tema 2 Álgebra linea: vectores

VectoresOperaciones con vectores

Propiedades de las operaciones con vectoresEstructura euclidiana de Rn

Producto vectorial. Producto mixto

VectoresEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

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10 de febrero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors




Indice1 Vectores

DefinicionesVectores fijosVectores libres

2 Operaciones con vectoresSuma y resta de vectores libresProducto de vector por escalarCombinacion lineal de vectores

3 Propiedades de las operaciones con vectores4 Estructura euclidiana de Rn

Producto escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntosAngulo entre dos vectoresDesigualdad de Cauchy-Schwarz

5 Producto vectorial. Producto mixtoProducto vectorialProducto mixto






1 VectoresDefinicionesVectores fijosVectores libres

2 Operaciones con vectoresSuma y resta de vectoreslibresProducto de vector porescalarCombinacion lineal devectores

3 Propiedades de lasoperaciones con vectores

4 Estructura euclidiana de Rn

Producto escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntosAngulo entre dos vectoresDesigualdad deCauchy-Schwarz

5 Producto vectorial. Productomixto

Producto vectorialProducto mixto






Vectores

Los vectores tienen un papel fundamental no solo en matematicassino tambien en la fısica, la ingenierıa e incluso otros camposcientıficos.Ya se conocen de anos anteriores las nociones de vectores en elplano o en el espacio. Los vectores en general tienen dos vertientesıntimamente ligadas: la algebraica y la geometrica.Se vera en primer lugar los vectores desde un punto de vistageometrico.






Vectores

Sea K un cuerpo

Punto en la recta KDados un origen y una unidad de longitud, cada punto de la rectaviene definido por un, y solo un, escalar del cuerpo K y viceversa.

Punto en el plano K2

Dados un origen, dos ejes (rectas) y una unidad de longitud, unpunto del plano es un par (x , y) donde x y y son dos elementos delcos K.






Vectores

Punto en el espacio K3

Dados un origen, tres ejes (rectas) y una unidad de longitud, unpunto del plano es una terna (x , y , z) donde x , y y z son doselementos del cuerpo K.






Vectores

Puntos en Kn

Un punto del espacio Rn se define como una n-tupla de numeros:

X = (x1, x2, · · · , xn)

Donde n es la dimension del espacio Kn.

Coordenadas del punto

Las coordenadas de X son los valores x1, x2, · · · , xn del punto X .






Vectores fijos

Las siguientes definiciones permiten ver los vectores desde unaperspectiva geometrica:

Vector fijo

Un vector fijo es un par de puntos A y B, que se indicaran como~AB. El punto A se denomina origen y el punto B extremo.

Normalmente los vectores en el plano o en el espacio de tresdimensiones se suelen representar mediante segmentos acabados enuna punta de flecha en uno de sus dos extremos.






Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que seobtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadassituado en el origen del vector.






Componentes de un vector fijo ~AB

Vector fijo

Las componentes de un vector fijo ~AB son los vectores que seobtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadassituado sobre el origen del vector.

Figura: Criterio de colores. Rojo:+ Verde:-. Las componentes pueden serpositivas o negativas






Vectores fijos

Componentes de un vector fijo ~AB

Si A = (ax , ay ) y B = (bx , by ) entonces las componentes del

vector ~AB se obtienen restando las coordenadas del punto extremoB al punto de origen A:

~AB = (bx − ax , by − ay )






Vectores fijos

El valor absoluto de las componentes del vector coincide con la delos catetos del triangulo rectangulo formado y tal que el vector seasu hipotenusa.






Vectores fijos






Vectores fijos

Caracterizacion de un vector fijo (I)

En el contexto geometrico, las 3 caracterısticas de un vector fijoson:

Origen: el punto de aplicacion donde comienza el vector

Modulo: la longitud del segmento

Direccion: la de la recta a la cual pertenece

Sentido: el que determina la punta de la flecha del vector






Vectores fijos

Caracterizacion de un vector fijo (II)

Tambien queda completamente determinado con:

Sus componentes

El punto origen






Vectores fijos

Caracterizacin de un vector fijo (III)

O incluso si se conocen:

Las coordenadas del punto origen

Las coordenadas del punto extremo






Vectores equivalentes


Dos vectores ~AB y ~CD son equivalentes si tienen las mismascomponentes; es decir:

(bx − ax , by − ay ) = (dx − cx , dy − cy )







Figura: ~AB y ~CD son equivalentes incluso al tener diferentes orıgenes yextremos

Geometricamente, las longitudes de los segmentos de la rectadeterminados por el par de puntos y los sentidos de ambos vectoresson iguales.







