td chapitre 5 dualité
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TRAVAUX DIRIGSProgrammation linaire
Filire Sciences Economiques et GestionSemestre 5
Mohamed HACHIMI
Facult des Sciences Juridiques Economiques et Sociales dAgadir
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 1 / 16
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HamiToSticky Note
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Chapitre V
Dualit
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 2 / 16
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Dualit
Exercice 1
Formuler le problme dual de chacun des programmes linairessuivants :
(P1)
max z = 2x1 + 4x2 + 3x33x1 + 4x2 + 2x3 6 602x1 + x2 + 2x3 6 40x1 + 3x2 + 2x3 6 80
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
(P2)
max z = 3x1 + x2 2x3x1 + 2x2 > 10
3x1 x2 + x3 = 7x1 + 3x3 6 8
x2 > 0, x3 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 3 / 16
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Dualit
Exercice 1 (Suite)
(P3)
max z = 10x1 + 14x2x1 + x2 > 12x1 > 8
x2 6 6x1 > 0, x2 > 0
(P4)
max z = 400x1 + 350x2 + 450x32x1 3x2 + 2x3 6 1204x1 + 3x2 = 1603x1 2x2 + 4x3 > 100
x2 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 4 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 1
le problme dual (D1) de (P1) est :
(P1)
max z = 2x1 + 4x2 + 3x33x1 + 4x2 + 2x3 6 602x1 + x2 + 2x3 6 40x1 + 3x2 + 2x3 6 80
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
(D1)
min v = 60y1 + 40y2 + 80y33y1 + 2y2 + y3 > 24y1 + y2 + 3y3 > 42y1 + 2y2 + 2y3 > 3
y1 > 0, y2 > 0, y3 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 5 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 1
le problme dual (D2) de (P2) est :
(P2)
max z = 3x1 + x2 2x3x1 + 2x2 > 10
3x1 x2 + x3 = 7x1 + 3x3 6 8
x2 > 0, x3 > 0
(D2)
min v = 10y1 + 7y2 + 8y3y1 + 3y2 + y3 = 3
2y1 y2 > 1y2 + 3y3 > 2
y1 6 0, y2 qcq, y3 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 6 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 1
le problme dual (D3) de (P3) est :
(P3)
max z = 10x1 + 14x2x1 + x2 > 12x1 > 8
x2 6 6x1 > 0, x2 > 0
(D3)
min v = 12y1 + 8y2 + 8y3y1 + y2 > 10y1 + y3 > 14
y1 6 0, y2 6 0, y3 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 7 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 1
le problme dual (D4) de (P4) est :
(P4)
max z = 400x1 + 350x2 + 450x32x1 3x2 + 2x3 6 1204x1 + 3x2 = 1603x1 2x2 + 4x3 > 100
x2 > 0
(D4)
min v = 120y1 + 160y2 + 100y32y1 + 4y2 + 3y3 = 400
3y1 + 3y2 2y3 > 3502y1 + 4y3 = 450
y1 > 0, y2 qcq, y3 6 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 8 / 16
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Dualit
Exercice 2
Appliquer le thorme des carts complmentaires vue en courspour vrifier loptimalit de la solution propose.
max z = 7x1 + 6x2 + 5x3 2x4 + 3x5x1 + 3x2 + 5x3 2x4 + 2x5 6 4
4x1 + 2x2 2x3 + x4 + x5 6 32x1 + 4x2 + 4x3 2x4 + 5x5 6 53x1 + x2 + 2x3 x4 2x5 6 1
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0
Solution propose : (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 4/3, 2/3, 5/3, 0)
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 9 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 2
Le dual du problme pos est :
min v = 4y1 + 3y2 + 5y3 + y4y1 + 4y2 + 2y3 + 3y4 > 7
3y1 + 2y2 + 4y3 + y4 > 65y1 2y2 + 4y3 + 2y4 > 5
2y1 + y2 2y3 y4 > 22y1 + y2 + 5y3 2y4 > 3
y1 > 0, y2 > 0, y3 > 0, y4 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 10 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 2
La troisime contrainte du problme primal nest pas sature.Donc, la variable duale associe cette contrainte est nulle :y3 = 0.
Dautre part, les variables x2, x3 et x4 sont strictement positives.Ce qui implique que la deuxime, la troisime et la quatrimecontraintes duales sont satures.On obtient donc le systme suivant :
3y1 + 2y2 + 4y3 + y4 = 65y1 2y2 + 4y3 + 2y4 = 5
2y1 + y2 2y3 y4 = 2
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 11 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 2
Comme y3 = 0, le systme prcdent devient
3y1 + 2y2 + y4 = 65y1 2y2 + 2y4 = 5
2y1 + y2 y4 = 2
En rsolvant ce systme, on obtient :
y1 = 1, y2 = 1, y4 = 1 (y3 = 0)
Cette solution ne satisfait pas la dernire contrainte du problmedual. Elle nest donc pas ralisable et par suite la solution primalepropose nest pas optimale.
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 12 / 16
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Dualit
Exercice 3
Appliquer le thorme des carts complmentaires vue en courspour vrifier loptimalit de la solution propose.
max z = 4x1 + 5x2 + x3 + 3x4 5x5 + 8x6x1 4x3 + 3x4 + x5 + x6 6 1
5x1 + 3x2 + x3 5x5 + 3x6 6 44x1 + 5x2 3x3 + 3x4 4x5 + x6 6 4
x2 + 2x4 + x5 5x6 6 5 2x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 + 2x6 6 7
2x1 3x2 + 2x3 x4 + 4x5 + 5x6 6 5x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0
Solution propose : (x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (0, 0, 5/2, 7/2, 0, 1/2)
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 13 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 3
Le dual du problme pos est :
min v = y1 + 4y2 + 4y3 + 5y4 + 7y5 + 5y6y1 + 5y2 + 4y3 2y5 + 2y6 > 4
3y2 + 5y3 y4 + y5 3y6 > 54y1 + y2 3y3 + y5 + 2y6 > 1
3y1 + 3y3 + 2y4 + y5 y6 > 3y1 5y2 4y3 + y4 + 2y5 + 4y6 > 5y1 + 3y2 + y3 5y4 + 2y5 + 5y6 > 8
y1 > 0, y2 > 0, y3 > 0, y4 > 0, y5 > 0, y6 > 0
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 14 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 3
La troisime, quatrime et sixime contraintes du problme pri-mal ne sont pas satures. Donc, les variables duales associes ces contraintes sont nulles : y3 = y4 = y6 = 0.Dautre part, les variables x3, x4 et x6 sont strictement positives.Ce qui implique que la troisime, la quatrime et la siximecontraintes duales sont satures.On obtient donc le systme suivant :
4y1 + y2 3y3 + y5 + 2y6 = 13y1 + 3y3 + 2y4 + y5 y6 = 3y1 + 3y2 + y3 5y4 + 2y5 + 5y6 = 8
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 15 / 16
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Dualit
Solution de lexercice 3
Comme y3 = y4 = y6 = 0, le systme prcdent devient
4y1 + y2 + y5 = 13y1 + y5 = 3
y1 + 3y2 + 2y5 = 8
En rsolvant ce systme, on obtient :
y1 =12, y2 =
32, y5 =
32
(y3 = y4 = y6 = 0)
Cette solution satisfait toutes les contraintes du problme dual.Elle est donc ralisable et par suite la solution primale proposeest optimale.
Mohamed Hachimi TD Programmation linaire 16 / 16
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