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FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACH___________________________________________ IES EL PARADOR

Referencia bibliográfica: Fís y Quím 1º de Bachillerato (Jaime Carrascosa y otros)

TEMA1

CINEMÁTICA

EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

La importancia que tiene el estudio del movimiento de los cuerpos radica en que los

orígenes de la Física pueden situarse en las investigaciones que algunos científicos

como Galileo y Newton realizaron en este campo en el siglo XVII. De esta manera,

asociado al estudio del movimiento de los cuerpos se encuentra el desarrollo de unos

procedimientos que dieron lugar a lo que hoy llamamos metodología científica. Basados

en esta metodología se desarrollan desde hace 300 años los trabajos de investigación

que han supuesto un desarrollo sin precedentes para la humanidad. Ya en 4º de ESO

empezásteis a estudiar el movimiento con cierta precisión haciendo uso del lenguaje

matemático. Este curso profundizaremos un poco más en este estudio.

Son muchas las situaciones concretas en las que puede tener interés estudiar el

movimiento de un cuerpo: prácticas deportivas (carreras de atletismo, tiro con arco,

paracaidismo, voleibol, etc.), medios de transporte (movimiento de trenes, aviones,

coches, etc.), puesta en órbita de satélites artificiales, movimiento de planetas,

desplazamiento de un huracán, lanzamiento de proyectiles, etc.

En este primer tema estudiaremos CINEMÁTICA, es decir, que nos ocuparemos de

describir algunos movimientos de interés. Y para ello disponemos de una serie de

magnitudes cinemáticas que nos permiten realizar tal descripción: posición, velocidad,

aceleración, tiempo, distancia recorrida, etc. Conviene recordar que no existe una

descripción absoluta de ningún movimiento, sino que depende del observador que lo

describa. Es por ello por lo que necesitamos siempre elegir un sistema de referencia

determinado en base al cual vayamos a describir el movimiento en cuestión. Además,

consideraremos los cuerpos como puntos materiales en los que toda su masa reside en

un solo punto, lo que supone una simplificación necesaria para poder abordar sin

demasiadas complicaciones el estudio del movimiento de los cuerpos. Así, en el futuro

se podrán abordar problemas más reales y complejos al suponer los cuerpos como

cuerpos extensos.

Comenzaremos estudiando el movimiento de cuerpos que lo hacen sobre una trayectoria

conocida de antemano, abordando con un poco más de profundidad situaciones ya

estudiadas en el curso pasado. Seguidamente abordaremos el estudio del movimiento de

cuerpos que lo hacen sobre una trayectoria que no conocemos de antemano, para lo cuál

tendremos que introducir nuevas magnitudes.



DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

CUANDO LA TRAYECTORIA SE CONOCE DE ANTEMANO

Existen movimientos cuya trayectoria conocemos de antemano con total precisión: el

movimiento curvilíneo de un tren por las vías, el movimiento curvilíneo de un coche por

la carretera, el movimiento rectilíneo de caída libre de una piedra, el movimiento

circular de un plante en torno al Sol, etc. Describir este tipo de movimientos es más

sencillo que describir aquellos cuya trayectoria no conocemos de antemano (y de los

que nos ocuparemos más tarde). Las herramientas necesarias para describir los

movimientos son: las magnitudes cinemáticas, las ecuaciones del movimiento y las

gráficas del movimiento.

Las magnitudes cinemáticas útiles para describir los movimientos cuya trayectoria se

conoce de antemano, y con las que trabajasteis ya el curso pasado, son: posición,

desplazamiento, distancia recorrida, tiempo, intervalo de tiempo, velocidad y rapidez,

aceleración sobre la trayectoria (atg). No hay que olvidar que no existe una única

descripción de un movimiento, pues todo depende del observador; así pues, es necesario

establecer previamente un origen de referencia y un criterio de signos.

Actividad

Dejamos caer una bola desde lo alto de un tobogán de 20 m de longitud y observamos

que impacta con el agua al cabo de los 10 segundos con una rapidez de 15 m/s:

a) Escoge un sistema de referencia y un criterio de signos apropiado

b) ¿Cuál es la posición inicial de la bola? ¿Y su posición final?

c) ¿Cuál ha sido su desplazamiento? ¿Qué distancia ha recorrido?

d) ¿Qué intervalo de tiempo ha transcurrido?

e) ¿Cuál ha sido su velocidad media? ¿Y su rapidez media?

f) ¿Cuál ha sido su velocidad en el instante inicial? ¿Y en el final?

g) ¿Qué velocidad llevará al cabo de los 2,5 segundos?

h) ¿Cuál ha sido su aceleración media sobre la trayectoria (tangencial)?

i) ¿Llevará la misma aceleración en todo momento?

