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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Sistemas y Marcos de Referencia __________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ

Dr. Ricardo César Podestá

Tema N° 8

Sistemas y Marcos de Referencia

8.1- Introducción Un Sistema de Referencia (SR) es conjunto definido por un origen y tres ejes

perpendiculares entre sí. Los SR son indispensables para determinar la posición de un cuerpo

y para describir si este se mueve o está en quieto. Atendiendo a su posible estado de reposo o

movimiento, los SR pueden ser clasificados siempre y cuando hablemos de su relación

respecto a otro sistema de referencia que arbitrariamente supongamos inmóvil. En efecto,

debe tenerse en cuenta que cualquier SR está moviéndose respecto a otro, por lo que no cabe

hablar de un sistema de referencia absoluto.

De acuerdo con lo anterior, un sistema de referencia puede estar:

a) en reposo respecto a otro

b) moviéndose con velocidad constante respecto al supuestamente fijo

c) con una aceleración respecto al fijo.

8.1.1- Sistemas Inerciales

Se llaman “Sistemas Inerciales” en mecánica clásica a aquellos sistemas de referencia

donde es válida la primera ley de Newton “Un cuerpo persiste en su estado de reposo o en

movimiento rectilíneo uniforme a menos que alguna fuerza solicitante cambie su estado”. En

estos sistemas el movimiento a través del espacio se realiza con velocidad de traslación

constante pero sin rotación.

La Teoría Especial de la Relatividad es un refinamiento de la mecánica clásica para el

caso que tratemos con velocidades muy altas. La Teoría General de la Relatividad provee un

refinamiento de la teoría Newtoniana de la gravitación, relevante para campos gravimétricos

muy grandes tales como objetos masivos y en cosmología.

Para el campo gravitacional terrestre y para movimientos de satélites y sistemas

terrestres, es suficiente la mecánica clásica, siendo los efectos relativistas despreciables o

influyendo solo en pequeñas correcciones del orden de 10-8 o 10-9.




Para un espacio–tiempo curvado, tal como en las proximidades de un agujero negro,

pueden realizarse aproximaciones geométricas de la superficie curvada por un plano tangente,

pero no será posible aproximar la totalidad de la superficie.

Entonces, en un espacio-tiempo curvado será posible introducir coordenadas que

corresponden a un sistema inercial en un entorno infinitesimal del punto; pero no es posible

introducir un sistema inercial válido para la totalidad del espacio–tiempo.

En este sentido, no hay sistemas inerciales en relatividad general. Todos los posibles

sistemas de coordenadas son equivalentes, no hay privilegiados.

No obstante, en el tratamiento relativístico de los SR pueden introducirse

aproximaciones prácticas satisfactorias, que actúan como sistemas inerciales privilegiados a

nivel local (Sistema Solar) e inclusive a nivel global (nuestra galaxia).

En un sistema inercial local las superficies curvadas pueden aproximarse localmente por

un plano tangente, el espacio–tiempo curvado puede aproximarse, en el entorno de un punto,

por un plano espacio–tiempo en el cual se puede introducir un sistema inercial. Entonces, para

una cierta pequeña región son posibles sistemas inerciales aún en relatividad general.

Como nuestro espacio–tiempo es solo muy suavemente curvado, el campo gravitacional

solar es muy débil, la pequeña región mencionada cubre el Sistema Solar y todavía se

extiende más allá.

8.1.2- Sistemas Cuasi-Inerciales

Este es un sistema de la mecánica clásica el cual no rota, pero su origen puede tener

aceleración. Es un sistema cartesiano de tres dimensiones cuyos ejes se trasladan pero

permanecen siempre paralelos. Una realización física es por medio de ejes cuyas direcciones

se estabilizan con giróscopos.

Un sistema cuasi–inercial difiere de uno inercial en el hecho que el primero puede tener

un movimiento no uniforme (acelerado).

Un sistema geocéntrico, donde los ejes tienen una dirección constante en el espacio, es

un ejemplo de un sistema cuasi–inercial. El origen (Geocentro) se mueve a lo largo de la

elipse alrededor del Sol.




(1) Sistema de Referencia Ideal

Es el principio teórico sobre el cual se basa algún Marco de Referencia final. Por

ejemplo, las ecuaciones de movimiento de un sistema de cuerpos celestes que no tienen

términos de Coriolis o aceleraciones lineales en el sistema ideal de referencia. Un segundo

ejemplo puede ser el ensamble de cuerpos muy distantes que no tienen rotación global en el

sistema ideal de referencia.

(2) Sistema de Referencia

Identifica el sistema físico en el cual se aplica la definición de un Sistema Ideal de

Referencia. El primer ejemplo dado puede ser el Sistema Solar junto con las leyes físicas

gobernantes (relatividad general o mecánica Newtoniana). Para el segundo ejemplo puede ser

un cierto número de Quásares formando un sistema.

(3) Sistema de Referencia Convencional

De acuerdo a lo visto en (1) y (2) se asignan parámetros que describen el sistema físico

y por lo tanto convencional.

Ejemplos: las masas y las condiciones de movimiento iniciales, en el primer caso, dado

en el sistema de constantes fundamentales. En el segundo caso se da una lista de objetos

extragalácticos y la definición de los ejes de coordenadas.

(4) Marco de Referencia o Marco Convencional de Referencia

Es un set de puntos fiduciales con sus coordenadas que materializan el Sistema de

Referencia Convencional. El origen y ejes pueden ser materializados por ellos o simplemente

inferidos de las coordenadas de estos puntos.

8.2- Definiciones Para los SR existen dos tipos de definiciones utilizadas: definiciones “Dinámicas” y

“Cinemáticas”. Estas últimas han cobrado un indiscutible predominio a partir de las nuevas

tecnologías, en especial con los radiotelescopios Very Long Baseline Interferometry (VLBI).




8.2.1- Definición Dinámica

Dada una estructura física, su dinámica es la solución de sus ecuaciones diferenciales de

movimientos, expresadas respecto a una terna de ejes fijos en el espacio. Las leyes de la

dinámica establecen ciertos puntos y direcciones convenientes para definir un SR. Este es el

caso del baricentro del sistema, libre de aceleraciones en ausencia de fuerzas externas y

adecuadas para establecer el origen. Por otra parte, la dirección del vector momento angular

total del sistema permanece fija en el espacio si sobre el sistema no actúan torques externos,

por lo que en general se la usa para definir uno de los ejes de la terna.

Ejemplos: los catálogos estelares fundamentales FK3 y FK4, basados en las teorías de

Newcomb para la precesión y la dinámica del sistema solar.

8.2.2- Definición Cinemática

Este enfoque supone que el Universo visible no rota como un todo. O sea que los

movimientos propios de los cuerpos que lo componen no pueden ser interpretados como una

rotación en bloque. En la práctica implica suponer que existe un conjunto de cuerpos fijos en

el espacio y que cualquier movimiento aparente de ellos puede ser interpretado como un

movimiento de la plataforma de observación.

