QU TEORAS DIDCTICAS SUSTENTAN LAS PROPUESTAS CURRICULARES PARA ENSEAR

MATEMTICA ?

3 AO P.E.P.

Lic. NAVARRO, MARA DEL CARMEN

EL CONOCIMIENTO MATEMTICO

PROBLEMAS

SU

RG

EN

PR

EG

UN

TA

S

MODELOS MATEMTICOS

OPERACIONES CON NMEROS NATURALES/ RACIONALES POSITIVOS

ECUACIN QUE DETERMINE UN CONJUNTO DE

NMEROS

Reglas matemticas que permite considerar verdaderos los resultados

Los nuevos resultados deben ser comunicados: representaciones (para los nmeros, figuras y relaciones)

UN MODO PARTICULAR DE PENSAR Y PROCEDERCONOCIMIENTOS CON CARACTERSTICAS PARTICULARES (anticipar resultados de

algunas acciones sin realizarlas efectivamente)

LA ACTIVIDAD MATEMTICA EN LA CIENCIA SE LIGA A LA

RESOLUCIN DE PROBLEMAS Y A UN MODO PARTICULAR DE

RAZONAR Y COMUNICAR LOS RESULTADOS

TRABAJO MATEMTICO EN EL AULA

IMIT

A E

L T

RA

BA

JO

MA

TEM

T

ICO

DE L

OS

CIE

NT

FIC

OS

PRODUZCAN CONOCIMIENTO

PROBLEMA

DEBATAN PARA VALIDAR O NO EL CONOCIMIENTO

COMORESPUESTA A LA

PREGUNTA FORMULADA

INTERVIENE EL MAESTRO

RECONOCEN COMO CONOCIMIENTO QUE FORMA PARTE DE LA

MATEMTICA

ENTONCES.QU ES SABER MATEMTICA?

DOMINAR LOS CONOCIMIENTOS MATEMTICOS PARA UTILIZARLOS COMO INSTRUMENTOS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS, Y TAMBIN PARA DEFINIRLOS Y RECONOCERLOS OMO OBJETOS DE UNA CULTURA

La concepcin que cada persona se va formando de la Matemtica depende del modo en que va conociendo y usando los conocimientos matemticos

Cmo planteamos la enseanza de la matemtica?

Explica el docente, reconoce luego qu usar ; qu regla u operacin aplicar; qu operacin hay que hacer en cada problema.

ROL DE LA ESCUELA

Introduccin a la cultura matemtica

Dominio de una tcnica : se aprende qu hacer pero no para qu hacerlo , ni en qu

circunstancia hacer cada cosa

En sntesis, cmo se hace Matemtica en el aula define, al mismo tiempo, qu Matemtica se hace, y para qu y para quines se la ensea, lo que plantea una disyuntiva central en relacin con la construccin de las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemtica de unos pocos o de todos.

Cierto nivel de xito cuando el aprendizaje se evala en trminos de respuestas correctas para

problemas tipoTambin deja afuera a aquellos que sienten que

no pueden aprender de este modo

TAMPOCO RESOLVER PROBLEMAS .. CUANDO SE PASA DE UNO AL OTRO DE MANERA IRREFLEXIVA

Involucrarse en la resolucin del problema presentado,

vinculando lo que se quiere resolver con lo que ya se sabe y

plantearse nuevas preguntas.

Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus

compaeros considerando que los procedimientos incorrectos o

las exploraciones que no los llevan al resultado esperado son

instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.

Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y

de los resultados obtenidos.

LA CONSTRUCCIN DEL SENTIDO DE LOS CONOCIMIENTOS MATEMTICOS POR MEDIO DE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Y LA REFLEXIN SOBRE ESTOS .Implica para cada alumno:

EL SENTIDO DE LOS CONOCIMIENTOS MATEMTICOS

SE

CO

NST

RU

YE

RESOLVIENDO PROBLEMAS REFLEXIONANDO SOBRE ELLOS

ENTONCES.. qu problemas presentamos?

cmo conviene seleccionar el repertorio de actividades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos?

