tema7 optica 2

Optica II. Tema 7Estudo e Aplicacións daDifracción de Fraunhofer.

Grao en Física

Area de Optica. Departamento de Física Aplicada.Universidade de Santiago de Compostela

Contidos

1. Estudo Canónico da Difracción de Fraunhofer . 11.1. Di-Fra por unha Abertura Rectangular . . . . . . . 11.2. Interpretación Espectral da Di-Fra . . . . . . . . . 41.3. O Plano Espectral: Aplicacións . . . . . . . . . . . . 5

2. Di-Fra e Instrumentos Opticos . . . . . . . . . . . . . 62.1. Di-Fra por unha Abertura Circular . . . . . . . . . 62.2. Poder de Resolución Espacial . . . . . . . . . . . . . 82.3. Tratamento Ondulatorio das Pupilas Opticas . . . . 10

3. Redes de Difracción Optica . . . . . . . . . . . . . . . 113.1. Di-Fra baixo Traslación da Abertura . . . . . . . . . 113.2. Redes de Difracción: Campo Difractado . . . . . . . 123.3. Análise da Intensidade Difractada por Rede . . . . 133.4. Propiedades Espectrais das Redes . . . . . . . . . . 16

Exercicios e Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A. Aspectos Radiométricos e Fotométricos 20

Obxectivos

Comprender, saber describir e saber formalizar problemas canónicos (básicos) deDifracción de Fraunhofer (Di-Fra), descubrindo os seus efectos máis salientabeis.Aprehender a interpretación opto-física da Di-Fra coma unha Transformación Inte-gral de Fourier espacial e saber formalizar aplicacións. Comprensión do concepto depoder de resolución espacial, do concepto de pupila óptica e de aspectos fotomé-tricos, a un nivel introductorio, para o estudo opto-físico dos instrumentos ópticos.Entende-lo efecto de fase por mor da traslación dunha abertura dentro da teoría daDi-Fra. Comprende-la aproximación de Fraunhofer ó redor da orixe e a súa aplicaciónó estudo do campo difractado por redes ópticas bidimensionais (extensión heurísticaa redes ópticas tridimensionais). Finalmente, familarizarse coas posibeis aplicaciónsdas redes ópticas, fundamentalmente espectroscópicas.

1

Optica II.-Tema 7 (DI-FRA) 1

1. Estudo Canónico da Difracción de Fraunhofer

1.1. Di-Fra por unha Abertura Rectangular

Sexa unha abertura rectangular, sita no plano z = 0, de lados 2a e 2b ó longodas direccións xo e yo, respectivamente, e iluminada normalmente cunha ondaplana moncromática de amplitude unidade: !(xo, yo, 0) = 1. Daquela temos:

!(xo, yo) = !(xo, yo, 0) t(xo, yo) = 1 · t(xo, yo) =

!1; |xo| ! a, |yo| ! b0; |xo| > a, |yo| > b

(1)

A integral de Di-Fra para dita abertura rectangular pódese escribir do seguintexeito 1:

!(x, y, z) " Eo

" +a

!a

" +b

!b

1 · e!iko(xz xo+ y

z yo) dxodyo (2)

onde Eo = !ieikoz

!oz eiko2z (x2+y2). Procedendo a integrar, dado que o problema inte-

gral é separable, obtemos a seguinte amplitude difractada:!(x, y, z) = 4Eoab senc(koax/z) senc(koby/z) (3)

onde usamos a definición da función seno-cociente: senc(x) = senx/x. Defi-nindo agora Ioo = 42|Eo|2(ab)2, obtemos a intensidade óptica difractada:

I(x, y, z) = Io senc2(koax/z) senc2(koby/z) (4)

É doado ver que hai un máximo principal (central) de intensidade I(0, 0, z)=Ioo.Obsérvese o “colapso” cando a, b#$, é dicir, a intensidade tende a localizarsenun punto (luminoso); e viceversa, se a, b# 0 entón a amplitude (e daquela aI) tenden a unha constante (onda esférica: ver factor Eo).

-Minimos nulos (Imn=0): trivialmente obtéñense as seguintes posicións deintensidade nula: xm = mz!o/2a, yn = nz!o/2b-Máximos secundarios: tan(koax/z) = koax/z, tan(koay/z) = koay/z cuxasolución asintótica é: koa xm/z " (m ± 1/2)" (+ se m % 1, & se m ! &1), édicir, caseque valores intermedios entre mínimos. Idem para yon. Logo Imn "Ioo/[(m ± 1/2)2(n ± 1/2)2"4].

