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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/75Tema 5: Campo magnético

Tema 5: Campo Magnético

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2010/11



1. Introducción.2. Fuerza ejercida por un campo magnético.3. Líneas de campo magnético y flujo magnético.4. Ley de Gauss del campo magnético.5. Cargas en movimiento dentro de un campo magnético.

5.1 Aplicaciones: Selector de velocidad. Relación carga-masa (Expto. Thomson). Espectrómetro de masas. Ciclotrón.

6. Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente.7. Fuerza y momento magnético sobre una espira de corriente.

Momento dipolar magnético.8. Fuentes del campo magnético.

8.1 Campo que crea una carga puntual en movimiento.8.2 Campo que crea un elemento de corriente.

9. Fuerza entre conductores paralelos. Definición de Amperio.10. Ley de Ampère.

10.1 Limitaciones de la Ley de Ampère.

Índice:

Tema 5: Campo Magnético



Introducción

Utilidades técnicas:Utilidades técnicas:

Sistemas mecánicos para manejo de industria pesada, motores, altavoces, sistemas de enfriamiento…

Algo de historia:Algo de historia:

Brújula: China, s. XIII a.C.

Magnetita (Fe3O4). Grecia. 800 a.C.



Introducción

Descubrimiento de polos N y S de un imán.Descubrimiento de polos N y S de un imán.

Descubrimiento de la Tierra como imán natural.Descubrimiento de la Tierra como imán natural.

Descubrimiento de la la ley del cuadrado inverso para las fuerzas magnéticas.

Descubrimiento de la inseparabilidad de los polos.

Descubrimiento de la la ley del cuadrado inverso para las fuerzas magnéticas.

Descubrimiento de la inseparabilidad de los polos.

Año 1700. J. MitchellAño 1700. J. Mitchell

Año 1600. W. Gilbert.Año 1600. W. Gilbert.

Año 1269. Pierre de MaricourtAño 1269. Pierre de Maricourt



Descubrimiento de la relación del magnetismo con la electricidad

Año 1819. OerstedAño 1819. Oersted Descubre cómo variaciones en una corriente eléctrica afectan a una brújula (produce un campo magnético).

Descubre cómo variaciones en una corriente eléctrica afectan a una brújula (produce un campo magnético).

Año 1800 AmpèreAño 1800 Ampère Deduce las leyes de las fuerzas magnéticas entre conductores, y la interpretación microscópica del origen del magnetismo.

Deduce las leyes de las fuerzas magnéticas entre conductores, y la interpretación microscópica del origen del magnetismo.

Año 1850 Faraday-HenryAño 1850 Faraday-Henry Descubren cómo se produce una corriente eléctrica por el movimiento de un imán (produce un campo eléctrico).

Descubren cómo se produce una corriente eléctrica por el movimiento de un imán (produce un campo eléctrico).

Introducción



Maxwell: Unificación total de la teoría del electromagnetismoMaxwell: Unificación total de la teoría del electromagnetismo

Leyes de MaxwellLeyes de Maxwell

Introducción



Fuerza magnética - Campo magnético

Comparemos el campo eléctricoy el campo magnético:

Una carga eléctrica, en reposo o en movimiento, genera un campo eléctrico en su entorno y

Ese campo eléctrico ejerce una fuerza sobre cualquier carga, en reposo o en movimiento, que esté dentro del

campo

~Fe = q ~E

q

carga en reposoo en movimiento

qo qoE

carga en reposo o en movimiento

Fuerza debida al campo eléctrico



Fuerza magnética

En cambio, el campo magnético:

¿Cómo es esa fuerza magnética?

• Es generado sólo por cargas en movimiento

y

• Actúa sólo sobre cargas en movimiento



Fuerza magnética

Si tenemos una carga q, en movimiento dentro de un campo magnético (por ejemplo, en las proximidades de un imán), experimentalmente vemos que:

• La fuerza magnética es proporcional a la carga q de la partícula (con su signo)

• La fuerza magnética es proporcional a la velocidad v de la partícula

• Su módulo y dirección dependen de la dirección relativa entre la velocidad v y el campo magnético B, observándose que:

B

Llamamos B al campo magnético

v



Fuerza magnética

• La fuerza magnética es siempre perpendicular al plano que forman v y B (su sentido, dado por la regla de la mano derecha)

• Su módulo es proporcional al seno del ángulo que forman v y B. (senφ)

Sobre una carga positiva, es opuesta a la que experimenta una carga negativa en las mismas condiciones de movimiento.

Si la partícula se mueve paralela al campo, la fuerza magnética es cero.



