorazioni ottenute.

Figura 170: Andamento temporale della coordinata V del centro della fresa

Vibrazioni lungo la direzione V: semi-ampiezza massima dell’ordine di 0.8 E-5 m.

Si riporta per completezza anche l’andamento della forza tangenziale associata ad un

tagliente generico.

Figura 171: Andamento temporale della forza tangenziale associata al singolo tagliente

[m]

[sec]

[N]

[sec]



Con questo valore di profondità di passata non si instaurano oscillazioni instabili o di

ampiezza troppo elevata.

b) Con p=30mm

Figura 172: Andamento temporale coordinata W del centro della fresa

Si può chiaramente osservare come si siano generate oscillazioni anomale di semi-

ampiezza pari a circa 4.5mm e quindi sicuramente inaccettabili. Questo fenomeno prende il

nome di instabilità da chatter.

Figura 173: Andamento temporale della coordinata V del centro della fresa

[N]

[sec]

[N]

[sec]



Per quanto riguarda le oscillazioni della coordinata V del centro della fresa, la loro semi-

ampiezza è più piccola di quella della coordinata W.

Figura 174: Andamento temporale della forza tangente relativa al singolo tagliente

Ovviamente anche la forza raggiunge valori molo elevati.

[N]

[sec]



5 VALIDAZIONE MODELLO

In questa sezione si presentano le prove sperimentali effettuate sulla “Event” al fine di

ottenere una prima validazione del modello dell’intera macchina utensile e per capire

quanto precise possono considerarsi le informazioni estratte dalle simulazioni numeriche.

Fondamentalmente sono state effettuate le seguenti verifiche sperimentali:

• Verifica del comportamento dinamico degli assi

• Verifica della taratura e funzioni di risposta in frequenza degli assi controllati in

velocità e posizione.

• Verifica dell’esecuzione di una traiettoria imposta.

• Verifica delle accelerazioni durante una prova di lavorazione.

Le prime tre verifiche sono state realizzate grazie alle funzioni del controllo numerico della

MU grazie alle quali si è in grado di determinare e salvare funzioni di risposta in frequenza

degli assi (controllati e non) ed eventualmente traiettorie realizzate dalla macchina durante

l’esecuzione di profili assegnati come riferimento.

Per la determinazione delle accelerazioni durante la prova di lavorazione si è impiegata

un’opportuna strumentazione in grado di acquisire i segnali forniti dall’accelerometro.

5.1 ANALISI MECCANICA DELLA STRUTTURA

Relativamente a questa fase di verifica si sono confrontate le funzioni risposta in frequenza

mCω dell’asse U sovrapponendo i diagrammi di Bode sperimentali a quelli numerici già

ricavati in precedenza(rendendo coerenti le unità di misura dei diagrammi di Figura 121).

Il risultato di questo confronto è presentato in Figura 175.



Figura 175: Funzione risposta in frequenza ω/Cm (sperimentale-numerica asse U)

100 101 102-40-20

020406080

units

: dB;

100 101 102-200

-100

0

100

200

degr

ees

Hz

. 7.1 -45.0

Experimental data Numerical

Scostamento fra risultati sperimentali e risultati numerici



Analizzando il diagramma di Figura 175 si può vedere come il modello rappresenti

correttamente l’inerzia totale dell’asse (motore, trasmissione e struttura) che si comporta

come un corpo rigido a basse frequenza e l’inerzia del motore dopo la prima risonanza.

Per quanto riguarda la stima della prima frequenza di risonanza si notano degli scostamenti

tra il modello ed i risultati numerici, queste differenze sono dovute essenzialmente al fatto

di aver considerato, nella modellazione della macchina, i singoli elementi della struttura

come corpi rigidi. La stima numerica della risonanza si colloca ovviamente a frequenze più

elevate essendo il modello numerico più rigido.

5.2 TARATURA ASSI

Il risultato della taratura è importante perché può fornire indicazioni sulle prestazioni della

macchina progettata.

In Figura 176 vengono confrontate le FRF dell’anello chiuso di velocità mentre in Figura

177 le FRF relative all’anello di posizione con anticipo di velocità attivato.

I confronti proposti si riferiscono al comportamento sperimentale e numerico dell’asse U.

Nelle tabelle seguenti si riportano i risultati ottenuti, in termini di parametri di taratura e

valutazioni delle bande passanti per gli anelli di velocità e posizione.

Modello (tar.personale) Modello (tarat.sperim) 840D Siemens(sperim.)

Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms]

Taratura

anello

velocità U 5 20 4 10 4 10

BP(@-3dB) 40.7Hz 41.5Hz 32.6Hz

BP(@-45°) 29.8Hz 28.64Hz 27.8Hz

BP(Kpv/Jeq) 47Hz 37.7Hz (37.7Hz)*

Tabella 3:Taratura anello di velocità asse U

In queste tabelle si riportano anche i risultati numerici ottenuti impostando i parametri

sperimentali di taratura.

I risultati della taratura potrebbero anche differire leggermente in base ai criteri utilizzati.



Esaminando le tabelle si può dedurre come l’assunzione di considerare rigidi gli elementi

costitutivi della struttura della macchina porti ad un errore del circa 20% nella stima della

banda passante dell’anello di velocità(40,7Hz invece di .32.6Hz a -3dB).

