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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
COORDINACIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PROPUESTA DIDÁCTICA DE ENSEÑANZA PARA PROPICIAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.
Trabajo de Grado Para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Educación Mención
Enseñanza de las Matemáticas.
Autor: José Gregorio León. Tutor: José Vicente Morales V.
Puerto Ordaz, Diciembre 2009.
INDICE GENERAL LISTA DE GRÁFICOS…………………………………………………..
RESUMEN………………………………………………………………
INTRODUCCIÓN………………………………………………………
CAPITULOS EL PROBLEMA………………………….. ……………………………
Contexto de la Investigación…………………………………………
Delimitación y Enunciado del Problema……………..…………….
Objetivos de la Investigación………………………………………..
Justificación……………………………………………………………
Alcance………………………………………………………………….
Limitaciones…………………………………………………………….
II MARCO TEÓRICO…………………………………………………….
Educación Matemática….. .……………………………………………
Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra Lineal………………………
Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales………………..
Constructivismo…………………………………………………………
Aprendizaje Significativo……………………………………………
La Motivación…………………………………………………………
La Evaluación…………………………………………………………
Estrategias Para el Aprendizaje Significativo…………………….
Estrategias de Enseñanza……………………………………………..
III MARCO METODOLÓGICO……………………………………………
Diseño de la Investigación……………………………………………..
Unidades de Análisis y Observación………………………………..
Técnicas, Instrumentos y Métodos……………………………………
Análisis de Contenido …………………………………………………
Triangulación……………………………………………………………
Procedimiento de la Investigación……………………………………
Validez y Confiabilidad………………………………………………..
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Categorías de la Investigación………………………………………..
IV ANALISIS DE LOS RESULTADOS…………………………………
Estrategia para la Presentación de los Resultados…………………
Análisis Critico del Programa Vigente de la Asignatura……….
Propuesta Didáctica de Enseñanza ………………………………..
Aplicación de la LECA…………………………………………….
Valoración Critica de la LECA…………………………………….
V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………..
REFERENCIAS....................................................................................
ANEXOS 1 Definición de Espacio Vectorial……….. …………………….. 2 Definición de Transformación Lineal………………………….
3 Prueba Diagnóstica……………………………………………...
4 Porcentajes de respuesta de la prueba diagnóstica…………
5 Errores más comunes escritos en la prueba diagnóstica….
6 Actividades realizadas en la retroalimentación……………….
7 Prueba corta N º 1………………………………………………..
8 Resultados de la prueba corta N º 1……………………………
9 Resultados comparativos entre las respuestas incorrectas
de la prueba diagnóstica y la prueba corta Nº 1……………
10 Actividades sobre espacios vectoriales………………………
11 Prueba corta Nº 2……………………………………………….
12 Resultados de la prueba corta Nº 2…………………………..
13 Actividades sobre espacios vectoriales………………………
14 Prueba corta Nº 3.………………………………………………..
15 Resultados de la prueba corta Nº 3…………………………..
16 Definición de Subespacio vectorial…. . . …………………….
17 Actividades sobre transformaciones lineales………………..
18 Prueba corta Nº 4………………………………………………
19 Resultados de la prueba corta Nº 4…………………………..
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20 Prueba final……………………………………………………..
21 Resultados de la prueba final…………………………………
22 Lectura sobre los espacios vectoriales………………………
23 Guía sobre Transformaciones Lineales……………………..
24 Entrevista Semiestructurada………………………………….
25 Programa de la Asignatura……………………………………
26 Notas de Campo……………………………………………….
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LISTA DE GRÁFICOS GRAFICOS
1 Gráfico de la estructuración de la Propuesta LECA.......
2 Gráfico comparativo entre los porcentajes de respuestas correctas e incorrectas dadas en la prueba diagnóstica...................................................................
3 Gráficos comparativos entre las respuestas incorrectas de la prueba diagnóstica y las respuestas incorrectas de la prueba corta nº1…………………………………..
4 Gráfico de las calificaciones obtenidas por las unidades de análisis en la prueba final……………..…………………………………………
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MENCION ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
PROPUESTA DIDÁCTICA DE ENSEÑANZA PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.
Autor: José León
Tutor: José Vicente Morales V Fecha: Septiembre de 2009 RESUMEN
Este estudio se desarrolló con estudiantes cursantes de la asignatura álgebra lineal que se dicta en el quinto semestre del proyecto de carrera de Ingeniería en Informática de la Universidad Nacional Experimental de Guayana. Tuvo como propósito elaborar y aplicar una propuesta didáctica de enseñanza denominada LECA (La enseñanza como aprendizaje) para propiciar en los estudiantes el aprendizaje significativo del contenido de los espacios vectoriales. La fundamentación teórica que sustenta la investigación esta constituida por; a) los supuestos teóricos de la educación matemática, b) la concepción constructivista de la enseñanza aprendizaje del conocimiento matemático, en la cual el estudiante participa activamente en la adquisición del conocimiento, y donde el docente juega un papel de mediador, orientador, motivador y guía del aprendizaje, c) el aprendizaje significativo de Ausubel, y d) algunas estrategias de enseñanza aprendizaje guiadas por la epistemología constructivista, entre otros. El diseño de la investigación se ubica en un estudio de caso cualitativo, a través del modelo de enfoque dominante que combinó los paradigmas cualitativo y cuantitativo, donde predominó el modelo cualitativo sobre el cuantitativo. Por una parte, con el diseño cualitativo se aportaron teóricamente datos descriptivos e interpretativos de las actividades que realizaron los estudiantes durante el proceso de enseñanza aprendizaje de los espacios vectoriales, y por otro lado, lo cuantitativo permitió en momentos específicos de la investigación recabar datos numéricos para determinar los distintos promedios y porcentajes. El presente trabajo se caracterizó por la aplicación de la propuesta didáctica en el aula para favorecer el proceso de enseñanza y aprendizaje de un contenido matemático; por lo cual es importante indicar que el 100% de los estudiantes objetos de estudio lograron con la aplicación de la LECA adquirir un aprendizaje significativo de espacios vectoriales en un nivel alto.
Descriptores: Aprendizaje Significativo, Espacios Vectoriales, Propuesta
Didáctica.
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INTRODUCCIÓN
En el área de la computación y la informática son múltiples las
aplicaciones que tienen los modelos matemáticos como herramienta para la
creación de software, cuya utilización permiten resolver problemas en varias
disciplinas como la ingeniería, la física, la medicina y la economía, entre
otras.
Una parte de la matemática de gran importancia en el campo de la
informática es el álgebra lineal, cuyo contenido al combinarse con los medios
informáticos permiten aplicaciones que se reflejan en diseños, mapas,
imágenes, video juegos, dibujos por computadoras y en imágenes médicas,
por mencionar algunos, Kolman (2007).
No obstante, la contraparte de todo esto radica en que algunos de sus
conceptos como los espacios vectoriales se ubican en aquellos conceptos
identificados de corte abstracto, lo que implica en los estudiantes dificultades
al momento de aprenderlos, Sierpinska (1996).
Estas dificultades según Sierpinska, originan en los estudiantes un
rechazo y una negativa hacia el aprendizaje de los mismos. Ya que, son
conceptos que se dan de manera formal y cuya existencia no tiene una
conexión con los conocimientos previos que poseen los estudiantes.
Ante este hecho, y en vista de que esta situación también se presenta
en la Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG); en la cual el
investigador se desempeña como docente, y donde ha dictado por varias
ocasiones (12 veces) la asignatura álgebra lineal que se imparte en el quinto
semestre de la carrera de Ingeniería en Informática de esta casa de estudio,
el investigador centró su atención en el problema que se presenta cuando se
desarrolla el contenido de los espacios vectoriales.
Por tal razón, se planteó a través de esta investigación realizar un
estudio para tratar de solventar dicha situación. En tal sentido, se interesó en
una metodología fundamentada en el proceso de enseñanza aprendizaje de
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la matemática, poniendo en práctica la elaboración y aplicación de una
propuesta didáctica de enseñanza basada en la epistemología
constructivista, que permita a los estudiantes la adquisición de un
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
Para ello, este estudio se elaboró en cinco capítulos, el primer capítulo
trata lo referente al problema de investigación; en él se hace referencia a los
hechos que orientaron el estudio, al contexto, la delimitación y enunciado del
problema, los objetivos de la investigación, la justificación del estudio, el
alcance de la misma, y a las limitaciones que se presentaron.
El segundo capítulo corresponde a las bases teóricas que sustentan la
investigación y que permitieron la elaboración de la propuesta, el tercer
capítulo por su parte plantea la metodología que se empleó, el cuarto
capítulo se refiere al análisis de los resultados obtenidos, y finalmente se
cierra con el capitulo cinco que contiene las conclusiones y recomendaciones
de la investigación.
1
CAPITULO I
EL PROBLEMA Este capítulo tiene como propósito describir; a) Contexto de la
Investigación, b) Delimitación y Enunciado del Problema, c) Objetivos de la
Investigación, d) Justificación, e) Alcance, y f) Limitaciones.
Contexto de la Investigación
Una de las áreas del saber que ha contribuido en el acelerado
crecimiento tecnológico que existe actualmente en nuestra sociedad es la
Informática, sin embargo, esta necesita combinarse y complementarse con
otras disciplinas que la dotan de las distintas bases para la creación de
software que caracterizan su aplicabilidad.
En el marco de las distintas disciplinas que se combinan con la
informática se encuentra la matemática, la cual se ramifica en distintas áreas
dependiendo del contenido que abarca. Dentro de esa ramificación se ubica
el álgebra lineal, que se refiere a los espacios vectoriales, sistemas de
ecuaciones lineales, matrices y vectores, entre otros, y la cual hoy en día es
considerada una herramienta poderosa para resolver problemas en
Ingeniería, Economía, Finanzas, Psicología y Sociología, entre otras.
Uno de los contenidos del álgebra lineal que están presentes en
muchas aplicaciones en el campo de la Informática son los espacios
vectoriales, los cuales son empleados para el procesamiento de información,
y la creación de motores de búsqueda de Internet, Kolman ( 2007).
De acuerdo a lo señalado anteriormente, es claro que el álgebra lineal
tiene muchas aplicaciones en el campo tecnológico, de allí su inserción en
los planes de estudio de las distintas universidades, que exige a sus
estudiantes el aprendizaje de sólidos conocimientos en esta materia, más
aun si los estudios están orientados hacia el área de la computación.
2
Sin embargo, desde el punto de vista de su aprendizaje se han
detectados problemas, y varias investigaciones han concluido que dentro de
las dificultades que se presentan están aquellas referidas al aprendizaje de
conceptos como vectores, combinación lineal, espacios vectoriales y
transformaciones lineales, los cuales se presentan como definiciones
formales de objetos cuya existencia no tiene una conexión con los
conocimientos previos, ni argumentos geométricos o físicos que motiven la
definición presentada, Miranda (2002).
Así mismo, Sierpinska (1996) reporta que los problemas de
aprendizaje del álgebra lineal se pueden resumir en dificultades
caracterizadas por la variedad de lenguajes con los que se estudian sus
objetos, y sostiene que la problemática se origina porque no hay una
conexión entre estos lenguajes, es decir, entre el geométrico que se emplea
para ilustrar los vectores, el algebraico para formalizar y simbolizar vectores,
espacios vectoriales y transformaciones lineales, y el aritmético para describir
las operaciones entre las matrices.
Como se puede observar, los planteamientos anteriores hacen
referencia a las diferentes implicaciones que ha tenido el aprendizaje del
álgebra lineal en los estudiantes, las cuales han limitado y obstaculizado una
fácil comprensión de sus contenidos, que en muchos casos se refleja en el
rendimiento académico de los estudiantes, tal como se desprenden de
muchas investigaciones.
Desde estos lineamientos, es importante reseñar algunas
investigaciones que evidencian la problemática relacionada al tema del
aprendizaje del álgebra lineal. En este sentido, en la Universidad Nacional
Experimental de Guayana (UNEG) en Venezuela, Amaya (2000) realizó un
estudio en la asignatura álgebra de estructura sobre los contenidos de
grupos, subgrupos y anillos (conceptos cuya estructura definitoria se
asemeja a la definición de los espacios vectoriales), motivado a que los
estudiantes presentaban serias dificultades que le impedían establecer
3
relaciones entre sus conocimientos previos y la nueva información que se
impartía, lo que los limitaba a comprender dichos conceptos y con ello
obtener un bajo rendimiento académico.
La investigación que realizó, consistió en un estudio comparativo
donde empleó por una parte las estrategias de aprendizaje mapas
conceptuales y V de Gowin, y por la otra, las estrategias tradicionales. Los
resultados encontrados indicaron que el uso de los mapas conceptuales y V
de Gowin influyeron positivamente en el aprendizaje de los contenidos y por
ende en el rendimiento académico de los estudiantes, en comparación con el
uso de las estrategias tradicionales.
Otro estudio que ratifica la existencia de la problemática en el proceso
de aprendizaje del álgebra lineal en nuestro país, se puede observar en el
trabajo realizado por González (2007) en la Facultad de Ingeniería de la
Universidad del Zulia. Las razones de su investigación, según la autora, se
dan en función de la cantidad de estudiantes reprobados que existen en la
asignatura, producto de que al momento de aprender sus contenidos, estos
no son comprendidos fácilmente por los estudiantes debido a sus
características de corte abstracto.
Esto llevó a la investigadora en referencia a realizar un estudio en el
cual consideró determinar el tipo de evaluación que empleaban los docentes
para valorar los contenidos del álgebra lineal, lo que le permitió concluir con
base en sus resultados proponer el uso de la evaluación bajo el enfoque
constructivista como un medio de evaluar y retroalimentar los contenidos, y
con ello mejorar el aprendizaje de la misma.
Como se evidencia en los escritos anteriores las investigaciones
realizadas en el área del álgebra lineal se orientan y fundamentan en función
de la problemática que existe en cuanto al aprendizaje de sus contenidos por
parte de los estudiantes. En este sentido, en el caso particular de la UNEG,
el autor del presente trabajo a lo largo de varios semestres de experiencia en
la mencionada asignatura, ha podido observar a través de las distintas
4
evaluaciones, deficiencias e insuficiencias en los estudiantes cuando intentan
relacionar los conocimientos adquiridos sobre los espacios vectoriales con
los nuevos conocimientos que se les imparte posteriormente, como las
transformaciones lineales, lo que hace suponer que no poseen un
aprendizaje significativo del contenido de los espacios vectoriales.
Desde este punto de vista, en su desempeño muestran deficiencias
cuando seleccionan vectores y operan matemáticamente con ellos. Esto
ocurre durante dos momentos importantes, primero cuando intentan
comprobar los axiomas que definen a un espacio vectorial, y segundo
cuando quieren comprobar las propiedades que caracterizan a una
transformación lineal.
Dentro de las deficiencias e insuficiencias cognoscitivas se pueden
señalar las siguientes; a) selección inadecuada de vectores en su forma
general y particular para comprobar los axiomas que definen un espacio
vectorial, y una transformación lineal, y b) si los conjuntos considerados son
distintos a R2 y R3, como las matrices, polinomios, funciones continuas, o
conjuntos descritos bajo cierta propiedad, en la mayoría de los casos no
seleccionan los vectores correctamente.
Lo anteriormente señalado, promueve el surgimiento de nuevas
investigaciones orientadas a buscar soluciones en el aprendizaje de álgebra
lineal, específicamente en el estudio de los espacios vectoriales
Delimitación y Enunciado del Problema Ante las consideraciones señaladas en el contexto de la investigación,
cabe destacar que la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal ha sido
objeto de estudio de la educación matemática, en este sentido se han
desarrollado numerosas investigaciones que buscan favorecer el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Desde este punto de vista, Sierpinska (1996) indica producto de sus
investigaciones que lo abstracto de los contenidos del álgebra lineal se
5
convierte en dificultades para los estudiantes al momento de aprender sus
conceptos, y que esas dificultades se pueden expresar en interpretaciones
personales, que en la mayoría de los casos difieren de la verdadera
interpretación matemática, lo que obstaculiza su entendimiento.
Por otro lado, señala que aquel estudiante que no comprende bien
una definición tendrá problemas para entender conceptos, resolver
problemas y demostrar propiedades asociadas a esa definición.
En relación a estos planteamientos, los problemas relativos a la
enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal se presentan a nivel
internacional, por ejemplo, en México en el Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Miranda (2002) realizó un
estudio en el cual determinó que dos de las dificultades más importantes y
frecuentes (más no las únicas) que se encuentran en la enseñanza y
aprendizaje del álgebra lineal, son la conceptualización y la formalización, lo
cual se debe según él, a que los contenidos de la materia son en gran parte
formulados a partir de la conceptualización de entes como vectores, espacios
vectoriales, bases, transformaciones lineales, etc.
De la misma forma, en Argentina, a través de una investigación
realizada por Andreoli y Cerruti (2002) en la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales de la Universidad Nacional Nordeste (UNNE), se planteó una
propuesta pedagógica para que los estudiantes puedan apropiarse
significativamente a través de un proceso de construcción, de los conceptos
de dependencia e independencia lineal de vectores, esto debido a los
grandes problemas que presentaron en su aprendizaje, según se desprende
de dichos autores.
En Venezuela y en particular en la UNEG, también los estudiantes
tienen dificultades cognoscitivas, ya mencionadas en el contexto de la
investigación, para aprender significativamente los contenidos de esta
materia, específicamente cuando se desarrolla el tema de los espacios
vectoriales.
6
En relación a esto, al no existir un aprendizaje significativo el
estudiante no es capaz de elaborar una representación personal sobre lo que
se quiere aprender, Coll (1999).
En este sentido, es fundamental desde la didáctica abordar todos y
cada uno de los elementos, factores y condiciones que garanticen la
adquisición, la asimilación y la retención del contenido en forma significativa
que se ofrece al estudiante, de modo que adquiera significado para el,
Palmero (2004).
Desde esta visión, el aprendizaje se debe dar abstrayendo su
significado esencial, para lo cual se deben identificar las características
definitorias y las reglas que lo componen. Para ello, deben existir
fundamentos y tendencias en la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática que se centren en los procesos cognitivos del estudiante, y
favorecer su desarrollo intelectual y cognitivo, Pomés (citado por Amaya,
2000).
Ante estas consideraciones, una vía a considerar que se adapta a
tales señalamientos se encuentra en la perspectiva del constructivismo. En
primer lugar, está el hecho de que dentro de esta corriente epistemológica se
ubican los distintos teóricos que plantean el aprendizaje significativo de los
contenidos, y en segundo lugar, por que en sus postulados plantea la
ejecución por parte del estudiante de procesos mentales como la
comprensión, el análisis, la comparación y la transferencia de conocimiento,
básicos para el contenido de los espacios vectoriales, cuyas características
definitorias presentan un alto nivel de abstracción.
Como se puede evidenciar, los señalamientos anteriores orientan a un
fin común, el aprendizaje significativo de los espacios vectoriales. Con base
en ello, el investigador se planteó diseñar, aplicar y determinar si una
propuesta didáctica de enseñanza, que se denominará de aquí en adelante
LECA (la enseñanza como aprendizaje), puede propiciar el aprendizaje
significativo del contenido de los espacios vectoriales.
7
Para buscar una solución a la situación planteada, el investigador se
formuló la siguiente interrogante: ¿Cómo se puede contribuir en la adquisición del aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales en los estudiantes que cursan la
asignatura álgebra lineal del quinto semestre de Ingeniería en Informática de
la Universidad Nacional Experimental de Guayana?
Dadas las características de la pregunta de investigación se
elaboraron los siguientes objetivos.
Objetivos de la Investigación
Objetivo General Elaborar una propuesta didáctica de enseñanza (LECA) que
contribuya al aprendizaje significativo de los espacios vectoriales en
estudiantes de ingeniería en informática de la UNEG.
Objetivos Específicos
1.-Diseñar la LECA considerando los supuestos teóricos y
metodológicos constructivistas, que contribuya al aprendizaje significativo de
los espacios vectoriales en estudiantes de ingeniería en informática de la
UNEG.
2.-Aplicar la LECA para propiciar en estudiantes de ingeniería en
informática de la UNEG el aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales.
3.-Determinar la eficacia de la LECA, para propiciar el aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales en estudiantes de ingeniería en
informática de la UNEG como resultado de su aplicación.
Justificación
Kolman (2007), señala que dentro de las aplicaciones que tienen los
espacios vectoriales en el campo de la informática, una de las más
8
importantes está en que estos conjuntos son empleados para la codificación
y la transmisión de información.
Sin embargo, aunque los espacios vectoriales así como la mayoría de
los contenidos del álgebra lineal son empleados diariamente para resolver
problemas en muchas áreas, existen muchas investigaciones que reportan
los distintos problemas de aprendizaje que presentan los estudiantes cuando
se desarrolla el proceso de enseñanza y aprendizaje al momento de cursar
esta asignatura, esto se debe, según Sierpinska (1996), a que el álgebra
lineal se caracteriza por que sus conceptos presentan un alto nivel de
abstracción.
Esta problemática de aprendizaje también se evidencia en la UNEG
cuando los estudiantes de la carrera de ingeniería en informática se
enfrentan a esta materia, específicamente cuando se desarrolla el contenido
de espacios vectoriales.
En este sentido, este trabajo se justifica ya que pretende por un lado,
solventar la problemática existente en relación al aprendizaje de los espacios
vectoriales, y por el otro, debido a la necesidad de consolidar estos
conocimientos matemáticos en los estudiantes dada la importancia que
tienen en el perfil del egresado como Ingeniero en Informática.
Desde este punto de vista, surge la necesidad de emplear los
fundamentos teóricos que plantea la educación matemática como base de
orientación en la búsqueda de solucionar las necesidades existentes. En este
sentido, este trabajo ubica el conocimiento matemático en la concepción del
constructivismo considerando el proceso de enseñanza aprendizaje para
promover un aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, que le
permita a los estudiantes establecer relaciones entre lo que ya sabe y lo
nuevo que pretende conocer, construyendo así nuevos y más amplios
significados.
Con base en lo anterior, el docente investigador del presente trabajo
dada su experiencia en varios semestres dictando la asignatura y
9
observando con preocupación los distintos problemas que presentan los
estudiantes para comprender los contenidos, opta por elaborar, aplicar y
determinar si la LECA, puede contribuir en la adquisición de aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales en los estudiantes de la carrera de
Ingeniería en informática de la UNEG.
Alcance
Con la presente investigación se pudo constatar si la aplicación de una
propuesta de enseñanza (LECA) contribuyó a la adquisición del aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales en estudiantes de Ingeniería en
Informática de la UNEG.
En este sentido, es de aclarar que el alcance de esta investigación no
se plantea como un medio para validar la LECA, sino más bien con fines
esencialmente didácticos, ya que la aplicación de esta propuesta se orientó
en pro de la formación del estudiante, para lo cual con la enseñanza del
contenido de los espacios vectoriales se buscó propiciar el aprendizaje
significativo del mismo.
Desde este punto de vista, la presente investigación se orienta como
un aporte en la búsqueda de mejorar la adquisición del conocimiento
matemático, puesto que, en primer lugar, permitió ayudar a los estudiantes a
entender con significado el concepto de espacio vectorial, en segundo lugar,
puede servir como herramienta de orientación a los docentes en los
momentos en los cuales desee impartir la enseñanza de este concepto, y en
tercer lugar permite proyectar a la institución (UNEG) al ofrecer alternativas
didácticas como medio de contribución para solventar la problemática que
existe en el proceso de enseñanza y aprendizaje en el álgebra lineal, en
particular en los espacios vectoriales.
10
Limitaciones En el desarrollo de la presente investigación se presentaron las
siguientes limitaciones:
1.- La inexperiencia del autor en el campo de la investigación.
2.-La inasistencia de uno de los sujetos de estudio, cuando se aplicó
la prueba corta N° 4, lo que impidió conocer los resultados obtenidos por el
mismo, para visualizar un primer acercamiento hacia el logro del aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales. .
3.- La inasistencia de uno de los sujetos de estudio, cuando se aplicó
la entrevista final, lo que impidió conocer su opinión sobre la aplicación de la
LECA.
Es importante señalar en relación a estas limitaciones lo siguiente:
1.- Haciendo referencia a la primera limitación por una parte, esta se
pudo minimizar mediante una revisión exhaustiva de estudios e
investigaciones realizadas en el área de la educación matemática, y por otra,
con la orientación sugerida por un grupo de docentes pertenecientes al área
de investigación en didáctica de las matemáticas de la UNEG.
2.- En relación a la segunda, se contactó al estudiante, el cual justificó
su ausencia, y en mutuo acuerdo con el mismo se le aplicó la prueba
correspondiente.
