te 091467 teknik numerik sistem linear -...

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

Trihastuti Agustinah

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

OBJEKTIF Contoh Simpulan Latihan

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:

1. Mengubah bentuk kuadratik kedalam bentukperkalian matriks

2. Mereduksi perkalian silang antar variabel dalambentuk kuadratik umum ke dalam bentuk kuadratikbaru tanpa suku perkalian silang

Teori

TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Salah satu kegunaan dari bentuk kuadratik adalah untuk

menentukan kejelasan tipe dari matriks apakah

termasuk matriks definit positif (negatif) atau indefinit.

Kejelasan tipe matriks juga dapat menentukan tipe

eigenvalue dari matriks tersebut.

Objektif

Bentuk Kuadratik (simetris)

TEORIObjektif

Contoh: 22 643 yxyx −+

Bentuk kuadratik dengan dua variabel

22 2 cybxyax ++

22 52 yx −

xy2

yx

cbba

yx ][

cross-product

− y

xyx

6223

][

− y

xyx

5002

][

yx

yx0110

][

Contoh Simpulan Latihan

Bentuk Kuadratik (non-simetris)

TEORIObjektif

Contoh: 22 643 yxyx −+

Bentuk kuadratik dengan dua variabel

22 2 cybxyax ++

22 562 yxyx −−

xy5

yx

ceda

yx ][

− y

xyx

6313

][

−−−

yx

yx5422

][

yx

yx0320

][

d+e


Matriks Definit Positif

TEORIObjektif

Definisi:

Bentuk kuadratik xTAx disebut definit positifjika xTAx untuk semua x≠0

Matriks simetris A disebut matriks definit positifjika xTAx adalah bentuk kuadratik definit positif

Teorema:Matriks simetris A adalah definit positif jika dan hanya jika

• seluruh eigenvalue dari A adalah positif

• determinan dari submatriks prinsipal adalah positif


Bentuk Kuadratik

TEORIObjektif

Matriks simetris A dan bentuk kuadratik xTAx:

definit positif xT Ax > 0 untuk semua x ≠ 0

semidefinit positif xT Ax ≥ 0 untuk semua x

definit negatif xT Ax < 0 untuk semua x ≠ 0

semidefinit negatif xT Ax ≤ 0 untuk semua x

indefinit xT Ax memiliki nilai positif dannegatif


Diagonalisasi Bentuk Kuadratik

TEORIObjektif

=

nnnnn

n

n

nT

x

xx

aaa

aaaaaa

xxxAxx

2

1

21

22221

11211

21 ][

Bentuk kuadratik: simetris

Misal:

==

n

T DAPP

λ

λλ

00

0000

2

1

=

ny

yy

y2

1

variabelbaru


Diagonalisasi Bentuk Kuadratik

TEORIObjektif

DyyAPyPyAPyPyAxx TTTTT === )(

Substitusi x = Py

Maka:

=

nn

nT

y

yy

yyyDyy

2

1

2

1

21

00

0000

][

λ

λλ

2222

211 nn yyy λλλ +++=

APPD T=

jumlah kuadrat


Contoh 1

CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori

Jelaskan tipe definit dari matriks berikut

−=

100020003

A

=

300000005

B

=

121297176

C

Contoh 1


−=

100020003

A

−−−

−=

310121013

B

=

121297176

C

33 = 620

03−=

− 6100020003

−=−

33 = 52113=

−−

12310121013=

−−−

−

66 = 59776= 0

121297176=

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor


Dapatkan bentuk kuadratik baru dari bentuk kuadratikberikut:

Bentuk kuadratik:

−−

−

3

2

1

321

120202021

][xxx

xxx

322123

21 44 xxxxxx +−−

Contoh 2



Contoh 2

Persamaan karakteristik:

Eigenvalue: λ = 0, -3, 3

0)3)(3(9120

22021

3 =−+=−=+−−

−λλλλλ

λλ

λ

Bentuk kuadratik:

−−

−

3

2

1

321

120202021

][xxx

xxx



Contoh 2

Sistem homogen: 0

12022

021

3

2

1

=

+−−

−

xxx

λλ

λ

=

−−

−

000

120202

021

3

2

1

xxx

=

323132

1x

=

−−

000

0002/110101

3

2

1

xxx

=

1

1

21

1x

λ=0

normalisasi



Contoh 2

λ = -3

=

−−−−

−

000

220232

024

3

2

1

xxx

−−

=

323231

2x

00001102/101

3

2

1

=

xxx

normalisasi

−−

=221

2x



Contoh 2

λ = 3

0000210201

3

2

1

=

−

xxx

normalisasi

−=

122

3x

=

−−

000

420232

022

3

2

1

xxx

−=

313232

3x



Contoh 2

−−−

=

31

32

32

32

32

31

32

31

32

P

−−−

−−

−

−−−==

31

32

32

32

32

31

32

31

32

31

32

32

32

32

31

32

31

32

120202021

APPD T

−=

300030000

Matriks P:

Matriks diagonal D:



Contoh 2

Eliminasi suku perkalian silang:

Bentuk kuadratik baru:

−

3

2

1

321

300030000

][yyy

yyy

−−−

=

3

2

1

31

32

32

32

32

31

32

31

32

3

2

1

yyy

xxx

23

22 33 yy +−

SIMPULAN

Bentuk Kuadratik

1) Diagonalisasi bentuk kuadratik digunakan untukmendapatkan bentuk kuadratik baru yang tidakmemuat perkalian silang antar variabel-nya

2) Matriks A adalah definit positif jika xTAxmerupakan bentuk kuadratik definit positif

Objektif Contoh LatihanTeori

Objektif LATIHANContoh Simpulan

Soal

Teori

Dapatkan bentuk kuadratik baru untuk persamaan berikut:

322123

22

21 44543 xxxxxxx −+++

Objektif Contoh SimpulanTeori Latihan

te 091467 teknik numerik sistem linear -...

Documents