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Tema 1:

Simetría y teoría de grupos.

Química Inorgánica III.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.


Simetría yVida…

Maurits Cornelis Escher(1898-1972).

Simetría yVida…


Maurits Cornelis Escher (1898-1972), dibujante holandés, creador deAlgunos de los grabados más conocidos del siglo XX. Nació enLeeuwarden,y desde 1919 a 1922 estudió en la Escuela de Arquitectura yArtes Decorativas de Haarlem. Sus primeros grabados representanprincipalmente paisajes y escenas urbanas, pero después de suestancia en Italia comenzó a desarrollar las que él llamó “visiones internas”.En ocasiones se trata de elaboradas composiciones obsesivas en las que seentrelazan siluetas seriadas de animales, pájaros o peces. Hacia 1940sus imágenes comenzaron a tener un cierto sabor surrealista,especialmente en los dibujos de extraños edificios en los que, graciasa sabios juegos perspectivos, aparecen escaleras que ascienden hacialos pisos Inferiores (y descienden hacia los superiores) o cascadas deagua que se elevan hacia las azoteas. Su obra ha intrigado, ciertamente,a matemáticos y psicólogos de la percepción visual. También se hahecho muy popular entre el gran público, especialmente a partirde la década de los sesenta, cuando algunos jóvenesasociaron sus imágenes con las experiencias alucinógenas producidaspor el LSD.


En la simetría puntual, las partes indistinguibles se obtienen al realizar un conjunto de operaciones de simetría sobre una molécula en particular.

Se obtiene así una clasificación de las moléculas en términos de sus grupos

puntuales.

Definiciones:

.- Elemento de simetría.

Una línea, un punto o un plano respecto al cual pueden llevarsea cabo una o más operaciones de simetría.

.- Operación de simetría.

El movimiento de una molécula en relación con cierto elementode simetría.


Elementos de simetría y operaciones resultantes:

1.- Rotaciones. Ejes de simetría.

O

HH

.. .. ....

H H

Ogiro 180º

Cn

BF

F

F

giro 120º

F

FF

B

C3


El eje de rotación se representa mediante el símbolo Cn siendo 360º/nla rotación necesaria para obtener una configuración equivalente.

Operaciones análogas son respectivamente:


Otros ejemplos:C5

giro 72º

C5H5

Xe

F F

F F

C 4

giro 90º

F F

F F

Xe XeF 4


Otros ejemplos:

C6

giro 60º C6H6

C7

giro 51º26' C7H8


2.- Reflexiones. Planos de simetría.

O

HH

. .. . .. ..H H

O

sv

sv'

Los dos planos de simetría anteriores contienen al eje C2.

Existen también planos de simetría diedrales (sd) que estan entre los ejes y que contienen el eje de orden máximo. Finalmente el plano

horizontal (sh) esta perpendicular al eje de orden máximo.

Ejemplo:

Xe

F F

FF F F

FF

Xe

sd

Xe

F F

FFsh sv


Una segunda reflexión en el plano simplemente devuelve cada uno de lospuntos a su posición original. En otras palabras:

s2 = E

3.- Inversión. Centros de simetría.

Existe una operación que combina la rotación y la reflexión en una sola.Se trata de la operación inversión y el elemento de simetría asociadoes un punto llamado centro de inversión i.

H H

H

H

H

H

i Pt

Cl

Cl

NH3

H3N

i


C C

H

Cl

Br

Br

Cl

H

ino posee ni eje ni plano de simetría

Se cumple que i2 = E

4.- Rotaciones impropias. Ejes de rotación reflexión.

Una rotación impropia consiste en girar en sentido de las agujas delreloj alrededor de un eje y luego aplicar una reflexión en el planoperpendicular a dicho eje.

El elemento de simetría asociado es el eje impropio Sn.


Ejemplos:

C

H H

H H

S4

giro 90º

HH

HH

C sh

HH

HH

C

reflexión

igual que


BF

F

F

S3

sh

I

F F

F

F

F

F

F

S5

sh

C

C

HH

H

HH

H

S6

es decir C

H

H

H

HH

H


Fesh

S10

es decir Fe


5.- Efectos de la realización de operaciones consecutivas.

N

H1H2

H3

C3

sv(1)

sv(3)

sv(2)

giro 120º

H3

H2

H1

N

sv(1)

NH1

H2

H3

sv(2)


Lo anterior puede expresarse como:

Es decir, la realización de dos o más operaciones de simetría se representa algebraicamente como una multiplicación.


PF1F3

F2

F4

F5

C3

C2'(3)C2'(1)

C2'(2)

ejes


F5

F4

F2

F3F1 P

sv(2)

PF1F3

F4

F5

F2

sv(1)

F2

F5

F4

F1 PF3

sv(3)

planos


Algunas combinaciones de operaciones son:


Operaciones de simetría como elementos de un grupo.

Primero es necesario definir un grupo como una colección de elementosque poseen ciertas propiedades en común.

La colección de operaciones de simetría vistas para cualquier moléculaconstituye un grupo. Estas operaciones cumplen con las cuatro característicasque definen un grupo:

Donde X es el inverso de A. X = A-1


Clasificación sistemática de moléculas en grupos puntuales.

