teoria de juegos estaticos

Soledad Cabrera C

Cooperativos

No cooperativos

Tipos de juegos

Soledad Cabrera C

Jugadores

Pagos

Estrategias

Terminología Básica

Soledad Cabrera C

Forma extensiva

Forma estratégica

Formas de representar un juego

Soledad Cabrera C

Nodo: punto del juego donde el jugador ha de

tomar una decisión

Set de información: conjunto de nodos de decisión para el mismo jugador

Forma extensiva

Soledad Cabrera C

Condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo set de información:

Los conjuntos de información del jugador i contienen sólo nodos de decisión del jugador i

Cada nodo de decisión del jugador i está contenido en uno y sólo uno de los conjuntos de información de ese jugador

En cada uno de los nodos del conjunto de información, deben estar disponibles las mismas acciones

Forma extensiva

Soledad Cabrera C

Ejemplo:

Alexandra y Sebastián realizan un juego con las siguientes características: Cada uno de ellos puede elegir entre apostar dinero o pasar en cada jugada. El juego se realiza en forma secuencial, la apuesta inicial es de $200 y el jugador que decide apostar posteriormente debe hacerlo por $200 adicionales a la apuesta anterior. Un jugador que pasa en una determinada jugada no puede volver apostar. Cada jugador cuenta con $600 y debe pagar la última apuesta realizada. Gana $500, el último jugador que apuesta. Si ningún jugador apuesta se llevan $250 cada uno

Forma extensiva

Soledad Cabrera C

Ejemplo:

Los jugadores 1 y 2 depositan de manera simultánea una moneda de $500 sobre una mesa. Si resultan 2 caras o 2 cruces , el jugador 1 recoge las 2 monedas, mientras que si hay un cara y una cruz, el jugador 2 se lleva las dos monedas

Forma extensiva

Soledad Cabrera C

C D

A a b c d

B e f g h

Jugador 2Ju

gado

r 1

Forma estratégica

Soledad Cabrera C

Ejemplo:

En un concurso de televisión dos concursantes han conseguido conjuntamente, en la primera parte del concurso, la cantidad de $5000. En la segunda parte cada jugador debe elegir individualmente y de manera simultánea entre doble o mitad. Si un jugador elige doble y el otro mitad, el que ha elegido doble se lleva $10.000, y el otro no se lleva nada. Si los dos eligen mitad se llevan $ 2.000 cada uno (la mitad de lo conseguido en la primera parte menos $1000 que se quedan en la mesa). Si los dos eligen doble se queda todo el dinero en la mesa.

Forma estratégica

Soledad Cabrera C

Una familia está compuesta por el

padre, la madre y la hija. Un día quieren pasar la velada juntos viendo un programa de televisión. Hay tres programas emitidos simultáneamente que les interesan: película, programa juvenil, tenis. La utilidad que obtiene cada uno de los miembros de la familia por cada uno de los programas aparece en la siguiente tabla

Representación estratégica juego con 3 jugadores

Soledad Cabrera C

Padre Madre Hija

Película 2 3 2Prog.

Juvenil 1 2 3

Tenis 3 1 1

Representación estratégica de un juego con 3 jugadores

Cada uno de los miembros de la familia vota por uno de los tres programas y deciden ver todos el programa que tenga más votos, decidiendo el voto de la madre en caso de empate.

Soledad Cabrera C


P R TP 2,3,2 2,3,2 2,3,2R 2,3,2 1,2,3 3,1,1T 2,3,2 1,2,3 3,1,1

Jugadora 2

Jugador 1

Sea P la estrategia de la jugadora 3

Padre Madre Hija

Película 2 3 2

Prog. Juvenil 1 2 3

Tenis 3 1 1

Jugador 1 = padre

Jugadora 2 = madre

Jugadora 3= hija

S1 = S2 = S3 = {P, R, T}

Soledad Cabrera C


P R TP 2,3,2 1,2,3 3,1,1R 1,2,3 1,2,3 1,2,3T 2,3,2 1,2,3 3,1,1

Jugadora 2

Jugador 1

Sea R la estrategia de la jugadora 3

P R TP 2,3,2 1,2,3 3,1,1R 2,3,2 1,2,3 3,1,1T 3,1,1 3,1,1 3,1,1

Jugadora 2

Jugador 1

Sea T la estrategia de la jugadora 3

Soledad Cabrera C

Juegos estáticos v/s Juegos dinámicos

Juegos información completa v/s información incompleta

Teoría de juegos

Soledad Cabrera C

Callar Confesar

Callar 4 4 0 5

Confesar 5 0 1 1Pre

so 1

Preso 2

Juegos estáticos con información completa

Dilema del prisionero

Soledad Cabrera C

Cine Fútbol

Cine 1 2 0 0

Fútbol 0 0 2 1

Juga

dor

1

Jugadora 2


Batalla de los sexos

Soledad Cabrera C

Tipos de estrategias

Dominadas Estricta Débil

Dominantes


Soledad Cabrera C

Estrategia dominada

En el juego G = {S1,…., Sn; u1,….., un}, sean si´ y si

´´dos estratégias del jugador i. Decimos que si´ está estrictamente dominada por si

