teoría de galois

Publicaciones Electrnicas Sociedad Matemtica Mexicana

Teora de Galois, un primer curso.

Flor de Mara Aceff Emilio Lluis-Pueblawww.smm.org.mx

Serie: Textos. Vol. 14 (2011)

Teora de Galois, un primer curso.Flor de Mara Aceff y Emilio Lluis-PueblaUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Publicaciones Electrnicas Sociedad Matemtica Mexicana

2

ndice GeneralPrefacio Introduccin I 5 7

Teora de Anillos 9 I.1 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.2 Propiedades elementales y Teoremas de Isomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.3 Polinomios y Campo de Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II Teora de Campos y Teora de Galois 37 II.1 Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.2 Automorsmos y ms sobre extensiones . . . . . . . . . . . . . 49 II.3 Teora de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Bibliografa y Referencias Lista de Smbolos ndice Analtico 67 69 71

3

4

PrefacioLa teora general de las estructuras es una herramienta muy poderosa. Siempre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axiomas de cierta estructura, obtiene, de inmediato para sus objetos, todos los resultados vlidos para esa teora. Ya no tiene que comprobar cada uno de ellos particularmente. Actualmente, podra decirse que las estructuras permiten clasicar las diversas ramas de la Matemtica. Este texto contiene el trabajo escrito a lo largo de varios aos del material correspondiente a nuestro curso sobre la materia (lgebra Moderna II) que hemos impartido en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico. Despus de haber ofrecido por muchos aos el curso con excelentes textos, algunos citados en la Bibliografa, y de los cuales hemos sido inspirados, decidimos escribir uno que siga el enfoque de los libros [Ll1] [Ll2] y [Ll3]. Es decir, escogimos una presentacin moderna donde introducimos el lenguaje de diagramas conmutativos y propiedades universales, tan requerido en la Matemtica actual as como en la Fsica y en la Ciencia de la Computacin, entre otras disciplinas. Ha sido nuestra intencin la de llegar al Teorema Principal de la Teora de Galois de la manera ms corta y elegante posible. Hemos visto que el exponer demasiado material hace muy tedioso el curso a los alumnos y al profesor, adems de que algunos alumnos pierden de vista el objetivo dentro de un mar de deniciones y proposiciones. Creemos haber logrado este propsito. El texto consta de dos captulos con tres secciones cada uno. Cada seccin contiene una serie de problemas que se resuelven con creatividad utilizando el material expuesto, mismos que constituyen una parte fundamental del texto. Tienen tambin como nalidad, la de permitirle al estudiante redactar matemtica. El libro est diseado para un primer curso sobre la Teora de Galois el cual se cubre en su totalidad en cuarenta horas de clase. 5

6

Prefacio

Deseamos agradecer a nuestros alumnos y a los rbitros revisores el haber hecho oportunas y acertadas sugerencias para mejorar este texto. Cualquier falta u omisin que an permanezca es de nuestra exclusiva responsabilidad. En particular, el segundo autor de este libro agradece y aprecia el enorme esfuerzo y dedicacin de su esposa, la Dra. Flor de Ma. Ace quien a pesar de su delicado estado de salud por varios aos, siempre mostr el profesionalismo y amor a la Matemtica trabajando en el presente texto con todo su entusiasmo. Finalmente, comento que hemos decidido incluir este texto dentro de las Publicaciones Electrnicas de la Sociedad Matemtica Mexicana con el nimo de predicar con el ejemplo y mostrar la conanza en este tipo de publicaciones. Ciudad Universitaria. Agosto de 2011.

IntroduccinComo es frecuente en la Matemtica, los intentos por resolver un problema especco dan lugar a una Teora Matemtica. En este caso, los intentos por encontrar soluciones por radicales de ecuaciones algebraicas dan como resultado varias de las ramas de la Matemtica: la Teora de Grupos, la Teora de Anillos y la Teora de Galois entre otras. En [A-Ll1] y [A-Ll2] el lector puede encontrar otros ejemplos de esta situacin. La Teora de Galois es una interaccin entre grupos, campos y polinomios, entre el lgebra Lineal y la Teora de Grupos. Se sabe de la escuela secundaria cmo encontrar por el mtodo de radicales las soluciones de un polinomio cuadrtico, con coecientes en R, de la forma f(t) = at2 + bt + c, con a 6= 0. Esto lo saban los antiguos babilonios alrededor del ao 1600 A.C. Las races estn dadas mediante la frmula (b 2 b2 4ac)/2a. Esta solucin est en una tableta de barro que sobrevive hasta la fecha. Este mtodo es vlido para cualquier polinomio con coecientes en un campo de caracterstica diferente de 2 cuyas races estn en la cerradura algebraica de ese campo. Lo mismo sucede para polinomios de grado 3 y 4 (del Ferro, Tartaglia, Ferrari y Cardano en 1545) sobre los nmeros racionales. Los matemticos trataron por cientos de aos de encontrar una frmula por radicales para polinomios de grado 5 (Lagrange en 1770 y Runi en 1799 probaron que los mtodos para grados 3 y 4 fallan para grado 5). Fue Abel en 1824 y 1826 quien prob que esto no puede necesariamente resolverse por radicales. En n, la solucin de ecuaciones polinomiales ha sido un problema matemtico por ms de 3500 aos. Galois asoci a cada ecuacin un grupo, llamado ahora, de Galois en honor a l. Este grupo consiste de un subconjunto de permutaciones de las soluciones. A partir de las propiedades del grupo de Galois se pueden deducir propiedades de una ecuacin, sin hacer mencin de ella. Vagamente, la idea 7

8

Introduccin

principal de la Teora de Galois es la de considerar las permutaciones de las races de un polinomio que tienen la caracterstica de que permutadas siguen satisfaciendo cualquier ecuacin algebraica que satisfagan originalmente. Estas permutaciones de las races forman un grupo, el grupo de Galois. El concepto que abarca a los polinomios y a los campos es el de anillo conmutativo. Comenzamos el Captulo I estudiando el sistema algebraico de los anillos. La palabra anillo fue introducida por David Hilbert. Alrededor del ao 1921, Emmy Noether fundamenta la Teora de Anillos Conmutativos. Tambin estudiamos dos tipos de anillos importantes, los dominios enteros y los campos. El concepto de campo (o cuerpo) fue considerado por Dedekind en 1871, por Kronecker en 1881, y por ambos alrededor de 1850 en sus clases. Pero fue Weber en 1893 quien provey de una denicin como la que actualmente usamos. El concepto de ideal fue introducido por Kummer alrededor de 1850 y utilizado como ahora lo conocemos por Dedekind. En 1881 Leopold Kronecker provey una extensin de un campo adjuntado una raz de un polinomio irreducible. En 1894 Dedekind fue el primer matemtico en desarrollar el concepto de automorsmo de campos, lo llam permutaciones del campo. Fue Emil Artin en 1926 quien desarroll la relacin entre campos y grupos con mucho detalle y enfatiz que la Teora de Galois no debera tener como meta la de determinar las condiciones de solubilidad de ecuaciones algebraicas sino la de explorar las relaciones entre las extensiones de campos y los grupos de automorsmos y es esta ltima intencin la que se sigue en el presente texto. Con respecto a la notacin para una extensin de campos hemos preferido denotar con K 0 K una extensin imitando una torre rotada 90 grados a la derecha, es decir, una torre acostada de campos ya que esto facilita visualizar especcamente los campos y su respectiva inclusin en otros.

