UVOD

Odlučanje predstavlja izbor između mogućih varijanti rešenja nekog problema. Donošenje odluke prestavlja završni čin procesa odlučivanja I njime se verifikuje sav obavljeni pripremni posao. Najznačajnija mera kvaliteta odluke je stepen dostizanja postavljenog cilja nakon njene realizacije. Znači „teži se optimalnom rešenju, koje predstavlja najbolju ravnotežu prednosti i nedostataka predviđenih mogućih rešenja“.

Donosilac odluke pri vršenju izbora izmedju različitih mogućnosti je primoran da načini procenu njihovih posledica. Ove posledice u realnom životu većinom imaju ekonomski karakter, pa se zbog toga najčešće izražavaju novčanim posledica. One mogu imati i psihološki karakter, koji se ogleda u različitim oblicima zadovoljstva pojedinaca.

Razmatranjem mnogobrojnih situacija odlučivanja i reagovanja pojedinaca na njih, došlo se do određenih poteškoća. Jedna od njih je variranje vrednosti novčanih jedinica za različite pojedince u nekim vremenskim trenucima, odnosno pri različitim okolnostima.

Na primer predpostavimo da se nekom zamišljenom pojedincu postavi pitanje, na koji način bi proveo godišnji odmor. U slučaju da nema dovoljno novčanih sredstava on bi, verovatno, odgovorio da će ostati kod kuće i da će se, s vremena na vreme, baviti sportskim aktivnostima. U situaciji da ima dovoljno sredstava on bi svoj odmor najverovatnije proveo na moru ili planini.

Drugi problemi su u tome što razni ljudi, suočeni sa istim uslovima da izaberu između laternativnih akcija, mogu doći do različitih odluka.

Ako se posmatraju dva pojedinca koji imaju sasvim dovoljno finansijskih sredstava da provedu svoj godišnji odmor ili na moru ili putujući u inostranstvo, sasvim je moguće da se jedan od njih opredeli za more jer to, na primer, više odgovara njegovom zdravstvenom stanju, a i više voli odmor u jednom mestu. Za razliku od njega, drugi bi mogao da izabere put u inostranstvo, jer ga privlači život i kultura drugih zemalja, a i više voli stalne promene. Iz ovoga bi se moglo zaključiti da na izbor odluke često utiču i subjektivni faktori, a jasno je da oni nisu isiti za sve.

Naredni primer vezan je za donošenje odluke pri riziku. U takvim situacijama može doći do neskladnog ponašanja donosioca odluke, kao i do pojave subjektivnih verovatnoća procene neke akcije. Osim toga, u realnim situacijama se retko može navesti tačna verovatnoća nastupanja pojedinih događaja.

Osim dodeljivanja preferenci i formiranja njihovog konzistentnog poretka, teorija korisnosti utvrđuje zakone kojima podležu nizovi vrednosti i definiše postupke za ocenu tih vrednosti.

1. KORISNOST U ODLUČIVANJU

Prihvatajući jedan ili više izbora iz skupa mogućih alternativa, donosioci odluka pokušavaju da dostignu ono što je za njih najprihvatljivije u odnosu na njihove skupove preferenci i verovatnoće prosuđivanja. Pojedinci pri donošenju odluke teže maksimalnoj mogućoj ravnoteži između potencijalnih dobara i loših plaćanja i verovatnoća da će se ova plaćanja ostvariti.

Različite ličnosti suočene sa situacijama vršenja izbora mogu različito reagovati iz više razloga, a neki od njih su:

davanja prednosti nekoj alternativi može zavisiti isključivo od ukusa pojedinaca, razne ličnosti mogu različito proceniti verovatnoću nastupanja događaja, ono što je za jednu osobu velika dobit iili veliki gubitak, za drugu osobu može značiti

samo malenkost, itd.

Primer 1:

Pretpostavlja se da radna organizacija treba da investira u jednu od tri oblasti. Te tri oblasti su obeležene oznakama A, B, i C i svaka od njih obezbeđuje određen povratak novčanih sredstava u idućoj godini. Ovaj povratak će zavisiti od toga da li budućnost donosi inflaciju, recesiju ili depresiju. Potencijalni gubici i dobici ovih mogućnosti su dati u tabeli 1.