´´ cuando la desigualdad

ui(s1, ….,si-1, si´,si+1, …., sn) < ui(s1, ….,si-1, si´´,si+1, …., sn)

se cumple para toda combinación de estrategias s-i de los otros jugadores


Soledad Cabrera C

C D

A 2 3 3 2

B 3 1 2 0

jugador 2Ju

gado

r 1


Soledad Cabrera C

I CA 2,3 3,2B 3,1 2,1

Jugador 2

Juga

dor

1

Juego estático con información completa

Soledad Cabrera C

Estrategia dominada

En el juego G = {S1,…., Sn; u1,….., un}, sean si´ y si

´´dos estratégias del jugador i. Decimos que s i´ está débilmente dominada por si

´´ cuando la desigualdad

ui(s1, ….,si-1, si´,si+1, …., sn) ≤ ui(s1, ….,si-1, si´´,si+1, …., sn)

se cumple para toda combinación de estrategias s-i de los otros jugadores y para alguna de esas combinaciones se cumple de modo estricto


Soledad Cabrera C

Estrategia dominante

En el juego G = {S1,…., Sn; u1,….., un}, sean si´ una estrategia del jugador i. Decimos que si´ es dominante cuando la desigualdad

ui(s1, ….,si-1, si ,si+1, …., sn) ≤ ui(s1, ….,si-1, si´,si+1, …., sn)

se cumple para toda estrategia si de dicho jugador y para toda la combinación de estrategias s-i de los otros jugadores


Soledad Cabrera C

S T U

A 0 3 -1 1 2 7

B 1 4 4 6 3 5

C 2 0 1 -4 2 2

Juga

dor

1

jugador 2


¿Qué ocurre con este tipo de estrategias cuando existen más de dos estrategias?

Soledad Cabrera C

Mediante argumentos de dominación

a) Uso de estrategias dominantesb) Eliminación iterativa estrictac) Eliminación iterativa débil

Mediante argumentos de equilibrio

Equilibrio de Nash

Solución de un juego

Soledad Cabrera C

Pertenecen a la solución del juego todos

aquellos perfiles de estrategias en los cuales cada jugador usa una estrategia dominante

a) Uso de estrategias dominantes

Soledad Cabrera C

Dado un juego finito o infinito

G = {Si, …..,Sn; ui, ….,un},

llamamos Eliminación iterativa estricta, o bien Eliminación iterativa de estratégias estrictamente dominadas,al siguiente proceso de eliminación:

Paso 1 = de cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego inicial G. Se construye el juego reducido G1 que resulta de tal eliminación

b) Eliminación iterativa estricta (EIE)

Soledad Cabrera C

b) Eliminación iterativa estricta (EIE)

Paso 2 = de cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego reducido G1. Se construye el juego reducido G2 que resulta de tal eliminación

Y así sucesivamente……

Se acaba el proceso cuando ya no quedan estrategias que eliminar para ningún jugador

El conjunto de estrategias supervivientes de cada jugador (Sis) se

llaman estrategias iterativamente no dominadasSoledad Cabrera C

Izquierda derechaAlta 4,2 0,1

Media 1,2 2,4baja 3,3 4,2

Jugadora 2

Ju

ga

do

r 1

b) Eliminación iterativa estricta

Ejemplo

I C DA 3,1 4,2 1,2B 2,4 3,5 4,0M 1,0 2,1 0,3Ju

gado

r 1

Jugador 2

Soledad Cabrera C

Dado un juego finito o infinito

G = {Si, …..,Sn; ui, ….,un},

llamamos Eliminación iterativa débil, o bien Eliminación iterativa de Estrategias débilmente dominadas, al siguiente proceso de eliminación:

Paso 1 = de cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén débilmente dominadas en el juego inicial G. Se construye el juego reducido G1 que resulta de tal eliminación

Pasos posteriores igual a EIE.

c) Eliminación iterativa débil (EID)

Soledad Cabrera C

I C DA 3,1 4,2 1,2B 2,4 3,5 4,0M 1,0 2,1 0,3Ju

gado

r 1

Jugador 2

c) Eliminación iterativa débil

Ejemplo

Soledad Cabrera C

Eliminación iterativa Limitaciones

Requiere racionalidad

Requiere “conocimiento común” de racionalidad. Puede ser problemático con muchas interacciones

A menudo conduce a una predicción imprecisa sobre la solución del juego

A veces empíricamente jugadores eligen estrategias dominadas, contradiciendo esta teoría

Soledad Cabrera C

En el juego G = {S1, ….., Sn; u1, …., un}, decimos

que el perfil de estrategias puras

(s1*, s2*, …., si*, ….,sn*)

es un Equilibrio de Nash(EN) si para cada jugador i ui(s*1, ….,s*i-1, si* ,s*i+1, …., s*n) ≥ ui(s*1, ….,s*i-1, si ,s*i+1, …., s*n) para todo si de Si. Es decir, para cada jugador i, si* es una solución del problema max ui(s*1, ….,s*i-1, si ,s*i+1, …., s*n) donde si es la variable de decisión y pertenece a Si

