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Tema 8
La tecnología
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2
Conducta de la empresa
• Empezamos a estudiar el comportamiento de la empresa
• En este tema nos centramos en las restricciones tecnológicas de la empresa
• Es decir, cómo usa la empresa factores de producción (inputs) para producir (output)
• El análisis es parecido el del consumidor
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Tecnología• Una tecnología es un proceso por el
cual los factores de producción (o inputs) son convertidos en producto (o output)
• Por ejemplo, para producir estas transparencias necesitamos trabajo, un ordenador, electricidad y software
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4
Tecnologias
• Los factores de producción se agrupan en categorías: tierra, trabajo, capital y materias primas
• Los bienes de capital son factores producidos a partir de otros factores: edificios, maquinaria y demás equipo
• Distinguimos capital físico del capital financiero
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Conjunto de producción
• No todas las combinaciones de factores permiten obtener una cantidad dada de producción
• El conjunto de producción describe todas las combinaciones de factores y productos factibles
• Nos dice qué combinaciones son factibles y cuáles no
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1 factor / 1 producto
x’ xCantidad de factor
Producción
y’
y”
Conjunto deproducción
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1 factor / 1 producto
x’ xCantidad de factor
Producción
y’
y”
Conjunto deproducciónPlanes
técnicamenteineficientes
Planestécnicamenteeficientes
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8
Función de Producción
• La frontera del conjunto de producción nos dice cuál es la cantidad máxima que se puede producir con una cantidad dada de factores
• La función que determina esa frontera es la función de producción
• La escribimos y = f(x)
• Ejemplos: y = 10x; y = x1/2; y = log(x)
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Función de Producción
y = f(x) es lafunción de
producción.
x’ xCantidad de factor
Producción
y’y’ = f(x’) es la cantidadmáxima que se puedeproducir usando x’ unidades de factor
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Varios factores• El concepto de función de producción se
puede extender al caso de más de un factor
• Ahora y = f(x1, x2) es la cantidad máxima de
producto cuando se usan las cantidades x1
y x2 de los factores
• Ejemplos: y = 10x1+5x2; y = x1x2; y =
min{x1,x2}
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Isocuantas
• Con dos factores, las isocuantas representan las combinaciones de factores con las que se puede producir y
• Juegan un papel similar al de las curvas de indiferencia en la teoría del consumidor
• Diferencia: no solo información ordinal
• Las isocuantas muestran la flexibilidad de las empresas para sustituir un factor por otro
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12
Ejemplo de isocuantas
Trabajo por año
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5
Q1 = 55
A
D
B
Q2 = 75
Q3 = 90
C
ECapitalpor año
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Ejemplo: proporciones fijas
• Para cavar hoyos tenemos que utilizar hombres y palas. Si tenemos tres hombres y tres palas, ¿producimos más con una cuarta pala?
• El número de hoyos viene determinado por el mínimo entre el número de trabajadores y el número de palas:
y = min{x1,x2}
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Proporciones fijasx2
x1
min{x1,x2} = 14
4 8 14
4
8
14
min{x1,x2} = 8
min{x1,x2} = 4
x1 = x2
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Ejemplo: sustitutos perfectos
• Los factores se pueden intercambiar entre sí a una tasa constante
• Decimos que los factores son sustitutos perfectos
• Ejemplos: y = x1+x2; podemos sustituir x1 y x2 a la tasa 1:1
• En el caso y = x1+3x2, podemos sustituir 3 unidades de x1 por 1 de x2
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Sustitutos perfectos
9
3
18
6
24
8
x1
x2
x1 + 3x2 = 9
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 24
Las isocuantas son rectasparalelas
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Tecnología Cobb-Douglas
• La función de producción Cobb-Douglas tiene forma: y = A x1
ax2b
• El parámetro A mide la escala de producción (lo que producimos usando una unidad de cada factor)
• Los parámetros a y b miden el efecto en la producción de cambiar la cantidad de los factores
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x2
x1
Las isocuantas son hiperbólicas,convergen asintóticamente a losejes, sin llegar a tocarlos
Tecnología Cobb-Douglas
y=24
1 2 3
12
6
4
