tema 1. teoría de números
DESCRIPTION
Tema 1 de Matemática Discreta, válido para grados universitarios de ingenierías.TRANSCRIPT
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
1/50
En
esie
captulo...
@
ITES-Paraninfo
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1"6.
1.7.
1.8.
1,9.
1.10.
1.11.
1.i2"
Cociente
exacto
Cociente
entero
Divisin
eucldea
Sistemas da
numeracin
Nmeros primos
y
rtmeros
compuesios
Maximo
comn divsor
Mnimo
comn
mftiplo
,
Ecuaciones diolnticas
l
Congruencias
Sistemas de congruencias
lineales
Flestos
potenciales
Frbtsml,reOe.t0S,t,.,.,
, ;1,,,'r1:,
,r.,,,
,
. ,
:r'
,:,.
r,,.
rr*b*ffi'lff
*
llll,.,,l:,llllll.,ll,ll.lllllll,.,t..,...l,l'llll
Problemas
de recapitulacir
soiu*ionbs
rrl.iss:t]pr,obtamas',,fnn
stos
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
2/50
Problemas
resueltos
de
matemtca
discreta
lo
anterior.
de la
aritmtica
modular.
1.1.
CocerurE
ExAcro
Los
productos
de
un
nlmero
entero
n
por
I
,
2,
3.
... reciben
el
nombre
de
mltiplos
de
.
pr
::::i:l::,.:illl.-l ::
.:r:ld":o
como^rnrlripto
cle r,
su
proclucro
por
0. Entonces,
indicanrlo
por
La
parte
de Ia
matemtica
que
trata
de
los
nmeros
enteros y
de
sus
propiedades
recibe
el
nor
o",f:^..,:_*ji.l::. :t,1.,?u.l
ocupa
una p.origl.n...:-rt
l
"rt."
ta
arirmrica
y
el
lgebra.
Trataremos
en
este
captulo
de
la
nocin
cle
divisibilidad
ile la
que
se
cleriva
.l
;;;;"
nmero
primo,
de
la
divisin
de
nmeros
enteros
y
sus
propiedactes
y,
como
consecuencia
e
tr
cualquier
valor
entero
de los
O. 1.2.3.
.... l;
explesin
general
Ae los
mrltiplos,l..,,
;;;:'
Se
expresa
que
D
es
un
mltiplo
cle
r,
cscribieno
:
rL
Tambin
se
clice qr.
n
",
un
divisor
D,
o
que
divide
a
,
o
que
a es
un
submltiplo
cle
b
o
que
es
divisible
por
.
toclo
lo
cual
indica
por
n
l.
Se
escribir
u
I
b
cuando
a
no
divida
a
1..
Los
mltiplos
de
2
reciben
el
nombre
cle
nmeros
pares;
los
restantes
son
los
nmeros
pares.
Algunas
propiedades
de
ras
definiciones
anteriores
son
las que
siguen.
si
r
es
divisor
de
D.
tambin
ser
divisor
cre
cr,ralquier
mrrtiplo
de
.
si a
es
divisor
de
y
de
'.
tambin
lo
scrt
de
bic.,
siencl
b)c.
Si r
es
divisor
de
b
y
lo
es
de
c.
entonces
a lo
ser
de
..
Si
divide
a la
suma
o
diferencia
b*c
de
clos
enteros
y
a
uno
cle
los
sumandos,
ejemplo.
al ,
entonces
tambin
diviclir
al
otro
c.
1.
)
3.
4.
5'
sia,b,...,csondivisores,respectivamente,de
, ,...,,entonces
a.b.....cserdi
de
x.y
.
....
z.
Recibe
el
nombre
de
cociente
exacto
de
dos
nmeros
naturales
p,
diviclenclo
,
y
t
*0.
ciiviso:.
el
nl.nero
natural
r
cuyo
proclucto
por
el
divisor
reprocluce
el
dividendo.
La
opracin
realizaci*
para
calcular
et
cocienre
exacro.
se
llama
divisin
exacta
y
,. inaicu
fo.
p;
;i;;-r;:.,,,.
1.2.
CocerurE
ENTERo
Sean
D
y
d
dos
nmeros
naturales,
no nulos.
Sea q
otro
nmero
tambin
natural
tal
que
cumpla
la
relacin
qd
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
3/50
Teora
de nmeros
Si se
multiplican
dividendo
y
divisor
por
un
mismo
nmero,
el
cociente
petmanece
inva-
riable
y
el
resto
quedar
rnultiplicado
por
ese nmero.
Si
en ia divisin
de
D
por
cl,
q
es
el cociente
y
r
el
resto,
entonces
el
cociente
de
la divi-
sin
D
*
lz,
siendo
/z
un
nmero
natural,
por
d,
ser
q
+
q',
siendo
4'
el cociente
obtenido
al
dividir
r
-f
h
por
d.
1.3.
Drvrsttt
EUcLDEA
Hemos considerado
hasta
aqu
nicamente
nmeros
positivos. Vamos
a
ampliar
ahora
el
campo
de
io: datos
que
intervienen
en
la
divisin
considerando
tambin
los
nmeros
negativos'
Sean
D
y
r/
dos
nmeros
enteros,
con d
*
0. Utilizando
la recta
real
es
posible representar
d
y
oclos
sus
mltiplos.
Tendremos
dos casos
segn
sea d
> 0 d
0
d 1. Entonces,
n tiene una
descomposicin
nica
en funcin
de
la
base
b, de
la fonna anterior
[l]
con
d,,
i:0,
...,
r,
nmeros
naturales
menores
que
.
t1l
@
ITES-Paraninfo
de
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
4/50
Problemas
resueltos
de matemtica
discreta
1.5.
Nnnenos
pRtMos
y
NMERos
coMpuEsTos
Dado
un
entero
p
e N,
p
> 1,
se dice
que
es
un
nmero
primo,
cuando
no
admite
en
N que
el 1
y
el
propio
p.
Nmero
compuesto
es el
que
no
es
prirno.
El
conocer
si un
nmero
es
primo
o no
pasa por
la
aplicacin
de
varios teoremas que
vamos
enunciar.
Teorema
1. Todo
nmero
compuesto
l
e N
admite,
al menos,
un divisor prirno.
Este
teorema
junto
con
los
dos
siguientes,
2
y
3,
permiten
la
descomposicin
factorial
de
nmero
natural
en
producto
de factores
primos.
Teorema
2. Todo
nmero
compuesto
n
e N
puede
expresarse
mecliante
el
proclucto
de
res
primos,
as
m:
Pt'P2"..'P^
o
si
p,
se
repitiera
i
veces,
m:P"1,.p,.....p",1
Teorema
3.
La
descomposicin
factorial
de
un
nmero compuesto
m
e
N
en
factores
es nica.
As,
es
3.600
:
24.32 .52.
Para
encontrar
los
factores
primos
de un
nmero,
se
divide ste,
y
sucesivamente
los
cocientes
obtenidos,
por
los nmeros primos
posibles,
comenzando
por
el ms
pequeo
y
hasta
llegar
al co-
ciente 1.
Por
ejemplo,
para
el
nmero
168.
se
procedera
as:
r68
84
42
2t
1
1
2
2
2
J
7
Entonces.
168
:
23
.3.1.
Teorema
1.
La
sucesin
de nmeros
primos
es
infinita.
Teorema
5. Si m
es un
entero
compuesto,
ntfendr
un divisor
menor
o
igual
^
6.
El
total
de nmeros primos
menores
o iguales
a un entero
m se indica por
la
funci
n
n(ru)
que
recibe
el nombre
de funcin
de nmeros
primos.
1.6.
Mxulo
coMN
DtvtsoR
Sean
a
y
nmeros
enteros,
r/ un
entero
no
nulo.
Si
dlc
y
dlb,
se
dice
que
d
es
un divisor
comn
de
a
y
de
.
Si d
es
mayor
que
cualquier
otro divisor
comn
de
rz
y
, entonces
se dice
que
d
es
el
mximo
comn
divisor
de a
y
de b
y
se
indica por
mcd
(u,
b): cl.
Como
consecuencia
de la
definicin
antel'ior,
podemos
dar esta
otra: dos enteros
rz
y
se
dice
que
son
primos
relativos
o
primos
entre
s, cuando
su
mxirno
comn
divisor
es
1, es
decir.
mcd
1rr
,
b)
:
l.
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
5/50
Teora
de nmeros
El concepto
anterior
puede
extenderse
a
ms de
dos
nmeros: dados
los
enteros
a1, a2,...,
o,,.
,:
i-ce
que
son
primos
dos a
dos,
si el mximo
comn
divisor
de dos
cualesquiera
de
ellos es
1.
Para encontrar
el
mximo
comn
divisor
de dos
nmeros
puede
emplearse
el
algoritmo
de
Euclides. basado
en
el
siguiente
teorema.
Teorema.
Sean
a
y
b
dos
nmeros enteros,
et
>
b',
los
divisores
comunes
a
ambos
son
los
,
r'nunes al menor
de
ellos
y
al
resto
r,
por
defecto
o
por
exceso,
de
la divisin
de
ambos.
