te 091467 teknik numerik sistem linear - share...

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

Trihastuti Agustinah

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

OBJEKTIF Contoh Simpulan Latihan

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:

1. Menjelaskan konsep ruang vektor real

2. Menghitung solusi sistem linear yang dibentuk dari vektor

3. Mendapatkan basis dan dimensi dari ruang solusi sistem linear

4. Menghitung rank suatu matriks

Teori

TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Ruang vektor real merupakan generalisasi

konsep ruang vektor. Beberapa kegunaan dari

konsep ini adalah untuk memeroleh ruang

solusi sistem linear homogen (nonhomogen)

dan mencari rank dari suatu matriks.

Objektif

Ruang Vektor Real: Definisi

TEORI Objektif Contoh Simpulan Latihan

V disebut ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut terpenuhi oleh seluruh objek u,v,w dalam V dan skalar k dan l.

V merupakan himpunan objek tak-kosong dengan dua operasi berikut didefinisikan pada V

• penjumlahan dari pasangan objek dalam V

• perkalian objek dengan skalar

Objek dalam V tersebut disebut dengan vektor

Aksioma: (1)


1) Jika u dan v adalah objek (vektor) dalam V, maka u + v juga objek dalam V

2) u + v = v + u

3) u +(v +w) = (u+ v) + w

4) Objek 0 dalam V disebut vektor nol

0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V

5) Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u u + (- u) = (- u) + u = 0

Aksioma: (2)


6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V

7) k(u + v) = ku + kv

8) (k+l)u = ku + lv

9) k(lu) = (kl)u

10) 1u = u

Bukti: (1)


=

2221

1211

uuuu

uMisal:

=

2221

1211

vvvv

v

++++

=

+

=+

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

vuvuvuvu

vvvv

uuuu

vu

=

=

2221

1211

2221

1211 kukukuku

uuuu

kku

uu0 =

=

+

=+

2221

1211

2221

1211

0000

uuuu

uuuu

0uu =

=

−−−−

+

=−+

0000

)(2221

1211

2221

1211

uuuu

uuuu

Subruang (subspace)


Definisi: – Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V

jika W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V

Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W merupakan subspace dari V iff

– Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W

– Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W

Subruang (subspace)


Garis melalui origin adalah subruang dari R3 u

v u + v

W W

u ku

Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v W adalah subruang dari R3

u

v u + v

W

ku

Subruang di R2 dan R3


Subruang dari R2 Subruang dari R3

Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang:

• Subruang V • Vektor nol dalam V subruang nol (zero subspace)

{0}

Bidang melalui origin Garis melalui origin

R2

{0} Garis melalui origin

R3 Contoh 1

Kombinasi Linear Vektor


Untuk r = 1: w = k1v1

Kombinasi linear vektor tunggal v1

Vektor w adalah kombinasi linear dari v1, v2,…, vr dan k1,k2, …, kr jika

rrkkk vvvw +++= 2211

Vektor v = (a,b,c) di R3 ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor basis standar

kjiv cbacbacba ++=++== )1 ,0 ,0()0 ,1 ,0()0 ,0 ,1() , ,(

Contoh 2

Rentangan (span)


Jika v1, v2,…, vr adalah vektor dalam ruang vektor V, maka

Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,…, vr adalah subruang V

W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v1,v2,…, vr

Jika S = {v1, v2,…, vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka Subruang W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,…, vr

disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut W= span (S) atau W= span {v1, v2,…, vr}

Rentangan (span)


Jika v1dan v2 adalah vektor di R3 dengan titik awal pada origin Span{v1, v2} yang berisi seluruh

kombinasi linear k1v1 + k2v2 bidang melalui origin yang ditentukan oleh v1 dan v2

Jika v merupakan vektor di R2 atau R3 Span{v} yang berupa seluruh perkalian

kv garis yang ditentukan oleh v

v

kv span{v}

y

z

x

v1 k1v1

k1v1+ k2v2 k2v2 v2

y

z

x

span{v1, v2}

Contoh 3

Kebebasan Linear


Himpunan vektor S = {v1, v2, …, vr}, pers. vektor

k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0

• Jika ada solusi yang lain – S disebut himpunan takbebas linear

• Jika hanya ada satu solusi – k1= 0, k2 = 0, …, kr = 0

– S adalah himpunan bebas linier (linearly independent)