(Se usa la notación de Schoenflies para designar un grupo puntual).

Grupos infinitos.

.- Tienen un número infinito de elementos. Corresponden a las moléculaslineales con o sin centro de simetría.

H C N

oo sv

C oo

Grupo Cv . Notar que no tiene centro de simetría.



O C O

svoo

sv

i

ooC

oo C2

Grupo Dh . Notar que tiene centro de simetría.



Grupos especiales.

.- Son los grupos puntuales cúbicos: tetraedro, octaedro e icosaedro.

1.- Tetraedro:

C

H

HH

H

C3

4 ejes C3



3 ejes C2C2

C2

C2S4

S4

S43 ejes S4



sd

sd6

Grupo Td. Contiene 17 operaciones de simetría (contando E).



2.- Octaedro:

C3

4 ejes C3 3 ejes C2

C2

2 ejes C2

C2

C2



C4

C4

C4

3 ejes C4 3 ejes C2 (C42)

C2

C2

C2

i

centro de inversión



S4

S4

S4

3 ejes S44 ejes S6

S6

3 planos s



2 planos sd 4 planos sd

Grupo Oh. Contiene 33 operacionesde simetría (contando E).



3.- Icosaedro:

Grupo Ih. Contiene 120 operaciones de simetría (contando E).

Ejemplo de este grupo: [B12H12]2-



Otros grupos.

.- La molécula de mínima simetría posee únicamente la operaciónidentidad que puede considerarse también como una rotación de 360º es decir C1.

C

FCl

H

Br

Grupo C1.



.- Si la molécula posee un eje Cn además de la identidad perteneceal grupo puntual Cn.

Ejemplo: H2O2

OO

H

H111.5º

94.8º

C2

Grupo C2.



.- Existen dos grupos que poseen un solo elemento de simetríaademás de la identidad. Si el elemento adicional es un plano desimetría el grupo es Cs, si es un centro de simetría el grupo es Ci.

Ejemplos:

S

Br F

O O

s

C C

Br

Br

H H

Cl

Cl

i

grupo Cs grupo Ci



.- Si añadimos al eje Cn un plano vertical de simetría obtenemosel grupo Cnv.

Ejemplos:C2

....

H H

O

sv

sv(2)

sv(3)

sv(1)

C3

H3

H2

H1

N

grupo C2v

grupo C3v



Ejemplos:

.- Si en lugar de añadir un plano vertical se añade un planohorizontal se obtiene el grupo Cnh.

N N

F

F

sh

C2

BHO

HOOH

sh

C3

grupo C2h grupo C3h



Ejemplos:

.- Otro tipo de adición a un sistema Cn es un eje S2n coincidente conel eje Cn, lo que da origen al grupo puntual S2n.

(PNCl2)4

P

NCl

NP

P

N

N

P

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

ClN N

P P

N

P

N

P

(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

(+)

(+)

(-)

es decireje S4

grupo S4



Ejemplos:

.- La adición de un eje de orden n que forme ángulo recto con el eje Cn

de un sistema Cn conduce al grupo puntual Dn.

C C

H H

H

H

H

H

conformación gauche

C3

C2

grupo D3



Ejemplos:

.- Si al grupo Dn se añaden planos que contengan al eje Cn

(eje de mayor orden) y dividen en ángulos iguales a los ángulosexistentes entre los C2’ (planos diedrales) el grupo obtenidoes Dnd.

H

H

H

H

H

H

CC C3

sd

sd

sd

C

HH

H

H

HH

C2'

C2'

C2'

CH3-CH3 intercalado. Grupo D3d



Ejemplos:

.- Los últimos de los grupos que pueden encajarse en este esquemason los formados por la adición de un plano horizontal a los elementosdel grupo Dn , dando los grupos Dnh.

C C

H H

HH

sh

C2

C2'

grupo D2h



Ejemplos:

C OO

O

C2

C2

C2

C3

sh

grupo D3h



C6 y C2''

C2'

C2

C2'

sh

grupo D6h


Resumen degrupos puntuales

Clasificación de un grupo.

El procedimiento para hacerlo es el que esquematizamos a continuación:

1.- Determinar si la molécula es lineal, o si pertenece a un grupoaltamente simétrico (Td, Oh, Ih). Si no es así pasar a 2.

2.- Hallar el eje de rotación propia de orden superior (Cn). En ausenciade tal eje buscar (a) un plano de simetría (Cs), (b) un centro desimetría (Ci) o (c) ningún elemento de simetría en absoluto (C1).

3.- Si se encuentra un eje Cn, buscar un conjunto de n ejes C2perpendiculares al mismo. Si estos se encuentran ver 4 más abajo.

Si no existen buscar (a) un plano horizontal (Cnh), (b) nplanos verticales (Cnv), (c) un eje S2n coincidente con el Cn (S2n)o (d) ningún plano de simetría ni otros ejes de simetría (Cn).

4.- Si existe un eje Cn y n ejes C2 perpendiculares buscar la presencia de(a) un plano horizontal (Dnh), (b) n planos verticales y ningún planohorizontal (Dnd) o (c) ningún plano de simetría (Dn).


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