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Tema I (Capiacutetulo 1 de Fiacutesica Tipler-Mosca BAUER Laboratorio de Fiacutesica Hidalgo et al)

Investigacioacuten y Ciencia Feb 2007 pg 58 Un nuevo kilogramo Nov 2002 El tiempo

Ejercicios propuestos

La medida en Fiacutesica iquestPor queacute medimos

Medir es importante para todos nosotros Forma parte de nuestra manera de vivir cada diacutea

En Fiacutesica este concepto es ineludible La fiacutesica se ocupa de describir y entender la naturaleza y la medicioacuten es una de sus herramientas fundamentales para hacerlo de forma objetiva Es el medio de contrastar una teoriacutea

Tema I (Guiacutea docente)

La medida en fiacutesica Modelo y experimento

Sistemas de unidades Conversioacuten de unidades

Notacioacuten cientiacutefica Oacuterdenes de magnitud

Estimaciones

Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Anaacutelisis dimensional

Incertidumbre y cifras significativas

Registro de medidas experimentales tablas y graacuteficos

Determinacioacuten y propagacioacuten de errores

Elaboracioacuten de un informe sobre un trabajo experimental

2

Modelo y experimento Experimentacioacuten en el laboratorio y teoriacutea

Elaborar una teoriacutea requiere la experimentacioacuten En el laboratorio ponemos a prueba la naturaleza y controlamos las condiciones en las que la dejamos actuar De la observacioacuten de su respuesta (realizando medidas) inferimos su comportamiento sistemaacutetico y extraemos leyes de conducta que constituyen una teoriacutea

Una buena teoriacutea sobre un suceso natural sirve para comprenderlo y utilizarlo seguacuten nuestras necesidades Ademaacutes tiene capacidad de prediccioacuten

Ejemplos de buenas teoriacuteas

Teoriacutea gravitacioacuten s XVII prediccioacuten del movimiento de cometas asteroideshellip

descubrimiento objetos celestes acceso a otros mundoshellip

Teoriacutea de las ondas electromagneacuteticas s XIX

manejo de la energiacutea eleacutectrica

crear un teleacutefono una televisioacuten una video-conferenciahellip

Teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica s XX crear moacuteviles lectores de DVDrsquos hellip

Meacutetodo cientiacutefico

Observacioacuten y medida

Teoriacutea

Prediccioacuten

3

Idealizacioacuten y realidad Modelos

Experimentar es crear una situacioacuten ideal que exige el disentildeo de un dispositivo experimental y su cuidada utilizacioacuten para resaltar lo que interesa eliminar lo que enmascara y asiacute simplificar el estudio del suceso natural del cual se debe tener un modelo previo

Ejemplo El 4 de Julio de 2012 los fiacutesicos del CERN laboratorio europeo de fiacutesica de partiacuteculas anunciaron el descubrimiento posteriormente afianzado del tan buscado boson de Higgs una perturbacioacuten del campo de Higss que se postuloacute 50 antildeos antes como mecanismo generador de la masa el uacuteltimo requerimiento del modelo estaacutendar

De esos 50 antildeos 30 se han dedicado a disentildear desarrollar y construir el dispositivo experimental LHC y los grandes detectores que operados por maacutes de 5000 cientiacuteficos han hecho posible este descubrimiento

Durante este curso ademaacutes de aprender a medir de manejar un dispositivo experimental de ilustrar alguna teoriacutea sencilla en el ejercicio de la experimentacioacuten entrenamos nuestras capacidades intelectuales auacuten cuando nuestro trabajo futuro no llegue a desarrollarse en un laboratorio

4

EjemploLanzamos una pelota al aire y queremos predecir su movimiento Disponemos de la teoriacutea de Galileo sobre el movimiento de proyectiles que se aplica a un objeto ideal cuya forma y tamantildeo no importan y que ignora la presencia del aire Consideramos que un objeto puntual que se mueve en el vaciacuteo es un buen modelo de la pelota que se mueve en el aire

La posicioacuten de la pelota y el tiempo estaacuten relacionados entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas suministradas por la teoriacutea En este caso las ecuaciones cinemaacuteticas del MUA Con una regla y un reloj medimos y despueacutes verificamos si las medidas cumplen dichas ecuaciones Las Matemaacuteticas constituyen el lenguaje natural de la Fiacutesica iquestQueacute es medir

Las MATEMAacuteTICAS por su naturaleza manejan situaciones ideales puntos rectas ecuaciones con soluciones exactashellip por eso constituyen el lenguaje adecuado para describir los modelos ideales de la teoriacutea fiacutesica

La medicioacuten es una comparacioacuten entre dos cantidades fiacutesicas semejantes es decir de la misma magnitud

Patroacuten de medida es una cantidad de referencia estaacutendar

El sistema internacional de unidades (SI) es un conjunto de patrones de medida de las magnitudes fundamentales adoptado por la comunidad cientiacutefica en 1960 con el fin de facilitar la comunicacioacuten y el intercambio de informacioacuten en ella

5

Sistemas de unidades

Unidades SI fundamentales

httpphysicsnistgovcuuunits Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eleacutectrica

amperio A

Temperatura termodinaacutemica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Unidad de longitud metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de cesio 133

Unidad de intensidad de corriente eleacutectrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenieacutendose en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7 newton por metro de longitud

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Modelo y experimento Experimentacioacuten en el laboratorio y teoriacutea

Elaborar una teoriacutea requiere la experimentacioacuten En el laboratorio ponemos a prueba la naturaleza y controlamos las condiciones en las que la dejamos actuar De la observacioacuten de su respuesta (realizando medidas) inferimos su comportamiento sistemaacutetico y extraemos leyes de conducta que constituyen una teoriacutea

Una buena teoriacutea sobre un suceso natural sirve para comprenderlo y utilizarlo seguacuten nuestras necesidades Ademaacutes tiene capacidad de prediccioacuten

Ejemplos de buenas teoriacuteas

Teoriacutea gravitacioacuten s XVII prediccioacuten del movimiento de cometas asteroideshellip

descubrimiento objetos celestes acceso a otros mundoshellip

Teoriacutea de las ondas electromagneacuteticas s XIX

manejo de la energiacutea eleacutectrica

crear un teleacutefono una televisioacuten una video-conferenciahellip

Teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica s XX crear moacuteviles lectores de DVDrsquos hellip

Meacutetodo cientiacutefico

Observacioacuten y medida

Teoriacutea

Prediccioacuten

3

Idealizacioacuten y realidad Modelos

Experimentar es crear una situacioacuten ideal que exige el disentildeo de un dispositivo experimental y su cuidada utilizacioacuten para resaltar lo que interesa eliminar lo que enmascara y asiacute simplificar el estudio del suceso natural del cual se debe tener un modelo previo

Ejemplo El 4 de Julio de 2012 los fiacutesicos del CERN laboratorio europeo de fiacutesica de partiacuteculas anunciaron el descubrimiento posteriormente afianzado del tan buscado boson de Higgs una perturbacioacuten del campo de Higss que se postuloacute 50 antildeos antes como mecanismo generador de la masa el uacuteltimo requerimiento del modelo estaacutendar

De esos 50 antildeos 30 se han dedicado a disentildear desarrollar y construir el dispositivo experimental LHC y los grandes detectores que operados por maacutes de 5000 cientiacuteficos han hecho posible este descubrimiento

Durante este curso ademaacutes de aprender a medir de manejar un dispositivo experimental de ilustrar alguna teoriacutea sencilla en el ejercicio de la experimentacioacuten entrenamos nuestras capacidades intelectuales auacuten cuando nuestro trabajo futuro no llegue a desarrollarse en un laboratorio

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EjemploLanzamos una pelota al aire y queremos predecir su movimiento Disponemos de la teoriacutea de Galileo sobre el movimiento de proyectiles que se aplica a un objeto ideal cuya forma y tamantildeo no importan y que ignora la presencia del aire Consideramos que un objeto puntual que se mueve en el vaciacuteo es un buen modelo de la pelota que se mueve en el aire

La posicioacuten de la pelota y el tiempo estaacuten relacionados entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas suministradas por la teoriacutea En este caso las ecuaciones cinemaacuteticas del MUA Con una regla y un reloj medimos y despueacutes verificamos si las medidas cumplen dichas ecuaciones Las Matemaacuteticas constituyen el lenguaje natural de la Fiacutesica iquestQueacute es medir

