tema iii3 teoria - ocw.unican.es · 2.puntos de referencia. 3.coordenadas cartesianas....

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.

Universidad de CantabriaDepartamento de Ing. Estructural y Mecánica

Capitulo IIICapitulo IIICapitulo IIICapitulo III

III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático

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CapCapCapCapíííítulo IIItulo IIItulo IIItulo IIIAnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismostico de mecanismostico de mecanismostico de mecanismos

III.1III.1III.1III.1 AnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Méééétodos grtodos grtodos grtodos grááááficos.ficos.ficos.ficos.III.2III.2III.2III.2 MMMMéééétodos analtodos analtodos analtodos analííííticos de anticos de anticos de anticos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.III.3III.3III.3III.3 MMMMéééétodos numtodos numtodos numtodos numééééricos de anricos de anricos de anricos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.

1.1.1.1. Coordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restriccióóóón.n.n.n.2.2.2.2. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicial.n inicial.n inicial.n inicial.3.3.3.3. Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.4.4.4.4. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.5.5.5.5. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.

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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis

cinemático

1.1.1.1. Coordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restriccióóóón.n.n.n.1.1.1.1. Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.2.2.2.2. Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.3.3.3.3. Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóón.n.n.n.4.4.4.4. Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.

2.2.2.2. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicial.n inicial.n inicial.n inicial.3.3.3.3. Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.4.4.4.4. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.5.5.5.5. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.

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cinemático

1.1.1.1. Coordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restriccióóóón.n.n.n.1.1.1.1. Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.2.2.2.2. Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.3.3.3.3. Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóón.n.n.n.4.4.4.4. Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.

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θ2

θ2 θ3

G = 1 G = 2

θ2 θ2 θ3

θ4

G = 1 G = 3

El número de grados de libertad define el número el número de elementos elementos elementos elementos de entradade entradade entradade entrada. Es decir, el número de motores y/o actuadores que deben colocarse en el mecanismo para proporcionar movimiento.

Coordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientes

6



Coordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientes

Coordenadas independientes:Coordenadas independientes:Coordenadas independientes:Coordenadas independientes: son aquellas que coinciden con el número de grados de libertad del mecanismo, y por tanto son el mínimo número de coordenadas necesarias para definir completamente la posición.

θ2 θ3

θ4

G = 3

[ ]432Ti θθθ=q

Las coordenadas independientes dependen directamente de la variable tiempotiempotiempotiempo. Son las entradas en el mecanismo y el analista establece como varían con el tiempo.

)t(11 θθ =

)t(22 θθ =

)t(33 θθ =

0)t( =ΦRestricciones temporales

7



Coordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientes

Coordenadas dependientes:Coordenadas dependientes:Coordenadas dependientes:Coordenadas dependientes: se puede emplear un número mayor de coordenadas que el número de grados de libertad. De esta forma se consigue una descripción mucho más sencilla del sistema pero deben de incluirse unas ecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restriccióóóónnnnque las relacione.

G = 3

[ ]432Ti θθθ=q

[ ]65Td θθ=q

[ ]TdTi

Tqqq =

θ2 θ3

θ4θ5

θ6

8



Coordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientes

El número de coordenadas dependientes puede ser seleccionado por el analista en función de los resultados que quiera obtener y por tanto no existe una regla fija.Sin embargo, cuando se emplean coordenadas dependientes es necesario ligarlas con las coordenadas independientes a través de lo que se conoce como ecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restriccióóóón.n.n.n. Estas ecuaciones de restricción deben ser introducidas en la formulación del problema cinemático.

G = 3

Ecuaciones de restricción:

[ ]432Ti θθθ=q

[ ]65Td θθ=q 0)q(

)q,q(

)q,q(

di2

di1==

ΦΦ

Φ θ2 θ3

θ4θ5

θ6

A

B

C D

E

FL2

L6

L5

L4

L3

9



Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnn

Por tanto, el número de ecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restriccióóóónnnn en un problema cinemático es igual al número de coordenadas dependientes empleadas. Estas restricciones dan lugar a un sistema de ecuaciones no lineal, más difícil de resolver cuantas más ecuaciones contenga.