Aunque conozcamos la trayectoria de antemano, es importante destacar el carácter

vectorial que tienen la velocidad y de la aceleración. La velocidad la podemos

representar como un vector cuya dirección es siempre tangente a la trayectoria en cada

punto, su sentido indica el sentido del movimiento, y su módulo representa la rapidez

con la que se mueve el objeto. Por tanto, cuando cambia la velocidad de un cuerpo

puede ser porque cambie su módulo (rapidez), porque cambie su dirección o porque

cambien los dos a la vez. Consecuentemente, si la aceleración indica el ritmo al que



cambia la velocidad, ésta presenta dos

componentes muy útiles: la

aceleración tangencial (atg), que

representa el ritmo al que cambia el

módulo de la velocidad (su rapidez), y

que es un vector siempre tangente a la

trayectoria; y la aceleración normal

(an), que representa el ritmo al que

cambia la dirección del movimiento, y

que es un vector siempre normal a la

trayectoria (perpendicular a la

tangente).

(Con la presentación de diapositivas que pondrá el profesor te enterarás mejor).

Además de estas magnitudes, resultan muy útiles las ecuaciones del movimiento para

poder predecir dónde estará y lo rápidamente que se moverá un cuerpo en un cierto

instante. Estas ecuaciones permiten conocer cómo dependen la posición y la velocidad

de la variable tiempo. El curso pasado utilizásteis dichas ecuaciones para dos

movimientos muy particulares: el m.u. y el m.u.a. Pero no sólo las ecuaciones del

movimiento son una herramienta útil para su estudio, sino también las gráficas del

movimiento: e-t y v-t.

Cuestión 1

Una moto que circula a 72 km/h por una carretera curvilínea pasa en un instante dado

por delante de una señal que indica “gasolinera a 1500 m”. Dos segundos más tarde

pasa un coche por esa gasolinera en sentido contrario a la moto y con una velocidad

constante de 108 km/h. Se pide:

a) Después de escribir las ecuaciones del movimiento para ambos móviles, representa

en una sola gráfica e-t el movimiento de la moto y del coche entre t=0s y t=40s.

b) Determina a qué distancia de la señal se cruzan ambos vehículos.

(Rdo. Se cruzan a 624 m de la señal)

Cuestión 2

Analiza detalladamente la siguiente gráfica

dando toda la información que seas capaz de

extraer de la misma. A continuación, construye

la gráfica v-t a partir de los datos suministrados.

MOVIMIENTO

UNIFORMEMENTE ACELERADO

2

0 0

1

2e e v t at 0v v at

e(m)

t(s)

10

2 8 12

MOVIMIENTO

UNIFORME

0 0e e v t



Cuestión 3

Un coche que va a 108 km/h frena con una aceleración constante hasta conseguir

reducir su rapidez a la mitad en 5 s para luego continuar con esa rapidez durante 5 s

más. Tomando como origen de espacios y de tiempos la posición y el instante en que

comenzó a frenar, se pide:

a) Sin realizar ningún cálculo, dibujad una posible trayectoria señalando en ella la

posición del coche mediante cruces a intervalos de 1 s desde t = 0 hasta t = 10 s.

b) Escribid las ecuaciones "v" y de "e" en función del tiempo, mientras frena

c) Escribid las ecuaciones de v y de e en función del tiempo después de la frenada

d) Representad v-t y e-t desde t = 0 hasta t = 10 s

e) Calculad la distancia total recorrida por el coche a los 10 segundos

(Rdo. d) 187'5 m)

Cuestión 4

En las dos gráficas siguientes se

representa el movimiento de dos

móviles que en el instante inicial

t=0, se encontraban en la posición

e=0 m. Interpretad cada uno de los

movimientos representados y, a

continuación, proceded a construir

la gráfica e(t) de cada uno de ellos.

Cuestión 5

Un objeto se mueve de forma que su posición sobre la trayectoria viene dada por la

expresión: e = 25 + 40t -5t2 m. Se pide:

a) Extraed toda la información posible sobre el movimiento: tipo de movimiento,

valores de la rapidez y de la posición en el instante inicial (v0 y e0), la aceleración

sobre la trayectoria atg, el sentido en que se mueve y la ecuación de su rapidez en

función del tiempo v(t).

b) Calculad dónde estará y con qué rapidez se moverá en el instante t=5s. ¿Qué

distancia total habrá recorrido el móvil en esos 5 segundos?

(Rdo. e5 = 100 m; v5 = 10 m/s; d = 85 m)

Problema 1

Una moto va a 100 km/h por la ciudad cuando su conductor frena (con aceleración

constante) para no atropellar a una persona que se encontraba a 25 m de distancia,

parando en 4 s. Determina la distancia recorrida durante la frenada e indica si

consiguió parar a tiempo de evitar el accidente.

