tema2 probabilidades

Departamento de Estadística e InvestigaciónOperativa Aplicadas y Calidad.

Estadística. UPV

PROBABILIDADES.

Suitberto Cabrera García.

Estadística.


Estadística. UPV

Probabilidades.

1. Introducción.

2. Sucesos. Operaciones con sucesos.

3. Probabilidad. Concepto y propiedades.

4. Probabilidad condicional.

5. Teorema de la probabilidad total.

6. Independencia de sucesos.

7. Teorema de Bayes.


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1. Introducción

Comenzamos un Tema fundamental, por el uso y aplicación de los

conceptos que estudiaremos en la asignatura pero que va mas allá

de ello y va a una aplicación generalizada en todo los que nos

rodea.

Al terminar este Tema, se te propone que seas capaz de entender y

usar adecuadamente y con soltura los términos y conceptos que

vamos a estudiar y a aplicarlos en al solución de problemas.


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1. Introducción

1.- Introducción.

Estadística descriptiva.- Conjunto de técnicas que permiten

sintetizar y poner de manifiesto las características mas

relevantes de las pautas de variabilidad presentes en el

conjunto de datos observados.

Inferencia estadística.- análisis con el objetivo de obtener

conclusiones que sean válidas, con una razonable seguridad,

para la población de la cual han sido extraídos los datos.


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¿qué debe de entenderse bajo la expresión “una razonable

seguridad”?.

En nuestro ejemplo un 67 % de los alumnos encuestados (de un total

de 131) dieron un número impar cuando se les pidió que escribieran

un dígito al azar.

¿hasta que punto esta proporción tan alta es una casualidad?

¿puede por el contrario afirmarse con razonable seguridad que

existe en la población una tendencia a escoger preferentemente

números impares?

1. Introducción


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El proceso de razonamiento de la Inferencia Estadística exige el

recurso a Modelos Matemáticos.

Si asumimos que los datos observados (la muestra a analizar) han

sido extraídos al azar de la población estudiada, y asumiendo

también, que la pauta de variabilidad existente en dicha población

puede representarse adecuadamente mediante ciertos Modelos

Matemáticos, es posible calcular, las probabilidades asociadas a

datos como los obtenidos en la muestra.

Estas probabilidades permiten precisar la verosimilitud de las

hipótesis avanzadas con relación a la población.

1. Introducción


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El cálculo de probabilidades constituye el modelo matemático

básico sobre el que se construye la Inferencia Estadística.

En la presente unidad se introducen los elementos básicos del

Calculo de Probabilidades: los conceptos de suceso y de

probabilidad, las propiedades de esta, los conceptos de probabilidad

condicional y de independencia de sucesos y el Teorema de Bayes.

1. Introducción


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Autoevaluación: La ruleta de un casino tiene 18 números rojos y 18

números negros. Una persona que va a jugar a un color constata

que en las ultimas 9 tiradas ha salido un número rojo. ¿a qué color

es razonable que apueste en la siguiente tirada?:

a.- al negro.

b.- al rojo.

c.- es indiferente.

1. Introducción


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Sabemos los conceptos de población y de variable aleatoria.

E conjunto de valores que puede tomar una determinada variable

aleatoria.

A cualquier subconjunto A de E se le denomina Suceso.

Ejemplo: población jóvenes españoles

variable aleatoria: estatura.

E conjunto de números reales.

Un suceso podría definirse como “estatura mayor que 180 cm”

y le correspondería en E el subconjunto A de jóvenes de estatura

superior a 180 cm.



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Suceso seguro: será aquel asociado a E que es un subconjunto de si

mismo, al mismo se le asocia la totalidad de la población, o lo que es

lo mismo, para todos los individuos de la población se verifica dicho

suceso.

Suceso imposible: ¿ ?

Aquel suceso asociado al subconjunto vacío Φ de E. Como no contiene

ninguno de los valores de E no existirá individuo alguno en la

población para el que se verifique dicho suceso imposible Φ.



