tema vi gravedad. desde la antigüedad hasta kepler....
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����Tema VI (Capítulos: 11
de Física, P. A Tipler 4ª ed. ;
Serway, Misión a Marte, 3ªed
Thomson, Madrid 2003;
Investigación y Ciencia Nov. y
Dic. 2009)
����Gravedad
-Es la más débil de las 4 interacciones básicas
(gravitatoria, electromagnética, fuerte y débil)
-Despreciable en el mundo microscópico
-Controla la evolución del Universo
����Historia
El estudio del universo interesó a las personas desde la más remota antigüedad. Las grandes
civilizaciones antiguas, euroasiáticas y precolombinas poseían conocimientos astronómicos
importantes que utilizaban sobre todo para establecer un calendario, determinar las
estaciones, los ciclos de las labores agrícolas, la orientación de los navegantes…
Rompiendo con las explicaciones míticas de las civilizaciones anteriores, los grandes filósofos y
astrónomos griegos emiten las primeras teorías racionales sobre la forma de la tierra y su
concepción del universo. Se considera que es en la antigua Grecia donde nace la Astronomía
como ciencia. Este periodo va desde Tales de Mileto (s.VII a. C.) hasta Tolomeo (s.II d.C.). En el
s. XVI se produjo un cambio revolucionario: Copérnico, Brahe, Kepler, Galileo y Newton fueron
los responsables con sus sucesivas aportaciones. En los s. XVIII y XIX, el uso del telescopio en
observatorios fundados por todo el mundo permitió desarrollar grandes programas
observacionales que culminan en el s. XX con el nacimiento de la Astrofísica.
Tema VI
Gravedad.
Desde la antigüedad hasta Kepler.
Leyes de Kepler.
Interpretación Newtoniana:
La gravitación universal
Gravedad superficial
Campo y potencial gravitatorios
Órbitas, energía y momento angular
Astronomía. Sistema solar.
Centro de nuestra galaxia
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Pitágoras (siglo VI a.C.) explicó la estructura del universo en términos matemáticos. El gran fuego central, origen de todo se relacionaba con el uno, origen de los números. A su alrededor giraban la Tierra, la luna, el Sol y los planetas conocidos. El periodo de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas y ofrecía a este siempre su cara oculta, donde no habitan las personas. También se conocían los periodos de la Luna (un mes) y del Sol (1 año) . El universo concluía en una esfera celeste de estrellas fijas y más allá estaba el Olimpo. La obsesión matemática de los pitagóricos les llevó a pensar que el número de cuerpos que formaban el universo era diez, ya que este es el número perfecto. Como solo encontraban nueve supusieron que el décimo estaba entre la tierra y el gran fuego y por eso no era visible. Lo llamaron Antitierra.
Filolao de Tarento (siglo V a.C.) formuló la idea de una Tierra esférica.
En el siglo IV a. C. , Platón elabora un teoría del universo basada en que la Tierra esférica, ocupa el centro del universo, y los cuerpos celestes se mueven en torno a la Tierra con movimientos circulares uniformes.
Aristóteles (siglo IV a.C.) discípulo de Platón, añade que el Cosmos está dividido en dos partes, el mundo sublunar y el mundo supralunar. El mundo sublunar está compuesto por los cuatro elementos de la región terrestre (tierra, aire, agua y fuego). El mundo supralunar es el mundo de la armonía perfecta, donde todos los planetas se mueven con movimiento circular uniforme y está compuesto por la quinta esencia el éter.
Con el debilitamiento de Atenas, surge la etapa de Alejandría, con nuevos astrónomos que desarrollan programas de observación y valoran la observación sistemática.
Aristarco de Samos (310-230 a.C.)): Situó el Sol en el centro del universo. La Tierra y los planetas giran a su alrededor excepto la Luna que lo hace alrededor de la Tierra. Atribuye a la
Tierra movimientos de traslación y rotación basándose en los estudios de Hericlades del
Porto y efectúa las primeras mediciones de la distancia Tierra-Sol y Tierra-Luna.
