temario de matemáticas u3 y u4

7/25/2019 Temario de Matemticas U3 y U4

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Matemticas U3 - Tema 1: Qu es una funcin?

Tema 1. Qu es una funcin?

Qu es el DNI?Parece una pregunta que nada tiene que ver con las matemticas, pero ya vers cmo teayuda a comprender lo que vamos a estudiar en este nuevo tema: las funciones.

En nuestro DNI figura un nmero que nos identifica y que es diferente para cada espaolo espaola.

La forma de darle a cada uno su DNI es muy sencilla: simplemente a cada persona se leasigna un nmero. Es decir, tenemos un grupo de personas y un montn de nmeros yhacemos corresponder a cada persona uno de esos nmeros. Pues de esto trata estetema: de hacer corresponder nmeros.

1. Asignando nmeros

La mejor manera de aprender algo es hacindolo, as que a trabajar! Vamos aempezar asignando nmeros en unos sencillos casos que a cualquiera se le puedenpresentar en la vida. Ya vers cmo no te resulta nada complicado.

Es muy importante que en las autoevaluaciones marques en la pestaa"comprobar" y lo leas siempre con atencin porque es ah donde tienes lasexplicaciones.

A continuacin te vamos a pedir que pienses un poco. No tienes que tener ningnconocimiento previo para hacer esto, slo tienes que aplicar la lgica y la "cuenta de la

vieja". De todas maneras si no te sale, no te preocupes, en la pestaa "comprobar" tienesla explicacin de la cuenta que haba que hacer.

Vamos a asar un hermoso pavo de 6 kg de peso. Para saber el tiempo que debemostenerlo en el horno hemos encontrado la siguiente tabla:

Peso del pavo dos kilos tres kilos cuatro kilos

Tiempo de coccin tres horas tres horas y media cuatro horas

El tiempo de coccin de nuestro pavo ser de ______ horas

Cuando a Mara le para la guardia civil para hacerle un control de alcoholemia... horror!,da positivo, pues tiene nada menos que 90 (medido en mg por cada 100 ml de sangre,que es una forma de medir la cantidad de alcohol que hay en la sangre). As que no lequeda ms remedio que esperar a que le baje el nivel para poder marcharse a casa(aparte de la multa y los puntos, claro!). El agente le explica a Mara que cada hora quepase su nivel de alcohol en sangre bajar 15 mg, es decir, que dentro de una hora sunivel de alcohol ser de 75, dentro de dos de 60 y as sucesivamente.

Cuntas horas tendr Mara que esperar para tener un nivel 0 y poder irse a casa?_____horas. (Escrbelo con nmero)


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Amanda ha conseguido por fin!! convencer a sus padres de que le compren un mvil.Sus padres son muy intransigentes con este tema, de forma que la nica manera deconvencerlos ha sido prometiendo que slo lo usara para mandar SMS y no para llamar.

La tarifa que han contratado es de 5 fijos al mescon un precio de 0,18 por cada

mensaje enviado. Para controlar su gasto Amanda se ha hecho la siguiente tabla.Aydala a completar los espacios que le faltan.

Nmero de mensajes por mes 0 20 50 100 200

Mensualidad que deber pagar 5 8,6 ___ 23 ____

Qu tal? Te ha resultado fcil? Pues as, sin saberlo, ya has estado trabajando conFUNCIONES.

S, s, estas tres situaciones que te hemos propuesto no son otra cosa que lo que enmatemticas se conoce como FUNCIN.

Una funcin es asignar a cada nmero (de un determinado grupo de nmeros) otronmero.La nica condicin es que nunca a un nmero le podemos asignar ms de

otro nmero.

Por ejemplo: a un pavo de 3 kg no podemos asignarle dos tiempos de coccin. Ni aAmanda podemos cobrarle dos cosas distintas por el mismo nmero de mensajesClarsimo!

Pensemos ahora sobre las tres situaciones anteriores. Si te fijas, siempre tenemos:

Un grupo inicial de nmeros que tienen que venir expresados en una unidaddeterminada.

Otro conjunto de nmeros que les asignamos a los anteriores que vendrnexpresados en otra unidad.

Vamos a verlo caso a caso:

EL PAVO

En este caso, una funcin asigna a cada peso del pavo la cantidad de horas de coccin.Fjate en la siguiente tabla:

EL ALCOHOL EN SANGRE

Ahora, la funcin asigna a cada tiempo transcurrido desde que a Mara le hacen el control(en horas) el nivel de alcohol en sangre (en mg por cada 100ml de sangre):


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El caso de Amanda te toca terminarlo a ti completando los espacios en blanco. Si no tesale o no lo entiendes, no te preocupes, lo tienes explicado paso a paso si pulsas encomprobar.

LA TARIFA TELEFNICA DE AMANDA

Esta funcin asigna el nmero de mensajes que Amanda manda al mes con el dinero quetendr que pagar ese mes

Variable de partida:nmero de mensajes

Variable de llegada:dinero que Amanda paga ese mes expresado en euros.

f(___) 5La imagen de 50 es____

f(20) ____

f(50) 14La imagen de 0 es____

f(___) 23

f(200) ____

La imagen de 300 es____f(250) ____

f(10) ____

2. Grficas

Te suena de algo esta imagen? Si eres aficionado o aficionada al ciclismo seguro ques...

Es el perfil de una etapa de la vuelta ciclista a Espaa del 2009.

Seguro que puedes responder a estas cuestiones!


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A los 96 km de la etapa la altura ser de:710 m

995 m

680 m

El puerto de la Carrasqueta a qu distancia se encuentra del comienzo de la etapa?A 900 m

A 95 km.

A 152 km.Entre los kilmetros 123 y 152

Aproximadamente, la mitad es subida y la otra mitad bajada

Hay claramente ms km de subida que de bajada.El punto ms bajo de la etapa...

est por debajo de los 300 m.

es aproximadamente de 400 m.Y por qu nos hemos puesto a hablar de grficas? Porque las funciones tambin sepueden representar mediante grficas, como vamos a hacer a continuacin con lasfunciones del apartado anterior.

2.1. Ejes y coordenadas de puntos

Para poder representar grficamente una funcin, primero tenemos que hacer unos ejes.Por ejemplo, en el caso del tiempo de coccin del pavo segn su peso, situaramos en eleje horizontal el peso y en el vertical el tiempo como puedes ver a continuacin:

Lo entiendes? Te ha resultado fcil?

Por si acaso vamos a explicarte un poco ms qu es eso de los ejes, los puntos,....

Pero antes debes saber la forma en que en matemticas llamamos a estas cosas:


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Eje horizontal: eje de abscisas o eje X

Eje vertical: eje de ordenadas o eje Y

Punto de corte de los ejes: origen de coordenadas.

Tienes que tener mucho cuidado a la hora de graduar los ejes!El 0 est siempre en el punto de corte de los dos ejes.

Cada cuadrito del cuaderno debe valer siempre lo mismo.

Antes de continuar, vamos a ver con un ejemplo lo que te queremos decir en elImportante anterior. Mira la siguiente grfica:

Encuentras algn error en la graduacin de los ejes?

A continuacin vamos a ver cmo se sitan los puntos en una grfica, para eso ,juega un

poco con la animacin interactiva siguiente y vers cmo es muy fcil. Slo tienes quearrastrar el punto con el ratn e irs viendo como varan las coordenadas del punto.

Abajo, donde pone "decimales", puedes seleccionar el nmero de decimales que quieresque te aparezcan el de los puntos, pulsando sobre las flechitas roja y azul.


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Para terminar y asegurarte de que vas entendiendo todo, escribe en tu cuaderno lascoordenadas de los puntos que tienes marcados en los ejes que tienes a continuacin ydespus, comprueba el resultado. Recuerda que al escribir las coordenadas de unpunto, primero va la x y luego la y.

Pero volvamos a nuestro pavo una vez ms. Vamos a representar en una grfica, lafuncin que nos asignaba a cada peso del pavo, el tiempo de coccin necesario.

Recuerdas la tabla de datos?

Peso del pavo (kg)Tiempo de coccin

(h)

2 3

3 3,5

4 4

5 4,5

Primero situamos los puntos de esta forma:

Y finalmente los unimos:


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2.2. Grficas de funciones

Para aprender a manejar las grficas lo mejor es que practiques con las situaciones quete vamos a proponer a continuacin.

Doa Ana, la churrera del barrio, cobra 50 cntimos por churro. Para no perder tiempohaciendo cuentas, est elaborando una tabla. Aydale a completarla.

Nmero de churros 1 2 4 5 8 10 12

Precio ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

A Iker le han regalado una planta extica que cuida con todo el mimo del mundo. Est tanpreocupado que incluso ha ido apuntando todos los meses lo que mide para controlar sucrecimiento. Esta es la tabla que ha obtenido:

Tiempo (meses): 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Longitud (cm): 2 6 11 17 21 24 26 27 28

An nos quedan por hacer las dos grficas de las funciones de antes te acuerdas delcontrol de alcohol de Mara y del telfono slo para mensajes de Amanda?


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Con todo lo que ya sabes hacer te atreves a hacer las grficas de aquellas dossituaciones? Volvemos a copiar aqu las tablas con los datos para que solamente tengasque coger tu cuaderno y tu lpiz.

No te olvides de graduar bien los ejes!

Control de Alcoholemia de Mara Telfono de Amanda

Tiempo desdeque paran a

Mara (horas)

Nivel de alcoholen sangre(mg/100ml)

Nmero demensajes

Costemensual

0 90 0 5

1 75 20 8,6

2 60 50 14

3 45 200 414 30

5 15

6 0

3. Formas de expresar funciones

Vamos a resumir todo lo que hemos estado haciendo hasta ahora y ordenar un poconuestras ideas.

Si te das cuenta en todos los ejemplos en los que has estado trabajando, hemos seguidoel siguiente proceso:

1. Enunciamos una cuestin con palabras.

2. Hacemos una tabla con los datos.

3. Representamos los datos en unos ejes creando una grfica.

Cualquiera de las tres formas es una manera igualmente vlida de expresar una funcin.Y tienes que ser capaz de conocerlo todo sobre una funcin si te la presentan encualquiera de las tres formas.