Captulo I Teora de AnillosI.1 Anillos

En esta seccin deniremos varias estructuras algebraicas que son los objetos de estudio de la Teora de Anillos. Para un breve panorama de algunas estructuras algebraicas incluyendo las de los anillos vase [Ll3]. Supondremos que el lector ya conoce los fundamentos de la Teora de Grupos como en [Ll3] y utilizaremos la notacin que ah se expone. 1.1 Denicin. Un anillo es una terna (, +, ) donde es un conjunto no vaco, + y son operaciones binarias tales que (i) (, +) es un grupo conmutativo (ii) (, ) es un semigrupo (iii) u(v + w) = uv + uw y (u + v)w = uw + vw La propiedad (iii) se llama ley distributiva. Ntese que se ha suprimido el smbolo , en uv, como es usual en la notacin utilizada en la Teora de Grupos. 1.2 Ejemplos. El lector podr comprobar que (Z, +, ), (Zn , +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (Mn K, +, ), (K, +, ), (K[x], +, ), (C, +, ) son anillos, (Problema 1.1). Si un anillo (, +, ) satisface 9

10

Captulo I. Teora de Anillos

(iv) (, ) es un semigrupo conmutativo, entonces (, +, ) se llamar anillo conmutativo. Si (, ) es un monoide, diremos que (, +, ) es un anillo con identidad o con uno. Denotaremos con 1 a este nico elemento neutro del monoide. Si consideramos un anillo con multiplicacin dada por (u, v) 7 uv pero denimos su multiplicacin como (u, v) 7 vu, obtendremos un anillo llamado opuesto de , denotado o , que tiene el mismo elemento cero y uno de . Dicho anillo coincide con solamente cuando es conmutativo. Si el producto de dos elementos distintos de cero de un anillo es el elemento cero del anillo, entonces esos dos elementos se dice que son divisores de cero. Si un anillo conmutativo (, +, ) con 1 6= 0 no posee divisores de cero, se llamar dominio entero. Si un dominio entero posee un inverso multiplicativo para cada elemento no nulo, se dice que es un anillo con divisin. Observe que un anillo con uno es un anillo con divisin, s, y slo si, los elementos distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicacin (Problema 1.2). Los cuaternios H constituyen un ejemplo de anillo (no conmutativo) con divisin (Problema 1.3). Finalmente, un campo es un anillo conmutativo con divisin. 1.3 Ejemplos. Z es un dominio entero, 2Z es un anillo conmutativo sin elemento de identidad para la multiplicacin; Zn no es dominio entero para toda n, solamente cuando n es primo. Q, R y C son campos bajo las operaciones binarias usuales en cada uno. Las matrices cuadradas sobre cualquiera de los tres campos mencionados son un anillo no conmutativo con uno. Los enteros mdulo n son anillos conmutativos con uno y cuando n es primo, son campos. Los divisores de cero del anillo Zn son los elementos distintos de cero que no son primos relativos con n, por lo tanto, Zp no posee divisores de cero para p primo. 1.4 Denicin. Diremos que un subconjunto de un anillo (, +, ) es un subanillo de si es, a la vez, un anillo estable o cerrado [Ll3, I.1.6] bajo las operacines binarias inducidas. Lo denotaremos < . Si el subanillo de un anillo es un dominio entero, entonces diremos que es

I.1 Anillos

11

un subdominio de . Si el subanillo de un anillo es un campo, entonces diremos que es un subcampo de . De la denicin de subanillo es inmediato el siguiente resultado que proporciona una manera de comprobar si un subconjunto de un anillo es un subanillo de l. 1.5 Proposicin. Un subconjunto de un anillo (, +, ) es un subanillo de si, y slo si, es estable o cerrado bajo + y , i.e., si x y y xy para cualesquiera x, y . Demostracin. Vase el Problema 1.4. 1.6 Ejemplos. Para todo entero n Z, nZ < Z. Z < R < C. Pero como dominios enteros, Z es un subdominio de R y nZ no es un subdominio de Z para n distinto de 1 y 1. Q es un subcampo de R, pero Z no es un subcampo de R. Es fcil ver que un subanillo no trivial de un dominio entero es un subdominio de s, y slo si, contiene al elemento de identidad de (Problema 1.7). Asmismo, es fcil ver que un subanillo de un campo es un subcampo de s, y slo si, para todo elemento x , su inverso x1 (Problema 1.8). A continuacin, veamos un concepto que hace el papel para la Teora de Anillos equivalente a la de subgrupo normal para la Teora de Grupos. 1.7 Denicin. Un subanillo I de un anillo se llamar ideal izquierdo de si para toda x y para toda a I se tiene que xa I, es decir, I I. Un subanillo I de un anillo se llamar ideal derecho de si para toda x y para toda a I se tiene que ax I, es decir, I I. Un subanillo I de un anillo se llamar ideal de si es ideal izquierdo e ideal derecho a la vez. 1.8 Ejemplos. El subanillo nZ es un ideal de Z. Los subanillos y 0 son los ideales triviales de . Los ideales izquierdos de son los ideales derechos de o . Observe que si es un anillo e I un ideal de , la parte aditiva de constituye un grupo abeliano y, por lo tanto, I es un subgrupo normal de .

12


Los ideales de un anillo distintos de los triviales se llamarn ideales propios no triviales. 1.9 Proposicin. Sea un anillo con divisin. Entonces solamente posee ideales triviales. Demostracin: Sea I un ideal no trivial cualquiera de . Como I es no trivial, posee un elemento a I diferente de cero. Por ser I ideal, 1 = aa1 I. Por lo tanto, = 1 I I. Luego, I = . Observe que debido a esta proposicin, un campo no puede poseer ideales propios no triviales. Cmo se relacionan dos anillos? Mediante funciones que preserven la estructura de anillos. 1.10 Denicin. Si (, , ) y (0 , +, ) son anillos, un homomorsmo de anillos es una funcin que es un homomorsmo del grupo conmutativo de en el grupo conmutativo de 0 y que tambin es un homomorsmo del semigrupo de en el semigrupo de 0 , es decir, f (x y) = f (x) + f(y) y f(x y) = f(x) f(y). Usualmente utilizaremos, por abuso, la notacin + y para denotar las (posibles) diferentes operaciones binarias de dos anillos relacionados mediante un homomorsmo, quedando la notacin imprecisa, pero usual f (x + y) = f (x) + f(y) y f (x y) = f(x) f(y). o peor an, f (x + y) = f (x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y). Imitando lo correspondiente para grupos [Ll3] tenemos la siguiente 1.11 Proposicin. La composicin de dos homomorsmos de anillos es un homomorsmo de anillos. Demostracin. Sean f : 0 y g : 00 homomorsmos de anillos. Luego (g f )(x + y) = g(f (x + y)) = g(f(x) + f (y)) = g(f(x)) + g(f(y)) = (g f)(x) + (g f)(y). Anlogamente, (g f )(xy) = g(f(xy)) =

