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Tema 4: Ondas electromagnéticasEcuaciones de MaxwellEcuación de ondasOndas electromagnéticas. Espectro electromagnéticoEnergía y momento de una onda electromagnética
Juan JiménezGdS OptronlabDto Física de la Materia CondensadaEIIUniversidad de Valladolid
Las ecuaciones de MaxwellHasta ahora hemos visto las leyes que rigen el campo eléctrico por un lado y el magnetismo por otro:Leyes de Gauss, Coulomb, Biot Savart, Ampère, y Faraday. El resumen de lo visto hasta ahora loconstituyen las siguientes ecuaciones:
0Qd i
S SE Ley de Gauss
Ley de Gauss del MagnetismoLey de Ampère
Ley de Faraday
0S
dSB
Id cc 0lB
SSm
Cdtddt
ddtdd SBSBlE
En 1830 Faraday revolucionó el electromagnetismo al establecer que el campoeléctrico y el magnético estaban relacionados. Un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico. ¿ Sucede algo parecido al revés?
La corriente de desplazamientoId c
c 0lB
En la figura se muestra un condensador, con un conductor por elque circula una corriente I. Las dos superficies, S1 y S2, estánlimitadas por la misma curva, C. De forma que deberían cumplir laley de Ampère; sin embargo, a través de S2 la corriente es cero,pues no hay corriente libre a través de la placa del condensador,que lo que hace es almacenar carga.
Maxwell dijo que la ley de Ampère está incompleta y que hayque añadir un término de corriente, conocido como corriente de desplazamiento, .
e es el flujo del campo eléctrico a través de la superficie limitada por C. Teniendo en cuenta esta corriente, la ley de Ampère se reescribe como:
Con lo que queda resuelta la aparente discontinuidad de la ley de Ampère.Por la ley de Gauss:
La corriente generalizada, Ic+Id, es siempre contínua
dtdI ed 0
dtdIIId ecdc
c 0000 )(lB
Idtd
dtQdQ deiei 00
Ley de Ampère-Maxwell
Las ecuaciones de MAXWELL
0Qd i
S SE
0S
dSB
SSm
Cdtddt
ddtdd SBSBlE
SElB dtIdtdIIId
scecdc
c
0000000 )(
Esta notación es mucho más compacta que la que dio Maxwell, se debe a Heaviside y Gibbs.
La ecuación de las ondas electromagnéticas
x
t)ξ(x,vttx,ξ
222
22
El movimiento ondulatorio obedece a la ecuación de ondas
x(x,t) es la función de ondas, y v es la velocidad de propagación
x(x,t)=x0sen(kx-wt)x puede representar una magnitud escalar ó vectorial.Supongamos que estamos en el vacio, y que E y B son funciones del tiempo y su valor depende de una sola coordenada espacial, x en este caso, de modo que toman el mismo valoren los planos perpendiculares al eje x.
r x
u
r
x
t)(x,vttx,
222
22
EE
xt)(x,vt
tx,2
222
2
BB
El mecanismo por el que las ecuaciones de Maxwell describen campos electromagnéticos propagándoseestá resumido en el esquema:
Una corriente variable en el tiempo, J, genera un campo magnético circulante, B, y variable en el tiempo, a través de la ley de Faraday genera un campo eléctrico circulante, E, y variable en el tiempo, el cual por la ley de Ampère genera un campo magnético circulante,B, y variable en el tiempo, y así sucesivamente, como vemos los campos eléctrico y magnético así entrelazados se propagan más alláde la fuente original, que es la corriente J.