(Rdo. 0

2

fv td ; No para a tiempo porque recorre 55,6 m)

Problema 2

Un cierto tipo de avión necesita alcanzar una velocidad mínima de 288 km/h para

comenzar a elevarse. Dicho avión tiene unos motores capaces de proporcionarle una

aceleración máxima de 5 m/s2. ¿Cuál será la longitud mínima que deberá tener la

pista?

(Rdo.

2

,640

2

f mín

mín

máx

vL m

a )



EL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE

Cuando un cuerpo se mueve libremente en

dirección vertical (sube o baja sometido sólo

a la acción de la gravedad) podemos

comprobar experimentalmente que, siempre

que se encuentre a alturas no muy grandes, el

movimiento es uniformemente acelerado y

que el valor de la aceleración sobre la

trayectoria (9’8 m/s2) es común para todos

los cuerpos sea cual sea su masa. De acuerdo

con ello, siempre que el rozamiento con el

aire sea o se pueda considerar despreciable,

todos los cuerpos que se dejen caer desde la

misma altura llegarán al suelo en el mismo

tiempo.

Al tratarse de una trayectoria rectilínea podemos considerarla conocida de antemano,

por lo que podemos describir el movimiento con las magnitudes e, v y atg. Debemos

escoger un punto de la trayectoria como origen de referencia y un criterio de signos. La

aceleración de la gravedad se simboliza mediante la letra g, con lo que las ecuaciones de

este tipo de movimiento serán:

2

0 0

1

2e e v t gt 0v v gt

(El signo de la aceleración será positivo o negativo

dependiendo del criterio de signos escogido en cada caso)

Problema 3

Se lanza un cuerpo hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. ¿Qué altura alcanzará?

(Rdo. 2

0 1252

vh m

g )

Problema 4

Desde un globo que está ascendiendo a 5 m/s se suelta un saco de lastre en el instante

en que se encuentra a 100 m de altura. Despreciando el rozamiento con el aire,

calculad con qué rapidez chocará el saco contra el suelo y expresad el resultado en

km/h.

(Rdo. 2

0 02 160,4 /fv v gh km h )

Problema 5

Desde la boca de un pozo de 20 m de profundidad, se lanza verticalmente y hacia

arriba una piedra con rapidez de 10 m/s. Determinad con qué rapidez chocará contra

el fondo.

(Rdo. 2

0 2 22,2 /fv v gh m s , donde h es la profundidad del pozo)



Problema 6

Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una cierta rapidez

inicial v0, comprobándose que éste tarda 4 s en alcanzar la altura máxima. Se pide:

a) Valor de dicha altura máxima.

b) ¿A qué altura máxima habría llegado y cuánto tiempo habría tardado si se hubiera

lanzado con el doble de rapidez inicial?

(Rdo. a)

2

78,42

fgth m . b) Hubiese llegado a 313,6 m de altura en 8 s)

Problema 7

Desde lo alto de una torre de 62’5 m se deja caer una piedra. Se pide:

a) Determinad las ecuaciones del movimiento y a partir de ellas construid las gráficas

v-t y e-t desde que se deja caer la piedra hasta el instante en que choca contra el suelo.

b) Mediante las dos gráficas anteriores, obtened cuál será la rapidez de la piedra en el

momento en que pasa justo por la mitad de la torre. Comprobad la validez del

resultado obtenido, utilizando para ello sólo las ecuaciones del movimiento.

(Rdo. b) /2 24,75 /hv gh m s )

EL MOVIMIENTO CIRCULAR Y UNIFORME

Entre los casos de movimientos en los que la trayectoria se conoce de antemano, en la

naturaleza es particularmente importante el caso del movimiento circular uniforme. Éste

es el caso, al menos de forma aproximada, del movimiento de los planetas en torno al

Sol, o el de la Luna en torno a la Tierra, o el de los electrones en torno al núcleo de los

átomos, etc.

Cuando hablamos de un movimiento circular estamos suponiendo que conocemos la

trayectoria de antemano, así que podemos describir el movimiento sobre la trayectoria

sin más que fijar un origen de referencia sobre esa trayectoria y un criterio de signos.

Bastaría luego con conocer los valores de la posición e sobre la trayectoria en cada

instante de tiempo.

El caso particular que nos ocupa, el del movimiento

circular uniforme (mcu), se caracteriza por tener una

velocidad constante. En este caso, la ecuación del

movimiento correspondiente resulta ser 0e e v t .

Además, existen otras dos características muy

importantes de un movimiento circular uniforme que

son, en definitiva, las que lo determinan con mayor

simplicidad: por un lado, el radio r de la circunferencia

que describe el móvil y, por otro, el tiempo que tarda en

dar una vuelta completa, es decir, el período T.