Fuerza magnética

Todo esto se puede resumir matemáticamente:

~FB = q (~v ∧B)

fuerza magnética sobre la carga

carga de la partícula

campo magnético

velocidad de la partícula

Módulo: |~FB| = |q|vB sen θ

Dirección:Regla de la mano derecha



Diferencias entre el campo eléctrico y el campo magnético

Eléctrico Magnético

~FB · d~s = (~FB · ~v) dt = 0

~FB ⊥ ~B~Fe||~E

La energía cinética de la carga no se ve alterada por un campo magnético constante

La energía cinética de la carga no se ve alterada por un campo magnético constante

FB NO realiza trabajo (porque es a la trayectoria)

FB actúa sobre una carga sólo si está en movimiento

Fe actúa sobre una carga SIEMPRE (esté en reposo o mov.)

Fe realiza trabajo al desplazar la carga



Líneas de campo magnético y flujo magnético

Ocupan todo el espacio (aunque sólo se pinten algunas)

Igual que en el campo eléctrico, el campo magnético también

se puede representar por líneas de campo.

se trazan en cualquier punto, de modo que la línea sea tangente al vector campo en dicho punto.




Alta densidad de líneas: Campo magnético intensoBaja densidad de líneas: Campo magnético débil

Las líneas se cierran sobre sí mismas y nunca se cruzan




Las líneas de campo magnético NO son líneas de fuerza




Flujo eléctricoFlujo eléctrico Flujo magnéticoFlujo magnético

[φB] = [B][s]

Wb='Weber'

Tesla ·m2 ≡ N ·mA

Unidades:Unidades:

dS

S

e Sdφ = ⋅∫ E S

B Sdφ = ⋅∫ B S



Casos especiales

φB = B⊥A = BA cosφ

φB = B · A

~B

Si B y S son perpendiculares(B perpendicular a la superficie)

Si la superficie es PLANA

y B es UNIFORME:

(cos φ =1)


S S S

S



En ese caso: (~B ⊥ ~A)dφB ≡ B dA

B =dφBdA

B=flujo por unidad de área perpendicular al campo

De ahí su nombre alternativo:

B=''densidad de flujo magnético''


S

S

S



Ley de Gauss para ~E Ley de Gauss para ~BIS

~E d~s =q

ε0

IS

~B d~s = 0

La ‘carga’ magnética neta dentro de cualquier superficie es nula.

La ‘carga’ magnética neta dentro de cualquier superficie es nula.

El flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo

El flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo

Esto es así debido a que no existe la 'carga magnética' como tal, de forma aislada.

Esto es así debido a que no existe la 'carga magnética' como tal, de forma aislada.

Ley de Gauss para ~B

Monopolo magnético



Ley de Gauss para B

• Las líneas de campo eléctrico comienzan y terminan en cargas eléctricas (fuentes o sumideros)

• Las líneas de campo magnético nunca tienen extremos (un principio o un fin). Se cierran sobre sí mismas formando espiras cerradas. Cuando parecen surgir de un norte y terminar en un sur, en realidad continúan por dentro del imán.

De ahí surge una diferencia entre las líneas de campo eléctrico y las de campo magnético:

Dipolo eléctrico Dipolo magnético



Cargas en movimiento dentro de un campo magnético

fig27.15 sears

no altera el módulo de v, (sólo su dirección), y la EK de la partícula no cambia.

Partícula que se mueve en el seno de un equipo magnético perpendicular.

Partícula que se mueve en el seno de un equipo magnético perpendicular.

~FB = q(~v ∧ ~B)

Como FB es a v,

Si B es uniforme

Sea una partícula que entra perpendicular a un campo uniforme. La fuerza sobre ella:



Actúa como fuerza centrípeta

~FB = |q|vB = mv2

R

R =mv

|q|B

p=cantidad de movimiento

Radio de la trayectoria circular

fig27.15 sears

Movimiento circular de una carga en un campo uniforme perpendicular

Movimiento circular de una carga en un campo uniforme perpendicular

Si ~v ⊥ ~B




La frecuencia angular:

ω =v

R= v

|q|Bmv

=|q|Bm

'frecuencia de ciclotrón'

Es independiente de v y de R

La frecuencia lineal y el período:

Aplicación: CICLOTRÓN

f =ω

2π


1Tf

=



•La componente de v paralela a B permanece constante.

•La componente perpendicular sufre la misma desviación que en el caso anterior.

