1

TEMELLER

A) NASIL ? LAGRANGE DENKLEMLERİ

B) KISIT KUVVETLERİ

C) HAMİLTON DENKLEMLERİ

D) NEDEN ? HAMİLTON İLKESİ

E) HAMİLTON-JACOBİ DENKLEMLERİ

F) POİSSON PARANTEZLERİ

G) İKİ PARÇACIK PROBLEMİ

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A ) NASIL ? LAGRANGE DENKLEMLERİ

Klasik mekaniğe Lagrange denklemleri ile yaklaşımın temelleri, fiziğin epey derinlerinde,

kuantum mekaniğinde olduğu için 'Neden ?' sorusu ertelenip önce 'Nasıl ?' sorusuna cevap

aranır. Başlangıç noktası, deyim kıtlığında 'Sanal İş İlkesi' olarak adlandırılan ve 'Kısıt'

kuvvetlerini devre dışı bırakmayı amaçlayan k k k k

k k

F dr m r dr denklemi

olacaktır. Bu denklemde 1 , 2 , 3k kartezyen indisleri, r : konum , F de kısıt

kuvveti dışında kalan kuvvetleri ifade eder. Kısıt kuvvetleri ya sıfır ya da dr 'ye izin

vermeyecek ölçüde sonsuz oldukları için 'İş' terimlerinde yer almazlar. Şimdilik tek parçacık

için yazılan bu denklem ileride kolaylıkla çok parçacık durumlarına genellenecektir. kdr 'ler

parçacığın hareketini kısıtlayan geometrik şartlardan dolayı bağımsız olmayabilirler ve

yukarıdaki denklem k kF m r haline indirgenemez. Bu noktada 3j olmak

üzere, icabında kartezyen olmayan, hatta uzunluk boyutunda bile olmayan, ancak bağımsız

jq 'Genelleştirilmiş Koordinat'lara geçilir.

2

j j k k k jq q r r r q olduğu için kk j

j j

rdr dq

q

biçiminde yazılır ve denklem k kk j k j

k j k jj j

r rF dq m r dq

q q

halini alır. Bu durumda jdq 'lerin bağımsızlığı

k kk k

k kj j

r rF m r

q q

verir. Bu noktada, ileride gerekli olacak bazı

özdeşlikleri elde etmek yararlı olacaktır. kk j

j j

rdr dq

q

denkleminin dt ile

bölünmesinden k

k j

j j

rr q

q

ve bunun da jq 'ye göre kısmi türevinden de

k k

j j

r r

q q

bulunur. k kk k

k kj j

r rF m r

q q

denkleminin sol

tarafı kj k

k j

rQ F

q

olarak tanımlanır ve 'Genelleştirilmiş Kuvvet' olarak

adlandırılır. Sağ tarafın yorumlanması biraz daha karmaşıktır:

+ + + k k k k k k kk k k k k k k

j j j j j j j

d r r d r r d r r rr r r r r r r

dt q q dt q q dt q q q

dolayısıyla k k kk k k

j j j

r d r rr r r

q dt q q

özdeşliğinin

kk j

k j

rm r Q

q

denklemine yerleştirilmesi sonucu elde edilen

k kk k j

k kj j

d r rm r m r Q

dt q q

ifadesi

3

2 , 2

k kk k k

k k kj j j j

m K r K rK r mr mr

q q q q

kullanılarak j

j j

d K KQ

dt q q

ara sonucuna ulaşılır. F ifadesi

bilinmeden daha ileri gidilemez, ancak jQ ifadeleri, uygun bir , j jU q q

'Potansiyel Enerji' fonksiyonu yardımıyla j

j j

d U UQ

dt q q

olarak

yazılabildiği takdirde j j j j

d K K d U U

dt q q dt q q

veya Lagrange

fonksiyonu K U L tanımıyla 0j j

d

dt q q

L L

Lagrange denklemlerine ulaşılır. Tüm elektromagnetik etkileşmeler için böyle bir U

fonksiyonu oluşturulabileceği ileride görülecektir. Uygulamaların yol haritası : uygun

koordinat sistemini seçmek, bu sistemde kinetik enerji ifadesi yazmak, genelleştirilmiş kuvvet

bileşenleri jQ 'leri oluşturmak ve bunlardan bir U potansiyeli tanımlamaktır.

Sonra da Lagrange denklemlerinden hareket denklemlerine ve bunların çözümüne geçilir.