La expresión para la velocidad de un mcu cuyo radio sea r y cuyo período sea T puede

expresarse como:

2e rv

t T

2 r

vT

v

r

v



Cuestión 6

El movimiento que describe cada planeta alrededor del Sol es un movimiento plano

que, como muy buena aproximación, lo podemos considerar como un mcu.

a) A partir de los datos de la tabla siguiente trata de completar el resto de la tabla.

b) Compara luego los resultados entre unos planetas y otros y trata de sacar alguna

conclusión.

Planeta Distancia media al Sol

(106 km)

Período

(años)

Velocidad

(km/h) (km/s)

Mercurio 57,9 0,24

Venus 108,2 0,62

Tierra 149,6 1,00 107.229 29,8

Marte 227,9 1,88

Júpiter 778,3 11,86

Saturno 1.429,4 29,42

Urano 2.875,0 83,75

Neptuno 4.504,4 163,72

Cuestión 7

El movimiento que describe la Luna alrededor de La Tierra es también un movimiento

que, como muy buena aproximación, lo podemos considerar también como un mcu.

a) A partir de los datos de la tabla siguiente trata de completar el resto de la tabla. b) Si la Luna está mucho más cerca de la Tierra de lo que está Mercurio del Sol, ¿por qué crees

que no se mueve con mayor rapidez que éste?

Satélite Distancia media a la

Tierra (106 km)

Período

(días)

Velocidad

(km/h) (km/s)

Luna 0,4 28

Cuestión 8

En el modelo atómico de Rutherford, el movimiento que describe un electrón alrededor

del núcleo de un átomo puede considerarse también como un mcu. En el caso del átomo

de hidrógeno, el electrón gira en torno al protón a una distancia de 0,5 A (1A=1010

m)

y con una velocidad de unos 2.200 km/s. Determina el período de su movimiento.

¿Sabrías calcular el número de vueltas que da en 1 segundo?

Para movimientos periódicos (como es el mcu) cuyo período sea muy pequeño la misma

posición se repite muy frecuentemente. En estos casos conviene introducir una nueva

magnitud que llamamos, precisamente, frecuencia f del movimiento. Si el período

representa el tiempo que se tarda en dar una vuelta, la frecuencia representa lo contrario,

es decir, el número de vueltas que se producen en cada segundo, y su unidad es el

hertzio (1Hz=1s-1

). Por tanto:

1f

T

Cuestión 9

Determina en Hz la frecuencia de Mercurio, La Tierra y Plutón a partir de los datos de

la tabla de la cuestión 6. ¿Cuál de las dos magnitudes, T ó f, te parece más apropiada

para caracterizar el movimiento circular de los planetas? ¿Y para caracterizar el

movimiento circular de los electrones?



Hasta ahora hemos hablado del movimiento circular que describen algunos cuerpos en

torno a un punto central en el que se sitúa otro cuerpo diferente: un planeta en torno al

Sol, la Luna en torno a la Tierra, un electrón en torno a un núcleo, etc. Pero imaginemos

ahora el movimiento circular que describen los diferentes puntos de un cuerpo que gira

en torno a un eje que lo atraviesa. Por ejemplo, el movimiento circular que cada uno de

nosotros describimos diariamente en torno al eje de rotación de la Tierra, o el

movimiento circular que describe cada uno de los puntos de un CD, o el movimiento

circular que describe cada estrella de una galaxia espiral en torno al eje de rotación de la

galaxia, etc.

En estos casos, un punto que esté más alejado del

eje de giro se mueve con mayor velocidad que otro

situado más cerca, pues el primero recorrerá un

arco de circunferencia de mayor longitud en el

mismo intervalo de tiempo. Sin embargo, todos los

puntos barren el mismo ángulo en el mismo

intervalo de tiempo, razón por la cual resulta

cómodo introducir magnitudes relacionadas con el

ángulo barrido, pues así el movimiento de todos los

puntos podrá ser descrito con una única ecuación

que considere ángulos en vez de distancias. Pero no

debes de preocuparte por tener que asimilar más

conceptos, ya que todo ello va encaminado a

facilitar enormemente la descripción de estos

movimientos que tan importantes resultan en la naturaleza.

Magnitudes angulares útiles para describir el mcu

En el estudio del movimiento circular, la posición del

móvil se expresa mediante la posición angular , es

decir, mediante el ángulo formado por un radio que

se toma como origen de ángulos y el radio que señala

la posición del móvil en el instante considerado.

