teoria dos grafos aula 1 - introdução ao...
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Teoria dos grafosAula 1 - Introducao ao curso
Guilherme Oliveira Mota
Universidade Federal do ABC - UFABC
Sala 530-2 - 5o andar - Torre [email protected]
Mota Teoria dos grafos [email protected] 1 / 31
Grafos
Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo
: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo
: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas
, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices
, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas
, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices
, orientacao nas arestas
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Grafos
Grafo G : Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos
Grafo G = (V ,E ): estrutura matematica onde V e o conjunto devertices e E ⊆
(V2
)e o conjunto de arestas
Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vertices, pesosnas arestas, pesos nos vertices, orientacao nas arestas
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Grafos
Vertices podem representar pessoas, animais, computadores, fabricas,antenas ...
Arestas podem representar interferencias, relacoes sociais, estradas,conexoes ...
Grafos sao utilizados em areas como Computacao, Ciencias Sociais,Bioinformatica, Linguıstica ...
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Grafos
Vertices podem representar pessoas, animais, computadores, fabricas,antenas ...
Arestas podem representar interferencias, relacoes sociais, estradas,conexoes ...
Grafos sao utilizados em areas como Computacao, Ciencias Sociais,Bioinformatica, Linguıstica ...
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Grafos
Vertices podem representar pessoas, animais, computadores, fabricas,antenas ...
Arestas podem representar interferencias, relacoes sociais, estradas,conexoes ...
Grafos sao utilizados em areas como Computacao, Ciencias Sociais,Bioinformatica, Linguıstica ...
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Grafos
Internet e World Wide Web (WWW)
Redes sociais de amizade
Redes sociais profissionais
Redes de relacionamentos entre empresas
Redes neurais
Redes celulares e metabolicas
Redes de interacao entre genes
Cadeias alimentares
Redes de distribuicao (logıstica, vasos sanguıneos...)
Redes de colaboracao entre pesquisadores
Numero de Erdos
...
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Grafos
Internet e World Wide Web (WWW)
Redes sociais de amizade
Redes sociais profissionais
Redes de relacionamentos entre empresas
Redes neurais
Redes celulares e metabolicas
Redes de interacao entre genes
Cadeias alimentares
Redes de distribuicao (logıstica, vasos sanguıneos...)
Redes de colaboracao entre pesquisadores
Numero de Erdos
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Grafos
Grafos pequenos podem ser facilmente visualizados
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Grafos
Em grafos grandes a situacao pode ser bem diferente
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Grafos
Em grafos grandes a situacao pode ser bem diferente
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Grafos
Impossıvel analisar visualmente a estrutura do grafo.O que fazer?
Uso de recursos computacionaisUso de tecnicas sofisticadas envolvendo: combinatoria, probabilidade,algebra ...
Figura: Pesquisadores de Ciencias exatas
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Grafos
Impossıvel analisar visualmente a estrutura do grafo.O que fazer?
Uso de recursos computacionaisUso de tecnicas sofisticadas envolvendo: combinatoria, probabilidade,algebra ...
Figura: Pesquisadores de Ciencias exatas
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Grafos
Impossıvel analisar visualmente a estrutura do grafo.O que fazer?
Uso de recursos computacionaisUso de tecnicas sofisticadas envolvendo: combinatoria, probabilidade,algebra ...
Figura: Pesquisadores de Ciencias exatas
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Objetivos
Conhecer de forma profunda os principais aspectos da Teoria dos GrafosPara isso, vamos entender:
Conceitos basicos
Alguns algoritmos importantes
Propriedades estruturais
Classes importantes de grafos
Resultados classicos em Teoria dos Grafos
Resultados modernos em Teoria dos Grafos
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Outros objetivos
Aplicar diversas tecnicas de provas em problemas envolvendo grafos
Adquirir a habilidade de provar resultados com diferentes tecnicas
Acelerar o amadurecimento matematico
Ter contato com diversas vertentes da Teoria dos Grafos
Ver demonstracoes elegantes e importantes
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Informacoes
http://professor.ufabc.edu.br/~g.mota/courses/grafos-2018-q3/
Verificar o site com frequencia!
Listas ficarao disponıveis no site
TPI (3-1-4)
Duvidas: [email protected]
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Informacoes
http://professor.ufabc.edu.br/~g.mota/courses/grafos-2018-q3/
Verificar o site com frequencia!
Listas ficarao disponıveis no site
TPI (4-0-4)
Duvidas: [email protected]
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Informacoes
http://professor.ufabc.edu.br/~g.mota/courses/grafos-2018-q3/
Verificar o site com frequencia!