Las MATEMAacuteTICAS por su naturaleza manejan situaciones ideales puntos rectas ecuaciones con soluciones exactashellip por eso constituyen el lenguaje adecuado para describir los modelos ideales de la teoriacutea fiacutesica

La medicioacuten es una comparacioacuten entre dos cantidades fiacutesicas semejantes es decir de la misma magnitud

Patroacuten de medida es una cantidad de referencia estaacutendar

El sistema internacional de unidades (SI) es un conjunto de patrones de medida de las magnitudes fundamentales adoptado por la comunidad cientiacutefica en 1960 con el fin de facilitar la comunicacioacuten y el intercambio de informacioacuten en ella

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Sistemas de unidades

Unidades SI fundamentales

httpphysicsnistgovcuuunits Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eleacutectrica

amperio A

Temperatura termodinaacutemica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Unidad de longitud metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de cesio 133

Unidad de intensidad de corriente eleacutectrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenieacutendose en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7 newton por metro de longitud

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Idealizacioacuten y realidad Modelos

Experimentar es crear una situacioacuten ideal que exige el disentildeo de un dispositivo experimental y su cuidada utilizacioacuten para resaltar lo que interesa eliminar lo que enmascara y asiacute simplificar el estudio del suceso natural del cual se debe tener un modelo previo

Ejemplo El 4 de Julio de 2012 los fiacutesicos del CERN laboratorio europeo de fiacutesica de partiacuteculas anunciaron el descubrimiento posteriormente afianzado del tan buscado boson de Higgs una perturbacioacuten del campo de Higss que se postuloacute 50 antildeos antes como mecanismo generador de la masa el uacuteltimo requerimiento del modelo estaacutendar

De esos 50 antildeos 30 se han dedicado a disentildear desarrollar y construir el dispositivo experimental LHC y los grandes detectores que operados por maacutes de 5000 cientiacuteficos han hecho posible este descubrimiento

Durante este curso ademaacutes de aprender a medir de manejar un dispositivo experimental de ilustrar alguna teoriacutea sencilla en el ejercicio de la experimentacioacuten entrenamos nuestras capacidades intelectuales auacuten cuando nuestro trabajo futuro no llegue a desarrollarse en un laboratorio

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EjemploLanzamos una pelota al aire y queremos predecir su movimiento Disponemos de la teoriacutea de Galileo sobre el movimiento de proyectiles que se aplica a un objeto ideal cuya forma y tamantildeo no importan y que ignora la presencia del aire Consideramos que un objeto puntual que se mueve en el vaciacuteo es un buen modelo de la pelota que se mueve en el aire

La posicioacuten de la pelota y el tiempo estaacuten relacionados entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas suministradas por la teoriacutea En este caso las ecuaciones cinemaacuteticas del MUA Con una regla y un reloj medimos y despueacutes verificamos si las medidas cumplen dichas ecuaciones Las Matemaacuteticas constituyen el lenguaje natural de la Fiacutesica iquestQueacute es medir

Las MATEMAacuteTICAS por su naturaleza manejan situaciones ideales puntos rectas ecuaciones con soluciones exactashellip por eso constituyen el lenguaje adecuado para describir los modelos ideales de la teoriacutea fiacutesica

La medicioacuten es una comparacioacuten entre dos cantidades fiacutesicas semejantes es decir de la misma magnitud

Patroacuten de medida es una cantidad de referencia estaacutendar

El sistema internacional de unidades (SI) es un conjunto de patrones de medida de las magnitudes fundamentales adoptado por la comunidad cientiacutefica en 1960 con el fin de facilitar la comunicacioacuten y el intercambio de informacioacuten en ella

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Sistemas de unidades

Unidades SI fundamentales

httpphysicsnistgovcuuunits Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eleacutectrica

amperio A

Temperatura termodinaacutemica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Unidad de longitud metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de cesio 133

Unidad de intensidad de corriente eleacutectrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenieacutendose en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7 newton por metro de longitud

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EjemploLanzamos una pelota al aire y queremos predecir su movimiento Disponemos de la teoriacutea de Galileo sobre el movimiento de proyectiles que se aplica a un objeto ideal cuya forma y tamantildeo no importan y que ignora la presencia del aire Consideramos que un objeto puntual que se mueve en el vaciacuteo es un buen modelo de la pelota que se mueve en el aire

La posicioacuten de la pelota y el tiempo estaacuten relacionados entre siacute mediante ecuaciones matemaacuteticas suministradas por la teoriacutea En este caso las ecuaciones cinemaacuteticas del MUA Con una regla y un reloj medimos y despueacutes verificamos si las medidas cumplen dichas ecuaciones Las Matemaacuteticas constituyen el lenguaje natural de la Fiacutesica iquestQueacute es medir

Las MATEMAacuteTICAS por su naturaleza manejan situaciones ideales puntos rectas ecuaciones con soluciones exactashellip por eso constituyen el lenguaje adecuado para describir los modelos ideales de la teoriacutea fiacutesica

La medicioacuten es una comparacioacuten entre dos cantidades fiacutesicas semejantes es decir de la misma magnitud

Patroacuten de medida es una cantidad de referencia estaacutendar

El sistema internacional de unidades (SI) es un conjunto de patrones de medida de las magnitudes fundamentales adoptado por la comunidad cientiacutefica en 1960 con el fin de facilitar la comunicacioacuten y el intercambio de informacioacuten en ella

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Sistemas de unidades

Unidades SI fundamentales

httpphysicsnistgovcuuunits Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eleacutectrica

amperio A

Temperatura termodinaacutemica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Unidad de longitud metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de cesio 133

Unidad de intensidad de corriente eleacutectrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenieacutendose en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7 newton por metro de longitud

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Sistemas de unidades

Unidades SI fundamentales

httpphysicsnistgovcuuunits Magnitudes fundamentales Nombre Siacutembolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eleacutectrica

amperio A

Temperatura termodinaacutemica kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Unidad de longitud metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaciacuteo por la luz durante un tiempo de 1299 792 458 de segundo

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracioacuten de 9 192 631 770 periodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del aacutetomo de cesio 133

Unidad de intensidad de corriente eleacutectrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenieacutendose en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaciacuteo produciriacutea una fuerza igual a 2middot10-7 newton por metro de longitud

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Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades fundamentales

Magnitud Nombre Siacutembolo

Fuerza Newton = kgms2 N

Volumen metro cuacutebico m3

Velocidad metro por segundo ms

Energiacutea Joule = Nm J

Densidad kilogramo por metro cuacutebico kgm3

Potencia Watio =Js W

Aacutengulo plano Radiaacuten1 (adimensional) rad

Aceleracioacuten angular radiaacuten por segundo cuadrado rads2 Metrologiacutea Es la investigacioacuten sobre medidas de precisioacuten requerida por los avances en la comprensioacuten de la fiacutesica y en la precisioacuten tecnoloacutegica Ejemplo Los relojes atoacutemicos tienen una precisioacuten de 10-15 (1 s en 60 millones de antildeos) la precisioacuten necesaria para el Sistema de Posicionamiento Global (GPS)

1El radiaacuten (rad) es el aacutengulo plano comprendido entre dos radios de un ciacuterculo que sobre la circunferencia de dicho ciacuterculo interceptan un arco de longitud igual a la del radio

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Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)

Conversioacuten de unidades Ejemplo Densidad voluacutemica ρ= 132 gcm3 iquesty en kgm3

ρ = 132 gcm3 g

kg1000

1 3

36

110

mcm = 1320 kgm3

Cuestioacuten 1 Una hectaacuterea se define como 104 m2 Un acre se define como 43 560 ft2 Una milla equivale a 5280 ft oacute 1609 km Un terreno de 200 km por 400 km iquestqueacute aacuterea tiene en hectaacutereas y en acres

8

Cuestioacuten 2

Para convertir una cantidad de ms a kmh hay que A) multiplicar por 1000 y dividir por 60 D) multiplicar por 3600 y dividir por 1000