Kebebasan Linear


Eksistensi solusi trivial Determinan matriks koefisien sama dengan nol

Matrik tsb tidak dapat diinverskan

Interpretasi geometris dari kebebasan linear


y

z

x

v1

v2

y

z

x

v1

v2 y

z

x

v1

v2

(a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier

y

z

x

v3

v2 y

z

x v1

v2

y

z

x

v1

v2

v1

v3

v3

(a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier Contoh 4

Basis Untuk Ruang Vektor


Definisi: – Jika V adalah ruang vektor – S = {v1, v2, …, vn}: himpunan vektor dalam V – S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut

• S adalah bebas linear • S merentang V (S spans V)

Teorema: – Jika S = {v1, v2, …, vn}: basis untuk ruang vektor V – Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja

Basis Untuk Ruang Vektor


Solusi trivial:

Bukti: v = c1v1+ c2v2+ …+ cnvn

v = k1v1+ k2v2+ …+ knvn dan

− 0 = (c1– k1)v1+ (c2 – k2)v2+ …+ (cn – kn)vn

c1 - k1 = 0 c2 - k2 = 0 … cn - kn = 0

c1= k1 c2 = k2 … cn = kn Contoh 5

D I M E N S I


Bila S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang vektor dimensi terbatas V

Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S

Dimensi = jumlah vektor basis dalam ruang vektor V

Contoh 6

Ruang baris, ruang kolom dan ruang nul


Matriks A(m×n): subruang di Rn direntang oleh vektor baris dari A ruang baris dari A

subruang di Rm direntang oleh vektor kolom dari A ruang kolom dari A

ruang solusi dari sistem homogen dengan pers. Ax = 0 yang merupakan subruang di Rn

ruang nul dari A

Teorema: sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b merupakan ruang kolom dari A

Contoh 7

Ruang baris, ruang kolom dan ruang nul


Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks

Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris: – Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol) basis untuk

ruang baris

– Vektor kolom dengan leading 1 basis untuk ruang kolom

RANK dan Nullity


Rank dimensi dari ruang baris dan ruang kolom notasi: rank(A) rank(A) = dim(ruang baris A) = dim(ruang kolom AT)

Nulitas (nullity) dimensi dari ruang nul notasi: nullity(A)

rank(A) + nullity(A) = n

banyaknya var. leading

banyaknya var. bebas

TEORI

Teorema RANK

Objektif Contoh Simpulan Latihan

Jika A matriks m×n, maka

rank(A) = banyaknya var. leading dalam solusi Ax = 0

nullity(A) banyaknya parameter dalam solusi Ax = 0

m≠n, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n

Nilai maksimum rank:

rank(A) ≤ min(m,n)

CONTOH

Contoh 1

Objektif Simpulan Latihan Teori

Dapatkan solusi sistem linear berikut:

=

−−−−

−

000

642873321

)azyx

=

−−

−

000

214873321

)bzyx

Jawaban Contoh 1

CONTOH Objektif Simpulan Latihan Teori

a) Bentuk eselon baris tereduksi

Solusi: x = -5t, y = -t, z = t

Pers. garis melalui origin paralel dengan vektor (-5, -1, 1)

b) Bentuk eselon baris tereduksi

010000100001

000001100501

Solusi: x = 0, y = 0, z = 0 ruang solusi titik origin {0}

Contoh 2


Vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2), tunjukkan bahwa

w=(9,2,7): kombinasi linear dari u dan v

w´=(4,-1,8): bukan kombinasi linear

Jawaban Contoh 2


w diekspresikan sebagai kombinasi linear dari u dan v

w = k1u + k2v

(9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)

