Metody Komputerowe w Teorii KonstrukcjiElementy Teorii sprystoci Katedra Teorii Konstrukcji Budowlanych Politechniki lskiej w Gliwicach przygotowa:dr in. Andrzej Cicio Andrzej.cincio@polsl.pl Studia dzienne poziom mgr sem.1 http://kateko.rb.polsl.pl/~suzztk1 3.0 (6.10.2010) 2 A. Cicio 2007 2 Cele dydaktyczne Gwne cele przedmiotu: podanie zaoe teorii sprystoci, generalne zaznajomienie z analitycznym sformuowaniem rwna ukadw powierzchniowych(tarcz i pyt, powok) oraz sposobie ich rozwizania, przedstawienie korzyci zastosowania wybranych metod numerycznych w rozwizywaniu zoonych typw konstrukcji. 3 A. Cicio 2007 3 Zakres wykadw z teorii sprystoci 1) Wprowadzenie. Podstawowe zaoenia. Zadania. 2) Elementy Rachunek rniczkowy funkcji dwch zmiennych3) Paski stan naprenia, rwnanie biharmoniczne tarczy 4) Elementy teorii pyt cienkich, rwnanie Zofii Germain 5) Elementy teorii powok 6) Numeryczne rozwizywanie zada TS za pomoc MES-u 1. Zadania, zaoenia Teorii Sprystoci (TS) 5 A. Cicio 2007 5 Wprowadzenie - modele obliczeniowe konstrukcji budowlanych Elementy konstrukcyjne (wszystkie) posiadaj 3 wymiary (3D) W niektrych przypadkach, mona dokona redukcji liczby wymiarw do dwch lub jednego, bez znaczcej utraty dokadnoci rozwizania W obliczeniach statycznych konstrukcji mona pomin (wwikszoci przypadkw) te wymiary, ktre s znaczco mniejsze od pozostaych, Dziki redukcji liczby wymiarw rozwaanego zadania, uzyskuje si: uproszczenie modelu geometrycznego konstrukcji uproszczenie opisu odpowiedzi konstrukcji na zadane obcienie (np. wyraone liczb zmiennych w funkcji napre: 1D -o(x), 2D - o(x,y) , 3D - o(x,y,z) 6 A. Cicio 2007 6 Modele ustrojw konstrukcyjnych za [Cmech] 3D - objtociowe 2D- powierzchniowe 1D - prtowe mechanika budowli 7 A. Cicio 2007 7 Mechanika Budowli (MB) aTeoria Sprystoci (TS) hipoteza paskoci przekrojw (Bernoulliego) Mechanika Budowli podaje metody rozwizania konstrukcji prtowych (metoda przemieszcze,metoda si), przyjmujc jako obowizujce zaoenie paskoci przekrojw (hipoteza Bernoulliego), ktra speniona jestjedynie w wypadku ustrojw 1D rozkad napre normalnych w przekroju jest liniowy Teoria Sprystoci odchodzi od tegozaoenia pozwala to analizowa konstrukcje nieprtowe wada: znacznie b. skomplikowany aparat matematyczny (rwnania rniczkowe czstkowe) rozkad napre normalnych w przekroju jest nieliniowy wycinek belkibhdxro(x,h)xhpromie krzywizny 8 A. Cicio 2007 8 Belka -jako ustrj 1D i tarcza jako ustrj 2D belkahlhltarczah/l < 1/4 (1/5) h/l > 1/4 (1/5)model belkimodeltarczyo belkipaszczyznarodkowa9 A. Cicio 2007 9 Deformacje ustrojw konstrukcyjnych Rozciganie/ciskanie cinaniezginanie skrcanie 10 A. Cicio 2007 10 Podstawowe zaoenia teorii sprystoci Podstawowe zaoenia mechaniki cia odksztacalnych: zaoenie cigoci budowy orodka (budowa ziarnista materiiatomy, krysztay, sie krystaliczna odlegoci midzy nimi mae budowa ciga, nieskoczenie podzielna) zaoenie jednorodnoci kontinuum (waciwoci mechaniczne orodka opisane staymi materiaowymi s stae niezalene od pooenia) zaoenie izotropowej budowy orodka (waciwoci mechanicznes identyczne we wszystkich mylowych kierunkach ) E ,vE ,vE ,vciao izotropowe E,1v1E,2v2E,3v3ciao anizotropowe/ortotropowe 11 A. Cicio 2007 11 Podstawowe zaoenia teorii sprystoci c.d. zaoenie doskonaej sprystej pracy materiau (model materiau liniowo sprysty wzajemna jednoznaczno pomidzy napreniem odksztaceniem opisana prawem Hookea) odksztacenienaprenieotgo=E1Erzeczywisty wykres rozcigania dla staliZachowaniem cia poza granic sprystoci zajmuje si teoria plastycznoci kzmodel sprystego utroju 1D12 A. Cicio 2007 12 Podstawowe zaoenia teorii sprystoci c.d. zasada lokalnoci skutkw przyoenia obcienia- zasadade Saint Venanta (w dostatecznie odlegych przekrojach od miejsca przyoenia obcienia, sposb jego przyoenia nie wpywa na rozkad napre) Pqo(P) 13 A. Cicio 2007 13 Przypadek ciaa 3D podstawowe pojcia Przemieszczenia - opisane wektorem123( , , )u uxyz v uw u = = ` ` ) )uAA'U W V = ruch bryy sztywnej Ciao 3D pojcie odksztacenia liniowego ABI) odksztacenia liniowe odksztacenia opisuj deformacje ciaaodksztacalnego. mierzone sna odcinku np. AB 0 miar odksztace liniowych moe by zmiana dugociodcinka AB : stan odksztace liniowych opisany skadowymi w 3 kierunkach : cx, cy, cz, odksztacenia mona wyznaczy na podstawie przemieszcze np.