Örnek olarak: 'küresel sarkaç' için iki bağımsız koordinat : küresel açılar , yeterli

olur.

sin cos cos cos sin sin x x

sin sin cos sin sin cos y y

cos sin z z oluşundan

2 2 2 2 2 2 2 2 sin x y z ve 2

2 2 2 sin 2

mK

bulunur. Potansiyel için ise cosU mg yazılıp

2

2 2 2 sin cos2

mmg L Lagrange fonksiyonuna ulaşılır.

4

Lagrange denklemleri : 2 2 2 sin cos sin 0m m mg ,

2 2 sin 0d

mdt

'nin ikincisinin bir 'Korunma Yasası' olduğu ve korunan

büyüklüğün açısal momentumun z bileşeni olduğu görülmektedir.

2 2 sin zL m ifadesinin ilk denkleme yerleştirilmesi ile elde edilen

2

2 4 3

cos sin

sin

zL g

m

diferansiyel denkleminin iki tarafı da d ile

çarpılıp, integral alınınca, E toplam enerji olmak üzere,

2

2 2 4 2

2 2 cos

sin

zd E L g

dt m m

bulunur. Bu çok çetin bir diferansiyel

denklemdir, 0zL özel halinin bile çözümü ancak küçük açılar için temel fonksiyonlar

cinsinden ifade edilebilir.

B ) KISIT KUVVETLERİ

, , j jq q tL L Lagrange fonksiyonu ile belirlenen bir sistemin , 0jq t n

ile verilen K adet geometrik kısıtı olabilir. Sayısal olarak eskisine özdeş olan 'Yeni' bir

Lagrange fonksiyonu, 'Lagrange Çarpanları' olarak adlandırılan n kullanılarak

, , ,Y j j n j

n

q q t q t nL L olarak tanımlanır. Bu durumda yeni Lagrange

denklemleri n

nj j j

d

dt q q q

nL L

biçimini alacaktır. Bu da eski potansiyel

enerji teriminin ,Y n j

n

U U U q t n olarak dönüşmesi ve

genelleştirilmiş kısıt kuvvetlerinin

K

j n

n j

Qq

n ile verilmesi demektir. Böylece

, , , j j nq q t değişkenlerine bağlı yeni Lagrange fonksiyonunun sağladığı

5

0Y Y

j j

d

dt q q

L L denklemlere ek olarak K adet 0Y

n

L denkleminin ortak

çözümleri hareket denklemleri yanısıra kısıt kuvvetlerini de verecektir. Tanıdık bir örnek

olarak 2 Boyutta, mesela -x z düzleminde, bir sarkaç, r kısıtından dolayı aslında

1 Boyutlu bir sistemdir. Çözüme ise 2 2

cos sin2

m gmg

L

ile gidilir, ancak bu yaklaşım sarkaçın ipindeki gerilimi vermez. Kısıt kuvvetini hesaplamak

için yeni bir Lagrange fonksiyonu iki bağımsız değişkenle, ancak 0r kısıtını da

içerecek biçimde 2 2 2

cos 2 2

Y

m r m rmgr r

L olarak yazılır.

2 cosY Yd dmr mr mg

dt r r dt

L L

2 sinY Yd dmr mg

dt dt

L L

0 Y r

L denklemlerini çözerken ara sonuçlar:

20 cosm mg ; sind g

dt ve

max cosE mg

başlangıç şartı kullanılarak da 2

2 cos

g E

m bulunur. Kısıt kuvveti ise

r

rQ

r

ile verildiğinden 2 cosrQ m mg ifadesi

2 3 cos r

EQ mg sonucuna ulaşılır.

C ) HAMİLTON DENKLEMLERİ

Klasik mekaniğe Hamilton yaklaşımının da temelinde Lagrange fonksiyonu vardır.

Etkileşmesiz, serbest parçacık probleminden ilham alınarak : F , dolayısıyla jQ ve

6

U sıfır olacağı için 0

kK K r L durumunda Lagrange denklemleri

0

0k

d

dt r

L korunum kanunlarını verirler. Korunan ifade

0

k

k

pr

L ,

'Momentum' olarak adlandırılır. Dolayısıyla 'Kinetik enerji ( veya serbest parçacık Lagrange

fonksiyonu) nedir ? sorusunun cevabı: 'Lagrange formalizminde momentum korunumunu

sağlayan ifadedir' olmaktadır. Momentum, etkileşmeli problemler ve genelleştirilmiş

koordinatlar için 'Genelleştirilmiş Momentum' : j

j

pq

L halini alır.