Distancia Tierra-Sol (DT-S)
a) Cuando la Luna muestra fase de cuarto, creciente o menguante, la figura muestra la posición relativa de Sol, Tierra y Luna. En esta
configuración, Aristarco midió el ángulo α = 87º
(valor correcto 89º 51’) y calculó:
cos α= DT_L / D T-S = 1/19�
DT-S = 19 DT-L
(valor correcto 389 DT_L = 149531000 km).
Y entonces también Radio sol = 19 Radio Luna, ya que los tamaños angulares del Sol y la Luna
(ver figura) eran iguales: RS=19RL
α
DT-L
DT-S
T
L
S
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Distancia Tierra-Luna (DT-L) b) Durante un eclipse de Luna, Aristarco
observó que el tiempo que tarda la Luna en
ocultarse es una hora aproximadamente (2 RL)
y se mantiene oculta dos horas por lo que el
cono de sombra proyectado por la Tierra
sobre la órbita de la Luna tenía una anchura
equivalente al doble del diámetro aparente
de la Luna (ver figura).
c) El periodo de la Luna es de 29.5 días (2π
DT_L).
Entonces,
DT_L = 225.4 RL
Relación de semejanza en el cono de sombra
x /(2 RL) = (x+ DT_L)/ RT = (x+ DT_L +DT_S) / RS
RT es el radio de la Tierra. De todo lo anterior (dedúcelo explícitamente)
RT = 2.85RL y DT_L= 79 RT
Hoy sabemos que es 60 veces, sin embargo, el método empleado por Aristarco resulta
extraordinariamente inteligente para la
época.
Fue el precursor del modelo heliocéntrico, pero su teoría no fue aceptada en su cultura. La influencia de Aristóteles era muy poderosa y prevaleció hasta el siglo XVI.
Un discípulo suyo, Eratóstenes de
Cirene, ideó un método para medir el diámetro de la tierra. Lo hizo a partir de la medida de un arco del meridiano terrestre que va de Alejandría a Siena (la actual Asuán). Supo que en el solsticio de verano, en Siena (situada en el trópico de Cáncer) el Sol, a mediodía, pasaba por el cenit. En esta situación y en este momento el gnomon (estilete vertical que permite medir la
LUNA
T
L
S
x
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longitud de su sombra) colocado en Siena no arrojaría sombra., pero en ese instante sí que arrojaría sombra si estuviera colocado en Alejandría. Una sombra de longitud s si la del estilete es l, de manera que α = arctan (s/l) = 7.2º Como el arco de meridiano terrestre que va de Alejandría a Siena es de 787.5 km, el método de Eratóstenes permite calcular la circunferencia completa de la Tierra (360º) que resulta de 39942 km (determinación extraordinariamente correcta).
Modelo geocéntrico de Tolomeo (S. II d.C.)
Sugirió un esquema geocéntrico según el cual la Tierra seguía estando inmóvil en el centro del universo y los astros, en orden de proximidad la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las estrellas efectuaban dos tipos de movimientos: Un movimiento orbital en el llamado epiciclo del planeta, y otro movimiento que llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la tierra y que se llamaba deferente. Ajustando adecuadamente las velocidades del movimiento del planeta y en su epiciclo y de su centro en la deferente, se podía dar una explicación bastante precisa de todos los problemas, como el movimiento retrogrado de los planetas. Tuvo una gran aceptación y se mantuvo vigente hasta el siglo XVI. Mantenía el movimiento circular uniforme como
movimiento natural de los cielos.
