Estudio y análisis del movimiento de dos cuerpos desde distintos sistemas de referencia.José Aguilar (joc507aguilar@hotmail.com)

Escuela de FísicaAsignatura Física Experimental (Fis 126)

Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y TecnologíaUniversidad de Panamá

Resumen

A partir de un diagrama que representaba el movimiento de dos objetos M y N mediamos su posición con respecto al tiempo ambos movimientos rectilíneos uno con rapidez constante (M) y el otro (N) con rapidez variada. Producto de esto se pudo representar mediante la construcción de u grafico la rapidez para ambos objetos a los 0,08 s. Seguido Tomando como M el origen de otro referencial representaos las posiciones de N con respecto a este otro sistema. Igualmente a partir de este grafico mediante un análisis se pudo conocer la rapidez a los 0,08 s. Al comparar ambos valores se observa que los mismos se ven afectados por algunos errores al momento de medir.

IntroducciónDentro del estudio de los movimientos en la física siempre ha sido necesario establecer sistemas de referencias que nos permitan medir distancias, velocidades o posiciones de objetos o partículas como se conoce comúnmente desde el origen de dichos sistemas de referencias. Es por esto que el movimiento es un concepto de carácter relativo debido a que siempre estará referido a un sistema de referencia el cual podrá variar dependiendo del punto de vista del observador.

Un clásico ejemplo es el de una partícula que se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto

a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas

definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Así, el pasajero que está

sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con

respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que observa desde el tren. A su

vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren. A efectos

prácticos, podemos distinguir dos modalidades de movimiento relativo:

Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial.

Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales diferentes en movimiento relativo entre sí.

(Es.wikipedia.org, 2015)1

Es por esto que en nuestra experiencia nos centraremos en el estudio y análisis del movimiento de dos cuerpos desde distintos sistemas de referencias.

Primeramente Partiendo de nuestro esquema que representa el movimiento final de dos cuerpos N y M que convergían en un punto medimos las diversas posiciones de cada uno de los objetos en los distintos tiempos es importante señalar que en este primer paso se media a partir de un sistema de referencia del salón de clases, cada intervalo de tiempo de representaba 20,0 ms las cuales se registraban en puntos consecutivos.El esquema se presentaba partir del movimiento registrado por un ticómetro igualmente calibrado para ambos a 1 ms de precisión.Ambos movimientos eran de trayectoria rectilínea en una dirección pero variaban en el cambio de posición con respecto al tiempo de cada uno es decir un objeto presentaba rapidez constante dista e ero y otro varia su rapidez con respecto al tiempo en este caso M con rapidez constante y N con rapidez variada con respecto al tiempo.

Al obtener las diversas posiciones de cada uno de los objetos de determino el módulo de las mismas el cual nos permitió construir un gráfico de distancia versus tiempo que nos demostraba la naturaleza de los movimientos de cada uno de los objetos. Sabiendo de ante mano que al derivar la ecuación de posición de un movimiento de obtiene la rapidez del mismo y en esta caso se trataría de realizar un ajuste para linealizar nuestro grafico obtendríamos el a partir de la ecuación uno donde las distancias se encuentran en metros (m)

d=d0+Bt+B2t2(1)

Derivando dicha ecuación se obtendría la rapidez del objeto recordando que lo que se realiza en este caso con los gráficos es realizar un ajuste los mismos los cuales nos presentarían el siguiente modelo matemático para la rapidez.

dddt

=dd0

dt+ dBtdt

+d B2t

2

dt

Donde sabiendo que d0 es una constante que es la distancia inicial y es un valor numérico como propiedad de una derivada la derivada de una constante es cero. Y derivando por las propiedades correctas los demás términos obtendríamos nuestra rapidez que sería nuestra segunda ecuación

v=B+2B2tDicho modelo nos ayudaría a obtener la rapidez de los objetos en distintos tiempos donde la rapidez está dada en m/s.

ProcedimientoSe nos presentó un diagrama que describía una experiencia donde con un ticómetro se registró, en el salón de clases, los siguientes movimientos lineales de dos objetos (M y N) que partieron simultáneamente, los cuales convergieron en un momento dado al cabo de 160,0 ms) en el punto. Cada intervalo de tiempo representaba 20,0 ms y estaba registrado por dos puntos consecutivos. Ambos movimientos se registraron con ticómetros igualmente calibrados a 1 ms de precisión (Figura 1).

Figura (1). Diagrama del movimiento de N y M.

De igual forma se debió expresar la rapidez instantánea de cada móvil usando t = 80,0 ms en el sistema de referencia del salón de clases. Para calcular el desplazamiento para determinar dicha rapidez se midió de punto a punto desde el origen del sistema de referencia de cada uno con una regla (Figura 2) la misma estaba graduada en mm. Posteriormente producto de la medición se construyó el grafico de d versus t de ambos objetos propiamente y mediante un análisis se pudo construir el grafico de la velocidad.