Vamos a ordenar algunos de los ejemplos anteriores para que lo veas clarsimo:

TEXTO TABLA DE DATOS GR FICA

Es el enunciado de lacuestin en palabras

Son las tablas que hemosestado haciendo

Es la grfica en los ejescoordenados. (pulsa sobrelas grficas para verlas conmayor tamao)

El tiempo de coccin de unpavo de 2 kg es de 3 horasy por cada kg que aumentesu peso la coccin debeaumentar media hora

Peso (kg) 2 3 4 5 6

Tiempo (h)3 3,5 4 4,5 5
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/21032011/68/es-an_2011032113_9163837/ODE-69c26dec-3344-3bbc-959c-4ceb0f504f07/u3t1g9.jpg


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Cuando a Mara le paran enun control de alcoholemiatiene 90 mg/100ml dealcohol en sangre. Cadahora que pasa este nivelbaja 15 mg.

Tiempo (h) 0 1 2 3

Nivel dealcohol(mg/100ml)

90 75 60 45

Amanda hace el siguientecontrato para su mvil: 5fijos al mes ms 0,18porcada SMS.

N demensajes

0 20 50 100 200

Costemensual()

5 8,6 14 23 41

Pero an nos queda una ltima forma de expresar las funciones: la forma msmatemtica. Imagina cul puede ser... seguro que has dado con ella... an no? Tieneque ver con la unidad 1 recuerdas? claro!las ecuaciones.

Vamos a ver cmo obtener la ecuacin que corresponde a una funcin con un ejemplo.Iremos haciendo cada uno de los pasos anteriores. Con tu ayuda por supuesto!

LAS NARANJAS

El precio de las naranjas en Francia, que no tienen la suerte que tenemos aqu en Espaade tenerlas tan ricas y tan baratas, es de 1,5 /kg.

Completa la tabla de valores

Cantidad de naranjas (kg) 1 5 10 25

Precio ()

Hay cuatroformas de expresar una funcin:

Un texto: las naranjas valen a 1,5el kg

Una tabla:Cantidad de naranjas (kg) 1 5 10 25

Precio () 1,5 7,5 15 37,5

Una grfica:

Una frmula: y = 1,5 x

Vamos a ver a continuacin algunos ejemplos en que combinamos todas las

posibilidades. Deberas coger tu libreta y un lpiz para ir haciendo t todos los pasos quete vamos a ir explicando.
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/21032011/68/es-an_2011032113_9163837/ODE-69c26dec-3344-3bbc-959c-4ceb0f504f07/u3t1g10.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/21032011/68/es-an_2011032113_9163837/ODE-69c26dec-3344-3bbc-959c-4ceb0f504f07/u3t1g7.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/21032011/68/es-an_2011032113_9163837/ODE-69c26dec-3344-3bbc-959c-4ceb0f504f07/u3t1g6.jpg


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LA ENFERMEDAD DEL HIJO DE JUAN JOS

Cuando Juan Jos lleva al mdico a su hijo con una fiebre altsima y mucha tos, el mdicole receta un medicamento indicndole que la dosis es de 2 mg por cada kg de peso delpaciente.

Como siempre vamos a empezar por hacer la tabla de datos, como siempre con tu ayuda.Pero antes vamos a nombrar a las variables de forma "matemtica"

x es la primera variable: PESO DEL PACIENTE

y es la segunda variable: CANTIDAD DE MEDICAMENTO

x Peso del enfermo (kg) 5 7 15 20 50 70

y Dosis de medicamento (mg) 10

Y ahora cul es la frmula matemtica que corresponde a la funcin del ejemploanterior? Piensa qu operacin haces con cada peso del enfermo para calcular lacantidad de medicina a admistrar.

Piensa, reflexiona y elige la que te parezca correcta:

y = 4x

x = 2y

y = 2x

Y finalmente la representacin grfica. Si vas cambiando abajo el peso del paciente,vers la cantidad de medicina que necesita y el punto rojo te indicar en qu punto de lagrfica ests.

Para comprobar si lo has entendido, intenta obtener la frmula matemtica para nuestroviejo y conocido caso del mvil de Amanda.

Vamos a darte una ayuda para que te resulte ms fcil:

Qu tenas que hacer para calcular el gasto mensual? Recuerda:

Multiplicar el n de mensajes por 0,18

Al resultado anterior sumarle 5Pues ahora piensa en que Amanda ha mandado x mensajes y....obtn la frmula!!


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4. Practicamos con las funciones

Antes de empezar a practicar con todo lo que has aprendido, vamos a recordar las cuatroformas que existen de dar las funciones:

Hay cuatroformas de expresar una funcin:Un texto: las naranjas valen a 1,5el kg

Una tabla:Cantidad de naranjas (kg) 1 5 10 25

Precio () 1,5 7,5 15 37,5

Una grfica:

Una frmula: y = 1,5 x

En los apartados siguientes vamos a trabajar con una funcin diferente partiendo de cadauna de las cuatro maneras de presentarlas.

Preparada? preparado?

4.1. Desde la frmula

Pues eso, empezamos con una frmula:y = x2

Recuerda que esto es una funcin: la que a cada nmero le asigna su cuadrado

1 12= 1

2 22= 4

0 02= 0.

x x2

Y como siempre, vas a hacer la tabla de valores. No te olvides de mirar la explicacin site equivocas!

x 0 1 2 5 -1 -2 -5

y 4Lo siguiente es representar estos puntos en unos ejes coordenados. Coge tu libreta y tulpiz y ponte a ello. Ya sabes que lo primero es graduar los ejes correctamente y luego ircolocando los puntos y unirlos despus.

Tiene que salirte algo parecido a esto:
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/21032011/68/es-an_2011032113_9163837/ODE-69c26dec-3344-3bbc-959c-4ceb0f504f07/u3t1g10.jpg


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Ahora t solo o sola. Hazlo en tu cuaderno todo y luego comprueba el resultado.

y = 2x - 5

4.2. Desde la tabla

Ahora partimos de una tabla de valores:

x 0 2 -2 3 -3

y 0 10 -10 15 -15

Te toca hacer la grfica e intentar sacar la ecuacin.

4.3. Desde la grfica

Ahora empezamos por una grfica. Representa la relacin entre la cantidad de sillas quefabrica un taller y los costes de fabricacin. El taller tiene unos gastos fijos de 480(gastos de maquinaria, electricidad, etc) ms18 por silla fabricada.

Si vas moviendo el punto rojo podrs obtener diferentes puntos de la grfica y podrshacer una tabla de valores.


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4.4 Desde el texto

En una aparcamiento nos cobran 1 por la entrada, ms 0,50 por cada hora deestancia.

Completa la tabla de datos para los siguientes tiempos de estancia en el aparcamiento:

x (tiempo de estancia en horas) 1 2 3 4 5 6

y (coste de la estancia en)

Ahora dibuja la grfica correspondiente en tu cuaderno. Tiene que quedarte algo as:

Y por ltimo, la frmula! piensa y elige la que te parezca que se ajusta a esta situacin:

y = 0,5 + x

y = 1 + 0,5x

x = 0,5y + 1


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Matemticas U3 - Tema 2: Qu debemos saber de las funciones?

Tema 2. Qu debemos saber de las funciones?

Conocer y saber entender las funciones sirve en muchsimos mbitos de la vida. Conellas, por ejemplo, podemos:

Por eso vamos a aprender a descifrar todo lo que nos pueden decir las funciones. En estetema vamos a explicarte, una por una, las cosas que debes conocer de las funcionesa

partir de su grfica. Vers cmo no te resulta difcil y al final del tema eres capaz de"interpretar" cualquier funcin.

Cada apartado del tema est dedicado a cada una de las cosas que tienes que saberacerca de las funciones, menos el ltimo, en el que vamos a practicar con todo junto.

Vamos a ello!

1. Dominio.

En la siguiente grfica puedes ver la funcin que representa las ganancias y lasprdidas de la empresade chimeneas ecolgicas "Calor sano y barato", desde que se

cre hasta la actualidad
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g1.jpg


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En el eje de abscisas (el horizontal, el de la x) tenemos representados los aos. El aocero correspondera al ao en que se fund esta empresa. Y en el eje de ordenadas (elvertical, el de la y) est representado el dinero que la empresa gana (o pierde, claro)

Antes de continuar responde las siguientes preguntas sobre la grfica para ir calentandomotores:

Ten cuidado: escribe los nmeros con un punto para indicar los miles!

1. En el segundo ao las ganancias de la empresa fueron de ____euros.

2. En el ao 4 la empresa tuvo _____ ganancias.

3. En el ao 8 la empresa tuvo unas prdidas de ____ euros.

4. La empresa no tuvo actividad desde el ao ____ hasta el ao ____.

Vamos a reflexionar un momento sobre esta cuestin: de qu aos tenemos datossobre la empresa? para responder slo tienes que fijarte en la grfica e ir vindolo:

Desde que empieza a funcionar en el ao 0 tenemos actividad hasta el ao 4.

Desde el ao 4 hasta el ao 6 hay un parn en que no hay datos (esto quiere decirque la empresa no tuvo actividad).

A partir del ao 6 volvemos a tener datos hasta el ao 10, es decir que la empresaestuvo activa.

Si recuerdas los intervalos que estudiamos en la primera unidad, podramos decir que laempresa tuvo actividad en los intervalos:

[0, 4] y [6, 10]

Es decir: los nmeros desde 0 a 4 y desde 6 hasta 10, includos los aos 0, 4, 6 y 10. Sino recuerdas los intervalos puedes repasarlo en launidad 1, tema 1, apartado 2.

Pues estos nmeros es lo que llamamos DOMINIO de la funcin y lo escribimos as:

Dom f(x) = [0,4] y [6, 10]

El DOMINIO de una funcin es el conjunto de nmeros que tienen imagen, es decirel conjunto de nmeros de los que tenemos datos.

Cul sera el dominio de la funcin que conlleva el siguiente caso?

