tema vii (polinomios)

Tema VIIPolinomios

Precálculo

Polinomios

• Un monomio es un número o un producto de números y variables con exponentes enteros positivos.

• Un polinomio es un monomio o la suma o resta de monomios.

• Los polinomios no tienen variables en los denominadores o exponentes, no raíces o valores absolutos de variables y todas las variables tienen exponentes enteros positivos.

• El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables.

Identificando el Grado de un Monomio

• Identifica el grado de cada monomio.1. x4

2. 12

3. 4a2b

4. x3y4z

5. z6

6. 5.6

7. 8xy3

8. a2bc3

Polinomios

• El grado de un polinomio está dado por el término con el grado mayor.

• Un polinomio está escrito en forma estándar cuando sus términos se escriben en orden de mayor a menor de acuerdo a su grado.

• El coeficiente líder de un polinomio es el coeficiente del primer término de un polinomio cuando está escrito en forma estándar.

Clasificación de un Polinomio

• Un polinomio puede ser clasificado por su cantidad de términos.– Un polinomio con un término se conoce como un

monomio.

– Un polinomio con dos términos se conoce como un binomio.

– Un polinomio con tres términos se conoce como un trinomio.

– Un polinomio con cuatro términos o más se le conoce simplemente como un polinomio.

Clasificación de un Polinomio

• Un polinomio también puede ser clasificado por su grado.

Nombre Grado

Constante 0

Lineal 1

Cuadrático 2

Cúbico 3

Cuártico 4

Quíntico 5

Clasificando Polinomios

• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

32 4 1x x



3 57 11 2x x x



24 2 2x x



2 318 5 2x x x



23 5 4x x



2 43 4 8x x

Sumando y Restando Polinomios

• Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

2 3 23 7 14 2x x x x x



2 21 3 2 5x x x



3 2 32 9 5 4 7x x x x x



2 23 2 6x x x x

Multiplicando un Monomio y un Polinomio

• Encuentra cada producto.

1. 3x2(x3 + 4)

2. ab(a3 + 3ab2 – b3)

3. 3cd2(4c2d – 6cd + 14cd2)

4. x2y(6y3 + y2 – 28y + 30)

5. 4y2(y2 + 3)

6. fg(f4 + 2f3g – 3f2g2 + fg3)

Multiplicando Polinomios

• Encuentra cada producto.

1. (x – 2)(1 + 3x – x2)

2. (x2 + 3x – 5)(x2 – x + 1)

3. (3b – 2c)(3b2 – bc – 2c2)

4. (x2 – 4x + 1)(x2 + 5x – 2)

5. (a – 3)(2 – 5a + a2)

6. (y2 – 7y + 5)(y2 – y – 3)

Expandiendo una Potencia de un Binomio

• Encuentra el producto.

1. (x + y)3

2. (x + 4)4

3. (2x – 1)3

4. (a + 2b)3

Triángulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Utilizando el Triángulo de Pascal Para Expandir Expresiones Binomiales

• Expande cada expresión.

1. (y – 3)4

2. (4z + 5)3

3. (x + 2)3

4. (x – 4)5

5. (k – 5)3

6. (6m – 8)3

Utilizando División Larga para Dividir Polinomios

2 3

2

2

D ivide utilizando división larga.

1) 4 3 10 2

2) 15 8 12 3 1

3) 5 28 3

x x x

x x x

x x x

2 34 3 10 2x x x

2

3 2

3 2

2

2

3 10 20

2 3 4 0 10

3 6

10 0

10 20

20 10

20 40

50

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

División Sintética

• Para que funcione la división sintética, el polinomio debe estar escrito en forma estándar, utilizando 0 como coeficiente para cualquier término perdido y el divisor tiene que ser de la forma x – a.

• Divide (2x2 + 7x + 9) (x + 2) utilizando división sintética.

Utilizando División Sintética para Dividir Binomios Lineales

2

4 3

2

4 3

D ivide utilizando división sintética.

14 12 9

2

2 3 1 3

6 5 6 3

3 5 1 2

x x x

x x x x

x x x

x x x x

Teorema del Residuo

• Si la función polinomial P(x) es dividida por x –a, entonces el residuo r es P(a).

Utilizando Sustitución Sintética

• Utiliza sustitución sintética para evaluar el polinomio para el valor dado.

1. P(x) = x3 – 4x2 + 3x – 5 para x = 4

2. P(x) = 4x4 + 2x3 + 3x + 5 para x = - ½

3. P(x) = x3 + 3x2 + 4 para x = -3

4. P(x) = 5x2 + 9x + 3 para x = 1/5

5. P(x) = 2x3 + 5x2 – x + 7 para x = 2

Aplicaciones a Física

• Un generador Van de Graaff es una máquina que produce voltajes muy altos utilizando niveles pequeños y seguros de corriente eléctrica. Una máquina tiene una corriente que puede ser modelada por I(t)= t + 2, donde t > 0 representa el tiempo en segundos. La potencia del sistema puede ser modelada por P(t) = 0.5t3 + 6t2 + 10t. Escribe una expresión que represente el voltaje del sistema.– Nota: el voltaje V esta relacionada a la corriente I y

potencia P por la ecuación V = P/I.