Entonces,
para
encontrar
el
mcd
(.a,
b), o
)
b,
se
efecta
la divisin
entera
del
nmero
mayor
:-,: el
menor, obtenindose
el
cocienie
qr
y
el
resto
r,;
a continuacin
se divide
el
divisor
D
por
.>3 resto
obtenido,
de
forma
g\e
ez
ser
el
nuevo cociente
y
r,
el
nuevo
resto;
se
contina
as
:,;:ta
llegar a una
divisin
exacta,
es
decir,
a
un
resto rn+t:0.
El
ltimo
resto no
nulo
ser el
:--,-d
(.
).
Si
el
ltimo
resto
fuera
l,
a
y
b seran
primos
entre
s.
Algunas
propiedades
del
mximo comn
divisor
son las siguientes:
Cualquier
divisor
comn de
a
y
es un
divisor
de
mcd
(a,
b).
Consiclerando
los nmeros
enteros
Z,
y
dado
que
los
divisores
de
un nmero
r
tambin
1o
son de
-r,
se cumplir
que mcd
(a,
b): mcd
(-ct,
b).
Se
verifica
que
mcd (a, b)
:
mcd (a
-
b,
b):
mcd (a
*
b,
b).
Si
mcd
(cL,
b)
:
d
entonces
mcd
(ah,
bh)
:
dh.
Si
mcd
(.ct,
b)
:
cl
y
n
y
b son
mltiplos
de ft entonces
mcd
(alk,
blk):
dlk
Si
mcd
(a,
b): d
entonces
mcd
(ald,
bld):
l.
Si
un
nmero c es
divisor
del
producto ob,
y
mcd
(u,
c):1,
entonces
cl'
Teorema
de
Bezout.
Dados
dos
nmeros
naturales
cL
y
b
tales
que
mcd
(a.
b)
:
r/,
existen
dos nmeros
enteros
s
y
/,
tales
que
d: as
*
bt,
es decir,
mcd
(4,
b): as
-fbt.
Teorema.
La
condicin
necesaria
y
suficiente
para
que
un
nmero
rt sea
divisible
por
otro
p,
es
que
el
primero
contenga
todos
los factores
del
segundo
afectados
de
exponentes
iguales
o
mayores.
Teorema.
El
mximo
comn
divisor
de
varios
nrmeros
es
el
producto
de
los
factores
primos
comunes a
todos ellos,
tomando
cada
uno con el
menor de
los
exponentes
con
los
que figura en
los
nmeros dados.
1.7.
Munno coMN
ulrtplo
Sean
a
y
nmeros
enteros
no nulos. Sea
/
un
mltiplo comn
de
ambos.
Se
dice
que
/
es
el
mnimo comn
mltiplo
de
a
y
de
b
cuando
es el
ms
pequeo
de todos
sus
mltiplos
comunes
y
distinto
de
cero.
Se
indica por mcm (a, b)
:
l.
Algunas
propiedades del
mnimo
comn
mltiplo
son las
que
siguen.
1. mcm
(4,
)
.mcd
(a,
b)
:
ab.
2. Si
mcd
(a,
b)
:
I
entonces
mcm
(4,
b)
:
ab.
3.
Si ru
es
mltiplo
comn de
o
y
D
entonces
m es
mltiplo de
mcm
(a.
b).
La
forma
ms
rpida de
obtener
el mnimo
comn
mltiplo
de varios
nmeros
se
apoya
en el
teorema
que
sigue.
1.
')
3.
4.
6.
7.
O
ITES-Paraninfo
a
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
6/50
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
Teorema.
El
mnimo
comn
mltiplo
de
mos
tanto
comunes
como
no
comunes
a
todos
con
el
que
figura
en
los
nmeros
dados.
varios
nmeros
es
el
ellos
y
tomando
cada
de
los
factores
el
mayor
producto
uno
con
1.8.
EcuacloNEs
DtoFruncas
Las
ecuaciones
con
coeficientes
enteros
y
cuyas
soluciones
se
buscan
slo
dentro
de
Z
se
ll
ecuaciones
diofnticas.
Teorema.
La
ecuacin
diofntica
ax
I
by:
c,
tiene
soluciones
enZ
si
y
slo
si
dlc,
s
d:
mcdn,
b)
En
este
caso,
todas
las
soluciones
de la
ecuacin
son
de
la forma
Y
t
e
Z
donde
(r,
-l,r)
es
una solucin
particular
d,e
ax
I
by:
c
1.9.
Cor*lonuENctAS
vamos
a
iniciar
ahora
Ia
teora
de
las
congruencias
tambin
conocida
con
el
nombre
de
ari
ca
modular
o
estudio
de
los
nmeros
congruentes.
Itb
lx:xt+
(
Ita
lt:tr-
sirzysondosnmerosenterosymesotroenteropositivo,sedicequeaysoncongru
les
resPecto
del
mdulo
,2,
cuando
divididos
por
l
pioducen
el
mismo
resro.
La
relacin
congruencia
se
expresa
como
l
:
(mocl
in)
o
bien
a
:
b
(tn).
De
la
deflnicin anterior
se desprenden
las propiedades
qr"
,lgr"r.
1.
Para
todo
o
es
a
=
a
(mod
nr),
propiedad
reflexiuo.
2.
Si
a
:
(mod
rz),
entonces
b:
o
(mod
nt),
propiedctcl
'in*ica.
'
li
n
=
(mod
m)
y
b
=
c
(mod
rr),
entonces
a
=
c
(mod
m), propieetacl
an.siritct.
4'
Si
un
nmero
4 es primo
con
r,
todo
b
:
tt
(mod
rir)
ser
tr.ti,
primo
con
rr.
Teorema'
La
condicin
necesaria
y
suficiente
para
que
dos
nmeros
a
y
b sean
congruentes
mdulo
//,
es que
su
diferencia
sea
mltiplo
de
2,
es
clecir,
rul@
_
b).
Otras
propiedades
1'
Si r
es
el resto
de
Ia
divisin
de
a
por
tn,
entonces
a
=
r(mod,
nl) y
decimos
que
r
es
el
menor
residuo no
negativo de
mdulo
2.
2'
l#',;:"(i";lH;..',ffi
i::.T:*';j:
il,::1i:T",,*.11*ji"',el,nj
;il,,U11.:
error
con
el
mdulo.
Como
representante
de
la
ilut"-r"
pr."
to-ur
el
menor
residuo
no
negativo
r
de
cuarquier
elemento
de
la
clase, que
ser
0
E
r
< rz.
3.
El
conjunto
de
clases
mdulo
rz
se
designoronZ,,,:
{t01,,,
[l],,,,...,
lm
_
11,,,].
4'
La
congruencia
mdulo
,??
es
compatibl
con
la
suma
y
"i'p.oar.,
o rte
Z,
es
decir,
si
:
(mod
nt)
y
c:
r1(mod
iir)
entonces
ct
I
c:
b
1-
d(moc;,
m)
y
4c:
bd(mod
nt)
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
7/50
siendo
de
a
Teora
de
nmeros 7
I
t-a
propiedad
cancelativa
del
producto
se cumple
si
rn
es
primo,
es
decir,
si
rn
es
primo y
ac
:
bc(mod m) entonces
a
=
b(mod m)
/m\
I
Si ac
=
c(mod
m)
y
d:
mcd(c,
rn)
entonces
a: (
mod;
|.
\
dl
Dados varios nmeros,
se dice
que
forman un
sistema de nmeros incongruentes respecto del
ffilo
rz,
cuando los restos de la
divisin de cada
uno
de
ellos
por
n
son todos
distintos.
Aque-
l[m sistemas
que
constan exactamente de m
trminos
reciben
el
nombre de
sistemas completos de
rcdduos.
-{ritutica
en
Z-
[-a compatibilidad de la
congruencia con la
suma
y
el
producto
de Z
permiten
definir en Z^ la
suma
y
el
producto:
+c:
clasede
a*cenZ*
A. c
:
clase de
ac
en Z^
Divisores de cero
y
unidades en Zm
Si
rn
no es
prim_o
,
en
Z*
hay
divisores
de
0,
es
decir. existen a, E tales
rye
a b
:
0 en Z^.
.
a
es divisor de 0
+
mcd(a,
m)
+
l.
o
Para
cualquier
lz
existert
en
Z*
divisoE de 1 o elementos inversibles.
Un elemento a
e
Z^
es
inversible si
existe
b e
Z*
ta1
que
ab
:
1
en
Z*.
Al
elemento b
se
le
llama inverso
de
y
se
le
designa
por
-
1.
En
trminos de
congruencias
se dice
que
b es el inverso
de
a
mdulo
m.
Este elemento
es nico, mdulo
rn.
o
es inversible
mcd
(a,
m)
:
I
o
Si
a-,
b son inversibles
entonces
ab
y
a-1
tambin son inversibles.
Teorema de
Fermat
Si
p
es
primo y
p
no
es
divisor de
a entonces ap-1
:
1
(modp).
1.10.
