Método Inductivo

El MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización delcomportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que pormedio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones.Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógicapodría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicaciónse considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso General

Casos Particulares

Razonamiento Inductivo

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 01

¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

Resolución:

12

3

18

19

20

Analizando por partes, tenemos:

Caso 1→ 1 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 12

1

Caso 2

1

2

→ 4 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 22

Caso 31

2

3

→ 9 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 32

En el problema:

12

3

1819

20

→ 202 = 400 𝑡𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

Ejemplo 02

Hallar la suma de cifras del resultado:

𝐸 = 999…995101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

2

952 = 9025 → 1 𝑥 9 + 7

Resolución:

9952 = 990025 → 2 𝑥 9 + 7

99952 = 99900025 → 3 𝑥 9 + 7

999952 = 9999000025 → 4 𝑥 9 + 7

999…995100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

2 = → 100 𝑥 9 + 7 = 907

Suma de CifrasResultado

Ejemplo 03

Calcular el valor de:

𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯40 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠

Resolución:1 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1

2 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2

3 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4

4 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8

40 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯

2 1 − 1

2 2 − 1

2 3 − 1

2 4 − 1

2 40 − 1

Ejemplo 04

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “SEBASTIAN”?

Resolución:

SEE

BB BAA AA

SS SS STTTTT T

II IIII IA AA AAAA A

N N NNN NNN N

Cuando la palabra tiene:

S: 1 letra

S → 1 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 0

SE: 2 letras

S → 2 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 1

E E

SEB: 3 letras

S → 4 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 2

E EB B B

SEBA: 4 letras

S → 8 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 3

E EB B B

A A A A-1

-1

-1

-1

En el Problema:SEBASTIAN: 9 letras

2 8 = Formas

Observación:

Debemos de considerar que por el hecho de cumplirse la fórmula hasta el valor n = 3 y n = 4; o hasta n = 50, entonces se va a cumplir para todo entero positivo n, pues podríamos cometer errores, como en este otro caso siguiente:

¿Es cierto que 22𝑛+ 1 es un NUMERO PRIMO, para todo entero 𝑛 ≥ 1 ?

Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n, nos encontramos con que:

Para n = 1: 221+ 1 = 5 es un número primo

Para n = 2: 222+ 1 = 17 es un número primo

Para n = 3: 223+ 1 = 257 es un número primo

Para n = 4: 224+ 1 = 65537 es un número primo

Donde 5, 17, 257, 65537 son efectivamente números primos; es decir que son números enteros que no son divisibles por ningún número entero, excepto por sí mismos y por la unidad 1.

Si concluyéramos de aquí, que la expresión dada (22𝑛+1) resulta un número primo, estaríamos

cometiendo un error, pues cuando n = 5:

22𝑛+ 1 = 22

5+ 1 = 4294967297 NO ES PRIMO

Pues 4294967297 es divisible por 641; en efecto 4294967297 = 641x6700417

Entonces la manera correcta de inducción es hacer cumplir lo siguiente:

Sea 𝑛 ∈ ℕ; donde si se cumple:I. n = 1II. n = k … (Hipótesis) III. n = k+1 … (Tesis)

Si el caso (III) se cumple a partir del caso (II); entonces la inducción será completada

Ejemplo 02

Probar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, satisface la fórmula:

12 + 22 + 32 + 42 +⋯+ 𝑛2 =𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2

6; ∀𝑛 ∈ ℕ

Resolución:

Sea: 𝑆 = 𝑛 ∈ ℕ𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 12 + 22 + 32 + 42 +⋯+ 𝑛2 =𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6⊂ℕ

Probaremos en base al principio de inducción matemática, que el subconjunto 𝑆 ⊂ ℕ, coincide con todo ℕ, es decir 𝑆 = ℕ. Veamos que:

𝑛 = 1 ∈ 𝑆:

12 = 1 =(1) 1 + 1 2 1 + 1

6 Asumiendo la HIPOTESIS DE INDUCCIÓN que 𝑛 ∈ 𝑆, es decir que para n se cumple la fórmula

12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 =𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6Trataremos de implicar que 𝑛 + 1 ∈ 𝑆, es decir que probaremos que:

12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 + 𝑛 + 1 2 =(𝑛 + 1) 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1

6

En efecto,12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 + 𝑛 + 1 2 = 12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 + 𝑛 + 1 2

=𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6+ 𝑛 + 1 2 = 𝑛 + 1

𝑛 2𝑛 + 1 + 6 𝑛 + 1

6= 𝑛 + 1

2𝑛2 + 7𝑛 + 6

6

=1

6𝑛 + 1 𝑛 + 2 2𝑛 + 3 =

1

6𝑛 + 1 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1

Así observamos que (n + 1) ∈ 𝑆.