( , , )xuxyzxcc=cXZodksztacenialinioweNxc' ' A B ABAB15 A. Cicio 2007 15 Ciao 3D pojcie odksztacenia cd. II) odksztacenia postaciowe s efektem dziaania cinania (napre cinajcych) miar odksztace postaciowych jest zmiana ktw w mylowym szecianie (odchylenie od 90o ) stan odksztace postaciowych opisanyjest skadowymi: xy, yz, zx, odksztacenia mona wyznaczy na podstawie przemieszcze (i odwrotnie) zapis stanu odksztacenia (odkszt. liniowych i ktowych)w punkcie A: xyzxzxAyyzccc = ` )xy xzyx yzzx zAz yxy ccc ( (=( ( za pomoc symetrycznego tensora : za pomoc wektora: XZxzzxodksztaceniacinajceTT16 A. Cicio 2007 16 Ciao 3D pojcie naprenia (przypomnienie) stanowi odpowied ciaa (materiau) na zadane obcienie naprenia okrelone s jako jednostkowa si wew. przypadajca na jednostkow powierzchni: wyrnia si naprenia normalne oraz styczne wynikajce z rozkadu jednostkowej siy AP na kierunek normalny i styczny wzgldem przekroju: naprenia s funkcj (x,y,z) pooenia pola przekroju AF oraz jego orientacji naprenia wyraaj strumie (gsto powierzchniow) pola si mechanicznych. AFAF0limFP d PF dFA A= =A0 0lim , limn nF FP d P P d PF dF F dFt tt oA A A A= = = =A A17 A. Cicio 2007 17 Przestrzenny stan naprenia oxozoytxytxztyxtzx tzytyzyxzA xy xzyx yzzx zAz yxyt tt tt tooo ( (=( ( w zapisie symetrycznego tensora II-rzdu Naprenie w punkcie A w stanie 3D opisane jest przez 9 skadowych stanu naprenia ( w tym 6niezalenych) A xyzxzxAyyztotoot = ` )w zapisie wektorowym 18 A. Cicio 2007 18 Naprenia gwne transformacja stanu naprenia o1o3yxzo2oxozoytxytxztyxtzx tzytyzyxz1230 00 00 0A|ooo ( (=( ( Przy obrocie ukadu wsprzdnych (zmianie orientacji przekroju), zmieniaj si wsprzdne tensora napre. Istnieje taka orientacja ukadu , wzgldem ktrego naprenia styczne si zeruj, anaprenia gwne przyjmuj wartoci ekstremalne.S to tzw. naprenia gwne, a ukad wsprzdnych dla ktrych zostay wyznaczone okrela tzw. kierunki gwne . 19 A. Cicio 2007 19 Przypadki szczeglne zagadnie TS A. zagadnienie jednowymiarowe (1D) B. zagadnienie dwuwymiarowe (2D): 1. plaski stan naprenia 2. paski stan odksztacenia 3. stan osiowosymetryczny 20 A. Cicio 2007 20 Jednowymiarowe zagadnienie konstrukcje prtowe (1D) oxxtxyobowizuje zaoenie o paskoci przekroju, przemieszczenie dowolnego punktu przekroju poprzecznego jest jednoznacznie okrelone przez skadowe przemieszczenia (u,v) oraz | - obrt rodka cikoci przekroju (osi prta), pomija si wpyw odksztace postaciowych na rozwizanie (w wikszoci przypadkw) tylko odksztacenia liniowe, definiuje si siy wewntrzne (M,T,N)w przekroju prta (wypadkowe stanu naprenia w przekroju, zredukowane do. rodka cikoci), dziki czemu obliczenia konstrukcji przeprowadza si w 2 etapach: wyznaczenie funkcji rozkadu si wewntrznych na dugoci prta (modelowanego jako ciao 1D):M(x), T(x), N(x), wyznaczenie skadowych stanu naprenia w danym przekroju o-o na podstawie wyznaczonych wartoci si przekrojowych Mo To Nowg. wzorw wytrzymaociowych odpowiadajcych danemu przypadkowi wytrzymaociowemu np.:( , )yxxx yMxMy NMNJ J Fo = +( )( )odcxxyxyTSTJbt =NMT mona sformuowa rwnanie rniczkowe osi odksztaconej (linii obojtnej) belki: MyEJ'' =21 A. Cicio 2007 21 Dwuwymiarowe zagadnienie TS (2D) Plaski stan naprenia - tarcza t=1XY000 0 0xyyx y Axttoo ( (=( ( Plaski stan