EcuncIoNES
DE
coNGRUENcA
f-a
apticaciOn
de
las
congruencias
tr
problemas
de
divisibilidacl
concluce al estuclio
cle
aquel tipo
de
congruencia
en el
que
existen incgnitas
a calcular.
Una congruencia
entre expresiones literales
recibe el nombre
de
ecuacin de congruencia: los
valores
clue la satisfacen
son sus soluciones.
Dados
dos nitmeros u
y
b
enteros, otro r,,
entero
positivo
y
una variable incgnita
.r,
la rela-
cin
r-r
:
(mod
rir) recibe
el
nombre
cle
ecuacin de congruencia lineal.
Teorema.
Sea
la
ecuacin de
con-truencia "r
:
(mod
ri).
Dicha
ecuacin tiene
o
Solucin
nica si rncd
(n,
nr)
:
l.
o
Un total de
cl
:
mcd
(a
,
rn)
soluciones si r/
|
D.
o
Nirl-suna
solucin
si
d
Nb.
Cuando tl b,
indicando
por
-ro
una
solucin, las
r/ soluciones
distintas respecto del mclulo r
seriin
[.ro
*
Qnld)
ll, Vi: 0, 1,2.
....
d
l.
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
8/50
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
1.1
1.
SlsrruAs
DE
coNGRUENctAS
LTNEALES
.\'
:
(/r(mocl
lr,
)')
.r
=
a,(mod
l,
) i
/
Ill
I
r
=
tt,,(mod
llt,,).,l
La
solucin
de estos
sistemas
se
apoya
en el
Teorema
chto del
resto.
Sean
ll,.
nt2,...,
rr,,
nmeros
enteros
positivos,
primos
dos
a
El
sistema
anterior
[1]
tiene
una
nica
solrin
mcluro
n1
:
tl1
1.m,.....,,r,,.
",
decir,
existe
solucin
. 0
(
x t.t.
Hallar
lu."p."r"rtacin
usual (en base
l0)
de 10011 1012,31651,200217,
12311,
l23ls.
Resoluclt
10011
l0l,r:1.27
+0.26
+0.2s
+
1.24 +
1.23 +
1.22
+0.2r
+
l.2o:
:128+16+8+4+l:757
3165e
:3.73
+
1.72
+
6.7
+
5.70
:
t.OZg
+
49
+
42+
5: t.125
2002t
:2.t13
+
0.tt2
+
0.11
+
2:1.331
+
z: t.333
l23le
:1.73
+2.72
+
3.7
f
1
:
343
+gB
+2t
+
l:463
12316
:1.53
+2.52
+3.5*
1:125+50+
15+
1:191
I
>
t
-2.
Hallar
la representacin
en
las
bases
2, 7
y
1
l
de
los
siguientes
nmeros
expresados
en base
deci-
mal:
237,
634, 562,
2
002.
Resoluclt
l)
Comenzamos
con
la representacin
en base
2.
Debemos
efectuar
sucesivas
clivisiones
por
2
hasta
clue
el cociente
sea
0.
O
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
9/50
Teora
de
nmeros
231
:2'118
+
I
1lB:2.59+0
59:2.29
+
I
29:2.
14+l
14:2'7+0
7:2.3+t
3:2'l+1
1:2'0
+
I
Los
restos
sucesivos
que
se
han
obtenido
constituyen
la
representacin
en
base
2:
634:2.317
+
0
311
:2.
158
+
1
158:2.19
+
0
79:2'39+1
39
:2'19
+
I
19:2'9+1
9:2'4+l
4:2'2+0
2:2'l
+
0
1
:2.0
+
1
2376o:
11
101
10112
562:2'281
+
0
281
:2.140
+
1
140:2'70+0
70:2.35
+
0
35:2.17+l
77:2'8
+
I
8:2.4
+
0
4:2'21-
0
2:2'l
*
0
l:2.0
+
I
2.002
:
2'
1.001
+
0
1.001
:2.500+1
500:2.250+0
250:2.125+0
125:2.62
+
1
62:2.31
+0
3l
:2'15
+
1
15
:2.1
+ |
7
:2'3'f
I
3:2'l+l
1:2.0+l
634o:
1
001
111 010(2
5626o:
i
000
110
010(2
20026o:
11
111010010(2
2)
La
representacin
en
base
7
se
obtiene
por
divisiones
sucesivas
por 7
634:7
.90
+
4
231:7'33+6
90:7'12*6
33:'7'4+5
12:1'l+5
4:7.0+4
1:7'0+
1
237
6o:
456s
6346o:
I 564s
5620:
14320
20026o:
556012
3)
Para
la
representacin
en
base
1 I
se
necesita
un
smbolo
adicional
para indicar
el valor
co-
rrespondiente
a
10.
Utilizaremos
la
letra A
2002:11'182
+
0
231
:
l|.2|
+
6
634:
|1.5]-17
562:11.51
+
1
182:
|1.16
+
6
2l:11'1+1051:11'5+251:11'4+116:11'1+5
1:11'0+l
5:11'0+5
4:ll'0+4
1:ll'0+1
2002oo:
1
560111
@
ITES-Paraninfo
562:7
'80
+
2
80:7'11
+3
ll:7'l+4
1:7.0+1
2.002:7
.286
+
0
286:7.40+6
40:7.5+5
5:7'0t5
237
oo:
1461r
r
63400:
527
6r
562o
:
4716r
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
10/50
\-,
)
10
Problemas
resueltos
de matemtica
discreta
I
>
t'g'
con
la
notacin
x^se
indica
que
el
nmero
natural
x
estescrito
en
base
rn.
Se
pide:
1)
Demostrar
que
lLl^: (m
*
l),o2 para
m)
3.
2)
Expresar
169*en
base
10 para
m)
10.
Resoluctl
1) tZI^:
t.m2
+
2.m*
t:
(m
+
l)o
expresin
que
slo
es
vlida para
m
)
3,
pues
en
base
2
el
smbolo
2
no puede
aparecer.
2)
169^:
I
.m2
+
6.m
-t
9
:
m2
*
6m
i
9,r,
I
>
l'4'
E*o'tt-
el mcd
de
108'
-90
y
l2l.clescornponienr]o
cada
nmero
en
slls
factores
pri
Resoluclr'
108
54
27
9
J
1
Con
esta
descomposicin
2
2
3
3
-1
2
-)
3
5
ser:
:23.33
)
I
-
-2.3'.5
imcd(r08.
-
-2.3r.7 )
90
45
I5
5
I
126
63
2l
1
I
2
J
J
7
-90,
-
126):2.32:
18
la
factorizacin
de
ambos
en
n
>
t.O.
Encontrar.
el
mnirno
comn
mltiplo
cle
ros
primos.
500
:
22
120
:
23
l0B
90
-
126
Aplicando
el
algoritmo
de
Euclicres.
carcurar
el
mcd
cre
-
1g7
y
154.
REsot-uclru'
Calcularemos
los
cocientes
y
restos
sucesivos
comenzando
por
la divisin
cle
y
l-54.
Por
lo
tanto.
mcd(-
187.
154):
Il.
500
250
125
25
5
I
'.)'
I
3sJ
500
y
2
2
5
5
5
120
mediante
120
60
30
15
5
I
2
2
2
-)
5
@
ITES-Paraninfo
mcm
(500.
120)
:
23
.3
.
53
:
3.000
>-
|'t
I t
I
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
11/50
.y**J
\*-rou,
'.7.
tu
,u*u
de
dos
nmeros
es
60
y
su
mximo
comn
divisor
es
Resoluct.
Sean
x
e
y
los
nmeros
buscados
Teora
de
nmeros
11
12.
Cules
son
estos
nmeros?
tll
por
ser
d:
mcd(x,
y),
existen
c
y
c'enteros
tales
que
x:
dc,
:
dc'
y
mcd
(c,
c'):
l'
60:x
*y: d(c
1-
c'):
l2(c
t
c')
+
c
I
c'
:
5
El
sistema
[1]
se
transforma
as
en:
r+,v:60|
rl
:
mcd
{r.
1,)
:
l2j
que
tiene
dos
soluciones
.:
rI
v
c':4)
r
Por
tanto
hay
dos
soluciones
al
problema
planteado:
c+c':5]
mcd(c.
c')
:
lj
,
:21
c'
:
3)
x
:
l2l
x:24)
)':48J
'
)':36)
>
1.8.
El
producto
de
dos
ntneros
naturales
es
1.260
y
su
mnimo
comn
mltiplo
es
630'
Cules
son
los
nmeros?
Resoluclt.
Llamemos
x
e
y
a
los
nmeros
buscados.
