12 - equações diferenciais básicas adimensionais - teorema pi de buckingham
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Mecânica dos Fluidos 1
Aula 12
Equações Diferenciais Básicas Adimensionais
Teorema Pi de Buckingham
Determinação dos Grupos Pi
Equações diferenciais básicas adimensionais
• Equações governantes dimensionais (camada limite):
– Conservação da massa
– Conservação da quantidade de movimento linear na direção x:
– Condições de contorno:
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2
2
1 dpu u uu v
x y dx y
0u v
x y
0 0u x,
0 0v x,
u x V,
Equações diferenciais básicas adimensionais
• Equações governantes adimensionais (camada limite):
– Conservação da massa
– Conservação da quantidade de movimento linear na direção x:
– Condições de contorno:
Mecânica dos Fluidos 1 2
2
2
1* * * ** *
* * * *
L
u u dp uu v
x y dx Re y
0u v
x y
* *
* *
0 0u x* *,
0 0v x* *,
1u xL
* *,
Equações diferenciais básicas adimensionais
• Equações governantes e adimensionais (camada limite):
– Conservação da energia e condições de contorno:
– Conservação da energia (adimensional):
– Condições de contorno (adimensionais):
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2
2
T T Tu v
x y y
0S
T x T,
T x T,
2
2
1
L
T T Tu v
x y Re Pr y
* * ** *
* * *
0 0T x* *,
1T x* *,
Análise dimensional
• Como pouquíssimos escoamentos reais podem ser solucionados com exatidão usando-se apenas métodos analíticos, a mecânica dos fluidos tem dependido muito de métodos experimentais.
• A situação do escoamento real é aproximada por meio de um modelo matemático simples o suficiente para fornecer uma solução.
• Medições experimentais são realizadas para verificar a solução analítica.
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Análise dimensional
• Contudo, o trabalho experimental é simultaneamente caro e demorado.
• Em trabalhos experimentais, o objetivo é ter o máximo de informações com o mínimo de experiências.
• A análise dimensional é uma importante ferramenta para a obtenção desse objetivo.
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Análise dimensional
• Quando a realização de testes experimentais em um protótipo de tamanho real é impossível ou muito caro, o único modo viável de resolver o problema é através de modelos em laboratório.
• Natureza da análise dimensional:
– A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos depende de parâmetros geométricos, cinemáticos e dinâmicos, bem como de propriedades do fluido. Por exemplo:
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F f D V, , ,
Análise dimensional
• Análise dimensional do escoamento em torno de uma esfera: – Imagine uma série de experiências para determinar a dependência de
F com relação às outras variáveis.
– Para se obter uma curva F x V para valores fixos de , e D seria necessário 10 testes (mínimos) para a obtenção de 10 valores de V.
– Para explorar o efeito do diâmetro, cada teste seria repetido para esferas de diâmetros diferentes (10 no mínimo).
– Se o procedimento fosse repetido para 10 valores de e de , ou seja, 104 experimentos deveriam ser realizados.
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F f D V, , ,
Análise dimensional
• Análise dimensional do escoamento em torno de uma esfera : – Em vez de fazer todos esses experimentos, pode-se através da análise
dimensional determinar a força de arrasto (relação funcional adimensional) da seguinte forma:
– Neste caso, apenas a razão VD/ deve ser variada.
– Isto pode ser simplesmente conseguido através da variação apenas da velocidade, por exemplo.
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F f D V, , ,
12 2
F VDf
V D
Teorema PI de Buckingham
• O emprego do teorema PI de Buckingham permite desenvolver os parâmetros adimensionais de modo simples.
– Dado um problema físico, o parâmetro dependente é uma função de n-1 parâmetros independentes:
– Expressando a equação anterior de forma equivalente:
– Onde g é uma função não especificada diferente de f.
