TRAVAUX DIRIGÉS

Programmation linéaireFilière Sciences Economiques et Gestion

Semestre 5

Mohamed HACHIMI

Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales d’Agadir

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Chapitre I

Modélisation

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Modélisation

Exercice 1

Un atelier fabrique des tables et des bureaux.

— Chaque table nécessite 2, 5 h pour l’assemblage, 3 h pour lepolissage et 1 h pour la mise en caisse.

— Chaque bureau exige 1 h pour l’assemblage, 3 h pour le po-lissage et 2 h pour la mise en caisse.

L’entreprise ne peut disposer, chaque semaine, de plus de 10 hpour l’assemblage, de 15 h pour le polissage et de 8 h pour lamise en caisse.

Sa marge de profit est de 30 dh par table et de 40 dh par bureau.

Combien de tables et de bureaux doit-on produire afin d’obtenirun profit hebdomadaires maximal ?

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Modélisation

Solution de l’exercice 1

1◦ Identification des variables :

Le profit hebdomadaire évolue en fonction du nombre detables et bureaux fabriqués.

Le problème consiste donc à déterminer les nombres detables et bureaux qui permettent de réaliser le profit le plusimportant. On note :

x1 = le nombre de tables à fabriquer par semaine

x2 = le nombre de bureaux à fabriquer par semaine

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Modélisation

Solution de l’exercice 1

2◦ Fonction objectif :

Le profit hebdomadaire z s’obtient à partir de l’expression,

z = 30x1 + 40x2

L’objectif poursuivi consiste à trouver le couple de valeurs x1

et x2 qui maximise le profit hebdomadaire z :

Max z = 30x1 + 40x2

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Modélisation

Solution de l’exercice 1

3◦ Contraintes :

Les valeurs prises par x1 et x2 sont limitées par les disponi-bilités des ateliers. Ainsi, il convient de prendre en compte :

— Contraintes de production : Par exemple, le temps utilisépour assembler tables et bureaux ne peut excéder les 10heures disponibles. Ce qui s’écrit donc :

2, 5x1 + x2 6 10

De même, pour le polissage et la mise en caisse, on écrit

3x1 + x2 6 15

x1 + 5x2 6 8

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Modélisation

Solution de l’exercice 1

— Contraintes de non-négativité : Ce type de contraintes nefigure pas de manière explicite dans l’énoncé. Cependantson caractère est évident car les nombres de tables et debureaux à fabriquer ne peuvent être que positives ou nulles :

x1 > 0, x2 > 0

Le programme linéaire ainsi défini s’écrit :

max z = 20x1 + 40x2

2, 5x1 + x2 6 10

3x1 + 3x2 6 15

x1 + 2x2 6 8

x1 > 0, x2 > 0

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Modélisation

Exercice 2

Un agriculteur souhaite mélanger des engrais de façon à obtenirau minimum 15 unités de potasse, 20 unités de nitrates et24 unités de phosphates. Il achète deux types d’engrais.

— Le type 1 procure 3 unités de potasse, 1 unité de nitrates et3 unités de phosphates. Il coûte 120 dh.

— Le type 2 procure 1 unités de potasse, 5 unité de nitrates et2 unités de phosphates. Il coûte 60 dh.

Exprimer à l’aide d’un programme linéaire la combinaisond’engrais qui remplira les conditions exigées au moindre coût.

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Modélisation

Solution de l’exercice 2

1◦ Identification des variables :

Le coût est fonction des quantités achetées des deux typesd’engrais. Appelons :

x1 = la quantité d’engrais de type 1 à acheter

x2 = la quantité d’engrais de type 2 à acheter

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Modélisation

Solution de l’exercice 2

2◦ Fonction objectif :

Le coût z s’obtient à partir de l’expression,

z = 120x1 + 60x2

L’objectif poursuivi consiste à trouver la combinaison des va-leurs x1 et x2 qui minimise le coût z :

Min z = 120x1 + 60x2

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Modélisation

Solution de l’exercice 2

3◦ Contraintes :

