UNIVERZITET U BANJALUCIPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

ODSJEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

DIPLOMSKI RAD

Teorema Shapley-Folkmanna saprimjenama u matematičkoj

ekonomiji

Mentor: Kandidat:Prof. dr Zoran Mitrović Neđo Galić

Banja Luka, juni 2014.

iii

Predgovor

Ovaj rad obuhvata samo jedan dio širokog spektra primjene konveksne analize,kojima su se bavili i još se bave mnogi matematičari. On je posvećen teoremiŠepli1-Folkmana2 i njenoj primjeni u matematičkoj ekonomiji.

Na samom početku rada uvedeni su osnovni pojmovi konveksne analize, kaošto su teoreme razdvajanja, konveksne funkcije i njihove osobine, a dokazana jei značajna Karateodorijeva teorema. Zatim su uvedene varijacione nejednakostikoje imaju važnu ulogu u teoriji opšte ekonomske ravnoteže. Dokazana je teoremaegzistencije njihovog rješenja, a navedeni su primjeri iz kojih slijede varijacionenejednakosti.

Glavni dio sadrži formulaciju i dokaz teoreme, kao i neke jednostavne inter-pretacije i posljedice. Takođe je naveden i nešto jednostavniji dokaz uz korišćenjelinearne algebre. U nastavku se upoznajemo sa osnovnim pojmovima matema-tičke ekonomije i vidimo da svaka ekonomska kategorija ima svoju matematičkuinterpretaciju. Koristeći tu činjenicu navodimo neke važne rezultate iz ekonomijedokazane uz pomoć teoreme Šepli-Folkmana.

Grubo govoreći teorema Šepli-Folkmana tvrdi da je suma velikog broja neko-nveksnih skupova aproksimativno konveksna. Teorema ima takođe veliku primjenuu teoriji vjerovatnoće i optimizaciji. O značaju teoreme govori i Nobelova nagradaiz ekonomije koju je 2012. godine dobio Šepli.

Ovom prilikom bih želio da se zahvalim svim profesorima i asistentima na sa-radnji i ukazanom znanju tokom studiranja. Posebno se zahvaljujem svom men-toru, dr Zoranu Mitroviću, na pomoći i motivaciji prilikom izrade ovog rada.

Zahvaljujem se i svima koji su mi, na bilo koji način pružili pomoć i podršku,prvenstveno svojoj porodici i prijateljima.

1Lloyd Stowell Shapley (1923- ), američki matematičar2Jon Hal Folkman (1938-1969), američki matematičar

iv

Sadržaj

1. Uvod: Konveksni skupovi i konveksne funkcije 11.1. Uvodne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Teoreme razdvajanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Konveksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Neprekidnost konveksnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Diferencijabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Subdiferencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7. Konjugovane funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Varijacione nejednakosti 152.1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Varijacione nejednakosti u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Neki problemi koji vode do varijacionih nejednakosti . . . . . . . . 19

2.3.1. Komplementaran problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Teorema Šepli-Folkmana 213.1. Formulacija teoreme i primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Dokaz teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Mjerenje nekonveksnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Jednostavan dokaz teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Primjena u ekonomiji 264.1. Problem opšte ekonomske ravnoteže . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Andersonova teorema konvergencije jezgra . . . . . . . . . . . . . 274.3. Ekvivalencija problema OER i varijacionih nejednakosti . . . . . . 30

5. Literatura 31

v

1. Uvod: Konveksni skupovi ikonveksne funkcije

1.1. Uvodne definicije

Za početak ćemo dati osnovne definicije i teoreme koje će nam služiti kasnije.

Definicija 1.1. Skup C ⊆ Rn je konveksan ako za bilo koje dvije tačke x1, x2 ∈ Csadrži i segment određen tim tačkama, tj.

(1− λ)x1 + λx2 ∈ C za svaki λ ∈ [0, 1].

Slika 1.1: Neki jednostavni konveksni i nekonveksni skupovi

Definicija povlači da je skup C konveksan ako je za svaki λ ∈ [0, 1]

(1− λ)C + λC ⊆ C.

Stav 1.1. Presjek konačno mnogo konveksnih skupova je konveksan skup.

Dokaz. Iz x1, x2 ∈ C1∩C2. Zbog konveksnosti imamo [x1, x2] ⊆ C1 i [x1, x2] ⊆ C2

⇒ [x1, x2] ⊆ C1 ∩ C2. Indukcijom se lako pokaže ostatak. Za uniju, međutim,tvrđenje ne mora da vrijedi.

Primjeri: (a)Prazan skup je po definiciji konveksan. Rn je takođe konveksan.(b) Jedinična kugla B i kugla sa centrom u x0, poluprečnika r : B(x0, r) = x0+rBje konveksan skup.

1

Dokaz. Uzmimo x1, x2 ∈ B, λ ∈ [0, 1] pa dobijamo: ‖0− (1− λ)x1 − λx2‖ ≤(1− λ) ‖x1‖+ λ ‖x2‖ ≤ (1− λ) · 1 +λ · 1 odakle dobijamo konveksnost.

(c) Neka v1, v2, ..., vn ⊆ Rn linearno nezavisan skup. Tada je ravan

R = x0 + lin(v1, v2, ..., vn)

konveksan skup. Hiperravan H = x0 + lin(v1, ..., vn−1) je konveksan skup.Napomena: Opšti oblik hiperravni glasi: H(a, α) = x ∈ Rn : 〈a, x〉 = α(d) Zatvoreni poluprostor:

H+(a, α) = x ∈ Rn : 〈a, x〉 ≥ α

kao iH−(a, α) = x ∈ Rn : 〈a, x〉 ≤ α

su konveksni. Ovo slijedi iz iz jednakosti: 〈a, (1−λ)x1 +λ ·x2〉 = (1−λ)〈a, x1〉+λ〈a, x2〉. Pošto je H = H+ ∩ H− dobijamo da je hiperravan konveksan skup(e) Konus je skup K ⊆ Rn za koji vrijedi: x ∈ K, α ≥ 0 ⇒ αx ∈ K. Ovo jeekvivalentno sa

αK ⊆ K α ≥ 0.

Za karakterizaciju konveksnih konusa potrebna je i dovoljna prethodna formulai zatvorenost skupa K u odnosu na sabiranje tj. : K + K ⊆ K. Iz ovih formulaimamo konveksnost konusa na sljedeći nacin:

(1− λ)K + λK ⊆ K +K ⊆ K

Obrnuto, na osnovu 2K ⊆ K, ako je konus konveksan imamo:

K +K ⊆ 12K + 1

2K = K.

(f) Skup S ⊆ Rn određuje konus cone S = x ∈ Rn : x = αy, y ∈ S, α ≥ 0.To je konus generisan skupom S. Direktnom provjerom pokazujemo da je cone Skonveksan skup ako je S konveksan. Specijalno,

cone a = x ∈ Rn : x = αa, α ≥ 0

Svakom skupu se moze dodijeliti njegov konveksan nadskup. U tom cilju za pro-izvoljan skup S ⊆ Rn posmatrajmo sve njegove konveksne nadskupove. Presjekte familije skupova činiće konveksan omotač od C i označavaćemo ga sa co S.

co S =⋂S⊆CC

2

Definicija 1.2. Skup co x0, x1, ..., xk naziva se k-dimenzionalni simpleks u Rn,ako je x1−x0, x2−x0, ..., xk−x0 linearno nezavisan. Posebno je co 0, e1, e2, ..., enstandardni n-simpleks u Rn dok je σn = coe1, ..., en+1 n-dimenzionalni simpleksu Rn+1.

Za proizvoljne skupove S, T i konveksan skup C vrijede sljedeći odnosi:

S ⊆ T ⇒ co S ⊆ co T , C = co C, co (co C) = co C.

