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Matemáticas U2 - Tema 1: Figuras planas. Área de polígonosTema 1. Figuras planas. Área de polígonos.

1. Polígonos. Definición, elementos y clasificación

2. Área de polígonos. Teorema de Pitágoras

2.1. Área de un cuadrilátero2.1.2 Área de un rectángulo

2.1.3 Área de rombo y romboide

2.1.4 Área de trapecio

2.2. Área de un triángulo

2.3. Área de un polígono de más de tres lados

3. Circunferencia. Definición y elementos

3.1. Longitud de una circunferencia

3.2. Área del círculo que delimita

4. Resolución de áreas en figuras compuestas

Tema 1. Figuras planas. Área de polígonos.

Seguramente muchos de vosotros habréis oído hablar del libro "El código Da Vinci",incluso algunos lo habréis leído.

Evidentemente no corresponde aquí hablar de este libro desde un punto de vistalingüístico, ni histórico, ni siquiera sobre la calidad del mismo. Pero si que podemosdetenernos un momento porque matemáticamente si que trata cuestiones curiosas.

En este libro se habla de un dibujo de Leonardo Da Vinci, un pintor, escultor, inventor, etc,de finales del siglo XV y principios del XVI. El dibujo se llama el Hombre de Vitruvio, y esmuy especial, porque en él se ve la figura de un hombre desnudo en dos posicionessobrepuestas de brazos y piernas. Pues bien, la figura del "hombre de Vitruvio" estáencerrada en un cuadrado y una circunferencia. Nuestra proporciones encerradas enfiguras planas. Ay, cuánto ha dado de sí este dibujo de Leonardo, y es que el hombre eraun genio se mire por donde se mire. Observa el dibujo del que te hablamos, aunqueseguramente lo hayas visto en multitud de ocasiones.

En ese mismo libro se habla de una de las maravillas arquitectónicas construidas por elhombre. En el Museo del Louvre hay una pirámide invertida bajo otra pirámide de basecuadrangular. En la siguiente imagen puedes ver las dos fotos.

Como ves las matemáticas están por todas partes, sobre todo las que vamos a trabajar enestos temas: los polígonos y poliedros. Si echas un vistazo a tu entorno, tanto en casacomo en el trabajo, los verás por todas partes. Si sales a la calle con ojos matemáticosencontrarás cantidad de estas figuras y cuerpos. En este tema vamos a trabajar lasfiguras, o sea, los polígonos; dejando los cuerpos o poliedros para el siguiente. Para

entonces ya dominarás sin problemas los polígonos y eso te hará ver más fácil lospoliedros, que así a primera vista tiene un nombre un poco feo. Vamos a comenzar, veráscómo es algo sencillo.

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1. Polígonos. Definición, elementos y clasificación

Vamos a comenzar echando un vistazo al lugar donde nos encontramos ahora mismo.Podemos ver muchos cuerpos. Si los dibujásemos, veríamos esos cuerpos como si los

viésemos en la tele, pero no esas modernas de ahora que son 3D, sino las planas quecasi todo el mundo tiene en su casa. Y es que en ese caso vemos las cosas planas,formadas por figuras que son eso, planas. Formadas por cuadrados, por triángulos, o porcurvas.

Si buscamos un tablero de parchís, podemos ver muchas figuras planas.

Como ves, hemos dibujado encima del tablero varias figuras planas que ya conoces:triángulos, cuadrados, rectángulos, circunferencias, etc...

Las cosas que nos rodean se pueden dibujar por rectas o por curvas. Vamos primero conlas que podemos pintar con rectas.

Un polígono tiene unos elementos que seguro que conoces ya, pero que vamos arecordar, en el siguiente gráfico.

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Como vemos en el gráfico, un polígono está formado por lados y vértices. Además siunimos dos vértices que no están seguidos, entonces llamamos a esos segmentos,diagonales.

Si el polígono tiene sus lados iguales, como el del dibujo, se llamará regular . Entonces, elpunto del centro del polígono será el centro, como no podía ser de otra manera. Y

cuando unimos el centro con cualquier lado en el punto medio, tenemos un segmentoimportante que se llama apotema, que aunque tenga un nombre un poco raro, nosayudará mucho cuando queramos calcular el área de un polígono regular.

 A estas definiciones debemos añadir la del perímetro, que es la suma de todos sus lados,que si bien, no es un elemento, lo utilizaremos durante este tema.

Una vez lo hayas visto, deberías copiar el gráfico con los nombres aprendidos en tulibreta.

Mira el siguiente gráfico, y elige la respuesta adecuada en cada caso:

 A - lados

B - apotema

C - diagonales

D - vértices

E - centro

 A - apotema

B - diagonalesC - lados

D - vértices

E - centro

 A - diagonales

B - apotema

C - lados

D - vértices

E - centro

Los polígonos tienen un nombre distinto según el número de lados que tenga. Mira lasiguiente imagen, en la que vemos polígonos de hasta 8 lados. Supongo que ya sabrás

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los nombres de algunos de ellos, pero no estaría mal, que los apuntaras en tu libreta, pararecordarlos más fácilmente.

2. Área de polígonos. Teorema de Pitágoras Ahora vamos a ver cómo se calcula el área de un polígono. Iremos paso a paso,empezando por el área de un cuadrilátero, de un triángulo, y de un polígono en general.Verás lo sencillo que es. Se trata de saber cómo se llama cada elemento, que ya losabemos, y cambiar su valor en la formula que te vamos a dar.

Si quisiéramos explicarle a alguien ¿qué es eso del área? lo mejor sería decirle que es loque mide una figura, un polígono, o un trozo de tierra que tenemos delante.

Si medimos, por ejemplo la longitud de un lápiz, ésta será de unos 15 centímetros, o si

medimos la altura de un edificio obtendremos unos 45 metros, o si medimos la distancia olongitud entre dos ciudades, tendremos por ejemplo que son 225 kilómetros; y es que lalongitudes se miden en km, m o cm. Sin embargo, para medir el área de un terreno,diremos que es 100 m2. Esa es la medida de una casa, que sabemos cómo es de grandeen función de los metros cuadrados que tenga.

Como ves en el gráfico, cada parcela tiene un área distinta. Cuando veamos este temavamos a ser capaces de calcular nosotros también, el área de estas parcelas si las

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tuviéramos delante. En otros casos nos encontraremos áreas que midan 14 cm2, o bien,2,5 km2. Y es que las áreas o las superficies vienen dadas siempre en su unidad elevadaal cuadrado.

 Antes de empezar con el cálculo de área, vamos a recordar, el que tal vez sea, elresultado matemático más conocido por la humanidad:

El Teorema de Pitágoras 

Este teorema es una fórmula matemática que nos sirve para calcular un lado de untriángulo conociendo los otros dos, pero ¡cuidado! sólo se puede aplicar a una clase detriángulos: los triángulos rectángulos. 

Estos triángulos son tan especiales que sus lados tienen nombre propio. Observa lafigura:

Catetos se llaman a los lados que forman el ángulo recto.

Hipotenusa se llama al lado que está frente al ángulo recto y que, por cierto,siempre es más largo.

El teorema de Pitágoras dice así:

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos". 

Vamos a entenderla, para que nos resulte más familiar.

Pues si hacemos por un lado el cuadrado del lado a, la hipotenusa, y por otro loscuadrados de los catetos b y c, y sumamos estos cuadrados de los catetos, obtenemos elmismo resultado. Ya verás:

Como ves, el cuadrado de la hipotenusa, es el mismo número que si sumamos loscuadrados de los catetos. Eso, se escribe, utilizando una fórmula, de la siguiente manera:

a2 = b2 + c2; donde a es la hipotenusa, b y c los catetos.

Veamos un ejemplo de cómo utilizar el Teorema de Pitágoras.

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Fíjate en el siguiente gráfico:

Como ves tenemos, un pájaro (échale imaginación, es el circulo amarillo) encima de unárbol (al que también hay que echarle imaginación), y que está a una distancia de un platocon comida representado por el rombo azul. Nos dan lo que vale la altura del árbol, y ladistancia desde el árbol hasta el plato. Y nos preguntan a qué distancia está el pájaro delplato. Al representarlo, hemos tenido cuidado para que se vea un triángulo rectángulo,cuya hipotenusa es la distancia que nos piden, y los catetos son las distancias que ya

conocemos. Ahora, aplicando la fórmula del Teorema de Pitágoras, y utilizando lacalculadora, verás que fácil nos sale:

Caso 1º: Se conocen los dos catetos 

En un triángulo rectángulo se conocen los catetos c=6cm y b=8cm. ¿Cuánto vale lahipotenusa?

Caso 2º: Se conoce la hipotenusa y uno de los catetos 

Calcular la altura de una pared si al apoyar una escalera de 5 metros la base quedaseparada del pie de la pared 3 metros.

1. Los números 4, 7 y 8 ¿son las dimensiones de un triángulo rectángulo?

a) No, ya que 4 + 7 = 11 y no 8

b) No, pues 16 + 49 = 65 y no 64

c) Si , se verifica el teorema de Pitágoras.

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2. ¿Que mide la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden b = 12 cm y c = 9 cm?

a) a = 17 cm

b) a = 18 cm

c) a = 15 cm

3. Calcula el cateto "b" de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa a = 40 cm,y el cateto c = 24 cm.

a) b = 16 cm

b) b = 32 cm

c) b = 51,22 cm

4. Calcula el cateto "c" de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa a = 25metros y que el cateto b = 20 metros.

a) c = 15 m

b) c = 225 m

c) c = 32 m

2.1. Área de un cuadrilátero

Cuadrilátero. 

Un cuadrilátero es el polígono que tiene cuatro lados.

Clasificación de cuadriláteros. 

Los cuadriláteros pueden ser: A la izquierda puedes ver los cuadriláteros, veamos ahora,que tienen para llamarse así:

a) Paralelogramos: Si tiene los lados paralelos dos a dos.Dentro de éstos tenemos:

a.1) Cuadrado: Si tiene sus ángulos rectos y sus cuatrolados iguales.

a.2) Rectángulo: Si tiene sus ángulos rectos, pero sus

lados iguales dos a dos.a.3) Rombo:  No tiene los ángulos rectos, pero todos

sus lados son iguales.

a.4) Romboide: No tiene sus ángulos rectos, y suslados son iguales dos a dos.

b) Trapecios: Tiene dos paralelos, y otros dos no paralelos.

c) Trapezoide: No tiene ningún lado paralelo.

Copia esta clasificación en tu libreta, por si la necesitas más adelante.

Vamos a calcular en el siguiente punto, el área de un cuadrado.

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2.1.1 Área de cuadrado

Vamos a intentar calcular el área del cuadrado. Para ello, observa la siguiente pizarrainteractiva. Puedes tocar las cosas a tu antojo, pero lo que deberías hacer es mover elpunto verde de la izquierda, cambiando así el tamaño del cuadrado.

Si por ejemplo, pones L=8, te saldrá que el área es 64, o sea, L·L=8·8. Si ponemos ahoraque L=5, el área será 25; de nuevo, porque 5·5=25. Seguro que eres capaz ahora deobtener el área del cuadrado.

La expresión correcta del área de un cuadrado es la siguiente:

Ac = L · L = L2; o sea, el área del cuadrado es el producto de sus lados, esto es, elcuadrado del lado.

Vamos a realizar algún ejemplo para aplicar lo que acabamos de ver. Deberías irrealizando estos ejercicios en tu cuaderno.

Por ejemplo, si tenemos el cuadrado de la figura, podemos calcular su área y superímetro. Veamos cómo.

Como el lado del cuadrado es 3,5 m, utilizando la fórmula vistaanteriormente:

 A = L2 = 3,52 = 12,25 m2 

Para calcular el perímetro, tan solo debemos sumar 3,5 cuatroveces, esto es, multiplicar 3,5 · 4 = 14 m

Debemos tener cuidado con las unidades en las que están dadas el área y el lado. Comonos dice que tiene 3,5 metros, el área tendrá 12,25 metros cuadrados.

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Imaginemos ahora que tenemos un terreno de albero con forma cuadrada en el quequeremos plantar césped. Sabemos que su lado mide 35 m, pero para saber cuántasimiente necesitaremos, nos hace falta conocer su área.

Para resolver la cuestión, bastará con calcular el área, que será: A = 35 2 = 1225 m2.Sencillo ¿verdad?

 Además, nos preguntamos por la máxima distancia que se podrá recorrer en línea rectadentro del cuadrado con césped. Parece claro que la distancia más grande que podemosrecorrer en línea recta será una de las diagonales. ¿Cómo calcular lo que mideconociendo los lados del cuadrado? ¡Fácil! con el Teorema de Pitágoras, ya que doslados del rectángulo y la diagonal forman un triángulo rectángulo, como puedes ver en elsiguiente gráfico:

Vamos allá:

Vamos a hacer otro ejemplo, en el cual nos den el área y nosotros calculemos el valor olongitud del lado. Partimos de la situación siguiente: el área de un cuadrado vale 6,25 m 2,

queremos saber cuánto vale el lado del cuadrado. Además podemos calcular superímetro.

Para resolverlo, lo que debemos hacer es lo siguiente: como el área es el cuadrado dellado, tenemos que: L2 = 6,25. Despejando el cuadrado, o sea, calculando la raíz cuadradade 6,25 obtenemos el lado del cuadrado. Con la calculadora, calculamos esa raíz:

; así los lados miden 2,5 m. Nuevamente, las unidades son metros.