1Lembremos que unha lente implementa unha Di-Fra exacta. Daquela só debemos facero simple cambio: z = f .


s! Di-Fra por abertura rectangular e cadrada en z=f : para unha aber-tura rectangular a intensidade no plano focal dunha lente é:

I(x, y, f) = Ix(f)Iy(f) = {4|Eo|a2senc2(koax/f)} {4|Eo|b2senc2(koby/f)}

Nesta gráfica vemos un padrón difraccional de Fraunhofer dunha abertura rec-tangular con luz case-monocromática (láser He-Ne). Nótese que da inspeccióndirecta desta distribución de intensidade podemos extraer información tantocualitativa (a < b) como cuantitativa (metroloxía óptica) da abertura.! Análise numérico: a posición numérica dos máximos secundarios (or-des de difracción) é: (koxa/f)= ±1.43" " ±(3/2)"; ±2.46" " ±(5/2)",±3.47" " ±(7/2)", ... " (m ± 1/2)". Idem para (koyb/f). Asemade os va-lores de intensidade normalizada, é dicir, os valores da función senc2(koaxf)son: 0.047, 0.017, 0.008,... Obérvese que a intensidade normalizada decae caseun 95 % respecto ó valor do máximo principal.! Difracción policromátrica: por outra banda I(x, y, z) depende estricta-mente da l.d.o. !o. Por exemplo, se estamos no plano focal dunha lente de focalz = f , a localización dos mínimos sería: xm=mf!o/2a, yn=nf!o/2b, de tal xeitoque o vermello difráctase máis có azul, etc., é dicir, temos dispersión cromáticapor difracción. Asemade deducimos que a anchura dos máximos secundariosaumenta consonte a (ou b) diminúen. Consecuentemente con luz branca ober-varíamos o centro do padrón difraccional de cor branco, e despois sucesiónde cores ate de novo observar branco polas beiras. Pode entenderse como asuperposición incoherente dos padróns difraccionais de distintas frecuencias.


! Di-Fra por unha case-fenda: cando b vai medrando entón Iy(f) vai “colap-sando” ó longo de y, é dicir, Iy(f) vai tendendo a cero excepto nas proximidadesdo eixo y " 0. A intensidade Ix(f) queda igoal, en virtude da separabilidade.

-Físico-matematicamente, no límite b#$, Iy(f) chega preto dunha funcióndelta de Dirac #(y). Nótese ademais que o padrón difraccional esténdese per-pendicularmente á fenda.

! Finalmente mostramos o padrón de difracción, detectado no plano focaldunha lente, producido por unha fenda con b# 0 iluminada cunha onda pla-na (sería moi semellante ó obtido cun láser de feixe estreito). O ancheamentovertical sería debido á difracción polo tamaño finito da lente inda que a fendafose máis grande.

-É importante salientar que usando o Principio de Babinet sabemos que asaberturas complementarias (obstáculo rectangular) presentarán unha distri-bución de intensidade semellante.


1.2. Interpretación Espectral da Di-Fra

! O padrón de difracción analizado representa tamén a implementación daTransformada de Fourier da función dada pola ecuación (1) para a=b 2. Gra-ficamente:

-O padrón atópase no plano focal z = f da lente que é o chamado plano deFourier ou plano espectral. Lembrar que se a iluminación non fose plana oplano de fourier non ten que se-lo plano focal.

-Os máximos secundarios de intensidade definen os chamados ordes de difrac-ción (m, n). Son as ondas máis relevantes do espectro, xunto coa orde (0, 0).

-Para ilustrar o dito imos escribir a expresión das ondas planas asociadas ós or-des de difracción: (m, n)=(0, +1) e (+1,&1). Así temos as coordenadas x0=0,y1=(3/2)"f/kob, x1=(3/2)"f/koa e finalmente temos: y!1=&(3/2)"f/kob, po-lo tanto temos ángulos de propagación: u0=0, v1 = 3"/2bko, u1=3"/2ako,v1=&3"/2bko, e daquela:

$(0,1)(x, y, z) =4ab Eo(x0, y1)

(1/2)(3/2)"2eiko[(3"/2bko)x+z] (5)

$(1,!1)(x, y, z) =4ab Eo(x1, y!1)

(3/2)(&3/2)"2eiko[(3"/2ako)x!(3"/2bko)y+z] (6)

Observamos tamén que a TF depende de !o no espazo real, e tradúcese en queas direccións (um, vn) de propagación destas ondas (resultantes da difracción)dependen tamén de !o. Complementariamente, as frecuencias ópticas espaciaisnon dependen de !o, é dicir, a TF óptica espacial no espazo de frecuencias éindependente da frecuencia temporal das ondas.

2A primeira gráfica é con baixa exposición fotográfica e a segunda con alta exposición.


1.3. O Plano Espectral: Aplicacións

! Procesado espacial: a imaxe pode interpretarse, sacada unha escala ealgún factor de fase, como a TF inversa da TF directa sita no plano de Fourierou espectral. A modificación (en amplitude e fase) da TF directa pode servirpara a mellora da imaxe, é dicir, o procesado da imaxe (por exemplo selección-filtrado de información). Tamén é posible facer procesado óptico, computacióne encriptación óptica clásicas, etc.