Las ecuaciones de restricción pueden clasificarse en 2 tipos:

•Restricciones en los elementos:Restricciones en los elementos:Restricciones en los elementos:Restricciones en los elementos: En elementos rígidos se establecen normalmente como condición de longitud constante.

•Restricciones en los pares cinemRestricciones en los pares cinemRestricciones en los pares cinemRestricciones en los pares cinemááááticos:ticos:ticos:ticos: Son ecuaciones que permiten el movimiento relativo en los grados de libertad del par cinemático y restringen el resto de movimientos.

10



Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los elementos

i

j

Lij

0L)yy()xx( 2ij

2ji

2ji =−−+−

0L)zz()yy()xx( 2ij

2ji

2ji

2ji =−−+−+−

Espacio

Plano

0Lrr 2ijijij =−⋅

Otra forma de representarlo (producto escalar):

rij

i

j

Lij

11



;0Lrr 2ijijij =−⋅

;0Lrr 2ikikik =−⋅

;0Lrr 2kjkjkj =−⋅

Elemento con tres puntos (pares cinemáticos) no alineados:

i

k

jSe puede seguir aumentando el número de puntos (pares cinemáticos) en el elemento incluyendo nuevas ecuaciones de restricción.

0L)yy()xx( 2ij

2ji

2ji =−−+−

0L)yy()xx( 2ik

2ki

2ki =−−+−

0L)yy()xx( 2kj

2jk

2jk =−−+−

Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los elementos

12



Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los pares cinemáticos

X

Y

Z

OEcuaciones de restricción del par par par par de revolucide revolucide revolucide revolucióóóónnnn (R)(R)(R)(R):

(S)

(R)

ij

i j

0xx ji =−

0yy ji =−

0zz ji =−

Ecuaciones de restricción del par esfpar esfpar esfpar esfééééricoricoricorico (S)(S)(S)(S):

0xx ji =−

0yy ji =−

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En el par cilíndrico es necesario garantizar que existe un eje común en los dos elementos. La primera ecuación implica que los puntos i,j,k están alineados y la segunda ecuación implica que también lo están k,l,j.

Ecuaciones de restricción del par cilpar cilpar cilpar cilííííndricondricondricondrico (C)(C)(C)(C):

× =

× =

ij ik

kl kj

r r 0

r r 0

i k

j l

i

k

14




Ecuaciones de restricción del par prismpar prismpar prismpar prismááááticoticoticotico (P):(P):(P):(P):

α1,α2,α3: constantes del producto escalar

+

Cilíndrico + prismático

En el par prismático las restricciones son las mismas que en el cilíndrico pero además es necesario garantizar que el ángulo relativo entre los elementos no se modifica.

× =

× =

ij ik

kl kj

r r 0

r r 0

i k

j l

1

2

3

α

α

α

− =

− =

− =

i

i

i

im jn

im kn

im kn

r r 0

r r 0

r r 0

m

n

15




Ecuaciones de restricción de la Junta CardanJunta CardanJunta CardanJunta Cardan o UniversalUniversalUniversalUniversal: 2 gdl

0xx j2j1 =−

0yy j2j1 =−

0zz j2j1 =−

Esférico + cardan

Si además fuese necesario mantener el ángulo Ψ constante:

+

1Δθ1

Δθ2

2

0− =m nu u

21

ji

kuuuum

uuuun

cos 0ψ− =iij jk

ij jkL Lr r

ψ

16



Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas

Los tipos de coordenadas que se pueden emplear son las siguientes:

1. Coordenadas relativas.2. Puntos de referencia.3. Coordenadas cartesianas.4. Combinación.

La selección e unas u otras tiene una gran importancia ya que, dependiendo del caso, conducen a una formulación más sencilla o complicada del problema.

En algunos casos se seleccionan aquellas coordenadas que coinciden con el elemento motriz de entrada.

Ejemplo: Motor -> ángulo girado.Actuador lineal -> desplazamiento.

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Coordenadas relativasLas coordenadas relativas definen la posición de cada elemento relativa con respecto al elemento anterior.