Modello(tar.personale) Modello 840D Siemens

Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms] Kpv[Nm/(rad/s)] Ti[ms]

5 20 4 10 4 10

Kv[m/(mm1’)] Kv[m/(mm1’)] Kv[m/(mm1’)]

Taratura

anello

posizione U

ff=on

4.8 4 4

BP(-@3dB) *** (17.3Hz ff=off)* -

BP(-@45°) (11.9Hz ff=off) (11.5Hz ff=off) -

BP(Kv[rad/s]) 12.7Hz 10.6Hz (10.6Hz)

BP(polo reale) 8.66Hz(**) 9.1Hz(**) -

Tabella 4: Taratura anello di posizione asse U

Un’approssimazione simile è propagata anche all’anello di posizione

Nonostante le semplificazioni introdotte l’errore finale sulle valutazioni delle bande

passanti è limitato in quanto, in questo tipo di macchine, le bande passanti delle risposte

vengono fondamentalmente limitate dal primo modo in corrispondenza del quale è la

catena cinematica a deformarsi maggiormente. Questo aspetto è ben rappresentato nel

modello.

Il modello può essere utilizzato per individuare quali tra i componenti della trasmissione

contribuisce maggiormente alla deformazione della stessa in corrispondenza del primo

modo a circa 60Hz(anello chiuso di velocità).

Da analisi effettuate e già riportate in precedenza si vede che la deformazione della

trasmissione è dovuta principalmente alla vite (Figura 147).

Queste indicazioni sono utili al progettista per un eventuale miglioramento delle

prestazioni della macchina progettata.



Figura 176: Confronto delle FRF relative alle tarature dell'anello di velocità

100 101 102-40

-20

0

20un

its: d

B;

.32.6 -3.0

100 101 102-200

-100

0

100

200

degr

ees

Hz

.27.8 -45.0

Experimental:Kpv=4Nm/(rad/s),Ti=10 ms Numerical: Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms



100 101 102 103-100

-80

-60

-40

-20

0

20

units

: dB;

. 9.3 -3.0

100 101 102 103-600

-400

-200

0

200

grad

i

Hz

.18.2 -45.0

Experimental 840D Kpv=4Nm/(rad/s),Ti=10ms,Kv=4m/(mm*min) ff=onNumerical data Kpv=5Nm/(rad/s),Ti=20ms,Kv=4.8m/(mm*min) ff=on

Figura 177: Confronto FRF delle tarature dell'anello di posizione con feed-forward attivato



5.3 ESECUZIONE DI UNA TRAIETTORIA IMPOSTA

Il modello meccatronico della macchina è stato valutato esaminando l’accuratezza

nell’esecuzione di un profilo di una traiettoria imposta.

Prima di riportare i risultati della prova è necessario introdurre il fenomeno dell’attrito nel

modello delle guide.

5.3.1 Attrito nelle guide

Nei modelli illustrati in precedenza non si era considerato l’attrito.

In questa sezione si illustra ad esempio come si è pensato di introdurlo nel modello delle

guide.

Per prima cosa è necessario specificare a quale modello di attrito fare riferimento.

Si è pensato di implementare un modello che si basa sulla seguente caratteristica.

Figura 178: Caratteristica del modello d'attrito

Si è pensato di semplificare ulteriormente la trattazione sostituendo al tratto verticale uno a

pendenza molto elevata per evitare di introdurre discontinuità.

In definitiva si è implementata la seguente caratteristica:

vel [m/s]

F [N]

f_s



F_att

Figura 179: Caratteristica semplificata implementata

Il modello di riferimento delle guide è quello di Figura 180 nel quale agiscono due molle in

direzione perpendicolare alla traslazione concessa. Con l’introduzione dell’attrito si è

aggiunta anche una forza che si oppone al movimento della slitta sulla rotaia che dipende

dalla velocità secondo la caratteristica riportata in Figura 180:

Figura 180: Modello di guida con forze d'attrito

Questo aspetto è stato implementato in Dymola modificando opportunamente i modelli

realizzati in precedenza.

Ad esempio, per le guide di tipo RUE si è realizzato il seguente componente:

m

vel

F

f_s

vlim1

vlim



Figura 181: Spring-Damper 3D con attrito(Guide RUE)

In questo caso si è inserita la forza d’attrito lungo la direzione in cui il parametro elastico è

nullo, perché quella è la direzione in cui è permesso il moto.

I codice Modelica del componente è riportato nella relativa appendice.

Si sono successivamente fatte delle simulazioni con l’attrito introdotto solo nelle guide

dell’asse U.

Schema di riferimento usato per simulazioni:

Figura 182: Modello Dymola per analisi traiettorie



Grazie al modello di Figura 182 si sono analizzati gli errori commessi nella realizzazione

di una traiettoria circolare.

Si è inoltre modificato, per poter introdurre l’attrito, il modello Dymola associato

all’assieme carro:

Figura 183: Modello Dymola modificato dell'elemento assieme carro

rispetto alla versione precedente che non considerava la velocità di scorrimento tra le parti

mobili.

Figura 184: Modello Dymola del carro (senza attrito)



Convertendo il modello di Figura 182 in Simulink si è in grado di analizzare la traiettoria

ottenuta anche in riferimento al modello senza l’implementazione dell’attrito.

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01attrito guide UNo attrito

Traiettoria circolare U-W

Figura 185: Traiettoria che approssima una circonferenza (con e senza attrito)

Ovviamente in Figura 185 non è possibile osservare la differenza tra le due traiettorie.

Ingrandendo i diagrammi:

-10 -9.998 -9.996 -9.994 -9.992 -9.99 -9.988 -9.986 -9.984 -9.982 -9.98

x 10-3

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10-4

attrito asse Uno attrito

Traiettoria circolare U-W

Inversione asse U

Figura 186: Differenza tra le traiettorie



Per rendere più significative le simulazioni si è calcolato l’errore commesso

nell’esecuzione della traiettoria rispetto al caso ideale di una circonferenza i raggio R.