3.- En cuanto a la tercera limitación, fue imposible constatar al
estudiante, y aunque asistió a todo el proceso de la investigación, su
ausencia se manifestó desde el momento en que se aplico la entrevista, a tal
punto de reprobar la asignatura por abandono.
11
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO En el presente capítulo se establecen las bases teóricas conceptuales
que sustentan el presente trabajo de investigación, el mismo contiene los
siguientes aspectos: (a) Educación Matemática, (b) Enseñanza y Aprendizaje
del álgebra lineal, (c) Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales, (d)
Constructivismo, y (f) Propuesta Didáctica de Enseñanza.
Educación Matemática
Según Beyer (citado por Mora, 2002) la educación matemática es una
disciplina relativamente nueva. Podría decirse que ella surge a finales del
siglo XIX cuando algunas personas empezaron a identificarse por primera
vez como educadores matemáticos. No obstante, es en la segunda mitad del
siglo XX cuando esta rama del saber empieza a desarrollarse a paso
acelerado.
Beyer, también nos dice que el nivel de desarrollo de esta disciplina no
ha sido igual en todo el mundo, pues, coexisten diversas tradiciones de
investigación; como la escuela fenomenológica de Freudenthal, la visión
alemana de Steiner, la escuela de Francia con Brousseau, las
investigaciones Brasileras con la Ectnomatemáticas, la educación
matemática crítica en los países nórdicos, y las tendencias en Estados
Unidos con las investigaciones de Shoenfield y Kilpatrich.
En Venezuela se consideran los inicios de la educación matemática en
la década de los años 40 con los trabajos de los educadores Boris Vivas y
Raimundo Chela, cuyas reflexiones sobre las didácticas de las matemáticas
quedaron plasmados en los escritos de la época (Mora, 2002).
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También Mora, señala que para finales de los años 50 la educación
matemática fue objeto de algunas reformas, siendo una de las más conocida
la “Reforma de la Educación Matemáticas” o “Matemática Moderna” la cual
tuvo una incidencia importante que originó cambios notorios en los planes de
estudio de las matemáticas.
Con el pasar de los años los investigadores de esta disciplina se han
organizado en todo el mundo con el propósito de estudiar los problemas
asociados a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Esto se puede
evidenciar porque se agrupan en asociaciones, congresos, jornadas,
encuentros nacionales e internacionales, y la edición de publicaciones
especializadas, donde se busca generar soluciones a la problemática de la
enseñanza y aprendizaje.
Para Mora (2003) la educación matemática ha tenido un desarrollo
tanto cualitativo como cuantitativo en el ámbito teórico, fundamentada en
teorías psicopedagógicas. Desde este punto de vista se puede concebir
como
un cuerpo interdiciplinar que requiere del trabajo conjunto con otras disciplinas como la Matemática, la Sociología, la Psicología, la Didáctica General, la Pedagogía y demás áreas científicas que aportan elementos para su desarrollo y que le sirven de fundamento para que adquiera una estructura propia y científica (Mora, 2003:125).
En consecuencia a los planteamientos anteriores, es importante
contribuir al cambio y al mejoramiento de la problemática de la enseñanza y
aprendizaje de la matemática, en particular en el álgebra lineal, por ello es
fundamental que los educadores matemáticos traten en sus investigaciones
propuestas didácticas que incorporen una o más tendencias actuales en el
proceso de la producción de conocimientos.
Con relación a lo anterior, cabe destacar que dentro del cuerpo de la
educación matemática, varios autores han estado investigando la
problemática de la enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal, así como
13
también en la generación de distintos acercamientos didácticos que permiten
solventar dicha problemática.
Autores como Miranda, Sierpinska, Dorieer, Hillel, Harel, Hurman,
entre otros, han investigado sobre la didáctica del álgebra lineal en los
distintos contenidos de la asignatura. En el caso que nos ocupa nuestro
interés se centra en el contenido de los espacios vectoriales, para lo cual se
planteó una propuesta didáctica para propiciar un aprendizaje significativo de
dicho contenido, la cual se aplicó en estudiantes del quinto de semestre de
Ingeniería en Informática de la UNEG cuando cursaron la asignatura álgebra
lineal.
En tal sentido y debido a la complejidad que implica el desarrollo del
proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, y en particular los
contenidos de álgebra lineal, los cuales son de corte abstracto, es factible
considerar a la educación matemática para fundamentarnos, orientarnos y
llevar a cabo la presente investigación.
Esto lo corrobora Villanova (2001), cuando sostiene que es a través de
la educación matemática por medio de la enseñanza que se deben preparar
a los estudiantes para convertirlos en aprendices independientes, interpretes
y usuarios de las matemáticas, donde se de una comprensión conceptual y
no un desarrollo mecánico de las habilidades.
Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra Lineal
El álgebra lineal es un área de la matemática reciente, la misma se
refiere a matrices, sistemas de ecuaciones lineales, combinaciones lineales,
espacios vectoriales y transformaciones lineales, entre otras. Su desarrollo
según Boza (2001), se aceleró a partir del siglo XVIII y se consolidó hacia la
década de los años cuarenta con la publicación de los libros “Algebra
Moderna” y “Dimensión Finita de Espacios Vectoriales”, escritos por Birkhoh
y Halmos respectivamente, donde se exponen por primera vez sus
14
fundamentos con fines didácticos, lo que marcó la introducción de la
disciplina en los estudios universitarios.
Sin embargo, para quienes inician sus estudios universitarios y deben
cursarla como asignatura, esta se les presenta como excesivamente
abstracta y de difícil comprensión.
En este sentido, varios autores señalan que su proceso de enseñanza
y aprendizaje, se debe orientar de acuerdo a lo siguiente; para Sierpinska
(1996), la enseñanza se debe fundamentar en una práctica instruccional que
articule en los estudiantes tres tipos de lenguaje para favorecer el
aprendizaje en forma dialéctica, comenzando con el lenguaje geométrico (
para representar vectores en R y R2); luego el aritmético (para las
operaciones con matrices y solución de sistemas de ecuaciones lineales) y
finalmente el algebraico (par formalizar y simbolizar espacios vectoriales y
transformaciones lineales).
Por su parte Dorier (citado por Miranda, 2002) plantea que la solución
de muchos problemas en la enseñanza del álgebra lineal se puede encontrar
de forma operacional sin usar la teoría axiomática.
Harel (citado por Miranda, 2002) plantea que gran parte de la
problemática proviene de las limitaciones de la geometría para representar y
visualizar conjuntos distintitos a R, R2 y R3. En este sentido plantea tres
principios para la enseñanza del álgebra lineal, el principio de concretización,
donde los conceptos a estudiar adquieren un estatus de entidad conceptual
para los estudiantes, el principio de necesidad en la cual debe haber una
necesidad de su aprendizaje, y el principio de generalizabilidad, donde se da
por elegir el material a enseñar más que el proceso mismo de su aprendizaje.
Como se puede evidenciar en los planteamientos anteriores la
problemática en el proceso de aprendizaje del álgebra lineal, ha originado
numerosas investigaciones en las cuales desde distintas perspectivas varios
autores plantean distintitos acercamientos pedagógicos, que brindan distintas
15
orientaciones que se pueden considerar al momento de enseñar dicha
asignatura.
No obstante, para los efectos de la presente investigación el autor
planteó una propuesta didáctica de enseñanza desde en la cual el estudiante
adquirió un rol activo en la construcción del aprendizaje del concepto de
espacio vectorial, y donde el docente jugó un papel de guía y mediador para
el logro de dicho aprendizaje.
Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales Las matemáticas o matemática es la ciencia que estudia las
propiedades y las relaciones de entes abstractos a partir de notaciones
básicas exactas, y a través del razonamiento lógico.
Dentro de las distintas divisiones que esta ciencia tiene, está el
álgebra, la cual estudia la cantidad, a través de números y letras para
representar simbólicamente las entidades manejadas.
Más allá de esto, existe una extensión del álgebra, lo que nos lleva a
considerar otra rama importante en el campo de la matemática como lo es el
álgebra lineal, cuyo estudio se reseñó en el apartado anterior.
En relación a lo anterior, es importante señalar que dentro de los
contenidos que caracterizan esta área de estudio encontramos dos
conceptos relevantes, los espacios vectoriales y las transformaciones
lineales, los cuales se vinculan estrechamente entre sí, es decir, para
estudiar las transformaciones lineales es necesario tener conocimiento sobre
los espacios vectoriales. De acuerdo a Grossman (1992) un espacio vectorial es un conjunto
cuyos elementos son vectores. Este conjunto forma una triada con dos
operaciones básicas, la suma de vectores y la multiplicación de vectores por
un escalar, para lo cual se debe verificar una serie de propiedades o axiomas
(ver anexo 1).
16
Por su parte, las transformaciones lineales (ver anexo 2), son
funciones que se caracterizan porque los conjuntos que representan su
dominio y codominio lo forman espacios vectoriales.
Esto nos dice, que los elementos a considerar en el dominio de las
funciones que son transformaciones lineales, son vectores, que pueden
pertenecer a conjuntos que representan un espacio vectorial, como los
números reales, las matrices, los polinomios, los números complejos, las
funciones continuas, entre otras.
En este sentido, para comprobar que una función es una
transformación lineal, el estudiante debe seleccionar vectores en su forma
general y operar con ellos (sumar y multiplicar por un escalar) para
determinar si se verifican las propiedades correspondientes que la definen.
Dichas propiedades representan dos de los diez axiomas que definen
a un espacio vectorial, solo que para condiciones distintas es decir, para
imágenes a través de funciones. Estos axiomas son las cerraduras de la
suma y la cerradura de la multiplicación por un escalar.
Desde esta óptica, es importante que los estudiantes antes de
iniciarse en el aprendizaje de las transformaciones lineales deben poseer los
conocimientos previos para ello, que en este caso lo representan los
espacios vectoriales.
Sin embargo, por ser los espacios vectoriales un concepto de corte
abstracto, es complejo su enseñanza y su aprendizaje como se ha reportado
en muchas investigaciones. Por esta razón, es necesario buscar los medios
que permitan contribuir en el proceso de su enseñanza y de su aprendizaje
dada la importancia que tienen en el campo de las aplicaciones, más aun, en
el área de la informática.
Desde el punto de vista de su aplicación, Kolman (2007) indica que
estos conjuntos están involucrados en muchas aplicaciones en el área de la
Informática que son de gran importancia tecnológica, social y económica.
17
En tal sentido, esa relación espacio vectorial e Informática, da origen a
aplicaciones como representación grafica, diseños, mapas, imágenes,
esquemas, sistemas de información geográfica, que no es más que la
organización y análisis de la información espacial; es decir, combina
elementos de gestión de bases de datos, tratamiento de mapas,
procesamiento de imágenes y análisis estadístico (ob.cit.).
Por su parte, Lay (2007) señala que las unidades informativas pueden
unirse en forma jerárquica, y esto facilita la creación de estructuras en forma
de árbol que permiten ubicar la información en el espacio representado por
un esquema, lográndose así integrar imágenes vectorizadas, bases de datos
y textos en una estructura única.
Esto incluye además, digitalizador manual de datos y el mejoramiento,
detección de bordes, eliminación de ruidos, reducción de colores,
vectorización automática de imágenes, vectorización semiautomática
(supervisada por el usuario) de imágenes, generalización de datos
espaciales, clasificación automática de elementos en la imagen, y permite
importación y exportación de ficheros vectoriales y de imágenes.
Lay, también indica que el proceso digital de imagen guarda relación
con los espacios vectoriales, lo cual se puede evidenciar a través de bitmaps,
puesto que los colores se codifican en tres bytes representando su
descomposición en los tres colores primarios. Esto significa
matemáticamente que cada color se representa como un vector en el
espacio tridimensional de rojo verde y azul, bajo esta interpretación se
aplican algunos conceptos de la geometría analítica en el tratamiento de
colores y en la generación de filtros o transformaciones.
Otras aplicaciones entre el uso de la computación y los espacios
vectoriales son; video juegos, dibujos por computador, efectos especiales en
videos y películas, diseños asistidos por computadora, simulación, imágenes
médicas, visualización de información, (Kolman, 2007).
18
En fin los espacios vectoriales se relacionan con la Informática por
medio de la computación gráfica por lo que es una poderosa herramienta
para producir imágenes en forma rápida y económica y que se puede utilizar
en diversas áreas como la ciencia, ingeniería, Industria, arte, entretenimiento,
publicidad, educación y capacitación, entre otras.
Cabe reseñar de igual manera en relación a las transformaciones
lineales, que las mismas tienen la particularidad de que preservan las
operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
Estas funciones son ampliamente aplicadas como herramientas matemáticas
al ser consideradas como una transformación matricial, lo que permite
suministrar una forma eficiente de efectuar transformaciones en un
computador.
En consecuencia de todo lo antes expuesto, y en vista de la
importancia que tienen los espacios vectoriales dentro de la Informática, es
obligatorio que dicho contenido forme parte de los programas de estudios en
las distintitas carreras relacionadas con esta área.
Por estas razones, es fundamental que los estudiantes logren
comprender con significado dicho contenido. Más aun, cuando existen
muchas evidencias de la problemática que se origina cuando se desarrolla el
aprendizaje de este contenido. Es por ello que en la presente investigación
se elaboró, aplicó y determinó si la LECA como propuesta contribuyó en el
mejoramiento del proceso de su enseñanza y aprendizaje.
Finalmente, cabe destacar que dicha propuesta constituye un medio
para propiciar la adquisición de aprendizaje significativo de espacio vectorial,
donde las transformaciones lineales representaron el medio mediante el cual
se verificó si efectivamente se logró dicho aprendizaje.
Constructivismo El constructivismo es considerado un paradigma filosófico emergente
que plantea los problemas epistemológicos en función de la constructividad.
19
Desde este punto de vista, en la actualidad se puede hablar de varios tipos
de constructivismo, el constructivismo genético que se basa en los
planteamientos de Jean Piaget, donde el aprendizaje se explica a partir de
sus nociones acerca del desarrollo cognitivo individual. Por otro lado, está
Lev Vigostky, con el constructivismo social donde se destaca el elemento
social en el aprendizaje de cada persona, y por último, están los
planteamientos de David Ausubel quien sostiene que se aprende aquello que
nos resulta significativo, en este caso estamos en presencia del
constructivismo disciplinario. (Chadwick, 1998).
Lejos de intentar establecer las diferencias entre una y otra, es
necesario tildar porque se identifican como teorías constructivistas, en este
sentido Waldegg (1998) señala lo siguiente:
Lo que hace identificarlos como teorías constructivistas son los supuestos teóricos que comparten con las bases teóricas del constructivismo, es decir, lo gneosológicos; que implica que es el conocimiento, lo metodológico; que se refiere a como evoluciona el conocimiento y lo ético; concerniente al valor social del conocimiento (s/p). Desde esta perspectiva, se puede decir que las teorías constructivistas
son teorías epistemológicas, que proveen de una explicación de cómo se
produce el conocimiento, y de cuales son las condiciones para que se
produzca.
Al respecto, Chadwick (1998) señala que el planteamiento de base en
este enfoque es que el individuo es una construcción propia que se va
produciendo como resultado de la interacción de sus disposiciones internas y
su medio ambiente, y su conocimiento no es una copia de la realidad, sino
una construcción que hace la persona misma. Esta construcción resulta de la
representación inicial de la información y de la actividad externa o interna,
que desarrollamos al respecto.
20
Esto lo corroboran Díaz y Hernández (2002:12) cuando indican que “el
constructivismo postula la existencia y prevalencia de procesos activos en la
construcción del conocimiento”.
Como resultado a todos estos planteamientos sobre el constructivismo,
es importante establecer una definición precisa del término, en tal sentido
Carretero (citado por Díaz y Hernández, 2002:14), indica;
es la idea que mantiene que el individuo-tanto en los aspectos cognitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos, no es un mero producto del ambiente, ni un simple resultado de sus disposiciones internas, sino una construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la interacción entre esos dos factores.
En consecuencia, según el enfoque constructivista el ser humano es
quien construye su propio conocimiento. En el que el aprendizaje no es un
asunto sencillo de realizar, sino un proceso activo de parte del aprendiz,
donde debe construir conocimiento desde los recursos de su experiencia y la
información que recibe.
En otras palabras, dicho proceso de construcción depende
fundamentalmente de dos aspectos principales; de los conocimientos previos
que se tengan, y de la actividad externa o interna que se realice al respecto,
(Díaz y Hernández, 2002).
No obstante, este proceso de construcción no solo modifica lo que ya
poseíamos, sino que también podemos interpretar lo nuevo, de manera que
se pueda integrar y hacerlo nuestro. Este es un proceso que propicia la
integración, modificación, establecimiento de relaciones y coordinación entre
esquemas de conocimientos que ya poseíamos, es decir, se aprende de
manera significativa.
En tal sentido, para adoptar una epistemología constructivista en el
proceso instruccional, es necesario considerar el papel que deben
desempeñar los estudiantes y el docente en el aula de clase. Al respecto,
Waldegg (1998) señala que; el papel del estudiante en el marco de las
21
teorías constructivistas demanda lo activo en la construcción de su
conocimiento. Esto supone una responsabilidad del estudiante que implica
una intensa actividad mental, que resulta del enfrentamiento a situaciones
novedosas a partir de su experiencia previa.
Desde esta óptica, para llevar a cabo el proceso de aprendizaje del
estudiante se deben considerar los siguientes requerimientos: (a) una
experiencia novedosa para conocer, (b) que aprenda intencionalmente y a
partir de sus conocimientos previos, y (c) que valore y comparta su
aprendizaje.
De esta manera, el estudiante es capaz de reconocer el nuevo
conocimiento como medio de respuesta a una pregunta nueva. Por otro lado,
desde este enfoque el docente es el encargado de proporcionar a los
estudiantes las situaciones didácticas significativas que le permitan utilizar
sus conocimientos y experiencias previas, es decir, debe estar en capacidad
de promover dentro de un conjunto de aspectos, los siguientes: (a) animar
las discusiones para que los estudiantes se involucren en la resolución de las
situaciones de aprendizaje, (b) guiar dichas discusiones a partir de
preguntas, comentarios y sugerencias, (c) aclarar ideas, y (d) presentar
diferentes contextos similares, que permitan ampliar el campo de significados
del concepto en estudio.
Esto nos dice que si se quiere considerar el constructivismo en el
proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos educativos, tanto los
estudiantes, como el docente debemos tener presente y llevar a cabo una
serie de acciones necesarias para favorecer el proceso instruccional con el
logro de aprendizajes significativos, la memorización comprensiva de los
contenidos y la funcionalidad de lo aprendido, (Coll, 1999).
Para la presente investigación se consideró dicho enfoque en función
de, (a) la participación activa del estudiante en la construcción de su
conocimiento, y (b) el papel mediador del docente, como orientador y
motivador para facilitar el aprendizaje.
22
Aprendizaje significativo Para el enfoque constructivista, la enseñanza debe estar dirigida a
procurar que el aprendizaje sea producto de una elaboración y construcción
a partir del funcionamiento y desarrollo de las estructuras cognitivas del que
aprende.
En relación a esto, es importante señalar que la estructura cognitiva se
compone de conceptos, hechos y proposiciones que están organizados
jerárquicamente, y la cual está integrada por esquemas de conocimientos,
que son abstracciones o generalizaciones que los individuos hacen a partir
de los objetos, hechos y conceptos, y de las interrelaciones que se dan entre
estos (Díaz y Hernández, 2002)
Por otro lado, contiene una serie de antecedentes y conocimientos
previos, un vocabulario y un marco referencial personal, lo que es un reflejo
de la madurez intelectual de la persona (ob.cit.).
En este sentido, hablar de aprendizaje requiere la consideración de
estos aspectos ya señalados, por lo tanto es pertinente citar a Ontoria (citado
por Amaya, 2000:13), el cual indica lo siguiente: “el aprendizaje es un
proceso de desarrollo y formación de estructuras cognitivas, las cuales
dependen del modo como percibe una persona los aspectos del mundo
personal, físico y social, de cómo desarrolle una actitud critica y una
capacidad para tomar decisiones”.
Esto nos dice, y de acuerdo con Coll (1999) que el aprendizaje
contribuye al desarrollo en la medida en que aprender no es copiar o
reproducir la realidad, por el contrario es un proceso en el cual modificamos e
interpretamos lo nuevo, de manera que podamos integrarlo y hacerlo
nuestro.
Coll, también señala que cuando se lleva a cabo este proceso, se dice
que se esta aprendiendo significativamente, porque se construyen
significados propios y personales de un objeto.
23
Es de destacar que los planteamientos anteriores conllevan a un fin
común, aprendizaje significativo, el cual Ausubel (1976), define como el
proceso según el cual se relaciona un nuevo conocimiento o información con
la estructura cognitiva del que aprende de forma no arbitraria y sustantiva o
no literal, donde la interacción con esa estructura cognitiva no se produce
como un todo, sino con aspectos relevantes presentes en la misma, llamadas
subsumidores o ideas de anclaje.
Al respecto, Moreira (2002) señala que la presencia de estas ideas de
anclaje, conceptos o proposiciones claras y disponibles en la mente del
aprendiz, es lo que dota de significado al nuevo contenido, lo que le da lugar
a nuevas ideas mas potentes y explicativas que servirán de base para
futuros aprendizajes.
No obstante, el tratar de explicar y entender lo concerniente a la
manera y la forma en que se adquieren los conocimientos a través de un
aprendizaje significativo, no es suficiente. Es necesario establecer las
condiciones que permitan el logro de dicho aprendizaje.
En este sentido, Palmero (2004), señala que para que se produzca
aprendizaje significativo a de darse lo siguiente; (a) una actividad
potencialmente significativa de aprendizaje por parte del que aprende, es
decir, predisposición para aprender, lo que incluye sus motivaciones,
intereses y sus conocimientos previos, y (b) presentación de un material
potencialmente significativo, esto es, que tenga una intención y sea
relacionable con la estructura cognitiva del que aprende.
Esto nos dice que el aprendizaje se da por una interacción triádica
conformada por docente, estudiante, y contenido, en la cual se delimitan las
responsabilidades correspondientes a cada protagonista del evento
educativo. En la cual una de las tareas principales la debe realizar el docente
para estimular la motivación y la participación activa del estudiante, y
aumentar la significatividad potencial de los objetivos.
24
Ahora bien, en el marco de la clasificación del aprendizaje
significativo se ubica el aprendizaje de conceptos, al cual se refiere Araya
(2002) como el proceso de incorporar atributos de criterio abstracto que son
comunes a una categoría dada de objetos, eventos o fenómenos.
En función a esto, Díaz y Hernández (2002) indican que el
conocimiento conceptual es construido a partir del aprendizaje de conceptos,
principios y explicaciones las cuales no tienen que ser aprendidos en forma
literal, sino abstrayendo su significado esencial o identificando las
características definitorias y las reglas que lo componen.
Así mismo, señalan que para promover el aprendizaje de conceptos
es necesario que los materiales de aprendizajes se organicen y estructuren
correctamente. De la misma forma hay que hacer que los conocimientos
previos de los estudiantes se impliquen cognitiva, motivacionalmente y
afectivamente en el aprendizaje.
Por otro lado, este tipo de aprendizaje se logra cuando hay una
asimilación y acomodación sobre el significado de la información nueva, y se
comprende lo que se está aprendiendo.
Con base en esto, el investigador planificó en las actividades
correspondientes al docente y a los estudiantes en la LECA, acciones a
seguir donde los estudiantes pudieron explorar y analizar el concepto de
espacio vectorial, identificando características fundamentales de dicho
concepto, generando para ello procesos de diferenciación, ya sea con
características fundamentales del mismo con ejemplos positivos o con
características no fundamentales con ejemplos negativos.
Descritas las condiciones que favorecen el logro de aprendizajes
significativos, es pertinente señalar como determinar el momento en el cual
ocurre dicho aprendizaje. En este sentido, se consideraron dos aspectos
importantes, por un lado, se estableció que dicho aprendizaje se da cuando
el estudiante logra relacionar la nueva información con los conocimientos y
experiencias previas que ya posee, y por otro lado, se logra progresivamente
25
a través de los planteamientos de Shuell (citado por Díaz y Hernández, 2002)
el cual señala que este se da en tres fases, una primera fase en la cual la
información aprendida es concreta, y donde el estudiante la maneja y la
vincula al contexto; una fase dos donde el conocimiento aprendido se vuelve
aplicable a otros contextos (pero no es autónomo); y una tercera fase donde
los conocimientos adquiridos llegan a estar mas integrados y funcionan con
mayor autonomía, y donde aparecen interrelaciones de alto nivel en los
esquemas mentales de los estudiantes, es decir, se da una transferencia de
conocimiento.