El perímetro es 2,5 · 4 = 10 m

Contesta verdadero o falso a las siguientes afirmaciones:a) El área de un cuadrado de lado 7 es 14.

Verdadero Falso

b) Si el lado mide 4,2 m entonces el área mide 17,64 m2 

Verdadero Falso

c) Si el área de un cuadrado es 25 cm2, entonces el lado mide 5 cm.

Verdadero Falso

d) La diagonal de un cuadrado de lado 7, valeVerdadero Falso

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2.1.2 Área de un rectángulo

La fórmula para calcular el área de un rectángulo es: A = b · a, donde b es la base del

rectángulo y a es su altura.

Área del rectángulo, A = b · a

Veamos algunos ejemplos, resueltos. Realízalos en el cuaderno antes de ver la solución.

Vamos a partir en este caso de un rectángulo como el de la figura; y vamos a calcular suárea, su diagonal y su perímetro.

Vamos a calcular primero su área. Para elloutilizamos la fórmula del área, A = b · a = 5,3 · 4,5 =23,85; cuya solución debe ser 23,85 m2, con launidad.

Vayamos ahora con la diagonal, mediante el

Teorema de Pitágoras:

Para el perímetro, sumamos los lados, 5,3 · 2 + 4,5 · 2 = 19,6 m.

Vamos a situarnos ahora en una escena de la vida real, supongamos que tenemos unaparcela de terreno en nuestra casa con forma de rectángulo. Es de césped y queremosenlosar una parte de la misma. Hemos medido la longitud de la parte de la parcela quequeremos enlosar y hemos obtenido 7 metros de largo por 5 de ancho. Si sabemos que elmetro cuadrado de losas vale a 32 €, ¿cuánto nos costará enlosar nuestro césped? 

En primer lugar vamos a calcular el área de rectángulo de césped que queremos enlosar.Utilizando la fórmula se tiene:

 A = 7 · 5 = 35 m2.

Como cada metro cuadrado nos cuesta 32 €, multiplicando ahora, los metros cuadrados

por el coste de cada metro cuadrado, se tiene:

Coste del enlosado = 35 · 32 = 1120 €. Creo que tal como está la cosa, y lo bonito quequeda el césped, el dueño de la casa esperará a mejor momento para enlosarlo.

Veamos otro ejemplo, en el cual debemos aplicar las mismas fórmulas. Ahora vamos asuponer que sabemos el área de un terreno rectangular, que es de 1260 m2, y que uno de

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sus lados mide 45 m, y lo que queremos saber es, ¿cuánto mide el otro lado de laparcela?

Como la fórmula es el producto de los lados, o sea, 1260 = 45 · l, al despejar l, tenemosque l es la división o cociente entre 1260 y 45. Utilizando la calculadora, tenemos que elotro lado mide: 28 m

Como ves no son tan difíciles, se trata de tener cuidado con las fórmulas y poner losvalores de los lados o áreas que nos den en su sitio, y para ello nada mejor que tenerdelante las fórmulas hasta que las vayamos aprendiendo.

Como ves, no es tan difícil, poco a poco vamos avanzando, y de momento tenemos estodominado. Vamos a hacer una autoevaluación para que compruebes que llevas bien lovisto hasta ahora.

En los siguientes casos, elige la respuesta correcta. Solo una de las afirmaciones escierta.

a) El área de un terreno con forma de rectángulo de lados 4,3 y 5,2 m es 22,36 cm2 

b) El área de un terreno con forma de rectángulo de lados 4,3 y 5,2 m es 22,36 m2 

a) El área de un terreno con forma de rectángulo de lados 4,3 y 5,2 m es 9,5 m2 

a) Si el área de una parcela cuadrada es 2210 m , y un lado mide 65 m, entonces el

otro mide 34 m

b) Si el área de una parcela cuadrada es 2210 m , y un lado mide 65 m, entonces elotro mide 47,01 m

c) Si el área de una parcela cuadrada es 2210 m , y un lado mide 65 m, entonces elotro mide 34 cm

a) La diagonal de un parque infantil que tiene forma de rectángulo de lados 7 y 5metros es 8,6 cm

b) La diagonal de un parque infantil que tiene forma de rectángulo de lados 7 y 5metros es 8,6 m

c) La diagonal de un parque infantil que tiene forma de rectángulo 7 y 5 m es 74 m

Si deseas ver como se obtiene el área de un rectángulo, pincha en el siguiente enlace ysigue las instrucciones:

http://profeblog.es/blog/javierfernandez/2009/04/18/area-de-un-poligono-i/ 

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2.1.3 Área de rombo y romboide

La fórmula para calcular el área del rombo es la siguiente:

; donde D es la diagonal mayor y d la diagonal menor del rombo.

Vamos a poner en práctica lo visto más arriba. Precisamente el otro día mis hijas querían

que hiciéramos una cometa. Como mi imaginación no es muy allá, decidí ponerme manosa la obra haciendo una cometa como las de toda la vida, esas que tenían forma de rombo.Me fui a Google y me descargué una cometa de esa forma. Mi sorpresa fue que me costóencontrar una con forma de rombo, puesto que parece que hoy en día las venden decualquier forma menos de esa, así que pensé que seguro que conseguíamos dar lacampanada si la hacíamos así.

Cortamos dos palos para hacer nuestra cometa, uno más largo de 40 cm y otro máspequeño de 25 cm. Una de mis hijas, que está estudiando el tema de las áreas enmatemáticas, me preguntó, ¿papá, qué área de papel hace falta para construir la cometa?

Vamos a intentar contestarle, ¿te parece?

Para calcular el área de la cometa, debemos utilizar lafórmula del rombo. Y como el área es igual al producto delas diagonales partido por 2, y los palos de la cometa sonlas diagonales, la cuenta a hacer es:

que es el área del rombo, esto es, el área del papel quenecesitamos para nuestra cometa.

Por cierto, voló y muy bien.

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La fórmula del área de un romboide es:

Ar  = b · a ; donde b es la medida de la base del romboide, y a es la altura del mismo(cuidado que no es la medida del otro lado)

Veamos algún ejemplo más teórico. Si tenemos el romboide de la figura,

Calcula el área de la figura y comprueba posteriormente, al darle a la solución.

Vamos con otro ejemplo un poco más práctico, imagina que tenemos un terreno conforma de romboide que tiene un área de 420 m2. Hemos medido su base, y hemosobtenido una longitud de 35 m. En esta ocasión lo que queremos es saber cuánto mide laaltura del terreno con forma de romboide.

 A esta altura, si has ido haciendo todos los ejercicios en tu cuaderno, casi que tenemosdominadas las áreas de los rombos y romboide, vamos a comprobarlo con la siguienteautoevaluación.

Contesta verdadero o falso a las siguientes afirmaciones.

El área de un rombo de diagonales 7 y 10 cm, es de 70 cm2.

Verdadero Falso

El área de un romboide de base 10 y altura 6 m, es de 30 m2.

Verdadero Falso

Si el área de un rombo es de 108 m2 y una de sus diagonales mide 18 m, la otra diagonalmide 12 m.

Verdadero Falso

Como el área de un romboide es 234 cm

2

, y su base es de 18 cm, entonces la altura delromboide tiene que ser 13.

Verdadero Falso

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Si tienes interés en saber por qué el área de un rombo y de un romboide son lasexpresiones vistas más arriba, no dudes en pinchar en el siguiente enlace:

http://profeblog.es/blog/javierfernandez/2009/04/18/area-de-poligonos-ii/ 

2.1.4 Área de trapecio

La fórmula para obtener el área de un trapecio es:

; donde B es la base mayor, b es la base menor del trapecio, y a esla altura del mismo

Como vemos los dos trapecios son distintos. El de la derecha es igual a la derecha que ala izquierda. Cuando eso ocurre le llamamos trapecio isósceles. Al de la izquierda, que esdistinto a la derecha y a la izquierda, se llama trapecio rectangular.

Vamos a realizar algún ejemplo para aclararnos un poco con esta fórmula.Por ejemplo, si tenemos que calcular el área y el perímetro del siguiente trapeciorectangular.

Lo que hacemos es calcular primero su perímetro. Para ello sumamos las longitudes desus lados, que son: 11, 6, 8 y 7 m. El lado de la derecha es igual a la altura, por tanto,mide 6 m.

El perímetro será: P = 11 + 6 + 8 + 7 = 32 m

Y ahora calculamos el área del trapecio. Aplicando la fórmula:

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Vamos ahora con un ejemplo más concreto. Estamos haciendo una máqueta de una casade campo. El tejado tiene cuatro partes iguales, y una quinta parte superior que es la quetapa la casa. La parte frontal del tejado, que es igual a las laterales y traseras, es tal comomuestra el gráfico siguiente. Y lo que queremos es saber el área total de las 5 piezas, y el

perímetro de cada una de las piezas.

Otra área más dominada, vamos a ver como se nos da la siguiente autoevaluación.

Dado el trapecio de la figura, elige la opción que nos da el área y el perímetro.

a) A = 57,5 cm2, P = 37 cm2 

b) A = 57,5 cm, P = 37 cm

c) A = 57,5 cm2, P = 37 cm

Igual que en apartados anteriores, puesto pinchar en el siguiente enlace para ver cómo se

obtiene la fórmula del trapecio:

http://profeblog.es/blog/javierfernandez/2009/04/18/area-de-poligonos-iii/ 

2.2. Área de un triángulo

Vamos ahora con una figura que conocemos todos, el triángulo. Este polígono es muyutilizado en las construcciones, puesto que es imposible deformar un triángulo rígido, lopodemos romper, pero nunca deformar, de ahí que sea una estructura muy sólida.

Pero vamos con lo que nos ocupa, veamos antes de ir con el área, como podemos llamar

a los triángulos, según como tengan los lados.Podemos clasificar a los triángulos según el número de lados que tienen iguales:

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Escalenos: tiene sus lados de distinta longitud.

Isósceles: tiene dos lados iguales.

Equiláteros: tiene sus tres lados iguales, hablamos entonces de un triángulo regular.

Elige la respuesta adecuada en cada caso.

1. El triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual se llama ...

a) Isósceles.

b) Equilátero

c) Escaleno

2. El triángulo que tiene todos sus lados distintos, se llama ...

a) Isósceles

b) Equilátero

c) Escaleno

3. El triángulo que tiene sus tres lados iguales se llama ...

a) Isósceles

b) Equilátero

c) Escaleno

 Antes de ver el área de un triángulo, vamos a ver un elemento muy importante de lostriángulos: la altura. Aunque ya sabes de sobra que es la altura de un triángulo, vamos aver algunos ejemplos, para aclararnos.

La altura es un segmento que va desde el vértice de arriba, hasta el lado de abajo, comopor ejemplo aquí:

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Fíjate que la línea que define la altura debe ser perpendicular a la base. Pero qué pasa si,cuando trazamos esa línea y no toca la base, como en este ejemplo:

Pues en realidad lo que pasa es que esa línea es la altura, y ya está.

La fórmula del área de un triángulo es la siguiente:

; donde b es la base del triángulo, y a es la altura de la base.

Como siempre, vamos a utilizar esta fórmula en un ejemplo, para que veas como seutiliza. Supongamos que queremos fabricar una maqueta de un barco de vela. Para hacer

la vela del barco necesitamos una cantidad de tela que depende de la base de la vela yde la altura de la misma, las medidas de la vela son, 10 cm y 7 cm de altura. Para facilitarel problema hemos representado un triángulo con esos datos, junto al barquito quequeremos hacer.

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Para resolver el problema, tan solo debemos aplicar la fórmula del área del triángulo queacabamos de ver:

Pensemos ahora en otro ejemplo. Supongamos que hemos realizado un logotipo paranuestra empresa dibujándolo con nuestro ordenador. Una vez terminado ha ocurrido undesastre y hemos perdido el logotipo. Debemos empezar de nuevo, y sólo recordamosalgunas cosas, por ejemplo que tenía forma de triángulo, que su base medía 14 cm y quesu área era de 84 cm2; con esto solo nos faltaría saber la altura del triángulo para tener laforma del logotipo. Vamos a calcular cuanto debe ser la altura del logotipo, para que serespeten las medidas comentadas. Observa el triángulo de la figura, que te ayudará aentender el problema.

Como hasta ahora, vamos a utilizar la fórmula del área de triángulo para obtener a.

Si explicamos cada paso, hacemos: Primero sustituimos cada letra conocida por su valor,después vamos despejando hasta dejar la altura a sola; para ello, pasamos el 2 que estádividiendo al primer miembro multiplicando, después pasamos 14 del segundo miembroque está multiplicando, al primero que pasa dividiendo. Finalmente, el resultado es 12 cm.

Vamos ahora con otro ejemplo, en el cual tengamos que calcular la base del triángulo,conocida su altura y su área. Vamos a observar el gráfico de la figura:

En este caso, para obtener la base, de nuevo vamos a despejar utilizando la fórmula delárea de un triángulo:

Vamos a ver ahora un problema típico en triángulos, pero que no utiliza para su soluciónla fórmula del área de triángulo, sino un teorema muy importante que hemos visto alprincipio de este tema: el Teorema de Pitágoras.

Un amigo es aficionado a la arqueología. Se fabrica sus propias puntas de flecha consílex, un material que se trata fácilmente para conseguir dar forma de punta de flecha.Tiene mucha fabricadas y, aunque no son las que utilizaban nuestros antepasados

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cavernícolas, la verdad es que están muy chulas. Eso si, de vez en cuando sale a buscarpor si encuentra alguna auténtica, cerca de las Cuevas de Las Ventanas, que está en lacomarca de Los Vélez, en la provincia de Almería. El caso es que se encontró, el otro día,una punta de flecha bastante curiosa, porque era bastante simétrica, y se podía pintarencima un triángulo isósceles (recuerdas, ese que tenía dos lados iguales). Para que tehagas una idea, te pongo una punta de flecha que he visto en un web.