j j

j jj j

d dq dq dtq q t

L L LL diferansiyel ifadesinde

j

j

pq

L tanımı ve j

j

dp

q dt

L Lagrange denklemi kullanılarak

j j j j j j j j

j j j j

d p dq p dq dt q dp p dq dtt t

L LL

veya j j

j

d d p q dtt

LL elde edilir. j j

j

p q H L

tanımı yapılınca d

dt t

H L , yani 0

t

L durumlarında korunan bir

fonksiyon inşa edilmiş olur. Hamilton fonksiyonu olarak adlandırılan bu ifadenin her zaman

K U H ile verilmediği unutulmamalıdır. İki yaklaşımın bağımsız değişkenleri

aynı değildir; , ,j jq q tL = L 'den farklı olarak , ,j jq p tH = H olur.

Hareket denklemlerinin ilk aşaması olan Hamilton denklemleri ise

j

j

qp

H , j

j

pq

H ile verilirler.

7

Küresel sarkaç için 2

2 2 2 sin cos2

mmg L oluşu

momentumları 2 p m ,

2 2 sin p m biçiminde belirler ve

22

2 2 2 + cos

2 2 sin

ppmg

m m

H olur. Hamilton denklemleri :

2

p

m

,

2

2 3

cos sin

sin

pmg p

m

2 2

sin

p

m

, 0 p ise

çözüme giden yolda Lagrange yaklaşımından hatırlanan

2

3

cos sin

sin

L g

denklemini verir.

D ) NEDEN ? HAMİLTON İLKESİ

Başarılı fizik teorileri ölmez, üstelik genelleşerek büyürler. Teorinin eski hali ise yeni yapının

özel durumlarında geçerli olarak hayatını sürdürür. "Bu teori hiyerarşisi ne zaman sona

erecek ?" , " 'Herşeyin Teorisi' denebilecek bir yapıya ne kadar yakınız ?" sorularının cevabını

bilmiyoruz. Teorilerin en kıdemlisi 'Klasik Mekanik' 20. Yüzyılda hem 'Relativite' , hem de

'Kuantum Mekaniği' yönlerinde genelleşti. Bu genelleşmelerin sonucu ışık hızı c ve

Planck sabiti , teorinin vazgeçilmez büyüklükleri oldular. Relativiteyi yok farzedip,

18. Yüzyıl fiziğine geri dönmek için c limitine bakmak yeterlidir. Kuantum fiziğinden

klasik fiziğe geçiş ise, teori Planck sabitine ek olarak kuantum sayıları içerdiği için daha

karmaşıktır. Dolayısıyla ilk konumuz kuantum mekanikden klasik mekaniğe geçiş olacaktır.

2

2

xf x a f a f a x f a Taylor açılımından, x ve a 'nın yer

değiştirme özelliği kullanılarak

2

exp 2

a df x a f x f x a f x a f x

dx

elde edilir.

8

Yukarıdaki x değişkeni uzay koordinatı olarak düşünülürse, 3 boyuta genelleme

exp f r a a f r olacaktır. Zaman değişkeni için de benzer biçimde

exp d

g t g tdt

olması doğaldır. 20. Yüzyıl başında kuantum mekaniğin ilk

adımları Hamilton fonksiyonu için it

H (Planck - Einstein) , momentum için

ise p i (DeBroglie) eşleştirmeleri oldu. Kuantum fiziğinde, serbest

parçacık dışında p pH H olduğu için bu uzay ve zaman ötelemeleri tek bir üstel

ifadede birleştirilemez. Ancak Uzay-Zaman'da sonsuz küçük, yani yerel bir öteleme

exp , exp , i

dr dt r t dr p dt r tt

H

exp v , , i

p dt r t r dr t dt

H

ile verilir. Uzay-Zaman ötelemelerinin jeneratörü olan v p H L teorinin en temel

kavramlarından biridir ve Lagrange fonksiyonu olarak adlandırılır. Yerel'den Global'e

geçerken exp , v, , ,F

I

t

I I F Ft

idt r t r t r t

L biçimini alan evrim

denkleminde yer alan , v, F

I

t

tdt r t L S ifadesi ise 'Eylem' olarak adlandırılır.