-Microscopía de fase (exemplo básico de procesado óptico): consideremos unobxecto de fase, é dicir, !(xo, yo) " Aei!(xo,yo), con A " cte e "(xo, yo) ' 1,entón podemos facer a aproximación:

!(xo, yo) " A[1 + i"(xo, yo)& "2(xo, yo) + ...] " A[1 + i"(xo, yo)] (7)O primeiro termo é unha onda plana en z = 0, logo “vai” ó “punto” (0, 0) doplano de Fourier. Se nese “punto” implementamos un retardo de fase de "/2entón no plano imaxe teremos:

!(x, y) " iA[1 + "(x, y)]( I(x, y) " |A|2[1 + 2"(x, y)] (8)Nótese que sen o retardo de fase obteríamos unha distribución case-uniforme(constante), é dicir:

I(x, y) " |A|2[1 + "2(x, y)] " |A|2 (9)

! Computación óptica: a TF óptica é a implementación óptica dun cálculoen paralelo e bidimensional, polo que mediante conversións opto-electrónicasdixitais pódese implementar informaticamente (co conseguinte incremento develocidade). Asemade é posible facer filtros que implementen derivadas e in-tegrais de funcións. Así usando unha lente de focal f con z1 = &2f , pódeseprobar que o paso de z = f a z2 = 2f é a TF do espectro que daría a imaxe 3.Daquela se pomos un filtro da forma t(xF ) =xF (unidimensional por simpli-cidade) no plano espectral xF yF , entón no plano imaxe temos a seguinte TFinversa:

!(x, y, z) "" "

!"xF !(xF ) eiko( x

f xF ) dxF (10)

onde !(xF ) é a Transformada de Fourier directa da función obxecto !(xo).Se non houbera filtro obteríamos: !(xo))!(x), pero co filtro vemos que aecuación anterior implementa unha derivada, é dicir:

!(x, y, z) " f

iko

%

%x

" "

!"!(xF ) eiko( x

f xF ) dxF =f

iko

%!(x)

%x(11)

3No caso dun sistema 4f (dúas lentes en configuración afocal) co obxecto no plano focalobxecto da primeira lente, o proceso de imaxe (M = 1) como unha dobre TF (interpretaciónestablecida na teoría difraccional da imaxe de Abbe) é tamén evidente.


2. Di-Fra e Instrumentos Opticos

2.1. Di-Fra por unha Abertura Circular

! O campo difractado por unha abertura circular, iluminada normalmentecunha onda plana de amplitude unidade, e achado no plano focal dunha lentepodémolo expresar, en coordenadas cilíndricas, como:

!(&, f) = Eo

" a

0

" 2"

0

1 · e!iko

f ##o cos($!$o) &od&od'o (12)

onde fixemos uso dos seguintes cambios de variable: x = &cos', y = &sen',xo = &ocos'o, yo = &osen'o. Asemade consideremos agora as seguintes e im-portantes propiedades matemáticas das funcións especiais de Bessel de altointerés en difracción óptica:

Jm((#) =eim"/2

2"

" 2"

o

e!i%" cos(&!')!im (&!')d) (13)

J1(() =1

(

" %

0

(# Jo((#)d(# (14)

Tendo en conta o cambio (#= ko&&o/f , a propiedade (13) para m=0, e arelación de recurrencia (14) (con ( = ko&a/f), a integral de difracción (12) dá:

!(&, f) = Eo2"af

ko&J1

#ko&a

f

$= Eo"a2Ai(

ko&a

f

$(15)

onde Ai(()= 2J1(()/( (con Ai(0)=1) é a amplitude da chamada figura dedifracción de Airy (moi semellante á función senc no caso unidimensional).Obviamente |!(&, f)|2 dá a intensidade do campo difractado (chamado padrónde Airy) 4.

! Os máximos e mínimos de !(&, f) deben determinarse numericamente, ob-tendo para os radios dos máximos e mínimos os seguintes valores: ko !M a/f=0, 5.14, 8.46, 11.62, ...; ko !m a/f= 3.83, 7.02, 10.17, 13.32, ..., é dicir, temosunha sucesión de aneis craros e escuros. O resultado máis relevante a efectosópticos é a anchura radial o máximo principal ou central (os outros máximosson secundarios), é dicir, !0 ) !̃=3.83, logo:

ko&̃a

f= 3.83* &̃

f) *̃ =

1.22!o

2a=

1.22!o

D (16)

onde &̃ é o chamado radio do disco de Airy. Se a difracción é nun medio deíndice n += 1 todo sería igoal baixo o cambio: !o#!o/n.

4O mesmo se obtería se iluminamos a abertura cunha onda esférica procedente de z1,entón o resultado sería o mesmo pero usando a lei de conxugación para cambiar f#z2.


s! Fotografías da Di-Fra por abertura circular: na primeira fotografía, naterceira fotografía e na cuarta fotografía temos o padrón ou figura de Airy paratres aberturas de radios: 0.5mm, 1.0mm e 1.5mm en baixa exposición. Nasegunda figura temos a figura de Airy nun radio intermedio (sen determinar)pero obtida con alta exposición para detectar os aneis secundarios.