Kao što znamo λ1x1 + ...+λkxk je linearna kombinacija vektora x1, ..., xk ∈ S akosu λ1, ..., λk ∈ R, a ako je λ1 + ...+ λk = 1 onda je afina kombinacija. Ako su λinenegativni dobijamo konveksnu kombinaciju. Za svaki k ∈ N, svakom nepraz-nom skupu S dodijelićemo skup svih konveksnih kombinacija svakih k njegovihelemenata sa:

cokS = k∑i=1

λixi : xi ∈ S,k∑i=1

λi = 1, λi ≥ 0 (1.1)

Ovo će nam poslužiti da definišemo konveksan omotač skupa S. Vrijedi sljedeće:

S ⊆ T ⇒ cok S ⊆ cok T (1.2)

(1− λ)cop S + λcoq S ⊆ cop+q S (1.3)

za sve λ ∈ [0, 1], a za svaki konveksan skup C je

cok C ⊆ C (1.4)

Teorema 1.1. Ako je S ⊆ Rn neprazan, onda je

co S =⋃k∈N

cok S

Dokaz. Sa jedne strane je S = co1 S ⊆⋃k∈N cok S, odakle imamo co S ⊆

co ⋃k∈N cok S. Pošto iz (1.3) slijedi da je posmatrana unija konveksan skup

imamoco S ⊆

⋃k∈N

cok S

Dalje, zbog S ⊆ co S vrijedi i cok S ⊆ cok(co S), a zbog (1.4) imamo cok (co S) ⊆co S, tako da imamo cok S ⊆ co S Kako posljednja inkluzija vrijedi za sveprirodne brojeve to je ⋃

k∈Ncok S ⊆ co S.

3

Sada cemo precizirati ovaj rezultat sa:

Teorema 1.2. [Karateodori]1 Ako je S ⊆ Rn neprazan skup, onda vrijedi:

co S =n+1⋃k=1

cok S

Dokaz. x ∈ co S ⇒ ∃ x1, ..., xk ∈ S i λ1, ..., λk ≥ 0, λ1 + ... + λk = 1, tako da jex = λ1x1 + ... + λkxk. Ako je k > n + 1, onda je skup vektora (xi, 1) ∈ Rn+1 :i = 1, ..., k linearno zavisan. Postoje realni brojevi α1, ..., αk koji nisu svi jednakinuli, takvi da je

α1x1 + ...+ αkxk = 0, α1 + ...+ αk = 0.

Bar jedan od njih je pozitivan, pa neka je λj

αj= minαi≥0

λi

αi. Imamo

x = x− λjαj· 0 =

k∑i=1

λixi −λjαj

k∑i=1

αixi =k∑i=1

(λi −λjαjαi)xi.

Pošto je λi − λj

αjαi ≥ 0 ( za i tako da je αi ≤ 0 je očigledno, a za ostale zbog

izbora indeksa j) i ∑ki=1(λi− λj

αjαi) = 1− λj

αj·0 = 1, to je x konveksna kombinacija

tačaka skupa x1, ..., xj−1, xj+1, ..., xk.Redukciju nastavljamo sve dok skup preostalih vektora (xi, 1) ne postane linearnonezavisan, tj. dok ih ne ostane najviše n+1. Tada je x ∈ ⋃n+1

k=1 cok S. Dakle,co S ⊆ ⋃n+1

k=1 cok S. Obrat slijedi iz prethodne teoreme.

Napomena: Direktno iz teoreme slijedi

σn = x ∈ Rn+1 :n+1∑i=1

xi = 1, xi ≥ 0.

1Constantin Caratheodory (1873-1950), grčki matematičar

4

1.2. Teoreme razdvajanja

Definicija 1.3. Kazaćemo da su konveksni skupovi C1 i C2 razdvojeni ako postojia ∈ Rn, a 6= 0 i realan broj α takvi da za sve x ∈ C1 i y ∈ C2 vrijedi

〈a, y〉 ≤ α ≤ 〈a, x〉

Definicija povlačiC1 ⊆ H+(a, α), C2 ⊆ H−(a, α),

pa se može reći da hiperavan H(a, α) razdvaja skupove C1 i C2. Ako su oviskupovi u različitim otvorenim poluprostorima, oni su strogo razdvojeni. Tadaza sve x ∈ C1 i y ∈ C2 vrijedi:

〈a, y〉 < α < 〈a, x〉

Pokažimo jednu značajnu teoremu:

Teorema 1.3. Neka je C ⊆ Rn konveksan i 0 /∈ C Tada:(a) C i 0 su strogo razdvojeni, ako je C zatvoren skup.(b) C i 0 su razdvojeni.

Dokaz. a) Neka je r > 0 takav broj da je C ∩B(0, r) neprazan skup. Ovakav skupje kompaktan (kao presjek zatvorenog skupa i zatvorene kugle), pa neprekidnafunkcija x→ ‖x‖ dostiže na njemu minimum, u nekoj tački c. Imamo da za svetačke x posmatranog presjeka vrijedi ‖x‖ ≥ ‖c‖. Za ostale tačke skupa C je‖x‖ ≥ r ≥ ‖c‖.Dakle, za sve x ∈ C vrijedi ‖x‖ ≥ ‖c‖, tj. ‖x‖2 ≥ ‖c‖2. Kako je C konveksan ic ∈ C, to za svaki x ∈ C i sve λ ∈ [0, 1] imamo c+ λ(x− c) ∈ C, pa je:

‖c+ λ(x− c)‖2 ≥ ‖c‖2, odnosno, 2〈x− c, c〉+ λ‖x− c‖2 ≥ 0.

Pri λ 7→ 0+ dobijamo da je 〈c, x〉 ≥ ‖c‖2. Uzimajući da je a = c , α= ‖c‖2

2 slijedia 6= 0 (jer 0 /∈ C ⇒ ‖c‖ 6= 0), i α > 0 , tako da dobijamo

〈a, x〉 > α > 〈a,0〉 za sve x ∈ C

b) Ako 0 /∈ cl C, koji je takođe konveksan skup, imamo situaciju iz a).Zato, neka je 0 ∈ cl C \ C. Postoji niz ck, ck ∈ Rn \ cl C, takav da ck → 0. Zasvaki k ∈ N skup

−ck + cl C

5

je konveksan i zatvoren. U tom skupu neće biti 0, pa prema a) postoji niz vektoraak takav da za sve x ∈ cl C vrijedi

〈ak,−ck + x〉 > 〈ak,0〉 = 0.

Pošto je ak 6= 0 imamo⟨ ak‖ak‖

, x− ck⟩≥ 0, ak

‖ak‖∈ S(0, 1)

Niz

ak

‖ak‖

ima podniz koji konvergira ka a ∈ S(0, 1) Pri tome je ‖a‖ = 1 tako

da u graničnom procesu dobijamo da za sve x ∈ C imamo:

〈a, x〉 ≥ 0 = 〈a,0〉

Sada ćemo pokazati jednu od osnovnih teorema razdvajanja:

Teorema 1.4. Neka su C1, C2 ⊆ Rn neprazni, disjunktni, konveksni i zatvoreni.Ako je jedan od njih ograničen, onda postoji hiperravan koja ih strogo razdvaja.

Dokaz. Razlika C1−C2 datih skupova je, po pretpostavkama, konveksan i zatvorenskup. Uz ovo, uslov C1∩C2 = ∅ znači da je 0 /∈ C1−C2. Prema prethodnoj teoremipostoji a ∈ Rn, i a 6= 0 i β > 0 tako da za sve x ∈ C1 i sve y ∈ C2 vrijedi:

〈a, x− y〉 > β > 0,

odakle dobijamo〈a, x〉 > 〈a, y〉+ β > 〈a, y〉

Skup 〈a, x〉 : x ∈ C1 je ograničen odozdo sa 〈a, y〉 + β, za proizvoljan fiksirany ∈ C2. Sada je:

infx∈C1〈a, x〉 − β

gornja međa skupa 〈a, y〉 : y ∈ C2, pa imamo:

infx∈C1〈a, x〉 ≥ sup

y∈C2

〈a, y〉+ β > supy∈C2

〈a, y〉.

Uzimajući da je α između uočenog supremuma i infimuma slijede nejednakosti izdefinicije (1.3.)

Koristeći drugi dio teoreme (1.3.), a ponavljajući prethodni postupak, uz izbor

α ∈ [supy∈C2

〈a, y〉, infx∈C1〈a, x〉]

dobija se:

6

Teorema 1.5. Neprazni,konveksni, disjunktni skupovi C1 i C2 su razdvojeni.

Posljedica 1.1. Ako je još skup C1 otvoren, uz uslov prethodne teoreme, ondapostoji hiperravan H(a, α), tako da vrijedi

C1 ⊆ intH−(a, α), i C2 ⊆ intH+(a, α).

Dokaz. Iz prethodne teoreme slijedi da je 〈a, x〉 ≤ α za sve x ∈ C1. Ako bipretpostavili da je 〈a, x0〉 = α za neki x0 ∈ C1,onda ( pošto je x0 + ε a

‖a‖2 ∈ C1, zadovoljno malo ε > 0) dobijamo:

⟨a, x0 + ε

a

‖a‖2

⟩= α + ε ≤ α

Pošto ovo nije moguće, tako da preostaje:

〈a, x〉 < α ≤ 〈a, y〉

za sve x ∈ C1 i sve y ∈ C2.