En relación al término transferencia, Araya (2002) señala que es
considerada por la corriente cognocivista como inherente al aprendizaje
significativo, y la misma puede ser entendida como la capacidad que tiene la
persona para utilizar el conocimiento previo en la generación de aprendizaje.
Esto significa que lo ya aprendido constituye una base que facilita los nuevos
aprendizajes.
Desde esta óptica, “se debe aprender para transferir, y aprender
significativamente debería ser la clave para poder aplicar los conocimientos
adquiridos en la resolución de problemas diversos a los cuales nos
enfrentamos” (Araya, 2002: 79).
En relación con los tipos de transferencias, se pueden identificar, la
transferencia positiva, cuando el conocimiento previo facilita el nuevo
aprendizaje, y la transferencia negativa, cuando lo dificulta.
Esto lo utilizó el investigador del presente trabajo, como guía para
determinar si los estudiantes lograron adquirir un aprendizaje significativo de
los espacios vectoriales.
De acuerdo a lo anterior, el proceso se inicia al determinar en los
estudiantes los conocimientos previos que necesitan saber para iniciarse en
el contenido de los espacios vectoriales. Luego, a través de una serie de
actividades ejecutadas por el docente y los estudiantes, se desarrolló el
contenido de espacio vectorial, y a medida que avanzaba el proceso se
26
fueron ubicando las distintas fases de Shuell logradas por los estudiantes, lo
que permitió determinar el progreso en logro del aprendizaje significativo.
Posterior a esto, se utilizó el contenido de transformaciones lineales
como medio de verificación y certificación de la adquisición de dicho
aprendizaje, al determinar si un nuevo contenido, los espacios vectoriales,
representan en los estudiantes ideas más potentes y explicativas que le
sirven de base para futuros aprendizajes, las transformaciones lineales. Esto
es, determinar si se da una interrelación entre el nuevo contenido
(transformación lineal) y los nuevos conocimientos previos (espacio
vectorial), a través de una transferencia positiva de los conocimientos.
La Motivación
De acuerdo con Díaz (1985), la motivación es una atracción hacia un
objetivo que supone una acción por parte del sujeto y permite aceptar el
esfuerzo requerido para conseguir ese objetivo. Está compuesta de
necesidades, deseos, tensiones, incomodidades y expectativas, lo que
constituye un paso previo al aprendizaje, siendo el motor del mismo.
La motivación está considerada como uno de los factores que más
influye en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, donde la acción de
aprender significativamente depende de ello y de los intereses y
predisposiciones del que aprende (Palmero, 2004).
En este sentido, la falta de motivación se señala como uno de los
problemas más graves del aprendizaje, sobre todo en la educación formal,
puesto que sin motivación no hay aprendizaje, tal como lo señalan Huertas,
1997; Pozo, 1999; y Míguez, 2001 (citados por Díaz, 1985).
Tapia (2000:18), indica “no se aprende cuando no se está motivado, y
en consecuencia esta falta de motivación le impide a los estudiantes pensar
adecuadamente al enfrentarse a sus tareas escolares”.
Por esta razón, los estudiantes motivados aprenden con mayor
rapidez, y más eficazmente, que los estudiantes que no están motivados. Por
27
tanto, la motivación debe ser considerada al inicio y durante el desarrollo de
la actividad educativa.
Díaz y Hernández (2002), señalan que la motivación significa
proporcionar o fomentar motivos, es decir, estimular la voluntad de aprender.
De igual manera, consideran la motivación intrínseca con el propósito de
procurar los intereses personales y ejercer las capacidades propias, y al
hacerlo, buscar y conquistar desafíos, por lo que el individuo no necesita de
castigos ni incentivos para trabajar porque la actividad le resulta
recompensante en si misma.
Desde este punto de vista, la falta de consideración de la motivación
intrínseca sostenida puede convertirse en un obstáculo para el buen
desarrollo de la acción didáctica, por lo que se hace imprescindible motivar a
quién quiere aprender.
Esto significa que la motivación abarca todo el proceso de enseñanza
aprendizaje, donde el estudiante y el docente realizan distintas acciones,
antes, durante y al final, para que persista o se incremente una situación
favorable al estudio.
En consecuencia, Alonso y Brophy (citados por Díaz Y Hernández,
2002) señalan que se deben considerar algunos aspectos e indicadores para
favorecer la motivación, entre ellos tenemos;
1) Activar el interés del estudiante para que resuelva problemas.
2) Mostrar la meta, para que sea relevante el contenido.
3) Solicitar la manifestación de iniciativas a los estudiantes para que
expresen sus intereses.
4) Fomentar la participación general.
5) Permitir que los estudiantes progresen a su ritmo hasta donde sea
flexible.
6) Hacer que los estudiantes perciban la evaluación como una
ocasión para aprender y corregir.
28
7) Reconocer los logros personales, y evitar el favoritismo, la
descalificación, exclusión o lástima ante determinados estudiantes.
8) Mantener informados a los estudiantes sobre su aprendizaje.
9) Orientar el proceso de solución, con la búsqueda de posibles
medios para superar las dificultades, e informar sobre lo correcto o
incorrecto de los resultados.
En definitiva, estos aspectos pueden ser aplicados para fomentar la
motivación al estudio en los estudiantes y con ello favorecer su aprendizaje.
Tales aspectos fueron considerados durante toda la aplicación de la
LECA, y los mismos se incorporaron dentro de las actividades que realizaron
los estudiantes y el docente en el desarrollo de la misma, adaptándose al
contenido de los espacios vectoriales.
La Evaluación
Un aspecto importante y clave que ocurre en el proceso de enseñanza
y aprendizaje es el determinar en que medida los estudiantes logran adquirir
los conocimientos impartidos por el docente.
En relación a esto, cabe preguntarse hasta que punto los instrumentos
y procedimientos de evaluación que utilizamos permiten captar efectivamente
el progreso de los estudiantes, y a la vez poner en relación dicho progreso
con la enseñanza que se imparte.
En este sentido, y de acuerdo a Morales (2008:37), una buena
evaluación sería fundamental para ello, siempre que se incluya en el proceso
de evaluar dos aspectos esenciales, la medición y la valoración.
Por un lado, con la medición se puede obtener información para
constatar el estado actual del objeto o situación que se quiere evaluar, y por
el otro, la valoración permite comparar entre los datos obtenidos en la
medición el como era o el como debería ser dicho aspecto.
29
Desde estos lineamientos, es factible considerar al enfoque
constructivista puesto que plantea dentro sus principios la evaluación como
un proceso para construir aprendizajes significativos en los estudiantes,
caracterizándose como modalidad valoradora de la adquisición de
conocimientos, tal como lo señala Lugo, (2003).
En referencia a lo anterior, Alves y Acevedo (1999) señalan que la
evaluación vista desde esta perspectiva es consustancial con el aprendizaje
lo que supone algunas consideraciones; (a) no implica la repetición de lo
aprendido, (b) se centra en el aprendizaje significativo y en desarrollo
potencial del estudiante, y (c) permite la reflexión e interpreta la influencia de
los factores que intervienen en el aprendizaje.
Estos señalamientos permitieron tener una orientación de manera que
se pudo ver la evaluación como un componente más del proceso de
enseñanza y aprendizaje, y no como un instrumento de certificación o
sanción como tradicionalmente ha sido.
En relación a esto, Coll (1999) señala que evaluar los aprendizajes
realizados por los estudiantes equivale precisar hasta que punto han
desarrollado y/o adquirido unas determinadas capacidades como
consecuencia de la enseñanza recibida.
Partiendo de estas ideas, y de acuerdo con los principios del
constructivismo, la evaluación debe ser vista como una oportunidad para que
el estudiante aprenda, de tal manera que el docente tome decisiones para
favorecer su mejor desempeño.
Bajo esta visión, la evaluación tiene un valor regulador del
aprendizaje, es decir, ayudar al estudiante a desarrollarse. Donde su objetivo
principal es valorar los resultados del aprendizaje de manera continua para
determinar las competencias logradas por el estudiante y verificar el
desarrollo del proceso de aprendizaje.
30
Al respecto, Alves y Acevedo (1999) plantean una clasificación de la
evaluación caracterizada por el momento en su realización y el objetivo que
persigue;
1) Evaluación exploratoria: se realiza con el propósito de conocer el
nivel previo del estudiante para luego planificar el proceso de enseñanza
aprendizaje. Representa el punto de entrada para la construcción del
aprendizaje significativo, así como también para las posibles actividades de
recuperación o nivelación indispensables antes de comenzar el proceso.
2) Evaluación del proceso o formativa: se realiza durante toda la
acción pedagógica y su función es orientar y motivar el proceso de
aprendizaje del estudiante, para planificar sobre la marcha actividades para
mejorar el proceso.
Su carácter formativo, se debe a que provee información permanente
sobre el proceso de aprendizaje. Por otro lado, lleva implícita la evaluación
de la enseñanza, ya que al intentar mejorar el aprendizaje se deben revisar
las actividades que realiza el docente como facilitador del proceso.
3) Evaluación final o sumativa: se realiza al finalizar un proceso o ciclo
educativo. Su función principal es certificar el grado en que los objetivos se
han alcanzado, es decir, verificar si los aprendizajes estipulados fueron
alcanzados.
En relación con el término evaluación formativa, Barbera (citada por
Morales, 2008:50), la define como aquella que “se realiza durante el proceso
educativo concreto, que revela dificultades, ajusta y orienta”. En este sentido
la atención se centra en concretar desajustes, proporcionar ayuda
pedagógica adecuada, y revisar recurrentemente la actuación de los
estudiantes y docentes.
Por otro lado, Campero (citado por Alves y Acevedo, 1999) evidencian
algunas ventajas de esta evaluación entre las cuales se encuentran las
siguientes; (a) permite el diagnóstico de dificultades y limitaciones, (b)
permite el refuerzo oportuno de aprendizajes logrados y estimula el interés
31
para recuperar y lograr lo no aprendido, (c) estimula el estudio continuo y
forma hábitos de estudio, (d) favorece la adquisición de aprendizajes
conscientes y duraderos, y (e) proporciona retroalimentación al docente.
Esto dice, que considerar la evaluación desde este enfoque, implica
que el evaluador pierde el carácter de juez y se convierte en investigador de
procesos para construir hechos que le permitan comprender el acto de
aprender y de valorar.
De la misma forma, orienta al docente sobre lo que los estudiantes
saben y entienden, como lo saben, cuales son sus conocimientos previos y si
estos se modifican a lo largo del proceso.
En base a esto, el autor de la presente investigación consideró; (a)
una prueba exploratoria o diagnóstica individual para indagar sobre los
conocimientos previos de los estudiantes, (b) la evaluación formativa que
permitió ir determinando el progreso de los estudiantes en la adquisición del
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, para lo cual se aplicaron
pruebas cortas escritas individuales y se emplearon preguntas intercaladas
para ir chequeando y valorando el aprendizaje, con el fin de mejorar el
proceso de enseñanza aprendizaje, y (c) una prueba final individual de
carácter sumativa para determinar si se logró aprendizaje significativo de los
espacios vectoriales.
Estrategias para el Aprendizaje Significativo Desde la postura constructivista el aprendizaje es visto como proceso
de construcción de saberes culturales, cuyo punto de partida son las
experiencias previas que posee el que aprende.
En relación a esto Díaz y Hernández (2002) señalan que uno de los
objetivos más perseguidos dentro de la educación, es la de enseñar a los
estudiantes a que se vuelvan autónomos e independientes capaces de
aprender a aprender.
32
Bajo estos lineamientos, el estudiante controla su aprendizaje y valora
sus logros, es decir, encuentra una capacidad de reflexión en la forma en
que aprende y actúa, autorregulando el proceso de dicho aprendizaje. No
obstante, esto se logra mediante el uso de estrategias apropiadas.
Desde este punto de vista, las estrategias de aprendizaje pueden
entenderse como procedimientos (conjunto de pasos, operaciones o
habilidades) que utiliza el que aprende en forma consciente, controlada e
intencionada para aprender significativamente y solucionar problemas (Díaz
y Hernández, 2002).
En dichas estrategias se distinguen tres características importantes,
(a) previa planificación y control de su ejecución, (b) reflexión sobre cuando
emplearlas, y (c) utilizarlas inteligentemente según sea el caso, Gaskins y
Elliot (citados por Díaz y Hernández, 2002).
Ahora bien, su ejecución según Brown, Flavel y Wellman (citados por
Díaz y Hernández, 2002) ocurre asociada con otros recursos y procesos
cognitivos de los que dispone el que aprende, distinguiéndose cuatro tipos de
conocimientos que interactúan de forma compleja cuando se utilizan; (a)
conocimientos cognitivos que se refiere a aquellas operaciones y procesos
involucrados en el procesamiento de la información, como la atención, la
percepción, la codificación, almacenaje y la transferencia de conocimientos,
entre otros, (b) conocimientos previos que se refiere a conceptos y principios
que posee la persona distintos temas de conocimientos organizados en
forma de un reticulado jerárquico constituido por esquemas, (c) conocimiento
estratégico que se refiere al hecho de como se va a aprender, y (d)
conocimiento metacognitivo que se refiere al conocimiento que tenemos
sobre nuestros procesos y operaciones cognitivas cuando aprendemos,
recordamos o solucionamos problemas.
En correspondencia con esto, Pozo (citado por Díaz y Hernández,
2002) menciona una clasificación de las estrategias de acuerdo a lo
siguiente; (a) estrategias de elaboración, que permiten un tratamiento y una
33
codificación de la información que se ha de aprender. Entre las técnicas o
habilidades se encuentra la analogía, la cual supone integrar y relacionar la
nueva información que ha de aprenderse con los conocimientos previos, su
uso según Elosua y García (citados por Díaz y Hernández, 2002) permiten
describir y construir significados para encontrar sentido a la información, y (b)
estrategias de organización, que permiten organizar, agrupar o clasificar de
manera constructiva la información que ha de aprenderse.
En el marco de la presente investigación para el diseño de la LECA,
se consideraron actividades para los estudiantes en las cuales debió utilizar
la transferencia de conocimiento, por otro lado se fomentó la adquisición de
los conocimientos previos necesarios para iniciarse en el aprendizaje de los
espacios vectoriales y se le permitió buscar los medios para mejorar su
aprendizaje, y por último se empleó la analogía para que comprobará los
axiomas que definen a los espacios vectoriales, subespacios vectoriales y
transformaciones lineales.
Estrategias de Enseñanza Enseñar se refiere a la acción de comunicar algún conocimiento,
habilidad o experiencia a alguien con el fin de que lo aprenda, empleando
para ello un conjunto de métodos, técnicas, en definitivo procedimientos que
se consideran apropiados, (Monereo, 1998).
Esto significa que la enseñanza y el aprendizaje en el aula, forman
una dualidad, puesto que el aprender no es un asunto exclusivo del que
aprende, sino también de quien enseña.
En este sentido, la enseñanza de la matemática se realiza de distintas
maneras con la ayuda de medios o estrategias que orientan al diseño,
programación, elaboración y realización de los distintos contenidos que se
van aprender.
En relación a esto, Lule (citado por Díaz y Hernández ,2002) indica
que las investigaciones en estrategias de enseñanza han abordado aspectos
34
que implican intención de enseñanza, por lo que se han planteado algunas
como, las preguntas intercaladas, los organizadores previos y las
ilustraciones, entre otros.
Dichas estrategias según (Meyer, 1984; Shuell, 1998; West, Farmer y
Wolf, 1991, citados por Díaz y Hernández 2002) la definen como los
procedimientos o recursos utilizados por el docente para promover
aprendizaje significativo.
Por otro lado, Mora (2005) la define como un sistema de acciones u
operaciones que se planifican, ejecutan, controlan, evalúan y rectifican,
dirigido a la creación, consolidación y reconstrucción retrospectiva en el
proceso de formación con significado y sentido de enseñanza. En la cual la
planificación es un iinstrumento orientador en el proceso de elaboración de
de la estrategia didáctica, que articula las acciones y operaciones
encaminadas intencionalmente a elaborar objetivos, seleccionar contenidos,
programar recursos, establecer criterios para la elaboración de las tareas,
seleccionar e instrumentar métodos y estrategias, y prever momentos de
control y evaluación; con el propósito de organizar la enseñanza.
La aplicación es vista como la acción que asegura las
transformaciones dadas en el objeto de la acción, cuyo control permite la
marcha de la acción para confrontar los resultados obtenidos con las
acciones planificadas, el cual permite la verificación, retroalimentación y
rectificación de las acciones y operaciones desarrolladas en los distintos
momentos de enseñanza de la matemática.
La evaluación por su parte se da durante el proceso de ejecución, en los
distintos momentos y al final del mismo, dirigido a la valoración de, en qué
medida se logran los objetivos de la estrategia. Tiene un carácter formativo
en la medida en que se centra en los logros que va alcanzando el estudiante
en los distintos momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Por último, está la rectificación con la cual se modifican o reestructuran
las acciones u operaciones previstas en la estrategia durante su ejecución, a
35
partir de los resultados alcanzados por los estudiantes en los distintos
momentos.
Como se puede observar en ambos casos el propósito es favorecer el
proceso de enseñanza en los estudiantes de los distintos contenidos
escolares, donde el que enseña pueda disponer para ello de elementos que
lo orienten y ayuden a facilitar dicho proceso, esto es emplear
procedimientos o métodos para ese fin.
Por tal razón, se deben elegir o diseñar estrategias para ser
empleadas como procedimientos flexibles y adaptativos a circunstancias de
enseñanza que favorezcan el aprendizaje significativo.
Enmarcado dentro de estos planteamientos, el docente antes de
iniciar el desarrollo de los contenidos debe considerar distintas estrategias
que favorezcan la enseñanza, así como también las experiencias previas de
los estudiantes, establecer el propósito de la instrucción, la dificultad del
contenido, las habilidades que son necesarias y la percepción del progreso
de los estudiantes, esto con el fin de contribuir a que el estudiante dirija su
propio proceso de aprendizaje, (Monereo, 1998).
Estas consideraciones ubican al docente bajo el perfil de un profesor
estratégico, el cual define (Monereo, 1998:52) como “aquel que posee
actividades regulativas que le permiten planificar, tutorizar y evaluar sus
procesos cognitivos tanto en el momento de aprender los contenidos que ha
de enseñar, como en relación a su actuación docente, mientras negocia con
los estudiantes los significados del contenido que se propone enseñar”.
Visto de esta manera, el docente esta en la capacidad de planificar
sus acciones de manera que ofrezca al estudiante un modelo o guía de cómo
utilizar de manera estratégica los procedimientos de aprendizajes.
Desde esta óptica, Díaz y Hernández (2002) señalan una clasificación
de estas estrategias, dentro de las cuales se mencionan las siguientes;
1) Hacer preguntas intercaladas: dirigidas al estudiante a lo largo de la
situación de enseñanza, con el propósito facilitar el aprendizaje, mantener la
36
atención y la activación del estudiante, favorecer la reflexión sobre la
información que se ha de aprender y dirigir su conducta de estudio hacia la
información más relevante.
Pueden ser de dos tipos; las que se emplean cuando se quiere que el
aprendizaje sea intencional, y las pospreguntas que se emplean para alertar
a que se esfuerce a ir más allá.
En ambos casos ofrecen al que aprende una retroalimentación
continua, informándole si su respuesta es correcta o no y por que, y por otro
lado ayudan a monitorear el avance gradual del estudiante, cumpliendo
función de evaluación formativa.
Estas preguntas se realizaron durante toda la investigación. Lo que
permitió mantener la atención de los estudiantes, y determinar en que
medida se lograban los aprendizajes. Lo que permitió la retroalimentación de
contenidos en su debido momento.
2) Analogías: de acuerdo con Curtís y Reigeluht (citados por Díaz y
Hernández, 2002); una analogía es una proposición que indica que un
evento es semejante a otro. Las analogías permiten crear enlaces entre los
cocimientos previos y la información nueva que ha de aprenderse,
asegurando una mayor significatividad de los aprendizajes logrados. Su
aplicación se recomienda al inicio o durante la instrucción, y permite
comprender información abstracta y trasladar lo aprendido a otros ámbitos.
Con relación a la LECA, la analogía se empleó para enseñarles a los
estudiantes como comprobar los axiomas que definen un espacio vectorial.
Para que posteriormente aplicaran de manera análoga, es decir, de forma
semejante el mismo procedimiento y trasladar esa información para la
comprobación de los axiomas que definen a los subespacios vectoriales y las
transformaciones lineales.
37
CAPÍTULO III MARCO METODOLÓGICO Diseño de la Investigación
Este capítulo tiene como propósito describir la metodología utilizada
en el desarrollo de esta investigación; y contiene lo siguiente: a) diseño de la
investigación; b) unidades de observación y análisis; c) técnicas,
instrumentos y métodos; y d) procedimiento de la investigación; f) validez y
confiabilidad, y g) categorías de la investigación.
Orientado en la pregunta de investigación y en los objetivos
planteados, se consideró necesario aplicar una metodología que combinó los
paradigmas cualitativos y cuantitativos.
Al respecto, Hernández y Fernández (1998) indican que estos
paradigmas pueden combinarse para brindar alternativas que pueden guiar
al investigador en la metodología a seguir para buscar respuesta al problema
planteado.
En este sentido, se pueden seguir varios modelos que permiten
mezclar ambos paradigmas; dentro de los cuales se encuentra el modelo de
enfoque dominante. Del cual se señala lo siguiente “en el modelo de enfoque
dominante una de las dos modalidades prevalece sobre la otra y se incluye
un componente de la segunda” (Hernández y Fernández, 1998:7).
En consecuencia de lo anterior, en el presente trabajo se consideró el
modelo de enfoque dominante, ya que prevaleció el enfoque cualitativo sobre
el enfoque cuantitativo, es decir, el diseño cualitativo se utilizó durante toda
la investigación, en cambio el cuantitativo solo en momentos específicos de
la misma.
En relación al diseño cualitativo Álvarez (2005:s/p) señala que estos
estudios “se distinguen por orientarse a describir e interpretar los fenómenos
38
y son adecuados para la investigación que se interesa por el estudio de los
significados de las acciones humanas”
El diseño cualitativo permitió en el presente trabajo aportar
teóricamente datos descriptivos e interpretativos de las actividades que
realizaron un grupo de estudiantes de ingeniería en informática de la UNEG,
durante el proceso de enseñanza aprendizaje de los espacios vectoriales.
Bajo los lineamientos de este enfoque se adoptó un estudio de caso
cualitativo, ya que, “es el apropiado para el estudio de un caso o situación
con cierta intensidad donde la naturaleza del caso puede ser muy
heterogénea; un sujeto, grupo, institución, programa, etc” (Álvarez, 2005:s/p).
Por su parte Hamilton y Delamont (citados por Álvarez, 2005:s/p)
sostienen que a través de este estudio de caso “se aporta la realidad desde
un análisis detallado de sus elementos y de la interacción que se produce
entre ellos y su contexto, para luego mediante un proceso de síntesis buscar
el significado y la toma de decisiones”.
Para los efectos del presente trabajo se optó por el estudio de caso
cualitativo, ya que la investigación se centró en un grupo de estudiantes de la
UNEG con el propósito de describir e interpretar las actividades que
realizaron mientras se les aplicó la LECA.
Por otro lado, se consideró apropiado porque permitió que el
investigador interactuara con ellos en su contexto, lo que facilitó la
comunicación docente-estudiante y favoreció la recolección de la información
desde distintos ángulos, que posteriormente se analizó e interpretó para la
toma de decisiones.
Una vez establecidas las razones por las cuales se adoptó este
estudio de caso, pasamos ahora a detallar lo referente al enfoque
cuantitativo.
En relación a esto Rodríguez (2003:179), señala que la investigación
cuantitativa es aquella que “Predominantemente, tiende a usar instrumentos
39
de medición y comparación que proporcionan datos cuyo estudio requiere el
uso de modelos matemáticos y de la estadística”.
Desde esta perspectiva, con el estudio cuantitativo se recabaron datos
numéricos que orientaron al investigador en lo siguiente: con los resultados
de la prueba diagnóstica se determinó los conocimientos previos de los
estudiantes, lo que permitió por un lado elaborar la retroalimentación y por el
otro seleccionar los sujetos de estudio según los porcentajes de respuestas
correctas e incorrectas dadas por los mismos.
Los resultados de las pruebas cortas, cuatro en total, y la prueba final
permitieron ir determinando en que medida los estudiantes progresaban en la
comprensión de los distintos contenidos, es decir, la retroalimentación y los
espacios vectoriales.