Segn
el
enunciado
tenemos
ry
:
t'z6o]
I
:
mcm
(x,
y)
:
630J
Llamando
d
al
mximo
comn
divisor
de
x
e
y,
se
tiene
d:
mcd(x,
y), existet
c
y
c'
tales
que:
x:dc
,
y:dc'
,
mcd(c,c'):1
tl]
Sabemos
que
rry
:
mcd
(x,
Y)
mcm
(x,
Y)
:
d'l
luego
1.260:d'630 ,
dedonde,
d:2
Operando
en
las expresiones
de
[1]
resulta:
x
:
dcdc'
:
dzcc'
,
de
donde,
l'260
:
4cc'
Por
tanto,
las
condiciones
para
c
y
c'
son:
cc'
:
315]
mcdlc.r"):
lj
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
12/50
12
Problemas
resueltos
de matemtica
discreta
Este
sistema
tiene
cuatro
soluciones,
1)
c:1,
c,:32.5.7:315
2)
c
:32,
c'
:
5.7
:
35
3)
c:5,
c':32.7:63
4) c:7,
c'
:32.5:
45
que
proporcionan
las
cuatro
pareias
de
nmeros
que
cumplen
las
condiciones
del
enunciado
v:
630
y
:70
v:126
):90
300
150
15
25
5
I
1)
,r:2,
2)
"r
:
18.
3)
"r
:
10.
4)
x:
14,
I
>
l'9'
Holl'r'lt
divisores
comunes
de
300,
420 y
660.
orclenarlos
de
menor
a mayor.
Resoluclru.
En
primer
lugar
calcularemos
el
mcd
cle
los
tres
nmeros
dados.
660
330
r65
55
11
I
13
:
:',
l
t',
|
-"0
(300,
420,660)
:
22
.3
.s
:
60
660
:
zr.:
.s.
il
J
Los
divisores
comunes
de los
tres
nmeros dados
son
los
divisores
de 60.
para
encon
ordenadamente.
basta
tener.en
cuenta
que
cada
uno
de
esos
clivisores
es
el
producto
de
tres
res,
cada
uno
elegido
sucesivamente
de
los
conjuntos
{1,2,22}
{1,3}
{1,5}
Por
1o
tanto,
los
divisores
pedidos,
tanto
positivos
como
negativos,
sern:
+1.1'l:
*l
+1.3.1:
+3
+1.1.5:
+5
+1.3.5:
*15
b
t-u
2
2
J
5
5
2
2
J
5
1
420
2t0
105
35
1
I
2
2
J
5
1l
+2.1.1:
+2
+2.3.1:
*6
+2.1.5:
+10
+2.3.5
+
+30
+4.1
.t :
*4
+4.3.1:
*12
+4.1.5:
+20
+4.3.5
:
+60
y
a uno
de los
sumandos.
entonces
> t.to.
Demostrar
que
si
a
divide
a la
suma
b
-t
c de
dos
enreros
tambin
divide
a
otro,
o e
Zo.
Resoluclt.
Indicando
por
r
cualquier
valor
entero
0,
b*c:ar
b:
as
s,
entero
y
si
suponemos
que
a
divide
a b,
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
13/50
Teora
de
nmeros
t3
Restando
ambas
igualdades,
t\
J.
'
r.
1n.r.
'-,r-z(*l.Cr
(b+
c)-
b:
c: a(r-
s): ,
r>s
c:
,
alc
r
111Jrpl""r
"t
principio
de
la divisin
eucldea
para
encontrar
el cociente
c1
y
el
resto
r
a
partir
de
los
dividenos
D
y
iriro..t
r/
que
se indican.
Tngase
en cuenta
que
debe
cumplirse
0
1.17.
Probar
que
si
alc, b
lc
y
mcd
(a,
b):1 entonces alc.
Resoluclt. Como
mcd
(a,b)
:
1, existen,
r,s
e
Z tales
que
1
:
ar
*
bs,
luego c
:
car
*
cbs.
Adems alc
y
b
lc
luego c: amy c:
bn.
Sustituimos
estos valores
en la expresin
anterior:
c
:
(bn)or-l
(cun)bs
:
(ab)nr
*
(ub)nts
ab
divide a ambos
sumandos, tambin
divide
a
la
surra,
es decir,
a
|
c.
>
-
.19.
Demostrar
que
si
n)2
y
n no
es
primo,
entonces
existe un
primo
p
que
divide
a
n
y
tal
que
p2
{n.
ReSOluClH. Si n no es
primo
en su descomposicin en
factores
primos
habr, al menos, dos
factores
primos
pt
y pz
(que
pueden
ser
iguales). Tendremos as
que:
PrPz
4
n
Llamando
p:mn(pp pz),
este
primo
ser el
requerido
por
el enunciado
pues
pln
y
p2
{prpr{n.
>
1.19.
Estudiar si son o
no
primos,
los nmeros 811,461
y
911.
Resoluclr.
Segn el ejercicio
anterior. si
il no
es
primo
debe
existir
un
primo p
divisor
de
ru
r
y
tal
que
p
(
./n.
As
para
comprobar
quejl1
es un nmero
primo
basta comprobar
que
no es divisible
por
los
primos
menores
que
/Stl.
Es
decir,
por
los
primos
2,3,5,1,
11, 13, 11.
19,23. Efectuadas
las
operaciones
se
comprueba
as
que
811 es
priruo.
Del
mismo modo
comprobamos
que
467
es un
nmero
primo,
porque
no es divisible
por
los
pri-
mos
menores
que
V467
que
son:
2,3,5,1.11,
13, 17
y
19.
Y tambin
9ll es un
nmero
primo.
Cuntas
comprobaciones
se han de efectuar en este
nmero?
\'I
>
1.20.
Cuntos
divisores
positivos
tiene el
nmero 29338848000:28.3s.53.73.11?
Cuntos
son
mlti-
plos
de
99?
Y
de 39?
Resoluclru.
EI
nmero de divisores
positivos
es
(8
+
lxs
+
lX3
+
1X3
+
lxl
+
t): 1.728
Para
que
un divisor sea mltiplo de 99
debe
contener a los
factores.32
y
ll. As el
nmero
de
estos
divisores
es
el
mismo
que
el
del
nmero 28.33.53.73, es
decir,
(8
+
1X3
+
1X3
+
rX3
+
1):
516
Ninguno
de
los
divisores
ser
mltiplo
de
39
porque
no
contienen
al factor
13.
Como
t-t_-
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
18/50
18
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
I
>
t.zt.
o*r*t*.
que
si
2"
-
I es primo,
entonces
o
bien
n es
impar,
o
bien
es,
:
2.
Resoluclt'.
Supongamos
que
r?
es
par,
distinto
de
2
y
natural y
Ilegaremos
a
una
cin.
As, por
reduccin
al
absurdo,
demostramos
el
resultado.
Si es
par,
ser
de
la
tbrma
n:2k
con
k
*
I por
ser
n
*2
2,
_ l
:22k
_
1
:
(2*
_
lx2i +
l)
y
si
k
*
I
sta
es
uua
descomposicin
en
factores
propios,
clistintos
de
l,
de 2,,-
2'
-
| no
sera
primo
en
contradiccin
con
la
hiptesis
de
p;idu
I
>
t.ZZ.
Estudiar
si
son
ciertas
las
siguientes
afirmaciones:
a)
Y
m
e
Z,
Zm
y
4m *
3
son
primos
entre
s.
b)
Y
me
Z,2m*
I
y
3m*2
sonprimos
entre
s.
Resoluclt
a)
No
es
cierta,
pues
param:3,2'3
y
4.3 +
3,
es decir,
6
y
15
no
son
primos
entre
s.
b)
Parademostrar
que
2m*1y
3m*
2
sonprimos
entre
sbasta
encontrar
r,
s
eZtales
(2m
+
l)r + (3m
+
2)s
:
1.
Tomando
r:
-3,
s
:
2,
se
tiene
qrue
(2m
+
lX_
3)
+
(3m
+
2)2:
1.,
Por
tanto,
mcd(Zm
I
l,
3m
+
Z)
:
I
y
m
e 2'.
l
>
l
'zS'
c'"p-urr
que
si
r?
es
un
entero positivo
entonces
ninguno
de
los
/r
enteros
(rt
*
1)
+2.
(,
+
r) *
3,
(,
+
r)r +
4,
...,
(n+
r)r +r
+l
es
un
nmero
primo.
Resoluctt.
Los
nmeros
(n
*
1) +
r,
v
k:2,
...,,
r
r
son
compuesros
porque
es
divisible
por
k.
:
kl(n
+
I)n.
...
-(k+
t)(k
-
1). ...
.2.1+ tl
l>
t'24'
Demstrarque
sipes
unnmero
primodistinto
de2y
de5
entonces,
obien
pr-
l,obie:
p2
+
I
es
divisibie
por
10.
Resolucrt.
La
rtima
crfi'a
de-un primo
p,
distinto
de
2
y
de
5,
puede
ser
1,
3,
7
9.
pc:
tanto
la
ltrma
cifra
de
pr
slo puede
ser
I
.
En
el
primer
.ro
r;_'r"ra
rriipi
de
t0
y
e:
el
segundo
ser
p2
f
I
mltiplo
de
10.
I
>
1.25.
Hrllu.
l'
soluciones
enteras
de
la
ecuaci
n
r4x+
rOy:4.
