Seufert García Jasmín. Ing. Química ITM, 2014.

TEOREMA π DE BUCKINGHAM

En la última clase de Mecanismos de Transferencia, entramos al tema de Análisis

Dimensional, mismo que se basa en la homogeneidad dimensional, que, como su

nombre lo indica, trata de que todos los términos que estén involucrados en una

ecuación deben de tener las mismas dimensiones y unidades para poder realizar

cálculos en la misma, como sumas y restas.

Existen varios métodos para deducir la ecuación física de un problema

relacionando sus cantidades físicas, y éstos dependen del número de variables que

están involucradas en el mismo. Si se trata de tres o menos variables, se utilizan

métodos directos partiendo comúnmente de ecuaciones diferenciales. Si, por el

contrario, son 4 o más variables las incluidas, se utiliza el método conocido como:

Teorema de Buckingham.

Para comprenderlo veamos algunas definiciones. Según el libro Sistemas de Unidades

Físicas de J. Galán García: “El Teorema de o de Buckingham establece que cuando

el número de variables o magnitudes físicas de las que es función la magnitud

problema, cuya ecuación física queremos deducir, son cuatro o más, éstas se pueden

agrupar en un número menor de grupos adimensionales, llamados números , y a

partir de éstos establecer la ecuación homogénea”.

Y para los autores Potter y Wiggert: “El Teorema de Buckingham es una

teoría que organiza los pasos que garanticen la homogeneidad dimensional; requiere

un cierto grado de conocimiento de los fenómenos para que se incluyan las cantidades

de interés apropiadas. Estipula que (n - m) grupos de variables sin dimensiones,

llamados términos , donde m es el número de dimensiones básicas incluidas en las

variables pueden ser relacionados por:

”

Con estos conceptos ya podemos ir dándonos una idea del Teorema, pero para

comprenderlo mejor hay que conocer el procedimiento y ver algún ejemplo. En éste

caso nos guiaremos por un ejemplo del mismo libro de Potter y Wiggert.

Seufert García Jasmín. Ing. Química ITM, 2014.

Ejemplo.

Se va a estudiar la fuerza de retardo en un cilindro de diámetro y longitud

. ¿Qué forma funcional relaciona las variables sin dimensiones si un fluido con

velocidad fluye normal al cilindro?

Solución.

Antes que nada, vamos a determinar las variables que tienen alguna influencia

en la fuerza de retardo. Normalmente estos conocimientos son obtenidos de forma

experimental. En este ejemplo, se incluyen como variables influyentes la velocidad de

corriente libre , la viscosidad , la densidad del fluido, además del diámetro y la

longitud del cilindro, con lo que se obtienen n = 6 variables. Esto se describe como:

Podemos hacer una pequeña tabla para analizar las cantidades físicas y sus

dimensiones:

Cantidad Física Dimensiones

De ésta forma, podemos darnos cuenta más fácil de las 6 variables que

tenemos y también de que tenemos m = 3 dimensiones diferentes.

Para obtener el número de parámetros adimensionales posibles ( ), calculamos:

El siguiente paso es elegir 3 de las 6 variables, y las llamaremos “repetidas”, según el

libro de Potter y Wigget:

I. El primer paso es escribir la forma funcional de la variable dependiente

de acuerdo con las (n - 1) variables independientes.

II. El segundo paso es identificar variables repetidas m, variables que se

combinarán con cada variable restante para formar los términos .

Seufert García Jasmín. Ing. Química ITM, 2014.

“Las variables repetidas seleccionadas de las variables independientes contienen

todas las dimensiones básicas, sin embargo no deben formar un término por sí

mismas.”

¿A qué se refiere exactamente con no formar un término ?, A que entre las

variables que elijamos como repetidas no se “cancelen” y se vuelvan adimensionales.

¿Y cómo vamos a saber cuántas variables repetidas formar? Esto depende del

número de dimensiones que se tengan. Teniendo esto en cuenta, podemos elegir

nuestras 3 variables, ya que nuestro problema abarca 3 dimensiones: M, L y T. En

éste caso tomaremos: , y . Si observamos la tabla anterior, ésta elección contiene

las 3 dimensiones y no se cancelan entre ellas. También es recomendable no usar

como repetida la variable que está en función de las demás, en éste caso: .

Proseguimos al paso 3:

Éste paso puede llevarse a cabo mediante un procedimiento algebraico simple.

Empecemos por la combinación de nuestro primer término . Puede escribirse como:

El objetivo de este paso es determinar a, b y c de modo que el agrupamiento

quede sin dimensiones. Por lo tanto, y basándonos en nuestra tabla de dimensiones

anterior:

(

)

Esto también lo podemos expresar diferente para interpretar mejor, cualquiera

de las dos es correcta:

Ahora podemos igualar los exponentes en donde se encuentra cada dimensión,

obteniendo así un sistema de ecuaciones lineales, serán tantas ecuaciones como

dimensiones tengamos:

M: 0 = c + 1

L: 0 = a + b – 3c + 1

T: 0 = -b – 2

Resolviendo estas ecuaciones de forma sencilla podemos ver que:

a = -2 b = -2 c = -1

III. El tercer paso es formar los términos combinando las variables

repetidas con cada una de las variables restantes.

Seufert García Jasmín. Ing. Química ITM, 2014.

¿Qué significan estos números? Son valores que cada uno de los exponentes

de la ecuación anterior ( ) deben tener para poder volver a la ecuación

adimensional, es decir, que se cancelen sus dimensiones.

Entonces el término se escribiría como:

Y si analizamos sus dimensiones podemos observar:

Esa sería la ecuación para el término , también podemos calcular y .

Los escribiré ya resueltos pero se puede llegar al resultado con el mismo

procedimiento antes utilizado:

La relación funcional sin dimensiones que relacionan los términos es:

ó

En lugar de la relación original de seis variables el problema se redujo a uno

que implica tres términos , un problema mucho más simple.

Bibliografía consultada:

- Potter Merle, Wiggert David. (2002). Mecánica de Fluidos. México. Editorial

Thomson. Tercera Edición.

- Galán, J.L. (1987). Sistemas de Unidades Físicas. España. Editorial Reverté.

Primera Edición.

IV. El cuarto paso es escribir la forma funcional de los (n – m) términos

sin dimensiones.