Además, se establece también un criterio de signos

para ángulos positivos y negativos. En cuanto al

cambio de posición ocurrido en un determinado

intervalo, se expresa como el desplazamiento angular

. El ritmo al que cambia la posición angular con el

tiempo se expresa mediante la velocidad angular ,

definida como:

0

0

( )

( )

f

ft t t

De ahí, se deduce fácilmente que para cualquier instante de tiempo t:

0 t

ROTACIÓN DE LA TIERRA

r

R

0

f=0



La siguiente tabla resume las magnitudes que se utilizan para describir el movimiento

circular uniforme, y en ella se puede apreciar claramente la correspondencia existente

entre las magnitudes angulares y las lineales:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Radio r Período T Frecuencia f

Magnitudes lineales

Velocidad v=cte

Posición e=e0+v·t

Desplazamiento e

Magnitudes angulares

Velocidad angular =cte

Posición angular =0+·t

Desplazamiento angular

Relación entre las magnitudes lineales y las angulares

Tanto la posición angular como el desplazamiento angular podrían medirse en grados,

pero es más conveniente hacerlo en radianes porque así es muy sencillo relacionar las

magnitudes lineales (e, v) con las angulares (, ).

Un radián es la unidad internacional que se utiliza para expresar

la medida de un ángulo, y corresponde al ángulo tal que la

longitud del arco que abarca mide lo mismo que el radio que lo

describe (ver figura de la derecha).

Para averiguar entonces cuántos

radianes miden cualquier ángulo

como el de la figura de la izquierda tendríamos que saber

cuántas veces contiene la longitud del arco e al radio r.

Es decir: e

r

Cuestión 10

Determina a cuántos radianes equivalen los siguientes

ángulos expresados en grados: 360º, 180º, 90º, 60º, 45º.

A partir de aquí, es fácil determinar las expresiones que nos permiten relacionar las

magnitudes lineales con las angulares:

e r e r

v rt t

v r

Por otro lado, la expresión que nos permite relacionar la velocidad angular con el

período T o con la frecuencia f vendrá dada por:

22 f

t T

2

2 fT

e

r



Se puede ver fácilmente que si el desplazamiento angular lo expresamos en radianes, la

velocidad angular se expresará en rad/seg.

Finalmente, cabe destacar que si en un mcu la rapidez no cambia, no habrá entonces

aceleración tangencial (atg=0). Sin embargo, la dirección del vector velocidad sí que

cambia, y lo hace siempre al mismo ritmo. Por tanto, existirá una aceleración normal

cuyo valor será constante y que será mayor cuanto más rápido se mueva el cuerpo y

cuanto más cerrada sea la curvatura, es decir, cuanto menor sea el radio de la

circunferencia. Se puede demostrar (y no lo vamos a hacer en este año), que para todo

mcu la aceleración normal toma la siguiente expresión (que nos va a acompañar ya el

resto del curso): 2

n

va

r

Problema 8

a) Hallar la frecuencia del movimiento, la velocidad lineal y la velocidad angular de un

punto del Ecuador terrestre sabiendo que el radio de la Tierra es aproximadamente de

6.380 km.

b) Repite el ejercicio anterior, pero ahora para un punto situado en el Trópico de

Cáncer.

c) Repite el ejercicio anterior, pero ahora para un punto situado en el Polo Norte.

d) Calcula, en cada uno de los tres casos anteriores, el desplazamiento lineal y el

desplazamiento angular (en radianes y en grados) sufrido en el intervalo de una hora.

Problema 9

La Luna siempre ofrece la misma cara a la Tierra debido a que su período de rotación

se ha igualado a su período de traslación. Determina la velocidad angular con la que

gira cualquier punto situado sobre la superficie de la Luna. ¿Cómo será la velocidad

angular de otro punto situado en el interior del satélite terrestre, mayor o menor que la

anterior?

Problema 10

Otra unidad que se utiliza mucho para expresar la velocidad angular es la de

revoluciones por minuto (rpm). Una lavadora, por ejemplo, puede centrifugar a 500

rpm, mientras que un taladro puede trabajar a unas 2.500 rpm. Explica el significado

de esos datos técnicos y determina a continuación la frecuencia de trabajo (en Hz) y la

velocidad angular (en rad/s) de las dos máquinas anteriores.

Problema 11

Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con MCU de 384.000 km de radio

y sabiendo que emplea 27’3 días en dar una vuelta completa en torno a nosotros, se

pide: a) Rapidez angular de la Luna en rad/s y rapidez lineal en km/h; b) Distancia en

km que recorre la Luna cada día; c) Aceleración normal de la Luna en m/s2, tratando

de explicar por qué sale un valor tan bajo.