CADA ACTIVIDAD CONSTITUYE UN PROBLEMA MATEMTICO PARA UN ALUMNO EN LA MEDIDA EN QUE SE INVOLUCRA EN UN ENIGMA, UN DESAFO A SUS CONOCIMIENTOS MATEMTICOS, QUE LE PERMITAN

INICIAR LA RP , PONIENDO EN JUEGO LAS NOCIONES QUE TIENE DISPONIBLES, MODIFICNDOLAS Y ESTABLECIENDO NUEVAS

RELACIONES

o Reflexionar para determinar qu procedimientos fueron los ms adecuados o tiles para la situacin resuelta.

o Establecer relaciones y elaborar formas de representacin, discutirlas con los dems, confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notacin convencional.

o Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos o justificarlas utilizando contraejemplos o propiedades conocidas.

o Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.

o Interpretar la informacin presentada de distintos modos, y pasar de una forma de representacin a otra segn su adecuacin a la situacin que se quiere resolver.

o Producir textos con informacin matemtica avanzando en el uso del vocabulario adecuado.

Cmo lograr que los estudiantes encuentren el sentido de la actividad matemtica?

Sentido de qu

En la escuela francesa

- Brousseau (1983) define el sentido de un conocimiento

- Vergnaud(1991) el sentido de un concepto

- Duval (1995) define las diferentes componentes del sentido de una proposicin dentro del marco ms amplio de las representaciones semiticas, discursivas y no discursivas)

- Laborde (1991) identifica elementos constitutivos del sentido de un problema

El alumno debe ser capaz no slo de repetir o rehacer, sino tambin de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.

R.Charnay (1994)

Los conocimientos se manifiestan en las decisiones del agente en situaciones inciertas (sus actos, sus palabras, sus explicaciones), los saberes aparecen como referencia, conocimientos seguros, admitidos, e institucionalizados.

Los saberes son los medios culturales de identificacin y de reconocimiento de los conocimientos.

NIVEL SINTCTICO

Permite comprender

el funcionamiento

de una determinada

nocin.

NIVEL SEMNTICO

Permite reconocer

qu tipo de problema

resuelve ese

conocimiento, para

cules otros no es

adecuado, etc.

NIVEL INTERNO NIVEL EXTERNO

Seo, es de ms o de menos ?

Seo, Es de por?

Cmo podra decidir un alumno qu

procedimiento utilizar si el maestro le dicta

lo que debe hacer?

El aprendizaje se transforma en UN ACTO DE FE

En su TSD, Brousseau incorpora un cuarto elemento a la triada didctica de profesor-alumno-saber. A ese cuarto elemento Brousseau lo llama milieu (que puede traducirse como medio ambiente, pero se ha mantenido el trmino francs en la literatura en espaol). El milieu es el "actor silencioso", el medio ambiente en que se despliegan las actividades del alumno y del maestro.

En la propuesta sostenida por la TSD, el profesor despliega su dispositivo construido deliberadamente para ensear un cierto conocimiento, y los alumnos empiezan a interactuar con l segn reglas establecidas de manera explcita, en una especie de juego adaptativo. Lo que emerge de ese juego de interacciones es el conocimiento, si bien es un conocimiento en estado rudimentario, y por ello el profesor se encargar de institucionalizarlo en la ltima fase de la propuesta en un recuento en retrospectiva del conocimiento construido por sus alumnos. Al dispositivo o milieu ms las interacciones a que da lugar es a lo que se llama situacin didctica. Y la situacin

En una situacin didctica el profesor nada ensea, sino ms bien crea las condiciones bajo las cuales el conocimiento a ensear es la herramienta necesaria para resolver la situacin problemtica planteada por la situacin. Y, en todo caso, incluso si algunos alumnos no llegan a descubrir esa herramienta, ese conocimiento que resolvera el problema, s que quedan sensibilizados para recibirlo ya sea de parte de sus compaeros o bien de parte del profesor en la fase de institucionalizacin.

Segn la TSD, el aprendizaje tiene que basarse, no en el buen funcionamiento de un contrato, sino sobre sus rupturas. Por esa razn, el profesor que siga el enfoque de la TSD tiene que buscar romper el contrato didctico tradicional, el cual si bien produce un aula feliz tiene la desventaja de lograr un nulo aprendizaje.

AMPLIANDO

Inicialmente, cuando se presenta el sabermatemtico en forma axiomtica, asla ciertasnociones y propiedades del tejido de actividades enel cual tuvieron su origen, su sentido, sumotivacin y su empleo (Brousseau, G. 1986). Porlo cual, es necesario que por medio de unarecontextualizacin y repersonalizacin de losconocimientos, el profesor coloque el sabermatemtico en manos de sus estudiantes,proponiendo situaciones en las que el estudianteasuma su papel dentro del contexto escolar, esdecir, parte como parte del rol del profesor seencuentra el ocuparse de la resolucin deproblemas, generando acciones para que el salnde clases simule una microsociedad cientfica.