Listas ficarao disponıveis no site
TPI (4-0-4)
Duvidas: [email protected]
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Sobre as aulas
Aulas serao dadas no quadro
Lembrarei alguns conceitos vistos em aulas passadas sempre quenecessario
Perguntas sao sempre bem-vindas! Nao fique sem entender algo porter deixado de fazer uma pergunta
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Pre-requisitos
O que e necessario saber para ir bem no curso?Matematica DiscretaProcessamento da InformacaoAlgoritmos e Estruturas de Dados
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Pre-requisitos
O que e necessario saber para ir bem no curso?Implicacoes logicasTecnicas de prova (direta, inducao, contrapositiva, contraexemplominimal, contradicao, construtiva, analise de casos, ...)Operacoes e conceitos sobre conjuntosCombinatoria basica
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Aula de hoje
Demonstracao / Prova
Teorema
Proposicao
Lema
Corolario
Tecnicas de provas
Exemplos de provas
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Aula de hoje
Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.
Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.
Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.
Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.
Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.
A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).
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Aula de hoje
Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.
Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.
Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.
Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.
Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.
A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).
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Aula de hoje
Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.
Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.
Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.
Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.
Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.
A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).
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Aula de hoje
Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.
Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.
Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.
Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.
Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.
A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).
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Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.
Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.
Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.
Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.
Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.
A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).
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Aula de hoje
Demonstracao / Prova: Sequencia de afirmacoes precisas quegarantem que um dado resultado e verdadeiro.
Teorema: Uma afirmacao em que ha uma demonstracao para ela.
Proposicao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultadossimples.
Lema: Um resultado que e utilizado para provar resultados maiores.
Corolario: Um teorema que e consequencia de outro resultado.
A⇔ B: Para provar A⇔ B, dividimos a demonstracao em duaspartes. A primeira prova “a ida” (A⇒ B) e a segunda prova “avolta” (B ⇒ A).
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Metodos de provas
Direta: Usamos uma sequencia de deducoes ate que o resultado sejaprovado.
Contradicao: Supomos que o que se quer provar e falso e obtemosuma contradicao.
Contrapositiva: Para provar resultados do tipo A⇒ B. Supomosque B e falso e provamos que nesse caso A e falso.
Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado e falso econsideramos uma estrutura de menor “tamanho” possıvel em que oresultado e falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existeuma estrutura menor ainda em que o resultado e falso, obtendo umacontradicao.
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Metodos de provas
Direta: Usamos uma sequencia de deducoes ate que o resultado sejaprovado.
Contradicao: Supomos que o que se quer provar e falso e obtemosuma contradicao.
Contrapositiva: Para provar resultados do tipo A⇒ B. Supomosque B e falso e provamos que nesse caso A e falso.
Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado e falso econsideramos uma estrutura de menor “tamanho” possıvel em que oresultado e falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existeuma estrutura menor ainda em que o resultado e falso, obtendo umacontradicao.
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Metodos de provas
Direta: Usamos uma sequencia de deducoes ate que o resultado sejaprovado.
Contradicao: Supomos que o que se quer provar e falso e obtemosuma contradicao.
Contrapositiva: Para provar resultados do tipo A⇒ B. Supomosque B e falso e provamos que nesse caso A e falso.
Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado e falso econsideramos uma estrutura de menor “tamanho” possıvel em que oresultado e falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existeuma estrutura menor ainda em que o resultado e falso, obtendo umacontradicao.
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Metodos de provas
Direta: Usamos uma sequencia de deducoes ate que o resultado sejaprovado.
Contradicao: Supomos que o que se quer provar e falso e obtemosuma contradicao.
Contrapositiva: Para provar resultados do tipo A⇒ B. Supomosque B e falso e provamos que nesse caso A e falso.
Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado e falso econsideramos uma estrutura de menor “tamanho” possıvel em que oresultado e falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existeuma estrutura menor ainda em que o resultado e falso, obtendo umacontradicao.
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Metodos de provas
Inducao: Utilizado para provar que resultados sobre os inteirospositivos sao verdadeiras. Prova-se que o resultado e valido paran = 1, e prova-se que se o resultado e valido para 1, 2, . . . , n − 1,entao o resultado e valido para n.
Construtiva: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura exibindo a estrutura desejada.
Probabilıstica: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura atraves de tecnicas probabilısticas. Apesar de garantir aexistencia da estrutura, nao mostra como construı-la.