Equilibrio de Nash

Soledad Cabrera C

Callar Confesar

Callar 4 4 0 5

Confesar 5 0 1 1Pre

so 1

Preso 2

Equilibrio de Nash

En un equilibrio de Nash nadie tiene incentivos unilaterales a salirse de ahí

Soledad Cabrera C

A B

C 3,1 1,3

D 0,5 4,2

Jugador 2

Ju

ga

do

r 1

Equilibrio de Nash

Puede no existir un equilibrio de

Nash en estrategias puras.

Soledad Cabrera C

A B

C 10, 10 1,2

D 2,2 3,3

Jugador 2

Ju

ga

do

r 1

Equilibrio de Nash

No necesariamente existe un único

equilibrio de Nash

Soledad Cabrera C

A B

C 4,4 0,3

D 5, 0 1,1

Jugador 2

Ju

ga

do

r 1

Equilibrio de Nash

Un equilibrio de Nash no necesariamente

es un óptimo de pareto

Soledad Cabrera C

Un equilibrio de Nash, sobrevive a la

eliminación iterada de estrategias estrictamente dominantes, pero no a la inversa

Si sólo una combinación de estrategias sobrevive a la eliminación iterada, entonces existe un único equilibrio de Nash

Relación entre el equilibrio de Nash y los anteriores conceptos de

solución

Soledad Cabrera C

a) Oligopolio de Cournot

a - bQ si bQ < aP(Q) = 0 si bQ ≥ a

Aplicaciones

Soledad Cabrera C

b) Oligopolio de Bertrand (productos

homogéneos)

0 si pi > pj

qi( pi, pj) q(pi) si pi < pj

q(pi)/2 si pi = pj

C1(q1) = cq1 C2(q2) = cq2

Aplicaciones

Soledad Cabrera C

Recordando y aplicando Nash

Estrategia de razonamiento de Tirole(1990)

pj* > pi* = c πj = 0 , πi = 0

pj* > pi* > c πj = 0 , πi > 0

pj* = pi* > c πj > 0 , πi > 0

pj* = pi* = c πj = 0 , πi = 0

Aplicaciones

Soledad Cabrera C

Oligopolio de Bertrand (Productos diferenciados)

q1(p1,p2) = a – p1 + bp2

q2(p1,p2) = a – p2 + bp1

CostosC1(q1) = cq1

C2(q2) = cq2

Y los parámetros a, b, c cumplen

0 < c < a y 0 < b < 2

Aplicaciones

SEN = p1*=p2*= (a +c)/(2-b)

Soledad Cabrera C

Estrategias mixtas

Sea Si = {si1, si

2, …., sik } el conjunto de

estrategias puras del jugador i. Llamamos estrategia mixta del jugador i a toda lotería σi= (σi

1, σi

2, ….., σik) sobre Si, es decir, a toda distribución de

probabilidad sobre Si, y por lo tanto, a toda k-pla (σi

1, σi2, ….., σi

k) cuyas componentes son no negativas y suman 1. Se interpreta σi como la estrategia consistente en jugar la estrategia pura si

1 con probabilidad σi1, si

2 con probabilidad σi2, ….,y

sik con probabilidad σi

k, donde σij>=0 , para cada

j=1,2, …, k y Σ σij = 1


Soledad Cabrera C


Ejemplo: Probabilidad de vigilar = q Probabilidad de actuar = p

actúa no actúa

vigila 1 -2 -1 0

no vigila -2 4 0 0Polic

ía

Ladrón

Soledad Cabrera C

C DA 9,9 0,8B 8,0 7,7

Jugador 2

Juga

dor

1Juegos estáticos con

información completa

Cuando existen múltiples equilibrios de Nash ¿Cuál

es el más probable?

Soledad Cabrera C

Refinamientos del equilibrio de Nash

Criterio de Pareto dominancia(A,C) es Pareto dominante

Dominancia de riesgo: Se elige la estrategia que le reporta un mayor beneficio (s1, s2) asumiendo que el otro jugador randomiza en (0.5;0.5) entre sus estrategias

π1(A) = 0.5*9 + 0.5* 0 = 4.5 π1(B) = 0.5*8 + 0.5* 7 = 7.5


Soledad Cabrera C

Congregado E., Golpe A., Leal M “Microeconomía

Cuestiones y problemas resueltos” Ed.Prentice Hall

Gibbons Robert “Un primer curso de teoría de juegos” Editor Antoni Bosch, cap 1

Nicholson W, “Teoría microeconómica: principios básicos y ampliaciones”,Ed. Thomson, 8°Edición, Cap 10

Pérez J, Jimeno J., Cerdá E., “Teoría de juegos” Prentice Hall

Bibliografía

Soledad Cabrera C

teoria de juegos estaticos

Documents