No obstante, el estudio con mayor profundidad se desarrolló bajo los
lineamientos cualitativos, pues como se mencionó anteriormente, lo que se
pretende es describir e interpretar las actividades que realizaron los
estudiantes con la aplicación de la LECA, y que le permitieron adquirir un
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
Lo importante de combinar estos paradigmas de investigación, esta en
lograr que los estudiantes de la UNEG de la carrera de ingeniería en
informática aprendan de manera significativa el contenido de los espacios
vectoriales. Por un lado, dada la importancia que tiene este contenido dentro
del campo de la informática, y por otro, porque le permite a los estudiantes
iniciarse en otros contenidos importantes dentro del álgebra lineal, como lo
son las transformaciones lineales.
Todo este proceso implicó la observación diaria y minuciosa de cada
clase y de las actividades realizadas por los estudiantes, con mayor atención
en los sujetos de estudio. Estas observaciones se registraron en un cuaderno
de notas, donde se asentaron sus avances y limitaciones.
40
Unidades de Análisis y Observación De acuerdo con Sierra (1991:97), las unidades de observación “son
aquellas unidades que se pretenden observar y las cuales constituyen el
objeto de estudio de donde se obtendrán los datos de la investigación”. En la
presente investigación la unidad de observación estuvo conformada por (6)
seis estudiantes de un total 28 de una sección de la asignatura álgebra lineal
del quinto semestre del proyecto de carrera de Ingeniería en Informática de
la UNEG.
La unidad de análisis por su parte “representa los agregados de los
individuos” Sierra (1991:97). En este sentido la unidad de análisis para esta
investigación estuvo representada por el aprendizaje significativo de los
espacios vectoriales y por la LECA.
La selección de los seis (6) estudiantes (sujetos de estudio o unidades
de observación) se realizó de manera intencional y no utilizando el azar. Esta
selección se llevó a cabo con base en los resultados de la prueba
diagnóstica, la cual contenía 19 preguntas.
El proceso de selección se fundamentó en la cantidad y el porcentaje
de respuestas correctas dadas por los estudiantes (ver anexo 4). El criterio
se basó en lo siguiente: (a) dos estudiantes con porcentaje de más del 70%
de las respuestas dadas correctamente, se escogió así uno con 18 y otro con
14 respuestas correctas; (b) dos estudiantes con porcentaje de respuestas
correctas entre 40% y 70%, que arrojó la selección de ambos estudiantes
con nueve 9 respuestas correctas cada uno, y (c) dos estudiantes con
respuestas correctas con porcentajes entre 1% y 26% , lo que permitió
seleccionar dos estudiantes con 5 respuestas correctas dadas cada uno.
Es importante señalar que el resto de los estudiantes al igual que los
sujetos de estudio participaron en todo el proceso de la investigación,
recibieron el mismo tratamiento y la aplicación de la propuesta LECA, esto le
permitió al docente recoger información y asentarla en el cuaderno de notas,
lo que contribuyó a enriquecer la investigación. A diferencia de esto, los
41
estudiantes seleccionados como sujetos de estudio fueron objeto de un
seguimiento minucioso por parte del investigador.
Técnicas, instrumentos y métodos De acuerdo con Pérez (2002:67) es importante diferenciar una técnica
de un instrumento. En este sentido señala que “La técnica es el
procedimiento y el instrumento, la herramienta que utiliza el investigador para
registrar y organizar posteriormente la información”
Colas Bravo (citado por Álvarez 2005:s/p) orienta sobre una
clasificación de las técnicas, en la cual se ubican las técnicas directas, que
se conforman por la observación participante, la entrevista semiestructurada,
y las notas de campo, entre otras.
Con base en estos planteamientos se describen a continuación las
técnicas directas que se utilizaron en la investigación.
1-.La observación participante: es la técnica más usada en la
investigación cualitativa. Su objetivo principal es recoger datos, de un modo
sistemático, a través del contacto directo en contextos y situaciones
específicas (Álvarez ,2005).
De Chopite (1995:42) indica que esta técnica permite que el
investigador forme parte de la investigación y que el mismo “se coloca en
una relación de persona a persona con lo observado, y participa con el en el
ambiente natural, obteniendo los datos”.
En el presente trabajo la observación participante se empleó durante
toda la investigación. Esta le permitió al docente mantenerse siempre alerta
en cuanto a la participación de los estudiantes, así como también en las
actividades que realizaron durante el desarrollo de las clases. En este
sentido el docente discretamente tomó registros escritos de esos momentos
importantes en el cuaderno de notas.
42
Por otro lado, se empleó para validar los resultados de la investigación
utilizándola como parte de la triangulación de datos conjuntamente con la
entrevista y las pruebas escritas que se aplicaron.
2-. La entrevista: se define “como una conversación entre una
persona, entrevistador y otra entrevistado” (Hernández y Fernández,
1998:455).
En el marco de la clasificación de esta técnica está la entrevista
semiestructurada la cual “emplea una serie de preguntas y el entrevistador
tiene la libertad de introducir preguntas adicionales para precisar conceptos y
obtener mayor información sobre el tema”. (ob.cit.).
En la presente investigación el investigador utilizó una entrevista
semiestructurada (ver anexo 24). Construyó una guía de preguntas muy
somera, que dieron amplio margen de expresión a los estudiantes
entrevistados.
Esta entrevista se aplicó en forma individual a los sujetos de estudio,
se llevó a cabo luego de la prueba final, la misma fue dirigida considerando lo
siguiente; a) Conocer la opinión de los estudiantes en relación a la
metodología aplicada (LECA), b) saber si los estudiantes lograron adquirir un
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, (c) emplearla como un
medio para validar los resultados de la investigación, triangulando con las
pruebas escritas y la observación participante.
3-.Cuaderno de Notas (ver anexo 26): contienen la descripción de lo
que se observó, deben contener además lo que el observador cree que es
valioso de anotar, de igual manera “contienen lo que las personas dicen,
citas directas o tan exactas como sea posible” (De chopite, 1995:45).
En esta investigación las notas de campo las llevó a cabo el
investigador, quien registró por escrito todos aquellos aspectos importantes
expresados por los estudiantes, incluyendo los sujetos de estudio. Se tomó
nota sobre sus ideas manifestadas, inquietudes, confusiones, momentos
anímicos, respuestas erradas dadas, respuestas correctas dadas, preguntas,
43
comentarios, discusiones, comportamiento y la adquisición o no de nuevos
conocimientos, que sirvieron como guía para efectuar la triangulación entre
la entrevista y la observación participante, para garantizar la validez de los
resultados.
Otras técnicas que se emplearon fueron el análisis de contenido y la
triangulación, la primera para el realizar el análisis de los datos y la segunda
para la validación de los mismos. Dichas técnicas se describen a
continuación.
Análisis de contenido
El análisis de contenido puede ser entendido de acuerdo a Duverger
(citado por Álvarez, 2005:s/p) como “una técnica de investigación que
consiste en el análisis de la realidad social a través de la observación y
análisis de documentos que se crean o producen en el seno de una o varias
sociedades”
Esto plantea que el análisis de contenido es una técnica de
investigación que tiene entre sus propósitos describir e interpretar la realidad
para la realización de inferencias, tal como lo señala Álvarez, (2005).
Desde este punto de vista, el análisis de contenido de la investigación
se llevó a cabo considerando tres momentos interdependientes, tal como lo
señala Tesh (citado por Pérez Serrano, 1998); (a) análisis exploratorio, que
se refiere al contexto, lo que implica que luego de recoger los datos se
procede a la reducción de los mismos, esto significa ir determinando nuevos
conjuntos de fenómenos para el análisis a medida que avanza la
investigación, con el fin de crear categorías, (b) descripción que consiste en
examinar todos los segmentos de cada categoría para establecer patrones
en los datos. Esto implica reducir los datos y formularse preguntas
continuamente para la búsqueda de posibles explicaciones, y (c) la
interpretación, que se refiere a integrar, relacionar, y establecer conexiones
entre las distintas categorías, así como también posibles comparaciones.
44
Para los efectos del presente trabajo el análisis exploratorio se llevó a
cabo en función de los datos recogidos y registrados en el cuaderno de
notas, las entrevistas, las distintas pruebas y videos.
Esto se realizó con el propósito de seleccionar información
representativa orientada hacia los objetivos de la investigación, a través de
un análisis exhaustivo y minucioso, lo que permitió ir reduciendo gran parte
de los datos y elaborar las categorías (LECA y aprendizaje significativo).
La descripción por su parte, permitió realizar una revisión de cada
categoría lo que llevó a segmentarla y establecer patrones de orientación. La
LECA se segmentó según su ejecución y aplicación para determinar el logro
de aprendizajes significativos. Por otro lado, la categoría aprendizaje
significativo se segmentó en el conocimiento, lo que dio origen a una serie de
indicadores que reflejan los aspectos más importantes a estudiar de dicha
categoría (ver pagina 56).
Finalmente, la interpretación se fundamentó en establecer conexiones
entre las categorías ya señaladas para buscar relaciones y posibles
comparaciones, y dar respuesta a los objetivos planteados. Esto permitió
elaborar un puente entre los datos y los objetivos, lo que llevó a la
formulación y justificación de las inferencias y conclusiones, en función de la
determinación del logro del aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales.
Sin embargo, es de destacar que más allá de un buen análisis de los
datos, resulta necesario respaldar la investigación. En este sentido, se debe
asegurar la validez de los resultados. Para ello se consideró lo que plantea
Pérez Serrano (1998:154), “un análisis de contenido es válido en la medida
en que sus inferencias se sostengan entre otros datos obtenidos de forma
independiente”.
Para llevar a cabo este proceso de rigorización de los datos, se
empleó la triangulación, la cual se señala a continuación.
45
Triangulación
Es un procedimiento que consiste en el uso de diferentes fuentes de
datos, investigadores, perspectivas o metodologías para contrastar los datos
e interpretarlos, Denzin (citado por Rodríguez 2003).
En el marco de la clasificación de ésta técnica, Denzin señala la
triangulación de datos, que consiste en utilizar una variedad de fuentes de
información o informantes, respecto a un determinado problema o situación.
Este tipo de triangulación se da cuando existe una concordancia o
discrepancia entre dichas fuentes, pudiéndose triangular en este ámbito,
informantes, personas, tiempos y espacios o contextos. Desde este punto de
vista y de acuerdo a Denzin,
La comprobación con los participantes supone contrastar los datos e interpretaciones de los mismos con los sujetos que constituyen las fuentes de esos datos. Como conocedores de la realidad que se investiga, los participantes podrían actuar como jueces que evalúen los principales descubrimientos de un estudio. (p. 271)
Con base en estos planteamientos, en la presente investigación se
empleó la triangulación de datos, para validar los resultados de la
investigación y el logro del aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales, esto permitió comprobar que la información aportada por un
informante fue confirmada desde varias fuentes, esto se logró a través de
triangular las entrevistas, cuadernos de notas y evaluaciones.
Como apoyo a todas las técnicas señaladas se consideró lo siguiente:
1.- La Radio Grabadora: permitió grabar en sonido la información dada
por los estudiantes cuando se les aplicó la entrevista. Esto con el fin de
obtener la información tal cual la manifestaron, para posteriormente
analizarla y emplearla como medio de validación de la LECA.
2-.Grabadora de Video: permitió registrar en sonido e imagen las
actividades que realizaron tanto el docente como los estudiantes durante la
46
aplicación de la LECA. Al igual que la grabadora de sonido nos permitió
validar las propuestas.
En relación a los instrumentos de recolección de la información se
elaboraron los siguientes: la prueba diagnóstica, las pruebas cortas y la
prueba final, todos con un carácter evaluativo formativo-sumativo. Cabe
señalar que estos instrumentos fueron validados por el juicio de expertos el
cual se conformó por un grupo de docentes de la UNEG que pertenecen al
área de investigación en didácticas de las matemáticas.
Seguidamente se describen los instrumentos utilizados.
1.-Prueba diagnóstica (ver anexo 3): este instrumento consta de 19
preguntas y se aplicó al inicio de la investigación, se elaboró con el propósito
de explorar los conocimientos previos que poseen los estudiantes en relación
a como escribir y sumar elementos particulares y generales de los siguientes
conjuntos: R, R2, R3, Rn, las matrices, los polinomios, los números complejos
y las funciones continuas. Así mismo se les pidió expresar el significado de
un elemento de cada conjunto señalado. Sus resultados permitieron
seleccionar los sujetos de estudio, y elaborar los contenidos para ser
desarrollados en el proceso de retroalimentación.
2.-Pruebas cortas: estos instrumentos fueron cuatro (4) en total, se
aplicaron en momentos distintos de la investigación como se señala a
continuación:
2.1.-Prueba cortas Nº 1 (ver anexo 7): se aplicó en la clase N° 3 al
finalizar el proceso de retroalimentación. Su propósito fue determinar si los
estudiantes lograron corregir las dificultades encontradas en la prueba
diagnóstica. La elaboración se fundamentó en las respuestas incorrectas
dadas por los estudiantes en la prueba diagnóstica.
2.2.-Prueba cortas Nº 2 (ver anexo 11): esta prueba se aplicó en la
clase N° 5, luego de haber desarrollado el contenido de los espacios
vectoriales. Su propósito fue determinar si los estudiantes podían verificar
exitosamente los axiomas (cerradura de la suma y cerradura de la
47
multiplicación por un escalar) en conjuntos que representaban espacios
vectoriales.
2.3.-Prueba cortas Nº 3 (ver anexo 14): se aplicó en la clase N° 6 con
el mismo propósito de la prueba corta Nº 2, la diferencia radicó en la
selección de conjuntos distintos a los anteriores.
2.4.-Prueba cortas Nº 4 (ver anexo 18): se aplicó en la clase N° 7 al
finalizar la clase de transformaciones lineales. Su propósito fue determinar si
los estudiantes lograron verificar correctamente los axiomas que definen a
las transformaciones lineales. Estos resultados dieron un primer
acercamiento sobre la adquisición de aprendizaje significativo de los
estudiantes sobre el contenido de los espacios vectoriales.
2.5.-Prueba final (ver anexo 20): se aplicó en la clase Nº 9 luego del
proceso de retroalimentación basado en los resultados de la prueba corta Nº
4, su propósito fue confirmar si los estudiantes lograron la adquisición de
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
Una vez establecidas las distintas técnicas e instrumentos que se
emplearon en la investigación, se hará referencia a los métodos que se
utilizaron en la misma. En este sentido, se optó por emplear métodos
teóricos, empíricos y estadísticos.
Los métodos teóricos empleados fueron el análisis, la síntesis, la
inducción y la deducción, por otro lado, el método estadístico que se utilizó lo
conformó las medidas de tendencia central (la media aritmética) y el análisis
gráfico. Por último, el método empírico se fundamentó en la experiencia
pedagógica que realizó el docente con los estudiantes en el aula de clase a
través de la aplicación de la leca.
Procedimiento de la Investigación Este apartado se refiere a la ejecución de la investigación, es decir, al
estudio que se realizó. Este se desarrolló en el semestre 2007-II de la UNEG
en la asignatura álgebra lineal para el contenido de espacios vectoriales en la
carrera de Ingeniería en Informática. Se llevó a cabo en un período de diez
48
(10) clases, tres por semana, con duración de 1 hora y treinta minutos por
sesión.
La investigación consistió en elaborar, aplicar y determinar si una
propuesta didáctica de enseñanza denominada LECA, cuya elaboración se
fundamentó en principios teóricos y metodológicos contructivistas para ser
aplicada a un grupo de estudiantes de la UNEG, con el propósito de propiciar
en ellos la adquisición de un aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales.
El proceso se realizó en cinco fases, la primera fase consistió en
determinar los supuestos teóricos metodológicos para la elaboración de la
LECA. La segunda fase se llevó a cabo en tres clases, en las cuales se les
aplicó a los estudiantes una prueba diagnóstica para explorar sus
conocimientos previos, luego se llevó a cabo un proceso de retroalimentación
y de motivación en base a las necesidades detectadas, y finalmente se
aplicó una primera prueba corta para chequear los contenidos.
La fase tres se realizó en tres sesiones de clases, en las dos primeras
se desarrolló la definición de espacio vectorial con la participación activa de
los estudiantes, iniciando el proceso con una lectura (ver anexo 22)
compartida sobre el tema y sus aplicaciones en el campo de la Informática,
fomentando la motivación al estudio. Luego se discutieron y se demostraron
axiomas que definen a un espacio vectorial, posteriormente se aplicó un
chequeo del contenido con la aplicación de una segunda prueba corta. En la
tercera clase se discutió sobre los subespacio vectoriales, como refuerzo
para el contenido de los espacios vectoriales, y se aplicó la prueba corta nº
tres en relación al contenido señalado.
La fase cuatro se desarrolló en cuatro clases, se discutió la definición de
transformación lineal con la participación de los estudiantes, para estimular la
motivación al estudio, luego se aplicó una medición con una cuarta prueba
corta para determinar si se asimiló dicho contenido.
49
Dicha medición permitió un primer acercamiento para determinar si los
estudiantes lograron adquirir un aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales, al comprobar si realizaron una transferencia de sus
conocimientos adquiridos (espacio vectorial) para desarrollar con éxito los
axiomas que definen a una transformación lineal ( nueva información).
Posterior a esto se aplicó la prueba final que permitió verificar si hubo
realmente un aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, y al mismo
tiempo evaluar la LECA.
Finalmente, una quinta fase correspondió a la elaboración del informe
escrito.
Validez y Confiabilidad De acuerdo a Martínez (2006:s/p), el nivel de validez de una
investigación “deriva de su modo de recoger la información y de las técnicas
de análisis que se usan”.
En este sentido se acepta que una investigación tiene un alto nivel de
validez interna, si “al observar o apreciar la realidad, se observa o aprecia
dicha realidad en sentido pleno y no en un aspecto o parte de la misma”.
(ob.cit.).
Considerando estos planteamientos se tomaron algunas precauciones
en la presente investigación para garantizar la validez interna. Tales
precauciones son las siguiente: a) para la recolección de la información se
emplearon instrumentos y técnicas validadas por el juicio de expertos, b) el
análisis de los datos se realizó a partir de la planificación escrita, de las
grabaciones de video y de la observación correspondientes a ese momento
de la realidad, y c) se realizó un análisis exhaustivo de los datos.
El otro aspecto importante dentro de la validez es la validez externa, al
respecto Martínez (2006) indica que esta se refiere a la generalización de los
resultados de la investigación.
50
En consecuencia es importante señalar que los significados
descubiertos en un grupo no son comparables con las de otro grupo. En este
sentido generalizar este estudio como una réplica para otro grupo no tiene
sentido, pues, lo que se quiere es interpretar lo particular de la realidad y no
generalizar, ya que los significados son propios de cada grupo.
La confiabilidad por su parte, señala Martínez, (2006:s/p), tiene dos
caras una interna y otra externa. “Será interna cuando varios observadores al
estudiar la misma realidad, concuerden en sus conclusiones, y será externa
cuando investigadores independientes, al estudiar una realidad en tiempos o
situaciones diferentes, llegan a los mismos resultados”
La confiabilidad externa, no está dentro de los intereses de la
investigación cualitativa, ya que el fin de esta “es el mejoramiento y
aplicación de una situación particular que puede ser una persona, un grupo,
una comunidad o una empresa, y no la generalización a otras áreas”
Martínez (2006:s/p).
Con base en lo anterior, cabe resaltar que en el estudio de caso se
busca es describir y explicar la realidad desde el punto de vista de quien lo
vive, donde el comportamiento cambia constantemente, por lo tanto no existe
una única interpretación. En tal sentido y de acuerdo a las características del
presente estudio no es pertinente el término confiabilidad externa.
La confiabilidad interna por su parte es importante y el nivel de
consenso entre diferentes observadores de la misma realidad lleva a la
credibilidad, (Martínez, 2006). Para los efectos de la presente investigación y
de acuerdo con lo anterior, con cierta regularidad hubo una revisión detallada
del trabajo por los distintos docentes del área de investigación en didáctica
de las matemáticas de la UNEG, lo que da credibilidad al mismo.
Categorías de la Investigación De acuerdo con Sánchez (2005) en la investigación cualitativa no se
realizan suposiciones por adelantado, por esta razón se “emplean las
51
categorías con las que se describen los valores, costumbres, actitudes y
comportamientos reales de la gente”. Al respecto Rodríguez (2003:298)
señala lo siguiente:
Los datos recogidos en la investigación cualitativa necesitan ser traducidos en categorías con el propósito de realizar comparaciones y posibles contrastes. Las categorías se refieren a situaciones, contextos, acontecimientos, comportamientos, opiniones, perspectivas sobre un problema. Cada categoría incluye un significado que permite agrupar y clasificar conceptualmente unidades, textos, u observaciones, que hacen referencia a un mismo tema.
Estos planteamientos sugieren el establecimiento de categorías para
sistematizar el proceso de análisis de la información. En tal sentido para
establecer las categorías se emplea la categorización, la cual, según
Sánchez (2005:s/p) consiste en la “segmentación en elementos regulares, o
unidades, que resultan relevantes y significativas desde el punto de vista de
nuestro interés investigativo”.
Las categorías pueden construirse “utilizando una palabra de una idea
que sea similar en otras ideas, o creando un nombre en base a un criterio
unificador, logrando que al final del proceso todas las ideas estén incluidas
en alguna categoría” Sánchez (2005:s/p).
En este sentido señala Sánchez, que al construir las categorías no se
deben hacer interpretaciones previas y se debe siempre respetar la
información obtenida. Una vez elaboradas las categorías se deben definir
operacionalmente en función del marco teórico, luego establecer las
dimensiones y los indicadores correspondientes.
Para la elaboración y establecimiento de categorías de esta
investigación se procedió de acuerdo a los planteamientos antes señalados,
considerando para ello el marco teórico, los datos obtenidos y los objetivos
de la misma.
Categorías
1. LECA
52
2. Aprendizaje significativo
1.-LECA: puede ser entendida, en base a lo que señala Mora (2005),
como un sistema de acciones u operaciones que se planifican, ejecutan, y
evalúan, dirigidas a propiciar un aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales en estudiantes de ingeniería de la UNEG. La elaboración permitió intencionalmente redactar objetivos,
seleccionar contenidos y establecer actividades para los estudiantes y el
docente. Este proceso se realizó considerando los contenidos los cuales se
desarrollaron en función de los conocimientos y necesidades de los
estudiantes. Así mismo, se establecieron criterios para seleccionar los
instrumentos y estrategias, los momentos de control y evaluación, con el fin
de organizar el proceso de enseñanza y aprendizaje.
La aplicación consistió en un conjunto de acciones planificadas, que
realizaron el docente y los estudiantes para lograr aprendizaje significativo.
Esto implicó fomentar la participación activa de los estudiantes,
promocionando su intervención en las discusiones sobre las definiciones
planteadas (espacio vectorial, subespacio vectorial y transformación lineal).
La evaluación se dio en todo momento del proceso, y se aplicaron
controles escritos y orales para valorar en que medida se iban logrando los
objetivos establecidos. Esto permitió verificar y retroalimentar los contenidos,
al inicio, durante el proceso y al final del mismo. Tuvo un carácter
exploratorio, formativo y sumativo, y permitió indagar sobre los conocimientos
previos de los estudiantes, centrarse en los logros que iban alcanzando los
mismos hacia la adquisición de aprendizaje significativo, y certificar el logro
del aprendizaje y con ello la propuesta LECA.
2. Aprendizaje significativo: proceso que realiza el estudiante para
aprender los conocimientos matemáticos, cuando relaciona el nuevo
conocimiento o información con su estructura cognitiva de forma no arbitraria
y sustantiva o no literal. (Ausubel ,1976).
53
El aprendizaje significativo de los espacios vectoriales se logra cuando
los estudiantes relacionan el nuevo conocimiento matemático, transformación
lineal, con lo que ya sabe o conoce, espacio vectorial.
Dimensión del aprendizaje significativo.
2.1. Conocimiento: información que tiene un sujeto cognoscente de un
objeto, cuando se da la relación entre este y el objeto, siempre que exista
congruencia o adecuación entre dicho objeto y la representación interna del
sujeto.
Indicadores
2.1.1. Seleccionar correctamente elementos particulares y generales
de los conjuntos: R, R 2, Rn, las matrices, los polinomios, las funciones
continuas, y los números complejos.
2.1.2. Aplicar correctamente los axiomas para comprobar que un
conjunto representa un espacio vectorial.
2.1.3. Aplicar correctamente los axiomas para comprobar que un
conjunto no representa un espacio vectorial.