I.1 Anillos

13

g(f(x)f(y)) = g(f (x))g(f(y)) = (g f )(x)(g f )(y). Por lo tanto (g f ) es un homomorsmo de anillos. 1.12 Denicin. Sea f : 0 un homomorsmo de anillos. Di = remos que f es un isomorsmo, y escribiremos f : 0 si existe un homomorsmo g : 0 tal que g f = 1 y f g = 10 . Es fcil comprobar (Problema 1.11) que, si g existe est determinada en forma nica; lo denotaremos con f 1 y se llama inverso de f . Diremos que = dos anillos y 0 son isomorfos si existe un isomorsmo f : 0 y escribiremos 0 . = 1.13 Denicin. Sea f : 0 un homomorsmo de anillos. El ncleo de f , denotado ker f , es el conjunto de todos los elementos x tales que f(x) = 0 donde 0 denota la identidad aditiva de 0 . La imagen de f , denotada im f , es el conjunto de f(x) con x . Observe que solamente vemos el concepto de ncleo de un homomorsmo de anillos como ncleo de la parte de grupo aditivo de los anillos. An cuando los anillos sean con uno, no pediremos que la imagen del uno del anillo del dominio vaya a dar al uno del anillo codominio (Problema 1.12). Si en la denicin de homomorsmo se tiene que ker f = {0}, diremos que f es un monomorsmo y lo denotamos f : 0 ; si im f = 0 , diremos que f es un epimorsmo y lo denotamos f : 0 y si f es tal que ker f = {0} e im f = 0 , entonces diremos que f es un isomorsmo. De otra manera, f es un monomorsmo cuando es inyectiva; es un epimorsmo cuando es suprayectiva y es un isomorsmo cuando es biyectiva. Llamaremos endomorsmo a un homomorsmo f : y diremos que es automorsmo si dicha f es biyectiva. Observe que, como grupos conmutativos, 2._ : Z 2Z dado por x 7 2x establece un isomorsmo de grupos abelianos pero, como anillos no se tiene un isomorsmo. Diremos que un homomorsmo f : 0 es trivial si f (x) = 0 para todo x . Es decir, im f = {0}. Equivalentemente, f = 0 si, y slo si, ker f = .

14


Recurde que si A es un subconjunto de B, la funcin : A B dada por (a) = a B para toda a A se llama inclusin de A en B. La funcin identidad de un anillo en s mismo es un homomorsmo llamado homomorsmo de identidad. 1.14 Proposicin. Sean f : 0 , g : 00 dos homomorsmos de anillos y h = g f la composicin. Entonces, (i) si h es monomorsmo, f es monomorsmo, y (ii) si h es epimorsmo, g es epimorsmo. Demostracin. (i) Supongamos que h es monomorsmo. Si f (x) = f(y) luego h(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = h(y). Como h es monomorsmo, x = y. Por lo tanto, f es monomorsmo. (ii) Supongamos que h es epimorsmo. Entonces h(0 ) = 00 . Luego, 00 = h(0 ) = g(f(0 )) g() 00 . Por lo tanto, g() = 00 . Problemas. 1.1 (i) Compruebe que los conjuntos con sus operaciones binarias respectivas en el Ejemplo 1.2 son efectivamente anillos. (ii) Dena operaciones binarias de suma y producto en nZ y pruebe que nZ es un anillo, n entero positivo. 1.2 Pruebe que un anillo con uno es un anillo con divisin, s, y slo si, los elementos distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicacin. 1.3 Verique que los cuaternios H forman un anillo (no conmutativo) con divisin. 1.4 Pruebe que un subconjunto de un anillo (, +, ) es un subanillo de si, y slo si, es estable o cerrado bajo + y . 1.5 Compruebe que si G es un grupo abeliano, entonces el conjunto de endomorsmos End(G, G) con la composicin es un anillo. 1.6 Compruebe que los anillos (Z, +, ), (Zn , +, ), (Q, +, ) son conmutativos y que End(G, G) del Problema 1.5 no lo es. 1.7 Pruebe que un subanillo no trivial de un dominio entero es un subdominio de s, y slo si, contiene al elemento de identidad de .

I.1 Anillos

15

1.8 Pruebe que un subanillo de un campo es un subcampo de s, y slo si, para todo elemento x , su inverso x1 . 1.9 Sea un anillo. Pruebe que el conjunto I = {x | nx = 0, n Z} es un ideal de . 1.10 Pruebe que f : Z Zn dado por x 7 r, donde r es el residuo mdulo n es un homomorsmo de anillos. 1.11 En la notacin la Denicin 1.12 pruebe que, si g existe, est determinada en forma nica, el cual es denotado con f 1 y se llama inverso de f. 1.12 Proporcione un ejemplo en donde bajo un homomorsmo de anillos, f : 0 , f (1 ) 6= 10 . Pruebe que, como anillos, Zi Zj es isomorfo a Zij cuando el mximo comn divisor (i, j) = 1. 1.14 Encuentre las races de la ecuacin x2 7x + 12 en Z8 . 1.15 Pruebe que los inversos izquierdo y derecho de una unidad en un anillo con uno coinciden. 1.16 Demuestre que los divisores de cero del anillo Zn son los elementos distintos de cero que no son primos relativos con n, por lo tanto, Zp no posee divisores de cero para p primo. 1.17 Demuestre que si es un dominio entero nito, entonces es campo.

16


I.2

Propiedades elementales y Teoremas de Isomorsmo

Veamos algunas propiedades de los anillos. 2.1 Proposicin. Sea un anillo. Entonces (i) 0x = 0 = x0 para toda x . (ii) En un anillo vale la ley de cancelacin para todo elemento distinto de cero s, y slo si, no posee divisores de cero. (iii) (x)y = x(y) = (xy), para toda x,y . (iv) (x)(y) = xy para toda x,y . Demostracin. (i) Como 0 = 0 + 0, 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x. Luego, 0x = 0. Anlogamente, x0 = 0. (ii) Supongamos que en vale la ley de la cancelacin para todo elemento distinto de cero. Veamos que no tiene divisores de cero. Tomemos el producto de dos elementos distintos de cero tal que su producto sea cero, es decir, xy = 0. Por la parte (i), x0 = 0. Luego xy = x0. Como x 6= 0, entonces y = 0. Esto contradice el hecho de que y 6= 0. Ahora, supongamos que no tiene divisores de cero. Supongamos que xa = ya para a 6= 0. Luego, por la distributividad, (x y)a = xa ya = 0. Como a 6= 0 y no posee divisores de cero, x y = 0. As, x = y. (iii) Como xy + (x)y = (x + (x))y = 0y = 0 luego (x)y = (xy) pues el inverso es nico. Anlogamente xy + x(y) = x(y + (y)) = x0 = 0, luego x(y) = (xy).