Ejercicios

Encuentrese un vector equivalente a ~AB donde A = (1, 2) yB = (5, 4)

Sol: Puntos cualesquiera C y D tales que:

(dx − cx , dy − cy ) = (4, 2)







Ejercicios

Encuentrese un vector equivalente a ~AB donde A = (3, 4) yB = (7, 6) con origen en el punto A = (−1, 0).

Sol:B ′ = (3, 2)






Vectores libres

Todos los vectores fijos equivalentes entre sı tienen las mismascomponentes. En este sentido es posible establecer una relacion deequivalencia correspondiente, el vector libre. Estre representantedefine un conjunto infinito de vectores y los representa a todosellos.






Vectores libres

Vectores libres

El conjunto de todos los vectores fijos equivalentes entre sı sedenomina vector libre. Un vector libre no tiene un origen fijo, sinoque se puede ubicar en cualquier punto del espacio. Cada vectorfijo es un representante del vector libre.






Vectores libres

Vector fijo en el origen

Es aquel de los representantes del vector fijo que tienen su puntoorigen en el origen de coordenadas.

En este caso, las coordenadas del punto extremo coincidennumericamente con las componentes del vector, ya que el punto deorigen es 0 = (0, 0).






Vectores libres

Por tanto, todo vector libre tiene un representante situado en elorigen de coordenadas donde el punto extremo tiene las mismascoordenadas que las componentes del vector. En este sentido sepuede decir:

Resultado

Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores libres y lospuntos segun el cual cada punto P = (a, b) se identifica con unvector ~OP = (a, b).






Vectores libres

Caracteritzacion de un vector libre (I)

Para caracterizar un vector libre se necesitara el modulo, ladireccion y el sentido.

Caracteritzacion de un vector libre (II)

Tambien se puede caracterizar si se conocen las componentes

El modulo, al igual que en los vectores fijos, viene dado por lalongitud del segmento y la direccion y sentido vienen definidos porel angulo que forma el vector con la direccion positiva del eje OX ..






Vectores libres

Ejercicios

Encuentrse el modulo, direccion y sentido del vector decomponentes (7,-5).

Sol: modulo =√

74 y tanα = −57

Ejercicios

Dado el vector de modulo 8 y el hecho de que forma un angulo de135 grados con el eje OX , calculense sus componentes.

Sol:(8 cos 135, 8 sin 135)





Suma y resta de vectores libresProducto de vector por escalarCombinacion lineal de vectores













Suma de vectores libres

Definicion

Sea ~u = (u1, u2, · · · , un) y ~v = (v1, v2, · · · , vn), entonces:

~u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn)

Geometricamente es el vector formado por la diagonal delparalelogramo que tiene los dos vectores sumandos como lados yorigen el mismo que ambos.






Suma de vectores libres

Si se han de sumar mas de dos vectores, resulta mas util lasegunda construccion grafica. Basta colocar cada origen de losvectores sumandos sobre el extremo del vector sumando precedente






Resta de vectores libres

Definicion

Sea ~u = (u1, u2, · · · , un) y ~v = (v1, v2, · · · , vn), entonces

~u − ~v = (u1 − v1, u2 − v2, · · · , un − vn)

Geometricamente se realiza la suma entre el vector minuendo y elopuesto del sustraendo.






Resta de vectores libres

Una pequena observacion: al realizar la resta ~u − ~v se busca unvector ~w tal que si se le suma al sustraendo ha de dar el minuendo:






Obtencion de las componentes de un vector ~AB

Si se tiene un vector ~AB obtenido a partir de los puntos A y B y sedibujan los vectores ~OA y ~OB

Entonces se puede ver como ~AB, ~OA y ~OB forman un triangulovectorial y se pueden escribir las relaciones siguientes:

~OA + ~AB − ~OB = ~0⇒ ~AB = ~OB − ~OA







Ejercicios

Obtengase ~SR a partir de ~OR = (−1, 4) i ~OS = (−3,−2)

Ejercicios

Obtengase ~PR − ~PS a partir de ~OR = (−1, 4), ~OS = (−3,−2) i~OP = (3, 0).






Producto por escalar

Definicion

Sea ~u = (u1, u2, · · · , un) ∈ Kn y sea λ ∈ K entonces:

λ~u = (λu1, λu2, · · · , λun) ∈ Kn







En el ejemplo anterior ~v = (4,−2) y 2~v = (8,−4). Ademas, lalongitud de ~v = 2

√5 y la de 2~v = 4

√5, donde se observa que al

duplicar el vector, tambien se duplica su modulo o longitud. Encambio la direccion y sentido de ~2v coincide con la de ~v . Se veraque no siempre sera ası.