B) multiplicar por 1000 y dividir por 3600 E) Ninguna es correcta

C) multiplicar por 60 y dividir por 1000

iquestQueacute velocidad es mayor1 kmh o 1 ms Cuestioacuten 3 Dos camionetas consumen 10 migal y 1 kml respectivamente iquestqueacute vehiacuteculo rinde maacutes 1galoacuten = 378541178 litros Cuestioacuten 4 Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in (pulgada) = 254 cm W ~ 92 nms

W =321

diain

incm

1542

cmm

1001

mnm

1109

hdia

241

min601h

s60min1

= (132) (2541) (1100) (1091) (124) (160) (160) (nms)

iquestEs importante la conversioacuten de unidades En 1999 la sonda Mars Climate Orbiter hizo un viaje a marte para investigar su atmoacutesfera Pero llegado un punto de acercamiento se perdioacute el contacto con ella Lo que ocurrioacute es que orbitoacute a 57 km de la superficie cuando se esperaba que lo hariacutea a 147 km Tan cerca la nave se destruyoacute por calor o colisioacuten con el planeta El fracaso se debioacute primordialmente a un problema de conversioacuten de unidades Un equipo de ingenieros LMA utilizoacute unidades inglesas La informacioacuten recibida por la NASA interpretoacute que se trataba de unidades meacutetricas (SI) como se pediacutea en las especificaciones de la misioacuten El resultado fue que se perdieron 125 millones de doacutelares para verguumlenza de muchas personas

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Mystery of Orbiter Crash Solved By Kathy Sawyer Washington Post Staff Writer Friday October 1 1999 Page A1

NASAs Mars Climate Orbiter was lost in space last week because engineers failed to make a simple conversion from English units to metric an embarrassing lapse that sent the $125 million craft fatally close to the Martian surface investigators said yesterday

Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto [siendo 1 le a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas] 161 x 10-15 antildeos La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) con nuacutemeros muy grandes o muy pequentildeos porque permite considerar por separado la mantisa (los diacutegitos significativos) y el orden de magnitud (ademaacutes del signo) 450 m 450 x 106 m Ejemplos

4times10-5 multiplicado por 3times10-6

(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 asymp 10-10

50times108 dividido por (30 times 105)

(5030) times 10(8-5) = 13 times 103

410 times 1012 + 8 times 1010 = 410 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012

161 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (161 ndash 88) times 10-16 = 73 times 10-16 Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada en notacioacuten cientiacutefica atimes10n es n Cuestioacuten 5 Se estima que si todos los capilares del cuerpo humano se conectaran en liacutenea recta alcanzariacutean una longitud de 64 104 km

Scientists do not yet know what caused the Mars Orbiter to crash (AP)

a times10n

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Compara esta longitud con la circunferencia de la Tierra (RT sim 64 103 km) iquestEn cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren iquestY la circunferencia de la Tierra y la de un nuacutecleo atoacutemico

Escala de longitudes

Escala de masas

Cuestioacuten 6 iquestDe queacute orden de magnitud es el nuacutemero de segundos que transcurren en un mes A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106

Cuestioacuten 7 La masa de la Tierra es 6 times 1024 kg y su radio es 4 times 103 mi La masa del Sol es 2 times 1033 g y su radio es 7 times 105 km Calcula la densidad de la Tierra dividida por la del Sol (ρ=mV) A) 4 times 10minus1 B) 4 times 102 C) 4 times 100 D) 4 times 101 E) ninguna de las anteriores

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Estimaciones Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la naturaleza (experiencia en aula) Cuestioacuten 8 Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Dimensioacuten derivada

La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada

Cuestioacuten 9 Determina la ecuacioacuten de dimensiones A) de la constante de Gravitacioacuten universal G que interviene en la ley de Newton F = G M Mrsquo r2 B) de la constante de Coulomb k que interviene en la ley de Coulomb F = k q qrsquo r2 C) del nuacutemero π D) del seno de un aacutengulo Para los apartados C y D busca la respuesta a partir de la definicioacuten de nuacutemero pi y de seno de un aacutengulo respectivamente

V = st [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1

Dimensiones fundamentales

[tiempo]equiv T

[longitud]equiv L

[masa]equiv M

Anaacutelisis dimensional

Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta

[1er miembro] = [2ordm miembro]

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Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

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Principal instituto de investigacioacuten de EEUU Instituto Nacional de Estaacutendares y Tecnologiacutea (NIST) (fiacutesicos e ingenieros)

Conversioacuten de unidades Ejemplo Densidad voluacutemica ρ= 132 gcm3 iquesty en kgm3

ρ = 132 gcm3 g

kg1000

1 3

36

110

mcm = 1320 kgm3

Cuestioacuten 1 Una hectaacuterea se define como 104 m2 Un acre se define como 43 560 ft2 Una milla equivale a 5280 ft oacute 1609 km Un terreno de 200 km por 400 km iquestqueacute aacuterea tiene en hectaacutereas y en acres

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Cuestioacuten 2

Para convertir una cantidad de ms a kmh hay que A) multiplicar por 1000 y dividir por 60 D) multiplicar por 3600 y dividir por 1000

B) multiplicar por 1000 y dividir por 3600 E) Ninguna es correcta

C) multiplicar por 60 y dividir por 1000

iquestQueacute velocidad es mayor1 kmh o 1 ms Cuestioacuten 3 Dos camionetas consumen 10 migal y 1 kml respectivamente iquestqueacute vehiacuteculo rinde maacutes 1galoacuten = 378541178 litros Cuestioacuten 4 Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in (pulgada) = 254 cm W ~ 92 nms

W =321

diain

incm

1542

cmm

1001

mnm

1109

hdia

241

min601h

s60min1

= (132) (2541) (1100) (1091) (124) (160) (160) (nms)

iquestEs importante la conversioacuten de unidades En 1999 la sonda Mars Climate Orbiter hizo un viaje a marte para investigar su atmoacutesfera Pero llegado un punto de acercamiento se perdioacute el contacto con ella Lo que ocurrioacute es que orbitoacute a 57 km de la superficie cuando se esperaba que lo hariacutea a 147 km Tan cerca la nave se destruyoacute por calor o colisioacuten con el planeta El fracaso se debioacute primordialmente a un problema de conversioacuten de unidades Un equipo de ingenieros LMA utilizoacute unidades inglesas La informacioacuten recibida por la NASA interpretoacute que se trataba de unidades meacutetricas (SI) como se pediacutea en las especificaciones de la misioacuten El resultado fue que se perdieron 125 millones de doacutelares para verguumlenza de muchas personas

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Mystery of Orbiter Crash Solved By Kathy Sawyer Washington Post Staff Writer Friday October 1 1999 Page A1

NASAs Mars Climate Orbiter was lost in space last week because engineers failed to make a simple conversion from English units to metric an embarrassing lapse that sent the $125 million craft fatally close to the Martian surface investigators said yesterday

Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto [siendo 1 le a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas] 161 x 10-15 antildeos La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) con nuacutemeros muy grandes o muy pequentildeos porque permite considerar por separado la mantisa (los diacutegitos significativos) y el orden de magnitud (ademaacutes del signo) 450 m 450 x 106 m Ejemplos

4times10-5 multiplicado por 3times10-6

(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 asymp 10-10

50times108 dividido por (30 times 105)

(5030) times 10(8-5) = 13 times 103

410 times 1012 + 8 times 1010 = 410 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012

161 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (161 ndash 88) times 10-16 = 73 times 10-16 Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada en notacioacuten cientiacutefica atimes10n es n Cuestioacuten 5 Se estima que si todos los capilares del cuerpo humano se conectaran en liacutenea recta alcanzariacutean una longitud de 64 104 km

Scientists do not yet know what caused the Mars Orbiter to crash (AP)

a times10n

10

Compara esta longitud con la circunferencia de la Tierra (RT sim 64 103 km) iquestEn cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren iquestY la circunferencia de la Tierra y la de un nuacutecleo atoacutemico

Escala de longitudes

Escala de masas

Cuestioacuten 6 iquestDe queacute orden de magnitud es el nuacutemero de segundos que transcurren en un mes A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106

Cuestioacuten 7 La masa de la Tierra es 6 times 1024 kg y su radio es 4 times 103 mi La masa del Sol es 2 times 1033 g y su radio es 7 times 105 km Calcula la densidad de la Tierra dividida por la del Sol (ρ=mV) A) 4 times 10minus1 B) 4 times 102 C) 4 times 100 D) 4 times 101 E) ninguna de las anteriores