Tek parçacık için r r t yörüngeleri üzerinde yapılan integral işlemi ile elde edilen

S değerlerinde S = büyüklüğünde bir oynama exp 1i ile çarpılma

anlamına gelir. Kuantum teorisinin dalga karakteri göz önüne alınınca bu iki komşu

yörüngenin yıkıcı girişimi, dolayısıyla doğada gözlenememesi demektir. Klasik mekaniğin

sadece doğada gözlenen durumlarına odaklanmak için << S veya daha garantili

0 S şartı aranır ve bu şart 'En Küçük Eylem' ilkesi veya 'Hamilton' ilkesi olarak

adlandırılır. İnsani büyüklüklerden esinlenen MKS birimlerinde 3410 değerine sahip

Planck sabitinin klasik fizikte sıfır kabul edilmesi doğaldır. S eylem değeri, parçacığın

uzaydaki yörüngesi r r t fonksiyonunun ' Fonksiyonel 'idir. , v,F

I

t

tdt r t S L

9

gibi bir fonksiyonelin minimum değeri 0v i i

d

dt r

L L Lagrange denklemlerinden

elde edilir. Hamilton ilkesinin genelliği, bu denklemlerin çok parçacık durumlarında ve

kartezyen olmayan koordinat sistemlerinde de geçerli olmasını sağlar. Pratikte ilk adım

'Bağımsız Koordinat' sayısını saptamaktır. Bu sayı, N parçacık ve K adet 'Kısıt' için

3N K ile verilir. Koordinat sistemi seçiminde Kısıt ve Potansiyel enerji ifadeleri yol

gösterici olacaktır. ,j jq q ile gösterilen bağımsız koordinat ve hızlar için yazılan

0j j

d

dt q q

L L Lagrange denklemleri bizi hareket denklemlerine götürür.

E) HAMİLTON - JACOBİ DENKLEMLERİ

Tek boyutlu uzayda geliştirilecek bir Hamilton-Jacobi yaklaşımı bile konunun ruhunu

yakalamak için yeterlidir.

d p dx dt S H (Fizik) ve d dx dtx t

S SS (Matematik)

denklemlerinin karşılaştırılması px

S ,

t

SH Hamilton-Jacobi

denklemlerini verir. Eylem'in , + x t x tS X T biçiminde bir toplam olarak

değişkenlere ayrılması ve 0 = d S S Sabit kullanılması çözüme

götürür. Eğitici bir örnek olarak 1 boyutlu harmonic osilatör için

2 2 2 2

, 2 2

m x m AU x E

ifadeleri ile Hamilton-Jacobi denklemleri

2 2 2 2 d

p mE m xdx

X

, d

H Edt

T

biçimini alırlar ve ara

sonuç 2 2 2 2 dx mE m x E t Sabit ifadesinin E 'ye görevi türevi

alınarak elde edilen 2 2 2 2 2

1 0

2

dx dxm t t

mE m x A x

10

denklemi de bilinen sin x t A t sonucuna ulaştırır.

F) POİSSON PARANTEZLERİ

Teorik ve pratik önemi olan bir konu da 'Poisson Parantezi'dir.

,j jf f q p ve ,j jg g q p gibi iki fonksiyonun Poisson parantezi

, j j j j j

f g f gf g

q p p q

olarak tanımlanır.

, 0 , , 0i j i jq q p p özdeşliklerine ek olarak , i j ijq p

sonucu 'Eşlenik Koordinat-Momentum Çifti'ni tanımlar. Eski koordinat ve momentumlardan

oluşturulan yeni koordinat ve momentumlar için yukarıdaki sonuçları aynı bırakan

j jq Q , j jp P dönüşümleri 'Kanonik Dönüşüm' olarak adlandırılır.

, j j

j

q qp

HH , , j j

j

p pq

HH bağıntılarının

kuantum mekaniğinin Heisenberg denklemlerini andırması dikkat çekicidir. Klasik mekaniğin

Poisson parantezleri ile kuantum mekaniğin komütasyon bağıntıları arasındaki paralel,

kuantum fiziğinin klasik fizik ile ilintilerinden güç aldığı ilk emekleme yıllarında moral destek

sağlamıştır.