2.1.4. Ejemplificar con conjuntos que representen y no representen
espacios vectoriales.
2.1.5. Aplicar correctamente los axiomas para comprobar que un
conjunto representa un subespacio vectorial.
2.1.6. Aplicar correctamente los axiomas para comprobar que un
conjunto no representa un subespacio vectorial.
2.1.7. Ejemplificar con conjuntos que son y no son subespacios
vectoriales.
2.1.8. Relacionar los espacios vectoriales y las transformaciones
lineales.
2.1.9. Transferir los conocimientos adquiridos de espacios vectoriales
hacia las transformaciones lineales.
Para determinar en que medida los estudiantes logran alcanzar los
presentes indicadores se plantea la siguiente escala de valores;
54
Nivel alto: presencia del 90% de los indicadores
Nivel medio: presencia del 50% de los indicadores
Nivel bajo: presencia de algunos indicadores
Nivel crítico: no se presentan ninguno de los indicadores
55
CAPITULO IV ANALISIS DE LOS RESULTADOS
El análisis de los datos cualitativos representa un aspecto fundamental
del proceso de la investigación. En relación a ello, Pérez Serrano (1998:102)
señala que consiste en “reducir, categorizar, clasificar, sintetizar y comparar
la información con el fin de obtener una visión lo más completa posible de la
realidad objeto de estudio.”
Pérez Serrano también indica que dicho análisis no se atiene a unas
directrices fijas y concretas, pudiendo existir diversos enfoques, perspectivas
y orientaciones.
En este sentido, el análisis de datos cualitativos requiere de
flexibilidad, y no debe limitarse a una simple narración descriptiva de los
hechos, puede ser muy variado dependiendo de lo que el investigador
necesite para presentar la información (Hernández y Fernández 2002).
Por estas razones se da una independencia entre el diseño de la
investigación y el análisis de los datos, es decir, se dan combinaciones entre
tipos de diseño y modalidades de análisis, tal como lo señalan Cook y
Reichardt (citados por Álvarez, 2005) al indicar que en muchos casos
es conveniente la aplicación de tratamientos estadísticos a los diseños
cualitativos.
Esto indica que el análisis de los datos en el enfoque cualitativo no se
identifica puramente con el análisis cualitativo, pues las técnicas estadísticas
ocupan un lugar importante en dichas investigaciones.
Partiendo de estas ideas, el análisis de los datos para la presente
investigación, empleó una combinación de análisis de los datos cualitativos,
el cual fue el que predominó en la investigación, con el análisis cuantitativo
de los datos, que se utilizó con menos incidencia para transformar los datos
en forma numérica y en porcentajes. Por otra parte, para visualizar la
56
información se elaboraron tablas y gráficos con los seudónimos de las
unidades de análisis, con el propósito de apreciar con más detalles los
resultados encontrados.
Para comprender mejor el análisis de los resultados se planteó la
siguiente estrategia de presentación.
Estrategia para la Presentación de los Resultados El análisis de los resultados del presente estudio se abordó siguiendo
lo siguiente; análisis crítico del programa vigente de la asignatura,
estructuración de la propuesta LECA, aplicación de la LECA, y valoración
crítica de dicha propuesta.
Análisis Crítico del Programa Vigente de la Asignatura La asignatura álgebra lineal se dicta de manera regular en el V
semestre de la carrera de Ingeniería en Informática de la UNEG, y tiene
como pre-requisito, haber aprobado la asignatura álgebra de estructuras.
Tiene como objetivo terminal el siguiente “Al finalizar el curso el
estudiante estará en capacidad de optimizar algunos procesos de la industria
sujeto a todo tipo de restricciones, a través de elementos de la investigación
de operaciones” (ver anexo 25).
El programa se desglosa en 5 objetivos terminales más, que se
subdividen, para dar origen a un total de 21 objetivos específicos, de los
cuales se puede decir que están formulados en términos de instrucciones
que indican la acción de realizar cálculos y resolver ejercicios, y no implican
acciones u operaciones que conduzcan al análisis del contenido.
Por su parte, el programa presenta incongruencias entre el objetivo
terminal y el resto de los objetivos, esto se puede observar de acuerdo a que
el objetivo terminal plantea el hecho de que el estudiante adquiera un perfil
como operador de sistemas para optimar procesos en la industria, lo que al
parecer indica que todos los objetivos del programa en su mayoría están
57
orientados a ello, cosa que no ocurre puesto gran parte de los objetivos
están referidos a los contenidos en sí del álgebra lineal, y el optimizar una
función se reduce solo a una operación matricial que se formula solo con 4
objetivos de los 21 que posee el programa.
Otro punto significativo es que dicho objetivo terminal no manifiesta
nada sobre la aplicación del álgebra lineal como herramienta en el área de la
informática, y la necesidad de adquirir esos conocimientos por parte de los
estudiantes para su formación, dada la importancia que tiene dicha
asignatura en la aplicación de la informática.
Por el contrario, sus objetivos están formulados para realizar
actividades de cálculo y resolver problemas, por ejemplo, para el contenido
de espacios vectoriales los objetivos indican solamente verificar si un
conjunto de objetos es o no un espacio vectorial. No plantean establecer su
importancia y aplicación en el campo de la informática, así como la
necesidad de conocer dicho contenido por parte de los estudiantes como
base para futuros aprendizajes, como las transformaciones lineales, que
también forman parte del contenido del programa.
No obstante, la secuencia a seguir por el docente para el desarrollo de
los contenidos del programa está bien orientada, sin embargo, están
desvinculados de la realidad. El programa incluye en su estrategia
metodológica tareas que centran la clase más en el docente que en el
estudiante, es decir, el docente realiza exposiciones teóricas sobre un tema
el cual los estudiantes previamente han consultado antes de la clase,
asimismo propone una sesión práctica en función de un problemario
entregado con anterioridad.
La evaluación es sumativa y se realiza según los criterios del docente,
además, se aplican dos autoevaluaciones y una coevaluación, lo que
restringe el carácter formativo de la misma, pues cuantitativamente se
evalúan 84 % del total del contenido y solo un 16% a través de la
58
autoevaluación y la coevaluación, lo cual limita la parte formativa en el
proceso.
Partiendo de la propuesta didáctica LECA, y considerando las
necesidades, motivos e intereses de los estudiantes, en búsqueda de un
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, el investigador planificó
actividades sin modificar la esencia del programa de estudio con el propósito
de superar algunas de las imprecisiones señaladas del programa vigente,
como inculcar la participación activa del estudiante, la flexibilidad del docente
en cuanto a la orientación hacia el aprendizaje, y la evaluación como proceso
formativo para lograr el mismo.
Propuesta Didáctica De Enseñanza El autor de la presente investigación diseñó, aplicó y determinó si la
LECA propició un aprendizaje significativo de los espacios vectoriales en
estudiantes de ingeniería en informática de la UNEG.
Dicha propuesta es una aproximación a una estrategia didáctica de
enseñanza para el aprendizaje significativo donde se considera la enseñanza
y el aprendizaje en forma dialéctica en la cual el docente y el estudiante
juntos participan activamente para favorecer el aprendizaje.
La fundamentación teórica de la LECA se enfoca en algunos aspectos
del constructivismo, cuya corriente dentro de sus postulados plantea una
relación triádica entre contenido, docente y estudiante.
Considerando que desde esta perspectiva, se aprende cuando se es
capaz de elaborar una representación personal sobre un determinado objeto
de la realidad, basándose en las experiencias, intereses y conocimientos
previos del que aprende. Por otro lado, la enseñanza es vista como una
actividad en la cual lo fundamental es promover y planificar situaciones en
las cuales el estudiante pueda participar, expresar sus ideas y organizar sus
experiencias para que aprenda significativamente y comprenda el significado
de lo que estudia, es decir, aprenda a prender.
59
De esta manera, la enseñanza no se considera una simple transmisión
de conocimientos, por el contrario, implica una actividad reflexiva e
interactiva en la búsqueda de un aprendizaje con sentido y hacia la
formación del estudiante.
En este sentido, el docente juega un papel de guía o mediador de los
aprendizajes creando situaciones que favorezcan la participación activa del
estudiante en la construcción y consolidación de sus conocimientos, para
que pueda realizar transferencias positivas de los mismos, es decir, el
docente debe enseñar a prender.
Para el diseño de la propuesta se consideraron algunos aspectos
identificados con esta teoría, como el aprendizaje significativo de Ausubel,
las fases para su adquisición según Shuell, y la transferencia de
conocimiento positiva definida por Araya. Por otro lado, se incluye la
evaluación como proceso formativo a través de la orientación y la valoración
de los estados y progresos en los distintos momentos de la aplicación de la
LECA lo que permite reflexionar sobre el proceso formativo del estudiante.
De igual manera se consideró la motivación al estudio según los
indicadores de Alonso y Brophy, con el propósito de buscar la unidad entre lo
cognitivo que son los conocimientos y habilidades, con lo afectivo que
representa los motivos, necesidades, actitudes y valores que dan sentido al
proceso de aprendizaje. Por último, se consideran las preguntas intercaladas
y la analogía planteada por Díaz y Hernández.
Su estructuración se conforma en tres fases, considerando un inicio,
un proceso y un final, tal como lo señala Mora (2005), y lo que plantea Shuell
sobre el aprendizaje significativo según el cual este se adquiere
progresivamente en tres fases.
La primera fase está orientada hacia el diagnóstico de conocimientos
previos y a la motivación, tal como lo señala Palmero (2004) al indicar que no
hay aprendizaje sin motivación, y donde los conocimientos previos son
fundamentales.
60
Su segunda fase, se denomina fase de desarrollo y en ella se plantean
actividades para que los estudiantes participen activamente en la adquisición
de su conocimiento, y donde el docente juega un papel de orientador y guía
del aprendizaje, tal y como lo señala dicha corriente.
Finalmente está la fase tres, que consiste en verificar y ajustar, si es
necesario, si se logró el aprendizaje significativo de los espacios vectoriales,
a través de la transferencia de conocimientos.
Con esta estructuración de la LECA se plantea constantemente una
comunicación entre los estudiantes y el docente en función de las actividades
que deben realizar y en la forma en que se deben llevar a cabo, con el
propósito de favorecer la participación de los estudiantes, y así permitir que
el docente tenga conocimiento del progreso de los estudiantes en la
adquisición de su aprendizaje.
A continuación se presenta un gráfico donde se puede apreciar con
detalles su estructuración.
Grafico 1. Estructuración de la propuesta LECA.
Proceso: Fase 2 (Desarrollo)
Verificar y ajustar el logro de aprendizaje significativo
Desarrollo del concepto
Inicio: Fase 1
(Diagnóstico y
Motivación)
Fase 3: Verificación y
Ajuste
Diagnóstico, motivación,
retroalimentación y control
Estructuración de la LECA
61
Como se puede observar en el gráfico la fase 1 comienza con la
aplicación de una prueba diagnóstica, para indagar sobre los conocimientos
previos que tienen los estudiantes, y que se requieren para iniciarse en el
contenido del concepto que se desea enseñar.
El docente basado en los resultados de la prueba, debe planificar el
proceso de retroalimentación de contenido, considerando para ello factores
que propicien la participación activa del estudiante en la construcción del
conocimiento. Entre esos factores está la motivación y la evaluación
formativa de los contenidos.
Esta fase puede desarrollarse máximo en tres sesiones de clase, una
para la comunicación, orientación y establecimiento de acuerdos entre los
estudiantes y el docente, otra para la aplicación de la prueba diagnóstica, y
otra para el proceso de retroalimentación y la aplicación una primera prueba
corta al final de la clase para chequear en que medida se superaron las
deficiencias encontradas con la prueba diagnóstica.
Posterior a esto se debe iniciar la fase 2 o fase de desarrollo, esta fase
se inicia con el contenido del concepto que se va a aprender
significativamente. La misma se compone de una serie de actividades que
deben realizar el docente y los estudiantes, y en la cual se deben emplear
por ambas partes diferentes medios para el logro del aprendizaje propuesto.
Las actividades recomendadas pueden ser las siguientes:
Dentro de las actividades indicadas para el docente están las
siguientes; a) informar a los estudiantes sobre el contenido a desarrollar y la
metodología que se utilizará para ello, (b) dar instrucciones en cuanto a las
actividades a seguir, (c) crear discusiones que propicien la participación de
los estudiantes, (d) determinar y manifestarle continuamente a los
estudiantes el progreso sobre el contenido tratado a través de los resultados
de las evaluaciones aplicadas, (e) desarrollar ejemplos que representen el
concepto estudiado, así como también ejemplos que no lo representen,
describiendo sus características y diferenciándolos uno de los otros, y (f)
62
realizar constantemente preguntas para mantener la atención del estudiante
con la intención de orientarlos hacia la información que se quiere, y por otro
lado para conocer el progreso en la adquisición de los conocimientos.
Es importante señalar que estas actividades pueden extenderse,
según sea el contenido a desarrollar, por otro lado hay que considerar las
características que posean los estudiantes.
En relación a las actividades para los estudiantes se pueden realizar
las siguientes; (a) responder a las preguntas sobre los contenidos, (b)
resolver problemas planteados por el docente, con la ayuda y la orientación
del mismo, (c) participar en las discusiones, dirigidas por el docente sobre los
contenidos desarrollados, (d) realizar actividades extraclase, tareas cortas,
resolución de guías y lecturas asignadas para ser discutidas en clase, (e)
resolver los ejercicios planteados, y (f) participar activamente en el desarrollo
de los contenidos.
Al igual que las actividades planteadas para el docente, estas pueden
extenderse, según el contenido y las características de los estudiantes.
Esta fase se puede realizar en tres sesiones de clase, que incluye dos
pruebas cortas, una al final de la primera clase y otra al final de la tercera
clase, cada una de las cuales requiere si es necesario de un proceso de
retroalimentación.
En la primera clase se desarrolla el contenido del concepto a estudiar
iniciando con una lectura que destaque la importancia y la necesidad de
comprender el contenido en referencia por parte de los estudiantes, por otro
lado el docente debe propiciar la participación activa de los estudiantes en la
construcción del concepto tratado.
En la clase dos se deben discutir de manera general los resultados de
la prueba corta aplicada en la clase anterior, y en base a ello desarrollar un
proceso de retroalimentación. Detallando y corrigiendo los distintos errores
manifestados por los estudiantes. En particular los casos más destacados.
63
Finalmente la clase tres es para concluir con el contenido
seleccionado, se debe continuar resolviendo ejercicios, dando ejemplos y
abriendo discusiones en las cuales participen los estudiantes. Al final de
dicha clase se debe aplicar la prueba corta 3. Con esta evaluación concluye
la fase 2.
La fase 3 o fase de verificación y ajuste, se puede realizar en 4
clases, la primera es para discutir los resultados de la prueba anterior y
aclarar dudas al respecto si es necesario. En esta clase se da inicio al
contenido que se va a utilizar como medio para determinar si se logró el
aprendizaje significativo del contenido desarrollado en la fase 2 de la
propuesta. Es decir, este nuevo contenido se va a emplear como medio para
verificar la transferencia de lo ya aprendido.
Al final de dicha clase se debe aplicar un prueba corta 4 en relación al
contenido desarrollado.
La clase 2 se debe iniciar con la discusión de los resultados de la
prueba anterior y de ser necesario desarrollar un proceso de
retroalimentación. De la misma forma se debe continuar con las discusiones
y resolución de tareas.
En la clase 3 se realiza una discusión general de la guía de ejercicios
ya enviada antes de desarrollar el contenido. Finalmente en la clase 4 se
aplica la prueba final, cuyo propósito es determinar y certificar si se logró el
aprendizaje significativo.
Basado en los resultados de dicha prueba, se procederá si es
necesario, a realizar ajustes, es decir, retomar la fase 2 con el propósito de
retroalimentar corregir algunas imprecisiones en los estudiantes.
Aplicación de la LECA
El análisis de los datos para este apartado se realizó de acuerdo a las
fases que definen la propuesta planteada. Dicho análisis se señala según lo
siguiente; en la primera fase el análisis se fundamentó en las respuestas
64
incorrectas dadas por las unidades de análisis en la prueba diagnóstica. Con
estos datos se determinó de manera cuantitativa resultados numéricos que
reflejaron el porcentaje de respuestas incorrectas dadas por las unidades de
análisis. No obstante, a estos mismos datos se les realizó un análisis
cualitativo más profundo, con el fin de determinar los errores más comunes
para ser interpretados.
Posterior a ello se realizó un análisis comparativo entre dichas
respuestas y las respuestas incorrectas dadas por las unidades de análisis
en la prueba corta nº 1 luego del proceso de retroalimentación, con el
propósito de saber en que medida las unidades de análisis lograron corregir
sus respuestas erradas.
Seguidamente para la fase 2, se realizó un análisis cualitativo para los
resultados de las pruebas cortas nº 2 y nº 3, para describir e interpretar las
respuestas dadas por las unidades de análisis, las cuales están referidas al
contenido de los espacios vectoriales. De la misma forma se señalan los
momentos en los cuales los estudiantes manifestaron cambios significativos
que indican cambios progresivos hacia la adquisición del aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales.
Por último, en la fase 3, se aplicó un análisis cualitativo para los
resultados obtenidos en la prueba corta nº 4 que reflejan un primer
acercamiento sobre la adquisición del aprendizaje significativo de los
espacios vectoriales. Además de esto, también se realizó un análisis
cuantitativo para la prueba final, lo que permitió determinar numéricamente
las calificaciones (0-20) obtenidas por las unidades de análisis, su media
aritmética y su representación gráfica para certificar el logro del aprendizaje.
Por otro lado, se aplicó un análisis cualitativo para interpretar el
significado de las respuestas de dicha prueba final, y ubicar el nivel de logro
de aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, según la escala de
valores planteados en el capítulo III, referente a la dimensión conocimiento,
de la categoría aprendizaje significativo. De igual manera se analizaron parte
65
de las entrevistas para determinar la motivación al estudio de las unidades
de análisis.
Para una mejor visualización se elaboraron tablas y gráficos con los
seudónimos de las unidades de análisis, con el propósito de apreciar con
más detalles los resultados encontrados.
El análisis se inicia con la fase 1 de la LECA, dicho análisis se plantea
en función al diagnóstico realizado y considerando los resultados obtenidos
con la aplicación de la prueba corta nº 1. Lo referente a la motivación se
ubicó en la parte final de la propuesta, considerando que la misma no fue un
proceso que se llevó a cabo solo en la fase 1 de la propuesta, sino durante
toda su aplicación, y donde la opinión de las unidades de análisis como
participantes en toda la investigación fue fundamental.
El proceso de análisis comenzó con los resultados obtenidos con el
diagnóstico, lo que permitió determinar las deficiencias e insuficiencias que
presentaron los estudiantes. Posteriormente se llevó a cabo una
comparación entre estos resultados y los resultados encontrados luego de la
aplicación de la prueba corta nº 1, la cual se aplicó al finalizar la
retroalimentación. En este sentido, el análisis en referencia se fundamenta
en las respuestas incorrectas dadas por las unidades de análisis en la
prueba diagnóstica y las respuestas incorrectas dadas en la prueba corta nº
1, cuya naturaleza fue la misma, con el propósito de determinar en que
medida los estudiantes unidades de análisis lograron corregir o mejorar
dichas respuestas.
Es de destacar que los resultados cuantitativos de la prueba
diagnóstica (ver anexo 4) sirvieron de orientación para la selección de las
unidades de análisis bajo los criterios establecidos en ese momento (ver
capítulo III), lo que permitió establecer los seudónimos correspondientes a
las unidades de análisis obteniéndose los siguientes; Gauss, Hadalia,
Newton, Riemann, Baldor y Grossman.
66
A continuación en la siguiente gráfica se pueden visualizar
comparativamente los resultados.
Figura 2. Gráfico comparativo: porcentajes de respuestas correctas e incorrectas dadas en la prueba diagnóstica contentiva de 19 preguntas.
Como se puede observar en la figura anterior el porcentaje de
respuestas incorrectas dadas por las unidades de análisis representa un
porcentaje mayor en relación a las respuestas correctas. Esto hizo suponer
que las unidades de análisis están carentes de una serie de conocimientos
básicos para iniciarse en el contenido de los espacios vectoriales.
Dentro de las deficiencias y errores más significativos que presentaron
los estudiantes (ver anexo 5) se pueden destacar las siguientes, por ejemplo,
los estudiantes Gauss, Newton, Rieman y Baldor no pudieron seleccionar y
sumar correctamente de manera general y particular elementos del conjunto
R2, su selección y suma fue x2 + y2 = z2 .
De la misma forma no fueron capaces de expresar el significado de un
número real, de un elemento de R2 y mucho menos de una función. Esto
evidenció una falta de conocimiento por parte de los estudiantes.
En base a esto se puede decir que las unidades de análisis no poseen
los conocimientos que le permitan seleccionar elementos particulares y
generales de los conjuntos R, R2, polinomios, matrices, números complejos y
funciones continuas. De la misma forma, se pudo determinar que no
traducen al lenguaje matemático una expresión dada, y por último no
67
expresan el significado de los elementos de los conjuntos R, R2, polinomios,
matrices, números complejos y de las funciones continuas.
Estos señalamientos se pudieron corroborar al conocer la opinión de
los estudiantes, a través de la prueba diagnóstica, la cual contiene al final de
su contenido una serie de preguntas donde se le pide al estudiante explicar
las razones por las cuales dejo de responder algunas preguntas. Al respecto
manifestaron lo siguiente;
Gauss: “No tengo el suficiente conocimiento para explicar algunas
preguntas, o bien no se un concepto formal de dichas preguntas.”
Hadalia: “No respondí algunas preguntas por que no tengo la forma correcta
de expresar los conjuntos, tengo algunas confusiones”.
Newton: “No respondí algunas preguntas por que no las entiendo, además
no creo saber la respuesta, también creo que respondí otras malas.”
Baldor: “Estoy confundido en cuanto a lo particular y lo general.”
Grossman: “Me resulta muy complicado definir un escalar.”
En líneas generales y en base a las opiniones emitidas por los
estudiantes, donde un 89% indicó no tener los conocimientos suficientes
para responder las preguntas y un 11% señaló tener mucha confusión entre
lo particular y lo general, se puede concluir que los mismos no poseen los
conocimientos básicos necesarios para iniciarse en el contenido de los
espacios vectoriales.
Luego de aplicar la prueba diagnóstica se procedió al proceso de
retroalimentación como lo establece la LECA en su fase 1. Las actividades
realizadas para dicho proceso (ver anexo 6), se llevaron a cabo en una
sesión de clase con la participación activa de los estudiantes y el
asesoramiento del docente.
Un hecho importante fue, activar la motivación de los estudiantes al
estudio y a la participación. En este sentido y de acuerdo a Díaz (1985), se
les comunicó a los estudiantes la meta a lograr en el proceso de enseñanza
aprendizaje con el propósito de que dieran relevancia a los contenidos, por
68
otro lado se les manifestó que durante dicho proceso siempre se les
mantendría informados sobre su aprendizaje, esto con la idea de activar su
interés y fomentar la participación.
El proceso se inició con una discusión general de los resultados y
errores más comunes detectados en la prueba, al mismo tiempo se les
manifestó a los estudiantes la importancia y la necesidad de corregir dichos
errores como base para iniciarse en el contenido de los espacios vectoriales.
Seguidamente el docente (D) realizó una serie de interrogantes de
manera general con la finalidad de propiciar la participación de los
estudiantes (E), y al mismo tiempo obtener una orientación en relación de
algunas respuestas erradas más significativas dadas por los mismos.
A continuación se presentan algunas de las interrogantes realizadas y
las respuestas dadas por los estudiantes;
D: ¿Cómo se puede escribir un elemento del conjunto R2 ?
E: “son los números positivos”,
D: ¿Deme un ejemplo?
E: “el 4”
D: ¿Por qué?
E: “porque es R2, y eso significa que 2 elevado a la 2 es 4”
D: ¿Quién está de acuerdo con el compañero?
Al respecto otro estudiante respondió lo siguiente;
E: “Los elementos del conjunto R2 son pares”
D: ¿Cómo lo podemos escribir?
El estudiante se levantó de su asiento y escribió en la pizarra
el par “(1,2)”
El docente comentó y preguntó
D: ¿Eso está muy bien, pero como lo escribimos en su forma general y
en su forma particular?
E: “de forma particular (1,2) y de forma general (a, b)”
D: ¿Vamos a sumarlos?
69
Otro estudiante escribió en la pizarra lo siguiente;
E: “Particular (1,2)+ (2,2)= (3,4) y general (a, b) +(x, y)=(a+x, b+y)”
D: Eso está correcto, ¿están todos claro?