odksztacenia XYt=1000 0 0xyyx y Axcc ( (=( ( stan naprenia plaski stan odksztacenia przestrzenny: xy xzyx yzzx zAz yxy ccc ( (=( ( stan odksztacenia plaski stan naprenia przestrzenny: xy xzyx yzzx zAz yxyt tt tt tooo ( (=( ( 2D 2D Zagadnienie paskiego stanu naprenia (teoria ukadw tarczowych) 23 A. Cicio 2007 23 Zagadnienie paskiego stanu naprenia TS Poszukujemy funkcji opisujcej naprenia (odksztacenia, przemieszczenia) w tarczy o gruboci jednostkowej, jako funkcji 2 zmiennych F(x,y) Do wyprowadzenia funkcji F(x,y), stosowa bdziemy rachunek rniczkowy np.warto funkcji w punkcie j, moe by wyraona w sposb przybliony za pomoc znanej wartoci funkcji F w punkcie i irniczki czstkowej tej funkcji (rozwinicie Fj w szereg Taylora ograniczony do dwch wyrazw): ij iFF F dxxc~ + cXYi j Fj Fi wykres F(x,y) dx oznacza pochodn czastkow funkcji F(x,y) w punkcie "i" podug zmiennej x gdzie:iFxccstyczna iFxcc24 A. Cicio 2007 24 Wyprowadzenie rwnania biharmonicznego tarczy t=1XYXYAdxo'xoxoyo'yt'xyt'yxtyxtxydyNaprenia na krawdziach odlegych o dx, dy mona okreli nastpujco: xx xdxxoo oc' = + cyy ydyyoo oc' = + cxyxy xydxxtt tc' = + cyxyx yxdyytt tc' = + c25 A. Cicio 2007 25 Warunki rwnowagi Biorc pod uwag pole dF cianek szeciennej kostki (gruboci=1),oraz wypadkowe siy dziaajce na cianki ukadamy warunki rwnowagi elementu: EX=0 (1) , EY=0 (2) , EMA=0 (3) z warunku (3): otrzymujemy rwno txy= tyx(1) warunek (1) i (2), w przypadku, gdy jedynym obcieniem jest ciar wasny elementu p (traktowany jako pionowa sia objtociowa) daje: 00xyxy xyx ypy xotooo ooo oto o+ =+ =(2) 26 A. Cicio 2007 26 Uwzgldnienie warunkw brzegowych Wypadkowe siy wynikajce ze skadowych stanu naprenia na brzegu tarczy musz by w rwnowadze z obcieniem (dF pole pow. boku) sin cos 0cos sin 0x x xyy y xyPdF dF dFP dF dF dFo o t oo o t o = =XYtyxtxyPxPxPo27 A. Cicio 2007 27 Zwizki geometryczne (Cauchyego) zaleno odksztacenia (cx ,cy, xy) przemieszczenia (u, v) 1( )u udx dx dx u dx u dxx xc cA = = + =c cXYdxdy|1|2uvuu dxxc+cvv dxxc+cuvdyy+ ccvv dyyc+cdx1xudxdx uxdx dx xccA cc= = =cyvycc=c1 2,uvdydxv uyxdx x dy y| |ccc ccc~ = ~ =c c1 2 xyv ux y | |c c= + = +c c(3a) (3b) Rwnanie nierozdzielnoci: 2 222 2y xyxy x xyc cc cc+ =c c c(4) spenienie rwnania (4) gwarantuje, e mylowo wyodrbnione prostopadocienne kostki bd do siebie pasowa element odksztacony liniowo i postaciowo 28 A. Cicio 2007 28 Zwizki fizyczne prawo Hookea (model L-S) zaleno odksztacenia (cx ,cy, xy) -naprenia (ox,oy, txy) odksztacenienaprenieotgo=E1Edla 1D ( )( )111,2(1 )x x yy y xyx xyEEEGGc o voc o vo tv= = = =+Przypomnienie - dla stanu jednoosiowego rozcigania (1D): Parametry sprystego modelu materiau:E modu Younga, G modu cinania [kPa], v=0..1/2 liczba Poissona (wspcz. zmiany wymiarw poprzecznych do podunych) xxEoc =y z xc c vc = = oxox1+cy = 1vcx111+cxYX(5) xycvc= dla stanu 2D naprenia: 29 A. Cicio 2007 29 Rwnanie nierozdzielnoci w napreniach Podstawiajc do rwnania nierozdzielnoci (4) zwizki fizyczne (5) otrzymuje si rwnanie rniczkowe (7) bdce zapisem rwnania nierozdzielnoci (4) w napreniach (przy zaoeniu, e skadowe si masowych s stae lub rwne zero): ( )2 22 20x yx yo o| |c c+ + = |c c\ .(7) Rwnanie (7) wraz z dwoma rwnaniami rwnowagi (2) stanowi ukad trzech rwna ktre musi spenia rozwizanie tarczy.30 A. Cicio 2007 30 Funkcja napre Airyego rwnanie biharmoniczne Wprowadzajc funkcj napre Airyego F(x,y) tak e: ukadrwna (7) i (2) mona sprowadzi do jednego rwnania- jest to tzw. rwnanie biharmoniczne tarczy: 2 2 22 2, , ,x y xyF F Fpxy x xyo o tc c c= = = +c c cc4 4 44 2 2 42 0F F Fx x y yc c c+ + =c c c c40 F V =4 4 444 2 2 42x x y yc c cV= + +c c c crwnanie biharmoniczne tarczy lub w zapisie operatorowym : (8) 31 A. Cicio 2007 31 Rwnanie biharmoniczne tarczy uwagi, rozwizanie rozwizanie tarczy (funkcja