El proceso de adaptacin a una situacin especfica requiere que los estudiantes acepten que la presencia de las matemticas en la escuela es una consecuencia de la presencia de las matemticas en la sociedad, es decir, que asuman las necesidades matemticas que surgen en la escuela, como necesidades derivadas de los requerimientos matemticos de la sociedad y no como necesidades respaldadas nicamente por el deseo del profesor.

Pensar que las nicas necesidades socialesmatemticas son las que se derivan de la escuela (yno al revs) conlleva una enfermedad didctica entrminos de Chevallard, Y. (1996), ya que se reduceel valor social de las matemticas a un simple valorescolar, se pensara, en ese caso, que lasmatemticas se aprenden simplemente porque sonenseadas en la escuela. Esto se convierteclaramente en un problema didctico, ya que losestudiantes asumiran el estudio de las matemticascomo un artificio de la escuela y no le daran el

carcter de necesidad que deben tener.

Brousseau ha denominado devolucin a lasituacin que soluciona el anterior inconveniente, elprofesor intenta hacer que el alumno se sientaresponsable de resolver un problema que l lepropone; en la devolucin, el profesor persuade alestudiante de que el estudio de las matemticas esuna necesidad y no su voluntad o capricho. Se tratade hacer que los estudiantes se adapten (en elsentido que se ha dado al trmino) a situaciones deaprendizaje especficas, determinadas por elprofesor.

Chevallard, Y. (1996) afirma que la evolucin de una situacin didctica requiere de la intervencin constante, la accin mantenida y la vigilancia del profesor, tales intervenciones o acciones son denominadas por Brousseau como devoluciones e institucionalizaciones y estn destinadas a hacer funcionar las situaciones adidcticas3 y los aprendizajes que ellas provocan

La devolucin de una situacin adidctica,consiste entonces, en no slo presentar a losestudiantes las reglas de juego, sino hacer queellos se sientan responsables de los problemasque resuelven; es decir, la devolucin se puedeconcebir como el proceso mediante el cual sepretende que el estudiante logre adaptarse auna situacin adidctica: que la asimile a suestructura cognitiva existente y que acomodeesa estructura, a la estructura propia de lasituacin especfica. Si el profesor ha logradola devolucin al estudiante de una situacinadidctica, el aprendizaje se ha realizado.

Segn Brousseau, G. (1994), la institucionalizacin consiste en la consideracin oficial del objeto de enseanza por parte del alumno, y del aprendizaje por parte del maestro, es decir, el estudiante reconoce lo que el profesor le ense y el profesor reconoce lo que el estudiante aprendi y culturalmente ambos dan un status a tales conocimientos.

De otra parte, las dos actividades (Devolucin eInstitucionalizacin) se pueden modelizar comoprocesos dentro de la negociacin de uncontrato didctico especfico de unconocimiento matemtico. Tal contrato es denaturaleza hipottica e implcita y estconstituido por las reglas de un juego para dosjugadores (estudiante y profesor); es el medioque tienen profesor y estudiante para jugar(desarrollar) la situacin didctica, es decir, elcontrato didctico es la forma de establecer lasreglas y estrategias de base para que elestudiante pueda adaptarse a las situacionespropuestas por el profesor.

Segn Brousseau, G. (1994), la institucionalizacin consiste en la consideracin oficial del objeto de enseanza por parte del alumno, y del aprendizaje por parte del maestro, es decir, el estudiante reconoce lo que el profesor le ense y el profesor reconoce lo que el estudiante aprendi y culturalmente ambos dan un status a tales conocimientos.

SITUACIN ADIDCTICA

CONOCIMIENTO NECESARIO

CONOCIMIENTO POSIBLE

CONJUNTO DE COMPORTAMIENTO

(ESPECFICOS DE LOS CONOCIMIENTOS

MATEMTICOS ENSEADOS) DEL MAESTRO

QUE SON ESPERADOS POR EL ALUMNO, Y EL

CONJUNTO DE COMPORTAMIENTOS DEL

ALUMNO QUE SON ESPERADOS POR EL

MAESTRO.