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Propiedades de la tecnologia
• Monotonía: si usamos una cantidad mayor de ambos factores, debe ser posible obtener al menos el mismo volumen de producción
• Convexidad: si dos combinaciones distintas de factores permiten producir una cantidad y, una media ponderada de ambas permitirá producir al menos y
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20
Convexidad
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
y
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21
Convexidad
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )
y
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22
Convexidad
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )
yy
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Producto Marginal
• Supongamos que estamos usando una combinación de factores (x1,x2) con la que producimos y
• Queremos saber cuánto aumenta la producción de y por cada unidad que aumentamos de x1, manteniendo constante la cantidad de x2
• Esto es lo que mide el producto marginal
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Producto Marginal
• Matemáticamente:
• La productividad marginal del factor 1 es PM1(x1,x2) y la del factor 2 es PM2(x1,x2)
• Si la función de producción es diferenciable:
1
21211
1
),(),(
x
xxfxxxf
x
y
11 x
yPM
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Producto Marginal
• Si y = 10x1+5x2, podemos calcular que PM1
= 10 y PM2 = 5 (es constante)• Si y = x1x2, tenemos PM1 = x2 y PM2 = x1
• Si y = A x1ax2
b (Cobb-Douglas), calculamos que PM1 = A a x1
a-1x2b y que PM2 = A b
x1ax2
b-1
• En los dos últimos casos, el producto marginal depende de las cantidades de factores usadas
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Relación técnica de sustitución
• Estamos usando las cantidades de factores (x1,x2) para producir y
• Si reducimos en una unidad la cantidad del factor x1, ¿cuánto tenemos que aumentar la cantidad del factor x2 para poder seguir produciendo y?
• Esto lo mide la pendiente de la isocuanta y se llama relación técnica de sustitución (RTS)
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27
• Para obtener la fórmula hacemos: Δy = PM1(x1,x2)Δx1 +PM2(x1,x2)Δx2 = 0
• De ahí obtenemos: RTS(x1,x2) = Δx2 / Δx1 =
= - PM1(x1,x2) / PM2(x1,x2)
• Vemos que la RTS es igual al cociente de los productos marginales
Relación técnica de sustitución
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Relación técnica de sustitución
x2
x1
y
La pendiente indica a qué tasa hay que reducir el factor 2 a medida que el factor 1 aumenta manteniendo constante el nivel de output . La pendiente de una isocuanta es la RTSx2
'
x1'
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Relación técnica de sustitución
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5 Las isocuantas tienenpendiente negativa yen este caso son convexas1
1
1
1
2
1
2/3
1/3
Q1 =55
Q2 =75
Q3 =90
Trabajo al mes
Capitalal mes
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Sustitutivos Perfectos
Trabajoal mes
Capitalal mes
Q1 Q2 Q3
A
B
C
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• Cuando los factores son sustitutos perfectos la RTS es constante en todos los puntos de una isocuanta
• Como los productos marginales son constantes, la RTS también será constante ya que es el cociente entre ambos
Sustitutivos Perfectos
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32
Proporciones Fijas
Trabajoal mes
Capitalal mes
L1
K1Q1
Q2
Q3
A
B
C
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33
• Cuando los factores son de proporciones fijas no se puede sustituir un factor por otro
• En el ejemplo de cavar hoyos, no se pueden sustituir palas por trabajadores (o al revés)
• Para aumentar la producción hay que aumentar las cantidades de ambos factores
Proporciones Fijas
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Relación técnica de sustitución
• Calculamos la RTS para el caso Cobb-Douglas, y = A x1
ax2b
• Tenemos que:RTS = - PM1(x1,x2) / PM2(x1,x2)
= - A a x1a-1x2
b / A b x1ax2
b-1
= - a x2 / b x1
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Producto marginal decreciente
• Si aumentamos la cantidad de un factor, dejando fijas las cantidades de los demás factores, en general la producción aumentará
• Pero el aumento de la producción se producirá normalmente a una tasa decreciente
• Hablamos de la ley del producto marginal decreciente
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36
Producto marginal decreciente
• Ejemplo: supongamos que tenemos un terreno de 1 Ha y tenemos un trabajador. La producción es de 100 quintales de maíz
• Si añadimos un segundo trabajador, la producción aumentará