opisujca naprenia F(x,y)) musi spenia rwnanie biharmoniczne (8) oraz zadanewarunki brzegowe (wyraone sposobem podparcia i obcienia tarczy), majc okrelon funkcj napre i odpowiadajce jej skadowe stanu naprenia , na podstawie zwizkw fizykalnych (5) mona okreli odksztacenia, a nastpnie ze zwizkw geometrycznych (3a,3b), poprzez cakowanie mona wyznaczy przemieszczenia, rwnanie biharmoniczne (8) ma nieskoczon liczb rozwiza , z ktrych tylko jedno spenia zadane warunki brzegowe, wyznaczenie funkcji napre F(x,y) speniajcej jednoczenie zadane warunki brzegowe,poprzezrozwizanie rwnania biharmonicznego jest praktycznie niemoliwe, dlatego stosuje si pewne metody poszukiwania funkcji napre np.: metod odwrotn, metod szeregw trygonometrycznych metody numeryczne: metod rnic skoczonych, metod elementw skoczonych 32 A. Cicio 2007 32 Przykady funkcji napre w postaci wielomianu (metoda odwrotna) Metoda odwrotna: przyjmujemy funkcj napre w postaci wielomianu, speniajc rwnanie biharmoniczne, sprawdzamy jakim warunkom brzegowym odpowiada. Przykady: P1: Niech F(x,y)= bxy, , skadowe stanu naprenia wynosz: 40 F V =2 2 22 20, , 0 ,x y xyF F Fby x xyo o tc c c= = = = = = c c ccprzypadek czystegocinaniatxytxy i opisuj przypadek czystego cinania: 33 A. Cicio 2007 33 Przykady funkcji napre w postaci wielomianu c.d. P1: Niech F(x,y)= by3,, wwczas skadowe stanu naprenia: opisuj przypadek czystego zginania: 40 F V =2 2 22 26 , , 0 0,x y xyF F Fbyy x xyo o tc c c= = = = = =c c ccprzypadek czystego zginaniaoxox34 A. Cicio 2007 34 Metoda rnic skoczonych Koncepcja MRS polega na zastpieniu pochodnych wystpujcych w rwnaniach rniczkowych i warunkach brzegowych przez odpowiadajce ilorazy rnicowe: ( )( ) ( )2 12 1 2 1( ) 02 1 2 1limx xf x x f x xff xx x x x x A' = ~ = Ai-2i-1i i+1 i+2xf(x)fiAxAx AxAxfi+1fi-1I-sza rnica centrala:( )1 112 2L Pi iii i if f f f ff xx x x x+ ( A A A| | | | | |'~ = + = ( |||A A A A\ . \ . \ . ( ( )21 1 1 12 22 1 1P Li i i i i i iii iif f f f f f f f f ff xx x x x x x x x+ + (| | + A A A ( | | | |'' ~ = = = ( ||| (A A A A A A A A\ . \ . ( \ . II-ga rnica centrala ( )1Li iiif f ff xx x A| |'~ = |A A\ .I-sza rnica lewostronna( )1Pi iiif f ff xx x+ A| |'~ = |A A\ .I-sza rnica prawostronna35 A. Cicio 2007 35 Metoda rnic skoczonych Rnice centralne dla funkcji 2 zmiennych AxAx AxAxxyAyAyAyAyi, j+1i, j-1i-1, ji+1, j1, 1,, ,2i j i ji j i jF FF Fx x x+ c A| | | |~ = ||c A A\ . \ ., 1 , 1, ,2i j i ji j i jF FF Fy y y+ | | | | c A~ = ||c A A\ . \ .2 21, , 1,2 2 2, ,2i j i j i ji j i jF F FF Fx x x+ +| | | | c A~ = ||c A A\ . \ .2 2, 1 , , 12 2 2, ,2i j i j i ji j i jF F FF Fy y y+ +| | | | c A~ = ||c A A\ . \ .2 21, 1 1, 1 1, 1 1, 1, ,4i j i j i j i ji j i jF F F FF Fx y x y x y o+ + + + +| | | | c A~ = ||c AA AA\ . \ .36 A. Cicio 2007 36 Metoda rnic skoczonych Rnice centralne dla funkcji 2 zmiennych cd. 4 42, 1, , 1, 2,4 4 4, ,4 6 4i j i j i j i j i ji j i jF F F F FF Fx x x+ + + +| | | | c A~ = ||c A A\ . \ .4 4, 2 , 1 , , 1 , 24 4 4, ,4 6 4i j i j i j i j i ji j i jF F F F FF Fy y y+ + + +| | | | c A~ = ||c A A\ . \ .( )4 42 2 2 2, ,, , 1 1, , 1 1,1, 1 1, 1 1, 1 1, 12 2 2 24 2i j i ji j i j i j i j i ji j i j i j i jF Fx y x yF F F F FF F F Fx y x y+ + + + + +| | | | c A~ = ||c c A A\ . \ . + ++ + += +A A A A37 A. Cicio 2007 37 Metoda rnic skoczonych rwnanie tarczy Rwnanie rniczkowe tarczy 4 4 44 2 2 42 0F F Fx x y yc c c+ + =c c c c Rwnanie rnicowe tarczy (i,j) 4 4 44 2 2 4, , ,2 0i j i j i jF F Fx x y y| | | | | | A A A+ + = |||A A A A\ . \ . \ .podstawiajc rnicowe wyraenia: ( )( ), , 1 1, , 1 1,2, 1, , 1, 2,4 2 21, 1 1, 1 1, 1 1, 1, 2 , 1 , , 1 , 22 2 48 44 6 424 6 40i j i j i j i j i ji j i j i j i j i ji j i j i j i ji j i j i j i j i jF F F F FF F F F Fx x yF F F FF F F F Fx y y+ + + + + + + ++ + + + + ++ +A