11

Estimaciones Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la naturaleza (experiencia en aula) Cuestioacuten 8 Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Dimensioacuten derivada

La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada

Cuestioacuten 9 Determina la ecuacioacuten de dimensiones A) de la constante de Gravitacioacuten universal G que interviene en la ley de Newton F = G M Mrsquo r2 B) de la constante de Coulomb k que interviene en la ley de Coulomb F = k q qrsquo r2 C) del nuacutemero π D) del seno de un aacutengulo Para los apartados C y D busca la respuesta a partir de la definicioacuten de nuacutemero pi y de seno de un aacutengulo respectivamente

V = st [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1

Dimensiones fundamentales

[tiempo]equiv T

[longitud]equiv L

[masa]equiv M

Anaacutelisis dimensional

Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta

[1er miembro] = [2ordm miembro]

12

Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

8

Cuestioacuten 2

Para convertir una cantidad de ms a kmh hay que A) multiplicar por 1000 y dividir por 60 D) multiplicar por 3600 y dividir por 1000

B) multiplicar por 1000 y dividir por 3600 E) Ninguna es correcta

C) multiplicar por 60 y dividir por 1000

iquestQueacute velocidad es mayor1 kmh o 1 ms Cuestioacuten 3 Dos camionetas consumen 10 migal y 1 kml respectivamente iquestqueacute vehiacuteculo rinde maacutes 1galoacuten = 378541178 litros Cuestioacuten 4 Supongamos que el pelo crece con una velocidad de 132 indiacutea Expresa esta velocidad de crecimiento (W) en nms Dado que la distancia entre aacutetomos en una moleacutecula es del orden de 01 nm la respuesta sugiere con queacute velocidad se ensamblan las capas de aacutetomos en esta siacutentesis de proteiacutenas Solucioacuten 1in (pulgada) = 254 cm W ~ 92 nms

W =321

diain

incm

1542

cmm

1001

mnm

1109

hdia

241

min601h

s60min1

= (132) (2541) (1100) (1091) (124) (160) (160) (nms)

iquestEs importante la conversioacuten de unidades En 1999 la sonda Mars Climate Orbiter hizo un viaje a marte para investigar su atmoacutesfera Pero llegado un punto de acercamiento se perdioacute el contacto con ella Lo que ocurrioacute es que orbitoacute a 57 km de la superficie cuando se esperaba que lo hariacutea a 147 km Tan cerca la nave se destruyoacute por calor o colisioacuten con el planeta El fracaso se debioacute primordialmente a un problema de conversioacuten de unidades Un equipo de ingenieros LMA utilizoacute unidades inglesas La informacioacuten recibida por la NASA interpretoacute que se trataba de unidades meacutetricas (SI) como se pediacutea en las especificaciones de la misioacuten El resultado fue que se perdieron 125 millones de doacutelares para verguumlenza de muchas personas

9

Mystery of Orbiter Crash Solved By Kathy Sawyer Washington Post Staff Writer Friday October 1 1999 Page A1

NASAs Mars Climate Orbiter was lost in space last week because engineers failed to make a simple conversion from English units to metric an embarrassing lapse that sent the $125 million craft fatally close to the Martian surface investigators said yesterday

Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto [siendo 1 le a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas] 161 x 10-15 antildeos La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) con nuacutemeros muy grandes o muy pequentildeos porque permite considerar por separado la mantisa (los diacutegitos significativos) y el orden de magnitud (ademaacutes del signo) 450 m 450 x 106 m Ejemplos

4times10-5 multiplicado por 3times10-6

(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 asymp 10-10

50times108 dividido por (30 times 105)

(5030) times 10(8-5) = 13 times 103

410 times 1012 + 8 times 1010 = 410 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012

161 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (161 ndash 88) times 10-16 = 73 times 10-16 Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada en notacioacuten cientiacutefica atimes10n es n Cuestioacuten 5 Se estima que si todos los capilares del cuerpo humano se conectaran en liacutenea recta alcanzariacutean una longitud de 64 104 km

Scientists do not yet know what caused the Mars Orbiter to crash (AP)

a times10n

10

Compara esta longitud con la circunferencia de la Tierra (RT sim 64 103 km) iquestEn cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren iquestY la circunferencia de la Tierra y la de un nuacutecleo atoacutemico

Escala de longitudes

Escala de masas

Cuestioacuten 6 iquestDe queacute orden de magnitud es el nuacutemero de segundos que transcurren en un mes A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106

Cuestioacuten 7 La masa de la Tierra es 6 times 1024 kg y su radio es 4 times 103 mi La masa del Sol es 2 times 1033 g y su radio es 7 times 105 km Calcula la densidad de la Tierra dividida por la del Sol (ρ=mV) A) 4 times 10minus1 B) 4 times 102 C) 4 times 100 D) 4 times 101 E) ninguna de las anteriores

11

Estimaciones Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la naturaleza (experiencia en aula) Cuestioacuten 8 Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Dimensioacuten derivada

La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada

Cuestioacuten 9 Determina la ecuacioacuten de dimensiones A) de la constante de Gravitacioacuten universal G que interviene en la ley de Newton F = G M Mrsquo r2 B) de la constante de Coulomb k que interviene en la ley de Coulomb F = k q qrsquo r2 C) del nuacutemero π D) del seno de un aacutengulo Para los apartados C y D busca la respuesta a partir de la definicioacuten de nuacutemero pi y de seno de un aacutengulo respectivamente

V = st [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1

Dimensiones fundamentales

[tiempo]equiv T

[longitud]equiv L

[masa]equiv M

Anaacutelisis dimensional

Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta

[1er miembro] = [2ordm miembro]

12

Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

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Mystery of Orbiter Crash Solved By Kathy Sawyer Washington Post Staff Writer Friday October 1 1999 Page A1

NASAs Mars Climate Orbiter was lost in space last week because engineers failed to make a simple conversion from English units to metric an embarrassing lapse that sent the $125 million craft fatally close to the Martian surface investigators said yesterday

Notacioacuten cientiacutefica Las cantidades medidas se escriben como un producto [siendo 1 le a (mantisa) lt 10 y n (exponente) un nuacutemero entero positivo o negativo a puede tener varias cifras significativas] 161 x 10-15 antildeos La notacioacuten cientiacutefica permite hacer caacutelculos mentales raacutepidos (pero a menudo aproximados) con nuacutemeros muy grandes o muy pequentildeos porque permite considerar por separado la mantisa (los diacutegitos significativos) y el orden de magnitud (ademaacutes del signo) 450 m 450 x 106 m Ejemplos

4times10-5 multiplicado por 3times10-6

(4x3) times 10(-5-6) = 12 times 10-11 asymp 10-10

50times108 dividido por (30 times 105)

(5030) times 10(8-5) = 13 times 103

410 times 1012 + 8 times 1010 = 410 times 1012 + 008 times 1012 = 418 times 1012

161 times 10-15 ndash 88 times 10-16 = (161 ndash 88) times 10-16 = 73 times 10-16 Oacuterdenes de magnitud El orden de magnitud de una cantidad expresada en notacioacuten cientiacutefica atimes10n es n Cuestioacuten 5 Se estima que si todos los capilares del cuerpo humano se conectaran en liacutenea recta alcanzariacutean una longitud de 64 104 km

Scientists do not yet know what caused the Mars Orbiter to crash (AP)

a times10n

10

Compara esta longitud con la circunferencia de la Tierra (RT sim 64 103 km) iquestEn cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren iquestY la circunferencia de la Tierra y la de un nuacutecleo atoacutemico

Escala de longitudes

Escala de masas

Cuestioacuten 6 iquestDe queacute orden de magnitud es el nuacutemero de segundos que transcurren en un mes A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106

Cuestioacuten 7 La masa de la Tierra es 6 times 1024 kg y su radio es 4 times 103 mi La masa del Sol es 2 times 1033 g y su radio es 7 times 105 km Calcula la densidad de la Tierra dividida por la del Sol (ρ=mV) A) 4 times 10minus1 B) 4 times 102 C) 4 times 100 D) 4 times 101 E) ninguna de las anteriores

11

Estimaciones Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la naturaleza (experiencia en aula) Cuestioacuten 8 Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Dimensioacuten derivada