Napomena: Jedna od primjena teoreme o separaciji je analiza aktivnosti predu-zeća. Grubo govoreći, problem se svodi na izbor one aktivnosti, odnosno promjen-ljivih u funkciji konstantnih prinosa koje za dati ulaz (engl. input) maksimizujuodgovarajući izlaz (engl. output). U ovom slučaju rješenje problema se izražavakao mogućnost konstrukcije potporne hiperravni za odgovarajući konveksan poli-edarski konus (ili neki drugi konveksan skup).

1.3. Konveksne funkcije

Definicija 1.4. [Konveksne funkcije] Neka je f realna funkcija sa domenomD(f) ⊆ Rn, i C ⊆ D(f) neprazan, konveksan skup. Funkcija f je konveksna naC ako za sve x1, x2 ∈ C i λ ∈ [0, 1] vrijedi:

f((1− λ)x1 + λx2) ≤ (1− λ)f(x1) + λf(x2)

Ako je u ovoj nejednakosti znak <, za sve x1 6= x2 onda je riječ o strogoj konvek-snosti. Funkcija f je konkavna ⇔ -f konveksna.

Primjeri: a)Afina funkcija a(x) = 〈a, x〉+ α je konveksna na C = Rn. Ona je ikonkavna na tom skupu. Afine funkcije su jedine koje su i konveksne i konkavne.

7

b)Kvadratna forma q(x)=〈Cx, x〉+ 〈c, x〉 je konveksna na svakom C ⊆ Rn, ako isamo ako je simetrična matrica C pozitivno semidefinitna. Ovo imamo iz

(1− λ)q(x1) + λq(x2)− q((1− λ)x1 + λx2) = λ(1− λ)〈C(x1 − x2), x1 − x2〉.

Teorema 1.6. Funkcija f je konveksna na C akko za sve m ∈ N , sve x1, ..., xm ∈C, λ1, ..., λm ≥ 0, tako da je λ1 + ...+ λm = 1 vrijedi

f(λ1x1 + ...+ λmxm) ≤ λ1f(x1) + ...+ λmf(xm)

Dokaz. Ovo je Jensenova nejednakost koja se može dokazati indukcijom pom.

Definicija 1.5. Neka je f : D(f)→ Rn. Nadgraf (epigraf), podgraf (hipograf) inivoski (Lebegov) skup od f definišimo sa:

epi (f) = (x, α) ∈ D(f)× R : α ≥ f(x)

hypo (f) = −epi(−f)

lev (f, α) = x ∈ D(f) : f(x) ≤ α.

Jednostavan odnos između epi(f) i konveksnosti dat je sljedećom teoremom:

Teorema 1.7. Neka je C u Rn konveksan skup. Funkcija f je konveksna na Cako i samo ako je epi(f) konveksan skup.

Iz teoreme imamo da je f konkavna ako i samo ako je hypo(f) konveksan skup.Svaki nivoski skup (uključujući i ∅) konveksne funkcije je konveksan.

Posljedica 1.2. Neka su f i g konveksne na C. Tada je konveksna i sljedećafunkcija:

f ∨ g = maxf(x), g(x)

Dokaz. Ovo direktno slijedi iz prethodne teoreme jer su konveksni epi(f) i epi(g),a konveksan je i epi(f ∨ g) = epi(f) ∩ epi(g) kao presjek konveksnih skupova, paobrat prethodne teoreme daje tvrđenje. Isti dokaz prolazi i za proizvoljno mnogokonveksnih funkcija, tj. funkcija sup fi je konveksna.

Primjer: Neka je α afina funkcija, i Af skup svih afnih minoranti konveksnefunkcije f : Af = α : α(x) ≤ f(x), ∀x ∈ C. Označimo sa:

f = supα∈Af

α(x)

Jasno je iz prethodnog primjera da je f konveksna. Može se pokazati da je ovakodefinisana funkcija f : C → R. Naravno, iz definicije, uvijek vrijedi f ≤ f, akažemo da je f zatvorena ako je f = f.

8

1.4. Neprekidnost konveksnih funkcija

Konveksne funkcije imaju važno svojstvo da su neprekidne na otvorenom skupu.Bez dokaza navodimo tu tvrdnju nešto preciznije:

Teorema 1.8. Neka je C ⊆ Rn konveksan skup sa nepraznim interiorom i nekaje f : C → R konveksna funkcija. Tada je f neprekidna na int C.

Definicija 1.6. [Poluneprekidnost] Neka je C ⊆ Rn. Funkcija f : C → R jepoluneprekidna sa donje strane (odozdo) u tački x ∈ C ako:

f(x) ≤ lim infk→∞

f(xk)

za svaki niz xk ⊂ C koji konvergira ka x.

Kada je funkcija f poluneprekidna odozdo u svakoj tački skupa C, tada ka-žemo da je f poluneprekidna sa donje strane na skupu C. Analogno se definiše ipoluneprekidnost odozgo.

Teorema 1.9. Neka je dat C ⊆ Rn i funkcija f : C → R. Tada su sljedeće tvrdnjeekvivalentne:(a) f je poluneprekidna odozdo na C(b) svaki nivoski skup od f je zatvoren(c) epi(f) je zatvoren skup.

Teorema 1.10. Funkcija f je konveksna i poluneprekidna odozdo na zatvorenomkonveksnom skupu C ako i samo ako je zatvorena ( tj. njen nadgraf je zatvorenskup).

Ovim smo pokazali da se za konveksne funkcije pojmovi zatvorenosti i polune-prekidnosti ne razlikuju.

9

1.5. Diferencijabilnost

Pokazaćemo da konveksna funkcija f u unutrašnjoj tački x0 domena, u svakompravcu v, ima (jednostrani) izvod:

f ′(x0; v) = limt→0+

f(x0 + tv)− f(x0)t

Postoji ε > 0 tako da je x0 + tv ∈ C za sve |t| ≤ ε. Funkcija g : (0, ε)→ R

g(t) = f(x0 + tv)− f(x0)t

je neopadajuća, jer za 0 < t1 < t2 ≤ ε nejednakost g(t1) ≤ g(t2) glasi:

f(x0 + t1v) ≤(

1− t1t2

)f(x0) + t1

t2f(x0 + t2v),

a ovo vrijedi zbog konveksnosti funkcije f . Dakle, postoji limt→0+ g(t), koji jekonačan, budući da je g(t0) ≤ g(t), za sve t ∈ (0, ε) i fiksiran t0 ∈ (−ε, 0), pa je:

f ′(x0; v) = limt→0+

g(t) = inf0<t≤ε

g(t).

Uočimo da je za svaki x ∈ C vektor v = x−x0 dopustiv pravac, pri čemu je ε = 1.Sada, iz prethodne formule dobijamo

f ′(x0;x− x0) = limt→0+

g(t) = inf0≤t≤1

g(t) ≤ g(1),

tj. vrijedi nejednakost:

f ′(x0;x− x0) ≤ f(x)− f(x0)

Navodimo bez dokaza neke kriterijume konveksnosti diferencijabilnih funkcija:

Teorema 1.11.a) Nejednakosti

f(x2) ≥ f(x1) + 〈Of(x1), x2 − x1〉

i〈∇f(x2)−∇f(x1), x2 − x1〉 ≥ 0

vrijede za sve x1, x2 ∈ C akko je f konveksna na C.b) Neka je f neprekidna na C i dva puta neprekidno diferencijabilna na int C 6= ∅.Tada je f konveksna na C akko za sve x ∈ int C, v ∈ Rn

〈∇2f(x)v, v〉 ≥ 0.

10

1.6. Subdiferencijali

Na osnovu prethodne teoreme imamo da za diferencijabilnu konveksnu funkciju,fiksiran x0 ∈ C i sve x ∈ C vrijedi:

f(x)− f(x0) ≥ 〈∇f(x0), x− x0〉.