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Modelo de Nicolás Copérnico (1473-1543): Se percató de que el sistema del mundo ganaba en armonía si se sacaba la Tierra de la posición central y se colocaba el Sol en su lugar. Los planetas, incluida la Tierra, giran alrededor del Sol y la Luna pasa a ser un satélite de la Tierra. El día y la noche se explican porque la Tierra posee un movimiento de rotación alrededor de de su eje con un periodo de 24 horas. Los planetas se dividen en dos grupos los que están en órbitas contenidas en la de la Tierra y el de los que siguen órbitas exteriores a la de la Tierra (Marte, Júpiter, Saturno). (Esta disposición explica que Venus y Mercurio solo se hacen visibles al Oeste justo tras la puesta de Sol y hacia el Este justo antes de la salida, lo cual era conocido
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desde la antigüedad). Cada planeta posee su propio periodo orbital creciente con la distancia al Sol. Las retrogradaciones se explican como consecuencia natural de la observación desde un planeta. Copérnico murió en el año en que se publicaron sus teorías en el libro De revolutionibus orbium coelestium.
Tycho Brahe (1546-1601)
Ha sido considerado como el más grande observador del periodo anterior a la invención del telescopio e innovador en los estudios astronómicos. En 1572 una estrella muy luminosa apareció en la constelación de Casiopea, alcanzando la luminosidad de Júpiter y después se fue apagando lentamente, aunque permaneció visible hasta marzo de 1574. Tycho la observó durante un año y medio, tratando de calcular con sus instrumentos y conocimientos la distancia con el método del paralaje. El astrónomo se dio cuenta que la estrella nova carecía de paralaje, lo que equivalía a admitir que se encontraba a una distancia
infinita, o sea que pertenecía a la esfera de las estrellas fijas. Tycho Brahe publicó por primera vez se demostró que las esferas supralunares no eran en absoluto inmutables, contrariamente a la opinión de Aristóteles. En 1588, el astrónomo desmintió, no con simples disertaciones, sino con pruebas basadas en
sus observaciones y medidas, otra teoría que en aquel tiempo era universalmente aceptada: la
de la naturaleza atmosférica de los cometas. Siguió con sus instrumentos al cometa aparecido
el 13 de noviembre de 1577, midió su paralaje y, por lo tanto, la distancia, y concluyó que se
encontraba más allá de la Luna.
Tycho rechazó el sistema copernicano no por ignorancia,
sino por coherencia con sus observaciones. Él razonó de
esta manera: si la Tierra girara a lo largo de una órbita
alrededor del Sol, como pensaba Copérnico, el observador
debería notar un desplazamiento anual (paralaje) en las
posiciones de las estrellas fijas. Como Tycho nunca pudo
medir ese desplazamiento, se convenció de que Copérnico
estaba en un error. El razonamiento de Tycho era
inaceptable: fue la insuficiente precisión de sus
instrumentos lo que no le permitió apreciar el pequeño
paralaje de las estrellas. (Las paralajes estelares están por
debajo del segundo de arco. Bessel midió la primera en
1838, Cygni, 313,6 milisegundos de arco) ver figura.
Confeccionó un catálogo estelar magnífico y estudió con precisión los movimientos de los
planetas, en especial Marte.
En 1600, se le une el joven J. Kepler, con el cual tuvo una fructífera colaboración en los últimos
tiempos de su vida. Al morir dejó a Kepler las observaciones realizadas a lo largo de 20 años de
estudio, con la esperanza de que éste pudiera demostrar su teoría del Universo. Kepler se
sirvió de los trabajos de Tycho para formular sus famosas leyes sobre los movimientos
planetarios, que, en cambio, sirvieron como confirmación de la teoría de Copérnico sobre el
sistema solar.
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GRAVITACIÓN
¿Por qué la luna no se cae sobre la Tierra? ¿Por qué los planetas se mueven en el cielo? ¿Por qué la Tierra se mantiene cerca y alrededor del Sol?
Johannes Kepler (1571-1629) Observó pequeñas discrepancias
entre las medidas de Brahe y las correspondientes a órbitas
circulares. Estaba convencido de que no se debían a errores de
medida e intentó entenderlas. La solución que aportó en 1609 en
su libro Astronomía nuova, consistía en afirmar que los planetas
describían órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos.