Si è inserito solo l’attrito statico.

Figura 187: Errore durante l'inversione del moto dell'asse U (rispetto a traiettoria nominale)

Queste simulazioni sono state effettuate solo per verificare che fossero presenti gli aspetti

modellati.

Ritornando alla valutazione del modello nell’esecuzione di una traiettoria imposta.

Si è utilizzato il modello Dymola di Figura 188.

L’attrito è stato introdotto sia per l’asse U che per l’asse W.

I blocchi evidenziati sono serviti per caricare nel modello le traiettorie utilizzate macchina

utensile reale.

0.4 E-6 m



Figura 188: Modello per valutare comportamento modello imponendo una traiettoria

29.98 29.985 29.99 29.995 30 30.005 30.01 30.015 30.02

-30

-20

-10

0

10

20

30

U axis [mm]

W a

xis

[mm

]

60 mm square at 30000 mm/min, zoom. test: QUADR2F3U

zoomedarea

Figura 189: Confronto traiettoria sperimentale-simulata-imposta

I...x

y

trasmissionsU

REG_...

REG_...

REG_...

STR...

CombiTa...

CombiTa...

CombiTa...

k={1000}

Gain2

k={1000}

Gain3

k={1000}

Gain4



Per “stressare” la dinamica della macchina si è imposto un profilo quadrato con lato di

60mm. Il risultato del confronto (Figura 189) è relativo ad un avanzamento di

30000mm/min molto maggiore di quelli usati nella pratica industriale.

Il modello è così in grado di prevedere ragionevolmente, nonostante trascuri componenti

dinamiche a frequenze maggiori, l’errore commesso dalla macchina nella realizzazione

della traiettoria.

Esistono inoltre alcune discrepanze tra le simulazioni ed i risultati sperimentali dovute alla

semplificazione nella modellazione del controllo(es. non è stata modellata nessuna

compensazione dell’attrito mentre sulla macchina questa funzione era attiva).

5.4 PROVE DI LAVORAZIONE

L’ultima verifica effettuata nel tentativo di valutare il modello consiste in una prova di

esecuzione di una lavorazione di fresatura.

I parametri e le caratteristiche della lavorazione sono riportate in Figura 190:

Figura 190: Dati relativi alla lavorazione di fresatura realizzata

Come si nota in Figura 191 è stata realizzata una fresatura a spianare di un blocco di C45

con una fresa a sette taglienti, l’immersione della fresa nel pezzo era di circa il 65% del suo

diametro.

L’accelerometro è stato posizionato sul naso mandrino e le accelerazioni rilevate sono state

opportunamente registrate ed elaborate.

In Figura 192 si riporta un diagramma tempo-frequenza della componente

dell’accelerazione lungo un determinato asse.

Ovviamente nel diagramma si nota, come componente fondamentale, il contributo in

frequenza associato alla periodicità con cui ogni singolo tagliente entra in contatto con il

pezzo.

FFrreessaattuurraa :: p=1mm Vt=180m/1’ Vf=400 mm/1’ f=0.1mm/(dente*giro)

d=100mm (immersione fresa circa 65%)

UUtteennssiillee SSaannddvviikk:: Codice utensile:R245100Q32-12

Codice inserto:R24512T3EPLQ4030



Figura 191:Immagini della prova di lavorazione, collocazione accelerometro

Figura 192: Accelerometro e diagramma tempo frequenza dati

In Figura 193 si riporta il confronto tra l’andamento sperimentale e quello simulato di una

componente dell’accelerazione.

I risultati sperimentali mettono in evidenza una componente a frequenza più elevata non

perfettamente catturata dalla frequenza di campionamento.



0 .67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 Der_w .ou tPo r t.s igna l[1 ]

[s]

[m/s2]

1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4[m /s 2 ]

s 2

simulated

experimental

0.67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


[s]

[m/s2]

1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4[m /s 2 ]

s 2

0 .67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


[s]

[m/s2]

0.67 0 .68 0 .69 0 .7 0 .71 0 .72 0 .73 0 .74 0 .75

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


[s]

[m/s2]

1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4[m /s 2 ]

s 2

1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4[m /s 2 ]

s 2

1 4 .4 5 1 4 .4 6 1 4 .4 7 1 4 .4 8 1 4 .4 9 1 4 .5 1 4 .5 1 1 4 .5 2 1 4 .5 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4[m /s 2 ]

s 2

simulated

experimental

Figura 193: Confronto andamenti accelerazioni sperimentali e simulate

Nella figura seguente è invece riportato l’andamento di una componente delle forze al

mandrino.

Figura 194: Andamento simulato della forza al mandrino nella direzione di avanzamento U

Fu[N]

sec



Le verifiche effettuate mettono in evidenza alcune limitazioni del modello, soprattutto

quelle legate all’ipotesi semplificativa di considerare gli elementi della struttura meccanica

come corpi rigidi.



6 SVILUPPI

In questo capitolo si presenterà un possibile sviluppo futuro atto a migliorare la

raffinatezza del modello della macchina utensile. Sicuramente l’introduzione della

deformabilità strutturale è l’aspetto più importante e significativo da trattare.

Questo aspetto non sarà sviluppato completamente ma si cercherà di presentarne le

problematiche e di individuarne le possibili soluzioni.

6.1 STRUTTURA DEFORMABILE

Una tematica che necessita di essere affrontata è sicuramente quella di capire come poter

modellare la deformabilità della struttura.

La deformabilità della struttura meccanica è sicuramente una componente importante

dell’intera cedevolezza che va ad influenzare il comportamento complessivo della

macchina.