– Por exemplo, para a força de arrasto numa esfera:
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1 2 3 nq f q q q, ,...,
1 2 30
ng q q q q, , ,...,
F f D V, , , 0g F D V, , , ,
Teorema PI de Buckingham
– Dada uma relação entre n parâmetros da forma:
– Os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais (parâmetros ):
– O número m é usualmente (mas nem sempre) igual ao número mínimo r de dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros q1, q2, q3, ..., qn.
– Os n-m parâmetros adimensionais são independentes.
– Um parâmetro não é independente se ele puder ser formado por um produto ou quociente dos outros parâmetros do problema. Neste exemplo os parâmetros são independentes:
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1 2 30
ng q q q q, , ,...,
1 20
n mG , ,...,
1 1 2 3
oun m
G
, ,...,
15
2 3
2
3 4
16 2
3
/
Teorema PI de Buckingham
• Como determinar os parâmetros ?
1. Liste todos os n parâmetros envolvidos. • Se todos os parâmetros importantes não forem incluídos, o fenômeno
não será completamente representado.
• Se alguns parâmetros não importantes forem adicionados, a análise dimensional mostrará que eles não entram na relação a ser determinada.
2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias): • MLt (massa, comprimento e tempo).
• FLt (força, comprimento e tempo).
3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias.
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Teorema PI de Buckingham
• Como determinar os parâmetros ? 4. Selecione da lista um número r de parâmetros que, em
conjunto, incluam todas as dimensões primárias. • Esses parâmetros serão todos combinados com cada um dos parâmetros
remanescentes e serão chamados de parâmetros repetentes.
• Nenhum desses parâmetros pode ter dimensões que sejam potências de dimensões de outro parâmetro de repetente.
• E.g. não inclua simultaneamente um comprimento L e um momento de inércia L4 como parâmetro repetente.
5. Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no item 4 com cada um dos outros parâmetros para formar grupos dimensionais. • Resolva as equações dimensionais para obter os n-m grupos
adimensionais.
6. Verifique se cada grupo obtido é adimensional.
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Teorema PI de Buckingham Exemplo: força de arrasto numa esfera
1. Liste todos os n parâmetros envolvidos.
• n = 5 parâmetros dimensionais.
2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias): M, L e t.
3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias.
• r = 3 dimensões primárias.
4. Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias.
• m = r = 3 parâmetros repetentes.
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F D V
2 3
VFD
ML L M ML
t t L Lt
eV D,
Teorema PI de Buckingham Exemplo: força de arrasto numa esfera
4. Obs.: a escolha , V e D como variáveis repetentes leva, em geral, a um conjunto de parâmetros adimensionais que tem se mostrado como os mais adequados para correlacionar uma ampla faixa de dados experimentais.
5. Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no item 4 com cada um dos outros parâmetros para formar grupos dimensionais.
• n – m = 2.
6. Verifique se cada grupo obtido é adimensional.
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1 2 2
F
V D 2
VD
1 2 2 2
Ff ou f
V D VD
Teorema PI de Buckingham
• Exercícios:
– Problema 7.1 (5ª Ed.) ou 7.7 (6ª Ed.) do Fox.
– Problema 7.3 (5ª Ed.) ou 7.10 (6ª Ed.) do Fox.
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Teorema PI de Buckingham
• Trabalho 3.3-A (prazo de entrega: uma semana):
– Obter a forma adimensionalizada das equações da continuidade e de Navier-Stokes para um escoamento permanente, bidimensional e incompressível (vide seção 7.1 do Fox).
– Determine quais os grupos adimensionais que surgem desta adimensionalização e o significado físico de cada um destes grupos (vide seção 7.5 do Fox).
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Teorema PI de Buckingham
• Trabalho 3.3-B (prazo de entrega: uma semana):
– Problema 7.2 (5ª Ed.) ou 7.9 (6ª Ed.) do Fox.
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Referências
• FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. Introdução à mecânica dos fluidos. 5ª e 6ª ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2006. xiv, 798 p.
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