El resultado de multiplicar un escalar λ 6= 0 por un vector ~v es otrovector ~u de la mismas direccion que ~v , de sentido igual o contrariosegun sea el signo del escalar + o −, y de modulo igual a λ vecesel de ~v

Figura: A la figura de la derecha, si el vector ~v = (1,−2) se multiplicapor el escalar −2 se obtiene otro vector ~u paralelo a ~v y de componente~u = (−2, 4).







Vectores paralelos

Dos vectores ~u = (u1, u2, · · · , un) y ~v = (v1, v2, · · · , vn) sonparalelos (o proporcionales) si existe un valor λ 6= 0 tal que ~u = λ~v .

Seran del mismo sentido si λ > 0 y de sentidos opuestos si λ < 0.







Ejercicios

Dados los puntos A = (1, 2, 3),B = (0,−1, 2) y C = (−2,−7, 0),si D es el punto de coordenadas (−1, x , 0) encuentrese, si esposible, el valor de x para el que los vectores ~AB y ~CD sonparalelos. Razonese el procedimiento empleado.

Sol: el problema no tiene solucion.







Ejercicios

Dados los vectores ~u = (2, 3, 0) y ~v = (−3, 0, 1) encuentrese elvalor de k para el que los vectores ~a y ~b son paralelos, donde~a = 2~u − ~v y ~b = −3~u + k~v .

Sol: k = 32 .






Combinacion lineal

Combinacion lineal de vectores

Dados V = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} un conjunto de vectores de Kn yα1, α2, · · · , αk ∈ K se define la combinacion lineal de los vectoresde V como el vector ~w :

~w = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αk ~vk =k∑

i=1

αi ~vi

La combinacion lineal de vectores no es una operacion nueva, sinoque reune en un mismo lugar la suma de vectores y el producto porescalares. Para poder hacer combinaciones lineales de vectores esnecesario que todos ellos tengan el mismo numero de componentesy el resultado sera otro vector de estas mismas caracterısticas.






Combinacion lineal

Ejercicios

¿Es el vector (2, 3) combinacion lineal de (3, 1) y (−6,−2)?Justifıquese graficamente la respuesta.

Sol: no.





Propiedades de las operaciones con vectores

Al definir las operaciones de suma y producto por un escalarconviene tener presentes las diferencias y similitudes entre ambos.

Ley de composicion interna

La suma de vectores se denomina ley de composicion interna yaque opera entre elementos de un conjunto dado, Kn y el resultadoes otro elemento de este conjunto:

f :Kn ×Kn−→ Kn

(~u, ~v) 7→ ~u + ~v





Propiedades de las operaciones con vectores

Ley de composicion externa

El producto de un escalar por un vector tiene como operandosconjuntos diferentes: escalares por un lado y vectores por el otro.El resultado cae del lado de los vectores, y la operacion sedenomina ley de composicion externa:

f :K×Kn−→ Kn

(λ, ~v) 7→ λ~v





Propiedades de la suma de vectores

Sea ~u, ~v , ~w ∈ Kn y α, β ∈ K entonces se cumple:

Propiedades

Ley asociativa: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

Ley conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u

Elemento neutro de la suma: ~u +~0 = ~0 + ~u = ~u

Vector opuesto: ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = ~0





Propiedades del producto por un escalar

Propiedades

Ley distributiva del producto por un escalar para la suma devectores: α(~u + ~v) = α~u + α~v

Ley distributiva del producto de un vector por la suma deescalares: (α + β)~u = α~u + β~u

Ley asociativa del producto entre escalares y vectores:(αβ)~u = α(β~u) = β(α~u)

Elemento unidad: 1~u = ~u






Producto Escalar

El producto escalar es la tercera operacion basica entre vectores deRn.

Producto escalar

Sean ~u = (u1, u2, · · · , un) y ~v = (v1, v2, · · · , vn) dos vectores deRn. Se define el producto escalar ~u · ~v como el numero real

~u · ~v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

De ello se derivan los conceptos metricos como la ortogonalidad, lanorma, el angulo y se abre camino a multiples aplicacionesgeometricas y fısicas del algebra lineal.






Producto escalar

Ejemplo

Sean ~u = (2, 3, 0) y ~v = (−1,−3, 1) dos vectores de R3. Calculesesu producto escalar:

Sol:~u · ~v = −11






Propiedades del producto escalar

Propiedades

Conmutativa: ~u · ~v = ~v · ~uDistributiva respecto de la suma: ~v · (~u + ~w) = ~v · ~u + ~v · ~wAsociativa y conmutativa entre escalares y vectores:

(λ~u) · ~v = λ(~u · ~v)

~u · (λ~v) = λ(~u · ~v)

Si ~u = ~0⇒ ~u · ~u = 0.