Un objeto lejos de la Tierra tiene un movimiento propio despreciable. Si está a más de

3,26 x 108 años luz y se mueve a la velocidad de la luz en forma tangente al radio vector entre

él y la Tierra, tendrá un movimiento aparente de 0,7 milisegundos de arco anuales. Los

cuásares están más lejos y, por lo tanto, sus movimientos son indetectables. Es posible

entonces construir un SR no rotante mediante cuásares considerados fijos en el espacio.

Es conveniente notar que los objetos estarán igualmente fijos para un punto situado en el

Geocentro o en el Baricentro del Sistema Solar o en cualquier otro punto preferente para

definir el origen del sistema, tampoco define ninguna dirección de preferencia para referir los

ejes. Estos parámetros deberán elegirse independientemente más adelante.

Todos los SR deben ser considerados como locales, implicando que llevar un sistema de

coordenadas desde un punto a otro en el espacio exige el conocimiento de la distribución de

masas en cada punto del espacio, por lo que estos sistemas son cuasi-inerciales. En la práctica

se trabaja como si el sistema fuera inercial y se agregan correcciones relativistas al concepto

newtoniano cuando hagan falta.




En cuanto a la escala temporal se deja el nombre “tiempo” para el tiempo absoluto

newtoniano y se adopta la definición de “argumento temporal ideal”. El “tiempo propio ideal”

se define con relación a una partícula aislada en reposo respecto de la cual se cumplen las

leyes de la mecánica cuántica y “tiempo coordenado ideal” de un dominio del espacio-tiempo

de la relatividad general de Einstein.

Ejemplo: para el tiempo propio sería un átomo aislado de Cesio 133 y para el tiempo

coordenado se puede definir sobre una superficie de la Tierra resultando un tiempo ideal

terrestre geocéntrico o en el baricentro del sistema solar, resultando un tiempo ideal

baricéntrico.

8.2.3- Distinción entre de Sistema y Marco

Un SR es una estructura geométrica para referir las coordenadas de puntos del espacio;

queda definido por un origen, direcciones de los ejes, escalas, algoritmos de transformaciones

espaciales y temporales y sus constantes. Un Marco de Referencia (MR) es la materialización

de un SR; es decir, el conjunto de elementos que determinan en forma práctica el SR y está

constituido por las coordenadas de los puntos de definición, las técnicas aplicadas y los

métodos de cálculo.

En astronomía, geodesia y geodinámica son necesarios dos SR fundamentales y sus

correspondientes MR. Uno que se considere fijo en el espacio y otro que se considere fijo en

la Tierra. Estos son los SR Celeste y Terrestre. En ellos se estudia y determina las posiciones

y velocidades de puntos del espacio y de la Tierra respectivamente.

El SR Celeste se considera como un sistema cuasi-inercial que se destina a los

movimientos de los cuerpos celestes y, en su versión geocéntrica, a los satélites artificiales.

El SR Terrestre fija las posiciones y coordenadas de puntos de la Tierra y determina sus

velocidades. La rotación de la Tierra viene dada por la orientación del SR Terrestre en el

Celeste.




8.3- Sistemas de Referencias Celestes Baricéntrico y Geocéntrico

En la Asamblea de la UAI de 1991 en Buenos Aires se definieron dos SR Celestes, uno

para el Sistema Solar denominado “Sistema de Referencia Celeste Baricéntrico (BCRS)” y

otro para la Tierra denominado “Sistema de Referencia Celeste Geocéntrico (GCRS)”.

La propiedad más importante de estos sistemas es que las coordenadas espaciales de

puntos de ellos no sufren rotaciones respecto a objetos alejados del Universo, es decir que la

dirección de los ejes se mantiene fija.

La Asamblea de la UAI en el 2000 amplia las definiciones de estos SR Celestes en el

contexto de la relatividad general por medio del uso de coordenadas armónicas,

transformaciones de Lorentz con la aceleración del Geocentro y el potencial gravitatorio.

El BCRS debe usarse como SR básico para astrometría y efemérides del Sistema Solar.

Como es un sistema baricéntrico las estrellas no están sujetas a paralajes y sus coordenadas

solo varían por movimientos propios. El tiempo, junto a las coordenadas, solo se usa para dar

la época de observación pero no hay tiempo o época asociada al propio BCRS porque está

definido cinemáticamente.

El movimiento del Baricentro del Sistema Solar en su órbita alrededor de la Vía Láctea

es no lineal, por lo tanto existe una precesión galáctica pero no es tenida en cuenta.

El GCRS es un sistema local en movimiento acelerado (movilidad del Geocentro)

alrededor del Baricentro del Sistema Solar, pero manteniendo fijas las direcciones de los ejes

con respecto a radiofuentes extragalácticas, habiendo ausencia de rotación; en él no puede

describirse la Esfera Celeste. A este sistema se refieren las observaciones hechas desde la

Tierra y a él deben referirse los procesos dinámicos de la Tierra (Parámetros de Orientación

de la Tierra EOP) pues es en este sistema no rotante en el que se mide la rotación de la Tierra.

En este sistema deben describirse los movimientos de los satélites y de la Luna. El GCRS

reemplaza los conceptos clásicos de “Eclíptica”, “Equinoccio”, etc.

No debe tenerse en cuenta la PN Geodésica, que es un efecto relativista manifestado por

una rotación de los ejes de coordenadas (la Precesión Geodésica vale 1,9” por siglo y la

Nutación Geodésica 1,5” x 10-4 por año), ya que el modelo de PN UAI2000 las incluye.




8.3.1- Sistema de Referencia Celeste Internacional (ICRS)

Antes de 1998 las realizaciones prácticas de las direcciones de referencias celestes

venían dadas por una serie de catálogos de estrellas fundamentales, el último de los cuales fue

el FK5, llamándose en consecuencia al SR con el nombre de FK5. Los catálogos

fundamentales incluyen posiciones y movimientos propios de estrellas cercanas observadas

con instrumentos ópticos. Al tratarse de estrellas brillantes (cercanas) sus movimientos

propios son considerables y los errores en la determinación de ellos se transmiten, con el

tiempo, al SR. Además las direcciones fundamentales de los SR anteriores a 1998 estaban

basadas en la Ecuación de los Equinoccios de una época fija (como J2000,0 o B1950,0).

Por ejemplo, una posición en el FK5 está referida al Ecuador y Equinoccio medios a las

12 horas de TT del 01/01/2000. Eso hacía que las direcciones de los ejes dependieran de un

modelo dinámico del Sistema Solar (para obtener el Equinoccio), además las direcciones

cambiaban en función de la elección de la época y que cualquier mejora del modelo suponía

un cambio de las direcciones fundamentales.