Tabela 1.

Oblasti ulaganjaPovratak sredstava za (u din)

inflaciju recesiju depresijuA 150.000 80.000 -80.000B 80.000 120.000 -40.000C 0 80.000 120.000

Znači, ako se izabere oblast A, a dogodi se inflacija, doći će do dobiti od 150.000 din., u slučaju recesije do dobiti od 80.000 din., a u slučaju depresije do gubitka od 80.000 din. Slično je posmatranje i za oblasti ulaganja B i C.

Sasvim je logično da će investitor, koji je siguran da će doći do inflacije, izabrati oblast, jer ona u periodu inflacije donosi najveću dobit. Pri odsustvu izvensosti investitor, ako ne želi da odlučuje intuitivno, biće prinuđen da prihvati neiszvesnost koja će pratiti svaki ishod u sledećom tromesečju. Neka je verovatnoća nastupanja inflacije obeležena sa V (INF) i neka je procenjena na 0.5, verovatnoća recesije sa V(REC) i procenjena je na 0.3 i verovatnoća depresije sa V(DEP) i procenjena je na 0.2. Očekivane vrednosti i varijante i varijanse u oblasti A, B i C su:

Očekivane vrednosti (hiljade dinara):O(A) = 0.5*(150) + 0.3*(80) + 0.2*(-80) = 83O(B) = 0.5*(80) + 0.3*(120) + 0.2*(-40) = 68O(C) = 0.5*(0) + 0.3*(80) + 0.2*(120) = 48

Varijanse (hiljade dinara):V(A) = 0.5*(67)2 + 0.3*(-3) + 0.2*(-163) = 7561V(B) = 0.5*(12)2 + 0.3*(52)2 + 0.2*(-108)2 = 3216V(C) = 0.5*(-48)2 + 0.3*(32)2 + 0.2*(72)2 = 2496

Oblast A nudi najveću očekivanu vrednost i ona je najbolji izbor za investitora, čija je jedina briga maksimizacijaočekivanog povratka sredstava. Investitor koji zasniva izbore na kriterijumu očekivanih vrednosti će, gledajući kroz duži period, učiniti bolje u proseku od investitora koji se oslanja na bilo koji drugi kriterijum. To sve važi u slučaju da se dobit ostvaruje u dužem vremenskom periodu, zatim da je investitor sposoban da podnese sve gubitke, a i da je stalan učesnik donošenju uporednih odluka.

Da bi se smanjio neizvesnost u kratkom vremenskom periodu, investitor se može osloniti na najmanju varijansu, tako da je i očekivani povratak sredstava dovoljno veliki. Ako se, na primer proceni da je 68.000 din. Zadovoljavajući povratak novčanih sredstava, a i da je stalan učesnik u donošenju uporednih odluka.

Neko ko smatra da je gubitak od 80.000 din., verovatno će izabrati oblast B i manju očekivanu dobit. Jasna je činjenica da je očekivana dobit za B niža u odnosu na A, ali rizik koji nosi oblast A je suviše veliki za nekoga ko ne bi ni pod pritiskom podneo gubitak od 80.000 dinara. Investitor koji želi da izbegne mogućnost gubitka izabraće, na izgled, pesimistički izbor ulaganja u oblast C i u najgorem slučaju neće imati nikakav dobitak.

2. OSNOVNI POJMOVI

Još u XVIII veku se javio veliki interes za situacije neizvesnosti, odnosno za kocku ili lutriju. Ovaj interes je bio usmeren ka problemu odlučivanja kockara i koji se odnosi na dilemu koju bi od mogućih situacija trebalo da izabere. Razmatranja kockarskih situacija su se u teoriji svodila na bacanje novčića, analizu kocke i igre kartama i imala su uvek neke novčane ishode. Verovatnoća nastupanja pojednih događaja su mogle biti procenjene na objektivni način, a samim tim i očekivane vrednosti dobiti za svaku igru.