A A+ + + + ++ + =A A APrzyjmujc siatk podziau tarczy kwadratow tj.: Ax=Ay=A obie strony rwnania mona pomnoy przez A438 A. Cicio 2007 38 Metoda rnic skoczonych rwnanie tarczy cd Otrzymujemy operator rnicowy rwnania tarczy dla punktu (i,j) ( )( ), 1, 1, , 1 , 11, 1 1, 1 1, 1 1, 1 2, 2, , 2 , 220 82 0i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i jF F F F FF F F F F F F F+ ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + =AA AAxyAAAA20 8888ii-1i+1j+1j+2j-2j-1ji-2 i+222 22111 139 A. Cicio 2007 39 Metoda rnic skoczonych rozwizanie tarczy Tarcz dzielimy siatk kwadratow o boku A Dla kadego wza siatki ukadamy rwnanie rnicowe tarczy Korzystajc z warunkw brzegowych wyznaczamy wartoci funkcji Fi,j na brzegu tarczy oraz w tzw. punktach fikcyjnych poza tarcz otrzymujemy w ten sposb algebraiczny ukad n- rwna z niewiadomymi, ktrymi s wartoci funkcji Airyego Fi,j w punktach wew.. Tarczy bdcych wzami siatki, Rozwizujemy ukad rwna i wyznaczamy wartocifunkcji napreFi,j

Na podstawie odpowiednich zwizkw obliczymy skadowe stanu naprenia: ox, oy, txy oraz sporzdzimy wykresy napre w wybranych przekrojach PRZYKAD LICZBOWY (podany na zajciach) 40 A. Cicio 2007 40 Metoda rnic skoczonych - przykad Temat zadania oraz sprowadzenie do tarczy o gruboci jednostkowej q=10 kN/m7 m4 mt=0.1 mt=1 mq=10/0.1=100 kN/m41 A. Cicio 2007 41 Metoda rnic skoczonych - przykad Przyjty podzia dyskretyzacyjny siatk 1 x 1 m 0,00,10,20.30,40.50,61,01,11,21.31,41.51,62,02,12,22.32,42.52,63,03,13,23.33,43.53,64,04,14,24.34,44.54,65,05,15,25.35,45.55,66,06,16,26.36,46.56,642 A. Cicio 2007 42 Metoda rnic skoczonych - przykad Warunki brzegowe dla tarczy odniesione do analogicznego fikcyjnego prta pokrywajcego si z brzegiem tarczy przecitego w osi symetrii: ---612.5612.5312.5112.512.5-M(x)brzegij ijF M =brzgijijFNnc=cI war. brzeg:IIwar. brzeg:-350N(x)-43 A. Cicio 2007 43 Metoda rnic skoczonych - przykad Rwnanie rnicowe dla punktu (4,3) 20 888822 22111 10,00,10,20.30,40.50,61,01,11,21.31,41.51,62,02,12,22.32,42.52,63,03,13,23.33,43.53,64,04,14,24.34,44.54,65,05,15,25.35,45.55,66,06,16,26.36,46.56,644 A. Cicio 2007 44 Metoda rnic skoczonych - przykad ( ) ( ) ( )43 44 53 42 33 54 52 32 34 45 63 41 2320 8 2 0 F F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + + + =( ) ( ) ( )43 44 43 42 33 44 42 32 34 41 2320 8 2 12.5 612.5 0 F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + + = rwnanie rnicowe dla punktu (4,3): wykorzystanie warunkw symetrii oraz I-szego war. brzegowego: ( )43 44 42 33 32 34 2312 6 6 7 2 625 F F F F F F F + + + = wykorzystanie warunkw symetrii oraz I-szego war. brzegowego: 45 A. Cicio 2007 45 Przykad cd. ( ) ( ) ( )33 34 43 32 23 44 42 22 24 35 53 31 1320 8 2 0 F F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + + + =( ) ( ) ( )33 34 43 32 23 44 42 22 24 4320 8 2 112.5 612.5 612.5 0 F F F F F F F F F F + + + + + + + + + = rwnanie rnicowe dla punktu (3,3): wykorzystanie warunkw symetrii oraz I-szego war. brzegowego: ( ) ( )33 34 32 23 43 44 42 22 2420 8 7 2 1337.5 F F F F F F F F F + + + + + + = wykorzystanie warunkw symetrii oraz I-szego war. brzegowego: 46 A. Cicio 2007 46 Przykad cd. ( ) ( ) ( )23 24 33 22 13 34 32 12 14 25 43 21 0320 8 2 0 F F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + + + =( ) ( )( )23 24 33 22 34 3243 2320 8 612.5 2 612.5 612.5312.5 612.5 700 0F F F F F FF F + + + + ++ + + = rwnanie rnicowe dla punktu (23): wykorzystanie warunkw symetrii oraz I-szegoi II-iego war. brzegowego: ( ) ( ) ( )23 24 33 22 34 32 4321 8 2 825 F F F F F F F + + + + + = wykorzystanie warunkw symetrii oraz I-szego war. brzegowego: 03 231313 132F F F FNn n c A| | | |~ = = ||c A A\ . \ .II war brzeg.- pozwala wyznaczy w-ci wartoci w punktach fikcyjnych (poza tarcz) np.. F03