Figura 2. Regla en mm

Luego determinamos un nuevo sistema de referencia cuyo origen era el punto M y por vectores unitarios perpendiculares y ortonormados (î, j) fijos en el sistema de referencia asociado a M (î está en la dirección y sentido del movimiento M visto por un observador en el salón de clases), y se representaron las posiciones de N. Midiendo con una escuadra graduada en mm (Figura3) de igual forma de punto a punto de N pero con respecto a M.

Figura 3. Escuadra en mm Luego en el mismo sistema construiremos el grafico de v versus t y comparamos la rapidez instantánea a 80,0 ms.

Resultados y análisis de los resultados

Análisis de la rapidez de cada móvil. Tabla de distintas distancias de M y N con respecto al tiempo donde el sistema de referencia es el salón de clases.

Tiempo (s) Distancia de N (m) Distancia de M (m)0,02 0,008 0,0080,04 0,018 0,0150,06 0,025 0,0230,08 0,041 0,0300,10 0,049 0,0380,12 0,066 0,0450,14 0,083 0,0530,16 0,095 0,0600,18 0,124 0,0750,20 - 0,0830,22 - 0,090

Tabla (1) Distancias de M y N.En l tabla Numero 1 se presentan las diversas distancias con respecto al tiempo de cada uno de los objetos.

Al obtener las distintas distancias construimos el grafico de distancia vs tiempo de M y N.

-0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14Distancia Vs. Tiempo

N M

Dis

tanci

a (

m)

Tiempo (s)

Figura (1) Grafica de Posición vs. Tiempo de distintos objetos.

En la figura (1) se muestra la distancia de cada movimiento M y N con respecto al tiempo donde dicho sistema de referencia es nuestro salón.

En la siguiente tabla se presentan las distancias del objeto N con respecto al tiempo.

Tiempo (s) Distancias (m)0,02 0,0080,04 0,0180,06 0,0250,08 0,0410,10 0,0490,12 0,0660,14 0,0830,16 0,0950,18 0,124Tabla 2 Distancias de N.

En la tabla dos se presentan las diversas distancias de N las cuales nos permitirán construir el grafico de dicho objeto.

Luego construimos el grafico de posición vs. Tiempo del objeto N.

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14Distancia vs. Tiempo

Dis

tan

cia

(m

)

Tiempo (s)

Figura (2) Distancia vs tiempo de N

En la Figura dos se muestra la distancia versus el tiempo de N se observa que el objeto N presenta un movimiento rectilíneo uniformemente variado con respecto al sistema de referencia en clases. El cual podemos describirlo con la siguiente ecuación a partir de la ecuación (1)

d=0,29 t+2,05 t 2(1)

Realizaremos un ajuste polinomial del movimiento para linealizar el mismo. Al realizar el análisis lo que realmente hacemos es derivar dicho movimiento para obtener la rapidez en función del tiempo de N como de se describe en la ecuación dos anteriormente.En la tabla 3 se presenta la rapidez del objeto N con respecto al tiempo producto del juste de el grafico anterior es decir de derivar la ecuación del movimiento de N.

Tiempo (s) Rapidez (m/s)0,02 0,2930,04 0,3750,06 0,4570,08 0,5390,10 0,6210,12 0,7030,14 0,7850,16 0,8670,18 0,9490,20 1,0310,22 1,1130,24 1,195

Tabla 3. Rapidez del objeto N

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

V = 0,29 + 4,10t

Rapidez vs. Tiempo

Ra

pid

ez

(m/s

)

Tiempo (s)

Figura (3) Rapidez versus tiempo de N.Al linealizar el grafico de distancia vs tiempo se observa que el movimiento N presenta rapidez lineal con respecto al sistema de referencia del salón. El cual podemos describirlo con la ecuación dos (2).

V = 0,29 + 4,10t Esta sería la ecuación para representar la rapidez del objeto N.

Ahora en la tabla 4 se presenta las distintas distancias del objeto M.

Tiempo (s) Distancia(m)0,02 0,0080,04 0,0150,06 0,0230,08 0,0300,10 0,0380,12 0,0450,14 0,0530,16 0,0600,18 0,0750,20 0,0830,22 0,090

Tabla 4. Distancias versus el tiempo

De igual forma construiremos el grafico de distancia versus tiempos del objeto M a partir de la tabla 4

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

d = 0,4 t

Distancia vs Tiempo

Dis

tan

cia

(m

)

Tiempo (s)

Figura (4) Distancia vs tiempo.En la figura 4 observamos que el objeto M presenta un movimiento rectilíneo uniforme. Al derivar la ecuación que representa el grafico obtendremos la rapidez del objeto.Mediante la ecuación uno antes descrita se observa la distancia con respecto al tiempo del objeto M

d = 0,4t

Producto de derivar dicha ecuación obtenemos la rapidez del objeto M con respecto al tiempo que se presenta en la tabla 5.