• Ahora imaginemos que seguimos aumentando el número de trabajadores (manteniendo fijo el tamaño de la finca)
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Producto marginal decreciente
• Cada trabajador adicional hace que aumente la producción, pero estos aumentos son cada vez menores
• Incluso a partir de cierto punto, la producción podría disminuir
• Crucial: estamos manteniendo fija la cantidad de tierra
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La RTS decreciente
• También supondremos que, en general, la RTS es decreciente
• Esto quiere decir que, a medida que aumentamos la cantidad del factor 1 y reducimos la del 2 para mantener constante la producción, la RTS disminuye
• Por lo tanto, la pendiente de la isocuanta disminuye en valor absoluto cuando aumentamos el factor 1 (o el 2)
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39
La RTS decreciente
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
A medida que x1 aumenta,la pendiente de la isocuanta(la RTS) decrece en valor absoluto
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40
• Vamos a distinguir entre planes de producción viables de forma inmediata y planes viables a largo plazo
• Cuando hablamos de corto plazo, nos referimos a un periodo de tiempo en el que algunos factores son fijos
• En el ejemplo de arriba, las dimensiones de la finca eran fijas a corto plazo
Largo plazo y corto plazo
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41
• A largo plazo puede comprar más tierra, por lo que la cantidad de ese factor no es fija
• La distinción es que a largo plazo, las cantidades de todos los factores son variables
• A corto plazo, algunos factores son fijos. No se puede cambiar la cantidad
Largo plazo y corto plazo
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Los rendimientos de escala
• Los productos marginales miden el aumento de producción a medida que se incrementa el nivel de un único factor (los demás permanecen constantes)
• Los rendimientos de escala miden cómo aumenta la producción cuando todos los factores aumentan a la misma tasa
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43
Los rendimientos de escala
• Por ejemplo, supongamos que duplicamos las cantidades de factores, ¿qué efecto tiene esto en la producción?
• Si la producción también se dobla, hablamos de rendimientos constantes de escala
• Es decir: f(2x1, 2x2) = 2 × f(x1, x2)
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Rendimientos constantes
• En general, si hay rendimientos constantes:
f(tx1, tx2) = t × f(x1, x2)
• Esto ocurriría si, por ejemplo, una empresa hace una réplica exacta de lo que hacía inicialmente
• Puede construir dos plantas idénticas y duplicar exactamente la producción
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45
Rendimientos constantes
• ¿Puede tener una tecnología rendimientos constantes aunque todos sus productos marginales sean decrecientes?
• Sí. Ahora aumentamos todos los factores, mientras que cuando hablamos de PM, aumentamos la cantidad de un único factor
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Rendimientos crecientes
• Ahora imaginemos que, al multiplicar todos los factores por t, el producto aumenta más que t veces:
f(tx1, tx2) > t × f(x1, x2)
• Hablamos de rendimientos crecientes de escala
• Un aumento en la escala de las operaciones hace que los factores sean más productivos
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Rendimientos decrecientes
• Al multiplicar todos los factores por t, el producto aumenta menos que t veces:
f(tx1, tx2) < t × f(x1, x2)
• Hablamos de rendimientos decrecientes de escala
• Un aumento en la escala de las operaciones hace que los factores sean menos productivos
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Ejemplo: sustitutos perfectos• Tecnología de sustitutos perfectos:
f(x1,x2) = ax1+bx2
• Si multiplicamos todos los factores por t:
f(tx1,tx2) = atx1+btx2
= t(ax1+bx2) = t × f(x1,x2)
• Hay rendimientos constantes a escala
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49
Ejemplo: complementarios• Tecnología de complementos perfectos:
f(x1,x2) = min{ax1,bx2}
• Multiplicando los 2 factores por t:
f(tx1,tx2) = min{atx1,btx2}
= t × min{ax1,bx2} = t × f(x1,x2)
• También rendimientos constantes
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Ejemplo: Cobb-Douglas• Tecnología Cobb-Douglas:
f(x1,x2) = A x1ax2
b
• Multiplicando los 2 factores por t:f(tx1,tx2) = A (tx1)a(tx2)b
= ta+b A x1ax2
b = ta+b f(x1,x2)
• El resultado depende de cuál es el valor del término a+b
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Ejemplo: Cobb-Douglas
• Si a+b = 1, hay rendimientos constantes de escala
• Si a+b > 1, hay rendimientos crecientes
• Si a+b < 1, hay rendimientos decrecientes