GUY BROUSSEAU ( 1980)

En efecto, no es el silencio del maestro lo que caracteriza las fases a-didcticas, sino lo que l dice. (Margolinas 1993)

Medio

Sancin

INTERVENCIONES DEL DOCENTE

CASO GAL

LO QUE LA MAESTRA DICEQUE HAY QUE HACER

LO QUE ELLA ME ENSE

DAR PROBLEMAS QUE CONTENGAN TODOS LOS DATOS TILES PARA RESOLVERLOS

NO HAY!!

PROBLEMAS CON DATOS QUE NO SE UTILICEN

PROBLEMAS CON DATOS INSUFICIENTES

PROBLEMASSIN SOLUCIN

PARA RESOLVER UN PROBLEMA TENGO QUE UTILIZAR TODOS LOS DATOS QUE ME DAN

EN MATEMTICA TODOS LOS PROBLEMAS TIENEN SOLUCIN

REPRESENTACIONES DE LOS ALUMNOS

Dibujen, si es posible, un tringulo cuyos ngulos midan 50,75 y 60

Si la seo me pide que construya algo, se debe poder construir

- PARA INTERPRETAR LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

LA EVALUACIN REFUERZA LA FUNCIN DE LA INSTITUCIONALIZACIN

En MATEMTICA no se estudiaTEORA

EFECTO TOPAZE

CONTROL DE LAINCERTIDUMBRE

EFECTO JOURDAIN

MALENTENDIDOFUNDAMENTAL

DESLIZAMIENTO

METACOGNITIVO

USO ABUSIVO

DE LA ANALOGA

ENVEJECIMIENTO

DE LAS

SITUACIONES

DIDCTICAS

BSQUEDA DE UNA IMPRESIN, CREACIN DE UNA ILUSIN

En el Burgus Gentil hombre de Moliere, el maestro de filosofa revela a Jourdain lo que son la prosa y las vocales. El profesor ,tratando de evitar la constatacin de un eventual fracaso en la enseanza , admite reconocer el ndice de un conocimiento en los comportamientos o las respuestas del alumno, aunque stas sean en los hechos motivadas por causas y significaciones banales.

Sobrevaloracin intelectual de las acciones de los alumnos que con frecuencia practican los profesores buscando salvaguardar la propia accin.

Ideas y conocimientos pasan

Ideas y conocimientos ??

Topaze, profesor de francs, hace un dictado a un mal alumno. No pudiendo aceptar errores demasiado burdos y no pudiendo tampoco indicar directamente la ortografa solicitada (pues sta es la muestra del aprendizaje),sugiere la respuesta disimulndola bajo cdigos didcticos cada vez ms transparentesdes moutons taientrunis dans un parc era la frase del dictado.

En ppio. se trata, para el alumno, de un problema de ortografa y de gramtica pero el alumno es incapaz de escribir correctamente la frase; entonces Topaze dicta: des moutonsses stai-hun

El problema fue por completo cambiado frente a los fracasos repetidos. Topaze mendiga una seal de adhesin y negocia a la baja de condiciones en las cuales el alumno terminar por poner la s. Se adivina que Topaze podr continuar exigiendo la recitacin de la regla, y despues hacindola copiar un cierto nmero de veces

El derrumbe completo del acto de ensear estara representado por una simple orden dada por Topaze: poner una s a moutons.

Muestra de impotencia del docente

Usa preguntas cada vez ms fciles

El conocimiento para dar respuesta cambia su significacin

Desaparece el conocimiento previstoE

FEC

TO

TO

PA

ZE

El estudiante llega a la solucin de un problema, pero no ha sido por sus propios medios, sino porque el profesor asume la resolucin del problema. ste ltimo ve las dificultades que tiene un grupo para llegar a la resolucin de un problema, por lo cual se ve en la necesidad de indicar cul es el procedimiento que deben seguir.

Consiste en la actitud de tomar una heurstica en la resolucin de un problema y asumirla como el objeto de estudio.