Pretpostavimo da pojedinac treba da dobije neku nagradu iz niza mogućih dobitaka koji su precizno definisani. Neki od mogućih dobitaka su: karte za pozorišne predstave, ekonomska stanja jedne ličnosti u budućnosti, (ta stanja su definisana, npr.visinom sredstava koja se mogu

dobiti ili izgubiti), zatim niz mogućih ekonomskih stanja jedne zemlje u nekom određenom vremenskom periodu u budućnosti( izraženih u bruto nacionalnom dohodtku, dohodku po stanovniku, stopi nezaposlenosti i drugim).

U okviru klasične ekonomije termin KORISNOST je spojen sa preferencama pri neizvesnosti dok se danas ovaj izraz shvata kao odnos donosioca odluke prema riziku i neizvesnosti. Drugim rečima, FUNKCIJA KORISNOSTI pojedinca opisuje maksimalnu sigurnu sumu novčanih sredstava, koja može biti zamenjena specifičnom situacijom (kocku, lutriju) sa određenom verovatnoćom.

Primer 2:

Predpostavlja se da donosilac odluke bira, sa jedne strane između kocke u kojoj sa verovatnoćom 0.5 može dobiti 12000 din. I sa verovatnoćom 0.5 može dobiti 0 din.(nikakav dobitak) i , sa druge strane, sigurni dobitak od 7000din.Ako bi izrazio svoju preferencu za 7000din, moguće je ovu sigurnu vrednost smanjiti do tačke(nivoa) od, na primer, 4000din. Kada će donosilac odluke biti potpuno indiferentan između kockanja i sigurnog dobitka.Ova tačka se zove EKVIVALENTOM NOVČANE IZVESNOSTI ili skraćeno ENI. Da bi konstrukcija krive koristi bila moguća, potrebno je alternative kocke označiti brojem koji predstavlja ustanovljeni indeks korisnosti i koji se naziva KORIST. Ovo dodeljivanje brojeva koristi može se vršiti proizvoljno, s tim što najpre, treba voditi računa da se većoj vrednosti dodeljuje veća korist, a manjoj manja korist, a potom treba definisati donje i gornje ograničenje.

U navedenom primeru se predpostavlja da vrednost 12000 din ima 10 jedinica koristi, a da vrednost od 0 din ima 0 jedinica koristi. S obzirom da je donosilac odluke izrazio indiferentnost između kocke i sigurnog dobitka od 4000 din moguće je napisati sledeći izraz:

(0.5)*k(za 12000.din)+(0.5)*K(za 0 din)=(1)*K(za 4000din)

Što bi značilo da je korisnost od 12000 din sa verovatnoćom od 0.5 plus korisnost od nula din., sa verovatnoćom od 0.5 jednaka korisnosti od 4000 din., sa verovatnoćom 1( zbog indiferentnosti).Ako se u navedeni izraz uvrste brojevi koristi za 12000 din., i za 0 din., dobiće se:

(0.5)*10+(0.5)*0=K(za 4000din) K(za 4000din)=5

Što znači da 4000din., ima korisnost od 5 jedinica koristi.Sada se raspolaže sa tri tačke funkcije korisnosti: (12000din.--- 10K), ( 0 din.----0K) i (4000din---- 5K). Postupak se može ponoviti u cilju dobijanja dodatnih tačaka funkcije korisnosti. Ako se, recimo, donosilac odluke postavi u situaciju da izrazi svoj ekvivalent novčane izvesnosti(ENI)za kocku u kojoj mu se nudi dobitak od 12000din., sa verovatnoćom od 0.9 i dobitak od 0 din., sa verovatnoćom 0.1 pretpostavimo da

se on odlučio za 10000din., kao siguran dobitak prema kome je indiferentan u poređenju sa kockom. Kao u prethodnom slučaju, na isti način se može dobiti:

(0.9)*K(za 12000din)+(0.1)*K(za 0 din)= K(za 10000din)(0.9)*10+(0.1)*0=K(za 10000din)

K(za 10000din)=9

Što znači da korisnost za 10000din., iznosi 9 jedinica koristi.Moguć je i drugačiji pristup problemu, kada je donosilac odluke u situaciji da odredi verovatnoće kocke, što će ga učiniti indiferentnim između kocke i sigurne dobiti.