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Dado dos sucesos se denomina suma o reunión de ambos a un nuevo

suceso que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos

sucesos

C= A + B

Dado dos sucesos se denomina producto o intersección de ambos a un

nuevo suceso que se verifica si, y sólo si, se presentan tanto uno como

el otro de los sucesos

C= A.B

Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible se dice que son

excluyentes.

Se denomina suceso contrario a uno dado a aquél que se verifica si, y

sólo si, no se verifica este último. Y lo denominaremos Ā.



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3.- Probabilidad. Concepto y propiedades.

Concepto de Probabilidad.

A todo suceso se le puede asociar un número entre 0 y 1 al que se

denomina probabilidad.

Intuitivamente la probabilidad de un suceso no es mas que la

proporción de individuos de la población considerada en los que se

verifica dicho suceso.

Si el conjunto de valores que puede tomar la VA es finito y además

puede considerarse por razones de simetría que la probabilidad es la

misma para cada uno de los valores, la probabilidad de un suceso

resulta coincidir con el cociente entre el número de valores favorables

a dicho suceso y el número de valores posibles.

Si un dado es simétrico ¿cuál es la probabilidad de obtener número par

al lanzarlo? ¿ Por qué?



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Propiedades de la Probabilidad.

La probabilidad de un suceso asociado a un conjunto A la expresaremos

como P(A).

1.- P(A) ≥ 0

2.- P(E) = 1 puesto que el suceso seguro se verifica en toda la población.

3.- Si A y B son sucesos excluyentes P(A+B)= P(A) + P(B)

4.- P(Ā) = 1- P(A)

5.- P(A) ≤ 1.

6.- P(Φ) = 0



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Probabilidad de la suma de sucesos.

Hemos visto que si dos sucesos A y B son excluyentes se cumple queP(A+B) = P(A) + P(B)

¿Qué sucede si A y B no son excluyentes?

A B

ĀB AB ĀB

(A + B) = A + ĀB donde A y ĀB son sucesos disjuntos:

P(A+B) = P(A) + P(ĀB) (1)

B = AB + ĀB P(B) =P( AB) +P( ĀB) (2)

de (1) y (2)

P(A+B) = P(A) + P(B) - P( AB)



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Probabilidad condicional.

Dados dos sucesos A y B, se define intuitivamente el concepto de

probabilidad condicional de A dado B, y se simboliza como P(A/B), a

la probabilidad de que se haya presentado el suceso A sabiendo que se

ha presentado el suceso B.

P(A/B) sería por tanto la proporción de individuos que verifican el

suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que

verifican el suceso B. De forma equivalente P(A/B) sería el cociente

entre el número de individuos que verifican tanto A como B ( o sea

que verifican AB) dividido por el número de individuos que verifican

B.

P(A/B) = P(AB) / P(B)



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En la población de 131 estudiantes de la encuesta curso8990.sf3

¿Cuál es en dicha población la probabilidad del suceso CHICA?

¿Cuál es la probabilidad del suceso PESO ≤ 55?

¿Cuál es la probabilidad del suceso( PESO ≤ 55) /CHICA?

¿Cuál es la probabilidad del suceso CHICA/( PESO ≤ 55)?

Al seleccionar un individuo al azar de los 131 encuestados ¿cuál es laprobabilidad de que sea una chica de peso ≤ que 55 kgs? ¿resulta igualal producto de la probabilidad de que sea chica por la probabilidad deque el peso sea ≤ 0 55?



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Probabilidad del suceso producto:

P(AB) = P(B) P(A/B)

P(AB) = P(A) P(B/A)

en el caso de la suma la formula general

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) se simplificaba a la probabilidad de la

suma en un caso particular: si los sucesos considerados eran

excluyentes.

En el producto P(AB) = P(B) P(A/B) se simplifica (probabilidad del

producto es igual al producto de las probabilidades cuando los sucesos

son independientes



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Teorema de la probabilidad total.