El deslizamiento metadidctico hace referencia a que, frente a un eventual fracaso, el profesor cambia el contrato didctico en cuanto a los objetos de estudio

Sabemos que en la resolucin de problemas es importante el uso de la analoga pero no funciona suplantar el estudio de una nocin compleja por un caso anlogo. No nos podemos quedar con los problemas anlogos, sino que debemos devolvernos al problema original. De lo contrario, incurrimos en el uso abusivo de la analoga

El uso abusivo de la analoga conduce peligrosamente a la presentacin de efectos Topaze, ya que, despus de varios fracasos con problemas parecidos propuestos anteriormente, los estudiantes obtienen la solucin de un nuevo problema por una lectura de las indicaciones didcticas hechas durante la resolucin de los anteriores.

El Envejecimiento de las situaciones de enseanza se presenta como fenmeno didctico porque la reproduccin de las clases en diferentes cursos no garantiza su efectividad

Ausencia o prdida de significacin

Ilusin, ficcin de aprendizaje.

Es una Teora Cognitivista

Concibe al sujeto como procesador activo de la

informacin a travs del registro y organizacin

de dicha informacin para llegar a su

reorganizacin y reestructuracin en el aparato

cognitivo del aprendiz. Aclarando que esta

reestructuracin no se reduce a una mera

asimilacin, sino a una construccin dinmica

del conocimiento. (Piaget)

Conceptos y esquemas

El concepto adquiere sentido para el nio

EL CONCEPTO

NO POR LA DEFINICINSINO A TRAVS DE LAS SITUACIONES Y DE LOS PROBLEMASQUE SE PRETENDEN RESOLVER

DOS CLASES DE SITUACIONES

DISPONE DELREPERTORIO

NO DISPONEDEL REPERTORIO

ESQUEMA

ORGANIZACIN INVARIANTE DE LA CONDUCTA

PARA UNA CLASE DE SITUACIONES DADAS

CONOCIMIENTOS

EN ACTO

Cierto carcterimplcito

ESQUEMA

PO

R E

JEM

PLO

LOS ALGORITMOS

ESQUEMA

PO

R E

JEM

PLO

LA ENUMERACIN

1,2,3,4,

El de correspondencia biunvoca, entre los objetos a enumerar, los gestos del brazo y de la mano, los gestos de la voz, y los gestos de la mirada, que aseguran justamente el carcter exhaustivo y exclusivo del enumerar. Esta actividad organizada de la mirada es, con frecuencia, lo que falta a los nios que tienendificultades.- El de cardinal, que toma la forma de la repeticin de la ltima palabra-nombre,cuatro!, en el ejemplo anterior.

En los esquemas aparecen

LAS INVARIANTES OPERATORIAS

CONCEPTOSEN ACTO TEOREMAS

EN ACTO

Son las proposiciones que se consideran verdaderas por un nio en una cierta situacin, es decir, el nio resuelve problemas en base a lo ms convencional y algortmico, stos se desarrollan de manera formal. Cuando el alumno aplica un algoritmo y llega al resultado correcto es un teorema en acto.

Son categoras o procesos que le permiten alnio clasificar la realidad en distintoselementos; estos conceptos pueden serrelevantes e irrelevantes a la situacin. stosse desarrollan de manera informal, puestoque los conceptos en acto relevantes son lasrepresentaciones o mtodos que no presentanun algoritmo convencional pero aun as el niollega al resultado correcto; los conceptos enacto irrelevantes es cuando el alumno aplica lomismo que en el anterior slo que en este casono llega al resultado correcto.

En el desfile de la primavera van marchando 4 filas de nios, en cada fila hay 5 nios. Cuntos nios hay en total?

Aqu la alumna aplica conceptos en acto del tipo relevantes (algoritmo de la suma)

En este segundo caso Jos Francisco al igual que Arely tambin se ubica en la categora de conceptos en acto tipo relevante pues llega al resultado correcto pero de una manera mental, es decir se percibi que los alumnos que llegaron de esta forma al resultado correcto utilizaron la serie numrica del cinco (5, 10, 15,20, 25,30)

A continuacin la alumna Monserrath lo resuelve

totalmente de diferente manera

En el tercer caso Monserrath resuelve el problema con un algoritmo convencional pero errneamente, ya que suma solamente los factores, por lo tanto se ubica en la categora de concepto en acto irrelevante en especfico comente un error semntico; puede considerarse que esto sucede debido a que la alumna no comprende como debiera el problema adems de la falta de nocin del algoritmo de la multiplicacin.

Esta situacin de ngel se encuentra en la categora deconcepto en acto tipo irrelevante. Se considera que este

alumno slo contest el problema por contestar sin habercomprendido verdaderamente la intensin de la situacin.