Mas Aplicaciones

• Escribe una expresión para el largo de un rectángulo con ancho x – 9 y área x2 – 14x + 45.

• Escribe una expresión que represente el área de la cara de arriba de un prisma rectangular cuando su altura es x + 2 y el volumen del prisma es x3 – x2 – 6x.

Teorema del Factor

• Teorema

– Para cualquier polinomio P(x), (x – a) es un factor de P(x) si y solamente si P(a) = 0.

• Ejemplo

– Como P(1) = 12 – 1 = 0, (x – 1) es un factor de P(x) = x2 – 1.

Determinando Cuando un Binomio Lineal es un Factor

• Determina cuando el binomio dado es un factor del polinomio P(x).

1. (x – 3); P(x) = x2 + 2x – 3

2. (x + 4); P(x) = 2 x4 + 8 x3 + 2x + 8

3. (x + 1); P(x) = x2 – 3x + 1

4. (x + 2); P(x) = 3 x4 + 6 x3 – 5x – 10

Factorizando por Agrupación

• Factoriza cada expresión.

1. x3 + 3 x2 – 4x – 12

2. x3 – 2 x2 – 9x + 18

3. 2 x3 + x2 + 8x + 4

4. x3 – x2 – 25x + 25

Factorizando la Suma y la Diferencia de Dos Cubos

• Suma de dos cubos

– a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

• Diferencia de dos cubos

– a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Factorizando la Suma o Diferencia de Dos Cubos

• Factoriza cada expresión.

1. 5x4 + 40x

2. 8y3 – 27

3. 8 + z6

4. 2x5 – 16x2

5. 4x4 + 108x

6. 125d3 – 8

Utilizando Factorización para Resolver Ecuaciones Polinomiales

• Resuelve cada ecuación polinomial por factorización.

1. 3x5 + 18x4 + 27x3 = 0

2. x4 – 13x2 = -36

3. 2x6 – 10x5 – 12x4 = 0

4. x3 – 2x2 – 25x = -50

Multiplicidad de una Raíz

• La multiplicidad de la raíz r es la cantidad de veces que x – r es un factor de P(x).

• Cuando una raíz real tiene multiplicidad par, la gráfica de y = P(x) toca el eje de x pero no lo cruza.

• Cuando una raíz real tiene multiplicidad impar mayor que 1, la gráfica de y = P(x) se dobla a la vez que cruza el eje de x.

Teorema de las Raíces Racionales

Si el polinom io ( ) tiene coeficientes

enteros, entonces toda raíz racional de

la ecuación polinom ial ( ) 0 puede

ser escrito en la form a , donde es un

factor del térm ino constante de ( ) y

es un

P x

P x

pp

q

P x q

factor del coeficiente lider de ( ).P x

Teorema de las Raíces Irracionales

Si el polinom io ( ) tiene coeficientes racionales

y es una raíz de la ecuación polinom ial

( ) 0, donde y son racionales y es

irracional, entonces es tam bién una raiz

de ( ) 0.

P x

a b c

P x a b c

a b c

P x

Identificando Todas las Raíces Reales de una Ecuación Polinomial

• Identifica todas las raíces reales de:

1. x3 + 3x2 – 10x – 24 = 0

2. 4x4 – 21x3 + 18x2 + 19x – 6 = 0

3. x3 + 3x2 – 4x – 12 = 0

4. 2x3 – 3x2 – 10x – 4 = 0

5. 2x3 – 9x2 + 2 = 0

Las siguientes aseveraciones son equivalentes:

• Un número real r es una raíz de la ecuación polinomial P(x) = 0.

• P(r) = 0

• r es un intercepto en x de la gráfica de P(x).

• x – r es un factor de P(x).

• Cuando divides el polinomio P(x) por x – r, el residuo es 0.

• r es un cero de P(x).

Escribiendo Funciones Polinomiales Dados los Ceros

• Escribe la función polinomial más simple con los siguientes ceros dados.

1. -3, ½ y 1

2. -2, 2 y 4

3. 0, 2/3 y 3

4. -1, 2/3 y 4

Teorema Fundamental del Álgebra

• Toda función polinomial de grado n ≥ 1 tiene por lo menos un cero, donde este puede ser complejo.

• Corolario:

– Toda función polinomial de grado n ≥ 1 tiene exactamente n ceros, incluyendo las multiplicidades.

Encontrando Todas las Raíces de una Ecuación Polinomial

• Resuelve x4 + x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 encontrando todas las raíces.

• Resuelve x4 + 4x3 – x2 + 16x – 20 = 0 encontrando todas las raíces.

• Resuelve x4 – 3x3 + 5x2 – 27x – 36 = 0 encontrando todas las raíces.

Teorema de las Raíces Conjugadas Complejas

Si es una raíz de la ecuación polinomia l

con coeficientes que sean números reales , enton-

ces también es una raíz.

a bi

a bi

Escribiendo una Función Polinomial con Ceros Complejos

Escribe la función polinom ial m ás sim ple con ceros 2 ,1 2 y 3.i

Escribe la función polinom ial m ás sim ple con ceros 1 , 2 y 3.i

Escribe la función polinom ial m ás sim ple con ceros 2 , 3 y 1.i

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