Analise de casos: Uma certa informacao e particionada em todos oscasos possıveis, e cada um desses casos e demonstradoseparadamente.
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Metodos de provas
Inducao: Utilizado para provar que resultados sobre os inteirospositivos sao verdadeiras. Prova-se que o resultado e valido paran = 1, e prova-se que se o resultado e valido para 1, 2, . . . , n − 1,entao o resultado e valido para n.
Construtiva: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura exibindo a estrutura desejada.
Probabilıstica: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura atraves de tecnicas probabilısticas. Apesar de garantir aexistencia da estrutura, nao mostra como construı-la.
Analise de casos: Uma certa informacao e particionada em todos oscasos possıveis, e cada um desses casos e demonstradoseparadamente.
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Metodos de provas
Inducao: Utilizado para provar que resultados sobre os inteirospositivos sao verdadeiras. Prova-se que o resultado e valido paran = 1, e prova-se que se o resultado e valido para 1, 2, . . . , n − 1,entao o resultado e valido para n.
Construtiva: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura exibindo a estrutura desejada.
Probabilıstica: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura atraves de tecnicas probabilısticas. Apesar de garantir aexistencia da estrutura, nao mostra como construı-la.
Analise de casos: Uma certa informacao e particionada em todos oscasos possıveis, e cada um desses casos e demonstradoseparadamente.
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Metodos de provas
Inducao: Utilizado para provar que resultados sobre os inteirospositivos sao verdadeiras. Prova-se que o resultado e valido paran = 1, e prova-se que se o resultado e valido para 1, 2, . . . , n − 1,entao o resultado e valido para n.
Construtiva: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura exibindo a estrutura desejada.
Probabilıstica: Para provar resultados de existencia de uma certaestrutura atraves de tecnicas probabilısticas. Apesar de garantir aexistencia da estrutura, nao mostra como construı-la.
Analise de casos: Uma certa informacao e particionada em todos oscasos possıveis, e cada um desses casos e demonstradoseparadamente.
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Exemplo: Prova direta
Por simplicidade vamos considerar somente numeros m e n nao negativosno teorema a seguir.
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.
1 Suponha que m e n sao pares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Podemos escrever, portanto m + n = 2r + 2s = 2(r + s).
4 Logo, por definicao, m + n e par.
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Exemplo: Prova direta
Por simplicidade vamos considerar somente numeros m e n nao negativosno teorema a seguir.
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Suponha que m e n sao pares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Podemos escrever, portanto m + n = 2r + 2s = 2(r + s).
4 Logo, por definicao, m + n e par.
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Exemplo: Prova direta
Por simplicidade vamos considerar somente numeros m e n nao negativosno teorema a seguir.
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Suponha que m e n sao pares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Podemos escrever, portanto m + n = 2r + 2s = 2(r + s).
4 Logo, por definicao, m + n e par.
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Exemplo: Prova direta
Por simplicidade vamos considerar somente numeros m e n nao negativosno teorema a seguir.
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Suponha que m e n sao pares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Podemos escrever, portanto m + n = 2r + 2s = 2(r + s).
4 Logo, por definicao, m + n e par.
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Exemplo: Prova direta
Por simplicidade vamos considerar somente numeros m e n nao negativosno teorema a seguir.
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Suponha que m e n sao pares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Podemos escrever, portanto m + n = 2r + 2s = 2(r + s).
4 Logo, por definicao, m + n e par.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.
1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m eımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contrapositiva
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Vamos provar por contrapositiva que se m + n e ımpar, entao m e
ımpar ou n e ımpar.
2 Suponha que m + n e ımpar.
3 Entao existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Se n e ımpar, entao o resultado vale.
5 Assuma que n e par.
6 Entao existe inteiro r tal que n = 2r .
7 Por (3), temos m = 2k + 1− n = 2k + 1− 2r = 2(k − r) + 1.
8 Como k − r e inteiro, entao concluımos que m e ımpar.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.
1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contradicao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Por contradicao, suponha que m e n sao pares e que m + n e ımpar.
2 Por definicao, existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
3 Tambem por definicao, existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Logo, 2r + 2s = 2k + 1, ou seja, 2(r + s − k) = 1.
5 Mas isso e uma contradicao, pois r + s − k e par e 1 e ımpar.
6 Entao m + n deve ser par.
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.
1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Seja m o menor numero par tal que m + n e ımpar.