Es interesante hacer un comentario terico sobre la diferencia entre concepto-en-accin y

teorema-en-accin.

La bsqueda de la relacin entre 860 y 245 se ve orientada por la idea segn la cual se puede razonar con el teorema de isomorfismo f(ax) = af(x). Esta relacin (a=860/245) es un nmero escalar, es decir un nmero sin dimensin, que expresa una relacin entre dos distancias. Es un concepto-en-accin tpico, pertinente para el razonamiento, pero no es un teorema-en-accin. Los teoremas tienen un valor de verdad (pueden ser verdaderos o falsos), mientras los conceptos no: slo tienen un valor de pertinencia

La relacin entre teoremas y conceptos es naturalmente dialctica, en el sentido que no hay teorema sin concepto y no hay concepto sin teorema. Metafricamente se puede decir que los conceptos-en-accin son los ladrillos con los se fabrican los teoremas-en-accin, y que la nica razn de existencia de los conceptos-en-accin es precisamente permitir la formacin de teoremas-en-accin (proposiciones consideradas verdaderas), a partir de los que se hace posible la organizacin de la actividad y las inferencias

Campo aditivo (sentidos de la adicin)

Composicin de medidas; Transformaciones positivas y negativas; Composicin de transformaciones; Medida de relaciones; Transformacin de relaciones; composicin de relaciones)

Campo multiplicativo (sentidos de la multiplicacin)

- Isomorfismo de medidas (anlisis vertical y horizontal) : series proporcionales

- Producto de medidas (organizaciones rectangulares y combinaciones)

ORGANIZACIN DE LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA

TRES EJES

DIALCTICAVIEJO-NUEVO

JUEGO DE MARCOS

DIALCTICAINSTRUMENTO-OBJETO

INSTRUMENTO: FUNCIONAMIENTO EN DIVERSOSPROBLEMAS QUE PERMITE RESOLVER

OBJETO: CONCEPTO MATEMTICO COMOOBJETO CULTURAL

LA ADICIN

PUEDE MOVILIZARSE EN

UN CONCEPTO

DIFERENTES MARCOS

NMERO FRACCIONARIO

MARCO GEOMTRICO

MARCO NUMRICO

FASE A: ANTIGUO

FASE B: BSQUEDA DEL NUEVO IMPLCITO

FASE C: EXPLICITACIN E INSTITUCIONALIZACIN LOCAL

FASE D: INSTITUCIONALIZACIN.ESTATUS DE OBJETO

FASE E: FAMILIARIZACIN-REINVERSIN

FASE F= A COMPLEJIDAD DE LA TAREA O NUEVO IMPLCITO.

El conocimiento matemtico se presenta, segn Douady (1991), como una doble dimensin. En primer lugar, saber matemtica es tener la disponibilidad de ciertas nociones o teoremas matemticos que sirvan como instrumento para resolver problemas. Se entiende por instrumento su funcionamiento cientfico en los diversos problemas que permite resolver. Adems, un concepto toma sentido por su carcter instrumental. No obstante, ese carcter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptos implicados en el mismo problema.

Es decir, desde una mirada instrumental, no se puede hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravita eventualmente alrededor de un concepto principal.

En segundo lugar, una vez que un concepto ha funcionado como instrumento en la resolucin de problemas-es decir, cuando el alumno ha contextualizado el conocimiento-, es el momento de institucionalizar dicho conocimiento identificando definiciones, propiedades, teoremas, hasta su descontextualizacin, pasando el concepto matemtico de su carcter de instrumento al de objeto de conocimiento. Luego, se aplicar el conocimiento a nuevos contextos, lo que demandar nuevas contextualizaciones. Los instrumentos pueden pertenecer a diferentes marcos de resolucin: fsico, geomtrico, numrico, grfico u otro; teniendo cada marco sus objetos, relaciones y formulaciones.

Sin embargo, se precisa distinguir entre marcos de resolucin y registros de representacin semitica. Un registro de representacin se determina con un sistema semitico que ha de cumplir las tres funciones cognitivas de comunicacin, tratamiento y conversin. Los marcos de resolucin, en cambio, se determinan en relacin con objetos de conocimientos matemticos. Se puede cambiar de marco de resolucin sin cambiar de registro y cambiar de registro sin hacerlo de marco, pues un marco de resolucin puede movilizar varios registros (Duval, 1996, 357).