1 gdl2 coord. dependientes = 2 ecuaciones de restricción


( ) ( )

( ) ( )1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3

cos cos cos 0( )

sin sin sin 0

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + + − = =

+ + + + + =

L L Lq

L L L

ODΦ

[ ]iTi ψ=q

[ ]32Td ψψ=q

[ ]iTi ψ=q

[ ]32Td ψψ=q

ψ1

ψ2ψ3

ψ1

ψ2

ψ3

( ) ( )

( ) ( )21 1 3 1 2 3 1 2

21 1 3 1 2 3 1 2

cos cos cos 0( )

sin sin sin 0

π

π

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + − − = =

+ + + + − =

L Lq

L L

ODΦ

A

B

O D

A

B

O D

3

24

3

24

18



Puntos de referenciaLas coordenadas basadas en puntos de referencia consideran las coordenadas de un punto en cada elemento y un ángulo.


( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1 2

1 2

32

32

3

3

21 0 1

21 0 1

2 22 1 1 2

2 22 1 1 2

2 23 2 2 3

2 23 2 2 3

23 3

23 3

cos

sin

cos cos

sin sin( )

cos cos

sin sin

cos

sin

ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ

− −

− − − − − − − −

= − − −

− − − − −

− −

L

L

L L

L L

LL

LL

L

D

L

D

x x

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

Φ q


ψ1

ψ2

ψ3

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)ψ1

ψ2

ψ3

(x1,y1)

(x2,y2)

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

1

1

1 2

1 2

3

3

3

21 0 1

21 0 1

2 22 1 1 2

2 22 1 1 2

22 3

23 2 2 3 2 2

23 3

23 3

cos

sin

cos cos

sin sin( )

cos sin

cos

sin

π

ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ

− −

− −

− − − − − −

= − −

− + − − − −

− −

L

L

L L

L L

L

L

D

L

D

x x

y y

x x

y y

y y x x

x x

y y

Φ q

A

B

O D

A

B

O D

ψ2

ψ3ψ2

(x3,y3)

y2-y3

x3-x2

3

2

4

3

2

4

3

4

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Coordenadas cartesianasLa posición del mecanismo se define a través de coordenadas cartesianas de ciertos puntos de interés.

Longitud constante

Puntos alineados

Producto escalar (ángulo ϕ constante)



2 2 2

2

2 2 2

3

2 2 2

4

3 4

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) cosφ

− + − − =

− + − − = = − + − − = − − − − − − − + − − −

O A O A

A B A B

B D B D

B A C A C A B A

C A B D C A B D

x x y y L

x x y y L

x x y y L

x x y y x x y y

x x x x x x x x L L

Φ q


(xA,yA)(xB,yB)A

B

O D

3

2

4

(xA,yA)

(xC,yC)

A

B

O D

(xB,yB)

3

2

4

C

A

2 2 2

2

2 2 2

3

2 2 2

4

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

− + − − =

= − + − − = − + − − =

O A O A

A B A B

B D B D

x x y y L

x x y y L

x x y y L

Φ q

20



Combinación



ψ1

ψ2

s

A

B

O D

3

24

C

(xA,yA)

(xC,yC)(xB,yB)

2 2 2

2

2 2 2

3

2 2 2

4

2 2 2

3 4

2 3

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) cos

( )( ) ( )( ) cos

φ

− + − − =

− + − − =

− + − − =

= − + − − =

− − − − −

− − + − − −

− − + − − −

O A O A

A B A B

B D B D

B A B A

B A C A C A B A

C A B D C A B D

A O C A A O C A

x x y y L

x x y y L

x x y y L

x x y y s

x x y y x x y y

x x x x x x x x L L

x x x x y y y y L L

Φ q

ψ

21



0t)t( 11 =−= ωψΦ

1 gdl = 1 coord. Independiente = ecuación temporal.

2 coord. dependientes = ecuaciones de restricción

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Ψ1, Ψ2, Ψ3.


ψ1

ψ2

ψ3( ) ( )

( ) ( )21 1 3 1 2 3 1 2

2

21 1 3 1 2 3 1 2

cos cos cos 0( )

sin sin sin 0

π

π

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + − − = =

+ + + + − =

L Lq

L L

ODΦ

A

B

O D

3

24

( )( )( )1

2

,t

t

= =

ΦΦ q 0

Φ q

22




cinemático

2. Determinaci2. Determinaci2. Determinaci2. Determinacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicial.n inicial.n inicial.n inicial.