El instituto del hijo de Fran est organizando el viaje de fin de estudios. La agencia deviajes les ha elaborado un presupuesto en funcin del nmero de personas que vayan,pero siempre que sean un mnimo de 12 y un mximo de 60. El presupuesto se lo hadado a travs de la funcin que tienes a continuacin en la que:

x es el nmero de personas que van al viaje

y es el precio por persona
http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/true


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Es muy importante que aprendas a ver el dominio de una funcin cuando te dan sugrfica. Para esto tienes que ver en la grfica para qu valores de "x" existe funcin osi te parece ms fcil a qu "x" les corresponde una "y".

Vamos a ver un ejemplo antes de lanzarte t.

Mira la siguiente grfica. Para qu valores de x" tenemos un valor de "y"?Esto es lomismo que plantearse para qu "x" hay funcin?

Y ahora, veamos si lo entiendes. Si no es as, no te preocupes, en las retroalimentacionestienes la explicacin.

Completa los huecos para escribir el dominio de esta listita de funciones:

1. Pulsa sobre la imagen paraverla ms grande.

Dominio = [___, ___] y [___, ___] y [___,___]

2.Funcin que asigna a cada nmero el rea del cuadrado que podramos formar conlado ese mismo nmero.

Dominio = Todos los nmeros reales____________3.y = 5 /x (piensa que para qu valores de "x" no puedes hacer esa divisin)

Dominio = Todos los nmeros reales menos el ______


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2. Simetras.

Esta palabra quiere decir lo mismo que en la vida cotidiana.

Observas alguna diferencia entre las simetras de estas dos imgenes? Pinsalo y mirade nuevo las figuras.

En el caso de la mariposa, es simtrica respecto al eje que est marcado (en rojo). Esdecir que si doblramos la imagen por esa marca coincidiran un lado con el otro.

Sin embargo, en la imagen del molinillo no hay un eje por el que doblar. La figura sepuede generar girando la parte sombreada alrededor del centro de la figura.

Pues con las funciones existen tambin estos dos tipos de simetra, exactamente lomismo, slo que tienen estos otros nombres: PAR e IMPAR

Una funcin es PAR cuando es simtrica respecto el eje y.

Es decir que el eje de simetra (por donde doblaramos para que las dos mitadescoincidieran) es el eje y.

Cules de las funciones siguientes son pares?


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Una funcin esIMPAR cuando al girar 180 la mitad de la funcin (la parte sombreada)sobre el origen de coordenadas obtenemos la otra mitad de la funcin.

Vamos a comprobar si lo has entendido con el siguiente ejercicio:

Cules de las siguientes funciones son impares?


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Ten en cuenta que las funciones no tienen por qu ser pares o impares. Pueden no ser niuna cosa, ni la otra.

Y habrs visto que sin son pares no pueden ser a la vez impares. Y al revs, claro.

En resumen, las funciones pueden:

Tener simetra

- Pares

- Impares

No tener simetra

3. Acotacin.

Observa la grfica siguiente:

Las rectas horizontales que puedes ver punteadas indican el lmite del que la grfica nopasa. Estas funciones que tienen unos lmites de los que no pasan se llaman funcionesacotadas. Cuando lo estn por arriba y por abajo, como sta, decimos que la funcin estacotada superiormente e inferiormente.

Ese nmero del que no pasa la funcin se llama cota de la funcin. Y en este casotendramos una cota superiory una cota inferior.

Cota superior: y = 1,6 (porque no hay ningn punto cuya y valga ms que sta)

Cota inferior: y = -1,6 (porque no hay ningn nmero cuya y valga menos que sta)

Fjate que la cota se escribe siempre y = nmero.


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Una funcin est acotada superiormentecuando hay un valor de "y" que la funcin nosupera.

Una funcin est acotada inferiormente cuando hay un valor de "y" del que la funcinno pasa por debajo.

Las funciones pueden estar:

Acotadas superiormente e inferiormente

Acotadas slo inferiormente

Acotadas slo superiormente

No estar acotadas

Vamos a comprobar si lo has entendido con la siguiente autoevaluacin:

Indica si es verdadera o falsa la afirmacin sobre la siguiente funcin:

a. Esta funcin no est acotada.

Verdadero Falso

b. Esta funcin est acotada superiormente por y = 5

Verdadero Falso

4. Mximos y mnimos.

Recuerdas nuestra empresa de chimeneas ecolgicas?

Seguro que no te resulta difcil responder a estas preguntas:

En qu ao obtuvo sus mximasganancias? Cul fue la ganancia de ese ao?

En qu ao obtuvo las ganancias mnimas? Cul fue el balance ese ao?


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No es complicado darse cuenta de que el segundo aoes cuando la empresa tuvo losmayores beneficios. Concretamente 10.000 euros. Esto es porque no hay ningn puntoque est "ms arriba de ese". Por eso decimos que:

La funcin tiene un mximo en el punto (2, 10.000)

Adems decimos que este mximo es absoluto porque nunca en toda la vida de laempresa se superaron esas ganancias.

De la misma manera podemos ver que el ao de menos ganancias fue en el ao 8 en quela ganancia fue de -10.000, es decir que la empresa perdi 10.000 euros. Esto es porqueno hay ningn ao en que las cosas le fueranpeor a la empresa, es decir que las"ganancias" (que cuando son negativas son prdidas) estn por debajo de este valor. Enmatemticas decimos que:

La funcin tiene un mnimo en el punto (8, -10.000)

Tambin este mnimo es absoluto porque nunca en la vida de la empresa se rebasaronesas prdidas.

Para escribir un mximo o un mnimode una funcin siempre escribimos lascoordenadas del punto (x, y)en el que se encuentra.

Ahora intenta resolver t el siguiente ejercicio antes de mirar la solucin:

En el Parque nacional de Doana un equipo de bilogos ha efectuado durante 10 aos unestudio sobre una colonia de charrancitos. Cada ao han ido controlando el nmero deindividuos que haba y con los datos obtenidos han hecho la siguiente grfica.

Cul es el mximo y el mnimo absoluto de esta funcin? Cul es su significado?

Pero en la grfica anterior existen otros puntos en que la poblacin de charrancitos

tambin fue ms alta que los aos cercanos. Es el punto que tienes marcado en laimagen como mximo relativoporque es mximo, no de toda la grfica, sino slo de untrocito de grfica.

Igualmente pasa con los mnimos. En este caso hay otro punto en que la poblacinalcanz un valor inferior que en los aos cercanos. Es el mnimo relativoque tambinpuedes ver marcado en la grfica:
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g14_c.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g14_a.jpg


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Esta funcin tiene un mximo relativo en el punto (6,500)

Esta funcin tiene un mnimo relativo en el punto (5,400)

Una funcin tiene un mximo absolutoen un punto si en ese punto el valor de y esmayor que en el resto de la grfica.

Una funcin alcanza un mnimo absolutoen un punto en el que el valor de y es menorque en toda la grfica.

Las funciones pueden tener tambin mximos y mnimos relativos.

4.1. Crecimiento y decrecimiento

Este apartado es muy intuitivo, vers como te resulta muy fcil de comprender.

Volvamos al ejemplo de los charrancitos:

Completa las siguientes frases con las palabras crece o decrece:

Desde el ao 0 hasta el 4 la poblacin de charrancitos ______.

Desde el ao 4 hasta el 5 la poblacin _______

Entre los aos 5 y 6 la poblacin _______.

Entre los aos 6 y 7 la funcin _______.

Esto en el lenguaje de las matemticas lo tenemos que decir as:

f(x) es creciente en el intervalo (0,4). Que significa que la funcin crece en los xcontenidos en ese intervalo.

f(x) es decreciente en el intervalo (4,5)

f(x) es creciente en el intervalo (5,6)

f(x) es decreciente en el intervalo (6,7)

Esto se llama estudiar el crecimiento de una funcin o estudiar la monotona de unafuncin.

Para estudiar el crecimiento(o monotona) de una funcin:

1. Escribimos los puntos dnde estn los mximos y los mnimos.

2. Observamos cuando la funcin crece y cuando decrece siempre mirando desde laizquierda hacia la derecha.

3. Escribimos los intervalos siempre referidos al eje de las x.
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g14_a.jpg


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TEN MUCHO CUIDADO!!

PUNTOS E INTERVALOS SE ESCRIBEN IGUAL PERO SON DOS COSAS MUYDISTINTAS

Cuando decimos que una funcin tiene un mximo en (5,6), con (5,6) nos estamosrefiriendo al puntox=5 y=6

Pero cuando decimos que f(x) es creciente en (1,5), con (1,5) NO nos estamos refiriendoa un punto, sino a un intervalo.

A veces esto puede inducir a confusin porque estamos usando una misma manera deescribir dos cosas diferentes: punto e intervalo.

Vamos a hacer un ejemplo para que te aclares con esto:

En un centro meteorolgico se ha elaborado la siguiente grfica con las temperaturas deuna poblacin:

Nuestro trabajo consiste en realizar un estudio en que recojamos las temperaturasmximas y mnimas y los perodos en que las temperaturas aumentan y disminuyen.Antes de ver la solucin, prueba t a hacerlo seguro que algo te sale bien!

Recuerda que:

Para los mximos y los mnimos escribimos puntos.

Para el crecimiento y el decrecimiento escribimos in tervalos del eje x.
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g19a.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g15_a.jpg


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Ahora s que te toca ver si lo has entendido. Completa los huecos con la informacin deesta grfica:

La funcin tiene un mximo __________en__________

La funcin tiene un mnimo __________en__________

La funcin es creciente en el intervalo_______________La funcin es decreciente en los intervalos (-,______) y (______, )

5. Continuidad.

ESTUDIANDO EL CRECIMIENTO DE UN CULTIVO DE BACTERIAS

En un laboratorio se est estudiando la evolucin de una poblacin de bacterias a lo largode 24 horas. En el estudio se parte de una poblacin inicial de 4.500 bacterias a las quese deja en un medio favorable para que se reproduzcan. Tras 9 horas de cultivo se leaaden 4.000 nuevas bacterias y se sigue observando la evolucin del cultivo hasta las

24 horas.