(9,2,7) = k1+6k2, 2k1+4k2, -k1+2k2

k1 + 6k2 = 9; 2k1 + 4k2 = 2; -k1 + 2k2 = 7 → k1=-3; k2=2

Maka, w = -3u + 2v

Contoh 3


Tunjukkan bahwa v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1), v3 = (2,1,3)

merentang ruang vektor pada R3

Jawaban Contoh 3


Tentukan vektor semu b=(b1,b2,b3), nyatakan b kombinasi linear

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

(b1,b2,b3) = k1(1,1,2) + k2(1,0,1)+k3(2,1,3) k1 + k2 + 2k3 = b1

k1 + k3 = b2

2k1 + k2 + 3k3 = b3

Sistem linear konsisten iff matriks koef. A memiliki invers

det(A)=0 → A tidak dapat diinverskan

v1, v2 dan v3 tidak dapat merentang pada R3

Contoh 4


Tunjukkan bahwa v1 = (1, -2,3), v2 = (5,6,-1), v3 = (3,2,1)

membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas

linear

Jawaban Contoh 4


Persamaan vektor dalam komponen

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0

k1(1, -2,3) + k2(5,6, -1)+k3(3,2,1)=(0,0,0)

(k1+5k2+3k3, –2k1+6k2+2k3, 3k1– k2 +k3) = (0,0,0)

Persamaan untuk tiap komponen

k1 + 5k2 + 3k3 = 0

– 2k1 + 6k2 + 2k3 = 0

3k1 – k2 + k3 = 0

Jawaban Contoh 4


Solusi sistem

k1= t/2; k2 = -t/2; k3 = t

• Solusi nontrivial

• Vektor v1, v2 dan v3: himpunan takbebas linear

Buktikan bahwa himpunan vektor S={v1, v2, v3}

merupakan basis untuk R3

dengan v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0) dan v3 = (3, 3, 4).

Contoh 5


Tentukan vektor semu b=(b1, b2, b3), dan ekspresikan sebagai kombinasi linear:

Jawaban Contoh 5


b = k1v1 + k2v2 + k3v3

Pers. dalam komponen vektor

(b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1)+k2(2, 9, 0)+k3(3, 3, 4)

(b1, b2, b3) =(k1+2k2+3k3, 2k1+9k2+3k3, k1+4k3)

Pers. linear untuk tiap komponen

k1 + 2k2 + 3k3 = b1

2k1 + 9k2 + 3k3 = b2

k1 + 4k3 = b3

Ax = b

Matriks A:

Jawaban Contoh 5


Determinan A:

det(A)≠0, maka S merupakan basis untuk R3

=

401392321

A

1401392321

)det( −==A

Contoh 6


Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem

homogen berikut:

2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0

– x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0

x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

Jawaban Contoh 6


−−−−−

−

011100010211013211010122

000000001000010100010011

Matriks augmentasi:

Bentuk eselon baris tereduksi:

Solusi: x1 = –s –t; x2 = s; x3 = –t; x4 =0; x5 = t;

Jawaban Contoh 6


Dalam bentuk vektor:

Vektor yang merentang ruang solusi:

−

−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

−−

=

10101

00011

0

0

000

0

5

4

3

2

1

ts

t

t

tss

t

ts

ts

xxxxx

−

−

=

−

=

101

01

dan

00011

21 vv

Ruang solusi: dua-dimensi bebas linear basis

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor

Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan

ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor

kolom matriks A:


−−=

−−

−

391

212321231

3

2

1

xxx

Contoh 7

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor


Solusi sistem: x1 = 2; x2 = – 1; x3 = 3

Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A

−−=

−−+

−

−

39

1

23

2 3

123

211

2

Sistem konsisten b merupakan ruang kolom A

Jawaban Contoh 7

SIMPULAN

Ruang Vektor Real

Rank matriks sebarang adalah sama dengan banyaknya basis un....

Sistem linear Ax=b adalah konsisten (memiliki tepat satu solusi), bila b merupakan ruang kolom dari A

Objektif Contoh Latihan Teori

Objektif LATIHAN Contoh Simpulan

Soal

027305202

321

321

321

=+−=+−=+−

xxxxxxxxx

1. Dapatkan ruang solusi sistem linear homogen berikut:

Teori

− 223103122541

2. Dapatkan rank dan nulitas dari matriks berikut:

te 091467 teknik numerik sistem linear - share...

Documents