Si ~u 6= ~0⇒ ~u · ~u > 0.







Ejercicios

Dados los vectores ~u = (2,−1, 5), ~v = (−3, 4, 1) y ~w = (−1, 0, 5)

1 Compruebese que el producto escalar tiene la propiedadconmutativa.

2 Compruebese que el producto escalar tiene la propiedaddistributiva respecto de la suma.

3 Compruebese que el producto escalar tiene la propiedadasociativa entre escalares y vectores.







Ejercicios

Demuestrese que si ~u 6= ~0 entonces ~u · ~u > 0






Norma de un vector

Norma

Dado ~u = (u1, u2 · · · , un) ∈ Rn su norma o longitud viene dadapor:

||~u|| =√~u · ~u =

√u2

1 + u22 + · · ·+ u2

n

En muchos casos resulta util la norma al cuadrado de un vector:

||~u||2 = (√~u · ~u)2 ⇒ ||~u||2 = ~u · ~u






Norma de un vector

Ejercicios

Dado ~u = (2, 3,−1) ∈ R3, calculese su longitud.

Sol:||~u|| =

√14






Norma de un vector

Propiedades

||~u|| > 0,∀~u 6= ~0

||λ~u|| = |λ|.||~u||||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v || (Desigualdad triangular)

||~u + ~v || = ||~u||+ ||~v || ⇔ ~u ⊥ ~v (teorema de Pitagoras)

||~u · ~v || ≤ ||~u|| · ||~v || (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)






Norma de un vector

Ejercicios

Dado ~u = (2, 3,−1) compruebese que:

||2~u|| = 2||~u||

|| − 2~u|| = | − 2|||~u|| = 2||~u||






Norma de un vector

Vector unitario

Un vector unitario ~e es aquel que tiene la norma 1:

||~e|| = 1

Por ejemplo el vector (1, 0, 0) es un vector unitario.






Norma de un vector

Ejercicios

Dado el vector ~u = (2, 3,−1) compruebese que si se divide por sunorma se obtiene otro vector que es unitario.

Ejercicios

Demuestrese que cualquiera que sea el vector ~u, al ser dividido porsu norma es unitario.

Ejercicios

Dado el vector ~u = (2, 3,−1) encuentrese otro vector de la mismadireccion y sentido pero de norma igual a 3.






Distancia entre dos puntos


Dados dos puntos A y B se define la distancia entre ambos como:

d(A,B) = || ~AB|| =√

~AB · ~AB

Este valor coincide con la intuicion geometrica cuando A y B sondos puntos del plano. Equivale a la longitud del vector fijo ~AB.

Ejercicios

Dados dos puntos A = (1, 2) y B = (4, 3) encuentra la distanciaentre ambos.

Sol:√

10.







Teorema

Dados dos vectores ~u y ~v y α el angulo que forman ambos,entonces se cumple que:

~u · ~v = ||~u|| · ||~v || · cosα







Para hacer la demostracion se utilizara un resultado previo.

Teorema del coseno

En un triangulo ABC cualquiera y siendo α, β, γ los angulos, ya, b, c los angulos de los lados opuestos a los anteriores, entonces:

b2 = a2 + c2 − 2ac cosα







Demostracion

En primer lugar se dibuja el vector ~u − ~v con lo que quedadibujado un triangulo. Se aplica la definicion de norma bajo laforma ||~w ||2 = ~w · ~w al vector ~u − ~v , resulta:

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(~u · ~v)







Demostracion

Por otro lado si se aplica el teorema del coseno al trianguloformado por ~u, ~v y ~u − ~v

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(||~u|| · ||~v | cosα)







Demostracion

Si se comparan ambas expresiones se obtiene el resultado:

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(~u · ~v)

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(||~u|| · ||~v | cosα)






Angulo entre dos vectores

Como se acaba de ver, si ~u y ~v forman un angulo α entonces sepuede definir su producto escalar como ~u · ~v = ||~u|| · ||~v || cosα.


Se define el angulo que forman dos vectores como el valor real α:

cosα =~u · ~v

||~u|| · ||~v ||

Ejercicios

Encuentrese el angulo que forman los vectores (2, 3,−1) y(−2, 0, 3)

Sol: cosα = −√

18226







Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero:

~u ⊥ ~v ⇔ ~u · ~v = 0⇔ α =π

2

Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si son ortogonales y de norma 1.