Neka su, na primer, alternative kocke da se može dobiti 40000din., sa verovatnoćom B i 0 din., sa verovatnoćom(1-B), a da je siguran dobitak od 12000din.Donosilac odluke će, na primer, izabrati verovatnoću B=0.6 za koju će biti indiferentan između kocke i sigurnog dobitka.Odatle sledi:

(0.6)*K(za 40000din)+(0.4)*K(za 0 din)=K( za 12000din)(0.6)*K(za 40000din)+(0.4)*K(za 0din)= 10

(0.6)*K(za 40000din)+(0.4)*0=10K(za 40000din)=10/0.6K(za 40000din)=16.66

Na osnovu ovog postupka, koji se može ponavljati, moguće je dobiti niz tačaka koje predstavljaju odnos brojeva koristi i korisnosti novca određenog donosioca odluke.Uz pomoć ovih tačaka moguća je konstrukcija krive korisnosti zamišljenog donosioca odluke. Grafički prikaz ove krive dat je slikom 1.

Slika 1. Kriva korisnosti

3. OČEKIVANA KORISNOST

Već je bilo reči o ograničenosti teorije korisnosti kada je trebalo napraviti izbor između ishoda koji nemaju kvantitativne karakteristike, kao i u slučaju multiatributivnih problema.Moguće je zamisliti primer u kome dolazi do ovih poteškoća.

Primer 3:

Pretpostavka je da se neki hipotetički pojedinac bavi pronalazaštvom i da se nalazi pred izborom da li svoje slobodno vreme da provede u radu na pronalasku ili da ode u ribolov.Vremenske prilike koje bi uticale na njegov izbor su nesigurne, iako je moguće dobiti obavetenje praćenjem meteoroloških izveštaja.Ova dva ishoda sigurno nemaju numeričku karakteristiku, mada bi finansijska dobit od priznatog pronalaska mogla biti merna jedinica ovog ishoda.

Pojedinac može dati prednost provedenom vremenu u prirodi i ribolovu nad radom na pronalasku, ali može dati i prednost svom pronalazaštvu nad odlaskom u ribolov u slučaju lošeg vremena. Prikaz ove situacije je dat u tabeli 2.

Tabela 2.

Akcije:

Odlazak u ribolov Rad na pronalasku

Uslovi

Lepo vreme Prijatno provedeno vremeDelimično završen

pronalazak

Loše vreme Neprijatno provedeno vremeDelimično završen

pronalazak

Procena relativnih verovatnoća vremenskih situacija je moguća na osnovu praćenja meteorolških izveštaja, a mogu se uzeti u obzir i procene drugih ribolovaca.Ova procena je značajna, jer ako bi bilo lepo vreme, donosilac odluke bi otišao u ribolov i obratno, ostao bi kod kuće i bavio se pronalazaštvom u slučaju lošeg vremena.

U slučaju da procena verovatnoće vremenskih prilika nije jasna ni reakcija pojedinca ne bi bila toliko jednostavna.

Čak i kad bi se složile u vremenskim predviđanjima, moguće je da bi se dve ličnosti odlučile za različite akcije. Ovo razilaženje je moguće zbog različitih procena preferenci ishoda u gornjoj tabeli, što bi značilo da ni jedan od njih ne greši, već da je za jednog značajnije zadovoljstvo ribolova, a za drugog uspešan pronalazak i finansijska dobit od toga.

Bez obzira na ova pravila, postoje oklnosti, realne ili hipotetičke, u kojima i obazrivi donosioci odluka rado ulaze u rizik koji pruža neto- očekivani gubitak.Realni primer koji ovo pokazuje je iz oblasti osiguranja.

Primer 4:

Neka se pretpostavi da donosilac odluke rasplaže nekim vrednostima, koje su procenjene novčanom iznosom od B dinara.Ove vrednosti bi mogle biti uništenejednom prilično neverovatnom katastrofom i verovatnoća nastupanja tog događaja je obeležena sa v.Ovaj pojedinac bi mogao da se osigura protiv posledica tog događaja kupovinom polise koja vredi A dinara.Navedena situacija je prikazana tabelom

Tabela 3.