Nel modello realizzato precedentemente non è stata modellata la deformabilità strutturale

se non cercando di tenerla in considerazione riducendo leggermente le rigidezze delle

guide (al 70% del loro valore nominale).

In ambiente Dymola, per ora, non è prevista la possibilità di considerare la deformabilità

della struttura con l’approccio agli elementi finiti.

In commercio esistono diversi programmi in grado di effettuare analisi agli elementi finiti.

Con questa metodologia si è in grado di rappresentare la reale distribuzione spaziale della

massa della struttura, considerando eventualmente anche la presenza di diversi tipi di

materiale. Si ottiene così un modello della macchina che possiede un numero elevatissimo

di gradi di libertà e con la possibilità di descrivere la deformazione dovuta a qualsiasi

sistema di forze applicato ai nodi e caratterizzato da frequenze di risonanza che

raggiungono valori decisamente superiori al campo reale d’interesse.

Tale ricchezza dinamica non è necessaria per l’analisi del comportamento di una macchina

utensile.



Con tecniche di riduzione dei gradi di libertà basate sull’approccio modale è possibile

ottenere un modello con un numero piuttosto limitato di gradi di libertà che descriva

comunque in modo soddisfacente la struttura.

Questo approccio prevede comunque di partire da un modello dettagliato, che

successivamente viene “ridotto” mantenendone ovviamente la geometria, l’inerzia e la

rigidezza. La struttura del modello ridotto è però vincolata a muoversi secondo una

combinazione lineare di un predefinito insieme di deformate scelte dall’operatore.

Vengono aggiunte delle equazioni algebriche di vincolo alle classiche che descrivono

l’equilibrio dinamico del sistema:

[ ] [ ] [ ] { } [ ]

{ } [ ] { }qx

FxKxCxM

n ⋅=

=⋅+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ •••

φφ ...........1

che sono le equazioni del modello ridotto(DAE) nel quale le matrici [ ]M , [ ]C e [ ]K sono

rispettivamente le matrici d’inerzia, smorzamento viscoso e rigidezza,{ }x sono gli

spostamenti dei nodi e { }q i gradi di libertà del sistema ridotto.

Questo modello ridotto può essere convertito nel formato del primo ordine nello spazio

degli stati(sistema ABCD):

[ ] { } [ ] { }

{ } [ ] { } [ ] { }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅−=

⋅+⋅=

⋅+⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

••

0

0

11

T

B

IkmcmA

uDxCy

uBxAx

φ

Per maggiori dettagli sulla parte trattata fare riferimento a [3].

Per quanto riguarda la modellazione della deformabilità della struttura in Dymola, si può

ipotizzare di utilizzare i risultati ottenuti con un programma in grado di effettuare quanto



m m K

K K

X1 X2

STATE-SPACE

sopra descritto ed in particolare si può pensare di avere a disposizione le matrici del

sistema ABCD.

In Dymola esiste un blocco che descrive sistemi attraverso le equazioni ABCD (State-

Space).

Un generico sistema ABCD nello spazio degli stati rappresenta un sistema in cui sono stati

individuati sia gli ingressi, gli stati e le uscite ed è quindi tipicamente un sistema causale.

Rimane da capire come inserire un sistema causale State-Space in un ambiente tipicamente

a-causale come Dymola.

Per poter capire come implementare un sistema State-Space in Dymola si è pensato di fare

inizialmente riferimento ad un sistema molto semplice composto da componenti visco-

elastici e da due masse.

Figura 195: Modello composto da due masse

Ma il modello della figura precedente può essere visto anche nel seguente modo:

Figura 196: Individuazione del sistema State-Space

dove il sistema State-Space modella il sistema di Figura 197 che potrebbe essere associato

alla struttura deformabile (in questo caso semplificato con due soli gradi di libertà).



Figura 197: Modello fisico associato al sistema State-Space

dove le forze F1 e F2 dipendono dalle coordinate delle due masse.

E’ importante ora definire le grandezze associate al sistema ABCD.

Sicuramente come stati x del sistema possono essere prese le due coordinate e le relative

velocità.

Gli ingressi u sono le due forze elastiche, mentre le uscite sono le due coordinate attraverso

le quali sarà possibile ricalcolare le forze visco-elastiche F1 e F2 (per semplicità, nello

schema del modello non sono rappresentati gli smorzamenti).

Si ha così un sistema State-Space di questo tipo

Figura 198: Ingressi ed uscite del sistema State-Space

Per un sistema così semplice è facile determinare le matrici ABCD.

E’ assolutamente necessario capire come inserire il modello State-Space in un modello

Dymola per rappresentare il modello del sistema fisico.

Per prima cosa pensiamo di realizzare il sistema di Figura 195 in Dymola e in ambiente

“traslazionale”.

X2X1

m m F1 F2

K

STATE-SPACE F1,F2 X1,X2



Figura 199: Realizzazione Dymola del sistema di figura Figura 196

Il sistema State Space dovrà obbligatoriamente ricevere in ingresso il valore delle due

forze visco-elastiche e fornire in uscita le coordinate delle due masse.

In Dymola il componente State-Space è dotato di un segnale imput e di uno output

entrambi vettoriali.

In Dymola sono stati creati alcuni sottomodelli che permettano di interfacciare

correttamente i terminali meccanici con il sistema causale State-Space.

Meccanica-Coordinata/Forza

Coordinata

Forza

Figura 200:Meccanica Coordinata-Forza

Il funzionamento di questo blocco è spiegato direttamente dalla sua rappresentazione.



Impone alla grandezza spostamento il valore presente sul terminale di Imput e trasferisce la

forza dal terminale meccanico a quello di Output.