Pues, la punta de flecha que encontró nuestro amigo, tenía los lados iguales de unos 3,16cm de longitud, mientras que el lado desigual era de 2 cm de longitud. Y nos preguntamoscuánto debe valer la altura del triángulo.

Lo mejor para hacer este tipo de ejercicios, es realizar un dibujo para que nos vayamosenterando bien, de lo que tenemos que hacer. Vuelve a leer el ejemplo, y cuando loentiendas, sigue adelante.

Vamos a hacer un dibujo de lo que nos está pidiendo.

Estas son las medidas del triángulo que representa a la punta de flecha de nuestro amigoaficionado a la arqueología. Ahora representamos en medio la altura del triángulo.

 A continuación, lo que vamos a hacer es tomar tan solo la mitad del

triángulo que define un lado de3,16 cm, el lado a y la mitad de la basede 2 cm,

o sea:

Y utilizando el Teorema de Pitágoras, tenemos:

que es el valor de la altura del triángulo isósceles.

Elige las opciones correctas de entre las siguientes afirmaciones. Cada pregunta tiene unsolo apartado correcto.

1. Si la base vale 15 cm y la altura 12 cm, su área vale...

a) 90 cm2 

b) 90 m2 

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2. Si la base es 42 m y su área es 630 m2, su altura es...

a) 26460 m2 

b) 30 m

3. Si el área es 7,5 m2, y la altura vale 3 m, la base mide...

a) 5 m

b) 22,5 m

De nuevo, si lo deseas puedes ver por qué el área del triángulo tiene esta expresión:

http://profeblog.es/blog/javierfernandez/2009/04/18/area-de-poligonos-iii/ 

2.3. Área de un polígono de más de tres lados

Podemos encontrar multitud de polígonos a nuestro alrededor. Como ves en lassiguientes figuras, podemos encontrarlos si vamos un poco atentos, y podemos disfrutarde estas formas, que aportan belleza a construcciones, a plazas, etc... Incluso podemosverlas en la naturaleza donde los pentágonos y los hexágonos se llevan la palma,estamos por multitud de sitios en animales, flores, y construcciones de los animales.

No sola aportan belleza, sino a veces, como en el caso del panal de abejas, aportar lamayor superficie de almacenamiento en el menor espacio. O si miramos una telarañavemos que la construcción también es poligonal.

(1) pentágono-balón (2) pentágono-EEUU (3) hexágono-abejas (4) octógono-edificio

(5) dodecágonos-plaza (6) telaraña (7) estrella de mar (8) flor pentagonal

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La fórmula del área de un polígono regular es:

; donde P es el perímetro del polígono regular, y ap es la apotema delmismo. Veamos, como ejemplo, un pentágono, para recordar que es la apotema.

Vamos a hacer algunos ejemplos para practicar el área del un polígono. Como siempre vehaciéndolo en tu cuaderno para ir aprendiendo.

La flor pentagonal de la figura 8 de arriba, tiene 4 cm de lado, y su apotema mide 3,5.Vamos a calcular el área de la misma.

Calculamos primero el perímetro. Para ello multiplicamos la medida del lado por elnúmero de lados; 4·5 = 20 cm de perímetro.

Y ahora utilizamos al fórmula:

Otro ejemplo: Andando por el campo encontré una trozo de panal de abejas. Y como buenmatemático, un poco loco eso sí, se me ocurrió calcular el área que cubría ese trozo de

panal. Los datos que saqué son los siguientes: Conté 82 hexágonos, cada uno idéntico alresto, que tenía 5,2 mm de lado, y 4,8 mm de apotema.

Vamos a obtener el área de un hexágono, y después multiplicamos ese dato por 82,obteniendo así el total.

Para ello, necesitamos el perímetro, que es: 6·5,2 = 31,2 milímetros.

 Ahora vamos con el área:

y con ese dato del área de uno de los hexágonos, calculamos el área del panal: 74,88·82= 6140 mm2 

1. El otro día encontré una estrella de mar, evidentemente y por desgracia estaba muerta,pero era realmente bonita. Mi hija quiso llevársela y guardarla en una caja que haría ella.La caja que quería hacer era pentagonal, y cabría exactamente la estrella y solo laestrella. Aunque no parecía buena idea, sí que estuve un rato hablando con ella acerca dela caja para hacerla pensar un rato, ya sabes como somos los matemáticos de raros, que

aprovechamos cualquier escusa para pensar, que manía.Mi hija me dijo que tenía que medir desde una punta a otra de la estrella, que estuvieseseguidas, para saber cuánto tendría que medir los lados de la caja, midió 7 cm. Yo,

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además calculé la medida de la apotema, que era 5 cm, dato que a ella le dio igual, puesno lo necesitaba para construir su caja. Para hacerlo entramos en internet y buscamoscomo hacerla, quedó bonita, aunque claro, no sirvió para meter la estrella de mar, sinopara unos cromos que tenía de no se que historia.

Marca la respuesta correcta, del área de la caja pentagonal de mi hija.

a) 17,5 cm2 

b) 87,5 cm2 

2. Para enlosar mi salón, hemos comprado unas losas hexagonales. El lado de las losases de 20 cm, siendo su apotema de 18 cm. Si necesito 190 losas de ese tamaño, ¿cuál esla superficie de mi salón?

a) 205200 cm2 

b) 34200 cm2 

3. El área de un patio con forma de octógono, es de 56 m2

. La apotema del octógonomide 3,5 m . Elige la opción correcta.

a) El lado mide 32 m

b) El lado del octógono mide 4 m

Para saber por qué el área de un polígono se calcula utilizando esta fórmula pincha en elsiguiente enlace:

http://profeblog.es/blog/javierfernandez/2009/04/18/area-de-poligonos-iv/ 

3. Circunferencia. Definición y elementos

Como ves en las imágenes de arriba, hay circunferencias por todas partes. De hecho esalgo tan metido dentro de nuestra vida que no necesita definición, puesto que todossabemos qué es una circunferencia.

Con lo que si tenemos que tener cuidado es con saber distinguir entre la circunferencia yel círculo, que son distintos. Ya que cuando hablamos de circunferencia nos estamosrefiriendo al borde, solamente al borde, olvidándonos del interior. Mientras que cuandohablamos de los círculos, queremos referirnos al interior. De manera que:

la circunferencia es solo una línea, es el borde exteriorel círculo es una figura plana con contenido en su interior

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 Al ser la circunferencia una línea dibujada no podemos hablar de área de lacircunferencia, puesto que siempre será cero. Cuando queramos calcular el área de unapizza, tendremos que calcular el área del círculo, que es la pizza realmente.

Elementos de la circunferencia. 

Los elementos principales de una circunferencia son los siguientes: el centro, el radio, unacuerda, el diámetro y el arco de circunferencia.

Veamos que es cada uno de estos elementos en el siguiente gráfico.

El centro es eso, el centro de la circunferencia.

El radio es la línea recta que va desde el centro a cualquier punto de lacircunferencia.

Una cuerda va desde un punto a otro de la circunferencia.

Si la cuerda pasa por el centro, entonces se llama diámetro.

El arco de circunferencia es un trozo de la circunferencia.

Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Una cuerda siempre debe pasar por el centro de la circunferencia.

Verdadero Falso

b) El diámetro mide el doble que el radio.

Verdadero Falso

c) El arco de circunferencia es lo mismo que la cuerda.

Verdadero Falso

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d) El centro lo podemos calcular haciendo dos diámetros y quedándonos con el punto enel que se cortan.

Verdadero Falsoe) El centro es un elemento de la circunferencia, pero no está en ella.

Verdadero Falso

3.1. Longitud de una circunferenciaSi queremos poner un protector por el borde de la mesa camilla de nuestro salón,necesitamos saber cuánto mide ese borde. Para eso cogemos un metro, rodeamos lamesa y tomamos la medida. Lo que estamos midiendo es la longitud de unacircunferencia. 

Cuando los matemáticos de hace ya algún tiempo se pusieron a medir la longitud de una

circunferencia, intentaron buscar la relación entre esta longitud y algún elemento de lacircunferencia. Pronto se dieron cuenta que la longitud estaba relacionada directamentecon el radio o el diámetro.

El siguiente paso era saber cuál era esa relación. Así dividieron la longitud entre eldiámetro, y siempre salía el mismo número. ¡Qué curioso, la división entre la longitud dela circunferencia y su diámetro es siempre el mismo número!

Ese número también aparecía cuando se pusieron a trabajar con el área, ahora salía elmismo número cuando dividían su área entre el radio al cuadrado. Ese número debía serimportante. Y lo bautizaron como pi, y se escribe así: .

Otra historia más larga fue encontrar cuánto valía exactamente ; porque resulta que esun número que tiene infinitas cifras decimales y nadie conoce todas sus cifras, de hechohay un ordenador en Estados Unidos, que se dedica única y exclusivamente a calculardecimales de .

El valor de éste número, que le encanta a los matemáticos, es:

 Aunque nosotros vamos a utilizar en los cálculos su valor aproximado 3,14.

La longitud de una circunferencia de radio r es:; donde r es el radio de la circunferencia.

Mi cuñado, muy manitas él, está haciéndose una pérgola estupenda en su jardín. En lafoto se ve como la lleva. Antes de taparla quiere comprar cable para poner unas lucesalrededor de la pérgola. Si el radio de la pérgola es de 2 m, ¿cuánto cable necesita?

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En realidad lo que se nos pide es que calculemos es la longitud de la circunferencia quedescribe la pérgola. Vayamos a ello.

NOTA: para tomar el resultado de la calculadora hemos utilizado el redondeo. El resultadode la calculadora es: 12,566271; y nosotros tomamos 12,57.

 A mi hermano le encantan los jardines. Lo último que se ha inventado es hacer un jardíncircular que vio por internet, para que te hagas una idea lo puedes ver en el siguientegráfico. Para hacer el jardín circular dispone de 60 rosales de rosas blancas y 40 rosalesde rosas rojas, y quiere colocar cada 25 centímetros un rosal. Calcula el radio de lacircunferencia que describirán los rosales una vez plantados.

Vamos a calcular primero la longitud de los rosales. Como quiere colocarlos cada 25centímetros, vamos a multiplicar el número de rosales que tiene por los esos 25centímetros, para saber cuántos centímetros de longitud ocuparán los rosales:

100·25 = 2500 centímetros = 25 metros

 Así la longitud de rosales que va a plantar es de 25 m, que será la longitud de lacircunferencia.

Utilizamos ahora la fórmula de la longitud de una circunferencia para obtener el radio.

esto es, aproximadamente 4 m de radio tendrá el jardín circular de rosas blancas y rojas.

Elige la opción correcta en las siguientes preguntas.

1. Si la longitud de una circunferencia es 17 m, entonces su diámetro es...a) 5,41 m

b) 2,71 m

2. Si el radio de una circunferencia vale 34 cm, la longitud de dicha circunferencia es...

a) 213,52 m

b) 213,52 cm

3.2. Área del círculo que delimita

La fórmula que nos da el área del círculo es la siguiente

donde r es el radio de la circunferencia que rodea al círculo.

 Así, si el radio de una circunferencia es 12 cm, para calcular elárea del círculo que contiene dicha circunferencia

 Aplicamos la fórmula:

y tenemos lo que buscábamos.

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Si por ejemplo, tenemos ahora varios pueblos que seencuentran formando una circunferencia. Todospertenecen a la misma comarca, que tiene un área deaproximadamente 50 km2. Observa el gráfico, y a ver sisomos capaces de calcular a qué distancia están los trespueblos del merendero.

En esta ocasión nos dan el área del círculo y nos pidensu radio, utilizando la fórmula del área de círculopodemos obtenerla.

luego están aproximadamente a 4 km del merendero.

Vamos a complicarnos un poco ahora la vida, y vamos a calcular el área de una figuramás complicada. Suponte que tenemos la siguiente figura y que queremos calcular el

área de la parte azul, sabiendo que el radio de la circunferencia grande es 4 cm, y el delas pequeñas es 1 cm.

Calculamos primero el área del círculo grande:

y ahora el área de los círculos pequeños:

y por último restamos del grande los cuatro pequeños:

que es la medida que buscamos.

Vamos a trabajar con la pizza de nueces que te hemos presentado en el apartado 3,recordémosla.

Si el radio de la pizza es de 25 cm, calcula cuánto valdrá su área.

a) 196,2 cm2 

b) 1962,5 m2 

c) 1962,5 cm2 

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Calcula ahora, la longitud de la circunferencia que describe la pizza.

a) 157 cm

b) 1570 cm

c) 157 m

4. Resolución de áreas en figuras compuestas

Vamos a realizar algunos ejemplos o ejercicios de figuras compuestas. La primera quevamos a realizar es la siguiente, en la cual, cada cuadrícula vale un metro, y lo quetenemos que hacer es calcular el área total de la figura.

Para calcular el área de una figura compuesta, lo mejor es ir calculando el área de cadauna de los polígonos que componen la figura. Los polígonos son: el triángulo ocre, eltrapecio rojo, el rectángulo fucsia y el semicírculo

azul.