Por ejemplo, (0, 1) y (1, 0) son dos vectores ortonormales.







Ejercicios

Encuentrese el valor de a para el cual (a, 0,−1, 3) seaperpendicular a (1, 7, a− 1, 2a + 3).

Sol: a = −53

Ejercicios

¿Para que valores de x son ortogonales (x ,−x − 8, x , x) y(x , 1,−2, 1)?

Sol: x = −2 y x = 4.






Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Resultado

A partir de la expresion:

cosα =~u · ~v

||~u|| · ||~v ||

Y teniendo en cuenta que el coseno de cualquier angulo es siempremenor o igual que 1 se puede obtener:

|~u · ~v | ≤ ||~u|| · ||~v ||

Es decir, que el producto escalar de dos vectores es menor o igualque el producto de sus normas.






Proyeccion ortogonal


La proyeccion ortogonal de un vector ~v sobre otro vector ~u es unvector paralelo a ~u tal que sumado a otro perpendicular a ~u dara ~v







Se trata de obtener P~v (~u) = ~v1 conociendo los vectores ~u o ~v

Calculo de la proyeccion ortogonal

Se descompone el vector ~v = ~v1 + ~v2 donde ~v1||~u i ~v2 ⊥ ~u.

~v1 = λ~u

~v = λ~u + ~v2 ⇒ ~v2 = ~v − λ~u~v2 · ~u = 0⇒ (~v − λ~u) · ~u = 0

λ = ~v ·~u~u·~u = ~v ·~u

||~u||2

Por tanto:

P~v (~u) = ~v1 = λ~u =~v · ~u||~u||2

~u







Calculo de la proyeccion ortogonal

Proyectese el vector ~v = (1, 2) sobre ~u = (3, 1).

Sol: P~v (~u) = 12 (3, 1).






Producto vectorial

Producto vectorial

Sean ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3) dos vectores de R3. Elproducto vectorial de ~u y ~v se define como el vector:

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)






Producto vectorial

Resultados

Si se multiplica escalarmente:

~u · (~u ∧ ~v) = 0

~v · (~u ∧ ~v) = 0

Donde se ve que es perpendicular a ~u y ~v .






Producto vectorial

Resultados

El sentido del producto vectorial es el de indicarıa la regla de lamano derecha al llevar el primer vector sobre el segundo por elcamino mas corto y con modulo el area del paralelogramo deldeterminante dado por ~u y ~v

||~u ∧ ~v || = ||~u|| · h = ||~u|| · ||~v || · senα






Producto vectorial

Producto vectorial como determinante

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2)~i + (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k

~u ∧ ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣






Producto vectorial

Propiedades

Propiedad anticonmutativa: ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~uPropiedad distributiva:

~u ∧ (~v + ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w

(~v + ~w) ∧ ~u = ~v ∧ ~u + ~w ∧ ~u

Propiedad asociativa de vectores y escalares:

α · (~u ∧ ~v) = (α · ~u) ∧ ~v = ~u ∧ (α · ~v)

~u ∧~0 = ~0 ∧ ~u = ~0

~u ∧ ~u = ~0






Producte mixto de tres vectores

Producto mixto

Sean ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) tresvectores de R3 distintos del cero. El producto mixto de ~u, ~v y ~w sedefine como el vector:

{~u, ~v , ~w} = ~u(~v ∧ ~w)

{~u, ~v , ~w} =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣Si este determinante es cero se puede decir que alguna de las filases combinacion lineal de las restantes y que por lo tanto uno de losvectores se puede obtener como combinacion lineal de los otros:son coplanarios.






Producto mixto de tres vectores

Propiedades

{~u, ~v , ~w} =u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1

{~u, ~v , ~w} = {~v , ~w , ~u} = {~w , ~u, ~v} = −{~v , ~u, ~w} =−{~u, ~w , ~v} = −{~w , ~v , ~u}







Propietadades

Si los tres vectores son coplanarios, entonces {~u, ~v , ~w} = 0

Si {~u, ~v , ~w} = 0 entonces o algun vector es ~0 o los tresvectores son coplanarios







Propiedades

Geometricamente {~u, ~v , ~w} representa el volumen delparalelepıpedo determinado por los tres vectores

Pista {~u, ~v , ~w} = ||~u|| · ||~v ∧ ~w || cosα, donde ||~v ∧ ~w || = area de labase y ||~u|| cosα es la proyeccion escalar del vector ~u sobre ladireccion perpendicular a la base, es decir, la altura.


tema 2 Álgebra linea: vectores

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