Fue la primera de sus leyes.
Leyes Kepler
1- Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una elipse, con el Sol en uno de los focos. 2- La línea que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en
tiempos iguales (consecuencia de Lr
=cte)
2c=FF c
2+b2=a
2 r1+r2= constante
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2
2
2
=+b
y
a
x
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La Tierra se mueve alrededor del Sol en una órbita elíptica. La órbita de la Tierra
es prácticamente un círculo perfecto, ¡su excentricidad es de sólo 0.0167! Plutón
tiene la órbita menos circular de todos los planetas del sistema solar. La órbita de
Plutón tiene una excentricidad de 0.2488. Debido a que el Sol está en el foco, el
planeta se acerca y se aleja en cada órbita del Sol. El punto cercano de cada
órbita se llama, perihelio. El punto lejano se llama, afelio. Cuando la Tierra se
encuentra en perihelio, está a aproximadamente, 147 millones de km del Sol.
Cuando se encuentra en afelio, está a aproximadamente, 152 millones de
kilómetros del Sol.
Leyes Kepler
3- El periodo de un planeta es proporcional a la potencia 3/2 del semieje
mayor de su órbita: a3 ∝∝∝∝ T2
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Galileo Galilei (1564-1642):
- Estableció las bases de la mecánica. Descubrió que los objetos
que caen libremente tienen todos la misma aceleración.
- Fue el primero que observó el
cielo sistemáticamente con
telescopio. Descubrió que la
banda lechosa (Vía láctea)
está formada en realidad por
miles de estrellas.
- Observó las manchas
solares. El desplazamiento
de estas manchas
mostraba que el Sol giraba
sobre sí mismo.
- Constató que la superficie de la
Luna no era lisa, tenía protu-
berancias y cráteres como la Tierra.
- Detectó que Venus
presenta fases, que son
consecuencia de los
movimientos relativos del
Sol, Venus y la Tierra.
LUNA
VENUS
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- Descubrió las lunas de Júpiter sistema solar en miniatura. Hace 400 años, descubrió tres
puntos de luz que formaban una línea recta con Júpiter. Al principio pensó que eran estrellas.
Cuatro días más tarde, apareció otra estrella. Galileo las observó detenidamente varias
semanas y comprobó que se movían en la dirección incorrecta llegando a la conclusión de
que no eran estrellas sino cuerpos planetarios que orbitaban alrededor de Júpiter, hoy
conocidos como satélites Galileanos.
La foto es del 31-1-06 a las 6:00 (5:00 TU) tomada por un aficionado.
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����Ley de Gravitación Universal
Isaac Newton(1643-1727) inaugura la astronomía moderna con el libro Philosophiae naturalis
principia mathematica publicado en 1687.
Se apoyó en las bases de la mecánica, en la superficie de la Tierra, de Galileo y en las leyes de Kepler,
pero hizo una aportación genial al darse cuenta de que la aceleración de un planeta en su órbita se
debe a la fuerza que el Sol ejerce sobre él y que lo mantiene en su órbita.
Consideró los planetas como masas puntuales (radio Tierra 6400 Km , distancia al Sol 150 millones de
km, luego demostró que un objeto esférico actúa gravitacionalmente como si toda su masa estuviera
en su centro)
La aceleración a en movimiento circular uniforme (Huygens 1629-1695) combinado con la 3ª ley
Kepler muestra que la aceleración de un planeta es proporcional a 1/r2
a = v2/r = (2ππππr/T)2/r y T2 ∝∝∝∝ r3 ����a ∝∝∝∝ 4ππππ
2 r2 /r4 ����a ∝∝∝∝ 1/ r2
(independiente de la masa del planeta)
a = Fuerza ejercida por el Sol /masa planeta (2ª ley Newton)
Fuerza ejercida por el Sol ∝∝∝∝ masa planeta(MP) / r2
Además Newton consideró su 3ª ley de acción –reacción y pensó que entonces
Fuerza ejercida por el planeta ∝∝∝∝ masa Sol (MSol) / r2 y
Fuerza ejerc. por el planeta =Fuerza ejerc. por el Sol ∝∝∝∝ MPMSol/r2
También los planetas deberían atraerse entre sí (justificó las
desviaciones de las órbitas de Júpiter y Saturno alrededor del Sol
debido a su mutua influencia).