Calculamos primero el área del triángulo ocre, de

base 2 m y altura 3 m:

 Ahora del trapecio rojo, de base mayor 3 m, basemenor 2 m y altura 1

m:

Vayamos con el rectángulo fucsia, de lados 3 y 2 m:

Y por último con la semicircunferencia de radio 1. Calculamos el área de circulo, y lodividimos por 2:

; y dividimos por 2;

En total: A = 3 + 2,5 + 6 + 1,57 = 13,07 m2 

Y ahora un poco más difícil, porque en la siguiente figura no tienes señaladas las figurasque la componen, debes averiguarlo tú. Calcula en tu cuaderno el área de la figurasuponiendo que cada cuadrícula vale 5 cm, y después mira la solución que te

proponemos.Los polígonos que componen la figura son: untriángulo, un trapecio y un semicírculo.

Calculamos primero el área del triángulo:

 Ahora la del trapecio:

Y la del semicírculo: ;

dividiendo por 2: 39,25 cm2

 Y sumando todos los datos: 314,25 cm2 

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Vamos a realizar algunos ejercicios de figuras compuestas.

La primera figura de la que vamos a calcular su área es la siguiente:

Para calcular su área, vamos a ir paso a paso, calculando las áreas de las tres figuras quela componen, el rombo azul, el triángulo rojo y el trapecio verde.

Vamos primero con el rombo azul. El problema es que para obtener el área del rombonecesitamos el valor de sus diagonales, y sólo tenemos el valor del lado, tendremos quebuscarnos la vida para calcular las diagonales:

Si miramos el dibujo con atención, vemos que el trapecio verde tiene un lado de longitud 2cm, que coincide con la mitad de la diagonal mayor del rombo, con lo cual, la diagonalmayor será D = 4 cm. Pero para calcular la diagonal menor, no tenemos ningunareferencia buena. Vamos a representarlo para aclararnos un poco:

Si nos fijamos tenemos cuatro triángulos dentro del rombo. Vamos atomar el primero de arriba a la derecha, que tendrá las siguientesmedidas:

la hipotenusa mide: 2,24 cm; un cateto mide 2 cm (que es la mitad de D,la diagonal mayor), y el otro cateto mide x, que será la mitad de d, ladiagonal menor del rombo.

 Aplicando el Teorema de Pitágoras, tenemos:

;así la diagonal menor d, vale 2 cm aproximadamente.

 Ahora calculamos el área:

 Ahora calculamos el área del trapecio verde. Para ello necesitamos, tres medidas, queson, la base mayor, la base menor y la altura. Tenemos la altura, 2 cm, tenemos la basemenor, 2 cm, pero nos falta la base mayor. Eso sí, si prestamos atención, vemos quetiene que medir 3m, que son la suma de la base menor y la mitad de la diagonal menordel rombo, que era 1 cm, como acabamos de calcular. Así tenemos: B = 3 cm; b = 2 cm; a= 2 cm; y por tanto su área será:

Y por último vamos con el triángulo, cuya base vale 2 cm, como se ve en la figura, y cuyaaltura, si nos fijamos bien, coincide con la mitad de la diagonal mayor del rombo, por tanto

2 cm. Así el área de triángulo será:

Sumando las tres áreas calculadas, el área total de la figura es: A = 4 + 5 + 2 = 11 cm2 

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Calcula tú ahora, el área de cada una de las figuras y la del total (fíjate en las cuadrículaspara obtener las medidas, aunque ya las tienes puestas):

a) Triángulo verde = 1; Cuadrilátero morado = 6; Trapecio verde = 1,5; Rectángulo rojo =2; Semicírculo azul = 1,57; Total = 13,64.

Verdadero Falsob) Triángulo verde = 1; Cuadrilátero morado = 3; Trapecio verde = 1; Rectángulo rojo = 2;Semicírculo azul = 1,57; Total = 10,64.

Verdadero Falsoc) Triángulo verde = 1; Cuadrilátero morado = 3; Trapecio verde = 1,5; Rectángulo rojo =2; Semicírculo azul = 1,57; Total = 9,07.

Verdadero Falso

Matemáticas U2 - Tema 2: Poliedros. Áreas y volúmenesTema 2. Poliedros. Áreas y volúmenes.

En este tema vamos a estudiar los cuerpos, esto es, todo lo que vemos a nuestroalrededor en nuestra realidad cotidiana.

Dentro de estos cuerpos, vamos a quedarnos con aquellos que tienen una forma regular,para simplificar su estudio.

Y más aún, vamos a estudiar solo algunos que tienen forma muy conocidas. Vemoscuáles.

TETRAEDRO REGULAR HEXAEDRO REGULAR PIRÁMIDE CUADRANGULAR

Siempre he pensado que si en matemáticas hay algo que aporte belleza a nuestra vidaeso son los poliedros, los cuerpos que podemos ver alrededor nuestro.

Y no me puedo resistir a poner algunas imágenes de poliedros o de cuerpos realmentebellos.

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Pirámide invertida delLouvre

Pirámide exterior elLouvre Poliedros Poliedros

Una de las cosas con las que debemos tener cuidado son las unidades en las queexpresamos las cantidades que tenemos que escribir en las soluciones.

Cuando estamos escribiendo una medida de longitud, por ejemplo lo que mide una regla,debemos utilizar las unidades sin potencias; así la regla medirá 15 cm, mi coche mide delargo 4,35 m; o bien, tal ciudad está a 165 km.

Pero, si nos piden un área debemos tener cuidado porque la solución debe darse en

unidades al cuadrado, por ejemplo: cm2

, m2

, km2

, etc... Así diremos que un cuadrado tiene6 cm2 de área o superficie; o bien, que el parque municipal tiene una superficie de 450m2 de agua; o que mi pueblo tiene una superficie de 8,5 km2.

Por último, si lo que queremos expresar es un volumen, la unidad la debemos elevar alcubo, o sea, cm3, m3, km3; así diremos que un vaso tiene una capacidad o volumen de250 cm3; que la piscina municipal tiene una capacidad o volumen de 1250 m3 de agua; etc

Una cosa importante en el volumen es la medición en litros. Medir en litros es medir unvolumen; y cada litro equivale a 1 dm3, que para que te hagas una idea es un vaso de 1dm = 10 cm de alto, 1 dm = 10 cm de ancho y 1 dm = 10 cm de largo, eso es 1 dm3 y eso

es un litro.

Vamos a realizar una autoevaluación. Primero repásate lo que acabamos de ver, ydespués haz la autoevaluación, a ver qué tal se te da.

Contesta sobre la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. El depósito de gasoil de mi coche tiene una capacidad de 45 litros3.

Verdadero Falso

2. El área del aeropuerto de una ciudad de Andalucía es de 3,5 km2

.Verdadero Falso

3. La medicina que debo suministrar a mi hijo debe ser en dosis de 5 cm3 de capacidad.

Verdadero Falso

4. Mi casa tiene una superficie de 90 m2.

Verdadero Falso

5. El polideportivo cubierto de mi ciudad es capaz de albergar en su interior hasta 480000m2 de aire.

Verdadero Falso

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1. Elementos, área y volumen de un poliedro

Definición. 

Un poliedro es el cuerpo formado por polígonos. Un poliedro es regular si cumple que:

Sus caras son polígonos regulares iguales.

En cada vértice concurren el mismo número de caras.

Elementos principales de un poliedro. 

Observando el dibujo podemos ver los elementos que forman un poliedro, que son:

Caras: Pues eso, las caras, que son lo polígonos del tema anterior.

 Aristas: Son los lados de las caras.

Vértices: Cada uno de los vértices de las caras del polígono.

Diagonales: Son los segmentos que unen dos vértices que no pertenecen a la mismacara.

Dado el hexaedro de la figura, di cuál de las siguiente opciones es la cierta. Para ellohazlo primero en tu cuaderno, y elige después la opción que creas verdadera.

 A - Vértices. B - Caras. C - Lados. D - Diagonales.

 A - Diagonales. B - Caras. C - Vértices. D - Lados.

 A - Lados. B - Caras. C - Vértices. D - Diagonales.

La figura anterior llamada hexaedro, la conocemos normalmente con el nombre de cubo.

Vamos a ponernos a realizar un cubo de cartulina. Para ello necesitamos, además de lacartulina, unas tijeras y una regla.

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Dibujamos en la cartulina la siguiente imagen.

Lo que tenemos delante es una figura formada por polígonos, o mejor, por cuadrados.Podemos calcular sin problemas el área de ésta figura. Pues a ese área le vamos a llamarárea del cubo. Y si fuese otro poliedro, su área se calcularía igual, o sea, al área de lafigura abierta que resulta de abrir todas sus caras.

 Ahora cuando pegamos los lados de los polígonos correctamente obtenemos el cubo queteníamos un poco más arriba.

El volumen del cubo o de un poliedro, es un concepto tan intuitivo que casi no merece lapena definir, es el espacio que ocupa.

Verás que este tema es más sencillo que el anterior, vamos a dar expresiones de áreas yvolúmenes y tendrás que aplicarlas, igual que has hecho en el tema anterior.

Un sólido platónico es un poliedro regular y convexo. En realidad sólo hay cinco sólidosplatónicos, cuales son: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.

Pues bien, un omnipoliedro es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco

sólidos platónicos. De dentro hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestraconstrucción, será: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro (ver imagen).

2. Área y volumen de un hexaedro regular

Un hexaedro es el poliedro de seis caras.

Si las seis caras son cuadradas decimos que el hexaedro es regular, y como todossabemos, se le llama cubo.

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Cubo de Rubik Cubos de la memoria de Llanes (Asturias) Juguete de cubos

Las fórmulas que vas a ver parecen un poco complicadas, pero cuando compruebes losencillo que es utilizarlas, como en el ejemplo que sigue, verás como empiezas a tomarlecariño a esto de las áreas y volúmenes.

Las fórmulas del área y del volumen de un hexaedro regular o cubo son las que siguen: ÁREA DE UN HEXAEDRO: ; donde a es el valor de la arista de cada cara

del hexaedro.

Si un hexaedro tiene una arista de 8 cm, entonces el ÁREA será:

 

VOLUMEN DE UN HEXAEDRO: ; donde a es el valor de la arista.

El VOLUMEN del hexaedro de arista 8 cm será:

Resuelve y comprueba los siguientes ejercicios. Fíjate bien en las unidades, el área alcuadrado y el volumen al cubo.

Ejercicio 4. 

Los cubitos de hielo de la imagen tienen 3 cm de arista. ¿Qué superficie debe tener cadauno de los huecos de la cubitera, suponiendo que estén cerrados? ¿Qué volumen de hielocontiene cada cubito?

Ejercicio 5. 

En la imagen de "los cubos de la memoria" de Llanes (Asturias) hay muchos cubos. Aunque no sabemos cuántos hay, vamos a suponer que son 125 cubos. Si el volumentotal de los cubos es de 15,625 m3, ¿cuánto vale la arista de cada uno de cubos,suponiendo que sean todos iguales?

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Elige la respuesta correcta en cada caso, previamente realizados los cálculos en tucuaderno.

Un edificio tiene forma de cubo, si su altura es de 12 m, entonces los valores de su área yvolumen son:

a) A = 72 m2; V = 1728 m3 

b) A = 864 m2; V = 1728 m3 

Si el área de un dado para jugar al parchís es 18 cm 2, entonces el valor de arista y suvolumen son:

a) a = 1,73 cm; V = 5,2 cm3 

b) a = 1,73 cm; V = 3 m3 

3. Área y volumen de un tetraedro

Ya hemos visto a lo largo del tema que es un tetraedro, pirámide triangular. Veamos

algunas que nos podemos encontrar:

Pirámide en Roma Reloj en forma de pirámideUn tetraedro es un poliedro de cuatro triángulos. Si los triángulos son equiláteros, eltetraedro se denomina regular.

De nuevo te encuentras con fórmulas que son feas, pero que con la ayuda de lacalculadora, serán cuentas sencillas de realizar.

Dado el tetraedro regular de arista a, se tiene:

 ÁREA DE UN TETRAEDRO: ; donde a es el valor de la arista del tetraedro.La unidad siempre debe ser al cuadrado.

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Si un tetraedro tiene una arista de 5 cm, su área será de

VOLUMEN DE UN TETRAEDRO: ; donde a es el valor de la arista. Elvolumen debe darse en unidades al cubo, o sea, elevado a tres.

Si calculamos el volumen del tetraedro anterior de arista 5 cm, será:

Realiza estos ejercicios en tu cuaderno, y comprueba que están bien. Para hacerlos utilizala calculadora.

Ejercicio 1. 

El reloj piramidal que hemos visto más arriba tiene de arista 5 cm. Calcula su área y suvolumen.

Ejercicio 2. 

El carpintero de mi pueblo tiene una terraza que ha moquetado con césped artificial, paramontarle a sus hijos una cabaña de madera con forma de tetraedro. Antes de hacerla hahecho una foto y ha dibujado el tetraedro.

Si la cabaña que quiere montar va a tener una arista de 2,5 m de longitud, ¿cuántasuperficie de madera va a necesitar? ¿Qué volumen ocupará la cabaña una vezacabada?

Ejercicio 3. 

Si el volumen de un tetraedro es de 2 m3, ¿cuánto mide su arista?

Realiza los cálculos que te proponen las siguientes afirmaciones, y dí si son verdaderas ofalsas.