Diámetro: 0.5 mm

Diámetro: 1 mm

Diámetro: 1.5 mm

t<<

t<<

t<<

t>>

-Lembremos que a Di-Fre sería cualitativamente moi semellante, só que nonpodemos asegurar que no plano no que detectemos teñamos un máximo central.Na Di-Fra sempre temos, por definición, o máximo central (lembrar o últimomáximo axial por unha abertura circular).-No tocante á enerxía podemos dicir que no “máximo central” ou disco de Airytemos o 84 % da enerxía, e o 91 % no disco delimitado polos dous primeirosmínimos (isto redúcese notablemente na xeometría cadrada). 5

-No límite a' f (ou a distancia z de Fraunhofer) o campo difractado é unhaonda esférica de pequena amplitude, é dicir (usando ( = ko&a/f):

!(&, f) = Eo"a2 2J1

#()

(= Eo"a2 2

({(

2& (3

16+ ...} " "a2&ieikoz

!oze

iko2z (x2+y2) (17)

5Na xeometría cadrada o primeiro mínimo estaba en " < !̃ = 3.83, pero pódese probarque a cantidade de enerxía no máximo central é menor cá no caso circular.


2.2. Poder de Resolución Espacial

! Concepto de resolución óptica: é doado ver que a estructura difraccionalda imaxe dun punto luminoso axial producida por unha lente é a mesma que ada unha onda plana baixo incidencia normal sobre dunha lente de focal igoalá distancia imaxe. De feito unha onda plana é análoga a unha onda esféricaprocedente do infinito, logo a fórmula de Airy sería a mesma se f#z2. 6

-Por outra banda a resolución (discernimento) transversal (no mesmo plano)das imaxes de dous puntos obxecto (incoherentes) virá determinada segundo ocriterio de resolución escollido. O problema de resolución transversal de douspuntos é tamén equivalente ó problema de resolución angular de dúas ondasplanas. Por razóns históricas e didácticas escolleremos o criterio de Rayleigh.

! Criterio de resolución de Rayleigh: dúas imaxes considéranse resoltasse os centros das funcións (asociadas ós padróns ou figuras) de Airy atópansea unha distancia #x1 tal que:

#x1 % &̃ = *̃z =1.22!o

D z (18)

onde z = f , ou z = z2. Daquela, no caso máis desfavorable o máximo dunhafigura de Airy cae sobre o primeiro mínimo da súa veciña. Entón para separa-cións angulares (lineais) entre máximos igoais ou superiores a #̃ (!̃) considéraseque os puntos obxecto teñen imaxes resoltas.

Alternativamente, xa que x1/z2 = xo/z1, é dicir os ángulos son invariantes (ousometidos á Lei de Snell paraxial), o límite de resolución (igoaldade) transver-sal no espazo obxecto é simplemente:

#xo = #x1|z1||z2|% *̃|z1| =

1.22!o

D |z1| (19)

Relación semellantes pódense obter se o segundo medio (como no caso ocular),ou os dous medios, teñen índices distintos do baleiro.

6Igoalmente a imaxe dun punto non axial sito no infinito sería igoal á dunha onda planacon incidencia oblicua baixo un ángulo igoal ó subtendido pola imaxe xeométrica.


! Imaxes de dous puntos: na primeira fotografía están craramente resoltos,e na segunda vemos como comezan a ser indistinguibeis.

-Como figura de mérito (parámetro de caracterización) da resolución que pre-senta un sistema temos o chamado poder de resolución espacial PRE que sedefine como 7:

PRE = 1/*̃ = z/&̃ =D

1.22!o(20)

É independente da posición da imaxe (e do obxecto), o que lle da unha grandeuniversalidade (usando variabeis lineais perderíamos dita universalidade).

! Outros criterios de resolución: un criterio bastante usado en problemasde resolución espacial en imaxe é o de Sparrow que consiste en establecer quedous puntos chegan o límite de resolución cando a segunda derivada da inten-sidade total é nula.

No caso do CR o mínimo central é igoal ao 81 % do máximo. Hai outros cri-terios, algúns deles máis fisiolóxicos (teñen en conta os umbrais de detección),pero só o problema concreto determina cal é o máis axeitado.

7Exemplos de resolución: se $o = 0.5µm entón un telescopio con D = 5m ten #̃ = 0.025′′;o ollo humano D = 2.5mm ten #̃ = 0.50′′; e unha lente con D = 5cm ten #̃ = 5′′.


2.3. Tratamento Ondulatorio das Pupilas Opticas

Consideremos un sistema óptico elemental (unha lente, un dioptrio, un espello,etc.) cun diafragma adicional, como por exemplo unha lente de focal f e radiob (abertura B) seguida dunha abertura ou diafragma A de radio a e situada aunha distancia s, tal e como se indica na figura.

A iluminación é plana incidindo nor-malmente sobre a lente. Inda quenon houbera diafragma adicional Aa lente tamén difracta xa que o cam-po trúncase pola abertura B. Se odiafragma adicional estivese antes,ou xusto no plano da lente entónaplicaríamos os resultados obtidosantes sobre abertura circular.

-Neste caso o diafragma adicional A está despois da lente polo que debemosanalizar un pouco máis o problema de difracción. O tamaño b̃ do feixe esféricocambia, dende o punto de vista xeométrico, como:

b̃ =b

f(f & z) ) )b(f & z) (21)

• Se b̃(z = s) = )b(f & s) > a entón a abertura A é o chamado Diafragma deAbertura (DA) do sistema óptico.• Se b̃(z = s) = )b(f & s) < a entón o DA do sistema óptico é a abertura B.