Movimiento helicoidal de la carga en un campo uniforme no perpendicular

Movimiento helicoidal de la carga en un campo uniforme no perpendicular

ResultadoResultado

Movimiento helicoidal

Radio de la helice: R =mv⊥|q|B

Si ~v 6⊥ ~B




Confinamiento de plasmas calientes Cinturones de radiación de Van Allen debido al campo terrestre

Si ~B no es uniforme

22.7 SEARS


Aplicación: Confinamiento magnético (Botella de Leyden)



Cinturones de Van Allen




Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos

Sirve para seleccionar partículas de un haz con una velocidad determinada.

Una haz de partículas, de carga q y masa m entra en una región de campo eléctrico y magnético perpendiculares.

Las partículas que no se desvían son aquellas que cumplen:

v =E

B

Selector de velocidad



Relación carga-masa (Experimento de Thomson)

Básicamente consiste en un acelerador y un selector de velocidad.

En el acelerador,

Ep = eV

v =

r2eV

m

En el selector, las partículas que no se desvían, cumplen:

E

B=

r2eV

m

e

m=

E2

2V B2

magnitudes fácilmente medibles


EK =1

2mv2



Esa relación no depende del material del tubo, ni de ningún otro aspecto del experimento

Esta independencia demuestra que esas partículas son un componente común de la materia (electrones)

A Thomson se le atribuye su descubrimiento

e

m= 1.7588× 1011C/kg

Con este experimento no se puede medir la carga o la masa por separado, sólo su relación.

Millikan, más adelante, consiguió medir la carga, con lo que el valor de la masa del electrón quedó determinada en

m = 9.109× 10−31kg




Espectrómetro de masas

Extensión del experimento de Thomson a medidas de masas atómicas, moleculares, iónicas...

Consta de:

• Un selector de velocidades o un acelerador

• Una región de campo magnético

La relación carga-masa de la partícula se determina midiendo el radio de la trayectoria, que impresiona la partícula en una placa fotográfica.




•Para el selector de velocidades: v =E

B

•Para el acelerador: 1

2mv2 = qV v =

r2qV

m

velocidad voltaje

En cualquier caso, el radio de la trayectoria verifica: q

m=

v

RBR =mv

qB




Ciclotrón:

Es un acelerador de partículas

Utiliza/se basa en el hecho de que la frecuencia ciclotrónica no depende de la velocidad (de la partícula)

La partícula sufre sucesivas aceleraciones en la región de campo eléctrico, cuya polaridad se invierte alternada y precisamente gracias a la frecuencia de ciclotrón.




• Partiendo de la fuerza magnética sobre una carga individual:

• La fuerza sobre cada elemento de carga dqdel chorro de carga:

Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente:

~FB = q

Ãd~l

dt∧ ~B

!~FB = q(~v ∧ ~B)

d~FB = dq

Ãd~l

dt∧ ~B

!



d~FB = dq

Ãd~l

dt∧ ~B

!elemento de longitud recorrido por la carga a lo largo del cable

intensidad de corriente I

d~FB = I³d~l ∧ ~B

´

~FB =

Zcable

d~FB =

Zcable

I³d~l ∧ ~B

´= I~l ∧ ~B

longitud del segmento de cable recto

Si el alambre es recto y B es uniforme:

Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente:



Dirección:

Módulo: F = I aB

±x

Par de fuerzas

Si tenemos una espira rectangular de lados a y b dentro de un campo magnético B

•La fuerza sobre los lados a:(perpendiculares al campo)

Fuerza magnética sobre una espira rectangular:

τ



El momento del par (módulo):

|~τ | =¯¯2Xi=1

~ri ∧ ~Fi¯¯ = 2(IBa) senφ b2

Dirección: +y(la espira gira en torno al eje y)

La fuerza neta sobre una espira de corriente inmersa en un campo magnético uniforme es cero, aunque no lo es el momento (par) de giro.

La fuerza neta sobre una espira de corriente inmersa en un campo magnético uniforme es cero, aunque no lo es el momento (par) de giro.

|F |

angulo queforman ~r y ~F

prod.vectorial r


senIBA φ=Área de la espira



• La fuerza sobre los lados b (oblicuos al campo):

Dirección:

Módulo: F = I bB sen³π2− φ

´±y

ángulo que forman b y B

Esta pareja de fuerzas se contrarrestan. No producen un par porque actúan (están aplicadas) a lo largo de un mismo eje (y) y contrarias. Su único efecto sería deformar la espira, si fuera deformable. Si es rígida, su efecto es nulo.

Esta pareja de fuerzas se contrarrestan. No producen un par porque actúan (están aplicadas) a lo largo de un mismo eje (y) y contrarias. Su único efecto sería deformar la espira, si fuera deformable. Si es rígida, su efecto es nulo.