Los estudiantes en su mayoría respondieron que si.
Otro hecho importante fue lo referido a la definición de un escalar,
para lo cual luego de dar la definición un estudiante (E1) preguntó;
E1: “porque los escalares siempre son los reales y no los complejos”
El estudiante Riemann (R) respondió;
R: “los escalares son números reales cualesquiera”
E1: “pero porque no pueden ser complejos”
En vista de que ningún estudiante pudo responder, el docente aclaró
la situación y el estudiante aceptó la explicación.
Una vez culminada la discusión, se elaboraron las definiciones
formales para los conjuntos R y R2, de los cuales se seleccionaron elementos
particulares y generales, se sumaron y luego se multiplicó uno de ellos por
un escalar, lo que posteriormente se generalizó para el conjunto Rn.
De la misma forma se trabajó con las matrices 3x2 generalizando
hasta nxn, seguidamente el conjunto de los complejos, polinomios de grado 2
y grado n, las funciones continuas, escalar y vector, y se les manifestó que
las evaluaciones aplicadas tenían un carácter formativo, esto con el propósito
de que la percibieran como medio para aprender y corregir su aprendizaje.
Con esto culmina la clase correspondiente a la retroalimentación se
aplicó la prueba corta nº 1 cuyos resultados (ver anexo 8) se emplearon en
función de las respuestas incorrectas dadas por las unidades de análisis,
para ser comparados con las respuestas incorrectas aportadas por estos
estudiantes en la prueba diagnóstica (ver anexo 9).
Dicha comparación permitió determinar en que medida las unidades
de análisis lograron superar o disminuir sus dificultades y errores detectados.
A continuación se presenta una representación gráfica donde se
comparan los resultados obtenidos en ambas pruebas.
70
Figura 3. Gráficos comparativos: Respuestas incorrectas de la prueba diagnóstica y las respuestas incorrectas de la prueba corta nº1.
De acuerdo a la figura anterior se puede visualizar claramente el
descenso en promedio de las respuesta incorrectas de un 48% dadas en la
prueba diagnóstica a un 10% que se encontraron en la prueba corta nº 1,
esto nos dice que las unidades de análisis lograron superar en su mayoría
las dificultades y errores detectados en relación a los conocimientos básicos
que deben poseer para iniciarse en los contenido de los espacios vectoriales.
Asimismo, se puede decir que orientados hacia la adquisición del
aprendizaje significativo del contenido en referencia, las unidades de análisis
para ese momento se encontraban ubicados en la primera fase de
aprendizaje significativo de Shuell, es decir, lo aprendido fue concreto debido
a que los conocimientos que adquirieron no se llevaron a otros contextos,
puesto que solo se limitaron a resolver ejercicios con lo aprendido, esto
significa que no hubo una transferencia de los mismos.
Esto se puede evidenciar en base a las actividades realizadas por los
estudiantes durante la aplicación de la LECA en su fase 1, en la cual
pudieron escribir de manera general elementos de los distintos conjunto
estudiados, así como también pudieron multiplicar un elemento por un
escalar. Por ejemplo; lograron escribir como elementos generales para el
conjunto R2, (a1,b1),(a2,b2), como suma realizaron (a1+a2, b1+ b2) y la
multiplicaron por un escalar fue α.(a2, b2)=( α .a2, α.b2), lo cual es correcto.
71
Lo mismo hicieron para los restantes conjuntos como R, y las matrices
1x5, de igual forma expresaron el significado de un elemento de R2 como
pares y no como un elemento de conjunto de los números pares como lo
habían señalado anteriormente.
No obstante, los estudiantes Hadalia y Riemann no pudieron expresar
elementos para el conjunto de los polinomios de grado 3 ni para los números
complejos, por su parte Newton no lo hizo para los complejos ni para el
conjunto Rn , y Baldor no representó elementos para los números complejos.
En vista de que las respuestas incorrectas dadas por las unidades de
análisis en la prueba corta nº 1 descendieron significativamente en
comparación con las respuesta incorrectas de la prueba diagnóstica, se
aplicó una retroalimentación (breve repaso) el cual se desarrolló
conjuntamente con la participación de los estudiantes. Los contenidos
desarrollados fueron los siguientes: se seleccionaron en forma general y
particular elementos de los conjuntos polinomios de grado 3, los números
complejos y el conjunto Rn con el propósito de minimizar las deficiencias
mostradas en la prueba corta nº 1.
Al respecto, se puede decir que debido a la participación de las
unidades de análisis en este corto proceso de retroalimentación no se aplicó
control alguno para determinar si se corrigieron las deficiencias encontradas,
sin embargo, estos contenidos serán objeto de un chequeo posterior en otro
momento, es decir, cuando se desarrolló el contenido de espacios y
subespacios vectoriales, lo que se realizó en la fase 2 de la propuesta LECA.
Concluido el análisis correspondiente a la fase 1 de la propuesta
LECA, se procedió con el análisis correspondiente a la fase 2. Estos
resultados se emplearon para determinar si las unidades de análisis lograron,
por una parte, comprobar correctamente los axiomas que definen a un
espacio vectorial y a un subespacio vectorial, y por otra parte, su ubicación
en la segunda fase de Shuell, en su avance hacia la adquisición del
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
72
El análisis realizado para este caso se basó en el enfoque cualitativo
con el propósito de describir e interpretar las respuestas dadas por los
estudiantes en las pruebas cortas nº 2 y nº 3 sobre los espacios vectoriales.
Las actividades desarrolladas en el aula (ver anexo 10), se iniciaron
con una lectura compartida (ver anexo 22) entre el docente y los estudiantes
donde se relata la importancia que tienen los espacios vectoriales como
medio de aplicación en el campo de la informática. Seguidamente se inició
un proceso de discusión y se fue escribiendo en el pizarrón la definición de
espacio vectorial, detallando los axiomas que lo conforman y el significado de
cada uno de ellos.
Las actividades llevadas a cabo por el docente para desarrollar el
proceso de enseñanza aprendizaje fueron las siguientes; promover la
definición de espacio vectorial con la participación activa de los estudiantes y
establecer las condiciones que permiten comprobar los axiomas que definen
a un espacio vectorial.
Por su parte, las actividades de los estudiantes implicaron su
participación activa en reconocer que conjuntos representan un espacio
vectorial en base a su definición axiomática, comprobar correctamente los
axiomas para que un conjunto representa o no un espacio vectorial y
ejemplificar que conjuntos representen y no representen espacios
vectoriales.
La metodología que se aplicó consistió en una exposición del docente
para promover la participación de los estudiantes, activando sus
conocimientos previos con el nuevo aprendizaje, orientándolo hacia la
exploración, comprensión y análisis de los contenidos.
Dentro de ese proceso de discusión el docente les explicó
insistentemente a los estudiantes que para comprobar que un conjunto es un
espacio vectorial se deben verificar los 10 axiomas de la definición,
considerando siempre para ello vectores en su forma general.
73
De la misma forma se les manifestó que para la aplicación de la
propuesta LECA que se estaba empleando, se iba a trabajar con los axiomas
de la cerradura para la suma y la cerradura bajo la multiplicación por un
escalar. Porque esto formaba la base fundamental para desarrollar las
propiedades que definen una transformación lineal, contenido posterior a los
espacios vectoriales.
No obstante, un estudiante preguntó “profesor entonces con solo
probar esos dos axiomas es suficiente para decir que un conjunto es o no un
espacio vectorial”. En vista de la pregunta el docente hizo la siguiente
interrogante de manera general, ¿quien podría responder al compañero su
inquietud?, en ese momento el estudiante Grossman comentó lo siguiente;
“para probar que un conjunto es un espacio vectorial se deben probar todos
los axiomas”
En base en los señalamientos anteriores el docente aclaró la situación
indicando que el estudiante Grossman tenía la razón e hizo énfasis en lo
referente a los axiomas, tal como lo había señalado con anterioridad.
Para aclarar más la situación se discutieron en el aula ejemplos de
conjuntos que representan espacios vectoriales, uno de ellos fue el conjunto
(R2,+,.) el cual el docente con la participación de los estudiantes comprobó
los axiomas de la cerradura bajo la suma y la cerradura bajo la multiplicación
por un escalar por analogía.
Para ello el docente realizó la verificación de los dos axiomas, para la
cerradura de la suma se realizaron los siguientes pasos: a.-Escribimos el axioma: Ұ x, y ε V → (x+y) є V.
b.-Traducimos el axioma: Ұ x, y ε R2 → (x+y) є R2
Ұ (x, y), (z,w) ε R2 → [(x,y)+(z,w)] є R2
c.- Operación: (x, y) + (z, w) = (x+z, y+w)
d.- Conclusión: El resultado (x+z, y+w) es un par y pertenece al conjunto R2,
por lo tanto el conjunto es cerrado y se cumple el axioma.
74
De la misma manera se aplicaron los mismos pasos para cerradura
bajo la multiplicación por un escalar, es decir,
a.-Escribimos el axioma: Ұ x ε V y un escalar ג →( ג .x) є V.
b.-Traducimos el axioma: Ұ x ε R2 y un escalar ג →( ג .x )є R2.
Ұ (x, y) ε R2 y un escalar ג →[ ג .(x,y)] є V.
c.- Operación: ג .(x,y) =(ג .x, ג .y)
d.- Conclusión: El resultado (ג .x, ג .y) es un par y pertenece al conjunto R2,
por lo tanto el conjunto es cerrado bajo la multiplicación por un escalar y se
cumple el axioma.
Culminado el ejercicio se les notificó a los estudiantes que tendrían
que realizar las demostraciones de ambos axiomas por analogía, es decir,
imitando los pasos que realizó el docente para tal fin.
En este sentido, se colocó un nuevo ejercicio para que los estudiantes
participaran en la comprobación de ambos axiomas, dicho ejercicio lo
representó el espacio vectorial V=(R4, +, .), para el cual emplearon por una
parte la analogía, y por la otra la imitación de los distintos pasos que realizó
el docente para tal fin. En relación a ello los estudiantes manifestaron no
haber tenido inconveniente alguno para comprobar dichos axiomas.
Una vez culminado lo referente a los ejercicios se procedió a la
aplicación de la prueba corta nº 2 (ver anexo 11), cuyos resultados se ubican
en el anexo 12. En relación a estos resultados se puede indicar que las
unidades de análisis lograron aplicar correctamente los axiomas en los
conjuntos (R3, +, . ) y (Rn , +, . ).
Cabe destacar que pudieron escribir y sumar correctamente
elementos generales para el conjunto Rn, para el cual escribieron (x1,x2,…xn)
y (y1,y2,.,yn), cuya suma fue (x1,x2,…xn) + (y1,y2,..,yn) = (x1+ y1, x2+y2,…xn+yn).
Sin embargo, el estudiante Newton escribió (x1,x2, x3……,xn) como elementos
en forma general de Rn, cuya suma realizó como: x1 + x2 + x3 +… + xn, lo que
es un error.
75
Con base en estos planteamientos, fue importante conocer la opinión
del estudiante para saber las razones por las cuales escribió lo ya señalado,
para ello el docente lo interrogó discretamente y el estudiante manifestó lo
siguiente; “yo considero los elementos del conjunto Rn como un elemento de
tamaño n”.
Esta situación se le aclaró al estudiante y posteriormente el docente
pudo comprobar que logró corregir su error a través de una breve entrevista
informal.
Culminado el análisis de los resultados de la prueba corta nº 2, se
prosiguió con las actividades programadas según lo sugería la LECA en su
fase 2. En este sentido, y continuando con el desarrollo del contenido de los
espacios vectoriales (ver anexo 13) se llegó a la clase nº 4, la cual el docente
inicia fomentando la participación de los estudiantes, en tal sentido realizó de
manera general la siguiente pregunta;
D: ¿Alguno de ustedes puede dar un ejemplo de un conjunto que no
sea un espacio vectorial?, en ese memento el estudiante Riemann (R)
manifestó querer responder la pregunta, y respondió lo siguiente;
R: “los números naturales”, el docente preguntó,
D: ¿Por qué?
R: “no se cumple el axioma referido al opuesto, es decir, los negativos
no existen, por lo tanto no se cumple un axioma y eso es suficiente para
decir que un conjunto no es un espacio vectorial”
D: Muy bien, eso es correcto.
Finalizada la discusión, se desarrollaron conjuntamente entre el
docente y los estudiantes otros ejemplos de espacios vectoriales donde los
estudiantes seleccionaron elementos generales, los sumaron y multiplicaron
uno de ellos por un escalar, dichos espacios fueron los números complejos
(C, +, .), los polinomios de grado 2, (P2, +, .) y las matrices de tamaño 3x2
(M3x2,+,.).
76
En relación a esto, el docente pudo chequear a través de preguntas y
observando lo escrito por los estudiantes en sus cuadernos, que
desarrollaron y aplicaron sin problema alguno la comprobación de los
axiomas para los espacios señalados. Finalmente se les aplicó de manera
individual el control corto nº 3 (ver anexo 14) con lo cual culminó la clase nº 4
y lo referente a la definición de espacio vectorial.
Los resultados de dicha prueba se pueden observar en el anexo 15.
En base a esos resultados y a las actividades realizadas en el aula de clase
se puede decir que las unidades de análisis aplicaron y desarrollaron
correctamente los axiomas en los espacios vectoriales estudiados, los cuales
fueron las matrices ( M1x3, +, .), los polinomios (P3,+, .) y los números
complejos (C ,+, .).
Los resultados dados en dicha prueba por las unidades de análisis
para los espacios vectoriales anteriores indican que pudieron aplicar y
verificar correctamente los axiomas para cada conjunto, estos resultados
siguen ubicando a los mismos en la primera fase de Shuell para la
adquisición de aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, puesto
que aun solo se limitan a resolver ejercicios sin extenderse a otro contexto de
problema, es decir, los conocimientos aprendidos no se han aplicado a otras
definiciones.
Desde este punto de vista, y en busca de que los estudiantes
aplicaran los conocimientos adquiridos a otras definiciones con el propósito
de determinar su ubicación en la fase 2 de Shuell hacia la búsqueda del
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, se desarrolló en la clase
siguiente (clase nº 5) la definición de subespacio vectorial (ver anexo 16) la
cual se elaboró con la participación de los estudiantes.
En base a la definición estudiada se desarrollaron en el aula algunos
ejercicios para determinar si algunos conjuntos representaban o no un
subespacio vectorial. Es de aclarar que para comprobar que dichos
conjuntos se definen como subespacios vectoriales se deben probar los dos
77
que lo definen, es decir, la cerradura de la suma y la cerradura de la
multiplicación por un escalar.
Uno de los conjuntos estudiados fue H = plano xy como parte de R3,
para lo cual el docente buscando la participación de los estudiantes preguntó
como se podrían escribir los elementos para comprobar los axiomas, en ese
momento el estudiante Grossman participó y escribió en la pizarra los
elementos (a,b,0) y (x,y,0), sin embargo, el estudiante Riemann comentó que
dichos elementos no se escribían de esa manera sino de la forma (a,b) y
(x,y) debido a que el conjunto H era el plano xy y sus elementos son de dos
componentes.
En vista de la situación presentada el docente preguntó a todo el salón
su opinión al respecto, y la mayoría manifestó estar de acuerdo con lo
señalado por el estudiante Riemann. En relación a esto, se le solicitó al
estudiante Grossman explicará porque consideraba que dichos elementos se
escribían de esa forma, y manifestó que el plano xy es una parte de R3 y los
elementos de R3 se forman con tres componentes.
Seguidamente y en la búsqueda de aclarar la situación presentada, el
docente nuevamente comentó si alguien podría explicar lo que estaba
ocurriendo, en ese momento el estudiante Riemann participó e indicó lo
siguiente;
“H es un subconjunto de R3 que puede ser una parte de R3 o el mismo R3, en
este caso es solo una parte de R3 y sus elementos son pares”, esta acotación
fue suficiente y el estudiante Grossman quedó convencido, por lo que la
comprobación de los axiomas para dicho conjunto por parte de los
estudiantes fue comprobada correctamente.
Otro hecho importante de recalcar fue cuando se discutió el conjunto
H= polinomios de grado 3 con coeficientes en Z. Para ello al preguntar de
manera general a todo el salón si dicho conjunto representaba un subespacio
vectorial, un estudiante comentó de palabra lo siguiente:
78
“no es subespacio porque si tomamos un escalar racional y
multiplicamos por un elemento del conjunto el resultado no está en Z y eso
no cumple el axioma”
Ante esta respuesta el docente le solicitó al estudiante si podría
comprobarlo en la pizarra, este pasó y escribió: 5x3 + 3x2 + 7x + 1 como
elemento y α = 3/2 como escalar, luego efectúo (3/2). 5x3 + 3x2 + 7x + 1 =
15/2x3 + 9/2x2 + 6/2x + 3/2, y comentó estos coeficientes no están en Z sino
en los racionales por lo tanto este conjunto no es un subespacio vectorial.
De la misma forma ocurrió con el conjunto H = ∫ =b
adxxf 1)( con f
continua en [a,b]. En el cual el estudiante Gauss destacó de palabra que
dicho conjunto no representaba un subespacio vectorial puesto que al sumar
dos elementos su resultado sería 2 y no 1 como debería ser, concluyendo
además que dicho conjunto no es cerrado para la suma.
Con base en los señalamientos anteriores se puede decir que las
unidades de análisis lograron aplicar y comprobar correctamente los axiomas
que definen a los subespacios vectoriales, por otro lado esto nos permite
indicar que dichos estudiantes pudieron aplicar los conocimientos aprendidos
sobre la comprobación de los axiomas a otros contextos, como la definición
de los subespacios vectoriales, esto permite ubicarlos en la fase 2 de Shuell
hacia la búsqueda del aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
No obstante, se puede decir que tales conocimientos adquiridos no
son considerados autónomos ya que los mismos no fueron objeto de una
transferencia, y tampoco fueron relacionados con otros aprendizajes, esto de
acuerdo a lo que plantea Shuell, no ubica a dichos estudiantes en la fase
final o fase 3 del aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
En este sentido, la transferencia de estos conocimientos se determinó
con el análisis de los resultados encontrados en la fase final de la propuesta
LECA cuando se desarrolló el contenido relacionado con las
79
transformaciones lineales, esto permitió ubicar a los estudiantes en esa
tercera y última fase de Shuell que confirma el logro de aprendizaje
significativo.
Para ello, el análisis de los resultados obtenidos en esta fase 3 de la
LECA se realizó con el propósito de establecer si se logró el aprendizaje
significativo del contenido de los espacios vectoriales, es decir, se determinó
como se dio la transferencia de los conocimientos aprendidos en los
espacios vectoriales hacia los nuevos contenidos, las transformaciones
lineales, esto con el propósito de ubicar a los estudiantes en la última fase de
Shuell a través de la cual se certifica el logro de dicho aprendizaje.
En base a estos señalamientos el análisis se llevó a cabo con los
resultados obtenidos en la prueba corta nº 4 (ver anexo 19), y en la prueba
final (ver anexo 20). De igual manera se extrajeron algunos hechos
relevantes de las actividades que se realizaron en el aula mientras se aplicó
la fase 3 de la propuesta (ver anexo 17).
Las actividades para desarrollar el proceso de enseñanza aprendizaje
se guiaron según lo siguiente, docente fomentó la participación activa del
estudiante en la definición de transformación lineal, estableciendo las
condiciones que permitan determinar si una función es o no una
transformación lineal. Por su parte, los estudiantes debían determinar si una
función es o no una transformación lineal, realizando para ello una
transferencia de conocimiento.
La metodología consistió en una exposición del docente para
promover la participación de los estudiantes, activando sus conocimientos
previos con el nuevo aprendizaje, orientándolo hacia la exploración,
comprensión y análisis de los contenidos.
Lo primero que se hizo fue formalizar la definición de transformación
lineal y con ello se explicó con detalles el significado de los axiomas que
permiten definirla, recalcando que por ser una función, tanto su conjunto de
partida como de llegada lo forman espacios vectoriales.
80
Seguidamente se desarrollaron con la participación de los estudiantes,
entre otros ejercicios, los siguientes: determinar si las siguientes funciones
representan una transformación lineal, a) T(a, b) = a+b+2 y b) T (ax3+bx2+cx)
= a+b+c, tales funciones fueron demostradas por los estudiantes sin
problema alguno.
Cabe reseñar que las unidades de análisis no tuvieron dificultades
para desarrollar satisfactoriamente las demostraciones de los axiomas
correspondientes, esto lo pudo comprobar el docente al observar las
actividades que realizaron en sus cuadernos y a través de las preguntas que
se realizaron al respecto.
En tal sentido, se les aplicó el control corto nº 4 (ver anexo 18), cuyos
resultados (ver anexo 19) reflejan que los estudiantes lograron comprobar
para otro tipo de funciones exitosamente los axiomas que definen a una
transformación lineal, dichas funciones fueron T: R→P 3, tal que T(a) = ax3 +
ax2 + ax + a y T: Rn →R tal que T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….+xn.
Con base en estos resultados y en los encontrados en el desarrollo de
las clases anteriores, se puede decir que los estudiantes lograron transferir
sus conocimientos adquiridos sobre los espacios vectoriales hacia las
transformaciones lineales. Esta transferencia de conocimientos permitió
ubicar a los estudiantes en la fase 3 de Shuell, ya que pudieron aplicar lo
aprendido (espacios vectoriales) a otro contexto y establecer una
interrelación con el nuevo aprendizaje (transformaciones lineales), esto nos
hace concluir de acuerdo a las fases de Shuell que se logró un aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales.
Para sustentar más lo señalado anteriormente, y confirmar dicha
transferencia para el logro de aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales, se muestra a continuación algunos resultados obtenidos en la
prueba final (ver Anexo 21), de lo cual se puede decir que los resultados de
no variaron en relación a los encontrados anteriormente, lo que confirma que
81
las unidades de análisis lograron transferir con éxito los conocimientos
adquiridos.
A continuación se dan algunos ejemplos de lo realizado por las
unidades de análisis en la prueba final, a la pregunta siguiente; ¿Determine
cuales de las siguientes funciones T: C→R2 tal que T(a+bi) = (a, a+b) y T: C
[0,1]→C[0,1] tal que T(f(x))= f(x) + 0, representan una transformación lineal.
El estudiante Riemann escribió para la función T(a+bi) = (a, a+b) lo
realizado; escribió (a+bi),(c+di) como elementos generales y realizó lo
siguiente; para el axioma 1;
a) escribimos: Ұ x,y ε C T(x+y)= T(x)+T(y)
traducimos Ұ (a+bi),(c+di) ε C T ((a+bi)+(c+di)) = T (a+bi) +T (c+di),
T ((a+bi)+(c+di)) = T (a+bi) +T (c+di),
T ((a+c)+(b+d)i)) = T (a+bi) +T (c+di),
(a+c,a+c+b+d)= (a, a+b)+ (c,c+d)
(a+c,a+c+b+d)=(a+c,a+b+c+d), es cierto
ya que la igualdad se cumple.
b) escribimos: Ұ xεC y ג escalar T(ג x)= ג T(x)
traducimos Ұ (a+bi) ε C y ג escalar T( ג(a+bi))= ג T (a+bi)
T( ג(a+bi))= ג T (a+bi)
T( גa+ ג bi)= ג T (a+bi)
(a, a+b) ג =(b ג + גa, aג)
es cierto ya que la igualdad se cumple, como se ,(b ג +a ג ,a ג) =(b ג + גa, aג)
cumplen los dos axiomas es una transformación lineal.
Para el ejercicio T: C[0,1]→C[0,1] con T(f(x))= f(x) + 0, citaremos lo
realizado por el estudiante Newton, el cual realizó;
a) escribimos: Ұ x,y ε [0,1] T(x+y)= T(x)+T(y)
traducimos Ұ (f,g ε [0,1] T(f+g)= T(f)+T(g),
T(f+g)= T(f)+T(g)
(f+g)x+0=(f(x)+0) + (g(x)+0)
(f+g)x+0=f(x)+g(x)+0 como son continuas
82
(f+g)x+0=f(x+g)(x)+0, se cumple el axioma 1.
b) escribimos: Ұ x ε [0,1] y ג escalar T( גx)= ג T (x)
traducimos Ұ fε [0,1] y ג escalar T( ג(f(x)))= ג T (f(x), es continua
T(f(ג x))= ג (f(x)
f(ג x)+0 = ג (f(x)+0) es continua
f(x) se cumple el axioma 2, por lo ג =(f(x) ג
tanto concluimos diciendo que es una transformación lineal.