23



DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial

El análisis de la posición en los métodos numéricos se basa en resolver un sistema de ecuaciones llamadas ecuaciones de restricción. Las cuales pueden ser expresadas de la siguiente manera,

0),( =Φ tq

donde t representa la variable tiempo y qqqq es el vector de coordenadas que puede ser expresado como,

[ ]nqqq ...21T =q

(1)

(2)

Este es el vector de incógnitas. Entonces, el problema de obtener la posición del mecanismo consiste en resolver el sistema de ecuaciones (1) y obtener el valor de (2). Sin embargo, el sistema (1) puede ser un sistema no lineal, de difícil resolución.

24



0t)t( 11 =−= ωψΦ

1 gdl = 1 coord. Independiente = ecuación temporal.

2 coord. dependientes = ecuaciones de restricción

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Ψ1, Ψ2, Ψ3.


ψ1

ψ2

ψ3( ) ( )

( ) ( )21 1 3 1 2 3 1 2

2

21 1 3 1 2 3 1 2

cos cos cos 0( )

sin sin sin 0

π

π

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + − − = =

+ + + + − =

L Lq

L L

ODΦ

A

B

O D

3

24

( )( )( )1

2

,t

t

= =

ΦΦ q 0

Φ q

25



Resolver el sistema presentado en (1) supone recurrir a métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones como puede ser Newton-Raphson. Este método se basa en la linealización del sistema (1) consistente en remplazar el sistema de ecuaciones por otro aproximado obtenido de aplicar el desarrollo en serie de Taylor. Dicho desarrollo se realiza alrededor de un vector de variables dependientes, qqqqi, cuyo valor esta cerca de la solución. Es decir, tomando los dos primeros términos del desarrollo se obtiene,

donde la variable tiempo no se considera ya que en este caso se considera constante. La matriz Φq es el Jacobiano del vector Φ.

(3)


( ) ( ) ( )( ), i i it = + − =q

Φ q Φ q Φ q q q 0

26



En otras palabras, es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones de restricción respecto de las coordenadas dependientes. Esta matriz desarrollada tiene la siguiente forma,

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=Φ

n

mmm

n

n

q

qqq

qqq

qqq

φφφ

φφφ

φφφ

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

(4)

donde m es el número de ecuaciones de restricción y n el número de coordenadas generalizadas. Si las ecuaciones de restricción son independientes se tiene que cumplir: G g.d.l. = n-m.


27



Por tanto, el sistema de ecuaciones presentado en (3) es un sistema lineal aproximado al sistema original pero no idéntico, la mayor o menor aproximación dependerá del mayor o menor grado de linealidad del sistema (1). Entonces, el valor de las coordenadas dependientes, qqqq, obtenidas de (3) será también aproximado.

0),( =Φ tqSistema original (ecuaciones algebraicas NONONONO lineales)

Sistema aproximado (ecuaciones algebraicas lineales)

(3)

(1)

Solución aproximada


( ) ( ) ( )( ),i i i

t = + − =q

Φ q Φ q Φ q q q 0

( ) ( )1

i i i

−= +

qq q Φ q Φ q

28



Si denominamos a esta solución qi podemos emplear la siguiente fórmula recursiva para mejorar la solución,

)()(1

1 iiii qqqq q ΦΦ+= −+ (5)

obteniendo qi+1 repetidamente hasta que el error del sistema de ecuaciones (1) sea insignificante, o hasta que la diferencia entre dos iteraciones sucesivas sea tan pequeña como un valor predefinido de tolerancia.


29



La figura se observa la representación geométrica del método de Newton-Raphson en el caso de una ecuación no lineal. La función Φ(qqqq) es linealizada sucesivamente partiendo del valor q0 obtenido del sistema lineal (3) y obteniendo sucesivos valores q2, q3, etc. hasta que se alcance la convergencia.

Φ

q

q1q2q3q4

q

0),( =Φ tq

0)()()( =−Φ+Φ iii qqqq q


30



Es importante resaltar que el método de Newton-Raphson puede no alcanzar la convergencia. Esto ocurre por ejemplo cuando el valor inicial de las coordenadas dependientes, q1q1q1q1, esta lejos de la solución o cuando dicho valor no representa una solución física posible del problema.