La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada

Cuestioacuten 9 Determina la ecuacioacuten de dimensiones A) de la constante de Gravitacioacuten universal G que interviene en la ley de Newton F = G M Mrsquo r2 B) de la constante de Coulomb k que interviene en la ley de Coulomb F = k q qrsquo r2 C) del nuacutemero π D) del seno de un aacutengulo Para los apartados C y D busca la respuesta a partir de la definicioacuten de nuacutemero pi y de seno de un aacutengulo respectivamente

V = st [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1

Dimensiones fundamentales

[tiempo]equiv T

[longitud]equiv L

[masa]equiv M

Anaacutelisis dimensional

Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta

[1er miembro] = [2ordm miembro]

12

Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

10

Compara esta longitud con la circunferencia de la Tierra (RT sim 64 103 km) iquestEn cuaacutentos oacuterdenes de magnitud difieren iquestY la circunferencia de la Tierra y la de un nuacutecleo atoacutemico

Escala de longitudes

Escala de masas

Cuestioacuten 6 iquestDe queacute orden de magnitud es el nuacutemero de segundos que transcurren en un mes A) 103 B) 108 C) 105 D) 1010 E) 106

Cuestioacuten 7 La masa de la Tierra es 6 times 1024 kg y su radio es 4 times 103 mi La masa del Sol es 2 times 1033 g y su radio es 7 times 105 km Calcula la densidad de la Tierra dividida por la del Sol (ρ=mV) A) 4 times 10minus1 B) 4 times 102 C) 4 times 100 D) 4 times 101 E) ninguna de las anteriores

11

Estimaciones Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la naturaleza (experiencia en aula) Cuestioacuten 8 Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Dimensioacuten derivada

La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada

Cuestioacuten 9 Determina la ecuacioacuten de dimensiones A) de la constante de Gravitacioacuten universal G que interviene en la ley de Newton F = G M Mrsquo r2 B) de la constante de Coulomb k que interviene en la ley de Coulomb F = k q qrsquo r2 C) del nuacutemero π D) del seno de un aacutengulo Para los apartados C y D busca la respuesta a partir de la definicioacuten de nuacutemero pi y de seno de un aacutengulo respectivamente

V = st [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1

Dimensiones fundamentales

[tiempo]equiv T

[longitud]equiv L

[masa]equiv M

Anaacutelisis dimensional

Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta

[1er miembro] = [2ordm miembro]

12

Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

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Estimaciones Son caacutelculos aproximados Interesa o soacutelo se tiene acceso al orden de magnitud y no al valor concreto Son muy apreciadas cuando se conoce poco o nada de alguacuten aspecto de la naturaleza (experiencia en aula) Cuestioacuten 8 Un modelo y una estimacioacuten Una gota de aceite que tiene 1 mm3 de volumen se esparce sobre el agua formando una capa de espesor uniforme con cerca de 1000 cm2 de aacuterea A) Suponiendo que esa capa tenga soacutelo un diaacutemetro ldquoatoacutemicordquo de espesor iquestcuaacutel es el valor maacuteximo para el orden de magnitud del radio ldquoatoacutemicordquo En estas condiciones iquestcuaacutentos ldquoaacutetomosrdquo habriacutea en la gota de aceite Considera los ldquoaacutetomosrdquo como esferas yuxtapuestas Dimensiones de las magnitudes fiacutesicas

Dimensioacuten derivada

La velocidad v es una magnitud fiacutesica derivada

Cuestioacuten 9 Determina la ecuacioacuten de dimensiones A) de la constante de Gravitacioacuten universal G que interviene en la ley de Newton F = G M Mrsquo r2 B) de la constante de Coulomb k que interviene en la ley de Coulomb F = k q qrsquo r2 C) del nuacutemero π D) del seno de un aacutengulo Para los apartados C y D busca la respuesta a partir de la definicioacuten de nuacutemero pi y de seno de un aacutengulo respectivamente

V = st [v]=[st]=[s][t]= LT= L T-1

Dimensiones fundamentales

[tiempo]equiv T

[longitud]equiv L

[masa]equiv M

Anaacutelisis dimensional

Toda ecuacioacuten o ley fiacutesica debe ser homogeacutenea es decir dimensionalmente correcta

[1er miembro] = [2ordm miembro]

12

Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

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Anaacutelisis dimensional Nos permite descartar resultados erroacuteneos Nos permite encontrar respuestas certeras sin apenas realizar caacutelculos Bola de fuego de la detonacioacuten de Trinity La primera detonacioacuten de una bomba nuclear

Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014 pg88 R prop tα Eβ ργ

Nos puede permitir incluso iexcliexcliexcl demostrar el teorema de Pitaacutegoras (Investigacioacuten y Ciencia Mayo 2014)

Un sencillo anaacutelisis dimensional puede promover la realizacioacuten de un experimento Ejemplo Quiero responder la pregunta

Si dejo caer una manzana desde una cierta altura tarda un tiempo en caer Si ahora modifico la altura iquestqueacute pasaraacute con el tiempo que tarda

la manzana en caer El tiempo que tarda debe ser proporcional a la altura h elevada a una potencia

alfa tprophα

Completamente razonable maacutes altura maacutes tiempo Si la manzana tiene una masa m es probable que el tiempo que tarda tambieacuten sea proporcional (inversamente) a la masa de esa manzana a la potencia beta tpropmβ

Maacutes masa menos tiempo parece razonable Tambieacuten hay algo que es la gravedad la atraccioacuten gravitacional de la Tierra - la aceleracioacuten de la gravedad de la Tierra Asiacute que vamos a establecer que tambieacuten ese tiempo es proporcional a la aceleracioacuten de la gravedad a la potencia gamma tpropgγ

No conozco alfa ni beta ni tampoco gamma De momento ignoro la presencia del aire

0016 s 100 m

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Ahora podemos hacer lo que se llama en fiacutesica un anaacutelisis dimensional A la izquierda tenemos un tiempo [t]

En el lado derecho tambieacuten hay que tener tiempo [t] Es decir la ecuacioacuten que construyamos tiene que ser homogeacutenea

Asiacute las dimensiones de la izquierda y la derecha tienen que ser iguales

tprophα mβ gγ

[t]= [hα mβ gγ] = [h]α [m]β [g]γ rArr T = Lα Mβ (Lγ T2γ)rArr α+γ=0 β=0 minus2γ=1

β=0 γ=minus12 α=minusγ=12

Concluyo que el tiempo que tarda un objeto en caiacuteda libre es tproph12 m0 gminus12

t =cte (hg)12 rArr t2t1 =(h2 h1)12

Con este anaacutelisis dimensional no puedo predecir cuaacutento tiempo tardaraacute la manzana en caer porque no conozco la constante adimensional Pero siacute se pueden comparar los tiempos relativos a dos alturas diferentes Me puede caer una manzana de ocho metros y otra de dos metros Lo que siacute puedo decir es que la que cae desde ocho metros tarda el doble en llegar al suelo que la que cae desde dos metros La relacioacuten entre los tiempos que dura la caiacuteda seraacute t2t1= (82) frac12 = 21 es decir de 2 a 1 iexclEsto ya es mucha informacioacuten iexcliexclYa se puede hacer una prueba experimental Dejar caer un objeto desde dos alturas y comparar los tiempos estimar el error de medida y comparar el resultado experimental obtenido con el resultado teoacuterico esperado ( experiencia de aula)

Generalizacioacuten

unidades

nnxxy ββ 1

1prop][][ 1

1n

nxxy ββ =n

nxCxy ββ 11=

14

Cuestioacuten 10 La posicioacuten x de una partiacutecula cuando se mueve con una aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo t transcurrido y de la aceleracioacuten a Supongamos que describimos esta posicioacuten como

x= kam tn donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis dimensional m y n iquestPuede este anaacutelisis proporcionar el valor de k Incertidumbre y cifras significativas El error de medida

Debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con una cifra significativa

Estimacioacuten del error asociado a una sola medida A una sola medida obtenida directamente de una lectura sobre la escala de un instrumento de medida se le asocia la sensibilidad que eacuteste posee es decir la ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide La sensibilidad es la precisioacuten del instrumento Ejemplo