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Newton se preguntó si la fuerza que mantenía a la Luna en órbita y la
que hacía caer los objetos con aceleración g tenía el mismo origen: la
atracción gravitatoria de la Tierra. En tal caso, las aceleraciones
debían estar en razón inversa del cuadrado de sus respectivas
distancias a la Tierra. Comparó la aceleración de la Luna con la de un
objeto próximo a la superficie de la Tierra :
Sea un objeto de masa m ( ¡la manzana!)
Según la ley de gravitación universal y la 2ª ley de Newton
Luego
Según las observaciones de Galileo
Así que debería ser
y la aceleración de la Luna
maR
mGMF
T
T ==2
2
T
T
R
GMa =
mgF =
2
T
T
R
GMg =
2
LT
TL
D
GMa
−
=
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como
entonces, debería ser
¿lo era?.......
La aceleración de la Luna en su movimiento circular uniforme debería
ser
La atracción gravitatoria parece tener carácter UNIVERSAL!!!
TLT RD 60≈−
36006022
g
R
GMa
T
TL =≈
( )
23
23222
/72.9107.236003600
/107.228
4/2
smxxag
smxdías
D
r
Tr
r
va
L
LTL
==≈
====
−
−−ππ
Toda partícula de materia en el universo atrae a todas las demás
partículas con una fuerza directamente proporcional al producto de
las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que las separa.
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����Balanza de Cavendish para determinar G (1798)
m 1 es muy grande.
Se determina la fuerza atractiva F midiendo el giro que se produce
respecto de la posición de equilibrio.
Medidas de m 1 , m2 , la distancia de equilibrio entre las dos masas y
F, se calcula el valor de G.
Ley de Gravitación Universal
Dos partículas se atraen entre sí con fuerzas
F1,2 = F2,1 = G (m1m2)/r2
G = 6.67 x 10-11 N.m2 /kg2
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ϕ
����Ejemplo ¿Cuánto vale la fuerza gravitatoria entre dos personas separadas ½ m? (8.6 10-7 N)
fuerza pequeña!!!
����Deducción de las leyes de Kepler
dA=1/2 r v dt senϕ = L dt/2m
⇒ dA/dt = constante (2ª ley)
����Energía potencial gravitatoria terrestre (F conservativa)
Cerca de la superficie de la Tierra Fpeso =−mg siendo g= cte (fuerza por unidad de masa)
F = −dU/dy � Ugravitatoria = mgy + U0 (con U0 = U(y=0)=0) (y es la altura)
Lejos de la superficie de la Tierra g ∝ 1/ r2
En la dirección radial r , origen en el centro de la Tierra:
Fgravitatoria = −GMm/r2= −dU/dr �dU= (GMm/r2)dr �
Ugravitatoria(r)= −GMm/r +U0 (con U0 = U(r=∞)=0)
Energía mecánica del sistema
aislado Sol-planeta (M>>m)
E = U+K = ½ mv2 – GMm/r
(ej. 14)
= GMm/2r – GMm/r =
=–GMm/2r <0
⇒ Sistema ligado
E= –GMm/2a
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(útil para evaluar el ∆E necesario para transferir
un objeto de una órbita a otra)
Si Emecánica < 0, el objeto no pasará de
un rmáx y queda atrapado (sistema
ligado) describiendo una órbita
elíptica.