Vettore 2_1

Figura 201:Vettore 2_1

Questo blocco è stato creato per trasferire le grandezze presenti sugli Imput su un unico

terminale vettoriale di Output.

Vettore 1_2

Figura 202:Vettore 1_2

Questo componente è duale rispetto al precedente: trasferisce le due grandezze presenti

sull’Imput vettoriale a due Output distinti.



F

Utilizzando i sottomodelli creati si è così realizzato un modello del tutto equivalente a

quello di Figura 199.

Anche le simulazioni numeriche hanno dato gli stessi identici risultati

Figura 203: Sistema State-Space in un modello Dymola

Questa semplice applicazione dimostra la possibilità di introdurre un sistema causale in un

ambiente a-causale.

E’ ragionevole pensare che, con le relative generalizzazioni e complicazioni, questo possa

essere fatto anche in ambiente Multi-Body per poter così trattare in Dymola, grazie ad

analisi agli elementi finiti, anche la deformabilità distribuita della struttura.



7 CONCLUSIONI

In questo lavoro di Tesi si ottenuto un modello completo del centro di lavoro e del

processo considerando tutte le parti dello schema di Figura 1.

In questo capitolo verranno riassunti (Tabella 5) gli aspetti modellati, i relativi gradi di

dettaglio con indicazioni su ulteriori possibili sviluppi.

MACCHINA UTENSILE

Parti della MU Modellato-Dettaglio Eventuali Sviluppi CN No

Regolatori Assi Si/Semplificato Modello più accurato degli

azionamenti:

• Modello del motore

e del controllo di

corrente più

dettagliati(ved.2.3)

• Saturazioni

Trasmissioni Si/Semplificate Modelli più accurati

Struttura meccanica Si:

Corpi Rigidi e guide

flessibili

• Deformabilità della

struttura

Processo Si

Pezzo Si:Rigido Cedevolezza del pezzo

Utensile Si:Rigido e con numero di

taglienti fissato

• Cedevolezza

dell’utensile

• Generalizzazione del

n° taglienti

Tabella 5:Aspetti considerati ed eventuali sviluppi



Con il grado di dettaglio scelto ed effettuando le simulazioni descritte all’interno del

lavoro, si sono ottenute le informazioni relative a:

a) Rigidezze statiche al mandrino relative alle direzione dei tre assi della parte

meccanica (Ku_u, Kw_w, Kv_v)

b) Caratterizzazione dinamica della parte meccanica con determinazione dei

modi principali di vibrare e relativi smorzamenti

c) Si sono realizzate le tarature dei vari assi e se ne sono determinate le

relative bande passanti di velocità e di posizione (BP_vel, BP_pos)

d) Si è modellato il processo di taglio e se ne è individuato un possibile limite

di stabilità ( profondità di passata per la quale si instaurano fenomeni

vibratori di chatter).

e) Esecuzione di una traiettoria imposta

f) Prova di lavorazione

a)

Nome ASSE Rigidezza [N/ µm]

Asse u Ku_u=77 N/µm

Asse w Kw_w=77.5 N/µm

Asse v Kv_v=159 N/µm

I valori ottenuti, considerando anche il fatto di aver modellato la struttura con solo le guide

cedevoli, sono coerenti con una macchina reale della stessa tipologia.

b)

Nome ASSE Frequenza modo

principale (rad/s)

Smorzamento %

Asse u 335 rad/s 2.41%

Asse w 454 rad/s 3.24%

Asse v 600 rad/s 4.27%



Anche questi valori sono sensati per la tipologia di macchina modellata.

c)

Per quanto riguarda i risultati delle tarature numeriche, con la determinazione delle bande

passanti di velocità, posizione e i relativi confronti con i valori estratti dalle prove

sperimentali sulla macchina sono stati riportati nell’apposita sezione.

d)

Per quanto riguarda il limite di stabilità del processo si è ricavato un valore di profondità di

passata p di circa 30mm.

Tale valore, per una lavorazione dell’alluminio e per la tipologia di modello della

macchina, risulta essere ragionevole.

e),f)

I risultati numerici delle prove di esecuzione di traiettorie, prove di lavorazione e i risultati

sperimentali correlati sono stati riportati nelle relative sezioni del lavoro.



APPENDICI

1 CODICI MODELICA DEI MODELLI REALIZZATI

Spring Damper 3D

Codice Modelica

1) ta = zeros(3);

2) tb = zeros(3);

3) fa = -{(Kx*(r_rela[1] - deltax0) + Dx*v_rela[1]),(Ky*(r_rela[2] - deltay0) +

Dy*v_rela[2]),(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3])};

4) fb = S_rel*fa;

Prima di commentare il codice è necessario illustrare quali sono le grandezze utilizzate:

o ta, tb sono dei vettori coppie associate rispettivamente al frame_a e al frame_b

o r_rela è un vettore che fornisce l’informazione sulla posizione del frame_b rispetto

al frame_a valutato appunto nel frame_a

o v_rela è un vettore velocità relativa del frame_b rispetto al frame_a valutato nel

sistema di riferimento a

o S_rel è la matrice che descrive l’orientamento relativo tra i due frame

o deltax0,deltay0 e deltaz0 sono parametri relativi alla lunghezza indeformata delle

molle(In queste applicazioni vengono imposte a zero)

Con la1) e 2) si impone un vettore coppia nullo sulle due flange.

Con la 3) si calcola il vettore forza sul frame_a (tipica relazione per determinare una forza

visco-elastica)

Le forze sulle flange rappresentano l’azione-reazione della medesima forza visco-elastica.