Definicija 1.7. Subgradijent funkcije f : C → R, C ⊆ Rn u tački x0 ∈ C jevektor y0 ∈ Rn takav da za sve x ∈ C vrijedi:

f(x)− f(x0) ≥ 〈y0, x− x0〉

Skup svih subgradijenata funkcije f u x0 naziva se subdiferencijal i označava sesa ∂f(x0). Dakle,

∂f(x0) = y0 : f(x)− f(x0) ≥ 〈y0, x− x0〉, ∀x ∈ C

Napomena: Geometrijska hiperravan u Rn+1 data sa:

xn+1 = 〈y0, x− x0〉+ f(x0)

je hiperravan oslonca za epi(f) u tački (x0, f(x0)). Kako je (y0,−1) njen vektornormale, ta hiperravan nije ortogonalna na Rn. Jasno je i obrnuto, ako je hiperra-van H(a, f(x0)−〈y0, x0〉) potporna za epi(f) u (x0, f(x0)) i nevertikalna, onda jey0 subgradijen funkcije f u x0. Tada je an+1 6= 0, i y0 = − 1

an+1(a1, ..., an) ∈ ∂f(x0)

Posebno ćemo razmotriti uslov ∂f(x) 6= ∅ jer će nam koristiti u nastavku.

Definicija 1.8. Funkcija f je subdiferencijabilna u x0 ∈ D(f) ako je ∂f(x0) 6= ∅

Navedimo neke osnovne osobine subdiferencijala:

Teorema 1.12. Subdiferencijal je zatvoren i konveksan skup.

Dokaz. Neka je ∂f(x0) 6= ∅. Prvi dio tvrdnje slijedi iz neprekidnosti skalarnogproizvoda u nejednakosti iz definicije. Dalje, uzmimo y0, y1 ∈ ∂f(x0) i λ ∈ [0, 1].Kako za sve x ∈ D(f), i = 0, 1 imamo

f(x)− f(x0) ≥ 〈yi, x− x0〉,

to nakon množenja sa 1−λ ( za i = 0), a sa λ ( za i = 1), te sabiranjem dobijamo

f(x)− f(x0) ≥ 〈(1− λ)y0 + λy1, x− x0〉.

Dakle, (1− λ)y0 + λy1 ∈ ∂f(x0).

11

Teorema 1.13. Neka je f konveksna funkcija i x0 ∈ int C. Tada je ∂f(x0) 6= ∅.

Dokaz. Za x0 ∈ int C, za sve x ∈ C imamo ( na osnovu prethodne napomene):

a(x)− a(x0) ≤ f(x)− f(x0)

odnosno u nama pogodnijem obliku:

〈 aα, x− x0〉 ≤ f(x)− f(x0),

što znači da je:a

α∈ ∂f(x0)

Ustanovimo vezu između subdiferencijala i jednostranih izvoda. Navodimo neko-liko teorema čiji se dokazi mogu naći u [6].

Teorema 1.14. Neka je f konveksna na C ⊆ Rn, x0 ∈ C. Tada je y0 ∈ ∂f(x0)ako i samo ako za svaki dopustivi pravac v vrijedi 〈y0, v〉 ≤ f ′(x0; v).

Teorema 1.15. Konveksna funkcija f je diferencijabilna u x0 ∈ int C ako i samoako je ∂f(x0) jednočlan skup.

Teorema 1.16. [Moro-Rokafelar] Neka su f1 i f2 konveksne funkcije na C sanepraznim interiorom. Tada za sve x0 ∈ C imamo:

∂(f1 + f2)(x0) = ∂f1(x0) + ∂f2(x0)

Iz definicije subdiferencijala imamo:

Teorema 1.17. Tačka x∗ je minimum konveksne funkcije f na skupu C ako isamo ako je 0 ∈ ∂f(x∗).

Napomena: Na osnovu prethodne teoreme vidimo da je tačka x∗ minimumfunkcije f(x) = |x| jer 0 ∈ ∂f(x∗). Ovo ne možemo dobiti iz diferencijalnogračuna jer ova funkcija nije diferenijabilna u x = 0.

12

1.7. Konjugovane funkcije

Konjugovane funkcije se javljaju radi potrebe rješavanja problema minimizacijefunkcije f na skupu C ⊆ Rn. Taj problem je ekvivalentan sa problemom−max(−f(x)), x ∈ C. Razmotrićemo sljedeću funkciju:

−max〈y, x〉 − f(x) : x ∈ C

za sve y ∈ Rn. Ovu novu funkciju

y 7→ maxx∈C〈y, x〉 − f(x)

koja je vezana za f označavaćemo sa f ∗.

Definicija 1.9. Konjugovana funkcija funkcije f : Df 7→ R, Df ⊆ Rn je funkcijaf ∗ : Df∗ 7→ R,

f ∗(y) = supx∈Df∗

(〈y, x〉 − f(x)),

gdje je D(f ∗) skup tačaka za koje je supremum konačan.

Napomena: Situacija u kojoj je D(f ∗) = ∅ nije isključena, što pokazuje primjerfunkcije f(x) = x3,D(f) = R. Ovdje imamo supx∈R(xy − x3) =∞ za sve y ∈ R.Ako konjugovana funkcija ima neprazan domen onda možemo ustanoviti nekanjena svojstva:

Teorema 1.18. Neka je f proizvoljna funkcija za koju je Df∗ 6= ∅. Tada je Df∗

konveksan skup, a f ∗ je zatvorena funkcija.

Dokaz. Uzmimo y1, y2 ∈ Df∗ proizvoljno, λ ∈[0,1]. Sada imamo:

supx∈Df

(〈(1− λ)y1 + λy2, x〉 − f(x)) ≤

(1− λ) supx∈Df

(〈y1, x〉 − f(x)) + λ supx∈Df

(〈y2, x〉 − f(x)) ≤ +∞,

te imao da je (1−λ)y1 +λy2 ∈ Df∗ , i f ∗((1−λ)y1 +λy2) ≤ (1−λ)f ∗(y1)+λf ∗(y2).Uostalom, nadgraf epif ∗ je zatvoren i konveksan skup.

Iz defnicije direktno slijedi da za sve x ∈ Df i sve y ∈ Df∗ vrijedi

f(x) + f ∗(y) ≥ 〈x, y〉 (Jang-Fenhelova nejednakost)

Definišimo konjugovanu funkciju funkcije f ∗, i ustanovimo njen odnos sa f .(Oznaka(f ∗)∗ := f ∗∗). Imamo:

f ∗∗(x) = supy∈Df∗

(〈x, y〉 − f ∗(y)).

13

Odavde i iz Fenhelove nejednakosti imamo:

f(x) ≥ f ∗∗(x) (∗)

Neka je Df∗ 6= ∅. Kao što smo napomenuli ranije funkcija f ima afinu minorantui vrijedi Af ⊆ Df∗ , pošto za a ∈ Af tj. iz 〈a, x〉 − α ≤ f(x) ∀x ∈ D(f) slijedi〈a, x〉 − f(x) ≤ α, pa je a ∈ D(f ∗). Dalje je f ∗(a) ≤ α, odakle je 〈a, x〉 − α ≤〈a, x〉 − f ∗(a),

supa∈Af

(〈a, x〉 − α) ≤ supa∈Df

(〈a, x〉 − f ∗(a))

f(x) ≤ f ∗∗(x) (∗∗)

Iz (∗) i (∗∗) imamo odgovor kada su f i f ∗∗ jednake.

Teorema 1.19. [Fenhel-Moro] Fukcija f je odozdo poluneprekidna i konveksnana zatvorenom C akko je f = f ∗∗.

Dokaz. Neka vrijedi f = f ∗∗. Odavde imamo da je f konveksna i poluneprekidnaodozdo (f ∗∗ je koveksna i zatvorena). Obratno, iz konveksnosti i poluneprekid-nosti imamo f = f . Kako je još f ≤ f ∗∗ ≤ f , imamo f = f ∗∗.

Veza između subdiferencijala funkcije f i njene konjugovane funkcije data je slje-dećim tvrđenjem.

Teorema 1.20. Neka je f proizvoljna funkcija i x∈ Df . Tada vrijedi

y0 ∈ ∂f(x0) ⇔ f ∗(y0) + f(x0) = 〈y0, x0〉

iy0 ∈ ∂f(x0)⇒ x0 ∈ ∂f ∗(y0)

Obratna implikacija u drugoj tvrdnji vrijedi ako je f konveksna i zatvorena u x0.

14

2. Varijacione nejednakosti

2.1. Uvod

Varijacione nejednakosti, nastale 60-ih godina prošlog vijeka, obezbjeđuju uop-šten okvir za širok spektar matematičkih problema među kojima su i optimizacioniproblemi. Čest predmet razmatranja u ekonomiji su komplementarani problemi,a oni u stvari predstavljaju varijacione nejednakosti definisane na konveksnomskupu. Problem pronalaženja ravnoteže ekonomskog sistema je upravo problempronalaženja rješenja varijacione nejednakosti ili komplementarnog problema.