! Pupila de Entrada Efectiva: no caso b̃ > a obteríamos, por prolongacióndo raio marxinal en A, un diafragma efectivo Bef en z = 0, que se denominaPupila de Entrada Efectiva 8 do sistema óptico (sempre situada sobre primeiroelemento óptico do sistema). O seu radio efectivo virá dado pola expresión:

bef =a

f & sf = )af (22)

Os resultados de difracción usando a abertura A ou Bef son idénticas, é dicir,obtemos a mesma figura de difracción de Airy, só que debemos cambiar a porbef . Nótese que se s = 0 entón bef=a, que é o caso analizado orixinalmente.Obviamente se b̃ < a a Pupila de Entrada é simplemente B. Obérvese que bef = ben (22) obtense impoñendo a condición b̃ = a na ecuación (21) 9.

8Hai tamén o concepto de Pupila de Entrada coa que obteríamos para o problema dadifracción resultados idénticos ós aquí deducidos.

9No caso particular b̃ " a estamos na fronteira da difracción onde a aproximación case-xeométrica dos diafragmas non é estrictamente correcta, inda que dá resultados moi acep-tabeis (chámase efecto de Pupila Espacial, e é moi incómodo para visión).


3. Redes de Difracción Optica

3.1. Di-Fra baixo Traslación da Abertura

! Consideremos o campo difractado, na rexión de Fraunhofer, por unha aber-tura A e observado a unha distancia z:

!(x, y, z) = Eo

" "!(xo, yo, 0) tA(xo, yo) e!iko(uxo+vyo) dxodyo (23)

Onde u = x/z, v = y/z. Sexa unhatraslación no plano da abertura A ópunto de coordenadas (qo, po):

xo = x#o + qo, yo = y#o + po

Asemade consideramos, por simpli-cidade, iluminación plana de ampli-tude unidade: !(xo, yo, 0) = 1, da-quela reescribímos a integral de Di-Fra como segue:

!#(x, y, z) = Eo

" "tA(x#o, y

#o) e!iko[u(x"o+qo)+v(y"o+po)] dx#ody#o (24)

Dado que nesta ecuación a integración nas variabeis primadas é a mesma quea que temos na ecuación (23), entón obtense:

!#(x, y, z) = e!iko(uqo+vpo) !(x, y, z) (25)

É dicir, unha tralación induce un cambio de fase na amplitude complexa!(x, y, z), logo a intensidade é invariante baixo traslación 10.

10O cambio de fase só será detectable baixo interferencia. Formalmente: I(x, y, z) =FD(x, y, z) FI(x, y, z), con factores difraccional FD e interferencial FI . Fágase o Exerc.- 12.


3.2. Redes de Difracción: Campo Difractado

! Concepto de rede óptica: unha rede de difracción de amplitude consistena obstrucción selectiva e múltiple dunha fronte de onda. Por exemplo N fendassituadas ó longo do eixo y dá como resultado a superposición de N camposemerxendo de ditas fendas (interferencia tipo Young múltiple). Para achar ocampo total comecemos analizando a fase da onda emitida por unha fenda.

!

! Fraunhofer ó redor da orixe: o problema é y-invariante, daquela a fase+ = koL(r) = ko& do campo nun punto arbitrario (x, 0, D) será:

&2 = x2o + R2 & 2Rxo cos("/2& u) = x2

o + R2 & 2Rxo sen(u) (26)onde R é a distancia dende a orixe, en z = 0, ate o punto de observación.Admitindo que R é moi grande, facemos o desenrolo de Taylor ate segundaorde, e obtemos aproximadamente:

& " R& xo senu + x2o/2R + ... " R& xo senu (27)

onde R=(x2+D2)1/2,xo. Esta é a denominada aproximación de Fraunhofer óredor da orixe (Di-Fra-O 11), daquela as ondiñas emerxentes dende o “punto” xo

teñen a forma (se u'1 obtemos ondas cilíndricas na aproximación da Di-Fra):

!(x, xo, u) " 1

R1/2eikoR e!ikoxo senu = A e!ikoxo senu (28)

! Campo óptico total: considerando agora os diferentes “puntos” emisoresxo=0, d, 2d, ..., e usando a notación: # = ko# = kod senu 12 obtemos o campototal:

!(#) = A{1 + e!i( + e!i2( + ... + e!i(N!1)(} (29)Polo tanto a amplitude difractada pola rede é igoal á suma de N amplitudes,en progresión xeométrica de razón e!i(. En z = D obtemos a expresión: 13

!(#) = A 1& e!iN(

1& e!i((30)

11Exer.-Achar a expresión 2D da integral Di-Fra-O e aplicala a unha abertura rectangular.12Obsérvese que son fases producidas por “desprazamento” de fendas pero na Di-Fra-O.