(Rdo: a) w=2'7·106

rad/s, v=3.682'5 km/h; b) d=88.378'9 km; c) an=0,0027 m/s2)



DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

CUANDO LA TRAYECTORIA NO SE CONOCE DE ANTEMANO

Cuando la trayectoria no se conoce de antemano con exactitud no podemos describir el

movimiento a partir de la posición e que ocupa el móvil con respecto a un origen de

referencia y medida sobre la trayectoria. Es por ello que necesitamos introducir otras

magnitudes cinemáticas relacionadas con la posición y que sean útiles a la hora de

describir el movimiento. El único movimiento que nos vamos a encontrar de estas

características a lo largo de este curso de Física y Química es el movimiento parabólico

que describe un objeto lanzado no verticalmente en las cercanías de la superficie

terrestre. Si te fijas en las siguientes imágenes puedes comprobar que todos ellos

transcurren en un solo plano, es decir, que son movimientos en dos dimensiones.

Cuando despreciamos el rozamiento con el aire, de manera que sólo haya movimiento

bajo la influencia de la gravedad terrestre, sabemos que la trayectoria de todos estos

cuerpos tiene forma de parábola, pero no exactamente qué parábola (por eso no

conocemos con exactitud la trayectoria de antemano).

Si hacemos un estudio detallado del

movimiento de la bala de la figura de la

derecha podemos observar que la

distancia que recorre en cada segundo

en la dirección horizontal es siempre la

misma, por lo que se trata de un

movimiento uniforme. Sin embargo, en

la dirección vertical cada segundo que

pasa recorre más distancia, tratándose

de un movimiento uniformemente

acelerado exactamente igual que el de

caída libre. Como ya sabemos analizar

cada uno de ellos, cabe esperar que sea

más sencillo abordar dos problemas

simples por separado (un mu en la horizontal y un mua en la vertical) que no un

problema sólo pero más complejo. Esa es la clave para abordar el estudio de los



movimientos cuya trayectoria no conocemos de antemano (siempre y cuando sepamos

analizar el movimiento en cada dirección por separado).

Así pues, escogiendo un origen de referencia adecuado en común para las dos

direcciones y estableciendo el criterio de signos apropiado para cada dirección podemos

escribir las ecuaciones del movimiento para cada una de ellas por separado:

Las tres ecuaciones recuadradas son las herramientas de las que dispondremos para

resolver cualquier problema relacionado con el movimiento parabólico. Si te das cuenta,

en la caída libre disponíamos sólo de dos ecuaciones (una para la posición y otra para la

velocidad). Así pues, no es más complicado resolver este tipo de problemas. Tan sólo

hay que saber escribir bien las ecuaciones para cada caso e identificar los datos

apropiados.

Una forma muy habitual de expresar las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y

aceleración) en estos casos es haciendo uso del lenguaje vectorial, pero tampoco es

imprescindible. Se trata de expresar las componentes de cada magnitud como pares

ordenados, de la misma manera que se hace con los vectores:

Vector de posición

2

0 0 0 0

1( , ) ( , )

2x yr x y x v t y v t gt

Vector velocidad

0( , ) ( , )x y x yv v v v v gt

Vector aceleración

( , ) (0, )x ya a a g

Sólo hay una magnitud que relaciona ambos movimientos: se trata del tiempo.

Consideramos siempre el mismo instante inicial t0=0 para ambos movimientos, de

forma que el tiempo transcurrido en una dirección debe de ser el mismo que el

transcurrido en la otra.

Dirección horizontal

Eje x

mu

0xa

0x xv v cte

0 0xx x v t

Dirección vertical

Eje y

mua

ya g cte

0y yv v gt

2

0 0

1

2yy y v t gt

x

y

x

y

a

v

r



@ En el siguiente enlace puedes visualizar muy bien con una animación el

movimiento parabólico y la evolución de las magnitudes cinemáticas que lo

gobiernan. También puedes encontrar el enlace en mi blog.

http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm

En los casos en los que no conocemos la trayectoria de antemano no tiene sentido

trabajar con las componentes intrínsecas de la aceleración (atg y an) ya que, al no

conocer la trayectoria, no sabemos en cada momento cuál es la componente tangencial

ni cuál la normal. Es por ello que solemos trabajar con las componentes cartesianas x e

y. Sin embargo, eso no quita para que podamos, al menos, realizar un análisis

cualitativo del movimiento parabólico a partir de las componentes intrínsecas de la

aceleración.

Cuestión 10

Con ayuda del siguiente dibujo, dibuja las

componentes intrínsecas de la aceleración en cada

uno de los tres instantes representados y responde

a las siguientes cuestiones:

a) Justifica por qué es curvilínea la trayectoria en

cada instante.

b) Justifica por qué en unos instantes la curva de

la trayectoria es más cerrada y en otros más

abierta.

c) Justifica por qué cuando sube el movimiento es

cada vez más lento y cuando baja es cada vez más

rápido.

d) El movimiento parabólico no es un mua en

contra de lo que mucha gente cree. Explica por

qué no lo es.