,



Momento dipolar magnético

El momento de giro

cuyo módulo: |τ | = (IBa)(b senφ)A=área de la espira

angulo que forma lanormal a la espiracon ~B

se puede expresar como

|τ | = |I ~A ∧ ~B|~A es normal a la superficie



~r y ~F forman el mismoangulo que ~A y ~B

direc(~τ ) = direc(~r ∧ ~F)⊥ ~A ⊥ ~B

~τ = I ~A ∧ ~B = ~μ ∧ ~B

”Momento magneticode la espira”≡ ~μ


La dirección de τ también coincide con la de ese producto vectorial:



Los dipolos magnéticos (espiras de corriente) tienden a orientarse en la dirección del campo.Los dipolos magnéticos (espiras de corriente) tienden a orientarse en la dirección del campo.

Entonces, el par cesa

~τ = 0

~μ ↑↑ ~B

~μ ↑↓ ~B

Equilibro estable

Equilibro inestable


El par de giro τ es nulo cuando μ y B son paralelos (sen φ=0)



Aquí, el momento τ es máximo ( μ B)

Aquí, el momento τ es cero ( μ B, equilibrio estable)⊥




Fuentes del campo magnético

¿Qué es lo que genera un campo magnético?

Las cargas en movimiento

Los campos magnéticos

Las cargas en movimiento

sobre cargas en movimiento

campos magnéticos

¿cómo?¿cómo?

actúan

producen



Calculamos el campo que crea una carga puntual en movimiento

Calculamos el campo que crea cualquier distribución de cargas en movimiento(corriente)

1)

2)

Cómo las cargas en movimiento producen campos magnéticos



Campo que crea una carga puntual en movimiento

~B =μ04π

q~v ∧ ~urr2

unitario en la dirección r

módulo del radiovectorde posición

constantePermeabilidad magnética del vacío:

μ0 = 4π × 10−7 JmA Exacto! (en realidad se trata

de un valor definido que surge de la definición de amperio)Wb/Am

Una carga q que se mueve con velocidad v constante, crea en un punto P un campo magnético:

T



REGLA DE LA MANO DERECHACon v = dirección del pulgar

REGLA DE LA MANO DERECHACon v = dirección del pulgar

Las líneas de campo B son círculos centrados en la línea de v, en planos perpendiculares a esa línea (señalada con un aspa si entra hacia el papel, o un punto si sale de él)

Campo que crea una carga puntual en movimiento



Campo que crea un elemento de corriente

Un elemento de corriente que transporta una intensidad I a lo largo de un elemento de

camino dl

se puede asimilar/interpretar como

Un elemento de carga dq , que se traslada con velocidad v



El campo (diferencial) que crea esa "carga" dq:

d~B =μ04πdq~v ∧ ~urr2

d~B =μ04πdq

d~ldt∧ ~urr2

=μ04πId~l ∧ ~urr2

I=

elemento de cargacon velocidad ~v

Campo que crea un elemento de corriente

Campo magnético de un elemento de corriente



El campo magnético creado por toda la corriente simplemente es la integral (teorema de superposición):

~B =

Zcable

d~B =μ04π

Zcable

Id~l ∧ ~urr2

Ley de Biot-SavartLey de Biot-Savart

Líneas de campo asociadas a un elemento de corriente que entra hacia el papel (idénticas a las de una carga puntual entrante)

Campo que crea toda la corriente. Ley de Biot-Savart



Ejemplo: Campo creado por un conductor recto

Integrando todos los elementos de corriente, obtenemos:

~B =μ02π

I

r~ur

Intensidad que transporta el cable

Unitario en la dirección tangente a la circunferencia con centro en el cableconstantes

Distancia (en perpendicular) del punto al cable

Campo que crea toda la corriente

xθ



~B =μ02π

I

r~ur

Ejemplo: Campo creado por un conductor recto

Todos los cortes transversales al cable son iguales (el cable tiene simetría traslacional a lo largo del eje)

Simetría del campo debido a un hilo recto

θ



Ejemplo: Campo creado por una espira de corriente en su centro



Ejemplo: Campo creado por una espira de corriente en el eje



Ejemplo: Campo creado por una espira de corriente en el eje

Para x >> R:

Obtener expresión similar para el campo eléctrico de un dipolo eléctrico en su eje.



Fuerza entre conductores paralelos

Sean dos conductores paralelos que transportan corrientes I e I'

conductor 1 conductor 2



La fuerza que el conductor 1 ejerce sobre un tramo de longitud L del conductor 2 es:

~F = I 0 ~L ∧ ~B

longitud del tramo conductor 2

Campo creado por el conductor 1 (en la línea/región ocupada por el 2)

Corriente del conductor 2

¿Cuánto vale este campo?¿Cuánto vale este campo?

fuerza del 1 sobre el 2

F (1→ 2) :


Esto se puede poner así (sin integral) porque los conductores son rectos. Veámoslo.