La 4) serve solamente per proiettare la forza (che viene calcolata secondo le componenti

del frame_a) lungo gli assi del frame_b.

Lettura riga

Codice Modelica

1) fa = zeros(3);

2) fb = zeros(3);

3) ta = zeros(3);

4) tb = zeros(3);

5) uno = outPort_uno.signal[1];

6) uno = (if GDL[1] == 1 then (r_rela[1]) else if GDL[2] == 1 then (r_rela[2])

else (r_rela[3]));

Con la 1), 2), 3), 4) si impongono vettori forze e coppie nulle su entrambe le flange

meccaniche.

Con la 5) si impone la variabile uno sul segnale d’uscita.

Con la 6) si calcola la variabile uno. In relazione al grado di libertà concesso al singolo

corpo della struttura, in uscita viene effettuata la lettura di posizione corrispondente.

Codice Spring-Damper 3D-45° in linguaggio Modelica

1) Ku = (Ka + Kt)/2;

2) Du = (Da + Dt)/2;

3) Kd = (Ka - Kt)/2;

4) Dd = (Da - Dt)/2;

5) ta = zeros(3);

6) tb = zeros(3);

7) fa = -{(Ku*(r_rela[1] - deltax0) + Du*v_rela[1] + Kd*(r_rela[2] - deltay0) +

Dd*v_rela[2]),(Ku*(r_rela[2] - deltay0) + Du*v_rela[2] + Kd*(r_rela[1] -



deltax0) + Dd*v_rela[1]),(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3])};

8) fb = S_rel*fa;

Codice Spring-Damper 3D-135° in Modelica

1) Ku = (Ka + Kt)/2;

2) Du = (Da + Dt)/2;

3) Kd = (Kt - Ka)/2;

4) Dd = (Dt - Da)/2;

5) ta = zeros(3);

6) tb = zeros(3);

7) fa = -{(Ku*(r_rela[1] - deltax0) + Du*v_rela[1] + Kd*(r_rela[2] - deltay0) +

Dd*v_rela[2]),(Ku*(r_rela[2] - deltay0) + Du*v_rela[2] + Kd*(r_rela[1] -

deltax0) + Dd*v_rela[1]),(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3])};

8) fb = S_rel*fa;

Codice Spring-Damper unilatero (RUS).

1) ta = zeros(3);

2) tb = zeros(3);

3) fae1 = -Kx*(r_rela[1] - deltax0);

4) fav1 = -Dx*v_rela[1];

5) fae2 = -Ky*(r_rela[2] - deltay0);

6) fav2 = -Dy*v_rela[2];

7) fae3 = -Kz*(r_rela[3] - deltaz0);

8) fav3 = -Dz*v_rela[3];

9) fa[1] = if (fae1 >= 0) then (fae1 + fav1) else 0;



12) fb = S_rel*fa;

Dove con la 3), 4), 5), 6), 7), 8) vengono calcolate le componenti lungo le tre direzioni

associate al frame_a delle eventuali forze elastiche e viscose.



Con la 9), 10), 11) si impongono, con la condizione già anticipata, le componenti di forza

al frame_a.

La 12) impone la forza nel frame_b (collegato al concetto di azione-reazione).

Cinghia_e_c

Linguaggio Modelica

1) rc - rm = i*Modelica.Math.sin(alpha);

2) L = i*Modelica.Math.cos(alpha);

3) delta_l = (flange_a.phi*rm) - (flange_b.phi*rc);

4) k_ramo = (100*k_spec)/L;

5) v_delta_l = der(delta_l);

6) d_cinghia = k_ramo/w_asterisco_c;

7) F = (delta_l*k_ramo) + (v_delta_l*d_cinghia);

8) (flange_a.tau/rm) + (flange_b.tau/rc) = 0;

9) flange_a.tau = 2*F*rm;

La 1) e la 2) descrivono i legami geometrici tra i raggi delle pulegge, l’interasse e la

lunghezza L dei due rami.

La 3) calcola la variazione di lunghezza dei rami della cinghia in funzione delle rotazioni

delle due pulegge.

Con la 4) si calcola la rigidezza dei rami della cinghia avendo a disposizione il parametro

rigidezza specifica.

La 5) calcola la velocità di allungamento dei rami della cinghia.

Con la 6) si determina lo smorzamento (verrà spiegato nel capitolo relativo alla

determinazione dei parametri del modello la relazione utilizzata per ricavare lo

smorzamento dalla rigidezza).

L’equazione 7) calcola la forza visco-elastica generata dall’allungamento dei rami della

cinghia.

Con la 8) e la 9) si esprimono gli equilibri statici di una puleggia e del ramo della cinghia.



“Spring-Damper_vite_assiale_totale”

Codice Modelica

1) InPort1.signal[1] = L0;

2) L = L0 + s_rel*1000 + InPort_allungamento_vite.signal[1]*1000

3) Kass = 1000*(E*pi*dn^2)/(4*L) "in N/m";

4) A = (f_att*pi*dm + p*cos(alfa_n))/(pi*dm*cos(alfa_n) - f_att*p);

5) Jp = (pi*dn^4)/32;

6) Kt_ass = 1000*(4*pi*G*Jp)/(A*dm*p*L) "in N/m";

7) Kass_tot = (Kass*Kt_ass)/(Kass + Kt_ass);

8) v_rel = der(s_rel);

9) d = Kass_tot/w_asterisco;

10) f = Kass_tot*(s_rel - s_rel0) + d*v_rel;

Con le dieci equazioni non si è fatto altro che tradurre in codice quanto detto

precedentemente.