Medida de la estatura de una persona (se ha utilizado una regla graduada en cms y se ha realizado una uacutenica medida ) L= 187 m El significado de esta medida es que 186 m le L le 188 m y se expresa asiacute

L= ( 187 plusmn 001 ) m La precisioacuten de la regla es 1cm y se considera una estimacioacuten del error de la medida Ejemplo iquestCuaacutento mide el laacutepiz

SIEMPRE una cantidad fiacutesica medida estaacute ACOTADA dentro de un intervalo de incertidumbre el error de medida Para no perder informacioacuten de la medida ni retener informacioacuten falsa la medida se escribe justamente con sus cifras significativas

mm V Interpolacioacuten

iquestCuaacutento mide el voltaje

15

Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas Si se repite varias veces una medida se elige como mejor valor el valor promedio (la media aritmeacutetica de los resultados obtenidos) y una estimacioacuten del intervalo de error es la discrepancia maacutex (D = valor maacutex ndash valor miacuten) entre las medidas que se toma centrado en el valor medio (soacutelo si es mayor que la precisioacuten del instrumento de medida)

Valor medio plusmn D2

Una mejor manera de estimar el error es tomar en lugar de la discrepancia la raiacutez cuadrada del promedio del cuadrado de las desviaciones di de cada medida xi respecto de la media

119878119909 = 1119873(119889119894)2119873

119894=1= 1

119873(119909119894minus)2119873

119894=1

como error de cada medida realizada y asociar a la media el error

119878 = SxradicN Valor medio plusmn 119878

iquestCuaacutel es la lectura de la balanza M= (169 plusmn 001) kg El laacutepiz mide l= (36 plusmn 1) mm la lectura del voltaje es V = (55plusmn05) V con interpolacioacuten visual

16

Ejemplo Tiempo t (expresado en segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con cronoacutemetro que aprecia deacutecimas de segundo Medidas realizadas (segundos) 585 586 584 584 585

Valor promedio lt t gt= 5848 s Se compara D2 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor D= (586 ndash 584) =02 s error =maacutex(D2 sensibilidad)=maacutex(01 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas Dado el error estimado las centeacutesimas de segundo no se pueden apreciar Eso obliga a redondear la medida por exceso (cifrage5) o defecto (lt5) t=(585 plusmn 001) times 10 s notacioacuten cientiacutefica Se compara 119878 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor Sx = 008 s 119878= SxradicN=004 s lt 01 s error =maacutex(119878 sensibilidad)=maacutex(004 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s redondeo Cifras significativas son todas las cifras que escribimos en la mantisa cuando la cantidad se escribe en notacioacuten cientiacutefica El error indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra del valor de la medida que tiene significado

eabs = 01s es el error absoluto de la medida 585 s y nos da idea del tamantildeo del intervalo de incertidumbre Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo mejor determinada estaacute la medida

er = (01585) times 100 = 017 es el error relativo es decir es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten de la medida La precisioacuten suele expresarse en

17

Resumen

1ordf fuente de error aparato de medida ea

2ordf fuente de error muacuteltiples causas aleatorias 119878

∆A = maacutex (ea 119878) A = ltAgt plusmn maacutex (ea 119878)

Ejemplo iquestestaacuten bien expresadas las medidas de la Tabla 1

Ejemplo Rehacer la tabla 2 escribiendo las medidas con los errores absolutos eliminando las cifras que NO son significativas

Ejemplo Determinacioacuten del tiempo de reaccioacuten de una persona con una regla Medidas realizadas en clase

Estimacioacuten del error asociado a medidas indirectas

Cuando una magnitud Z no se mide directamente sino que se obtiene a partir de la medida directa de otras magnitudes A B Chellip que guardan una relacioacuten con ella mediante una ecuacioacuten matemaacutetica

Z = f(A B C hellip)

Entonces la mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt)

I A B mT 0 0

0040000 113 020100 435 036400 79 052900 113 086600 181

Tabla 2 Medidas experimentales del campo mag-neacutetico B en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn 003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

18

Si los errores de A B C son errores aleatorios e independientes entonces

El error de Z es ∆Z= [∆ZA 2+ ∆ZB 2+∆ZC 2+hellip]12

(∆Z)2=(∆ZA)2 + (∆ZB)2 + (∆ZC)2 + hellip donde ∆ZA = AAf

∆

partpart etc

Expresioacuten del resultado

Ejemplo Para medir la resistencia de un resistor se utiliza la ley de Ohm Se hace pasar por el resistor una corriente eleacutectrica La lectura del voltiacutemetro era 152plusmn02V y la lectura del amperiacutemetro era de 26 plusmn01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R

Los errores aleatorios

Para poder evaluar el error accidental asociado a muacuteltiples causas aleatorias se obtiene una muestra

de medidas xi i =123hellipN

N puede ser 3 5 10 100 1000 medidas

ZZ ∆plusmn (unidades)

cm

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

21

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

22

Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

23

Formato de informe

24

25

• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

14

Cuestioacuten 10 La posicioacuten x de una partiacutecula cuando se mueve con una aceleracioacuten uniforme es una funcioacuten del tiempo t transcurrido y de la aceleracioacuten a Supongamos que describimos esta posicioacuten como

x= kam tn donde k es una constante adimensional Obteacuten mediante el anaacutelisis dimensional m y n iquestPuede este anaacutelisis proporcionar el valor de k Incertidumbre y cifras significativas El error de medida

Debido a limitaciones del experimentador del aparato de medida del meacutetodo de medida o la misma naturaleza de lo que se quiere medir las medidas no constituyen cantidades exactas sino soacutelo aproximadas al valor verdadero que siempre es desconocido El error acota la regioacuten en la que estaacute el verdadero valor Se escribe con una cifra significativa

Estimacioacuten del error asociado a una sola medida A una sola medida obtenida directamente de una lectura sobre la escala de un instrumento de medida se le asocia la sensibilidad que eacuteste posee es decir la ( precisioacuten del instrumento ) cantidad maacutes pequentildea que es capaz de apreciar de la magnitud que mide La sensibilidad es la precisioacuten del instrumento Ejemplo

Medida de la estatura de una persona (se ha utilizado una regla graduada en cms y se ha realizado una uacutenica medida ) L= 187 m El significado de esta medida es que 186 m le L le 188 m y se expresa asiacute

L= ( 187 plusmn 001 ) m La precisioacuten de la regla es 1cm y se considera una estimacioacuten del error de la medida Ejemplo iquestCuaacutento mide el laacutepiz

SIEMPRE una cantidad fiacutesica medida estaacute ACOTADA dentro de un intervalo de incertidumbre el error de medida Para no perder informacioacuten de la medida ni retener informacioacuten falsa la medida se escribe justamente con sus cifras significativas

mm V Interpolacioacuten

iquestCuaacutento mide el voltaje

15

Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas Si se repite varias veces una medida se elige como mejor valor el valor promedio (la media aritmeacutetica de los resultados obtenidos) y una estimacioacuten del intervalo de error es la discrepancia maacutex (D = valor maacutex ndash valor miacuten) entre las medidas que se toma centrado en el valor medio (soacutelo si es mayor que la precisioacuten del instrumento de medida)

Valor medio plusmn D2

Una mejor manera de estimar el error es tomar en lugar de la discrepancia la raiacutez cuadrada del promedio del cuadrado de las desviaciones di de cada medida xi respecto de la media

119878119909 = 1119873(119889119894)2119873

119894=1= 1

119873(119909119894minus)2119873

119894=1

como error de cada medida realizada y asociar a la media el error

119878 = SxradicN Valor medio plusmn 119878

iquestCuaacutel es la lectura de la balanza M= (169 plusmn 001) kg El laacutepiz mide l= (36 plusmn 1) mm la lectura del voltaje es V = (55plusmn05) V con interpolacioacuten visual

16

Ejemplo Tiempo t (expresado en segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con cronoacutemetro que aprecia deacutecimas de segundo Medidas realizadas (segundos) 585 586 584 584 585