Resolucltt'
La
ecuacin
diofntica
ax*
by:
c
tiene
soluciones
enteras
si
y
slo
si
mcd
(a,
b)lt
En
la
ecuacin
dada,
mcd(14,
l0)
:214.
lLrego
la
ecuacin
s
tiene
soluciones
enteras.
para
ha-
llarlas
hay
que
encontrar
una
solucin
particul
(x,,
-y,)
en
primer
lugar.
Simprificamos
ra
ecuacin
iniciar
dividiendo
por
z:n,.(to,
t+i
7x *
5y:2
tll
obteniendo
otra
ecuacin
que
es
equivalente
a
la
inicial,
pero
con
los
coeficientes
primos
entre
s.
@
ITES-Paraninfo
(n
+
1)l +
k:
(n
+
t)n(n-
1).
...
.(k
+
t)k(k
-
1).
...
.
2.1
+
k
:
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
19/50
Teora
de nmeros
19
Busquemos
una
solucin
de
la
ecuacilnTx-l
5y: l.Como
mcd(7,5):
l, los
valores
de
x
e
y
son
aquellos
cuya
existencia
asegura
el
Tearema
de
Bezout.
As
una
solucin
de la ecuacin
7x
*
5y:
1 es, por
ejemplo,
G:3
tr:
-o
Es
evidente que
si multiplicamos
estos
valores
por
2
obtendremos
una
solucin
de la
ecuacin
[l]
(x, :6
tr':
-t
Una
vez
obtenida
una
solucin
particular
(xr,
yr)
de la
ecuacin
[1],
todas
las
soluciones
de la
ecuacin
son
de
la
forma
7t
Ytez
>
1.26.
Hallar
las
soluciones
enteras
de la
ecuacin
l6x
+
26y:14.
Resolucl1.
Como
mcd(16,
26)
es un
divisor
de
14,
la
ecuacin
tiene
soluciones
enteras.
Sim-
plifiquemos
por
mcd
(16,
26):
2,
obteniendo
8x
-
13,1,
:
I
tll
una
ecuacin
equivalente
a la
dada,
con los
coeficientes
primos
entre
s.
Como mcd(8,
l3):
l,
el
teorema
de Bezout
asegura
la
existencia
de
solucin
para
la
ecuacin
8.r
-
l3,y
:
I
t21
Jr:6
+
sr
[1':
-a
-
I
>
t.ZA.
Calcular:
8 mod
3.
Comprobar:
si
8
:
f.r:35*13
t)
:21
*
8t
15
mod
3,
-
14
mod
6.
l4(mod
3), si
8: l5(mod
3).
una solucin
de
[2]
es
r
:
5,
v
:3,
por
;::,
;*,
in
particular
de
[1]
es
t1,'
:'
'7
:21
Y todas
las
soluciones
de
la
ecuacin
dada
son:
t-
1.27.
Qu
condicin
tienen que
verificar
b
y
K
para
que
la
recta
de
ecuacin
Blr
-l
by: K
no
pase
por
ningn punto
de
coordenadas
enteras?
Resoluclt'-
La
recta
de
ecuacin
87x
-l
b1':
K
pasa
por
el
punto
de
coordenadas
enteras
(m,
n)
si 8'7m
-l
bn
:
K, es
decir,
si
el
par
(m,
ru)
es
una
solucin
de la
ecuacin
diofntica
87x
l
by:
K.
Esta
ecuacin
tiene
soluciones
enteras
si
y
slo
si mcd
(Bi,
b) es
un divisor
de K.
Por
tanto,
la
condicin
que
deben
verificar
b
y
K
para
que
la
recta
de
ecuacin
8lr
-l
bv:
K
no
pase
por
ningn punto
de
coordenadas
enteras
es
que
mcd
(87,
)
no sea
divisor
de K.
O
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
20/50
31. a) Comprobar si
los nmeros
14,
duos
mdulo
7.
b) Comprobar
si
los
nmeros 12,
mdulo 6.
Resolucrr.r
Teora
de nmeros
21
29.
-
12, 3, 32. 9, 55 fbrman un sistema
completo
de
resi-
-5,
11
,15.4,
-l
forman un sistema completo
de
residuos
a)
Un
sistema
completo de
residuos
mdulo
7
est formado
por
7 enteros
que
son incongruentes
dos
a
dos,
mdulo
7.
Comprobamos
que
los nmeros del enunciado cumplen esta condicin,
pues
14
:
0
(mod
7),
29
:
1
(mod
7),
-12:
2
(mod
7)
3:3(mod7)
,32:4(mod7)
9=5(mod7)
y
b)
En este caso los
nmeros
dados
no
cumplen
la
condicin
pues
-5
:
-
17
(mod
6).
Construir
la tabla de las operaciones suma
y
producto
enZuy
2.,.
Resoluclru. Escribamos los elementos,Je Zo en
la lorma
0.
T.2.3.4.5.
Los
elementos de
Z,
se
escrlben
en
la forma 0, 1, 2, 1, 4, 5. 6. sin
poner
subndices
para
evitar
confusin.
z6
z6
z1
7
+
0
T ,
;
J 4
5
0 0
T 2
;
-)
4 5
1 T 1
;
-1
4 5 0
2 1
-
4
5
0
T
;
-)
;
-l
4 5 0
T
2
4
4 5 0
I
2
-
5
5 0
T ,
-
4
0
T 2
;
-)
4 5
0
0 0 0
0
0
0
T
0
T 2
;
4
5
2
0
2 4
1 4
;
0
-
0
3
0
;
4 0
4
2 0
4
2
5 0 5
4
;
-l
2
1
+
0 T 2
-
4 5 6
0 0
T 2'
;
4
5
6
T
T
1
-
4
5 6 0
1 2
-
,
4 5
6
0
T
-
;
-')
4 5
6 0 T 2
4
4
5
6
0
T
1
j
5 5 6 0
I
2
-
4
6
6 0
T ,
;
J 4
5
0 T 2 3
4
5
6
0 0 0 0 0 0 0
0
T
0
T 2 3 4
5
6
2
0 2
4
6 T
;
J
5
1 0
t
J
6 2 5
T
4
4
0
4 1
5
2 6
-
5
0
5
-
T
6
4
2
6 0 6 5
4
-
-)
2 I
@
ITES-Paraninfo
L-
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
21/50
20
Problemas resueltos
de
matemtica
discreta
Resolucrr.r
a)
8 mod
3:
8
13
_
22
8mod3:2
15mod3:0
-
14
mod
6:
-2
--+
el menor residuo es
2
--+
el menor residuo es 0
--+
el
menor residuo
es
1
-*
el
menor residuo
es
6
15 mod
3
-
140 mod
6
8
l3
22
Tarnbin, es 14
-
8
:6:
3.
lr.go
son congruentes.
8
l3
22
Como
15
-
8
:1
+
3, no ,o, congruentes.
23:7.3
+
2
35:7.5+0
-48:7.(-7)+1
-64:7.(-10)
+
6
t^ I
.
r+
I
u
=
^
Z -Z
14
l3
-
restos
iguales
-
8
:
14
(mod
3)
1^
ls l:
-
5
b)
ls l
t5
+
restos
distintos
+
8
+
14
(mod
3)
34
I
>
t.Zg.
Encontrar el
menor residuo no negativo mdulo 7 de
los nmeros: 23,35,
-48, -64.
ReSOluClru. Efectuamos Ia divisin entera de cada uno
de los nrmeros
por
7. El resto
obtenga ser el menor residuo no negativo.
$)
4.1r
C
I
> t.90. Encontrar. de
forma
general,
nmeros congruentes con
11
(mod
5).
Resoluctr. Llamemos r a
esos
nmeros
congruentes
con 11 respecto
del
mdulo 5. En
se
tendr:
5l(.r-11)
.
x- 1l:5k
,
x:11+5r
Dando
ahora
valores
a
k, se obtendrn nmeros r congruentes con
I
l:
ll
t6
2t
26
6
1
..:
+
{
...
-
4, l, 6.
I I,
16,
21, 26, ...}
@
ITES-Paraninfo
0
1
2
3
-1
-
-:
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
22/50
22
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
I
>
t.s3.
sabiendo que
1234567
=
7
(mocl
10),90123:3
(mod
to),2468:
t8
(mod
25)
y
que
(mod
2-5)
calcular
el
valor
del rnenor
resicluo
no
negativo
;
tal
que:
i)
1234561
x
90123
:
;
(mod
l0)
ii)
2468
x
13579
:
r:
(mocl
25)
Resoluclru.
Aplicamos
el
siguiente
resultado:
rr
=
/r
(n166[
]
c
:
ct
{mod
rtrl
-
qc
=
bcr(rlod
rr)
i)
se
aplica
el
resulrado
romando
o: 1234567,
b:
J,
c.:
gol23.
d:3,
con Io
que
1234567
x
90123
=
7
x
3
(mod
t0)
:
1
(mod
10)
ii)
Ahora
es
a:2468,
b:
18,
c
:
13579,
d:4
2468
x
13579
:
18
x
,l
(mocl
25)
:12
(mod
25)
:
12
(mod
25)
l>
t'ga'
S"o
{.1;
-r,,-r,...,-to)r(:,
la
representacin
en
base
l0
de
un
entero positivo
-r.