Les valeurs prises par x1 et x2 sont limitées par les exigencesminimales du mélange. Ainsi, il convient de prendre encompte :

— Contraintes de mélange : Par exemple, il faut au moins 15unités de potasse dans le mélange. Ce qui s’écrit :

3x1 + x2 > 15

De même, pour le nitrates et le phosphate, on écrit

x1 + 5x2 > 20

3x1 + 2x2 > 24

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Modélisation

Solution de l’exercice 2

— Contraintes de non-négativité : Elles assurent que lesquantités achetées ne peuvent être que positives ou nulles :

x1 > 0, x2 > 0

Le programme linéaire ainsi défini s’écrit :

min z = 120x1 + 60x2

3x1 + x2 > 15

x1 + 5x2 > 20

3x1 + 2x2 > 24

x1 > 0, x2 > 0

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Modélisation

Exercice 3

Un maraîcher, vendant des citrons et des oranges, veut lesgrouper par lots de vente.

— Le premier lot contient 5 citrons et 1 orange, et se vend à4 dirhams.

— Le deuxième lot contient 1 citron et 10 oranges, et se vend à6 dirhams.

Il dispose au total de 60 citrons et 110 oranges.

Quelle est la répartition la plus avantageuse pour lui, entre lesdeux types de lots ?

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Modélisation

Solution de l’exercice 3

Dans ce problème, l’étape la plus importante et la plus délicateest celle de la détermination des inconnues.

Ici, il s’agit de connaître la répartition entre les deux types de lots ;on note :

x1 = le nombre de lots du premier type

x2 = le nombre de lots du deuxème type

On obtient facilement la formulation suivante :

max z = 4x1 + 6x2

5x1 + x2 6 60

x1 + 10x2 6 110

x1 > 0, x2 > 0

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Modélisation

Exercice 4

On donne ci-après les caractéristiques de 3 gaz : A, B, C :

A B C

Teneur en souffre (g/m3) 6 2 4

Prix (Dh/m3) 10 25 15

Pouvoir calorifique (kcal/m3) 1 000 2 000 1 500

Réaliser le mélange qui donne le plus grand pouvoir calorifiqueen respectant les contraintes suivantes :

• La teneur en souffre doit être au plus de 3 g/m3,• Le prix ne doit pas dépasser 22 Dh/m3.

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Solution de l’exercice 4

1◦ Identification des variables :

Le pouvoir calorifique dépend des volumes de gaz utiliséspour produire le mélange. Appelons :

x1 = le volume de gaz A utilisé pour produire 1 m3 de mélange

x2 = le volume de gaz B utilisé pour produire 1 m3 de mélange

x3 = le volume de gaz C utilisé pour produire 1 m3 de mélange

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Modélisation

Solution de l’exercice 4

2◦ Fonction objectif :

Le pouvoir calorifique z d’un tel mélange est

z = 1000x1 + 2000x2 + 1500x3

L’objectif poursuivi consiste à choisir le mélange qui a le plusgrand pouvoir calorifique z :

Max z = 1000x1 + 2000x2 + 1500x3

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Modélisation

Solution de l’exercice 4

3◦ Contraintes :

Les ingrédients x1, x2 et x3 d’un mélange réalisable doiventvérifier les conditions suivantes :

— Teneur en soufre : elle doit être au plus de 3 g/m3 . Ce quis’écrit :

6x1 + 2x2 + 4x3 6 3

— Prix du mélange : il ne doit pas dépasser 22 Dh/m3. Ce quis’écrit :

10x1 + 25x2 + 15x3 6 22

— Volume du mélange : il est de 1 m3. Ce qui s’écrit :x1 + x2 + x3 = 1

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Modélisation

Solution de l’exercice 4

— Contraintes de non-négativité : les volumes utilisés nepeuvent être que positives ou nulles :

x1 > 0, x2 > 0 x3 > 0

Le programme linéaire ainsi défini s’écrit :

min z = 1000x1 + 2000x2 + 1500x3

6x1 + 2x2 + 4x3 6 3

10x1 + 25x2 + 15x3 6 22

x1 + x2 + x3 = 1

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

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