Tiempo (s) Rapidez (m)0,02 0,4090,04 0,4090,06 0,4090,08 0,4090,10 0,4090,12 0,4090,14 0,4090,16 0,4090,18 0,4090,20 0,4090,22 0,409

Tabla 5. Rapidez con respecto al tiempo.En esta tabla se presenta la rapidez de M donde se observa que la misma es contante en el movimiento.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

V = 0,4m/s

Rapides vs. Tiempo

Ra

pid

ez

(m/s

)

Tiempo (s)

Figura (5) Rapidez versus Tiempo de M

En el gráfico de la figura (5) observamos que la rapidez del objeto M es constante con respecto al sistema de referencia del salón de clases.

Mediante la ecuación dos se observa la rapidez del objeto M donde la misma es constante con respecto al referencial del salón de clases

V = 0,4 m/s

Ahora construiremos el grafico para comparar la rapidez de ambos objetos (M, N) en un mismo gráfico.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Rapidez vs Tiempo

N M

Ra

pid

ez

(m/s

)

tiempo (s)

Figura (6) Rapidez vs. Tiempo de N y M

En la figura (6) se muestra al rapidez de ambos objetos donde el objeto M presenta rapidez constantes mientras el objeto N presenta un cambio de magnitud en la rapidez con respecto al tiempo. Ambos objetos con respecto al sistema de referencia del salón. En el mismo grafico se presenta la rapidez para ambos objetos a los 0,08 s el cual se determinar por la línea azul en el mismo donde la rapidez para M es 0.409 m/s y de 0,539 m/s para N.

Ahora construiremos un gráfico de N con respecto a M ya que N se presenta en un sistema de referencia que tiene por origen el punto M y por vectores unitarios perpendiculares y ortonormados (î, j) fijos en el sistema de referencia asociado a M (î está en la dirección y sentido del movimiento M visto por un observador en el salón de clases), y se representaron las posiciones de N.

En la tabla 7 se presentan las diversas distancias de N donde este presenta a M como sistema de referencia

Tiempo (s) Distancia (m)0,02 0,0050,04 0,0120,06 0,0170,08 0,0280,10 0,0350,12 0,0470,14 0,0590,16 0,0710,18 0,091

Tabla 7. Distancias N con respecto al tiempo

Al obtener estos datos producto de la medición de N con respecto a N donde estas distancias son los módulos de los diversos vectores de posición de dicho objeto construiremos el grafico del mismo.

Se presenta el grafico de distancia de N con respecto a M

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

Distancia vs Tiempo

Po

sici

on

de

de

n(m

)

Tiempo (s)

Figura (8). Distancia de N vs Tiempo

Al observar el de la figura 8 nos podemos dar cuenta que el movimiento del objeto N con respecto a M presenta un movimiento de tipo rectilíneo uniforme variado. Aplicando la ecuación 1 para describir la distancia del objeto con respecto a M podemos escribir la siguiente ecuación

d = 0,15t + 1,85t2

Ahora linearizaremos dicho grafico para obtener la rapidez del objeto N que se presenta en la Tabla 8.

Tiempo (s) Rapidez (m/s)0,02 0,2290,04 0,3020,06 0,3760,08 0,4490,10 0,5230,12 0,5970,14 0,6700,16 0,7440,18 0,817

Tabla 8 Rapidez de N

En la tabla 8 se presenta las diversas rapideces producto del análisis del grafico anterior donde se derivó la ecuación de dicho movimiento para obtener las rapideces.

Se presenta la rapidez de N con respecto a M.

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

V = 0,15 + 3,70t

Rapides vs. tiempo

Rap

ides

de

N (

m/s

)

Tiempo (s)

Figura 9. Rapidez de N vs T

En la figura 9 se presenta la rapidez de n con respecto a M y se observar que N avanza con rapidez lineal es decir que aumenta linealmente como se presenta en la ecuación de del grafico donde la rapidez es v = 0,15+3,70 t comportándose como un análisis muy cercano al análisis de la figura 3 donde el sistema de referencia se encontraba en el salón de clases. De igual se forma la rapidez a los 0,08 s se observa que presenta un valor de 0,449 m/s esta rapidez es distinta si la comparamos con la del mismo del objeto pero con el otro sistema de referencia estos son distintos pero recordemos que esto puede ser producto de la medición y del error de la misma la cual pudo influir en el valor de nuestra rapidez.

ConclusionesDentro del estudio es importante observa primeramente que l naturaleza del objeto n con respecto a M no cambia si se comprara al mismo objeto con el primer sistema de referencia de igual forma. Cuando se comparan las velocidades de ambos movimiento de N se observa que estos no presentan un error que podemos deducir que el mismo es producto de la medición de las posiciones de dicho objeto con respecto al tiempo en ambos sistemas de referencia pero es importan observar que al obtener el modelo matemático de ambos esto no difieren significativamente el uno con respecto al otro entonces podemos concluir que en sistemas de referencia distintos la rapidez de dicho objeto es similar o cercano para ambos casos. Propia del estudio de en estos casos.Referencias

1. Es.wikipedia.org, (2015). Movimiento relativo. [online] Available at: https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_relativo [Accessed 22 Sep. 2015].