( )03 2303 23350 2 3502 1F FF F= = + 47 A. Cicio 2007 47 Przykad cd. ( ) ( ) ( )44 34 43 44 33 43 24 34 42 4420 8 12.5 2 12.5 112.5 0 F F F F F F F F F F + + + + + + + + = Podobnie ukadamy rwnania operatorowe (rnicowe) dla pozostaych punktw wew. zdyskretyzowanej tarczy (4,4), (3,4) (2,4) (4,2) (3,2) (2,2): ( ) ( ) ( )34 24 33 44 23 43 34 32 4420 8 112.5 2 12.5 312.5 612.5 0 F F F F F F F F F + + + + + + + + =( ) ( )( )24 34 23 3324 44 22 2420 8 612.5 312.5 2 612.5 112.5 612.5700 0F F F FF F F F + + + ++ + + + =( ) ( ) ( )42 32 43 42 43 33 22 32 42 4420 8 612.5 2 612.5 612.5 0 F F F F F F F F F F + + + + + + + + =( ) ( ) ( )32 22 33 42 43 23 32 42 3420 8 612.5 2 612.5 612.5 612.5 0 F F F F F F F F F + + + + + + + + =( ) ( )( )22 32 23 3322 42 22 2420 8 612.5 612.5 2 612.5 612.5 612.5700 0F F F FF F F F + + + + ++ + + + =48 A. Cicio 2007 48 MRS- przykad cd. Otrzymujemy ukad 9 rwna z 9 niewiadomymi, ktrymi s warto Fij w punktach wew. lewej powki tarczy siatki dyskretnej: - = A F Bgdzie: 0 2 6 1 7 2 0 2 62 8 2 8 20 7 2 8 28 2 0 21 8 1 8 2 00 0 1 0 2 6 1 7 130 1 0 2 8 2 9 21 71 0 0 8 2 0 22 8 11 7 13 0 2 6 0 0 18 21 7 2 8 2 0 1 022 8 1 8 2 0 1 0 0 ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( A223242233343243444FFFFFFFFF ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( F6251337.5825150362.5402524501837.55425 ( ( ( ( ( ( (= ( ( ( ( ( ( ( B49 A. Cicio 2007 49 MRS- przykad cd. Rozwizanie ukadu rwna oraz wyznaczenie Fij w punktach fikcyjnych (na podstawie II war. brzegowego) 223242233343243444504.973488.216484.386404.311316.608281.048338.197177.609101.827FFFFFFFFF (( (( (( (( (( (( ((= = (( (( (( (( (( (( (( F463626040302203040101.827177.609338.1971038.1981104.3111204.973504.973488.216484.386fikcFFFFFFFFF (( (( (( (( (( (( ((= = (( (( (( (( (( (( (( F50 A. Cicio 2007 50 MRS- przykad cd. Wyznaczenie napreprzekrojach pokrywajcych si z liniami siatki dyskretyzacyjnej wg. zalenoci z teorii tarcz oraz wzorw rnicowych: ( )2 2, 1 , , 12 2 2,,2i j i j i jx xi ji jF F FF Fy y yo o+ +| | c A= ~ = |c A A\ .( )2 21, , 1,2 2 2,,2i j i j i jy yi ji jF F FF Fx x xo o+ +| | c A= ~ = |c A A\ .( )221, 1 1, 1 1, 1 1, 12,,0xyi j i j i j i jxyi ji jFxxyF F F FFx y xtt + + + + c= + cc+ | | A~ = |AA A\ .51 A. Cicio 2007 51 MRS- wykresy napre Naprenia poziome w przekroju (4,j), przy osi symetrii wynosz: 412345-+45 46 45 4,444 45 44 4,343 44 43 4,242 43 42 4,141 42 41 4,02 178.655 kPa2 89.893 kPa2 24.118 kPa2 75.225 kPa2 256.277 kPaxxxxxF F FF F FF F FF F FF F Fooooo= + = = + = = + = = + == + =0,00,10,20.30,40.50,61,01,11,21.31,41.51,62,02,12,22.32,42.52,63,03,13,23.33,43.53,64,04,14,24.34,44.54,65,05,15,25.35,45.55,66,06,16,26.36,46.56,64,j52 A. Cicio 2007 52 MRS- wykresy napre Naprenia poziome w przekroju (2,j), w strefie przypodporowej wynosz: 25 26 25 2,424 25 24 2,323 24 23 2,222 23 22 2,121 22 21 2,02 51.394 kPa2 40.417 kPa2 34.548 kPa2 6.865 kPa2 215.054 kPaxxxxxF F FF F FF F FF F FF F Fooooo= + = = + = = + = = + = = + =0,00,10,20.30,40.50,61,01,11,21.31,41.51,62,02,12,22.32,42.52,63,03,13,23.33,43.53,64,04,14,24.34,44.54,65,05,15,25.35,45.55,66,06,16,26.36,46.56,62,j412345-+Teoria pyt cienkich 54 A. Cicio 2007 54 Pytnazywamyustrjpowierzchniowopaskicharakteryzujcysi wymiaremgrubociznaczniemniejszymodpozostaych,obcionyna grnejpowierzchniwkierunkudoniejprostopadym,pracujcygwnie na zginanie, Paszczyzna przechodzca w poowie gruboci nazywa si paszczyzn rodkow pyty ugiciepytyrozumianejestjakopionoweprzemieszczeniapunktw paszczyzny rodkowej klasyfikacjapytwg.proporcjiwymiarw(np.l-dugo)wzgldem gruboci (h - wysoko): a) membrany:hs(1/801/100)l,pytyob.maejsztywnocinazginanie (duychugiciach),dlaktrychprzyjmujesi,zepracujwyczniena rozciganie rodkowej (membrany), b) pyty cienkie (1/80 1/100)l < h s (1/5 1/8)l dla ktrych ugicia s mae w