1. Si la arista de un tetraedro vale 4 m, entonces el área vale 27,71 m2 y el volumen 7,54m3 

Verdadero Falso

2. Si el área de un tetraedro vale 15 m2, la arista vale 2,94 m.

Verdadero Falso3. Si el volumen de un tetraedro vale 17 cm3, la arista vale 4,9 m

Verdadero Falso

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Veamos un ejemplo:

Si tenemos una pirámide cuyos elementos son: b = 2 m; ap = 3 m; su área será:

 ; donde el perímetro seobtiene multiplicando 4·2.

El volumen de la pirámide anterior, sabiendo que la altura es 4,

será:

Ejercicio 6. 

En un restaurante nos ponen el siguiente postre.

Tiene una pinta deliciosa, pero queremos saber cuánto

chocolate vamos a comernos, por aquello de la dieta.Con ojos matemáticos, vemos que el chocolate forma unapirámide, así que nos disponemos a tomar medidas paracalcular cuánto chocolate nos vamos a comer. Los datos quetomamos son:

lado de la base = 4 cm; apotema = 6 cm; altura de la pirámide = 5 cm.

¿Cuánto chocolate nos vamos a tomar? ¿Qué superficie tendrá el molde con el que se hahecho la pirámide de chocolate?

Ejercicio 7. 

En Las Vegas podemos encontrarnos un hotel quetiene forma de pirámide como puedes ver en laimagen. Si buscamos las dimensiones de estapirámide encontramos que la altura es de 106 m.

Haciendo unos cálculos se tiene que la base de lapirámide tiene un lado de aproximadamente unos150 m, mientras que la apotema, tiene un valor,también aproximado, de 130 m.

¿Podrías decirme cuánta superficie de cristal se ha utilizado para cubrir la pirámide, ycuánto volumen engloba en su interior?

En las siguientes preguntas hay varias opciones que son ciertas, localízalas después decalcular las áreas y volúmenes pedidas.1. Una pirámide tiene una base de 10 m, una apotema de 8 m y una altura de 12 m. Suárea y volumen son:

a) A = 100 m2

b) A = 260 m2c) V = 400 m3

d) V = 1200 m3

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Tenemos una vela con forma de pirámide, la base mide 6 cm, su altura 5 cm y suapotema 7 cm. ¿Qué cantidad de vela tenemos? ¿Qué superficie tiene el molde con quefue hecha la vela?

a) A = 120 cm3

b) A = 120 cm2

c) V = 60 cm2

d) V = 60 cm3

5. Otros cuerpos elementales. El cono, el cilindro y la esfera.

Vamos a estudiar en este punto otros cuerpos elementales del espacio, concretamente elcilindro y la esfera.

Veamos imágenes de éstas figuras.

No está de más recordar, que las fórmulas que vas a ver son aparentemente difíciles,

pero recuerda que hasta ahora con la ayuda de la calculadora, hemos sabido saliradelante, simplemente debes tener cuidado a la hora de hacer los cálculos.

 Además, recuerda el asunto de las unidades, las áreas van al cuadrado, y los volúmenesal cubo.

5.1. El cilindro: área y volumen

Seguramente en casa tendrás una lata de tomate frito, o una lata de refresco, pues bien,eso es un cilindro, como a lo mejor ya sabes.

Un cilindro tiene dos elementos básicos que nos servirán para calcular el área y elvolumen del mismo: el radio de la base del cilindro, y la altura del cilindro. Veámoslo en elsiguiente gráfico:

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Para calcular su área no tenemos más que abrir nuestra lata de tomate frito. Imaginemosque abrimos la lata de manera que nos quede de la siguiente forma:

Como ves, al abrirlo, tenemos un rectángulo y dos circulos, y como ya sabemos las áreasde estas figuras, no tiene secretos para nosotros el área de un cilindro, porque será algo

así:  ÁREA DEL CILINDRO:

;donde a es la altura del cilindro y r el radio del circulo de la base,

y una vez que nos den los datos, no tendremos problemas.

Tampoco es difícil el volumen, puesto que no es más que el área de la base, por la alturadel cilindro, vamos a verla en fórmula:

; donde r es el radio de la base y a la altura del cilindro.

Veamos un ejemplo:Si un cilindro tiene una altura de 8 cm y su base tiene un radio de 4 cm, su área será:

Calculemos el volumen del cilindro:

Realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno antes de ver la solución.

Tenemos en casa una lata de tomate frito, a la que hemos tapado la marca por aquello dela publicidad, y queremos hacer una exactamente igual en cartulina, y nos preguntamos,¿qué superficie o área de cartulina nos hará falta? Suponiendo que la lata de cartulina seapara guardar arena de la playa, ¿qué volumen de arena podremos guardar en ella? Losdatos que necesitas para resolver esto es que la base tiene un radio de 5 cm y el cilindrotiene una altura de 20 cm.

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El otro día mis hijas querían hacer un lapicero para el día del cumpleaños de su madre.Para ello cogieron un rollo de papel higiénico y un trozo de cartulina. Al ver que el papelhigiénico tenía "un agujero demasiado pequeño" dicho en boca de mi hija pequeña,esperaron a pedir en el cole unos más grandes que decían que habían utilizado. Así fue, yal día siguiente trajeron dos rollos acabados cuyos diámetros eran de 6 cm, y la altura de9 cm. Hicimos con mucho cariño los lapiceros, que nos quedaron preciosos, tanto fue así,que cuando mi mujer los vio, prefirió utilizarlo para meter dentro unas esencias, unas conolor marino y otras con olor a lavanda. Así que rellenó los dos lapiceros, y las niñas tancontentas. ¿Podrías decirme que cantidad de cartulina utilizamos para los dos lapicerosincluyendo la del papel higiénico? ¿y, que volumen de esencias cupieron en los doslapiceros?

Solución:

Vamos a calcular el área y el volumen de uno de los lapiceros y después multiplicamospor 2.

; cada lapicero; entre losdos: 452,16 cm2 

Y para el volumen igual:

; entre los dos lapiceros: 502,4 cm3 

Calcula los datos del problema previamente, y di cuál de las afirmaciones son ciertas; hayvarias ciertas.

Si un cilindro tiene de altura 4 m, y su base circular tiene un radio de 1 m, su área y suvolumen valen:

a) A = 31,4 m2

b) V = 12,56 m2

c) V = 12,56 m3

5.2. El cono: área y volumen

El cono tampoco es una figura desconocida, seguramente porque podemos ver conosnormalmente en nuestra vida cotidiana. Como ves en las imágenes podemos encontrarconos en la carretera o en una heladería.

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Vamos a obtener el área y el volumen del cono, y posteriormente vamos a hacer algúnejemplo. Para ello vamos a ver un cono con los elementos que necesitamos para poderutilizar éstas fórmulas.

Vemos el cono que tiene tres elementos esenciales: r, el radio del círculo que es su base;a, la altura del cono; y g, que es la generatriz del cono. Recibe este nombre tan raro,porque si coges un palito (una pajita de las de beber por ejemplo) y la mueves en el aire,estás formando en el aire un cono, o sea, creas o generas un cono, de ahí que se llame,

generatriz del cono.

La expresión del área es:

 ÁREA DE UN CONO: ; donde g es el lado o generatriz del cono,y r el radio del circulo que es la base del cono.

Y la del volumen:

VOLUMEN DE UN CONO: ; donde a es la altura del cono.

Como ejemplo, vamos a calcular el área y el volumen del cono que tiene las siguientemedidas: g = 15 cm, a = 12 cm, y r = 9 cm.

Calculamos el área: ;

y el volumen:

Si tuviéramos un cucurucho para rellenar de nata, a ras, o sea, que no sobresalga heladodel cucurucho; y ese cucurucho tuviera las siguientes dimensiones: el radio de la basemide 3 cm; la altura del cucurucho mide 15 cm; y la generatriz del cucurucho mide 17 cm,qué área de galleta ha sido utilizada en la fabricación del cucurucho, y y qué volumen de

helado de nata se ha utilizado para rellenar el cucurucho.

Para calcular el área tendremos que tener en cuenta que el cucurucho no está tapado,luego tendremos que restar el área del circulo, una vez obtenido el valor del área delcono. Vamos a calcular el área del cono:

y a esto hay que restarle el área del circulo, que es:

así restando tenemos: A = 188,4 - 28,26 = 160,14 cm2 

Para el volumen de helado de nata, no hay ninguna cuestión a tener en cuenta:

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 Antiguamente, para salir en un paso de Semana Santa, el penitente tenía que hacerse supropio capirote. Uno cogía una cartulina y se lo fabricaba artesanalmente. Vamos afabricarnos uno con nuestra imaginación. Medimos el diámetro de nuestra cabeza, yobtenemos 18 cm allí donde debe apoyar el capirote. Medimos la altura que debe tener el

capirote, y nos sale 45 cm, y aunque no lo necesitamos para construirlo medimos tambiénsu generatriz, que vale 48 cm. Calcula el área de cartulina que necesitamos para hacer elcapirote.

 Ahora vamos a imaginarnos que tenemos un embudo con forma de cono, y que queremosaveriguar que volumen de agua le cabe antes de bozarse. Los datos que necesitamos sonel radio del circulo de la base, la altura y su generatriz, y estos datos son: r = 6 cm; a = 14cm; g = 16 cm. Calcula el volumen de agua que cabe en el embudo.

Un cono de tráfico (supuestamente con una figura perfecta de cono) tiene las siguientesdimensiones: r = 12 cm; a = 40 cm; g = 45 cm. Entonces el área y el volumen valen:

a) A = 2147,76 cm3; V = 6028,8 cm2 

b) A = 2147,76 cm2; V = 6028,8 cm2 

c) A = 2147,76 cm2; V = 6028,8 cm3 

5.3. La esfera: área y volumen

Todos sabemos que es una esfera. Un balón, una naranja, la Tierra, tienen forma deesfera, bueno aunque no exactamente, puesto ya sabes que la Tierra está achatada porlos polos, pero eso forma parte de otra historia.

Pues si cogemos, por ejemplo, una naranja, y la pelamos, la piel sería el área de laesfera. Y si midiésemos el aire que le cabe a una pelota de balonmano, éste sería elvolumen.

Vamos a conocer las fórmulas del área y del volumen de una esfera, ya verás que son tanfáciles como las anteriores. Para entenderlas, solo hace falta conocer un elemento: elradio de la esfera.

 ÁREA DE UNA ESFERA: ; donde r es el radio de la esfera,

VOLUMEN DE UNA ESFERA: , donde r es de nuevo el radio de la esfera.

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Veamos un ejemplo. Si tenemos una esfera de radio 1,5 m, su área será:

Si obtenemos el volumen de la esfera anterior, será:

Sabiendo que el diámetro de la pelota de balonmano de arriba vale 20 cm, calcula su áreay su volumen.

Solución:

 Aplicando las fórmulas y con ayuda de la calculadora tenemos:

Para nuestro árbol de navidad hemos hecho bolitas esféricas. Cada bolita tiene 4 cm deradio, y hemos hecho un total de 15. Son de un plástico un poco feo, y decidimos cubrirlasde papeles de colores. Además para que pesen un poco más las rellenamos de algodón.Puedes decirme ¿cuánta superficie de papel y cuánto volumen de algodón vamos autilizar?

Realiza en tu cuaderno los cálculos antes de elegir las afirmaciones que crees que son

ciertas.Si tenemos una pelota de playa, cuyo diámetro es de 45 cm, entonces...

1. Su área es de 565,2 cm2 

Verdadero Falso

2. Su área es 25434 cm2 

Verdadero Falso

3. Su volumen es de 188,4 cm3 

Verdadero Falso

4. Su volumen es de 8478 cm3 

Verdadero Falso

5. Su volumen es de 381510 cm3 

Verdadero Falso

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Matemáticas U2 - Tema 3: Semejanzas y escalas

Tema 3. Semejanzas y escalas

Tengo dos hijas, María y Ana. A una le gusta dibujar y a otra no. Pero cuando fuimos aver París, y en concreto la Torre Eiffel, las dos querían hacer un dibujo de la famosa torre.

Para ello, les saqué un dibujo de internet, para que tuviesen una imagen desde la quecopiar la figura de la torre. La imagen que les dí, es la siguiente:

 Al rato vinieron mis hijas con sus dibujos. María, la mayor, realizó el dibujo de la izquierda,mientras que mi hija pequeña, Ana, hizo el de la derecha.

Evidentemente, una es más igual que la otra a la Torre Eiffel. La de la izquierda casi quepodríamos que decir que es igual, bueno igual no, tiene las mismas proporciones, lamisma forma, los mismos ángulos, eso si, tienen distinto tamaño; pues bienmatemáticamente a esas dos figuras que son iguales pero de distinto tamaño, lesllamamos semejantes.

Hace algunos años, concretamente en el año 1992, en Sevilla se celebró la ExpoUniversal. Para tal evento se eligió una mascota, cuyo nombre fue Curro. Hemos tomadouna imagen de Curro, y hemos jugado un poco con sus dimensiones, o con susproporciones, deformando en algunos casos la imagen de la mascota, para que

comprendas que es eso de ser semejante. Veamos las imágenes:

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Como ves, la primera, la segunda y la tercera imagen son iguales, una más pequeña yotra más grande, eso quiere decir que con semejantes. Pero la cuarta y la quinta fotoestán deformadas, son distintas, una está alargada, y otra achatada, y en las dos la figuraque vemos no tiene las mismas proporciones, la misma forma que Curro, ya no sonsemejantes a las anteriores. Como ves, el concepto de semejanza es bastante intuitivo.Espero que lo hayas entendido, para comprobarlo vamos a hacer una autoevaluación.