Međutim, poznato je da rješavanje varijacione nejednakosti nije baš očigle-dan problem. Upravo zbog toga postoje mnoge teoreme o egzistenciji rješenja.Posmatrajmo sada par primjera radi boljeg uvida u prirodu varijacionih nejed-nakosti:

Primjer: Neka je f glatka realna funkcija na zatvorenom intervalu I = [a, b].Tražimo tačke x0 ∈ I za koje je:

f(x0) = minx∈I

f(x)

Imamo tri slučaja:

– ako je a < x0 < b, tada je f ′(x0) = 0,

– ako je x0 = a, tada je f ′(x0) ≥ 0 i

– ako je x0 = b, tada je f ′(x0) ≤ 0.

Ova tri slučaja možemo sažeti pišući:

f ′(x0)(x− x0) ≥ 0 za svako x ∈ I

Ovakva nejednakost će nas odvesti do varijacione nejednakosti.

15

Primjer: Neka je f glatka funkcija definisana na zatvorenom konveksnom skupuC euklidskog prostora Rn. Ponovo ćemo tražiti tačku x0 ∈ C koja zadovoljava:

f(x0) = minx∈C

f(x)

Pretpostavimo da se minimum dostiže u tački x0 i neka je x ∈ C. Pošto je Ckonveksan, segment (1− λ)x0 + λx = x0 + λ(x− x0), λ ∈ [0, 1] leži u C. Funkcija

F (λ) = f(x0 + λ(x− x0)), λ ∈ [0, 1]

dostiže svoj minimum u tački λ = 0, pa je kao u prethodnom primjeru

F ′(0) = ∇f(x0)(x− x0) ≥ 0 za svako x ∈ C.

Dakle, tačka x0 zadovoljava varijacionu nejednakost:

x0 ∈ C : ∇f(x0)(x− x0) ≥ 0 za svako x ∈ C.

2.2. Varijacione nejednakosti u Rn

Sa (Rn)′ označimo prostor svih linearnih preslikavanja:

a : Rn → R x 7→ 〈a, x〉

Teorema 2.1. Neka je C ⊂ Rn kompaktan i konveksan skup i F : C → (Rn)′

neprekidna funkcija. Tada postoji x ∈ C tako da je

〈F (x), y − x〉 ≥ 0 za sve y ∈ C.

Problem: Neka je dat zatvoren i konveksan skup C ⊂ Rn i neka je F : C → (Rn)′

neprekidna funkcija. Naći:

x ∈ C : 〈F (x), y − x〉 ≥ 0 za sve y ∈ R (2.1)

Ako je C ograničen skup onda imamo egzistenciju rješenja na osnovu prethodneteoreme. Sa druge strane, primjetimo da problem nema uvijek rješenje. Naprimjer u slučaju C = R,

f(x)(y − x) ≥ 0 za sve y ∈ R

nema riješenja za f(x) = ex. Sljedeća teorema će nam dati potrebne i dovoljneuslove za egzistenciju rješenja. Za konveksan skup C označimo sa CR = C ∩ BR,

16

gdje je BR jedinična kugla poluprečnika R sa centrom u 0 ∈ Rn. Vraćajući se nanašu F : C → (Rn)′ primjećujemo da postoji bar jedno xR ∈ CR tako da

〈F (xR), y − xR〉 ≥ 0 za y ∈ CR (2.2)

kada je CR 6= ∅, na osnovu prethodne teoreme.

Teorema 2.2. Neka je C ⊂ Rn zatvoren i konveksan skup i F : C → (Rn)′ nepre-kidna funkcija. Potreban i dovoljan uslov egzistencije rješenje problema (2.1) jeda postoji R > 0 tako da rješenje xR ∈ CR od (2.2) zadovoljava

|xR| < R. (2.3)

Dokaz. Jasno je da ako postoji rješenje problema, tada je x rješenje od (2.2) kadgod je |x| < R. Pretpostavimo sada da xR zadovoljava (2.3). Tada je xR takođerješenje za (3.1). Zaista, pošto je |xR| < R, za dato y ∈ C je w = xR+ε(y−xR) ∈CR za dovoljno malo ε ≥ 0. Zbog toga

xR ∈ CR ⊂ C : 0 ≤ 〈F (xR), w − xR〉 = ε〈F (xR), y − xR〉 za y ∈ C

što znači da je xR rješenje problema (2.1).

Iz ove teoreme možemo izvesti mnogo dovoljnih uslova za egzistenciju.

Posljedica 2.1. Neka F : C → (Rn)′ zadovoljava:

〈F (x)− F (x0), x− x0〉|x− x0|

→ +∞ kada |x| → +∞, x ∈ C,

za neko x0 ∈ C. Tada postoji rješenje problema (2.1).

Dokaz. Izaberimo H > |F (x0)| i R > |x0| tako da

〈F (x)− F (x0), x− x0〉 ≥ H|x− x0| za |x| ≥ R, x ∈ C.

Tada

〈F (x), x− x0〉 ≥ H|x− x0|+ 〈F (x0), x− x0〉

≥ H|x− x0| − |F (x0)||x− x0|

≥ (H − |F (x0)|)(|x| − |x0|) > 0 za |x| = R. (2.4)

Neka je xR ∈ CR rješenje od (2.2). Tada

〈F (xR), xR − x0〉 = −〈F (xR), x0 − xR〉 ≤ 0

pa je prema (2.4) |xR| 6= R, tj. |xR| < R

17

Generalno, rješenje varijacione nejednakosti nije jedinstveno. Postoje, među-tim, veoma prirodni uslovi koji osiguravaju jedinstvenost. Pretpostavimo da sux1, x2 ∈ C dva različita rješenja problema (2.1). Tada

x1 ∈ C : 〈F (x1), y − x1〉 ≥ 0, y ∈ C,

x2 ∈ C : 〈F (x2), y − x2〉 ≥ 0, y ∈ C,

pa stavljajući y = x2 u prvu nejednakosti i y = x1 u drugu nejednakost, sabirajućiih dobijamo:

〈F (x1)− F (x2), x1 − x2〉 ≤ 0.

Dakle, prirodni uslovi za jedinstvenost su

〈F (x1)− F (x2), x1 − x2〉 > 0 za x1, x2 ∈ C, x1 6= x2. (2.5)

Definicija 2.1. Koristeći (2.5), za preslikavanje F : C → (Rn)′ kažemo da jemonotono ako

〈F (x1)− F (x2), x1 − x2〉 ≥ 0, za sve x1, x2 ∈ C.

Kažemo da je strogo monotono ako jednakost vrijedi samo kada je x1 = x2, tj.kada je uslov (2.5) ispunjen.

Propozicija 2.1. Neka je F : C1 → (Rn)′ neprekidno, strogo monotono preslika-vanje gdje je C1 ⊂ Rn zatvoren konveksan skup i neka je C2 ⊂ C1 takođe zatvoreni konveksan. Pretpostavimo da postoje rješenja problema:

xj ∈ Cj : 〈F (xj), y − xj〉 ≥ 0 za y ∈ Cj, j = 1, 2

(i) Ako je F (x2) = 0, tada je x1 = x2

(ii) Ako je F (x2) 6= 0 i x1 6= x2, tada hiperravan 〈F (x2), y − x2〉 = 0 razdvajax1 od C2.

18

2.3. Neki problemi koji vode do varijacionih ne-jednakosti

U ovom odjeljku ćemo se dotaći elementarnih problema koji su povezani savarijacionim nejednakostima. Neka je f ∈ C1(C), C ⊂ Rn zatvoren, konveksanskup i neka je F (x) = ∇f(x). Ovdje ne pravimo razliku između Rn i (Rn)′.

Propozicija 2.2. Pretpostavimo da postoji x ∈ C tako da

f(x) = miny∈C

f(y).

Tada je x rješenje varijacione nejednakosti:

x ∈ C : 〈F (x), y − x〉 ≥ 0 za y ∈ C.

Dokaz. Ako je y ∈ C, tada z = x+ t(y − x) ∈ C za 0 ≤ t ≤ 1; zbog toga funkcijaϕ(t) = f(x+ t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1, dostiže minimum kada je t = 0. Obrnuto,

0 ≤ ϕ(0)′ = 〈∇f(x), y − x〉 = 〈F (x), y − x〉.

Obrnuto tvrđenje vrijedi ako je f konveksna funkcija:

Propozicija 2.3. Pretpostavimo da je f konveksna i da x zadovoljava:

x ∈ C : 〈F (x), y − x〉 ≥ 0 za svako y ∈ C.