B E B E B E B E B
«El desarrollo del hombre depende fundamentalmente de la invención. Es
el producto más importante de su cerebro creativo. Su objetivo final es
el dominio completo de la mente sobre el mundo material y el
aprovechamiento de las fuerzas de la naturaleza a favor de las necesidades
humanas». Nikola Tesla
yxxEd
xxEExExEx
yxExEyxEyxEd
yC
yyyy
yyyyC
lE
lE
)()(
))()(()()(
12
1212
yxtBdSt
BdSt
Bdz
Sn
Sn
c
lE
y
tB
xE zy
z
tE
xB
dStEdlByz
Sn
C
00
00En ausencia de corrientes libres
Un método simple e intuitivo de plantear la ec. de onda
00 0cc s
d dI t EB l S
tB
xE zy
tE
xB yz
00 t
ExE
tE
txE
xB
txE
tB
xxE
xyyyy
zyzy
22
0022
0022
22
)(
)()()(
tE
xE yy
22
0022
tB
xB zz
22
0022
tx 22
0022
EE
tx 22
0022
BB
xt)ξ(x,vt
tx,ξ2
222
2
00
1v
z=zosen k(x-vt)= zosen 2p/l(x-vt)= zosen (kx-wt)w2pv/l=kv=2pn
sen(2π( ))ox t
T l Para un determinado punto x, el estado de perturbación se repite a intervalos detiempo T. Periodicidad temporal
Para un determinado instante, t, el estado de perturbación de los puntos separados entre sí una distancia l, es igual. Periodicidad espacial.y
xzo zo
l
y
tzo zo
T l=vTEl periodo es el tiempoque tarda la perturbación en recorrer la longitud de onda
Veamos que E y B estan en fase y que sus amplitudes están relacionadas,para ello suponemos una onda sinusoidal:
)()(1)()(1)()()()(
)()()cos(
)()()cos(
)(
00
0000
000
00000
0
0
0
tgtkxsenEcxftkxsenEcck
tgtkxsenEkxftkxsenEktgtkxsenEkdxx
BBtkxEt
ExB
xftkxsenEkdttBB
tkxEkxE
tB
tkxsenEE
zz
yz
zz
yzy
wwwwwww
wwww
ww
ww
Como se cumple para cualquier x y cualquier t, necesariamente f(x) y g(t) son constantes
cEB
tkxsenBCtkxsenEcBz
00
00 )()(1
ww
tB
xE zy
tE
xB yz
00
La onda electromagnética se propaga en dirección perpendicular a E y B, es una onda transversal.La onda se autopropaga, de acuerdo a las ec. de Maxwell un campo eléctrico variable, generaun campo magnético variable y viceversa.
En general podemos escribir para una onda electromagnética que se propaga en la dirección x:
La onda se propaga en la dirección de ux:Ux= Uyx Uz
La dirección de propagación viene dada por el producto: ExB
)()(
00
tkxsenBtkxsenE
zy
ww
uBuE
BEuuuBE
)()]([)]([ 20000 tkxsenBEtkxsenBtkxsenE xzy www
indica la dirección y sentido de propagación de la onda electromagnética
0Qd i
S SE 0
SdSB
C Sd dt
Bl SE00 0cc s
d dI t EB l S
Solo hemos usado tres ecuaciones de las cuatro, en concreto la ley de Gaussdel magnetismo no la hemos usado.
0 en el espacio libre
Algunos piensan que la ley de Gauss del magnetismo está incompleta,que tendrá que ser modificada el día que se encuentren monopolos magnéticos, de momento no los hay.
No obstante, el hecho de que se tenga que reescribir la ley de Gauss del magnetismo, no afecta al resultado que hemos obtenido
Energía y momento de una onda electromagnéticaLa densidad de energía de la onda electromagnética es la suma de las densidades de energíaasociadas con el campo eléctrico y el magnético:
La intensidad (potencia por unidad de área) de la onda es el producto de la densidad de energíapor la velocidad de propagación:
Como E y B son variables es mejor utilizar los valores eficaces en lugar de los campos instantáneos, E y B,
La intensidad vendrá dada por:
cEBBEc
EEBEuuu me 00
2202
0202
020 2
121
21
21
220
0
BB
EEmrs
mrs
BES
SBEBE
0
00000
01
112BEBEucI mrsmrs
0
EBucI
Vector de Poynting, su módulo es la intensidad de la onda y sudirección y sentido son los de propagación de la onda
20 0 ( )x kx tsenE B w E B u
Las ondas transportan energía y momento. La onda em se mueve a lo largo del eje x e incide sobre una carga q (+), ymasa m
tmEBqt tdtm
EBqt dtFpdtFpd
tmEBqBvqq
tmEq
mtEqmvmE
tmqEtav
xx
xx
xzyym
yk
yy
212
0
2
0
2
2122
22122
2
21
21
21
21
11
uuuBvF
Velocidad por la acción de E
Energía cinética al cabo de t1
Fuerza debida al campo magnéticoImpulsoMomento transferido en el tiempo t1 en la dirección de propagación
2 2 211 1( )2
kx
Uq E E pp tc m c c El momento transportado por la oem es la energía dividido por c
rIp c Momento transportado por unidad de
tiempo y de área, I/c tiene dimensiones de fuerzapor unidad de superficie Presión de radiación
I=U/tAhttp://infobservador.blogspot.com.es/2011/01/que-es-la-presion-de-radiacion.html
Molino de luz
El espectro electromagnético
Las ondas electromagnéticas tienen diversos orígenes:Aceleración de partículas cargadas
Transiciones internas de átomos ó moléculas (UV, visible, IR próximo)
Corrientes eléctricas macroscópicas oscilantes ( dipolos oscilantes, antenas)
Bremsstrahlung: frenado de electrones por un blanco metálico (Rayos X)
Movimiento circular de partículas cargadas (Radiación sincrotrón-Rayos X de alta energía)
Radiaciones nucleares (rayos gamma)
Aniquilación positrón-electrón (rayos gamma)
Radiación del cuerpo negro