Odluka:

Kuiti osiguranje (polisu) Ne kupiti osiguranje (polisu)

Katastorfa sa verovatnoćom v B-A din 0 din

Nema katastrofe sa verovatnoćom (1-v)

B-A din B din

Odluka da se ne kupi polisa ima očekivani novčani ishod:

V* 0 +(1-v)*B=(1-v)*B

a odluka da se kupi osiguranje ima očekivani novčani ishod:

v*(B-A)+(1-v)*(B-A)=B-A

S obzirom na iskustvo osiguravajužih zavoda, uočeno je da je (1-v)*B>B-A. To znači da bi odluka da se ne kupi polisa imala veću očekivanu vrednost , a samim tim i prednost nad odluom kupovine osiguranja. Odnos ukupnog bogatstva i ocene vrednosti je grafički prikazan slikom 2.

Slika 2. Shvaćena vrednost ukupnog bogatstva

Iz slike 2. se može zaključiti da ova funkcija nije u skladu sa odlukom izbora kocke za bilo koju vrednost ukupnog bogatstva donosioca odluke zbog toga što ova funkcija ne može beskonačno da se povećava, jer svaki pojedinac može da računa samo na ograničen broj dostignuća.Ako neko ima u vlasništvu 500 miliona din., to mu daje velike mogućnosti,600 miliona din. još veće, ali velike mogućnosti koje pruža veiko bogatstvo ne mogu biti neograničene. Grafički prikaz dat je na slici 3.

Slika 3. Ograničena percepirana vrednost ukupnog bogatstva

4. OSOBINE FUNKCIJE KORISNOSTI

Moguće je pristupiti definisanju funkcije korisnosti koja u kvantitativnom obliku ostvaruje strukturu preferenci donosioca odluke.

Za jednostavnu lutriju:

L=(v1 I1;v1I1;...;vrIr)

gde već postoji

I1≥I2≥...≥Ir

može se prema 3-em aksiomu naći, za svaki ishod I1, jednostavna lutrija koja ima samo ishode I1 i Ir, takve da je:

Ij ̃ (ujI1;(1-uj)Ir)

Ako se ove lutrije zamene u L, onda je po 4.aksiomu, L L'; Radi detaljnijeg prikaza može se napisati:

I1 (u1I1;(1-u1)Ir) i Ir (urI1;(1-ur)Ir)

gde je u1=1 i ur=0

Slika 4. Lutrija L, izražena kao lutrija L’, u kojoj figiruišu ishodi I1 i Ir

Prema 2.aksiomu L' je indifirentna lutriji:

L“=(VI1;(1-V)Ir)

Gde je:

V=v1u1+v2u2+...+vrur

Lutrija L’’ je prikazana slikom.4.1.5

Slika 5. Jednostavna lutrija L’’

Znači, korišćenjem 2, 3, i 4 aksioma, redukovana je lutrija sa više bazičnih ishoda, na lutriju u koju ulazi samo najviše preferirana i najmanje preferirana alternativa, I1 i Ir respektivno, a uloga 1.aksioma je da garantuje jedinstvenost uj.

Ako postoji druga jednostavna lutrija:

N=(q1I1;q2I2;...;qrIr),

Onda je slično predhodnom:

N N“=(QI1;(1-Q)Ir),

Gde je:

Q=q1u1+q2u2+...+qrur.

Ako se pravi izbor ≥ zadovoljava svih pet aksioma, onda za svaki bazični ishod Ij postoji neki broj uj, tako da se preferenca između dve proste lutrije L i N iztažava odnosom relativnih veličina očekivanih vrednosti:

V1u1+v2u2+...+vrur.

q1u1+q2u2+...+qrur

Za prostu jednostavnu lutriju:

L=(v1I1;v2u2;...;vrur)

Na isti način je moguće definisati funkciju korisnosti za jednostavnu lutriju N:

u(N)=q1u1+q2u2+...+qrur

5. KONSTRUISANJE FUNKCIJE KORISNOSTI

Da bi se objasnio postupak konstrukcije jedne korisnosti koristiće se sledeći primer.

Primer 5.