Valor promedio lt t gt= 5848 s Se compara D2 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor D= (586 ndash 584) =02 s error =maacutex(D2 sensibilidad)=maacutex(01 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas Dado el error estimado las centeacutesimas de segundo no se pueden apreciar Eso obliga a redondear la medida por exceso (cifrage5) o defecto (lt5) t=(585 plusmn 001) times 10 s notacioacuten cientiacutefica Se compara 119878 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor Sx = 008 s 119878= SxradicN=004 s lt 01 s error =maacutex(119878 sensibilidad)=maacutex(004 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s redondeo Cifras significativas son todas las cifras que escribimos en la mantisa cuando la cantidad se escribe en notacioacuten cientiacutefica El error indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra del valor de la medida que tiene significado

eabs = 01s es el error absoluto de la medida 585 s y nos da idea del tamantildeo del intervalo de incertidumbre Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo mejor determinada estaacute la medida

er = (01585) times 100 = 017 es el error relativo es decir es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten de la medida La precisioacuten suele expresarse en

17

Resumen

1ordf fuente de error aparato de medida ea

2ordf fuente de error muacuteltiples causas aleatorias 119878

∆A = maacutex (ea 119878) A = ltAgt plusmn maacutex (ea 119878)

Ejemplo iquestestaacuten bien expresadas las medidas de la Tabla 1

Ejemplo Rehacer la tabla 2 escribiendo las medidas con los errores absolutos eliminando las cifras que NO son significativas

Ejemplo Determinacioacuten del tiempo de reaccioacuten de una persona con una regla Medidas realizadas en clase

Estimacioacuten del error asociado a medidas indirectas

Cuando una magnitud Z no se mide directamente sino que se obtiene a partir de la medida directa de otras magnitudes A B Chellip que guardan una relacioacuten con ella mediante una ecuacioacuten matemaacutetica

Z = f(A B C hellip)

Entonces la mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt)

I A B mT 0 0

0040000 113 020100 435 036400 79 052900 113 086600 181

Tabla 2 Medidas experimentales del campo mag-neacutetico B en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn 003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

18

Si los errores de A B C son errores aleatorios e independientes entonces

El error de Z es ∆Z= [∆ZA 2+ ∆ZB 2+∆ZC 2+hellip]12

(∆Z)2=(∆ZA)2 + (∆ZB)2 + (∆ZC)2 + hellip donde ∆ZA = AAf

∆

partpart etc

Expresioacuten del resultado

Ejemplo Para medir la resistencia de un resistor se utiliza la ley de Ohm Se hace pasar por el resistor una corriente eleacutectrica La lectura del voltiacutemetro era 152plusmn02V y la lectura del amperiacutemetro era de 26 plusmn01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R

Los errores aleatorios

Para poder evaluar el error accidental asociado a muacuteltiples causas aleatorias se obtiene una muestra

de medidas xi i =123hellipN

N puede ser 3 5 10 100 1000 medidas

ZZ ∆plusmn (unidades)

cm

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

21

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

22

Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

23

Formato de informe

24

25

• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

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Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas Si se repite varias veces una medida se elige como mejor valor el valor promedio (la media aritmeacutetica de los resultados obtenidos) y una estimacioacuten del intervalo de error es la discrepancia maacutex (D = valor maacutex ndash valor miacuten) entre las medidas que se toma centrado en el valor medio (soacutelo si es mayor que la precisioacuten del instrumento de medida)

Valor medio plusmn D2

Una mejor manera de estimar el error es tomar en lugar de la discrepancia la raiacutez cuadrada del promedio del cuadrado de las desviaciones di de cada medida xi respecto de la media

119878119909 = 1119873(119889119894)2119873

119894=1= 1

119873(119909119894minus)2119873

119894=1

como error de cada medida realizada y asociar a la media el error

119878 = SxradicN Valor medio plusmn 119878

iquestCuaacutel es la lectura de la balanza M= (169 plusmn 001) kg El laacutepiz mide l= (36 plusmn 1) mm la lectura del voltaje es V = (55plusmn05) V con interpolacioacuten visual

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Ejemplo Tiempo t (expresado en segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con cronoacutemetro que aprecia deacutecimas de segundo Medidas realizadas (segundos) 585 586 584 584 585

Valor promedio lt t gt= 5848 s Se compara D2 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor D= (586 ndash 584) =02 s error =maacutex(D2 sensibilidad)=maacutex(01 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas Dado el error estimado las centeacutesimas de segundo no se pueden apreciar Eso obliga a redondear la medida por exceso (cifrage5) o defecto (lt5) t=(585 plusmn 001) times 10 s notacioacuten cientiacutefica Se compara 119878 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor Sx = 008 s 119878= SxradicN=004 s lt 01 s error =maacutex(119878 sensibilidad)=maacutex(004 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s redondeo Cifras significativas son todas las cifras que escribimos en la mantisa cuando la cantidad se escribe en notacioacuten cientiacutefica El error indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra del valor de la medida que tiene significado

eabs = 01s es el error absoluto de la medida 585 s y nos da idea del tamantildeo del intervalo de incertidumbre Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo mejor determinada estaacute la medida

er = (01585) times 100 = 017 es el error relativo es decir es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten de la medida La precisioacuten suele expresarse en

17

Resumen

1ordf fuente de error aparato de medida ea

2ordf fuente de error muacuteltiples causas aleatorias 119878

∆A = maacutex (ea 119878) A = ltAgt plusmn maacutex (ea 119878)

Ejemplo iquestestaacuten bien expresadas las medidas de la Tabla 1

Ejemplo Rehacer la tabla 2 escribiendo las medidas con los errores absolutos eliminando las cifras que NO son significativas

Ejemplo Determinacioacuten del tiempo de reaccioacuten de una persona con una regla Medidas realizadas en clase

Estimacioacuten del error asociado a medidas indirectas

Cuando una magnitud Z no se mide directamente sino que se obtiene a partir de la medida directa de otras magnitudes A B Chellip que guardan una relacioacuten con ella mediante una ecuacioacuten matemaacutetica

Z = f(A B C hellip)

Entonces la mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt)

I A B mT 0 0

0040000 113 020100 435 036400 79 052900 113 086600 181

Tabla 2 Medidas experimentales del campo mag-neacutetico B en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn 003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

18

Si los errores de A B C son errores aleatorios e independientes entonces

El error de Z es ∆Z= [∆ZA 2+ ∆ZB 2+∆ZC 2+hellip]12

(∆Z)2=(∆ZA)2 + (∆ZB)2 + (∆ZC)2 + hellip donde ∆ZA = AAf

∆

partpart etc

Expresioacuten del resultado

Ejemplo Para medir la resistencia de un resistor se utiliza la ley de Ohm Se hace pasar por el resistor una corriente eleacutectrica La lectura del voltiacutemetro era 152plusmn02V y la lectura del amperiacutemetro era de 26 plusmn01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R

Los errores aleatorios

Para poder evaluar el error accidental asociado a muacuteltiples causas aleatorias se obtiene una muestra

de medidas xi i =123hellipN

N puede ser 3 5 10 100 1000 medidas

ZZ ∆plusmn (unidades)

cm

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

21

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

22

Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

23

Formato de informe

24

25

• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

16

Ejemplo Tiempo t (expresado en segundos) que tarda un nadador en recorrer 100 m medido con cronoacutemetro que aprecia deacutecimas de segundo Medidas realizadas (segundos) 585 586 584 584 585

Valor promedio lt t gt= 5848 s Se compara D2 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor D= (586 ndash 584) =02 s error =maacutex(D2 sensibilidad)=maacutex(01 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s iexclsoacutelo se escriben las cifras significativas Dado el error estimado las centeacutesimas de segundo no se pueden apreciar Eso obliga a redondear la medida por exceso (cifrage5) o defecto (lt5) t=(585 plusmn 001) times 10 s notacioacuten cientiacutefica Se compara 119878 y la precisioacuten del instrumento y se elige la cota mayor Sx = 008 s 119878= SxradicN=004 s lt 01 s error =maacutex(119878 sensibilidad)=maacutex(004 s 01 s)=01 s Resultado t= (58 48 plusmn01) s (585 plusmn 01 ) s redondeo Cifras significativas son todas las cifras que escribimos en la mantisa cuando la cantidad se escribe en notacioacuten cientiacutefica El error indica la posicioacuten de la uacuteltima cifra del valor de la medida que tiene significado

eabs = 01s es el error absoluto de la medida 585 s y nos da idea del tamantildeo del intervalo de incertidumbre Tiene las mismas unidades que la medida Cuanto maacutes pequentildeo mejor determinada estaacute la medida

er = (01585) times 100 = 017 es el error relativo es decir es el cociente entre el error absoluto y la cantidad medida Tambieacuten se llama error fraccional Es adimensional Mide la calidad de la medida Es la precisioacuten de la medida La precisioacuten suele expresarse en