En x=9, es decir en la novena hora, puedes ver que en la grfica hay un salto. Este saltose debe a que hemos aadido de golpe 4.000 nuevas bacterias. En el resto de la grficael aumento de la poblacin se hace de forma continua, sin saltos.

Por eso decimos que esta funcin que relaciona el tiempo con el nmero de bacteriasesuna funcin continua en todos los puntos menos en x=9. En este punto la funcinpresenta una discontinuidad.

Siguiendo este ejemplo podras decir cundo las siguientes funciones no son continuas?
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g16b.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g28.jpg


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a. Esta funcin presenta una discontinuidad en x=________

b. Esta funcin presenta una discontinuidad en x=______y x=_______

c. Esta funcin NO es continua en x=______y en x=________

Una funcin es continua siempre que no tengamos que levantar el lpiz del papel paradibujar su grfica. En los puntos en los que tengamos que levantarlo diremos que lafuncin es discontinua.

Esto que hemos hecho se llama estudiar la continuidad de una funcin. Para esotenemos que fijarnos en el eje de las "x". Mira la grfica siguiente:

Entre la x= 3 y la x= 10 no tenemos funcin por lo tanto no puede ser continua. Pero en elresto, la funcin s es continua puesto que no se interrumpe. Para expresar esto volvemos


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a necesitar nuestros viejos conocidos: los intervalos (puedes repasarlo en la unidad 1,tema 1, apartado 2). Esto lo expresamos as en matemticas:

f (x) es continua en los intervalos(-,3)y (10, )

Esto quiere decir que para las "x" que estn en alguno de esos dos intervalos, la funcines continua lo entiendes? Si no lo ves claro sigue viendo ejemplos y ya vers comoterminas por comprenderlo.

Te puedes encontrar una gran variedad de situaciones en esto de la continuidad. En lasiguiente autoevaluacin tienes unas cuantas para que te familiarices con ellas. Si tienesdudas repasa la grfica con el dedo y mientras no tengas que despegar el dedo de lapantalla para seguirla es que la funcin es continua.

Completa los huecos estudiando las funciones que tienes a continuacin. Acurdate deque las discontinuidades estn en las x en las que tengas que levantar el dedo de lapantalla para seguir la grfica. Siempre que no tengas que levantarlo es que la funcin escontinua.

a. La funcin es continua en todo R menos en x =_________

b. La funcin es continua en los intervalos (-,_______) y (_________, )

c. La funcin es continua en los intervalos (-50,______), (_______,_____) y(________,_______)
http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/truehttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010110813_9073125/true


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6. Ahora todo a la vez.

Y ahora todo junto. Porque lo que te pueden pedir en el examen es que sobre una mismagrfica estudies todas las caractersticas que hemos ido viendo en estos apartados

Como la nica forma de aprender es haciendo ejemplos vamos a ponerte un ejercicioresuelto para empezar y luego lo intentas t

No slo tienes que saber las caractersticas de la funcin, adems tienes que escribirlocorrectamente. Presta mucha atencin en el ejemplo a la forma en que se escribe cadacosa que a veces es donde se cometen los errores.

Recuerda que la persona que te corrija el examen agradecer enormemente que escribascon claridad, explicando las cosas. Por eso aunque no sepas hacer todo, intenta sacarpartido de lo que sepas ponindolo muy claro.

Vamos a hacer el estudio de una funcin por la que se pregunt en el examen deseptiembre de 2009. Aunque entonces no preguntaban por todas las caractersticas de lafuncin nosotros s vamos a estudiarlas todas.

1. DOMINIO

Recuerda que el dominio eran todas las x para las que existe funcin. En este caso sonTODOS LOS NMEROS porque no hay ninguna x a la que no le corresponda una y.Aunque pueda parecer que en x= -6 la funcin se corta, no es as. Lo que pasa es que senos escapa del dibujo, pero en realidad sigue bajando y bajando....As que el dominio sontodos los nmeros reales y eso lo escribimos as:

Dom f(x) = R2. SIMETRAS

Al doblar por el eje y coinciden las dos mitades? Y si giramos una parte de la grficasobre el origen? Para nada verdad? Esta grfica no tiene simetras.

3. ACOTACIN

Existe algn valor de la y del que la funcin no pase por arriba? Y por abajo?

Por arriba est claro que s verdad? No pasa de y = 5. Por eso decimos que f(x) estsuperiormente acotada por y=5

Sin embargo por abajo la funcin baja y baja, as que f(x) no est acotadainferiormente.

4. MONOTONA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y MXIMOS Y MNIMOS


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Siempre empezamos por los mximos y mnimos, y para eso slo hay que mirar la grficay escribir los puntos que estn por encima o por debajo de los de alrededor:

f(x) tiene un mximo relativo en el punto (-2,4). Es relativo porque hay puntos queestn ms altos que l

f(x) tiene un mnimo relativo en el punto (0,0). Igual este punto te resulta ms raroporque hay un corte en la grfica, pero en lo que te tienes que fijar es en que los puntosde la izquierda estn ms arriba. Y los de la derecha, aunque haya un corte, tambin.Por eso es un mnimo.

Para estudiar el crecimiento acurdate que hay que ver cundo la grfica "sube" y cuando"baja". Eso es muy fcil verdad? Pero ten en cuenta que para escribirlo tienes que darlos intervalos del eje de la x para los que eso sucede.

f(x) es creciente en (-,-2) y (0, )

f(x) es decreciente en (-2,0)

5. CONTINUIDAD

Esto te lo vamos a dejar a ti, que lo tienes reciente. Escrbelo en tu cuaderno y despuscomprueba la solucin.

Ahora te toca a ti estudiar todas las caractersticas de esta funcin. Coge tu cuaderno yescribe todo perfectamente. Luego miras las soluciones y las cosas que no tengasescritas igual, las corriges.
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g27.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g17c.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/24042011/35/es-an_2011042413_9223008/ODE-0ccb6e14-9a49-3ccd-b300-0b9ddf014ace/u3t2g17b.jpg


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Para seguir practicando sobre todos los conceptos del tema en esteenlacetienes unoscuantos ejercicios que se autocorrigen. Si no lo has entendido todo bien terecomendamos que los hagas. Los apartados que no hemos trabajado, sltatelos.

Matemticas U3 - Tema 3: Funciones cuya grfica es una recta

Tema 3. Funciones cuya grfica es una recta

En los temas anteriores hemos trabajado con funciones en general, hemos estudiado suscaractersticas, hemos visto cmo pueden venir expresadas y cmo obtener informacinde ellas. El estudio de las funciones es algo inmenso y se puede complicar muchsimo,pero tranquilo, tranquila! que nosotros nos vamos a quedar en lo ms sencillo y vamos adedicarnos slo a tres tipos de funciones, las ms elementales. Cada uno de los temasque queda lo destinaremos a uno de los tipos:

rectas (tema 3)

parbolas (tema 4)

proporcionalidad inversa(tema 5)Eso s, estos tres tipos vamos a destriparlos bien y no se nos va a escapar nada. Pero teva a resultar sencillo porque siempre es seguir unas pautas que te vamos a explicar, yavers. En este tercer tema, como te decamos, vamos a dedicarnos a las rectas.

Y no te va a sonar nada nuevo porque en el tema 1 ya hemos trabajado con muchasrecuerdas el pavo, el telfono de Amanda o el control de alcoholemia? Pues ahoravamos a poner nombre a algunas de las cosas con las que hemos trabajado.

1. Funciones constantes

Mira la grfica de la funcin siguiente:

Podras decir cules son las imgenes de algunas x? Rellena los espacios:

f(1) =________

f(0) =________f(4) =________

f(-2) =_______
http://lubrin.org/funciones/act_func.htmlhttp://lubrin.org/funciones/act_func.htmlhttp://lubrin.org/funciones/act_func.htmlhttp://lubrin.org/funciones/act_func.html


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Cmo crees que ser la ecuacin de la funcin de la autoevaluacin anterior? puede queno se te ocurra de lo sencillo que es:

y= 3

Cmo es posible que no aparezca la "x"? Porque en estas funciones la "y" no dependede lo que valga la "x", es siempre igual.

Las funciones cuya grfica es una recta horizontaltienen ecuacin:

y = nmero

Por ejemplo:

y=1 y=-4

Representa grficamente la variacin de la temperatura segn en funcin del tiempo en lasiguiente situacin y escribe la ecuacin matemtica correspondiente:

Marcos tiene la nevera regulada para que la temperatura no baje ni suba nunca, estsiempre a 5C.

2. La funcin lineal

Vamos a ver qu rectas corresponde la llamada "funcin lineal" a travs de unejemplo. Como siempre te vamos a ir pidiendo que resuelvas pequeas cuestiones pero,si no te salen, no pasa nada, en las respuestas tienes la explicacin. Y siempre es mejorque antes de verla te comas un poco el coco...

Esta maana he comprado las primeras fresas del ao! ni me he dado cuenta de lo quehe pagado porque tena tantas ganas que me daba igual el precio! Al llegar a casa hevisto que he comprado 2 kg y he pagado 6,50 .

Con esta informacin seguro que sabras calcular el precio de cualquier otra cantidad defresas a qu s? Vamos a verlo

Si compro 4 kg de fresas pagara______, pero si comprara 7 kg pagara_____ y sicomprara 5 kg pagara_______

Esto lo podemos hacer as porque los kilos de fresas y el dinero que pagamos son

directamente proporcionales, que quiere decir por cada kg de fresas pagamos siemprela misma cantidad: 3,25 .


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Y si te pidiramos que representes grficamente esta funcin y que nos dijeras suecuacin seguro que no tendras problema y te saldra algo as:

Pues esto es lo que llamamos una funcin lineal que siempre cumple dos condiciones:

pasa por el (0,0)

es una recta

Como todas estas:

Antes de continuar, vamos a hacer una aclaracin:En una funcin siempre hay dos variables: la "x" y la "y". Entonces, cuando nos proponenun problema (como el de las fresas) Cmo saber elegir cul es la "x" y cul la "y"?