En 1998 la UAI adoptó el Sistema de Referencia Celeste Internacional (International

Celestial Reference System –ICRS-) como el SR fundamental. Este se define como un

sistema ecuatorial con origen en el baricentro del Sistema Solar y con los ejes en direcciones

fijas respecto a radiofuentes extragalácticas, principalmente cuásares. Estas direcciones

permanecen fijas y no giran con el paso del tiempo, es decir, el ICRS no tiene época estándar

asociada.

A fin de preservar la continuidad con las direcciones del FK5, las direcciones del ICRS

están alineadas con las del FK5 dentro del margen de error de éste.

El ICRS está basado en una definición cinemática, no es otra cosa que el BCRS, va

acompañado de las teorías de PN y rotación de la Tierra con sus correspondientes constantes,

coeficientes, amplitudes y escala de tiempo.

Se trata de un SR cuasi inercial ecuatorial en el que se establecen las teorías del

movimiento en el entorno del Sistema Solar y en el que se tienen las coordenadas de las

estrellas y objetos espaciales.

El ICRS tiene su origen “O” en el baricentro del Sistema Solar, sus ejes “X, Y, Z” en

direcciones fijas respecto a cuásares.




Su plano principal está lo más próximo posible al Ecuador medio J2000.0 teniendo en

cuenta los modelos adoptados por la UAI de PN (eje “OZ” es perpendicular al plano

fundamental y está dirigido al Polo “CRP”), la dirección “OX” lo más próxima posible al

Equinoccio dinámico medio J2000.0 (hacia el punto o en el ecuador de CRP) y el eje “OY”

formando un triedro con los anteriores, [Figura 8.3a].

Figura 8.3a: ICRS

Para fijar el origen de las ascensiones rectas () del ICRS lo más próximo posible al

Equinoccio dinámico J2000.0, el o del eje XIERS fue definido adoptando la media de los de

23 radiofuentes que se calcularon fijando la del Cuásar 3C273B (Algol en Perseo) en su

valor del catálogo FK5 de 12h 29m 06.s6997 en J2000.0. Las coordenadas usadas para

identificar un astro son las coordenadas esféricas Ascensión Recta () y Declinación ().

A partir del 01/01/1998 el ICRS reemplaza oficialmente al FK5 y se ha determinado que

es consistente con él dentro de una precisión de 50 milisegundos de arco (mas), la precisión

del FK5.

El ICRS no se materializa en forma directa, sino que debe escogerse una base física para

su realización. Queda materializado por el Marco de Referencia Celeste Internacional (ICRF)

donde las coordenadas esféricas de un objeto celeste se denomina simplemente y .




8.3.2- Marco de Referencia Celeste Internacional (ICRF)

El ICRF (International Celestial Reference Frame) es la realización del ICRS. Se define

por las coordenadas ecuatoriales J2000.0 de un conjunto de radiofuentes extragalácticas

determinadas por VLBI con precisiones debajo del mas. Su origen se localiza en el baricentro

del Sistema Solar utilizando la formulación correspondiente a la relatividad general.

Suponiendo que las radiofuentes no tienen movimientos propios, se garantiza la estabilidad

rotacional del sistema.

Figura 8.3b: Distribución de las radiofuentes para el ICRF

La determinación de las coordenadas de las radiofuentes se realiza desde 1989 por el

International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS). Actualmente se está

utilizando alrededor de 700 radiofuentes, entre ellas unas 300 de definición, candidatas (serán

en el futuro de definición) y otras (no muy bien definidas), [Figura 8.3b].

Para el uso práctico, el conjunto de direcciones de las radiofuentes debe poder

trasladarse al espectro visible; eso pudo hacerse mediante el catálogo Hipparcos, alineado con

el ICRS, que contiene unas 120 mil posiciones de estrellas. Se dice, por lo tanto, que el

Hipparcos es la realización práctica primaria del ICRS en el espectro visible.




Otros catálogos como el Tycho 2, el UCAC 2/3 o el USNO-B1.0 proporcionan

posiciones referidas al ICRS para muchas más estrellas pero no con tanta precisión.

Aunque el catálogo FK5 fue la última realización práctica tradicional de los ejes de un

SR celeste, posteriormente al ICRS se publicó el FK6, una versión corregida del anterior

obtenida con una combinación de datos del Hipparcos con observaciones terrestres. Los

movimientos propios del FK6 son de gran calidad pero al tratarse de un catálogo con solo

unos pocos miles de estrellas, la utilidad es limitada.

La precisiones del Hipparcos (: 0.77 mas , : 0.64 mas) son mejores que el FK5 y

están para la época 1991.25 . Si se desea obtener posiciones de estrellas del Hipparcos al

tiempo T en el ICRS se deben corregir las coordenadas por movimiento propio en el intervalo

T – 1991.25 .

8.4- Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRS)

Para dar la posición y velocidad de un observador terrestre necesitamos un SR que gire

con la Tierra, por lo tanto un SR Terrestre es un arreglo espacial en rotación con la Tierra en

su movimiento diurno. En este sistema las coordenadas de los puntos de la superficie solo

tendrán pequeñas variaciones temporales debidas a efectos geofísicos.

El Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRS) es el SR Convencional (CTRS)

proporcionado por el IERS, que es la institución encargada de definir, determinar y

promocionar el ITRS.

El sistema Convencional Terrestre (CTRS) tiene su materialización en el Marco de

Referencia Terrestre Internacional (International Terrestrial Reference Frame –ITRF-). El

CTRS es un sistema en rotación definido a partir de un arreglo geocéntrico no rotante idéntico

al GCRS de la UAI. Es la base del ITRS.

Un Marco de Referencia Terrestre es un conjunto de puntos materializados en la

superficie de la Tierra con coordenadas perfectamente determinadas en un sistema de

coordenadas dado, mediante coordenadas geodésicas) conectado al SR Terrestre. Se verá más

adelante.

Entonces, el Sistema de Referencia Terrestre Internacional fijo a la Tierra tiene por

definición, [Figura 8.4a]:




Figura 8.4 a: ITRF

Origen “O”: en el centro de masas de la Tierra incluyendo océanos y atmósfera.

Plano Principal: plano del Ecuador terrestre.

Polo “Ro”: próximo al polo de rotación, hacia donde se dirige el eje Oz.

Dirección “Ox”: es el origen de las longitudes.

Punto “o”: en el ecuador de Ro.

Dirección “Oy”: formando un triedro directo.

Las coordenadas Latitud y Longitud empleadas en el ITRS son "geodésicas (o

elipsóidicas)", a pesar que la mayoría de las veces se las mal denomina como "geográficas",

término tradicionalmente reservado a la astronomía.