17

Resumen

1ordf fuente de error aparato de medida ea

2ordf fuente de error muacuteltiples causas aleatorias 119878

∆A = maacutex (ea 119878) A = ltAgt plusmn maacutex (ea 119878)

Ejemplo iquestestaacuten bien expresadas las medidas de la Tabla 1

Ejemplo Rehacer la tabla 2 escribiendo las medidas con los errores absolutos eliminando las cifras que NO son significativas

Ejemplo Determinacioacuten del tiempo de reaccioacuten de una persona con una regla Medidas realizadas en clase

Estimacioacuten del error asociado a medidas indirectas

Cuando una magnitud Z no se mide directamente sino que se obtiene a partir de la medida directa de otras magnitudes A B Chellip que guardan una relacioacuten con ella mediante una ecuacioacuten matemaacutetica

Z = f(A B C hellip)

Entonces la mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt)

I A B mT 0 0

0040000 113 020100 435 036400 79 052900 113 086600 181

Tabla 2 Medidas experimentales del campo mag-neacutetico B en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn 003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

18

Si los errores de A B C son errores aleatorios e independientes entonces

El error de Z es ∆Z= [∆ZA 2+ ∆ZB 2+∆ZC 2+hellip]12

(∆Z)2=(∆ZA)2 + (∆ZB)2 + (∆ZC)2 + hellip donde ∆ZA = AAf

∆

partpart etc

Expresioacuten del resultado

Ejemplo Para medir la resistencia de un resistor se utiliza la ley de Ohm Se hace pasar por el resistor una corriente eleacutectrica La lectura del voltiacutemetro era 152plusmn02V y la lectura del amperiacutemetro era de 26 plusmn01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R

Los errores aleatorios

Para poder evaluar el error accidental asociado a muacuteltiples causas aleatorias se obtiene una muestra

de medidas xi i =123hellipN

N puede ser 3 5 10 100 1000 medidas

ZZ ∆plusmn (unidades)

cm

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

21

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

22

Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

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Formato de informe

24

25

• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

17

Resumen

1ordf fuente de error aparato de medida ea

2ordf fuente de error muacuteltiples causas aleatorias 119878

∆A = maacutex (ea 119878) A = ltAgt plusmn maacutex (ea 119878)

Ejemplo iquestestaacuten bien expresadas las medidas de la Tabla 1

Ejemplo Rehacer la tabla 2 escribiendo las medidas con los errores absolutos eliminando las cifras que NO son significativas

Ejemplo Determinacioacuten del tiempo de reaccioacuten de una persona con una regla Medidas realizadas en clase

Estimacioacuten del error asociado a medidas indirectas

Cuando una magnitud Z no se mide directamente sino que se obtiene a partir de la medida directa de otras magnitudes A B Chellip que guardan una relacioacuten con ella mediante una ecuacioacuten matemaacutetica

Z = f(A B C hellip)

Entonces la mejor estimacioacuten de Z es Z= f(ltAgt ltBgt ltCgt)

I A B mT 0 0

0040000 113 020100 435 036400 79 052900 113 086600 181

Tabla 2 Medidas experimentales del campo mag-neacutetico B en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn 003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

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Si los errores de A B C son errores aleatorios e independientes entonces

El error de Z es ∆Z= [∆ZA 2+ ∆ZB 2+∆ZC 2+hellip]12

(∆Z)2=(∆ZA)2 + (∆ZB)2 + (∆ZC)2 + hellip donde ∆ZA = AAf

∆

partpart etc

Expresioacuten del resultado

Ejemplo Para medir la resistencia de un resistor se utiliza la ley de Ohm Se hace pasar por el resistor una corriente eleacutectrica La lectura del voltiacutemetro era 152plusmn02V y la lectura del amperiacutemetro era de 26 plusmn01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R

Los errores aleatorios

Para poder evaluar el error accidental asociado a muacuteltiples causas aleatorias se obtiene una muestra

de medidas xi i =123hellipN

N puede ser 3 5 10 100 1000 medidas

ZZ ∆plusmn (unidades)

cm

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

21

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

22

Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

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Formato de informe

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25

• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

18

Si los errores de A B C son errores aleatorios e independientes entonces

El error de Z es ∆Z= [∆ZA 2+ ∆ZB 2+∆ZC 2+hellip]12

(∆Z)2=(∆ZA)2 + (∆ZB)2 + (∆ZC)2 + hellip donde ∆ZA = AAf

∆

partpart etc

Expresioacuten del resultado

Ejemplo Para medir la resistencia de un resistor se utiliza la ley de Ohm Se hace pasar por el resistor una corriente eleacutectrica La lectura del voltiacutemetro era 152plusmn02V y la lectura del amperiacutemetro era de 26 plusmn01 A iquestCuaacutel es la incertidumbre de R

Los errores aleatorios

Para poder evaluar el error accidental asociado a muacuteltiples causas aleatorias se obtiene una muestra

de medidas xi i =123hellipN

N puede ser 3 5 10 100 1000 medidas

ZZ ∆plusmn (unidades)

cm

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

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Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

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Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

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25

• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

19

Cuando el nuacutemero de medidas es suficientemente grande N infin los intervalos se estrechan y la forma del histograma la forma de la distribucioacuten de medidas se suaviza y tiende a adquirir una forma definida simple que llamamos distribucioacuten limitante

Si el origen de los errores es aleatorio la distribucioacuten limitante es una distribucioacuten gaussiana

caracterizada por un valor central X (que es el verdadero valor de la medida y que es desconocido) y un

paraacutemetro σ de manera que en el

intervalo X plusmnσ la curva subtiende el 68 aprox del aacuterea total (que es la unidad)

intinfin

infinminus== XdxxxGx X )(σ

22 2)( 2

1)( σσ πσ

XxX exG minusminus=

Distribucioacuten limitante

G

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

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Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

22

Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

50

100

150

200

0 02 04 06 08 1

B m

T

i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

0 (teoacuterico)

0 0

004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

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• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

20

22)(2

22 22

)(2

1)()( σπσ

σ σσ =minus=minus= minusminusinfin

infinminus

infin

infinminusint int dxeXxdxxGxx XxXx

La media de una muestra =(1N)sum 119909119894119873119894=1 es la mejor

estimacioacuten de X asymp X y su error aleatorio es la desviacioacuten estaacutendar de la media σ m siendo σ m =σradicN

Sx y 119878 son respectivamente la mejor estimacioacuten de σ y σm Sx asymp σ y Sltxgt asymp σm

119878= SxradicN

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Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

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iquestErrores

xcm

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Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

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B m

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i A

Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

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004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

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• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

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Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficas Registros incorrectos en tablas y graacuteficas

Registro de medidas experimentales Tablas y graacuteficos

ts

x

iquestErrores

xcm

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Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

0

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B m

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Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

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004 113 plusmn03 0040000 113

020 435 plusmn13 020100 435

036 79 plusmn 2 036400 79

053 113 plusmn 3 052900 113

087 181 plusmn 5 086600 181

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• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

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Tabla 2 Medidas experimentales del campo magneacutetico B en el interior de un solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente i que circula por eacutel El error de i es plusmn003 A y el de B de un 3 La primera fila corresponde a circuito abierto

La tabla en gris ha sido corregida La tabla en banco es correcta

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B m

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Figura 1 Valor experimental del campo magneacutetico en el interior del solenoide en funcioacuten de la intensidad de corriente que circula por eacutel Se ha realizado un ajuste a una recta cuya ecuacioacuten es B = (2112 plusmn17) i expresando la pendiente en mTA

I A

(plusmn003 A) B mT I A B mT

0 (teoacuterico)

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004 113 plusmn03 0040000 113

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• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

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• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

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• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas

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• Unidades SI derivadas
• expresadas a partir de unidades fundamentales
• Conversioacuten de unidades
• iquestEs importante la conversioacuten de unidades
• Estimaciones
• Anaacutelisis dimensional
• (Estimacioacuten del error asociado a una sola medida
• (Estimacioacuten del error asociado a varias medidas repetidas