La Junta de Andalucía tiene un sistema operativo informático propio desarrollado en lapropia Andalucía a partir del sistema operativo Ubuntu. El sistema operativo se llamaGuadalinex, y según los entendidos es de los mejores sistemas operativos que existen.Se han realizado siete versiones mejorando en cada una la anterior. Cada versión tieneuna mascota asociada, una imagen para darse a conocer. En la última versión, la V7, lamascota es un lince, que se puede ver más abajo.

Observa las imágenes del lince de más abajo y decide cuáles son semejantes al lince dearriba y cuáles no.

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1. Semejanza en figuras planas

Semejanza de triángulos. 

 A la hora de tratar en las figuras planas que hemos estudiado en el tema 1 de esta unidadde Geometría, las cosas siguen siendo tan sencillas como se ha visto en el punto 1. Dostriángulos van a ser semejantes si tienen la misma forma, es decir si son exactamenteiguales de forma aunque de diferente tamaño.

Como ves, los dos primeras imágenes son iguales, una más grande que otra, pero latercera no, porque la forma ha cambiado.

Pero a veces es difícil decidir si una imagen es semejante a otra porque la vista nos

puede engañar. ¿Cómo podemos comprobarlo? Sólo hay que seguir el criterio que tienesa continuación:

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Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulosiguales. 

Por ejemplo:

Hemos medido la longitud de los lados, y vemos que los lados del segundo triángulo sonel doble que los del primero.

Cuando al dividir cada lado de un triángulo entre el que le corresponde del otro triángulonos da el mismo número, entonces los triángulos son semejantes.

3:1,5 = 2

4 : 2= 2

Este número, el 2, recibe el nombre de razón de semejanza. El nombre de razón vieneporque es sinónimo de división, es decir división y razón es lo mismo.

Semejanza de polígonos. 

Para comprobar que dos polígonos son semejantes, lo que hacemos es lo mismo deantes. Nuestra observación es importante pero debemos hacer una comprobaciónmatemática:

Dividimos las longitudes de cada lado de uno de los polígonos entre los que lecorresponden del otro y si obtenemos el mismo resultado, entonces serán semejantes, yese número será la razón de semejanza. Veamos un ejemplo.

Como ves, los pentágonos son iguales, y al dividir cada lado por el que le corresponde,tenemos que la división nos sale 2. La razón de semejanza es 2, y los pentágonos sonsemejantes.

Comprueba si las siguientes figuras son semejantes. En tal caso, calcula la razón desemejanzas:

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Solución:

Vamos a dividir los lados que se corresponden:

como ves, siempre obtenemos lo mismo, ya que son semejantes. La razón de semejanza

es aproximadamente 1,22

En los ejercicios siguientes, elige la opción correcta.

a) No son semejantes.b) Son semejantes, y la razón de semejanza es 2.

c) Son semejantes, y la razón es 1,5.

Observa los siguientes triángulos y elige de nuevo la respuesta correcta.

a) No son semejantes.b) Son semejantes, y la razón de semejanza vale 2.

c) Son semejantes, y la razón de semejanza vale 2,33.

Elige ahora, observando estos hexágonos.

a) No son semejantes.

b) Son semejantes, y la razón vale 2.

c) Son semejantes, y la razón de semejanza vale 1,94.

Observa la imagen azul, y elige de entre las siguientes la imagen roja que sea semejante,

y pero que además su razón de semejanza sea 2, esto es, que sus proporciones sean eldoble que la de azul; o sea, sus medidas o dimensiones sean el doble, si un lado de laazul mide 1 cuadrito, el lado del rojo debe medir 2 cuadritos.

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2. Escalas

Dentro de las semejanzas hay tres aplicaciones importantes en la vida cotidiana, que son:

los mapas, los planos y las maquetas.Para ello es necesario conocer un concepto, la escala.

La escala de un mapa, plano o maqueta es la razón de semejanza de la figura real y larepresentada.

Vamos algunas imágenes de mapas, planos y maquetas que son semejanzas, donde sevea su escala.

Empecemos por el mapa que nos ofrece Google-Maps de Almería y los puebloscolindantes.

 Abajo a la izquierda ves una barra que pone 1 km, y un espacio de un 1 centímetro. Esoquiere decir que cada trocito del mapa que mida 1 centímetros mide 1 km en la realidad.O sea, si medimos una distancia en el mapa de 4 cm, en la realidad serán 4 km. Y si en larealidad dos pueblos están a 7 km, en nuestro mapa mediríamos 7 cm.

Otra manera de dar la escala de un mapa es la del siguiente gráfico, que representa laisla de Costa Rica

Como vemos en el mapa, la Escala es 1:200.000, que quiere decir que 1 cm del maparepresenta a 200.000 cm en la realidad, o sea, 2000 metros, o bien, 2 km. Si por ejemplo,en nuestro mapa una distancia es de 4 cm, tenemos que en realidad será 200.000·4 =

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800.000 cm = 8000 m = 8 km. Así, si en la realidad tenemos dos ciudades a 20 km, o sea,20 km = 20.000 km = 2.000.000 cm, dividiendo lo que mide en la realidad entre la escala,serán en nuestro mapa: 2.000.000: 200.000 = 10, luego 10 cm en el mapa.

Observa el siguiente mapa tomado de Google, donde se ve el Estrecho de Gibraltar. En él

nos vamos a fijar en la distancia que hay entre Algeciras y Ceuta, que incluso viene dadapor una línea discontinua. Para tomar la escala, la ves abajo a la izquierda, donde pone10 km.

Realiza los cálculos en tu cuaderno, y elige la respuesta correcta a la pregunta, ¿cuál esla distancia entre Algeciras y Ceuta?

1. Unos 30 km aproximadamente.

Verdadero Falso

2. Unos 60 km aproximadamente.

Verdadero Falso

3. Unos 60 cm.

Verdadero Falso

Veamos un ejemplo de plano de una casa a escala.

Como ves también nos pone la escala que utiliza, 1:50, que quiere decir que 1 cm delplano son 50 cm en la realidad.

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El siguiente mapa nos muestra una parte de la provincia de Sevilla. La escala que nosmuestra es: 1:500000, o sea, que cada cm del mapa son 500000 cm en la realidad. Eligela respuesta correcta sobre la distancia en línea recta entre Dos Hermanas y Carmona.

a) La distancia en la realidad es de 35000000 cm = 350000 m = 350 km.

b) La distancia en la realidad es de 350000 cm = 3500 m = 3,5 km.

c) La distancia en la realidad es de 3500000 cm = 35000 m = 35 km.

Veamos por último, un ejemplo de maqueta, si bien, no traerá la escala por razonesobvias. Al comprar un piso en construcción, no podemos ver nuestro futuro piso, y hemosde conformarnos con poder ver una maqueta de cómo quedará la zona una vez se hayaconstruido todo el entorno y los edificios.

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3. Problemas geométricos de escalas

En este apartado vamos a practicar con algunos ejercicios de los vistos en el punto 2.

Hemos tomado una imagen del Google-Maps de la provincia de Cádiz. La imagen con suescala es la siguiente (Nota: hemos medido en centímetro el trozo que nos indica 20 km, yhemos medido 2 cm):

Sabiendo que de Cádiz a Jerez de la Frontera hemos medido 2,5 cm, ¿cuánto estarán enla realidad en línea recta?

Si sabemos que Cádiz está a 100 km de Sevilla (en línea recta, y no por carretera que son

125 km), ¿a cuánta distancia estaría en el mapa si se viera Sevilla?En un mapa de escala 1:250000 de parte de la provincia de Córdoba, la distancia quesepara Córdoba de Cerro Muriano es de 5 cm, ¿qué distancia les separará en la realidad?¿Y qué distancia tendrán en el mapa dos ciudades que distan en la realidad 15 km?

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En un plano del dormitorio de mi casa se obtienen las siguientes dimensiones del mismo:4 cm de largo, por 3 cm de ancho. Si sabemos que midiendo el ancho en la realidadtenemos 4,5 metros, calcula la escala con la que se ha realizado el plano del dormitorio.¿Sabrías decirme cuál será el perímetro suponiendo que mi dormitorio es un rectángulo?

Responde verdadero o falso a las siguientes afirmaciones que están basadas en losproblemas de más arriba.

1. Si la distancia en el mapa de la provincia de Cádiz entre El Puerto de Santa María y Arcos de la Frontera es de 4 cm, en la realidad será de 50 km.

Verdadero Falso

2. Si la distancia en el mapa de la provincia de Cádiz entre Medina-Sidonia y Prado delRey en la realidad es de 50 km, por tanto en el mapa estarán a 5 cm.

Verdadero Falso3. En el mapa de la provincia de Córdoba las distancia entre el Aeropuerto y Villafranca deCórdoba es de 13 cm, eso quiere decir que en la realidad estarán a 32,5 km de distancia.

Verdadero Falso

4. En el mapa de la provincia de Córdoba las distancias en la realidad entre laslocalidades de La Huerta de Nueva y La Alamedilla son de 7,5 km, y en el mapa ladistancia es de 4 cm.

Verdadero Falso

5. En el plano del dormitorio, la cama, que mide en la realidad 2,10 m, debe medir 1,4 cm

Verdadero Falso

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6. Si en el plano de la habitación la cómoda mide 1,5 cm en la realidad debe medir 2,25m.

Verdadero Falso

En el siguiente mapa de la provincia de Jaén, se ve la escala que indica el mapa. Hemosmedido la distancia que nos indica el mapa de 5 km, y hemos obtenido aproximadamente2 cm, que unificaremos para todos, y así tener las soluciones en función de ese dato.

1. Obtén la escala del mapa, diciendo a cuánto equivale 1 cm.

2. Calcula la distancia en la realidad entre Los Villares y Huelma que están en este mapaa unos 13 cm.

3. Calcula la distancia que habría en el mapa entre Alcalá la Real y Jaén, sabiendo que enla realidad están a unos 36 km en línea recta.

4. Al Noreste de la provincia de Jaén nos encontramos con el maravilloso Embalse del

Tranco dentro del Parque Natural de Cazorla, Segura y Las Villas. Éste embalse tiene unalongitud de unos 16 km, ¿cuánto mediría si se viese en el mapa?

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Matemáticas U2 - Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de unángulo agudo

Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Unos investigadores británicos afirman que el penalti perfecto existe. Después de muchasinvestigaciones y de estudiar numerosos vídeos concluyen que la forma de lanzar unpenalti para conseguir un disparo imparable es: coger carrerilla cinco o seis pasos desdeel borde del área, golpear el esférico a una velocidad de 105km/h o más con un ángulode 20 a 30 grados y de esta forma el balón cruza la línea de gol a 0,5 metros por debajodel larguero, a la misma distancia de cada uno de los palos.

Este es un simple ejemplo en el que podemos ver una aplicación de la medida de ángulospara solucionar un problema, pero ya desde la antigüedad se utilizó la medida de ángulosen campos como la navegación para orientarse y conocer la posición del barco, o laastronomía para localizar estrellas en el cielo.

En este tema estudiaremos dos de las unidades en las que se pueden medir los ángulos:el grado sexagesimal y el radián, la relación que existe entre ellos, así comooperaciones con ángulos. Veremos también qué son las razones trigonométricas de unángulo.

1. Medida de ángulos

Mi pueblo está a 60 kilómetros (o 60.000 metros) de mi casa y tardo una hora y cincominutos en llegar. Allí tengo un huerto que mide 2 hectáreas, o lo que es lo mismo 2hectómetros cuadrados.

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Igual que podemos medir la distancia desde mi casa a mi pueblo, el tiempo que tardo enllegar o la superficie de mi huerto, también podemos medir la amplitud de un ángulo. Y lomismo que para medir las distancias, el tiempo o la superficie podemos utilizar distintasunidades, para medir ángulos también usaremos distintas unidades.

1.1. El grado sexagesimal

La forma de medir ángulos en el sistema sexagesimal, es la misma que utilizamos para

medir el tiempo. Para medir el tiempo se elige como unidad principal la hora y luego lapodemos dividir en minutos y segundos. Pues bien, para medir la amplitud de un ángulo,se elige como unidad principal el grado sexagesimal que, como en el tiempo, también sepuede dividir en minutos y segundos.

Sabemos que un ángulo recto mide 90º. Si lo dividimos en 90 partes iguales, cada unamedirá un grado sexagesimal, se escribe 1.

Un ángulo nulo = 0º

Un ángulo recto = 90º

Un ángulo llano = 180º

Una circunferencia = 360º

Para medir ángulos más pequeños utilizaremos otras unidades más pequeñas que elgrado: el minuto y el segundo.

Cada grado vale 60 minutos, se escribe: 1 =60' 

Cada minuto vale 60 segundos, se escribe: 1' = 60'' 

El grado, el minuto y el segundo forman el sistema sexagesimal de medidas de ángulos.Para pasar de una unidad a otra bastará multiplicar o dividir por 60 como indica elsiguiente gráfico:

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140

Medidor de ángulos digital 

Expresa en la unidad que se indica:

a) 20º en segundos

b) 3' en segundos

c) 90'' en gradosd) 18'' en minutos

1. ¿Cuántos grados son 45'?

a) 0,0123º

b) 2700º

c) 0,75º

2. ¿Cuántos segundos son 120º?

a) 432000''

b) 7200''

c) 2''

3. ¿Cuántos grados son 585''?

a) 9,75º

b) 0,1625º

c) 35100º

4. ¿Cuántos segundos son 37'?

a) 0,6''

b) 133200''

c) 2220''

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1.2. Forma compleja e incompleja de la medida de unángulo

En el presente apartado la explicación que se da del uso de la calculadora científica parapasar la medida de un ángulo en grados de forma incompleja a compleja o viceversa seha extraído del manual de instrucciones de la calculadora casio fx-570es. En lacalculadora científica que posea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algodiferente (aunque no debe ser muy distinto). En ese caso se debe consultar el manual deinstrucciones propio de la calculadora.