Siempre habr una que dependa de la otra, es decir, una a la que podamos darlibremente el valor que queramos y otra cuyo valor vendr determinado por ste quehayamos dado.

La "x" es la que elegimos, a la que le vamos dando los valores que queremos

La "y" es la que depende de la otra

En el caso de las fresas se ve muy fcil. El dinero que pago depende de los kg de fresasque compre. Por eso "x" son los kg de fresas e "y" el coste. Veamos en los siguientescasos si sabras elegir cul es la "x" y cul es la "y".

En las tres situaciones que te planteamos a continuacin elige la variable "x" y la variable"y" y rellena el hueco con tu eleccin:

1. A Pablo le pagan a 30 la hora de trabajo.

El tiempo de trabajo es la variable________

Lo que le pagan es la variable___________2. Un grupo de personas est organizando un viaje a Europa. La agencia de viajes a laque han consultado les explica que el precio del viaje por persona est en funcin delnmero de personas que compongan el grupo: si van ms sale ms barato y si vanmenos ms caro.

El coste del viaje por persona es la variable_____

El nmero de personas que van al viaje es la variable_________

3. Anbal tiene que hacer unas obras en casa y quiere terminar cuanto antes (cmocualquiera, claro!) La empresa de construccin que ha buscado le da la relacin entre el

nmero de operarios que pueden ir a trabajar y los das que tardan en terminar el trabajo.El nmero de trabajadores es la variable________

El nmero de das que tardaran en terminar es la variable________


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Una funcin lineal:

Tiene ecuacin y = m x(m puede ser cualquier nmero).

Su grfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Las variables que se relacionan guardan una relacin de proporcionalidad directa.

Siempre pasa por el punto (0,0)

Vamos a practicar un poco. Dibuja la grfica y escribe la ecuacin que corresponda a lassiguientes situaciones:

1. Estamos de viaje en tren y vamos circulando a una velocidad constante de 90 km/h.Cmo va variando el espacio que recorremos en funcin del tiempo?

2. Nos interesa estudiar el crecimiento de una planta que crece 15 cm cada ao.

En las funciones anteriores hay un nmero que es muy importante:

90 en el caso del tren porque nos indica lo que recorremos por hora.

15 en el caso de la planta porque nos indica lo que crece la planta al ao.

Adems este nmero es el que aparece en las ecuaciones (y = 90xo la otra y = 15x).Este nmero se llama pendiente de la recta. Por qu pendiente? porque cuanto mayores este nmero ms inclinada est la recta, es decir, mayor es su pendiente.

En la animacin siguiente tienes puedes ver la grfica de todas las funciones lineales y =m x, donde mes el nmero que t quieras poner, slo tienes que ir a la parte de abajo eir cambiando el valor de m (puedes hacerlo escribiendo el valor que quieras o pulsando enlas flechitas azul y roja).

Primero practica un poco que luego te vamos a hacer unas preguntas.

Ver en el temario el ejemplo

Para responder a las siguientes preguntas puede que tengas que volver a la animacin yprobar de nuevo:

1. Qu recta est ms inclinada y = 2x y = 3x?

2. Qu sucede cuando el valor demva aumentando?

3. Qu pasa si ponemos unamnegativa?

4. Prueba con m = 0 Qu recta nos queda?


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La ecuacin de la funcin lineal es:

y = mx

m se llama pendiente de la recta e indica lo que aumenta la "y" cuando la "x" aumentauna unidad.

PENDIENTES POSITIVAS (m>0) PENDIENTES NEGATIVAS (m


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Este es el caso ms fcil: mrala y si es recta y pasa por (0,0) es que es una funcinlineal. En este caso para encontrar su ecuacin:

1. Coge un punto cualquiera de la grfica que veas claramente su coordenada "x" y sucoordenada "y".

2. Divide esa "y" entre esa "x" porque lo que te salga es la pendiente: la mde la frmula:

3. Escribe la ecuacin:y = mx

Vamos a seguir estos pasos en el siguiente ejercicio para que lo entiendas bien:

La grfica siguiente muestra cmo vara el nivel de un depsito de agua que se estllenando en funcin del tiempo

1. Coge un punto cualquiera de la grfica que veas claramente su coordenada "x" y sucoordenada "y".

2. Divide "y" entre "x" porque lo que te salga es la pendiente: ,

3. Escribe la ecuacin y = mx:

y = 20x

Ahora te toca a ti aplicar lo anterior. Si no te sale, no te agobies, mira el resultado y laexplicacin, que ms adelante tienes ms ejercicios para practicar:

1. La siguiente tabla de valores relaciona el tiempo con la cantidad de agua quetiene un depsito que estamos llenando con una manguera.

Tiempo (minutos) 5 15 30 50

Cantidad de agua del depsito (litros) 35 105 210 350

Selecciona la opcin correcta:

No es una funcin lineal porque no pasa por el punto (0,0)

Es una funcin lineal y su ecuacin es y = 35x

Es una funcin lineal y su ecuacin es y = 7x


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2. Juan es tcnico de lavavajillas. Su tarifa es 30 por el desplazamiento a casa,ms 10por hora de reparacin.

Esta funcin es lineal y tiene ecuacin y = 10x.

Esta funcin no es una funcin lineal.

3. Encuentra la ecuacin de la funcin cuya grfica es la siguiente:

y = 2x

y = 3x

y = -2x

En conclusin podemos decir que cuando tenemos una funcin lineal al dividircualquier valor de "y" entre su valor correspondiente de "x", el resultado es lapendiente:

3. La funcin afn

Estas funciones son tambin rectas, pero se diferencian de las anteriores en que nopasan por el origen de coordenadas. Pero t ya conoces algunas funciones de estasrecuerdas el telfono de Amanda? Hicimos la tabla de valores y la representamos en

unos ejes.Vamos a recordarlo:

Amanda ha conseguido por fin!! Convencer a sus padres de que le compren un mvil.Sus padres son muy intransigentes con este tema, de forma que la nica manera deconvencerlos ha sido prometiendo que slo lo usara para mandar SMS y no para llamar.

La tarifa que han contratado es de 5 fijos al mescon un precio de 0,18 por cadamensaje enviado. Para controlar su gasto Amanda se ha hecho la siguiente tabla

x Nmero de mensajes por mes 0 20 50 100 200

y Mensualidad que deber pagar 5 8,6 14 23 41

Que representado en unos ejes quedaba algo as:


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Y recuerdas la forma de encontrar su ecuacin matemtica? Tenamos que pensar enlas cuentas que hay que hacer para calcular la mensualidad de Amanda. En primer lugarhay que multiplicar el nmero de mensajes (la x) por el precio del mensaje (0,18 )ydespus sumarle los 5 de cuota fija (esta no depende del nmero de mensajes, nisiquiera de si hay alguno o no).

mensualidad = 0,18 x nmero de mensajes + cuota fija

Que cambiando por "x" e "y" quedara:

y = 0,18x + 5En este caso el coste de la mensualidad y el nmero de mensajes no son directamenteproporcionales porque el mensaje no sale siempre al mismo coste, fjate:

Si Amanda manda 20 mensajes pagar una mensualidad de 8,6 . Es decir que esemes el mensaje le habr salido (teniendo en cuanta el total que paga con la cuotafija) por 8,6:20 = 0,43

Pero si Amanda manda 50 mensajes pagar una mensualidad de 14 . As que esemes el mensaje le habr salido (incluyendo la cuota) por 14:50 = 0,28.

Ves cmo no es igual? Claro, cuantos ms mensajes mande ms barato le sale porquela cuota fija se reparte entre ms.

Pues esto es lo que llamamos una funcin afn.

Una funcin afn tiene las siguientes caractersticas:

Su grfica es una recta que no pasa por (0,0)

Su ecuacin es y = mx + b (m y b pueden ser cualquier nmero distinto de 0)

Las variables que se relacionan no son directamente proporcionales.

Seala las ecuaciones que correspondan a funciones afines:

y = 3x - 2

y = 5x

y = x2

y = -70x + 50

y = 40 - 600x


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En el caso de las funciones afines el nmero que acompaa a la "x" en la ecuacin, la m,sigue siendo la pendiente de la recta, y adems, como en el caso anterior, indica lo queaumenta la "y" cuando la "x" aumenta una unidad. No lo entiendes? no te preocupes,seguro que con el ejemplo siguiente queda aclarado:

Cul es el valor de la pendiente en el caso de Amanda? 0,18 (porque es el nmeroque acompaa a la "x", la m)

Tiene algn significado? es lo que vale cada mensaje sin tener en cuenta la cuotafija, es decir, es lo que aumenta la factura de Amanda (la "y") cuando stamanda un nuevo mensaje.

Ahora lo entiendes? Es lo que queramos decir. Pero vamos a insistir en la idea con elsiguiente ejercicio.

Amancio es fontanero y trabaja por su cuenta. Cobra 25 por hora ms 20 por eldesplazamiento. Para estudiar bien sus ganancias en funcin de las horas que emplea enla avera de una casa, Amancio se ha hecho una grficacon su tabla de valores, su

ecuacin matemtica y todo. Podras escribirlo todo en tu cuaderno? Cuando terminescomprueba si lo has hecho bien viendo la solucin.

En las funciones afines y = mx + b

El nmero m es la pendiente de la recta y es lo que aumenta la "y" cuando la "x"aumenta una unidad

El nmero b es el punto donde la recta corta al eje de la "y" (este nmero se llamaordenada en el origen)

Ahora vamos a practicar un poco con todo lo que hemos estado viendo. Si an hay cosas

que no entiendes, en estos ejercicios tienes de nuevo todas las explicaciones aplicadas acasos concretos, que seguramente te resultar ms fcil de entender vamos all!

Asigna en cada caso la opcin que corresponda a la funcin que te planteamos:

1.Cul es la grfica de la funcin y = 2x - 5?


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2. La tabla siguiente corresponde a una funcin afn:

x3 4 6

y5 8 14cuya grfica es:

y como puedes ver es una funcin afn, puesto que es una recta que no pasa por elorigen.