EL TIRO HORIZONTAL

Un caso particular del movimiento parabólico es el tiro horizontal, que se presenta en

situaciones en las que el cuerpo es lanzado inicialmente en la dirección horizontal desde

una altura h y con una rapidez inicial v0. (Datos: v0, h, g)

En todos estos casos, eligiendo adecuadamente el origen de referencia para que la

componente x de la posición inicial sea nula, las ecuaciones del movimiento que nos

quedan son:

http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm



En este caso existen dos

características importantes de este

tipo de movimiento que conviene

saber calcular:

- Por un lado hay que saber

encontrar la ecuación de la

trayectoria, que no es más que

una función que exprese cómo

depende la posición y en función

de la posición x. Es decir, se trata

de encontrar la función y=f(x)

- Por otro lado hay que saber

calcular también el alcance A del

tiro horizontal, que no es más

que el valor de x cuando se

alcanza el suelo (y=0).

Cuestión 11

A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro horizontal, demuestra

que el alcance viene dado por la expresión:

Cuestión 12

a) A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro horizontal,

demuestra que la forma de la trayectoria viene dada por la función:

b) Para el caso de un objeto lanzado horizontalmente desde 100 m de altura con una

rapidez inicial de 80´5 km/h, y tomando g=10 m/s2, construye una tabla y la

correspondiente gráfica y(x) para demostrar la forma parabólica de la trayectoria.

Problema 12

Desde lo alto de una torre de 50 m se lanza horizontalmente un proyectil con una

rapidez inicial de 160 m/s. a) Calcula a qué distancia “A” de la base de la torre

impactará contra el suelo (alcance). b) Calcula la rapidez con la que chocará contra el

suelo. c) Si al mismo tiempo que se lanza ese proyectil se deja caer desde el mismo

punto otro de doble masa ¿Cuál de los dos llegará antes al suelo?

(Rdo. a) A=506 m, v=163 m/s; Con rozamiento despreciable, ambos tardan 3,16 s)

Problema 13

Un avión de carga vuela siguiendo el curso de un río. Justo en el momento en que se

encuentra sobre la vertical de un puente, pierde uno de los fardos que transporta.

Sabiendo que el río en esa zona discurre en línea recta y que el avión volaba a 1000 m

de altura con una rapidez de 800 km/h, determinad a qué distancia del puente habría

que buscar dicho fardo. (Suponed el rozamiento con el aire despreciable).

(Rdo. A=3.174’6 m)

Problema 14

Una pelota rueda sobre una mesa horizontal a 1’5 m de altura del suelo, cayendo por el

borde de la misma. Si choca con el suelo a una distancia de 1’8 m, medidos

horizontalmente desde el borde de la mesa. ¿Cuál es la rapidez con la que salió de la

mesa?

(Rdo. v=3’27 m/s)

0x v t

21

2y h gt

yv gt

0

0

0 0

0

0

0

x

y

x

y h

v v

v

Condiciones

iniciales

2

2

02

gy h x

v

0

2hA v

g



UTILIDAD DEL CUERPO DE CONOCIMIENTOS CONSTRUÍDO:

EL TIRO OBLICUO

Otro caso particular del movimiento parabólico es el tiro oblicuo, que se presenta en

situaciones en las que el cuerpo es lanzado inicialmente desde el suelo con un ángulo de

inclinación sobre la horizontal y con una rapidez inicial v0. (Datos: v0, , g)

En todos estos casos, eligiendo adecuadamente el origen de referencia para que las

componentes x e y de la posición inicial sean nulas, las ecuaciones del movimiento que

nos quedan son:

Las dos características importantes

de este tipo de movimiento que

conviene saber calcular son:

- Por un lado hay que saber

encontrar la altura máxima

hmax, que no es más que el valor

de y cuando la componente

vertical de la velocidad se anula,

es decir, cuando vy=0.

- Por otro lado hay que saber

calcular también el alcance A

del tiro horizontal, que no es

más que el valor de x cuando el

cuerpo alcanza el suelo, es

decir, cuando y=0.

Cuestión 13

a) A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo,

demuestra que el alcance viene dado por la expresión:

b) Determina para qué ángulo de lanzamiento es máximo el alcance.

Cuestión 14

A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo,

demuestra que la altura máxima viene dada por la expresión:

Condiciones

iniciales

0

0

0 0

0 0

0

0

cosx

y

x

y

v v

v v sen

0 cosx v t

2

0

1

2y v sen t gt

0yv v sen gt

2

0 2v senA

g

2 2

0max

2

v senh

g



Problema 15

Un saltador de longitud inicia el salto con una rapidez de 32 km/h y un ángulo con la

horizontal de 38º. Suponiendo el rozamiento con el aire despreciable:

a) Determinad el valor de la marca conseguida.

b) ¿Cómo podría mejorar al máximo su marca si es incapaz de correr más rápido?