8.5- Marco de Referencia Terrestre Internacional (ITRF) El Marco de Referencia Terrestre Internacional (International Terrestrial Reference

Frame -ITRF-) es una realización del ITRS. Consiste en una lista de coordenadas y

velocidades de las Estaciones IERS para una época ITRFyy donde “yy” son los dos últimos

dígitos del año.




El ITRF viene dado por una combinación de velocidades de una red de estaciones en la

superficie de la Tierra, calculadas por diversos centros de análisis utilizando observaciones

espaciales VLBI, SLR, LLR GPS y Doris, organizadas por el IERS, [Figura 8.5a].

Figura 8.5a: Red mundial de estaciones que conforman el ITRF

Cada técnica geodésica espacial arroja su propio conjunto de datos cuyo análisis

produce un MR. En el IERS cada MR es expresado como una determinación del ITRF. El

ITRF final se obtiene por medio de una combinación de soluciones individuales realizadas

por el Centro de Productos IERS en coordenadas rectangulares cartesianas.

Para obtener coordenadas geodésicas se utiliza el elipsoide de referencia del Sistema

Geodésico de Referencia denominado GRS80 que posee su eje principal a = 6378137 m y

aplanamiento f = 1/298.257222101 .

La posición de un punto de la superficie de la Tierra sólida se supone variable con el

tiempo, entonces el modelo general que conecta la posición instantánea real X(t) de un punto

anclado en la corteza en una época “t”, con una posición regularizada XR es:

X(t) = XR(t) + i Xi(t) [1]

Donde Xi son las correcciones debidas a diversos efectos o variaciones temporales de

alta frecuencia: mareas terrestres, carga oceánica, marea polar, deshielo glacial, carga

atmosférica, sismos y volcanes, aguas subterráneas y variaciones del Geocentro.




Para alcanzar la precisión requerida las correcciones deben conocerse con exactitud de

un milímetro. La determinación del Geocentro se hace por observaciones SLR.

La posición regularizada “XR(t) ” elimina las variaciones temporales de alta frecuencia y

usa un modelo donde las posiciones varían con el tiempo en forma regular:

XR(t) = Xo + dX/dt (t – to) [2]

Donde “Xo, to” son las “coordenadas” y el “tiempo” en una época de referencia, y

“dX/dt” las variaciones temporales.

Las realizaciones del ITRF consisten en listas de coordenadas y velocidades de

estaciones seleccionadas por el IERS, estas determinaciones están afectadas por los factores:

a) Relación entre el ICRS y el ITRS tales como la velocidad de rotación de la Tierra.

b) Las coordenadas a priori de las Estaciones.

c) El modelo de tectónica de placas utilizado para las velocidades de las Estaciones.

d) El modelo de Geopotencial adoptado.

e) La constante de gravitación y masa de la Tierra.

f) La velocidad c de la luz.

g) Mareas terrestres y oceánicas.

h) Presión de radiación solar.

i) Estado y marcha de los relojes.

j) Efectos atmosféricos.

k) Variaciones de la antena y de los receptores.

La historia del ITRF comienza en 1984 hasta 1987 con una lista de coordenadas y

velocidades de las estaciones combinadas de una solución llamada BTS84, realizada por el

Bureau International de´ l Heure (BIH) del Observatorio de París, usando observaciones

VLBI, LLR, SLR y Doris. Después se encarga el IERS habiendo 10 versiones más del ITRF:

88, 89, 90, 91, 92, 94, 96, 97, 96+97, 2000 y por último el ITRF2005 con 800 estaciones en 500

sitios con 101 localizaciones. Está en proceso de realización el ITRF2008 con la estación San

Juan SLR integrando la red.




Entonces, hasta el momento, el ITRF2005 es el último MR producido por el IERS, donde

predominan sitios en Europa y Norteamérica. Casi la mitad de las posiciones de las estaciones

participantes tienen precisiones mejores que 1 centímetro y en unos cien sitios las velocidades

tienen precisiones de 1 milímetro/año.

8.5.1- Relaciones entre los Marcos de Referencia

La relación estándar para las conversiones entre dos MR implica una transformación de

Helmert de 7 parámetros, que comprende tres componentes de traslación, un factor de escala

y tres ángulos de rotación, designados respectivamente por T1, T2, T3, D, R1, R2, R3 .

Además se consideran otros 7 parámetros correspondientes a sus primeras derivadas en

el tiempo: .......

R,R,R,D,T,T,T 321321

Figura 1.12b: Traslaciones y rotaciones para la conversión de las coordenadas de un punto P de un marco de referencia (1) a otro marco de referencia (2).

La trasformación de un vector de coordenadas X1, expresado en un marco de referencia

(1), a otro vector de coordenadas X2, expresado en un marco de referencia (2), [Figura 8.5b],

está dada por la siguiente ecuación:

1112 RXDXTXX [3]




donde :

00

0 ,

12

13

23

3

2

1

RRRR

RRR

TTT

T

Se asume que la ecuación [1.3] es lineal para un set de coordenadas provisto por una

determinada técnica espacial. Diferenciando la ecuación [1.3] respecto del tiempo obtenemos:

.......11112 XRXRXDXDTXX [4]

Debido a que D y R son valores del orden de 1 x 10-05 y .X es de unos pocos centímetros por

año, los términos .

, .

11 XRXD pueden despreciarse, ya que representan cantidades pequeñas

del orden de 0.1 milímetros en 100 años. Por lo tanto la expresión [1.4] puede reducirse a:

112 XRXDTXX.....

[5]

Se requiere también identificar las épocas “fuente” y “destino” entre los marcos

involucrados haciendo la diferencia de épocas: dt = época destino – época fuente. Para

efectuar un cambio de época se aplica la siguiente ecuación:

P(t) = P(época) + P (t – época) , [6]

donde el parámetro P es la velocidad que puede encontrarse en series publicadas por el IERS.

Dichas series también ofrecen los 14 parámetros de transformación entre los MR 2000, 2005

y 2008. Un ejemplo se muestra a continuación en las Tabla 1 y Tabla 2:




Tabla 1: Parámetros de Transformación a la época 2005.0 del ITRF2005 al ITRF2000

Tx(mm) Ty(mm) Tz(mm) D(ppb) Rx(mas) Ry(mas) Rz(mas)

. . . . . . . Tx(mm/y) Ty(mm/y) Tz(mm/y) D(ppb/y) Rx(mas/y) Ry(mas/y) Rz(mas/y) ____________________________________________________________________ -0.1 -0.8 -5.8 0.40 0.00 0.00 0.00

0.3 0.3 0.3 0.05 0.012 0.012 0.012

-0.2 0.1 -1.8 0.08 0.000 0.000 0.000

0.3 0.3 0.3 0.05 0.012 0.012 0.012 _________________________________________________________________________________

Tabla 2: Parámetros de Transformación a la época 2005.0 del ITRF2008 al ITRF2005

Tx(mm) Ty(mm) Tz(mm) D(ppb) Rx(mas) Ry(mas) Rz(mas)

. . . . . . . Tx(mm/y) Ty(mm/y) Tz(mm/y) D(ppb/y) Rx(mas/y) Ry(mas/y) Rz(mas/y) ____________________________________________________________________ -0.5 -0.9 -4.7 0.94 0.00 0.00 0.00

0.2 0.2 0.2 0.03 0.08 0.08 0.08

0.3 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00 0.00

0.2 0.2 0.2 0.03 0.08 0.08 0.08 _________________________________________________________________________________

En las Tablas 1 y 2 anteriores las unidades están dadas en milímetros (mm), partes por

billón (ppb) -equivalentes a 1x10-09 metros-, milésimas de segundos de arco (mas) e (y) en

años.