Cul es su ecuacin?

y = 3x + 6y = 2x - 4

y = 3x - 4

3.1. Practicamos con funciones afines

Ahora vamos a ver diferentes tipos de ejerciciosque te pueden poner con funcionesafines. Como siempre trata primero de resolverlo t en tu cuaderno y despus mira lasexplicaciones. Recuerda que en matemticas lo normal es que los problemas no salgan ala primera.

Por eso ponemos tantos ejercicios, porque puede ser que en los primeros no entiendasnada, pero poco a poco, mirando las explicaciones podrs ir soltndote y hacindolos yavers!


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Martina se ha apuntado a una academia de ingls para dar clases particulares. Lamatrcula le ha costado 50 y cada clase le sale a 30 .

1. Cunto pagara si diese 5 clases? y si diera 10? y 50?

2. Representa grficamente la funcin que relaciona el gasto de Martina segn el nmerode clases que d.

3. Calcula tambin su ecuacin matemtica.

4. Cul es la pendiente de esta recta? Qu significado tiene?

La siguiente grfica corresponde a una funcin afn. Calcula la ecuacin que lecorresponde.

Como este ejercicio es nuevo te vamos a proporcionar una ayuda: para encontrar laecuacin a partir de una grfica lo mejor es que busques un par de puntos que en la

representacin se vean claros.

Representa grficamente la funcin dada por la tabla siguiente y encuentra su ecuacin:

x -2 0 3

y 8 4 -2Ayuda: para encontrar la grfica, sigue el mismo proceso del ejercicio anterior con dos delos puntos que tienes en la tabla

Si te dan la grfica o la tabla de una funcin afn y te piden la ecuacinestos son lospasos que debes dar:

1. Encontrar dos puntos (x,y)

2. Sustituirlos en y = mx + b

3. Resolver el sistema de ecuacionespara encontrar my b

4. Y ahora todas las rectas juntas

Puedes encontrarte con estos tres tipos de rectas:


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Ahora ya lo sabes todo sobre las rectas, as que en este apartado no te vas a encontrarnada nuevo, es ms de lo mismo, slo que todo mezclado. A ver qu tal se te dan lossiguientes ejercicios. Acurdate que en las soluciones lo tienes todo explicado por si noentiendes algo.

Primero vamos a empezar por hallar las ecuaciones de unas rectas a partir de su grfica:

Escribe las ecuaciones de las rectas siguientes:

1.

2.

3.


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4.

5.

Vamos a seguir haciendo unas funciones a partir de textos:

En Suecia las tarifas de Internet no son como en Espaa. Tienes la opcin de pagarsegn el uso que hagas de la red. Lisa, por ejemplo, ha elegido una tarifa por la quepaga 5de couta fija al mes, ms 0,15por cada hora que est conectada.

Representa la funcin que relaciona el gasto de Lisa segn las horas de conexin. Cules la pendiente de esta recta y qu significado tiene? Encuentra la ecuacin de estafuncin.

En el centro de salud de Villanueva de la Vera han decidido ordenar las consultas delmdico general para no hacer esperar a la gente. As que han dispuesto que el mdicovea a 6 enfermos cada media hora.

Haz un estudio completo de la cantidad del nmero de enfermos que ve el mdico en

funcin de las horas que trabaja, que incluya grfica y ecuacin matemtica.Y por ltimo vas a representar las grficas de unas funciones:

Y por ltimo vas a representar las grficas de unas funciones:

1. y = -30x + 18

2. y = 2/3 x

3. y = 35


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Matemticas U3 - Tema 4: Parbolas

Tema 4. Parbolas

Mira ests grficas:

Ves la forma caracterstica que tienen? Son las grficas de un tipo de funcin que sellama parbola o funcin cuadrtica. Y son las que vamos a estudiar en este tema.

Y esto tiene algo que ver con la vida real? pues s, y mucho. Un baln cuando se lanza acanasta, el recorrido de una pelota de golf o el chorro de agua que sale de una mangueradibujan parbolas.

1. Ecuacin de la parbola

Este es el famoso puente de San Francisco. Ves la forma que tiene? Muchos puentes sehacen con estructuras parablicas para darles mayor estabilidad.

Vamos a ver cmo son las ecuaciones de estas funciones llamadas parbolas.

Siempre, en todos los casos son ecuaciones en las que aparece una x2

Estos son ejemplos de ecuaciones de parbolas:

y = x2y = -2x2- 5

y = 3x2+ 2x

y = x2- 3x + 5

Como ves siempre hay una x2, adems puede haber alguna "x" y algn nmero sin "x".

Es necesario que, para trabajar este tema, te familiarices con una expresin que nos sirvepara designar la ecuacin de cualquier parbola:

y = ax2+ bx +c


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1.1. Un familia muy fcil de funciones cuadrticas

Otro ejemplo de las parbolas que nos rodean. Entiendes ahora por qu se llaman aslas antenas parablicas? Si giramos una de nuestras parbolas sobre s misma nos saleesta figura.

Para empezar a practicar con las funciones cuadrticas o parbolas vamos a estudiar las

ms sencillas de todas.Empezaremos por la funcin que asigna a cada nmero su cuadrado, es decir:

f(0) = 0 f(-1) = 1

f(1) = 1 f(-2) = 4

f(2) = 4 f(-3) = 9

f(3) = 9

Si representamos estos valores en unos ejes y los unimos obtendramos esta grfica:

La ecuacin de esta funcin es y = x2porque para calcular la "y" que corresponde a cada

"x" lo que hacemos es elevar sta al cuadrado.

Intenta representar t en tu cuaderno la grfica de la funcin siguiente antes de ver lasolucin, claro!:

y = 2x2Recuerda hacer primero una tabla de valores.

Ten mucho cuidado al graduar los ejes.

Cul de las siguientes grficas se corresponde con la funcin y = -x2?

Ten en cuenta que el signo menos est "aparte" de la x2, de forma que primeroelevaremos el nmero al cuadrado y despus le pondremos el signo menos delante.
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Todas las parbolas de la forma y = ax2 ("a" es cualquier nmero) tienen esa mismaforma. En la siguiente animacin puedes ir dando valores a la "a" para ir viendo la grficade cualquier funcin de este tipo. Se hace en la parte de abajo moviendo las flechitas azuly roja o escribiendo en el espacio que tienes la "a" que quieras. Para empezar de nuevopulsa en "inicio"

*Ver ejemplos en la plataforma

Utiliza la animacin anterior para responder a la siguiente pregunta:

Qu diferencia hay entre las grficas con "a" positiva y las grficas con "a" negativa?

El punto (0,0) se llama vrtice de la parbola

Resumamos toda la informacin sobre estas parbolas:

Las grficas de las funciones y = ax2

Tienen vrtice en (0,0)Si a > 0, van "hacia arriba"

Sia < 0, van "hacia abajo"

Para practicarpuedes representar todas las funciones de este tipo que quieras:y = 3x2; y = -4x2; etc.

Puedes comprobar el resultado con la animacin anterior.


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2. Caractersticas

Seguimos buscando parbolas a nuestro alrededor, observa la forma de los chorros deagua en la siguiente fuente:

Ahora observa la siguiente parbola. Hay una serie de puntos que son muy importantes yque nos van a servir para representar estas funciones.

Vamos a verlos uno a uno:

Vrtice de la parbola: es el mnimo (o el mximo si la parbola estubiera paraabajo). En este caso es elpunto (-1,-9)

Cortes con el eje "x": Son los puntos donde la parbola corta al eje de la "x". Ennuestro caso lo hace en los puntos (-4,0) y (2,0)

Corte con el eje "y": Este siempre es un solo punto. En nuestro caso es el punto (0,-8)

Rellena los huecos con los puntos importantes de esta parbola:

El vrtice est en el punto (____,_____)

Los puntos de corte con el eje x son: (____,____) y (____,____)

El punto de corte con el eje y es: (____,____)
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Fjate que si de una parbola sabes lospuntos de corte con el eje x y el vrtice, nonecesitas nada ms para representarla. Prueba t con los siguientes ejemplos:

Representa las parbolas que tienen las siguientes caractersticas:

a. Parbola 1:

o Tiene vrtice en el punto (3,-9)

o Corta al eje "x" en 0 y 6

b. Parbola 2:

o Vrtice = (2,16)

o Corte con el eje "x" en los puntos (-2,0) y (6,0)

Aclaracin:Te has dado cuenta de que el corte con el eje "x" te lo hemos dado de dosformas diferentes? Para dar un punto de corte con el eje "x" podemos escribir el puntocompleto (como en el segundo caso, y entonces la "y" tiene que ser 0) o bien, como yasabemos que estamos sobre ese eje, dar un solo nmero (como en el primer caso en elque tambin podramos haber escrito en forma de puntos (0,0) y (0,6)).

En los siguientes apartados vamos a ver cmo calcular estos puntos a partir de laecuacin de una parbola.

2.1. Puntos de corte con el eje "x"

Se trata de encontrar los puntos en que la parbola corta con el eje "x" conociendo suecuacin. Adems, esto nos va a servir de repaso para resolver ecuaciones de 2 gradote acuerdas? las explicamos en el tema 3 de la unidad 1,en el segundo apartado del

tema.

Mira la siguiente grfica:

Rellena los puntos en que corta al eje de la "x" que se encuentran marcados en la grfica.