Como se puede ver los estudiantes no tuvieron inconveniente alguno
para transferir lo aprendido en los espacios vectoriales hacia las
transformaciones lineales. Lo que confirma su ubicación en la tercera fase de
Shuell, ya que los conocimientos que adquirieron llegaron a estar mas
integrados, lo que implica que funcionaron con mayor autonomía, puesto que
se dieron interrelaciones entre los contenidos, esto origina el logro del
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales.
Ahora bien, con el propósito de determinar en que nivel lograron
adquirir dicho aprendizaje, estos resultados se analizaron con más detalle lo
que permitió establecer que las unidades de análisis lograron adquirir un
aprendizaje significativo de los espacios vectoriales en un nivel alto, de
acuerdo a la escala de valores establecida en el capítulo III, para la categoría
aprendizaje significativo.
En el siguiente gráfico se puede visualizar con más detalles los
resultados de dicha prueba, representados en una escala de puntuación
entre 0 y 20 puntos, lo que reflejó un promedio aritmético de 19.5,
reafirmando los señalamientos anteriores.
83
Figura 4. Gráfico de las calificaciones obtenidas por las unidades de análisis en la prueba final.
Para corroborar estos resultados que dotan a las unidades de
análisis de un aprendizaje significativo de los espacios vectoriales producto
de la transferencia de conocimientos, es importante conocer las opiniones
emitidas por ellos al respecto;
Baldor: “Se me hizo más fácil entender las transformaciones lineales,
porque ya sabia lo que eran los espacios vectoriales.”
Rieman: “Como entendí los espacios vectoriales que se rigen por una serie
de axiomas pude entender las transformaciones lineales, ya que cumplen
dos axiomas equivalentes. Esto es como decir querer multiplicar sin saber
sumar”.
Esto nos hace pensar que las unidades de análisis lograron adquirir
un aprendizaje de las transformaciones lineales gracias a las actividades que
se realizaron en el aula de clase para la adquisición del aprendizaje de los
espacios vectoriales, lo que nos orienta a concluir que se logró el aprendizaje
significativo de dicho contenido, puesto que se pudo realizar exitosamente
una transferencia de tales conocimientos.
Estos resultados obtenidos se pueden corroborar mediante la
triangulación de fuentes, considerando para ello las actividades que
84
realizaron los estudiantes y las respuesta emitidas por ellos en las distintas
pruebas aplicadas. Para ello se da como ejemplo las actividades
desarrolladas por el estudiante Newton en tres momentos importantes; a través de la observación de las actividades realizadas en el aula, de la
entrevista y de las evaluaciones.
Estableciendo la triangulación se puede decir que en las notas de
campo se asentó en la clase correspondiente a los espacios vectoriales que
el estudiante Newton pudo responder a la pregunta sobre el conjunto de los
números naturales explicando detalladamente que dicho conjunto no
representaba un espacio vectorial debido a no se verifica el axioma
correspondiente al opuesto.
Posteriormente en la prueba cota N° 3 pudo verificar correctamente
por escrito que el conjunto (P3,+, .) representa un espacio vectorial puesto
que verificó correctamente los axiomas. Por último, en la entrevista el
estudiante manifestó lo siguiente; “Aprendí los espacios vectoriales porque
fui paso a paso, eso me dio una buena base para otros aprendizajes como
las transformaciones lineales”.
Estos tres resultados dados en momentos distintos y de fuentes
distintas permiten triangular según Denzin y dar validez a dichos resultados,
sobre la adquisición del aprendizaje significativa de los espacios vectoriales
por parte del estudiante newton.
En función de todo lo antes señalado, existe un factor que influyó en la
adquisición del aprendizaje significativo de los espacios vectoriales, ello fue
la motivación, en este sentido se puede decir que durante toda la aplicación
de la propuesta se consideraron algunos aspectos en función de favorecer la
motivación al estudio (ver página 27), en relación a ello y con base en todo el
análisis anterior se puede decir que los estudiantes se sintieron motivados ya
que mostrando interés para la resolución de tareas al expresar sus intereses
y participar progresiva y activamente en la adquisición del aprendizaje,
percibiendo la evaluación como una ocasión para aprender y corregir.
85
Estos señalamientos se pueden corroborar con la opinión de las
unidades de análisis, la cual manifestaron en la entrevistas (ver anexo 24) de
la cual se tomó lo siguiente;
Gauss: “Al principio tuve muchas dudas y temor, pero a medida que
avanzamos en los contenidos se me fue aclarando todo, esto me hizo sentir
mejor y mas confiado”.
Rieman: “Al principio me costo un poco por ser algo nuevo, luego de las
practicas, los ejercicios en clases, poco a poco fui mejorando y se hizo mas
fácil, al punto de que ya sabia lo que tenía que hacer en las evaluaciones.
Me sentí muy seguro y confiado”.
Baldor: “Al principio un poco temeroso pero después me sentí bien, ya que
las clases fueron dinámicas y algunos compañeros me manifestaron que se
sentían interesados porque participaban en las actividades del aula. Me sentí
preparado y seguro para las evaluaciones.
Newton: “Al principio no muy bien, por los antecedentes de la asignatura que
decían que no era sencilla, luego me empezó a gustar la metodología porque
se estudió lo que se quería transmitir. Me sentí muy bien porque logré
corregir mis errores”.
Como se puede evidenciar estas argumentaciones indican que las
unidades de análisis al principio de la aplicación de la propuesta presentaron
temor y preocupación por los contenidos de la asignatura, no obstante,
manifestaron que a medida que se avanzó en la aplicación de la misma
lograron adquirir cambios significativos en lo afectivo, ya que manifestaron
sentirse mejor, más tranquilos, seguros y confiados, sobre todo para las
evaluaciones.
Finalizado lo referente al análisis de los resultados correspondiente a
aplicación de la LECA, se procedió a realizar una valoración crítica de la
propuesta con el propósito de determinar la influencia que tuvo dicha
propuesta en la adquisición del aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales.
86
Valoración Crítica de la LECA Con la aplicación de la propuesta LECA cuya estructuración se
fundamentó en tres fases identificadas con un diagnóstico inicial, un proceso
y un diagnóstico final, se evidenció la conformación de una experiencia
didáctica que describió una relación dialéctica entre el docente y los
estudiantes que favoreció el diálogo, la argumentación y la discusión de los
contenidos de enseñanza y aprendizaje que se abordaron.
Donde los controles cortos y la evaluación fueron fundamentalmente
formativos, ya que se centraron en el proceso de valorar los contenidos para
determinar la retroalimentación de lo no aprendido.
Desde este punto de vista, se pudo alcanzar una situación en la cual
los estudiantes se sintieron motivados y por ende lograron apropiarse de
habilidades y conocimientos durante el desarrollo del proceso. En este
sentido, se evidenció la adquisición de un nivel alto de aprendizaje
significativo de los espacios vectoriales, lo cual se confirma con los
resultados encontrados en la prueba final aplicada en la última fase de la
propuesta, en la cual las unidades de análisis obtuvieron un promedio
aritmético de 19,5 (escala 0-20) equivalente a 9,75 (escala 0-10), esto nos
dice que el 83 % de las unidades de análisis obtuvieron como calificación
(10) puntos y el 17% (8.5) puntos.
Estos resultados numéricos aunados a los encontrados producto de
considerar en la propuesta las fases de adquisición del aprendizaje
significativo y la transferencia de conocimiento, permitieron determinar
progresivamente el logro del aprendizaje significativo de los espacios
vectoriales.
Otro aspecto importante a considerar para la valoración de la LECA
es lo manifestado por las unidades de análisis de acuerdo a la experiencia
vivida con la aplicación de la propuesta. Según lo señalado en la entrevista
que se les aplicó. A continuación se transcribe parte de lo expresado:
87
Baldor: “La metodología fue buena y muy sencilla, se explicó lo específico y
lo que más interesó, fue buena y no debería cambiarse”.
Rieman: “La metodología como tal esta muy buena, porque primero
escribimos los axiomas y luego los traducimos. Me parece muy buena porque
permite identificar los elementos y así no hay confusión. Además los
exámenes fueron buenos porque se mantuvieron como una evaluación
constante para ver si uno iba bien o mal.”
Gauss: “Los exámenes cortos me gustaron mucho porque hizo que estuviera
más pendiente a la hora de dar las explicaciones”.
Newton: “La metodología fue muy buena, eso que aplicó de sacar una
definición entre todos me parece muy bien, eso hizo que se me grabara
más”.
Hadalia: “Gracias a la metodología que usted aplicó, todo lo vi positivo,
porque se detenía a explicar más detalladamente”.
En líneas generales, y de acuerdo a los señalamientos anteriores se
puede decir que la propuesta didáctica de enseñanza LECA, contribuyó a
que los estudiantes se apropiaran de una metodología que les permitió en
forma activa y progresiva realizar una serie de actividades y operaciones que
lo levaron a la adquisición apropiación del aprendizaje significativo de los
espacios vectoriales en un nivel alto.
88
CAPITULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El presente capitulo tiene como propósito, presentar las conclusiones
y recomendaciones en función de los objetivos que orientaron la presente
investigación.
Conclusiones:
o La aplicación de una propuesta de enseñanza, LECA, en el
contenido de espacios vectoriales de la asignatura álgebra
lineal en estudiantes de Ingeniería en Informática de la UNEG,
fundamentada en principios constructivistas, propició un
aprendizaje significativo de dicho contenido en un nivel alto.
Logro que se evidenció de manera progresiva en función de las
distintas fases que conforman dicha propuesta.
o En función de los resultados obtenidos en la fase 1 de la
propuesta con el diagnóstico inicial, se pudo determinar que los
estudiantes no poseen los conocimientos básicos necesarios
para iniciarse en el contenido de los espacios vectoriales.
o Durante la aplicación de la fase 2 de la LECA que implicó el
desarrollo del contenido de los espacios vectoriales, los
estudiantes realizaron muchas preguntas que reflejaban una
necesidad de orientación sobre la realización de las tareas, sin
embargo a medida que se fue dando el proceso, se logró que
participaran activamente, lo que implicó que los estudiantes se
fueran desprendiendo poco a poco del apoyo total del docente
demostrando más independencia y autonomía en la resolución
de sus tareas. El docente pasó a ser un orientador y facilitador
de su aprendizaje.
89
o La concepción adoptada en la propuesta, en la cual se
considera el proceso de enseñanza y el aprendizaje en forma
dialéctica donde el docente y el estudiante juntos participan
activamente para favorecer el aprendizaje, resultó fundamental.
Esto permitió mantener una comunicación permanente entre
ambos actores del acto educativo lo que facilitó el proceso y
orientó continuamente al docente sobre el progreso de los
estudiantes en la adquisición del aprendizaje significativo de los
espacios vectoriales.
o La estructuración que presentó la LECA en sus tres fases, en
las cuales se considera la evaluación retroalimentadora en los
distintos momentos de su ejecución, permitió que los
estudiantes se adaptaran a la metodología que se desarrolló, ya
que esto les permitió ir valorando su aprendizaje hacia la
búsqueda del conocimiento requerido. Por otro lado, influyó en
que los estudiantes pasaran de un estado de temor, angustia y
preocupación ante los contenidos de la asignatura, a un estado
de participación, interés, seguridad y confianza para enfrentarse
a las distintas evaluaciones.
Recomendaciones:
o La propuesta de enseñanza LECA puede ser aplicada como
una herramienta para promover el aprendizaje significativo de
los espacios vectoriales, ajustando sus fases según sea el
contexto.
o Analizar la posibilidad de emplear la LECA como un medio para
promover aprendizaje significativo en otras asignaturas del área
de matemáticas, en cuyo contenido programático se plasme el
aprendizaje de conceptos que sean fundamentales y básicos
para la adquisición de futuros aprendizajes. Considerando para
90
ello las fases de su adquisición según Shuell, y la transferencia
de conocimiento, indicadores básicos para determinar
progresivamente el logro de dicho aprendizaje
o Revisar la estructuración de la LECA y perfeccionarla si es
necesario, en relación a las actividades que corresponden al
docente y al estudiante con el propósito de que dichas
actividades se puedan realizar con mayor facilidad según las
necesidades que presente el contexto.
o Revisar la estructuración de la LECA y perfeccionarla si es
necesario, en relación a las actividades que corresponden al
docente y al estudiante con el propósito de que dichas
actividades se puedan realizar con mayor facilidad según las
necesidades que presente el contexto.
91
REFERENCIAS Álvarez, I. (2005).Diseños Humanísticos Interpretativos. Tesis de Doctorado,
Universidad de la Habana, Cuba. Alves, E y Acevedo, R. (1999).La Evaluación Cualitativa. Valencia: Cerined Amaya, M. (2000). Efecto que Produce en el Desempeño Estudiantil el Uso
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Matemática. [Documento en línea].Ponencia Presentada en el III congreso iberoamericano de educación matemática. Caracas. [Consulta: 2005, Enero 24]
94
[Anexo 1] [Definición de Espacio Vectorial]
De acuerdo a Grossman (1992), un espacio vectorial V es un conjunto
de elementos llamados vectores, que junto a dos operaciones llamadas
suma y multiplicación por un escalar satisfacen una serie de axiomas. El
escalar está contenido en otro conjunto, F llamado cuerpo. Se especifica así,
que V es un espacio vectorial sobre el cuerpo F. Formalmente y Hoffman (1973) lo define como aquel conjunto que
consta de lo siguiente:
a.-Un conjunto F de escalares llamado cuerpo.
b.-Un conjunto V de objetos llamados vectores.
c-.Una regla de adición, en la cual, se cumple;
1.- ¥ x,y ЄV el vector (x+y) ЄV.
2.-Es asociativa, x+(y+z) = (x+y)+z
3.-Es conmutativa (x+y) = (y+x)
4.-Existe un único vector nulo, tal que 0+x = x+0 para todo x de V.
5.-Existe un único vector opuesto –x Є V tal que x+(-x) =0.
d-.Una regla llamada multiplicación escalar, que asocia a cada escalar α de F
y cada vector x de V, de acuerdo a lo siguiente;
6-. (α.x) está en V.
7.-1.x = x
8.- (α.β).x = α.(β.x), α y β escalares
9.- α.(x+y) = α.x + α.y
10.-(α +β).x = α.x + β.x
Se puede considerar un espacio vectorial como una tríada ( V, +, .)
sobre un cuerpo F, donde la operación suma(+) y la operación producto (.) están definidas en V. Como ejemplos podemos señalar; (R,+, . ), con la suma
y el producto usual, (R3,+,.) con la suma y producto usual, las matrices y los
polinomios ambos con la suma y producto usuales.
95
[Anexo 2] [Definición de Transformación Lineal]
Las Transformaciones Lineales representan un tipo especial de
función, también se les llama operadores lineales. De acuerdo a Grossman
(1992), se puede definir de la siguiente manera:
Sean V y W espacios vectoriales, una transformación lineal es una
función T: V → W que asigna a cada vector v en V un vector único T(v) en W
que satisface, para cada par de vectores u y v en V, y para un escalar α
cualquiera en el cuerpo F, los siguientes axiomas;
a) T(u+v) =T(u)+T(v), y
b) T(αv) = α.T(v).
96
[Anexo 3] [Prueba Diagnóstica]
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO
COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÒN Y POSTGRADO COORDINACIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO EN CIENCIAS DE
LA EDUCACIÓN
Prueba Diagnóstica
El siguiente instrumento se aplica con el propósito de recolectar
información sobre los conocimientos previos que tienen los estudiantes, y
que son necesarios para desarrollar y entender los contenidos de la
asignatura Algebra Lineal, entre los que se encuentran los temas de
Espacios Vectoriales y las Transformaciones Lineales.
El instrumento no tiene valor porcentual, consta de tres partes y esta
conformado por una serie de preguntas las cuales debes contestar de
manera individual y con la mayor sinceridad posible, ya que las respuestas
orientarán al docente a contribuir a mejorar tus conocimientos y con ello
puedas asimilar con éxito los contenidos y aprobar satisfactoriamente tu
asignatura.
Nombre y Apellido:_________________________. C.I:_________________. Sexo: ________. Edad: _______. Número de veces que ha cursado la asignatura Algebra Lineal: __________. Número de veces que ha cursado la asignatura Algebra de Estructura: ____. Número de veces que ha cursado la asignatura Matemática 1: ___________ Número de veces que ha cursado la asignatura Matemática 2: ___________.
97
Número de veces que ha cursado la asignatura Matemática 3: ___________. Parte 1. Responde lo siguiente. 1) Escribe dos elementos particulares del conjunto de los números Reales y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Escribe dos elementos generales del conjunto de los números Reales y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) Escribe dos elementos particulares del conjunto R2 y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) Escribe dos elementos generales del conjunto R2 y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) Escribe dos elementos particulares del conjunto de las matrices de 3x2 y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6) Escribe dos elementos generales del conjunto de las matrices de 3x2 y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
98
7) Escribe dos elementos particulares del conjunto de los polinomios de grado 2 y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8) Escribe dos elementos generales del conjunto de los polinomios de grado 2 y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9) Escribe dos elementos particulares del conjunto de los números Complejos y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10) Escribe dos elementos generales del conjunto de los números Complejos y súmalos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11) Escribe en el lenguaje matemático la siguiente expresión: ” Para cada par de elementos pertenecientes al conjunto V, se tiene que la suma de esos elementos pertenece al conjunto V” _____________________________________________________________ Parte 2. Escriba el significado que tiene para usted lo siguiente: 12) Elemento de R. __________________________________________________________________________________________________________________________
99
13) Elemento de R2 . __________________________________________________________________________________________________________________________ 14) Matriz 5x2. __________________________________________________________________________________________________________________________ 15) Polinomio de grado 2. __________________________________________________________________________________________________________________________ 16) Función Contínua. __________________________________________________________________________________________________________________________ 17) Un escalar y de un ejemplo __________________________________________________________________________________________________________________________ 18) Un Vector y de un ejemplo __________________________________________________________________________________________________________________________ 19) Un Espacio Vectorial __________________________________________________________________________________________________________________________ Parte 3. Si usted no respondió alguna de las preguntas anteriores, Indique brevemente las razones por las cuales no pudo hacerlo. Para ello escriba el número de la pregunta y el motivo por el cual no pudo responder.
100
[Anexo 4] [Porcentajes de respuesta de la prueba diagnóstica]
Cantidad y Porcentajes de respuestas correctas e incorrectas dadas por las unidades de análisis en la prueba diagnóstica.
Unidades de
análisis
Respuestas
Correctas
% Respuesta
incorrectas
%
Gauss 5 26 14 74
Hadalia 5 26 24 74
Newton 9 47 10 53
Rieman 9 47 10 53
Baldor 14 74 5 26
Grossman 18 95 1 5
101
[Anexo 5] [Errores más comunes escritos en la prueba diagnóstica]
Errores más comunes que escribieron las unidades de análisis, en la prueba diagnóstica. Estudiante Errores
Gauss
Escribió x, y como elemento de R2. Sumó: x2 + y2 = z2
No escribió números complejos.
No expresó significado de un elemento de R, de R2, polinomio de
grado 2, de un escalar, de un vector ni un espacio vectorial.
Hadalia
No escribió elementos de R, R2 y de los complejos.
No expresó el significado de un elemento de R2, de un polinomio de
grado 2, de una Función continua, de un escalar, de un vector y de
espacio vectorial
Newton
Escribió x, y como elemento de R2 y sumó x + y.
No escribió elementos generales de las matrices de 3x2.
Escribió como elementos de P2 : x2, x. Sumó: x2 + y
No escribió elementos generales de los complejos.
No expresó el significado de Función continua ni de vector.
Rieman
Escribió a, b como elemento de R2. Sumó: a+b
No escribió elementos generales de P2, y Números Complejos.
No expresó el significado de un elemento de R2, de una Función
continua, de un escalar, ni de un vector.
Baldor
Escribió x2, y2 como elemento de R 2. Sumó x2 + y2.
No escribió elementos generales del conjunto de los complejos.
No expresó el significado de un elemento de R2, de una Función
continua, de un escalar, un vector y de espacio vector.
Grosman No expresó el significado de un escalar.
102
[Anexo 6] [Actividades realizadas en la retroalimentación]
Objetivos Docente: .- Promover la definición de los conjuntos R, R2 matrices,
polinomios, números complejos, funciones continuas, escalar y vector.
Estudiantes: .- Seleccionar elementos particulares y generales de los
conjuntos: R, R 2, Rn, las matrices, los polinomios, las funciones continuas, y
los números complejos. Sumarlos y multiplicarlos por un escalar cualquiera
Metodología: Exposición del docente para promover la participación
de los estudiantes, activando sus conocimientos previos con el nuevo
aprendizaje, orientándolo hacia la exploración, comprensión y análisis de los
contenidos.
Actividades en el aula 1.- Se discutieron de manera general los resultados de la prueba
diagnóstica, y se les indicó a los estudiantes la importancia de asimilar los
contenidos señalados en dicha prueba como base para iniciarse en el
contenido de los espacios vectoriales.
2.-Se desarrollaron las definiciones de los conjuntos R, R2, con la
participación de los estudiantes, se seleccionaron elementos particulares y
generales, se sumaron y luego se multiplicaron por un escalar. Se generalizó
para el conjunto Rn. También se trabajó la definición de las matrices y se
desarrolló el ejemplo para el caso de 3x2, generalizando luego para el
tamaño nxn.
De igual manera, se hizo para el conjunto de los números complejos,
el conjunto de los polinomios de grado 2 y se generalizó para los polinomios
de grado n, el conjunto de las funciones continuas y se definió lo que es un
escalar y un vector.
3.-Se colocaron ejemplos para que los estudiantes participaran con la
orientación del docente, en la selección de elementos particulares y
generales de los conjuntos R3, las matrices de 4x1, el conjunto de los
103
números complejos, el conjunto de los polinomios de grado 3, y las funciones
continuas, además se les solicitó realizar la suma entre ellos y luego
encontrar el producto de uno de esos elementos particulares y generales por
un escalar cualquiera.
4.-Faltando 10 minutos aproximadamente para finalizar la clase se
aplicó a los estudiantes la prueba corta nº 1. Con el propósito de determinar
en que medida superaron algunos de sus errores y dificultades identificadas
en la prueba diagnóstica.
104
[Anexo 7] [Prueba corta N º 1]
“Escriba dos elementos generales de cada uno de los siguientes
conjuntos y realice la suma, luego seleccione uno de esos elementos y
multiplíquelo por un escalar cualquiera.
Los conjuntos son:
a) Conjunto R
b) Conjunto R2
c) Conjunto Rn
d) Conjunto P3
e) Conjunto de las matrices 1x5
f) Conjunto de los Números Complejos
105
[Anexo 8] [Resultados de la prueba corta N º 1]
Resultados obtenidos por las unidades de análisis en aplicación de la prueba corta Nº 1 Unidades
de análisis
Respuestas
Gauss
Escribió para R2 : (a1,b1)+(a2,b2)= (a1+a2, b1+ b2) y α.(a2, b2)=( α .a2, α.b2). Resolvió lo referente a las matrices 1x5 y P3. Expresó el significado de R, R2, P2, vector y de un escalar.
Hadalia
Escribió para R:a+(-b) y m.(a-b)=(ma,-mb) y para R2:(a,b)+(c,d)= (a+c, b+c). Resolvió lo referente a las matrices 1x5, Rn y complejos. Expresó el significado del R, R2, P2, vector y escalar. No lo realizó para P3.
Newton
Escribió para R2 : (x1+y2, x1+y2) y 3.(x1,y1)=(3x1,3y2). Realizó para P3:(a+a1)x3+(b+b1)x2+(c+c1)x+(d+d1) y 2.(ax3+bx2+cx+d)=2.ax3+2.bx2+2.cx +2.d1. Resolvió lo referente a las matrices De 1x5. Expresó bien el significado de R, R2, P2, vector y un escalar. No lo hizo para los complejos, ni para Rn.
Rieman
Escribió para R2 : (a,b)+(c,d)= (a+c, b+c) y 2.(a,b) = (2a,2b) Resolvió lo referente a las matrices de 1x5 y de Rn. Expresó el significado de R2, función continua, vector y escalar. No lo hizo para P3 y para los complejos.
Baldor
Escribió para R2 : (a,b)+(x,y) = (a+x, b+y) y n.(a,b) = (na,nb) Resolvió lo referente a las matrices de 1x5, de Rn y de P3. Dio el significado de R2, función continua, vector y escalar. No lo hizo para los complejos.
Grosman Respondió todo el control aplicado. Expresó el significado de un escalar.