G) İKİ PARÇACIK PROBLEMİ

İki parçacık probleminin 1 Boyutta incelenmesi, kolayca 3 Boyuta genellenebildiği için,

yeterli ölçüde geneldir. 1m ve 2m kütleli iki parçacık arasındaki etkileşmenin aradaki

uzaklığa bağlı olması doğaldır. 2 2

1 1 2 21 2

2 2

m x m xU x x L Lagrange

fonksiyonunu yeni ve daha pratik değişkenler cinsinden yazmak için öncelikle 1 2 x x x

tanımlanır. Diğer koordinat için temel fizikten aşina olunan 'Kütle Merkezi' koordinatı

11

1 1 1 1

1 1

m x m xX

m m

seçilir. Bunlara eşlenik olan momentumlar

1 1 2 2 p p p , 1 1 2 2 P p p olarak ifade edilir ve

1 2, 1 1x p

1 2, 0 0x P

1 1 2 2

1 2

, 0 0m m

X pm m

1 1 2 2

1 2

, 1 1m m

X Pm m

4 bilinmeyenli 4 denklemin çözümünden

2 1 1 2

1 2

m p m pp

m m

, 1 2 P p p elde edilir. P 'nin toplam

momentum olarak yorumu kolaydır; p 'nin ise 'İndirgenmiş Kütle' 1 2

1 2

m m

m m

kere 'Relatif Hız' 1 2 x x x olduğu gözlenir. Nitekim 1 2 M m m ,

toplam kütle tanımıyla 2 2

2 2

M X xU x

L ifadesine ulaşılmaktadır. Bu

denklemin 3 Boyuta 2 2

2 2

M R rU r

L olarak genelleşeceğini görmek

zor değildir. Böylece iki parçacık problemi ayrışmakta ve kütle merkezi koordinat sisteminde

tek parçacık problemine indirginmektedir. Ne yazık ki yukarıdaki yaklaşımın 3 parçacığa

veya relativistik mekaniğe genellenmesi imkanı yoktur. Görüldüğü gibi klasik mekanikte 3 ,

relativistik mekanikte 2 , kuantum alanlar teorisinde 1 hatta 0 parçacık problemlerinin

genel çözümleri yoktur.

12

PROBLEMLER

A.1 )

2 2

; ; 2

x y z z

ile belirlenen silindir

parabolik koordinatlarda kinetik enerji ifadesini yazın.

A.2 ) uzunluğunda kütlesiz bir çubuğun merkezi R yarıçaplı bir daire üzerinde

hareket ediyor ve çubuğun her iki ucunda m kütlesi yer alıyor. Sistemin kinetik enerjisini

uygun genelleştirilmiş koordinatlar kullanarak yazın. (Goldstein)

A.3 ) Bir düzlemde

2

2 2

2 ˆ 1

k r r rF r

r c

kuvvetinin etkisi altındaki

parçacığın U potansiyelini yazın. (Goldstein)

A.4 ) uzunluğunda bir iple bağlanmış 1m ve 2

m kütlelerinden oluşan bir sistem

ele alalım. 1m sürtünmesiz bir masa üzerinde ve 2

m masadaki bir delikten sarkmış

durumda ve sadece dikey hareket ediyor. Bu sistem için genelleştirilmiş koordinatları

oluşturun, Lagrange fonksiyonunu ve Lagrange denklemlerini yazın, bu denklemlerin fiziksel

yorumunu yapın, problemi tek bir 2. mertebe diferansiyel denkleme indirgeyin, bir integral

alarak elde edeceğiniz 1. Mertebe bir diferansiyel denklemi yorumlayın. (Goldstein)

A.5 ) Şekildeki çift Atwood sistemini Lagrange metoduyla çözerek 2a , 3

a ve 6a

değerlerini bulun.

13

B.1 ) Bir parçacık, R yarıçaplı yarıküre bir tepenin en üstünden sürtünmesiz olarak

kaymaya başlıyor. Lagrange çarpanı kullanarak yüzey-parçacık kuvvetini hesaplayın.

Parçacığın hangi yükseklikte yüzeyle temasını kaybedeceğini bulun.

B.2 ) Küresel sarkaç probleminin ipindeki gerilimi Lagrange çarpanı kullanarak hesaplayın..

C.1) 1-Boyutta harmonik osilatör probleminin Lagrange fonksiyonunu yazın, momentum

ifadesini bulun, Hamilton fonksiyonunu oluşturun, problemi Hamilton denklemleri yoluyla

çözün.

E.1 ) Eğik atış problemini Hamilton-Jacobi metoduyla çözün, , , x t y t y x

fonksiyonlarını belirleyin.

F.1 ) Hangi ve değerleri için Q q cos p ve

P q sin p eşlenik bir koordinat-momentum çifti oluştururlar ? (Goldstein)