Geometría del espacio

Lic. Evaristo Huamaní Velásquez

SólidosSon figuras geométricas que encierran una región del espacio . y tiene tres dimensiones largo, ancho y alturaEjemplos.

Cubo Cono

Pirámide EsferaParalelepípedo

Cilindro

PIRAMIDES

CILINDROS

CONOCARGANDO UN PARALELEPIPEDO

CUBO

Esfera

0

R

0RR

Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie redondo cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro de la esfera. Tiene la forma de un balón

R

Área superficial de la esfera

2R2 R

2

2 .2

4

A R R

A R

0

R

R

R

Es el entorno superficial de la esfera y esta determinado por : 24A R

Veamos como sale: Si en la figura

el cilindro se pega a la esfera, formaría el entorno y luego descomponiendo el cilindro tal como vemos, tendría la otra forma con esas dimensiones como se observa, de donde se toma el área de la esfera

Si tomamos el rectángulo base por altura se tiene el área de la esfera

2R

Volumen de la esferaEs el espacio interno de la esfera y está determinado por:

34

3V R

Como se obtiene :

En la siguiente figura que observamos, si juntamos la Semiesfera y el Cono se formaría prácticamente el volumen del CilindroPero se sabe el volumen del Cono y del Cilindro

31

3Vc R 3Vcilindro R.V semiesfera

d

R

d

R

R

R

dR d

R

r

.Vs esf Vci Vc 3 31

.3

Vs esf R R

.Vs esf Vc Vci

332

: 2. 43

RLuego R

3 3 33 1 2: .

3 3

R R RDe donde Vs esf

Volumen de la esfera

0 R

R = 12 Cm

Problemas1. El diámetro de un balón de Vóley es 24 cm. Calcular su volumen

Resolución

En este caso, se sabe que el diámetro es doble radio, tal como observamos en el gráfico

Diámetro

34

3V R

Se sabe que R = 12 CmSustituyendo en la FORMULA se tiene:

3412

3V Cm

4

3V 1728 3Cm

34 576V Cm

32304V CmEs el Volumen del Balón

2. En la siguiente figura hallar el área y su volumen de la esfera

Resolución

T

P

O

30°

Observando la figura y formando un rectángulo notable se tiene

#

R60°

12

T

P

O

30°

12

3.l

2l l

3. 12l

4 3

Racionalizando

l :Ademas

R l

4 3R

Hallando el área de la esfera 24A R

24 4 3A 4 16.3A

2192A u Hallando el volumen de la esfera

34

3V R

344 3

3V

464 27

3V

4

3V 64.3 3

3256 3.V u

R

OH

3. En la siguiente figura hallar el área y su volumen de la esfera, si se sabe que el área del circulo H es

281 u

Resolución

OH

Observando la figura , se tiene que hallar el radio de la circunferencia H

R

2Ac R

Es el Radio de la Circunferencia y de la esfera a su vez

81 2R 281 R

81 R 9R Hallando el área de la esfera

24A R 24 9A 4 .81A

2324A uHallando el volumen de la esfera

34

3V R 34

93

V 4

3V . 729

3972V u

34 .243V u

4. De la figura hallar el área y su volumen de la esfera, si se sabe que la longitud de la circunferencia inscrita es . 24 cm

Resolución En este caso también se tiene que hallar el radio de la circunferencia .

2 . 24R cm

2. 24R cm

O

Y para eso se tiene que utilizar la longitud de la circunferencia inscrita .

24Lc cm

24 / 2R cm

12R cm

Hallando el área de la esfera 24A R

2576A cm

Hallando el volumen de la esfera

34

3V R 34

. 123

V cm

4

3V .12 3

3

.144

4 .4.144

cm

V cm32304 .V cm

OR

24 12A cm

R

0x

5. De la figura hallar el área de la esfera, si se sabe que la esfera está inscrita en el cilindro que tiene como área lateral

250 m

0x

Resolución Aquí el radio de la esfera es igual al del cilindro

R

R

Se sabe que el área lateral del cilindro es 2Al Rg

2100 2m Rg Pero Sustituyendo se tiene:

2R x

xy g

2100 2 . .2

xm x

100 2 2m .2

x.x

2 2100m x2100m x

10m xHallando el área de la esfera

24A R 24 10A m

24 .100A m2400 .A m

Volumen de la esfera

0

R

R

R

34

3V R

R

P30°

#