I.2 Propiedades elementales y Teoremas de Isomorsmo

17

(iv) Por (iii) (x(y)) = (x)(y). Tambin, por (iii), (x(y)) = ((xy)). Luego, ((xy)) + (xy) = 0. Luego, ((xy)) = xy. As, (x)(y) = xy para toda x,y . Sea (, +, ) un anillo con uno. Un elemento x se llama inverso izquierdo de un elemento invertible por la izquierda y si xy = 1. Anlogamente, un elemento x se llama inverso derecho de un elemento invertible por la derecha z si zx = 1. Diremos que y es invertible o unidad si es a la vez invertible por la izquierda y la derecha. Es fcil comprobar que los inversos izquierdo y derecho de una unidad en un anillo con uno coinciden y que el conjunto de unidades es un grupo bajo la multiplicacin (Problema 2.6). Observe que si I es un ideal con uno de un anillo conmutativo con uno , se tiene que I I, es decir xI I para toda x . Si tomamos y I una unidad de , entonces consideremos x = y 1 . Luego, y 1 y = 1 I. As, xI I, para toda x y x1 = x . Entonces I = . Adems si es un anillo no necesariamente conmutativo con uno e I un ideal que contiene tambin al uno de , entonces I = . 2.2 Proposicin. Sea f : 0 un homomorsmo de anillos. Entonces ker f es un ideal de e im f es un subanillo de 0 . Demostracin. Por [Ll3, I.3.20] ker f e im f son subrupos de la parte abeliana aditiva de y 0 respectivamente y fcilmente se puede ver que son subsemigrupos de la parte multiplicativa de y 0 respectivamente. Para ver que ker f es un ideal de , sea x ker f y a . Entonces f (ax) = f(a)f (x) = f (a)0 = 0. Por lo tanto, ax ker f. Anlogamente, xa ker f . Luego, ker f es un ideal. Una consecuencia inmediata es la siguiente: sea f : 0 un homomorsmo no trivial donde es un campo y 0 un anillo. Por la proposicin anterior, ker f es un ideal de y por 1.9, como es campo, no posee ideales no triviales, es decir, solamente posee al 0 y a como ideales. Como f no es trivial, ker f = 0 y por lo tanto, f es monomorsmo. Es inmediato comprobar que todo dominio entero nito es un anillo con divisin (Problema 2.1) y que todo dominio entero conmutativo nito es un campo (Problema 1.17). Observe que todo dominio entero y anillo con

18


divisin poseen al menos los elementos de identidad bajo la suma y multiplicacin. Por ejemplo, el dominio entero Z no es un campo pues todo entero distinto de 1 no posee inverso. De manera semejante a [Ll3, I.3.18] se tiene la siguiente 2.3 Proposicin. La interseccin de subanillos de un anillo es un subanillo. Demostracin. Vase el Problema 2.5. Imitando la denicin de [Ll2, I.2.17] para espacios vectoriales, tenemos 2.4 Denicin. Sea S un subconjunto de un anillo . La interseccin de todos los subanillos de que contienen a S se llama subanillo de generado por S. Deniciones semejantes se tienen de subdominio o subcampo generado por un subconjunto S. 2.5 Denicin. Diremos que un anillo es de caracterstica 0 (denotada car() = 0) si n = 0 es el nico entero tal que nx = 0 para toda x . Si no es de caracterstica 0, el menor entero positivo n tal que nx = 0 para toda x se llama caracterstica del anillo (denotada car() = n). 2.6 Ejemplos Los anillos Z, Q, R y C tienen caracterstica 0. El anillo Zn tiene caracterstica n. 2.7 Proposicin. (i) Sea un anillo con 1. La caracterstica de es igual al orden del elemento 1. De no ser as, es de caracterstica 0 si el grupo aditivo de es de orden innito. (ii) Si no posee divisores de 0, todos los elementos distintos de cero tienen el mismo orden. (iii) Si es un anillo no trivial sin divisores de cero tal que car() 6= 0, entonces es de caracterstica igual a un nmero primo. Demostracin. (i) Sea n el orden del 1, es decir, n veces 1+1+ +1 = 0. Entonces, nx = n(1x) = (n1)x = 0 para toda x . As, es de


19

caracterstica n. Es claro que es de caracterstica 0 si el 1 es de orden innito. (ii) Sean x,y cualesquiera dos elementos distintos de cero del anillo y supongamos que x es de orden n. Luego, x(ny) = n(xy) = (nx)y = 0y = 0. Por hiptesis, no posee divisores de cero y como x es distinto de cero, se tiene que ny = 0. Como y es arbitrario, cualquier elemento distinto de cero tiene orden n. (iii) Sea n = car(). Como 6= 0, podemos escoger un elemento x 6= 0. Luego, por (ii), x es de orden n. Veamos que n debe ser un nmero primo. Supongamos que n se factoriza como producto de dos primos n = pq. Entonces, (px)(qx) = pqxx = nxx = 0. Como no posee divisores de cero, px qx debe ser 0. Como x es de orden n, p q es n y el que queda es 1. Por lo tanto, n es primo. Por la proposicin anterior podemos decir que un anillo no trivial sin divisores de cero es de caracterstica 0 s, y slo si, todo elemento distinto de cero es de orden innito. De otra manera, la caracterstica car() es un nmero primo y todo elemento distinto del cero es de orden p. Recordando el concepto de espacio vectorial cociente estudiado en el curso de lgebra Lineal como en [Ll2, II.4] o en la Teora de Grupos como en [Ll3, II.2] y considerando la parte aditiva, se tena que, para el caso en que es un grupo conmutativo e I un subgrupo de con x , denotbamos con x + I el conjunto {x + y|y I}. Dichos elementos x + I los llamamos clases laterales de I en . Como 0 I y x = x + 0 x + I, cada x pertenece a una clase lateral. Se comprob que cualesquiera dos clases laterales o son ajenas o son iguales. Se denot con /I el conjunto de todas las clases laterales de I en y se le dio a /I una estructura de grupo mediante + : /I /I /I dada por Tambin se comprob que la operacin binaria anterior est bien denida y que dene una estructura de grupo abeliano (la parte aditiva de espacio vectorial) en /I. Llamamos a /I, grupo cociente de mdulo I. ((x + I), (y + I)) 7 ((x + y) + I).