8.5.2- ITRF 2008

La determinación precisa de órbitas satelitales, la cuantificación de la rotación de la

Tierra, el movimiento de las placas tectónicas o la variabilidad del nivel medio del mar, son

algunos ejemplos de las utilidades de los MR. El ITRF2008 es actualmente el último marco que

ha producido el IERS, de una cantidad de doce versiones realizadas desde el ITRF1988.

Las técnicas y observaciones geodésicas espaciales son las únicas empleadas en la

elaboración de los MR. Además del núcleo primario de estaciones de observación, la red

global está densificada con subredes GPS regionales. Para América la densificación toma el

nombre de SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas) y la red argentina

se denomina POSGAR (Posiciones Geodésicas Argentinas). Sus posiciones tienen precisiones

dentro del centímetro y las velocidades del orden de 1 milímetro por año.

El origen del ITRF2008 está definido de tal forma que no posee traslaciones ni

movimientos con respecto a un centro de masas medio de la Tierra, promediado por las series

temporales SLR. Su escala está definida anulando el factor de escala y su variación con

respecto al valor medio de las soluciones combinadas de las series de largo período dadas por

VLBI y SLR. La orientación del ITRF2008 está dada para la época 2005.0.

Para su construcción se han tomado en cuenta hasta este momento, 179 estaciones de

alta calidad geodésica, especialmente los sitios de co-locación. Las soluciones individuales

dadas por cada técnica se combinan en una única solución; se utilizan un modelo matemático

matricial donde entran en juego las posiciones, las velocidades y la época de las

observaciones de cada estación.

Teniendo en cuenta las matrices de pesos de las soluciones individuales (inversas de las

matrices de covarianza), las soluciones combinadas se obtienen por mínimos cuadrados

utilizando un proceso iterativo para aplicar factores de varianza óptimos y eliminar

observaciones groseras. Se necesitan aproximadamente cinco iteraciones, eliminándose así en

el orden del 1% de los datos totales.

Para muchas aplicaciones y para asegurar el enlace entre el ITRF2005 y el ITRF2008, debe

hacerse una transformación entre los dos marcos según lo explicado en la sección 8.5.1. Las

mismas 179 estaciones usadas para el alineamiento y orientación del ITRF2008 son empleadas

también para estimar los parámetros de la transformación.




La fórmula matricial [7] dada a continuación, es una aplicación de las ecuaciones [3] y

[5] para la transformación 2008 al 2005.

2008200820082005

2008200820082005

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

z

y

x

R

z

y

x

T

z

y

x

z

y

x

zyx

Rzyx

DTzyx

zyx

.

.D

[7]

donde T es el vector de traslación, T = (Tx, Ty, Tz)T , D es el factor de escala y R es la matriz

que contiene los ángulos de rotación:

00

0

RxRyRxRz

RyRzR

Los parámetros con el punto superior denotan las derivadas respecto del tiempo. Para

realizar el cálculo inverso ITRF2005 a ITRF2008 se permutan las matrices 2008 por 2005 y se

cambian los signos de los parámetros de transformación.

8.6- Polo Celeste Intermedio (CIP) La UAI implementó a partir del 01/01/2003 el Polo Celeste Intermedio (CIP) el cual se

encuentra próximo al eje de rotación instantáneo de la Tierra y define el Eje Intermedio del

CIP.

Como el CIP se encuentra afectado de los fenómenos de PN, etc., su dirección para la

época J2000.0 está desviada de la dirección del polo GCRS (el anteriormente definido Polo

Convencional de Referencia CRP). La UAI definió al CIP como el polo cuyo movimiento en

el GCRS viene dado por el movimiento del eje medio de Tisserand de la Tierra con periodos

mayores a dos días.




El CIP puede localizarse en el GCRS a través de la ascensión recta () y la declinación

(). De igual manera la posición del CIP puede darse en el ITRS a través de sus coordenadas

geográficas Latitud () y Longitud (), [Figura 8.6a].

El movimiento del CIP está de acuerdo al modelo de PN IAU2000 y su movimiento

respecto al ITRS será dado por el IERS mediante observaciones VLBI y desde el 01/01/20003

reemplaza al Polo Celeste de Efemérides (CEP).

Figura 8.6a: Sistema intermedio CIP

Tiene la ventaja de poder monitorearse su movimiento tanto en el ITRS como en el

GCRS, permitiendo diferenciar el movimiento celeste del terrestre. El objeto principal del CIP

es facilitar la transformación entre aquellos dos sistemas; se ubica próximo al eje instantáneo

de rotación de la Tierra y sus movimientos celestes y terrestres son separables por las

observaciones. EL CIP es un polo intermedio definido por convención que separa el

movimiento del polo en el GCRS y el ITRS en una parte celeste y una terrestre.

___________________________________________________________________________

Nota 1:

Desde siglos atrás han existido organismos internacionales con la misión de estudiar la

rotación de la Tierra y la materialización de un SR Terrestre. Así en 1985, se creó el




“International Latitude Service (ILS)” y en 1919 el “Bureau International de l'Heure (BIH)”

con la responsabilidad de coordinar el Tiempo Universal.

El ILS estaba constituido por 5 estaciones astronómicas ubicadas sobre el paralelo de

39° Norte, que tenían la responsabilidad de determinar el movimiento del polo de rotación

respecto a la superficie de la Tierra. Para ello se concretó un Polo Medio fijo a la superficie,

materializado por las Latitudes de aquellas estaciones fundamentales, definiendo el Origen

Convencional Internacional (CIO). El advenimiento posterior de nuevos países y estaciones

dio lugar en 1962 al nacimiento del “International Polar Motion Service (IPMS)”, con casi

un centenar de lugares participantes.

El sistema de ejes materializado por las coordenadas medias de las estaciones

constituía el SR, cuyo eje Z apuntaba hacia el CIO y el eje X hacia el Meridiano de

Greenwich.