2 Note que m ≥ 2 (caso m = 0, temos m + n par).
3 Existe inteiro k tal que m + n = 2k + 1.
4 Fazendo m′ = m − 2, temos quem′ + n = m − 2 + n = 2k + 1− 2 = 2(k − 1) + 1
5 Entao m′ e um numero par menor que m com m′ + n ımpar.
6 Como m′ < m, temos uma contradicao com (1).
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.
1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .
5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.
Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.
Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k.Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .
Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).
Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r
= n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).
Logo, n + m e par.
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Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2
= 2k + 2 = 2(k + 1).
Logo, n + m e par.
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Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2
= 2(k + 1).
Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por inducao
Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).
Logo, n + m e par.
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Teorema
Se m e n sao numeros pares nao negativos, entao m + n e par.
Demonstracao.1 Sejam m e n pares. Existem inteiros r e s tais que m = 2r e n = 2s.
2 Vamos provar por inducao em r que m + n e par.
3 Base: r = 1. Temos m = 2. Assim, m + n = 2 + 2s = 2(s + 1) e par.
4 Hipotese: Suponha n + m par, onde m = 2r ′, para 1 ≤ r ′ < r .5 Passo indutivo: seja m = 2r , com r > 1.
Note que m = 2r = 2r − 2 + 2 = 2(r − 1) + 2.Por hipotese de inducao, n + 2(r − 1) e par.Entao n + 2(r − 1) = 2k para algum inteiro k .Portanto n + m = n + 2r = n + 2(r − 1) + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1).Logo, n + m e par.
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Exemplo: Prova por analise de casos
Teorema
Se p e um numero primo maior que 3, entao p2 − 1 e divisıvel por 3.
Demonstracao.
Temos tres casos a considerar, dependendo do resto da divisao de p por 3:
1 Resto 0. Entao p = 3k, o que nao e possıvel pois p nao seria primo.
2 Resto 1. Entao p = 3k + 1 ep2 − 1 = (3k + 1)2 − 1 = 9k2 + 6k = 3(3k2 + 2k) e de fato divisıvelpor 3.
3 Resto 2. Entao p = 3k + 2 ep2 − 1 = 9k2 + 12k + 3 = 3(3k2 + 4k + 1) e de fato divisıvel por 3.
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Exemplo: Prova por analise de casos
Teorema
Se p e um numero primo maior que 3, entao p2 − 1 e divisıvel por 3.
Demonstracao.
Temos tres casos a considerar, dependendo do resto da divisao de p por 3:
1 Resto 0. Entao p = 3k, o que nao e possıvel pois p nao seria primo.
2 Resto 1. Entao p = 3k + 1 ep2 − 1 = (3k + 1)2 − 1 = 9k2 + 6k = 3(3k2 + 2k) e de fato divisıvelpor 3.
3 Resto 2. Entao p = 3k + 2 ep2 − 1 = 9k2 + 12k + 3 = 3(3k2 + 4k + 1) e de fato divisıvel por 3.
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Exemplo: Prova por analise de casos
Teorema
Se p e um numero primo maior que 3, entao p2 − 1 e divisıvel por 3.
Demonstracao.
Temos tres casos a considerar, dependendo do resto da divisao de p por 3:
1 Resto 0. Entao p = 3k, o que nao e possıvel pois p nao seria primo.
2 Resto 1. Entao p = 3k + 1 ep2 − 1 = (3k + 1)2 − 1 = 9k2 + 6k = 3(3k2 + 2k) e de fato divisıvelpor 3.
3 Resto 2. Entao p = 3k + 2 ep2 − 1 = 9k2 + 12k + 3 = 3(3k2 + 4k + 1) e de fato divisıvel por 3.
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Exemplo: Prova por analise de casos
Teorema
Se p e um numero primo maior que 3, entao p2 − 1 e divisıvel por 3.
Demonstracao.
Temos tres casos a considerar, dependendo do resto da divisao de p por 3:
1 Resto 0. Entao p = 3k, o que nao e possıvel pois p nao seria primo.
2 Resto 1. Entao p = 3k + 1 ep2 − 1 = (3k + 1)2 − 1 = 9k2 + 6k = 3(3k2 + 2k) e de fato divisıvelpor 3.
3 Resto 2. Entao p = 3k + 2 ep2 − 1 = 9k2 + 12k + 3 = 3(3k2 + 4k + 1) e de fato divisıvel por 3.
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Exemplo: Prova por analise de casos
Teorema
Se p e um numero primo maior que 3, entao p2 − 1 e divisıvel por 3.
Demonstracao.