Blocco generazione forze di taglio

Codice Modelica

1) Ti.t = zeros(3);

2) Ti_prec_0 ={uno_Ti_prec.signal[1],due_Ti_prec.signal[1],tre_Ti_prec.signal[1]};

3) pos_rel_Ti_prec = Ti.r0 - Ti_prec_0;

4) pos_rel_Ti_prec_radial = transpose(Ti.S)*pos_rel_Ti_prec

5) h = pos_rel_Ti_prec_radial[1];

6) p_e = p - (pos_rel_Ti_prec_radial[3]*1000)

7) Ti.f[3] = if (h >= 0) then ft3 else 0;

8) ft3 = Condiz_taglioin.signal[1]*(Kz*1000000*h*(p_e/1000) + Kzs*p_e);

9) ft2 = Condiz_taglioin.signal[1]*(Kt*1000000*h*(p_e/1000) + Kts*p_e);




11) ft1 = Condiz_taglioin.signal[1]*(Kr*1000000*h*(p_e/1000) + Krs*p_e);


Con la 1) si impone la coppia nulla sul terminale relativo al tagliente i, la 2), 3) e la 4)

permettono di ottenere la posizione relative tra il tagliente i e quello i-1(ritardato) nel

sistema di riferimento radiale-tangenziale.

La 5) calcola lo spessore istantaneo di truciolo e la 6) la profondità di passata

effettiva(somma di quella nominale e di un termine vibrazionale).

Le equazioni 7)-12) calcolono la forza di taglio e la impongono, solo se è verificata la

relative condizione, al terminale del tagliente i.

Spring-Damper 3D con attrito

Codice Modelica

1) ta = zeros(3);

2) tb = zeros(3);

3) fa[1] = (if (Kx == 0) then -(if (v_rela[1] >= v_lim2 and v_rela[1] <= v_lim1)

then -(((2*f_s)/(v_lim1 - v_lim2))*v_rela[1]) else if (v_rela[1] > v_lim1)

then (f_s + m*(v_rela[1] - v_lim1)) else (-f_s + m*(v_rela[1] - v_lim2)))

else -(Kx*(r_rela[1] - deltax0) + Dx*v_rela[1]));

4) fa[2] = (if (Ky == 0) then -(if (v_rela[2] >= v_lim2 and v_rela[2] <= v_lim1)

then (((2*f_s)/(v_lim1 - v_lim2))*v_rela[2]) else if (v_rela[2] > v_lim1)


else -(Ky*(r_rela[2] - deltay0) + Dy*v_rela[2]));

5) fa[3] = (if (Kz == 0) then -(if (v_rela[3] >= v_lim2 and v_rela[3] <= v_lim1)

then (((2*f_s)/(v_lim1 - v_lim2))*v_rela[3]) else if (v_rela[3] > v_lim1)


else -(Kz*(r_rela[3] - deltaz0) + Dz*v_rela[3]));

6) fb = S_rel*fa;



Le equazioni che caratterizzano il componente, rispetto alla versione senta attrito sono la 3)

4) e 5)

Con queste equazioni, in base al valore della rigidezza associata a quella direzione, si

calcolano le relative componenti della forza sulla flangia_a. Se la rigidezza è nulla si

implementa la caratteristica Forza-Velocità dell’attrito, se invece la rigidezza è diversa da

zero si calcola normalmente la componente visco-elastica.



2 APPENDICE DYMOLA

2.1 Generalità su Dymola-Modelica

Dymola è uno strumento commerciale per la modellazione e la simulazione di sistemi fisici

e al suo interno possiede due aree: in una vengono realizzati i modelli mentre nell’altra i

modelli vengono compilati e simulati [6][7].

Figura 204:Area Dymola in cui si realizzano i modelli



Figura 205: Area Dymola in cui si simulano i modelli

Dymola è uno strumento di modellazione orientato ad oggetti che si basa sul linguaggio

open-source Modelica [7][16][23].

Modelica permette di ottenere dei modelli a-causuali nei quali non è specificata la casualità

tra ingressi ed uscite.

Un modello a-causale è caratterizzato dalle seguenti prerogative:

• Il modello di ogni sistema è dato dalle equazioni costitutive

• Modello indipendente dalle condizioni al contorno quindi riutilizzabile in diversi

contesti, si ha quindi un approccio modulare.

• La simulazione di un aggregato di modelli è complessa, perché in generale richiede

qualche forma di manipolazione simbolica del sistema di equazioni prima di poter

passare ad un algoritmo numerico d’integrazione.



In relazione alla modularità dell’approccio, è possibile, ad esempio, sostituire un modello

con uno più complesso ma che si relaziona con gli altri attraverso gli stessi terminali di

collegamento.

In un contesto orientato ad oggetti i modelli vengono collegati tra loro mediante

“Terminali”.

Questi “terminali” sono stati standardizzati.

Il concetto di terminali nasce nel contesto della modellazione di sistemi fisici che

scambiano energia.

Figura 206:Generico modello che interagisce tramite terminali che permettono lo scambio energetico.

I diversi sottomodelli di un sistema vengono connessi tra loro appunto tramite dei

terminali.

In generale su questi terminali sono presenti due tipologie di grandezze: una di tipo “flow”

e l’altra di tipo “effort”.

L’energia che viene trasferita è pari al prodotto tra la grandezza flow e quella effort.

Si può fare riferimento per chiarezza ad un terminale di collegamento meccanico.

Sul terminale sono presenti la grandezza “forza(f)” che viene scambiata e la grandezza

“spostamento(s)”.

La grandezza forza è quella di tipo flow mentre la grandezza spostamento è una grandezza

effort.