Demostra:
'r
='ro
-'rr
f
-Y)
-
"
'
+
(-
l)"-r,,
(tnod
11).
Utilizar
este
resultado
para
comprobar
si
los n:
7e-
)
L_/
/)o
1213141516171819
y
192837465564138291son
clivisibles
por
ll.
,Qu
cifi-a
qLre
fatra
en
ta.
dad
811782_1200
:
l4l?
Rgsoluclru.
si
(-r,,
xn-1t
...,
/o)1re
es
Ia representacin
en
base
10
de
-r,
enfonces
i
/
..1
,
*:
xo
*
lox,
*
7o2xr
l
"'
I
7o'x,
]
)
(,
f)
Si
t
es
par,
entonces
10k
=
I
(mod
11),
pues
'\,
10k
-
7
:
202"
-
1
:
OO2-
lXlozr"-
\
+
lo2("-z)
-,r-
...
+
lO2
+1)
es
mltiplo
de
ll
\
j
-/\'"
'
'
IV
t
t)E
\
\
Zl
Si
k
es impar,
entonces
10k:
-
I
(mod
11), pues
I
t0&+
l:102+1+
1:(10+
1X102s
-1g2s-1
+...*
1)
esmlriplode
11
Utilizando
l)
y
Z)
tenemos
que
x:
xo
*
10x, *
7O2xr*
103x. +
...+
10,x,=xo_
xti
xr-
xtl
...+
(_1)"x,
(mod
ll
Por
tanto,
x
es
divisible
por
lt
si
y
slo
si lo
es
la
suma
xo-
xtr
xr-r *
...+
(-l)ir
utilicemos
este
resultado
con
los
nmeros
der
enunciado:
9-
I
+8-
1
+7
-
I
+6-
1
+5-
1
+
4-
I +3 _ I
+
2_
t:36
no
es mltiplo
de 11,
luego
tampoco
lo
es
el nmero
121314151617lg19.
I
-9+
2-
8+3
-7
+
4-
6+5
-5
+
6
-
4+7
_3
+g_Z+9
_
1
:0
es
mltiplo
de
11,
luego
tambin
lo
es
el
nmero
19293746556473g291.
Finalmente
estudiemos
la i-qualclad
811182-1200:
I,11.
Es
obvio
qLre
l4
es
r,rn
mltiplo
cte
luego
tambin
lo
es
el
nmero
871182_1200.
Si
llamamos
-r
a
la
cifra que
falta
se
cumplir
q.
0
-
0
+
2
-
I
+
x
-
2
*
8
-
7
+
I
-
7
+
8
:
2
*r
es
un
mltiplo
de
li.
La
cifraqr;;-..I
c
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
23/50
.W#)
rf
U'r,^0
Teora
de
nmeros
23
Comprobar
mediante
un ejemplo,
que
en
Zr., Zn
y
2,.
existen
divisores
de
0, es
decir.
elementos
.i.
-r'
tales
que
)'
:
0
siendo
x
*
0
*,r'.
Existe
algrn
ejemplo
en
Zr]
Resoluctt.
En Zr.,los
elementos
3
y
2 son
divisores
de
cero,
pues
3
'2:0
(mod
6)' es
decir'
1
1:0
en 2,,.
En Zo,
los
elementos
4
y
6
enVo.
En
Zr.,
los
elementos
3
y
son
m
divisores de
cero,
pues
4'6
=
0
(mod
8),
es clecir.
+ 6
:
0
son
divisores
de
cero,
pues
3'10
:
0
(rnod
l5), es
decir,
3.m:oenZrr.
En
Z, no hay
diri.o."r
de
cero
porque 7 es
primo. Recordemos
que
a
es
divisor
de cero
en
Z^ si
y
slo si
mcd
(a,
m)
*
l.
1-
136.
Hallar
los
elementos
inversibles
de
26,
Z,
Y
Za.
ResoluctH.
Los
elementos
inversible
s de
Z^ son
los
elementos
,
tales
que
mcd
(a,
m)
:
l.
Los elementos
inversibles
de
Zu son
{T.
5}'
Los
elementos inversibles de
Z,
son
{T,
2,i,4,5,61.
Los
elementos
inversibles
de
Z*
son
{T'
3.
5'
71.
'
37.
Hallar
los inversos
de:
a) 6enZ'
b)
6enZ'
c) 3
en
Zro
d)
5 en
Zr.
Resoluct
a)
El
inverso
de 6 en
Zr,
(o
mdulo
11),
ser b
tal
que
6b
=
1(mod
11). Fcilmente
comproba-
mosque 6.2:12,
luego
6'2:
I
(mod11)yas2eselinverso
de6enZrr'
b)
El
inverso
de
6
en
Z' es 3,
porque 6'3:1
(mod
17),
o
bien,
6'3:i
enZrr'
c)
El
inverso
de 3
en Zro
es
7,
porque
3.7:1
(mod
10), o
lo
que
es 1o
mismo,
3'7:
I en
-
Zro'
d)
El inverso
de
5
en
Z' ser b
tal
que
5b
=
I
(mod
12). O
expresndolo
de otra
manera
5b
-
|
es
un
mltiplo
de
12.
Es decir,
5b-l:lzk
+
5b-lzk:l
Como
mcd(5,
12):
l,la
expresin
anterior
es
la correspondiente
al teorema
de Bezout
y
los
coeficientes
b
y
k
se
obtienen
con
el
algoritmo
de
Euclides
r?-.,+T)
L-
J''''l
-
I
:5
-
2.2:5-2(12-
5'2):(-2)'12+
5'5
5:2'2+l)
Por tanto
b:
5. EI
inverso
de
5
en
Zp es5.
L*
1enZl
;-
I en
L:.
1 en
Zro
=-
en
Ltz
e)
f)
s)
h)
O
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
24/50
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
e)
El
inverso
de
2 en
Z,
es6'
porque
2'6
:1
(mod
1l)'
o
bien'
2'6
:1
enZ"'
f)ElinversodeTenZrrser-rtalquelx=l(mod15)'Esdecir'lx-l:15)"
calculemos
los
coeficientes
r
e
,),
aplicando
al
algoritmo
de
Euclides
al
c
j
mcd(7,
15)
:
1
15
:7
.2
+
l--7(-2)
+
15
'1
:
1
As
pues x:
-2,
y
el
inverso
de
7
es
-2
en
Z"'
gomo--Z
=
13
(mod
15)'
*)_-;"
i-rr,
pi"*os
decir
que T3
es
el
inverso
de
7
en
Zrt.
g)ElinversodeTenZruser'rtalqueTl=l(mod16)'obien'7x-l6y:l'
n"piti"nJo
"i
p.oro
descrito
Ln
(0
por ser
mcd
(7,16):
1, resulta
16:7
.2
+
2)
>
>
l:7
-2'3:7
-
(16-7'2)3:7'7
-
16'3
,
7:2'3+l)
As
x:7
Y
el
inverso
de
7 en
Zru
es
7
'
l"=
-'t
;;',
Repitiendo
el
proceso
anterior,
el
inverso
de
5
en
z*
ser'x
tal
que
5x
-
l3y
:
I
,
i
13:5'2+3)
1:3-2'l:3-(5-3'1:
imcd(13,5):1
t:r'1+2f
-
:s(-1)+3'2:5(-1)+(13-5':
'
3:2't
+
l)
:
5(-
5)
+
l3'2
As
Pues
5'
El
inverso
de
5
en
Z"
es
:5
:
g
.,,).tr
t
,"'l
ffir
sig\ienre
si:i"gEd"
ecuaciones
en
z,
y
enz,
(x1-2v:4
'
l+x
+
zy:
+
Resoluclt'1.
Resolvemos
el
sistema
en
Z,
x
-t
2y:4
)
4x
*
4'2Y:4'4\
4x
)-
Y:
2
I
-
4x+ly:4J
+
4x-t3Y:4
f
'
4x+3Y:4J
si
a
la
segunda
ecuacin
le
restamos
la
primera
obtenemos
2Y:2
+
4'2Y:4'2
-
Y:1
sustituyendo
en
la ecuacin
x
*
2y:4
el
valor
de
y
resulta
x*2.1:4 - x:2
El sistema
tiene
solucin
nica
x:
2'
y
:
t'
Resolvemos
el
sistema
en
Z,
x
*
2Y:4
I
4x-t
4'zY:
a'4\
+
4x
+
3y:41
4x
*
3Y:4
J
el sistema
no
tiene
solucin
en
Z,
@
ITES-Paraninfo
CS
4,r
+
31':
tJ
4x+3v:4J
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
25/50
t.u^
Teora
de
nmeros
25
>
'"39.
Dado un nmero a, recibe el nombre de inuerso de a mdulo m, oiro a' tal
que
a'a=l(modm)
Calcular los
inversos
de:6
mdulo
11,3
mdulo
8,2
mdulo
8.