Predpostavimo da rukovodilac jedne proizvodne radne organizacije razmišlja u usmeravanju proizvodnje u drugom pravcu od postojećeg, na primer, prema osvajanju novih proizvodnih programa. U slučaju da radna organizacija nastavi proizvodnju na stari način, ostvariće određeni iznos čistog dohotka. Međutim, ako bi se ova PO preorjentisala na nov način proizvodnje bile bi moguće dve alternative, koje bi kao posledicu imale dva različita nivoa čistog dohodka sa, recimo, istom verovatnoćom nastupanja. Da bi bila moguća konstrukcija krive korisnosti za ovog rukovodilaca, neophodno je izraziti njegove indifirentnosti izmeđzu sigurnog čistog dohodka(stari proizvodni program) i čistih dohodaka pri riziku. Pretpostavimo da su njegove reakcije prikazane tabelom 4.

Tabela 4.

Redni brojAlternative novih proizvodnih programa( sa

istom verovatnoćom nastupanja) (u milionima dinara)

Siguran čist dohodak ocenjen kao

indifirentan (u milionima dinara)

1 0 100 402 40 100 903 40 90 504 0 50 205 20 50 35

6 0 35 107 0 10 38 20 100 60

Rukovodilacje izrazio svoju indifirentnost (u situaciji pod rednim brojem 1) između prelaska na nov proizvodni program (koji donosi 0 milioma din. Sa verovatnoćom 0.5 i 100 miliona din. Sa verovatnoćom 0.5) i starog proizvodnog programa koji donosi sigurnih 40 miliona din. Slično je u situaciji pod rednim brojem 2: on je indiferentan između novog proizvodnog programa i starog načina proizvodnje, koji donosi sigurnih 90 miliona din.čistog dohotka.

Pretpostvka je da ova PO može ostvariti minimalan čist dohodak od 0 miliona dinara i maksimalan čist dohodak od 100 miliona din. Korišćenjem druge osobine funkcije korisnosti, mogu se izračunati sledeće vrednosti očekivanih korisnosti:

1) K(40)=(0.5)*K(0)+(0.5)*K(100)=(0.5)*0+(0.5)*1=0.52) K(90)=(0.5)*K(40)+(0.5)*K(100)=(0.5)*(0.5)+(0.5)*1=0.753) K(50)=(0.5)*K(40)+(0.5)*K(90)=(0.5)*(0.5)+(0.5)*1=0.6254) K(20)=(0.5)*K(0)+(0.5)*K(50)=0.3175) K(35)=(0.5)*K(20)+(0.5)*K(50)=0.4716) K(10)=0.2357) K(3)=0.1178) K(60)=0.658

Slika 6 grafički prikazuje funckije korisnosti ovog rukovodioca, a konstruisana je uz pomoć izračunaih vrednosti korisnosti.

Slika 6. Funkcija korisnosti rukovodioca

6. OBLICI FUNKCIJE KORISNOSTI

Da bi se prikazale karakteristike, koje je ispoljio donosilac odluke kada je davao podatke za funkcije korisnosti sa slike 6, potrebno je sprovesti sledeće razmatranje:

Primer 6.

Posmatra se akcija izbora novog proizvodnog programa (iz već urađenog primera) u kojoj su moguće varijante ostvarenja čistog dohotka od 20 miliona dinara i 90 miliona dinara sa podjednakim verovatnoćama nastupanja od 0.5. Ako prvu sumu obelećimo sa X, drugu sa Y, a očekivanu novčanu vrednost ove akcije (kocke) sa Z, tada je:

Z = (0.5) ∙ X + (0.5) ∙ Y = 55

Ove tri tačke i vrednosti njihovih očekivanih korisnosti su unete na sliku X, na kojoj je izvršena ponovna konstrukcija funkcije korisnosti. Duž EF predstavlja linearnu zavisnost između očekivane novčane vrednosti i očekivane korisnosti te kocke, dok ordinata, obelećen a sa (K), ima vrednost očekivane korisnosti kocke.

Ako se problem posmatra kroz očekivane vrednosti, onda je očekivana zavisnost kocke K(K):

K(K) = (0.5) ∙ K(X) + (0.5) ∙ K(Y)

Manja od K(Z), što se vidi sa ose korisnosti na slici 7.