20


Tambin, se vio que si I es un subgrupo del grupo y si y x + I, entonces existe w I tal que y = x + w. As y x = w I. Luego, y x I (y x) = x y I x y + I. En resumen, y x + I y x I x y + I Finalmente, se consider p : /I dada por x 7 x + I. Si x,w , entonces p(x + w) = (x + w) + I = (x + I) + (w + I) = p(x) + p(w). Por lo tanto, p es un homomorsmo de grupos llamado proyeccin cannica. Todo esto se realiz para espacios vectoriales sobre un campo K. Recurdese de nuevo que la parte aditiva es un grupo conmutativo. Lo mismo sucede para la parte abeliana aditiva de los anillos. Si es un anillo e I un ideal de , la parte aditiva de constituye un grupo abeliano y, por lo tanto, I es un subgrupo normal de . Ahora, para un anillo e I un ideal de , denamos en el grupo cociente /I una multiplicacin : /I /I /I dada por ((x + I), (y + I)) 7 ((x y) + I) Si tomamos elementos cualesquiera x,y y a,b I entonces, (x + a)(y + b) = xy + xb + ay + ab xy + I por la distributividad e I ser un ideal. Luego (x + I)(y + I) xy + I. As, la clase lateral xy + I no depende de los elementos x e y y nicamente s depende de las clases laterales (x + I) y (y + I) lo cual nos dice que la multiplicacin anterior est bien denida haciendo por lo tanto de /I un anillo. Llamaremos a /I anillo cociente de sobre su ideal I. Si


21

posee elemento de identidad 1, entonces 1+I es la identidad en /I. Observe que si es conmutativo, tambin /I lo es. Considere p : /I dada por x 7 x + I. Si x,y , entonces p(xy) = (xy) + I = (x + I)(y + I) = p(x)p(y). Luego, p es un epimorsmo de anillos, denotado p : /I, con ncleo I = ker p. As tenemos una sucesin exacta corta [Ll3, II.1]: 0 I /I 0. Por lo tanto, hemos visto que un subanillo I de un anillo es un ideal de si, y slo si, existe un homomorsmo de anillos f : 0 con ncleo ker f = I. Sea f : 0 un homomorsmo de anillos con ideales I e I 0 0 tales que f (I) I 0 , entonces f : /I 0 /I 0 dado por f (x+I) = f(x)+I 0 es el homomorsmo inducido por f en los grupos abelianos cociente [Ll3, II.3]. Como f ((x + I)(y + I)) = = = = = f (xy + I) f (xy) + I 0 f (x)f (y) + I 0 (f (x) + I 0 )(f(y) + I 0 ) f (x + I)f (y + I)i p

para toda x,y , el homomorsmo de anillos f : /I 0 /I 0 se llama homomorsmo inducido por f . Anlogamente a [Ll3, II.3.2], se tiene 2.8 Proposicin. Sea f : 0 un homomorsmo de anillos con ideales I e I 0 0 tales que f (I) I 0 . Considrense las proyecciones cannicas a los cocientes correspondientes p : /I y p0 : 0 0 /I 0 . Entonces f : /I 0 /I 0 es el homomorsmo inducido por f, el siguiente cuadrado es conmutativo p f f

/I 0 /I 0

0 0 p

22 e im f = p0 (im f ) y ker f = p(f 1 (I 0 )). Anlogamente a [Ll3, II.3.3], se tiene


2.9 Teorema. Bajo las mismas hiptesis de la proposicin anterior, en particular, si f es un epimorsmo con I 0 = e e I = ker f entonces 0 /I 0 0 = y f es un isomorsmo en el siguiente diagrama conmutativo: p f

f

0 I0 = 0

/ ker f

Anlogamente a [Ll3, II.3.4], se tiene 2.10 Teorema. Sea f : 0 un homomorsmo de anillos con ideales I e I 0 0 tales que f(I) I 0 y como caso particular del teorema anterior, e = I 0 0 con I ker f . Entonces existe un homomorsmo nico f : /I 0 dado por x + I 7 f (x + I) = f (x) + I 0 = f(x). Adems, ker f = ker f/I e imf = imf . El homomorsmo f es un isomorsmo si, y slo si, f es un epimorsmo e I = ker f. Anlogamente a [Ll3, II.3.5], se tiene 2.11 Corolario. (Primer Teorema de Isomorsmo). Bajo las mismas hiptesis del teorema anterior / ker f im f . = Demostracin. Como f es epimorsmo, im f = 0 , luego / ker f = im f. En otras palabras, si f : 0 es un epimorsmo de anillos con ncleo ker f , entonces existe un isomorsmo nico f : / ker f 0 , tal que = f = f p, es decir, cualquier homomorsmo de con ncleo ker f tiene imagen isomrca a / ker f. An ms, nos dice cul isomorsmo: aquel tal que im f = im f . Este resultado, / ker f im f se conoce como el = Primer Teorema de Isomorsmo. Uno puede "determinar" cul es el anillo cociente de dos anillos sin necesidad de establecer las clases laterales como veremos en ms adelante.


23

2.12 Ejemplo. Sea I un ideal de un anillo . Consideremos el anillo cociente /I. Sea : I el monomorsmo de inclusin y p : /I el epimorsmo de proyeccin. Entonces im = I = ker p y, por lo tanto, 0 I /I 0 es una sucesin exacta corta. Consideremos ahora una sucesin exacta corta 0 0 00 0. Recordemos entonces que im f 0 = ker f, y f 0 es monomorsmo, pues 0 = im h = ker f y, adems, f es epimorsmo porque im f = ker k = 00 . Sea I = im f 0 = ker f el cual es un ideal de , entonces f 0 establece un isomorsmo = = I 0 y f establece otro isomorsmo /I 00 por el primer teorema de isomorsmo. Por lo tanto, una sucesin exacta corta es una sucesin con un ideal y el anillo cociente de un anillo. 2.13 Ejemplo. f : 00 donde = Z y 00 = Zn es un epimorsmo con ncleo el subgrupo nZ, es decir, 0 nZ ZZn 0 es un sucesin exacta corta. Luego, por el teorema anterior Z/nZ Zn . = Anlogamente a [Ll3, II.3.11], se tiene 2.14 Teorema. (Segundo Teorema de Isomorsmo). Sean I,J ideales de . Entonces (I + J)/J I/(I J). = Anlogamente a [Ll3, II.3.13], se tiene 2.15 Teorema. (Tercer Teorema de Isomorsmo). Sean I,J ideales de con J I. Entonces, /I (/J)/(I/J). = 2.16 Teorema. (i) Si es un dominio entero de caracterstica 0, entonces el subgrupo aditivo de generado por el 1 es isomorfo a Z. (ii) Si es un dominio entero de caracterstica p 6= 2, entonces el subgrupo aditivo de generado por el 1 es un subcampo isomorfo a Zp .f h f0 f k p

24


Demostracin. (i) Sea f : Z dada por n f (n) = n1. Como f (n + n0 ) = (n + n0 )1 = n1 + n0 1 = f (n) + f(n0 ) y f(nn0 ) = (nn0 )1 = (n1)(n0 1) = f(n)f (n0 ). Luego f es un homomorsmo. Como es de caracterstica 0, el 1 es de orden innito. As que el ncleo de f consiste solamente del 0 y por lo tanto, f es monomorsmo. Claramente, la imagen de Z bajo f es el subgrupo de . (ii) Si no es de caracterstica 0 entonces la caracterstica de es un nmero primo p y el 1 es de orden p. Por lo tanto, el ncleo de f es el ideal pZ. Luego f induce un monomosmo f : Z/pZ . Problemas. 2.1 Compruebe que todo dominio entero nito es un anillo con divisin. 2.2 Compruebe que el dominio entero Z no es un campo. 2.3 Compruebe que Zn es campo s, y slo si, n es un nmero primo. 2.4 Compruebe que los dominios enteros Q, R y C son campos. 2.5 (i) Pruebe que la interseccin de subanillos de un anillo es un subanillo. (ii) Pruebe lo correspondiente a la parte (i) para subdominios y subcampos. 2.6 Demuestre que los inversos izquierdo y derecho de una unidad en un anillo con uno coinciden y que el conjunto de unidades es un grupo bajo la multiplicacin, denotado . 2.7 Compruebe que /{0} y que / {0}. = = 2.8 Escriba detalladamente la demostracin de 2.8. 2.9 Escriba detalladamente la demostracin de 2.9. 2.10 Escriba detalladamente la demostracin de 2.10. 2.11 Escriba detalladamente la demostracin de 2.14. 2.12 Escriba detalladamente la demostracin de 2.15.