Asemade o resultado sería o mesmo se usáramos buratiños no canto de fendas.13No factor A tamén poderíamos incluir, se fose relevante, a amplitude difractada (factor

difraccional) por unha soa fenda, de acordo coas propiedades de traslación dunha abertura.


3.3. Análise da Intensidade Difractada por Rede

A intensidade observada en z =D virá dada, sacada a constante 1/R, polaseguinte expresión:

I(#) = |!(#)|2 =sen2(N#/2)

sen2(#/2)(31)

! Máximos principais: cando a fase # = 2m", obtemos máximos de intensi-dade I =N2. Dita condición de máximos corresponde á chamada ecuación darede ou Lei de Bragg, é dicir:

# = d senu = m!o (32)

Se sobre a rede incidise unha onda plana baixo un ángulo uo respecto á normaló plano da rede, teríamos unha fase inicial eikosenuoxo , logo teríamos unha fasetotal: #T = kod senu& kod senuo, e obtemos a Lei de Bragg xeralizada: 14

d senu& d senuo = m!o (33)

! Mínimos nulos: cando a fase toma valores # =2"n/N o valor da intensidadeé nulo. Asemade temos (N & 1) mínimos entre dous máximos principais; enefecto os mínimos, dende, por exemplo, o primerio máximo en cero, cumpren:# = d senu = n!o/N : !o/N , 2!o/N , 3!o/N , ..., (N & 1)!o/N , e despois vén oseguinte máximo en # = !o.

! Máximos secundarios: finalmente para valores asinstóticos (N ,) defase # " 2(l + 1/2)"/N , obtemos máximos relativos de intensidade de valoresI = 1/sen2[(l + 1/2)"/N ], con l % 1. O número destes máximos entre dousprincipais será de (N & 2).

-No límite N , por u.d.l., é dicir d ', obteremos intensidades moi altas nosmáximos principais e máis baixas nos secundarios 15. Ademais a separaciónentre máximos aumentará o que permitirá aplicación espectroscópicas.

14Este tipo de iluminación permite desprazar o máximo principal para que non entorpeza.Un efecto semellante consíguese cun prisma.

15Exer.-Pódese probar que no límite N , a intensidade relativa dun máximo secundariorespecto dun principal é: Il=1/Ip " 4/9"2 " 0.045.


! Fotografías da difracción por varias fendas

-Obsérvese como o factor interferencial FI é modulado sempre polo factordifraccional FD independente do número de fendas en virtude da propiedadede desprazamento dunha fenda sobre o seu plano.


! Redes 3D: os resultados anteriores de redes de difracción 2D, con emisoressituados periodicamente nun plano, pódense estender heuristicamente ó casode redes 3D, e dicir, con emisores ubicados no espazo

Difracción por medios cristalinos (3D): rede de átomos reemisores

Neste caso consideramos unha rede de atomos (reemisores) ubicados tridimen-sionalmente nunha rede cristalina, e do debuxo podemos xustificar a lei deBragg, é dicir:

#T = #i + #t = ko(#i + #t) = kod (&senuo + senu) = 2m" (34)

que non é máis que a lei de Bragg 16. Dado que teremos un padrón interferencialcuxas distancias entre máximos poderemos medir entón como consecuenciapoderemos extraer información da rede cristalina.

En xeral precisarase luz de alta frecuencia como os raios X con l.d.o. da ordede 0.1 nm, ou alternativamente raios de electróns case-monoenerxéticos.

16Para a súa deducción pódese ter en conta que cada átomo é un reemisor secundario(“buratiño”), e en cada plano (por exemplo vertical, ver debuxo) aplicaríamos o cálculodifractivo FI (interferencial en realidade) para z ,. Mesmo tamén se podería considerarun modelo de planos reflectores horizontais. Finalmente o termo ou factor difraccional FD

estaría determinado polos potenciais asociados aos átomos.


3.4. Propiedades Espectrais das Redes

! Anchura máximo principal: a efectos de análise espectral é convinteacha-la anchura dun máximo principal, e dicir, a distancia (fásica, angular elinear) entre dous mínimos. Dada a equidistancia entre os mínimos lateraisdun máximo principal calculamos sobre dun deles. A semianchura do máximoprincipal de orde m é ##1/2 = 2"/N (posición fásica do primeiro mínimo), logoa anchura total é:

## = 2 ##1/2 = 4"/N (35)-Nótese que ##1/2 diminúe consonte N medra. Denotando agora a semianchuraangular como #u1/2, e supoñendo, en boa aproximación, que é pequena (caso deinterés) ó redor dun máximo principal angular um, podemos escribir a anchuraangular como:

#u = 2#u1/2 "4"

kodN cosum" 4"

kodN

#1& m2!2

o

d2

$!1/2%%{um$1rad}" 4"

kodN(36)

-A anchura linear podemos obtela usando a distancia z =D ó plano de ob-servación (xm = tan um f), ou alternativamente a distancia focal z = f dunhalente, é dicir:

#x " 4"f

kodN cos2um" 4"f

kodN

#1& m2!2

o

d2

$!1%%{um$1rad}" 4"f

kodN(37)

! Poder Cromático de Resolución: escolleremos o criterio de Rayleighcomo criterio de resolución cromática de dúas l.d.o. moi pretas: !o e !o +#!, é dicir, dúas raias espectrais, da mesma orde, considéranse resoltas se aintensidade máxima dunha atópase sobre do mínimo da outra.