Tadaf(x) = min

y∈Cf(y).

Dokaz. Zaista, pošto je f konveksna funkcija,

f(y) ≥ f(x) + 〈F (x), y − x〉 za neko y ∈ C.

Ali 〈F (x), y − x〉 ≥ 0, pa je f(y) ≥ f(x).

19

2.3.1. Komplementaran problem

Neka jeRn

+ = x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0)

zatvoren, konveksan podskup od Rn i neka je F : Rn+ → Rn. Komplementaran

problem je: Naći x0 ∈ Rn+ tako da je F (x0) ∈ Rn

+ i 〈F (x0), x0〉 = 0.

Teorema 2.3. Tačka x0 ∈ Rn+ je rješenje komplementarnog problema akko

〈F (x0), y − x0〉 ≥ 0 za y ∈ Rn+.

Dokaz. Primjetimo prvo da ako je x0 rješenje komplementarnog problema, ondaje 〈F (x0), y〉 ≥ 0 za neko y ∈ Rn

+, pa je

〈F (x0), y − x0〉 = 〈F (x0), y〉 − 〈F (x0), x0〉 = 〈F (x0), y〉 ≥ 0.

Sa druge strane, pretpostavimo da je x0 ∈ Rn+ rješenje varijacione nejednakosti.

Tada je y = x0 + ei element od Rn+, pa je

0 ≤ 〈F (x0), x0 + ei − x0〉 = 〈F (x0), ei〉 = Fi(x0)

ili F (x0) ∈ Rn+. Dakle, pošto je y = 0 ∈ Rn

+, onda je 〈F (x0), x0〉 ≤ 0. Ali,x0, F (x0) ∈ Rn

+ implicira da je 〈F (x0), x0〉 ≥ 0 pa je 〈F (x0), x0〉 = 0.

20

3. Teorema Šepli-Folkmana

3.1. Formulacija teoreme i primjeri

Ova teorema je rezultat u konveksnoj geometriji sa primjenama u matema-tičkoj ekonomiji. Iako je konveksnost veoma korisna osobina, ne mogu svi eko-nomski odnosi biti opisani korištenjem samo konveksnih skupova. Neki odnosi(koji obično uključuju specijalizaciju u proizvodnji i potrošnji) se najbolje moguopisati korištenjem nekonveksnih skupova. Teorema Šepli-Folkmana nam govorida je suma velikog broja nekonveksnih skupova aproksimativno konveksan skup.Pod sumom skupova se podrazumjeva suma Minkowskog, koja je definisana kaozbir elemenata skupova. Na primjer:

0, 1+ 0, 1 = 0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1 = 0, 1, 2

Teorema 3.1. [Shapley-Folkman] Neka je Ci : i ∈ I konačna familija pod-skupova od Rn. Za svaki x ∈ co

∑i∈ICi postoji podfamilija J(x) ⊂ I koja sadrži

najviše n elemenata i vrijedi:

x ∈∑

i∈I\J(x)Ci +

∑i∈J(x)

co(Ci).

Prema definiciji x može biti predstavljeno na mnogo različitih načina kaosuma x =

∑i∈I

xi, gdje je xi ∈ co(Ci) za svako i. Teorema tvrdi da takođe može biti

predstavljen kao suma x =∑i∈I

xi, gdje svi xi, osim njih najviše n, pripadaju Ci.

Radi boljeg razumjevanja teoreme pogledajmo sljedeći jednostavan primjer. Uz-mimo deset indentičnih podskupova od R2 : Ci = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) za i =1, ..., 10. Razmotrimo sada co(C1 + ... + C10) = x ∈ R2 : 0 ≤ x1, x2 ≤ 10. Iz-aberimo proizvoljno x ∈ co(C1 + ... + C10), recimo x = (5.5, 5.7) Teorema tvrdida x može biti predstavljeno kao suma tačaka iz konveksnih omotača početnihskupova, co(C1), ..., co(C10). Još važnije, teorema kaže da x može biti predstav-ljeno kao suma tačaka koje sve, osim dvije u R2, dolaze iz skupova C1, ..., C10. Na

21

primjer x1 = (0.5, 0) ∈ co(C1), x2 = (0, 0.7) ∈ co(C2), x3 = (1, 1) ∈ C3, ..., x7 =(1, 1) ∈ C7, x8 = (0, 0) ∈ C8, ..., x10 ∈ C10.

3.2. Dokaz teoreme

Definišimo preslikavanje Φ: RnI → Rn:

Φ((xi)i∈I) =∑i∈I

xi

Prema definiciji je ∑i∈ICi = Φ(

∏i∈ICi).

Zbog linearnosti preslikavanja Φ je:

co(Φ (∏i∈ICi)) = Φ(co(

∏i∈ICi)) = Φ(

∏i∈I

co(Ci))

co∑i∈ICi =

∑i∈I

co(Ci)

Primjetimo prvo da je x ∈ co∑i∈I Ci ako i samo ako x pripada konveksnomomotaču od m tačaka od ∑i∈I Ci gdje je m neki konačan broj. Može se pokazati,na osnovu Karateodorijeve teoreme, da je m ≤ n+ 1. Zbog toga x možemopredstaviti na sljedeći način:

x =m∑j=1

αjyj, gdje je yj ∈∑i∈ICi, αj > 0 i

m∑j=1

αj = 1.

Dalje, svaki yj možemo predstaviti:

yj =∑i∈I

yij, gdje je yij ∈ Ci.

Označimo sa Fi skup yij1≤j≤m. Jasno, yj ∈∑i∈I

Fi za svako j, pa je:

x ∈ co∑i∈I

Fi.

Tako smo svaki skup Ci zamjenili konačnim podskupom Fi ⊂ Ci. Za ostatakdokaza je zgodno da primjetimo da su coFi politopi u Rn, a njihov proizvodco∏i∈IFi je politop u RnI .

Označimo sa H inverznu sliku od x u odnosu na preslikavanje Φ. Nas intere-suje podskup P ⊂ RnI :

P = H ∩ co∏i∈IFi = (xi)i∈I : xi ∈ coFi i

∑i∈I

xi = x.

22

Pretpostavka da je x ∈∑i∈I

coFi znači da je P neprazan. Štaviše, kako je co∏i∈IFi

politop i H je afin potprostor, P je politop. Neka je (xi)i∈I jedan od njegovihvrhova. Još imamo da je x = ∑

i∈I xi gdje je xi ∈ coFi, jer tačka (xi)i ∈ I pripadaP . Mi ćemo dokazati da sve, osim najviše n tačaka xi su vrhovi odgovarajućegcoFi. Kako svaki vrh poliedra coFi mora pripadati Fi, ovo će dokazati teoremu.

Pretpostavimo suprotno: postoji (n+1) komponenti od (xi)i∈I koje nisu vrhoviodgovarajućih coFi. Označimo ih sa x1, ..., xn+1. Za svaki xi, 1 ≤ i ≤ n + 1,postoji vektor zi ∈ Rn i broj εi > 0 tako da je:

∀t ∈ [−εi,+εi], xi + tzi ∈ coFi. (3.1)

Označimo ε = min1≤i≤n+1

εi.Sada, ako imamo n+1 vektora u prostoru dimenzije n oni su linearno zavisni.

Dakle, postoje α1, ..., αn+1 koji nisu svi jednaki nuli tako da je:

n+1∑i=1

αizi = 0.

Možemo pretpostaviti da je |αi| ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n + 1. Definišimo dvije tačke(x′i)i∈I , (x′′i )i∈I iz RnI na sljedeći način:

x′i = xi + εαizi, 1 ≤ i ≤ n+ 1,

x′′i = xi − εαizi, 1 ≤ i ≤ n+ 1,

x′i = xi = x′′i inače.

Iz (3.1) slijedi da x′i i x′′i pripadaju coFi. Štaviše:

∑i∈I

x′i =∑i∈I

xi + εn+1∑i=1

αizi = x

∑i∈I

x′′i =∑i∈I

xi − εn+1∑i=1

αizi = x

Dakle, tačke (x′i)i∈I i (x′′i )i∈I pripadaju P . Ali, jasno je da:

(xi)i∈I = 12 (x′i)i∈I + 1

2 (x′′i )i∈I ,

pa (xi)i∈I ne može biti vrh od P , što je kontradikcija.