Los puntos de corte son (____,____) y (____,____)

Como has visto en el ejercicio anterior la coordenada "y" en estos puntos debe sersiempre 0. Y esto es lo que nos va a servir para encontrar los puntos dada la ecuacin de

la parbola.Pero vayamos paso a paso con un ejemplo:

1 Partimos de una ecuacin, por ejemplo y = 3x2 - 7x + 4
http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizador-1/Visualizar/Visualizar.do?identificador=es-an_2010110813_9073038&secuencia=true&idioma=eshttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizador-1/Visualizar/Visualizar.do?identificador=es-an_2010110813_9073038&secuencia=true&idioma=eshttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/07062011/d1/es-an_2011060713_9110157/ODE-befdd44c-9b04-3e36-bb30-6c7a69abfe19/u3t4g10.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/visualizador-1/Visualizar/Visualizar.do?identificador=es-an_2010110813_9073038&secuencia=true&idioma=es


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2 En los puntos en los que esta funcin corta al eje "x" la y = 0 y por tanto nuestroproblema se reduce a resolver la siguiente ecuacin:

3x2- 7x + 4 = 0

3 Para eso aplicamos la frmula de la ecuacin de segundo grado. Recuerdas eltema 3de la unidad 1? Se haca as:

Una ecuacin de segundo grado se expresa de la forma ax2

+ bx + c = 0, donde a 0.Esta ecuacin se resuelve con la frmula:

En nuestro caso sera: a=3 b=-7 c=4 (fjate en nuestra ecuacin, y = 3x2-7x + 4, paraobtener estos nmeros)

Ahora tenemos dos posibles soluciones:

4 El resultado sera que la funcin corta al eje de abscisas (el eje de las "x") en x = 4/3 yen x = 1. O tambin podemos decirlo as:

Los puntos de corte con el eje de abscisas son (4/3, 0) y (1, 0)que es lo mismo.

Vamos a comprobar si te acuerdas de cmo de resolvan estas ecuaciones. Encuentra lospuntos de corte con el eje "x" de la siguiente parbola:

f(x) = -2x2+ 11x - 15

Los son x =_____ y x =_____

Te recordamos que la ecuacin de segundo grado puede tener:

dos soluciones (como en los casos anteriores)

una solucin

ninguna solucin

Qu pasa en los dos ltimos casos. Pues aqu tienes la respuesta con los siguientesejemplos:
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Esta funcin slo tiene un punto de cortecon el eje x. Cuando slo tengamos unpunto lo que suceder siempre es que serel vrtice de la parbola y el ejercicio sermucho ms fcil.

Esta funcin no corta al eje de las x, portanto al resolver la ecuacin nos habradado que no tiene solucin

Para encontrar los puntos de corte con el eje x de la parbola y = ax2+ bx + c hay queresolver la ecuacin de segundo grado:

ax2+ bx + c = 0

aplicando la frmula:

Puede suceder que:

Corte en dos puntos

(dos soluciones)

Corte en un punto(una solucin)

No corte en ningnpunto

(ninguna solucin)

Encuentra los puntos de corte con elm eje x de las siguientes funciones cuadrticas (oparbolas)

a.f(x) = 2x2- 5x + 2

b. f(x) = -x2+ 2x - 8

c.f(x) = -4x2

+ 4x - 1
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2.2. Puntos de corte con el eje "y"

Ahora se trata de encontrar el punto donde la parbola corta al eje "y", es decir, el puntoque tienes indicado en la grfica siguiente:

Escribe el punto de corte de la grfica anterior con el eje "y":

(_____,_____)

Una parbola de ecuacin y = ax2 +bx + c corta al eje y en el punto (0, c)

Completa los puntos de corte con el eje x y con el eje y de las siguientes parbolas:

a. f(x) = x2- 9

Corte con el eje "x" en x =_____ y en x =_____

Corte con el eje "y" en y =_____b. f(x) = -2x2- 5x + 3

Corte con el eje "x" en x =_____ y en x =______

Corte con el eje "y" en y =______

c. f(x) = x2 + x -6

Corte con el eje "x" en x =_____ y en x =_____


d. f(x) = 2x2+ 8x

Corte con el eje "x" en x =_____ y x =_____



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e. f(x) = 3x2- 2x + 5

Corte con el eje "x" en x =_____ ______ y x =_____ ______


ATENCIN!

No siempre en las ecuaciones de segundo grado salen exactas las races, puede que tesalgan races que tengas que calcular con la calculadora y que las soluciones te den connmeros decimales.

2.3. Vrtice

La gravedad va reduciendo el tamao de la parbola

Ya slo nos queda este punto fundamental para poder representar cualquier parbola: elvrtice.

Para calcularlo slo tenemos que aplicar esta frmula que nos facilita la coordenada x

del vrtice (ten en cuenta que el vrtice es un punto y por lo tanto tendr una coordenada"x" y una coordenada "y"):

Para encontrar la coordenada y slo tenemos que sustituir este valor en la ecuacin. Perolo mejor para entenderlo es ver el siguiente ejemplo:

Vamos arepresentar la parbola y = x2+ 2x -3

1 Calculamos el vrtice aplicando la frmula anterior:

x vrtice= -2/21 = -2/2 = -1

Para calcular la "y" que corresponde a esta "x" slo tenemos que sustituir en la frmula:

y vrtice= (-1)2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

Por lo tanto el vrtice est en el punto (-1,-4)

2 Calculamos los cortes con el eje "x" como hemos aprendido a hacer hace dosapartados:


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Es decir, los puntos de corte con el eje "x" son: (1,0) y (-3,0)

3 Sabemos que corta al eje "y" en y=-3 (porque es c=-3 recuerdas el apartadoanterior?)

Y finalmente la representamos:

Calcula el vrtice de las parbolas siguientes:

a. f(x) = 3x2 +2x

b. y = 5x2 +10

c. f(x) = (x-1)(x+2) esto es una parbola? si haces la operacin vers que efectivamentelo es.

A partir de este momento ya puedes representar funciones cuadrticas, para ello calculael vrtice, los cortes con el eje "x" y si lo necesitas un par de puntos cualquiera ms y ...listo!!!

Y ten en cuanta la siguiente regla:

La parbola y = ax2+ bx + c cumple siempre que:Si a < 0entonces la parbola tiene

"las antenas" haciaabajo.

Si a > 0entonces la parbola tiene

"las antenas"haciaarriba.


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3. Problemas con parbolas

Otra parbola que tenemos muy cerca est en los faros o las linternas.En estos casos, suforma parablica hace que los rayos de luz se reflejen en la paredes del faro o la linterna yse concentren en la zona que pretendemos iluminar.

Ahora vamos a hacer unos cuantos problemas relacionados con parbolas y que nos van

a servir de repaso de las propiedades de las funciones que vimos en el tema 2 lorecuerdas?

Representa la siguiente funcin y estudia su simetra, mximos y mnimos, monotona ycontinuidad.

f(x) = 3x2+ 2x -3

Antes de hacer algn problema relacionado con parbolas, vamos a practicar un pocoms representando esta funcin:

y = 2x2+ 3x + 4

El estudio de la parbola tuvo gran importancia a finales del siglo XV en que la humanidadse enfrentaba a grandes problemas tcnicos de navegacin y de maquinaria de guerraentre otros.

La trayectoria de un proyectil lanzado con cierta velocidad y un determinado ngulo deinclinacin ya te puedes imaginar lo importante que era a la hora de lanzar proyectiles concaones, por ejemplo.

Y que figura describe?

Para estudiar el comportamiento del lanzamiento de proyectiles desde un can unoscientficos del siglo XV han construido un pequeo can que lanza unas pelotas de untamao similar a las de tenis. Se regula de forma que la trayectoria que describen laspelotas sigue la siguiente ecuacin:

y = -0,07x2+ xdonde "x" e "y" son las variables que ven representadas en el dibujo:

1. Cul es la altura mxima alcanzada por la pelota?


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2. A qu distancia del can toca el suelo?

3. Representa en una grfica la trayectoria del proyectil.

Tengo 20 metros de tela metlica para construir un corral rectangular que quiero hacerpegado a la pared trasera de mi cortijo.

De qu forma puedo hacerlo para tener el rea ms grande posible?

En principio parece que esto no tiene nada que ver con las parbolas que estamosestudiando, pero vamos a analizar el problema despacio...

Piensa en distintas posibilidades:

Podramos poner un lado de 16 m y los otros dos de 2 m. Eneste caso el rea sera de 162 = 32 m2.

O podramos poner un lado de 8 m y los otros de 6 m (porquesuman 20 m) y el rea sera de 86 = 48 m2

Pero no podemos escribir todas las posibilidades!! Por eso lo que vamos a hacer esescribir una frmula que nos d el rea en funcin de uno de los lados del cuadrado.

Llamamos x a este lado del corral:

Entonces el otro lado ser 20 - 2x puesto que tengo 20 m y le tengo quitar x de un lado y xdel otro:

Ahora ya te dejamos que lo intentes, y si no te sale ve guindote por la solucin...adelante!


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Matemticas U3 - Tema 5: Funciones de proporcionalidad inversa

Tema 5. Funciones de proporcionalidad inversa.

Llegamos al ltimo tema y a la ltima clase de funciones que debes conocer. Para queveas un caso real al que correspondera este tipo de funciones, vamos a empezar con un

ejemplo:Ana Mara est organizando un viaje a Madrid para su comunidad de vecinos. Haconsultado el precio de los autobuses y le han dicho que para un fin de semana cuesta1.880 euros a repartir entre las personas que vayan que, como mximo, pueden ser 72.Ana est estudiando las diferentes posibilidades de coste por persona en funcin delnmero de vecinos que se apunten.

Est claro que cuantos ms vayan, menos dinero le toca pagar a cada uno. Adems deforma inversamente proporcionalque quiere decir que:

Si van el doble de personas, cada una pagar la mitad.

Si van el triple, pagarn un tercio....

La grfica de esta funcin tiene esta pinta:

Observa que cada vez baja ms despacito. Si te paras a pensarlo es normal, porque sivan muchos, por ejemplo 60, el que vaya uno ms no supone mucha bajada de preciopara cada uno. La diferencia entre repartir los 1880 entre 60, 61 62 es muy poca.

Sin embargo imagina que fuera una sola persona tendra que pagar 1880 ! y sinembargo con otra persona ms que fuera el precio se reducira a la mitad 940 cada uno.Por eso al principio de la grfica la funcin baja mucho y luego se estabiliza y va bajandomuy poco a poco.