Tendo en conta que a lei de Braggdi que os máximos um verificand senum =m!o, entón unha varia-ción cromática #! producirá unhavariación da posición angular do má-ximo #uc, é dicir, se #uc ' u:

d sen(um + #uc) " m(!o + #!)* #uc "m#!

d cosum" {um '} " m#!

d(38)

Daquela baixo o criterio de Rayleigh dous máximos de igoal orde pero distintal.d.o. estarán resoltos se: #uc % #u1/2, polo que tendo en conta (36) e (38) ob-temos #!/!o % 1/mN . Daquela definimos o Poder Cromático de Resolución,de orde m, como: 17

P (m)CR =

!o

#!= mN (39)

17Por exemplo para $o = 5500 Å e $o + !$ = 5500.1Å están resoltas se mN " 55.000(situación máis desfavorable), onde se m = 2 precisamos N= 27.500 fendas ou buratiños.


Exercicios e Problemas

difracción de fraunhofer

Exerc.- 1 Sexa unha fonte case-lineal coherente de longura 2u na direcciónxo, e anchura 2b, emitindo con amplitude unidade nunha frecuencia central ,, eiluminando un Young situado a unha distancia L. As fendas están orientadas ólongo do eixo yo. Acha-la intensidade interferencial se L é suficientemente gran-de para que a aproximación de Fraunhofer sexa válida. Compara-lo resultadoco caso incoherente.

Exerc.- 2 Sexa unha pantalla iluminada de xeito normal por unha onda pla-na case-harmónica de l.d.o. !o e de amplitude 1V/m. Acha-la distribuciónde intensidade no plano focal dunha lente (difracción de campo lonxano oude Fraunhofer) se a función de transmisión da pantalla é: 2.1.-t(xo, yo) ={cos(2")xo), |xo| ! a, |yo| ! b ; 0, |xo| > a, |yo| > b}, onde ), a, b son cons-tantes. 2.2.-t(xo, yo) = {exp[&i2")(xo + yo)], co mesmo dominio que antes.

Exerc.- 3 Cal é o diámetro do primeiro mínimo de difracción da intensidadecorrespondente á imaxe, producida polo sistema ocular, dunha fonte luminosapuntual sita no infinito e case-harmónica de l.d.o. !o = 555 nm. Supóñase queo diámetro da pupila é de 4 mm, e que o ollo é equivalente a un dioptrio de22.4mm de focal, separado do baleiro por un medio cun índice de refracciónde n = 1.336.

Exerc.- 4 Desexamos deseña-la lente dunha cámara fotográfica para funcio-nar nun satélite posto nunha órbita circular a 300 km de altura da superficieterrestre. O requerimento é que a dita cámara resolva opticamente as luces dosfaros dun automóbil, separados aproximadamente 2 m, cando dito móbil estána vertical do satélite. Podemos supor, coma boa aproximación, que as lucesdo automóbil emiten nunha l.d.o. central de aproximadamente !o = 550 nm.4.1.-Acha-lo diámetro mínimo que pode te-la lente, segundo o criterio de Ray-leigh, para obte-la resolución óptica requerida. 4.2.-Se no plano focal da lentesituamos un conxunto de elementos fotorreceptores de 10 µm de lado, cal debese-lo valor mínimo da distancia focal para asegurarmos de que os centros dasfiguras de difracción, correspondentes a cada faro, non caerán sobre do mesmofotorreceptor cando a imaxe dos faros estea xustamente resolta.

Exerc.- 5 Sexa unha abertura en forma de anel delimitada polos radios a eb con a < b. Se dita abertura é iluminada de xeito normal cunha onda planacase-monocromática de amplitude unidade e l.d.o. !o. Acha-la distribución deintensidade no plano focal dunha lente de distancia focal f que recolle a luzxusto á saída da abertura.


Exerc.- 6 (H.7.77).-Sexa un buratiño circular de radio 1.25 mm feito nunhapantalla opaca e iluminado normalmente con ondas planas dun feixe láserde He-Ne (!o = 632.8 nm). ¿A que distancia, aproximada, debemos coloca-lapantalla para obter difracción de Fraunhofer sen usar ningunha lente?.

Exerc.- 7 (H.7.79).-¿Qué dependencia coa lonxitude de onda !o e coa áreaA dunha abertura rectangular ten o máximo de irradiancia do campo lonxanodifractado pola dita abertura?

Exerc.- 8 (H.7.82).-A luz procedente dun punto moi distante filtrase de talxeito que soamente a lonxitude de onda !o = 450 nm entra nunha lente colec-tora perfecta de distancia focal f = 225 mm. ¿Cal é o tamaño que debe te-lalente se a imaxe ten que ter unha mancha central de 1000 nm de diámetro?.