Resolucr
a)
El
inverso
a' debe cumplir:
rlt--
Co--1
6a'
=
1
(mod
11)
-
lll(6a'
-
l)
+
a'
:2
b)
Idem:3a':l(mod8)
-
Bl(3a'-1)
+
a':3.
c) Idem'.2a': I
(mod
8)
+
8l(2a'-
1). Pero
como ahora
2a'- |
es un
nmero impar. no
es
posible
encontrar a'.
El
inverso no existe.
L
r.,.i,.r,"o
>
l.10.
Sip es
primo,
demostrar
que
en
Zolos
nicos elementos
que
coinciden con su inverso son
1
y
-1.
ReSOlucl.
Si
p
es
primo
todos
los
elementos
no nulos
de Z, admiten_inverso.
Sea
a
e Z, un elemento
que
coincide con su inverso, es decir, AA
:
I en Zo, o lo
que
es lo
miso, aa
:
1
(mod
p).
Aspl
a2
-
l, es
decir,
pl@
-
1)(a
+
1).
Como
p
es
primo
debe
dividir a
uno
de
los
dos factores,
o
bien
pl@
-
1)
o
bien
pl(a
+
l).
Sipl(a
-
1)
entonces o
:
1
(modp),
o sea, a
:T
enZo.
Si
pl(a
*
1) entonces 4
=
-1
(modp),
o sea, A-
-l
enZo.
)
>
'
,41.
u
Co,oprobar que
los
enteros
menores
que
ll,
excepto
el
1
y
el
10,
pueden
agruparse
cle
dos
en
dos de manera
que
cada uno
de
ellos es
el
inverso
del otro
en Zrr.
b)
Usar el apartado
a)
para
demostrar
que
l0
:
-
1
(mod
ll).
Resolucr
a)
Como
l
l
es
un
nmero
primo,
todos los
elementos
no nulos de Z,
son elementos
inversi-
bles. Veamos
cul es
el
inverso
de
cada uno
l.l
:
I
(mod
lll luegoTesel inverso
dei enV,
1 L
-
I /-^l I I \ 1..^^
.o: l(mod 11)
,
luego6esinverso
de2y
2esinverso
de6enZ'
3.4: I
(mod
lll luego
3 es
inversode4y4es
inverso de 3
enZ,
5.9
:
1
(mod
l1),
luego 5
y
9 son inversos uno
del
otro enZ,
7'8
:
I
tmod
I ll
luego 7
y
I son inversos uno
del
oiro en Z,
10.10: 1
(mod
l1)
,
luego I0 es inverso de s mismo
enZ,
b) 10
:10.9.8.7.6.5.4'3.2.1:10.8.1.6.4.3.2.1(mod
1l),yaquees9.5:l
(mod
11).
Y
si seguimos agrupando los f'actores
por pares,
2
y
6, 3
y
4, 7
y
8,
llegamos
a:
10 =10
(mod
l1)
y
como
10:
-l
(mod
ll),
resulta
l0
:
I
(mod
1l)
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
26/50
26
.Problemas
resueltos
de matemtica
discreta
t..rr.O
Demostrar, utilizando
el
mtodo
del ejercicio
anterior,
que
si
p
es
primo
entonces
(p-l)l:
-l(modp)
Utilizar
este
resultado para encontrar
el
resto de
dividir
l5
por
17.
Re_sol-uclru. Si
p
es
prin-ro
los nicos elementos de
Zo
que
coinciden con su
inverso
-
l. Esto
quiere
decir
que
los
restantes
elementos
de
Zns
pueden
agrupar
por
parejas
{.
que
ld:
T
en 2,,,
es
decir, ctl: I
(mod
p).
As en el
producto
(p
l)l:
(p
l)(p
-
2)(p
-
3)
.3.2.1
todos
los
elementos,
s
p-
l,
pueden
emparejarse de
forma
que
el
producto
de cada
par
es congrlrente
con I
n
Ser,
por
tanto:
Qt-l)l:@-
1).1(modp)
ycomo p l:-1(modp)
(p-t)l:-1(modp)
Este resultado
se conoce como
Teoretna
de
Wilson.
Aplicaremos
el
teorema para
hallar
el
resto
'de
la
divisin
de
l5
por
17.
Si
expresa
en
forma
de congruencia, tendremos
15
=r(mod17)
multiplicamos
esta congruencia
por
16
(es
decir.
por
16:
l6
(mod
l7))
16l
:
16r
(mod
17)
El
teorema de Wilson
para p:
17
dice
que
16
:
-
1
(mod
17)
luego
16r:
-
I
(mod
I
16r:
I
(rnod
17)
-
16r
=
16
(mod
17)
+
r'
:
I
El
resto
buscado
es
l.
I
>
t.9. Dada
Ia
ecuacin
de congruencia lineal
3.r
=
5
(mod
13),
analizar
si tiene
solucin
y.
en
(
mativo.
resolverla.
Resoluclt.
En
primer
lugar.
calculemos
r/: mcd(3,
13)
t3:3.4+1)
3:
1.3
+
0i
=>
mcd(3,
13): 1
+
tiene solucin
nica
Clculo
del
inverso
de 3 mdulo
13:
3u'
= I
(mod
13)
-
13l(3a'
- l) -
o'
:9
es
un
inverso
Por lo
tanto.
9.3x:9.5
(mod
13)
+
.r:6
(mod
13)
V1J-t..{1.
'ri..r..
i
, .r.
I
>
t.q+.
Resolver
las
siguientes ecuaciones
de
congruencias:
a/
a) 5x=1(mod11)
Vb) 4x:3(mod7)
'i'Lt'
c)
3x=9(mod15)
-/-;
d)
8x
=
2
(mod
10)
,() e) 5x
=
7
(mod
15)
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
27/50
-\
l___,
Resoluctt
a)
5,r
=
1
(mod 11)
mcd(5,
l1):1
s.9+
11.(-4):1
esdecir,4Y9.
e)
5y
=7
(mod
15)
'/
"-
---/Crmo
mcd(5,
15):5
T-n\.x-1,
?
.
luego
5
tiene
inverso
mdulo
11
,
luego
el
inverso
de
5'
mdulo
11,
es
9
multiPlicamos
Por
9
la
congruencia
9'5x=9'1(mod11)
+
45x=9(mod11)
=
x=9(mod11)
Comprobamos
que
la
solucin
es
nica'
pues mcd(S'
11):
l'
b)
4x:3
(mod
7)
mcd(4,
7):
l,luego
4 tiene
inverso
mdulo
7;
el
inverso
es
2,
pues
4.2+7(-I):1
y
as
4.2:
1
(mod
7).
Multiplicando
en
la
congruencia
por
2
-2.4x:2.3
(mod7)
+
x:6
(mod
7)
i
c)
3x:9
(mod
15)
,,'mcd(3,
15)
:3lg,luego
la
ecuacin
tiene
solucin;
adems
el
nmero
de
soluciones
ser
mcd(3,
15)
:
3.
Expresando
la
congruencia
en
forma
de
ecuacin
diofntica,
tenemos
que'
3x:
15k
*
9
luegox:5k+3
VkeZ'
Las
soluciones,
mdulo
15,
son
3,
8,
13
15
2'15
que
coresponden
a
xs,
x
*
i,
*o
+;
en
la
discusin
general
de
la solucin
de
una
con-
gruencia
contenida
en
el
resumen'
d)
8x
:-
2
(mod 10)
mcd
(8,
IO)
:
212,
luego
la
ecuacin
tiene
dos
soluciones'
No
se
ppede
multiplicar
Ia."" *rgi"
por.el.inverso
de
8,
mdulo
10,
porque
no
existe'
Planteamos
[a
.ong.uencia
como
ecuacin
diofntica:
8x:l}yl-2 + 4x:5Y-ll - 4x-5Y:1
Unasolucin(nohacefaltams)es.x:4, :3'Conestolassolucionesdelacongruencia
son
(mdulo 10):
10
t
^L
)+tmcd(S,
l0)
Teora
de
nmeros
27
no
es
divisor
de
7.
la ecuacin
no
tiene
soh-rcin'
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
28/50
28
Problemas
resueltos de
matemtica
discreta
L
t;-r
Llzt
ffioremadeFermatparaca1cularloSreStoSdedividir3a7entre23y6592entre11.
Resoluclt.
Si
p
es
primo y
p
no
es
divisor
de a,
el
eorenTo
tle Fermot
dice
que
rzp-
(mod
p).
Aplicando
el teorema
para p
:
23, a:
3
tendremos
que
322=l(mod23)
Como
el exponente
que
nos
dan
es
47,
efectuamos
la
divisin
de 47
por
22
47
:
22.2
+
3
+
347
:
(322)2.33
Por las
propiedades
de
las congruencias
(3")'=1
(mod23l)
+
3a7=4(mod23)
33
=4
(mod
23)J
Luego el
resto de dividir
3ai entre
23 es
4-
Para
la
segunda
divisin
aplicamos
el
teorema
a
p
:
ll, a: 6
611-1
:l
(mod
l1),
osea,
610:
1
(mod
l1)
Ahora dividimos
592
entre
10
592:59'10+2
+
6s
(6toss:
I
(mod
ll)]
62
=3
(mod
ll)J
El resto
de dividir
65e2
enfre
11 es 3.