Por Biot-Savart, ya sabemos que ese campo es:

~B =μ02π

I

r~ur


Campo producido por un hilo, a una distancia r

θ



Como ~L ⊥ ~B:

Dirección:

|~F| = I 0LB = μ0II0L

2πrMódulo:

Normal al conductor 2

Atractiva hacia el conductor 1

corrientes ↑ ↑ se atraencorrientes ↑ ↓ se repelen

perpendicular


Sustituyendo en ~F = I 0 ~L ∧ ~B



Un amperio es la corriente que, transportada por dos conductores paralelos, separados 1 metro de distancia en vacío, produce una fuerza atractiva (repulsiva) entre ellos de (EXACTO) N/m

Un amperio es la corriente que, transportada por dos conductores paralelos, separados 1 metro de distancia en vacío, produce una fuerza atractiva (repulsiva) entre ellos de (EXACTO) N/m

De la ecuación anterior:

|F |L=μ02π

II 0

r

De aquı surge la definicion de μ0 ≡ 4π × 10−7 NA2

(EXACTO)

Definición "funcional" (proporciona un procedimiento experimental para medir la corriente)

Definición de Amperio

72 10−×



Ley de Ampère

Hasta ahora, el cálculo del campo magnético lo hemos hecho

•Se parte la corriente en elementos diferenciales

•Se calcula el campo diferencial de cada uno de ellos

•Se suman (integran) todos (superposición)

por integración directa:



Recordando:•Éste es un planteamiento paralelo al del campo eléctrico

• Pero además de éste, existía en el caso eléctrico otro método, la Ley de Gauss, que nos permitía explotar las condiciones de simetría del problema para calcular ~EI

S

~E · d~s = q

ε0

Ley de Ampère



En el caso magnético, la Ley de Gauss no sirveI~Bd~s = 0

La Ley de Ampère

Ley de Ampère

para calcular B, porque en ella no aparece relacionado el campo con la distribución de corriente

Sin embargo, existe un procedimiento alternativo,

que sí nos permite aprovechar la simetría de la distribución para este cálculo.

S



IC

~Bd~l = μ0 I

elemento de desplazamiento sobre C

permeabilidad magnética del vacío

intensidad enlazada por C

Aunque en apariencia son iguales, esta integral es distinta a la de la Ley de Gauss:

Ley de Gauss:

Ley de Ampère:

Integral de superficie (flujo)

Integral de línea (circulación)

Ley de Ampère

Ley de AmpèreLey de Ampère



IC

d~l = I

Signo de I:

Si coincide con el de C según la regla de la mano derecha

Si es opuestoal de C

I > 0 I < 0

C

I < 0

C

I > 0

Ley de Ampère



C

I < 0

I C I

I > 0I < 0

Signo de I:

Ley de Ampère

I > 0



Comprobación de la Ley de Ampère

Cable recto que transporta una corriente I.

El campo B es tangente a círculos concéntricos con centro en el cable. SIMETRÍA AXIAL

En este caso, la elección más razonable de C es un círculo con centro en el cable, para que dl y Bsean paralelos.

nuestra curva de integración arbitraria



Así:IC

~Bd~l =

IC

B dl =

vectores(producto escalar) módulos

longitud de la circunferencia= 2πr

= μ0 I

Comprobación de la Ley de Ampère

Y como B es constante para radio constante⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0μ IB=2πr

= B

IC

dl =μ0I

2πr2πr



Limitaciones de la Ley de Ampère

Ley de AmpèreLey de AmpèreIC

~Bd~l = μ0 I

∀ curva cerrada C

Sean dos superficies diferentes, S1 y S2, apoyadas sobre la misma curva cerrada C



A traves de S1 atraviesa una corriente I

A traves de S2 la intensidad que circula es cero.pero

(por la acumulación de carga en el condensador)

Entonces “la corriente que enlaza C ” es ambigua, porque depende de la superficie elegida.




Ley de Ampère generalizada ó Ley Ampère-MaxwellLey de Ampère generalizada ó Ley Ampère-Maxwell

Esta ambigüedad aparece siempre que la corriente varía con el tiempo, y se puede resolver añadiendo un término de corriente de desplazamiento (Maxwell)

IC

~Bd~l = μ0(I + Id)

válida para todos los casosválida para todos los casos

corriente de desplazamiento




ResumenResumen



Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté(vol. II)•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”,Ed. Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. RevertéSears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education

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