Φ

q

q1

q

0),( =Φ tq0)()()( =−Φ+Φ iii qqqq q


31




cinemático

3. Desplazamientos finitos.3. Desplazamientos finitos.3. Desplazamientos finitos.3. Desplazamientos finitos.

32



Este problema consiste en una vez determinada la posición inicial determinar la posición siguiente del mecanismo cuando sufre un incremento en la posición del elemento de entrada. Es decir, se debe calcular la nueva posición del mecanismo partiendo de la posición anterior.

)()(1

1 ooo qqqq q ΦΦ+= −

Aquí se cuenta con una ayuda fundamental que consiste en conocer el valor de las coordenadas dependientes de una posición cercana, y por tanto, el valor de inicio de iteración presentara una elevada precisión. Evidentemente, esto sólo ocurre si el incremento de posición en el elemento de entrada es lo suficientemente pequeño.

1q

oq2q

)()( 11

112 qqqq q ΦΦ+= −

Desplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitos

33



Si el problema de desplazamientos finitos se repite para distintos incrementos de posición del elemento de entrada se puede conocer el movimiento del mecanismo en un determinado rango, obteniendo de forma directa las trayectorias de los puntos cuyas coordenadas sean variables dependientes, y de forma indirecta las trayectorias de los otros puntos.

Desplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitos

34




cinemático

4. 4. 4. 4. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.

35



En este apartado se estudia como obtener las velocidades relacionadas con las coordenadas generalizadas seleccionadas. Es decir como obtener la derivada temporal de las coordenadas generalizadas,

q�

Como se ha visto en el problema de posición el valor de las coordenadas generalizadas qqqq se obtiene en instantes discretos de tiempo y por tanto no se conoce una expresión matemática explicita que permita obtener las derivadas temporales de forma analítica.

AnAnAnAnáááálisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidades

36



Como se ha visto anteriormente, estas coordenadas se han introducido en una serie de ecuaciones denominadas de restricción con la siguiente forma,

0),( =Φ tq

Se puede plantear como alternativa para el cálculo de las derivadas temporales un procedimiento de diferenciación en cadena partiendo del vector de ecuaciones de restricción. Esto es,

0ΦqΦΦ tq =+= �� )(tqDonde,

donde ΦΦΦΦt es la derivada del vector restricciones respecto del tiempo....


37



Reordenando, 0ΦqΦ tq =+� Se obtiene,

υΦqΦ tq =−=�

Si la matriz Φq es no singular esta ecuación representa un sistema de ecuaciones lineales que puede ser resuelta mediante procedimientos bien conocidos en análisis numérico. Una vez resuelta se obtienen las velocidades para valores discretos de tiempo. Es decir,

t1q ΦΦq −−=�

Expresión que nos ofrece las velocidades de las coordenadas generalizadas.


38




cinemático

5.5.5.5. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.

39



Para obtener los valores de aceleración el procedimiento seguido es similar al procedimiento de las velocidades. Se toma el vector de ecuaciones de restricción y se deriva dos veces respecto del tiempo según la regla de derivación en cadena,

0),( =Φ tq

0ΦqΦΦ tq =+= ��

)(tqconsiderando,

Derivada 1a

0)(dt

d)(

dt

dt =+= ΦqΦΦ q �

�

0)(t

)( tt =+∂

∂++ ΦqΦqΦqΦ qqq ��

0)( ttttq =++++ ΦqΦqΦqΦqqΦ qqqq ��

Derivada 2a

AnAnAnAnáááálisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleraciones

40



0ΦqΦqΦq)q(ΦqΦΦ tttqqtqqq =++++= ��

Reordenando, γΦq2Φq)q(ΦqΦ ttqtqqq =−−−= ��

γqΦq =��

ttqtqq Φq2Φq)q(Φ −−−= ��γDonde,

Es un valor completamente conocido una vez resuelto el problema de velocidades. Entonces,

Resulta ser un sistema de ecuaciones lineal que puede ser resuelto fácilmente mediante procedimientos habituales.

AnAnAnAnáááálisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleraciones

tema iii3 teoria - ocw.unican.es · 2.puntos de referencia. 3.coordenadas cartesianas....

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