-
65e2
-
3
(mod
11)
I
>
t.0.
Resolver
el siguiente
sistema
le
congruencias
lineales
:
2
(mod
3)
,r:3
(mod
5)
x:2
(mod
'7)
Resoluclt.
Clculo
de
los
valores:
ffi:
ffit'ffi2'ffit:3'5'7:
105
Mr:
mf3:
10513:35
M2: ml5:
tO5l5:2t
Mr:
mfi
:
10517
:
15
Clculo
de
los
inversos
de Mp
M2, Mr respecto
de los
mdulos 3,5,7:
35
=
2
(mod
3)
-
lt:2
es
el inverso
de 35
mdulo
3
2l
:
|
(mod
5)
>
-.r,2
:
I es el
inverso
de
21 mdulo
5
15
=
1
(mod
7)
=>
):
I es el
inverso de
15 mdulo
7
e2
-
65e.10+2
-
(6rn)tr.6,
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
29/50
Teora
de
nmeros
29
Las soluciones
del
sistema son
tales
que
(c,
:2,
crr:
3, at
--
2)
r
=
ctrM
ry,
i
arM2y',
I
arM313:
:
(2.35.2
+
3'21't
+
2'15'1)
(mod
105)
:233
=
23
(mod
105)
Por
lo
tanto,
23 es el
entero
positivo
ms
pequeo
solucin
simultnea.
Cualquier
otra
solucin
tendr
la
forma
general,
x
:
23
+
105k, fr
entero. Comprobar
que
23
es
solucin,
dividiendo
este
nmero
por
3,
5
y
7
sucesivamente
y
verificando
que
los
restos son.
respectivamente,
2, 3,
2.
f*:,
(mocl
4r
ir:
3
(mod
7)
l.r=5
(mod
9)
ReSOIUC .
El
Teorema
chino
del
resto asegura
que
el sistema
tiene solucin
por
ser
los m-
dulos
primos
entre s.
Adems
la solucin
es nica
mdulo
4'7'9.
Resolvemos
el sistema
analizando
las ecuaciones
una tras
otra.
x:2
(mod
4)
+
x:
4t
-12
tll
sustituimos
este
valor
en la segunda
ecuacin
4t
+
2: 3
(mod
7)
+
4t:
|
(mod
7)
multiplicando por
2
ambos miembros
2.4t:2(mod7)
+
t:Z(mod7)
:=
t:7s-t2
sustituimos
este
valor en
[1]
x
:
4(7s
+
2)
+
2:28s
-f
l0
t2)
sustituimos
este
valor
en
la tercera
ecuacin
28s+10:5(mod9)
+
y
como
28
=
I
(mod
9),
resulta
28s:
4
(mod
9)
s:9k*4
s
:4
(mod
9)
-
luego, sustituyendo
en
[2]
x
:
28(9k+4)
:
r22
+
252k V k eZ
L
***
Cules
son
los
nmeros enteros
que
son
divisibles
por
3
y
cuyo
resto
al dividir
por
5
es
1?
ResoluClt.
Sea n
un nrmero
entero
verificando
las condiciones
del
enunciado.
As
se
cumple
que
@
ITES-Paraninfo
\"\
\.,-u^,
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
30/50
30
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
n:3k
l
,:t(mod5)j
=
3k
=
I
(mod
5)
y
como
el
inverso
de
3
es
2 en
Zt
+
2.3k:2.1(mod5)
+
k:2(mod5)
luego,
k:2
*
5t.
-Por
tanto
los
enteros
buscados
son
los
de
la
forma
n:3(2+5r:6*15,r'YteZ
i\
L"{yv.5-
I
>
1.49.
R"*lver
el
sistema
de
congruencias
(
x=2
(mod
5)
lr*:
I
(mod
7)
[:r:o
(mod
ll)
ReSOIUCIi.
Intentamos
expresar
cada
congruencia
del
sistema
en
la
forma
x:
a
(mo
2x:|(mod7),multiplicamospor4,queeselinversode2enZ,
4'2x=4'1
(mod7)
-
x=4
(mod7)
3x=4(mod11),multiplicamospor4'queeselinversode3enZ"
4.3x=4'4(mod
11)
-
x=5
(mod
11)
As
el
sistema
que se
ha
de
resolver
es:
#
(x:-2
(mod
5)
I
\*:-
o
(mod
7)
[x=5
(mod
ll)
que tiene
solucin
nica,
mdulo
5'7
'11,
por
el.Teo-rema
chino
del
resto'
Resolvemos
el
sistea.
De
la
primera
ecuacin
obtenemos
x:
5k
*
2,
valot
que
llevr
segunda
ecuacin
5k+2:4(mod7)
>
5k=2(mod7)
-
3'5k=3'2(mod7)
+
k=6(mod7)
+ k:7s*6
luego,
x:5(7s
+
6)
+ 2:35s
*
32
Llevamos
este
valor
a
la
tercera
ecuacin
35s
-f
32
=
5
(mod
11)
-
2s
t
10
:
5
(mod
2s
=
6
(mod
11)
-
6'2s:6'6
(mod
s=3(mod11)
+
s:11n*3
Sustituyendo
este
valor
en
[1]
obtenemos:
t1l
11)
-
11)
-
'O
ITES-Paraninfo
x:
35s
-t
32:35(11r
+
3)
+
32:385n
+ 13'7
Y
n
eZ
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
31/50
Teora de nmeros
31
Se reparten
cuatro bolsas iguales
de
caramelos entre
tres
grupos
de nios. En
el
primer
grupo, que
-onsta
de cinco
nios,
se reparten
dos
bolsas
y
sobra
un caramelo.
En el
segundo
grupo,
de
seis
tios.
se reparte
una bolsa
y
sobran
dos
caramelos.
En
el
tercer
grupo.
de siete nios,
se reparte
na
bolsa
y
sobran tres caramelos.
Sabiendo
que.
en
total,
el nmero
de caramelos
no llegaba
a
-i00.
cuntos
haba
en cada bolsa?
ResoluClru.
Llamemos
.r
al
nmero
de caramelos
que
hay en
cacla bolsa.
Si
repartimos
dos
:olsas
entre 5 nios
y
sobra
un
caramelo
debe cumplirse
que
2-r
es
un
mltiplo
de
5
ms l, supo-
riendo que
el reparto es
equitativo recibiendo
todos los nios
el mismo nmero
de caramelos.
As
.u'oer]]oS
una
primera
relacin para
.r
2x=1(mod5)
En
el segundo reparto
se obtiene
la relacin
: 2
(mod
6)
en el
tercer reparto
la relacin
;
:
3
(mod
7).
Por
tanto
"r
debe ser solucin
del sistema
de congruencias
[Z.r:
t
rmod 5.r
I
(
.r
=
2
tmod
6.1
|
..
:
,
tmod
7.
Resolvamos
el sistema.
La
primera
ecuacin
se reduce
a
la
forma
cannica multiplicanrlo por
3
(inverso
de 2
mdulo
5)
2.r=1(mod5.t
-
3.2t:3.1(mod5)
-
.r:3(mod5)
-
-r:5ft*3
llevamos
este valor a la
sesunda ecuacin
5l+3:2(rnod6)
5f:5(mod6)
-
5f+3f3:2*3(mod6)
:> k:1(mod6)
=>
k:6s_I- 1
luego
-
r:5(6s+1)+3:30s*8 (*)
y
este valor
se
lleva
a
la
tercera
ecuacin
30.r*8:3(mod7)
-
2s-lt:3(mocl
7)
+
2s=2(mod7)
=>
s
:
I
(mod
7)
(pues
mcd
(2,7)
:
l)
As
pues.
s
:
Jn
-f
l. sustitr"ryendo
en
('r')
resulta:
:30s+8:30.(1n-r
1)+8:38+210n
Y
ne
Z
El
nmero
de
caramelos
de cada
bolsa
debe
ser
positivo,
luego
puede
tomar los
valores
38,
248.
458,
...
Como haba
4
bolsas
y.
en total,
lnenos
de
500,
la
nica
solucin
vlida
es
,r
:
38.
>
't
.51.
a)
Calcular los
restos
de las
potencias
sucesivas
de
5
respecto
del mdulo
12.
b) Calcular
los
restos
potenciales
de
l2
(mod
7).
@
ITES-Paraninfo
-
7/17/2019 Tema 1. Teora de Nmeros
32/50
32
Problemas
resueltos
de
matemtica
discreta
Resot-uclt'l
a)
51
:
5
(mod 12)
52
:5r
'51
=
1
(mod 12)
53
:
52'
51
=
5
(mod
12)
5a
:52'52
= |
(mod
12)
5s
:
53
'52
:-
5
(mod 12)
Los
restos
se
obtienen
de
forma
peridica:
5'
1'
5'
1'
5'
"'
b)
l2o:l:1(mod7)
l2r:12=5(mod7)
122
=4(mod7)
123
=6(mod7)
124
:2
(mod 7)
lzs :3
(mod
7)
126
=1(mod7)