Slika 7. Prošireno ispitivanje funkcije korisnosti

Ako bi se ta situacija posmatrala kao problem odluke sa akcijom koja je sigurna (Z=55), ili kockom sa podjednakim verovatnoćama nastupanja, moglo bi se zaključiti da i sigurna akcija i

kocka imaju iste novčane ishode. Ova osobina se naziva averzijom prema riziku i u osnovi je samog oblika funkcije korisnosti koja je konkavnog tipa.

Kada je funkcija korisnosti donosiocda odluke konkavnog oblika, onda je reč o osobi koja rado ulazi u rizik, odnosno o osobini poželjnosti prema riziku ili sklonosti prema riziku.

Zaključak problema osiguranja se svodio na to da je veću očekivanu vrednost imala akcija da se ne kupi polisa, a time i preferencu nad odlukom kupovine polise. Ako bi očekivana vrednost akcije da se ne kupi polisa bila označena sa B*, gde je B* = (1 – v) ∙ B, tada je:

B* > B – A

što predstavlja očekivanu vrednost akcije kupovine osiguranja.

Ako se pretpostavi da je u pitanju donosilac odluke, koji ima averziju prema riziku, analiza problema odlučivanja zasnovana na očekivanoj korisnosti pokazuje da je kupovina osiguranja u prednosti nad odlukom bez osiguranja, a grafički prikaz analize dat je slikom 8, gde je:

na novčanoj osi:

tačka B – veličina novčanog iznosa koji donosilac odluke želi da osigura; tačka B* - očekivana vrednost akcije da se ne kupi polisa; tačka S – tačka koja izjednačava vrednosti očekivanih korisnosti akcija sa

osiguranjem i bez osiguranja; tačka S* - tačka u kojoj je akcija da se ne kupi polisa povoljnija od akcije kupovine

polise.

na ordinatnoj osi:

tačka K(B) – očekivana korisnost novčanog iznosa B; tačka K(B-A) – očekivana korisnost akcije kupovine polise; tačka K(B*) – očekivana korisnost akcije da se ne kupi polisa; tačka K(S*) – očekivana korisnost akcije kupovine polise.

Slika 8. Moguća usaglašenost odluke za kupovinu osiguranja i odbojnosti prema riziku

Izbor kupovine osiguranja je optimalan sve dok je očekivana korisnost osiguranja superiorna nad očekivanom korisnosti neosiguranja. Moglo bi se zaključiti da ako je data vrednost verovatnoće nastupanja neke katastrofe, funkcija korisnosti određenog donosioca odluke obezbeđuje izračunavanje maksimalne vrednosti polise koju bi trebalo da plati za osiguranje.

7. NEKE TIPIČNE MATEMATIČKE FUNKCIJE U TEORIJI KORISNOSTI

Najčešće matematičke krive koje se pojavljuju u praksi su: eksponencijalna, kvadratna i naročito logaritamska funkcija.

Eksponencijalna funkcija korisnosti se može definisati sledećim izrazima:

K(x) = 1 – e-kx

K(x) = 1k

(1 – e-kx)

gde su:

x – dimenzija vrednosti

k – pozitivna konstanta

e = 2,71828...

Slika 9. Eksponencijalna kriva korisnosti

Logaritamska funkcija korisnosti se može iskazati sa:

K(x) = log(x + b)

gde je b konstanta.

Slika 10. Logaritamska funkcija korisnosti

Kvadratna funkcija korisnosti se definiše kao:

K(x) = a + bx – cx2

gde su a, b i c konstante i c>0.

Slika 11. Kvadratna funkcija korisnosti

8. VIŠEATRIBUTIVNA TEORIJA KORISNOSTI

Višeatributivna teorija korisnosti se razvila iz koncepta tzv. neizvesnosti ishoda, pri čemu se javlja na dva načina kao:

neizvesnost ishoda; neizvesnost vrednosti atributa.

Osnove ovog teorijskog istraživanja su:

analiza merenja indiferentnosti; modeli dekompozicije koristi; viševalentne strukture preferenci; mere rizika; nelinearna korisnost vremenskih preferenci i grupnih odluka.