Vamos a seguir comparando las medidas de ángulos con las de tiempo. Por ejemplo,podemos decir que una película dura 1 hora 30 minutos y 45 segundos o que dura

1,5125 horas. Son dos formas diferentes de expresar la misma cantidad de tiempo. Laprimera en horas, minutos y segundos se llama forma compleja, y la segunda solo enhoras se llama forma incompleja. Del mismo modo, un ángulo puede medir, por ejemplo45º 9' 36'' (forma compleja) ó 45,16 (forma incompleja).

Vamos a ver como se pasa de forma incompleja a compleja y al contrario con lacalculadora.

Vamos a pasar 45,16º a forma compleja:

En la calculadora, si escribimos 45,16(recuerda que en lacalculadora has de utilizar el punto de vez de la coma decimal) ypulsamos

seguida

de

y en la pantalla aparece 45º 9º 36. Esto lo interpretamos como 45º 9' 36'', y es laexpresión en forma compleja de 45,16º.

 Ahora lo haremos al contrario.

Vamos a pasar 45º 9' 36'' a forma incompleja:

Si queremos introducir en la calculadora la expresión del ángulo en forma compleja paraque nos devuelva la expresión en forma incompleja, haremos lo siguiente:

Escribimos 45 y pulsamos escribimos 9y pulsamos

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142

escribimos 36 y volvemos a pulsar

Por último pulsamosy volvemos apulsar:

Después de seguir todos estos pasos, la calculadora nos devuelve la expresión 45,16 queson grados aunque la calculadora no lo indique. 

Está claro que a la hora de hacer operaciones es mucho más cómodo hacerlo en formaincompleja por eso si en algún ejercicio nos dan la medida de un ángulo en formacompleja, siempre podemos echar mano de la calculadora para pasarla a incompleja quees más fácil de "manejar".

 Ahora coge tu calculadora que vamos a practicar.

1. Utiliza la calculadora para expresar 25' 50'' en grados.

a) 45,6º

b) 0,43º

c) 0,255º

2. Expresa en forma compleja 7,25º con la calculadora.

a) 7º 15' 0''

b) 7º 26' 0''

c) 7º 41' 16''

3. Expresa 25º 30' 54'' en forma incompleja. Hazlo con la calculadora.

a) 25,3054º

b) 25,5º

c) 25,515º

Cuando nos dan un ángulo expresado en forma compleja para que lo pasemos aincompleja, no siempre nos van a pedir que lo expresemos en grados como acabamos deaprender, aunque esto sea lo más habitual. También nos pueden pedir que lo expresemosen minutos o en segundos. Esto también lo podemos hacer con la calculadora aplicandolo que hemos aprendido en el presente apartado. Vamos a hacer algunos ejemplos.

Expresa en la unidad que se indica:

a) 45º 9' 36'' en grados

b) 45º 9' 36'' en minutosc) 45º 9' 36'' en segundos

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1. Expresa en grados 15º 42' 18''

a) 15, 4218º

b) 15,705º

c) 18º

2. Expresa en minutos 50º 6' 18''

a) 3006,3'

b) 50,105'

c) 5618'

3. Expresa en segundos 10º 21' 52''

a) 10,36444...''

b) 621,8666...''

c) 37312''

1.3. El radian

1 radián = 57,3º 

Hemos visto en los apartados anteriores que los ángulos se pueden medir en gradosminutos y segundos. Otra unidad importante para medir ángulos es el radián. Vamos aver la equivalencia que existe entre los grados y los radianes y verás que fácil es pasar deuna unidad a otra, simplemente hay que usar una regla de tres.

Podemos decir que una circunferencia completa mide 360º ó radianes, y se escribe. Por tanto media circunferencia medirá la mitad, es decir, 180º ó .

Con esta equivalencia, , es fácil pasar la medida de un ángulo de gradosa radianes y viceversa, simplemente aplicando una regla de tres.

Vamos a ver algunos ejemplos.

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1. Expresa 120º en radianes.

2. Expresa en grados.

1. La medida en grados de 1 radián, es:

a) 57,3º

b) 1º

c) 30º

2. La medida en grados de es:

a) 150º

b) 300º

c) 320º

3. Expresa 225º en radianes:

a)

b)

c)

4. Expresa en grados

a) 0,9º

b) 200º

c) 162º

5. Expresa en radianes 60º

a)

b)

c)

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1.4. Operaciones con medidas de ángulos

En este apartado vamos a ver las operaciones con medidas de ángulos expresados engrados sexagesimales o en radianes.

Para realizar las operaciones con medidas de ángulos expresadas en grados

sexagesimales es muy sencillo, basta con introducir los datos en la calculadora. Si lamedida está expresada en forma compleja, solo tendrás que pasarla a forma incomplejacomo has aprendido en el apartado 1.2 y después realizar la operación.

Veamos algunos ejemplos:

Realiza las siguientes operaciones con medidas de ángulos:

a) (22º 12' 9'') x 4

b) 15,37º + 25,2º

c) 46,22º - 10º 36' 18''d) 36, 12º : 3

Ya has visto que esto es muy fácil prueba tú ahora:

1. Calcula 3,25º x 5

a) 16,25º

b) 17,083º

c) 18,75º2. Realiza la siguiente suma (15' 18'') + (20º 6' 18'')

a) 20º

b) 35,66º

c) 20,36º

3. Calcula 38,24º - 9,5º

a) 47,74º

b) 28,74ºc) 29º

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4. Realiza la siguiente división (10º 59' 6'') : 5

a) 2, 1192º

b) 2º

c) 2,197º

Hemos visto como se hacen operaciones con medidas de ángulos en forma sexagesimal.Vamos a ver como se opera con medidas de ángulos expresados en radianes verás quetambién es muy sencillo:

Vamos a hacer un ejemplo:

Como solo hay que sumar el 2 con el 0,75 y después añadirle el número

 Ahora vamos a practicar el resto de las operaciones con algunos ejercicios.

Realiza las siguientes operaciones con medidas de ángulos:

a)

b)

c)

1. Realiza la siguiente suma:a)

b)

c)

2. Calcula:

a)

b)

c)3. Resuelve la siguiente multiplicación:

a)

b)

c)

4. Resuelve esta división

a)

b)c)

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2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo

En los siguientes apartados (del 2.1 al 2.4) la explicación que se da del uso de lacalculadora científica para el cálculo y las operaciones con razones trigonométricas se ha

extraído del manual de instrucciones de la calculadora casio fx-82MS. En la calculadoracientífica que posea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algo diferente(aunque no debe ser muy distinto). En ese caso se debe consultar el manual deinstrucciones propio de la calculadora.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados

y los ángulos de triángulos. Estas relaciones y el nombre que recibe cada una de ellas es

lo que veremos en este apartado.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación

y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible,

como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida deforma directa.

Uno de los hechos más famosos de la antigüedad fue como Thales de Mileto midió laaltura de la gran pirámide usando solamente su bastón y las sombras de la pirámide y delbastón.

Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar los conceptos "cateto opuesto"y "cateto contiguo". Vamos a ver cual es cada uno de ellos.

Como sabemos, en un triángulo rectángulo hay tres ángulos, un ángulo de 90º que es el

que forman los dos catetos y dos ángulos agudos (menores de 90º), formados cada unode ellos por un cateto y la hipotenusa.

El cateto opuesto a un ángulo agudo, es el que está justo frente a dicho ángulo, y elcateto contiguo a un ángulo agudo es el que forma parte del ángulo. Vamos a verlo con elsiguiente ejemplo:

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El cateto opuesto al ángulo es "b" porque es el cateto que está justo frente a

El cateto adyacente al ángulo es "c" porque es el cateto que forma parte del ángulo, ya que el otro lado del ángulo, el lado "a", es la hipotenusa.

¿Sabrías decir cuáles son los catetos opuesto y adyacente del ángulo ? Vamos acomprobarlo con el siguiente ejercicio.

1. El cateto opuesto al ángulo es:

a) a 

b) b 

c) c 

2. El cateto adyacente al ángulo es:

a) c 

b) b 

c) a 

2.1. Seno de un ángulo agudo

Con lo que acabamos de aprender ya tenemos las herramientas necesarias para estudiarlas razones trigonométricas de un ángulo agudo. Empezaremos por el seno. Aunque paraexplicar las razones trigonométricas vamos a utilizar el ángulo , de la misma forma sepueden calcular también las razones trigonométricas del ángulo .

Definimos el seno del ángulo , y se escribe de la siguiente forma:

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1. Calcula el seno del ángulo

2. Calcula ahora el seno del ángulo

En el ejercicio anterior hemos calculado el seno del ángulo y del ángulo sin sabercuánto mide ni cuánto mide .Pero una vez que conocemos el valor del seno, es muyfácil calcular con la calculadora la medida de estos ángulos. Vamos a calcular la medida

del ángulo y después tu harás lo mismo para calcular la medida del ángulo .Hemos calculado . Para calcular la medida de , seguiremos lossiguientes pasos con la calculadora:

0,6

Después de pulsar estas teclas la calculadora nos devuelve el número 36,86989765. Esto

quiere decir que el ángulo Pero nosotros no necesitamos escribirtantos decimales, podemos aproximar el número que nos da la calculadora con dos

decimales y escribir

Calcula cuánto mide el ángulo del ejercicio. Da la respuesta con dos decimales.

a) 36,86º

b) 48,59º

c) 53,13º

También podemos calcular el seno de un ángulo con la calculadora si conocemos su

amplitud. Vamos a calcular sen 63,43º 

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La tecla para calcular el seno de un ángulo es . Hay dos tipos de calculadorasvamos a ver como se calcula el seno en cada una de ellas.

Primer tipo 

Hay que pulsar primero el valor del ángulo y después la tecla del seno, así:

63,43

La calculadora nos devuelve el número 0,89438856, pero nosotros no necesitamosescribir tantos decimales y podemos dar una aproximación de ese número. Así, podemos

decir: ó también

Segundo tipo 

Hay que pulsar las teclas al contrario, es decir, primero pulsamos la tecla del seno ydespués la medida del ángulo, así:

63,43

Pero el resultado que obtenemos es el mismo.

Intenta calcular tú ahora con la calculadora el seno del ángulo . Da larespuesta con dos decimales.

a) sen 26, 57º = 0,44

b) sen 26, 57º = 1, 2

c) sen 26, 57º = 0, 89

Veamos algunas aplicaciones de lo que hemos aprendido.

1. Calcula la altura de este edificio aplicando la definición de seno.

2. Calcula el valor del ángulo del siguiente triángulo.

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1. En el siguiente triángulo, calcula y .

a)

b)

c)

2. Calcula con la calculadora sen 65º. Da la solución con dos decimales.a) sen 65º = 0,42

b) sen 65º = 2,14

c) sen 65º = 0,90

3. Sabiendo que . Calcula el valor de . Da el resultado en radianes.

a)

b)

c)

4. Calcula la hipotenusa "a" del siguiente triángulo aplicando la definición de seno.

a) a = 4,62 cm

b) a = 3,48 cm

c) a = 8 cm

Recuerda que hemos visto dos unidades de medida de ángulos: grados y radianes. Todolo que hemos trabajado en este apartado con la calculadora, lo hemos hecho con lacalculadora en modo DEG (esto es modo grados) que quiere decir que si escribimos:

3

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1. Calcula el coseno del ángulo

2. Calcula ahora el coseno del ángulo

 Al igual que con el seno en el apartado anterior, hemos calculado ahora el coseno delángulo y del ángulo pero no sabemos cuánto miden ni , ni . Pues lo mismo queantes, vamos a calcular la medida de y de a partir del valor del coseno.

Vamos a calcular primero el valor de y después tú calcularás la medida desiguiendo los mismos pasos.

Sabemos que . Para calcular , haremos los siguientes pasos en lacalculadora:

0,8

Después de pulsar estas teclas la calculadora nos devuelve el número 36,86989765. Esto

quiere decir que el ángulo . Pero como ya sabes, nosotros no

necesitamos tantos decimales, y podemos aproximar este número y quedarnos con dosdecimales, así diremos que .

Fíjate que nos sale el mismo valor de que cuándo hicimos estos mismos pasos con elseno en el apartado anterior. Esto es lógico porque hemos puesto como ejemplo el mismotriángulo, pero bueno, nos sirve para practicar.

Siguiendo los pasos que acabas de aprender, calcula la medida del ángulo a partir delvalor del coseno. Da la respuesta con dos decimales.

a)

b)

c)

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También podemos calcular el coseno de un ángulo si conocemos su amplitud. Vamos acalcular el coseno de 63,43º.

La tecla para calcular el coseno de un ángulo es . Como ya sabes, hay dos tipos decalculadoras vamos a ver como se calcula el coseno en cada una de ellas.

Primer tipo 

Hay que pulsar primero el valor del ángulo y después la tecla del coseno, así:

63,43

La calculadora nos devuelve el número 0,447290848, pero podemos aproximar este

número tan largo con dos decimales. Así podemos decir que ó

también

Segundo tipo 

Hay que pulsar las teclas al contrario, es decir, primero pulsamos la tecla del coseno ydespués la medida del ángulo, así:

63,43

Pero el resultado que obtenemos es el mismo.