106
[Anexo 9] [Resultados comparativos entre las respuestas incorrectas de la prueba
diagnóstica y la prueba corta Nº 1]. Comparación entre las respuestas incorrectas dadas en la prueba diagnóstica y las dadas en la prueba corta Nº 1 por las unidades de análisis. Unidades
de análisis
Prueba diagnóstica
Prueba corta Nº 1
Gauss
Escribió para R2: x2 + y2 = z2
No lo hizo para complejos. No
expresó significado de R, R2,
polinomio de grado 2, de escalar, de
vector ni de espacio vectorial.
Escribió para R2 : (a1,b1)+(a2,b2)= (a1+a2, b1+ b2).
Resolvió lo referente a las matrices y P3.
Expresó el significado de R, R2, P2, vector y de
un escalar.
Hadalia
No escribió elementos de R, R2 y los
complejos. No expresó significado de
R2, de un polinomio de grado 2, de
función continua, escalar, vector y
espacio vectorial.
Escribió para R: a+ (-b). Para R2: (a,b)+(c,d)= (a+c, b+c). Resolvió lo referente a Matrices, Rn y complejos. Expresó el significado del R, R2, P2, vector y escalar. No lo realizó para P3.
Newton
Escribió para R2 : x + y.
No lo hizo para matrices, P2 y los
complejos. No expresó el significado
de función continua ni de vector.
Escribió para R2: (x1+y2, x1+y2). Para P3: (a+a1)x3+(b+b1)x2+(c+c1)x+(d+d1). Resolvió lo referente a matrices. Expresó el significado de R, R2, P2, vector y escalar. No lo hizo para complejos y Rn.
Rieman
Escribió para R2: a + b
No lo hizo para P2, y los complejos.
No expresó significado de R2, función
continua, escalar y vector.
Escribió para R2 : (a,b)+(c,d)= (a+c, b+c). Resolvió lo referente a matrices, y Rn. Expresó el significado de R2, función continua, vector y escalar. No lo hizo para P3 y complejos.
Baldor
Escribió para R 2. x2 + y2.
No lo hizo para complejos. No
expresó el significado de R2, de
función continua, escalar, vector y
espacio vectorial.
Escribió para R2 : (a,b)+(x,y) = (a+x, b+y). Resolvió lo referente a matrices, Rn y de P3. Dio el significado de R2, función continua, vector y escalar. No lo hizo para los complejos.
Grosman No expresó el significado de escalar. Expresó el significado de un escalar.
107
[Anexo 10] [Actividades sobre espacios vectoriales]
Objetivos: Docente: .- Promover la definición de espacio vectorial.
.- Establecer las condiciones que permitan comprobar los axiomas que
definen a un espacio vectorial.
Estudiantes:
.- Reconocer que conjuntos representan un espacio vectorial en base
a su definición axiomática.
.- Comprobar correctamente los axiomas para comprobar que un
conjunto representa o no un espacio vectorial.
.- Ejemplificar que conjuntos representen y no representen espacios
vectoriales.
Metodología: Exposición del docente para promover la participación
de los estudiantes, activando sus conocimientos previos con el nuevo
aprendizaje, orientándolo hacia la exploración, comprensión y análisis de los
contenidos.
Actividades en el aula En esta clase se inició la fase 2 de la propuesta con el desarrollo de la
definición de espacio vectorial. Luego de haber compartido la lectura
establecida, se comenzó por escribir en el pizarrón la definición de espacio
vectorial, detallando los axiomas que lo conforman y el significado de cada
uno. Se les explicó insistentemente a los estudiantes que para comprobar
que un conjunto es un espacio vectorial se deben comprobar los 10 axiomas
de la definición, considerando siempre para ello vectores en su forma
general.
De la misma forma se les indicó que para la aplicación de la propuesta
que se estaba empleando, se iba a trabajar con los axiomas de la cerradura
para la suma y la cerradura bajo la multiplicación por un escalar. Porque esto
108
forma la base fundamental para desarrollar las propiedades que definen una
transformación lineal, contenido posterior a los espacios vectoriales.
Se discutieron ejemplos de conjuntos que representan espacios
vectoriales, como R y R2 en los cuales el docente comprobó para ambos los
axiomas de la cerradura bajo la suma y la cerradura bajo la multiplicación por
un escalar. Se les notificó que tendrían que realizar las demostraciones de
dichos axiomas por analogía, es decir, imitando los pasos que realizaba el
docente para tal fin, los pasos fueron los siguientes:
A.- Escribir el axioma tal cual se define.
B.- Traducir el axioma, es decir, escribir los vectores en su forma general
conjuntamente con el conjunto al cual pertenecen.
C.-Operar con los elementos en forma general, realizar la suma de esos
elementos y la multiplicación por un escalar.
D.-Concluir si se cumple o no el axioma según los resultados.
Un ejemplo desarrollado en clase fue: Verificar los dos axiomas para el
espacio vectorial V = (R2, +, .), el docente realzó lo siguiente:
Cerradura de la suma A.-Escribimos el axioma: Ұ x, y ε V → (x+y) є V.
B.-Traducimos el axioma: Ұ x, y ε R2 → (x+y) є R2
Ұ (x, y), (z,w) ε R2 → (x,y)+(z,w) є R2
C.-Operación: (x, y) + (z, w) = (x+z, y+w)
D.- Conclusión: El resultado (x+z, y+w) es un par y pertenece al conjunto R2,
por lo tanto el conjunto es cerrado y se cumple el axioma.
Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: A.-Escribimos el axioma: Ұ x ε V y un escalar ג → ג .x є V.
B.-Traducimos el axioma: Ұ x ε R2 y un escalarג → ג .x є R2.
Ұ (x, y) ε R2 y un escalar ג → ג .(x,y) є V.
C.-Operación: ג .(x,y) =(ג .x, ג .y)
109
D.- Conclusión: El resultado (ג .x, ג .y) es un par y pertenece al conjunto R2,
por lo tanto el conjunto es cerrado bajo la multiplicación por un escalar y se
cumple el axioma.
Finalmente, se resolvió con la participación de los estudiantes la
comprobación de ambos axiomas para el espacio vectorial V = (R4, +, .).
Faltando 10 minutos aproximadamente para finalizar la clase se les aplicó la
prueba corta nº 2.
110
[Anexo 11] [Prueba corta Nº 2]
Control corto nº 2.
Compruebe los axiomas de la cerradura de la suma y de la
multiplicación por un escalar en los espacios vectoriales: a.- ( R3 ,+, .) y b.-
(Rn ,+, .)
111
[Anexo 12] [Resultados de la prueba corta Nº 2]
Resultados de la aplicación de la prueba corta Nº 2 a las unidades de análisis.
Unidades
de análisis
Resultados
Gauss
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los espacios vectoriales (R3, +, . ) y (Rn , +, . ). Escribió para Rn : (x1,x2,…xn) + (y1,y2,.,yn) = (x1 + y1, x2 + y2, … xn + yn)
Hadalia Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales (R3, +, . ) y (Rn , +, . ).
Newton Aplicó y verificó correctamente los axiomas para el
espacios vectorial (R3, +, . ).
Escribió: (x1,x2, x3……,xn) ε Rn y sumó : x1 + x2 + x3 +… + xn
Rieman Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales (R3, +, . ) y (Rn , +, . ).
Baldor
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales (R3, +, . ) y (Rn , +, . ).
Grossman Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales (R3, +, . ) y (Rn , +, . ).
112
[Anexo 13] [Actividades sobre espacios vectoriales]
Objetivos: Docente: .- Promover la definición de espacio vectorial.
.- Establecer las condiciones que permitan comprobar los axiomas que
definen a un espacio vectorial.
Estudiantes:
.- Reconocer que conjuntos representan un espacio vectorial en base
a su definición axiomática.
.- Comprobar los axiomas que definen un espacio vectorial.
Metodología: Exposición del docente para promover la participación
de los estudiantes, activando sus conocimientos previos con el nuevo
aprendizaje, orientándolo hacia la exploración, comprensión y análisis de los
contenidos.
Actividades en el aula Aclaratoria general sobre los resultados del control corto nº 2. Se
desarrollaron como ejemplos los conjuntos de los números complejos, se
seleccionaron elementos generales, se sumaron y se multiplicó uno de esos
elementos por un escalar cualquiera. Seguidamente se continuó con la
comprobación de los axiomas para los espacios vectoriales polinomios de
grado 2 y las matrices de tamaño 3x2.
Se resolvió en el aula con la participación de los estudiantes la
comprobación de ambos axiomas para los espacios vectoriales V = (P2, +, .)
y (M3x2,+,.).
Faltando 10 minutos aproximadamente para finalizar la clase se les
solicitó a los estudiantes entregar por escrito y de manera individual el control
corto nº 3.
113
[Anexo 14] [Prueba corta Nº 3]
Compruebe los axiomas de la cerradura de la suma y la cerradura del
producto por un escalar en los siguientes Espacios Vectoriales: a) ( M1x3, +, .)
b) (P3,+, .) y c) (C,+, .).
114
[Anexo 15] [Resultados de la prueba corta Nº 3]
Cuadro 5 Resultados de la aplicación de la prueba corta Nº 3 a las unidades de análisis.
Unidades
de análisis
Resultados
Gauss Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales ( M1x3, +, .), (P3,+, .) y (C ,+, .).
Hadalia Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales ( M1x3, +, .), (P3,+, .) y (C ,+, .).
Newton Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales ( M1x3, +, .), (P3,+, .) y (C ,+, .).
Rieman Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales ( M1x3, +, .), (P3,+, .) y (C ,+, .).
Baldor
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales ( M1x3, +, .), (P3,+, .) y (C ,+, .).
Grossman Aplicó y verificó correctamente los axiomas para los
espacios vectoriales ( M1x3, +, .), (P3,+, .) y (C ,+, .).
115
[Anexo 16] [Definición de Subespacio vectorial]
De acuerdo a Grossman (1992), un subespacio vectorial es un
subconjunto H de un espacio vectorial, diferente del vacio, que cumple dos
axiomas,
a).- ¥ x, y Є H se tiene que (x+y) Є H. Cerradura para la suma.
b) ¥ x Є H y α escalar, se tiene que (α.x) Є H. Cerradura de la
multiplicación por un escalar.
.
116
[Anexo 17] [Actividades sobre transformaciones lineales]
Objetivos Docente: .- Promover la definición de transformación lineal.
.- Establecer las condiciones que permitan determinar si una función
es o no una transformación lineal.
Estudiantes:
.- Determinar si una función es o no una transformación lineal,
realizando para ello una transferencia de conocimiento.
Metodología: Exposición del docente para promover la participación
de los estudiantes, activando sus conocimientos previos con el nuevo
aprendizaje, orientándolo hacia la exploración, comprensión y análisis de los
contenidos.
Actividades en el aula Breve charla sobre las transformaciones lineales indicando la
importancia que tienen dentro del campo de la computación, aclarando que
las mismas son funciones que cumplen ciertas propiedades especiales. Se
estableció la definición de transformación lineal, explicando el significado de
los axiomas que permiten definirla, recalcando que por ser una función, tanto
su conjunto de partida como de llegada lo forman espacios vectoriales.
Se desarrollaron ejemplos y contraejemplos, en funciones definidas
sobre los espacios vectoriales R, R2, R3….Rn, las matrices, los números
complejos, los polinomios y las funciones continúas, para determinar si la
función representaba o no una transformación lineal.
Algunos ejemplos desarrollados fueron:
a) T: R2→ R3 definida por T(a,b) = (a+b, a-b, 3b) b) T: C (0,2) → C (0,1) definida por T(f) = f(x-1) .
117
En la misma clase se resolvió con la participación de los estudiantes la
comprobación para la función: T: R2→ R definida por T(a, b) = a+b+2, la cual
no representa una transformación lineal, y luego para la función T: P2 → R
definida por t ( ax3+bx2+cx) = a+b+c que si es lineal.
Faltando 10 minutos aproximadamente para finalizar la clase se les
solicitó a los estudiantes entregar por escrito y de manera individual el control
corto nº 4.
118
[Anexo 18] [Prueba corta Nº 4]
Compruebe que las siguientes funciones son transformación lineales.
a) T: R→P3 , T(a) = ax3 + ax2 + ax + a b) T: RN → R, T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….xn
119
[Anexo 19] [Resultados de la prueba corta Nº 4]
Resultados de la aplicación de la prueba corta Nº 4 a las unidades de análisis.
Unidades de análisis Resultados
Gauss No asistió
Hadalia
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para
a) T: R→ P3 , T(a) = ax3 + ax2 + ax + a
b) T: RN → R, T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….xn
Newton
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para:
a) T: R→ P3 , T(a) = ax3 + ax2 + ax + a
b) T: RN → R, T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….xn
Rieman
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para:
a) T: R→ P3 , T(a) = ax3 + ax2 + ax + a
b) T: RN → R, T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….xn
Baldor
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para:
a) T: R→ P3 , T(a) = ax3 + ax2 + ax + a
b) T: RN → R, T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….xn
Grossman
Aplicó y verificó correctamente los axiomas para:
a) T: R→ P3 , T(a) = ax3 + ax2 + ax + a
b) T: RN → R, T(x1, x2,..xn ) = x1+x2 +….xn
120
[Anexo 20] [Prueba final]
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERRECTORADO ACADEMICO COORDINACIÓN DE INGENIERÍA EN INFORMATICA
ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL Prof.: José León
Evaluación final. Sección 01.Transformaciones Lineales. 20%.
1.-Defina Espacio Vectorial (2 puntos)
2.- Determine cuales de las siguientes funciones representan una
transformación lineal.
a) T: R3 → R2 definida por T(x, y, z) = (x+1, y+z -1). (4 puntos)
b) T: C → R2 definida por T(a+bi) = (a, a+b). (4 puntos c/u)
c) T: M2x2 → P3 definida por T(A) = a11X 3 + a22 X 2 + a21 . (4 puntos c/u)
d) T: C [0,1] → C [0,1] definida por T (f(x)) = f(x) + 0. (4 puntos c/u)
3.- Demuestre utilizando vectores particulares que la función a) T: R4 → R2
definida por T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es una Transformación Lineal (2
puntos)
121
[Anexo 21] [Resultados de la prueba final]
Resultados de la aplicación de la prueba final a las unidades de análisis. Unidades
de
análisis
Resultados
Gauss
Comprobó que T(x, y, z) = (x+1, y+z -1); T(a+bi) = (a, a+b);
T(A) = a11X3 + a22 X2 + a21 y T (f(x)) = f(x) + 0. Son lineales.
Probó que T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es lineal. Con vectores
particulares. Definió incorrectamente un espacio vectorial.
Hadalia Comprobó que T(x, y, z) = (x+1, y+z -1); T(a+bi) = (a, a+b);
T(A) = a11X3 + a22 X2 + a21 y T (f(x)) = f(x) + 0. Son lineales.
Probó que T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es lineal. Con vectores particulares. Definió correctamente un espacio vectorial.
Newton
Comprobó que T(x, y, z) = (x+1, y+z -1); T(a+bi) = (a, a+b);
T(A) = a11X3 + a22 X2 + a21 y T (f(x)) = f(x) + 0. Son lineales.
Probó que T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es lineal. Con vectores particulares. Definió correctamente un espacio vectorial.
Rieman
Comprobó que T(x, y, z) = (x+1, y+z -1); T(a+bi) = (a, a+b);
T(A) = a11X3 + a22 X2 + a21 y T (f(x)) = f(x) + 0. Son lineales.
Probó que T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es lineal. Con vectores particulares. Definió correctamente un espacio vectorial.
Baldor
Comprobó que T(x, y, z) = (x+1, y+z -1); T(a+bi) = (a, a+b);
T(A) = a11X3 + a22 X2 + a21 y T (f(x)) = f(x) + 0. Son lineales.
Probó que T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es lineal. Con vectores particulares. Definió correctamente un espacio vectorial.
Grossman
Comprobó que T(x, y, z) = (x+1, y+z -1); T(a+bi) = (a, a+b);
T(A) = a11X3 + a22 X2 + a21 y T (f(x)) = f(x) + 0. Son lineales.
Probó que T(x, y, z, w) = (x.z, y.w) no es lineal. Con vectores particulares. Definió correctamente un espacio vectorial.
122
[Anexo 22] [Lectura sobre los espacios vectoriales]
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO
COORDINACIÓN DE INGENIERIA EN INFORMATICA POSTGRADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Lectura: Aplicación de los Espacios Vectoriales en la Informática. Tomado de: Aplicaciones del Álgebra Lineal. Lay, D. (2007). Desde el punto de vista de la aplicación de los espacios vectoriales,
Lay (2007) señala que estos conjuntos están involucrados en muchas
aplicaciones en el área de la Informática que son de gran importancia
tecnológica, social y económica, que se basan en softwares específicos,
cuya programación requiere de los conocimientos Informáticos.
En tal sentido, esa relación espacio vectorial e Informática, da origen a
aplicaciones como representación grafica, diseños, mapas, imágenes,
esquemas, sistemas de información geográfica, que no es más que la
organización y análisis de la información espacial; es decir, combina
elementos de gestión de bases de datos, tratamiento de mapas,
procesamiento de imágenes y análisis estadístico.
Por otro lado, las unidades informativas pueden unirse en forma
jerárquica, y esto facilita la creación de estructuras en forma de árbol que
permiten ubicar la información en el espacio representado por un esquema,
lográndose así integrar imágenes vectorizadas, bases de datos y textos en
una estructura única.
Esto incluye además, digitalizador manual de datos y el mejoramiento,
detección de bordes, eliminación de ruidos, reducción de colores,
vectorización automática de imágenes, vectorización semiautomática
123
(supervisada por el usuario) de imágenes, generalización de datos
espaciales, clasificación automática de elementos en la imagen, y permite
importación y exportación de ficheros vectoriales y de imágenes.
Dela misma forma, el proceso digital de imagen guarda relación con
los espacios vectoriales, lo cual se puede evidenciar a través de bitmaps,
puesto que los colores se codifican en tres bytes representando su
descomposición en los tres colores primarios. Esto significa
matemáticamente que cada color se representa como un vector en el
espacio tridimensional de rojo verde y azul, bajo esta interpretación se
aplican algunos conceptos de la geometría analítica en el tratamiento de
colores y en la generación de filtros o transformaciones.
Otras aplicaciones entre el uso de la computación y los espacios
vectoriales son; video juegos, dibujos por computador, efectos especiales en
videos y películas, diseños asistidos por computadora, simulación, imágenes
médicas, visualización de información.
En fin los espacios vectoriales se relacionan con la Informática por
medio de la computación gráfica por lo que es una poderosa herramienta
para producir imágenes en forma rápida y económica y que se puede utilizar
en diversas áreas como la ciencia, ingeniería, industria, arte, entretenimiento,
publicidad, educación y capacitación, entre otras.
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[Anexo 23] [Guía sobre Transformaciones Lineales]
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERRECTORADO ACADEMICO COORDINACIÓN DE INGENIERÍA EN INFORMATICA
ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL Prof.: José León
Guía de ejercicios de transformaciones lineales.
1.-Compruebe en los siguientes espacios vectoriales los axiomas referidos a
la cerradura de la suma y a la cerradura del producto bajo un escalar.
a).- ( Pn , +, .)
b).- (C , +, .)
c).- ( M3x2 , +, .)
d).- (funciones continuas en el intervalo [3,5] , +, .)
e).- ( R 5 ,+, .)
2.- De 3 ejemplos de conjuntos que no representen espacios vectoriales.
3.-Determine que funciones representan una Transformación Lineal.
a) T: R3 --------R3 con T(X,Y,Z) = ( 2X,3Y,2Z)
b) T: R2 --------R2 con T(X,Y) = ( 2X -Y, X)
c) T: R --------R con T(X) = SENX
d) T: R3 --------R3 con T(X, Y, Z) = (2X, 3Y, 2Z)
e) T: M2x2 -------R con T(A) = 2a11 + 3a12 + 3a21 - a11
f) T: P2 -------- P3 con T (P2) = C.X3 - A
g) T: M2x2 -------R3 con T(A) = (a11 + a12 +a22, a21 +a22 , a12 + a21 +a22 )
h) T : C[0,1] --------C [0,2] con T(F) = F(X-1)
I) T: RN --------R con T( X1, X2, X3…………XN .) = X1 + X2 + X3 +…………+ XN.
J) T: R3 --------P2 con T(a,b,c) = a + bX + cX 2
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[Anexo 24] [Entrevista Semiestructurada]
Entrevista aplicada a las unidades de análisis, luego de haber
culminado la investigación. Entrevistados: Baldor, Rieman, Gauss, Newton,
Hadalia y Grossman. Entrevistador: Docente: D
D: ¿Cómo se sintieron durante el desarrollo de las clases con la metodología que se aplicó?
Gauss: Al principio tuve muchas dudas y temor, pero a medida que
avanzamos en los contenidos se me fue aclarando todo, esto me hizo sentir
mejor y mas confiado.
Rieman: Al principio me costo un poco por ser algo nuevo, luego de
las practicas, los ejercicios en clases, poco a poco fui mejorando y se hizo
mas fácil, al punto de que ya sabia lo que tenía que hacer en las
evaluaciones. Me sentí muy seguro y confiado.
Baldor: Al principio un poco temeroso pero después me sentí bien, ya
que las clases fueron dinámicas y algunos compañeros me manifestaron que
se sentían interesados porque participaban en las actividades del aula. Me
sentí preparado y seguro para las evaluaciones.
Newton: Al principio no muy bien, por los antecedentes de la
asignatura que decían que no era sencilla, luego me empezó a gustar la
metodología porque se estudio lo que se quería transmitir. Me sentí muy bien
porque logré corregir mis errores.
D: ¿Cómo se sintieron durante la aplicación de la evaluación? Pregunta dirigida a Rieman, Newton y Hadalia. Riemann: Sabia lo que tenia que hacer y que responder, primero
escribir el axioma y luego traducir, me sentí preparado. Newton: Muy bien, con la guías las clases y los las pruebas cortas, ya
que si había flaqueado y tenia algunos errores pude corregirlos.
Hadalia: Me sentí segura de lo que iba hacer, preparada.
126
D: ¿Crees que exista algo que requiera cambiarse de la metodología que se desarrolló durante la investigación, de acuerdo a las actividades realizadas por los ustedes y el docente? Baldor: La metodología fue buena y muy sencilla, se explicó lo
específico y lo que más interesó, fue buena y no debería cambiarse.
Rieman: La metodología como tal esta muy buena, porque primero
escribimos los axiomas y luego los traducimos. Me parece muy buena porque
permite identificar los elementos y así no hay confusión. Además los
exámenes fueron buenos porque se mantuvieron como una evaluación
constante para ver si uno iba bien o mal.
Gauss: Los exámenes cortos me gustaron mucho porque hizo que
estuviera más pendiente a la hora de dar las explicaciones.
Newton: La metodología fue muy buena, eso que aplicó de sacar
una definición entre todos me pareció muy bien, esas actividades hicieron
que las cosas se me grabaran más.
Hadalia: Gracias a la metodología que usted aplicó, todo lo vi
positivo, porque se detenía a explicar más detalladamente.
D: ¿Podrías decir que significa para ti un espacio vectorial? Pregunta dirigida a Rieman, Gauss, Hadalia. Rieman: Conjunto de vectores, que deben cumplir 10 axiomas, con
dos operaciones la suma y la multiplicación por un escalar.
Gauss: Conjunto de vectores que cumplen 10 axiomas, con la suma
y la multiplicación por un escalar.
Hadalia: Conjunto de vectores operados por la suma y la multiplicación por
un escalar que cumple 10 axiomas.
D: ¿Crees que existe relación entre los espacios vectoriales y las transformaciones lineales? Baldor: Si, cumplen dos axiomas que se encuentran en los espacios
vectoriales.
Gauss: Si por los axiomas.
127
Hadalia: Si, porque paraqué para que una función sea lineal debe cumplir los
axiomas que están en los espacios vectoriales.
D: ¿A que creen ustedes que se deba que hayan entendido el significado de transformación lineal?
Baldor: Se me hizo más fácil entender las transformaciones lineales,
porque ya sabía lo que eran los espacios vectoriales.
Gauss: Cuando entramos en profundidad con los espacios
vectoriales, eso me ayudó a entender las transformaciones lineales.
Rieman: Como entendí los espacios vectoriales que se rigen por
una serie de axiomas, pude entender las transformaciones lineales, ya que
cumplen dos axiomas equivalentes. Esto es como decir querer multiplicar sin
saber sumar.
Newton: Aprendí los espacios vectoriales porque fui paso a paso,
eso me dio una buena base para otros aprendizajes como las
transformaciones lineales.
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[Anexo 25] [Programa de la Asignatura]
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[Anexo 26] [Notas de Campo]