Temos tres casos a considerar, dependendo do resto da divisao de p por 3:
1 Resto 0. Entao p = 3k, o que nao e possıvel pois p nao seria primo.
2 Resto 1. Entao p = 3k + 1 ep2 − 1 = (3k + 1)2 − 1 = 9k2 + 6k = 3(3k2 + 2k) e de fato divisıvelpor 3.
3 Resto 2. Entao p = 3k + 2 ep2 − 1 = 9k2 + 12k + 3 = 3(3k2 + 4k + 1) e de fato divisıvel por 3.
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Exemplo: Prova por construcao
Teorema
Dado um grafo com 5 vertices contendo arestas entre todos os pares devertices, existe uma forma de colorir as arestas desse grafo com duas coresde modo que nao existem triangulos monocromaticos.
Demonstracao.
O grafo a seguir satisfaz a afirmacao.
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Exemplo: Prova por construcao
Teorema
Dado um grafo com 5 vertices contendo arestas entre todos os pares devertices, existe uma forma de colorir as arestas desse grafo com duas coresde modo que nao existem triangulos monocromaticos.
Demonstracao.
O grafo a seguir satisfaz a afirmacao.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1
= 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1
= 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1
= 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1
= 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1
, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Ida: Se m e n sao ımpares, entao mn e ımpar.
1 Suponha que m e n sao ımpares.
2 Entao existem inteiros r e s tais que m = 2r + 1 e n = 2s + 1.
3 Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1, quee ımpar.
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.
1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.
1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .
Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).
2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.
Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.
1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.
1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .
Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).
2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.
Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.
1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.
1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .
Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).
2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.
Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.
1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.
1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .
Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).
2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.
Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.
1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.
1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .
Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).
2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.
Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).
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Exemplo: Prova“se e somente se”
Teorema
Os inteiros m e n sao ambos ımpares se, e somente se, mn e ımpar.
Demonstracao.Volta: Se mn e ımpar, entao m e n sao ımpares.
1 Provaremos por contrapositiva que se m ou n sao pares, entao mn epar.
1 Se m e par, entao existe inteiro r tal que m = 2r .
Entao mn = (2r)n = 2(rn) e par (pois rn e inteiro).
2 Se n e par, entao existe inteiro s tal que n = 2s.
Entao mn = m(2s) = 2(ms) e par (pois ms e inteiro).
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Mais inducao
Se n ∈ N, entao n2 + n + 41 e primo?
Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que nao e primo.
Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito?
Nao vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale paratodos os numeros n < x .
A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos e n2?
Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 e1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas e possıvel que seja apenas umacoincidencia.
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Mais inducao
Se n ∈ N, entao n2 + n + 41 e primo?
Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que nao e primo.
Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito?
Nao vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale paratodos os numeros n < x .
A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos e n2?
Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 e1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas e possıvel que seja apenas umacoincidencia.
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Mais inducao
Se n ∈ N, entao n2 + n + 41 e primo?
Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que nao e primo.
Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito?
Nao vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale paratodos os numeros n < x .
A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos e n2?
Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 e1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas e possıvel que seja apenas umacoincidencia.
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Mais inducao
Se n ∈ N, entao n2 + n + 41 e primo?
Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que nao e primo.
Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito?
Nao vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale paratodos os numeros n < x .
A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos e n2?
Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 e1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas e possıvel que seja apenas umacoincidencia.
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Mais inducao
Se n ∈ N, entao n2 + n + 41 e primo?
Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que nao e primo.
Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito?
Nao vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale paratodos os numeros n < x .
A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos e n2?
Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 e1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas e possıvel que seja apenas umacoincidencia.
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Mais inducao
Se n ∈ N, entao n2 + n + 41 e primo?
Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que nao e primo.
Se n e inteiro positivo, entao 991n2 + 1 nao e quadrado perfeito?
Nao vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale paratodos os numeros n < x .
A soma dos n primeiros numeros ımpares positivos e n2?
Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 e1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas e possıvel que seja apenas umacoincidencia.
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.
Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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Mais uma prova por inducao
Teorema
A soma dos n primeiros ımpares positivos e n2.
Demonstracao.
Vamos provar por inducao em n.
Base: quando n = 1, o primeiro natural ımpar e 1, que e igual a 12.
Hipotese: a soma dos k primeiros naturais ımpares e k2, paraqualquer 1 ≤ k < n.
Passo: vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ımpares(1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1)) e n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipotese de inducao.Entao
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = (n − 1)2 + (2n − 1)= n2 − 2n + 1 + 2n − 1 = n2
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