Calcula el coseno del ángulo . Da la respuesta con dos decimales.

a) cos 26,57º = 0,44

b) cos 26, 57º = 1, 5

c) cos 26, 57º = 0,89

Vamos a practicar un poco con lo que hemos aprendido.

1. ¿A qué distancia me encuentro del edificio?

2. Calcula el valor de

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155

1. En el siguiente triángulo calcula .

a)

b)

c)

2. Calcula con la calculadora.

a)

b)

c)

3. Sabiendo que . Calcula el valor de .

a)

b)

c)

4. Calcula el cateto c del siguiente triángulo rectángulo aplicando la definición de coseno.

a) c = 10 cm

b) c = 2,5 cm

c) c = 0,1 cm

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156

2.3. Tangente de un ángulo agudo

Bueno, ya solo nos queda estudiar la tangente. Vamos a hacerlo de la misma forma queel seno y el coseno.

Se define la tangente del ángulo , y se escribe como:

1. Calcula la tangente del ángulo .

2. Calcula ahora la tangente del ángulo .

 Al igual que en los dos apartados anteriores hemos podido calcular la medida de los

ángulos y a partir del seno o del coseno, también podemos hacerlo a partir de latangente.

Vamos a calcular la medida de , y después tú harás lo mismo con .

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Sabemos que . Para hallar pulsaremos las siguientes teclas en lacalculadora:

0,75

Después de pulsar estas teclas, la calculadora nos devuelve el número: 36, 86989765

Que como ya sabes esto quiere decir que y que lo podemosaproximar como o también

Siguiendo estos pasos, calcula la medida del ángulo a partir de su tangente.

a)

b)

c)

Practiquemos lo que hemos aprendido sobre la tangente.

1. Calcula la altura del edificio con los siguientes datos:

2. Calcula el valor de con los siguientes datos:

1. En el siguiente triángulo calcula y .

a)

b)c)

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2. Calcula con la calculadora.

a)

b)

c)

3. Sabiendo que calcula el valor de .

a)

b)

c)

4. Calcula el cateto c del siguiente triángulo aplicando la definición de tangente:

a) c = 1,44 cm

b) c = 0,692 cm

c) c = 4,330 cm

2.4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ánguloconocida una de ellas

Bueno, estamos ya en el último apartado, lo que vamos a ver ahora es cómo calcular lasrazones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas. Esto te resultará sencillo,puesto que no necesitas nuevos conocimientos, basta con recordar lo que has aprendido

del manejo de la calculadora y de trigonometría a lo largo de este tema.Vamos a verlo con un ejercicio resuelto y verás qué fácil es.

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159

Calcula las demás razones trigonométricas de sabiendo que

1. Sabiendo que . Calcula las demás razones trigonométricas de .a)

b)

c)

2. Sabiendo que calcula las demás razones trigonométricas de .

a)

b)

c)

3. Sabiendo que . Calcula las demás razones trigonométricas de .

a)

b)

c)Matemáticas U2 - Tema 5: Uso de las razones de ángulos para laresolución de problemas

Tema 5. Uso de las razones de ángulos para laresolución de problemas

En el siglo VI antes de Cristo y gracias a los conocimientos de la geometría del triángulo,se construyó el túnel de Eupalinos en Samos, ciudad natal de Pitágoras.

Esta obra llevaba el agua desde las fuentes del monte Castro a la ciudad. El túnel teníados metros de diámetro y un kilómetro de longitud.

Lo que hoy puede ser una obra de ingeniería común, hace casi 28 siglos sólo lo podíaprogramar y ejecutar un experto en resolución de triángulos y conocedor de las razonestrigonométricas.

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160

1. Triángulo rectángulo. Características

Figura 1.1 Figura 1.2

Repasamos 

Un triángulo rectángulo, como ya sabes, se caracteriza por tener dos ladosperpendiculares.

 A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos, al lado más grandehipotenusa.

Como has observado en el tema anterior se utilizan las letras griegas alfa ( ) y beta ( )para nombrar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (Figura 1.1)

Figura 1.3

Otra forma muy utilizada es nombrar los vértices por letras mayúsculas y a los lados enminúsculas, de forma que, como aparece en la figura 1.3, el lado opuesto al vértice (ellado que no pasa por el vértice) coincida con la misma letra: el vértice que forman loscatetos se le suele llamar A y por tanto a la hipotenusa a, a los otros B, b y C, c.

También aprovechando esta forma de designar los lados y vértices, a sus ángulos

llamarle la letra correspondiente de su vértice (figura 1.3) (se puede poner el angulitoarriba para distinguirlo del vértice) .

Como ya sabes uno de ellos es recto, es decir, y como la suma de los ángulosde un triángulo es de 180º nos queda que .

1) Un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es de 35º. ¿Cuánto mide los otros dos?

a) 90º y 55º

b) 90º y 65º

c) 90º y 45º

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161

2) Los lados de un triángulo rectángulo miden 6, 8 y 10 cm. ¿Cúal es su área?

a) 48 cm2 

b) 24 cm2 

c) 27 cm2 

Repasamos las razones

Es importante recordar las razones trigonométricas.

De la misma forma para el otro ángulo

1) Calcula las razones trigonométricas del ángulo 45º 

2) Un cazador acostado en el terreno ve una perdiz que vuela a 15 metros de altura. Porsu experiencia calcula que la tiene a unos 30 metros de distancia. ¿Cúal es el ángulo quedeberá colocar su escopeta para poder alcanzar a la perdiz?

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162

Un triángulo rectángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm respectivamente. ¿Cuáles son lasmedidas de sus ángulos agudos?

a) 36,87º y 53,13º 

b) 60º y 30º 

c) 63º y 27º 

Resumiendo

En un triángulo rectángulo:

. Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo es hallar sus ángulos y lados a partir de algún elementoconocido.

Para ello vamos a distinguir dos casos (hay que tener en cuenta que siempre conocemosun ángulo: el de 90º)

Caso 1º. Se conocen dos lados. 

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro lado.

Una vez conocidos los lados se aplica para uno de los ángulos, por ejemplo , las

fórmulas del apartado anterior.El otro ángulo a conocer se puede calcular porque sabemos que la suma de losángulos + = 90º (es decir que = 90- )

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163

Veamos un ejemplo.

La escalera de un electricista mide 12 m . Para arreglar una avería de un poste que mide6 m de alto la ha colocado contra el suelo y el poste (como indica la figura). Si el posteestá vertical, calcula la distancia del pie de la escalera al poste, los ángulos que forman la

escalera con el suelo y el poste.

Caso 2º. Se conoce un lado y un ángulo (además del de 90º). 

El otro lado se calcula utilizando alguna de las razones trigonométricas del ánguloconocido.

El otro ángulo se calcula puesto que ambos ángulos deben sumar 90º.

Ya conocemos dos lados y por tanto se calcula el tercero como en el caso 1º (Por elteorema de Pitágoras o por alguna de las razones del ángulo).

La mayor cuesta del pueblo tiene de pendiente 25 grados. La longitud de la subida es de

12 metros. ¿Qué diferencia de altura subimos en esos 12 metros? ¿Cuantos metros enhorizontal suponen esos 12 metros de pendiente?

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Para obtener una visión completa de la Torre Eiffel (325 m de altura) disponemos de unacámara que recoge hasta un ángulo de 47 grados (una cámara normal).

1) ¿A qué distancia mínima del pie de la torre conseguiremos sacarla entera?

a) 325 metros

b) 303 metros

c) 100 metros

2) ¿Y si es una gran angular? (ángulo máximo de 65 º)

a) 151.5 metros

b) 240 metros

c) 25 metros

3. Aplicaciones a problemas

Los cuadriláteros aparecen en nuestro espacio. El herrero que confeccionó el rótulo de laimagen formó un rectángulo en medio de un rombo. Si observas con más detalle verásque lo formó con cinco piezas:

Rectángulo (metro)

Dos triángulos isósceles iguales (derecha e izquierda de metro)Dos triángulos isósceles (arriba y abajo de metro)

En el apartado 1.3.2 resolveremos un problema con el cartel de Cuatro Caminos.

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3.1. Triángulos no rectángulos

Aplicación a triángulos no rectángulos 

Cualquier triángulo no rectángulo se puede resolver dividiéndolo en triángulos rectángulos

(acuérdate que resolver era calcular los lados y los ángulos que nos faltan). La forma dehacerlo es trazar una de las alturas y realizar los cálculos para los dos triángulosrectángulos que se forman.

Para triángulos isósceles (dos lados iguales), la altura sobre el lado desigual divide altriángulo en dos triángulos rectángulos iguales. El ángulo que forman los lados iguales sedivide en dos partes iguales. Pero, lo mejor es que lo veamos con un ejemplo práctico:

Ejemplo 1. Un carpintero quiere construir una escalera cuyos brazos, una vez abiertos,

formen un ángulo de 60 grados (como en la figura de arriba). Una vez abierta la distanciaentre sus pies es de 2 m. ¿Cuánto ha de medir cada brazo? ¿cuál es la altura de laescalera?

Un compás de 20 cm de lado puede abrirse hasta formar un ángulo de 80º.

a)¿Cual es el radio de la circunferencia máxima que puede trazar?

a) 25.71 cm de radio

b) 12.86 cm

c) 20 cm

b) ¿qué altura tendrá totalmente abierto?

a) 20 cm

b) 15.32 cm

c) 18.9 cm

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Ejemplo 2. ¿Cómo podemos medir la altura de la Pirámide de Keops? Observa lafotografía

Un viajero situado al pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 ºCuando se

alejó 121 pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. ¿Cuántos pies mide la alturade la pirámide?

Se trata de un triángulo que no es rectángulo, pero si consideramos la altura de lapirámide obtenemos dos triángulos rectángulos con el cateto en común.

Resolvemos este problema a continuación.

Un viajero desde el pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 ºCuando sealejó 121 pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. ¿Cuántos pies mide la altura

de la pirámide?

Para medir la altura de mi piso lo observo desde la calle con un ángulo de 40º si avanzo10 metros el ángulo aumenta a 50º.

¿A qué altura del suelo vivo?

a) 25 m

b) 28,36 m

c) 75 m

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3.2. Cuadriláteros

CUADRILÁTEROS

Escudo de la Infanta Leonor

En los escudos los rombos aparecen con gran frecuencia.

En un rombo si trazamos sus diagonales, estas se cortan en un ángulo recto formandotres triángulos rectángulos. Utilizando esta propiedad vamos a resolver el siguienteproblema.

Ejemplo 1. Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y una anchura de60 cm. ¿Cuánto mide su perímetro? ¿y sus ángulos? ¿y su área?

E 

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Ejemplo 1. Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y un ancho de 60cm. ¿cuánto mide su perímetro? ¿y sus ángulos? ¿y su área?

Ejemplo 2. Con un rombo de papel de 20 cm de lado, 40 de diagonal mayor y unos

ángulos menores de 60º (A y D) queremos construir un sobre (como indica la figura). Elancho del sobre es 10 cm. ¿Cuánto mide de longitud?

Como ya sabes la figura anterior indica la boca de metro de Cuatro Caminos (para tuinformación esta boca se remodeló).

El largo de la figura es de 2 metros y ancho de 1 metro. El rectángulo (donde pone"metro") mide 1,20 m de largo.

Con estos datos vamos a calcular:

a) Su superficie.

a) 1 m2 

b) 2 m2 

c) 0,5 m2 

b) La medida de su perímetro.

a) 12 metros

b) 4,47 metros

c) 5,45 metros

c) El área del rectángulo inscrito (metro).

a) 0,204 m2 

b) 0,48 m2 

c) No se puede saber con estos datos.

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d) La medida de cada uno de sus ángulos.

a) 53,13º y 126,87º

b) 50,25º y 129,75º

c) 90º y 90º

3.3. Círculos y otras figuras

 A lo largo de la historia del hombre el interés por la medida de las distancias y el tamañode los astros ha sido una constante. Aristarco de Samos (170 a C), Hiparco de Nicea (150a C), entre otros utilizaron las razones de un triángulo para calcular las distancias ydiámetros de la luna y el sol.

Veamos un ejemplo que nos permite hallar el diámetro de la luna.

Desde un punto de la tierra (D) se ve la luna con un ángulo de 0,51º . Se sabe que ladistancia de la tierra a la luna (DA) es de 384.000 km . ¿cúal es el diámetro de la luna(CE)

El ángulo bajo el que se ve el Sol desde un punto de la tierra es de 0.533º. Sabiendo quela distancia al Sol es de 149.600.000 km. ¿Cuál es el diámetro del Sol?

a) 696.000 km

b) 1.392.000 km (aprox)

c) 200.000 km

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Un símbolo muy conocido es la llamada estrella de David que tienes arriba. Si observaspuedes ver un hexágono (CLMNOD) y seis triángulos equiláteros saliendo de cada uno desus lados.

Otra forma de verla es observando dos triángulos equiláteros invertidos IJK y PQR quesuperpuestos formarían el hexágono.

El lado del hexágono es la tercera parte del lado del triángulo (grande) y los ángulos sontodos de 60º salvo el del interior del hexágono que sería de 120º (observa que si doblaslos triángulos que salen de los lados del hexágono los seis encajan perfectamente en elhexágono). Por eso el área del hexágono coincide con la suma de las áreas de los 6triángulos equiláteros.

Te propongo el siguiente ejercicio:

¿Qué mide la distancia RK (o PJ o IQ que es lo mismo) de una estrella que llevo en elpecho, si el lado del hexágono es de 1 cm?