La precisión alcanzada en la determinación de coordenadas terrestres obligaba a un

cambio conceptual: “No es posible materializar un SR Terrestre en base a coordenadas fijas,

porque ninguna de estas estaciones sobre la superficie puede considerarse inmóvil; todas

ellas están animadas de movimientos debido principalmente a las placas tectónicas”.

En 1987 la Unión Astronómica Internacional y la Unión Internacional de Geodesia y

Geofísica crean el “International Earth Rotation Service (IERS)” incorporando las

tecnologías VLBI, LLR, SLR, GPS y DORIS, con la responsabilidad de mantener los SR

Celeste y Terrestre.

En el año 2003 se renombra al IERS como “International Earth Rotation and Reference

Systems Service” y se elaboran las nuevas definiciones.

___________________________________________________________________________

Nota 2:

En Geodesia y Astronomía se ha trabajado con el llamado Polo CIO (Conventional

International Origin) definido como la posición media del eje de rotación, afectado solo del

movimiento libre denominado periodo de Chandler (430 días). Este Polo ha caído en desuso

ya que la precisión en sus posiciones es del orden de un metro y hoy en día se necesitan

precisiones superiores.

Otro ejemplo es el Polo Celeste de Efemérides (CEP) definido por la UAI y utilizado en

astronomía. Es la posición del eje del momento angular afectado solo de movimiento libre.




No presenta variaciones diurnas y es posible determinarlo astronómicamente con un SR

Celeste mediante PN. Este también queda desactualizado frente a las precisiones modernas.

El mismo problema que se presenta para el eje de rotación “Z” se plantea para los

otros ejes. Si al eje “X” lo definimos perpendicular al “Z” pasando por el Geocentro y

conteniendo al meridiano de Greenwich, vemos que tenemos que recurrir a una definición

convencional.

Si utilizamos ejes principales de inercia tenemos el problema que son variables con 2

metros diario de movimiento libre y hasta 60 metros diarios de movimiento forzado (debido

al Sol y a la Luna).

___________________________________________________________________________

El sistema intermedio es un arreglo de ejes teórico para describir la rotación de la Tierra

pero poco adecuado para una definición operativa práctica. Para materializarlos se toman una

serie de coordenadas rectangulares de observatorios más las deformaciones medidas y

mediante un tratamiento con mínimos cuadrados se pueden hacer coincidir los ejes

geográficos con los de Tisserand. Queda entonces el eje “Z” próximo al eje de Tisserand y el

eje “X” próximo a Greenwich con buena precisión.

El uso de un eje intermedio para transformar el GCRS en ITRS es tradicional pues

facilita dicho cambio, aunque evidentemente la conversión directa utilizando los ángulos de

Euler es posible.

Respecto al GCRS:

El sistema GCRS no rota, tiene un eje “OZ” en la dirección del polo fijo CRP designado

por “Co”, el eje “OX” hacia el origen de ascensiones rectas designado por “o” y el eje

“OY” formando un triedro directo [Figura 8.6b].

Para situar la dirección del CIP, designado simplemente por “P”, utilizamos los ángulos

“E” y “d”, ascensión recta y distancia polar respectivamente:

^ E = o Co P , d = Co P




Figura 8.6b: Coordenadas del polo CIP (P) en los sistemas Celeste (GCRS) en color azul y terrestre (ITRS) en color rojo.

Entonces los cosenos directores (o coordenadas) del CIP en el GCRS vienen dados por:

X = sen d cos E , Y = sen d sen E , Z = cos d [8]

Las posiciones del polo CIP, en movimiento, puede

tomarse como el eje “O” de un SR intermedio (), donde el

eje “O” se dirigirá hacia un punto “” del ecuador CIP y el

eje “O” formando un triedro, [Figura 8.6c]. La orientación de

este sistema intermedio se determina por la condición de que

cualquier desplazamiento infinitesimal del CIP no tiene

rotación instantánea alrededor del eje “O”. Fig. 8.6c: SR intermedio en CIP

Las coordenadas de los astros referidas a este sistema se denominan Ascensión Recta y

Declinación Verdaderas o Intermedias




Sabemos que la posición del polo varía en el tiempo, en consecuencia también lo hacen

el ecuador y el equinoccio. Cuando se especifica de forma concreta el ecuador y el equinoccio

debe indicarse si se incluye o no la nutación y en segundo lugar la época (o fecha). Cuando la

nutación no se considera se usa la palabra medio. Así hablamos de ecuador medio. Cuando la

nutación se tiene en cuenta se denomina ecuador instantáneo.

Respecto al ITRS:

El sistema ITRS tiene el eje “Oz” dirigido hacia el Polo Terrestre designado por “Ro”,

el eje “Ox” hacia el origen de las Longitudes, denominado “o” y el eje “Oy” formando un

triedro directo, [Figura 8.6b]. Para situar la dirección del CIP en el ITRS utilizamos los

ángulos de posición “F” y “g” (longitud y colatitud):

^ F = o Ro P , g = Ro P

Entonces los cosenos directores del CIP en el ITRS vienen dados por:

x = sen g cos F , y = sen g sen F , z = cos g [9]

Las posiciones del CIP respecto del ITRS vienen dadas en el Boletín B del IERS por las

llamadas Coordenadas del Polo (xp , -yp), donde xp está dirigido hacia o, pero yp está 90°

hacia el oeste.

8.7- Orígenes Intermedio Celeste (CIO) y Terrestre (TIO) La UAI 2000 recomendó utilizar a partir del 01/01/2003, lo siguiente:

● Usar el origen no rotante en el GCRS y que se llame “Origen Celeste Intermedio (CIO)”

sobre el ecuador del CIP.

● Usar el origen no rotante en el ITRS y que se llame “Origen Terrestre Intermedio (TIO)”

sobre el ecuador del CIP.




● El Tiempo Universal Uno (UT1) será linealmente proporcional al “Ángulo de Rotación de

la Tierra (ERA)” que es el ángulo medido sobre el ecuador del CIP, entre los vectores

unitarios al CIO y TIO.

● La transformación entre los sistemas ITRS y GCRS está dada por la posición del CIP en el

GCRS, la posición del CIP en el ITRS y el Ángulo de Rotación de la Tierra.

● Que el IERS proporciona los algoritmos y datos para esta transformación.

CIO

El Origen Celeste Intermedio (CIO), denotado por “” es un punto sobre el ecuador

verdadero del CIP a la fecha “t”, sin rotación alrededor del eje del CIP cuando el CIP se

mueve en el GCRS. Conectado al CIP y al CIO se tiene el que hemos llamado “Sistema de

Referencia Celeste Intermedio (O, c, c, c )”, [Figura 8.7a]. Este sistema no tiene

componente de rotación a lo largo del eje vertical “O ” del CIP en el sistema GCRS. El CIO

es pues el origen de las ascensiones rectas sustituyendo, en consecuencia, al equinoccio

verdadero de la fecha.