I.3 Polinomios y Campo de Cocientes

25

I.3

Polinomios y Campo de Cocientes

En los cursos usuales de lgebra Superior (como en CLl) se estudia el anillo de polinomios. Ah se denen, se le da una estructura de anillo al conjunto de polinomios, se estudia lo referente a divisibilidad y factorizacin, etc. En este curso damos por estudiado tales temas y nicamente haremos mencin de los resultados que requerimos para nuestro estudio posterior. A continuacin deniremos, siguiendo el estilo de [Ll3], el anillo de polinomios [t] de un anillo . 3.1 Denicin. Sea un anillo con uno. Un anillo de polinomios de es una terna, (, f, t) donde es un anillo, f : es un monomorsmo con f(1) como identidad de , t un elemento que conmuta con f (x) para toda x , tal que (cumple la siguiente propiedad llamada universal) para todo monomorsmo g : 0 con g(1) como identidad de 0 y todo elemento y 0 que conmuta con g(x) para toda x , existe un homomorsmo nico h : 0 tal que h(t) = y y h f = g, es decir, el siguiente diagrama conmuta: g &f

h 0

3.2 Teorema. Sea (, f, t) un anillo de polinomios de . Entonces el conjunto f() {t} genera . Adems, si (0 , f 0 , t0 ) es otro anillo de polinomios de , entonces existe un isomorsmo nico k : 0 tal que k(t) = t0 y k f = f 0 .

26


Demostracin. La demostracin es anloga a las de [Ll3, III.3] y la dejamos como ejercicio para el lector (Problema 3.1). Considrese Z+ {0} el conjunto de enteros no negativos, un anillo con uno, y sea = { : Z+ {0} | (n) = 0 para casi toda n Z+ {0}}. Dmosle a una estructura de anillo (Problema 3.2 (i)) deniendo dos operaciones binarias + : (, ) 7 ( + )(n) = (n) + (n) : n X (j)(n j). (, ) 7 ()(n) =j=0

Ahora, para cada x , denamos una funcin que depende de x denotada fx mediante fx (n) = x si n = 0 0 si n > 0. As, fx y la asignacin dada por x 7 fx dene una funcin f : . Es fcil comprobar que f es un monomorsmo y que f (1) es la identidad de (Problema 3.2 (ii)). Denamos t dado por t(n) = 1 si n = 1 o 0 si n 6= 1. Claramente t conmuta con fx para toda x . Veamos que (, f, t) es un anillo de polinomios de : sea g : 0 un monomorsmo con g(1) como identidad tal que cualquier elemento y 0 conmute con g(x) para toda x . Denamos h : 0 mediante 7 h() = g((0)) + X n=1

g((n))y n .

Como (n) = 0 para casi toda n, la sumatoria es nita. Es fcil ver que h es homomorsmo, h(t) = y, h f = g y que es nica (Problema 3.2 (iii)). De aqu que cualquier elemento de puede escribirse de manera nica como = n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 , donde i y i = (i) para i = 0, . . . , n. As tenemos el siguiente 3.3 Teorema. polinomios de . Para cualquier anillo con uno , existe un anillo de


27

Identicaremos con su imagen f () dentro de . As, se puede ver como un subanillo de bajo la inclusin f . Llamaremos a , anillo de polinomios de y a t indeterminada. Usualmente denotamos a como [t] y sus elementos los llamaremos polinomios en la indeterminada t con coecientes en el anillo . Los elementos de los llamaremos constantes. Los elementos de se llaman coecientes del polinomio , n coeciente inicial y 0 trmino constante. El grado, gr(), de un elemento distinto de cero [t] es el mayor entero tal que (n) 6= 0. Sea un anillo conmutativo. Si [t] es un anillo de polinomios del anillo , podemos considerar el anillo de polinomios en la indeterminada t0 del anillo de [t], es decir, ([t])[t0 ], el cual se puede probar que es isomorfo a ([t0 ])[t]. Usando esta identicacin lo denotaremos simplemente con [t, t0 ] y diremos que es el anillo de polinomios en las indeterminadas t y t0 con coecientes en . Generalizando esto podemos denir el anillo de polinomios [t1 ,..., ts ] en las indeterminadas t1 ,..., ts con coecientes en . Consideremos 0 [t] un anillo de polinomios de un subanillo 0 de un anillo conmutativo y a . Por la propiedad universal de los anillos de polinomios aplicada como en el siguiente diagrama 0 &i

0 [t] Ea

existe un homomorsmo Ea : 0 [t] dado por n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 7 Ea (n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 ) = n an + + 2 a2 + 1 a1 + 0 tal que para b 0 , Ea (b) = b y Ea (t) = a llamado homomorsmo de evaluacin o sustitucin. Resulta que a cada polinomio f = n tn + + 2 t2 +1 t1 +0 le asociamos el elemento de un anillo Ea (f ) = Ea (n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 ) = n an + + 2 a2 + 1 a1 + 0 . sto es vlido para anillos conmutativos y no necesariamente para no conmutativos. Ea (f) signica

28


evaluar el polinomio f en t = a. La asignacin a 7 Ea (f) determina una funcin f @ : tal que f @ a = Ea (f ), es decir: si f = n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 entonces f @ a = Ea (f ) = n an + + 2 a2 + 1 a1 + 0 . Cualquier funcin de en que pueda escribirse como una funcin del tipo f @ se llama funcin polinomial. Como observamos, cada polinomio f 0 [t] determina una funcin de en . Formalmente, podramos resumir que la asignacin f 7 f @ determina un homomorsmo de anillos : 0 [t] (Problema 3.16), (el cual no siempre es inyectivo, a menos que 0 sea dominio entero innito). Los elementos de [t] los denotaremos con letras como f . El uso tradicional de escribirlos como f(t) slo indicar que la indeterminada es t. Esta notacin tradicional hace aparentar a f como si fuera una funcin con variable t. Si es un dominio entero, se estudi en un curso de lgebra Superior que existe el algoritmo de la divisin para polinomios sobre . Recordemos que un elemento a es un cero o raz del polinomio f si f @ (a) = 0. Recuerde (2.4) que si S es un subconjunto de un anillo , la interseccin de todos los subanillos de que contienen a S se llama subanillo de generado por S. De manera similar, si S un subconjunto de un anillo , la interseccin de todos los ideales de que contienen a S es un ideal de (Problema 3.13) y se llama ideal de generado por S denotado hSi. Los elementos de S se llaman generadores del ideal hSi. Si S consiste de elementos t1 ,..., tn denotaremos el ideal hSi con ht1 , ..., tn i y diremos que es nitamente generado. Si hSi est generado por un solo elemento t diremos que hti es un ideal principal. Un dominio entero en el cual todo ideal es principal lo llamaremos dominio de ideales principales. Observe que el ideal ht1 , ..., tn i, al contener los elementos t1 ,..., tn implica que debe contener a todos los elementos ("combinaciones lineales") de la forma 1 t1 + + n tn donde i . Los elementos t1 ,..., tn constituyen una "base" del ideal. Se tiene el siguiente resultado: si K es un campo, el anillo