Exerc.- 9 (H.7.85).-Os dous faros dianteiros dun automóbil atópanse a unhadistancia de 43 pulgadas. ¿A qué distancia debe estar un observador para queas luces sexan case irresolubles (límite de resolución de Rayleigh)?. Supóñaseque !o = 550 nm e que o diámetro da pupila do ollo pola noite é aproximada-mente de 4 mm. (1 pulgada = 25.35 mm).

Exerc.- 10 (H.7.59).-Acha-lo campo difractado, na aproximación de Fraun-hofer, dunha fenda simple, de anchura 2a, iluminada cunha onda plana e case-monocromática de frecuencia ,, propagándose na dirección (1/2, 0,

-3/2) con

amplitude unidade.

Exerc.- 11 Acha-lo campo óptico, no plano focal dunha lente de focal f ,difractado por unha abertura iluminada de xeito normal cunha onda plana del.d.o. !o e amplitude unidade, coa seguinte función de transmisión: t(xo, yo) =cos3)xo, |xo| ! a, |yo| ! b; 0, se |xo| > a, |yo| > b, con a, b constantes.

Exerc.- 12 Sexan dúas aberturas idénticas de lados 2a e 2b trasladadas entresí e centradas nos puntos (0, 0) e (q = d, 0). Acha-la intensidade do campodifractado na rexión de Fraunhofer cando ditas aberturas son iluminadas porunha onda plana de amplitude unidade e frecuencia ,.

Exerc.- 13 Un feixe plano de luz de l.d.o. !o incide sobre dúas aberturascadradas de lado L, situadas nos puntos (a, b) e (&a,&b), e cos seus ladosparalelos entre sí. Diante dunha delas pomos unha lámina planoparalela de ín-dice 1.5 e espesor d=!o. Acha-la distribución de intensidade da luz difractada,na aproximación de Fraunhofer, nun plano situado a unha distancia z =D doplano das aberturas.


redes de difracción

Exerc.- 14 Sexa unha rede de largura total 5cm e separación entre fendasde 10!3 cm. Se incide un feixe case-monocromático de l.d.o. de !o = 589 nm,acha-lo poder de resolución e a dispersión angular na primeira orde.

Exerc.- 15 Sexa unha rede de transmisión de 400 l/mm (l/mm: liñas pormilímetro) sobre da cal incide un feixe colimado de l.d.o. central !o = 589 nmbaixo un ángulo de 30o coa normal á rede. Determina-lo ángulo co que sedifracta a primeira orde e a orde cero.

Exerc.- 16 Sexa unha rede de difracción de 4cm de largura total e 4000 liñas.Demostra se resolverá o dobrete de sodio coa primeira orde ( !o = 589 nm, !#o =589.6 nm). Por outra banda, ¿que ángulo subtenderá o máximo de segunda ordecorrespondente a !o = 500 nm?. ¿Para que l.d.o. o máximo de terceira ordesuperporase ó de cuarta orde de !o = 500 nm?.

Exerc.- 17 Sexa unha rede de difracción composta de N fendas, con N par,e separadas entre sí de xeito alternativo unhas distanzas d e d#. Acha-la inten-sidade no plano focal dunha lente sita detrás da rede, cando iluminamos estacun feixe colimado de luz incidindo de xeito normal. As fendas teñen ladosb, a, con a', é dicir, obvia-lo factor difractivo do campo óptico en z=f .

Exerc.- 18 Desexamos usar unha rede de difracción para resolver espectral-mente as liñas D dunha fonte de sodio (dobrete Stark de sodio) (ver Ex.16). Seo paso da rede é de 1 µm, determina-la separación angular entre os máximosde primeira orde para as devanditas liñas espectrais. Deduce cal é o mínimonúmero de fendas N da rede que se precisa así coma a orde m de difracción quepodería ser utilizada para resolve-lo dobrete, segundo o criterio de Rayleig.

Exerc.- 19 (H.7.57).-Sexa unha onda plana incidindo sobre dunha superficieplana baixo un ángulo *i. Considérese que unha liña de átomos situados ó longoda intersección da superficie co plano de incidencia constitúen unha fonte linealcoherente. Probar que o único máximo principal irradiado novamente polosátomos atoparase baixo un ángulo, respecto á normal á superficie, igual óincidente.

Exerc.- 20 (H.7.68).-¿Existe algún límite, e en caso afirmativo determinalo,para o número de máximos principais no padrón de campo lonxano, producidopola luz difractada polas N fendas dunha rede?.(H.7.71).-Demostrar que opoder de resolución cromática dunha rede non pode ser maior có valor: Nd/!o.

Apéndice A

Aspectos Radiométricos e Fotométricosi. Magnitudes Radiométricas e Fotométricas

ii. Fotometría e Visión

iii. Fotometría e Instrumentos

No libro de “Optica” de J. Casas pódense atopar desenvolvemen-tos amplos e didácticos sobre estos apartados, en particular, oapartado I encontrase nas seccións: 20.3, 20.4, 20.9, 29.10; o apar-tado II na sección: 20.12; e o apartado III nas seccións: 21.1, 21.2,21.3.

20

tema7 optica 2

Documents