Figura 8.7a: Puntos orígenes CIO y TIO




TIO

El Origen Celeste Intermedio (TIO), denotado por “”, es un punto sobre el ecuador

verdadero del CIP en la fecha “t”, definido cinemáticamente por la condición de que no hay

rotación de ese punto alrededor del CIP (eje OT) cuando el CIP se mueve en el ITRS,

[Figura 8.7d]. Conectado al CIP y al TIO se tiene un Sistema de Referencia Intermedio de la

fecha.

ERA

El Ángulo de Rotación de la Tierra (ERA) se define como el arco entre el vector unitario

en la dirección del TIO y el vector unitario en la dirección del CIO, [Figura 8.7d]. Se mide

sobre el ecuador verdadero (ecuador del CIP) positivo en sentido retrógrado (al oeste) a partir

del TIO. Puede definirse también como el ángulo horario del CIO.

Este ángulo sustituye al Tiempo Sidéreo (ST) y se designa con la letra “”. Las

definiciones dadas del TIO y CIO como orígenes no rotantes aseguran que “” está libre de

PN y la derivada “d/dt” es exactamente la velocidad angular instantánea de rotación de la

Tierra alrededor del CIP. Esto da una definición rigurosa aunque en el futuro se cambien los

modelos del movimiento del CIP alrededor del GCRS o ITRS, inclusive cambiando el GCRS.

El Tiempo Universal (UT) es la medida de tiempo usada como base en la vida civil, está

relacionado con el movimiento medio del Sol y con la rotación de la Tierra. Debido a las

dificultades de la determinación precisa del movimiento aparente del Sol, el UT se relaciona

directamente en forma convencional con “” a través de la fórmula “(Tu)” .

El tiempo observado que depende del lugar de observación se denomina “UT0” y si lo

corregimos por movimiento del polo se denomina “UT1”, independizándolo del lugar de

observación y solo dependiendo de la rotación de la Tierra.

El IERS determina por VLBI y LLR este TU1 y lo relaciona con el Tiempo Universal

Coordinado (UTC) en el Boletín B publicitado.

Entonces, “” representa la rotación sidérea de la Tierra. La relación entre “” y “UT1”

es:

(Tu) = 2 (0.779 057 273 2640 + 1.002 737 811 911 354 48 Tu) [10]

Donde: Tu = JDUT1 – 2451545.0




JDUT1: es la fecha juliana del instante “t” en UT1 y 2451545.0 es la fecha juliana del

01/01/2000 a las 12 horas TU1.

Esta relación dada para “(Tu)” ha sido deducida de la expresión convencional del

GMST (Greenwich Mean Sideral Time) a 0h TU de 1982:

GMST = 24110S.54841 + 8640184S.12866 Tu + 0S.093104 Tu2 – 6S.2 x 10-06 Tu3

[11]

Donde Tu = (JD – 2451545.0)/36525.

___________________________________________________________________________

Nota 3:

La expresión [11] se la modificó para hacerla compatible con la teoría de PN UAI

2000.0 . Esta fórmula estaba basada en la de Newcomb de la ascensión recta del Sol Ficticio

Medio con las constantes UAI 1976. La misma estaba asociada con el uso de catálogos de

estrellas y el UT1 se determinaba indirectamente por observaciones de estrellas. En 1997 se

la perfeccionó añadiéndole términos complementarios para hacerla consistente con la

precisión del VLBI.

La nueva definición del “(Tu)” está asociada a las técnicas modernas, principalmente

con observaciones VLBI y con el ICRS realizado con radiofuentes extragalácticas.

En este caso se necesita una nueva definición del GST cuya expresión tiene en cuenta la

desviación del equinoccio medio J2000.0 respecto del origen “o” en el ICRS.

___________________________________________________________________________

8.8- Transformación entre los Sistemas Celestes y Terrestres GCRS e ITRS.

Sistemas de Referencias Intermedios

La transformación de coordenadas que relaciona el Sistema de Referencia Terrestre

Internacional (ITRS) con el Sistema de Referencia Celeste Internacional (GCRS) a la época

“t” puede escribirse como:

[GCRS] = Q(t) R(t) W(t) [ITRS] [12]




Donde: Q(t): es la matriz de movimiento del polo celeste en el SR Celeste

R(t): es la matriz que representa la rotación de la Tierra

W(t): es la matriz que representa el movimiento polar

Cada una de estas matrices de transformación son una serie de rotaciones sobre los ejes

1, 2 y 3 del marco de coordenadas.

De acuerdo a las resoluciones IUU 2006, para la aplicación de la transformación W(t) se

usa el CIP como eje “z” y el TIO como eje “x”. Este procedimiento se llama Sistema de

Referencia Terrestre Intermedio (TIRS).

Para la aplicación de las transformaciones Q(t) y R(t) el procedimiento se realiza sobre

un Sistema de Referencia Celeste Intermedio (CIRS) a la época “t”, usando el CIP como

eje “z” y el CIO como eje “x”.

Puede también emplearse un procedimiento clásico utilizando el CIP como eje “z” y el

Equinoccio como eje “x”. Este método se llama “Equinoccio y Ecuador Verdadero” y usa el

Tiempo Sidéreo Aparente de Greenwich (GST) en la matriz de transformación R(t) y la PN

clásicas para Q(t).

8.8.1- Expresión para la Matriz de transformación por Movimiento Polar W(t)

La matriz para el movimiento polar que relaciona el ITRS con el TIRS es:

W(t) = R3(-s´) R2(xp) R1(yp) [13]

Donde: xp, yp : son las coordenadas polares del CIP en el ITRS

s´: es la cantidad denominada “Locador TIO” que provee la posición del TIO sobre el

Ecuador del CIP

R1, R2 y R3: representan las matrices de rotación estándar alrededor de los ejes x, y, z:

1 0 1 cos u 0 -sen u cos u sen u 0 R1 = 0 cos u sen u R2 = 0 1 0 R3 = -sen u cos u 0 0 -sen u cos u sen u0 0 cos u 0 0 1

Siendo “u” el ángulo de Rotación.




8.8.2- Expresión para la Matriz de transformación R(t) de la Rotación Terrestre

R(t) = R3 (-ERA) [14]

Donde : ERA es el ángulo de rotación de la Tierra entre el CIO y el TIO a la fecha “t” sobre

el Ecuador del CIP.

La transformación R(t) basada en el Equinoccio transforma desde el TIRS al

Equinoccio Verdadero y Ecuador Verdadero. Usa el Tiempo Sidéreo Aparente de Greenwich,

por ejemplo el ángulo entre el Equinoccio y el TIO, para representar el ángulo de Rotación de

la Tierra en lugar del ERA.