29

de polinomios K[t] es un dominio de ideales principales. Tambin, Z es un dominio de ideales principales (Problema 3.10). Observe tambin que este concepto de generadores diere del denido en lgebra Lineal para espacios vectoriales. Sea un anillo. Diremos que un ideal m es mximo si los nicos ideales que lo contienen son m y . Es decir, m es un ideal mximo de , si para cualquier ideal n de tal que m n se tiene que n = m o n = . Diremos que un ideal p es primo si para cualesquiera elementos x,y , tales que si xy p entonces x p y p. Es fcil comprobar que si es un anillo conmutativo con uno entonces /m es un campo si, y slo si, m es un ideal mximo. Adems, p es un ideal primo si, y slo si /p es campo (Problema 3.12). Como un ejemplo de lo anterior, considere el caso en que 0 = Q, luego 0 [t] = Q[t] es el anillo de polinomios de un subanillo 0 = Q de un anillo = C e i = C. Por la propiedad universal de los anillos de polinomios aplicada como en el siguiente diagrama 0 = Q 0 [t] = Q[t] f

&

Ei =C

existe un homomorsmo Ei : 0 [t] = Q[t] = C dado por n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 7 Ei (n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 ) = n in + + 2 i2 + 1 i1 + 0 tal que para a 0 = Q, Ei (t) = i y Ei (a) = a. Denotamos Ei (Q[t]) con Q[i] el cual consta de nmeros complejos de la forma a + bi con a,b Q. Sabemos que el ncleo de Ei es el ideal de Q[t] generado por t2 + 1 y por 2.11 tenemos

30 en el siguiente diagrama ker Ei & Q[t]


Q[t]/ ker Ei =

Ei (Q[t]) = Q[i] y que Q[t]/ ker Ei Ei (Q[t]) = Q[i]. Como ker Ei es un ideal mximo Q[i] = es un subcampo de C el cual denotaremos Q(i). A continuacin, veamos que todo dominio entero puede verse contenido en un campo que llamaremos campo de cocientes. Para que la ecuacin mx = n, con m,n Z, tenga solucin nos vemos forzados a considerar el campo Q de nmeros racionales. 3.4 Denicin. Sea un dominio entero conmutativo no trivial. Un campo de cocientes de es una pareja (K, f) donde K es un campo y f : K es un monomorsmo de anillos tal que para cualquier monomorsmo g : 0 con 0 un anillo con divisin, existe un homomorsmo de anillos nico h : K 0 tal que el siguiente diagrama conmuta: g &f

K h 0

3.5 Teorema. Sea (K, f) un campo de cocientes de . Entonces, f () genera a K. Adems, si (K 0 , f 0 ) es otro campo de cocientes de , entonces existe un isomorsmo nico k : K K 0 tal que k f = f 0 . Demostracin. La demostracin es anloga a las de [Ll3, III.3] y la dejamos como ejercicio para el lector (Problema 3.3). Para probar la existencia de un campo de cocientes, imitemos la construccin de los nmeros racionales a partir de los nmeros enteros pero para un dominio entero. Consideremos el conjunto de los elementos distintos de cero de y denotemos con = . Denamos en una relacin mediante (a1 , b1 )


31

(a2 , b2 ) s y slo si a1 b2 = a2 b1 en . Es fcil vericar que es una relacin de equivalencia (Problema 3.4). Sea K = / y denotemos con a/b la clase de equivalencia de (a, b). Denamos la suma y multiplicacin de clases como en los nmeros racionales, es decir, (a1 /b1 )+(a2 /b2 ) = (a1 b2 +a2 b1 )/b1 b2 y (a1 /b1 )(a2 /b2 ) = (a1 a2 )/(b1 b2 ). Es fcil comprobar que estas operaciones estn bien denidas y que hacen de K un anillo conmutativo con uno, cuyo elemento cero es la clase de equivalencia de la forma 0/b y su uno la clase de la forma a/b con a = b. (Problema 3.5). Como el inverso de un elemento diferente de cero a/b es b/a pues a 6= 0, (a/b) (b/a) = 1 luego, K es un campo. Veamos que (K, f : K) es un campo de cocientes de . Denamos f : K mediante f(a) = a/1. Es inmediato comprobar que f es un monomorsmo. Consideremos cualquier monomorsmo g : 0 con 0 un anillo con divisin. Como g(b) 6= 0 si b 6= 0 en , podemos denir h0 : 0 mediante h0 (a, b) = g(a)/g(b). Es fcil comprobar que h0 est bien denida (Problema 3.6). As, h0 (a, b) depende solamente de la clase de equivalencia a/b, por lo tanto podemos denir una funcin h : K 0 . Es fcil comprobar que h es un homomorsmo tal que h f = g (Problema 3.6). Veamos que h es nica: sea k : K 0 cualquier otro homomorsmo tal que k f = g. Sea a/b K. Luego a/b = f(a)f(b)1 y por lo tanto k(a/b) = g(a)g(b)1 = h(a/b). As, k = h. Hemos probado el siguiente 3.6 Teorema. Para cualquier dominio entero conmutativo no trivial existe un campo de cocientes. 3.7 Ejemplos. Si es el dominio entero conmutativo no trivial Z, entonces su campo de cocientes es Q. Si consideramos el campo K, el anillo de polinomios K[t] de K es un dominio entero y no un campo. Sin embargo por el teorema 3.6 podemos construir su campo de cocientes K(t), donde cada elemento puede escribirse de la forma f /g donde f y g son polinomios en K[t] con g 6= 0. Anlogamente, para K[t1 ,..., ts ] podemos construir K(t1 ,..., ts ) el cual se llama campo de cocientes o de funciones racionales con s indeterminadas sobre K. 3.8 Teorema. Sea K un campo de caracterstica 0. El subcampo de K generado por el uno de K es isomorfo a Q.