Cilj modela dekompozicije korisnosti je da ustanovi aksiome nezavisnih atributa, koji bi dali izvesne funkcionalne forme. Ovaj model se može prikazati kroz zbirnu(aditivnu) formu korisnosti:

K (A1, A2,...,An) = ∑i=1

n

ci Ki (Ai)

gde je Ki (Ai) marginalna funkcija korisnosti definisana za atribut A i tako što su ostali atributi fiksirani na nekom proizvoljnom nivou, a ci je koeficijent koji garantuje konzistentnost merenja preko atributa.

Pored aditivne, moguća je i multipliktivna forma dekompozicije:

K (A1, A2,...,An) = a + ∏i=1

n

ci Ki (Ai)

gde je a konstanta i zavisi od koeficijenata c1, c2,...,cn.

9. STRUKTURA FUNKCIJE KORISNOSTI

Ako se posmatra problem u kome postoje samo dva atributa od interesa, A1 i A2, funkcija korisnosti K(A1,A2) može se definisati samo ako je moguće specificirati numeričke korisnosti za intervale A1’<A1<A1” i A2’<A2<A2”. Primer dvoatributivne funkcije korisnosti je prikazan na slici X. U analizi dvoatributivnih ili višeatributivnih problema, značajni problem predstavlja utvrđivanje da li je korisnost svakog atributa nezavisna od vrednosti ostalih atributa.

Promenljiva A1 je nezavisna u odnosu na A2, ako relativne preference od A1 nisu zavisne od vrednosti za A2. Nezavisnost korisnosti između A1 i A2 može biti jednosmerna ili recipročna. Jednosmerna nezavisnost je slučaj kada je korisnost jedne promenljive nezavisna od vrednosti druge, ali je korisnost druge nezavisna od prve.

Slika 12. Dvoatributivna funkcija korisnosti

Nezavisnost se može testirati procenjivanjem čitave serije jednodimenzionalnih funkcija korisnosti. Da bi se ispitalo da li je atribut A1 nezavisan od A2, potrebno je definisati jednodimenzionalnu funkciju od A1 za različite vrednosti atributa A2.

10. VIŠEATRIBUTIVNE KORISNOSTI SA ADITIVNOM FORMOM

Najčešći oblik višeatributivne korisnosti je aditivna forma. Koeficijent c i definisan kao mera konzistentnosti atributa se često iskazuje u formi težine ili značaja atributa A i. Tada izraz za kompozitnu koristost i-te akcije ili alternative glasi:

Ki [A1, A2,...,An] = KK[aj] = ∑j=1

n

tj K[Aj]i , i = 1,2,...,n.

gde su:

KK[ai] – kompozitna (aditivna) korisnost i-te funkcije;

tj – težina j-tog atributa i

K[Aj]i – pojedinačna korisnost kombinacije i-te akcije i j-tog atributa.

PRIMER

ZAKLJUČAK

Teorijska izučavanja i praktična primena teorije korisnosti usmerene su ka donošenju odluke koja se odnosi na izbor najpoželjnije varijante pri specifičnim okolnostima rizika. Za razliku od pristupa teoriji korisnosti zasnovanom na rešavanju problema vezanih za jednodimenzionalne ishode postoji i višeatributivni pristup teoriji korisnosti.

John Neumann i Oskar Morgenstern su razvili aksiomatsku teoriju analize problema odlučivanja očekivanom korisnošću koja podrazumeva:

postojanje funkcije korisnosti koja određuje niz ishoda, uspostavljanje redosleda akcije izračunavanjem i primenom njihovih očekivanih

korisnosti.

Zbog toga ova analiza ima široku primenu pri rangiranju kompleksnih izbora. Širina primene metoda odlučivanja očekivanom korisnošču ispoljava se i u sledećim karakteristikama: prvo skraćuje i olakšava postupak analize tako što upotrebljava funkciju korisnosti i drugo, pojednostavljuje neophodne postupke izračunavanja uz pomoć zamene složenih situacija izvesnim ekvivalentima.

Takođe, teorija korisnosti ima veliku prednost kao podrška donosiocu odluke u struktuiranju njegovih izbora, upreciznijem posmatranju verovatnoća ishoda, u shvatanju preferenci kao nelinearnog prokaza rizika i kvantiteta.