23

3.3. Mjerenje nekonveksnosti

Definicija 3.1. Poluprečnik kompaktnog skupa C je definisan kao:

rad(C) ≡ infx∈Rn

supy∈C|x− y|

Teorema 3.2. Neka je F konačna familija kompaktnih podskupova C ⊂ Rn i nekaje m > 0 tako da je rad(C) ≤ m za svako C ∈ F. Tada za bilo koje x ∈ co∑C∈F Cpostoji y ∈ ∑C∈F C tako da je |x− y| ≤ m

√n.

Značaj teoreme Šepli-Folkmana je da je suma velikog broja kompaktnih ne-konveksnih skupova približno konveksana. Krećemo sa familijom skupova F čijielementi su rad(C) manjeg ili jednakog od m. Mjera veličine nekonveksnostispomenuta ovde je udaljenost između tačke konveksnog omotača i najbliže tačkeosnovnog skupa. Sabiranjem dva skupa se može povećati veličina nekonveksnostiu sumi; ali je na kraju poluprečnik nekonveksnosti ograničen odozgo sa m

√n.

Kako su dodatni skupovi sabrani, njihova nekonveksnost se ne spaja; nekonveks-nost sume se ne povećava. Kako se pojedini sumandi dodaju veličina rupa i urezase ne povećava. Neprecizno govoreći, možemo reći da suma postaje aproksima-tivno konveksna kako se broj skupova u sumaciji povećava.

Definicija 3.2. Definišemo unutrašnji poluprečnik od C ⊂ Rn na sljedeći način:

r(C) ≡ supx∈co C

infT⊂C;x∈coT

rad(T )

Posljedica 3.1. Neka je F konačna familija kompaktnih podskupova C ⊂ Rn im > 0 tako da je r(C) ≤ m za svako C ∈ F. Tada za svako x ∈ co ∑C∈F C postojiy ∈ ∑C∈F C tako da je |x− y| ≤ m

√n.

Ponovo, interpretacija posljedice je da se poslije sabiranja konačnog brojaskupova, dodavanjem još skupova neće povećati veličina nekonveksnosti. Zatosuma skupova postaje približno konveksna kako se broj skupova povećava.

24

3.4. Jednostavan dokaz teoreme

Većina objavljenih dokaza teoreme Šepli-Folkmana koristi teoremu Minkov-skog. Ovdje ćemo pokazati nešto jednostavniji dokaz koristeći sljedeću činjenicuiz linearne algebre: Pretpostavimo da su x, x1, ..., xm vektori u Rn. Ako je xnenegativna kombinacija od x1, ..., xm, tada ona mora biti nenegativna kombi-nacija ne više od n vektora iz x1, ..., xm. Dokaz ove činjenice se može pronaćiu knjigama iz linearnog programiranja.

Teorema 3.3. 1 Neka je Ci, (i = 1, ...,m) neprazni podskupovi od Rn i C =m∑i=1Ci.

Tada svaki x ∈ co(C) ima reprezentaciju x =m∑i=1

xi tako da je xi ∈ co Ci za najviše

n indeksa i.

Dokaz. Svaki x ∈ co C možemo predstaviti u obliku x =m∑i=1

yi gdje je yi ∈ co Ci za

svako i.Neka je yi =li∑j=1

αijyij, gdje je αij > 0, ili∑j=1

αij = 1, a yij ∈ Ci. Definišimo

sljedeće vektore u Rn+m :

z = (x, 1, 1, ..., 1)

z1j = (y1j, 1, 0, ..., 0)

...............

zmj = (ymj, 0, 0, ..., 1).

Tada imamo z =m∑i=1

li∑j=1

αijzij. Zbog činjenice koju smo naveli na početku,

znamo da z može biti predstavljen kao: z =m∑i=1

li∑j=1

βijzij, gdje je svako βij ≥ 0,

osim najviše (n+m) βij > 0. Sada možemo razložiti izraz na:

x =m∑i=1

li∑j=1

αijzij i∑

j = 1liβij = 1 za svakoi.

Ako stavimo xi =li∑j=1

βijyij, tada x =m∑i=1

, gdje je xi ∈ co Ci za svako i. Pošto

najviše (n+m) βij ≥ 0 ukupno i najviše jedno βij > 0 za svako i, postoji najvišen indeksa i za koji je više od jednog βij > 0. Dakle, xi ∈ Ci za najmanje (m− n)indeksa i što je i trebalo dokazati.

1Teorema je preuzeta iz [5]

25

4. Primjena u ekonomiji

Ekonomija je naučna disciplina koja proučava pravila ponašanja i zakonitostiu privrednim aktivnostima ili nauka koja proučava kako društva koriste oskudneresurse da bi proizvodili dobra i usluge kako bi što bolje zadovoljili svoje potrebe.Ekonomija se između ostaloga bavi problemima proizvodnje (ponuda, tražnja,troškovi, prihodi, dobit...), bankarskim poslovima (kamata, kapitalisanje, šted-nja, krediti ...) ali i drugim ekonomskim problemima kao što su na primer cene,inflacija, ekonomski rast (ili pad), transfer valuta ...

Navedene ekonomske kategorije imaju svoje matematičke interpretacije i odmatematike se najčešće traži, a i s pravom očekuje, da korišćenjem sopstvenihmetoda odgovori na pitanja kao što su:

- Kako organizovati transport tako da transportni troškovi budu najmanji?

- Kako formirati cenu da prihod bude najveći?

- Kako organizovati proizvodnju da proizvodni troškovi budu najmanji?

- Kako najracionalnije konstruisati ambalažu nekog proizvoda?

- Kako dobiti najveći profit, tj. kako smanjiti troškove i kako povećati prihode?

- Da li je uzeti kredit povoljan ili ne?

- Da li se štednja kod banke isplati ili ne?

- Koji je najracionalniji način vraćanje kredita?

i mnoga druga pitanja. Količinu svakog proizvoda možemo predstaviti realnimbrojem, pa za svaki vektor x = (x1, ..., xn) ∈ Rn

+, postoji asocirana količina xiodgovarajućeg proizvoda i. Ako cijenu proizvoda i fiksiramo sa pi, onda sumakoju trebamo izdvojiti da bi kupili x ∈ Rn

+ je 〈p, x〉 =n∑i=1

pixi

26

4.1. Problem opšte ekonomske ravnoteže

U ekonomiji, teorija opšte ravnoteže pokušava da objasni ponašanje ponude,potražnje i cijena u cijeloj privredi sa nekoliko ili više međusobno povezanih tr-žista, sa željom da dokaže da postoji skup koji će dovesti do sveukupne ravnoteže.Ona je u suprotnosti sa parcijalnom ravnotežom koja analizira samo pojedinačnatržišta. Teorija ravnoteže koristi obje ove studije i nastoji da utvrdi u kojimokolnostima će se pretpostavke opšte ravnoteže držati.

Iako je svaka ravnoteža efikasna, najveći je problem pokazati njenu egzis-tenciju. Da bi se garantovala egzistencija ravnoteže dovoljno je da skup prioritetapotrošača bude konveksan. Star1 je primjenio teoremu Šepli-Folkmana da dokažeda i bez pretpostavke konveksnosti postoji približna ravnoteža.

4.2. Andersonova teorema konvergencije jezgra

Prije nego počnemo sa teoremom uvedimo notaciju koju ćemo koristiti. Ako jex, y ∈ Rn tada

‖x‖∞ = max1≤i≤n|xi|, ‖x‖1 =n∑i=1|xi|

u = (1, 1, ..., 1) ∈ Rn; x ≤ y ako xi ≤ yi za i = 1, ..., n; x y ako xi < yi

za i = 1, ..., n. Neka P označava skup svih prioriteta (preferencije potrošača, tj.skup binarnih relacija na Rn

+) koje zadovoljavaju sljedeće osobine: (i) slabamonotonost: x y ⇒ x y, (ii) tranzitivnost: x y, y z ⇒ x z.

Definicija 4.1. Razmjenska ekonomija je preslikavanje ε : A → P × Rn+, dato

sa ε(a) = (a, e(a)), gdje je A ⊂ Rn konačan skup, a prioritet potrošača a ie(a) je njegov početni dohodak. Alokacija (raspodjela) je preslikavanje f : A →Rn

+ tako da je ∑a∈A f(a) = ∑a∈A e(a). Koalicija je neprazan podskup S ⊂ A.

Alokacija f je blokirana koalicijom S ako postoji preslikavanje g : S → Rn+ gdje

je ∑a∈S g(s) = ∑a∈S e(a) tako da je g(a) a f(a) za svako a ∈ S. Jezgro od

ε, C(ε), je skup svih alokacija koje nisu blokirane nekom koalicijom. Cijena p jeelement od Rn

+ td. ‖p‖1 = 1. Skup svih cijena označimo sa S.