32


Demostracin. Sea x = m/n Q con m un entero y n un entero positivo. Si x 6= 0 podemos considerar m y n con solamente 1 como divisor comn. Si x = 0, podemos tomar m = 0 y n = 1. As, la expresin para x es nica. Denamos f : Q K mediante f(x) = m1/n1, para toda x = m/n. Es fcil ver que f es un homomorsmo (Problema 3.11). Consideremos el ideal ker f de Q. Como f(1) = 1, ker f 6= Q. Pero como un anillo con divisin no puede tener ideales propios no triviales (1.9), ker f = 0. Luego, f es monomorsmo. Como im f es un subcampo de K generado por el 1 hemos terminado. Por la proposicin anterior y 2.16 (ii) todo campo contiene un subcampo isomorfo a Zp para algn primo p o un subcampo isomorfo a Q. Llamaremos a Zp y a Q campos primos. Ellos sern fundamentales para nuestro estudio posterior de campos. Existe una manera, que no demostraremos, de probar cuando un polinomio f (t) = n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 Q[t]

es irreducible llamado Criterio de Einsenstein. Dice que si p es un nmero primo y f Z[t], entonces f es irreducible sobre Q si n no es congruente con 0 mdulo p, i 6 0 (mod p) para i < n, y 0 no es congruente con 0 mdulo p2 . Problemas. 3.1 Pruebe que si (, f, t) es un anillo de polinomios de , entonces el conjunto f() {t} genera . Tambin, pruebe que si (0 , f 0 , t0 ) es otro anillo de polinomios de , entonces existe un isomorsmo nico k : 0 tal que k(t) = t0 y k f = f 0 . 3.2 (i) Sea Z+ {0} el conjunto de enteros no negativos y un anillo con uno. Compruebe que el conjunto = { : Z+ {0} | (n) = 0 para casi toda n Z+ {0} posee una estructura de anillo deniendo dos operaciones binarias mediante n 7 ( + )(n) = (n) + (n) n X n 7 ()(n) = (j)(n j).j=0


33

(ii) Sea fx y considere la asignacin dada por x 7 fx la cual dene una funcin f : . Compruebe que f es un monomorsmo y que f (1) es la identidad de . (iii) En el Teorema 3.2 compruebe que: h es homomorsmo, h(t) = y, h f = g y que h es nica. Establezca que cualquier elemento de puede escribirse de manera nica como = 0 + 1 t1 + 2 t2 + + n tn , donde i y i = (n) para i = 0, . . . , n. 3.3 Pruebe que si (K, f ) es un campo de cocientes de , entonces, f () genera K. Tambin, pruebe que si (K 0 , f 0 ) es otro campo de cocientes de , entonces existe un isomorsmo nico k : 0 tal que k f = f 0 . 3.4 Considere el conjunto de los elementos distintos de cero de y denote con = . Dena en una relacin mediante (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) s y slo si a1 b2 = a2 b1 en . Compruebe que es una relacin de equivalencia. 3.5 Sea K = / y denote con a/b la clase de equivalencia de (a, b). Dena la suma y multiplicacin de clases como en los nmeros racionales, es decir, (a1 /b1 )+(a2 /b2 ) = (a1 b2 +a2 b1 )/b1 b2 y (a1 /b1 )(a2 /b2 ) = (a1 a2 )/(b1 b2 ). Compruebe que estas operaciones estn bien denidas y que hacen de K un anillo conmutativo con uno cuyo elemento cero es la clase de equivalencia de la forma 0/b y con uno la clase de la forma a/b con a = b. 3.6 (i) Dena h0 : 0 mediante (a, b) = g(a)/g(b). Compruebe que h0 est bien denida. (ii) Por la parte (i) h0 (a, b) depende solamente de la clase de equivalencia a/b, por lo tanto dena una funcin h : K 0 . Pruebe que h es un homomorsmo tal que h f = g. 3.7 Pruebe que si 0 es un anillo con divisin que contiene a un subdominio entonces la funcin inclusin : 0 se extiende a un monomorsmo nico h : K 0 donde K es el campo de cocientes. 3.8 Pruebe que el campo de cocientes de un campo cualquiera K es K mismo. 3.9 Pruebe que en un anillo el ideal h0i = 0 donde h0i denota el ideal generado por el elemento de identidad aditivo 0. Tambin, pruebe que si tiene uno, entonces h1i = .

34


3.10 Pruebe que (i) Z es un dominio de ideales principales. (ii) Demuestre que si K es un campo, el anillo de polinimios K[t] es un dominio de ideales principales. (iii) Pruebe que si es un dominio entero nito, entonces [t] es un dominio entero. 3.11 Pruebe que, en el Teorema 3.8, f es un homomorsmo. 3.12 Sea es un anillo conmutativo con uno. Pruebe que /m es un campo si, y slo si, m es un ideal mximo y que p es un ideal primo si, y slo si /p es un dominio entero. 3.13 Pruebe que si S un subconjunto de un anillo , la interseccin de todos los ideales de que contienen a S es un ideal de . 3.14 Sea K un campo. Pruebe que un polinomio en K[t] es irreducible si, y slo si, el ideal generado por l es mximo. 3.15 Considere 0 [t] un anillo de polinomios de un campo 0 , 0 un subanillo de un anillo y a . Pruebe que la funcin Ea : 0 [t] dada por n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 7 Ea (n tn + + 2 t2 + 1 t1 + 0 ) = n an + + 2 a2 + 1 a1 + a0 es un homomorsmo tal que para b 0 , Ea (b) = b y Ea (t) = a. 3.16 Pruebe que la asignacin f 7 f @ determina un homomorsmo de anillos : 0 [t] . 3.17 Pruebe el algoritmo de la divisin para polinomios, es decir, pruebe que si f (t) = n tn + +2 t2 +1 t1 +0 y g(t) = m tm + +2 t2 +1 t1 +0 son polinomios en K[t] con n , m 6= 0 en K y m > 0 entonces existen polinomios nicos q(t) y r(t) en K[t] tal que f(t) = g(t)q(t) + r(t), con r(t) = 0 o bien el grado de r(t) menor que el grado de g(t). 3.18 Pruebe que (i) (t a) es un factor de un polinomio f (t) K[t] si, y slo si, a es una raz de f(t), a K.


35

(ii) Pruebe que cualquier polinomio no trivial de grado m en K[t] tiene a lo ms m races en K. 3.19 Recuerde que un polinomio es irreducible si no puede expresarse como producto de dos polinomios de menor grado. Pruebe que todo polinomio no trivial en K[t] puede factorizarse en forma nica como producto de polinomios irreducibles salvo el orden y constantes de los mismos. 3.20 Para un primo p considere el polinomio p (t) = tp 1 = tp1 + tp2 + + t + 1. t1

Pruebe que es irreducible en Q[t] y por tanto en Z[t]. Sugerencia: pruebe que p (t)(t 1) (t 1)p (mod p) y que p (t) (t 1)p1 y utilice el Criterio de Einsenstein. 3.21 Los polinomios ciclotmicos n (t) Z[t], n 1 estn denidos mediante tn 1 = d|n d (t). Escriba los polinomios ciclotmicos para n 20 y establezca la frmula recursiva tn 1 n (t) = d|n,d

teoría de galois

Documents