(Rdo. a) A=7’67 m. b) Saltando con un ángulo de 45º conseguiría 7’90 m)

Existe el caso más general de tiro parabólico que incluye los dos estudiados aquí, que es

cuando el lanzamiento se realiza desde una determinada altura sobre el suelo y con un

determinado ángulo de inclinación. El tratamiento que se hace es similar al del tiro

oblicuo, pero aparece la dificultad matemática añadida de un término independiente en

la ecuación para la componente vertical de la posición inicial. Esto conlleva la

resolución de ecuaciones de segundo grado que hace más engorroso el tratamiento. Este

curso no vamos a tratar este tipo de problemas. De todos modos, esa situación se

simplifica al tiro oblicuo estudiado si colocamos adecuadamente el eje horizontal para

que y0 se anule, tal y como se puede comprobar en el siguiente problema.

Problema 16

¿Con qué velocidad inicial

(módulo v0 y dirección ) tendrá

que lanzar la pelota el jugador

de básquet de la figura para que

pueda entrar en la canasta y

hacer un triple? La distancia

entre la vertical de la bola y

vertical de la canasta es de 6’25

m. La bola sale desde 1’6 m de

altura y la canasta está a 3 m

sobre el suelo.

(Rdo. v0=12'94 m/s, a=24'13º)

_________________________________________

Si, para terminar, quieres practicar más problemas relacionados con el tiro

horizontal y con el tiro oblicuo puedes realizar los siguientes ejercicios algo más

complicados y así reforzar lo aprendido.

1. Se lanza un proyectil con una rapidez inicial de 720 km/h y con una elevación de

45º sobre la horizontal para que el alcance sea máximo. El punto de lanzamiento se

encuentra sobre un acantilado de 150 m de altura sobre el nivel del mar. Determina

la altura máxima que alcanza el proyectil sobre el nivel del mar y razona cómo

afectará el rozamiento con el aire al valor de esa altura máxima.

Sol: 2 2

0max 0 1170,4

2

v senh h m

g



2. Una gimnasta que se mueve en línea recta con rapidez constante de 21 km/h lanza

verticalmente una pelota con una rapidez inicial de 40 km/h. Determina: a) la

altura que se elevará la pelota; b) la distancia del punto de lanzamiento a la que

recogerá la pelota.

Sol: a)

2

0

max 6,32

yvh m

g ; b)

0 0213,23

x yv vd m

g

3. Un intrépido motorista pretende saltar una fila de camiones dispuestos a lo largo de

45 m. La rampa de despegue es de 20º y aterriza en otra rampa similar de la misma

altura. Si en el momento del despegue su velocímetro marcaba 90 km/h, ¿cuál es el

futuro inmediato de nuestro abnegado héroe: la gloria o el hospital? Demuéstralo.

Sol: 2

0 241

v senA m

g

< 45 m HOSPITAL !!

4. Un arquero, realizando el máximo esfuerzo, es capaz de impulsar una flecha con

una rapidez inicial de 300 km/h. Si el ángulo de disparo es de 30º, la flecha da justo

en el blanco. a) Indica razonadamente si, con los datos de la figura, la flecha

pasará por encima del obstáculo. b) En caso negativo, indica si habrá alguna forma

de conseguir que la flecha llegue al blanco.

Sol:

a) La flecha no pasará por encima del obstáculo, ya que la altura

máxima la alcanza la flecha justo a la altura del obstáculo, y resulta

ser de unos 88 metros en este caso.

b) La flecha puede alcanzar el blanco si la disparamos con un ángulo

de 60º, para el que el alcance resulta ser el mismo que para 30º. En

este caso la altura máxima alcanzada a la altura del obstáculo es

mucho mayor, unos 265 metros, de modo que pasará por encima del

obstáculo.

5. Un cazador apunta directamente a un pajarito situado en la rama de un árbol: a)

¿alcanzará la bala al pájaro? b) Si en el mismo instante del disparo el pájaro se

asusta y se deja caer, ¿se salvará el ave?

Sol:

a) Nunca lo alcanzará, pues la bala no seguirá una trayectoria

rectilínea hasta el pájaro, sino que se va curvando hacia abajo

pasando siempre por debajo de él.

b) Si el pájaro se deja caer hacia el suelo en el momento del disparo,

sí alcanzará de lleno la bala al pajarito, sea cual sea la distancia a

la que se encuentre. Trata de demostrarlo tú mismo/a.

150m

v0=80m/s

306,84m

tema1 cinemÁtica el movimiento de los cuerpos · el movimiento de los cuerpos ... (con la...

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