stosunku do gruboci (nie przekraczaj 1/5 gruboci), obliczane wg. teorii pyt cienkich, potocznie s nazywane pytami c) pytyoredniejgrubociigrubeh>(1/51/8)lobliczanewg.b. zoonych teorii lub modelowane jako ukady 3D Podstawowe definicje 55 A. Cicio 2007 55 Zaoenia upraszczajce Pytycienkie(zwanedalejpytami)obliczasiwprowadzajcnastpujce uproszczenia (hipotezy Kirchhoffa): zaoenie o prostych normalnych: odcinek prostopady do paszczyzny rodkowej (pionowy) , po odksztaceniu pozostaje rwnie prostopady do tej powierzchni poszczeglne poziome warstwy ,nie oddziaywaj na siebie tj. naprenia normalne w kierunkugruboci pyty s rwne zero, powierzchnia rodkowa nie doznaje adnych odksztace naprenia w paszczynie rodkowej s zerowe(porwnajo obojtna belki)pyta zginana walcowo powierzchnia grnapowierzchniarodkowapowierzchniadolnaq PhYZXanbpowierzchniarodkowano, t = 0o, t = 0oz= 056 A. Cicio 2007 56 Zwizki ugicie pyty - przemieszenie Wyprowadzenie zwizku geometrycznego pomidzy ugiciem pyty w oraz przemieszczenia poziomego u (v) na przykadzie punktu B lecego w odlegoci z pod powierzchni rodkowAXZBBAhwzz||w cx cwtgx| |c~ =cBuu tg z | = tgwx|c=cxwu zc= cPodobnie dla kierunku Y i przemieszczenia v: ywv zc= cznak minus bo: przemieszczenie u (v) przeciwne do osi X (Y) (9a) (9b) 57 A. Cicio 2007 57 Zwizki geometryczne: przemieszczenie - odksztacenie Zwizki Cauchego (patrz 3a, 3b) xuxcc=cyvycc=c1 1 xyv ux y | |c c= + = +c cXYdxdy|1|2uvuu dxxc+cvv dxxc+cuvdyy+ ccvv dyyc+cdx1 wyraamy zwizki Cauchego przez funkcj ugicia pyty w(x,y) wg. zalenoci 9a, 9b (rniczkujemy rwnania 9a,9b i podstawiamy do 10a,10b)22xwzxcc= c22ywzycc= c22xyzxwyc= cc(10a) (10b) (11) 58 A. Cicio 2007 58 Zwizki fizyczne: odksztacenie - naprenie Zgodnie z zaoeniami naprenia w kierunku gruboci oz =0, dlatego (porwnaj 5): ( )( )111,2(1 )x x yy y xyx xyEEEGGc o voc o vo tv= = = =( )( )2211,2(1 )x x yy y xxy yx yxEEEG Go c vcvo c vcvt t v= += += = =+(12) podstawiajc zwizki geometryczne (11) do zwizkw fizycznych (12) otrzymujemy wzory na naprenia w powierzchni rodkowej: 2 22 2 22 22 2 22 2 2112(1 ) 1xyxy yxEzx yEzy xEz Ezxy xy xw www w wywo vvo vvt tv v| | c c= + | c c\ .| | c c= + | c c\ .| | c c c= = + = |+ cc cc + cc\ .(13a) 59 A. Cicio 2007 59 Naprenia wprzekroju pyty rozpatrujemy szecienny element o wymiarach dx, dy, h, wycity z pyty na jego cianki dziaaj naprenia normalne ox, oy oraz styczne txy = tyx

zmieniajce si linowo wzdu wysokoci (na wysokoci powierzchni rodkowej s rwne 0), dodatkowo uwzgldniamy naprenia od cinania txz oraz txz, ktre pominito przy okrelaniu odksztaconej pyty (przy wyznaczaniu warunkw rwnowagi trzeba je uwzgldni), wzory na naprenia od cinania wyprowadzone na podstawie rwnania rwnowagi wynosz: ZqPXY+htyztxztyxtxyoyox2 2 3 32 3 22 2 3 32 3 21 2 81 2 8xz zxyz zyw ww wEz z hx xyEz z hy x yt tvt tv| || | c c= = + | | c cc\ .\ .| || | c c= = + | | c c c\ .\ .(13b) 60 A. Cicio 2007 60 Sprowadzenie napre do si wew. w powierzchni rodkowej W obliczeniach pyty wygodnie jest posugiwa si jednostkowymi siami wewntrznymi dziaajcymi w powierzchni rodkowej (porwnaj siy wewntrzne w osi prta), odniesione do jednostki szerokoci pyty Ax=Ay=1 [m], siy wewntrzne wyznaczane s poprzez redukcj napre do powierzchni rodkowej: qPXYZhmxymyxmyqyqxmxZqPXY+htyztxztyxtxyoyox/ 2/ 2x xzhhz d q z t= }/ 2/ 2hhy yz dz m o= }/ 2/ 2hhx xz dz m o= }/ 2/ 2xy yxhxyhz m dz m t= = }/ 2/ 2y yzhhz d q z t= }(14) 61 A. Cicio 2007 61 Jednostkowe siy wew. w powierzchni rodkowej Wzory na jedn. siy wew. w paszczynie rodkowej jako funkcja ugicia, gdzie D- pytowa sztywno zginania pyty (porwnaj EJ dla belki) -na podstawie (14): qPXYZhmxymyxmyqyqxmx112 22 22 22 2xymmw wx yw wy xDDvv| | c c= + |c c\ .| | c c= + |c c\ .2(1 )xy yxm Dwxym vc= = cc2 22 22 22 2xyqqw wx x yw wy x yDD| | c c c= + |c c c\ .