Pues este es el aspecto de las funciones que vamos a trabajar en este tema. Comosiempre, empezaremos con las ms sencillas en el primer apartado y luego lo iremos

complicando, pero poca cosa, no te preocupes nimo que de esta terminamos con lasfunciones!
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y = nmero /x

Vamos a seguir con el ejemplo del apartado anterior:

Veamos cul es la variable "x" y cul es la variable "y"

Como lo que paga cada uno depende del nmero de personas que vayan:

x = nmero de personas que van al viajey = precio que paga cada persona

Antes de seguir trata de completar t la tabla de valores:

Escribe el nmero con dos decimales

x = n de personas

que van al viaje1 5 15 25 40 50 65 72

y = Precio que pagacada persona

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

Ahora imagina que siguiramos metiendo en el autobs ms y ms gente qu pasaracon el precio? llegara a ser cero alguna vez?

Pasara que cada persona tendra que pagar muy, muy poco, pero nunca nada porqueentonces no podramos juntar los 1880!

Si representramos esta funcin hasta el infinito, siempre seguira disminuyendo aunquenunca llegara a ser cero, es decir a tocar el eje "x".

Esta curiosa caracterstica de ir acercndonos a un valor ms y ms sin jams llegar a lles sucede a todas las funciones que vas a aprender a manejar en este tema.

Y ahora la ecuacin. Para eso pensemos cmo en la tabla anterior hemos ido obteniendola "y" en funcin de la "x". Tenamos que dividir 1880 entre la "x". Por eso la ecuacin es:

Veamos ahora otra funcin de este tipo:


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Antes de nada sabras cul es el dominio de esta funcin? Piensa qu valor no lepuedes dar a la x....

El 0!! si ponemos x = 0 no podemos calcular "y" porque 2:0 es una cuenta que no sepuede hacer porque no tiene sentido.

Por eso el dominio de esta funcin es todo R menos x = 0 (es decir todos los nmerosreales menos el 0)

Completa t esta tabla de valores para representarla (recuerda usar 2 decimales):

x = 0,01 0,1 1 2 5 10 -1 -2 -5 -10 -15

y = ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

Si representamos estos valores en unos ejes nos sale esta funcin:

Sucede como en la grfica anterior, que nos vamos acercando al eje de la x sin llegar atocarlo nunca.

Pero ahora tambin nos pasa con el eje de la y, fjate que al dar valores a "x" muypequeos x = 0,01 por ejemplo, la "y" se nos va haciendo muy grande. Y si cogiramos x= 0,0001 nos saldra y = 20000, es decir que la funcin sube y sube cuanto ms se acercala "x" a cero.

Esto es lo que indican las flechas que te hemos puesto.Observa que hay una recta horizontal y otra vertical a las que la funcin se va acercando sin llegar nunca a tocar. Estas rectas se llaman asntotas.

Ahora intenta t representar grficamente esta funcin que es muy parecida a la anterior:

Recuerda que debes empezar por hacer una tabla de valores, luego representarla en tu

cuaderno y finalmente comprobar la solucin.
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La funcin:

es una funcin de proporcionalidad inversa que tiene la siguiente grfica:

Si el nmero > 0

Si el nmero > 0

Las asntotas(rectas a las que la funcin se acerca aunque no llega a tocar nunca) sonlos ejes coordenados.

Las variables "x" e "y" son inversamente proporcionales.

Estas funciones tienen siempre qu tipo de simetra? te acuerdas?
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Todas las funciones de proporcionalidad inversa

Todas las funciones de proporcionalidad inversa tienen esa forma aunque esas rectas alas que la funcin se acerca sin llegar a tocarlas pueden ser diferentes de los ejescoordenados, como suceda en el apartado anterior.

Aqu tienes unos ejemplos:

Pero cmo saber si nos dan una ecuacin que es una funcin de proporcionalidadinversa? porque siempre tiene alguna de estas formas:

Claro que los nmeros pueden ser diferentes, o de distinto signo, pero la "forma" de laecuacin sera la misma. Fjate que lo comn en los tres casos es que todas tienen undenominador con una "x"

Vamos a comprobar si distingues los diferentes tipos de funciones que hemos trabajado.Rellena los espacios con la letra que corresponda segn la siguiente leyenda:

A = funcin afn

L = funcin lineal

C = funcin constante
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P = parbola

I = proporcionalidad inversa

N = ninguna

1. y = 2x + 5 _____

2. f(x) = 4 _____

3. y = 3x35 _____

4. _____

5. y = -x2- 2 _____

6. _____

7. _____

8. f(x) = 6 - 2x2 _____

9. g(x) = 3x _____Representar estas funciones es nuestro prximo objetivo. Para eso lo ms importante esencontrar esas rectas a las que la funcin se acerca y que tienes marcadas en verde enesta grfica. Esto es lo que te vamos a explicar en el apartado siguiente.

Y una vez que las tengas, el resto es sencillo:

Las rectas a las que la funcin se acerca se llaman asntotas
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g4b.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g4.jpg


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Calcular asntotas

Una vez que localicemos estas asntotas, el resto es facilsimo, as que vamos a ver laforma de encontrarlas con un ejemplo. Vamos a hecerlo con la siguiente funcin:

Clculo de la asntota vertical

1. Igualamos el denominador a 0:

x - 3 = 0

2. Despejamos x:

x = 3

3. Ese nmero indica la asntota vertical:

fcil, no?

Representa en unos ejes las asntotas verticales de las siguientes funciones deproporcionalidad inversa:

1.

2.3.

Clculo de la asntota horizontal

Esta vez la forma de calcularlo depende del tipo de ecuacin que tengas. Vamos a verlo,por lo tanto, tipo a tipo:

Si es del tipo fraccin con "x" abajo y nmero arriba, entonces la asntota horizontales el eje de las "x".

Por ejemplo todos estos casos tienen esa asntota horizontal:
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g5a.jpg


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Si es del tipo fraccin con "x" arriba y "x" abajo como en:

En este caso el sitio en el que est la asntota horizontal viene determinado por loscoeficientes de la "x" de esta forma:

Si es del tipo de una fraccin ms un nmero, como en el caso hay quehacer esa operacin para que nos quede como en el caso de antes:

en este caso la asntota vendra indicada por , es decir 3
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g9.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g8b.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g7c.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g7b.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g7a.jpg


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Dibuja la asntota horizontal en estas funciones de proporcionalidad inversa:

1.

2.

3.

Una funcin de proporcionalidad inversa tiene una recta horizontal y otra vertical a las quela funcin se acerca que se sitan siguiendo estas instrucciones:

Asntota vertical: se iguala el denominador a cero y se despeja. El n que sale indica

dnde est:

Asntota horizontal:

o Es el eje de las x si la funcin es del tipo:

Es la fraccin formada por los nmeros que acompaan a las "x" en el caso defracciones con "x" arriba y abajo. Ejemplo:
http://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g13.jpghttp://agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04122011/7b/es-an_2011120413_9140306/ODE-83f1ae24-58de-3642-ac4e-93736432b1fc/u3t5g6d.jpg


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Es como el caso anterior si la funcin es una fraccin ms nmero. Ejemplo:

Representamos las funciones

Una vez que tenemos localizadas las asntotas, el resto es muy sencillo, slo hay quehacer una tabla de valores y situar algunos puntos. Vamos a hacerlo con alguno de losejemplos del apartado anterior:

Asntota vertical:

x + 1 = 0 ; x = -1

Asntota horizontal.Este tipo de funcin siempre es en 0.
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La tabla de valores la puedes completar t en la siguiente autoevaluacin:

Ten en cuenta que a esta funcin hay un nico valor que no le podemos dar: el x = -1porque tendramos que dividir entre 0 y eso es algo que no se puede hacer. Para saber"por dnde anda" nuestra grfica le damos unos cuantos valores mayores que la asntota

vertical, es decir que -1; y otros cuantos menores que -1. De esta forma sabemos pordnde va la grfica a la izquierda y a la derecha de la asntota.x -7 - 4 - 2 0 1 4y _____ _____ _____ _____ _____ _____

Y ahora slo queda representar estos puntos, teniendo en cuenta que la funcin se vaacercando a las asntotas que tenemos representadas de antes:

Vamos a representar ahora una de cada uno de los otros dos tipos. Puedes intentarhacerlas t en el cuaderno antes de abrir la solucin.

Buscamos la grfica de la funcin:

Para encontrar la grfica de una funcin de proporcionalidad inversa recuerda:

1. Sita las asntotas

2. Haz una tabla de valores

Buscamos la grfica de la funcin:


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Matemticas U4 - Tema 1: Probabilidad

Tema 1. Probabilidad

Empezamos la ltima unidad. Y ests de enhorabuena porque es la ms sencilla, la mscortita y adems la que ms se relaciona con nuestra vida cotidiana. La probabilidad y la

estadsticaaparecen continuamente en nuestra vida de mil formas diferentes:

En muchos mbitos usamos la probabilidad y la estadstica para intentar predecir elfuturo. Pulsa sobre la imagen siguiente y vers un ejemplo que interesa a muchsimagente:
http://www.futbolrazonado.com/2010/09/trabajo-estadistico-clasificacion-final/


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Las matemticas ayudan a estudiar los resultados de la liga y predecir lo que puedepasar!

Fjate como t tambin entiendes de estadstica y probabilidad. Slo tienes que decir silas siguientes afirmaciones sobre esta grfica son verdaderas o falsas.

a. La edad influye en las posibilidades de una mujer de quedarse embarzada porfecundacin in vitro.

Verdadero Falso

b. La probabilidad de quedarse embarazada en esta clnica con el tratamiento defecundacin in vitro para mujeres de edades comprendidas entre los 38 y los 40 aossupera el 30%.

Verdadero Falso

c.Hay una diferencia casi del 20% de probabilidad entre las mujeres de menos de 35aos y ms de 40 de quedarse embarazadas con el tratamiento.

Verdadero Falso

1. Experimentos aleatorios

La idea de probabilidad todo el mundo la tiene en la cabeza y cualquiera puede hacerafirmaciones como las siguientes:

la probabilidad de que una mujer embarazada tenga un nio o una nia es bastantesimilar

es ms probable que en un partido del Almera-Real Madrid gane el Real Madrid

la probabilidad de sacar una carta de oros de una baraja de cartas espaola esmayor que la de sa

temario de matemáticas u3 y u4

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