Sea un suceso B que se presenta siempre asociado a uno de los n sucesos

A1, A2,…..An mutuamente excluyentes en que se particiona E. Si se

conocen las probabilidades P(Ai) es posible calcular P(B):

B = EB = (A1+A2+..…+An)B=A1 B+A2B+..…+AnB

y como los suceso AiB son mutuamente excluyentes al serlo los sucesos Ai:

P(B) = P(A1B)+P(A2B)+..…+P(AnB)= P(A1)P(B/A1)+……..P(An)P(B/An)

Teorema de la Probabilidad Total

5.Teorema de la probabilidad total.


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Independencia de sucesos.

Dos sucesos A y B son independientes si se verifica una cualquiera, y

por lo tanto las ocho, de las siguientes condiciones equivalentes:

1.- P(A/B) = P(A).

2.- P(A/B) = P(A/¯B)

3.- P(B/A) = P(B).

4.- P(B/A) = P(B/Ā).

5.- P(AB) = P(A) P(B).

6.- P(¯A¯B) = P(Ā) P(¯B).

7.- P(¯A¯B) = P(Ā) P(B).

8.- P(¯A¯B) = P(A) P(¯B).

6. Independencia de sucesos.


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Teorema de Bayes.

Se presentan a veces situaciones en que E esta particionado en n

sucesos A1, A2,…..An mutuamente excluyentes conociendose las

probabilidades P(Ai), que obviamente deben sumar 1. Se conocen

también las probabilidades condicionales P(B/Ai) de cierto suceso

condicionado a cada uno de los Ai, y se desea finalmente obtener la

probabilidad P(Ak/B) de uno de los sucesos Ak sabiendo que se ha

presentado B.

El 30% de los enfermos de hepatitis que ingresan en un hospital tienen

hepatitis obstructiva que exige una intervención quirúrgica, mientras

que el otro 70% tiene hepatitis infecciosa que puede curarse con

reposos y medicación (Estos serian A1 y A2) en los que se particiona

toda la población). Para saberlo se realiza una determinada prueba

clínica que puede dar positiva (este sería el suceso B).



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Se sabe que la probabilidad de que la prueba resulte positiva es 0.95

cuando los enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0.10 cuando la

tienen infecciosa (estas serían las probabilidades condicionales

P(B/Ai). Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva ¿cuál

es la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva? O

sea, cuanto vale P(A1/B)

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes

(1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez

primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir

de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas

probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.



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P(Ak/B)= P(Ak/B) /P(B)= P(Ak)P(B/ Ak) / P(B)

y sustituyendo en el denominador la expresión obtenida del Teorema

de la Probabilidad Total:

P(Ak/B)= P(Ak)P(B/ Ak) / P(Ai)P(B/ Ai)



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Conclusiones.

Hemos aprendido y estamos listos para incorporar a nuestro quehacer

profesional conceptos muy importantes relacionados con: Sucesos y

Operaciones con suceso; Probabilidad y Probabilidad condicional e

Independencia de sucesos.

Hemos conocido e interpretado adecuadamente los Teorema de la

probabilidad total y el Teorema de Bayes y lo que es mas importante

debes de saber solucionar problemas donde se apliquen.


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Fuentes:

1. Rafael Romero Villafranca, Luisa Zuñica Ramajo. ”Introducción a laEstadística”. Valencia. Editorial UPV , 2007.2. Nieves Martínez Alzamora, Gonzalo Clemente Marín , José Sanz Juan“Métodos estadísticos en la ingeniería”. Valencia : Editorial UPV , 2010.3. Nieves Martínez Alzamora, Susana San Matías Izquierdo, SuitbertoCabrera García. “Prácticas con Statgraphics”. Universidad Politécnica deValencia Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas yCalidad. Valencia. Editorial UPV, 2010.4. Material docente elaborado por el colectivo de profesores delDepartamento de Estadística Investigación Operativa Aplicadas y Calidad de laUPV que imparte la asignatura en la Escuela Superior de Diseño de la UPV.

Algunos derechos reservados:creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es


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