| | c c c= + |c c c\ .3212(1 )DEhv=(15) 62 A. Cicio 2007 62 Rwnanie biharmoniczne pyty Rwnanie rniczkowe powierzchni odksztaconej pyty uzyskuje si formuujc warunki rwnowagi jednostkowych si wew.: ZXYdxdyqyqyqxqxmyxmxymymxmxmymxymyxpowierzchnia rodkowa''xyxxy xyyx yyxm mmmdxxmdy myc= +cc= +c''x xxxy ym mmmdxmdyymxc= +cc= +c' 'x xyxy yq q qqqdx dyyqxcc= + = +c c0, 0, 0x y zM M P = = = 4 4 44 2 2 4( , )2w w w pxyx x y y Dc c c+ + =c c c c4( , )( , )pxywxyDV =(16) rwnanie Zofii Germain 1811 r. w odrnieniu od rwnania biharmonicznego tarczy, ktre jest rwnaniem nierozdzielnoci, rwnanie (16) jest rwnaniem rwnowagi porwnaj rwnie rniczkowe osi odksztaconej belki 4 4 444 2 2 42x x y yc c cV= + +c c c c63 A. Cicio 2007 63 Uwagi dot. rozwizywania pyt, warunki brzegowe Rozwizanie analityczne pyty sprowadza si do wyznaczenia funkcji ugicia pyty w(x,y), na podstawie rwnania Zofii Germain(16) oraz zadanych warunkw brzegowych (podparcia i obcienia pyty). Podobnie jak w przypadku rwnania biharmonicznego tarczy, wyznaczenie rozwizania rwnanie biharmonicznegopyty dla zadanych warunkw brzegowych, w oglnym przypadku jest praktycznie niemoliwe (stosuje si pewne przyblione metody numeryczne np. metod rnic skoczonych, metod elementw skoczonych etc.). W przypadku szczeglnym: pyty walcowo zginanej, dla ktrej funkcja ugicia jest funkcj jednej zmiennej np. w(x) i nie zaley od y, rwnanie (16) sprowadza si do postaci rniczkowego zwyczajnego (16a), ktre rozwiza monapoprzez 4-krotne jego cakowanie z wyznaczeniem staych cakowania z warunkw brzegowych: YXw=w(x)abpyta walcowozginana44( ) dw pxdx D= po wyznaczeniu funkcji ugicia pyty w(x,y) , mona ze wzorw (15) wyznaczy siy wew. lub ze wzorw (13) naprenia, a ze zwizkw fizycznych (12) odksztacenia; w kocu mona obliczyprzemieszczenia ze zwizkw geometrycznych (10). porwnaj rwnanie osi odksztaconej belki (16a) 64 A. Cicio 2007 64 Warunki brzegowe podparcia pyty brzeg swobodny (nieodparty) nieobcizony wzdu X: 2 22 20xw wxmyvc c= + =c c oraz dwa warunki:qx=0 oraz mxy=0.Poniewa dla wyznaczenia w(x,y) potrzebne s tylko dwa warunki, ostatnie z wymienionych sprowadza si do jednego , zamieniajc mxy na zastpcze siy cinajce, co daje jeden warunek:3 33 2(2 ) 0xqw wy yxvc c= + =c cc brzeg swobodnie podparty (przegubowo)np. wzdu Y: 2 22 20yw wymxvc c= + =c c0 w= brzeg cakowicie utwierdzonywzdu Y: 0wxc=c0 w=65 A. Cicio 2007 65 Zjawisko unoszenia naroy pyty prostoktnej sw. podparcie na 4 krawdziachdxdyxymdyyxmdxxydxdyxymyxmdxdyx yx ym m + naroe pytybrzeg pyty xdx dxyxyxmm dx dxxc| |+ |c\ . yxmdxyyxmyxyxmq dx dxxc=cyxyxmm dxxc+c66 A. Cicio 2007 66 Zjawisko unoszenia naroy pyty prostoktnej c.d. sw. podparcie na 4 krawdziachsw. podparcie na 3 krawdziachutwierdzenieAsyAsx0.3 ly0.3 lylx> lyly0.2 lyZbrojenie naroy:zbrojenie dolnezbrojenie grneZbrojenie pasma rodkowego:Wymagania normowedolne67 A. Cicio 2007 67 Siy wewntrzne w pycie i w ruszcie belkowym (porwnanie) qPXYZhmxymyxmyqyqxmx11ZXyMTz1-1YxMX2-2YZTzyMXMkolor czerwony: momenty zginajce kolor zielony: momenty skrcajce kolor niebieski:siy cinajce 1 x1 mPXYPXY1-12-2 jednostkowe siy wew.:[kNm/m], [kN/m] siy wew.:[kNm],[kN] 68 A. Cicio 2007 68 Wykorzystana literatura Brunarski L., Kwieciski M.: Wstp do teorii sprystoci i plastycznoci, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej W-wa 1984 r. Gabryszewski Z.: Teoria sprystoci i plastycznoci , Wydawnictwo PolitechnikiWrocawskiej Wrocaw 1987 r. COMMAS core course: C7 - Computational Mechanics of Structures :http://www.uni-stuttgart.de/ibs/teaching/commas/c7/ CE 538/561 The University of Tennessee:Finite Element Applications in Civil Engineering: http://www.engr.utk.edu/~drumm/ce538ce561/ Vlado A. Lubarda: Elastoplasticity Theory, CRC Press, , Boca Raton London, New York Washington, D.C. 2002