Se pone en evidencia que las representaciones externas pueden pertenecer a diferentes registros que no estn directamente vinculados a la teora. Por tanto, diferentes teoras comparten los mismos registros de representacin, por ejemplo, la aritmtica y el lgebra comparten los signos de las operaciones aritmticas. Mientras que, una misma teora puede recurrir a diferentes registros, por ejemplo, el lgebra utiliza nmeros y letras.

La Teora de los Registros de Representacin Semitica de Duval (1993, 1995) constituye un marco terico adecuado que permite analizar las representaciones que los alumnos -y los docentes-emplean para resolver un problema. Considera que los sistemas de representacin que utiliza la matemtica son las figuras, las grficas, la escritura simblica y el lenguaje natural. Su postura seala que es esencial para la actividad matemtica que se puedan movilizar varios signos en el curso de una misma accin, o bien que se pueda elegir un signo en vez de otro.

"(...) es necesario que el objeto no sea confundido con sus representaciones y que se le reconozca en cada una de ellas. Es bajo esas dos condiciones que una representacin funciona verdaderamente como representacin, es decir que ella proporciona el acceso al objeto representado" (Duval, 1993).

Se pregunta bajo qu condiciones un numeral o un dibujo, por ejemplo,

funcionan como representaciones de los objetos matemticos

correspondientes, estableciendo que una representacin funciona

verdaderamente como representacin cuando da acceso al objeto representado.

En forma general divide a las representaciones en internas(privadas) y externas (visibles y observables pblicamente), considerando que estas ltimas son por naturaleza semiticas, ya que se producen mediante un sistema de signos y son accesibles a todos los sujetos capaces de interpretar este sistema de signos. Refirindose al aprendizaje de la matemtica, establece que la diversificacin de representaciones semiticas de un mismo objeto aumenta la comprensin de los sujetos y recprocamente, las representaciones externas (enunciados, frmulas, grficas, etc.) son el medio por el cual las personas exteriorizan sus imgenes y representaciones mentales hacindolas accesibles a otras personas. As asigna a las representaciones externas un doble papel:

Actan como un estmulo para los sentidos en los procesos de construccin de nuevas estructuras mentales.

Expresan la red de significados personales de los sujetos que los usan.

Se identifica una actividad ligada a la produccin de representaciones, y otra ligada a la aprehensin conceptual de los objetos representados. Llama semiosis al primer tipo de actividad y noesis a la aprehensin conceptual del objeto. Adems, postula que la actividad de produccin de representaciones es la que permite la comprensin, es decir, la semiosis es la que determina las condiciones de posibilidad de la noesis

Para que un sistema semitico sea un sistema de representacin, segn Duval (1993), debe permitir la realizacin de las tres actividades cognitivas ligadas a la semiosis: la identificacin de la presencia de una representacin; el tratamiento y la conversin de una representacin.

Sin embargo, conviene aclarar que la conversin de una representacin es una actividad cognitiva diferente e independiente de la del tratamiento. Por ejemplo, al realizar un clculo con nmeros racionales, los alumnos pueden efectuar muy bien la suma de dos nmeros con su escritura decimal o con su escritura fraccionaria, y de ninguna manera pensar en convertir una en la otra (o viceversa) o fracasar en esta conversin. Se constituyen procesos complejos, pasar de un registro de representacin a otro (conversin) o representar un objeto de diferentes maneras en un mismo sistema de representacin (tratamiento) no es evidente y mucho menos sencillo para los sujetos.

Los problemas a los que se enfrentan los sujetos para realizar el tratamiento y la conversin de representaciones es una dificultad a la que Duval llama fenmeno de no-congruencia, el cual se da entre las representaciones de un mismo objeto que provienen de sistemas semiticos diferentes y el pasaje entre ellas no es inmediato. En cambio, si se dan de manera espontnea, son congruentes.

Se precisa distinguir entre marcos de resolucin y registros de representacin semitica. Un registro de representacin se determina con un sistema semitico que ha de cumplir las tres funciones cognitivas de comunicacin, tratamiento y conversin. Los marcos de resolucin, en cambio, se determinan en relacin con objetos de conocimientos matemticos. Se puede cambiar de marco de resolucin sin cambiar de registro y cambiar de registro sin hacerlo de marco, pues un marco de resolucin puede movilizar varios registros (Duval, 1996, 357).