Si Emecánica ≥ 0 el objeto escapa a la
atracción de la Tierra describiendo
una órbita hiperbólica (una órbita
parabólica en el caso = 0)
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����El campo gravitatorio
¿Cómo puede ocurrir esa acción atractiva a distancia?
rr
GMmrF ˆ)(
2−=
r
el objeto M atrae hacia sí al objeto m con una aceleración
rr
GM
m
Frg ˆ)(
2−==
rr
intensidad de campo gravitatorio
La energía potencial del objeto m es U= -GMm/r
y por unidad de masa es V=U/m= -GM/r potencial gravitatorio,
Podemos interpretar que el espacio está deformado por la presencia del objeto M aún sin que haya
presente ningún objeto m.
g(r) y V están presentes aún en ausencia de m
Al colocar el objeto m en algún punto “en las proximidades” de M “siente” la acción de su presencia
de manera que sufre una fuerza atractiva m g(r) y posee una energía m V.
Se dice que, en la región que rodea a M , hay un campo de fuerzas gravitatorio y un potencial
gravitatorio asociado.
Gráficamente se representa por líneas de
campo y superficies esféricas equipotenciales.
dU = - F · dr = 0
por una superficie equipotencial.
M
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> 0
����Órbitas. Velocidad de escape.
Una de las aplicaciones más importante de la ley de G. U. es el manejo de las naves espaciales en el
sistema solar (película). Los cohetes se encienden cortos periodos de tiempo y se aprovecha la
atracción gravitatoria de los astros para cambiar direcciones.
� energía (cinética) y velocidad que hemos de comunicar a un objeto para que abandone la Tierra.
De la figura, deducimos que la nave debe recibir al menos la energía GMTm/ RT en forma de energía
cinética K, así, a medida que se aleja de la superficie, va cambiando K por U, es decir,
Emecánica = ½ m v2 - GMTm/ RT ≥ 0,
en particular, ½ m ve2 - GMTm/ RT
= 0
con ve= (2GMT/RT)1/2= (2 g0 RT)1/2
la velocidad de escape.
Este concepto permite entender por qué algunos astros tienen atmósfera y
otros no.
Datos de las órbitas de los planetas
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Planeta Semieje
mayor(AU) Periodo
Orbital
(Años)
Orbital
Speed
(km/s)
Orbital
Excentrici
dad
Inclin. de
la Orbit
a la Elip.(º)
Rotation
Period
(days)
Inclin. del
Equator
a Orbit (º)
Mercury 0.3871 0.2408 47.9 0.206 7.00 58.65 0
Venus 0.7233 0.6152 35.0 0.007 3.39 -243.01* 177.3
Earth 1.000 1 29.8 0.017 0.00 0.997 23.4
Mars 1.5273 1.8809 24.1 0.093 1.85 1.026 25.2
Jupiter 5.2028 11.862 13.1 0.048 1.31 0.410 3.1
Saturn 9.5388 29.458 9.6 0.056 2.49 0.426 26.7
Uranus 19.1914 84.01 6.8 0.046 0.77 -0.746* 97.9
Neptune 30.0611 164.79 5.4 0.010 1.77 0.718 29.6
* Negative values of rotation period indicate that the planet rotates in the direction opposite to that in which it orbits the Sun. This is called retrograde rotation.
The semimajor axis (the average distance to the Sun) is given in units of the Earth's
average distance to the Sun, which is called an AU. For example, Neptune is 30 times
more distant from the Sun than the Earth, on average. Orbital periods are also given in
units of the Earth's orbital period, which is a year.
����La energía E y el semieje mayor de la órbita elíptica a (trabajo)
L = r x p y E son constantes
en toda la órbita
En Perihelio y Afelio: LA = LP ; EA = EP
�Momento angular L y
P A
a = - GMm/2Emecánica
32
2
)(
21
mGM
ELe +=
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excentricidad e
Excentricidad: Es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su
semidistancia focal c y su semieje mayor a. e =c/ a