Teorema 4.1. Neka je ε : A → P × Rn+ konačna razmjenska ekonomija, gdje

je |A| = m. Neka je M = sup‖e(a1) + ... + e(an)‖∞ : a1, ..., an ∈ A. Ako jef ∈ C(ε) tada postoji p ∈ S tako da je:

1Ross M. Starr (1945- ), američki ekonomista

27

(i)1m

∑a∈A|p(f(a)− e(a))| ≤ 2M

m

(ii) 1m

∑a∈A |infp(x− e(a)) : x a f(a)| ≤ 2M

m.

Napomena: Uslov (i) kaže da prosječno budžetsko odstupanje (prosječaniznos kojim se trošak alokacije jezgra razlikuje od prinosa prodaje početnih do-prinosa) je malo. Uslov (ii) tvrdi da ako se budžetski skup x : px ≤ pe(a) polakosmanjuje ka prosjeku, ne postoji element smanjenog budžetskog skupa koji jeprioritet za alokaciju jezgra. Ovo obuhvata ideju da ništa u originalnom budžetunije mnogo prioritetnije u odnosu na alokaciju jezgra. U nekim primjenama, dru-gačija normalizacija je zgodnija. Neka je ‖x‖q = (

n∑i=1|xi|q)

1q , 1 ≤ q < ∞. Ako

normalizujemo cjene sa ‖p‖q = 1, teorema vrijedi za M = n1/r sup‖e(a1) + ...+e(an)‖∞ : a1, ..., an ∈ A, gdje je 1

r+ 1

q= 1.

Dokaz. Za a ∈ A, neka je φ(a) = x− e(a) : x a f(a) ∪ 0.Definišimo Φ = 1

m

∑a∈A

φ(a). Pretpostavimo da postoji G ∈ Φ, G 0. Tada

postoji g : A → Rn, gdje je g(a) ∈ φ(a) za svako a i G = 1m

∑a∈A g(a). Neka

je B = a ∈ A : g(a) 6= 0 i h(a) = g(a) + e(a) − m|B|G za a ∈ B. Tada je

h(a) g(a) + e(a) i g(a) + e(a) a f(a). Pošto je a∈ P , to je h(a) a f(a) zasvako a ∈ B.

∑a∈B

h(a) =∑a∈B

(g(a) + e(a)− m

|B|G) =

∑a∈B

g(a) +∑a∈B−mG

= mG+∑a∈B

e(a)−mG =∑a∈B

e(a).

Znači B blokira f pa f /∈ C(ε). Dakle, G p ⇒ G /∈ Φ. Neka je z = Mmu.

Pretpostavimo da je x ∈ coΦ∩w ∈ Rn : w −z. Na osnovu Šepli-Folkmanoveteoreme možemo x zapisati u obliku x = 1

m

∑a∈A

g(a), gdje je g(a) ∈ coφ(a) za

svako a ∈ A i g(a) ∈ φ(a) za sve osim k vrijednosti od a, gdje je k ≤ n. Nekasu to vrijednosti a1, ..., ak. Neka je g1(a) = 0 ako je a jedan od ai-ova i nekaje g1(a) = g(a) inače. Pošto je φ(ai) ≥ −e(ai), coφ(ai) ≥ −e(ai). Neka jey = 1

m

∑a∈A

g1(a) ∈ Φ. Tada:

y = x− 1m

k∑i=1

g(ai) ≤ x+ 1m

k∑i=1

e(ai) ≤ x+ z 0.

Pošto je y ∈ Φ ovo je kontradikcija.

28

Dakle coΦ ∩ w ∈ Rn : w −z je prazan skup. Pošto su ovi skupovikonveksni na osnovu teoreme razdvajanja postoji p ∈ S tako da p razdvaja Φ odw ∈ Rn : w −z. Zato je inf p · φ(a) ≥ suppw : w −z = −pz = −M

m.

Pošto je 0 ∈ φ(a) za sve a, 0 ≥ 1m

∑a∈A

inf p · φ(a) = inf p · Φ ≥ −Mm

.

Kako je f(a)− e(a) + u/k ∈ φ(a) za bilo koji prirodan broj k, to je p(f(a)−e(a)) ≥ inf pφ(a). Ako je S = a ∈ A : p(f(a)− e(a)) < 0,

1m

∑a∈S

p(f(a)− e(a)) ≥ 1m

∑a∈S

inf p · φ(a) ≥ −Mm.

1m

∑a∈A

p(f(a)− e(a)) = 1mp(∑a∈A

f(a)−∑a∈A

e(a))

= p · 0 = 0

Zato,

1m

∑a∈A|p(f(a)− e(a))| = 2

m

∑a∈S|p(f(a)− e(a))| ≥ 2M

m.

1m

∑a∈A| infp · (x− e(a)) : x a f(a)| ≤

− 1m

∑a∈A

inf p · φ(a) + a

m

∑a/∈S

p · (f(a)− e(a)) ≤

M

m+ M

m= 2M

m.

Ovim smo završili dokaz teoreme koja služi kao pomoć u dokazivanju sljedećenešto opštije teoreme.

Teorema 4.2. Neka je εn : An → P × Rn+ niz razmjenskih ekonomija tako da

Mn/An → 0. Ako je fn ∈ C(εn), tada postoje cijene pn ∈ S tako da je:

(i) 1|An|

∑a∈An

|pn(fn(a)− en(a))| → 0

(ii) 1|An|

∑a∈An

| infpn(x− en(a)) : x a fn(a)| → 0.

29

4.3. Ekvivalencija problema OER i varijacionihnejednakosti

U ovom dijelu ćemo opisati jedan model ekonomske ravnoteže. Model opisujeekonomski sistem koji se sastoji od n dobara i m faktora proizvodnje. Neka ckpredstavlja cijenu k-tog dobra, bi označava potpuni inventar i-tog faktora i aijoznačava stopu potrošnje i-tog faktora, od koga se zahtjeva proizvodnja jednejedinice j-tog dobra, pa možemo staviti c = (c1, ..., cn), b = (b1, ..., bm), A =(aij)m×n. Dalje, neka xj označava koliko je proizvedeno j-tog dobra, a neka je picijena i-tog faktora i x = (x1, ..., xn), p = (p1, ..., pm). U ovom modelu se zahtjevada cijene zavise od proizvodnje, pa je c : Rn

+ → Rn+ dato preslikavanje. U nekim

slučajevima se pretpostavlja da je b fiksiran vektor, ali vektor koji predstavljainventar može biti nepouzdan, pa uzimamo slučajan vektor b = B(ω). Zatodolazimo do sljedećeg:Problem: Za svako ω ∈ Ω naći X(ω) ∈ Rn

+, P (ω) ∈ Rn+ tako da:

〈c(X(ω)), X(ω)− x〉+ 〈P (ω), Ax− AX(ω)〉 ≥ 0, ∀x ∈ Rn+;

〈p− P (ω), B(ω)− AX(ω)〉 ≥ 0, ∀x ∈ Rn+.

Ovo je ništa drugo već optimalni optimalni uslov za problem varijacione nejed-nakosti: Za svako ω ∈ Ω, naći X(ω) ∈ C(ω) tako da

〈c(X(ω)), X(ω)− x〉 ≥ 0, za svako x ∈ C(ω),

gdje je

C(ω) = x ∈ Rn : x ≥ 0, Ax ≤ B(ω).

30

5. Literatura

[1] David Kinderlehrer, Guido Stampacchia, An Introduction to Variational Inequ-alities and their Applications, 7-18, Academic Press, New York, 1980

[2] Ivar Ekeland, Elementi matematičeskoj ekonomiki, 67-72, Moskva, 1983.

[3] Ivar Ekeland, Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems, 357-375, SIAM, Philadelphia, 1999.

[4] J. Gwinner, F. Raciti, Random Variational Inequalities with Applications toEquilibrium Problems under Uncertainty, 169-171, InTech, 2010.

[5] Lin Zhou, A simple proof of the Shapley-Folkman theorem,371-373 EconomicTheory, 1993.

[6] Milan V. Jovanović, Konveksno programiranje, Prirodno-matematički fakul-tet, Banja Luka, 2009.

[7] Robert M. Anderson, An Elementary Core Equivalence Theorem, 1483-1488,Econometrica, 1978.

[8] Ross M. Starr, General Equilibrium Theory, an Introduciton, 251-260, Cam-bridge University Press, New York 2011.

[9] www.jstor.org

31