8.8.3- Expresión para la Matriz de transformación Q(t) del Mov. Celeste del CIP

Q(t) = R3(-E) R2(-d) R3(E) R3(s) [15]

Donde:

(E,d): son las coordenadas del CIP en el GCRS : X = sen d cos E , Y = sen d sen E,

Z = cos d

s: es la cantidad llamada “Locador CIO” que provee la posición del CIO sobre el CIP, cuando

el CIP está moviéndose respecto al GCRS entre la época de referencia y la fecha “t”,

debido a PN.

)()(1

)()()()()(0

...

oNooNodttZ

tXtYtYtXtst

t

[16]

Donde:

o y o: son las posiciones del CIO a J2000.0 y el origen del eje X del GCRS

respectivamente.

No: es el nodo ascendente del Ecuador a J2000.0 en el GCRS.




Dentro de 1 microsegundo de arco (as) por siglo podemos escribir:

1-aX2 -aXY X Q(t) = -aXY 1-aY2 Y R3(s) -X -Y 1-a(X2+Y2)

Donde: a = 1/(1 + cos d) o también a = ½ + 1/8 (X2 +Y2)

8.9- Parámetros a usarse en la transformación. Movimiento del Polo Celeste

Intermedio en el ITRS Las coordenadas del polo (xp, yp) son publicadas por el IERS con componentes

adicionales que contemplan los efectos de mareas oceánicas y términos de nutación con

periodos menores a dos días.

(xp, yp) = (x, y)IERS + (x, y)Mareas + (x, y)Nutación

Donde: (x, y)IERS: son las coordenadas del Polo provistas por el IERS

(x, y)Mareas: son las componentes de mareas oceánicas

(x, y)Nutación: son las componentes de la nutación

La cantidad (s´ ) puede expresarse mediante la ecuación:

dtyppxpyxptst

to)(2/1)´(

.. [17]

Esta es sensible solo a grandes variaciones de movimiento polar; puede calcularse y

extrapolarse de los datos del IERS.

s´= -0.0015 (a2c/1.2 + a2

a) t [18]

Donde: “ac” y “aa” son las amplitudes promedio en segundos de arco del Período de Chandler

y el Balanceo Anual respectivamente, en el período considerado.




El valor de s´ será por lo tanto menor que 0.4 mas en el siglo, aún cuando las amplitudes

para los períodos Chandler y Anual sean del orden de 0”.5 y 0”.1 respectivamente. Usando

estas estimaciones: s´= -47as t

8.9.1- Algoritmos para la transformación entre ITRS y GCRS

Las rutinas implementadas para las transformaciones son provistas por el Standards Of

Fundamental Astronomy service (SOFA) de la IAU. Las rutinas varían de complejidad desde

módulos simples hasta transformaciones completas, mediante implementaciones en Fortran

77 y lenguaje C. La página de Internet correspondiente es: http://iau-sofa.hmnao.com/

Existen dos caminos para realizar la transformación desde el ITRS al GCRS provista por

la fórmula [12]:

a) La transformación basada en el Origen Celeste Intermedio (CIO) y el Ángulo de Rotación

de la Tierra (ERA).

b) La transformación clásica basada en el Equinoccio y el Tiempo Sidéreo de Greenwich, con

los ángulos de PN clásica.

La ecuación que liga estos dos métodos es la Ecuación de los Orígenes (CIO - ) o su

equivalente ERA-GST.

Para ambas transformaciones el procedimiento es formar los factores de la expresión

[12] eligiendo para Q(t) y R(t) la forma basada en el CIO o la forma clásica, y luego combinar

estas componentes en una matriz Terrestre-Celeste completa.

En ambos casos, la matriz de movimiento polar W(t) se necesita usando las coordenadas

del polo (xp, yp). Esto puede lograrse llamando a la subrutina SOFA denominada “POM00” y

luego transponiendo el resultado con la rutina de soporte “TR”. También requiere la cantidad

s ́modelada por la rutina “SP00”.

Las rutinas SOFA que sustenta el modelo IAU 2006/200A incluyen, entre otras, lo

siguiente:




BP06 : Matriz Celeste a Verdadera, dando y

C2I06A : Matriz Celeste a Intermedio, IAU 20006/2000A

C2IXYS : Matriz Celeste a Intermedio, dando X, Y y s

C2T06A : Matriz Celeste a Terrestre, IAU 2006/2000A

C2TCIO : Matriz Celeste a Terrestre basada en el CIO

EORS : Ecuación de los Orígenes, dando la matriz Celeste a Verdadera y s

ERA00 : Ángulo de Rotación de la Tierra

GMST06 : Tiempo Sidéreo Medio de Greenwich, IAU 2006

GST06A : Tiempo Sidéreo Aparente de Greenwich, IAU 2006/2000A

NUM06A : Matriz de Nutación, IAU 2006/2000A

NUT06A : Componentes de Nutación, IAU 2006/2000A

PNM06A : Matriz Celeste a Verdadera, IAU 2006/2000A

POM00 : Matriz de Movimiento Polar

SP00 : La cantidad s´

XY06 : X, Y con series semianalíticas, IAU 2006/2000A

XYS06A : X, Y, s , IAU 2006/2000A

La matriz Q(t) tiene en cuenta los efectos combinados de precesión, nutación y

tendencia del marco. Para la transformación basada en el CIO, aquella es la matriz

“intermedia a celeste” y puede ser obtenida, como su transpuesta, usando las rutinas SOFA

C2IXYS, comenzando en la posición CIP X, Y y la cantidad s que define la posición del CIO.

La IAU 2006/2000A X,Y, s está disponible llamando a la rutina SOFA XYS06A.

En el caso de la transformación basada en el Equinoccio, la contraparte para la matriz

Q(t) es la matriz “verdadera a celeste”, que requiere las componentes de nutación y

que pueden predecirse usando el modelo IAU 2000A, con ajustes para que coincida con la

precesión IAU 2006, por medio de la rutina NUT06A. Más rápido pero con menor precisión

las predicciones están disponibles mediante NUT00B, que implementa el modelo truncado

IAU 2000B. Una vez conocidos y , la matriz “verdadera a celeste” se obtiene llamando

la rutina PN06 y su transpuesta con TR.




La componente intermedia es el ángulo para la rotación de la Tierra que define la matriz

R(t). Para la transformación basada en el CIO, el ángulo en cuestión es el ERA, el cual puede

ser obtenido llamando a la rutina SOFA ERA00. La contraparte en el caso de la

transformación basada en el Equinoccio es el Tiempo Sidéreo Aparente. Este puede ser

obtenido con la rutina GST06, dando la matriz “celeste a verdadera”.

Las tres componentes de la ecuación [12], la matriz de precesión nutación, la cantidad

de la rotación de la Tierra y la matriz de movimiento polar, están ensambladas en la matriz

final de “terrestre a celeste” con la rutina C2TCIO (basada en el CIO) o C2TEQX (basada en

el equinoccio) y la transpuesta requerida TR.

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