In questo caso viene trasferita, attraverso il collegamento dei terminali, l’energia data del

prodotto tra la forza e lo spostamento.

Modello Sistema

terminali di connessione



In generale, quando si collegano tra loro due o più terminali dello stesso tipo, si generano

le seguenti equazioni:

• Neee === .......21 (variabili di tipo effort)

• ∑ = 0jf (variabili di tipo flow )

Questo concetto delle variabili di tipo flow ed effort può essere generalizzato anche se sui

terminali sono presenti più di due grandezze (ad esempio per terminali o flange Multi-

Body).

Si può dire che questi terminali sono di per sé acausali in quanto non vengono specificati

quali sono le grandezze d’ingresso e quali le uscite.

Sapendo che ogni modello si relaziona con gli altri solo attraverso questi terminali, si può

affermare che è indispensabile scrivere le equazioni descrittive del modello in modo da

esplicitare le relazioni tra le “grandezze di terminale” e le variabili usate all’interno delle

equazioni rappresentanti il modello stesso.

In Dymola-Modelica esistono comunque dei terminali casuali per rappresentare la

connessione di segnali.



2.2 Terminali utilizzati nel modello della Macchine Utensili

In questo paragrafo verranno semplicemente elencati i terminali o flange utilizzate nella

realizzazione del modello della macchina utensile specificandone le grandezze ad esse

associate.

NOME GRANDEZZE di terminale

Flange meccaniche

traslazionali

Spostamento s (effort)

Forza f (flow)

Flange meccaniche

rotazionali

Rotazione phi (effort)

Coppia tau (flow)

Flange meccaniche

Muly-Body

Vettore coppie: t (flow)

Vettore forze: f (flow)

Vettore posizione r0 (effort)

Matrice orientamento S (“”)

Vettore velocità v (“”)

Vettore vel. angolare w (“”)

Vettore accelerazione a(“”)

Vettore accelerazione angolare

z(“”)

Flange elettriche Tensione v (effort)

Corrente i (flow)

Segnali d’ingresso e

d’uscita

(terminali causali)

Input

Output(grandezze

adimensionali)

Figura 207:Terminali utilizzati nella creazione del modello Dymola della Macchina Utensile



Per quanto riguarda le unità di misura delle grandezze di terminale, tutte aderiscono al

sistema SI.

Alcuni dei parametri introdotti nel modello sono espressi in unità di misura differenti da

quelle del SI, si è provveduto però ad effettuare le apposite conversioni all’interno dei

modelli per mantenere la coerenza con le grandezze di terminale.



2.3 Altri ambienti di simulazione

Questo paragrafo si rifà alla possibilità di convertire modelli Dymola, opportunamente

adattati, in modelli simulabili in ambiente Matlab-Simulink.

Le modifiche che devono essere fatte servono per assegnare una causalità al modello.

Questa operazione viene realizzata fissando degli ingressi e delle uscite al sistema

attraverso gli appositi segnali di imput ed output.

Di seguito si riporta una porzione della guida di Dymola che spiega le operazioni da fare

per poter ottenere un modello equivalente in Simulink (in inglese).



BIBLIOGRAFIA

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con motori a magneti permanenti. Pitagora Editrice Bologna 1999.

[2] Jens Hamann: Azionamenti elettrici di avanzamento nell’automazione

industriale. Tecniche Nuove 2002 (Siemens)

[3] G.Bianchi-R.Maj-F.Modica: Analisi meccatronica di macchine utensili

ITIA CNR.

[4] Siemens: SIMODRIVE 611 840D

[5] Matlab, Simulink: “The language of Technical Computing” The

MathWorks, Inc http://www.mathworks.com

[6] Dymola: “Dynamic Modeling Laboratory” Dynasim

http://www.dynasim.se

[7] Modelica. “Modeling of complex Physical Sistem”, linguaggio per la

modellistica ad oggetti .http://www.modelica.org

[8] CUTPRO “Milling Process Simulation and Optimization”

http://www.malinc.com

[9] Warren R.DeVries: Analysis of Material Removal Process. Springer- Verlag

1991

[10] E.Budack :Dynamics and chatter stability in milling . Faculty of

engineering and Natural Sciences ,Istanbul Turkey

[11] Y. Altinas: Modelling Approaches and Software for Predicting the

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Columbia

[12] G.Cusimano: Dispense Meccanica degli azionamenti. Politecnico di

Milano 2003

[13] M. Vicini,Tesi:Modellistica e simulazione di un centro di lavoro

nell’ambiente Dymola. Politecnico di Milano

[14] Marchetta –Brizzolara:Tesi: Modellazione 3D e analisi FEM di un Centro

di lavoro ad asse verticale. Politecnico di Milano.

[15] R Juvinall, K.Marshek: Fondamenti della progettazione dei componenti

della macchina. Edizioni ETS



[16] M.Tiller: Introduction to Physical Modeling with Modelica. Kluver

Academic Publisher

[17] Catalogo: Tecnologie di movimentazione. NC Componenti

[18] Catalogo: Trasmissioni meccaniche POGGI

[19] Catalogo: Cuscinetti. SNFA

[20] Catalogo: Cuscinetti INA

[21] Catalogo Siemens: Motori

[22] Diana-Cheli: Dinamica e vibrazione dei sistemi meccanici volume 1°. UTET

Libreria 1997

[23] Ferretti-Casella-Rocco:Dispense del corso di Dottorato: Linguaggi per la

modellistica ad oggetti(Modelica) Politecnico di Milano 2003.

[24] A.Terranova. Appunti dalle lezioni di costruzioni di macchine Edizioni

CUSL.

tesi paolo merged

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